adultos_matematicas

Formación Básicade Personas Adultas

Graduado en Educación Secundaria

P R O C E S O S EI N S T R U M E N T O SM A T E M Á T I C O S

CONSELLERIA DE CULTURA I EDUCACIÓDIRECCIÓ GENERAL D’ORDENACIÓ I INNOVACIÓ EDUCATIVA I POLÍTICA LINGÜÍSTICA

GENERALITAT VALENCIANA

© Consuelo Clemente Díaz© José Antonio Moraño Fernández© Mª Dolores Ortells González© de esta edición: Generalitat Valenciana

Conselleria de Cultura i EducacióDirecció General d'Ordenació i Innovació Educativai Política Lingüística

I.S.B.N.: 84-482-3204-6Dep. Legal: V-3300-2002

Imprime: Gráficas Alarcón, s.l.Ctra. Nac. III, Km. 263,8 - 46300 UtielTel.: 96 217 12 17 - 96 230 53 45Fax: 96 217 20 03e-mail: [email protected]

Tema 1: Números

15

La principal diferencia entre unos sistemas y otros se encuentraen:

� La grafía de los signos, símbolos o cifras y su valor.

� Su carácter:

��Aditivo o sumativo si la expresión de la cantidad total seconsigue por adición o acumulación de símbolos.

��Posicional si los símbolos adquieren valores diferentessegún su posición.

� Reglas de combinación.

Nos centraremos en los sistemas de numeración romana ydecimal por ser ambos los sistemas de uso en la actualidad.

Sistema de numeración romana

� Símbolos y valor:

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1.000

� Carácter: aditivo o sumativo.

Para expresar trescientos escribían CCC.

� Reglas:

��Toda cifra igual o menor colocada a la derecha de otra,suma su valor con ella.

XX = 20XXI = 21

��Toda cifra menor colocada a la izquierda de otra resta suvalor con ella.

IX = 9XL = 40

��Si entre dos cifras existe otra de menor valor, se combinacon la siguiente para disminuirla.

XIX = 19��Ninguna cifra puede escribirse más de tres veces

seguidas. La I, la X, La C y la M pueden escribirse hastatres veces seguidas; la V, la L y la D, no puedenescribirse seguidas.

��Las unidades simples pueden convertirse en millaresponiéndoles una raya horizontal encima.

621.4DCXXIIV = .

Numeración babilónica”cuneiforme”

Signo Valor

1

10

60

Ejemplo. 193

Numeración egipciajeroglífica

Signo Valor

110

100

1000Ejemplo 1.213

El sistema decimal esmás “económico” quela numeración romanapues permite escribirlas mismas cantidadesutilizando menoscifras.

Tema 1: Números

17

��Los números decimales constan de una parte entera y unaparte decimal, la parte entera es la que preceda a la comay la parte decimal es la que se obtiene sustituyendo laparte entera por cero y añadiendo a la derecha de la comalas cifras decimales.

Parte entera ’ Parte decimal

Para leer un número decimal se lee primero la parteentera, si la hay, y luego la parte decimal como si fueraentera, añadiendo el nombre de la unidad decimal queexpresa su última cifra.

28’62 se lee 28 unidades 62 centésimas 0’3186 se lee 3.168 diezmilésimas2’0005 se lee 2 unidades 5 diezmilésimas.

��

��

1. Toma un libro y fíjate en la numeración que contiene:capítulos, páginas,..

Si miras el índice verás algo similar a esto:

ÍNDICE:

Capítulo I............... 4Capítulo II ............ 25Capítulo III ........... 36Capítulo IV........... 78Capítulo V ........... 102Capítulo VI.......... 125Capítulo VII ........ 143Capítulo VIII ....... 171Capítulo IX.......... 194Capítulo X ........... 220

Generalmente se utilizan números romanos para los capítulos,los tomos, las ediciones,… , y se reservan los arábigos para lapaginación.

El número 235’724 sepuede leer como:

� 235 unidades 724milésimas.

� 235’724 unidades.� 23’5724 decenas.� 2’35724 centenas.� 2.357’24 décimas.� 23.572’4 centésimas.� 235.724 milésimas

Numeración romana referida alas sucesivas convocatorias deun concurso matemático.

Tema 1: Números

18

2. Pensemos ahora en la cronología.

En este caso la numeración romana se usa para indicar siglos y,en ocasiones, los meses, mientras que la arábiga se utiliza paraaños y días.

Para indicar el día 7 de Agosto del año 2001 lo podemosescribir

7 / VIII / 2001

y decimos que pertenece al siglo XXI.

El motivo de que no coincida el número de centenas del año conel siglo, en este caso 20 centenas de 2001 con siglo XXI, se debea que la cronología parte del año del nacimiento de Cristo, año1, y hasta el año 100 se considera el siglo I, del 101 al 200 elsiglo II y así sucesivamente.

��

Para los hechos queocurrieron antes delnacimiento de Cristo

se utiliza lasiguiente

abreviatura:a. C.

El año 0 no existió

Este es también elmotivo por el que elsiglo XXI comenzó el1-I-2001 y no el día1-I-2000.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 1 al 8propuestos en el libro de actividades.

Tema 1: Números

21

� Asociativa de la suma: Si tenemos que sumar tres o mássumandos podemos sumar dos cualesquiera de ellos(asociarlos) y sustituirlos por el resultado de su suma.Podemos escribir: (a + b) + c = a + (b + c).

Si queremos calcular el resultado de 56 + 70 + 30podemos respetar el orden y sumar antes 56 + 70

56 + 70 + 30 = 126 + 30 = 156o sumar antes 70 + 30

56 + 70 + 30 = 56 + 100 = 156.

� Asociativa del producto: Si tenemos que multiplicartres o más factores podemos multiplicar dos cualesquierade ellos (asociarlos) y sustituirlos por el resultado de suproducto.Podemos escribir: (a · b)· c = a · (b · c).

Si queremos calcular el resultado de 6 · 50 · 3 podemosrespetar el orden y multiplicar antes 6 · 50

6 · 50 · 3 = 300 · 3 = 900o multiplicar antes 50 · 3

6 · 50 · 3 = 6 · 150 = 900.

� Conmutativa de la suma: El orden de los sumandos noaltera el resultado de la suma.Podemos escribir: a + b = b + a.

� Conmutativa del producto: El orden de los factores noaltera el resultado del producto.Podemos escribir: a · b = b · a

Otra propiedad de la suma y del producto es la existencia delelemento neutro.

� Elemento neutro de la suma: Es el 0 y se llama neutroporque al sumar 0 a cualquier número éste no varía.Podemos escribir: a + 0 = a.

� Elemento neutro del producto: Es el 1 ya que almultiplicar cualquier número por 1 éste no varía.Podemos escribir: a · 1 = a.

En el caso de la resta y en el de la división, no presenta estaspropiedades teniendo que respetar el orden en que aparecen.

El resultado de 20 – 5 – 3 no es el mismo si realizamos lasoperaciones en orden (20 – 5 – 3 = 15 – 3 = 12), que sicalculamos antes 5 – 3, cuyo resultado es 18.

Igualmente, el resultado de 40 : 8 : 2 no es el mismo sihacemos las operaciones en orden (40 : 8 : 2 = 5 : 2 = 2’5 ),que si calculamos antes 8 : 2, cuyo resultado es 10.

La propiedad conmu-tativa tiene un enun-

ciado muy popular y seaplica en situaciones

cotidianas. Si el ordenen que se mezclan losingredientes de una

receta no importa y nospreguntan por él

seguramentecontestaremos:

“Da igual, el orden delos factores no altera el

producto”

Propiedad conmutativa� 12 + 54 = 54 + 12 = 74� 5 · 42 = 42 · 5 = 210

Para realizar restas ydivisiones

encadenadas hay querespetar el orden en el

que aparecen.Para alterar este orden

hacemos uso de losparéntesis.

Elemento neutro� 120 + 0 = 10� 534 · 1 = 534

Tema 1: Números

22

De una suma se obtienen dos restas relacionadas con ella yde una multiplicación dos divisiones.

12 – 7 = 5

5 + 7 = 1212 – 5 = 7

32 : 4 = 8

8 · 4 = 32 32 : 8 = 4

Por tanto, conociendo dos de los elementos de cualquiera deestas operaciones, podemos calcular el tercero.

Si 3 + a = 24 ; a = 24 – 3 = 21Si b : 3 = 18 ; b = 18 · 3

��

Cuando aparecen encadenadas varias operaciones, e inclusoparéntesis, hay que seguir ciertas reglas:

1. En primer lugar hay que calcular la expresión queaparece entre paréntesis.

2. Después se efectúan las multiplicaciones ydivisiones.

3. Se acaba realizando las sumas y las restas.

5 + 3 – 4 ( 5 – 3 ) = (Primero el paréntesis)

5 + 3 – 4 · 2 = (Después la multiplicación)

5 + 3 – 8 = 0 (Finalmente sumas y restas)

Si solo aparecen sumas y restas se pueden agrupar lascantidades a sumar por un lado y las cantidades a restar porotro y realizar al final una resta.

5 + 6 – 7 + 4 – 2 + 6 – 1 = 21 – 10 = 11.

Estas propiedades lasutilizaremos más

adelante pararesolver ecuaciones:

3 + x = 24 ;x = 24 – 3

x = 21

Si traduces al lenguajecoloquial las

operaciones indicadasverás la lógica de lasreglas enunciadas: “cinco más tres menos

cuatro veces elresultado de restarle

tres a cinco”.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 11 y 12propuestos en el libro de actividades.

Tema 1: Números

29

Es importante diferenciar los diferentes “significados” quepuede tener un signo negativo.

� Acompañando a un número indica que su valor esinferior a cero y como ejemplos servirían los que hemoscitado anteriormente. Los números mayores de cero nollevarán ningún signo o el signo positivo.

� Como operación tiene el significado de una variaciónnegativa frente al signo + que implica una variaciónpositiva.

Un submarino que baja 40 metros respecto a su posiciónoriginal tiene una variación de – 40 m.

Un coche que baja dos sótanos más abajo del que seencontraba tiene una variación de – 2 plantas.

Un cliente que realiza un reintegro de 50 � de su cuenta deahorro tiene una variación en su saldo de – 50 ��

No sólo los números enteros pueden ser positivos o negativos,los números decimales también pueden serlo.

Observa la recta sobre la que hemos representado los númerosenteros. Los números crecen de izquierda a derecha ydisminuyen de derecha a izquierda.

Aplicando este criterio podemos ordenar los números enteros:

� El mayor de dos números enteros se sitúa más a laderecha en la recta numérica.

0 1 2 3 … … -3 - 2 -1

-1’3 2’6

La temperatura en unaciudad del interior de

la ComunidadValenciana en Eneroes de –3ºC a las 11 h. de la mañana. Si hastalas 24 horas baja tresgrados la variación

será de –3ºC,alcanzándose a esta

hora una temperaturade –6ºC.

0

CRECEN

DISMINUYEN

Comparamos lassiguientes temperaturasregistradas en un mismo

momento en cuatrociudades diferentes:

Ciudad A:..............-4º CCiudad B:..............10º CCiudad C:.............. 0º CCiudad D:..............-7º C

Las situamos sobre larecta numérica:

-7 –4 0 10

Ordenamos:

-7 < -4 < 0 < 10

Tema 1: Números

30

� Cualquier número positivo es mayor que cualquiernúmero negativo.

� El cero es mayor que cualquier número negativo y menorque cualquier número positivo.

��

Operaciones

Vamos a analizar las operaciones que incluyen númerosnegativos a partir de ejemplos concretos.

Es importante aclarar que nunca pueden ir juntos dos signos.

Cuando hemos de sumar o restar (variación positiva o negativa)un número negativo tenemos dos opciones:

� Separarlos incluyendo el del número junto con lacifra dentro de un paréntesis.

5 + (–3) 5 – (– 3)

� Traducir el conjunto de ambos signos en unavariación.

+ (–3) = – 3 5 – 3– (– 3) = + 3 5 + 3

Es conveniente imaginar alguna situación “real” para entenderlas operaciones con números negativos. Una que puede ser útiles asociar las siguientes ideas:

� Sumar = Dar� Restar = Quitar� Num. positivo = Dinero efectivo� Num. negativo = Deuda

+ (�3) = � 3 se interpreta como que “dar una deuda de 3 �

es igual a quitar 3 �� ”.

� (�3) = +3 se interpreta como que “quitar una deuda de3 � es igual a dar 3 � ”.

En la cartilla lo quese registran son lasvariaciones.Los reintegros sonvariaciones negativasy por eso vanacompañadas delsigno � , mientras quelos ingresos sonvariaciones positivasaunque generalmenteprescinden del signo.

Al no poder irjuntos los signosse han de separar

mediante unparéntesis.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 17 propuestoen el libro de actividades.

Tema 1: Números

31

� Suma

15 + 25 = 4015 + (–25) = 15 – 25 = –10–15 + 25 = 10–15 + (–25) = –15 –25 = – 40

Con la asociación sugerida quedaría:

Tengo Me dan Acabo con(Sit. Inicial) (Variación) (Sit. Final)

15 25 4015 deuda de 25 deuda de 10

deuda de 15 25 10deuda de 15 deuda de 25 deuda de 40

Al igual que ocurre con los números naturales, la suma denúmeros enteros también cumple las propiedades asociativa,conmutativa y elemento neutro.

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 4523523 −=−+−+=−+−+5 + (–7) = (–7) + 5 = – 2

(–3) + 0 = (–3).

� Resta

15 – 25 = –1015 – (–25) = 15 + 25 = 40– 15 – 25 = – 40– 15 – (–25) = –15 + 25 = 10

Con la asociación sugerida quedaría:

Tengo Me quitan Acabo con(Sit. Inicial) (Variación) (Sit. Final)

15 25 deuda de 1015 deuda de 25 40

deuda de 15 25 deuda de 40deuda de 15 deuda de 25 10

��

+ (– ) = –– (– ) = +

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 18, 19 y 20 propuestos en el libro de actividades.

Tema 1: Números

32

� Producto

Una multiplicación es la expresión de una suma desumandos repetidos.

3 · 4 = 4 + 4+ 4 (3 · 4 es tres veces cuatro)

Podemos considerar que un producto que incluye númerosnegativos expresa, de una manera simplificada, variacionesrepetidas del mismo valor y sentido.

3 · 4 = 12; 3 · (–4) = –12; –3 · 4 = –12; –3 · (–4) = 12.

Si seguimos haciendo la asociación como antes quedaría:

Variación Resultado

Me dan 3 veces 4 Me dan 12Me dan tres veces una deuda de 4 Me quitan 12Me quitan tres veces 4 Me quitan 12Me quitan tres veces una deuda de 4 Me dan 12

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valoresabsolutos y el resultado se acompaña del signo + o – segúnel signo de los factores. Para calcular ese signo aplicaremoslas reglas de los signos que aparece en el margen.

3 · (– 5) = – 15; (– 3) · (– 5) = 15.

Al aplicar las reglas de los signos para multiplicar más dedos números enteros podemos observar lo siguiente:

� Si el número de signos negativos que aparece es parse compensan dos a dos y el resultado es positivo.

3 · (– 5) · ( – 4) = – 15 · (– 4) = 60.

� Si el número de signos negativos que aparece esimpar el resultado es negativo.

(– 3) · (– 5) · (– 4) = 15 · (– 4) = – 60.

Al igual que ocurre con los números naturales, el productode números enteros también cumple las propiedadesasociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa � ( )[ ]( ) ( )( )[ ] 305·2·35·2·3 =−−=−−Conmutativa � 5 · (– 7) = (– 7) · 5 = – 35Elemento neutro � (– 3) · 1 = (– 3).

��

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22 propuestos en el libro de actividades.

Reglas de los signos

(+) · (+) = (+)(+) · (–) = (–)

(–)· + = (–)(–) · (–) = (+)

Nº signosnegativos Resultado

Par +Impar -

Tema 1: Números

38

� Calcular la raíz cuadrada de 16 es valorar el dato quefalta en esta expresión

[ ] 162 =

Hay que calcular la base que será el número cuyocuadrado es 16. Podemos optar por poner el número 4 oel número –4.

Gráficamente corresponde al cálculo del lado de uncuadrado de área 16.

Se expresa: 416 = porque 42 = 16.

También es válida 416 −= porque (- 4)2 = 16.

Las raíces cuadradas de números negativos no existen.

Observa que la raíz cuadrada de -16 no existe porqueno encontramos ningún número que elevado al cuadradoresulte –16.

42 = 16 y (– 4)2 = 16.

� Calcular la raíz cúbica de 8 es calcular el dato que faltaen esta expresión

[ ] 83 =

Hay que calcular la base cuyo cubo es 8. Está claro quese trata del número 2.

Gráficamente corresponde al cálculo del lado de un cubode volumen 8.

Se expresaría: 283 = porque 23 = 8.

Observa que la raíz cúbica de – 8 es – 2 porque

(– 2)3 = – 8

Así pues las raíces cúbicas de números negativostambién son de signo negativo.

� En general, calcular la raíz de índice n de un númerocualquiera b es calcular el dato que falta en la expresión

[ ] bn =

Se trata de calcular la base que elevada a n nos de b.

Se expresaría: abn = porque an = b.

16

4

2

8

Esquema raíz.

abn =

índice

radicando

raíz

Tema 1: Números

42

��

Las calculadoras que vas a utilizar más frecuentemente a partirde ahora son las llamadas calculadoras científicas.

� Estas calculadoras priorizan las operaciones, es decir,cuando tecleas en orden expresiones que contienenoperaciones combinadas, respetan el orden en el que se hande realizar, aunque no coincida con el de introducción de losdatos.

� Teclas de paréntesis. [(… …)]

� Tecla +/-

� Teclas y x y

Al calcular 3 + ( 2 – 8 : 2 ) , al darle a la tecla de cerrarparéntesis después del 2 aparece en pantalla – 2 , que esel resultado del paréntesis, y al darle al igual aparece elresultado total 1.

Introduce o quita el signo negativo al número. Debemosincorporar el signo después de haber escrito el número.No debemos confundir con la operación de restar. Paracalcular – 8 – 7 se teclea:

8 +/- – 7 = .

Calcula directamente la raíz cuadrada de un número.

Para calcular 4 , tecleamos: 4

XY Para calcular 53, tecleamos 5 XY 3 = .

Otras teclas.

Borra el último datointroducido CBorra todo lo que noestá guardado enmemoria AC

Al calcular 2 + 4 · 3 el resultado sería:En una calculadora científica 14En otro tipo de calculadora 18

En la calculadorano científica setendría que haceresta operación:

4 · 3 + 2

En la calculadora nocientífica se tendríanque hacer estasoperaciónes:

8 : 2 = 42 – 4 + 3

Tema 1: Números

43

��

��

� A lo largo de la historia han ido cambiando los sistemas de numeración, tanto símboloscomo reglas de combinación. Actualmente utilizamos los sistemas de numeración romanoy decimal.

� Los números se utilizan para identificar, ordenar, expresar cantidades y realizaroperaciones.

� Una suma se relaciona con dos restas y una multiplicación con dos divisiones.

� Redondear un número muy grande o un número decimal consiste en “eliminar” las cifrasno significativas. Normalmente suelen interesar las cuatro primeras.

� El orden de las operaciones cuando aparecen combinadas es el siguiente:��Paréntesis.��Multiplicaciones y divisiones.��Sumas y restas.

� El signo negativo puede tener los significados:��Valor menor que el 0 que se toma como referencia.��Variación negativa.

� Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores todos iguales.��Base. Indica el factor.��Exponente. Indica las veces que se multiplica por sí mismo.

� La raíces son las operaciones contrarias a las potencias.

Tema 2: Fracciones y porcentajes

48

MÚLTIPLOS Y DIVISORES.

Recuerda las siguientes relaciones:

6 : 2 = 3

2 · 3 = 6

6 : 3 = 2

Las relaciones que existen entre estos tres números son lassiguientes:

� 6 es múltiplo de 3� 6 es múltiplo de 2� 2 es divisor de 6� 3 es divisor de 6� 6 es divisible por 3� 6 es divisible por 2

� Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando éstepor cualquier otro número natural no nulo.

Múltiplos de 5

5 (5 · 1 = 5)10 (5 · 2 = 10)15 (5 · 3 = 15)… …65 (5 · 13 = 65)… …1500 (5 · 300 = 1500)…. …

� Los divisores de un número son los números que lo dividenexactamente (el resto de la división es cero).

Divisores de 12:

1 (12 : 1 = 12)2 (12 : 2 = 6)3 (12 : 3 = 4)4 (12 : 4 = 3)6 (12 : 6 = 2)12 (12 : 12 = 1)

Divisores de 11:1 (11 : 1 = 11)11 (11 : 11 = 1)

Múltiplo / Divisores una relación similar a

Padre / HijoMúltiplo DivisorPadre Hijo

Los múltiplos de unnúmero son infinitos yson mayores o igualesque el número.

Los divisores deun número sonmenores o igualal número.

� Un nº es divisible por2 si termina en 0 o cifra par (ej. 80 ó 94).

� Un nº es divisible por3 si la suma de losvalores de sus cifrases 3 o múltiplo de 3(ej. 258, 2+5+8 = 15).

� Un nº es divisible por5 si termina en 0 ó 5.(ej. 285 ó 280).

Si a es múltiplo de b,entonces b es divisor dea y a es divisible por b.


50

Para calcular estos valores se pueden utilizar diferentesprocedimientos:

1. Para encontrar el máximo común divisor de dos númerosescribimos todos los divisores de cada uno y subrayamoslos comunes a ambos, siendo el máximo común divisorel mayor de estos.

En el caso de la parcela queremos un número que dividaa 56 y a 32 para que la separación sea siempre la mismahabiendo un poste en cada esquina. Además la distanciadeseada será la mayor de estas separaciones. Es decir,el máximo común divisor de 56 y 32.

Divisores del 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56Divisores del 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32m.c.d.(56,32) = 8.

Colocaremos un poste cada 8 m, y como en total hay2 · 56 + 2 · 32 = 176 m.

Deberemos colocar 176 : 8 = 22 postes.

En algunas ocasiones puede que no exista ningún divisorcomún a los dos números que sea distinto al 1. Se diceentonces que los números son primos entre sí.

Por ejemplo si hallamos el m.c.d.(8,15) observamos que:Los divisores de 8 son: 1, 2, 4, 8.Comprobamos que 8 no es divisor de 15 y que 4 y 2tampoco lo son.El 1 evidentemente divide a 15, por tanto m.c.d.(8,15)=1.Los números 8 y 15 son primos entre sí aunque ellos noson números primos.

2. Para el mínimo común múltiplo debemos escribir unaserie de múltiplos de cada uno de los números, subrayarlos que sean comunes a ambas listas y elegir el máspequeño de éstos.

En el problema del camionero necesitamos múltiplos de30 para que haya gasolinera y de 40 para que hayarestaurante. Como queremos ambas cosas buscamos unmúltiplo común, y de entre ellos el primero (menor). Esdecir, buscamos el m.c.m.(30,40).

Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180,…Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240,…m.c.m.(30,40) = 120.

Por tanto cada 120 km habrá una gasolinera conrestaurante.�

��

Para el m.c.m.(30,40),probamos con los múlti-plos sucesivos de 40:

40 no es múltiplo de 30.80 tampoco, pero 120 sí.

m.c.d.(15,9,6) = 3,porque 3 es el mayordivisor de 6 que lo estambién de 9 y de 15.

Para reforzar lo aprendido realiza los ejercicios 4y 5 propuestos en el libro de actividades.

Otra posibilidad parahallar el máximo comúndivisor es tomar elnúmero menor, si esdivisor de los otros, él esel número buscado. Encaso contrario se pruebacon sus sucesivos diviso-res en orden decrecientehasta encontrar uno que losea de todos.

Otra forma de obtener elmínimo común múltiploes:

Considerar el númeromayor, si es múltiplo delos otros él es el númerobuscado. En otro casoseguimos probando consus sucesivos múltiploshasta encontrar uno quelo sea de todos.


56

� Para comparar números fraccionarios o para realizaralgunas operaciones con ellos, un sistema sencillo esexpresarlos previamente en forma decimal.

.4'175'0porque5

7

4

3<<

.15'24'175'05

7

4

3=+=+

.28'022'05'09

2

2

1=−=− (Aproximando

9

2 hasta las centésimas)

.35'02'075'15

1

4

7=⋅=⋅

.4'85'02'42

1:

5

21=⋅=⋅

Los resultados pueden expresarse en forma de fracción.

.20

43

100

21515'2 == .

25

7

100

2828'0 ==

.20

7

100

3535'0 == .

10

211'2 =

También se puede operar directamente con las fraccionessin recurrir a su expresión decimal. Vamos a ver algunasoperaciones.

Sumas y restas. Si las fracciones tienen el mismodenominador basta sumar o restar los numeradores.

.3

5

3

4

3

1=+ .

7

3

7

4

7

6=−

Pero en el caso de que tengan distinto denominadorbuscaremos fracciones equivalentes que tengan el mismodenominador. Como denominador elegimos un múltiplocomún, normalmente el mínimo común múltiplo, de todoslos denominadores que tenemos que sumar o restar.

� .12

9

12

6

12

3

4

2

3

1=+=+

Expresamos las dos fracciones con el mismo denominador,en este caso el m.c.m.(3,4) que es 12.Buscamos una fracción

12

a que sea equivalente a3

1 , por

tanto a es 4 porque 12 es obtenido multiplicando 3 por 4 ydebemos multiplicar nuestro numerador 1 por 4 obteniendo4 · 1 = 4.

Fíjate en el esquema del margen: al ser cada una de las“partes” cuatro veces más pequeñas hemos de “coger”cuatro veces más para que la cantidad sea la misma y lasfracciones sean equivalentes.

Lo mismo ocurre con4

2 . Si4

2

12=

b , b tiene que ser 6 porque

12 resulta de multiplicar 4 por 3 y el numerador 2 debemultiplicarse también por 3, obteniendo 3 · 2 = 6.

En Matemáticas

“de”pasa a “ · ”.

.9012075'01204

3120de

4

3=⋅=⋅=

6125'012de100

5012de%50 =⋅==

12

4

3

1=

12

6

4

2=

+1/3

4/3

5/3

SUMA


57

Ordenación. Para comparar u ordenar varias fracciones,además de mediante la expresión decimal, podemos hacerloescribiendo una fracción equivalente a cada una pero con elmismo denominador todas.

Por ejemplo para ordenar de menor a mayor las fracciones

20

13,

28

17,

35

27,

14

10

es conveniente hallar en primer lugar un múltiplo común detodos los denominadores. El número más alto es el 35 porlo que iremos probando con sus múltiplos:

35 · 1 = 35 pero 35 no es múltiplo de 14,35 · 2 = 70 que sí es múltiplo de 14 pero no de 28,35 · 3 = 105 que no es múltiplo de 14,35 · 4 = 140 que es múltiplo de todos.

Dividiendo 140 de cada denominadores obtenemos 10, 4, 5y 7, que son las cantidades por las que se multiplican losrespectivos numeradores para obtener las fraccionesequivalentes

.140

91

20

13,

140

85

28

17,

140

108

35

27,

140

100

14

10 7·

7·

5·

5·

4·

4·

10·

10·====

por tanto las fracciones ordenadas son:

.35

27

14

10

20

13

28

17<<<

Multiplicaciones. No necesitamos el mismo denominador.

� .6

2

3

2

2

1=⋅

Al multiplicar fracciones se obtiene otra fracción cuyonumerador es el producto de los numeradores de losfactores y cuyo denominador se consigue tambiénmultiplicando los denominadores de las fracciones quemultiplicamos.

Divisiones. Tampoco es necesario el mismo denominador.

� .4

1

1

2:

2

12:

2

1==

Al dividir fracciones se obtiene otra fracción cuyonumerador es el producto del numerador del dividendo porel denominador del divisor y cuyo denominador es elproducto del denominador del dividendo por el numeradordel divisor.

� .6

5

12

10

43

52

5

4:

3

2==

⋅

⋅=

��


PRODUCTO

3

2

3

2de

2

1

.3

2de

2

1

3

2

2

1=⋅

COCIENTE

una.cada4

1deresultando

2

1departesdoshaceres

2

1

.4

1

2

1

2

1=de

2

1

En ocasiones es posibleordenar a simple vista lasfracciones sin necesidad depasarlas a la forma decimal oa común denominador.� De dos fracciones con el

mismo denominador esmayor la de mayornumerador, ya que indicamayor número deunidades fraccionariasiguales:

3

2

3

6>

� De dos fracciones con elmismo numerador esmayor la de menordenominador, ya queindica igual cantidadpero de unidadesfraccionarias mayores:

3

7

8

7<


60

Cantidad inicial × Decimal que indica el % = Cantidad final

La clave está en el cálculo o interpretación del decimal queindica el porcentaje. Si es una cantidad entre 0 y 1 lacantidad final es menor al 100% y se puede interpretarcomo el cálculo directo de un porcentaje o como una bajadade la diferencia hasta el 100%.

Si multiplicamos por 0’6 se puede interpretar como cálculode un 60% o también como una bajada de un 40%, pues100% – 60% = 40%.

Si es una cantidad mayor que 1 la cantidad final es mayor al100% y se puede interpretar como el cálculo directo de unporcentaje o como una subida de la diferencia desde el100%.

Si multiplicamos por 1’3 se puede interpretar como cálculode un 130% o también como una subida de un 30%, pues130% – 100% = 30%.

��

� Frecuentemente lo que tenemos que calcular no es lacantidad final sino, la cantidad inicial o el porcentajeaplicado. En estos casos usaremos las siguientes divisiones:

o

Para saber cuál era el precio de un artículo que trasaplicarle una rebaja del 30% cuesta 45’60 ��

procederemos:

1. El decimal correspondiente al cálculo directo deuna bajada del 30% es 0’7 pues calcu ladirectamente el 70% resultante de la rebaja.

2. Aplicamos la fórmula en la forma

3. CI = 45’60 : 0’7 = 65’14 ��

CI · Decimal % = CF

Decimal % = CF : CI

CI = CF : Decimal %Una multiplicaciónse relaciona con dos

divisiones


CI = CF : Decimal %

Decimalcorrespondiente

al porcentaje

Entre 0 y 1

Menos de 100%

0’7 ≅ 70 %

Mayor que 1

Más de 100%

1’2 ≅ 120 %


68

��

� Tecla SHIFT

Aparece en algunas calculadoras para activar las funciones uoperaciones que no aparecen sobre la tecla, sino en elexterior y normalmente con otro color.

Si encima de la tecla aparece la función x2, para activar

esta segunda es necesario oprimir esta tecla con antelación.

� Tecla ab/c

Permite utilizar fracciones en la calculadora. Es una teclaque no aparece en todas las calculadoras.

Para introducir en la calculadora 4/5 tecleamos:

4 a b/c 5

� Tecla %

Ayuda a calcular porcentajes en algunas calculadoras.Junto con las teclas + y - aumenta o disminuye elporcentaje a la cantidad inicial.

� Tecla º ´ ”

Convierte las horas minutos y segundos sexagesimales enhoras con decimales.

Para pasar a decimal 12h 30’ 45”usaremos la secuencia:

12 º ´ ” 30 º ´ ” 45 º ´ ”

La calculadora devolverá en su pantalla:

12.5125, que es la expresión en horas con decimales.

Podemos utilizarla después de la tecla SHIFT para hacer elcambio recíproco, de horas con decimales a horas, minutosy segundos sexagesimales.

Si ahora sobre el número anterior seleccionamos

SHIFT º ´ ”

La calculadora muestra:

12 º 30 º 45, expresión en forma sexagesimal.

Calculamos 12% de 50 5 0 × 1 2 %

Aumento del 12% a 50 5 0 × 1 2 % +

Bajada del 12% a 50 5 0 × 1 2 % -

Otra opción:multiplicar por el

decimalcorrespondiente.

En el ejemplo0’12, 1’12 y 0’88respectivamente.

Si nuestra calculadoratiene la función xy sobre latecla × , para calcular elvalor de 57, teclearemos:

5 SHIFT × 7

La pantallamuestra:

4 ↵ 5


69

��

� El euro es la moneda del sistema monetario europeo.

� Las relaciones “ser múltiplo”/”ser divisor”son recíprocas.

��Un múltiplo de un número se obtiene multiplicando este número por cualquier otroque no sea cero.

��Un número es divisor de otro si lo divide exactamente.

� Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes formas de expresar cantidades,incluyendo las que no sean exactas.

� Las operaciones con fracciones se pueden reducir al cálculo con decimales o se puedenrealizar de forma fraccionaria.

� Fracciones equivalentes son las que expresan la misma cantidad.

� Se puede simplificar una fracción dividiendo numerador y denominador por el mismonúmero hasta obtener una fracción irreducible equivalente.

� Los cálculos que implican porcentajes se simplifican utilizando el decimal o “tanto poruno” correspondiente.

� Los divisores de la unidad de tiempo “hora” se pueden expresar en el sistema sexagesimal( h ’”) o en el sistema decim al ( ´ ) .

��1’= 60’’��1 h = 60’

� Existen otras unidades de tiempo.

CI · Decimal % = CF

Tema 3: Proporcionalidad y Escalas

77

4. Para resolver problemas de proporcionalidad inversa tambiénpodemos utilizar cualquiera de los dos métodos anteriores.

Una vez reconocida la proporcionalidad inversa viendo que aldisminuir a la mitad una magnitud la otra pasa a ser el dobleresolvemos:

Reducción a la unidad. Calculamos lo que corresponde a unaunidad de la magnitud que tenemos como dato, y luegomultiplicar por el número de unidades que nos está pidiendo.

Regla de tres inversa. Construimos la proporciónx

c

b

a=

sabiendo que una de las razones debe estar invertida.

��

En el ejemplox

5'2

12

5= o bien

x

12

5'2

5= . En ambos casos

5 12 2 5 5 30⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =x x' .

Dividimos ambos lados de la igualdad por 5 con lo queambos términos seguirán siendo iguales

65

30

5

5=⇒=

⋅x

x��

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios del 1 al 9propuestos en el libro de actividades.

Si un coche viaja a 30 km/h y tarda 45 minutos en recorreruna distancia, ¿cuánto tardará en recorrer la mismadistancia a 20 km/h?

En el ejemplo, si el coche viajase a 1 km/h tardaría

45 · 30 = 1.350 minutos.

Ahora yendo a 20 km/h deberá tardar 20 veces menos,

5'6720:350.1 = minutos.

En el ejemplo, la primera razón corresponde a la

velocidad,20

30 , y la segunda será el tiempo,x

45 . Como son

magnitudes inversamente proporcionales debemos invertiruna de las fracciones para formar la proporción:

.45

30

20

x=

Aislando la x como hicimos anteriormente,

5'6720

350.1350.120 ==⇒= xx minutos.

Cuando las magnitudes soninversamente

proporcionales se debemantener constante el

producto de lasmagnitudes.

.5'6720

350.1

350.120350.13045

==

↓

=⋅→=⋅

x

x

Si para llenar un depósitode combustible hemosutilizado 32 veces unrecipiente de 12 litros¿Cuántas veces usaremosuno de 48 litros?El nº de veces y el tamañode los recipientes sonmagnitudes inversamenteproporcionales.

En el ejemplo del depósitodeberá conservarse el pro-ducto, por tanto:

.848

384

384483841232

==

↓

=⋅→=⋅

x

x


79

3. El tanto por mil es el número de unidades de la primeramagnitud que corresponden a 1.000 unidades de la otra.

En el mundo real nos encontramos frecuentemente concualquiera de estas tres expresiones, y debemos saber comoutilizar cualquiera de ellas y como cambiar de unas a otras.

��

333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS RRREEEPPPAAARRRTTTOOOSSSEn ocasiones en la vida real debemos repartir cantidades en función de las inversionesrealizadas por cada una de las personas que invierten en un negocio, sorteo o cualquier otrotipo de actividad que necesite una asociación. Estos problemas se resuelven utilizando laproporcionalidad.

��

1. Otro problema de proporcionalidad que aparece confrecuencia en nuestras vidas es el hacer repartosproporcionales o prorrateos. Estas situaciones aparecencuando hay que repartir adecuadamente una cantidadteniendo en cuenta las cantidades inicialmente impuestaspor cada uno de los que reciben el reparto.

La razón 2 de cada 5 anterior expresada en tanto por mil

es:

400000.15

2=× ‰.

Porcentaje Proporción Fracción Tanto porUno

Tanto pormil

25% 25 de 1004

1

100

25=

0’2500

0250

80% 80 de 1005

4

100

80=

0’800

0800

33% 33 de 1003

1

100

33≈

0’3300

0330

20% 20 de 1005

1

100

20=

0’2000

0200

El crecimiento vegetativode un país es la diferenciaentre la tasa de natalidad yla de mortalidad durante unaño. Normalmente es unacantidad muy pequeña paraexpresarse en tantos porcien y se utilizan los tantospor mil.En 1997 España tuvo uncrecimiento vegetativo de

0’05% = 0’5‰

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 10, 11, 12 y13 propuestos en el libro de actividades.


80

Para aprender a hacer estos repartos veamos un ejemplo.

Para hacer estos prorrateos tenemos dos posibles métodosde trabajo:

� Hallando inicialmente la razón de cada uno respecto altotal en las cantidades inicialmente impuestas.

A continuación aplicamos que el reparto debe ser paracada uno directamente proporcional a la razón inicial.

Cuatro amigos rellenan un boleto de lotería pero cadauno pone una cantidad diferente:

Alejandro 9 �Ainhoa 6 �

Marta 18 �

Paula 12 ��

El día del sorteo tienen la fortuna de recibir un premiode 90.000 � que deben repartir de manera justa. Esdecir, teniendo en cuenta la inversión inicial que cadauno de ellos realizó.

Total inicial = 45121869 =+++

Razones iniciales de cada uno:

Alejandro �45

9

Ainhoa �45

6

Marta �45

18

Paula �45

12 .

Alejandro �

∈=⋅

=

⋅=⋅⇒=

000.1845

000.909x

000.909x45000.90

x

45

9

Ainhoa � 000.1245

000.906

000.9045

6=

⋅=⇒= x

x��

Marta � 000.3645

000.9018

000.9045

18=

⋅=⇒= x

x��

Paula � 000.2445

000.9012

000.9045

12=

⋅=⇒= x

x��

Las peñas de quinielasreúnen el dinero devarios clientes para poderhacer una quiniela conmuchas combinaciones.De salir premiada debeser repartido el premioproporcionalmente a lainversión de cada uno delos apostantes.


82

444... TTTRRRAAABBBAAAJJJAAAMMMOOOSSS CCCOOONNN EEESSSCCCAAALLLAAASSSUna aplicación muy importante de la proporcionalidad es el uso de escalas en planos ymapas. Se utilizan para expresar cuantas veces ha sido reducida o ampliada la realidad paraser representada sobre un plano o un mapa.

�� ...

� La escala realmente es la razón entre el dibujo y la realidadexpresando ambas magnitudes en las mismas unidades.

alidadRe

PlanoE =

��

1. Con este plano que está a escala vamos a calcular algunasdistancias y las vamos a transformar en sus correspondientesen la realidad

Plano a escala 1:100


83

Por tanto para convertir cualquier medida del plano en sucorrespondiente real aplicamos que la escala y el cocienteentre la medida del plano y su correspondiente real sonforman una proporción directa.

Para hallar el resto de medidas podemos seguir aplicandoesa relación de proporcionalidad pero el proceso será ahoramás sencillo: Tomamos cada una de las medidas sobre elplano y dividimos por la escala. En realidad si el numeradorde la escala es 1, esto es equivalente a multiplicar por el

denominador, ya que si la escala esD

E1

= y las longitudes

de un objeto sobre el plano y en la realidad son PL y RLrespectivamente, tendremos que:

.1

1: DL

DL

DLL P

PRR ⋅=

⋅==

a) Justifica que 1 cm. del plano equivale a 100 cm. de larealidad.

b) Averigua las dimensiones reales del salón y de lahabitación de matrimonio.

c) Calcula las dimensiones del sofá y de la cama.Compáralas con las dimensiones de los que tienes entu casa o piensas poner.

d) Encuentra el tamaño que tendrán en el plano unaalfombra y una cama que te han gustado y de las queconoces sus medidas.

Alfombra Cama

Largo 2’3 m. 2’1 m.Ancho 2 m. 1’5 m.

a) En nuestro ejemplo esto significa que cada cm. del

plano son 100 cm reales lo que equivale a 1 m.

b) En nuestro ejemplo las dimensiones del salón y de lahabitación medidas sobre el plano son:

Salón Habitación

Largo 6 cm. 2’6 cm.Ancho 3’5 cm. 3’4 cm.

Por tanto las medidas reales se obtendrán dividiéndolaspor la escala (

1001 ) o multiplicando por 100.

Salón Habitación

Largo 600 cm. 260 cm.Ancho 350 cm. 340 cm.

Plano � RealidadLReal =LPlano × DEscala

En ocasiones se utilizaotro método paraindicar cual es la escala

E = 1 : 100.

Consiste en dardirectamente sobre elplano la longitud quetendría un metro:

1 m.


84

2. Ocasionalmente podemos encontrarnos con planosdonde los objetos están ‘desproporcionados’ con el finde aparentar que el salón o el dormitorio son másamplios de lo que son realmente. Estas situacionesdebemos reconocerlas y lo haremos aplicando la escalaa las dimensiones de estos objetos para comparar conlas de los que queremos colocar.

3. Otras veces antes de comprar algunas cosas nos interesasaber si encajarán bien en nuestra casa. En estos casosdisponemos de medidas reales de las cosas y debemostrasladarlas al plano. Este proceso podemos hacerlonuevamente aplicando proporciones o bien:

A las medidas reales debemos aplicar la escala(multiplicar por E) o dividir por el denominador de laescala si su numerador es 1.

Normalmente estas medidas las usamos en metros parano tener números tan grandes:

Salón Habitación

Largo 6 m. 2’6 m.Ancho 3’5 m. 3’4 m.

c) Si medimos las dimensiones del sofá y de la camaque hay en el plano obtenemos:

Plano Sofá CamaLargo 17 mm. 18 mm.Ancho 7 mm. 13’5 mm.

Multiplicando por 100 (denominador de E) para tenerlas medidas reales resultan:

Realidad Sofá CamaLargo 1.700 mm. 1.800 mm.Ancho 700 mm. 1.350 mm.

Medidas que usualmente pasaremos a metros (:1.000)

Realidad Sofá CamaLargo 1’7 m. 1’8 m.Ancho 0’7 m. 1’35 m.

Ahora podemos comparar con los objetos que tenemos.

d) Considerando las medidas reales de nuestros objetos

Realidad Alfombra CamaLargo 2’3 m. 2’1 m.Ancho 2 m. 1’5 m.

m.dm.cm.mm.

Subir 2 lugares� Dividir por 100.

Realidad � PlanoLPlano = LReal : DEscala

Tanto el sofá como lacama son pequeñospor lo que resultarámás cómodo tomarsus medidas enmilímetros que encentímetros.


86

25.000

1=E

0 100 km


87

En ocasiones la escala no viene expresada en formanumérica, sino gráficamente, lo que puede resultar muycómodo. Para hallar la distancia real entre dos puntos delmapa basta ver cuántas unidades de la escala hay entre ellos.

También podemos convertir la escala gráfica en numéricamidiendo la longitud de cada unidad gráfica en centímetrosy estableciendo nosotros el cociente,

RealidadenMedida

cm.enMedidaE = .

Una señal que viaja a la velocidad de la luz, 300.000 km/s yque debe hacer un recorrido determinado forma unaproporción directa considerando las razones entre ladistancia recorrida y el tiempo empleado en cada ocasión.

Cuando tenemos el plano de una ciudad también puede serútil la escala para hallar las distancias reales entre lugaresque nos parezcan interesantes.

��

a) Midiendo con una regla pero teniendo en cuenta lasunidades de la escala gráfica vemos que:

Distancia Roma-Florencia ≈ 210 km.

Distancia Florencia-Venecia ≈ 310 km.

b) En nuestro caso como al duplicar los kms. seduplicarían los segundos que tarda podemos afirmar queestas magnitudes están en proporción directa. Por tanto,como la distancia total es 210 + 310 = 560 km tendremos

.002'0...001866'0000.300

15605601000.300

sxsx

km

s

km≈=

×=⇒=

c) Para saber si determinados desplazamientos podemoshacerlos andando o vamos a necesitar un medio detransporte es conveniente hallar las distancias entre loslugares que nos interesa visitar. Midiendo en el plano ladistancia entre esos lugares obtenemos

Plano E =1:25.000 RealidadColiseo-Fontana 6 cm. � × 25.000 150.000 cm = 1’5 kmFontana-Vaticano 10 cm. � × 25.000 250.000 cm = 2’5 km

Ahora cada uno decide según sus posibilidades o ganas elmedio de transporte que va a utilizar.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 17 a 21propuestos en el libro de actividades.

Habitualmente sellaman Mapas a lasrepresentaciones de larealidad con muchareducción, es decir conescalas inferiores a1:10.000.

En cambio si lareducción no es tangrande, escalas supe-riores a 1:10.000 sesuelen llamar Planos.

100 m

0 500 1.000

40.000

1

cm10.000

cm5'2

m100

cm5'2E ===


88

��

A veces en trabajos científicos o cuando trabajamos con escalasaparecen números muy grandes o muy pequeños. Tanto queincluso pueden llegar a no caber en la calculadora.Algunas calculadoras sólo admiten 8 dígitos y otras 10.

Para permitirnos escribir estos números tan grandes lascalculadoras disponen de una tecla específica:

EXP.

Esta tecla utiliza lo que en Matemáticas se llama notacióncientífica de números.

Se trata de escribir los números con todas las cifras menos laprimera como decimales y multiplicarlos por una potencia de 10que indica las posiciones que debería moverse la coma.

Por ejemplo 1.000.000.000.000 = 1×1012.

�

�

�

��

¿Qué ocurre si una medida sobre un dibujo es de 149 mm ysu escala es 1:1.000.000.000.000? ¿cómo podemos escribirese número en la calculadora?

En la calculadora para escribir 1×1012 pulsamos 1 EXP 12.(La tecla EXP abrevia la escritura del × y del 10).Para resolver el ejemplo inicial introducimos en lacalculadora:

149 × 1 EXP 12 =.

La calculadora mostrará en pantalla el siguiente resultado:

1.49 14

lo que equivale al número 1’49 ×1014 o, lo que es lo mismo,149 seguido de 12 ceros (catorce menos los dos lugares queocupan el 4 y el 9), es decir

149.000.000.000.000

Las medidas muy pequeñastambién se expresan connotación científica peroutilizando potencias de 10con exponente negativo.Estas potencias de 10indican que la coma debemoverse hacia la izquierdatantas posiciones comoindica el exponente, por loque, el número será cadavez más pequeño.

− Pulgas ≈ 10-3 m.− Células ≈ 10-5 m.− Virus ≈ 10-7 m.− Moléculas ≈ 10-9 m.− Átomos ≈ 10-11 m.

Una célula normal mide1×10-5 m de diámetro. El“-5” indica que hay quemover la coma hacia laizquierda 5 posicionesresultando 0’00001 m.



89

��

� Dos figuras decimos que son semejantes si los lados correspondientes de ambas estánsiempre en la misma proporción.

� Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por unacantidad determinada la otra magnitud debe multiplicarse por la misma cantidad.

� Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por unacantidad determinada la otra magnitud debe dividirse por la misma cantidad.

� En una proporción siempre el producto de medios es igual al producto de los extremos.

� Para resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa podemos hacerlo dedos maneras:

��Reduciendo a la unidad, es decir, hallando la cantidad que corresponde a una unidadde la otra magnitud y luego multiplicando o dividiendo por el número de unidades.

��Construyendo una regla de tres, dando lugar a una proporción que se resuelvemultiplicando en cruz.

� Los porcentajes, los tantos por mil y los tantos por uno son razones cuyosdenominadores son 100, 1.000 y 1 respectivamente. Pueden hallarse utilizando laproporcionalidad de estas razones con la que necesitemos.

� Para repartir una cantidad entre varias personas también podemos hacerlo de dos formas:

��Hallando las razones iniciales de cada inversor con el total y luego establecerproporciones directas con las cantidades finales de cada uno.

��Calculando el tanto por uno de cada inversión inicial y multiplicando esos valorespor el total a repartir.

� La escala de un plano es la razón entre cualquiera de sus medidas y la correspondiente real.

��Para pasar medidas del plano a la realidad dividimos por la escala, aunque si éstatiene numerador 1, esto equivale a multiplicar por el denominador.

��Para pasar medidas reales a un plano multiplicamos cada medida por la escala odividimos por su denominador si el numerador es 1.

� La notación científica permite expresar cómodamente números grandes y pequeños:

��Para expresar un número en notación científica dejamos una única cifra delante dela coma y ponemos como exponente de 10 el número de lugares que debe desplazarsela coma para expresar dicho número en forma decimal. Si el desplazamiento de lacoma debe ser hacia la derecha el exponente será positivo y si debe ser hacia laizquierda será negativo.

��Para expresar en forma decimal un número de notación científica desplazamos lacoma tantos lugares como señala el exponente, siendo este desplazamiento hacia laizquierda si el exponente es negativo y hacia la derecha si es positivo.

Tema 4: Gráficas

92

111... CCCOOONNNSSSTTTRRRUUUIIIMMMOOOSSS GGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAASSS.........

Antes de comenzar has de conocer el vocabulario básico del tema.

��

Para representar datos o resultados relativos al estudio de dosmedidas o magnitudes se utilizan frecuentemente lo quellamamos ejes coordenados o cartesianos. Estos son dos rectasnuméricas perpendiculares entre sí que se cortan en el valor 0 ysobre las que se especifica una graduación o escala cuyosvalores aumentan de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.El plano sobre el que se sitúan los ejes queda así dividido en 4zonas llamadas cuadrantes.

Al representar los ejes destacan:

• Origen de coordenadas que es el punto donde se cortanambos ejes y se representa por O.

• El eje horizontal se llama eje de abscisas y frecuentementese representa por OX.

• El eje vertical se llama eje de ordenadas y suelerepresentarse como eje OY.

• A cada punto P del plano le corresponden dos números (x,y)a los que se llama coordenadas cartesianas de P. Estaasignación es lo que llamamos sistema de coordenadas. Laprimera coordenada de P, x, se llama abscisa e indica eldesplazamiento horizontal respecto al origen. La segundacoordenada, y, se le llama ordenada e indica eldesplazamiento vertical respecto al origen .

• Cada cuadrante tiene los puntos caracterizados por los signosde sus coordenadas:

• Primer cuadrante: ambas coordenadas son positivas.

• Segundo cuadrante: la primera coordenada esnegativa y la segunda positiva.

• Tercer cuadrante: ambas coordenadas son negativas.

• Cuarto cuadrante: la abscisa es positiva y laordenada negativa.

Dos rectas sonperpendiculares cuandolos ángulos que formanentre sí son rectos.

1

ordenada

Origen decoordenadas

abscisa

1-1

3

-2-3

-1

-2

-3

2 3

2

0

Cuadrante I(+,+)

Cuadrante II(-,+)

Cuadrante III(-,-)

Cuadrante IV(+,-)

Tema 4: Gráficas

94

A continuación deberemos trasladar los puntos (doscoordenadas) a los ejes, asignando a la abscisa, primeracoordenada, la posición correspondiente sobre el eje OX y a laordenada o segunda coordenada la posición correspondientesobre el eje OY.

Muchas veces la situación que se nos presenta es la inversa, losdatos aparecen representados en una gráfica y necesitamossaber sus coordenadas.

María (M) tiene por coordenadas � (5,1)Aitana (A) � (5,0’5)Isabel (I) � (8,1’5)Sergio (S) � (10,1)Raúl (R) � (10,2)

Al representar sobre los ejes obtenemos

T(min)

Coste(��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0’5

1

1’5

2

O

A(5,0’5)

S(10,1)

I(8,1’5)

R(10,2)

M(5,1)

En el ejemplo anteriortenemos:

1ºaño 541 �(1,541)

2ºaño 721 � (2,721)

3ºaño 1.080 � (3,1.080)

4ºaño 1.320 � (4,1.320)

5ºaño 1.563 � (5,1.763)

400800

1.2001.6002.000

21 3 4 5

Vodafone,Movistar,Amena, …Dibujando los ejes quedan

T(min)

Coste(��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0’5

1

1’5

2

O

Vodafone,Movistar,Amena, …

Tema 4: Gráficas

95

Éstas se pueden obtener proyectando perpendicularmente sobrelos ejes y observando la posición que ocupa.

En algunas ocasiones aparecen valores negativos para alguna delas dos variables, elemento que debemos tener en cuenta a lahora de representar los ejes y elegir su escala.

Laura (L) marca en eleje de abscisas 7 y en elde ordenadas 2. Portanto sus coordenadasson (7,2).Las coordenadas dePaula (P) son (3,0’5).

Si en el ejemplo anterior aparecen dos nuevos puntos Paula(P) y Laura (L), podemos conocer sus coordenadasproyectándolos sobre los ejes:

T(min)

Coste(��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0’5

1

1’5

2

O

A(5,0’5)

S(10,1)

I(8,1’5)

R(10,2)

M(5,1)

P

L

En la comarca de Els Ports han tomado las temperaturas alo largo de un día del mes de Febrero obteniendo

Hora 0 4 8 12 16 20

T(º C) - 6º C - 4º C - 1º C 6º C 4º C - 3º C

Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos eltiempo como variable independiente puesto que vacambiando por sí mismo independientemente de que latemperatura suba o baje. Además elegimos que la escala deese eje aumente de 4 en 4 horas.

En cambio la temperatura va variando a medida quecambiamos la hora del día y por esta razón laconsideramos como la variable dependiente.

Por otra parte el valor más alto es 6ºC y el más bajo es–6ºC por lo que el eje vertical debe alcanzar valoresnegativos. Si decidimos tener 3 tramos en este eje laescala debe ser 6 : 3 = 2ºC.

La gráfica tiene cuatro puntos en el cuarto cuadrante y sólodos en el primero.

-6

- 4

- 2

2

4

6

0 4 8 12 16 20t (h)

T (º C)

Tema 4: Gráficas

96

��

1. Vamos a hacer representaciones gráficas a partir de tablas devalores que emparejan números.

En ocasiones las cantidades de una variable están agrupadasen torno a una cantidad muy alejada del origen decoordenadas. En estos casos suele indicarseen el gráfico esta situación haciendo unamarca de rotura en el eje correspondiente yhallando la escala con los valores más alto ymás bajo de la variable correspondiente.

En una ciudad de la comarca del Baix Vinalopó se miden lastemperaturas máximas durante 14 días de Mayo y se anotancada día.

Los resultados obtenidos son los siguientes

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

T(ºC) 25 26 25 22 21 20 20 20 20 18 17 19 20 20

Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos eltiempo como variable independiente puesto que vacambiando por sí mismo. Además elegimos la escala de eseeje con las catorce marcas, es decir de uno en uno.

En cambio la temperatura va variando a medida quecambiamos de día.

?

Con el ejemplo de lossueldos podíamos poneren el eje de abscisas losaños 98 hasta 02.

400

800

1.200

1.600

2.000

9998 00 01 02

En nuestro ejemplo todas las temperaturas oscilan entre17º C y 26º C por lo que va a ser adecuado hacer unafractura del eje de ordenadas para que los valores de éstecomiencen cerca del 17º C.

Si aceptamos que el eje de ordenadas tenga 5 divisionescomo la diferencia entre la medida más alta y más baja es de26 – 17 = 9º C, la escala a utilizar debe ser 9 : 5 = 1’8.

Por aproximación consideraremos cada tramo de 2º ycolocaremos como primera marca en el eje la de 16º .

Tema 4: Gráficas

99

Este tipo de representaciones arrancan desde el primer puntoy vamos subiendo o bajando la línea de la gráfica en funciónde lo indicado en el texto.

��


Inicialmente y durante lo dos primeros días semantienen los 40º C, por tanto en todos los instanteshasta el día 2 la segunda coordenada será 40º C (primertramo rojo).

t(días)

T(º )

1 2 3 4 5 6 7

36

37

38

39

O

40

El tercer día disminuye 2ºCla temperatura (tramo azul),el cuarto día subió 1ºC(tramo rojo), el quinto bajó1º C (verde) y el sexto bajóotro grado (rosa) permane-ciendo así la temperatura elséptimo día (gris).

Podemos ver en la gráficaque el paciente fue dado dealta con 37º C.

La escala para el eje de abscisas se tomade día en día entre 1 y 7, mientras que ladel eje de ordenadas varía de grado engrado, pero como la temperatura delcuerpo humano sólo puede oscilar entre36º C y 40º C haremos un corte en ese eje.

t(días)

T(º )

1 2 3 4 5 6 7

36

37

38

39

O

40

Tema 4: Gráficas

103

• Por último decimos que una gráfica es constante mientrasmantenga el mismo valor de ordenada (ni sube ni baja).

��

1. Observando una gráfica podemos deducir muchas cosas deuna forma rápida e intuitiva.

Con las nociones básicas estudiadas hasta ahora podemosanalizar este tipo de gráfica.

Son máximos de la gráfica aquellos puntos en los que suordenada es superior a las de los puntos que le rodean, y sonmínimos los que a su alrededor las ordenadas son mayores.

a) La gráfica es horizontal o constante a 40 m. de altura,entre los minutos 13 y 18. Por tanto ésta la altitud delnido en el que permanece durante 5 minutos.

Si el IPC fuese 0% laevolución del precio delas cosas podría venirrepresentado por unagráfica como la siguiente

tiempo

�

Al mayor de todos losmáximos se le llamamáximo absoluto y

al menor de losmínimos, mínimo

absoluto.

La gráfica que representa el coste de utilizar ‘Internet’con tarifa plana respecto del tiempo es constante porquecuesta lo mismo utilicemos el tiempo que utilicemos.

tiempo(h)

Coste(��

30

O

Las gráficasconstantes sonhorizontales, es

decir, paralelas aleje de abscisas.

Un ave vuela paraalimentar a sus crías queestán en el nido.La gráfica muestra laaltura a la que seencuentra en cadainstante durante 20minutos.

a) ¿A qué altura está el nido? (mientras está él la altura novaría? ¿Cuántos minutos está en él?

b) ¿En qué instante tiene la altura máxima y cuál es ésta? ¿Yla mínima?

c) ¿Cuántos metros baja para recoger la comida y cuántotiempo emplea para ello? ¿Podrías saber su velocidad dedescenso?

d) ¿Cuánto tiempo está subiendo? ¿Y bajando?e) ¿Tiene algún salto brusco la gráfica?

5 10 15 20

Tiempo(min)

Alt (m.)

20

30

40

O

10

Tema 4: Gráficas

104

Si recordamos que una gráfica es decreciente cuando al avanzarlas abscisas sus correspondientes ordenadas van decreciendopodremos contestar al apartado c).

Todos los periodos de tiempo en los que la gráfica sube alavanzar hacia la derecha decimos que son tramos crecientes.

La gráfica tiene saltos si hay cambios bruscos de la variabledependiente para instantes muy próximos.

b) A los 8 minutos está a 50 m de altura que es laordenada más alta. Por tanto es un máximo.Mínimos hay dos, uno al principio cuando t = 0 min. deordenada 30 m y otro a los 12 minutos de 0 m de altura.Éste último además se dice que es el mínimo absolutoporque es el más bajo de todos ellos.

d) Sube desde el instante inicial hasta los 8 minutos yvuelve a subir entre los 12 y los 13 minutos. En esostramos la gráfica es creciente, en total durante 9minutos. Análogamente deducimos que es decrecientedesde los 8 hasta los 12 y de los 18 hasta los 20, es decir,un total de 6 minutos.

e) En este ejemplo no hay ningún salto puesto que esteindicaría un cambio instantáneo de la altura, cosa queno es posible.

La altura de un niño vaaumentando con el pasodel tiempo. Su gráfica escreciente.

c) Baja desde los 50 m hasta el suelo (0 m) entre los 8 ylos 12 minutos, es decir, tarda 4 minutos. Por tanto entrelos 8 y los 12 minutos la gráfica es decreciente. Tambiénlo es en el último tramo desde los 18 hasta los 20minutos.

El precio de un coche vadisminuyendo con elpaso del tiempo. Su

gráfica será decreciente.

Podemos calcular la velocidad de descenso hastael suelo tarda 4 minutos en hacer 50 m. Por tanto

50 m ÷ 4 min = 12’5 m/min.

Suponiendo que un móvil llevavelocidad constante (v) en su

desplazamiento (e) y que tarda un determinado tiempo (t), se cumple:

t

ev =

Tema 4: Gráficas

105

2. En la vida real un gráfico muestra casi a simple vistaposibles situaciones anómalas

Utilizando nuevamente las nociones básicas de esta secciónpodemos analizar cualquier gráfica.

��

a) Inicialmente podemos ver que el volumen de airecontenido en los pulmones es casi de 1’5 l.b) El máximo es de 4 litros y se alcanza a los 5 segundosde la espirometría.c) El periodo de inspiración es el periodo de tiempo en elque el volumen de aire en los pulmones se incrementa, esdecir cuando la gráfica es creciente; entre los 0 y los 5segundos. Recíprocamente la espiración es cuando elvolumen disminuye y por tanto entre los 5 y los 12segundos en los que la gráfica es decreciente.d) Una espirometría más achatada indicaría pocacapacidad de inspiración y debería ser revisada por unmédico.En cambio más pequeña significaría pulmones máspequeños que no tiene porqué ir directamente relacionadocon un mal funcionamiento.


En la siguientegráfica el primer y elúltimo tramo soncrecientes, el segundoes decreciente y eltercero es constante.

Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones seinspira todo lo posible y después se espira tan rápidocomo se pueda en un “espirómetro”. Al realizar unaespirometría se obtiene la gráfica:

a) ¿Cuál es el volumen inicial?

b) ¿Cuál es la capacidad máxima de lospulmones?

c) ¿Cuánto tiempo dura la inspiración?¿Y la espiración? ¿Cómo es (creciente odecreciente) la gráfica en cada una deesas situaciones?

d) ¿Considerarías normal que unapersona tenga el gráfico de su espirometría másachatada? ¿Y más pequeña pero con la misma forma?

t (s.)4 8 122 6 10

Vol (l.)

2

3

4

O

1

Tema 4: Gráficas

109

��

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 22del libro de actividades.

En nuestro caso cuando seleccionemos el tipo de gráfico ‘Líneas’ podemosmarcar la opción de ‘líneas y puntos’ que aparece en cuarta posición.A continuación marcamos ‘Terminar’ y aparecerá el gráfico:

Podemos observar:

��Presenta un mínimo en el cuarto mes.��Es decreciente hasta el cuarto mes y creciente a partir de él.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6

Serie1

Tema 4: Gráficas

110

��

• Los ejes coordenados son perpendiculares entre sí y el horizontal se llama eje de abscisasy el de ordenadas es el vertical.

• Cada punto tiene dos coordenadas, la primera indica la abscisa y la segunda la ordenada.

• La variable independiente se representa en el eje OX y son los valores que no sonmodificados por los valores de la otra magnitud.

• Los valores que varían al cambiar la otra magnitud se dice que son de la variabledependiente y se representan en el eje de ordenadas.

• La escala de cada eje debe elegirse de forma que quepan todos los valores en el eje y quela separación entre cada marca sea la misma.

• Los máximos y los mínimos de una gráfica son los valores donde a su alrededor la gráficaestá por debajo o por encima respectivamente.

• Si al avanzar en el eje de abscisas la gráfica también sube en ordenadas se dice que escreciente, y si baja es decreciente. Si no sube ni baja se dice que es constante.

• Podemos analizar gráficas simultáneas. Para ello normalmente lo más importante es ver laevolución de una frente a la otra.

• Las hojas de cálculo en los ordenadores personales permiten hacer con gran rapidezrepresentaciones gráficas.

Tema 5: Estadística y Probabilidad

112

El segundo tema que vas a estudiar en esta unidad, es la Probabilidad, que va ligado al azar ya la incertidumbre y pretende cuantificar o medir la posibilidad de que sucedan cada uno delos posibles resultados de unaexperiencia concreta y, enconsecuencia, tomar unasdecisiones u otras.

Así, si sabemos que la probabilidad de que lluevael martes en Mallorca es mayor que la de que lohaga el lunes, planificaré mi excursión para esteúltimo.

��

� A identificar e interpretar informaciones estadísticas queencuentres en medios de comunicación, en facturas(compañía hidroeléctrica, de telefonía,…), o en otrosaspectos de tu vida cotidiana.

� A diferenciar lo seguro y cierto (un objeto cae al suelo sinada lo sujeta) de lo imprevisible (cuando un día estánublado puede que llueva, pero no es seguro) y a cuantificarla inseguridad o incertidumbre de la ocurrencia de loshechos imprevisibles.

��

...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:

� Porcentajes y proporcionalidad.

� Representación de datos en el plano y ejescoordenados.

� Redondeo de números decimales.

� Operaciones con números enteros, decimales yfraccionarios. Valor absoluto.

Con sólo un vistazo algráfico del recibo dela luz podemos sabersi en una casa se usacalefacción de gas oeléctrica, y cual es elconsumo medio deuna familia.


114

La fiabilidad de las conclusiones dependerá en gran parte de lamuestra considerada. La manera ideal de tomar una muestra esal azar, a partir de una lista numerada de toda la población,respetando su composición.

Es frecuente la utilización de encuestas para la recogida deinformación. Se trata de un proceso estadístico muy vulnerablea los factores de sesgo sobre todos si los datos a recoger no sonobjetivos sino de opinión.

Es importante considerar dónde, cómo y cuándo se realizauna encuesta:

� La entrevista personal, aunque permite realizaraclaraciones, puede coartar la sinceridad de las respuestas.

� Los entrevistadores de calle se dejan influir por el aspecto ala hora de elegir a los entrevistados.

� El entorno que rodea al encuestado (en solitario, rodeado degente, en el trabajo, en familia,…) puede influir en lasrespuestas.

� El momento también influye (la respuesta a una cuestiónsobre terrorismo puede variar si se realiza inmediata-mentedespués de un atentado).

Otro elemento importante es la forma que se dé a laspreguntas, debiendo ser claras, precisas, no tendenciosas,…

� Variable. Es la característica de la población que queremosestudiar que puede ser de los siguientes tipos:

a) Cualitativa: no puede tomar valores numéricos, nomedible.

b) Cuantitativa o numérica: medible. Si sólo puede tomarvalores aislados es discreta y si puede tomar todos losvalores de un intervalo se llama continua.

En nuestro caso los 50 alumnos han sido seleccionadosal azar teniendo en cuenta que no fueran todos delmismo centro, ni del mismo nivel, sexo, edad,…

En nuestro estudio el curso que les interesa no puedeser expresado con un valor numérico.

En nuestro caso el tiempo semanal dedicado a laformación y contabilizado en horas completas es unavariable cuantitativa discreta y las edades de losalumnos es cuantitativa continua pues pueden tomarcualquier valor comprendido entre la edad máspequeña y la mayor.

El color de los coches esuna variable cualitativa.

El número de hijos de unnúmero de familias escuantitativa discreta.

La inversión mensualrealizada en euros por

una biblioteca a lo largode 5 años es una variablecuantitativa continua,

pues, al menos en teoría,puede tomar cualquiervalor y no solo valores

aislados como en elejemplo anterior.

Si en una determinadazona queremos realizaruna encuesta de opiniónpública, la elección de lamuestra no se podríarealizar:

- Entre los padres de uncentro escolar: serestringe al estrato socialde los mismos.

- Visitando domicilios alazar por la mañana: semarginaría a lapoblación trabajadora.

- Llamando a teléfonoselegidos al azar: semarginaría a losabonados que no figurenen la lista,…

Variable estadística

Cuantitativa

Discreta

Cualitativa

Continua

Se llama intervalo alconjunto de valorescomprendidos entre dosextremos.


115

� Frecuencia absoluta de un valor o simplementefrecuencia. ( Fi ) de un valor es el número de veces que sepresenta en el total de observaciones.

� Frecuencia relativa. ( fi ) Es el cociente entre la frecuenciaabsoluta y el número total de individuos (N). Secorresponde con el tanto por uno.

� Frecuencia porcentual o porcentaje. Se obtienemultiplicando la frecuencia relativa por cien. Secorresponde con la expresión de la frecuencia relativa entantos por cien.

��

1. Ante una determinada situación, de la que hay que obtenerinformación, se decide realizar un estudio estadístico.

2. Se elabora una encuesta con la que se recogerán los datos.

3.Recogida de resultados.

4.Confección de tablas estadísticas.

Realizamos el recuento del número que aparece cada uno delos valores de la variable o frecuencia absoluta.

Las cuestiones que se han formulado en nuestro estudiohan sido las siguientes:

1. Edad.

2. Si tuvieses la posibilidad de realizar un curso formativode Informática, te interesaría que tratase sobre:

a) Procesador de textos-WORD.b) Base de datos-ACCESS.c) Hoja de cálculo-EXCEL.d) Introducción a Internet.

3. Horas semanales que podrías dedicar a estaformación

Los nuestros han sido los siguientes:

1. 24, 18, 35, 20, 25, 18, 30, 21, 19, 18, 20, 35, 28, 33, 20,18, 21, 24, 18, 19, 18, 20,20, 25, 27, 18, 29, 18, 40, 41,33, 30, 31, 35, 20, 21, 18, 19, 47, 21,35, 22, 18, 30, 41,20, 18, 25, 18, 18.

2. d), c), d), d), a), d), b), a), d), d), d), c), b), b), d), c), d),d), d), d), b), a), a), d), c), b), b), d), a), c), c), a), d), d),c), b), a), a), d), b), a), c), a), b), a), d), a), a), b), c).

3. 3, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2,2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1,3, 1, 1, 3, 2, 2.

2. Edad: variablecuantitativa continua.

3. Tipos de cursos:variable cualitativa.

4. Tiempo semanal:variable cuantitativadiscreta.

Word, Access,Excel, Internet ?

1 hora, 2horas...!!!

W

A

E

I

13

10

9

18

Xi Fi fi %


116

Identificaremos a los posibles valores de la variable comoXi y a los posibles valores de la frecuencia con Fi.Elaboraremos una tabla donde la variable aparezca en ordencreciente.

A continuación completamos las tablas con el cálculo, paracada valor de la variable, de la frecuencia relativa (fi) y laporcentual (%)i.

Además, añadiremos una última fila con la suma total decada una de las columnas.

En nuestro caso, afectan a los datos sobre el tiempo yel curso.

La tabla del tiempo quedaría

Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi)

1 22

2 18

3 9

4 1

Del mismo modo la tabla del curso sería

Curso (Xi) Frecuencia (Fi)

WORD 13

ACCESS 10

EXCEL 9

INTERNET 18

En nuestro estudio la tabla de las edades es de datosagrupados por tramos porque los valores puedenvariar desde 18 años hasta 47 años y 364 días

Edades (Xi) Frecuencia (Fi)

[18 - 24[ 28

[24 - 30[ 8

[30 - 36[ 10

[36 - 42[ 3

[42 - 48[ 1

Dependiendo del tipoy cantidad de losdatos, los valores enlas tablas podránaparecer como:

Datos aislados. Seutilizan cuando elnúmero de valoresque puede tomar lavariable es pequeño osi se trata de unavariable cualitativa.

Datos agrupados entramos o intervalos.Cuando el númerode valores que puedetomar la variable esmuy elevado o setrata de una variablecontinua se agrupanen tramos o interva-los.

La frecuencia relativa decada valor se calcula:

fi = Fi / NLa frecuencia porcentualse halla

(%) i = fi x 100

El valor 24 está incluidoen el segundo tramopero no en el primero, el30 en el tercero y no enel segundo y asísucesivamente.


117

En nuestro estudio las tablas completas quedarán así:

��

Tiempo(Xi)

Frecuencia(Fi)

F. Relativa(fi)

%

1 22 0’44 44

2 18 0’36 2

3 9 0’18 18

4 1 0’02 2

TOTALES N=50 1 100

Curso(Xi)

Frecuencia(Fi)

F. Relativa(fi)

%

WORD 13 0’26 26

ACCESS 10 0’20 20

EXCEL 9 0’18 18

INTERNET 18 0’36 36

TOTALES N= 50 1 100

Edades(Xi)

Frecuencia(Fi)

F. Relativa(fi)

%

[18-24[ 28 0’56 56

[24-30[ 8 0’16 16

[30-36[ 10 0‘2 20

[36-42[ 3 0’06 6

[42-48[ 1 0’02 2

TOTALES 50 1 100

Como N es el númerototal de datos debecoincidir con la sumade las frecuencias.Esto se puede expresarasí:

∑=

=n

ii NF

1

El signo �� sumatorio)expresa que se ha derealizar la suma detodos los valores quese indican con elsubíndice, desde 1hasta n.

Observa que la sumade las frecuenciasrelativas da uno.

∑=

=n

iif

1

1

Por la misma razón lasuma de todas lasfrecuencias porcentua-les da 100.

∑=

=n

ii

1

100%

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 1 propuesto enel libro de actividades.


120

� Pictogramas. Se representan los datos mediante dibujosalusivos el tema estudiado. Se pueden realizar:

* Utilizando un dibujo de un tamaño y valor concreto,repitiéndolo las veces necesarias, hasta representar el valorde cada frecuencia.

* Utilizando un solo dibujo para cada valor de la variable,modificando el tamaño proporcionalmente según lafrecuencia.

Otros tipos de gráficos estadísticos que no son utilizables ennuestro estudio pero son frecuentemente empleados enCiencias Sociales son:

� Cartogramas. Se utilizan cuando los datos vienen referidosal estudio de áreas geográficas. En estos casos, sobre elmapa de la zona estudiada, se representan los datosutilizando diferentes colores o rellenos, de modo que a cadauno le corresponde un intervalo de valores.

En nuestro estudio podemos representar las preferenciaspor los cursos así:

WORD ACCESS EXCEL INTERNET

13 10 9 18

Comarcasproductoras deuva de mesa

Comarcasproductoras deuva de vino

Comarcas con pocaproducción de uva

��13

��10

��9

��18

Cuando el valor de lavariable se duplica, siduplicamos todas lasdimensiones del dibujoque la representa, elvolumen de éste quedamultiplicado por 8 y elefecto óptico de creci-miento que transmite esmayor que el real.Obsérvalo con los dibujoscorrespondientes a losvalores de la variable 9 y18.


122

6.Una vez completa la tabla debemos calcular medidas oparámetros estadísticos que nos den una informaciónresumida y global del conjunto de todos los datos. Estainformación puede estar referida a dos aspectos distintos yda lugar a dos tipos de parámetros estadísticos:

� Parámetros o medidas centrales.

� Parámetros o medidas de dispersión.

Pasamos al estudio de cada una de estas medidas.

MEDIDAS CENTRALES

Números que intentan agrupar en uno solo a todos los que sehan obtenido del estudio estadístico, son: media, mediana ymoda.

� Media o media aritmética. Seguro que la has calculadoalguna vez para sacar la media de tus gastos (tratas deutilizar un solo número que sea representativo de tus gastos)o calcular lo que le corresponde pagar en una cena con tusamigos a cada uno, si decidís pagar entre todos y a partesiguales.

Para calcular la media se suman todos los datos y se dividepor el número total de éstos. Se representa por x .

Al utilizar operaciones aritméticas únicamente se puedeaplicar a estudios de variable cuantitativa.

En el caso de valores agrupados en intervalos, se tomarápara el cálculo el valor central del intervalo llamado marcade clase.

En nuestro ejercicio deberemos utilizar este recurso en elapartado de las edades para no encontrarnos conexcesivas filas de datos:

Si tienes muchos datos agrupados por sus frecuencias laprimera parte del cálculo de la media se simplificamultiplicando cada dato por su frecuencia y luego sumandoel resultado. Para facilitar este trabajo se suele añadir unanueva columna a la tabla estadística.

Si los gastos de aguade este trimestreascienden a 57 euros,sabemos que todoslos meses no hemosgastado la mismacantidad de agua,pero diremos que lamedia de cada mes esde 19 euros

193

57= ��

Si consideramos elintervalo [1’85 - 1’95[,la marca de clase es lamedia de los extremos:

.90'12

95'185'1=

+

[18-24[ � (24+18) / 2 = 21[24-30[ � (24+30) / 2 = 27[30-36[ � (30+36) / 2 = 33[36-42[ � (36+42) / 2 = 39[42-48[ � (42+48) / 2 = 45

Calculemos la mediade la siguiente serie:

1,1,1,2,2,3,3Podremos proceder así:

7

3322111 ++++++=x

o bien así:

7

232231 ×+×+×=x


123

� Mediana. Es el valor que ocupa la posición central despuésde haber ordenado todos los valores, por esto sólo se puedeaplicar, igual que la media, en variables cuantitativas. Si elnúmero de valores es par se tomará como mediana a lamedia de los dos valores centrales. Suele representarse porMe.

Calculamos la media para las variables cuantitativasde nuestro estudio. Añadimos la columna con losproductos Xi · Fi .

Tiempo(Xi)

Frecuencia(Fi)

Xi · Fi

1 22 22

2 18 36

3 9 27

4 1 4

TOTALES N=50 Σxi=89

x = =8950

178'

Pasemos al estudio de las edades. En este casoañadiremos dos columnas, una con las marcas de clasey otra con los productos Xi · Fi.

Edades (Xi) Marca declase

Frecuencia(Fi)

Xi · Fi

[18-24[ 21 28 588[24-30[ 27 8 216[30-36[ 33 10 330[36-42[ 39 3 117[42-48[ 45 1 45

TOTALES N=50 Σxi=1296

92'2550

1296==x

1’7 8 no se correspondecon ningún valor de lavariable ¡así es lamedia!

Fíjate que son mucho másnumerosos los alumnosjóvenes (28 alumnos de21 años), pero como en elcálculo de la mediaintervienen todos losdatos, la media sedispara a 25’92


124

� Moda. Es el dato que más se repite. Se puede aplicar entodos los tipos de variables y es la única medida central quese puede calcular si la variable es cualitativa. Se representacomo Mo.

Puede existir más de una moda en un mismo estudio.

Si los datos están agrupados por sus frecuencias secorresponde con el dato que presenta mayor frecuencia.

Calculemos la mediana en nuestro estudio, en los datosreferidos a tiempos y a edades.

Al ser en ambos casos 50 valores, número par, habrá quecalcular la media de los valores que ocupen el 25º y 26ºlugar (24 datos a la derecha, 25 y 26 centrales, 24 datos ala izquierda).

En el caso de los tiempos los primeros 22 valores son 1 ydel puesto 22 al 40 tienen valor 2, luego las posiciones25ª y 26ª que nos interesan tienen ambas un valor de 2. Lamediana será la media de ambos valores

Tiempo(Xi)

Frecuencia(Fi)

1 22

2 18

3 9

4 1

22

22=

+=Me

En el caso de los tiempos, tras un razonamiento similar,concluiremos que la mediana toma un valor de 21, pueslos valores que ocupan los puestos 25º y 26º están en elprimer grupo de frecuencias. Me= [18-24[.

Edades(Xi)

Marca declase

Frecuencia(Fi)

[18-24[ 21 28

[24-30[ 27 8

[30-36[ 33 10

[36-42[ 39 3

[42-48[ 45 1

TOTALES N=50

En una oficina lossueldos de 5 empleadosson:

700 �

700 �

800 �

1.000 �

7.500 €La media es:

140.25

10700x ==

La mediana es:

Me = 800 �

Es evidente que en estecaso la mediana es másrepresentativa.

Si los sueldos son:700 �

800 �

1.000 �

7.500 ��

La media es:

000.25

000.10x == �

La mediana será la mediade los dos valorescentrales:

9002

000.1800=

+=Me �

Media:*V. Cuantitativas.*Tiene en cuenta todoslos datos.*Si hay datos extremos lamedia no será muyrepresentativa.*Si no se puede calcularla marca de clase,tampoco se podrácalcular la media.


127

� Varianza y Desviación típica. Son valores que tambiénaportan información sobre el grado de separación de losdatos respecto a la media.

La desviación de cada dato a la media también se puedemedir utilizando el cuadrado de la distancia (xi -- )2. Lamedia de todas estas desviaciones es la varianza.

Una vez calculadas las desviaciones hay que calcular la media aritmética de todasellas. Para esto añadimos la columna del producto de las desviaciones (Di) por lasfrecuencias (Fi), o sea, Di · Fi y la suma de todos estos productos en la casillainferior:

Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi) Di = | Xi -x | Di · Fi

1 22 0’78 17’16

2 18 0’22 3’96

3 9 1’22 10’98

4 1 2’22 2’22

TOTALES N=50 Σ |xi - x | = 34’32

69'05032'34

==DM

Esto significa que los valores de los tiempos se separan una media de 0’69 horas de lamedia obtenida para todos los datos.

De igual modo procedemos en el caso del estudio de las edades:

Edades (Xi) Marcas declase

Frec. (Fi) Di Di · Fi

[18-24[ 21 28 4’92 137’76

[24-30[ 27 8 1’08 8’64

[30-36[ 33 10 7’08 70’80

[36-42[ 39 3 13’08 39’24

[42-48[ 45 1 19’08 19’08

TOTALES N=50 Σ |xi - x | = 275’52

5104'550

52´275 ==DM

Esto significa que los valores de las edades se separan una media de 5’5104 años dela media obtenida para todos los datos.

σ(sigma) x


128

Esta fórmula, mediante adecuadas transformaciones seconvierte en esta otra que simplifica mucho los cálculos:

En el cálculo de la varianza las unidades quedan elevadas alcuadrado (m2 si se trata de longitudes, s2 si se trata detiempo, …).Para evitar esto se calcula la raíz cuadrada de lavarianza con lo que obtenemos otro parámetro llamadodesviación típica.

La ventaja es que se puede obtener directamente con lacalculadora científica. Este procedimiento te lo vamos aexplicar a continuación en el siguiente apartado.

N

fxx

N

xxxxxxVarianza

n

iii

i∑

=

−=

−++−+−= 1

222

22

1

)(()(...)()(

21

2

xN

fxVarianza

n

iii

−⋅

=∑

=

VarianzatípicaDes =.

En nuestro estudio, la tabla para el cálculo de la desviación típica de los tiempos

aplicando la segunda fórmula necesitaría incorporar dos nuevas columnas y,

teniendo en cuenta que 78'1=x y que 1684'32 =x , quedaría:

Tiempo(Xi)

Frecuencia (Fi)

Xi· Fi Xi2

· Fi

1 22 22 22

2 18 36 72

3 9 27 81

4 1 4 16

TOTALES

N=50 191

6516'01684'350

191=−=Varianza

9'08972'06516'0. ≈==típicaDes

De igual modo procederíamos en el caso del estudio de las edades.


129

��

No todas las calculadoras científicas funcionan de la mismaforma. Aquí te vamos a indicar los pasos que hay que seguircon la mayoría de ellas para trabajar la estadística. Si tucalculadora no responde a estas órdenes debes consultar sumanual de funcionamiento o al profesor.

��

7. Conclusiones y toma de decisiones

Para empezar debemos saber poner la calculadora enModo Estadístico. Para ello debemos pulsar la tecla SD oSTAT, según modelos.

Modo Estadística: SDIntroducción de datos: 1 x 22 DATA � 1

2 x 18 DATA � 23 x 9 DATA � 34 x 1 DATA � 4

Resultados: Número de datos: n � 50Media: x � 1’78Desviación típica: σn � 0’8

Para introducir los datosdebemos teclear cada uno deellos y pulsar la tecla X oDATA, que también suelecoincidir con la tecla = o M+.

No de datos introducidos. n_ Media aritmética:… xDesviación típica..…. σn Suma de los valores Σxi

En algunas calculadoras parausar determinadas teclascomo x es necesario pulsarantes la tecla SHIFT o INV.

Las conclusiones que se obtienen del estudio son:

1. El 96% de los alumnos tienen una edad inferior a los 38 años, con una edad media de25’92 años y con una desviación media de 5’5104 no muy elevada, por lo cual larentabilidad educativa estaría prácticamente garantizada.

2. Las gráficas de las preferencias por un tipo u otro de curso no están muy claras y,aunque la moda sea a favor de INTERNET las frecuencias están muy repartidas entodos los valores de la variable.

3. En cuanto al número de horas la media se sitúa en 1’78 horas con una desviaciónmedia de solo 0’67.

Concluimos pues, que la inversión podría hacerse impartiendo en los centros de FPAcursos semanales de dos horas de duración sobre los siguientes temas: WORD,ACCESS, EXCEL e INTERNET.



130

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDDLos orígenes de la Probabilidad datan del siglo XVII y están ligados a los juegos de azar. Trasel desarrollo matemático de la teoría, desde finales del siglo XVIII, se viene aplicando a otrasciencias y a campos como la sanidad, los seguros, los negocios,…

La probabilidad se encarga de analizar la facilidad que hay de obtener un resultado concretoen determinadas situaciones, siendo su uso frecuente en la vida real. Las compañíasaseguradoras hacen probabilidad cuando estiman el riesgo de accidente teniendo en cuentaaspectos como la edad, el sexo.

Inicialmente debemos decidir sobre qué cosas pueden hacerse estudios probabilísticos y sobrecuáles no. Con posterioridad tendremos que saber calcular las posibilidades de cada resultado.

Antes de comenzar, como ya hemos mencionado, debes conocer algunas palabras que nospermitan comunicarnos en este tema.

Cuando realizamos un experimento, éste puede ser, aleatoriosi el resultado no puede ser previsto, como por ejemplo lanzaruna moneda y observar si sale cara o cruz, o lanzar un dado yanotar el número que se obtiene.

También podemos tener un experimento determinista si elresultado podía haber sido previsto, como por ejemplo mediruna habitación, o soltar una pelota desde 10 m. de altura yanotar el tiempo que tarda en caer.

Cuando realizamos un experimento aleatorio cada uno de losresultados que podemos obtener se llama suceso elemental.Por ejemplo ‘salir cara’ en el lanzamiento de una moneda.Otro ejemplo puede ser el lanzamiento de un dado en el quetenemos 6 sucesos elementales diferentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Llamamos suceso compuesto o simplemente suceso al grupode varios sucesos elementales, como por ejemplo ‘salirpar’(2,4,6) es un suceso del lanzamiento de un dado, o ‘salirun número primo’(1,2,3,5) .

Otros tipos de sucesos que deberíamos conocer son:

� El suceso contrario como por ejemplo ‘no salir par’ es elcontrario de ‘salir par’.

� El suceso imposible que es el que nunca puede ocurrircomo por ejemplo ‘obtener un 7’ en el dado.

� Por último el suceso seguro que engloba todos los sucesoselementales y por tanto sucederá con toda certeza.

¡Apunta!2 m ancho 2´ 5 largo

Gana el primeroque obtenga unnúmero par

��

Ganas si tesale un 7


131

�

��

Este fenómeno de acercamiento al efectuar un elevadonúmero de experimentos y observar como la frecuenciarelativa de cada uno de los sucesos se va acercando a un valorse llama Ley de los Grandes Números o Estabilidad de laFrecuencia.

El número al que se aproxima la frecuencia relativa de unsuceso se le llama Probabilidad de ese suceso

Inicialmente podemos pensar en hacer todos los cálculoscomo en la actividad anterior efectuando gran cantidad delanzamientos y hallando la frecuencia relativa de cadaposibilidad. Pero en determinados casos donde todos lossucesos elementales tienen las mismas posibilidades (sucesosequiprobables) se puede aplicar la Regla de Laplace queafirma que en estas situaciones la probabilidad de un suceso

1. Lanzamos una moneda 100 veces y anotamos cuántasocasiones se obtiene ‘cara’ y cuántas ‘cruz’. Estasanotaciones debemos hacerlas en una tabla defrecuencias como la siguiente:

Frec. Abs. (Fi)Frec. Rel.

fFNi

i=

Cara (C)

Cruz (X)

Suma N=100

Si seguimos lanzando la moneda hasta 500 vecesobservamos que las frecuencias absolutas de ‘C’ seacercan a 250 mientras que las relativas a 0’5.

¿Quiénanota?

Frecuencia absoluta de` cara´ es el número dveces que te saldrá ` cara´Frecuencia absoluta de` cruz´ , el número de veceque te saldrá ` cruz´ .

Frecuencia relativa es eltanto por uno.

En nuestro ejercicio la probabilidad del suceso ‘cara’debe estabilizarse entorno al valor:

( ) .5'02

1

500

250===CP

2. Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesoselementales posibles al efectuar el lanzamiento de undado de 6 caras y halla la probabilidad de obtener‘número primo’.


132

es el cociente entre el número de casos favorables y elnúmero de posibles, es decir

( )P SCasos Favorables

Casos Posibles= .

Cuando deseamos calcular la probabilidad de un sucesocompuesto, ésta es igual a la suma de los sucesoselementales que lo componen.

En ocasiones podemos utilizar la probabilidad del sucesocontrario.

Observa que la suma de la probabilidad de un suceso y la desu contrario es 1. Por tanto para calcular la probabilidad deun suceso podemos utilizar la de su contrario si su cálculo esmás sencillo.

La Regla de Laplace no es aplicable, tal y como hemos vistoantes, a situaciones donde los sucesos elementales no sonequiprobables y para mostrar un caso en el que aparece estasituación proponemos la siguiente actividad:

Cuando inicialmente la probabilidad de los sucesos no esconocida y por tanto no equiprobable para aplicar la Regla deLaplace podemos calcular la probabilidad de cadaposibilidad elaborando un trabajo empírico (probar muchasveces):

Utilizando este criterio podemos concluir que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P P1 2 3 4 5 616

= = = = = = .

También podemoshacerlo así:

Casos posibles: 1, 2, 3, 5

Casos favorables: 1, 2, 3, 4, 5, 6

P(nº primo) .3

2

6

4== De este modo podemos calcular la probabilidad de obte-

ner un número primo en un dado, siendo ésta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P n primo P P P Pº •= + + + = = =1 2 3 5 416

46

23

.

3. Si lanzamos una chincheta sobre una mesa tenemos dosposibles posiciones de caída:

� Con la punta hacia arriba (⊥)� Con la punta hacia abajo (∇).

¿Cuál es la probabilidad de que caiga en cada una de lasposiciones?

3

1

6

2)6()4()()( ==+== PPprimosnlosexceptoTodosPprimoNOP os .

La suma de lasprobabilidades de unsuceso y de su contrarioes 1.

( ) ( ) 1=+ SPSP .

Por tanto

( ) ( )SPSP −= 1 .


133

��

Efectuamos 100 lanzamientos (o más) y anotamos elnúmero de veces que cae de cada posición la chinchetaen una tabla de frecuencias (absolutas y relativas)

Frec. Abs.(Fi) Frec. Rel.

fFNi

i=

(⊥)

(∇)

TOTAL N=100 Σ fi = 1

Si consideramos que el número de lanzamientos ya essuficiente para hacer una estimación, por la Ley de losGrandes Números, aproximaremos cada una de lasprobabilidades por la frecuencia relativa de cadaposición. Por tanto

( ) ( )P P⊥ = ∇ =

De la relación existenteentre frecuencia relativa yprobabilidad podemosafirmar:1. La probabilidad de un

suceso se encuentraentre 0 y 1.

2. La suma de lasprobabilidades detodos los sucesos esigual a 1.

3. La probabilidad de unsuceso es 1 menos laprobabilidad delsuceso contrario.



134

��

� La Estadística es útil cuando queremos obtener datos de un conjunto de elementos, seano no personas.

��Se llama variable a la característica que queremos estudiar.

��Si la variable se puede expresar con números la llamaremos cuantitativa y si no sepuede expresar con números la llamaremos cualitativa.

��Al conjunto de elementos que vamos a estudiar se le llama población. Si éste conjuntoes muy grande utilizaremos un grupo extraído de la población que sea representativode ésta al que llamaremos muestra.

��Para recoger los datos se elabora una encuesta.

��Una vez recogidos los datos se deben seguir los siguientes pasos:o Recuento.o Elaboración de tablas de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.o Selección y elaboración de la gráfica adecuada.o Cálculo de parámetros centrales y de dispersión.o Análisis de los resultados, conclusiones y tomas de decisiones.

��Los errores en la construcción de las gráficas, a veces intencionados, pueden llevar ainterpretaciones equivocadas.

� La Probabilidad es factible aplicarla siempre que estemos ante experimentos aleatorios.Los experimentos deterministas deben ser evaluados o investigados.

��La Regla de Laplace se puede aplicar si los sucesos son equiprobables.

��La Ley de los Grandes Números afirma que la frecuencia relativa de un suceso enun gran número de pruebas aproxima a la probabilidad de ese suceso.

��Debemos tener presente que los sucesos aleatorios no tienen memoria y laprobabilidad de que algo suceda en un experimento no depende nunca del resultado dela prueba anterior.

Tema 6: Álgebra

136

La relación matemática que existe entre los datos del problema es:

Consumo mes 1 + Consumo mes 2 + Consumo mes 3 = Consumo total

Lo podremos expresar utilizando el lenguaje algebraico de la siguiente forma:

2 (x +309) + (x +309) + x = 12927

Este lenguaje, simbólico y universal, ha contribuido al desarrollo posterior de otras ramas delas Matemáticas y de otras ramas del saber científico. Las fórmulas que utilizamos en áreascomo la Geometría o en ciencias como la Física o la Química no son más quegeneralizaciones de comportamientos de algunos fenómenos expresados mediante lenguajealgebraico.

��

� A “traducir” situaciones cotidianas problemáticas al lenguajealgebraico, después de haberte familiarizado con él.

� A resolver estas situaciones con la aplicación de ecuacionesde primer grado.

� A reconocer en las fórmulas geométricas, físicas,químicas,…expresiones algebraicas.

��

...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:

� Operaciones básicas con números positivos, negativosfraccionarios y decimales.

� Relaciones que se establecen entre los elementos deuna suma y de una multiplicación.

� Prioridad de las operaciones encadenadas y utilizaciónde los paréntesis para alterar el orden.

� Conceptos de doble, mitad, triple, tercera parte,…

111... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS ÁÁÁLLLGGGEEEBBBRRRAAA

La resolución matemática de situaciones problemáticas puedetener diferentes enfoques:

� Por tanteo probando posibles soluciones hasta dar con laverdadera.

Tema 6: Álgebra

139

Las ecuaciones que tienen la misma solución se llamanecuaciones equivalentes.

Las ecuaciones7a = 4’97

y

14a = 9’94

tienen la misma solución a = 0’71, luego son equivalentes.

Para resolver una ecuación consideraremos que, al tratarse deuna igualdad, funciona como una balanza en equilibrio dondelos platillos de la balanza se corresponden con los miembros dela ecuación. Para que el equilibrio de la balanza se mantenga elpeso a ambos lados ha de ser el mismo.

De esta forma la ecuación x + 2 = 7 la podremos representarcomo:

En una balanza al poner o quitar peso de un lado sedesequilibra, pero se vuelve a alcanzar el equilibrio si la mismaoperación (quitar o poner el mismo peso) se realiza en el ladocontrario.

7x2

Para resolver unaecuación nuestro objetivoha de ser calcular el valorde la incógnita x. Esto se

consigue pasando porvarias situaciones de

equilibrio hasta dejar solala incógnita a un lado de la

balanza.

72

x

x

2 5 5x

2

Al quitar la pesa de valor 2 del primer platillo la balanzase desequilibra.

Al quitar la pesa de valor 2 del segundo platillo la balanzase vuelve a equilibrar.

Observa:7 = 5 + 2

� Cada uno de los ladosde una igualdad sellama miembro y cadauno de los sumandos sedenomina término.

� Los términos en los queaparece la incógnita sellaman términos en x yal resto términosindependientes.

� Los números quemultiplican a laincógnita se llamancoeficientes. Cuandono aparece ningúncoeficiente se entiendeque éste es 1.

3x Coeficiente 3-4x Coeficiente –4x Coeficiente 1

Tema 6: Álgebra

140

Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:

x + 2 = 7x + 2 – 2 = 7 – 2

x = 5

El proceso por el cual dejamos sola a la incógnita en unmiembro de la ecuación se conoce como despejar la incógnita.

Si a la incógnita le faltara una parte para estar completa elproceso sería similar.

Sea la ecuación:x – 5 = 37

Finalmente quedaría:

Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:

x – 5 = 37

x – 5 + 5 = 37 + 5

x = 42.

x

x5

x - 5

37x

Completamos x añadiendo el trozo de valor 5, y paramantener en equilibrio la balanza, añadimos un valor igualen el otro platillo:

42x

37x5

5

37 +

=

42

5

Tema 6: Álgebra

142

Resolver una ecuación consiste en despejar la incógnita pasandopor diferentes ecuaciones equivalentes aplicandoconvenientemente las reglas anteriores.

Para simplificar la resolución de ecuaciones se siguen lossiguientes pasos con los que resolveremos otro ejemplo:

3x – 4 (x – 2 ) = 5x + 4

1. Quitar paréntesis.

3x – 4x + 8 = 5x + 4

2. Agrupar términos que contengan la incógnita y términosindependientes a ambos lados del igual.

3x – 4x + 8 – 8 – 5x = 5x + 4 – 8 – 5x3x – 4x – 5x = 4 – 8

3. Despejar la incógnita dejándola sola a un lado del igual.

- 6x = - 4

6

4

6

6

−

−=

−

− x

x =3

2

6

4=

� Resolvamos las ecuaciones de nuestrosejemplos:1.

71'07

97'4

7

7

97'47

=

=

=

a

a

a

2.a + 0’12 = 0’83a + 12 – 12 = 0’83 – 0’12a = 0’71

3.7a + 3(a + 0’12) = 7’467a + 3a + 0’36 = 7’4610a + 0’36 = 7’4610a = 7’46 – 0’3610a = 7’1a = 7’1 : 10 = 0’71

En el ejemplo 3 se realizanlas siguientes operaciones:

� Se quitan los paréntesisaplicando la propiedaddistributiva:

3(a + 0’12) = 3a + 0’36

� Se agrupan los términoscon a en un lado del igual:

7a + 3a + 0’36 = 7’46 10a + 0’36 = 7’46

� Se omiten las operaciones

0’36 – 0’36 y10

10a

cuyo cálculo se realizamentalmente.

Las operaciones en grisse suelen omitir y serealizan mentalmente.

Tema 6: Álgebra

143

En ocasiones las relaciones que se establecen son máscomplejas e incluyen denominadores. Veamos un ejemplo y elproceso a seguir para su resolución que incluirá la eliminaciónde los denominadores.

43

1

2

2=

+−

− xx

a. Multiplicamos los dos miembros de laecuación por un múltiplo común a todos losdenominadores, siendo muy práctico el mínimocomún múltiplo. En nuestro caso m..c.m.(2, 3,1) = 6.

4·63

1x-

2

x-2·6 =

+

4·63

)1(6

2

)2(6=

+−

− xx

b. Quitamos denominadores realizando loscocientes del número por el que hemosmultiplicado ambos términos y losdenominadores. Siempre dará valores enterospues nos hemos asegurado de que fuera unmúltiplo común. En este caso las divisiones

son: 32

6= y 2

3

6= y la ecuación queda

24)1(2)2(3 =+−− xx

c. Queda reducida a una ecuación del mismo tipoque las anteriores y la resolvemos de la mismaforma.

��

��

��

��

��

��

�� Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 4 a 7 propuestos en el libro de actividades.

La segunda ecuaciónpodríamos haberla calculadomentalmente y haber pasadodirectamente a la tercera.

5/195

195

19

5

5

195

162423

16232416231236

241236

−=−

=

−=

−

−

=−

+−=−−

+−++=+−++−−−

=−−−

x

x

x

xx

xxxxxx

xx

Otra forma de resolver lasecuaciones con denominadores

es pasar a la forma decimal.

43

1

2

2=

+−

− xx

4)33'033'0(5'01 =+−− xx433'033'05'01 =−−− xx

001'483'0

33'3

33'383'0

33'01433'05'0

−=−

=

=−

+−=−−

x

x

xx

Observa que los resultados sonaproximados pero no

exactamente iguales. Esto esdebido al redondeo que hemos

realizado en el paso a decimalescuando no es exacto.

Tema 6: Álgebra

151

Datos e incógnita.

Edad actual Hace 8 añosDani x + 5 x + 5 – 8 = x - 3Sergio x x - 8

Hace 8 años la edad de Dani era el doble que lade Sergio.

Ecuación y resolución.

Podemos relacionar los datos igualando lasedades hace 8 años. Para poder igualarlastendremos que multiplicar la de Sergio por dos.

x – 3 = 2(x – 8)x – 3 = 2x – 16x – 2x = -16 + 3-x = -13x = -13/-1 = 13

Solución.

Sergio tiene 13 años y Dani 18 años.

2. Problemas de recorridos.

En estos problemas se hace referencia a móviles querealizan los mismos recorridos, bien en el mismo sentido oen sentido contrario, con diferentes velocidades y momentosde salida, e interesa el lugar y momento de encuentro.

Veamos un ejemplo:

Un padre y un hijo, aficionados al ciclismo, quieren hacerel mismo recorrido sobre un carril bici. El padre es máslento que el hijo y decide salir 30 minutos antes del puntode partida. Interesa saber a qué distancia de la salida loalcanzará el hijo si los velocímetros marcan velocidadesde 20 Km/h y 32 Km/h respectivamente y suponemos quela velocidad de ambos es constante.

Para resolverlo aplicamos la fórmula e = v · t yexpresamos adecuadamente los tres datos para cada unode los móviles, en este caso padre e hijo.

Relación entre las edadesde los hermanos a lo largodel tiempo:

Edades Relación1 y 6 Seis veces2 y 7 5 años más3 y 8 5 años más4 y 9 5 años más5 y 10 Doble6 y 11 5 años más7 y 12 5 años más8 y 13 5 años más9 y 15 5/310 y 16 5 años más11 y 17 5 años más12 y 18 3/2….. …..

e = v · tFórmula que relacionaespacio, velocidad ytiempo en el movimientouniforme.

Tema 6: Álgebra

152

Gráfico. Siendo A el punto de partida y B donde seproduce el alcance:

Datos e incógnita.

Velocidad Tiempo EspacioPadre 20 x 20xHijo 32 x - 0’5 32(x - 0’5)


Podemos relacionar los datos igualando losespacios recorridos, ya que si han salido delmismo punto, en el momento en que se encuentranhan recorrido el mismo espacio.

20x = 32(x –0’5)20x = 32x – 1620x - 32x = -16-12x = -16x = -16 / -12 = 4 / 3

Solución.

Se encuentran a los 4/3 de hora de haber salido elpadre y a 60/3 de km (20 km) del punto de salida.

Si el problema plantease que los ciclistas salen almismo tiempo de dos puntos separados entre sí por 104km y con sentido opuesto y siguiese interesando elmomento y el lugar donde se encuentran la resoluciónsería:

Gráfico. Siendo A y B los puntos de partidarespectivamente y C el punto donde se produce elencuentro:

El carril-bici es unabuena solución para quelos aficionados alciclismo disfruten de estedeporte sin correrriesgos.

Bt = xe = 20x

e = 32(x - 0’5)t = x - 0’5

A

Hijo

Padre

Tema 6: Álgebra

153

Datos e incógnita.

Velocidad Tiempo EspacioPadre 20 x 20xHijo 32 x 32x


Podemos relacionar teniendo en cuenta que lasuma de los espacios recorridos es de 104 km.

20x + 32x =10452x = 104x = 104/52 = 2

Solución.

Se encontrarán a las dos horas, a una distancia de 40km del padre y 64 del hijo.

3. Problemas de números.

En estos problemas se hace referencia a relacionesestablecidas entre los números. Es necesario conocer elsignificado de números pares (múltiplos de dos), númerosconsecutivos (números enteros sucesivos),…

Veamos un ejemplo:

La suma de dos números enteros consecutivos es 37. ¿Dequé números se trata?.

Para resolverlo hemos de tener presente que dos númerosconsecutivos son un número y su siguiente.

Datos e incógnita.

1er nº x2º nº x+1

A

C

B

Padre Hijo

t = xe = 20x

t = xe = 32x

104 km

e = 20x e = 32x

Tema 6: Álgebra

154


Podemos relacionar los números según elenunciado del problema.x + x + 1 = 372x = 37 – 12x = 36x = 36/2 = 18

Solución.

El primer número es el 18 y el segundo el 19.

��

��

� Tecla +

Además de ser la tecla que se utiliza para sumar, si se oprimedos veces, cada ver que oprimamos la tecla = sumará al númeroque aparezca en pantalla el que hallamos indicado.

3 + + 2 = = =

En pantalla aparecerá: 5, 7, 9, …

� Tecla X

Además de ser la tecla que se utiliza para multiplicar, si seoprime dos veces, cada vez que oprimamos la tecla =multiplicará al número que aparezca en pantalla el que hayamosindicado.

3 x x 2 = = =

En pantalla aparecerá: 6, 12, 24, …

Se obtienenseries a partirde la suma

Se obtienenseries a partirdel producto

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 15 a 27 propuestos en el libro de actividades.

Tema 6: Álgebra

155

��

� El Álgebra va a permitirnos una nueva forma de resolución de problemas mediante el usodel lenguaje algebraico y las ecuaciones.

� El lenguaje algebraico permite expresar situaciones cotidianas de manera simplificada yreducida, utilizando números, letras y los signos de las operaciones. Las letras van asimbolizar cantidades desconocidas.

� Cuando las expresiones se relacionan mediante el signo = fijando determinadascondiciones obtenemos una ecuación.

� Resolver una ecuación es hallar el valor de la letra o incógnita para que se cumplan lascondiciones que determina la igualdad.

� Los pasos para resolver un problema mediante una ecuación de primer grado son:

a) Datos del problema.

b) Identificamos la incógnita.

c) Establecemos la ecuación que relaciona los datos y la incógnita con la informacióndel texto.

d) Resolvemos la ecuación.

e) Comprobamos la solución de la ecuación y la interpretamos como solución delproblema.

� Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entredeterminadas magnitudes y medidas.

Tema 7: Geometría plana

159

111... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA

La Geometría surge por la necesidad de medir la tierra y construir (edificios, puentes,...)utilizando como base figuras lo más sencillas posibles; fíjate en las caras de los ladrillos obloques de construcción, en las paredes, en las ventanas, qué forma tienen las escuadras, loslibros, los folios, el gato de un coche , las ruedas ,...

Antes de comenzar has de conocer el vocabulario de este tema:

Nos hemos comprado el siguiente terreno y queremos construir todo lo que en él vemosdibujado A lo largo del tema conoceremos el nombre de todos los elementos (piscina, garaje,paellero, ...) que aparecen en el plano, mediremos longitudes, bien para vallar el terreno, bienpara comprar el zócalo de algún recinto; también calcularemos superficies, pues vamos aembaldosar el suelo del paellero, vamos a cubrir la piscina,…

29m

20m

33´75 m

40 m

10m

6m

6 m

Garaje

20 m

10m Casa

3´25

m

3´25 m

Perro

Paellero

4m

3 m

2m

14 m

10m

11m

8 m

3´16 m

Tema 7 : Geometría plana

168

� Unidades de superficie

1 cm2 (un centímetro cuadrado) es la superficie de uncuadrado de lado 1 cm y es la que vamos a utilizar comopatrón.

Trataremos de rellenar todas las superficies con la medidaque tenemos como patrón, es decir, cuántas veces podemosponer 1 cm2 en nuestra superficie.

2 cm2 es la superficie de 2 cuadrados de lado 1 cm.

¿Cuánto serán 12 cm2?.Para ello construimos una figura en la que poder contar confacilidad usando nuestra unidad patrón .

1 dm2 será la superficie de un cuadrado de lado 1 dm.Sabemos que 1 dm = 10 cm. Si construimos un cuadrado delado 1 dm, obtenemos que su superficie es de 100 cm2.

Repite el razonamiento para obtener 1 m2, o sea, un cuadradode lado 1 m.

Recuerda 1 m = 10 dm.

1 m2 = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 100 dm2.

1 m2 = 1 m × 1 m = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm2.

1cm2 1cm2 = 2 cm2

1cm2 1 cm

1 cm

1cm2 1cm2 1cm2

1cm2 1cm2 1cm2

1cm2 1cm2 1cm2

1cm2 1cm2

1cm2

Se lee:Un centímetro cuadrado.Dos centímetros cuadra dos.

1 dm = 10 cm

1 dm

=10

cm

Si lo construyesde 20 cm x 5 cmtambién tienes100 cm2

¡la forma no esimportante!

Tema 7 : Geometría plana

176

��

� De la Geometría plana o euclídea hemos estudiado el nombre de las figuras planas másusuales, el perímetro y el área.

� Las principales figuras planas son:��Polígonos.

o Cóncavos.o Convexos.

��Triángulos: polígonos de 3 lados.

� Ángulos. � Lados.Acutángulo. Escaleno.Rectángulo. Isósceles.Obtusángulo. Equilátero.

��Cuadriláteros: polígonos de 4 lados.

� Paralelogramo (dos lados paralelos dos a dos).Rectángulo.Cuadrado.Rombo.Romboide.

� Trapecio (dos lados paralelos).

� Trapezoide (ningún lado paralelo).

��(Penta, hexa, hepta,…) – gono: polígonos de 5, 6, 7,…lados.

��Circunferencia y círculo.

� El teorema de Pitágoras afirma: en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

cateto2 + cateto2 = hipotenusa2

� El perímetro de cualquier polígono es la suma de sus lados.��La unidad de longitud en el S.M.D. es el metro.

� El área es la medida de la superficie de una figura plana.��La unidad de superficie en el S.M.D. es el metro cuadrado.��Para medidas agrarias se utiliza el área.

� Cualquier figura plana podemos dividirla en figuras conocidas y calcular así su área.

�

FIGURAS ÁREAS PERÍMETROS

Triángulo (base x altura) / 2 Suma de los ladosCuadrado lado x lado = lado2 4 · ladoRectángulo base x altura 2 · a + 2 · b

Rombo (diagonal mayor x diagonal menor) / 2 4 · ladoRomboide base x altura Suma de los lados

Polígono regularde “n”lados. (Perímetro x apotema) / 2 n · lado

Círculo π · r2

Circunferencia 2 · π · r

Tema 8: Geometría del espacio

180

� Poliedro. Es el espacio cerrado limitado por polígonos.

Elementos de un poliedro.

��Caras. Cada uno de los polígonos que delimitan elpoliedro.

��Aristas. Son los lados de las caras, dos caras contiguascomparten una misma arista.

��Vértices. Punto en el que concurren tres o más caras.Son los vértices de los ángulos poliedros.

��Diagonales. Segmentos que une dos vértices de carasdistintas.

Tipos de poliedros.

��Poliedros regulares. Cuando todas sus caras sonpolígonos regulares y en cada vértice concurren elmismo número de caras.

Veamos cuántos podemos formar:- Si en cada vértice concurren tres triángulos

equiláteros tenemos ángulos poliedros de 3 · 60 =180º (recuerda que un triángulo equilátero tiene tresángulos de 60º). Este poliedro se llama tetraedro,pues tiene cuatro caras.

- Si ponemos cuatro triángulos equiláteros tenemosángulos poliedros de 4 · 60 =240º. Este poliedro es unoctoedro, tiene ocho caras.

- Si colocamos cinco tenemos 5 · 60 = 300º. Se llamaicosaedro y tiene 20 caras.

Ya no podemos poner más triángulos equiláteros en elmismo vértice, pues con 6, tendríamos 6 · 60 =360º,formaríamos un plano, no habría volumen.

- Si tomamos cuadrados, tenemos 3 · 90 = 270º.Resulta un poliedro de 6 caras, es un hexaedro ocubo.

Si intentasemos poner cuatro cuadrados 4 · 90 = 360º,imposible, luego con cuadrados sólo exixte el hexaedro.

- Cada ángulo de un pentágono mide 108º, con trestenemos 3 · 108 = 324º, este poliedro se llamadodecaedro y tiene 12 caras.

El hexágono ya tiene ángulos de 120º, luego no podemosjuntar tres hexágonos, pues obtenemos 360º, después delhexágono los ángulos son aún mayores y como mínimonecesitamos tres caras para formar un ángulo poliedro,luego no existen más poliedros regulares.

Sólo exixten cinco poliedros regulares.

cara

arista

vértice

diagonal

TetraedroOctoedro

IcosaedroHexaedro

Dodecaedro

Ángulos de un polígonoregular.

En un pentágono podemosdibujar 5 triángulos iguales,los ángulos de un triángulosuman 180º � 180 · 5 = 900ºSi eliminamos los ángulos delcentro � 900 – 360 = 540º .Si ahora los repartimos entre los5 vértices del pentágono 540 : 5= 108º . Los ángulos de unpentágono regular miden 108º .


182

��

1. Repasemos los elementos de nuestra nevera, ésta es unaespecie de caja. Tenemos los cajones del congelador, unasparillas para organizar la nevera e incluso cajones para laverdura. En la puerta solemos encontrarnos compartimentospara las bebidas, los huevos, los botes pequeños, …

Recuerda que si todas las caras son cuadrados, se llamahexaedro o cubo

2. Veamos qué encontramos en el interior de la nevera.

La nevera es un poliedro, cuya base y tapa sonrectángulos y las caras laterales también, así como lapuerta y el fondo. Ya sabes que es un prismarectangular, también se llama ortoedro.

Los cajones del congelador, así como los de la verduratienen 5 caras y todas ellas son rectángulos, se tratatambién de un prisma rectangular u ortoedro.

los prismas cuyas caras son todas paralelogramos sellaman paralelepípedos.

Los compartimentos de la puerta de la nevera sonparalelepípedos, pero por razones estéticas, ergonó-micas, … ¡han redondeado los cantos!.

Un trozo de queso, un trozo de tarta, son prismastriangulares, la base y la parte de arriba son triángulosparalelos, las caras laterales son rectángulos.

El bote de tomate, la lata de sardinas son cilindros.

La botella de leche es un cilindro, sino fuera por elcuello de la botella.

El tetrabrik es un prisma rectangular, también hayprismas octogonales, la base y la tapa son octógonos, ylas caras laterales siguen siendo rectángulos.

Si tenemos helados, éstos tienen formas curiosas, enconcreto los cucuruchos, tienen forma de conos, y lasbolas de helado esferas.

¡Poliedro regular!


186

Una caja de cerillas mide 40 mm de largo, 30 mm de anchoy 10 mm de altura.

Su volumen será 40 · 30 · 10 = 12.000 mm3 = 12 cm3.

� 1m3 es el espacio que ocupa un cubo de 1 m de arista.1 m3 = 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1000 dm3

��

��

Trabajemos ahora las unidades de capacidad.

UNIDADES DE CAPACIDAD

� 1 litro ( l ) es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista.

1 litro = 1 dm3

Los múltiplos del litro son:

1 kl (kilolitro) = 10 hl1 hl (hectolitro) = 10 dal1 dal (decalitro) = 10 l

Los submúltiplos del litro son:

1 l = 10 dl (decilitro)1 dl = 10 cl (centilitro)1 cl =10 ml (mililitro)

Pasamos de una unidad a la inmediata inferiormultiplicando por 10.

Pasamos de una unidad a la inmediata superior dividiendopor 10.

��

��

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Bajar 1 lugar

Multiplicarpor 1000

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Dividir por1000

Subir 1 lugar

1 dm

1 litro

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza losejercicios 3 y 4 propuestos en el libro de actividades.

Un bidón de gasolinatiene 250 l de capacidad.

¿Cuántos ml son?250 · 1000 = 250.000 ml

¿Cuántos hl son?250 : 100 = 2´ 5 hl

La capacidad de un bote de bebida refrescante es de33cl.

33 cl = 33 · 10 = 330 ml33 cl = 33 : 10 =3´ 3 dl = 3´ 3 : 10 = 0´ 33 l.

: 10033 cl

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 5 y 6 propuestosen el libro de actividades.


187

� Queda claro que dos cuerpos con el mismo volumen tienenla misma capacidad, aunque tengan distintas formas.

Veamos que tenemos varias relaciones para pasar deunidades de volumen a unidades de capacidad.

Hemos visto que : 1 l = 1 dm3.

Podemos deducir:

1 kl = 1000 l = 1000 dm3 = 1 m3� 1 kl = 1 m3

Ejemplo:

��

� Otras unidades

Los sistemas de medida han ido variando a lo largo deltiempo, siendo incluso distintas dentro del mismo país.

Aquí tienes algunas medidas que se usaban en la Rioja:

��CÁNTARA = 16 litros (para vino y aceite)..��CUARTILLA = 4 l.��AZUMBRE = 2 l. (para aceite vino y leche).��CUARTILLO = medio litro (para leche).��MEDIA LIBRA = 1/4 de l.��PIE DE OLIVA = 38 l.��TINAJA = 8 Cántaras, normalmente. También había

de 10, 16 y 20 cántaras.

1 ml = 1 cm31 l. = 1000 ml1 dm3 = 1000 cm3

1 l = 1 dm3

1 kl = 1 m3

1 ml = 1 cm3

1.000 l = 1 m3

Si tenemos una piscina de 80 m3 y el grifo es capaz dellenar 15 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo necesitamospara llenar la piscina?.

80 m3 = 80 · 1000 = 80.000 l.80.000 : 15 =5.333´ 33 minutos.5.333´ 33 minutos = 3 días 16 horas 53 minutos 20segundos.

1 día = 24 horas1 horas = 60 minutos1 minuto = 60 segundos

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicio 7 y 8propuestos en el libro de actividades.

EL SÍNDICO: era unconcejal del Ayuntamiento(tercera persona enimportancia en el Ayto, 1ºel Alcalde, 2º el Tte.Alcalde y 3º el Síndico)que guardaba las medidasoficiales

El síndico servía paraREFERIR, es decir, teníalas referencias o lasmedidas oficiales cuandohabía una disputa demedidas entre vecinos.


197

��

Recuerda que no todas las calculadoras funcionan de la mismamanera. Si tu calculadora no responde a éstas órdenes consultasu manual de funcionamiento.

3 x

Esta tecla calcula la raíz cúbica de cualquier número.

Calculemos 3 34331000 −y

1000 3 x = 10 � 103 = 1000

343 +/- 3 x = -7 � (-7)3 = - 343

¿Cuánto debe medir la arista de un cubo, para que su capacidadsea de 2 l.?

2 l = 2000 cm3

volumen del cubo = arista3� 2000 = a3

a = 3 2000

con la calculadora � a = 2000 3 x =12´ 6 cm

��

x

índice

3 x es la operacióninversa de x3 .

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 29 propuesto enel libro de actividades.


198

��

� Un poliedro es un espacio cerrado limitado por polígonos. Los principales poliedros son:

��Poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro

��Prismas: las base son polígonos paralelos y las cara laterales son paralelogramos.

��Pirámides: la base es un polígono cualquiera y las caras laterales son triángulos queacaban todos en un vértice común.

� Un cuerpo de revolución se genera al hacer girar una figura plana 360º sobre uno de suslados. Los principales cuerpos de revolución son:

��Cilindros: se genera al girar 360º un paralelogramo sobre una de sus lados.

��Conos: se genera al girar 360º un triángulo rectángulos sobre uno de los catetos.

��Esferas: se genera al girar 360º medio círculo sobre el eje de su diámetro.

� El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

��1dm3 es el espacio que ocupa un cubo de un 1dm de arista.

��1 l. es la capacidad de un cubo de volumen 1dm3.

�

FIGURAS VOLÚMENES AREAS

Prisma área de la base x altura 2 · área de la base + área de las caras laterales.

Pirámide 3alturabaseladeárea ⋅

área de la base +2

apotemaxPerímetro

Cilindro π · r2 · h 2 · π · r2 + 2 · π · r · altura

Cono3

2 hr ⋅⋅π

Esfera 334 r⋅⋅π 4 · π · r2




Cuaderno de ActividadesUnidades 1 a 4

Actividades Tema 1

202

3. Escribe los números decimales formados por:

a) Dos decenas, una unidad, cinco centésimas.b) Tres centenas, dos décimas y tres milésimas.c) Tres unidades de millar, cinco centenas y veintitrés centésimas.d) Una unidad de millón, una unidad y una milésima.

Operaciones básicas con números decimales.

1. Para sumar y restar números decimales tenemos que colocar la coma debajo de lacoma . 32’56 + 4’756 = 37’316 32’56

+ 4’756 37’316

2. Para multiplicar números decimales se multiplica como si no se tratara de númerosdecimales y en el resultado se separa un número de cifras decimales igual a la sumade los decimales de los factores.

24’6· 2’5 = 6´ 150 24’6 x 1’25

1230 492 6´ 150

Si multiplicamos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la comahacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que almultiplicar el número crece.

32’5 · 1000 = 32500

3. Para dividir un número decimal entre un entero se procede como si fuera un númerodecimal, colocando la coma en el cociente cuando lleguemos a ella en el dividendo.

653’4 : 2 = 326’2 653’2 205 326’6 13 12 0

Si el divisor fuera un número decimal, multiplicamos dividendo y divisor por launidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor número de formaque este pierde todos los decimales. Luego dividimos como en el caso anterior.

78’24 : 2’5 = 782’4 : 25

Si dividimos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma haciala izquierda tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que al dividir elnúmero disminuye.

32’5 : 1000 = 0’0325

Actividades tema 1

203

4. Calcula el resultado de estas expresiones:

a) Suma cuarenta y dos enteros, tres décimas a cuatro enteros, veintidós milésimas.b) Resta setenta y dos centésimas a una unidad.c) El triple de ocho unidades, siete décimas.d) El número 100 veces mayor que 2’5.e) La décima parte de 2’5.

5. Completa:

En 9 unidades hay _____ décimas.En 16 centenas hay _____ unidades.En 18 decenas hay _____ décimas.En 130 décimas hay _____ unidades.En 1000 centésimas hay _____ unidades.En 170 milésimas hay _____ décimas.

6. Calcula el resultado de estas operaciones:

a. 32’7 · 0’004b. 0’04 · 1000c. 2’1 · 100d. 245’4 : 6e. 245’2 : 0’4f. 3’05 : 100g. 589’06 : 10

Actividades Tema 1

204

7. Compara estas cantidades utilizando los signos =, >, <:

a. 3’5 y 3’05b. 0’1 y 0’110c. 0’1 y 0’100d. 21’02 y 21’2

8. Aquí tienes un cheque. Has de rellenarlo, al portador, con los siguientes datos:

Cantidad: 1327’3 �

Fecha: 17/9/2002

� Un cheque es una orden de pago a una entidad bancaria, por la persona que loextiende, con cargo a la cuenta corriente que tenga abierta en ella.

� Los cheques pueden ser:� Nominativo. Solo lo puede cobrar la persona a favor de la que se

extiende� Al portador. Lo podrá cobrar la persona que lo posea. Puede dar

problemas en caso de extravío.� Cruzado. Solo se puede pagar abonándolo en una cuenta de la persona o

personas indicadas.� Conformado. El banco emisor ha de indicar de forma explícita que se

trata de un documento auténtico y de la existencia de fondos, los cualesmantendrá bloqueados hasta que se efectúe el pago.

� Tanto la fecha como la cantidad han de ir en letra.

El significado de estos signos.

< … menor que … ; > … mayor que …

Actividades tema 1

205

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS MMMÁÁÁSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS

9. Observa los siguientes posibles titulares de prensa asociados a la misma noticia ypublicados por diferentes diarios e indica la cifra a la que han realizado cada uno de ellosel redondeo.

a.��

��

��

��

��

��

��

��b.

��

�� !��

��

��"�#�"��!��

��

��"�#� �!��

BANCO”TAL” CÓDIGO CUENTAC/ Valencia s/n ENTIDAD OFICINA CONTROL CUENTAValencia 1111 1111 11 1111111111

Euros_________________________PÁGUESE PO ESTE CHEQUE A _______________________________________________________EUROS ___________________________________________________________________________________________________________________________ de ____________________ de ____________

Serie Z 1111111-1Firma del titular de la cuenta

Actividades Tema 1

206

10. Cálculo mental. Estima los resultados de las siguientes operaciones y explica cómo lo hashecho.

a) 14’67 x 4’02b) 2532 : 53

11. Cálculo mental. Calcula el resultado de la siguiente expresión:

a) 20 x 4’53 x 5 x 10 =b) 25 + 130 + 75 + 70

12. Calcula el valor de la letra en estas expresiones.

a) (3 + a) : 2 = 4b) b · 5 – 4 = 26c) 7 + 10 : c = 12

Orden para realizar operaciones combinadas:1º. paréntesis2º. multiplicaciones y divisiones3º. Sumas y restas.

Actividades Tema 1

208

16. La ecotasa balear.

a. Calcula el importe que supone a una familia de4 miembros la ecotasa si durante susvacaciones se alojan 8 días en un hotel de 2estrellas y otros 8 días en un camping.

b. Fíjate en quién la paga y cuál es el destino de larecaudación. ¿Cuál es tu opinión al respecto?.

333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS NNNEEEGGGAAATTTIIIVVVOOOSSS17. Observa los siguientes datos del padrón de Enero del año 2000 publicados el 4 de Agosto

de 2001 y contesta a las siguientes cuestiones

a) Observa la variación de Asturias, Castilla y León, Extremadura, Galicia y La Rioja.¿Qué significa el signo – que aparece junto a los datos de la última columna?.

b) Ordena las variaciones de estas comunidades con respecto al padrón de 1996 de menora mayor.

c) Entre la mayor y la menor variación, ¿cuál es la diferencia?.d) Calcula el número de habitantes que se registraron en el padrón de 1996 en las

siguientes comunidades: Andalucía, Asturias, Cantabria, Castilla y León, Murcia.

Actividades tema 1

209

Actividades Tema 1

210

18. Calcula mentalmente:

a) 23 + 17b) 23 + ( - 17)c) 23 + ( - 17)d) 23 + 27

19. Calcula realizando la asociación sugerida en el libro de texto:

a) 23 – 17b) 23 - ( - 17)c) 23 - ( - 17)d) 23 – 27

20. Continúa las series hasta que cada una de ellas tenga 7 números.

a) 9, 6, …b) 7, 4, …c) –4, -7, …

21. Calcula y completa el cuadro:

a) 5 · 3b) 5 · ( - 3 )c) 5 · 3d) 5 · ( - 3 )

VARIACIÓN RESULTADO

Me dan 5 veces 3 ________________________________ ________________________________ ________________________________ _________________

Asociación sugerida en el tema para facilitar la comprensión de las operaciones connúmeros enteros:

Sumar = darRestar = quitarNúmero positivo = dinero en efectivoNúmero negativo = deuda

Actividades tema 1

211

22. Calcula:

a) (-5) · 3b) (-6) · ( - 3 )c) -5 · 8d) 4 · ( - 2 )

23. Calcula siguiendo las reglas conocidas.

a) 5 · 4 + 8 (5 – 12 )b) 3 ( 6 + 2 ) – 25c) 8 – 4 ( 3 – 5 ) + 4 · 2d) (3 5 + 8)· (7-10+1)

24. Observa una parte de una libreta de ahorro.

FECHA CONCEPTO INGRESO/REINTEGRO SALDO 6/4/02 Saldo anterior 13’7 �

10/4/02 Factura luz - 10’25 �

15/4/02 Ingreso efectivo 20 �

20/4/02 Cheque caja - 18’3 �

Calcula el saldo del día 20.

25. La temperatura de un lugar era de –4º C a las 6 de la mañana, a las 3 de la tarde habíaaumentado en 11º C y a las 8 de la noche había descendido otros 9º C más. ¿Quétemperatura hacía a esta última hora?.

26. A continuación te presentamos las fechas de nacimiento y muerte de tres emperadoresromanos:

Octavio Augusto ( desde 63 a. C. al 14 d. C.);Tiberio ( desde 42 a. C. al 37 d. C.)Claudio ( desde 5 a. C. al 69 d. C.)

Actividades tema 1

213

31. Calcula:

a) (-6)2 =b) (-3)5 =c) (-5)0 =d) (-2)8 =e) (-2)5 =

32. Calcula:

a) (2’1) 2 =b) (0’001) 3 =c) (0’75) 0 =d) (0’2) 8 =e) (0’02) 4 =

33. Una empresa de transporte cuenta con una flota de 10 camiones. Cada uno de ellos tienecapacidad para transportar 10 contenedores con una capacidad, a su vez, de 10 toneladas.Si un cliente le pregunta por los kilogramos que puede transportar su flota, ¿cuál será surespuesta?. Exprésala utilizando potencias.

34. Completa esta tabla:

Valor 1 16 25 64 100 121 144 169 1.000.000Raíz cuadrada ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

35. Calcula:

a) 3 125

b) 4 16

c) 25−

d) 3 125−

e) 44'1

f) 3 008'0

g) 4 00000001'0

La raíz cuadrada es la operación contraria al cálculo del cuadrado de un número.

Actividades tema 1

215

6. Las divisiones relacionadas con la operación 3 · 4 = 12 son:

a) 12 : 3 = 4 y 3 = 12 : 4 b) 3 = 4 : 12 y 4 = 3 : 12c) 43 = 12 y 34 = 12 d) Ninguna de las anteriores.

7. El número que falta para que se cumpla esta igualdad 3 = 64 es:

a) 16 b) 8 c) 4 d) 32

8. La raíz cuadrada de - 144 es:

a) 72 b) 12 c) 16 d) No existe

9. Si el lado de un cuadrado mide 4 unidades, su perímetro es:

a) 4+4+4+4 b) 4 · 4 c) 16 d) Todas las respuestas son buenas10. Si el área de un cuadrado es de 36 unidades cuadradas, la medida del lado es:

a) Raíz de 36 b) Raíz cuadrada de 36 c) 362 d) 36 : 4

11.La expresión en números romanos del número 2.472 es:

a) MMCCCCXXXXXXXIIb) MMCCCCLXXIIc) MMCDLXXIId) MMCDXXXCII

Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario

“He conseguido …“

��Adquirir una idea de la evolución de los sistemas de numeración hasta nuestros días.

��Expresar cantidades en la numeración romana y reflexionar sobre el uso actual de estanumeración.

��Analizar las relaciones que se dan entre los términos de una suma y una multiplicación.

��Aprender a redondear cantidades muy grandes o con muchas cifras decimales.

��Realizar operaciones encadenadas respetando las prioridades establecidas.

��Calcular potencias y raíces cuadradas y aplicarlas a la resolución de problemas sencillos.

“Aún tengo dificultades en …”

“TENGO DUDAS EN”

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

Actividades Tema 1

216

“En cuanto a las actividades…”

��Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.

��Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.

��Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre estetema puedo realizar las actividades de ampliación.

��

�

�

�

1. Escribe en el sistema decimal las siguientes cantidades:

a) Mil cuarenta enteros y cuatro centésimas. …………………….b) Setenta enteros y veinticinco milésimas. …………………….c) Tres millones seiscientas mil. ……………………….d) Dos billones y medio ……………………

2. Escribe un número comprendido entre:

a) 3’5 y 3’6 ……………………..b) 35 y 36 …………………..c) 3’05 y 3’6 ……………………..

3. Siguiendo el estudio realizado en el apartadoHACEMOS MÁS NÚMEROS, Aprendemospracticando del libro de texto, calcula tucapacidad de ahorro mensual redondeando elresultado a las decenas de euro.

4. Simplifica estas expresiones utilizando potencias o productos:

a) 3 + 2 · 2 · 2 · 2b) 4 · 4 · 4 · 4 + 4 + 4 + 4 + 4c) 5 + 5+5 – 3 + 7 · 7 · 7

Un millón de millones es un billón. Un millón de billones es un trillón. Así sucesivamente.

Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores iguales y lamultiplicación es la expresión simplificada de una suma de varios sumandos iguales.

Actividades tema 1

217

��

1. Busca e indica situaciones en las que se utilicen números romanos.

2. Si las actuales matrículas de vehículos constan de 4 números y 3 letras, en las que no seincluyen las vocales, calcula el número de vehículos que se podrán matricular medianteeste procedimiento.

3. Como sabes, el resto de una división ha de ser menor que el divisor. Y, como tambiénsabes, el NIF o Número de Identificación Fiscal está compuesto por el número del DNI alque se le añade una letra.Tras descartar algunas de las letras (I, Ñ, O, U) han quedado 23 válidas, pero, ¿cuál es elcriterio para asignarlas?.Se acordó asociar, aleatoriamente, un número del 0 al 22 a cada una de las letras. Según elresto que resultase de la división del número del DNI entre 23, que sería un númerocomprendido entre 0 y 22, se otorgaba la letra correspondiente.

Según esto, calcula:

a) El resto que le corresponde a tu letra del NIFb) Calcula otros dos números que compartan la misma letra que tu.

4. Calcula de dos formas diferentes el resultado de estas expresiones:

a) 3(4 + 7)b) 8(5 – 2)c) 15– 2(7 – 4)

Actividades Tema 1

218

5. Observa la siguiente información que, sobre siniestralidad laboral, se publicó en prensa.

a) Compara los datos referidos al año 2000 y al 2001.b) ¿Qué comunidades han contribuido negativamente al crecimiento de la siniestralidad

laboral?c) ¿Se puede afirmar, a la vista de los datos que en Murcia ha habido menos accidentes

que en Navarra?. Explica tu respuesta.

6. Las bacterias se reproducen por bipartición. Imagina que el periodo de reproducción deuna especie de bacterias es de dos horas. Si en un momento determinado se recuenta en un cultivo una colonia de 1.000 bacterias, ¿cuántas habrá al día siguiente a la misma hora?.Expresa las operaciones utilizando potencias de 10.

7. Un atleta entrena alrededor de un parque cuadrado de 10.000 m2 de superficie. Para podercorrer un kilómetro, ¿cuántas vueltas tendrá que dar al parque?.

El signo negativo puede tener varios significados. Puede indicar que un número es menorque el “cero” que hemos fijado como referencia o una variación negativa.

Soluciones tema 1

219

Solucionario

Soluciones del libro de actividades

1. Aplicando las reglas seguidas en la escritura de números romanos: XCVII = 97; MMMCCLXXIV = 3274;

MCDVI = 1406; DLXXIV = 574; MLXXVII = 1077; XXVII = 27; DXLIV = 544; 7612=DCXIIVII2. Teniendo en cuenta que no existió el siglo 0 ni el siglo 0 a. C.:

HECHO HISTÓRICO Y AÑO SIGLODescubrimiento de América (1492) XVRevolución francesa (1789) XVIIIFundación de Roma (753 a. C.) VIII a CNacimiento del emperador Tiberio (42 a. C.) I a C.

3. a) 21’05; b) 300’23; c) 3500’23; d) 1000001’001.4. a) 42’3 b) 1 c) 8’7 d) 2’5 · 100 = 250 e) 2’5 : 10 = 0’25

+ 4’022 - 0’72 x 346’322 0’28 26’1

5. En 9 unidades hay 90 décimas.En 16 centenas hay 1600 unidades.En 18 decenas hay 1800 décimas.En 130 décimas hay 13 unidades.En 1000 centésimas hay 10 unidades.En 170 milésimas hay 1’7 décimas.

6. a) 0’1308; b) 40; c) 210; d) 40’9; e) 2452 : 4 = 613; f) 0’0305; g) 58’906.7. Hemos de considerar que una unidad de un orden cualquiera es diez veces superior a la inmediatamente

anterior. Así: a) >; b) <; c) =; d) <8. Cantidad: Mil trescientos veintisiete euros y tres décimos.

Fecha: Diecisiete de Septiembre de dos mil dos.9. a) En 34.000 personas se redondea a la unidad de millar, en 33.600 personas se redondea a la centena y en

30.000 personas se redondea a la decena de millar.b) En 98% se redondea a la unidad, en 97' 76% se redondea a la centésima y en 97' 8% se redondea a ladécima.

10. a) Redondeando: 15 · 4 = 60b) Redondeando: 2500 : 50 = 50

11. a) Alterando el orden de los productos de manera conveniente para facilitar el cálculo: 20 · 5 · 10 · 4’53 =100 · 10 · 4’53 = 1000 · 4’53 = 4530b) Alterando el orden de las sumas: 25 + 75 + 130 + 70 = 100 + 200 = 300

12. Seleccionando la operación adecuada en cada momento, considerando las relaciones existentes entre sumasy restas por un lado y productos y divisiones por otro.a) 3 + a = 4 · 2; a = 4 · 2 – 3 = 5b) b · 5 = 26 + 4; b = (26 + 4) : 5 = 6c) 10 : c = 12 – 7 ; c = 10 : (12 – 7) = 2

13. a) Triple del resultado de restar 2 a 6 menos el triple de 2 más la mitad de 83 · 4- 3 · 2 + 8 : 2 = 12 – 6 + 4 = 8

b) 7 menos la mitad de 6 más el cuádruplo del resultado de sumar 3 y 5.7 – 6 :2 + 4 · 8 = 7 – 3 + 32 = 36

c) 2 mas el triple de 4 menos la mitad del resultado de sumar 3 a 5.2 + 3· 4 – (5 + 3): 2 = 2 + 12 – 8 : 2 = 1 + 12 – 4 = 13 – 4 = 9

d) cinco veces el resultado de sumarle a 6 la mitad de 4, menos 3 más cinco veces 4.5(6 + 4:2) – 3 + 5· 4 = 5(6 + 2) – 3 + 20 = 5 · 8 –3 + 20 = 40 +20 –3 = 60 – 3 = 57

14. a) 3· 2 + 3· 5 = 3(2 + 5)b) 4· 5 + 6· 4 – 3· 4 = 4(5 + 6 – 3)c) 12+9+27= 3· 4 + 3· 3 + 3· 9 = 3(4 + 3 + 9)d) 45 – 15 = 15· 3 – 15· 1 = 15(3 – 1)

Soluciones tema 1

221

28. a) 81b) 125c)1d)4106

29. a) 2’5 · 1000000 = 2’5 · 106

b) 34’7 · 1012, pues un billón es un millón de millones.c) 25 · 10000 = 25 · 104

d) 0’5 · 1018 = 5 · 1017, pues un trillón es un millón de billones.30. a) 32 = 9.................... 3 · 3

b) 33 = 27 ................. 3 · 3 · 3c) 54 = 625 ................ 5 · 5 · 5 · 5d) 62 = 36 .................. 36 = 6 · 6e) 33 = 27 .................. 27 = 3 · 3 · 3f) 53 = 125 ................ 125 = 5 · 5 · 5

31. a) 36b) –243c) 1d) 256e) –32

32. a) 2’31b) 0’000000001c) 1d) 0’00000256e) 0’00000016

33. 10camiones · 10 conten. · 10 toneladas · 1000Kg = 1.000.000 = 106 Kg. Recuerda 1Tn = 1000 Kg = 103 Kg.34.

Valor 1 16 25 64 100 121 144 169 1000000Raíz 1 4 5 8 10 11 12 13 1000

Porque 12 = 1; 42 = 16; 52 = 25; 82 = 64; 102 = 100; 112 = 121; 122 = 144; 132 = 169; 10002 = 100000035. a) 5

b) 2c) No existed) –5e) 1’2f) 0’2g) 0’01

36. Si para calcular la superficie del cuadrado multiplicamos la medida del lado por sí misma, utilizando elcuadrado, en este caso tendremos que utilizar la operación contraria, la raíz cuadrada.

1024 = 32 baldosas de lado.

Soluciones autoevaluación

1. b ( se calculan antes la multiplicación y la división: 10 + 12 – 8 = 14).2. a (52’7 = 11’2 + 0’07 · x, siendo x el número de minutos. Calculamos: 0’07 · x = 52’7 – 11’2 = 41 ‘ 5; x =

41’5 : 0’07 = 592’86).3. a .4. a.5. b (al redondear a la centésima tenemos que dejar dos cifras decimales teniendo en cuenta la tercera que, en

este caso, el ser mayor que 5 añadimos 1 a la cifra de las centésimas) .6. a.7. c ( pues 64 = 4 · 4 · 4).8. d ( pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo).9. d ( el perímetro es la medida total de todos sus lados. Al ser todos iguales se puede expresar en forma de

suma o de multiplicación y en ambos casos el resultado es 16).10. b ( si para calcular el área elevamos al cuadrado la medida del lado, tenemos que calcular el número que al

elevarlo al cuadrado nos de 36 y esto equivale a calcular la raíz cuadrada).11. c (única expresión que sigue las reglas de la numeración romana).

Soluciones tema 1

222

Soluciones actividades de refuerzo

1. Teniendo en cuenta las reglas de la numeración decimal, el valor de las cifras de cada orden, y el “recuerda”del libro de actividades.a) 1040’04b) 70’025c) 3.600.000h) 2.500.000.000.000

2. Existen infinitos para cada caso. Ejemplos:a) 3’51b) 35’3c) 3’2

3. Seguir el estudio realizado en el apartado indicado del libro de texto.4. Una multiplicación es una suma de sumandos repetidos y una potencia es un producto de factores repetidos.

a) 3 + 24

b) 44 +42

c)3 · 5 – 3 + 73

Soluciones a las actividades de ampliación:

1. a) Tomos de libros, carreteras nacionales, jornadas, reyes, siglos, capítulos, festivales,…2. Si tenemos en cuenta que sólo se consideran 22 letras válidas al eliminar las vocales, tendremos 10000

números diferentes incluyendo el 0000 y, por cada uno de ellos un total de 22 · 22 · 22 letras. Entotal 22 · 22 · 22 · 10000 = 106. 480.000.

3. a) Lo calcularemos con un ejemplo. Sabemos que al número de DNI 05171299 le corresponde la letra W.Calculamos el resto de dividir 5171299 entre 23 y vemos que es 21, luego al resto 21 le corresponde la letraW.b) Para calcular otros números a los que les corresponda la misma letra multiplicaremos un númerocualquiera (cociente) por 23 y le sumaremos 21.

4. Priorizando operaciones Quitando paréntesisa) 3· 11 = 33 12 + 21 = 33b) 8· 3 = 24 40 – 16 = 24c) 15 – 2· 3 = 15 – 6 = 9 15 – 14 + 8 = 9

5. a) Han aumentado tanto los accidentes en general como los accidentes mortales en itinerario. En 13 autonomías han aumentado y en 4 han disminuido los accidentes, aunque en general, en España, hanaumentado un 5’8%.b) Navarra, Aragón, La Rioja, Murcia.c) Ha bajado un 5’5%, pero podía partir de una cantidad mayor.

6. Se habrán reproducido 12 veces en 24 horas. Cada bacteria habrá dado lugar a 212 bacterias, luego el númerode bacterias será de 1000 · 212, o sea, 4096000 de individuos.

7. El lado del parque será 10000 = 100 metros de lado.El perímetro será de 100 · 4 = 400 metros.Para recorrer 1000 metros (1 km), tendrá que dar 1000 : 400 = 2’5 vueltas.

Actividades tema 2

224

4. Imagina que mañana es tu cumpleaños y quieres celebrarlo cenando con tus dos mejoresamigos. Ambos trabajan a turnos y libran de noche el primero cada 12 días y el segundocada 20 días. Si hoy han coincidido con la noche libre, ¿cuándo podréis celebrar tucumpleaños según tus planes?. ¿Y si librasen cada 3 y 5 días respectivamente?.

5. Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números utilizando en cadacaso un método diferente:

a) 15 y 50b) 12 y 20c) 4 y 7

Otro método para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisorutiliza la descomposición en factores primos.

a. Para el cálculo del máximo común divisor, una vez descompuesto los números quenos interesan en factores primos, el máximo divisor común será el número formadopor los factores primos comunes con el menor exponente.Ejemplo: m.c.d. (180, 24)

1º . Descomponemos en factores primos: 180 = 22· · 32· 5 y 24 = 23· 32º . Elegimos los factores primos comunes: 22 y 33º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.d. de los números propuestos:

m.c.d. (180, 24) = 22· 3 = 12

b. Para el cálculo del mínimo común múltiplo, una vez descompuesto los números quenos interesan en factores primos, el mínimo múltiplo común será el númeroformado por los factores primos comunes y los no comunes de mayor exponente.Ejemplo: m.c.m. (180, 24).

1º . Descomponemos en factores primos: 180 = 22· · 32· 5 y 24 = 23· 32º . Elegimos los factores primos comunes y los no comunes: 23, 32 y 53º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.m. de los números propuestos:

m.c.m. (180, 24) = 22· 32· 5 = 180

Actividades tema 2

225

6. Juan puede acceder a su trabajo utilizando tres líneas de metro distintas: la límea 5, la 7 yla 11. La primera pasa por la estación cada 5 minutos, la segunda cada 6 y la tercera cada8. El servicio empieza a funcionar a las 5 de la mañana y parten las tres líneas al mismotiempo. ¿Con qué frecuencia vuelven a coincidir las tres líneas?. ¿Y la segunda y terceralíneas?.

7. Un fabricante de sillas tiene una tirada de 60 sillas a la hora. Ha comprado una máquinaempaquetadora. ¿De cuántas piezas puede ser cada lote si los empaqueta cada hora yquiere que todos los lotes sean iguales?.

8. Quiero instalar en mi casa una depuradora individual de las aguas residuales con elobjetivo de reutilizarlas para regar el jardín. He comprado los materiales necesarios y elrepartidor del centro pasa por la zona donde se encuentra mi domicilio todos los viernes.Si el fontanero que me lo tiene que instalar quiere aprovechar el día libre que le da laempresa, uno cada cuatro días de trabajo, y no quiero tener los materiales almacenados encasa ,¿cuándo podré realizar la instalación si he comprado los materiales un viernes ycoincide que ese día lo ha tenido libre el fontanero?.

Actividades tema 2

227

b) En una ciudad turística de la costa levantina, de cada 10 turistas que recibe, 5 soneuropeos, 2 son procedentes del resto del mundo y 3 son turistas nacionales. Expresaestas cantidades en forma de fracción.

13. Expresa en forma decimal y en forma porcentual las siguientes cantidades:

a) 4/5b) 6/10c) 13/25

14. Escribe tres fracciones que sean propias y otras tres que sean impropias.

15. Expresa en forma de fracción una cantidad que sea superior al 100% y exprésala luego enforma decimal y porcentual.

16.Este es el famoso cubo de Rubik. Cada unade sus caras está formada por cuadradosque, al finalizar el juego serán todos delmismo color y diferentes de los cuadradosde otras caras.a) Expresa, mediante una fracción que

utilice como denominador el númerototal de cuadrados, la cantidad desuperficie del cubo de color blanco.

b) Expresa, mediante una fracción queutilice como denominador el númerototal de caras, la cantidad de superficiedel cubo de color blanco.

Actividades tema 2

228

c) ¿Cómo son estas fracciones entre sí?.

17. Obtén la fracción irreducible de las siguientes fracciones:

150

50,

120

30,

8

2,

10

5,

9

3,

106

53

Después identifica las que sean equivalentes entre sí.

18. Escribe en forma de decimal los siguientes porcentajes:

a) 16%b) 34%c) 80%d) 120%

19. Cálculo mental. Expresa en forma de fracción:

a) 25%b) 50%c) 75%d) 20%e) 150%

Una misma cantidad puede ser expresada en forma de fracción, decimal oporcentual. Existen diferentes procedimientos para pasar de una forma a laotra. Los puedes repasar en este apartado del libro de texto.

Actividades tema 2

229

20. Observa la siguiente tabla en la que figura el marcador final de un partido de baloncestoentre el Real Madrid y el Tau Vitoria y las puntuaciones individuales conseguidas porcada uno de los jugadores para su equipo.

a) Expresa en forma de fracción y porcentual lapuntuación conseguida por Herreros.

b) Expresa en forma de fracción y porcentual lapuntuación total obtenida por Djordjevic.

c) Expresa en forma de fracción y porcentual lapuntuación conseguida por cada uno de los jugadoresdel Tau Vitoria.

21. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:

50

8,

10

4,

5

1,

10

3,

5

3

22. Calcula:

a) =+5

4

5

2

b) =+5

1

3

2

c) =−+2

1

2

5

2

3

d) =−7

1

5

2

e) =4

2·

3

1

f) =5

3:

3

2

g) =

+5

1

4

2

2

11

h) =+7

6·

5

2

3

1

Actividades tema 2

230

23. Resuelve:a) Calcula el número de botellas de vino de ¾ de litro se podrán llenar con los 50 litros

de un tonel.b) En la recogida de fruta de un terreno cada remolque que se llena supone los 3/14 del

total. Si los 2/3 de cada remolque son frutas que han de madurar en cámaras, expresaen forma de fracción la cantidad de fruta que se puede consumir directamente de cadaremolque.

c) La venta de cerveza sin alcohol se realiza en envases de 1/5 o de 1/3 de litro. Calculacuándo se adquiere más bebida, al comprar 6 botellas de 1/5 de litro o al comprar 4botellas de 1/3 de litro.

24. Resuelve:a) Una máquina fabrica 30 piezas en 3/4 de hora. ¿cuántas piezas fabricará al cabo de 60

horas?b) Calcula la fracción de balsa de riego que queda si un regante utiliza 3/7 del total y otro

1/3 de lo que queda.

25. Las necesidades calóricas aproximadas por persona y día son:

Adultos AdolescentesHombres 2500 a 4000 3000 a 3500Mujeres 2100 a 3000 2900 a 3200

El 15% deben ser aportadas por proteínas, el 55% por hidratos de carbono y el 30% porgrasas.Calcula las calorías que deben aportar cada uno de los principios básicos en el caso de losadultos.

Actividades tema 2

232

30. Calcula la ganancia, en términos de porcentaje, que obtiene un comerciante en losartículos vendidos en el periodo de rebajas si carga un 70% sobre el precio de coste entemporada y aplica después una rebaja general del 30% a sus artículos.

31. Observa la siguiente información que sobre las reservas de agua de una zona se publicó enprensa:

a) Calcula la capacidad total de las reservas acuíferas.b) Calcula el porcentaje “perdido” en el último día

con respecto al que había el 15/8/01c) Calcula el porcentaje en que han aumentado las

reservas con respecto a la misma fecha del añoanterior.

32. En la fabricación de un kilo de papel reciclado se utiliza papel usado, 2000 l de agua y 2’5kw de energía. Si el papel no es reciclado se necesita 2’1 k de madera, 150000 l de agua y6200 kw de energía. Calcula el ahorro de las tres materias primas si se fabrica papelreciclado y exprésalo en porcentajes.

Actividades tema 2

234

36. La dueña de una tienda de confección carga el precio de los artículos que ha adquirido enel mayorista con el 50%.En rebajas, con el objeto de vender todos los artículos de la temporada, rebaja el 50% alas piezas que no ha vendido, con la idea de no perder ni ganar nada con respecto alprecio de compra. ¿Crees que es acertada esta medida?

2. MEDIMOS EL TIEMPO

37. Si A = 3 h 25’32’’, B= 2h 30’45’’, calcula:

a) A + Bb) A – Bc) 3 · Ad) B : 3

38. Una ONG quiere realizar un envío de medicamentos a un campamento que ha instalado enun país del tercer mundo. Quiere calcular la duración del vuelo que lo transportará paratomar las medidas oportunas para la conservación de las medicinas. En la agencia leindican que el avión sale a las 13h 15’y llega a las 14h 10’.

Actividades tema 2

235

39. Una persona quiere grabar en una cinta de VHS de cuatro horas, de la que ya ha utilizado2horas y 45 minutos, un programa de 43 minutos. Calcula el espacio que le quedará libreen la cinta.

40. A un paciente le han recomendado que practique diariamente la natación para ayudar a surehabilitación. Su trabajo le permite dedicarle 2 horas y 40 minutos al día. Calcula eltiempo que dedica a la natación semanalmente si los domingos la piscina permanececerrada.

41. Durante el viaje de fin de curso a Sevilla, los alumnos de un centro de FPA realizan elsiguiente recorrido: toman el tren en Valencia a las 3:45 y llegan a Córdoba a las 11:15.Después de visitar la ciudad vuelven a coger el tren a las 17:05 llegando a Sevilla a las19:50. Calcula el tiempo que han permanecido en el tren en los dos viajes.

Actividades tema 2

236

42. Una persona que realiza solamente llamadas provinciales quiere realizar un estudio paraver con qué compañía contrata sus servicios de telefonía fija.Para ello decide calcular cuál habría sido el coste de un mes aplicando las tarifas de dosde las compañías que le parecen más competitivas.

TarifasCompañía A Compañía

Llamadas provinciales Euros/min. Euros/min.

8h a 20h (L–V) 0’06 0’0320h a 8h (L–D) 0’03 0’03

Notas La compañía A no cobra establecimiento de llamada.La compañía B cobra 0’09 euros por est ablecimiento de llamada.

Consumos

En el libro de texto se realiza un estudio comparativo del precio de lasllamadas telefónicas entre varias compañías. Lo puedes repasar en esteapartado del libro de texto.

Actividades tema 2

237

Realiza el estudio y extrae conclusiones.

43. Observa la programación de los cinco canales públicos y privados nacionales y contesta:a) Duración del programa “Cartelera”que se emit e por TVE-1b) Sistema en el que se expresan las horas.c) Expresa en ambos sistemas el horario de comienzo de “Informe semanal”.

Actividades tema 2

238

��

��

Cuestiones de autoevaluación.

1. Contesta verdadero o falso:a) 3 es múltiplo de 27b) 3 es divisor de 27c) 3 es divisible entre 27d) 27 es divisible entre 3.

2. La descomposición en factores primos de 60 es:a) 6 · 10b) 22 · 5 · 3c) 22 · 52 · 3d) 6 · 5 · 2

3. La afirmación verdadera es:a) 30% = 30b) 3% = 3:100c) 3% = 0’3d) 3% = 3 · 100

Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de

actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la queaparece en el solucionario consulta con tu profesor.

b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tuaprendizaje.

c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo oampliación, o no es necesario.

Actividades tema 2

239

4. Los ¾ de 120 son:a) 90b) 160c) 75%d) No se puede calcular

5. El resultado de4

1

3

2+ es:

a) 3/7b) 2/12c) 1d) 11/12

6. La afirmación verdadera es:a) 2/4 = 3/5b) 2/4 = 50 · 100c) 2/4 = 50%d) 2/4 = 0’2

7. La fracción equivalente a 3/5 es:a) 8/10b) 6/10c) 1/15d) 5/3

8. El cálculo del 3% de 600 se realiza con la expresión:a) 600 · 0’3b) 600 : 3c) 600 · 0’03d) 600 : 0’3

9. Una subida del 20% a 500 se calcula mediante la expresión:a) 500 + 0’20b) 500 : 1’2c) 500 + 1’2d) 500 · 1’2

10. Una subida del 10% y una bajada posterior del 50% a una cantidad es equivalente a:a) Una subida del 40%.b) Una bajada del 45%.c) Una subida del 55%.d) Una bajada del 55%.

11. La expresión decimal en minutos de 3 minutos y 40 segundos es:a) 3’4b) 3’67c) 4’3d) Ninguna es verdadera.

Actividades tema 2

240

12. La expresión sexagesimal en minutos de 6’2 minutos es:a) 6’12’’b) 6’2’’c) 2’6’’d) Ninguna es verdadera.

13. Si un número lo multiplicamos por 0’3, en términos de porcentajes, podemos interpretarque:

a) Le calculamos el 30%.b) Le calculamos una bajada del 70%.c) a y b son correctas.d) Le calculamos una subida del 30%.



��Identificar y calcular múltiplos y divisores de un número.

��Descomponer un número en factores o en factores primos.

��Buscar múltiplos y divisores comunes a varios números.

��Comprender el significado de una fracción y su relación con los decimales y losporcentajes.

��Aprender el significado y calcular fracciones equivalentes.

��Realizar operaciones con fracciones en cálculos sencillos.

��Realizar cálculos que impliquen porcentajes utilizando el número decimalcorrespondiente.


“TENGO DUDAS EN”

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................





��

Soluciones tema 2

243

Solucionario


1.a) Múltiplos de 15.Calcularemos los 6 primeros ya que son infinitos. Se obtienen multiplicando el 15 por,

1, 2, 3, …� 15 (15 · 1 ), 30 (15 · 2), 45 (15 · 3), 60 (15 · 4) , 75 (15 · 5 ), …Divisores. Son los números que dividen a 15 exactamente � 1, 2, 3, 5, 15.

b) Si procedemos igual para el resto de apartados obtenemos estos resultados:Múltiplos: 20, 40, 60, 80, 100, …Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

c) Múltiplos: 36, 72, 108, 144, …Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

d) Múltiplos: 17, 34, 51, 68, 85, …Divisores: 1, 17 (Se trata de un número primo).

2. a) 2100 2

50 5 100 = 2· 2· 5· 5 = 22· 52

255

3b) 12 2 12 = 3· 2· 2 = 3· 22

42

3c) 6

36 2 36 = 3· 2· 3· 2 = 32· 22

6 32

3d) 12

120 4 2 120 = 3· 2· 2· 2· 5 = 3· 23· 52

10 2

5

3. Tenemos en cuenta que cada 0 al final de la cantidad se descompone en dos factores primos, un dos y uncincoa) 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2· 5 · 2· 5 = 23 · 53

b) 12· 100 = 3 · 22 · 22 · 52 = 3 · 24 · 52

c) 36· 10 = 22 · 32 · 2 · 5 = 2 3· 32 · 5d) 35· 10000 = 5 · 7 · 24 · 54 = 24 · 55 · 7

4. Hemos de buscar el primer día que sea múltiplo de 12 y de 20 al mismo tiempo, luego hemos de calcular elm.c.m.(12, 20)

Múltiplos de 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, …Múltiplos de 20 20, 40, 60, 80, …El mínimo de los múltiplos comunes es el 60. Dentro de 60 días lo podré celebrar.

Procedemos de la misma forma en el caso de 3 y 5, pero utilizando otro método para calcular el mínimocomún múltiplo: tomamos el mayor, el 5, y comprobamos si es múltiplo de 3. Como no lo es probamos conel 10, como tampoco lo es, con el 15,…Resulta que el 15 si es múltiplo de 3, luego ése es el mínimo comúnmúltiplo de ambos números. Dentro de 15 días lo podré celebrar.

Soluciones tema 2

245

17. Obtenemos las fracciones equivalentes:

3

1)50(:

150

50;

4

1)30(:

120

30;

4

1)2(:

8

2;

2

1)5(:

10

5;

3

1)3(:

9

3;

2

1)53(:

106

53======

Fracciones equivalentes entre sí son pues:

Las fracciones equivalentes indican la misma cantidad y por eso se pueden relacionar mediante el signoigual.

18. Tenemos en cuenta que el 16% indica 16 de cada 100 y que 16'0100

16= . Igualmente en el resto de los

apartados.a) 0’16b) 0’34c) 0’8d) 1’2

19. Tenemos en cuenta que el 25% indica 25 de cada 100 y que4

1

100

25= .

a) ¼ b) ½ c) 3/4

d) 1/5 e) 3/2

20.a) 13 de 63 son 13/63 =0’2063 = 20’63%.b) 9/63 = 1/7 = 0’14285= 14’29%.c) Bennett y Nocioni: 9/71 = 12’68%

Foirest: 23/71 = 32’39%Tornasevi: 10/71 = 14’08%Oberto: 4/71 = 5’63%Corchiani: 3/71= 4’23%Vidal: 7/71 = 9’86%Socia: 6/71 = 8’45%.

21. Expresamos las fracciones con el mismo denominador, el mcm(50,10,5) = 5050

8,

50

20,

50

10,

50

15,

50

30.

Ahora está claro que50

8

5

1

10

3

10

4

5

3>>>> . A simple vista se observa que

5

1

5

3> y que

5

3

10

3< .

22.

a) Como tienen igual denominador sumamos los numeradores: =+5

4

5

2

5

6

b) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador

coincidente:15

13

15

3

15

10

5

1

3

2=+=+

c) Como tienen igual denominador operamos los numeradores:2

7

2

153

2

1

2

5

2

3=

−+=−+

d) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador

coincidente:35

9

35

5

35

14

7

1

5

2=−=−

e) Al ser un producto no necesitan tener el mismo denominador. Multiplicaremos los numeradores, paraobtener el numerador de la fracción producto, y los denominadores, para obtener el denominador de lafracción producto. Simplificamos el resultado dividiendo numerador y denominador entre 2:

6

1

12

2

4

2·

3

1==

2525 25 25 50 50 2525 25 25

2020 20 20 20 50 50 50 50

8

2

120

30;

150

50

9

3;

10

5

106

53===

Soluciones tema 2

249


1.a) 1/7b) 7/30c) 2 días y 6 h = 54 h y 1 semana = 168 h. La fracción es 54/168 = 27/84 = 9/28.

2. Calculamos los incrementos del 4% multiplicando cada cantidad por 1’04.Calefacción ......................... 4300’5 �........................... 4472’52 �

Limpieza ............................. 902’32 �........................... 938’41 �

Ascensor ............................. 1005 � .............................. 1045’2 �

Otros ................................... 832’6 �............................. 865’9 �

TOTAL........................... 7322’03 �

Corresponde a cada vecino (:10) .................................. 732’20 �

Corresponde a cada recibo (:12)................................... 61’02 �

3.a) Mayor: España, Italia, Portugal

Menor: Grecia, Bélgica, Luxemburgob) En España, Italia y Portugal. En Alemania no ha variado.

4. 10’5 minutos son 630 segundos.630 : 50 = 12.Se podrán emitir 12 anuncios y sobrarán 30 segundos.

Soluciones a las actividades de ampliación

1. Calculamos el IVA(16%): 25’7 • 0’16 = 4’11. Por lo tanto, no está bien calculado.Veamos qué porcentaje es 5’25 de 4’11: 5’25 : 4’11 = 1’2773. Se ha cobrado un 27’73% de más.

2. Interés simple: 1250 • (1+0’0425 • 3) = 1250 • 1’1275 = 1409’375 �

Interés compuesto: 1250 • (1’0425)3 = 1416’24 �

3. Cada semestre producirá: 3000 • 0’05 = 150 �

Calculemos los semestres en que producirá 600 ��Tardará 4 semestres o, lo que es lo mismo, 2 años.

4. Aplicamos el cálculo correspondiente: 200 · (1’04)3 = 224’97 �

630 50130 12

30

Actividades tema 3

252

3. En la tabla siguiente aparecen los datos de superficies y población de cada continente

Sup. (millones de km2) Población (millones de hab.)Europa 10’5 686África 30’3 452Oceanía 8’5 24Asia 44’4 2.580América 42 586

La densidad de población de una zona es la razón entre la población total de esa zona ysu área.a) Halla la densidad de cada uno de los continentes.b) Señala que continente tiene la densidad más alta.

4. Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 10 cm.a) ¿Cuánto miden los lados de otro

semejante cuyo perímetro es de 240cm.? Ayuda.- El perímetro es la suma detodos los lados.

b) El área del primer triángulo es:6 8

224

×= cm2.

Halla el área del segundo multiplicandola base por la altura y dividiendo por 2.

c) Halla la razón que existe entre cada ladoy su correspondiente, entre los períme-tros de los dos triángulos y la que hay en-tre las dos áreas.

d) ¿Podemos afirmar que los lados yel perímetro están en proporción directa?

e) ¿Y las áreas?

6 cm

8 cm

10 cm

Actividades tema 3

253

5. Estos dos triángulos son semejantes ¿Cuánto miden ‘a’y ‘b’?

6. Los fabricantes de T.V. indican que la mejor distancia para ver estos aparatos es aquellaque guarda con la diagonal de la pantalla la razón ‘2 /11’.

a) ¿A qué distancia debemos situarnos para ver de forma idealun televisor de 25”? ¿Y de 28”?

b) Expresa los resultados en cm.

7. En una urbanización el precio de los pisos depende de los m2 que tenga. Nos enseñan unpiso de 90 m2 que vale 180.000 euros.

a) ¿Cuánto vale el apartamento de 35 m2 que vende la urbanización?

b) ¿Y la residencia de 200 m2?Ayuda.- Reduce a la unidad calculando el precio de cada m2.

Observa que esto significa que si ‘p’ es la medida de la diagonalde la pantalla y ‘d’ es la distancia idónea entonces podemosformar una proporción igualando las dos razones:

.11

2

d

p=

7 cm

18 cm

a cm3 cm

b cm

9 cm

La pulgada (”) es unamedida inglesa que tienesu equivalencia en elSistema Métrico Decimal:

54'2"1 = cm.

Actividades tema 3

254

8. En España para hacer el reparto de escaños al Congreso se utiliza el método D’Hont,método NO proporcional, para premiar a los partidos grandes intentando conseguir conello una mayor estabilidad política. En las elecciones de marzo de 2000 los resultadosfueron aproximadamente:

Escaños (D’Hont) Votos (miles) Escaños (proporc.)PP 183 10.000 10 000 0 0166 166. '× =

PSOE 125 7.500 7 500 0 0166. '× =

CIU 15 900IU 8 1.200

PNV 7 350CC 4 200

BNG 3 300EA 1 100

ERC 1 200C.A 1 50PA 1 200

IC-V 1 100350 21.100

Si el total de votos ha sido de 21’1 millones, es decir 21.100.000. ¿cuál sería el repartocon un sistema proporcional?. Hazlo completando la tabla y sabiendo cuántos escañoscorresponden a cada millar de votos, esto es 350

211000 0166

.'= .

9. En una nave espacial caben víveres para que 8 cosmonautas puedan alimentarse durante15 días.

a) Si finalmente viajan 6 cosmonautas, ¿para cuántos días disponen de alimentos?

b) Si se va a realizar una expedición que durará 40 días, ¿cuántos cosmonautaspueden incorporarse a esa expedición?

Actividades tema 3

255

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPOOORRRCCCEEENNNTTTAAAJJJEEESSS10. En un centro de Educación de personas adultas con 86 estudiantes encontramos que 50

piensan seguir estudiando en la escuela algún seminario.

a) Forma la razón de personas que piensan seguir frente al total.

b) Expresa esa razón en forma de porcentaje.

11. El 80% de los españoles dice no ser racista. Si consideramos que la población total es de40 millones de habitantes ¿Cuántos millones de personas han mostrado esa opinión?

12. En el dibujo siguiente está representado un conocido juego geométrico, “El Tangram”.Calcula:a) ¿Qué razón o fracción representa el área de cada porción con respecto al área

total?

b) Expresa los resultados del apartado anterior en forma de porcentajes.

c) Exprésalos también en tantos por mil.

Actividades tema 3

256

13. En una fotocopiadora reproducimos una foto de tamaño 10 × 15 cm.

a) Si hacemos una reduccióndel 80% ¿qué tamaño tendráesta copia?

b) Si de esta copia hacemosotra ampliando al 120%¿Cuál será el nuevo tamañoobtenido? ¿Qué proporciónguarda con la original?

c) Saca una conclusión queconfirme o niegue si alaumentar o disminuir al 80%y 120% respectivamente seobtiene el tamaño original ono.

d) Calcula cuánto aumenta (en%) o disminuye la fotooriginal si inicialmenteaumentamos al 120% yposteriormente reducimos al80%.

333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS RRREEEPPPAAARRRTTTOOOSSS14. Dos urbanizaciones deciden instalar una piscina compartida cuyo coste es de 15.600

euros. Si la primera comunidad tiene 75 vecinos y la segunda 55 y deciden pagarproporcionalmente al número de vecinos

a) ¿Cuántos euros debe pagar la primera comunidad?

b) ¿Cuánto debe pagar cada vecino?

15. El testamento de un matemático dice “Deseo que mi capital, 700.000 euros, searepartido entre los tres herederos proporcionalmente a la edad de cada uno”. Si lasedades de los tres son 40, 60 y 75 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Actividades tema 3

257

16. Al escribir un libro de Matemáticas tres autores cobraron 13.440 euros. Desean repartirel dinero según el número de temas que ha escrito cada uno. El primer autor escribió 14temas, el segundo 18 y el tercero 24. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

444... TTTRRRAAABBBAAAJJJAAAMMMOOOSSS CCCOOONNN EEESSSCCCAAALLLAAASSS17. ¿Cuál será la distancia en el terreno entre dos lugares separados 33 mm. en un mapa si

la escala de éste es 1:300.000?

18. a) Construye la escala gráfica correspondiente a E = 1:300. Para ello sólo necesitaspensar que cada cm. de dibujo deben ser 300 cm en la realidad.

b) Haz lo mismo con la escala 1:400.000.

19. Al dibujar un edificio de 50 m. de altura lo representamos con una altura de 25 cm. en elpapel.

a) ¿Qué razón forman la medida del dibujo y la altura real del edificio?

b) Si una ventana mide 80 x 120 cm. ¿qué medidas debo utilizar en dibujo?

Actividades tema 3

258

20. Observa las figuras siguientes:

a) ¿Son semejantes?

b) Halla las áreas de las caras lateralessombreadas y la razón existenteentre ellas. ¿Están en proporcióndirecta con la razón de las aristas?

c) El volumen de un prisma recto esigual al área de la base por la altura.Es decir, el volumen de la primeracaja es

V = 20 · 40 · 15 = 12.000 cm3.Halla el volumen de la segunda cajay la razón existente entre losvolúmenes.

21. Una motocicleta recorre 16 km. en 12 minutos con una velocidad constante. ¿Cuántotardará en recorrer la distancia de 50 km?

555... UUUTTTIIILLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS LLLAAA CCCAAALLLCCCUUULLLAAADDDOOORRRAAA22. Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplaza

en el vacío a 300.000 km/s, ¿cuántos km. tiene un año-luz?

23. Conociendo la velocidad de la luz por el ejercicio anterior y sabiendo que la distanciamedia de la Tierra al Sol son 150 millones de km. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del Soldesde su superficie hasta la nuestra?

15 cm

40 cm 20 cm

21 cm

56 cm 28 cm

Actividades tema 3

259



b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una ideade tu aprendizaje.

c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades derefuerzo o ampliación, o no es necesario.

��


1. Completa las siguientes frases:

a) Dos figuras que tienen la misma forma pero el tamaño diferente son ....................

b) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar unamagnitud, la otra ……………

c) 0’05 = ..........% y 17 ‰ = ......... % = ...... ...... unidades.

d) Un plano hecho a escala E=1:5.000 muestra (más/menos) ............... detalles queotro a escala E=1:500.

e) El número 5’42 · 1017 tiene ........... cifras.

2. Contesta verdadero (V) o falso (F):

a) La proporción entre el diámetro de una rueda y el númerode vueltas que da es directa. �b) Las figuras semejantes sólo se diferencian en el tamaño. �c) El porcentaje es el tanto por uno multiplicado por 100. �d) En los repartos proporcionales podemos comprobar elresultado. �e) Al aumentar la escala se reduce el dibujo. �f) La tecla EXP permite que escribamos números de 100cifras. �

3. Si 300 g. de jamón cuestan 6 euros ¿cuánto costará un kg.?

a) 18 euros b) 5 euros c) 20 euros d) 20 gramos

4. Completa la tabla siguiente con valores directamente proporcionales

20 40 60

75 100 125

Actividades tema 3

260

5. El precio de 3 metros de tela es de 12 euros ¿Cuántos cuestan 50 m.?

a) 600 euros b) 200 euros c) 150 euros d) 300 euros

6. Un coche gasta 7 litros de gasóleo cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido si hagastado 25 l.?

a) 227’14 km. b) 28 km. c) 250 km. d) 357’14 km.

7. Un grifo vierte 12 l/min. En una bañera tardando en llenarla 2 horas. ¿Cuánto tardaría sisu caudal fuese 15 l/min.?

a) 150 min. b) 2’5 h. c) 96 min. d) a y b son ciertas

8. El 40% de 175 es:

a) 100 b) 80 c) 70 d) 35

9. Observa el plano del salón que ves en la figura.

Halla las dimensiones de éste, si la escala es E=1:300.

a) 102 m x 66 m b) 10’2 m x 6’6 m c) 12 cm x 6’6 cm d) 102 cm x 660 cm.

10. Dos compañeros de piso compran una colección de CDs. por 126 euros. El primero de losamigos eligió 12 CDs y el 2º sólo 9. ¿Cuánto pagará cada uno?

a) 72 y 54 euros b) 54 y 36 euros c) 63 euros cada uno d) 108 y 72 euros



��Comprender el vocabulario propio de la Proporcionalidad: razón, proporción, porcentaje,tantos por mil y por uno, prorrateo o reparto proporcional, semejanza, escala.

��Reconocer cuando dos magnitudes son directa e inversamente proporcionales.

��Reconocer dos figuras semejantes y hallar su constante de proporcionalidad.

��Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa.

��Calcular porcentajes y tantos por mil.

��Resolver problemas de reparto proporcional.

��Hallar medidas reales sobre un mapa.

��Calcular las medidas en un dibujo a escala de los elementos con medidas reales.

��Operar con números muy grandes usando la calculadora.

Soluciones tema 3

265

Solucionario


1. En las recetas las raciones y los ingredientes están siempre en proporción directa. Así tenemos

Nº de productos a) b) c) d)

Filetes (gr.)62

126 12 2 4= ⇒ = ⋅ ⇒ =

xx x 16 8 20

Mantequilla (gr.) 40 160 80 200

Vino(cucharadas)

1 4 2 5

Papel (hojas) 2 8 4 10

Jamón (gr.) 60 240 120 300

2. 3 huevos son para 135 gr.a) 1 huevo será 135 : 3 =45 gr.b) 6 huevos serán 45 × 6 = 270 gr.c) 4 huevos serán 45 × 4 = 180 gr.

3. a) El cálculo de la densidad se hace efectuando la división

Densidad (hab./km2)

Europa DPob

kmhab

km= = =. . .

. .' .

2

686 000 000

10 500 00065 3 2

África 14’9

Australia 2’8

Asia 58’1

América 14

b) Europa con diferencia sobre Asia y mucha diferencia sobre los demás.

4. El perímetro de nuestro triángulo es 6 + 8 + 10 = 24 cm. Por tanto la razón es 240

2410= .

a) El correspondiente a 6 cm será 6 × 10 = 60 cm.El correspondiente a 8 cm será 8 × 10 = 80 cm.El correspondiente a 10 cm será 10 × 10 = 100 cm.

b) .24002

6080 2cm=×

c) Para los lados 80

810= . Para el perímetro 240

2410= . Para las áreas .100

24

400.2=

d) Sí.e) No.

5. Al ser semejantes los lados serán directamente proporcionales y por tanto:7

3

187 54

54

77 7

7

3 963 3

63

321

= ⇒ = ⇒ = =

= ⇒ = ⇒ = =

bb b

aa a

' .

• .

Soluciones tema 3

266

6. a)

||

||

1542

308d11·28d·2

d

28

11

2

5'1372

275d11·25d·2

d

25

11

2

==⇒=⇒=

==⇒=⇒=b)

.9'316'39154'2·154

.5'325'34954'2·5'137||

||

mcm

mcm

≈=

≈=

7. El tanto por uno es lo que vale cada m2. Es decir .000.290

000.18022 mm

∈=∈

a) 35 × 2.000 = 70.000 �� b) 200 × 2.000 = 400.000 ��

8. Si completamos la tabla tal y como nos muestran los dos primeros ejemplos tendremos:

Escaños (D’Hont) Votos (miles) Escaños (proporc.)PP 183 10.000 166

PSOE 125 7.500 124CIU 15 900 15IU 8 1.200 20

PNV 7 350 6CC 4 200 3

BNG 3 300 5EA 1 100 2

ERC 1 200 3C.A 1 50 1PA 1 200 3

IC-V 1 100 2350 21.100 350

9. a) La razón de los cosmonautas es6

8 y la de los díasx

15 , como vemos si hubiese la mitad de viajeros

durarían el doble de tiempo los víveres por lo que las magnitudes son inversas y a la hora de establecer laproporción debemos invertir una de las dos razones quedando

206

12015·8·6

15

8

6==⇒=⇒= xx

xdías.

b) Podemos resolverlo igual que antes estableciendo 340

15

8=⇒= x

x astronautas. También podemos

hacerlo reduciendo a la unidad. Si 8 pasajeros tienen para 15 días uno solo tendrá para 15 · 8 = 120 días. Portanto como 40 son la tercera parte de 120 días podrán viajar el triple de cosmonautas. Es decir, 1 · 3 = 3personas.

10. a) 5086

0 581= ' b) 0’581 × 100 =58’1 %

11. 80%80

1000 8 0 8 40 000 000 32 000 000= = ⇒ × =' ' . . . . hab.

12. a) b)

c) 25 % = 250 o/oo.

6’25 % = 62’5 o/oo.

12’5 % = 125 o/oo.416

14

=

416

14

=

216

18

=

216

18

=2

1618

=

1

16

1

16

25 %

25 %

12 5' %

12 5' %

12 5' %

6 25' %

6 25' %

Soluciones tema 3

267

13. a) Ancho: de

Largo: de

80% 10 8

80% 15 128 12

=

=

⇒ ×

b) Ancho: de

Largo: de

120% 8 9 6

80% 12 14 49 6 14 4

=

=

⇒ ×

'

'' '

c) Reduciendo una cantidad un 20% y aumentando el resultado posteriormente el 20%, la cantidad inicialse reduce a un 96%, es decir un 4% de reducción.

d) }Aumento: de disminución: de120% 10 12 80% 12 9 6= → = ⇒; ' Reducción del 4% también.

14. a) El total de vecinos es 75 + 55 = 130. Por tanto las razones de cada urbanización son:

La 1ª comunidad:75

130

La 2ª comunidad:55

130

= ⇒ × =

= ⇒ × =

0 58 0 58 15 600 9 000

0 42 0 42 15 600 6 600

' ' . .

' ' . .

b) 15.600 ÷ 130 = 120 ��

15. El total de años para hacer las razones iniciales es 40 + 60 + 75 = 175.

El 1 heredero:40

175

El 2 heredero:60

175

El 3 heredero:75

175

er

0

er

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

0 23 0 23 700 000 160 000

0 34 0 34 700 000 240 000

0 43 0 43 700 000 300 000

' ' . . .

' ' . . .

' ' . . .

16. El total de temas para hallar las razones iniciales es 14 + 18 + 24 = 56.

El 1 autor:1456

El 2 autor:1856

El 3 autor:2456

er

0

er

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

0 25 0 25 13 440 3 360

0 32 0 32 13 440 4 320

0 43 0 43 13 440 5 760

' ' . . .

' ' . . .

' ' . . .

17. 33 mm. × 300.000 = 9.900.000 mm. ⇒ 9’9 km.

18. a) Cada 100 cm es un m, por tanto: b) Como 1 km tiene 100.000 cm:

19. a) E =25 cm50 m

25 cm5.000 m

1200

= =c

.

b) 80 cm : 200 = 0’4 cm = 4 mm120 cm:200 = 0’6 cm = 6 mm.

20. a) Sí, porque 40

56

20

28

15

210 714= = = ' .

b) Las áreas del primer y segundo rectángulos respectivamente son: 20 · 15 = 300 cm2; 28 · 21 = 588 cm2.

No están en proporción directa con sus lados puesto que: 0 7120

28

15

21

300

5880 51' ' .= = ≠ ==

c) El área de la base de la 2ª caja es 56· 28 = 1568 cm2. Por tanto el volumen esV =1568 · 21= 32.928 cm3.

Tampoco están en proporción directa porque la razón entre volúmenes es:12 000

32 9280 36 0 71

.

.' . ' .= ≠

21. La velocidad de un móvil y la distancia que recorre son directamente proporcionales (la velocidad con eltiempo son inversamente proporcionales) por tanto

16

12

5016 50 12

600

1637 5

kmmin

kmx min

x x min= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ' .

3 m 4 km

Actividades tema 4

272

3. La depreciación anual del valor de un coche es del 20%.a) Completa la tabla de depreciación de un coche en de 5 años si se compró por 12.300 �

AÑOS 1 2 3 4 5VALOR 0’8 x 12.300 = 9.840

b) Representa los resultados gráficamente.

c) Comenta los resultados.

4. En el prospecto de cualquier medicamento encontramos cuál es la dosis adecuada enfunción de unos parámetros. Vamos a tomar un jarabe del que sabemos que por cada kilode peso del enfermo debemos administrar 1 ml del jarabe, pero la dosis nunca puedeexceder de 62 ml y tampoco debe ser suministrada si el paciente pesa menos de 10 kilos.a) Completa la tabla que indica la dosis de jarabe según el peso del paciente.

PESO 10 15 30 45 60 61 62 75 80DOSIS 10

b) Elige una escala adecuada y traza la gráfica que indica la dosis según el peso.

c) Tiene alguna curiosidad esta gráfica.

Actividades tema 4

273

5. Un atleta realiza todas las tardes el siguiente recorrido:a) Sale andando hacia el garaje, que está a 500 metros de distancia, para recoger la moto.

Tarda en este trayecto 10 minutos.b) Permanece en el garaje 5 minutos, tiempo que emplea en arrancar y abrir y cerrar la

puerta.c) Con la moto se dirige a las pistas, a las que llega en 10 minutos y que se encuentran a

5.000 metros del garaje (es muy prudente y no le gusta correr).d) Entrena durante hora y media.e) Vuelve tranquilamente hasta su casa en moto empleando un tiempo de 20 minutos.f) Merienda durante media hora.g) Se acerca hasta el garaje con la moto en 5 minutos.h) Dejar la moto bien colocada y abrir y cerrar la puerta le lleva otros 5 minutos.i) Regresa a casa a pie para lo que necesita 10 minutos más.Realiza una gráfica que recoja los desplazamientos descritos del atleta.

6. Vamos de senderismo y nuestra ruta tiene el siguiente perfil.

Necesitamos construir un gráfico que representeesta situación:Representa el tiempo que transcurre desde queempiezas en el punto A, hasta que finaliza laexcursión en el punto F , dependiendo de los Kmque vayas recorriendo y teniendo en cuenta:- Tramo A-B son 3 km y se sube a 3 km/h.- Tramo B-C son 10 km caminando a 5 km/h.- Tramo C-D son 5 km bajando a 10 km/h.- En el punto D descansamos media hora ydecidimos volver por otro sitio.- Tramo D-E tiene 12 km y vamos a 4 km/h- El tramo E-F tiene 6 km y lo hacemos a 4 km/h.

FE

A CB

D

Actividades tema 4

274

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8 10121416182022242628

Edad(años)Est

atu

ra (

cm.)

222... AAANNNAAALLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS GGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAASSS7. Aquí tienes una tabla de datos que relaciona a cuatro personas con su edad y su altura, y la

gráfica correspondiente. Asocia a cada uno de los puntos de la gráfica el nombre de lapersona a la que representa.

8. El crecimiento de una persona viene expresado en la siguiente gráfica:

a) Indica cuáles son las variablesque se relacionan.

b) ¿Qué significa que la gráficapase por los puntos (8,125) y(16,170)?.

c) ¿A qué edad alcanza 150 cm.?

d) ¿Qué altura tendrá a los 25años?.

e) Realiza un breve informe quedescriba el crecimiento de estapersona.

150

155160

165170

175

0 10 20 30 40 50

Edad

Alt

ura

a

bc

d

NOMBRE EDAD ALTURAJuan 14 160Jaime 35 155Ana 26 170Sonia 43 165

Actividades tema 4

275

9. Elige la gráfica que mejor se ajusta a cada una de las situaciones siguientes.

a) La inflación sigue creciendo y cada vez más rápidamente en estos últimos meses.

b) El estudio sobre el precio que ha de tener un artículo indica que si es muy barato odemasiado caro se perderá dinero.

c) Cuanto más barato sea un artículo más unidades podré adquirir.

d) Se venden mucho las naranjas de pequeño calibre (para zumos) y de gran calibre (parapostre) pero apenas se venden las de calibre intermedio.

e) El precio del petróleo sigue bajando pero cada vez menos.

f) El banco europeo sigue aumentando el precio del dinero, pero cada vez máslentamente.

10. Describe una situación que se pueda hacer corresponder con la siguiente gráfica:

11. La gráfica que expresa la altura que alcanza una piedra desde que ha sido lanzada hastaque vuelve al suelo según va transcurriendo el tiempo es:

a) ¿Durante cuánto tiempo estáaumentando la altura? ¿Cómointerpretas que sea creciente?

b) ¿Qué ocurre a partir del segundo 9?

c) ¿Dónde se encuentra el máximo?¿Qué significado tiene? ¿Qué pasacon la velocidad en ese instante?

7

1 2 4

5

3

6

0

50

100

150

200

0 50 100 150Tiempo(min.)

Dis

t. (

m.)

Tiempo (s)

Altura (m)

100

2 4 6 8 10 1412 16 2018

300

200

400

Actividades tema 4

276

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

tiempo (horas)

distancia (km)

0

5

10

15

20

1 2 3

tiempo (h)

distancia (km)

12. Las siguientes gráficas representan las excursiones al campo que realizamos losdomingos. Podrías contar en qué consistió la excursión de cada domingo. Ayúdate de laspreguntas que están a la derecha de cada gráfica.

a)• ¿Qué ocurre entre la 2ª y 3ª

hora?

• ¿Qué velocidad llevamos en la1ª hora?.

• ¿Y en la última?

• ¿Cómo podríamos justificar esecambio en la velocidad?.

b)• ¿Cuántos km hemos recorrido en

la primera hora?. ¿Y en lasegunda?

• Calcula la velocidad en los dostramos anteriores. ¿Por quémotivo hemos cambiado lavelocidad?

• ¿Qué pasa entre la segunda y latercera hora?.

• ¿Cuántos km hemos andado entodo el trayecto?

• ¿Desde dónde salimos?. ¿Qué explicación le podríamos dar?.

• Si por el camino nos encontramos marcas que nos indican a qué distancia estamos¿Qué distancia es la máxima que veremos?.

Actividades tema 4

280

19. La siguiente tabla refleja el peso y la altura entre las niñas de 2 a 18 años

Edad 2 4 6 8 10 12 14 16 18Peso (kg) 11 15 19 23 30 39 48 52 52Altura (cm) 85 100 105 125 138 149 158 162 162

a) Elabora una gráfica que te permita saber el peso y la altura conociendo la edad.b) ¿A qué edad se detiene el crecimiento de las chicas?c) ¿Qué dirías a una chica de 13 años que pesa 30 kg?d) De los 10 a las 12 años, ¿cuánto aumenta el peso?, ¿cuánto la altura?. ¿Aumentan en

la misma proporción?

20. La variación que experimenta el peso y el tamaño del feto durante los meses de gestaciónvienen expresados en la siguiente tabla:

Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9Tamaño (mm) 8 40 90 200 300 350 400 450 500Peso (g) 0´ 5 5 40 200 500 1000 1500 2500 3200

a) Representa en una gráfica la evolución del peso y el tamañob) ¿En qué período es más rápido el crecimiento?c) ¿A partir de qué mes el crecimiento es más lento?d) ¿Cuánto mediría y pesaría un feto si naciera a las 30 semanas?

Actividades tema 4

281

21. Cada mes nos hacemos un análisis de sangre para controlarnos el nivel de glucosa, ésta semide en mg por cada 100 ml. Simultáneamente se mide la cantidad de plaquetas por mm3.La tabla muestra los resultados en los últimos 8 meses.

Meses E F M A M J J AGlucosa 90 98 120 100 90 75 95 130Plaquetas(miles) 200 210 220 200 205 300 215 200

Teniendo en cuenta que:Los valores normales de glucosa oscilan entre 75 y 105 y que las plaquetas aumentan enlos procesos infecciosos.

a) Haz una representación gráfica de la situación.

b) ¿Dónde se alcanzan los máximos de glucosa. ¿A qué crees que es debido?

c) ¿Y el mínimo de glucosa?. ¿Qué mes presenta más cantidad de plaquetas? ¿Encuentrasalguna relación entre la disminución de glucosa y el aumento de plaquetas?

444... UUUTTTIIILLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS EEELLL OOORRRDDDEEENNNAAADDDOOORRR22. Haz la gráfica de la glucosa y las plaquetas del ejercicio 21 con la hoja de cálculo.

Introduce en las dos primeras filas los valores de estos dos componentes y utiliza el iconoadecuado.

Actividades tema 4

282

��



a) La coordenada de la variable independiente se llama ……………y se señala sobreel eje ………………

b) Cuando en una gráfica todas las marcas de alrededor de un punto están por encimade éste decimos que en ese punto tiene un…………..

c) Si en una gráfica al desplazarnos hacia la derecha la gráfica sube decimos que es……………..

d) Si una gráfica es ………… no puede haber cambios bruscos de ordenada.

e) Cuando hay representadas dos gráficas simultáneamente sobre unos ejes, lospuntos en que se cortan las gráficas indican que los valores de ambas expresionesson……………en esos puntos.


a) La magnitud que es independiente se representa en el ejede ordenadas. �b) Una gráfica que no tiene máximos tampoco tienemínimos. �c) Si una gráfica antes de un punto es creciente y luegodecreciente tiene un máximo. �d) Las gráficas sin saltos son constantes. �e) La escala de los dos ejes no tiene que ser necesariamentela misma. �f) El icono que debes utilizar para hacer un gráfico con la

hoja de cálculo es .�


actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con laque aparece en el solucionario consulta con tu profesor.



Actividades tema 4

283

3. La representación gráfica de la tabla siguiente

X 20 30 40 50 60Y 50 75 100 80 80

es:

4. En la noria cada coche sube y baja periódicamente ¿Cuál de las siguientes gráficas es laque representa la altura respecto al suelo según varía el tiempo?

5. Elige la gráfica que se representa la siguiente situación: “Juan va de su casa al trabajo. Alsalir del trabajo va a un restaurante que está a medio camino entre su casa y el trabajo.Al acabar de comer se va a casa”.

a) b) c) d)

6. En la gráfica siguiente se muestra la temperatura de la atmósfera dependiendo de la alturaa la que se tome la medida. ¿Qué texto es el más adaptado a ella?

a) La temperatura inicialmente es cre-ciente y luego va cambiando.

b) La temperatura tiene un tramo donde escreciente entre los 15 y los 50 km y otroentre los 85 y los 100.

c) La temperatura es decreciente con laaltura.

d) La temperatura mínima en la atmósferase alcanza a los 15 km.

Temperatura atmósférica

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

altura(km)

T(ºC)

a) b) c) d)

X X X X

Y Y Y Y

Actividades tema 4

285



��Comprender el vocabulario propio de gráficas: Magnitudes independientes o dependientescontinuidad, discontinuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, abscisas,ordenadas.

��Construir una gráfica a partir de una tabla de valores.

��Construir gráficas a partir de un texto donde se indican las variaciones que se producen.

��Analizar gráficas estudiando los tramos de crecimiento, decrecimiento, los puntos dondela gráfica alcanza máximos y mínimos y reconocer cuando una gráfica tiene o no saltos.

��Comparar dos gráficas trazadas sobre los mismos ejes y reconocer el significado de lospuntos donde se cortan.

��Introducir los valores de la variable dependiente en las celdas de la hoja de cálculo Excely trazar con ayuda de este programa el gráfico.


��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................




��Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre estetema puedo realizar las actividades de ampliación

Actividades tema 4

288

5. Se ha hecho un estudio de la evolución del turismo en España y se quiere comparar comose desarrolla a lo largo del año en tres destinos turísticos por excelencia, la gráficaresultante es la siguiente

a) ¿Cuál de las tres zonas tiene más visitantes en verano?

b) ¿Cuándo tienen las tres zonas los mismos visitantes?

c) ¿En que periodo es creciente el turismo en Baleares?

d) ¿Qué zona tiene un turismo más regular (el número de turistas es constante?

e) ¿En qué periodo tiene más turismo Levante que Canarias?

E vo lu c ió n p o rce n tu a l d e l n ú m e ro d e v is ita n te sex tran je ro s e n E s p a ñ a

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

e f m a m j j a s o n d

%

B a lea res Levan te C anarias

Actividades tema 4

289

��

�

1. Los cestillos de una noria suben y bajan mientras gira la distracción. La gráfica quemuestra la distancia de uno de ellos al suelo según varía el tiempo es la siguiente:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?

b) ¿Cuántos máximos tiene y cuál es la altura máxima?

c) ¿Y la mínima?

d) Podrías calcular la altura a los 120, 130 y 140 segundos (no es necesario queamplíes la gráfica).

2. El perímetro del cráneo de un niño presenta el siguiente crecimiento:• Durante los 3 primeros meses de vida alcanza los 40 cm.• En los 6 meses siguientes el perímetro ha aumentado 4 cm.• En los siguientes 6 sólo aumenta 2 cm.• En los 18 meses siguientes aumenta 3 cm.

a) Completa la siguiente tabla

MESES 3 9 15 33PERÍMETRO 40 44

b) Elige la escala adecuada y representa la gráfica.

c) Fijándote en la gráfica, contesta:¿Cuál será el perímetro a los 6 meses?, ¿y a los 12 meses?¿Cuánto mide el cráneo a los 21meses, y a los 27?

Algunas gráficas comoésta tienen un tramo quese repite sucesivamente.Estas gráficas se dice queson periódicas y a ladistancia entre dospuntos que ocupan lamisma situación se lellama periodo.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80tiempo (s)

altura (m)

Actividades tema 4

290

3. a) Completa la tabla que relaciona la base de un rectángulo cuya área es de 240 cm2.

Base (cm) 5 10 15 20 25 30

Altura (cm) 485

240= =

10

240

b) Representa gráficamente la tabla.

c) ¿Es creciente o decreciente esta gráfica?

El área de un rectánguloes igual al producto de labase por la altura.

hBA ×=

Actividades tema 4

291

0

15000

30000

45000

60000

1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000Año

Ha

bit

an

tes

4. La gráfica adjunta muestra la evolución de la población en una ciudad según los censosque se han ido haciendo

a) ¿En qué años hay aumento de lapoblación? ¿Y cuándo disminuyó?

b) ¿Cuál fue el año que tuvo elmáximo de habitantes? ¿Y elmínimo?

c) ¿Se te ocurren algunas razonespara los descensos de la población?

5. Esta gráfica nos muestra las concentraciones de dióxido de carbono (CO2) en laatmósfera. ¿Qué comentarios te sugiere la gráfica?

260

280

300

320

340

360

1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

Co

nce

ntr

ació

n (

pp

m)

Actividades tema 4

292

6. Estas gráficas describen aproximadamente el comportamiento de tres atletas durante unacarrera de 400 m lisos.

a) ¿Cuál de los tres salió a másvelocidad?

b) ¿Quién ganó la carrera?

c) Describe que posiciónocupaba cada uno de loscorredores a lo largo de lacarrera.

7. Observa las siguientes gráficas que relacionan el aumento salarial y el IPC interanualdesde 1994 hasta 2000.

a) Analiza la primera gráfica.

b) Analiza la segunda gráfica.

c) Compara ambos análisis y comentalos resultados.

d) Elabora una tabla de datos dondefigura la variación del poderadquisitivo de los trabajadores a lolargo de los años estudiados.

0

100

200

300

400

0 10 20 30 40 50 60

tiempo (s)

distancia (m)

A C

B

Aumento salarial/IPC interanual

3,4 3,7 3,82,9 2,6 2,3

1,8

0

1

2

3

4

1992 1994 1996 1998 2000 2002

0

1

2

3

4

5

1992 1994 1996 1998 2000 2002

Actividades tema 4

293

8. Representa gráficamente las fórmulasa) y = xb) y = 2xc) ¿Qué forma tienen las dos?d) ¿Qué punto tienen en común?e) ¿Qué ocurre cuando el número que multiplica a la x se hace más grande?f) Investiga que ocurrirá cuando ese número sea negativo

A veces la relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una fórmula que nosindica las operaciones que debemos realizar sobre la variable independiente para ir obteniendolos correspondientes valores de la dependiente.Por ejemplo la fórmula f(x) = 5· x expresa que la ordenada de cada abscisa se obtienemultiplicando ésta por 5.Para representar estos gráficos podemos ayudarnos con la elaboración de una tabla eligiendoarbitrariamente los valores de las abscisas y calculando mediante la fórmula los valores de lasordenadas.En nuestro caso por ejemplo Su representación será:

X 2 4 6 8 ...f(X) 5 · 2 = 10 20 30 40 ...

La fórmula anterior se puede utilizar para el estudio de diferentes situaciones reales como porejemplo: la representación del espacio recorrido por una persona en función del tiempotranscurrido si camina a una velocidad de 5 km/h (e = v · t), la representación del coste devarios artículos cuyo precio por unidad es de 5 �� coste = precio unidad × nº unidades), etc.

2 4 6 8

10

20

30

40

O

Soluciones tema 4

294

Solucionario


1.a) V. Independiente: semanas. V.

Dependiente: cotización.

b) Escala de los ejes. Por ejemplo de0’0050 en 0’0200.

c) Empieza en 0’8400.

d) �

e) Como el tiempo varía de formagradual la gráfica será continua si nohay ningún instante en el que seproduzca algún cambio brusco decotización como ocurrió por ejemploel pasado 11-Sept-02.

2. a) b)CONSUMO (m3) COSTE (��

0 8’335 9’9310 11’5315 13’1320 14’7325 15’33

c) Sí, pues el consumo de agua puede tomar cualquier valor entre 0 y 25 aunque en la tabla no esteexpresado.

3. a) y b)

AÑOS VALOR1 9.8402 7.8723 6.297’64 5.038’085 4.030’46

c) Observa cómo en 5 años pierde más de la mitad de su valor original.

4. a)PESO 10 15 30 45 60 61 62 75 80DOSIS 10 15 30 45 60 61 62 62 62

Cotización euro/dólar

0,830,840,850,860,870,880,89

0 2 4 6 8semana

coti

zaci

ón

Cotización euro/dólar

0,830,840,850,860,870,880,89

0 2 4 6 8semana

coti

zaci

ón

02000400060008000

100001200014000

0 2 4 6AÑOS

VA

LO

R

cosumos/precios

0

5

10

15

20

0 10 20 30consumos (m3)

pre

cio

s (�

�

302

7. Una persona hace todas las mañanas el siguiente recorrido:

• En primer lugar baja a por el pan a una panadería que se encuentra a 50 metrosde su casa, utilizando 8 minutos para realizar el trayecto.

• Normalmente lo atienden en cuatro minutos.• Después se acerca a por el diario a un quiosco que se encuentra situado a 20

metros más allá de la panadería.• Son muy rápidos y en dos minutos ha terminado.• Vuelve a casa a desayunar, trayecto en el que tarda 12 minutos más.

Representa una gráfica que recoja este desplazamiento diario.

8. Estas gráficas representan la evolución de los precios del petróleo producido por la OPEP(Organización de Países Exportadores de Petróleo) y de la producción de petróleo de estaorganización en tanto por ciento respecto de la producción mundial.

a. Describe ambas gráficas indicando si tienen saltos o no, tramos de crecimiento y dedecrecimiento, existencia de máximos y mínimos, …

b. Relaciona ambas gráficas y comenta los resultados.

Evolución precio barril/producción depetróleo en la OPEP

9,31

2834

2011,6

010203040

1970 1975 1980 1985 1990 1995

$/ B

arri

l

20

30

40

50

60

70

1970 1975 1980 1985 1990 1995

% d

el t

ota

l mu

nd

ial




Cuaderno de ActividadesUnidades 5 a 8

Actividades tema 5

304

c) Contribución al cambio climático por regiones del planeta

a) ¿De qué tipo de gráficas se trata?

b) ¿Qué estudia cada gráfica?

c) ¿Qué conclusiones sacas de cada una de ellas acerca del objeto de estudio?

Actividades tema 5

307

6. La media de las notas obtenidas en las tres pruebas realizadas en unas oposiciones ha sido6. Sé que dos de las notas eran 7 y 4, pero he olvidado la tercera. ¿Podrías ayudarme acalcularla?.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Tablas de frecuencias: Han de tener esta forma

Calific. (Xi) Frecuencia (Fi)

Cálculo de la media: Se suman todos los datos y se divide por el número total deéstos. Se representa como x .

Cálculo de la mediana: Es el valor que ocupa la posición central después de haberordenado todos los valores.

Cálculo de la moda: Valor que más se repite.

Actividades tema 5

308

7. Se ha hecho un estudio sobre el número de hijos de las parejas de una ciudad. Para ellohemos encuestado a una muestra de 60 parejas elegidas al azar y los resultados han sido:

Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Frecuencia 11 12 25 5 3 2 0 1 0 0 0 1

a) Elabora un gráfico que se adapte a las características de la variable.b) Calcula las medidas centrales que consideres oportunas.c) Calcula el recorrido, la desviación media y la desviación típica.

Cálculo de la desviación media: Una vez calculadas las desviaciones (Di) hayque calcular la media aritmética de todas ellas. Para esto añadimos la columna delproducto de las desviaciones (Di) por las frecuencias (Fi), o sea, Di · Fi.

Calificaciones (Xi) Frecuencia (Fi) Di = | Xi -x | Di · Fi

TOTALES N=50 Σ |xi - x |· Fi =

DM =N

Fxx ii∑ − ·

Cálculo de la desviación típica: El cálculo se realiza aplicando las siguientesfórmulas:

Para simplificar el cálculo recuerda que es conveniente rellenar la siguiente tabla:

Tiempo(Xi)

Frecuencia (Fi)

Xi· Fi Xi2

· Fi

TOTALES

N=50 191

También se puede calcular utilizando la calculadora según se explica en elapartado correspondiente del libro de texto.

VarianzaTípicaDesviaciónxN

fx

Varianza

n

iii

=−⋅

=∑= ;21

2

Actividades tema 5

310

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDD

9. Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o deterministas.

a) Extraer una carta de una baraja. ………………………………..b) La duración real de la clase de matemáticas. ………………………………..c) Los horarios de los trenes un día laborable. ………………………………..d) Lanzar una piedra al aire y observar si cae o no………………………………..e) La cantidad de electricidad que se consume a diario en tu casa. …………………..f) ¿Quién va a ganar en el partido de baloncesto de mañana?. ………………………..

10. En la lotería, la gente habla de números bonitos y dicen que tocan más. Los más popularesson los capicúas, como 35.753 (un número es capicúa si se lee igual comenzando por elfinal). En cambio hay números que nunca compraría, como el 00.002 o el 66.665. ¿Quéopinas tú, tiene más probabilidad de tocar un número que otro?

11. En una prueba de control de calidad probamos 1.000 bombillas, de las cuales 36resultaron defectuosas,

a) si elegimos una bombilla al azar, ¿cúal es la probabilidad de que funcione?b) si el encargado ha enviado 45.000 bombillas a un cliente, ¿cuántas espera que le

devuelvan?

En determinados casos donde todos los sucesos elementales tienen las mismasposibilidades (sucesos equiprobables) se aplica la Regla de Laplace que afirma que enestas situaciones la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casosfavorables y el número de posibles, es decir

( )P SCasos Favorables

Casos Posibles= .

Experimento aleatorio: El resultado no se puede prever.Experimento determinista: El resultado es previsible.

Actividades tema 5

311

12. Un estudio sobre la duración de pilas de distintas marcas arroja los siguientes resultados:

Nº de horas de duración [0,2[ [2,4[ [4,6[ [6,8[Nº de marcas 2 4 5 3

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla escogida al azar dure entre 6 y 8horas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla dure más de 2 horas?

13. Observando durante varios días una máquina tragaperras se han observado los siguientesresultados:

Premio en euros 0 1 1´5 3 6Nº de veces 700 120 15 10 3

a) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener algún premio?c) ¿Y de no obtener ninguno?

Cuando deseamos calcular la probabilidad de un suceso, ésta es igual a la suma de lossucesos elementales que lo componen.

Actividades tema 5

312

14. Antes de lanzar al mercado un fármaco, se ha experimentado con él en ratones,obteniéndose los siguientes resultados:

Trastornos Parálisis muscular Aumento de peso TaquicardiaNº de ratones 15 100 5

Si el fármaco se suministró a 500 ratones

a) Calcula la probabilidad de que un ratón sufra aumento de peso.b) Sufra taquicardia o parálisis muscular.c) No tenga ningún trastorno.

Actividades tema 5

313

��



a) Cuando la variable no puede tomar valores numéricos se denomina ……b) La frecuencia relativa se obtiene …..c) La media no se puede calcular si la variable es ……d) Se llama marca de clase …….e) Las medidas que resumen el conjunto de los datos de un estudio estadístico se

denominan medidas ………f) Las medidas de dispersión informan sobre ….g) Al conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se llama ….............h) En el experimento lanzar un dado, obtener el número 3 es un suceso............. y

obtener un número par es un suceso..........................i) Un suceso que siempre sucede se llama suceso............... , y si no puede ocurrir

suceso .....................


a) La frecuencia relativa puede tomar el valor 2.b) Las variables estadísticas siempre toman valores numéricos.c) La moda se puede calcular cuando la variable es cualitativa.d) La probabilidad de un suceso es un número mayor que uno.e) En cualquier experimento aleatorio todos los sucesos elementales son

equiprobables.f) El suceso contrario de “obtener al menos una cara” al lanzar dos monedas es:

“obtener dos cruces”.g) La suma de las probabilidades de todos los sucesos de un espacio muestral es

siempre uno.

3. En un estudio sobre los sueldos de 130 empleados de una empresa, 55 cobran menos de60 euros mensuales. La frecuencia absoluta de ‘menos de 60’es:

a) 75 b) 0’42 c) 55 d) 42%




c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo oampliación, o no es necesario.

Actividades tema 5

314

4. En un estudio en el que los resultados son: 3, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 3 la moda es:

a) 4 b) 4’5 c) 8 d) 3

5. En un centro de FPA hay matriculados 450 hombres y 630 mujeres. Para seleccionar lamuestra de un estudio donde influye el sexo de los entrevistados, elegiremos:

a) 45 hombres y 63 mujeres.b) 63 hombres y 45 mujeres.c) El doble de mujeres que de hombres.d) Es indiferente el número de hombres y de mujeres que seleccionemos.

6. Observa estas gráficas sobre la subida del precio del gasoil. Podemos deducir:

a) El crecimiento es mayor en el primero.b) El crecimiento es mayor en el segundo.c) El crecimiento es igual en ambos.d) No se puede saber cuál ha sido el crecimiento.

7. En un estudio cuyos datos se ajusten a los de esta tabla,

Metros cuadrados 80 100 120Frecuencia 20 36 16

podemos decir que la media es:

a) 100 b) 36 c) 24 d) 98’9

8. Si tenemos un experimento aleatorio con 50 sucesos elementales equiprobables todosellos. La probabilidad de un suceso será:

a) 1 / 50 b) No lo puedo saber c) 50%

9. ¿Qué probabilidad tiene un suceso que se satisface 2 veces de cada 7?

a) 7 / 2 b) 2 / 7 c) 29%

10. ¿Qué es más probable?

a) Que 5 de cada 10 adultos adultos/as obtengan el GES.b) Que 50 de cada 100 adultos/as obtengan el GES.c) Ambos casos son igual de probables

11. En una urna tienes 3 bolas rojas y 2 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola yque ésta sea azul?

a) 0’5 b) 0’4 c) 0’2

12. Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor de 6?

a) 0’5 b) 1 / 3 c) 5 / 6

0,50

0,56

0,63

0,69

0,75

1999 2000 2001

AÑOS

PR

EC

IO

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1999 2000 2001

AÑOS

PR

EC

IO

Actividades tema 5

315



��Comprender el vocabulario estadístico y probabilístico: Población, muestra, variable,frecuencia relativa, espacio muestral, sucesos, probabilidad de un suceso.

��A partir de los datos, hacer el recuento y presentar la información en una tabla, es decir,organizar la información.

��Elegir la representación gráfica más adecuada, (diagrama de barras, polígono defrecuencias, diagrama de sectores,....) en función de los datos.

��Razonar sobre la información ofrecida en prensa, televisión, ...relacionada con mensajesestadísticos y probabilísticos.

��Detectar errores o “falsas ideas” en las representaciones estadísticas.

��Conocer las medidas de centralización, eligiendo la más adecuada dependiendo del tipode variable.

��Interpretar las medidas de dispersión, junto con las de centralización para sacarconclusiones.

��Utilizar la calculadora para obtener la media y la desviación.

��Reconocer fenómenos aleatorios en la vida diaria.

��Distinguir situaciones en las que los sucesos nos son equiprobables.

��Utilizar la Ley de los grandes números y la regla de Laplace para calcular probabilidades.


“TENGO DU DAS EN”

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................





Actividades tema 5

316

��

1. Escribe un ejemplo de cada tipo de variables:

a) Cuantitativab) Cualitativa

2. Las notas sacadas por los 20 alumnos del 2º nivel del ciclo II de uncentro de FPA en elmódulo “Ciencia y tecnología”han sido las siguientes:

3, 5, 7, 4, 5, 8, 8, 4, 5, 6, 6, 9, 4, 5, 6, 6, 5, 7, 3, 8.

a) Completa la tabla de frecuencias y porcentajes:

Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia(Fi) 2% 10

b) Dibuja el diagrama de barrasc) Calcula la mediana y la moda.d) Añade la columna nota(Xi) · frecuencia(Fi)

Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia(Fi) 2% 10

Xi · Fi 6

e) Calcula la media. Para ello antes has de calcular el total de las frecuencias y de losproductos de la última fila.

3. Si extraemos una carta de una baraja española (48 cartas) calcula la probabilidad de lossiguientes sucesos:

a) Sacar el rey de oros.b) Extraer un rey.c) Obtener una carta de copas.d) Sacar una figura.e) Sacar un número inferior a 5.

4. La siguiente tabla refleja diferencias entre los países desarrollados y los países del tercermundo:

Tercer Mundo DesarrolladosPoblación (en millones) 4.400 1.600Población sin agua potable 50% 1,5%Población adulta analfabeta 26% 5%Población de niños escolarizados 46% 93%Población sin control médico 27% 0,5%

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño/a del Tercer Mundo esté escolarizado?b) ¿Cuántas personas adultas son analfabetas en los países desarrollados?c) ¿Cuántas son analfabetas en el Tercer Mundo?d) ¿Cuál es la probabilidad de nacer en un país del Tercer Mundo?

Actividades tema 5

317

��

1. Una empresa fabrica tornillos de una longitud teórica de 35 mm. Para realizar un controlde precisión sobre el funcionamiento de una máquina nueva se mide la longitud de 100tornillos realizados por esta máquina. Los resultados son:

Diámetro(mm) [33’5, 34[ [34, 34’5[ [34’5, 35[ [35, 35’5[ [35’5, 36[ [36, 36’5[Frecuencia 12 18 26 20 14 10

a) Representa estos datos en un histograma.b) Calcula la media y la desviación típica.

2. Otra empresa fabrica barras de acero de 3’5 metros de longitud. Para realizar un estudiode calidad se seleccionan al azar 50 de estas barras y se miden. Los resultados, encentímetros, son:

356, 359, 352, 350, 355, 350, 347, 338, 363, 347, 351, 351, 354, 343, 345,349, 348, 350, 351, 350, 351, 357, 350, 343, 349, 350, 346, 353, 362, 336, 359,350, 345, 341, 338, 345, 352, 349, 353, 353, 362, 355, 342, 350, 349, 346, 337,347, 343, 352.

a) Agrupa los datos en clases de 5 en 5 centímetros y elabora una tabla de frecuenciasdonde figuren también las marcas de clase.

b) Elabora un histograma para estos datos.c) Calcula media, desviación media y desviación típica.

3. Los cupones de la ONCE están numerados del 00.000 al 99.999

a) ¿Cuál es la probabilidad de qué mi cupón salga premiado?b) ¿Y si juego todas las semanas tres cupones diferentes?

4. La siguiente tabla muestra la incidencia del tabaco en los accidentes laborales, la muestraha sido de 300 personas.

Hombres Mujeres TotalFuman 164No fuman 50Total 178 300

Completa la tabla y calcula la probabilidad de:

a) Si elegimos al azar una de las personas sea mujer no fumadora.b) Si elegimos un hombre, éste sea fumador.c) Una persona al azar sea fumador/fumadora.

Soluciones tema 5

318

Solucionario


1.Nº de productos F. absoluta F. relativa %

Menos de 5 30 0’375 37’5De 5 a 10 40 0’5 50Más de 10 10 0’13 13

N=80

2. Gráfica a): a) Polígono de frecuencias.b) La evolución e las sentencias de divorcios y separaciones desde 1981 hasta 1999.c) El número de divorcios y separaciones han ido en aumento.

Gráfica b) a) Diagrama de barras.b) Estudia la proporción de la población europea que habla como segunda lengua cadauno de los idiomas estudiados.c) El Inglés es el idioma más elegido como segunda lengua.

3.

Se modifica la escala del eje vertical obteniendo un aplanamiento del polígono de frecuencias.

4. a)Valoración Frecuencia Fr. Relativa %

MalaAceptable

BuenaNS/NC

4573266

0’30’490’170’04

3049174

b)

c) La moda por tratarse de una variable cualitativa: lamoda es “Aceptable”.

5.a) 0’5, 0’5, 1,1,1,1’5, 1’5, 1’5, 1’5, 2, 2, 2, 2, 2, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 3, 3, 3, 3, 3, 3’5, 4, 4, 4, 4, 5.

b)Tiempo (horas) De 0 a 1 De 1 a 2 De 2 a 3 De 3 a 4 De 4 a 5 De 5 a 6

Frecuencia(Fi) 2 7 10 6 4 1

Gestión del gobierno

Buena17%

Mala30%

NS/NC4%

Aceptable49%

Beneficios

2

3

4

5

6

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Años

Miles de euros Beneficios

01234567

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Años

Miles de euros

Soluciones tema 5

319

c)Tiempo en horas Marca de clase(Xi) Frecuencia(Fi) Xi · Fi

De 0 o 1 0’5 2 1De1 a 2 1’5 7 10’5De 2 a 3 2’5 10 25De 3 a 4 3’5 6 21De 4 a 5 4’5 4 18De 5 a 6 5’5 1 5’5

.7'230

81x ==

d) El alumno puede opinar sobre la idoneidad de dedicar una media de 2’7 horas semanales de sutiempo libre al trabajo de ONG.

6. Si X es la nota que falta la media será:

(7+4+X)/3=6 � 11+X=18 � X=18-11 => X=7

7. a)

b)Nº hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 sumaFr. (Fi) 11 12 25 5 3 2 0 1 0 0 0 1 60Xi · Fi 0 12 50 15 12 10 0 7 0 0 0 11 117

Di 1’95 0’95 0’05 1’05 2’05 3’05 4’05 5’05 6’05 7’05 8’05 9’05Di · Fi 21’45 11’4 1’25 5’25 6’15 6’1 0 5’05 0 0 0 9’05 65’7Xi

2· Fi 0 12 100 45 48 50 0 49 0 0 0 121 425

x = =117

60195' ; Me = 2; Mo = 2.

c) Recorrido es 11; DM = =65 7

601095

'' ; σ = 81'195'1

60

423 2 =−

8.a) Profesor A:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frecuencia 10 8 6 2 1 0 1 3 5 7 9

Profesor B:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frecuencia 0 2 3 5 8 12 6 4 3 2 1

b) Profesor A:

.0Mo,5'32

43Me,8'4

52

250x ==

+===

Profesor B:

.5Mo,52

55Me,02'5

46

231x ==

+===

05

1015202530

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nº de hijos

Nº

de

par

ejas

Soluciones tema 5

321

12. a)Hemos probado 2 + 4 + 5 + 3 = 14 pilas, P(dure entre 6 y 8 horas) = 3 / 14 = 0’21b)Casos favorables: entre 2 y 4 horas: --4-- entre 4 y 6 horas:--5-- entre 6 y 8 horas:--3--, total 4 + 5 + 3= 12

P(dure más de 2 horas) = 12 / 14 = 0’86

13. Número total de veces jugada = 700 + 120 + 15 + 10 + 3 = 848a) P(0 euros) = 700 / 848 = 0’83 P(1 euro) = 120 / 848 = 0’14

P(1,5 euros) = 15 / 848 = 0’02 P(3 euros) = 10 / 848 = 0’01 P(6 euros) = 3 / 848 = 0’004b) como no específica que tipo de premio, nos valdrán todos,

P(obtener algún premio) = (120 + 15 + 10 + 3) / 848 = 0’17c) No obtener ningún premio es el suceso contrario de obtener algún premio

P(no obtener premio) = 1 - P(obtener algún premio) = 1 - 0’17 = 0’83

14. a) P(aumento de peso) = 100 / 500 = 0’20b) P(taquicardia o parálisis muscular) = (15 + 5) / 500 = 0’04c) Ratones que no sufren ningún trastorno hay 500 - (15 + 100 + 5) = 380

P(no sufrir trastornos) = 380 / 500 = 0’76


1. a) cualitativa; b) dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de la muestra; c) cualitativa; d) al valormedio de un intervalo; e) centrales; f) la separación de los valores de la media; g) espacio muestral;h) elemental, compuesto; i) seguro, imposible.

2. a) F (la frecuencia relativa es un valor entre 0 y 1)b) F (también pueden ser cualitativas)c) Vd) F (es un valor entre 0 y 1)e) F (un dado trucado)f) Vg) V.

3. (c) por definición.4. (a) por ser la que más se repite.5. (a) por mantener las proporciones.6. (c) están alteradas las escalas del eje vertical.7. (d) aplicando la fórmula del cálculo de la media.8. (a)9. (b) aplicando la regla de Laplace.10. (c) porque se mantienen las proporciones.

11. (b) 4'05

2= .

12. (b) Los números pares menores de 6 son 2 y 4.


1. Cuantitativa: por ejemplo la edad, el sueldo, …Cualitativa: por ejemplo preferencias de estudios, color ojos, …

2. a)Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia (Fi) 2 3 5 4 2 3 1% 10 15 25 20 10 15 5

b)

c) Mo = 5; Me = 5 6

25 5

+= '

0 0

2

3

5

4

2

3

1

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Soluciones tema 5

323

c)Longitud Marca de clase Frecuencia Xi · Fi Xi -X o X -Xi Fi · (X-Xi)335 a 340 337’5 4 1350 12’7 50’8340 a 345 342’5 5 1712’5 7’7 38’5345 a 350 347’5 13 4517’5 2’7 35’1350 a 355 352’5 19 6697´ 5 2’3 43’7355 a 360 357’5 6 2145 7’3 43’8360 a 365 362’5 3 1087’5 12’3 36’9

Totales 50 17510 248’8

x DM= = = = =17510

50350 2

248 8

504 976 6 18' ;

''' ; 'σ .

3. a)hay 100.000 números estos serán los casos posibles y favorable sólo uno que es el mío.P(obtener premio) = 1 / 100000 = 0’00001

b) P(obtener premio con 3 cupones) = 3 / 100.000 = 0’00003

4. Tabla completadaHombres Mujeres Total

Fuman 92 72 164No fuman 86 50 136

Total 178 122 300

a) Mujeres no fumadoras tenemos 50, pero como hay que escogerla al azar, la escogeremos de entre las300 personas P(mujer no fumadora) =50 / 300 = 0’17.

b) Hombres fumadores hay 92, pero como sabemos que es hombre hay que escogerlo entre los 178hombres P(fumador , sabiendo que es hombre) = 92 / 178.

c) Personas que fuman tenemos 164, como es al azar tendremos 300 casos posiblesP(fumar) = 164 / 300.

Actividades tema 6

326

3. Inventa situaciones que se correspondan con estas expresiones algebraicas:

a) 2x – 3, si x es la edad de Juanb) 3(x – 1000), si x son mis ahorrosc) (x + 6) : 3, si x son piezas fabricadas

4. Cálculo mental.

a) 2x + 5xb) 5x + xc) 8 x – 6xd) 6x – 8xe) –2 x – x

5. Cálculo mental.

a) 2 · 3 xb) – 2 · 3 xc) 2(- 3 x)d) –2 ( - 3 x)e) 6 (-2x)f) –3 · 4xg) –5 (-3x)

� Para realizar la operación 5 x + x se puede interpretar como 5 de x más 1 de x.� Para realizar la operación –2 x – x, se puede interpretar como que debo 2 de x y debo

1 de x .� Para realizar la operación 2 · 3 x, se puede interpretar como el doble de 3 x.

La operación existente entre un número y un paréntesis, si no se indica, es lamultiplicación. Si lo que hay es un signo negativo se puede interpretar como multiplicarpor –1.

Actividades tema 6

327

6. Quita el paréntesis en las siguientes expresiones:

a) 2 (3 x – 7)b) – (5 x – 4)c) – 2 (x + 6)d) – (8x +4)e) 3 (-4x – 7)

7. Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 2x + 23 = 366b) 3 = 4x + 2c) 2 (x –5) = 3d) 2x – 2 = 3x – 6e) 2x – 4 (x – 7) = x

f) 53

1

2−=

+−

xx

g) 14

3

5=−−

xxx

h) 72

3

2

)2(4

5

3+=

−+

xxx

8. Resuelve el problema con el que introducíamos la unidad utilizando este método:

En una familia se controla el consumo de agua durante tresmeses consecutivos. Se sabe que el consumo del primer mes hasido el doble que el del segundo y en éste el consumo ha sido de309 litros más que en el tercer mes. Si en total se hanconsumido 12.927 litros de agua, calcula el consumo en cadauno de los meses analizados.

Los pasos a seguir en la resolución de problemas mediante métodos algebraicos son:a. Analizar los datos que ofrece el enunciado.b. Identificar la incógnita.c. Establecer la ecuación que relaciona los datos y la incógnita a partir de la

información del texto.d. Resolución de la ecuacióne. Solución al problema y comprobación de los resultados.

Actividades tema 6

329

FÓRMULAS

12. Escribe la fórmula que se explica en cada una de las siguientes frases:

a) El área de un círculo es igual a π por el cuadrado de su radio.b) El precio de un artículo está rebajado un 30% respecto de su precio inicialc) El precio que debe figurar en la factura de un restaurante ha de incluir el 16% de IVA.

13. La fórmula que permite calcular el área de un triángulo es A = (b · a) / 2. Calcula laaltura de un triángulo cuya base es de 4 cm y el área de 10 cm2.

14. La velocidad del sonido es de 344 m/s. ¿A qué distancia habrá explotado un cohete sidesde que se ha visto la luz hasta que se ha oído el ruido han pasado 7 segundos?.Considera que debido a la elevada velocidad de la luz (300.000 km/s), vemos elresplandor en el mismo instante en que explota el cohete.

OTROS PROBLEMAS

15. Completa:

Expresión coloquial Expresión algebraica

��Edad de Marisa. x��La edad de Ángel es triple que la de Marisa __________��Luis tiene 2 años más que Marisa __________

Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entredeterminadas magnitudes y medidas.

Actividades tema 6

330

�� Edad de Ángel hace 5 años __________�� Edad de Luis dentro de 6 años __________�� Edad de Marisa hace 10 años __________�� Dos números consecutivos __________�� Un número par. __________�� Dos números pares consecutivos __________�� La mitad de un número __________�� El cuádruple de un número más su cuarta parte __________�� Espacio recorrido por un coche a 26Km/h en t horas. __________

16. La suma de las edades de tres hermanos es de 219 años. La diferencia entre el menor y elmediano es de dos años y entre el mediano y el mayor la diferencia es de 5 años. Calculala edad de los tres hermanos.

17. Un padre tuvo a su hijo a los 25 años. Si hace tres años la edad del padre era el doble quela del hijo, calcula las edades actuales de ambos.

18. El empleado de una empresa de reparto sale a las 9 h. de la mañana con los paquetes quetiene que distribuir a una velocidad de 100 km/h, pero se olvida uno de ellos. Media horamás tarde sale un compañero tras él para entregarle el paquete olvidado a 140 km/h.¿Cuándo y a qué distancia lo alcanzará?.

19. Dos coches salen a la misma hora de dos ciudades distantes entre sí 520 km, en la mismadirección y sentidos opuestos. Uno de ellos circula a 120 km/h y el otro a 140 km/h.¿Dónde y cuándo se producirá el cruce?.

Actividades tema 6

334

��

��


1. La expresión algebraica correspondiente a “la edad de un padre es el doble que la de suhijo” es:

a) Padre x +2 Hijo 2 x.b) Padre 2 a Hijo a.c) Padre a Hijo 2 a.d) Padre a : 2 Hijo a.

2. La expresión algebraica 3 (x – 1), se corresponde con la frase:a) Al triple de un número le restamos 1.b) A la tercera parte de un número le restamos 1.c) A un número le restamos su triple.d) Al resultado de restarle 1 a un número le calculamos el triple.

3. La solución de la ecuación 3 x + 2 = 5 es:a) 1b) – 1c) 0d) 2

4. Si la fórmula para calcular la densidad de una materia es d = M/V (densidad = masa/volumen), halla la masa correspondiente a una densidad de 0’4 kg/l y un volumen de 10 l.

a) 4 kgb) 40 kgc) 1’4 kgd) 0’6 kg

5. La solución de la ecuación 2 x – 5 = x + 10, es:a) 5b) – 5c) – 15d) 15


actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con laque aparece en el solucionario consulta con tu profesor.



Actividades tema 6

336



��Traducir situaciones cotidianas problemáticas al lenguaje algebraico después de habermefamiliarizado con él.

��Plantear ecuaciones de primer grado adecuadas a la situación planteada en los problemas.

��Resolver las ecuaciones de primer grado y adaptar su solución a la del problema.

��A interpretar las fórmulas de las diferentes ciencias como expresiones algebraicas y autilizarlas en la resolución de problemas.

“Aún tengo dificul tades en …”

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................





Actividades tema 6

337

��

��

1. Traduce al lenguaje algebraico:a) El doble de un número más tres unidades.b) Tres números consecutivos suman once.c) Edad de una persona hace cuatro años.d) Edades de un padre y su hijo si la edad

del primero es el triple que la delsegundo.

e) Espacio recorrido por un coche que semueve a velocidad constante de 90Km/h en t horas.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 5 = x – 6b) 3 (x - 5) = x – 15c) 5 - (2x + 6) = -x + 10

3. Si al doble de un número le sumamos 10 el resultado es el mismo que si restamos elnúmero a 43. ¿De qué número se trata?.

4. Si al doble de los años que tengo le restas el doble de los que tenía hace cinco añosresultará mi edad actual.

5. Teniendo la misma cantidad de monedas de 50 céntimos, de20 céntimos y de 2 céntimos, tengo una cantidad total de2’88 �� ¿Cuántas monedas tengo de cada tipo?.

Actividades tema 6

338

��

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 14

3

6

1−=

+−

+ xx

b) 78

22 +=

++ x

xx

c) 09

2

15

12=

+−

+ xx

2. En una joyería se trabaja con lingotes de oro de ley 0’750 y de ley 0’950. Si quierenrealizar un diseño para el que necesitan 3’6 gramos de oro de ley de 0’9, ¿qué cantidad deoro de cada lingote tendrán que alear?.

3. La noticia acerca del aborto en España hasta 1999 se completaba con la información quepresenta este diagrama de barras.

Aleación es la mezcla de dos o más metales.Oro de ley 0’750 significa que por cada 1000 gramos de aleación, 750 son de oro puro.

Actividades tema 6

339

Calcula el número de nacimientos que se dieron en mujeres de edades comprendidasentre los 15 y los 19 años.

4. Sabiendo que la tasa de alcoholemia permitida para conducir no puede sobrepasar los0’3g/dl:

a) Calcula los gramos de alcohol puro que puede consumir una mujer que pesa 52 kg, sitiene la intención de conducir después.

b) Si la bebida que va a tomar es cerveza de Gº = 4, calcula el volumen máximo quepodrá ingerir.

Algunos conceptos relacionados con la ingesta de alcohol son:� Tasa de alcoholemia o de alcohol en sangre:

�� Hombres.

7'0·.

.

pesok

alcoholg

�� Mujeres

6'0·.

.

pesok

alcoholg

� Gramos de alcohol puro:

bebidamlG

.·100

8'0·º

� Grado alcohólico (Gº ): Es el porcentaje del volumen de alcohol puro.

Soluciones tema 6

340

Solucionario


1. a. Tanteamos o probamos con diferentes valores aproximándonos a la solución:5000+10000 =150005200+10400 =156005250+10500 =15750

b. Gráficamente y utilizando las operaciones adecuadas:

1750:3=5250. 1ª parte 5250; 2ª parte 5250· 2=10500

2. a. 2x (siendo x el sueldo de mi marido).b. 3x (siendo x la edad del hijo pequeño).c. x/4(siendo x mis ahorros).c. 2x+x/3 (siendo x el precio de un bocadillo).

3. a. Doble de la edad de Juan menos tres.b. El triple de lo que queda al quitarle 100 a mis ahorros.c. La tercera parte de las piezas fabricadas más seis.

4. a. 7xb. 6xc. 2xd. –2xe. –3x

5. a. 6xb. –6xc. –6xd. 6xe. –12xf. –12xg. 40x

6. a. 6x-14b. –5x+4c. –2x-12d. –8x – 4e. –12x + 21

7. a. 2x=366-232x=343x=343/2

b. –4x=2-3-4x=-1x=-1/-4=1/4

c. 2x-10=32x=3+102x=13x=13/2

d. 2x-3x=-6+2-x=-4x=4

15750

¿ ¿

Soluciones tema 6

341

e. 3x – 4x + 28 = x3x - 4x - x =-28-2x = -28x= -28/-2 =14

f.

6· )5·(63

1

2−=

+−

xx

303

1·6

2·6 −=

+−

xx

3x-2(x+1)=-303x-2x-2=-303x-2x=-30+2x=-28

g.

20

2015420

204

20

5

2020

1·204

3

520

=

=−−

=−−

=

−−

x

xxx

xxx

xxx

h.

11

47

4711

40715206

701540206

7015)2(206

703·5)2(4·53·2

7·102

3·10

2

)2(4·10

5

3·10

72

310

2

)2(4

5

310

=

=

+=−+

+=−+

+=−+

+=−+

+=−

+

+=

−+

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

8. Incógnita: unidades a producir, xEcuación: 100000+0’56x=135000

0’56x=135000-1000000’56x=35000x=35000/0’56=625000.

Solución: Se pueden fabricas 625000 unidades.

9. Datos e incógnita:Almendras: xCacaos: 15-xPrecio almendras: 7’8xPrecio cacaos: 3’2(15-x)

Ecuación : 7’8x+3’2(15-x)=5· 157’8x+48-3’2x=754’6x=27x=27/4’6=5’87

Solución: 5’87 kg. de almendras y 9’13 kg. de cacaos.

10. Ecuación: 7’5x+7’5· 3’2=15· 67’5x=-24+907’5x=66x=66/7’5=8’80�

Solución: de 8’80 ��

11. Ecuación: 3’20x+4(100 -x)=3’5· 1003’20x+400 -4x=350-0’8x= -50x=-50/-0’8=62’5. Solución: 62’5 kg y 37’5 kg.

Soluciones tema 6

342

12. a. A=�r2.b. PF=PI· 0’7. Siendo PF y PI los precios rebajado y sin rebajar respectivamente.c. PT=PI· 1’16. Siendo PF y PI los precios con IVA y sin IVA respectivamente.

13. Sustituimos en la fórmula los valores conocidos.10=

2

4a

54

20

4

2·10===a

Solución: 5 cm14. Aplicamos la fórmula que calcula la velocidad: e=v· t

E= 344· 7=2408 m=2’408 km.

15. Expresión coloquial Expresión algebraica

��Edad de Marisa x��La edad de Ángel es triple que la de Marisa 3x��Luis tiene 2 años más que Marisa x+2��Edad de Ángel hace 5 años 3x-5��Edad de Luis dentro de 6 años x+2+6=x+8��Edad de Marisa hace 10 años x-10��Dos números consecutivos x; x+1��Un número par 2x��Dos números pares consecutivos 2x; 2x+2��La mitad de un número x/2��El cuádruple de un número más su cuarta parte 4x+x/4��Espacio recorrido por un coche a 26 km/h en t horas. 26t

16. Edad mediano: x. Edad menos: x-2. Edad mayor: x+5.Ecuación: x+x-2+x+5=219

3x=219-5+23x=216x=216/3=72

Solución: 70, 72 y 77

17. Padre HijoE. actual x+25 xE. hace 3 x+22 x-3Ecuación: x+22=2(x-3)

x+22=2x-6-x=-28x=28

Solución: 28 y 53 años.

18.

Velocidad Tiempo EspacioEmpleado 1 100 x 100xEmpleado 2 140 x-0’5 140(x-0’5)Ecuación: 100x=140(x-0’5)

100x=140x-70100x-140x=-70-40x=-70x=-70/-40=1’75 h.=1 h y 45’ Solución: a 1’75 h. y a una distancia de 175 km (1’75· 100).

Bt = xe = 100x

e = 140(x -0’5)t = x - 0’5

A

Hijo

Emp.1

Emp.2

Soluciones tema 6

344

25. Datos: abortos en 1999=>58339% de abortos en 1999 totales =>13’72%

Incógnita: número de embarazos: xEcuación: x· 0’1327=58339

x=58339/0.1327=439555Solución: 439555 embarazos.

26. Altura: xBase: x+3Perímetro: 2x+2(x+3)Ecuación: 2x+2(x+3)=46

2x+2x+6=464x=40x=40/4=10 Solución: 10 y 13 cm.

27. Incógnitas: precio jersey =>xPrecio pantalón =>x+6

Ecuación: 3x+x+6=544x+6=544x=48x=48/4=12 Solución: 12 y 48 euros.


1b2d3a(3x = x; x = 3/3 = 1)4a (0’4 = M/10; M = 0’4· 10 = 4 kg.)5d (2x -x = 10 + 5; x = 15)6c.7c (2x + x = 573; 3x = 573; x = 573 / 3 = 191. 2x = 382) .8a9d ( 0’05x = 42’51 - 11’32; 0’05x = 31’19; x = 31’19 / 0’05 = 625’8).10a ( 500 = v· 20; v = 500 / 20 = 25 m/s).


1. a. 2x+3b. x + x + 1+ x + 2 = 11; 3x + 3 = 11c. x-4d. Padre 3x; hijo xe. 90t

2. a. 2x – x = -6 - 5x = -11

b. 3x – 15 = x - 153x – x = -15 + 152x = 0x = 0

c. 5 - 2x – 6 = -x + 10-2x + x = 10 + 6 - 5-x = 11x = -11

3. Incógnita: xEcuación: 2x + 10 = 43 - x

2x + x = 43 - 103x = 33x = 33 / 3 = 11

Solución: el número es 11.

Soluciones tema 6

346

3. Obtenemos el porcentaje de abortos del problema 26: 43’23Embarazos = abortos + nacimientos.Abortos =>8669Embarazos => x

Ecuación:

113864323.0/4.4922

4323.04.4922

4323.06.37468669

)8669(4323.08669

4323.08669

8669

==

=

+=

+=

=+

x

x

x

xx

4. a) gramos alcohol: x

Ecuación:

6.26.0

2.5·3.0

3.06.0·52

==

=

x

x

Solución: 2.6 g

b) Ecuación:

5'812.3

260

8.0·4

100·6.2

6.2·100

8.0·4

===

=

x

x

Solución: 81’5 ml.

Actividades tema 7

348

¿?

3. ¿A qué horas forman las manecillas del reloj, un ángulo recto?, ¿y un ángulo llano?.

��

POLÍGONOS CONVEXOSMÁS FRECUENTES

4. Busca en el periódico objetos cuyas caras sean triángulos y clasifícalos atendiendo a suslados y a sus ángulos.

5. Ayudándote de los dibujos y usando el teorema de Pitágoras calcula:

a)La diagonal de un rectángulo de lados 3 cm y 5 cm.

b)Perímetro de un rombo de diagonal mayor 8 cm ydiagonal menor 6 cm.

¿?

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, la suma del cuadradode los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

a2 + b2 = c2

a

b

c

Actividades tema 7

349

c) La altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm

6. La antena de nuestra casa oscila mucho en los días de aire, vamos asujetar la antena de televisión con tres cables, cada cable lo vamos a fijara un tensor que está a 3 m del pie de la antena, la antena mide 5 m.¿Cuánto cable necesito? (la antena, el cable y el tensor forman untriángulo rectángulo).

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

7. Expresa las siguientes unidades en la unidad inmediatamente superior: (intentaconstruir una figura que te permita compararla con la unidad patrón

Ejemplo: 144 cm2 es un cuadrado de lado 12 cm (12 · 12 = 144), o un rectángulo de 18cm de largo y 8 cm de ancho (18 · 8 = 144).

100 cm2 =.............................. dm2 10.000 cm2 =.......................dm2.625 mm2 =............................. cm2 1.024 dm2 =.........................m2.

8. Transforma las siguientes unidades de superficie:

5.500 áreas =......................... km2 3500 cm2 =.......................... ca125 dam2 = ............................ hm2 25 mm2 = ............................ cm2

3 km2 =.................................. áreas 3.456.000 cm2 =.................. áreas

1 km2 = 100 hm2 1 m2 = 100 dm2 1 ha = 100 áreas

1 hm2 = 100 dam2 1 dm2 = 100 cm2 1 área = 1 dam2

1 dam2 = 100 m2 1 cm2 = 100 mm2 1 área =100 ca

¿?

Actividades tema 7

352

15. Calcula el área de esta parcela si has anotado las siguientes medidas:

90 m 25 m

80 m

60 m

20 m

60 m

50 m

Actividades tema 7

353

��



a) Un ángulo que mide 90º se denomina ángulo………………..

b) Dos rectas que no tienen ningún punto en común, son rectas…………………….

c) Si dos rectas se cortan en un punto y además forman 90º, se llaman……………..

d) Cada una de las 360 partes en que se divide la circunferencia se llama.....................

e) Con el teorema de Pitágoras podemos calcular si un triángulo es……………….


a) Un minuto son 60º…………

b) 1´ 5º son 1º 30´ …………..

c) Si un polígono tiene todos sus lados iguales es un polígono regular………

d) Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos……….

e) Los ángulos de un cuadrilátero suman 360º…………

3. Un triángulo cuyos catetos miden 4 y 6 cm, y la hipotenusa 8 cm, ¿es un triángulorectángulo?.

a) si b) no c) no existe ese triángulo.

4. El área del siguiente triángulo rectángulo es:

a) Me falta la baseb) 4´ 2 cm2

c) 8´ 4 cm2




c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o ampliación, o no es necesario.

2 cm4´ 2 cm

Actividades tema 7

354

5. Calcula el área del paralelogramo

a) 525 mm2

b) 350 mm2

c) 150 mm2

6. Una moneda de 5 pts tiene un diámetro de 1´ 3 cm, calcula las monedas que se puedenobtener de una lámina de 30 cm por 15 cm.

a)250 b)338 c)85

7. Una centiárea equivale a:

a)10 m2 b)1 cm2 c)1 m2

8. 354m2 equivalen a:

a)3 áreas b)3´ 54 dm2 c)3´ 54 dam2

9. 25,75º son:

a)25º 75´ b)25º 45´ c)25º 7´ 5´´

10. 67º 20´ son:

a)67,0º b)67º 2´ 0´´ c)67,33´

11. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.

a) P = 21´ 5 cm A = 90 cm2

b) P = 43 cm A = 96´ 5 cm2

c) P = 51 cm A = 100 cm2

12’5 cm

9 cm

2 cm

2 cm

35 mm

15 mm10 mm

Actividades tema 7

355



��Comprender el vocabulario propio de la Geometría: punto, recta, segmento, plano, ángulopolígono, perímetro, áreas.

��Clasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos.

��Conocer las variedades de cuadriláteros.

��Diferenciar la circunferencia del círculo.

��Reconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.

��Calcular el perímetro.

��Utilizar las unidades de medidas de superficies.

��Utilizar las unidades de ángulos.

��Calcular superficies de triángulos, cuadriláteros y circunferencia.

��Calcular áreas descomponiendo la figura en otras figuras conocidas.

��Recuperar datos almacenados en la memoria de la calculadora.

��Operar con ángulos usando la calculadora.


��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................

��..................................................................................................................................





Actividades tema 7

356

��

1. Fíjate en las siguientes rectas y contesta:

a) A y B son rectas……………….b) A y C son rectas……………….c) B y C son rectas………………

2. ¿Cuántas rectas pasan por el punto A?, ¿y por el punto A y B al mismo tiempo?.

3. Clasifica los siguientes triángulos dependiendo de sus ángulos y sus lados:

(1) (2) (3) (4)

4. Nombra a los siguientes cuadriláteros:

a) b) c) d) e) f)

A

B

C

A

B

a b

c

a

a

aa

a

ba

a

c

Actividades tema 7

358

��

�

1. Observa las recta y los ángulos de esta figura:

a) ¿Que relación hay entre losángulos A y C? ¿y B con D?

b) ¿Y entre A con 1, B con 2, Ccon 3, D con 4?

2. Intenta dibujar un triángulo de lados 3 cm, 1 cm, 1 cm.

Dibuja éste: a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm.

Con tres medidas cualesquiera no siempre se puede construir un triángulo, esnecesario que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos lados. Si a, b, c,son los lados del triángulo y a es el lado mayor, se cumple a < b + c

Dos ángulos son suplementarios si suman 180º , A + B = 180º .Dos ángulos como A y C se llaman opuestos por el vértice.

Actividades tema 7

359

3. La superficie de un balón de fútbolestá recubierta por 12 pentágonos y20 hexágonos, el hexágono y elpentágono tienen 8 cm de lado, lacircunferencia circunscrita alhexágono es de 8 cm de radio y ladel pentágono es de 5 cm. Calcula lasuperficie del balón.

Una circunferencia se dice que está circunscrita en un polígono,cuando los lados de éste son cuerdas de la circunferencia.

Una circunferencia será inscritaa un polígono, si cada lado (no el vértice)sólo toca a la circunferencia en un punto.

El área de un polígono regular es

Área = (perímetro x apotema) / 2.

Siendo la apotema la perpendicular al lado desdeel centro de la circunferencia circunscrita al polígono.

Actividades tema 7

360

4. Calcula el perímetro de la siguiente figura:

R= 2’25 cm 30º

Arco decircunferencia

Sector circular

Elementos notables de un triángulo:

• Altura: es el segmento perpendiculara un lado que pasa por el vértice opuesto.

El punto de intersección de las tres alturasse llama ortocentro.

• Mediana: es el segmento que une elpunto medio de un lado con el vérticeopuesto.

El punto de intersección de las tresmedianas se llama baricentroy es el centro de gravedad del triángulo.

Soluciones tema 7

362

3 m

5 m ¿?

Solucionario


1. Respuesta abierta.

2. 40º 135º

3. Ángulo recto: algunas horas serían, 15: 00, 21: 00, sin embargo a las 12 : 15, 1 : 20, 2 : 25, 3 : 30,…forman menos de 90º pues la aguja horaria se desplaza hacia la siguiente hora.

Ángulo llano: 18 : 00, otras ángulos casi de 180º serían las 12 : 30, 21 : 15, 3 : 45, …

4. Las posibles soluciones serán:

equilátero acutángulo , Isósceles , Escaleno

5. a)La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3 y 5 cm32 + 52 = 9 + 25 = 34 = ¿?2 ¿? = √34 = 5´83

b)Necesitamos el lado, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 4 y 3 cm.42 + 32 = 16 + 9 = 25 = ¿?2 ¿? = √25 = 5 Perímetro =5 · 4 = 20 cm

c)La altura es elcateto del triángulo rectángulo de lados 3 y 6 cm.32 + ¿?2 = 9 + ¿?2 = 36 ¿?2 = 36 - 9 = 27 ¿?= √27 = 5´2 cm.

6. El cable es la diagonal de un triángulo rectángulo de lados 3 y 5 m

32 + 52 = 9 + 25 = 3434 = ¿?2

¿?=√34 = 5´83Como hay tres tensores, Cable =3 · 5´83 = 17´49 = 17´5 m

7. 100 cm2 = 1 dm2 (un cuadrado de lado 10 cm) 10.000 cm2 = 100 dm2(un cuadrado de lado 100 cm )625 mm2 = 6´25 cm2(un cuadrado de lado 25 mm) 1.024 dm2 = 10´24 m2(un cuadrado de lado 32 dm).

8. 5.500 áreas = 55 km2 3500 cm2 = 0´35 ca125 dam2 = 1´25 hm2 25 mm2 = 0´25 cm2

3 km2 = 300 áreas 3.456.000 cm2 = 3´456 áreas

9. Superficie del terreno = 300 · 600 = 180.000 m2 180.000 : 2´25 = 80.000 naranjos

10.Si l = 2 cm Si l = 3 cmárea = 22 = 4 cm2 área = 32 = 9 cm2

Si l = 4 cm Si l = 6 cmárea = 42 =16 m2 área = 62 = 36 cm2

16 / 4 = 4 36 / 9 = 4

Al duplicar el lado, el área ha aumentado 22 = 4 veces.

ObtusánguloAcutánguloRectángulo

ObtusánguloRectánguloAcutángulo.

Actividades tema 8

368

2. HACEMOS MEDIDAS DE ENVASES��

3. Practica las unidades de volumen y de capacidad, completando las siguientesigualdades:

3 m3 =............................dm3 50.000 dm3 = .................m3

1250 cm3 = ....................dm3 24´3 dam3 =...................dm3.

4. a)Si un bidón con forma de cubo tiene 1000 dm3 de volumen, ¿qué dimensiones puedetener ese depósito?.b)Y si tiene 125 cm3 de volumen, ¿cuáles pueden ser sus medidas?

5. Expresa las siguientes unidades en la unidad que está a continuación:100 l = ...................................dal 10.000 cl = ..........................ml.625 ml = ................................cl 1.024 dl = ............................l..

6. Si decimos que un recipiente contiene 23´54 l, queremos decir que su capacidad es de 2dal, 3 l, 5 dl, y 4 cl. Expresa de esta forma las siguientes capacidades:

a) 25´5 dal = ..............................................................b) 456´34 dl =............................................................c) 44´23 kl =..............................................................

1 km3 = 1000 hm3 1 m3 = 1000 dm3

1 hm3 = 1000 dam3 1 dm3 = 1000 cm3

1 dam3 = 1000 m3 1 cm3 = 1000 mm3

1 kl = 10 hl 1 l = 10 dl

1 hl = 10 dal 1 dl = 10 cl

1 dal = 10 l 1 cl = 10 ml

1 l = 1 dm3

1kl = 1m3 1.000 l = 1 m3

1ml = 1cm3

Actividades tema 8

369

7. Transforma las siguientes unidades de volumen en unidades de capacidad y viceversa:5.500 l =................................ m3 3500 cm3 =.......................... l.125 dm3 =.............................. l. 25 mm3 = ............................ml3 km3 =.................................. l. 3.456.000 cm3 =..................kl

8. Tenemos un grifo que gotea, comprobamos que cada segundo cae una gota, sirecogemos las gotas comprobamos que cada 10 gotas tenemos 1 ml. ¿cuántos litros deagua perderemos al cabo del día?.

��

9. Estamos buscando radiadores, éstos calientan adecuadamente una habitación de unos 60m3. Si nuestro comedor tiene 6 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de altura. ¿cuántosnecesitamos comprar para que el comedor esté caldeado?.

10. ¿Cuánta agua consume semanalmente una familia de 3 personas en las siguientes tareas:a) La cisterna es usada 7 veces al día por cada miembro de la familia.

Volumen prisma = área de la base x alturaVolumen cilindro = área del círculo x altura = π· r2 · h

Volumen pirámide =3

alturabaseladeárea ⋅

Volumen cono =3

alturacírculodelárea ⋅ =3

2 hr ⋅⋅π

Volumen esfera = 3

3

4r⋅⋅π

34cm

15 cm36 cm

Actividades tema 8

370

b) En la ducha, el grifo arroja uno 15 l por minuto, si están aproximadamente 3 minutoscada uno, ¿hasta qué altura llegaría el agua en la bañera después de ducharse los tres?(aproximamos la bañera por un prisma rectangular).

11. Me han regalado una caja de 5 dm de larga, 3 dm de ancha y 2 dm de alta. ¿Puedoguardar en ella una flauta que tengo de 60 cm de larga?.

12. ¿Cuál es la capacidad de los siguientes elementos:a)un vaso de agua b)Una taza de leche

Ayuda: fíjate en el dibujo y utiliza el teorema de Pitágoras,para calcular la diagonal del prisma.

La diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices que no están en elmismo plano.

7´ 5 cm

7 cm

9 cm

7´ 5 cm

140 cm54 cm

38 cm

Actividades tema 8

374

22. ¿Cuánto cm2 de cartón necesitas para forrar, por dentro y por fuera, una caja de 6 cm x15 cm x 5 cm, sin tapa?.

23. Tenemos un cubo de 3 cm de arista y construimos uno semejante de razón 2a) Calcula el volumen de cada uno de los cubos. ¿Mantienen la misma razón desemejanza.? ¿Sabrías decir cuál es la nueva razón de semejanza para los volúmenes?.b) Calcula el área total de cada uno. ¿Qué relación guardan entre ellos?.

24. Tengo un mueble que es una pirámide cuadrada de lado 60 cm y de altura 2 m . Voy apintarla (excepto la base) utilizando una técnica que requiere tapar el mueble con un papel secante después de darle la primera mano de tinte. ¿Cuántos m2 de papel necesitocomprar?.

25. El tejado de un campanario tiene forma de pirámide. Halla los m2 de teja para ponerlasen las caras laterales de un campanario si la base es un hexágono de lado 10 m y laaltura del tejado es de 24 m.

6 cm 15 cm

5 cm

Actividades tema 8

375

26. El radio de la Luna es de unos 1750 km y el radio de la Tierra es de 6400 km. ¿Cuántasveces es mayor el volumen de la Tierra respecto al de la Luna?.

27. Cada 20 minutos unas bacterias cubren una superficie de 1 mm2. ¿Cuánto tiempotardarán en cubrir un gajo de naranja si la naranja tiene 12 gajos y el diámetro de ésta esde 8 cm?.

28. Calcula la superficie esférica de un huso horario (recuerda que los husos abarcan 15º yque el radio e la Tierra es de unos 6.400 km).

29. Utiliza la calculadora para calcular las siguientes raíces:

==

==

==−

3 00000803 0010

3 6783125

327

83 8

´)f´)e

)d)c

)b)a

�

��

15 ºr

8cm4 cm

Actividades tema 8

378



��Reconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.

��Reconocer las principales figuras espaciales: poliedros y cuerpos de revolución.

��Diferenciar un prisma de una pirámide.

��Generar cilindros, conos y esferas a partir de figuras planas.

��Calcular áreas de figuras espaciales.

��Calcular el volumen de prismas, pirámides y cuerpos de revolución.

��Conocer las unidades de capacidad y de volumen.

“Aún tengo dif icultades en …”

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................

��.................................................................................................................................





Actividades tema 8

381

3. Una comparsa nos ha encargado la fabricación de 500 gorros con forma de cono , si éstosdeben medir 40 cm de alto y 20 cm de diámetro en la base, ¿cuántos m2 de cartónnecesitamos comprar a nuestro proveedor para satisfacer el pedido?.

4. Halla el volumen de los siguientes cuerpos.

r

g

g

r

altura

Actividades tema 8

382

yx xóy

Calcula la raíz de números con cualquier índice.Esta tecla suele estar encima de la tecla yx o xy , si es así ya sabes que debes utilizar la teclashift o inv o and F .

6 15625 15625 x y 6 = 5 � 56 = 3125

5 7776− 7776 +/- x y 5 = - 6 � (-6)5 = -7776

Otras calculadoras utilizan otra tecla para calculara raíces:

xy yóx 11 =yx xóy

x y = y1/x

414

212

8181

2525

=

=Son dos formas de expresar lo mismo, ya que las raíces se pueden expresar

como una potencia de exponente fraccionario, el índice pasa a ser el denominador de lafracción del exponente.

6 15625 15625 y1/x 6 = 5 � 56 = 31255 7776− 7776 +/- y1/x 5 = - 6 � (-6)5 = -7776

5. Calcula usando la calculadora:

=−==

==−=364

575

3375000064000010

24883221873125

)f´)e´)d

)c)b)a

390

8. Calcula el volumen en litros de una bombona de oxígeno que tiene la siguiente forma y lassiguientes dimensiones

9. Calcula el peso de contenedor que está fabricado con una chapa de hierro de 8 mm deespesor. El contenedor es un prisma rectangular cuya base mide 1×1´ 5 m y cuya alturaes de 2 m.El hierro pesa 7´ 85 kg/m3

50cm

20cm

1´ 5m

1m

2m

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