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GEOMETRÍA de 1º de E.S.O. en el aula de

ordenadores

Actividades para desarrollar en el aula de ordenadores por alumnos de 1º de E.S.O.

Manuel Sada Allo

IES Zizur. Curso 2011/12

INDICE

HOJA DE TRABAJO 1: Primeros pasos con GeoGebra / RECTAS Y ÁNGULOS.........................................1Puesta en marcha del programa.......................................................................................................................1Actividad 1.1. Mediatriz de un segmento........................................................................................................1Actividad 1.2. (EXTRA) Circunferencia por tres puntos................................................................................3Actividad 1.3. Bisectriz de un ángulo.............................................................................................................4Actividad 1.4. (EXTRA) Circunferencia tangente a tres segmentos...............................................................5Actividad 1.5. Ángulos de un triángulo...........................................................................................................5Actividad 1.6. Ángulos de un polígono...........................................................................................................6Actividad 1.7. (EXTRA) Ángulos en polígonos regulares..............................................................................6Actividad 1.8. Ángulos en una circunferencia................................................................................................7Actividad 1.9 (EXTRA). Triángulo inscrito en una semicircunferencia.........................................................8Actividad 1.10 (EXTRA). Tangente por un punto exterior.............................................................................8Actividad 1.11 (EXTRA). Campos de deportes..............................................................................................8

HOJA DE TRABAJO 2: POLÍGONOS..............................................................................................................9Actividad 2.1 (EXTRA). Clasificación de cuadriláteros.................................................................................9Actividad 2.2. Teorema de Pitágoras: Comprobación.....................................................................................9Actividad 2.3. (EXTRA). En busca del tesoro..............................................................................................10

Geometría en el aula de ordenadores Matemáticas 1º de E.SO.

HOJA DE TRABAJO 1: Primeros pasos con GeoGebra / RECTAS Y ÁNGULOSPara hacer geometría es importante ver las figuras objeto de nuestro estudio y manipularlas. Antes de la invención del papel, los antiguos geómetras dibujaban sobre la arena u otros materiales. Hasta hoy y durante siglos la Geometría se ha servido del papel, el lápiz y otros instrumentos de dibujo. Desde hace unos años es posible sustituir el cuaderno por la pantalla del ordenador y los lápices, reglas, compás, etc. por el ratón y el teclado. GeoGebra es uno de los programas diseñados con ese fin.

Puesta en marcha del programa

Para arrancar el programa, haz doble clic sobre el icono que está en el Escritorio. (Si no encuentras el icono en el Escritorio, acceder desde Inicio/Todos los programas/GeoGebra/GeoGebra)

Te aconsejo pulsar el Barra de Entrada Maximizar y ocultar (desde el menú Vista) los Ejes, la Vista algebraica y la Barra de Entrada para trabajar más cómodamente sobre la hoja en blanco o zona gráfica que GeoGebra nos muestra.

La parte superior de la pantalla tiene el siguiente aspecto:

Cada uno de los botones que estás viendo (en la llamada Barra de Herramientas) permite desplegar un menú diferente.

Pulsa en el tercero de ellos sobre el triangulito de la parte inferior derecha y comprobarás cómo se abre el correspondiente menú y cómo cambia el aspecto del botón cuando seleccionas, por ejemplo la herramienta Segmento entre dos puntos. Observa también como, a la derecha de la Barra de Herramientas, se actualiza un pequeño texto de ayuda para el uso de la correspondiente herramienta:

Actividad 1.1. Mediatriz de un segmento

Construiremos de dos modos diferentes la mediatriz de un segmento y comprobaremos la propiedad que cumplen todos sus puntos:

En cualquier momento, si cometes algún error, recuerda la utilidad del botón Deshacer (arriba a la derecha) para anular la última operación y de la tecla Supr para eliminar cualquier objeto

a) Construcción de la mediatriz como perpendicular por el punto medio

IES Zizur. Curso 2011/12 pág. 1


1. Construye un Segmento entre dos puntos.

2. Dibuja su Punto medio (tras seleccionar la herramienta correspondiente que encontrarás en el segundo menú, sólo has de hacer clic sobre el segmento).

3. Traza la Recta perpendicular al segmento por ese punto medio (tras seleccionar la herramienta correspondiente, habrás de hacer un clic sobre el segmento y otro sobre el punto)

4. Selecciona la herramienta principal (Elige y mueve) y desliza el segmento o alguno de sus extremos comprobando la validez de tu construcción, es decir, que la recta (la mediatriz) sigue siendo siempre la perpendicular por el punto medio.

5. Construye un Nuevo punto sobre la mediatriz. Nada más hacer clic sobre ella teclea la P mayúscula para nombrar así al punto recién creado.

6. Haz clic derecho sobre el punto medio y Renómbralo como M

7. Haz clic derecho sobre uno de los extremos del segmento y pide Muestra rótulo. Haz lo mismo con el otro

8. Selecciona la herramienta Ángulo y haz tres clic sucesivos sobre los puntos B, M y P

9. Dibuja los segmentos PA y PB

10. Mídelos (con la herramienta Distancia o Longitud)

11. ¿Qué observas? Desliza el punto P a otra posición y comprueba si sigue ocurriendo lo mismo. Inserta un texto citando la propiedad que cumplen todos los puntos de la mediatriz de un segmento.

12. En el menú Archivo encontrarás el comando para Guardar tu trabajo en la carpeta Mis documentos/1ºB con el nombre act11a_mediatriz_tunombre.ggb

b) Construcción de la mediatriz con regla y compás 1. Inicia un Archivo … Nuevo

2. Construye un Segmento entre dos puntos. Comprueba (mostrando su rótulo) que el programa le ha llamado a. Es de este segmento del que dibujaremos la mediatriz pero de un modo diferente al anterior.

3. Construye aparte otro segmento (b) que vendrá a representar la anchura de un compás.

4. Tras seleccionar la herramienta Compás (del sexto menú) haz clic primero en el segmento b y luego en uno de los extremos del segmento a. Así es cómo se consigue una circunferencia centrada en ese extremo del segmento principal, con un radio igual a la longitud del segmento de apoyo. Vuelve a hacer clic en el segmento b y ahora en el otro extremo de a.



5. Selecciona la herramienta principal (Elige y mueve) y desliza un extremo de b para determinar la anchura del compás que te parezca más apropiada.

6. Marca los dos puntos de Intersección entre las circunferencias.

7. Dibuja la mediatriz (como la Recta que pasa por esos dos puntos)

8. Comprueba si dicha recta pasa por el punto medio del segmento (dibújalo) y que es perpendicular a él (visualiza el ángulo recto)

Guarda tu trabajo en la misma carpeta Mis documentos/1ºB con el nombre act11b_mediatriz_tunombre.ggb

Actividad 1.2. (EXTRA) Circunferencia por tres puntos

1. Dibuja tres puntos cualesquiera. ¿Cómo determinar la circunferencia que pasa por los tres?

2. Piensa en el centro de esa circunferencia: se encontrará a la misma distancia de los tres puntos. Por equidistar de los dos primeros estará en la mediatriz del segmento correspondiente…

3. Dibuja (mediante la herramienta Polígono) el triángulo determinado por los tres puntos.

4. Dibuja (rápidamente gracias a la herramienta del cuarto menú) la Mediatriz de dos de los lados del triángulo.

5. Dibuja el punto donde se cortan esas mediatrices y luego la circunferencia centrada en él que pasa por cualquiera de los puntos iniciales.

6. Comprueba si la mediatriz del tercer lado también pasa por el mismo punto de corte-

7. Modifica la posición de los tres puntos iniciales y comprueba la validez de tu construcción para cualquier triángulo. A esa circunferencia se le suele llamar circunferencia circunscrita al triángulo y a su centro, el circuncentro del triángulo.

8. Investiga de qué depende que el incentro de un triángulo se sitúe en el interior o el exterior del mismo e Inserta un texto con tus conclusiones.

9. Guarda la figura con el nombre act12_circunferencia3puntos_tunombre.ggb



Actividad 1.3. Bisectriz de un ángulo

Construiremos también al estilo de con regla y compás la bisectriz de un ángulo (la recta que lo divide en dos ángulos iguales:

1. Inicia un Archivo … Nuevo

2. Construye dos Semirrectas a partir de un mismo vértice y visualiza el Ángulo (agudo) que determinan.

3. Construye una Circunferencia centrada en el vértice del ángulo y marca sus puntos de intersección (P y Q) con cada una de las semirrectas.

4. Construye aparte un Segmento de apoyo que vendrá a representar la anchura del compás.

5. Tras seleccionar la herramienta Compás construye dos circunferencias con el mismo radio y centros en P y Q respectivamente.

6. Selecciona la herramienta principal (Elige y mueve) y desliza un extremo del segmento de apoyo para determinar la anchura del compás que te parezca más apropiada.

7. Marca un punto de Intersección entre estas dos últimas circunferencias y llámalo R.

8. Dibuja la bisectriz como la Recta que pasa por el vértice (O) y por el punto R.

9. Visualiza el Ángulo formado entre la bisectriz y alguna de las semirrectas del ángulo original, comprobando que vale su mitad.

10. Construye un Nuevo punto sobre la bisectriz (y llámalo S).

11. Queremos visualizar y medir la distancia del punto S a cada una de las semirrectas. Para ello, primero dibuja las perpendiculares desde S a cada una de ellas. Luego sus puntos de corte y finalmente los segmentos que determinan esas distancias (Observa el dibujo para comprenderlo)

12. ¿Qué observas? Desliza el punto S a otra posición y comprueba si sigue ocurriendo lo mismo. Inserta un texto citando la propiedad que cumplen todos los puntos de la bisectriz de un ángulo.

Guarda tu trabajo con el nombre act13_bisectriz_tunombre.ggb



Actividad 1.4. (EXTRA) Circunferencia tangente a tres segmentos

Dibuja tres segmentos consecutivos como en la figura adjunta. Intentaremos construir la circunferencia tangente a los tres segmentos, apoyándonos en las bisectrices de los dos ángulos determinados:

Para dibujar las bisectrices más rápido, prescindimos del método de

la regla y compás y usaremos la herramienta Bisectriz del cuarto menú. Tras seleccionarla, habrás de hacer clic en los tres puntos correspondientes.

El punto de intersección de esas dos bisectrices será el centro de la circunferencia buscada. Antes de poder dibujarla será preciso

encontrar un punto de tangencia (donde se encuentren uno de los segmentos y su perpendicular por el centro recién encontrado)Antes de guardar (en act14_circuntangente_tunombre.ggb) cambia alguno de los segmentos iniciales para comprobar la solidez de tu construcción.

Actividad 1.5. Ángulos de un triángulo

Comprobaremos cuánto suman los tres ángulos de un triángulo e intentaremos justificar por qué. En esta ocasión, no ocultes ni la Vista algebraica ni la Barra de Entrada.

1. Construye, mediante la herramienta Polígono, un triángulo.

2. Es suficiente un clic sobre el interior del triángulo, tras seleccionar la herramienta Ángulo, para visualizar las medidas de sus tres ángulos (que GeoGebra nombrará con las tres primeras letras griegas).

3. ¿Cuánto suman las medidas de esos tres ángulos? Para pedirle a GeoGebra que haga ese cálculo, escribe en la Barra de Entrada: suma=++ (habrás de seleccionar esas letras griegas del menú desplegable correspondiente, a la derecha de la Barra de Entrada)

4. Modifica el triángulo (moviendo alguno de sus vértices) y comprueba cómo varían las medidas de los ángulos pero no su suma.

5. Dibuja las rectas determinadas por dos de sus lados (AB y AC) y la paralela al otro por el vértice opuesto. (Ver la figura).

6. Para marcar cada uno de los nuevos tres ángulos de la figura, habrás de hacer clic

(en el orden adecuado) en tres puntos que lo determinen. Observa en la figura la relación entre los tres pares de ángulos marcados. Utiliza la ventana de Propiedades para poner



cada par de ángulos iguales con el mismo Color, Estilo y Decoración.

7. Inserta un comentario citando cuál(es) de esos pares de ángulos son opuestos por el vértice y cuáles correspondientes. Intenta explicar razonadamente en tu cuaderno cómo se deduce a partir de la figura que los tres ángulos de un triángulo siempre han de sumar 180º.

Guarda tu trabajo con el nombre act15_triangulo_tunombre.ggb

Actividad 1.6. Ángulos de un polígono

Comprueba ahora cuánto suman los ángulos de un cuadrilátero, un pentágono, un hexágono…

1. Construye, mediante la herramienta Polígono, un cuadrilátero y un pentágono.

2. Visualiza sus ángulos y calcula la suma de los de cada polígono.

3. Activa la Vista Hoja de cálculo y vete completando una tabla como la de la figura de debajo

4. Intenta justificar en tu cuaderno cómo se pueden deducir esos valores (a partir de la descomposición de cada polígono en triángulos)

Guarda tu trabajo con el nombre act16_poligonos_tunombre.ggb

Actividad 1.7. (EXTRA) Ángulos en polígonos regulares

Los polígonos regulares se caracterizan por tener todos sus lados y ángulos iguales. ¿Cuánto miden esos ángulos iguales? Verifiquémoslo con Geogebra.

1. Selecciona la herramienta Deslizador, haz clic sobre la zona gráfica y completa la ventana con los datos siguientes:

2. Construye un Polígono regular de n lados

3. Cambia el valor de n (con el deslizador) y comprueba cómo varía el polígono.

4. Visualiza cuánto mide un ángulo del polígono y vete completando (en la Vista Hoja de cálculo) una tabla como la siguiente:



5. Explica en tu cuaderno la fórmula que permitirá calcular el ángulo de un polígono regular cualquiera (de n lados)

Guarda tu trabajo con el nombre act17_regulares_tunombre.ggb

Actividad 1.8. Ángulos en una circunferencia

Dibuja una figura como la adjunta. Te recomiendo hacerlo en este orden:

1. Dibuja una circunferencia y llama O al centro.

2. Sitúa en la circunferencia y nombra los cinco puntos restantes.

(Para dar nombre a un punto es recomendable hacerlo inmediatamente después de hacer el clic de representación, pues en otro caso tendrás que utilizar el botón derecho y elegir la opción Renombrar).

3. Representa los segmentos, los ángulos.

4. Y finalmente, el arco AB.

Incorpora uno o varios comentarios respondiendo a las siguientes cuestiones:

1. ¿Qué tienen los cuatro ángulos marcados en común y qué diferencia a uno de ellos?

2. ¿A cuál de ellos se le llamará central y a cuáles inscritos? ¿por qué?

3. Modifica la posición de los puntos ¿Observas alguna relación permanente entre las medidas de los ángulos? Descríbela.

4. ¿Qué ocurrirá cuando el ángulo central sea llano?

Guarda la figura con el nombre act18_angulos_tunombre.ggb antes de enviarla al aula virtual



Actividad 1.9 (EXTRA). Triángulo inscrito en una semicircunferencia

1. Construye una figura como la adjunta.

2. Haz una conjetura basada en ella.

3. Tras comprobar tu conjetura en diferentes casos análogos, intenta justificarla (insertando un comentario bien y claramente argumentado)

Guarda la figura como act19_triangulo inscrito_tunombre.ggb antes de enviarla al aula virtual

Actividad 1.10 (EXTRA). Tangente por un punto exterior

Construye una circunferencia y un punto exterior a la misma.

El objetivo es dibujar la recta tangente a la circunferencia desde ese punto. Se trata de idear un método geométrico de modo que al terminar, si se modifica la posición del punto (o de la circunferencia), la posición de la tangente también se actualice.

Una pista: el resultado de la actividad anterior puede ser la clave para conseguir el ángulo recto que sabemos que forma la tangente con el radio correspondiente al punto de tangencia.

Como siempre, al final recuerda cambiar los objetos iniciales para comprobar si la construcción sigue siendo válida. Guarda la figura (act110_tangente_tunombre.ggb) y envíala al aula virtual.

Actividad 1.11 (EXTRA). Campos de deportes

Construye lo más fielmente posible el dibujo de un terreno de juego deportivo (de tenis, fútbol, baloncesto, …) y guárdalo en act111_campo_tunombre.ggb.

Puedes buscar imágenes en Internet.

Durante la construcción, además de la cuadrícula de fondo, te será de mucha

ayuda la herramienta Refleja objeto en recta



HOJA DE TRABAJO 2: POLÍGONOS

Actividad 2.1. Teorema de Pitágoras: Comprobación.

Antes que nada, haz clic derecho sobre la zona gráfica y activa la Cuadrícula. Oculta, como otras veces, la Vista algebraica.

Dibuja un triángulo rectángulo y visualiza su ángulo recto (mediante la herramienta Ángulo).

Construye (mediante la herramienta Polígono regular) un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo.

Utiliza ahora la herramienta Área para visualizar las áreas de los tres cuadrados.

Responde brevemente (Inserta texto) a las siguientes preguntas

1. ¿Qué dice el Teorema de Pitágoras?

2. ¿Encuentras alguna relación entre el teorema y la figura?

¿Qué han de cumplir, según Pitágoras, las áreas de los tres cuadrados?

Comprueba si eso ocurre en la figura de la fotocopia. ¿Y en la tuya?

Mueve los vértices del triángulo de manera que éste siga siendo rectángulo pero no tenga ningún cateto horizontal y observa si se cumple ahora que el área del cuadrado mayor es la suma de las otras dos. Guárdala en act21a_pitagoras_Tunombre.ggb.Mueve de nuevo los vértices del triángulo de manera que éste deje de ser rectángulo y observa si se sigue cumpliendo la misma igualdad.

Investiga un poco para completar las siguientes conclusiones:

En un triángulo obtusángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado mayor es ……… que la suma de las de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados.En un triángulo acutángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado mayor es ……… …………………………………………………………………………………….En un triángulo rectángulo, ………………………………………… ……… ……………………. ……………………………….

Guarda la figura en act21b_pitagoras2_Tunombre.ggb y envía las dos al aula virtual.

Actividad 2.2. Clasificación de cuadriláteros

Ve al aula virtual (Moodle del IES Zizur) y abre el archivo llamado h2a2.ggb que encontrarás en el apartado correspondiente a las actividades “extra”.

Manipula los vértices de lo que inicialmente parecen cuadrados y comprueba que cada uno de los polígonos representa a una familia de cuadriláteros.



Para cada tipo de ellos, dibuja sus diagonales, visualiza sus ángulos y completa el correspondiente texto (clic derecho y Editar) describiendo sus elementos de modo análogo al que aparece en la figura para los rectángulos).

Guarda la figura (act22_cuadrilateros_tunombre.ggb) y envíala al aula virtual.

Actividad 2.3. (EXTRA). En busca del tesoro.

En un desierto, un legendario aventurero, agotado y al borde de la muerte, ha enterrado un tesoro. Sólo se sabe que:

A designa un árbol seco; R una roca y T es el punto donde está enterrado el tesoro. Los puntos A, R y T son tres vértices de un rombo y el cuarto vértice está sobre la pista.

¿Dónde habría que cavar para buscar el tesoro? ¿Cuántas posibilidades diferentes hay?

Guarda la correspondiente construcción en act23_tesoro_Tunombre.ggb y súbela al aula virtual


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