actividad_entregable_2

5/13/2018 Actividad_entregable_2 - slidepdf.com

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Nombre de la asignatura: Geometría-Trigonometría

Parcial de estudio: Segundo

Introducción

En este segundo parcial vamos a realizar el estudio de la Trigonometría, una herramienta

matemática muy importante que sirve como apoyo de otras materias como el Álgebra, laGeometría y el Cálculo.

Estudiaremos el ángulo desde el punto de vista trigonométrico, veremos que son los ángulosen posición normal, ángulos coterminales y ángulos de referencia.

Las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante) y elteorema de Pitágoras nos ayudan a resolver triángulos rectángulos, puesto que con ellospodemos encontrar un ángulo o un lado del triángulo. Además es muy importante que ustedconozca las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales (0o, 90o, 180o y 270o) ylas de los ángulos de 30o, 45o y 60o que son los más comunes y que con mayor frecuencia sepresentan.

La ley de senos y cosenos es otro tema de la Trigonometría muy importante, ya que nos

ayuda a resolver problemas con triángulos oblicuángulos (acutángulos y obtusángulos).

Haremos el estudio de las funciones trigonométricas directas (seno, coseno y tangente) einversas (arco seno, arco coseno, y arco tangente) pues es importante que conozcamos susgráficos, su notación y sus características más importantes.

Las identidades trigonométricas más importantes; entre ellas las identidades recíprocas, decociente y pitagóricas que nos ayuden a demostrar otras identidades y en la solución deecuaciones trigonométricas.

Finalizaremos el presente semestre con el estudio de ecuaciones trigonométricas, nospreocuparemos de encontrar su solución, y seremos capaces de analizar si la soluciónencontrada es la real o si se trata de una solución extraña.

Tómese su tiempo en el estudio de esta guía didáctica y realice las actividades deaprendizaje indicadas, recuerde que sólo su dedicación hará que se logren los objetivospropuestos.

Asesoría didáctica

Asesoría 2.1

Trigonometría

El ángulo en trigonometría

Es la abertura generada por una semirrecta que se mueve alrededor de un punto común conrelación a otra semirrecta que permanece fija.

Según el punto de vista de la Trigonometría los ángulos pueden ser:

a) Ángulo en posición estándar, normal o canónica

Se dice que un ángulo está en posición estándar, normal o canónica cuando cumple lascondiciones siguientes:

1. Se encuentra referenciado en un sistema de coordenadas rectangulares.

2. El vértice del ángulo coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares.

3. El lado inicial del ángulo cae sobre el semieje positivo de las abscisas.



30º

Entonces, se cumple con:

Donde θ c = ángulo coterminal.

θ = ángulo original.

n = no.



El lado terminal del ángulo, por lo tanto puede caer en cualquiera de los cuatro cuadrantesdel sistema de coordenadas, llamándose entonces “ángulo del I, II, III ó IV cuadrante”, seaeste ángulo positivo o negativo”.

Ángulos coterminales.- Dos ángulos en posición normal (lados iniciales coincidentes) soncoterminales cuando tiene un mismo lado terminal (coinciden) pero su valor es distinto, porel sentido del signo o el número de vueltas del lado terminal.

°±= 360*nc θ θ

EJEMPLO:

1.- Encontrar un ángulo coterminal positivo y dos ángulos coterminales negativosde un ángulo de 701º.

θ c1 = 701º - 3 *360º θ c2 = 701º - 4 * 360º θ c3 = 701º + 1 * 360º

θ c1 = - 379º θ c2 = - 739º θ c3 = 1.061º

o = vértice.

OB ≡ OX lado inicial de estos ángulos.

α = ángulo del primer cuadrante. (positivo)

β = ángulo del tercer cuadrante (negativo)

α

β

-330º360º+ 30º =390º

-690º

-330º

30º





2.- Encontrar un ángulo coterminal positivo y un ángulo coterminal negativo de unángulo de -1322º.

θ c1 = -1322º + 7 *360º θ c2 = -1322º - 1 * 360º

θ c1 = 1198º θ c2 = - 1682º

Como podemos observar el número n es arbitrario y tratamos de obtener un resultado segúnlos requerimientos de la pregunta formulada.

Sin embargo, en la práctica nos vamos a limitar a encontrar sólo el ángulo coterminalpositivo de la primera vuelta (θc). Definiendo como ángulo coterminal de la primera vueltaaquel ángulo positivo mayor que cero grados pero menor que 360 grados

Así, en los ejemplos anteriores tenemos:

1. - θ = 701º

Como el ángulo dado es positivo se le divide para 360 y se escoge como n el entero de dichadivisión, por ejemplo:

Para el ángulo de 701o, tenemos:

701 ÷ 360 = 1.94722222 ⇒ n = 1

θc = 701º - 1 * 360º

θc = 341º Se cumple que: 0º < 341º < 360º

2.- θ = - 1322º

Como el ángulo dado es negativo se le divide para 360 y se escoge como n el entero dedicha división sumado 1, por ejemplo:

Para el ángulo de -1322o, tenemos:

1322 ÷ 360 = 3.6722222 ⇒ n = 3 + 1 = 4

θc = - 1322º + 4 * 360º

θc = 118º Se cumple, que 0º < 118º < 360º

3.- Calcular el ángulo coterminal de la primera vuelta para un ángulo de 1.291º

θ c = 1.291º - 3 * 360 = 1.291 – 1.080 = 211º

4.- Calcular el ángulo coterminal de la primera vuelta para un ángulo de – 5735º

0360 X ≤≤0

0





θ c = - 5735º + 16 * 360º = - 5735º + 5760º = 25º

En resumen n es un número entero positivo que operado en la fórmula con 360°, el signo “+” o el signo “-” y el ángulo dado nos da como resultado un ángulo comprendido entre 0° y360°.

Ángulos de referencia (αr): Se llama ángulo de referencia de un ángulo en posición

normal de la primera vuelta, al menor ángulo positivo formado por el lado terminal delángulo y el eje de las abscisas.

En los ejemplos analizados podemos calcular, aplicando los conceptos ya expuestos, losángulos de referencia de 701º, – 1322º, 1291º y – 5735º:

Para el caso del ángulo de 701º, su coterminal de la primera vuelta es 341º, el ángulo dereferencia será: 360º - θc (IV cuadrante)

α r = 360º - 341º = 19º

Para el caso del ángulo de –1322º, su coterminal de la primera vuelta es 118º (II cuadrante)

Por lo tanto El α r = 180o - θ c ∴ α r = 180o - 118o = 62o

Para el caso del ángulo de 1291º, su coterminal de la primera vuelta es 211º (III cuadrante)

Por lo tanto El α r = θ c – 180o ∴ α r = 211o - 180o = 31o

Para el caso del ángulo de – 5735º, su coterminal de la primera vuelta es 25º (I cuadrante)

Por lo tanto El α r = θ c ∴ α r = 25o



=====

α=====

cosctandis

absc

y

x

d

x

d

x

OP

A.

s ncitandis

or ena

d

y

d

y

d

y

OP.1

n

n

1

1

n

n

1

1

=====

=====

d

secabscisa

ciatandis

x

d

x

d

x

d

OA

OP.

cot

ordenada

abscisa

y

x

y

x

y

x

AP

OA.4

abscisXXXOA

n

n

1

1

n

n

1

1

N1



Posteriormente se establecerá que los signos de las funciones trigonométricas del ángulo dereferencia son siempre positivos; pero los signos de las funciones del ángulo pedido estaránde acuerdo al signo que les corresponde según el cuadrante en que cae el lado terminal deeste ángulo.

Asesoría 2.2

Funciones trigonométricas

Consideramos un ángulo (α ) en posición normal y un punto cualquiera P, en el lado terminaldel ángulo (P no debe estar en el origen, pero si en cualquier otro punto de la recta). Estepunto P posee 3 parámetros a saber:

Las relaciones por cuociente, entre estos tres parámetros originan 6 posibles razones y noimporta donde está ubicado el punto P permanecen constantes (Teorema de semejanza detriángulos). Estas 6 relaciones, que insistimos, son constantes para cualquier puntoconsiderado son:

a) La abscisa X

b) La ordenada Y

c) La distancia OP = d, del punto al origen.



=α∴=α

=α∴

α

α

=α∴

α

=α

co t1

a n

co ss e c

s e c

s in

1csc

cs cs in



Como se puede observar las razones o relaciones 4, 5 y 6 son las recíprocas de las 3primeras y podemos decir que:

Nótese que en las denominaciones de algunas funciones se antepone el prefijo “co” lo cual

significa cofunción. De este concepto nos ocuparemos cuando se trate de funciones deángulos agudos en el triángulo rectángulo.

Signos de las funciones

Al haber definido las funciones trigonométricas como las razones entre los 3 parámetrosdeberíamos considerar que no siempre las coordenadas del punto son positivas, por lo tantodebemos analizar los signos resultantes de acuerdo a la ubicación del punto perteneciente allado terminal.

Estos puntos pueden ubicarse en los cuatro cuadrantes. La distancia en nuestro estudio laconsideraremos siempre positiva.

1er CUADRANTE 2do CUADRANTE 3er CUADRANTE 4to CUADRANTE

x = +

y = +

d = +

x = -

y = +

d = +

x = -

y = -

d = +

x = +

y = -

d = +





TODAS LASFUNCIONES SON(+)

SIN Y CSC SON + TAN y COT SON + COS Y SEC SON +

Funciones de ángulos cuadrantales o cuadrangulares

Son ángulos cuadrantales o cuadrangulares aquellos que colocados en posición normal sulado terminal coincide o cae sobre uno de los cuatro semiejes del sistema de coordenadasrectangulares.

Consecuentemente los ángulos positivos o negativos de 0o, 90º, 180º , 270º y todos suscoterminales respectivos se ajustan a la definición establecida.

+=++

==

+=++==

+=++

==

+=++

==

+=++

==

+=++

==

y

d

xd sc

y

xc

x

y

d

x

d

y

csc

tg

tg

cos

sen

+=+

+==

−=−+==

−=+

−==

−=−

+==

−=+

−==

+=+

+==

y

d

xd sc

y

xc

x

y

d

x

d

y

csc

tg

tg

cos

sen

−=−

+==

−=−+==

+=−

−==

+=−

−==

−=+

−==

−=+

−==

y

d

xd sc

y

xc

x

y

d

x

d

y

csc

tg

tg

cos

sen

−=+

−==

+=++==

−=−

+==

−=+

−==

+=+

+==

−=+

−==

y

d

xd sc

y

xc

x

y

d

x

d

y

csc

tg

tg

cos

sen





- Funciones de un ángulo de 0o, 360º.

- Sea el ángulo AOB un ángulo de 0o

- Un punto P perteneciente al lado terminaldel

ángulo cuyas coordenadas sean:

X = X

P y = 0

d = X siempre positiva.

)(ind0

x

y

x0cot0

x

0

x

y0tan

1x

x

x

d0sec1

x

x

d

x0cos

)(ind0

d

y

d0csc0

d

0

d

y0sin

∞±===°===°

===°===°

∞±===°===°

:Entonces

x = 0

P y = y

d = y

0y

0

y

x90cot)(ind

0

y

x

y90tan

)(indo

y

x

d90sec0

y

0

d

x90cos

1y

y

y

d90csc1

y

y

d

y90sin

===°∞±===°

∞±===°===°

===°===°

x = -x

P y = 0

d = -x = x

- Funciones de un ángulo de 90º.

- Funciones de un ángulo de 180º.





En resumen tenemos:

ANGULO Α SIN Α COS Α TAN Α COT Α SEC Α CSC Α0º 0 1 0 ind. 1 ind.

90º 1 0 ind. 0 ind. 1180º 0 - 1 0 ind. – 1 ind

270º - 1 0 ind. 0 ind. - 1

Funciones de ángulos negativos

Se hace más cómodo que todo análisis para ángulos negativos se los realice encontrando elángulo coterminal de la primera vuelta, y aplicando los conceptos ya conocidos. Sin embargoes común interpretar de la siguiente manera.

)(ind0

x

y

x180cot0

x

0

x

y180tan

1x

x

x

d180sec1

x

x

d

x180cos

)(ind0

x

y

d180csc0

x

0

d

y180sin

∞±=−

==°=−

==°

−=−==°−=−==°

∞±===°===°

x = 0

P y = -y

d = -y = y

0y

0

y

x270cot)(in d

0

y

x

y270tan

)(in d0y

xd270sec0

y0

dx270cos

1y

y

y

d270csc1

y

y

d

y270s in

=−

==°∞±=−

==°

∞±===°===°

−=−

==°−=−

==°

- Funciones de 270º.





d

ysen =α y

d

y)(sen

−=α− Entonces: sen (-α) = - senα

d

xcos =α y

d

x)cos( =α− Entonces: cos (-α) = cosα

x

ytan =α y

x

y)tan(

−=α− Entonces: tan (-α) = - tanα

Para las funciones recíprocas se conserva el mismo análisis:

cot (-α) = - cotα

sec (-α) = secα

csc (-α) = - cscα

Ejercicios:

1. Si el lado terminal del ángulo β pasa por el punto P (-2; 9) encontrar todas lasfunciones del ángulo:

Solución:

a. Dibujamos el punto y el ángulo correspondiente:

b. Identificamos los tres parámetros del punto P

x = - 2P y = 9

d = ?



xco t29y

d

d

d

d

n ==β−==β

−==β−=−==β

==β===

2

85

xsec

85

852

85

2xcos

9

85

ycsc

85

859

85



c. Calculamos el parámetro faltante utilizando Pitágoras:

d = 85)9()2(22

+=+− (d siempre +)

d.- Definimos las funciones trigonométricas del ángulo β

2. Si el coseno de un ángulo es (– 3/8). Hallar las demás funcionestrigonométricas.

Solución:

a. El coseno es negativo en dos cuadrantes: II y III, por lo tanto debemos analizar las

dos posibilidades.

b. Tenemos definidos dos parámetros, debemos calcular el tercero.

Si cos α = - 3/8 y además tenemos que cos α = x/d, entonces podemos afirmar quex = - 3 y d = + 8 (siempre la distancia es positiva)

X = - 3P y = ?

d = + 8

Aplicando Pitágoras tenemos 55964xdy 22 =−=−= (± )

Al tener doble signo para la ordenada comprobamos que existen dos soluciones.

c. Dibujamos las dos soluciones:





d. Definimos las funciones para las dos soluciones

Solución 1 Solución 2

Sin α 1 =8

55sin α 2 =

8

55−

Tan α 1 =3

55

3

55−=

−+

Tan α 2 =3

55

3

55=

−−

3. En que cuadrante termina α si cos α y cot α son negativos? Solución:

Al ser el cos α negativo el ángulo puede caer en el II ó III cuadrante, y la cot α es negativaen el II ó IV cuadrante.

Por lo tanto para que cumpla ambas condiciones a la vez el ángulo debe ser del II cuadrante.

4. Calcular las funciones trigonométricas restantes si el lado terminal cae en el IIcuadrante y tan α = - 10/24.

Solución:

Tenemos definidos dos parámetros, debemos calcular el tercero.

Si tan α = - 10/24 y además tenemos que tan α = x/y, entonces podemos afirmarque x = - 10 y y = 24 (Porque el ángulo es del II cuadrante)

x = - 10P y = 24

d = ?

Aplicando Pitágoras tenemos 26576100yxd 22

=+=+= (d es siempre positivo)

Dibujamos la solución:





Definimos las funciones restantes

13

12

26

24sen

==α

13

5

26

10cos −=−=α

12

5

24

10cot −=−=α

5

13

10

26sec −=−=α

1213

2426csc ==α

5.- Simplificar y encontrar el valor exacto de la expresión:

)1530csc()2700sec()2160tan(

)1710(sen)900cos(E °+

°+°−°−°−

=

Solución:

Aplicando los conceptos sobre funciones trigonométricas de ángulos negativos, yencontrando el coterminal de la primera vuelta de los ángulos de -900o, 1710o, -2160o, 2700o

y 1530o, tenemos:

)90csc()180sec()0tan(

)270(sen)180cos(E °+

°+°−°−°=

Reemplazando los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales:

( )

11011

01

1

111

)1(0

11E =+=+

−=+

−

+−=+

−+

−−−=

E= 1

Asesoría 2.3



Las coordenadas del punto B serán:

x = b = cateto adyacente a αy = a = cateto opuesto a αd = c = hipotenusa



Triángulo rectángulo

Funciones trigonométricas de ángulos agudos

Si tomamos en cuenta la definición de ángulos agudos, podemos observar que se trata entrigonometría de ángulos del primer cuadrante.

En la figura se dice que las coordenadas del punto P(x; y) forman un triángulo rectánguloOPA cuyos catetos son OA y AP y su hipotenusa OP, identificada como la distancia PO.

Empleando la nomenclatura acostumbrada decimos que, teniendo un triángulo rectángulocualquiera, lo colocamos de tal manera que el ángulo agudo α se ubique en posición normal,

como se indica en la figura.

De acuerdo a lo expresado en el capítulo de funciones trigonométricas de ángulos de cualquiervalor podemos definir, en términos de los lados del triángulo rectángulo, las seis funcionestrigonométricas de “α”



c.opuesto

ec.adyacent

a

bctgα ==

ec.adyacent

hipotenusa

b

csecα ==

c.opuesto

hipotenusa

a

ccscα ==

hipotenusa

" " a c.opuesto

c

a

d

y

distancia

ordenadasen

α ====α

hipotenusa

"" a ec.adyacent

c

b

d

x

distancia

abscisacos

α====α

:serán recíprocosLos

"" a ec.adyacent"" a c.opuesto

ba

xy

abscisaordenada

tanα

α====α



En los mismos términos analicemos las funciones del otro ángulo agudo β y comparemos conlas funciones del ángulo α .

A estos pares de funciones se les denomina co-función entonces se dice:

Pero, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios:

α + β = 90o (son complementarios)

generalizando esta característica, enunciamos que:

“La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la respectiva co-función del

ángulo complementario”

Funciones trigonométricas de ángulos DE 30º, 45º Y 60º

La cofunción del sin α = coseno β de la tan α = cotangente β

de la sec

α =cosecante

β

β α β α

β α

β α

β α

β α

sec csc csc sec

tanctg

ctg tan

sencos

cossen

==

====

∴

a

c csc

b

c sec

a

bctg

b

atan

c

bcos

c

asen

=

=

=

=

=

=

α

α

α

α

α

α

b

c csc

a

c sec

b

actg

a

btan

c

acos

c

bsen

=

=

=

=

=

=

β

β

β

β

β

β





Se puede realizar el cálculo de las funciones de estos ángulos en forma sencilla sin el empleode la calculadora.

Para un ángulo de 45º consideramos un triángulo rectángulo – isósceles de lado “a”

Las funciones del ángulo C son iguales a las cofunciones del <B (complementarios)

sen 45º = cos 45º (cofunción) =

tan 45º = cot 45º (cofunción) = 1a

a=

sec 45º = csc 45º (cofunción) = 2a

2a=

Es costumbre racionalizar los denominadores. A estos valores expresados en esta forma seles denomina “valores exactos”

Para calcular las funciones trigonométricas de ángulos de 30º y 60º debemos considerar yanalizarlas en un triángulo equilátero, donde los ángulos internos son iguales a 60° y laaltura es también bisectriz, mediana y perpendicular bisectriz. (fig)

En efecto en la figura consideremos el triángulo equilátero ABC y la altura BH, que comodijimos anteriormente es también es la mediana del lado AC y la bisectriz del ángulo ABC.

Al trazar la altura BH el triángulo ABC ha quedado dividido en dos triángulos rectánguloscongruentes cuyos ángulos agudos tiene 30° y 60° respectivamente. Entonces podemosanalizar las respectivas funciones en cualquiera de los dos triángulos así formados. No debeolvidarse que las funciones de un ángulo de 60° son iguales a las respectivas cofunciones desu ángulo complementario, en este caso el ángulo de 30°.

Sea el triángulo ABC y BH la altura (bisectriz, mediana y mediatriz); se forman dostriángulos Vamos a considerar el triángulo ABH rectángulo y cuyos ángulos agudos, como quedaestablecido son iguales a 60° y 30° respectivamente.

En el triángulo ABC, aplicamos el teorema dePitágoras

BC2 = a2 + a2

∴ 2aa2BC2==

3

2

a

4

3a

2

aaBH

2

2

2

2 ==−=∴

a

a 2= 1

2=

2

2





Con los datos obtenidos podemos calcular todas las funciones de estos ángulos en eltriángulo rectángulo ABH.

sen 60° = cos 30° =

2

3

a

32

a

=cos 60° = sen 30° =

2

1

a2

a

=

tan 60° = cot 30° = 3

2

a2

3a

= cot 60° = tan 30° =

3

3

3

1

sec 60° = csc 30° =

2

2a

a =

csc 60° = sec 30° = 3

32

23a

a=

Resumiendo:

funciónAngulo

sen cos Tan

30° 2

1

2

3 3

3

45° 22

22 1

60° 2

3 2

1 3

Uso de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son de gran utilidad en la vida práctica, pues sirven paracalcular los elementos de un triángulo, conociendo (en el caso de triángulos rectángulos) unlado y un ángulo, pues el otro ángulo es conocido e igual a 90º. Para el caso de conocer doslados, será de gran ayuda el teorema de Pitágoras.No es posible calcular los elementos (lados) de un triángulo conociendo solamente el valor desus ángulos. Es necesario siempre conocer el valor de un lado.

Resolver un triángulo rectángulo es encontrar los valores de todos sus lados y todos susángulos.

Problemas:

Resolver los siguientes triángulos rectángulos

1.





Solución:

Para resolver el triángulo debemos encontrar los valores de los ángulos y los lados quefaltan.

Aplicando funciones trigonométricas tenemos:

10a40sen =° entonces: a = 10 sen 40o

a = 6.43

10

b40cos =° entonces: b = 10 cos 40o

b = 7.66

Como en un triángulo rectángulo sus ángulos son complementarios:

α = 90o – 40o

α = 50o

2.

Solución:

Al conocer la hipotenusa y un cateto podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrarel otro cateto, así:

222 712e −=49144e −=

75.9e =

Para encontrar uno de los ángulos utilizamos funciones trigonométricas:

12

7cos =γ





De donde: γ = cos-1(7/12) (Para encontrar el resultado busque en la calculadorala tecla cos-1)

γ = 54.32o

Para encontrar el oto ángulo restamos de 90o

. Así:θ = 90o- 54.32o

θ = 35.68o

Asesoría 2.4

Ley de senos

“Los lados de todo triángulo son proporcionales a las funciones senos (sen) de losángulos opuestos a esos lados.

senC

c

senB

b

senA

a==

Demostración en un triángulo acutángulo:

Como lo muestra la figura, sea h la altura desde el vértice B hasta la base AC. Se tiene que:

En p ADB

En p BDC

igualando las expresiones (1) y (2) tenemos que:

(1) sen*ch

senc

h

α=∴

α=

)2(sen*ah

sena

h

γ =

γ =

γ =α

∴

γ =α

sen

c

sen

a

sen*asen*c





de igual manera podemos probar que trazando la altura ha y conceptual izando el sin B seobtiene la siguiente expresión:

Podemos unir las razones y establecer en forma general que:

∠ A = ∠ α

∠ B = ∠ β senC

c

senB

b

senA

a==

∠ C = ∠ γ

La figura analizada muestra a un triángulo acutángulo, sin embargo esta ley se aplicatambién en triángulos obtusángulos.

En p DBC:

)1(asenCha

hsenC =∴=

En p BAD

)A180(sensenA

A180BAD

−°=

−°=∠

⇒ sen (180° - A) =c

h ∴ h = c sen (180° - A) ⇒ h = c sen A (2)

(1) = (2) a sen C = c sen A

∴ senC

c

senA

a=

Para demostrar la otra proporción de esta ley trazamos la altura que corresponde al lado “a” y con el mismo procedimiento del primer caso obtenemos que:

senB

b

senC

c= entonces podemos generalizar :

senC

c

senB

b

senA

a==

Ejemplo:

1.- Determine las partes restantes del triángulo que se muestra en la figura.

β=

γ sen

b

sen

c



c 30sen

6 20sen

a 130sen °=°=°



Sean β = 2 0 ο , α = 130 ο , b = 6

Por suma de ángulos en un triángulo podemos calcular γ :

γ = 1 80 ο −20ο −130ο

γ = 3 0 ο

A partir de la ley de senos, podemos establecer que:

resolviendo para a desde

Obtenemos que:

Resolviendo para c, usamos:

Resolución de triángulos: cuatro casos

En general, podemos usar la ley del seno para resolver triángulos para los cualesconocemos: (CASO 1) dos ángulos y cualquiera de los lados; (CASO 2), dos lados y unángulo opuesto a alguno de estos lados. Aquellos triángulos para los cuales conocemos treslados, o dos lados y el ángulo comprendido no pueden ser resueltos directamente aplicandola ley de senos.

En el ejemplo anterior, donde se conocen dos ángulos y un lado (caso 1), el triángulo teníasólo una solución. Sin embargo, esto no es cierto para el caso 2, donde conocemos dos ladosy un ángulo opuesto a alguno de estos lados.

6

20sen

a

130sen °=

°

u13.440.3420

0.76606

sen20

sen1306a =

=

°°

=

c

30sen

6

20sen °=

°

u.8.770.3420

0.50006

sen20

sen306c =

=

°°

=





Supongamos que los lados b y c y el ángulo β del triángulo ABC son conocidos.

Como lo muestran las figuras siguientes, si dibujamos el ángulo β y el lado c para localizarlos vértices A y B. El tercer vértice C se localiza en la base (b). Dibujando el arco de un

círculo de radio “a” con centro en B, existen cuatro posibilidades resultantes de estaconstrucción:

a.- El arco no interseca la base y no se forma ningún triángulo.

b.- El arco interseca la base en dos puntos distintos C1 y C2 y se forma dos triángulos.

c.- El arco interseca la base en un punto y se forma un triángulo.

d.- El arco es tangente a la base, y se forma un triángulo rectángulo.

Al existir estas cuatro posibilidades podemos deducir que:

El caso a no tiene solución

El caso b tiene dos soluciones (caso ambiguo)

El caso c tiene una sola solución

El caso d tiene también una sola solución pero limitada a un triángulo rectángulo.

Ejercicios:

1.- Encuentre las partes restantes de un triángulo con:

β = 4 6ο

, b = 4. 5 y c = 7.





Solución:

A partir de la ley del seno tenemos que:

11897.1Csen

4.5

46sen7Csen 46sen

4.5

Csen

7

=∴

°=∴°=

Como el seno NO puede ser mayor que 1, el triángulo no existe (caso 1)

2.- Encuentre las partes restantes de un triángulo con los siguientes datos:b = 5.9; ángulo B = 46° y el lado c = 7:

Utilizando el mismo gráfico que para el ejercicio 1, cambiando el valor de b, y con la ley desenos, podemos calcular el ángulo C:

⇒°= 46sen

9.5

Csen

7

Sen C = 853454.09.5 46sen7 =°

Este resultado nos indica que existen dos posibilidades de un ángulo cuyo valor del seno seael calculado. Estos dos ángulos son:

C1 = 58,59° y C2 = (180° - 58,59°) = 121,41°

Entonces, como lo muestran las figuras, hay dos triángulos posibles ABC1 y ABC2 quesatisfacen las condiciones dadas.

Solución1

Encontramos el valor del ángulo A1 en el triángulo ABC1 que se muestra en la figura:





A1 + 46° + 58.59 ° = 180° ⇒ ángulo A1 = 75.41

Luego calculamos “a1” con la ley de senos:

Enp

ABC1:

°=

°=

° 46sen

9.5

41.75sen1a

59,58sen

7

⇒ a1 = 7.94 u.Solución 2

A2 + 46° + 121.41 = 180° ⇒ ángulo A2 = 12,59°

Calculamos “a2” con la ley de senos:, en el p ABC2 :

°

=°

=° 46sin

9.5

59.12sin41.121sin

7 2a

⇒ a2 = 1.79 u.

Conclusión: Existen dos soluciones válidas para este problema (Caso 2).

Ley de cosenos

“El cuadrado de un lado cualquiera en un triángulo es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos dos lados por elcoseno del ángulo que comprenden esos lados”

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C





En BDC

a2 = h2 + ( b - x )2 (1) por Pitágoras

En p ADB

h2 = c2 – x2 por Pitágoras

reemplazo h2 en (1)

a2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2

∴ a2 = b2 + c2 – 2bx (Pitágorasgeneralizado)

pero en p ADB

∴ a2

= b2

+ c2

– 2bc cos A (A)

expresada en otra forma:

2

22

bc2

acb Acos

−+= (B)

NOTA:

a.- La ley de cosenos nos ayuda a resolver triángulos donde conocemos dos lados y el ánguloformado entre ellos o cuando conocemos los tres lados.

b.- Si conocemos los 3 lados debemos calcular uno de los ángulos con la forma (B), de ahí que si el ángulo considerado es mayor que 90º el coseno es negativo, por lo tanto el signo dela fórmula también cambia De la forma (B) se puede decir que:

Si a2 > b2 + c2 el coseno es negativo y por lo tanto el ángulo A es obtuso

Si a2 = b2 + c2 el coseno es igual a cero y consecuentemente el ángulo A es 90º

Si a2 < b2 + c2 el coseno es positivo y el ángulo A es agudo.

LEY DE

COSENOS

xAcos*cc

xAcos =∴=





Ejercicios:

1.- Resolver el triángulo ABC dado c = 132; b = 224 y ∠ A = 28º40´

Solución:

Por la ley de cosenos tenemos:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Reemplazando valores tenemos

a2 = (132)2 + (224)2 – 2 (132) (224) cos 28°40’

a = 125

Aplicando la ley de senos podemos calcular el ángulo C:

Para ∠ c: '3030A5066,0125

0428sen132a

senAcCsen °=∴=′°==

Para ∠ B aplicamos que la suma de ángulos es 180o, por lo tanto:

'50120'4028'3030180CA180B °=°−°−°=∠−∠−°=∠

2.- Hallar los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 4, 7 y 10 cm.

Solución:

Dibujamos un triángulo con las características dadas:

Aplicando la ley de cosenos tenemos:





a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Despejando cos A:

2

22

bc2

acb Acos

−+=

Reemplazando los datos:

)7)(4(2

2102724Acos

−+=

cos A = - 0,625De donde:

A = 128,68o

Para calcular el ángulo C, aplicamos la ley de senos:

°=∴=°

== 12,33A546,010

68,128sen7

a

senAcCsen

Para calcular el valor del ángulo B hacemos suma de ángulos internos en un triángulo:

B + 33,12° + 128,68o = 180° ⇒ ángulo B = 18,2°

Solución de problemas:

Para resolver problemas de aplicación es necesario dar algunas definiciones fundamentalesque ayudan a la comprensión de las interrogantes.

Ángulos de elevación: Son ángulos que determinan la posición de un objeto que seencuentra sobre el observador. Se miden tomando como origen el plano horizontal que pasapor el ojo del mismo observador:

Ángulos de depresión: son ángulos que determinan la posición de un objeto que seencuentra bajo el plano que pasa por el ojo del observador





Ejemplo:Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son21º 03’ y 43º, respectivamente. Los puntos A y B están a 11 km entre sí y el globose encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcular la altura delglobo sobre el suelo.

Solución:

Hacemos un gráfico del problema:

Calculando el ángulo C con suma de ángulos internos en el triángulo ABC:

C + 21º03’ + 43o = 180° ⇒ ángulo C = 115° 57’

Como conocemos los 3 ángulos y un lado en el triángulo ABC, calculamos el lado b aplicandoley de senos:

senB

b

senA

c= ⇒

°=

° 43sen

b

'57115sen

11

Por lo tanto: b=8.34 Km

Para encontrar h resolvemos el triángulo rectángulo ACD utilizando funcionestrigonométricas:

b

hsenA =

34.8

h'0321sen =°

De donde:h = 3 Km

Asesoría 2.5

Círculo trigonométrico

Si consideramos un círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas rectangularesy un radio igual a la unidad se ha definido el círculo trigonométrico. Este círculo sirve para



)(OA1

OA

r

OA

OT

OAsec

)(TA1

TA

r

TA

OT

TAtan

:anteseclaygentetanladefineseOTAelEn

)(OE

1

OE

r

OE

ON

OEcsc

)(NE1

NE

r

NE

ON

NEcot

ecantecosyangentecotladefineseONEelEn

)(OC1

OC

r

OC

OS

OCcos

)(CS1

CS

r

CS

OS

CS

sen

enocoselysenoeldefineseOCSelEn

+====α

+↑====α

∆

+====α

+↑====α

∆

+↑====α

+↑====α

∆



representar a escala los valores de las seis funciones trigonométricas de un ángulo enposición normal. Sirve también para tener una idea clara sobre la variación del valor de lasfunciones de acuerdo a la variación del ángulo. Y por último nos facilita la deducción defórmulas que relacionan unas funciones con otras y de esta manera desarrollar habilidades ydestrezas en la solución de problemas.

Analicemos, un ángulo del primer cuadrante α.

α = Angulo en estudio

T = Intersección de la circunferencia con el ejede las abscisas, donde se traza la tangente. TA

N = Intersección de la circunferencia con el ejede las ordenadas, donde se traza latangente NE

S = Intersección de la circunferencia con un

punto del lado terminal.A = Intersección del lado terminal con la

tangente que pasa por T.

E = Intersección del lado terminal con latangente que pasa por N.

C = Pie de la perpendicular, bajada desde S aleje de las abscisas.

Los triángulos OCS; OTA y ONE son rectángulos y semejantes entre sí pues tienen un ánguloagudo igual (α).

Podemos definir las seis funciones trigonométricas para α pero considerando que esadefinición puede hacerse en cualquiera de los triángulos formados.

El objetivo es tratar que la relación o razón trigonométrica tenga como denominador launidad, y la función pueda ser representada por el numerador como un vector.

Para ángulos del primer cuadrante:





Para la consideración del signo debemos tener en cuenta que para aquellos vectoresparalelos a uno de los ejes, si se dirigen hacia arriba o hacia la derecha son positivos y casocontrario, negativos. Sin embargo esta consideración no corre para la sec y csc en las cualesse establece que: Si el vector coincide o cae sobre el lado terminal del ángulo, éstos seconsideran positivos y si no lo hacen (caen en la prolongación ) se consideran negativos.

Para los otros tres casos tenemos entonces:

Segundo cuadrante:

Sen α = CS p (+)Cos α = OC p (-)Tan α = TA p (-)Cot α = NE p (-)Sec α = OA prolongación (-)Csc α = OE coinciden (+)

Para el tercer cuadrante:

Para el tercer cuadrante:

)(ónprolongaciOEcsc

)(ónprolongaciOAsec

)(NEcot

)(TAtan

)(OCcos

)(CSsin

−=α

−=α

+→=α+↑=α

−←=α−↓=α

Para el cuarto cuadrante:





)(ónprolongaciOEcsc)(coincidenOAsec

)(NEcot

)(TAtan

)(OCcos

)(CSsen

−=α+=α

−←=α−↓=α

+→=ε−↓=α

VARIACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Variación del seno α:

GRADOS VALORES

0° - 90° 0 a 1

90° a180°

1 a 0

180° a270°

0 a –1

270° a360°

-1 a 0

Variación del coseno α:

GRADOS VALORES 0° - 90° 1 a 0

90° a180°

0 a -1

180° a270°

-1 a 0

270° a360° 0 a 1

Variación de la tangente α:

GRADOS VALORES 0° - 90° 0 a ± ∞

90° a ± ∞ a 0





180°

180° a270°

0 a ± ∞

270° a360° ± ∞ a 0

Variación de la cotangente α:

GRADOS VALORES

0° - 90° ± ∞ a 090° a180°

0 a ± ∞

180° a270°

± ∞ a 0

270° a360°

0 a ± ∞

Variación de la secante α:

GRADOS VALORES 0° - 90° 1 a ± ∞

90° a180°

± ∞ a -1

180° a270° -1 a ± ∞

270° a360°

± ∞ a 1

Variación de la cosecante α:

GRADOS VALORES





0° - 90° ± ∞ a 1

90° a180°

1 a ± ∞

180° a270° ± ∞ a –1

270° a360°

-1 a ± ∞

Gráficas de las funciones trigonométricas

La variación de los valores de las funciones trigonométricas, puede ser representada yestudiada mediante la construcción de gráficas, que visualicen las características propias decada una de ellas, mientras el ángulo varía entre ciertos valores predeterminados.Generalmente se toma un ciclo de estudio que comprenden a los ángulos positivos de laprimera vuelta (de 0º a 360º).

Para realizar las gráficas de Las funciones trigonométricas se ha tomado como referencia losvalores que se encuentran en cada uno de sus respectivos cuadros. Como ejemplo acontinuación se presentan las gráficas del coseno, cotangente y cosecante.

Gráfica del coseno

Gráfica de la cotangente





Gráfica de la cosecante

Funciones trigonométricas inversas:

En temas anteriores ya hemos trabajado con estos conceptos, al calcular el ángulo

conociendo la función trigonométrica. Esta es otra forma de nombrar un ángulo.

La ecuación y = arcsen (x) se interpreta como:

“y” es un ángulo cuyo seno es “x”. Numéricamente, tenemos por ejemplo:

30º = arc sen (0.5)

- y = arc cos (x) se interpreta como:

“y” es un ángulo cuyo coseno es “x”. Ejemplo:

60o = arc cos (0.5)

- y = arc tan (x) se interpreta como:

“y” es un ángulo cuya tan es “x”. Ejemplo:

45o = arc tan (1)





Es costumbre también utilizar la siguiente nomenclatura:

sen-1 (x) = y cos-1 (½) = π ⁄ 3 ó 60o tan-1 (1) = 45o

Debemos, sin embargo, dejar claro que esta nomenclatura no significa que “y”sea igual a 1/ sin x sino que es una costumbre muy usada en ciertos textos,calculadoras e inclusive ordenadores escribir de esta manera las funcionestrigonométricas inversas.

Gráficas de las funciones trigonométricas inversas

La gráfica de y = sen-1 (x) ó y = arcsen (x) es la misma gráfica de x = sen y, y sediferencian de los gráficos estudiados anteriormente en que los papeles de “x” y de “y” están intercambiados.

Así por ejemplo la gráfica de y = cos -1 x es una curva dibujada en el eje “y” en lugar del eje “x”.

Con todas las demás curvas se cumple esta particularidad.

Gráfica de y = sin-1 (x)

Gráfica de y = cos-1 (x)

Gráfica de y = tan-1 (x)





El uso más frecuente de estas

funciones es que permiten expresar ciertas expresiones algebraicas en forma trigonométricay viceversa

Ejemplos:

1. Encontrar los valores de:

a.- sen-1(-2

3 ) b.- cos-1(2

1− ) c.- tan-1(3

1−)

6óº30

3

1tan

3

2óº120

2

1cos

3

óº60

2

3sen

1

1

1

π−−=

−

π=

−

π−−=

−

−

−

−

2. Indicar si los siguientes valores son verdaderos o falsos y justifique surespuesta:

a.- Sen-1 (0) = 0o (V) Porque el sen 0o = 0

b.- Cos-1 (-1) = π /2 (F) Porque el cos (π /2) = 0

c.- Sen-1 (-1) =- π /6 (F) Porque el seno (-π /6) = -1/2

d.- Tan-1 (-1) = - 45o (V) Porque la tan (-45o) = -1

e.- Sen-1 (0.333) = 0.34 rad. (V) Porque sen (0,34 rad) = 0.333 f.- Sen-1 (- 0.644) = - 0.70 rad. (V) Porque sen (-0.70) = -0.644

3. A qué es igual sen [sen-1 (½)]:





El sen-1 (½) = π / 6

Por lo tanto:

sen (π / 6) = ½

4. A qué es igual sen-1 (tan 135o):

La (tan 135o) = -1

Por lo tanto:

sen-1 (-1) = -π /2

5. Calcular sen-1 ( 2 /2) – sen-1 (½):

Con valores exactos lo podemos hacer de la siguiente manera:

sen-1 ( 2 /2) = π / 4

sen-1 (½) = π / 6

Por lo tanto:

sen-1 ( 2 /2) – sen-1 (½) = π / 4 - π / 6 = π / 12

6. Demostrar que:

a.- Sen-1 (x) + cos-1 (x) = π / 2

Consideremos que el ángulo cuyo seno es igual a x es "α ", y que existe otro ángulo"β " cuyo coseno también es igual a "x". Dibujemos estos dos ángulos:

Sen α = x/1 = x

sen β =1

12

x−

Cos α =1

12

x− Cos β = x / 1 = x

Comprobemos que (α + β ) es igual a 90°:

Sen (α + β ) = sen α cos β + cos α sen β = x * x +1

1

2

x− *1

1

2

x−

Sen (α + β ) = x2 + 1 - x2 = 1 y el seno de 90° es = 1,





Por lo tanto los dos ángulos suman 90° ó π/2

b.- Sec-1 (x) = cos-1 (1/x)

Si definimos la sec α tenemos que es igual a x / 1, y la sec β es igual a x / 1,

Si sec α = sec β entonces α = β

Si la sec de un ángulo es x, el coseno de ese ángulo es 1 / x

7.- Calcular tan [ sen-1 (-3/4)]:

Solución:

Sea α = sen-1 (- 3/4);

⇒ sen α = - ¾ siendo α un ángulo del IV cuadrante

Tan [sen-1 (-3/4)] = tan α = -

7

73

7

3 −=

8.- Evaluar:

−−−

3

2tansen5tancostan 111

Solución:

Sea α =

−

3

2tan 1

, entonces tan α =3

2

Si dibujamos el correspondiente triángulo tenemos:





Por lo tanto nos queda:

Tan-1{cos[tan-1( 5 sen α)]}

En el triángulo ABC obtenemos la hipotenusa c por el teorema de Pitágoras:

( ) ( )222

3c +=

c = 5

Con este valor calculamos el sen α:

5

2sen =α

Por lo que nos queda:

Tan-1{cos[tan-1(

5

25 ⋅ )]}

Simplificando la 5 , tenemos:

Tan-1{cos[tan-12 ]}

Sea β = tan-1

2 , entonces tan β = 2

Dibujando el correspondiente triángulo:





Por lo tanto nos queda:

Tan-1{cos[β]}

En el triángulo ABC obtenemos la hipotenusa c por el teorema de Pitágoras:

( ) ( )2221c +=

c = 3

Con este valor calculamos el sen α:

3

1cos =β

Por lo que nos queda:

Tan-1{3

1})= 60o

Asesoría 2.6

Identidades trigonométricas

Identidad.- Es una relación de igualdad entre dos expresiones que contienen funcionestrigonométricas, y válida para todos los valores de ángulos que se desee asumir.

Demostración de una identidad:

Se verifican desarrollando un miembro y alcanzando el otro, empleando procedimientosmatemáticos diversos para conseguirlo, los métodos más comunes son los de factoreo,reemplazos por expresiones equivalentes, uso de axiomas y postulados, que hacen adquirirdestrezas y habilidades propias.

Algunos autores desarrollan los dos miembros y alcanzan un tercero igual, pero eso implicaque parten del criterio que el ejercicio planteado es ya una igualdad y eso es lo que,cabalmente, queremos demostrar.

No existe una metodología propia para resolver identidades, sin embargo podemos emitirciertos criterios que ayudan a efectuar estas operaciones:

- Comience desarrollando el lado de la igualdad que aparenta más complejidad.- Se debe procurar, hasta donde sea posible, convertir todas las funciones en relación con

el seno y el coseno, que son mucho más manejables y claras para el estudiante.- Los operadores aritméticos no pueden ser simplificados con las expresiones angulares.- Se recomienda un orden y claridad extrema, ya que esto facilita el encontrar un posible

error que se presente.





A continuación tenemos algunas relaciones que nos permiten resolver problemas deidentidades.

Relaciones pitagóricas entre las funciones trigonométricas

En el triángulos OCS:

OS2 = CS2 + OC2

1 = sen2 α + Cos2 α

De esta relación se deducen las siguientes:

En el triángulo OTA:

OA2 = OT2 + TA2 ⇒ sec 2 α = 1 + tan 2 α ó 1 = sec 2 α - tan 2 α

En el triángulo ONE:

OE 2 = ON 2 + NE 2 ⇒ csc 2 α = 1 + cot 2 α ó 1 = csc 2 α - cot 2 α

Relaciones de cociente:

En el triángulo OCS pueden establecerse otras relaciones entre las funciones aunque estasno sean cuadráticas:

Tan α =α

α

cos

sin=

OC

CS ⇒ tan α =

α

α

cos

sen

y, consecuentemente: cot α =α

α

sen

cos

También recordemos las relaciones recíprocas que obtuvimos en capítulos anteriores:





α=α

α=α

α=α

t a n

1c o t

c o s

1s e c

s e n

1c s c

Ejercicios:

Demostrar las siguientes identidades:

1.- tan A + 2 cot A =senAAcos

A2cos1 +

Desarrollamos el primer miembro para alcanzar el segundo

En función del seno y el coseno, tenemos:

senAAcos

A2cos1

senAAcos

A2cosA2cosA2sen

senAAcos

A2cos2A2sen

senAAcos2

AcossenA

+=

++

=+

=+

2.- sec4 A – sec2 A = tan4 A + tan2 A

Factorando el primer miembro, tenemos:

sec2 A (sec2 A – 1) =

(1 + tan2 A) (sec2 A – 1) = (1 + tan2 A) (tan2 A) = tan2 A + tan4 A

3.-senA1

Acos

Acos

senA1

+=

−

Desarrollando el primer miembro:

senA1

Acos

)senA1(Acos

A2cos

)senA1(Acos

A2sen1

)senA1(

)senA1(*

Acos

)senA1(

+=

+=

+−

=++−

4.-senA

AcosAtanAcotAsec

+=+

Desarrollamos el segundo miembro para alcanzar el primero





AcotAsecAcotAcos

1Acot

AcossenA

senA

senA

Acos

senAAcos

senA

senA

AcosAcos

senA

+=+=+=+=

+

5.-1AsecAtan

1AsecAtanAsecAtan

+−−+

=+

Desarrollando el segundo miembro y utilizando álgebra, tenemos:

1AsecAtan

)AtanA)(secAtanA(sec)AsecA(tan

1AsecAtan

)A2tanA2(secAsecAtan

+−+−−+

=+−−−+

AsecAtan)AtanAsec1(

)AtanAsec1)(AsecA(tan +=

+−

+−+

6.- sen A cos A (tan A + cot A) + csc2 A (1 – cos2 A) = 2

Desarrollando el primer miembro:

sen A cos AA2sen*

A2sen

1

senA

Acos

Acos

senA+

+

=

sen A cos A

+AcossenA

A2cosA2sen+ 1 =

sen A cos A

AcossenA

1+ 1 = 1 + 1 = 2

Asesoría 2.7

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una relación de igualdad que contiene expresionestrigonométricas. Es válida solamente para ciertos valores del ángulo. Estas soluciones se

hallan aplicando procedimientos semejantes a los usados en identidades y ecuacionesalgébricas. Las soluciones se pueden expresar como números reales o ángulos.Se debe tener en cuenta, que el introducir ciertos artificios matemáticos en la resolución deecuaciones a veces estamos multiplicando o dividiendo para valores iguales a cero, infinito oelevando al cuadrado valores negativos, todo lo cual motiva soluciones “extrañas”, por lo quese recomienda verificar las respuestas. Por tal razón existen falsas soluciones pese a quematemáticamente se desarrolló correctamente.Una recomendación general para resolver las ecuaciones es la de tratar de definir la ecuaciónen términos de una sola función y de ser posible en términos del ángulo simple, sin embargoestos ángulos tienen coterminales positivos y negativos, por lo tanto las respuestas tambiénserán válidas para esos ángulos. Se debe estudiar el período de la curva para expresar ygeneralizar las respuestas. Es conveniente especificar el intervalo de estudio, pero si no selo determina se supone que se trata de ángulos positivos de la primera vuelta.

Ejercicios:





Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

1.- csc4 2 A – 4 = 0 [0°; 360°]

Solución:

csc4 2 A – 4 = 0

Factorando: ( csc2 2A – 2) (csc2 2A + 2) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero significa que uno de los factores es = 0 por tanto:

(csc2 2A– 2) = 0

csc 2A =± 2

2A2sen1 ±=

sin2A = ± 2 / 2

2A = sen-1 (± 2 / 2)Pero como sabemos el seno es positivo en el I y II cuadrantes y negativo en el III y IV, porlo que:

∴ 2A = 45o; 135o; 225o; 315o

Al ser el ángulo doble se toma también los ángulos coterminales de la segunda vuelta:

∴ 2A = 405o; 495o; 585o; 675o

Dividiendo todos los valores encontrados para 2, tenemos:

A = 22.5o; 67.5o; 112.5o; 157.5o; 202.5o; 247.5o; 292.5o; 337.5o

El otro factor (csc2 2A + 2) = 0 no es real ya que resulta csc A = 2−

Como no hemos elevado al cuadrado o dividido por cero no hace falta comprobar lasrespuestas.

Por lo que la solución sería:

C.S.= {22.5o; 67.5o; 112.5o; 157.5o; 202.5o; 247.5o; 292.5o; 337.5o}

2.- 2sen x cosx + cos x = 0 [-180o; 90o]

Solución:

2 sen x cos x + cos x = 0

cos x ( 2sen x + 1 ) = 0

Igualemos los dos factores a cero

cos x = 0 2 sin x + 1 = 0





x = cos-1 0 sen x = - 1/2

x = 90° ó 270° x = sen-1 (-1/2)

El seno es negativo en el III y IV cuadrantes, por lo que:

x = 210° ó 330°

Pero como nos piden que las respuestas estén dentro del intervalo [-180o; 90o], encontramoslos ángulos coterminales negativos que estén dentro de ese intervalo

X= -270o ó -90o x= -150o ó -30o

Como no hemos elevado al cuadrado o dividido por cero no hace falta comprobar lasrespuestas.


C.S.= {-150o, -90o, -30o, 90o}

3.- 2cos (x – 25o) = - 3

Solución:

Cuando no se especifica el intervalo, las respuestas deben ser encontradas en el intervalo[0o; 360o], por lo tanto:Despejando el coseno, tenemos:

cos ( x – 25o) = -2

3

x – 25o = cos-1(-2

3 )

Como el coseno es negativo en el II y III cuadrantes, tenemos:

x – 25o = 150o ó 210o

Pasando a sumar los 25o, se obtiene:

x = 175o ó 235o

Como no hemos elevado al cuadrado o dividido por cero no hace falta comprobar las

respuestas.


C.S.= {175o, 235o}

4.- 1Ccos1

senC=

+

Solución:

Cuando no se especifica el intervalo, las respuestas deben ser encontradas en el intervalo[0o; 360o], por lo tanto:





sen C = 1 + cos C

Elevando al cuadrado:

sen2

C = (1 + cos C)2

sen2 C = 1 + 2 cos C + cos2 C

Aplicando identidades trigonométricas, tenemos:

1 – cos2 C = 1 + 2 cos C + cos2 C

2 cos2 C + 2 cos C = 0

Factorando:2 cos C (cos C + 1) = 0

De donde:

Cos C = 0 cos C = -1

C = 90o ó 270o C = 180o

Pero como elevamos al cuadrado debemos comprobar las respuestas:

Con 90o: 101

1

90cos1

90sen=

+=

°+°

Por lo tanto si es respuesta

Con 270o: 101

1

270cos1

270sen −=+−=

°+°

Por lo tanto no es respuesta

Con 180o:00

)1(10

180cos1180sen =

−+=

°+° Por lo tanto no es respuesta


C.S.= {90o}

Actividades de aprendizaje





Actividad de aprendizaje 2.1.

Planteamientos

Para los ángulos de los ejercicios 1 y 2. Encontrar:

a) Un ángulo coterminal positivob) Un ángulo coterminal negativoc) El ángulo coterminal positivo de la primera vueltad) El ángulo de referenciae) Graficar el coterminal positivo de la primera vuelta y el ángulo de referencia

(en el mismo sistema de coordenadas)

1.- - 3333° (1 punto)

2.-8

275π

(1 punto)

Objetivo

• Encontrar ángulos coterminales positivos y negativos.• Diferenciar entre ángulo coterminal de la primera vuelta y ángulo de referencia.• Graficar el ángulo coterminal de la primera vuelta y el ángulo de referencia en

el mismo sistema de coordenadas.

Orientacionesdidácticas

En la asesoría didáctica 2.1, usted encontrará ejercicios resueltos similares alos que se le pide resolver.Por favor incluya el desarrollo completo de los ejercicios.Para el ejercicio 1 entregue la respuesta en radianes.Tómese el tiempo necesario para contestar las preguntas, pero recuerde quedebe invertir su tiempo de la mejor manera.Se sugiere utilizar el editor de ecuaciones.

Criterios deevaluación

• Aplica correctamente la fórmula para encontrar ángulos coterminales positivos ynegativos.

• Diferencia entre ángulo coterminal de la primera vuelta y ángulo de referencia.• Grafica correctamente el ángulo coterminal de la primera vuelta y el ángulo de

referencia en el mismo sistema de coordenadas.•

Actividad de aprendizaje 2.2.

Planteamientos

1. Encontrar las seis funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, si el

lado terminal pasa por el punto:

a.- (3 ; 7) (0,5 puntos) b.- ( )5;11− (0,5 puntos)

2. Calcular las funciones trigonométricas restantes si: (1 punto)

518csc =α

3. Simplificar y encontrar el valor exacto de la siguiente expresión: (1 punto)

°°°

°°°=

150cot225cos120csc

|150sec315120tan sen R

Objetivo

• Graficar pares ordenados en el plano cartesiano.• Encontrar las restantes funciones trigonométricas de un ángulo si se conoce una

de ellas.• Identificar el signo de las funciones trigonométricas dependiendo del cuadrante

en el que cae el ángulo.• Conocer los valores exactos de las funciones trigonométricas de ángulos

cuadrantales.• Simplificar expresiones utilizando ángulos coterminales de la primera vuelta.

• En la asesoría didáctica 2.2, usted encontrará e ercicios resueltos similares a los



En la asesoría didáctica 2.2, usted encontrará e ercicios resueltos similares a los



Puntaje por actividad

El tutor de la asignatura

Actividad de aprendizaje 2

Puntaje

Actividad de aprendizaje 2.1. 2Actividad de aprendizaje 2.2. 3Actividad de aprendizaje 2.3. 3Actividad de aprendizaje 2.4. 3Actividad de aprendizaje 2.5. 3Actividad de aprendizaje 2.6. 3Actividad de aprendizaje 2.7. 3

20

“En caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consultade tablas, fórmulas, esquemas o gráficos, estos serán incluidos como

parte del examen o en un anexo”.

El examen es sin consulta

actividad_entregable_2

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