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8/12/2019 actividadasignadaporfacilitadorCVV2_EDOS

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PROBLEMAS DE CLCULO VECTORIAL,DE MARSDEN-TROMBA

Calcular el centro de gravedad de la superficie cerrada compuesta por la porcin deparaboloidez = x2+y2 que se encuentra debajo del planoz= 1 y la correspondiente porcin

de este plano.SOLUCIN

Por la simetra del problema, las componentes xyydel centro de gravedad son 0. Para lacomponentez, podemos escribir:

S

S

dS

zdS

z

La superficie S est constituda por una porcin de paraboloide y una porcin de plano.Llammoslas S1 y S2, respectivamente. Para identificar los lmites de ambas, observemosque al intersectarlas obtenemos x2+y2 = 1, lo cual proyectado al plano xy significa unacircunferencia de radio 1 centrada en el origen. Podemos tomar como nuestro dominio elcrculo limitado por la misma, si usamos las variables cartesianas como parmetros.

Sin embargo, aparece como evidentemente conveniente una parametrizacin deambas superficies basada en coordenadas polares.

10

20,

1);(

sen);(

cos);(

;10

20,

);(

sen);(

cos);(

2

2

1

rrz

rry

rrx

Sr

rrz

rry

rrx

S

Tendremos entonces:

21

21

SS

SS

S

S

dSdS

zdSzdS

dS

zdS

z (1)

Debemos encontrar el mdulo del producto vectorial fundamental para estas dossuperficies, y luego utilizarlo para las integrales. Tenemos:

Superficie S1:


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14

4sen2cos2

0cossen

2sencos

2

2422

rr

rrrrr

rr

r rr TTkji

kji

TT

Con esto podemos evaluar las integrales sobre la superficie S1explicitadas en la ecuacin(1):

123

21

125

21

2

3

22

0

1

0

2

3

22

0

1

0

2

1

1

partespor

drdrrdS

drdrrrzdS

S

S (2)

Superficie S2:

rr

rr

rr

TTkji

kji

TT 00

0cossen

0sencos

Con esto podemos evaluar las integrales sobre la superficie S2explicitadas en la ecuacin(1):

2

2

0

1

0

2

0

1

0

2

2

2

drdrdS

rdrdrzdS

S

S (3)

Reemplazando ahora los resultados de (2) y (3) en (1) tendremos:

555,09712,6

8685,3

12

3

2

212

5

2

2

3

2

3

21

21

SS

SS

S

S

dSdS

zdSzdS

dS

zdS

z


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Hallar el momento de inercia respecto al eje x de un alambre semicircular que tiene laformax2+y2= 1,y 0 si la densidad esf(x;y) = x+ y.

SOLUCINSe trata de una semicircunferencia centrada en el origen y que abarca el primero y elsegundo cuadrantes.

La parametrizacin natural para esta curva es:

sen

cos

y

x, 0 (1)

La funcin, por otro lado, tendr dos leyes: una en el primer cuadrante, dondeambos valores son positivos, y otra en el segundo cuadrante, donde x es negativo y y es

positivo. Esto es:

IIc);(,

Ic);(,);(

yxyx

yxyxyxf (2)

Reemplazando (1) en (2) se puede obtener una expresin para la funcin densidadexpresada en trminos del parmetro :

(3)

Ahora debemos calcular el momento de inercia del alambre descrito por la parametrizacin(1) y con una densidad representada por (3), con respecto al eje x. Recordemos que elmomento de inercia es la integral del diferencial de masa por el cuadrado de la distancia aleje de rotacin. En nuestro caso, la distancia al eje xesypara cualquier punto del plano ypodemos expresarIxcomo:

dyxyxfydsyxfydsyxfddmdIC CC

xxx )(')('))();(()();();(

22

0

2222

Es fcil comprobar que la raz cuadrada en esta ltima integral da, para la parametrizacinde nuestro problema, 1. Por lo tanto:

ddIx )sencos(sen)sen(cossen

2/

22/

0

2

2,sencos

20,sencos

))();(( yxf


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donde hemos separado el dominio en dos intervalos, puesto que la ley de la funcin cambiade uno a otro.

Ejecutando la integral se obtiene:

Ix= 8/3

PROBLEMA DE CLCULO VECTORIAL,DE MARSDEN-TROMBA

La superficie de una montaa responde a la ecuacin:

222 4Rzyx

Sobre una de sus laderas se construye un restaurantecilndrico, de radio R, segn muestra la figura. Latemperatura viene dada por

222 16)(3);;( zRyxzyxT

Definamos la funcin densidad de flujo de calor V como TkV , donde k es unaconstante que depende de los materiales. Determinar el flujo de Va travs de la superficiede contacto entre el restaurante y la montaa. (La respuesta depender de Ry de k).

SOLUCIN

Se nos pide calcular:

S

dS,NV (1)

donde S es la parte de lasuperficie paraboloidalcontorneada por el cilindro.Queda claro, pues, que lo

que hay que parametrizares el paraboloide, no elcilindro.

Para esto, veamos cmo seproyectara la montaa conel restaurante sobre elplanoxy.Haciendo z = 0 en

z

y

x

y

x

R

2R


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la ecuacin del paraboloide, vemos que ste intersecta al plano mencionado en unacircunferencia de radio 2R. Por ende, el cilindro tendr radioR.

Puesto que el cilindro est descentrado, usaremos una parametrizacin cuyosextremos determinaremos de forma parecida a la del ejercicio 3.40 (ver), donde se trata elproblema parecido de una esfera descentrada. Usando una parametrizacin basada en

coordenadas cilndricas, y despejando de la ecuacin del paraboloide222

4 yxRz ,tenemos que T(r; ) tendr las siguientes componentes:

sen20

0,

4);(

sen);(

cos);(

22 Rr

rRrz

rry

rrx

Donde el lmite superior de variacin de r, para cada , viene dado por la longitud delsegmento marcado en lnea ms gruesa de la figura anterior, que es 2Rsen (demostrarlopor consideraciones geomtricas elementales). Sacando el producto vectorial fundamental

para esta parametrizacin tenemos

kji

kji

TTN rrr

rr

rr

sen2cos2

0cossen

2sencos 22

Vemos que la componente z de este vector est dirigida hacia arriba. Por lo tantoobtendremos el flujo entrante hacia el restaurante. Ahora expresemos el gradiente de Tmultiplicado por -k, que es la funcin que tenemos que integrar, en trminos de estosparmetros:

))4(32);sen(2;cos6()32);(2;6( 22 rRRrrkzRyxkTk V

Por ende:

)32128sen4sen4cos12( 3222323 rrRRrrrk NV

Y entonces la integral del flujo calrico expresada en (1) vendr dada por:

0

sen2

0

3222323 )32128sen4sen4cos12(FlujoR

drdrrRRrrrk

La resolucin de esta integral requiere de la aplicacin reiterada de identidadestrigonomtricas. Ejecutando la integral obtenemos:

Flujo = 434 kR


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Hidrosttica. A partir del principio de Pascal, demostrar el de Arqumedes.Principio de Pascal:p = p0+ ghPrincipio de Arqumedes: Empuje = Peso de lquido desplazado (en mdulo).

SOLUCIN:

Si E es un slido consuperficie frontera Ssumergido en un lquido dedensidad consante , en cuyainterfase con la atmsferareina una presin ambientep0, y si adoptamos un sistemade coordenadas como el de la

figura, el principio de Pascalnos dice que la presin en eldiferencial de superficieindicado, ubicado a unaprofundidad L - z, vendrdada por:

p = p0+ g(L - z)

Por definicin de presin, lafuerza que el fluido ejercer sobre cada elemento de superficie del slido vendr dada en

igual direccin y sentido contrario a la normal externa a este ltimo, siendo:dF = -pdS

La componente vertical de esta fuerza vendr dada por:

dFz= dF(0;0;1) = -pdS(0;0;1) = -[p0+ g(L - z)](0;0;1)dS

Si integramos este diferencial de fuerza sobre todo el dominio, esto es, sobre toda lasuperficie S, obtendremos la componente vertical de la fuerza resultante:

SSz gzgLpzLgpF dSdS );0;0()1;0;0))((( 00

Notemos ahora que esta ltima es una integral de flujo, y que podemos por lo tantoaplicarle el teorema de la divergencia:

x

dF

dS

p

p0

L - z

z

L

y

z

SE


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gMdVgdVg

dVgzgLpgzgLpF

EE

ES

z

);0;0(div);0;0( 00

dS

DondeMes la masa del lquido que ocupara un volumen igual al del objeto sumergido. Lafuerza vertical total, pues, es igual al peso del lquido desplazado. Podemos demostrar porun razonamiento similar que las componentes xe yde la fuerza son nulas. Por lo tanto elempuje total del lquido es igual al peso del lquido desplazado, con lo cual hemosdemostrado el principio de Arqumedes.

PROBLEMA DE CLCULO VECTORIAL,DE MARSDEN-TROMBA

Aplicacin del teorema de Green a un problema fsico sobre una regin con agujeros.

Determinar el momento de inercia de una arandela homognea de radio interno a, radioexterno by masaM,respecto a uno de sus dimetros.

SOLUCIN:

Determinaremos el momento de inerciarespecto al dimetro colineal con el eje x. DeFsica sabemos que:

D

x dAyI2

Donde es la densidad superficial de laarandela, supuesta constante dado que eshomognea.

Esta regin no es simplemente conexa pero, sepuede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

D C C

QdyPdxQdyPdxdAy

P

x

Q

1 2

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dosintegrales. Para ello debemos encontrar funcionesP, Qtales que:

3

312 ;0:ejemplopor, tomamos; yPQy

y

P

x

Q

Aplicando Green con esta funcin tenemos:

y

xa b

C2

C1


8/9


9/9

6

11

1

1

0

3

61

21

0 21

1

0

1

0

1

0

1

0

2

214

x

dxxdxyydydxdAy

P

x

Qxydxdxx

D

x x

C

Si hubiramos hecho la integral de lnea habramos tenido que hacer 3 integrales con lascorrespondientes parametrizaciones.

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