INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO“SANTIAGO MARIÑO”

ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICAEXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL

SAN CRISTÓBAL- ESTADO TÁCHIRA

Matemática IV.Análisis de Fourier.

Prof: Lcdo. Domingo Méndez Wilmer A. Zambrano B. C.I V.-24.780.144

Ing. Electrónica IV Semestre Matematica IV.

Sección: T.

San Cristóbal, 07 de Julio de 2016.

3

• Series de Fourier

• Forma Exponencial de las Series de Fourier

• Ejemplos de las Series de Fourier

• Función Sampling

• Potencia Normalizada

• Potencia Normalizada en Expansión de Fourier

• Densidad Espectral de Potencia

• Transformación de Fourier

• Convolución

1.11.1 Series de Fourier Series de Fourier

Una función periódica v(t) con período fundamental T0, puede representarse como una suma infinita de sinusoidales.

Figura 1.1-1. Señal periódica v(t)

Tal sumatoria, llamada Serie de Fourier, puede ser descrita de diversas formas:

v(t)

t

T0

01 0 0

2 2( ) cos sinn n

n

nt ntv t a a b

T T

π π∞

=

= + + ÷ ÷

∑ (1.1-1)

Reemplazando 0

0

2

T

πω = resulta:

( ) ( )( )0 0 01

( ) cos sinn nn

v t a a n t b n tω ω∞

=

= + +∑ (1.1-2)

Donde los coeficientes de la serie de Fourier están dados por:

0

0

2

00

2

1( )

T

T

a v t dtT −

= ∫ (1.1-3)

0

0

2

00

2

2( ) ( )

T

nT

b v t sen n t dtT

ω−

= ∫ (1.1-4)

Vale la pena destacar que el valor que adquiere el término ao corresponde al valor medio de la señal de estudio.

0

0

2

00

2

2( ) cos( )

T

nT

a v t n t dtT

ω−

= ∫ (1.1-5)

1.1.11.1.1 Representación polar de la Serie de Fourier Representación polar de la Serie de Fourier

La representación polar de la serie de Fourier queda definida según:

( )0 01

( ) cosn nn

v t c c n tω θ∞

=

= + −∑ (1.1.1-1)

Donde:

)/(

22

00

nnn

nnn

abArctg

bac

ac

=+=

=

θ(1.1.1-2)

Los coeficientes cn, corresponden a lo que se denomina “Amplitudes Espectrales a frecuencia nω o“, es decir, cn corresponde a la componente espectral de nωo.

Figura 1.1-2. “Espectro de amplitudes, Cn”.

Cada armónica está representada mediante una línea de longitud correspondiente a la amplitud de la armónica respectiva.

1.21.2 Forma exponencial de la serie de FourierForma exponencial de la serie de Fourier

Una expresión alternativa a las anteriores y que resulta ser la más adecuada para el estudio en teoría de comunicaciones es la llamada forma exponencial, donde

0( ) jn tnv t V e ω

∞

−∞

= ∑ (1.2-1)

( )0

0

0

2

02

1T

jn tn

T

V v t e dtT

ω−

−

= ∫ (1.2-2)

Se puede demostrar que:

2k k

n

a jbV = m

(1.2-3)

0 0V a=(1.2-4)

Figura 1.2-1. Representación Bilateral de componentes espectrales

1.31.3 Secuencias de impulsosSecuencias de impulsos

Determinar la representación espectral de la siguiente secuencia de impulsos:

Figura 1.3-1Figura 1.3-1. Secuencia de Impulsos. Secuencia de Impulsos

Solución:Solución:

∑∞

−∞=−δ=

n

)nTt(I)t(v 0(1.3-1)

2

00

2

( )

o

o

T

T

Ia t dt

Tδ

−

= ∫ (1.3-2)

2

00 0

2

2 2( ) cos( )

o

o

T

nT

I Ia t n t dt

T Tδ ω

−

= =∫ (1.3-3)

0nb = (1.3-4)

Utilizando representación polar se obtiene::

tT0

-T0

0

I)( 0Tt +δ )( 0Tt −δ

)(tδ

v(t)

00 0

20n n

I Ic c

T Tθ= = = (1.3-5)

Resultando entonces:

0 010 0

2( ) ( ) cos( )

n n

I Iv t I t nT n t

T Tδ ω

∞ ∞

=−∞ =

= − = +∑ ∑ (1.3-6)

∑∞

−∞=

ϖ=n

tjneT

I)t(v 0

0

(1.3-7)

Figura 1.3-2. Densidad espectral de secuencia de impulsos

1.4 Secuencia de pulsos y función Sampling

Determinar la representación de la siguiente secuencia de pulsos:

Figura 1.4-1. Secuencia temporal de pulsos

Solución:0

0

2

0 0 00

2

1( )

T

To

Aa c v v t dt

T T

τ−

= = = =∫ (1.4-1)

0

0

2

0

2

22 ( )cos( )

T

n n nTo

a c v v t n t dtT

ω−

= = = ∫ (1.4-2)

0

0 0

sin( / )2·

( / )n

n TAa

T n T

πττπτ

= (1.4-3)

0=nb (1.4-4)

Reemplazando los coeficientes se obtiene:

00

10 0 0

sin( / )2( ) cos( )

( / )n

n TA Av t n t

T T n T

πττ τ ωπτ

∞

=

= + ∑ (1.4-5)

00

0 0

sin( / )( )

( / )jn t

n

n TAv t e

T n Tωπττ

πτ

∞

=−∞

= ∑ (1.4-6)

x

Sa(x)

Figura 1.4-1. a) Función Sampling. Sa(x) b) Espectro del tren de pulsos

1.51.5 Potencia normalizadaPotencia normalizada

Supóngase una señal v(t) aplicada a una resistencia de 1 [W], la potencia disipada está dada por:

][

)t(vP

Ω=

1

2

(1.5-1)

0

0

22

02

1( )

T

T

P v t dtT −

= ∫ (1.5-2)

Entonces llamaremos a v2(t) Potencia normalizada. (Está referida a 1[W]).Para la especificación de razones de potencia resulta conveniente adoptar la siguiente simplificación:

1

2

10log [dB]S

kS

= ÷

(1.5-3)

Donde S1 y S2, corresponden a potencias normalizadas de las señales s1(t) y s2(t).

La adopción de esta forma de especificación presenta dos ventajas destacables:

• Permite expresar razones muy grandes mediante números pequeños.

• Tratamiento de multiplicaciones a través de sumas y de divisiones a través de restas.

De esta forma surgen dos especificaciones de potencia: dBm y dBW

[ ]10log

1[ ]

P mWdBm

mW

= ÷

(1.5-4)

=]W[

]W[PlogdBW

110 (1.5-5)

En la Tabla 1.5-1 se muestra una equivalencia entre % y dB.

Tabla 1.5-1. Comparaciones % v/s dB.

Ejemplo 1:Ejemplo 1:

1 [mW] ≈ 0 [dBm] ≈ -30 [dBW] 2 [mW] ≈ 3 [dBm] ≈ -27 [dBW] 4 [mW] ≈ 6 [dBm] ≈ -24 [dBW] 10 [mW] ≈ 10 [dBm] ≈ -20 [dBW] 100 [mW] ≈ 20 [dBm] ≈ -10 [dBW]1000 [mW] ≈ 30 [dBm] ≈ 0 [dBW]

dB % dB % dB %

0 100 -20 1.000 -40 0.0100-1 79.4 -21 0.794 -41 0.0079-2 63.1 -22 0.631 -42 0.0063-3 50.1 -23 0.501 -43 0.0050-4 39.8 -24 0.398 -44 0.0040-5 31.6 -25 0.316 -45 0.0032-6 25.1 -26 0.251 -46 0.0025-7 20.0 -27 0.200 -47 0.0020-8 15.8 -28 0.158 -48 0.0016-9 12.6 -29 0.126 -49 0.0013-10 10.0 -30 0.100 -50 0.0010-11 7.9 -31 0.079 -51 0.0008-12 6.3 -32 0.063 -52 0.0006-13 5.0 -33 0.050 -53 0.0005-14 4.0 -34 0.040 -54 0.0004-15 3.2 -35 0.032 -55 0.0003-16 2.5 -36 0.025 -56 0.0003-17 2.0 -37 0.020 -57 0.0002-18 1.6 -38 0.016 -58 0.0002-19 1.3 -39 0.013 -59 0.0001-20 1.0 -40 0.010 -60 0.0001

)cos()(

)cos()(

0 θ+==

wtVtv

wtVtv

o

ii

Ejemplo 2:

Sea v1(t)=V1 sin (w1t) y v2(t)=V2 sin (w2t)

2

22

22

21

1

VS

VS

=

=

=

=

=

=

2

1

22

21

22

21

2

1

log20

log10

2

2log10

log10

V

VK

V

V

V

V

K

S

SK

Ejemplo 3:

Sea

Potencia real de entrada Potencia real de salida

i

ii R

VP

2

2

=

o

oo R

VP

2

2

=

=

=oi

i

i

ireal RV

RV

RV

RV

K2

20

20

20

log10

2

2log10

Si y sólo si R0 = Ri

onormalizadi

real KV

VK =

= 0log20

1.6 Potencia normalizada en expansión de FourierPotencia normalizada en expansión de Fourier

Si consideramos la expresión polar de la serie de Fourier:

( )∑∞

=−+=

100 cos)(

nnn tncctv θω (1.6-1)

y de ella sólo la primera y segunda fundamental:

)2cos()cos()(' 0201 θωθω −+−= tctctv (1.6-2)

( )0 0

0 0

2 222

1 0 2 00 0

2 2

1 1' ' ( ) cos( ) cos(2 )

T T

T T

S v t dt c t c t dtT T

ω θ ω θ−−

= = − + −∫ ∫ (1.6-3)

al ser los cosenos son ortogonales se da que:

∑∞

=

+=1

220 2n

nccS (1.6-4)

Análogamente, utilizando la expresión tradicional:

∑∑∞

=

∞

=

++=1

2

1

220 22 m

m

n

n baaS (1.6-5)

Y mediante la expresión exponencial:

0( ) jn tnv t V e ω

∞

−∞

= ∑ (1.6-6)

∑∞

−∞=−=

nnn V·VS (1.6-7)

∑∞

−∞==

nn |V|S 2

(Teorema de Parseval) (1.6-8)

1.7.1 Densidad espectralDensidad espectral

La densidad espectral de una señal caracteriza la distribución de la señal de energía o potencia en el dominio de la frecuencia.Este concepto es particularmente importante cuando se considera el filtraje en sistemas de comunicación. Es necesario saber evaluar la señal y el ruido a la salida del filtro. Para tal efecto se utilizan las señales de potencia o energía.

• Diferencia entre una señal de potencia y energía

Anteriormente se definió la potencia normalizada como:

0

0

2 22

02

( ) 1( )

1[ ]

T

T

x tP x t dt

T −

= =Ω ∫ (1.7.1-1)

Representando la energía disipada durante un intervalo [-T0/2, T0/2] por una señal real que tiene por potencia instantánea x2(t).

De la misma forma, se puede definir la energía disipada en el período como

22

2

( )

T

Tx

T

E x t dt−

= ∫ (1.7.1-2)

El rendimiento en comunicaciones está dado por la detección de señales de energía. La energía transmitida es quien realiza el trabajo; la potencia es la razón a la cual la energía es liberada. Es decir, la potencia determina el voltaje que debe ser aplicado para transmitir y la intensidad de los campos electromagnéticos.

••Señales de EnergíaSeñales de Energía

Se define a x(t) si y sólo si tiene no cero, pero finita energía para todo tiempo t.

22

2

( )

T

x TT

E lím x t dt→∞−

= ∫ (1.7.1-3)

••Señales de PotenciaSeñales de Potencia

Con el objeto de trabajar con señales periódicas y aleatorias, las cuales poseen energía infinita, es necesario definir una nueva clase de señal: señal de potencia. x(t) será una señal de potencia, si y sólo si tiene potencia no nula, pero finita, para todo tiempo t.

22

2

1( )

T

x TT

S lím x t dtT→∞

−

= ∫ (1.7.1-4)

Las señales de potencia y energía son mutuamente excluyentes. A modo práctico se puede decir:

Señales de energía : Determinísticas y no-periódicas.Señales de potencia : Aleatorias y periódicas

1.7.2 Densidad espectral de potenciaDensidad espectral de potencia

La Figura 1.7.2-1 muestra la potencia normalizada de una señal v(t) mediante el teorema de Parseval.

Figura 1.7.2-1 Densidad espectral de potencia normalizada

Si se intenta graficar la S(f) en función de la frecuencia se obtiene:

Figura 1.7.2-2. S(f) en función de la frecuenciaComo se pudo apreciar, resulta mucho más cómodo definir la densidad espectral de potencia, como la potencia normalizada en un rango df a frecuencia f.

La potencia normalizada dS(f) está dada por:

dfdf

fdSfdS ·

)()( = (1.7.2-1)

Se define entonces como densidad espectral de potencia a

df

fdSfG

)()( = (1.7.2-2)

de donde resulta

∫∞

∞−

= dffGS )( (1.7.2-3)

Luego, la potencia normalizada en un intervalo de tiempo, se puede definir como:

∫∫ +=≤≤−

−

2

1

1

2

)()()||( 21

f

f

f

f

dffGdffGfffS (1.7.2-4)

Para obtener la densidad espectral de potencia se debe diferenciar S(f) haciendo G(f)=0 entre armónicas, con fuerza igual al salto en S(f), es decir:

∑∞

−∞=−=

nn nffVfG )(||)( 0

2 δ (1.7.2-5)

1.8 Transformada de FourierTransformada de Fourier

Consideramos una señal periódica, cuya representación espectral son impulsos de frecuencia n/T0. Si T0→∞, implica que f0→0, por lo tanto, las frecuencias de las componentes espectrales pasan de ser una variable discontinua, a una variable

continua. En otras palabras, la sumatoria de la serie de Fourier Exponencial pasa a ser una integral:

( ) ( ) j tF f f t e dtω∞ −

−∞=∫ (1.8-1)

1( ) lim ( ) ( )

2j t

TT

f t f t F j e dωω ωπ

∞

−∞→∞= = ∫ (1.8-2)

A continuación se exhiben algunas de las propiedades de la transformada de Fourier, junto a transformaciones de algunas señales simples.

Tabla 1.8-1 Propiedades de la transformada de Fourier

*Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.

Tabla 1.8-2 Transformada de Fourier

*Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.

La transformada de Fourier de una señal sinusoidal (u otra señal periódica), consiste en impulsos localizados en cada frecuencia armónica de la señal. La fuerza (energía) de cada impulso es igual a la amplitud del coeficiente de la serie en la forma exponencial

Ejemplo Determinar la Transformada de Fourier de una señal cosenoidal.

Sea v(t)=cos(ωot) V(f)=F[v(t)], transformada de Fourier de la señal v(t).

Mediante Euler, se obtiene la representación en Serie exponencial de la señal v(t):

tjtj eetv 00

2

1

2

1)( ωω −+=

Los coeficientes de esta serie quedan definidos según:

1 1 1/ 2

0 1n

V V

V n−= =

= ∀ ≠ ±

Aplicando la definición de la transformada de Fourier a la señal v(t) se logra:

∫∫

∫

∫

∞

∞−

+−∞

∞−

−−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

+=

=

=

dtedtefV

dtetfV

dtetvfV

tffjtffj

ftj

ftj

)(2)(2

20

2

00

2

1

2

1)(

)cos()(

)()(

ππ

π

π

ω

Resolviendo las integrales se llega al resultado final:

)(2

1)(

2

1)( 00 fffffV ++−= δδ

Figura 1.8-1. Espectro de una señal cosenoidal.

Ejemplo.

Una señal m(t) se multiplica por una sinusoidal de frecuencia fc. Determinar la Transformada de Fourier (TF) del producto.

Solución:

)2cos()()( tftmtv cπ=La TF de m(t) es M(f)

∫∞

∞−

−= dtetmfM ftj π2)()(

Dado que

tfjtfj cc etmetmfttm πππ 22 )(2

1)(

2

1)2cos()( −+=

Entonces

∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

+− += dtetmdtetmfV tffjtffj cc )(2)(2 )(2

1)(

2

1)( ππ

-f0

f0

f

|V(f)|

Luego reemplazamos M(f) en la ecuación anterior y obtenemos:

)(2

1)(

2

1)( cc ffMffMfV −++=

Figura 1.8-2. Espectro de la multiplicación por coseno.

1.91.9 ConvoluciónConvolución

Sean:

)()]([ 11 fVtv =ℑ (1.9-1)

)()]([ 11 fVtv =ℑ (1.9-2)

El Teorema de convolución indica que al existir un v(t) que cumpla con:

Solución: )2cos()()( tftmtv cπ=

∫∞

∞−

−= dtetmfM ftj π2)()(

tfjtfj cc etmetmfttm πππ 22 )(2

1)(

2

1)2cos()( −+=

entonces ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

+− += dtetmdtetmfV tffjtffj cc )(2)(2 )(2

1)(

2

1)( ππ

Luego reemplazamos M(f) en la ecuación anterior y obtenemos:)(

2

1)(

2

1)( cc ffMffMfV −++=

)()·()]([ 21 fVfVtv =ℑ (1.9-3)

v(t) puede ser determinado mediante la integral de convolución según:

∫∞

∞−

−= τττ dtvvtv )()()( 21 (1.9-4)

o su forma equivalente:

∫∞

∞−

−= τττ dtvvtv )()()( 12 (1.9-5)