Física II. Ciclo 2012 – II ecumpa@usmp.edu.pe 1

ACTIVIDAD N° 03: POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA

1. Tres cargas puntuales están en el eje x , 1q en el origen, 2q en mx 3= y 3q en mx 6= .

Calcular el potencial en el punto mx 0= , my 3= , sí: (a) Cqqq µ2321 === ; (b) Cqq µ221 ==

y Cq µ23 −= y (c) Cqq µ231 == y Cq µ22 −= . Observación: En un sistema de cargas

puntuales, el potencial, viene dado por: ∑=i io

i

r

kqV , en donde el sumatorio se extiende a

todas las cargas y ior es la distancia de la carga i al punto P , donde se desea calcular el

potencial.

2. Un disco de radio cm25.6 posee una densidad de carga superficial uniforme 2

5.7m

nC=σ .

Determinar el potencial sobre el eje del disco a una distancia de: (a) cm5.0 , (b) cm0.3 y (c)

cm25.6 del disco. Observación: El campo eléctrico en el eje de un disco de carga, viene dado

por:

+−=

2212

Rx

xkEx σπ

3. Cuatro cargas puntuales de Cµ2 se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 4

m de lado. Calcular el potencial en el centro del cuadrado (tomando como potencial cero el correspondiente al infinito) si (a) todas las cargas son positivas, (b) tres cargas son positivas y la otra negativa, (c) dos son positivas y las otras dos negativas. Observación: En un sistema

de cargas puntuales, el potencial, viene dado por: ∑=i io

i

r

kqV , en donde el sumatorio se

extiende a todas las cargas y ior es la distancia de la carga i al punto P , donde se desea

calcular el potencial.

4. Una carga lineal infinita de densidad lineal m

Cµλ 5.1= se encuentra sobre el eje y .

Determinar el potencial a una distancia de: (a) m0.2 , (b) m0.4 , y (c) m12 de la línea,

suponiendo que oV = a m5.2 . Observación: El campo eléctrico próximo a una carga lineal

infinita, viene dado por: y

k

yEy

λλπε

2

2

1

0

==

5. Una carga eléctrica Q se encuentra distribuida de manera uniforme a lo largo de una línea o

varilla delgada cuya longitud se extiende desde ax −= , hasta ax += . Determine el potencial

en el punto P a lo largo de la bisectriz perpendicular de la varilla a una distancia y de su

centro. Observación: Un elemento de carga dQ que corresponde a un elemento de longitud

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dx sobre la varilla, está dado por: dxa

QdQ

=2

. La distancia de dQ a P es 22 yx + , y la

contribución dV que hace el potencial en P es: 22

0 24

1

yx

dx

a

QdV

+=

πε

6. Un potencial viene dado por: 222

)(),,(

zyax

kQzyxV

++−= (a) Determinar las componentes

xE , yE y zE del campo eléctrico por derivación de esta función potencial. (b) Determine la

magnitud y los ángulos coordenados de dirección del Campo Eléctrico Resultante, si 1.0=a m,

en: 1=x m, 2−=y m, 1−=z m.

7. El potencial debido a una carga puntual Q en el origen se puede escribir como:

2220

0 44 zyx

Q

r

QV

++==

πεπε (a) Calcule xE , yE y zE (b) Determine la magnitud y los

ángulos coordenados de dirección del Campo Eléctrico Resultante en: 2=x m, 1=y m,

2=z m.

8. Dos cargas puntuales positivas, cada una de magnitud q , se encuentran fijas sobre el eje y

en los puntos ay += , ay −= . Considere el potencial igual a cero a una distancia infinita de las

cargas. (a) Demuestre que el potencial en cualquier punto sobre el eje ""x es

2204

2

xa

qV

+=

πε. (b) ¿Cuál es el potencial 0V en el origen? (c) ¿Para que valor de x el

potencial el potencial tiene la mitad de su valor en el origen? (d) Determine el campo eléctrico en cualquier punto sobre el eje x . (e) ¿Para que valor de x el campo eléctrico es máximo?

9. El potencial eléctrico sobre una región particular está dado por: xzxyV 43 2 −= . Determine el

ángulo entre la dirección del campo E , y la dirección del eje positivo de las ""x en el punto

P , cuyas coordenadas (en metros) son (1, 0, 1)

10. El potencial eléctrico dentro de una esfera aislante uniformemente cargada de radio R está

dado por:

−=

2

2

32 R

r

R

kQV y afuera por:

r

kQV = Utilizando

dr

dVEr −= . (a) Deduzca el campo

eléctrico dentro de esta distribución de carga, cuando Rr < . (b) Deduzca el campo eléctrico de esta distribución de carga, cuando Rr >

11. Un campo eléctrico uniforme de valor 1.5 kN/C está en la dirección y . Se deja en libertad un

protón inicialmente en el reposo en el origen. (a) ¿Cuál es la energía cinética de dicha partícula cuando esté en my 3= ? (b) ¿Cuál es la variación de la energía potencial del protón

desde 0=y hasta my 3= ? (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial )0()3( VmV − ? Calcular el

potencial )(yV si se toma )(yV como (d) 1 kV para 0=y m, (e) 2.5 kV para 0=y , y (f) cero

para my 50= .

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12. Dos partículas con cargas tienen efectos en el origen, descrito por las expresiones:

+−−

∧−∧−∧−

jm

Cxjsen

m

Cxi

m

Cx

C

Nmx

2

9

2

9

2

9

2

29

)03.0(

108º70

)07.0(

107º70cos

)07.0(

1071099.8 y

−

−−

m

Cx

m

Cx

C

Nmx

03.0

108

07.0

1071099.8

99

2

29 (a) Identifique las posiciones de las partículas y las cargas

sobre ellas. (b) Encuentre la fuerza sobre una partícula con carga de nC16− colocada en el

origen.

13. Cuando una esfera conductora sin carga de radio b se coloca en el origen de un sistema de

coordenadas xyz que se encuentra en un campo eléctrico inicialmente uniforme ∧→

= jEE 0 , el

potencial eléctrico resultante es 0),,( VzyxV = para puntos en el interior de la esfera, y

2

3

222

30

00

)(

),,(

zyx

ybEyEVzyxV

++

+−= para puntos en el exterior de la esfera, donde 0V es el

potencial eléctrico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x , y y z del campo eléctrico resultante.

14. Un campo eléctrico uniforme de valor 1.5 kN/C está en la dirección y . Se deja en libertad una

carga puntual CQ µ25.2= inicialmente en el reposo en el origen. (a) ¿Cuál es la energía

cinética de la carga cuando esté en my 4= ? (b) ¿Cuál es la variación de la energía potencial

de la carga desde 0=y hasta my 4= ? (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial )0()4( VmV − ?

Calcular el potencial )(yV si se toma )(yV como (d) cero para 0=y . (e) 3 kV para 0=y , y

(f) cero para my 1= .

15. Cuando una esfera conductora sin carga de radio a se coloca en el origen de un sistema de

coordenadas xyz que se encuentra en un campo eléctrico inicialmente uniforme ∧→

= kEE 0 , el

potencial eléctrico resultante es 0),,( VzyxV = para puntos en el interior de la esfera, y

2

3

222

30

00

)(

),,(

zyx

zaEzEVzyxV

++

+−= para puntos en el exterior de la esfera, donde 0V es el

potencial eléctrico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x , y y z del campo eléctrico resultante.

16. Una esfera metálica de radio ra está sostenida sobre un soporte aislante en el centro de una

coraza metálica esférica hueca de radio rb. La esfera interior tiene una carga +q y la coraza esférica exterior una carga –q. (a) Calcule el potencial V(r) cuando i) r < ra; ii) ra < r < rb; iii) r > rb. (Sugerencia: El potencial neto es la suma de los potenciales debidos a las esferas individuales). Tome V como cero cuadro r es infinito. (b) Demuestre que el potencial de la

esfera interior con respecto a la exterior es:

−=

ba

abrr

qV

11

4 0πε; (c) Con base en la ecuación

(23.23) y el resultado del inciso (a), demuestre que la magnitud del campo eléctrico en

cualquier punto entre las esferas es:2

1.

11)(

r

rr

VrE

ba

ab

−

=

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17. Un cilindro metálico largo de radio a está sostenido sobre un soporte aislante sobre el eje de un tubo metálico largo y hueco de radio b. La carga positiva por unidad de longitud del cilindro interior es λ y el cilindro exterior tiene una carga negativa por unidad de longitud igual. a) Calcule el potencial V(r) cuando i) r < a; ii) a < r < b; iii) r > b. (Sugerencia: El potencial neto es la suma de los potenciales debidos a los conductores individuales). Tome V = 0 en r = b. b)

Demuestre que el potencial del cilindro interior con respecto al exterior es:

=

a

bVab ln

2 0πελ

(c) Con base en el resultado del inciso (a), demuestre que la magnitud del campo eléctrico en

cualquier punto entre los cilindros es: r

a

b

VrE ab 1

.

ln

)(

= ; (d) ¿Cuál es la diferencia de potencial

entre los dos cilindros si el cilindro exterior no tiene carga neta?

18. Una carga eléctrica total de 3.50 nC está distribuida uniformemente en la superficie de una esfera metálica con un radio de 24.0 cm. Si el potencial es cero en un punto en el infinito, halle el valor del potencial a las distancias siguientes del centro de la esfera: (a) 48.0 cm; (b) 24.0 cm; (c) 12.0 cm.

19. Tres cargas puntuales están en el eje x , 1q en el origen, 2q en mx 3= y 3q en mx 6= .

Calcular el potencial en el punto 0=x , my 3= , sí: (a) Cqqq µ2321 === , (b) Cqq µ221 == y

Cq µ23 −= , (c) Cqq µ231 == y Cq µ22 −= .

20. Consideremos una bola de densidad volúmica de carga uniforme de radio R y carga total Q

(Este es un modelo de un protón). El centro de la bola está en el origen. Utilizar el componente radial del campo eléctrico rE , deducido mediante la Ley de Gauss para calcular el

potencial )(rV suponiendo que 0=V para ∞=r en (a) cualquier punto exterior a la carga,

Rr ≥ y en (b) cualquier punto interior a la carga, Rr ≤ . (Recuérdese que V debe ser una

función continua en Rr = .) (c) ¿Cuál es el potencial en el origen? (d) Dibujar V en función de

r .