Actividades Prcticas IndividualesClase 6, Unidad 4, Actividad 5 parte A, B y C Gustavo Alejandro MartinezAl final de todas las actividades se encuentra el trabajo original con su desarrollo (Actividades 2C, 4B y 3B)Parte A

Retome el SEL de la Actividad 2C ycambie de modelo matemtico. Esto es:1. Escriba su forma matricial AX=B.2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como est hecho en los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensin).3. Exprese el conjunto solucin en trminos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

1. Forma matricial AX = B

2. Forma vectorial A1X1 + A2X2 + A3X3 + A4X4 = B

Cada vector representa el flujo de una tubera (f1, f2, f3 y f4) por los cuatro nodos analizados en el ejercicio (en orden desde arriba hacia abajo A, B, C, D), de una manera simblica:

As sabemos por ejemplo que no hay flujo en la tubera 1 por los nodos C y D, pero s en el A y B. Tampoco hay flujo en la tubera 2 por los nodos B y C y si en A y B, etc.3. Conjunto solucin (coincidente entre las tres calculadoras):Dado entonces que:f1 = f4 + 5f2 = 25 f4f3 = 20 f4Tomo como parmetro t a f4, y lo expreso en trminos de Vectores:

lo que es lo mismo:

El conjunto solucin es un vector fijo ms otro variable. Uno fijo ms otro que pertenece al GEN:

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de APara que pertenezca a dicho espacio, el vector B debe ser Combinacin Lineal de ellos: ,Porque:

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A No hay. Para que no pertenezca a dicho espacio, el vector B no debe ser Combinacin Lineal de ellos, pero al ser una matriz cuadrada de 4x4, siempre tiene solucin, siempre habr una vector que sea combinacin lineal de los otros 4 del espacio generado.Parte BRetome el SEL de la Actividad 4B ycambie de modelo matemtico. Esto es:6. Escriba su forma matricial AX=B.7. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como est hecho en los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensin).8. Exprese el conjunto solucin en trminos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.9. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.10. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

1. Forma matricial AX = B

2. Forma vectorial A1X1 + A2X2 + A3X3 = B

Cada vector representa las horas en las tres mquinas (desde arriba hacia abajo maquinas I, II y III) de las tres clases de madera: algarrobo (X1), Quebracho blanco (X2) y quebracho colorado (X3) dando como vector resultado la vida til en cada mquina (mismo orden: 6600, 10000 y 7000 horas respectivamente). De una manera simblica:MquinaClase de maderaVida Util

X1X2X3

I2336600

II35410000

III1437000

As sabemos por ejemplo que para una tonelada de madera X1 se requieren 2, 3, 1 horas respectivamente en las mquinas I, II, III; para una tonelada de madera X2 se requieren 3, 5, 4 horas respectivamente; para una tonelada de madera X3 se requieren 3, 4, 3 horas respectivamente y que las mquinas I, II y III solo tienen una vida til de 6600, 10000 y 7000 respectivamente.3. Conjunto solucinDado entonces que:X1 = 600X2 = 1000X3 = 800Lo expreso en trminos de Vectores:

lo que es lo mismo:

El conjunto solucin es un vector fijo. Al ser un espacio L.D. de otro vector no es necesario una base.4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de APara que pertenezca a dicho espacio, el vector B debe ser Combinacin Lineal de ellos: ,Porque:

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A No hay. Para que no pertenezca a dicho espacio, el vector B no debe ser Combinacin Lineal de ellos, pero al ser una matriz cuadrada de 3x3, siempre tiene solucin, siempre habr una vector que sea combinacin lineal de los otros 3 del espacio generado.Parte CRetome la Actividad 3B, aquella en que identific los vrtices de la letra N para modificar su posicin en el plano multiplicando matrices, ycambie el modelo matemtico. Lo pensar como una transformacin lineal:1. Identifique la primera transformacin lineal que identificaremos por T.2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.3. Identifique la expresin genrica de un vector en el espacio de salida.4. Identifique la expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.5. Repita 1) 2), 3) y 4)para la segunda transformacin lineal que identificaremos por S.6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composicin de ambas transformaciones lineales que identificaremos por.7. Repita 1) 2), 3) y 4)para la composicin de ambas transformaciones lineales lineales que identificaremos por.8. Repita 1) 2), 3) y 4)para la transformacin inversa de T.

1. Primera transformacin lineal (T).D= matriz de coordenadasT= matriz de transformacin

2. Espacios de Salida y Llegada. ;

3. Expresin genrica de un vector en el espacio de salida.

En nuestro ejemplo,

4. Expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.

En nuestro ejemplo,

5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformacin lineal que identificaremos por S.5.1. Segunda transformacin lineal (S).H= matriz de coordenadasS= matriz de transformacin

5.2. Espacios de Salida y Llegada. ;

5.3. Expresin genrica de un vector en el espacio de salida.

En nuestro ejemplo,

5.4. Expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.

En nuestro ejemplo,

6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composicin de ambas transformaciones lineales que identificaremos por S T. 6.1. Transformacin lineal (S T).D= matriz de coordenadasS T = matriz de transformacin

6.2. Espacios de Salida y Llegada. ;

6.3. Expresin genrica de un vector en el espacio de salida.

En nuestro ejemplo,

6.4. Expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.

En nuestro ejemplo,

7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composicin de ambas transformaciones lineales lineales que identificaremos por TS.7.1. Transformacin lineal (T S).D= matriz de coordenadasT S = matriz de transformacin

7.2. Espacios de Salida y Llegada. ;

7.3. Expresin genrica de un vector en el espacio de salida.

En nuestro ejemplo,

7.4. Expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.

En nuestro ejemplo,

8. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformacin inversa de T.8.1. Transformacin lineal inversa (T-1).D= matriz de coordenadasT-1 = matriz de transformacin

8.2. Espacios de Salida y Llegada.

;

8.3. Expresin genrica de un vector en el espacio de salida.

En nuestro ejemplo,

8.4. Expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.

En nuestro ejemplo,

Actividades originales 2C, 4B y 3B

Actividad 2CEnunciado 2Analice la figura donde se detallan los flujos de una red de tuberas de agua con flujos medidos en litros por minuto. En cada nodo nombrados con letras A, B, C, D se conserva el flujo, es decir lo que entra es igual a lo que sale. Se necesita conocer la cantidad de flujo que circula en cada tramo por hora. Entonces:a) Plantee el SEL que permite dar con los valores de los flujos f de 1 a 5. Esto es, modelice matemticamente la situacin. En particular y previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.b) Resuelva el SEL por mtodo de Gauss-Jordan usando los paquetes informticos OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, wiris https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y tambin http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.c) Construya la expresin paramtrica del conjunto solucin y analice las restricciones de los parmetros en el contexto del problema.d) Analice si es posible determinar grficamente la solucin. Explique sus conclusiones, grafique si es posible.e) Identifique una solucin particular. Verifique.f) Es posible para ? Responda esta pregunta primero haciendo referencia a su solucin en el inciso b) y luego directamente de la figura.g) Si cul ser la amplitud de flujo en cada una de las otras ramas?h) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el cdigo de insercin y embbalo en el foro de la actividad. As compartir con sus pares la respuesta. Cuide de comunicar asegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.a)

A f1 + f2 = 20 + 10B f1 + f3 = 20 + 5C f3 + f4 = 5 + 15D f4 + f2 = 10 + 15

f1 + f2 + 0f3 + 0f4 = 30f1 + 0f2 + f3 + 0f4 = 250f1 + 0f2 + f3 + f4 = 200f1 + f2 + 0f3 + f4 = 25b) Solucin obtenida con OnLineMSchoolReescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan:110030

101025

001120

010125

Sumo la segunda fila a la primera y reemplazo el resultado en la segunda fila: 110030

01-105

001120

010125

A las filas 1 y 4 les resto la fila 2 y las reemplazo por el resultado:101025

01-105

001120

001120

A las filas 1 y 4 les resto la fila 3 y las reemplazo por sus resultados respectivos:100-15

01-105

001120

00000

A la fila 3 le resto la fila 2 multiplicada por -1, reemplazo la fila 2 con el resultado:100-15

010125

001120

00000

Resultado:f1 f4 = 5

f2 + f4 = 25

f3 + f4 = 20

Solucin obtenida con Wiris

Solucin obtenida con WolframAlpha (renombro las fn con x,y,z,t):

c) Conjunto solucin (coincidente entre las tres calculadoras):Dado entonces que:f1 = f4 + 5f2 = 25 f4f3 = 20 f4Tomo como parmetro a f4 ,S={(f1,f2,f3,f4)/f1=5+t, f2=25-t, f3=20-t, f4=t, 0 < t < 20}d) No se puede graficar, dado que son 4 variables y necesitaramos 4 ejes cartesianos para mostrar esta solucin. Por ende tampoco se puede determinar la solucin a travs de la grfica.

e) Una solucin particular planteada podra ser:t=15:f1 = 20f2 = 10f3 = 5f4 = 15f) No es posible, la restriccin est entre 0 y 20.

g) Si f4 = 0:h) 0 = t t = 0f1 = 5 + t f1 = 5f2 = 25 - t f2 = 25 f3 = 20-tf3 = 20Luego, el flujo se mantendra en todas las intersecciones.A f1 + f2 = 30 B f1 + f3 = 25C f3 + f4 = 20D f4 + f2 = 25

Actividad 4BParte B - Enunciado 3:En una fbrica de carbn procesan tres clases de madera: algarrobo (A), Quebracho blanco (QB) y quebracho colorado (QC) en tres mquinas diferentes: I (secado), II (carbonizado), III (triturado). Se sabe que para una tonelada de madera A se requieren 2, 3, 1 horas respectivamente en las mquinas I, II, III; para una tonelada de madera QB se requieren 3, 5, 4 horas respectivamente; para una tonelada de madera QC se requieren 3, 4, 3 horas respectivamente. Las mquinas I, II, III tienen una vida til de 6600, 10000 y 7000 horas respectivamente. Interesa determinar las toneladas de madera que pueden procesarse durante la vida til de las mquinas Anlisis del enunciado Tres clases de madera. Tres mquinas diferentes (I, II, III). Tiempos de trabajo en cada mquina por cada tonelada de madera. Vida til de cada mquina.En la siguiente tabla, reflejamos los datos de la relacin entre 1 tonelada de madera, y el tiempo de trabajo en cada mquina. MquinaClase de madera

AQBQC

I233

II354

III143

En la siguiente tabla, vemos reflejada la vida til de cada mquina. MquinaVida til

I6600

II10000

III7000

Lo que buscamos determinar es la cantidad de toneladas de cada madera que podemos procesar durante la vida til de cada mquina.En el SEL, asociamos las variables de la siguiente manera: Toneladas de madera de algarrobo x1 Toneladas de madera de quebracho blanco x2 Toneladas de madera de quebracho colorado x3SEL asociado

Resolvemos el SEL asociado con la calculadora online onlinemschool, que utiliza el mtodo de la Regla de Cramer.

Ahora, resolvemos el SEL asociado con la calculadora online onlinemschool, que utiliza el mtodo de Matriz Invertible.

Podemos observar que las resoluciones de ambos casos coinciden.Luego, la solucin es:Durante la vida til de las mquinas I (secado), II (carbonizado) y III (triturado), se podrn procesar: 600 tonelada de madera de Algarrobo 1000 toneladas de madera de Quebracho Blanco 800 toneladas de madera de Quebracho ColoradoAhora, verificamos reemplazando en el SEL.

Luego, se verifican las tres soluciones.

Actividad 3BLa actividad consiste enrecrear el Ejemplo 28del material de estudio. Para recrearlo:1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.Nombres identificatorios: T= nueva matriz de transformacin D= matriz de coordenadas. TD=H=nueva matriz del transformado por T.Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?Dibuje. Realice los clculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallasMatriz elegida:

T=

Con la herramienta Wiris, procedemos a graficar matriz D, los vrtices del grafico de la letra N, estn contenidos en dicha matriz.

A continuacin, multiplicando D por la matriz T, logrando as, la matriz H.

Al realizar la operacin, lo que logramos es una reflexin respecto del eje x.

Para volver a la matriz original, procedemos de la siguiente manera:

Calculamos

Luego verificamos

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.Matriz elegida:

S=

Luego realizo los mismos pasos anteriores, multiplico H por la matriz S, para obtener una nueva matriz que denominaremos matriz R.

Grafico (sumo al grfico principal para) poder ver mejor el detalle de las tres modificaciones:

Al realizar la operacin, lo que logramos es una reflexin respecto del eje y con respecto a la matriz H, y de ambos ejes con respecto a la matriz D.Para volver a la matriz original, Realizamos el mismo procedimiento utilizado con H, T y D, pero utilizando ahora la matriz J, S y H:

Calculamos

Luego verificamos

Nuevos nombres identificatorios: S= nueva matriz de transformacin H= nueva matriz de coordenadas. SH=J=nueva matriz del transformado por S.