actividad 4 grupala b

8/11/2019 Actividad 4 GrupalA B

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Actividad Grupal Nº 4

Integrantes :Cabrera, Lourdes

Sosa, Marcelo

Actividad 4- Parte A

• Modelo 3. Ejemplos 19 y 20 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde

las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matri !ila o columna de unos

para obtener nue"as matrices #ue brindan la in!ormaci$n re#uerida. %parece la matri de

probabilidades.

Ejemplo 19:

La gr&!ica dada describe la siguiente situaci$n'

(1 (2 , (3 y () representan cuatro puntos o tambi*n cuatro posiciones di!erentes entre las cuales puede

mo"erse una part+cula de !orma aleatoria-.

El mo"imiento aleatorio de la part+cula est& dado por las siguientes situaciones'

desde uno de los e(tremos s$lo puede mo"erse /acia el interior-. En particular, si est& en (1 s$lo puede

mo"erse a (2 y, si se encuentra en () , s$lo puede mo"erse a (3 .

esde un punto medio puede mo"erse tanto a derec/a como a i#uierda. En particular desde (2 puede

mo"erse tanto a (1 como a (3 con la misma probabilidad.

La part+cula debe mo"erse del punto en #ue se encuentra.

Complejiando: %l Ejemplo le sumamos una posibilidad de mo"imiento /acia X

5

eniendo en cuenta los mo"imientos de!inidos de los e(tremos X

5 y X

1 solo tiene posibilidad de un solo

mo"imiento, /acia X

4 o X

2 respecti"amente, esto seria un 100 de posibilidades de mo"erse a ese



punto. Esto lo "emos en la relaci$n !ila a columna, por ej !ila X 1 columna

X 2 . espues sabemos #ue

tanto X

2 como X

3 y X

4 pueden mo"erse a i#uierda o derec/a, esto implica un 0 de probabilidad

de mo"erse a un lado o al otro. 4ara el resto de las combinaciones la probalidad es 0. El total de

probabilidades de cada !ila es igual al 100.

X 1 X 2 X 3 X 4 X 5

X 1 0 100 0 0 0

X 2

0 0 0 0 0

X 3 0 0 0 0 0

X 4 0 0 0 0 0

X 5

0 0 0 100 0

E(presamos el 100 como la unidad y representamos los "alores de esta tabla de doble entrada por medio

de una matri. La entrada ij indica la probabilidad de mo"erse desde i /acia j, por ejemplo tenemos el "alor

1 de probalidad de mo"ernos de la !ila 1 a la columna 2, esto ser+a el 100 de probabilidad de mo"imiento

desde la part+cula 51 /acia la part+cula 52.

La misma in!ormaci$n la podemos representar por medio de la matri transpuesta, solo #ue en este caso

una entrada ij nos indica la probabilidad de mo"erse /acia i desde j , por ejemplo "emos #ue /ay una

posibilidad 61007 de ir /acia la !ila ) desde la columna . 100 de probabilidad de mo"imiento de la

particula 5 /acia la part+cula 5).

A =



!a matri transpuesta calculada con "iris:

En estas matrices, "emos entonces cual es la probabilidad de mo"imiento de una particula a otra en 1 solo

mo"imiento.

Si #ueremos saber la probabilidad de mo"imientos entre particulas pasando por otra, o sea en 2

mo"imientos, podemos "er en la tabla los siguientes ejemplos'

• 1. Las posibilidades por ejemplo de ir de X

1 a X

3 .

e acuerdo a lo estudiado en los ejemplos, el resulado del producto de las posiciones

X 1 X

2∗ X 2 X 3 , nos dar& las probabilidades #ue tenemos de llegar a X

3 en dos mo"imientos,

eso es pasando por un punto. Este cuadro nos muestra #ue tenemos un "alor de 8 o sea 0 de

probabilidades de mo"erse la particula en dos mo"ientos a X

3 desde X

1 .

X 1 X 2 X 3 X 4 X 5

X 1

0 1 0 0 0

X 2 12 0 12 0 0

X 3 0 12 0 12 0

X 4

0 0 12 0 12

X 5 0 0 0 1 0

• 2. 4odemos probar otro caso, por ejemplo de X 3 a

X 1 en dos mo"imientos. :emos #ue

tenemos 8 de probabilidades de ir a X 2 desde

X 3 , y desde X 2 8 de probabilidades de

mo"erse a X 1 ' en este caso el producto nos #uedar+a determinado por la posici$n

X 3 X

2∗ X

2 X

1⇒1 /2∗1/2=1 /4 o sea la particula tiene un 2 probabilidades de mo"erse

desde X 3 a X

1 en dos mo"imientos.



• 3. Si #ueremos saber cuantas probabilidades de #ue la particula se mue"a de X 5 a

X 1 en )

mo"imientos, obser"amos en la tabla #ue la particula se puede mo"er de X 5 a

X 4 de a#ui a

X 3 y de *ste a X 2 para llegar a X 1 . Son ) mo"imientos y del producto de

1∗1/2∗1/2∗1/2 obtenemos 1;, #ue es un 12. de probabilidad de #ue la particula se

mue"a de X

5 a X

1 en ) mo"imientos. Mas adelante se lo puede comprobar en la matri A4

.

Si calculamos todos los "alores posibles de la tabla, estar+amos calculando todas la !ilas por todas las

columnas esto seria, si la matri #ue !ormamos la llamamos %, estar+amos realiando el producto de A∗ A

y obtendr+amos A2

, a#ui "emos #ue el e(ponente representa la cantidad de mo"imientos #ue /ace la

particula para llegar a un punto, y el #e$ponente -1# la cantidad de puntos intermedios por los #ue pasa la

particula, para 2 mo"imientos, pasa solo por un punto 6particula7.

4odemos "eri!icarlo en la matri A2

"iris

%nline&c'ool

A2



"ol(ranAlp'a

Entoces de A3

obtendr+amos las probabilidades de #ue un punto se mue"a a otro en 3 mo"imientos

pasando por 2 puntos.

"iris

%nline&c'ool

A2



"ol(ranAlp'a

4odemos "alidar el ejemplo 3' las probabilidades #ue la particula se mue"a de X 5 a

X 1 en )

mo"imientos.

"iris

%nline&c'ool

A4



"ol(ranAlp'a

An

La potencia )n# de A nos da in!ormaci$n probabil+stica acerca de la part+cula. Es probable entonces #ue la

misma se mue"a de un punto a otro en )n# mo"imientos aleatorios.

<a #ue debemos aplicar el producto de matrices para A

nxm el orden de la otra matri debe tener la misma

cantidad de !ilas #ue % de columnas, en este caso m.<a #ue la matri se multiplica con si misma para obtener las potencias de % , esta matri debe ser cuadrada

para poder cumplir con el re#uisito del orden de la matri necesario para aplicar el producto.

Ejemplo *+:

El gr&!ico describe las cone(iones directas de ser"idores #ue constituyen una intranet en el =>%. El !lujo de

tr&!ico para pa#uetes de in!ormaci$n entre un ser"idor y otro depende de "arios par&metros como tiempo

dedicado a comunicaciones, capacidad del e#uipo, "elocidad de la placa de red, entre otras? el !lujo est&



especi!icado en la siguiente tabla de doble entrada'

X 1 X 2

X 3

X 4

X 1 0 30 30 )0

X 2

@0 0 0 30

X 3

30 20 0 0

X 4 0 0 0 100

Las !ilas representan el !lujo de tr&!ico de pa#uetes desde un ser"idor a otros representados por lascolumnas,

por ejemplo desde el ser"idor X 1 se en"ian 30 de pa#uetes a

X 2 , 30 de pa#uetes a X 3 y )0 de

pa#uetes a

X 4

.Aeemplaamos los "alores eliminando el y tomando #ue la unidad es el 100

X 1

X 2

X 3

X 4

X 1 0 0.3 0.3 0.)

X 2 0.@ 0 0 0.3

X 3

0.3 0.2 0 0.

X 4

0 0 0 1

a) Construya la matriz de probabilidades de transferencia de paquetes en un movimiento.

La matri % representa la probabilidad de trans!erencia de pa#uetes de un ser"idor a otro en un mo"imientoaleatorio.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pase de X 2

a X 4

en tres movimientos aleatorios?

La A3

representa la probabilidad de #ue un pa#uete pase de un ser"idor a otro en tres mo"imientosaleatorios.

4or lo tanto la probabilidad #ue de X 2

pase a X 4

en tres mo"imientos es de

187

250=0.748

esto es

,4./ de pasar pa#uetes desde el ser"idor X 2 al ser"idor X

4 en 3 mo"imientos aleatorios.

A =



c) ¿Qué información da la potencia cuatro de la matriz de probabilidades?

Aepresenta la probabilidad de #ue un pa#uete pase de un ser"idor a otro en ) mo"imientos aleatorios.

Las condiciones re#ueridas para este ejemplo son las mismas #ue para el ejemplo 19, ya #ue el caso essimilar, se trata de la cantidad de mo"imientos para ir de una particula a otra o como en este ejemplo la

probabilidad de de trans!erencia de un ser"idor a otro en n cantidad de mo"imientos.ambien debemos contar con matrices cuadradas por la e(plicaci$n ya dada.

Complejiando agregando un nodo $0 eliminando una relaci2n:

El nue"o !lujo #ueda e(presado en la siguiente tabla'

X 1 X 2 X 3

X 4

X 5

X 1

0 30 10 B0 0

X 2

30 0 0 )0 30

X 3

0 0 0 0 0

X 4

)0 20 20 0 20

X 5

0 30 0 @0 0



Aeemplaamos los "alores eliminando el y tomando #ue la unidad es el 100

X 1

X 2

X 3

X 4

X 5

X 1

0 0,3 0,1 0,B 0

X 2

0,3 0 0 0,) 0,3

X 3

0, 0 0 0, 0

X 4

0,) 0,2 0,2 0 0,2

X 5

0 0,3 0 0,@ 0

a) Construya la matriz de probabilidades de transferencia de paquetes en un movimiento.

La matri % representa la probabilidad de trans!erencia de pa#uetes de un ser"idor a otro en un mo"imientoaleatorio.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pase de X 2

a X 4

en tres movimientos aleatorios?

311

1000=0,311

? este resultado determina #ue e(iste una probabilidad de 311+/ de trans!erencia de

pa#uetes del ser"idos X 2

/acia el X 4

en 3 mo"imientos.

c) ¿Qué información da la potencia cuatro de la matriz de probabilidades?

A =



En el caso del ejemplo anterior "emos #ue las probabilidades de trans!erencia de datos desde el ser"idor

X 2 /acia X

4? esta "e en cuatro mo"imientos aleatorios esta dada por el "alor '

487

1250=0.389

representa el 3.95/ de probabilidades de trans!erencia en ) mo"imientos.



PA67E 8

Ejemplo *.

Entre los s+mbolos gr&!icos m&s sencillos en dos dimensiones, est&n las letras. >na letra dibujada en el

plano re#uiere de "arios puntos coordenados para de!inirse totalmente. 4or ejemplo, la letra de la !iguranecesita de oc/o puntos coordenados. :olcamos en una matri esos puntos 6"*rtices7, as+'

Las coordenadas mencionadas en la guia nos determinan el siguiente gr&!ico'

4ara obtener la letra N buscada debemos utiliar las siguientes coordenas'

Estas coordenadas en Diris, nos gra!ican la Letra '



>tiliando la matri de trans!ormaci$n B calculamos con Diris y obtemos la matri trans!ormada' .

Aepresentamos la nue"a matri en Diris < "emos #ue la matri elegida caus$ un mo"imiento de re!le(i$ncon respecto al eje <.



FGu* matri calcular+a y c$mo la usar+a con la matri del trans!ormado H, para obtener la matri de

coordenadas originalI Esto es, Fc$mo proceder+a, operando con matrices, para obtener las coordenadas dela letra originalI

Si 7 ;uestra inc$gnita es la matri ,la matri original para obtenrela despejamos '

:emos #ue multiplicando la in"ersa de la matri de trans!ormaci$n por H obtenemos la matri original.

%/ora tomando como Coordenadas la matri H y la matri de trans!ormaci$n )



con J K 12

Estos mo"imientos se los conoce como cortes o tras#uilados-, En este caso se trata de una e(pansi$n alo largo del segundo eje o eje "ertical en un !actor N K 12.

Operamos con Diris'

ibujamos la nue"a matri obtenida.

%/ora gra!icamos la composici$n de la letra original y los 2 resultados obtenidos luego de aplicadas las



trans!ormaciones a las matrices'

4or Pltimo aplicamos a la matri original las trans!ormaciones descriptas en la teor+a ampliatoria'

calculamos y gra!icamos con Diris'

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