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ARITMETICA MODULAR: Una Aritmética Divertida Luis F. Cáceres

La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿Cuántos somos?, ¿Cuánto falta para la próxima inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de número vino mucho después que el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas.

Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar (números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones

negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, 1 3 10

, ,2 8 3

− . La geometría Griega y la

necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números reales (números que no se pueden representar como

fracciones) tales como 2, , 3π . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones

algebraicas, surgen los misterioso números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: i .

En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma, en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su vez en el comportamiento del mundo real.

Existen otros sistemas, no necesariamente números, en donde también se puede realizar una aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Mas aún, estas aritméticas “extrañas” y divertidas pueden ayudar a entender aún mas la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tiene aplicaciones inmediatas en la aritmética usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo clásico de este tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita . Esta aritmética fue descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó en tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando se tiene un sistema de contar que se comporta periódicamente. Auanque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades. 5+4=2: Una aritmética divertida.

Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando con el domingo.

2

domingo 0 sábado 6 lunes 1 viernes 5 martes 2 jueves 4 miércoles 3

Si continuamos numerando, el día 7 es domingo nuevamente, el día 8 es lunes, el día 9 es martes, etc. En cierto sentido podemos pensar que 7 08 1,9 2,= = = etc., donde “=” obviamente, no tiene el mismo sentido usual. También podemos trabajar hacia atrás: el día -1 es el sábado, el día -2 es el viernes, etc. Por lo tanto 1 6, 2 5,− = − = etc. La siguiente tabla muestra los números correspondientes a cada día de la semana.

domingo …,-14,-7,0,7,14,… lunes …,-13,-6,1,8,15,… martes …,-12,-5,2,9,16,… miércoles …,-11,-4,3,10,17,… jueves …,-10,-3,4,11,18,… viernes …,-9,-2,5,12,19,… sábado …,-8,-1,6,13,20,…

No es difícil encontrar un patrón para los números correspondientes a cada día, dicho patrón se

ilustra en la siguiente tabla.

domingo números de la forma 7n lunes números de la forma 7 1n + martes números de la forma 7 2n + miércoles números de la forma 7 3n + jueves números de la forma 7 4n + viernes números de la forma 7 5n + sábado números de la forma 7 6n +

Note que los números de la forma 7 7n + , son de la forma 7( 1)n + y por lo tanto son de la forma

7n . Por lo tanto el día que le corresponde a un número entero cualquiera está determinado por el residuo al dividir el número entre 7. Por ejemplo el día que le corresponde al número 38 es el miércoles (ya que 38 7 5 3= ⋅ + ). Estos residuos son siempre 0,1,2,3,4,5,6 y podemos definir una aritmética de residuos. Podemos acordar que 4 5 2+ = , esto significa que el día 4 mas el día 5 es el día 2, lo cual es bastante natural. De esta forma podemos construir la tabla para la suma de los números del 0 al 6 de la siguiente forma:

+ 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5

3

Esta tabla modela la estructura cíclica de los siete días de la semana. En este contexto la pregunta ¿Que día es 323 días después del jueves? Puede ser escrita como 4 323 ?+ = . El 323 no esta en nuestra tabla, pero note que 323 7 46 1= ⋅ + el cual es de la forma 7 1n + , luego 323 1= , por lo tanto 4 323 4 1+ = + y buscando en la tabla tenemos que 4 1 5+ = , que es viernes.

Esta suma tiene cosas extrañas como el hecho de que 1 1 1 1 1 1 1 0+ + + + + + = , pero cuando pensamos en términos de días, esto tiene perfecto sentido.

Ahora podemos tratar de definir multiplicación para este sistema. No tiene mucho sentido pensar en multiplicar sábado por jueves, pero si podemos pensar en cuál es el mejor sentido que le podemos dar a 6 4× . Es claro que lo ideal es que 6 4 4 4 4 4 4 4× = + + + + + y mirando en la tabla se obtiene 6 4 3× = . También sería razonable pensar que 6 4 6 6 6 6× = + + + y mirando en la tabla obtenemos (afortunadamente) la misma respuesta: 6 4 3× = .De hecho si hacemos la tabla de multiplicación (que no es otra cosa que sumas repetidas) para los residuos del 0 al 6 obtenemos:

× 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1

El sistema que hemos desarrollado se conoce como el sistema de los enteros módulo 7. No hay

nada especial acerca del 7, con cualquier otro número natural podemos desarrollar este tipo de aritmética. Si hubiésemos empezado con las horas en un reloj, hubiésemos terminado con los enteros módulo 12, si hubiésemos empezado con los días del año, hubiésemos terminado con los enteros módulo 365, etc. Si por ejemplo desarrollamos la aritmética módulo 4, entonces los residuos que usaríamos serían el 0,1,2,3 y aquí 4 0= ,5 1= , 6 2= , etc. Ejercicios: 1. ¿Qué día de la semana será 93 días después del miércoles?. 2. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 4. 3. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 5. 4. En la aritmética usual a− es el número tal que cuando se le suma a a da 0. A a− se le llama el inverso

aditivo de a . Hallar los inversos aditivos de los números del 0 al 6 en la aritmética módulo 7. 5. Repetir el ejercicio anterior para los números del 0 al 11 en la aritmética módulo 11.

El siguiente paso, obviamente es pensar en división. Para hacer esto nos conviene formalizar un poco lo que hemos hecho hasta el momento. El primer paso es introducir un símbolo nuevo a nuestro lenguaje ( )≡ que nos sirva para representar la igualdad en la aritmética modular. Recordemos que 9 2= cuando hablamos de los enteros módulo 7. Pero cuando hablamos de los enteros módulo 4, 9 1= . Para evitar ambigüedades, escribiremos en el primer caso 9 2mod 7≡ y en el segundo caso 9 1mod 4≡ . En general escribiremos moda b m≡ y esto quiere decir que al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre m .

En la aritmética modm se pueden sumar y multiplicar números básicamente de la misma forma que en la aritmética usual. También es posible restar. El problema de la división es mucho más interesante porque la “división usual” solamente se puede hacer en algunos módulos.

4

Supongamos que queremos darle sentido a 5

mod 72

. Es importante notar que el símbolo 5

2no tiene

sentido con lo que hemos hecho hasta el momento y por o tanto estamos listos para darle un sentido.

Obviamente el sentido que le demos a 5

2 debe estar de acuerdo, en lo posible, con el sentido que se le da

en la aritmética usual. De lo contrario terminaríamos construyendo una aritmética divertida, pero que quizás tendría propiedades totalmente diferentes a las de la aritmética usual y por lo tanto no tendría aplicaciones inmediatas.

La definición mas natural para 5

2sería el número x que satisface la ecuación

2 5mod 7x ≡ .

En general, si p y q son números entre 0 y 6, queremos definir p

qigual a y donde

mod 7qy p≡ . Note que qy es el número que aparece en la fila q y en la columna y de la tabla de multiplicación. Por lo tanto si queremos que la congruencia tenga una sola solución y , el número p debe aparecer una sola vez en la fila q . Si apareciera dos o mas veces o si n apareciera, no sabríamos cual escoger. La tabla de multiplicación módulo 7 tiene la propiedad de que en cada fila aparecen los números del 0 al 6 y además aparecen una sola vez. Por lo tanto podemos encontrar una solución única para la congruencia anterior

para cualquier q diferente de cero. Esto significa que siempre podemos definir p

q cuando 0q ≠ . Esto no

es una restricción grande pues en la aritmética usual tampoco dividimos por 0.

Por lo tanto, 5

6mod 72

= ya que 2 6 5mod 7⋅ ≡ .

Ejercicios: 1. En la aritmética usual, 1/a es el número que cuando se multiplica por a da como resultado 1. A 1/a

se le llama el inverso multiplicativo de a . Hallar 1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 mod 7. 2. Hallar 3 / 4,5 / 3,10 /8. módulo 7.

Las cosas no funcionan igual de bien con otros módulos. Por ejemplo si trabajamos módulo 6 la tabla de multiplicación que se obtiene es la siguiente.

× 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1

Lo primero que notamos en esta tabla de multiplicación es que aparecen muchos ceros. En

particular, 3 2 0⋅ = . Este fenómeno no ocurre en la aritmética tradicional, ya que en la aritmética usual si 0a b⋅ = , entonces obligatoriamente se tiene que 0a = o 0.b = El hecho de que trabajando módulo 6, la

multiplicación de dos números diferentes de cero pueda dar como resultado 0, nos trae problemas pero a la vez crea una aritmética interesante y diferente. Note que por ejemplo no podemos definir 1/3 (por lo menos de la manera usual) ya que no existe un número y en la tabla tal que 3 1.y⋅ =

5

Ejercicio: 3. 1. Tratar de hallar los inversos multiplicativos de los números del 1 al 11 en la aritmética módulo 12.

Descubrirá que algunos de ellos no poseen inverso multiplicativo. 4. Repetir el ejercicio anterior para la aritmética módulo 6 y módulo 8. Encontrar una conjetura para

describir a los números que poseen inverso multiplicativo. 5. Construir las tablas de multiplicación módulo del 2 al 10 y tratar de encontrar una conjetura sobre los

números que producen módulos donde todos los números (excepto el 0) poseen inversos. 6. Para varios valores de 7a < calcular 7 mod 7a . Para varios valores de 5a < calcular 5 mod5a .

Intentar otros cómputos similares. Hacer una conjetura para el resultado que se obtiene. Propiedad: Si , ,a b c y m son enteros, con 0m > , tales que ( )moda b m≡ , entonces

1. ( )moda c b c m+ ≡ +

2. ( )moda c b c m− ≡ −

3. ( )modac bc m≡

Propiedad: Si , , ,a b c d y m son enteros, con 0m > , tales que ( )moda b m≡ y ( )modc d m≡ , entonces

1. ( )moda c b d m+ ≡ +

2. ( )moda c b d m− ≡ −

3. ( )modac bd m≡

Propiedad: Si , ,a b k y m son enteros, con 0, 0k m> > y ( )moda b m≡ , entonces ( )modk ka b m≡

EJERCICIOS:

1. Muestre que las siguientes congruencias son ciertas. a. ( )13 1 mod 2≡

b. ( )13 1 mod 2≡

c. ( )22 7 mod5≡

d. ( )111 9 mod 40≡ −

e. ( )666 0 mod37≡

f. ( )3 30 mod11− ≡

2. Para que valores de m es cierta cada una de las siguientes congruencias:

a. ( )27 5 modm≡

b. ( )1000 1 modm≡

c. ( )1331 0 modm≡

6

3. Probar que si a es un entero par, entonces ( )2 0 mod 4a ≡ y si a es un entero impar, entonces

( )2 1 mod 4a ≡ .

4. Probar que si a es un entero impar, entonces ( )2 1 mod8a ≡ .

5. Dar un ejemplo para probar que ( )2 2 moda b n≡ no necesariamente implica que ( )moda b n≡ .

6. Reducir los siguientes números a módulo 13. a. 22 b. 100 c. 1001 d. -1 e. -100 f. -1000

7. Usando la reducción módulo 6, para construir una tabla para la adición módulo 6, la resta módulo 6 y la multiplicación modulo 6. El residuo que se obtiene en la reducción módulo 6 es el representante de la correspondiente clase de congruencia.

8. Encontrar el residuo cuando 502 y 6541 se dividen entre 7. 9. Hallar el residuo al dividir la suma 5 5 5 51 2 ... 99 100+ + + + entre 7. 10. Dado un entero a , probar que ( )3 0,1 o 6 mod 7a ≡ .

11. Dado un entero a , probar que ( )4 0 o 1 mod5a ≡ .

12. ¿Para qué enteros positivos n se cumple que ( ) ( )22 21 2 ... 1 0 modn n+ + + − ≡ ?

13. Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces ( )4 1 3 mod9n n≡ + ..

Primera Academia Sabatina 2011

Arturo Portnoy, 26 de febrero de 2011

1. Dibujos y diagramas

1. Considere un triángulo rectángulo con catetos de longitud a y b e hipotenusa de longitud c. Considere también un

cuadrado con lado de longitud c. Demuestre que la diagonal del cuadrado tiene longitud mayor o igual que a+ b.

2. Sean a1, A1, a2, A2, a3, A3 números reales positivos tales que ai +Ai = k, donde k es una constante dada. Si ai ≥ Ai

demuestre que a1A2 + a2A3 + a3A1 < k2.

3. Sean a1, A1, a2, A2, a3, A3, a4, A4 números reales positivos tales que ai + Ai = k, donde k es una constante dada. Si

ai ≥ Ai demuestre que a1A2 + a2A3 + a3A4 + a4A1 ≤ k2 y determine cuando se da la igualdad.

4. Sea n un entero positivo par. Halle todas las ternas de números reales (x, y, z) tales que

xny + ynz + znx = xyn + yzn + zxn.

2. Juegos y patrones

1. Considere un tablero 6× 6, cubierto con chas 2× 1. Demuestre que existe al menos una linea horizontal o una vertical

que parte el tablero en dos, sin cruzar ninguna cha. ¾Será cierto esto para tableros n× n, con n > 6 natural?

2. En un montón hay 100 piedras. Dos jugadores A y B juegan alternadamente, comenzando por A. En cada jugada, se

deben retirar entre 1 y 5 piedras. Gana el que retire la última piedra. ¾Tiene alguno de ellos una estrategia ganadora?

¾Cuál es esa estrategia?

3. En un montón hay 100 piedras. Dos jugadores, A y B, juegan alternadamente, comenzando por A. En cada jugada, se

deben retirar entre 1 y 5 piedras. Pierde el que retire la última piedra. ¾Tiene alguno de ellos una estrategia ganadora?

¾Cuál es esa estrategia?

4. Simón escribe una lista de números. El primero es 25, y de ahí en adelante, cada número es la suma de los cuadrados

de los dígitos del anterior. ¾Qué número aparece en la posición 2011?

3. Principio del palomar

1. Probar que si se escogen 5 puntos en el interior de un triángulo equilátero de lado 2, tiene que haber dos de ellos a una

distancia menor o igual que 1.

2. Probar que si se escogen 26 números naturales diferentes, impares y menores que 100, siempre hay dos de ellos que

suman 100.

3. Probar que si se escogen 8 números naturales diferentes, siempre habra dos de ellos cuya suma o diferencia es divisible

entre 13.

4. Probar que cualquier conjunto de 10 números enteros entre 1 y 100 tiene dos subconjuntos disjuntos y no vacíos A y Btales que la suma de los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B.

5. Un disco cerrado de radio 1 contiene 7 puntos tales que todas las distancias entre dos de ellos son mayores o iguales

que 1. Pruebe que uno de los puntos es el centro del disco.

6. Pruebe que dados 5 puntos en el plano cartesiano con ambas coordenadas enteras, siempre hay dos de ellos cuyo punto

medio tiene ambas coordenadas enteras.

7. Pruebe que en cualquier reunión de n > 1 personas, siempre hay dos de ellas que tienen exactamente el mismo número

de conocidos en la reunión.

1

Una breve introduccion a las desigualdades

Anthony Erb Lugo - Traducido por Gabriel Reilly

26 de febrero de 2011

En esta clase, daremos una introduccion a como resolver desigualdades a nivel deolimpiadas. Comenzaremos con lo basico. Discutiremos la Desigualdad Trivial, la de-sigualdad Media Aritmetica - Media Geometrica, y, si el tiempo lo permite, discutiremosla Desigualdad “Cauchy-Schwarz”.

1 Conceptos Basicos

1.1 La Desigualdad Trivial

Concepto: Tomamos cualquier numero real, x, y elevemoslo a la dos. Sin importar elvalor de x que hayamos escogido, el resultado, x2, siempre sera mayor o igual a cero. Estoes conocido como la Desigualdad Trivial, y es la base para resolver muchos problemas dedesigualdad.

Uso: El uso de esta tecnica se basa en tratar de reacomodar el problema de tal formadel que el lado derecho de la desigualdad tenga un cero, y el otro lado este compuestode cuadrados.

Ejemplo 1.1: Demuestre que para a y b numeros reales,

a2 + b2 ≥ 2ab

Prueba. Al restar 2ab en ambos lados, obtenemos que

a2 − 2ab + b2 ≥ 0

Esto factoriza en

(a− b)2 ≥ 0

Que es cierto por la desigualdad trivial.

Ejemplo 1.2: Demuestre que para a, b y c numeros reales,

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac

Prueba. Empezamos moviendo todos los terminos al mismo lado,

a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac ≥ 0

OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

Multiplicando por dos, podemos ver que

2(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac) = (a− b)2 + (a− c)2 + (b− c)2 ≥ 0

Por lo tanto, la desigualdad original es cierta. Tambien podemos notar, usando lo queaprendimos en el ejemplo 1.1, que las siguientes desigualdades son ciertas.

a2 + b2 ≥ 2ab

b2 + c2 ≥ 2bc

a2 + c2 ≥ 2ac

Por eso, su suma,2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ac)

tambien es cierta. Ahora, dividimos entre 2 y terminamos.

1.1.1 Problemas de Practica

1. Sea x un numero real distinto a cero. Demuestre que:

I. x2 + 1 ≥ 2x

II. 4x2 + 1 ≥ 4x

III. x2 +1

x2≥ 2

2. Sean a y b numeros reales. Demuestre que:

I. a2 + 4b2 ≥ 4ab.

II. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

III. (a + b)2 + 2a2 + (a− b)2 ≥ 2b2

IV. a2 − ab + b2 ≥ 0

V. 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 ≥ 4ab

3. Sean a y b numeros reales positivos. Demuestre que:

I. (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

II. a + b + 1 ≥ 2√

a + b

III. (a + 1)(b + 1)(1 + ab) ≥ 8ab

IV. (a2 − b2)(a− b) ≥ 0

V.(a3 − b3)(a− b)

3≥ ab(a− b)2

1.1.2 Identidades Utiles

Al trabajar con desigualdades, es importante dominar estas identidades:

• a2 − b2 = (a + b)(a− b)

• a3 ± b3 = (a± b)(a2 ∓ ab + b2)

• a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab− ac− bc)

• abc = (a + b + c)(ab + bc + ac)− (a + b)(b + c)(a + c)

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OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

1.2 Desigualdad entre las medias aritmeticas y medias geometricas

La proxima desigualdad importante es la Media Aritmetica - Media Geometrica, cualabreviaremos a MA-MG. En el Ejemplo 1.1, probamos la desigualdad MA-MG para elcaso en donde n = 2. Ahora, presentamos su generalizacion.

Teorema 1.3 (Desigualdad MA-MG): Sean a1, a2, a3, · · · , an numeros reales mayores oiguales a cero. Entonces,

a1 + a2 + · · ·+ an

n≥ n√

a1a2 · · · an

Con igualdad si y solo si a1 = a2 = · · · = an.

Ejemplo 1.4: Sean a, b y c numeros reales mayores o iguales a cero de tal forma queabc = 1. Demuestre que:

a + b + c ≥ 3

Prueba. El teorema MA-MG nos dice que,

a + b + c

3≥ 3√

abc

Al sustituir abc = 1 y multiplicando por 3 en la ecuacion, obtenemos,

a + b + c ≥ 3

Que es lo que querıamos probar, y ası concluımos.

En el proximo ejemplo, es importante notar que si, a, b, c y d son numeros realesmayores que cero de tal forma que a ≥ b, y c ≥ d, entonces ac ≥ bd.

Ejemplo 1.5: Sean a, b y c numeros reales positivos. Pruebe que:

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc

Prueba. El teorema MA-MG nos dice que,

a + b ≥ 2√

ab

b + c ≥ 2√

bc

a + c ≥ 2√

ac

Multiplicando estas desigualdades, obtenemos

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc

Y de esa forma concluımos la prueba.

Nuestro ultimo ejemplo mostrara cuan versatil el teorema MA-MG es, al usarlo pararesolver un problema al nivel olımpico.

Ejemplo 1.6: (Olimpiada Matematica de la Ciudad de San Petersburgo, 1999) Seanx0 > x1 > · · · > xn numeros reales. Pruebe que

x0 +1

x0 − x1

+1

x1 − x2

+ · · ·+ 1

xn−1 − xn

≥ xn + 2n.

3

OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

Prueba. Sea ak = xk − xk+1 > 0 de tal forma que nuestra desigualdad sea equivalente a

x0 − xn +1

a0

+1

a1

+ · · ·+ 1

an−1

≥ 2n

Ahora, notamos que a0 + a1 + · · · + an−1 = x0 − xn, y por tal razon, la desigualdad estambien equivalente a

(a0 + a1 + · · ·+ an−1) +1

a0

+ · · ·+ +1

an−1

≥ 2n

o (a0 +

1

a0

)+

(a1 +

1

a1

)+ · · ·+

(an−1 +

1

an−1

)≥ 2n

Finalmente, por el Teorema MA-MG, tenemos que ak +1

ak

≥ 2. Aplicando este teorema

a cada termino en la desigualdad anterior nos da el resultado inmediatamente, y de estaforma concluimos.

1.2.1 Problemas de Practica

1. Sean a y b numeros reales positivos. Demuestre que:

I.2(a2 + b2) ≥ (a + b)2

II.a

b+

b

a≥ 2

III.

(a + b)

(1

a+

1

b

)≥ 4

IV.(a + 2b)(b + 2a) > 8ab

¿Por que la igualdad no se puede lograr?

V.a3 + b3 ≥ ab(a + b)

2. Sean a, b y c numeros reales positivos. Demuestre que:

I.a3 + 8b3 + 27c3 ≥ 18abc

II.

(a + b + c)

(1

a+

1

b+

1

c

)≥ 9

III.a + b + c ≥ 2

√a + b + c− 1

IV. *Reto: Demuestre que es cierto para todos los reales.

(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ac)

V. (Desigualdad de Nesbitt)

a

b + c+

b

a + c+

c

a + b≥ 3

2

4

OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

2 El Teorema de Cauchy-Schwarz

En esta seccion, presentaremos un teorema muy util. Daremos varios ejemplos, y al finalalgunos problemas de practica.

Teorema 2.1 (Desigualdad Cauchy-Schwarz): Sean a1, a2, · · · an, b1, b2, · · · , bn numerosreales, entonces tenemos

(a21 + a2

2 + · · ·+ a2n)(b2

1 + b22 + · · ·+ b2

n) ≥ (a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn)2

con igualdad solo cuandoa1

b1

=a2

b2

= · · · = an

bn

.

Ejemplo 2.2: Sean a, b, c numeros reales. Demuestre que:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac

Prueba. Por el teorema de Cauchy-Schwarz, tenemos

(a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + a2) ≥ (ab + bc + ac)2

Note que esto es equivalente a

(a2 + b2 + c2)2 ≥ (ab + bc + ac)2

Y podemos ver que el resultado es evidente. (Note que resolvimos este problema usandocuadrados perfectos en la seccion anterior. Esto nos demuestra que las desigualdadespueden tener varias soluciones, y en realidad, muchas sı tienen varias soluciones).

Ejemplo 2.3: Sean a, b y c numeros reales positivos. Demuestre que:

(a + b + c)

(1

a+

1

b+

1

c

)≥ 9

Prueba. Como a, b y c son numeros reales positivos, podemos dejar que a, b y c seanx2, y2, y z2, respectivamente. Esto hace que nuestra desigualdad sea equivalente a

(x2 + y2 + z2)

(1

x2+

1

y2+

1

z2

)≥ 9

Ahora, notemos que por el teorema de Cauchy-Schwarz tenemos que

(x2 + y2 + z2)

(1

x2+

1

y2+

1

z2

)≥(

x · 1

x+ y · 1

y+ z · 1

z

)2

= 9

Y ası concluımos.

Ejemplo 2.4: (Irlanda, 1998) Demuestre que si a, b y c son numeros reales positivos,entonces

9

a + b + c≤ 2

(1

a + b+

1

b + c+

1

c + a

)y

1

a + b+

1

b + c+

1

c + a≤ 1

2

(1

a+

1

b+

1

c

)

5

OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

Prueba. Demostraremos la segunda desigualdad. Por El Teorema de Cauchy-Schwarztenemos que

1

a+

1

b≥ 4

a + b1

b+

1

c≥ 4

b + c1

a+

1

c≥ 4

a + c

Sumando estas desigualdades obtenemos

2

(1

a+

1

b+

1

c

)≥ 4

(1

a + b+

1

b + c+

1

a + c

)Entonces, dividimos por 4, y ası terminamos. La prueba de la primera desigualdad sedeja como ejercicio para el lector.

Ejemplo 2.5: Sean a, b, c, x, y y z numeros reales positivos de tal forma que a + b + c =x + y + z. Demuestre que:

a2

y + z+

b2

x + z+

c2

x + y≥ a + b + c

2

Prueba. Empezamos notando que las unicas variables usadas en el lado derecho de ladesigualdad son a, b y c, y por lo tanto, vamos a querer aplicar el teorema de Cauchy-Schwarz de tal forma que las variables x, y y z sean eliminadas. Esto nos lleva a aplicarel teorema de Cauchy-Schwarz de tal forma

((y + z) + (x + z) + (x + y))

(a2

x + y+

b2

x + z+

c2

x + y

)≥ (a + b + c)2

Ahora, notamos que (y + z) + (x + z) + (x + y) = 2(a + b + c), y que por lo tanto,

a2

x + y+

b2

x + z+

c2

x + y≥ a + b + c

2

Ejemplo 2.6: Sean x, y y z numeros reales positivos. Demuestre que:√(x + y)(y + z)(x + z) + xyz ≥ x

√y + z

2+ y

√x + z

2+ z

√x + y

2

Prueba. Usaremos la identidad presentada en la primera seccion,

xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz)− (x + y)(y + z)(x + z)

para inferir que

(x + y)(y + z)(x + z) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz)

de donde podemos deducir que nuestra desigualdad es igual a demonstrar que√(x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ x

√y + z

2+ y

√x + z

2+ z

√x + y

2

6

OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

o √2(x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ x

√y + z + y

√x + z + z

√x + y

Cual es cierto, por el teorema de Cauchy-Schwarz, ya que

2(xy + yz + xz) = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y)

2.1 Problemas

1. (Irlanda, 1999) Sean a, b, c y d numeros reales positivos de tal forma que a+b+c+d =1. Demuestre que,

a2

a + b+

b2

b + c+

c2

c + d+

d2

d + a≥ 1

2

2. Sean a, b y c numeros reales. Demuestre que,

2a2 + 3b2 + 6c2 ≥ (a + b + c)2

3. Sean a, b y c numeros reales positivos. Demuestre que

a2

c+

b2

a+

c2

b≥ a + b + c

4. (Olimpiada Matematica Centro Americana, 2009) Sean x, y y z numeros reales detal forma que xyz = 1. Demuestre que,

(x2 + 1)(y2 + 1)(z2 + 1) ≥(

1 +x

y

)(1 +

y

z

)(1 +

z

x

)¿Cuando hay igualdad?

5. Sean a, b y c numeros reales positivos de tal forma que abc = 1. Demuestre que,

a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c

6. (Olimpiada Matematica Iberoamericana - Examen de Seleccion 2009, Puerto Rico)Sean ha, hb y hc las alturas de un triangulo ABC, y r el radio del circulo interno.Demuestre que,

ha + hb + hc ≥ 9r

7. (Republicas Checa y Eslovaca, 1999) Sean a, b y c numeros reales arbitrarios. De-muestre que:

a

b + 2c+

b

c + 2a+

c

a + 2b≥ 1

Nota: Este es tambien un problema de la Olimpiada Internacional de Zhautykoven 2005.

8. (Iran, 1998) Sean x, y, z > 1 y 1x

+ 1y

+ 1z

= 2. Demuestre que,

√x + y + z ≥

√x− 1 +

√y − 1 +

√z − 1

7

OMPR 2011 Una breve introduccion a las desigualdades Nivel intermedio

9. (IMO - Examen de Seleccion 1999, Belarus) Sean a, b y c numeros reales positivosde tal forma que a2 + b2 + c2 = 3. Demuestre que,

1

1 + ab+

1

1 + bc+

1

1 + ac≥ 3

2

10. (IMO - Examen de Seleccion 2006, Francia) Sean a, b y c numeros reales positivosde tal forma que abc = 1. Demuestre que,

a

(a + 1)(b + 1)+

b

(b + 1)(c + 1)+

c

(c + 1)(a + 1)≥ 3

4.

¿Cuando hay igualdad?

8

Selected Prime Year Problems from International Math Olympiads

Academias Sabatinas OMPR 2011

Isamar Rosa Plata

The year 2011 is a special year. 2011 is a prime number, and a sexy one at that1. It is also the sum of 11

consecutive primes (2011=157+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211). The following

problems are also from prime years, some sexy and other not.

2003: A Sophie Germain Prime, since 2p + 1 = 4007 is also a prime number.

(Centro 2003, Problem #1) There are 2003 stones in a pile. Two players alternately select a positive

divisor of the number of stones currently in the pile and remove that number of stones. The player who

removes the last stone loses. Find a winning strategy for one of the players

(Centro 2003, Problem #6) Call a positive integer a tico if the sum of its digits (in base 10) is a

multiple of 2003. Show that there is an integer N such that N, 2N, 3N, ... , 2003N are all ticos. Does

there exist a positive integer such that all its multiples are ticos?

(Ibero 2003, Problem #1) Let A, B be two sets of N consecutive integers. If N = 2003, can we form N

pairs (a, b) with a ∈ A, b ∈ B such that the sums of the pairs are N consecutive integers? What about N =

2004?

(Ibero 2003, Problem #6) The sequences a0, a1, a2, ... and b0, b1, b2, ... are defined by a0 = 1, b0 = 4,

an+1 = an2001

+ bn, bn+1 = bn2001

+ an. Show that no member of either sequence is divisible by 2003.

(USAMO 2003, Problem #5) A positive integer is written at each vertex of a hexagon. A move is to

replace a number by the (non-negative) difference between the two numbers at the adjacent vertices. If

the starting numbers sum to 20032003

, show that it is always possible to make a sequence of moves

ending with zeros at every vertex.

1 The term sexy prime comes from the fact that they differ from a consecutive prime by six. It has no direct correlation to the

number’s sexual appeal. 2017 is the pair to 2011.

1999: Member of a sexy prime triplet (1987, 1993 & 1999) and a prime pair (1997, 1999).

(Mexico 1999, Problem #2) Show that there is no arithmetic progression of 1999 distinct positive

primes all less than 12345.

1997: Member of a prime pair (1997, 1999) and a Pythagorean triple (315, 1972, 1997)

(Ibero 1997, Problem #6) Given are 1997 points inside a circle of radius 1, one of them the center of

the circle. For each point take the distance to the closest (distinct) point. Show that the sum of the

squares of the resulting distances is at most 9.

(USAMO 1997, Problem #6) Suppose the sequence of nonnegative integers satisfies:

for all with .

Show that there exists a real number such that (the greatest integer ) for

all .

1993: Member of a sexy prime triplet (1987, 1993 & 1999) and also a Pythagorean triple (1032,

1705, 1993)

(Ibero 1993, Problem #1) A palindrome is a positive integers which is unchanged if you reverse the

order of its digits. For example, 23432. If all palindromes are written in increasing order, what possible

prime values can the difference between successive palindromes take?

1987: A lucky2 prime and a member of a sexy prime triplet (1987, 1993 & 1999)

(IMO 1987, Problem #4) Prove that there is no function from the set of non-negative integers into

itself such that for every .

2 A lucky numbers are the “survivors” after removing every 2nd number, then every 3rd number, continuing on the removal

pattern towards infinity.

Luis F. Caceres, Ph.D.UPR-Mayaguez

The Eyeball Theorem

1.

α

2αEl angulo central que abre el mismo arco de unangulo inscrito mide el doble del inscrito.

2.

α

α

Angulos inscritos que abren el mismo arco mi-den lo mismo.

3.Α

B

C

D

Si AB y BC son cuerdas congruentes, entonces ADB = BDC.

4.

BA

C

Si AB es un diametro de una circunferencia y Ces otro punto que esta sobre la circunferencia,entonces ACB = 90.

1

5.

BA

C

Si ∆ABC es rectangulo con angulo recto enC, entonces C esta en la circunferencia condiametro AB.

6.

Definicion: La recta tangente a un cırculo en unpunto es la perpendicular al radio en dicho pun-to.

7.A

B

D

C

El cuadrilatero ABCD es cıclico si y solo si lasuma de sus angulos opuestos es 180

8.A

B CT

Si AT biseca el BAC en el ∆ABC isosceles,entonces AT es perpendicular a BC.

9.

A

B

L

N

Si NA y LA son tangentes al circulo, entoncesBA biseca el LAN.

2

Teorema: Sean dos cırculos Ω y Ψ con centros en A y B respectivamente. Las tangentes desde Ahasta Ψ cortan a Ω en P y Q, y las tangentes desde B hasta Ω cortan a Ψ en R y S. EntoncesPQ = RS.

Demostracion:

P

A

M

R

SQ

K

N

B

L

Ω Ψ

Sean M, N, K, L los puntos de tangencia como en la figura. Note que ∆AMB, ∆ANB, ∆ALB, ∆AKBson rectangulos con AB como hipotenusa, luego los puntos M, N, K, L estan en un cırculo de diametroAB.

Extendemos PR a TU con T en Ω y U en Ψ. Sea V el punto de corte de TM y UN.

P

A

R

SQ

B

L

MN

K

T U

V

Ω Ψ

3

Note que MAN = MBN.

Luego,

VTU =MAN

2=

MBN2

= RBN

2= TUV.

Por lo tanto ∆VTU es isosceles con VT = VU.

Ademas MBN = 2 TUV = TUV + VTU = 180 −UVT.

Luego, MBN + UVT = 180.

Entonces V esta en el cırculo con diametro AB.

Note que TVA = KVA,

ya que MA y AK son cuerdas congruentes. De igual forma

UVB = LVB.

Por reflexion a traves de AV y BV respectivamente vemos que VT = VK y VL = VU. Pero comoVT = VU, entonces

VT = VK = VL = VU.

P

A

R

SQ

B

L

MN

K

T U

W

V

Ω Ψ

Sea W la reflexion de V a traves de AB. El ∆WMN es isosceles como el ∆VKL. Entonces

WVN = WMN = WNM = WVM,

luego VW biseca TVU, entonces VW es perpendicular a PR. Luego PR es paralela a AB. Simi-larmente se demuestra que QS es paralela a AB. Como PQ es perpendicular a AB y RS tambien.Entonces PQ es paralela a RS. Luego PRSQ es un rectangulo.

4