academia sabatina de jóvenes talento funciones

Semana del 18 al 24 de junio 1 Elaborado por: Axel Canales G.

Academia Sabatina de Jóvenes Talento

Funciones

Datos generales

Nivel: 6

Instructor: Axel Omar Canales García

Fecha: Semana del 18 al 24 de junio del 2018

Clase 3

Contenido: Unidad II: Gráficas de funciones

Funciones especiales y sus gráficas (II)

Objetivos

Describir la forma y las propiedades de las funciones racionales.

Bosquejar las gráficas de diversas funciones racionales e irracionales.

Instrucciones generales: Lee la teoría y los ejemplos, es recomendable que trates de resolverlos sin ver la

solución. Luego, resuelva los ejercicios, el problema reto cuenta como crédito extra. Una vez resueltos tomar

una foto y enviarlos al correo: [email protected] a más tardar miércoles 27 de junio a las 12:00

M

PRIMERA PARTE: TEORÍA Y EJEMPLOS

Lee de la Pág. 59 a la 64 del libro Los caminos del saber: Matemática 11.

Lee de la Pág. 265 a la 284 del libro Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 13ª edición de

Swokowski & Cole; y Pág. 277 a la 288 del libro Precálculo. Matemáticas para el cálculo. 6ª edición de

Stewart & Redlin & Watson

Ver los siguientes vídeos en YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=P7m-u3IuAFY

Lee la siguiente teoría y los siguientes ejemplos, trata de resolverlos sin ver la solución.

Funciones racionales

Si 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son funciones polinómicas, la función 𝑓 es una función racional si su regla de correspondencia

es así:

𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)=

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0; 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ+

Donde 𝑎0, 𝑎1, … 𝑎𝑛; 𝑏0, 𝑏1, … 𝑏𝑚 son constantes reales y 𝑞(𝑥) ≠ 0. Suponemos que 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) no tienen

factor en común. Aun cuando las funciones racionales se construyen a partir de polinomios, sus gráficas tienen

un aspecto muy diferente del de las gráficas de funciones polinomiales.

Dado que en un cociente el denominador debe ser distinto de cero, en estas funciones el dominio estará dado

por 𝐷𝑜𝑚𝑓 = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ ℎ(𝑥) ≠ 0}, y por tanto el conjunto de partida siempre se tendrá que definir.

Por lo general, es usual el análisis asintótico para graficar una función racional, a continuación, se muestra la

manera de calcular estas asíntotas.

mailto:[email protected]

https://www.youtube.com/watch?v=P7m-u3IuAFY


Ejemplo 1. Grafique la función racional 𝑓(𝑥) =1

𝑥 y exprese el dominio y rango.

Solución. La función 𝑓 no está definida para 𝑥 = 0. Las tablas siguientes muestran que cuando 𝑥 es cercana a

cero, el valor de |𝑓(𝑥)| es grande, y cuanto más se acerque 𝑥 a cero, más grande se hace |𝑓(𝑥)|.

Describimos este comportamiento en palabras y en símbolos como sigue. La primera tabla muestra que cuando

𝑥 se aproxima a 0 por la izquierda, los valores de y 𝑦 = 𝑓(𝑥) decrecen sin límite. En símbolos

La segunda tabla muestra que cuando 𝑥 se aproxima a 0 por la derecha, los valores de 𝑓(𝑥) aumentan sin

límite. En símbolos,

Las dos tablas siguientes muestran cómo cambia 𝑓(𝑥) cuando |𝑥| se hace grande.

Estas tablas muestran que cuando |𝑥| se hace grande, el valor de 𝑓(𝑥) se aproxima y está cerca de cero. Des-

cribimos esta situación simbólicamente al escribir.

Usando la información de estas tablas y localizando unos cuantos puntos adicionales, obtenemos la gráfica.


La función 𝑓 está definida para todos los valores de 𝑥 que no sean 0, de modo que el dominio es 𝐷𝑜𝑚𝑓: ℝ −

{0}. De la gráfica vemos que el rango es 𝑅𝑎𝑛𝑓: ℝ − {0}.

En el ejemplo 1 utilizamos la siguiente notación de flechas:

Además, en el ejemplo la recta 𝑥 = 0 (que coincide con el eje y) se denomina asíntota vertical, y, la recta 𝑦 =

0 es una asíntota horizontal. Informalmente hablando, una asíntota de una función es una recta a la que la

gráfica de la función se acerca cada vez más cuando nos movemos a lo largo de la recta.

Ahora veamos las definiciones de las asíntotas.

Definición (asíntota general) Si la distancia 𝑑 entre una recta o curva 𝐿 y el punto móvil 𝑄(𝑥, 𝑦) de la

función tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asíntota. Existen tres tipos de asíntotas:

verticales, horizontales y oblicuas.

Cuando la gráfica de la función 𝑓(𝑥) se acerca a la curva o recta 𝐿(𝑥) y la distancia 𝑑 entre un punto de 𝑓(𝑥) y

la curva o recta 𝐿(𝑥) tiende a cero (es decir la gráfica no toca a 𝐿(𝑥)), entonces 𝐿(𝑥) recibe el nombre de

asíntota.


Asíntota vertical Diremos que la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si 𝑓(𝑥) →

+∞ ó 𝑓(𝑥) → −∞ a medida que 𝑥 → 𝑎− ó 𝑥 → 𝑎+.

Una función de la forma𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥), tiene asíntotas verticales si existen valores 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 tal que se

cumple lo siguiente: 𝑄(𝑥1) = 𝑄(𝑥2) = … = 𝑄(𝑥𝑛) = 0. Es decir los números en los que el denominador se

anula.

Asíntota horizontal Diremos que la recta 𝑦 = 𝑐 es una asíntota horizontal de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si 𝑓(𝑥) →

𝑐 cuando 𝑥 → −∞ ó 𝑥 → +∞. En la figura varios ejemplos de asíntotas horizontales:

Podemos encontrar asíntotas horizontales cuando si se despeja la variable independiente 𝑥, y si se obtiene una

función de la forma 𝑔(𝑦) =𝑟(𝑦)

𝑠(𝑦) , tal que para los valores de 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛 se cumpla que: 𝑠(𝑦1) = 𝑠(𝑦2) =

… = 𝑠(𝑦𝑛) = 0. De no ser posible lo anterior precisaremos de otros criterios o de la noción de límite para

poder determinar con precisión las asíntotas horizontales de una función.

Funciones racionales lineales. Una función racional de la forma

𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 + 𝑑, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0

Es una función racional lineal cuyo dominio es el conjunto 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ − {−𝑑

𝑐}. Esta función puede grafi-

carse al desplazar, estirar y/o reflejar la gráfica de 𝑓(𝑥) =1

𝑥 que ya estudiamos anteriormente.


Ejemplo 2. Trace la gráfica de

𝑦 = 𝑔(𝑥) =1

𝑥 − 1

Primero encontramos los interceptos con los ejes; con el eje x hacemos 𝑦 = 0

0 =1

𝑥 − 1

Como para ningún valor de 𝑥 esta última ecuación es válida no existen interceptos con el eje 𝑥. El intercepto

con el eje y hacemos 𝑥 = 0

𝑦 =1

0 − 1= −1

Por lo tanto el intercepto es el punto (0, −1).

Analicemos la existencia de asíntotas verticales, para ello igualamos el denominador a 0:

𝑥 − 1 = 0 ⟶ 𝑥 = 1

Luego la recta 𝑥 = 1 es la asíntota vertical.

Para determinar la asíntota horizontal despejamos x en función de y:

𝑦 =1

𝑥 − 1⟶ 𝑦(𝑥 − 1) = 1 ⟶ 𝑦𝑥 − 𝑦 = 1 ⟶ 𝑦𝑥 = 1 + 𝑦 ⟶ 𝑥 =

1 + 𝑦

𝑦

Vemos que cuando 𝑦 = 0 se anula el denominador, por lo tanto, la recta 𝑦 = 0 es asíntota horizontal de la

gráfica. La gráfica se muestra a continuación:

Ejemplo 2. Trace la gráfica de

𝑦 =2𝑥 − 1

3𝑥 + 1

Primero encontramos los interceptos con los ejes; con el eje x hacemos 𝑦 = 0

0 =2𝑥 − 1

3𝑥 + 1⟶ 2𝑥 − 1 = 0 ⟶ 2𝑥 = 1 ⟶ 𝑥 =

1

2


Por lo tanto el intercepto es el punto (1

2, 0).

Luego, para el intercepto con el eje y hacemos 𝑥 = 0

𝑦 =2(0) − 1

3(0) + 1= −1

Por lo tanto el intercepto es el punto (0, −1).

Analicemos la existencia de asíntotas verticales, para ello igualamos el denominador a 0:

3𝑥 + 1 = 0 ⟶ 𝑥 = −1/3

Luego la recta 𝑥 = −1/3 es la asíntota vertical.

Para determinar la asíntota horizontal despejamos x en función de

y:

𝑦 =2𝑥 − 1

3𝑥 + 1 ⟶ 𝑦(3𝑥 + 1) = 2𝑥 − 1 ⟶ 3𝑥𝑦 + 𝑦 = 2𝑥 − 1

3𝑥𝑦 − 2𝑥 = −1 − 𝑦 ⟶ 𝑥(3𝑦 − 2) = −1 − 𝑦

∴ 𝑥 =−1 − 𝑦

3𝑦 − 2

Vemos que cuando 3𝑦 − 2 = 0 ⟶ 𝑦 =2

3 se anula el denominador, por lo tanto, la recta 𝑦 = 2/3 es asíntota

horizontal de la gráfica. La gráfica se muestra a continuación:

En estos casos de funciones racionales lineales encontrar las asíntotas verticales y horizontales resulta muy

sencillo, sin embargo, para funciones racionales de mayor grado, los métodos anteriores pueden llegar a ser

ineficaces, por lo tanto, debemos buscar algún algoritmo que englobe más casos. Es un hecho, que sin ayuda

del cálculo diferencial el número de funciones racionales que podemos graficar se reduce bastante, no obstante,

trataremos de dar las herramientas más comunes para graficar estas funciones sin calculo. A continuación,

daremos un resumen del procedimiento más sencillo para hallar asíntotas de funciones racionales:

Asíntotas de funciones racionales. Sea 𝑓(𝑥) la función racional


𝑞(𝑥)=

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0

1. Las asíntotas verticales de 𝑓son las rectas 𝑥 = 𝑎, donde 𝑎 es un cero del denominador

2. Las asíntotas horizontales aparecen en los siguientes casos:

a. Si 𝑛 < 𝑚, la recta 𝑦 = 0 (eje x) es una asíntota horizontal.

b. Si 𝑛 = 𝑚, la recta 𝑦 =𝑎𝑛

𝑏𝑚 es una asíntota horizontal.

c. Si 𝑛 > 𝑚, la función no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 3. Encuentre las asíntotas vertical y horizontal de 𝑟(𝑥) =𝑥2+1

𝑥2−1

Solución. Primero, factorizamos


𝑦 =𝑥2 + 1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

Asíntotas verticales: Tenemos que fijarnos para que valores de x se anula el denominador. Por lo tanto, las

asíntotas verticales son las rectas 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1.

Asíntota horizontal: Los grados del numerador y denominador son iguales, nos fiamos entonces en el inciso

2.b. del anterior resumen, por ello tenemos que la asíntota horizontal es:

𝑦 =𝑎𝑛

𝑏𝑚=

1

1= 1

Para confirmar los resultados observe la gráfica de f:

Hemos visto que las asíntotas son importantes cuando se grafican funciones racionales. En general, recomen-

damos usar las siguientes guías para graficar funciones racionales:

Ejemplo 4. Grafique 𝑟(𝑥) =2𝑥2+7𝑥−4

𝑥2+𝑥−2

Solución. Factorizamos el numerador y el denominador, encontramos los puntos de intersección y asíntotas, y

trazamos la gráfica.


Factorice: 𝑦 =(2𝑥−1)(𝑥+4)

(𝑥−1)(𝑥+2)

Intercepto con el eje x: Los puntos de intersección x son los ceros del numerador, 𝑥 = 1/2 y 𝑥 = −4.

Intercepto con el eje y: Hacemos 𝑥 = 0,

𝑦 =2(0)2 + 7(0) − 4

(0)2 + (0) − 2= −

4

−2= 2

El punto de intersección es entonces 𝑦 = 2

Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales se presentan donde el denominador es 0, es decir, donde la fun-

ción no está definida. De la forma factorizada vemos que las asíntotas verticales son las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 =

−2.

Comportamiento cerca de asíntotas verticales: Necesitamos saber si 𝑦 → ∞ o 𝑦 → −∞ en cada lado de

cada asíntota vertical. Para determinar el signo de 𝑦 para valores 𝑥 cerca de las asíntotas verticales, usamos

valores de prueba. Por ejemplo, cuando 𝑥 → 1−, usamos un valor de prueba cercano y a la izquierda de 1 (𝑥 =

0.9, por ejemplo) para comprobar si 𝑦 es positiva o negativa a la izquierda de 𝑥 = 1.

Entonces, 𝑦 → −∞ cuando 𝑥 → 1−. Por otra parte, cuanto 𝑥 → 1+, usamos un valor de prueba cercano y a la

derecha de 1 (𝑥 = 1.1 por ejemplo), para obtener,

Entonces, 𝑦 → ∞ cuando 𝑥 → 1+. Falta ver qué pasa cuando 𝑦 → 2−y 𝑦 → 2+. Las otras entradas de la tabla

siguiente se calculan de manera semejante:

Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador son iguales por tanto la asíntota horizontal

es 𝑦 =2

1= 2.

Gráfica: Usamos la información que hemos encontrado, junto con algunos valores adicionales que tabulamos

para trazar la gráfica:


Dominio y rango: El dominio es 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ − {−2,1}, de la gráfica vemos que el rango son todos los números

reales.

Asíntotas oblicuas. Se dice que la gráfica de una función racional, sin factores comunes, tiene una asíntota

oblicua si el grado del numerador excede en 1 al grado del denominador, esto es: 𝑛 = 𝑚 + 1. Para hallar la

asíntota oblicua basta dividir, los dos polinomios con el fin de re-expresar la función como suma de un poli-

nomio de grado 1 y otra función racional.


𝑞(𝑥)=

𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑏𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0= (𝑐1𝑥 + 𝑐0) +

𝑑

𝑏𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0

Donde la asíntota oblicua estaría dada por 𝑐1𝑥 + 𝑐0. También es posible que una asíntota oblicua este dada por

una expresión cuadrática, sin embargo, estos casos más sofisticados se analizan con la noción de límites.

Obsérvese un ejemplo de asíntota oblicua en la siguiente gráfica:

Ejemplo 5. Grafique la función racional

𝑟(𝑥) =𝑥2 − 4𝑥 − 5

𝑥 − 3


Solución.

Factorice: 𝑦 =(𝑥+1)(𝑥−5)

𝒙−𝟑

Intercepto con el eje x: -1 y 5 de 𝑥 + 1 = 0 y 𝑥 − 5 = 0

Intercepto con el eje y: 5

3 porque 𝑟(0) =

02−4(0)−5

𝟎−𝟑=

5

3

Asíntota vertical: 𝑥 = 3, del cero del denominador.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical: 𝑦 → ∞ cuando 𝑥 → 3− y 𝑦 → −∞ cuando 𝑥 → 3+.

Asíntota horizontal: ninguna, porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Asíntota oblicua: Como el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, la función tiene

una asíntota oblicua. Dividiendo obtenemos:

𝑟(𝑥) = 𝑥 − 1 −8

𝑥 − 3

Por lo tanto, 𝑦 = 𝑥 − 1 es la asíntota diagonal.

Gráfica: Usamos la información que hemos encontrado, junto con algunos valores adicionales para trazar la

gráfica:

Tome en cuenta que es posible que la asíntota oblicua de una función puede ser también una parábola.


Grafica de un hueco.

En todo el análisis de las asíntotas se supuso que las funciones polinomiales 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) no tenían factores

comunes. Se sabe que si 𝑞(𝑎) = 0 y 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) no tienen factores comunes, entonces la recta 𝑥 = 𝑎 necesa-

riamente es una asíntota vertical para la gráfica de f. Sin embargo, cuando 𝑝(𝑎) = 0 y 𝑞(𝑎) = 0 entonces 𝑥 =

𝑎 puede no ser una asíntota; en la gráfica puede haber simplemente un hueco.

Ejemplo 6. Grafique la función

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 2𝑥 − 3

𝑥2 − 1

Solución. Aunque los ceros de 𝑥2 − 1 = 0 son 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1, solo 𝑥 = 1 es una asíntota vertical. ¿Por qué?

Observe que, si factorizamos, el numerador y el denomina-

dor tienen el factor común 𝑥 + 1, que puede cancelarse en

el supuesto de que 𝑥 ≠ −1

Graficamos 𝑦 =𝑥−3

𝑥−1, ésta es una función racional lineal.

El intercepto con el eje y es (0,3) y el intercepto con el eje x

es (3,0), una asíntota vertical es 𝑥 = 1 y una asíntota hori-

zontal es 𝑦 = 1 (recuerde 𝑦 =𝑎𝑛

𝑎𝑚). Aunque 𝑥 = −1 no es

una asíntota vertical, el hecho de que 𝑓 no está definida en

ese número se representa al dibujar un círculo o huevo en la

gráfica en el punto correspondiente a (−1,2)

Función irracional

Llamaremos una función irracional, a la función donde se encuentre un término de la forma √𝑔(𝑥)𝑛, donde

𝑔(𝑥) es una función racional o polinómica. Debemos tener en cuenta que la función 𝑔(𝑥) debe ser positiva si

𝑛 es par. Casos particulares ya estudiados son la función raíz cuadrada, los semicírculos y en general la función

potencial para potencias racionales.

Ejemplo 7. Grafica la función

𝑦 = √𝑥 − 1

𝑥 + 1

Solución. Para obtener el dominio se resuelve la desigualad 𝑥−1

𝑥+1≥, obteniendo que;

𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞)

Al despejar 𝑥para obtener el rango:


La función es una raíz positiva, por tanto 𝑦 ∈ [0, ∞) entonces el rango corresponde a:

𝑦 ∈ [0,1) ∪ (1, ∞)

La función tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −1 y dos asíntotas horizontales en 𝑦 = −1, 𝑦 = 1, al graficar se

obtiene:

Observe que gráficamente 𝑦 = −1 no es asíntota.

TERCERA PARTE: EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Ejercicio 1. Grafique la función racional o irracional. Demuestre claramente todos los puntos de intersección

𝑥 y 𝑦 y asíntotas en el caso de tenerlas.

a) 𝑟(𝑥) =3𝑥−12

𝑥+1

b) 𝑟(𝑥) =𝑥2−9

2𝑥2+1

c) 𝑟(𝑥) =1

𝑥2

d) 𝑟(𝑥) =2𝑥2−6𝑥−7

𝑥−4

e) 𝑟(𝑥) =𝑥2+𝑥−20

𝑥+5

f) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 9

Ejercicio 2. Si

𝑓(𝑥) =𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥 − 6

a) Factorice la función

b) Halla las asíntotas de la función.

c) Analiza el comportamiento cerca de la o las asíntotas verticales.

d) Realiza el bosquejo de la gráfica de la función.

e) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función.

f) Analiza si la función es par, impar o ninguna de las dos.


Ejercicio 3. La altura de un árbol 𝑡 años después de haber sido sembrado, está dada por

ℎ(𝑡) =8𝑡 + 1

𝑡 + 2

a) ¿Cuál era la altura del árbol cuando fue sembrado?

b) Determina analíticamente cuánto tiempo le llevo al árbol alcanzar los cinco metros de altura.

c) ¿El árbol llegará a tener una altura superior a 9 metros? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 4. Dé un ejemplo de una función racional con asíntotas verticales 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1, y, asíntota hori-

zontal 𝑦 = 0.

Ejercicio 5. Demuestre analíticamente que la función

𝑓(𝑥) =𝑥6 + 10

𝑥4 + 8𝑥2 + 15

No tiene punto de intersección con el eje x y no tiene asíntota horizontal, vertical ni diagonal. ¿Cuál es su

comportamiento final?

PROBLEMAS RETO:

Problema 1. Considere la ecuación:

2𝑥 + 5𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 > 0

Y la función racional

𝑟(𝑥) =1

𝑥, 𝑥 > 0

¿Para qué valor de 𝑀 se cumple que la recta 2𝑥 + 5𝑦 = 𝑀 solo tiene un

punto de intersección (es tangente) con la gráfica de 𝑟(𝑥)?

Problema 2. ¿Para qué números 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 la función

𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 + 𝑑

Satisface 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑥 para todo 𝑥?

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