academia pre militar policial seal · 2021. 2. 14. · academiapre militar policial seal...

ACADEMIA PRE MILITAR POLICIAL SEAL

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I. SEGMENTOS Línea recta

Concepto matemático no definible. Se considera

como un conjunto de puntos ubicados en una

misma dirección e ilimitada en ambos sentidos.

𝐴𝐴𝐴𝐴�⃖��⃗ : 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴𝐴 �⃡�𝐿: 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐿𝐿

Segmento

Porción de línea recta limitada por dos puntos

llamados extremos del segmento.

𝐴𝐴𝐴𝐴��: 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐴𝐴𝐴𝐴 La medida del segmento es desde extremo a extremo.

𝐴𝐴𝐴𝐴�� = 8

Punto medio de un segmento Es el punto donde los extremos equidistan con una misma longitud.

Operaciones con segmento

EJERCICIOS RESUELTOS Los puntos A. B. C, D, E se encuentran sobre una

línea recta, de tal forma que:

BC = 2AB; AD = 20;(AB) (CE) = (AC) (BD).

Calcular DE.

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 20 − 3𝑟𝑟 Reemplazando en el dato del problema

𝑟𝑟. (20 − 3𝑟𝑟 + 𝑥𝑥) = 3𝑟𝑟(20 − 𝑟𝑟) 20 − 3𝑟𝑟 + 𝑥𝑥 = 60 − 3𝑟𝑟

𝑥𝑥 = 60 − 20 𝑥𝑥 = 40

Se tienen cuatro puntos consecutivos A, B, C, D

sobre una línea recta de modo que: CD = 4A C;

BD - 4A B = 50, Calcular BC.

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4(𝑟𝑟 + 𝑥𝑥)



Reemplazando en el dato del problema (4𝑟𝑟 + 5𝑥𝑥) − 4𝑟𝑟 = 50

5𝑥𝑥 = 50 𝑥𝑥 = 10

Problemas

1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A,

M, B, C, N y D; siendo M y N puntos medios de AB

y CD respectivamente. Si BC=3m y MN=9m; halle

AD. a) 12 m b) 15 m c) 9 m d) 8 m e) 18 m

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos A,

B, C y D. Si AB=4m; BC=2m y AB·CD=BC·AD.

Halle: CD

a) 4 m b) 2 m c) 6 m d) 3 m e) 8 m

3. En una recta se tienen los puntos consecutivos A,

B, C, D y E. Si: AE=110 m

Halle: CE

a) 68 m b) 50 m c) 70 m d) 60 m e) 80 m

4. En una recta se tienen los puntos consecutivos A,

B, C y D; luego se ubican los puntos medios M y N

de AB y CD respectivamente. Si: AC=8m y

BD=16m. Halle: MN.

a) 8 m b) 9 m c) 11 m d) 12 m e) 13 m

5.si AB=a ; BC=a+x, AC=2AB+40. Halle “x”. a) 30 m b) 10 m c) 15 m d) 20 m e) 40 m

6. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B , C y D, entre los puntos B y D se toma el punto C. Si: CD=4AC y BD–4AB=20. Halle: BC

a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D; Sabiendo que AC=18 y BD=34.

Calcular la longitud del segmento que une los puntos

medios de AB y CD.

a) 20 b) 23 c) 25 d ) 26 e) 30 8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D; si AB=x-y; BC=x+y; CD=2y-x y

AD=24. Calcular la suma del mínimo y máximo

valor entero que puede tomar x.

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D. Calcular AC, si: CD=4AB;

AD+4BC=80

a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20 10. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D. Calcular:

BC; AD=40; BD=28 y AC=15. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Se tienen los puntos colineales y

consecutivos A, B, C, D y E.

Calcular CD, sí: AE=30; AD=26; BE=14 y BC=3.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A,

B, C y D; tal que:

CD=3BC ;3AB+AD =20 Calcular AC a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 13. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D que forman una cuaterna armónica.

Calcular AD, si:

2𝐴𝐴𝐶𝐶

−1𝐴𝐴𝐴𝐴

=1

10

a) 6 b) 8 c ) 10 d) 12 e) 14



15. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que: BC=AB+3 y CD=AB-1. Calcular AD, si AB toma su mínimo valor entero. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 16. Sobre una línea recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D; de tal manera que: AB=a ;

BC=b. Calcular CD.

Tarea 1. Sobre una línea recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D; de tal manera que: AB=a;

BC=b. Calcular CD.

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D.

Calcular: BC, si: AD=30; AC=18 y BD=20. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 3. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. Calcular AD, si: AC=26; BC=12; BD=32. a) 32 b) 36 c) 40 d) 46 e) 50 4. En una recta se ubican los puntos consecutivos P,

Q, R, S y T; tal que: (PS)(QT)=63. Calcule: PS–QT

Si: PR+QR+RS+RT=16 ; (PS>QT) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D. Si: AB=3BC=5CD y AD = 46. Calcular

BD.

a) 20 b) 24 c) 25 d) 16 e) 32

6. En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B

y C; luego se ubica M punto medio de BC . Si:

BC=4m y

AB·AC=3. Halle: AM a) 3 m b) 5 m c) 4 m d) 7m e) 1 m 7. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; E es punto medio de DF . Si: AB=DE; DE=3BC; AD=18 m y BF=27 m. Halle: CD a) 6 m b) 8 m c) 4 m d) 7 m e) 5 m 8. En una recta se tienen los puntos consecutivos A,

B, C y D. Si: 3AB=2BC; AD=96 m y CD=AB+AC;

halle: BC

a) 21 m b) 28 m c) 56 m d) 40 m e) 24 m 9. En la figura M es punto medio de AB. Si: AC+BC=20 m, halle MC. a) 12 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 15 m 10. En una recta se tienen los puntos consecutivos A,

B, C y D. Si: AB=4m;

CD=6m y halle: BC a) 3 m b) 2 m c) 3,5 m d) 1,5 m e) 2,5 m



II. ANGULOS Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

Región Interior de un ángulo

Región Exterior de un ángulo

Clasificación de los Ángulos por su Medida

Bisectriz de un ángulo

Ángulos Adyacentes : Ángulos Consecutivos

Observaciones



Ángulos Complementarios

Ángulos Suplementarios

Ángulos Adyacentes Suplementarios

Ángulos Opuestos por el vértice

Observaciones: Es necesario recordar los siguientes ángulos comprendidos entre rectas paralelas



Problemas

PROBLEMAS (ángulos) 1).- Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .

a) 80° b) 18° c) 70° d) 20° e) 75° 2).- El doble del complemento de un ángulo sumado con el suplemento de otro ángulo es igual al suplemento del primer ángulo. Calcule la suma de las medidas de dichos ángulos. a) 100° b) 45° c) 90° d) 180° e) 160º 35. 3).- El doble del complemento de un ángulo aumentado en el triple del suplemento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule el suplemento de la medida de dicho ángulo. a) 30° b) 60° c) 120° d) 150° e) 135° 36. 4).- La diferencia de las medidas de dos ángulos es 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero es igual al duplo del complemento del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcule la medida de dichos ángulos. a) 60° y 60° b) 30° y 90° c) 45° 75° d) 70° y 50° e) 40° y 80 5).- En el gráfico, calcule el mínimo valor entero de "xº".



a) 46° b) 48° c) 54° d) 56° e) 63° 6).- Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo "β" y el lado no común es 140°, calcule "β". a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 30° 7).- En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº".

a) 50° b) 35° c) 41° d) 40° e) 52° 8).- Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de 9° menos que su complemento, calcule la medida del ángulo. a) 32° b) 16° c) 48° d) 24° e) 30 9).- Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo recto, calcule el complemento de su diferencia. a) 30° b) 78° c) 18° d) 48° e) 60° 10).- Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .

a) 154° b) 115° c) 130° d) 144° e) 120° 11).-Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .

a) 18° b) 9° c) 27° d) 30° e) 20° 12).- Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .




a) 15° b) 10° c) 12,5° d) 22° e) 22°30 14).- Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ , además: a° + b° + c° + d° + e°.

a) 180° b) 520° c) 480° d) 360° e) 720 15).- Si: 𝐿𝐿1�⃖��⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ . Calcule el máximo valor entero de "xº", siendo el ángulo CAB agudo.

a) 18° b) 17° c) 16° d) 15° e) 12° 16).- Calcule "xº", si: aº + bº = 50° y 𝐿𝐿1�⃖��⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .

a) 40° b) 50° c) 70° d) 60° e) 65° 17).- En el gráfico: β −α = 78 y 𝐿𝐿1�⃖��⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ . Calcule "xº".

a) 76° b) 78° c) 70° d) 90° e) 82° 18).-Si: 𝐿𝐿1�⃖��⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ y n//m. Calcule "xº".

a) 20° b) 30° c) 33° d) 35° e) 40 19).- Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .




a) 60° b) 75° c) 105° d) 135° e) 140° 21).- Si: 𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ . Calcule: "xº"

a) 143° b) 127° c) 150° d) 135° e) 165° 22).- Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "xº", si "α" es la medida de un ángulo agudo, en el gráfico 𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ .

a) 90° b) 85° c) 87° d) 88° e) 86° 23).- Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de "xº", si " θ " es la medida de un ángulo agudo.

a) 100° b) 120° c) 130° d) 133° d) 145° 24).- Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero.

a) 8° b) 3° c) 4° d) 5° e) 6° 25).- Sean: AOB, BOC, COD, DOE y EOF ángulos consecutivos tales que: m∡AOF = 154° y m ∡AOD = m∡ BOE = m∡ COF. Calcule la m∡ BOC, si la



medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE es igual a 54°. a) 23° b) 28° c) 63° d) 36° e) 75° 26).- En el gráfico, el rayo OP es bisectriz del ángulo AOD, siendo: m∡ POC - m∡ BOP = 20°. Calcule m∡ AOB - m∡ COD.

a) 22° b) 40° c) 25° d) 10° e) 20° 27).- Según el gráfico, 𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ . Calcule:"xº"

a) 66° b) 85° c) 77° d) 70° e) 80° 28).- Calcule: "xº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗

a) 18° b) 16° c) 15° d) 10° e) 25° 29).- Calcule: "θº", si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗

a) 10° b) 15° c) 25° d) 20° e) 30° 30).- Si:𝐿𝐿1�⃖�⃗ // 𝐿𝐿2�⃖�⃗ y α° +β° = 110° , calcule "xº"

a) 35° b) 45° c) 40° d) 30° e) 25°



III. TRIANGULOS I

Notación

Propiedades Básicas



Líneas Notables en el Triángulo Mediana

Bisectriz

Relaciones Angulares



Problemas

1).-En un triángulo ABC, la m∡BAC=3(m∡BCA), si BC=15cm. Calcule el mínimo valor entero que toma AB.

a) 9cm b) 7cm c) 10cm d) 8cm e) 6cm

2).- calcular la suma entre mayor y menor valor

entero que pueda tener el lado BC de un triángulo ABC, sabiendo que: AB=6cm y AC=11cm

a) 11cm b) 20cm c) 24cm d) 22cm e) 18cm

3).- Los lados de un triángulo isósceles miden

5cm y 13cm. Calcule el perímetro de la región. a) 23cm b) 18cm c) 31cm d) 28cm e)26cm 4).- En un triángulo ABC, obtuso en B, AB=3cm,

AC=15cm. Calcule el máximo valor entero que pueda tomar BC.

a) 13cm b) 15cm c) 14cm d) 17cm e) 16cm 5).- En un triángulo escaleno ABC, si la medida del

ángulo B es mayor a 90°, entonces la mayor medida entera del menor ángulo agudo es:

a) 46° b) 47° c) 45° d) 43° e) 44°

6).- se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC) en AB se ubica el punto P y en CP se ubica el punto Q, tal que BP =BQ y m∡QBC=36°. Calcule m∡ACP

a) 12° b) 24° c) 18° d) 36° e) 27°

7).- En un triángulo ABC se toma un punto Q

sobre AB tal que: AQ=QC Y BQ=BC. Si: m∡ABC=84°. Calcule m∡ACB

a)18° b)36° c)54° d)72° e)18° 8).- En el gráfico mostrado calcule x°, si AB=BC y

MN=NP

a) 36° b) 10° c) 25° d) 20° e) 54° 9).- Si AC=2(AB). Calcule: x°



a) 15° b) 30° c) 12° d)20° e) 18°

10).- Si AB=BC=AQ. Calcule x°

a) 18° b) 36° c) 25° d) 30° e) 24°

11).- Dado el gráfico, calcule el valor entero de x,

si AB=4.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 e) 15

12).- Dado el grafico donde AB=BC=AQ. Calcule: x

a) 18° b) 24° c) 30° d) 25° e) 36° 13).- Según el grafico mostrado AB=AM, BO=PM.

Calcule: x°

a) 10° b) 27° c) 16° d) 15° e) 18°

14).- En el grafico mostrado calcule: x°, si AB=BC

a) 12° b) 18° c)20° d) 16° e) 15° d) 16° 15).- En un triángulo ABC,

m∡a=2m∡C y AC=2AB. Calcular m∡B.



a) 120° b) 75° c) 90° d) 105° e) 84° 16).- Calcule "xº".

a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 50° 17).- Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se

ubica el punto "D", tal que la medida del ángulo ADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de A y B. Calcule BD, si además: AC = 12 u y BC = 16 u

a) 14 u b) 10 u c) 8 u d) 4 u e) 6 u 18).- Los catetos de un triángulo rectángulo ABC

miden AB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ.

a) 2 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 3 u

19).- En el triángulo ABC, m ∡ A = 80°, m∡B =

60°. Si : AN y BM son alturas, calcule : "xº".

a) 40° b) 140° b) 120° d) 50° e) 60°

20).- Calcule la medida de los ángulos de un

triángulo ABC, si: 3(m∡ B) = 2(m ∡ A) y 3(m∡ C) = 7(m ∡ A).

a) 20°, 30°, 130° b) 45°, 30°, 105° c) 48°, 32°, 100° d) 51°, 34°, 195° e) 60°, 40°, 80° 21).- Calcule " θ "

a) 110° b) 110° c) 90° d) 55° e) 60° 22).- En el gráfico, calcule la suma de las medidas

de los ángulos señalados.



a) 405° b) 180° c)390° d) 450° e) 360° 23).- El ángulo CAD es igual a tres veces el ángulo

CAB y el ángulo BCA es mayor al ángulo CBA. El mayor lado del triángulo ABC es:

a) BC b) AB c) AC d) Puede ser AC o BC dependiendo de la forma del triángulo. e) No se puede determinar los datos. 24).- Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercer lado puede ser: a) 1 u b) 2 u c)12 u d) 35 u e) 3 u 25).- Calcule: ω°+θ°+α º.

a) 70° b) 100° c) 110° d) 140° e) 130° 26).- Calcule "xº", si ; AM = NC.

a) 40° b) 60° c)80° d) 90° e) 70° 27).- Dado un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento BD interseca al lado AC . Si m ∡ ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule el menor perímetro entero del triángulo ABC. a) 52 u b) 24 u c) 22 u d) 46 u e) 48 u 28).- Calcule "x°"



a) 140° b) 130° c)120° d) 110° e) 125° 29).- En el gráfico, calcule "xº".

a) 12° b) 18° c) 24° d) 36° e) 60° 30).- En el gráfico, calcule "xº", AB = BC, EF = FD

a) 20° b) 15° c) 30° d) 18° e) 25°



IV. TRIANGULOS II Altura

Mediatriz

Ceviana



Problemas PROBLEMAS (TRIANGULOS 2) 1).- Calcule la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que: m∡A + 2(m∡ C) = 100°. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 2).- Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ. a) 2 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 3 u 3).- Dado el triángulo ABC; si por el vértice C se traza CH perpendicular a AB y también la bisectriz exterior del ángulo C y la diferencia de las medidas de los ángulos A y B es 26°. Calcule la medida del ángulo que forma la bisectriz y la perpendicular. a) 110° b) 123° c) 103° d) 77° e) 96° 4).- En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC y BE es la bisectriz del ángulo B, las cuales se cortan en F. Si : m <) A = 64° y m <) C = 42°. Calcule la medida del ángulo AFB. a) 127° b) 150° c) 170° d) 132° e) 130° 5).- Sea el triángulo ABC en el cual se cumple que : m∡ABC = 64°, m ∡ACB = 72° y BM y CP bisectrices de los ángulo ABC y ACB respectivamente; dichas bisectrices se intersectan en el punto I (incentro). Además, se traza la altura BH . Calcule la medida de los ángulos BIC y MBH. a) 112° y 16° b) 120° y 12° c) 11° y 14° d) 110° y 12° e) 112° y 14° 6).- En un triángulo ABC se traza la ceviana BP, si: AB = PC. m ∡BAC = 10 θ º, m ∡ BCA = 2 θ º. m∡CBP = θ º. Calcule " θ º". a) 5º b) 8º c) 9º d) 10º e) 12º

7).- La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo escaleno, forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre sí como 7 es a 13. Calcule el menor de los ángulos del triángulo asumiendo que la medida que la medida en grados de cada uno de los tres ángulos es un número entero menor que 80º. a) 24º b) 25º c) 26º d) 27º e) 28º 8).- . En el gráfico, BH es altura del triángulo ABC y BD es bisectriz del ángulo ABC. Calcule "xº".

a) 2α b) α c) α /2 d) 2α /3 e) α /3 9).- Sea ABC un triángulo escaleno. La mediatriz de BC corta a AC en "F" y se cumple que: AB = AF = FC. Calcule la m∡ACB. a) 53° b) 15° c) 30° d) 37° e) 60° 10).- En un triángulo ABC se traza la ceviana BD, tal que : AB ≅ CD y D está en el lado AC . Además: m∡ABD = 60° y m∡BAC = 20°. Calcule la m ∡ BCA. a) 15° b) 30° c) 25° d) 22° 30' e) 20° 11).- En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC.



a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 30° 12).- En el gráfico, calcule la m ∡ABM. Si : AM = MC.

a) 37° b) 53° c) 45° d) 60° e) 90° 13).- En el gráfico, calcule "αº".

a) 9° b) 10° c) 15° d) 22,5° e) 30° 14).-En un triángulo acutángulo ABC se traza la ceviana AD tal que: AB=BD y m∡A-m∡C=60°. Calcule la m∡DAC a) 28° b) 15° c)15° d) 20° e)45° 15).-En un triangulo ABC se traza la bisectriz interior BD. Si m∡A-m∡C=20°. Calcule la m∡BDC.

a) 100° b) 90° c)105° d) 110° e)120° 16).-Los ángulos B y C de un triangulo ABC miden 36° y 84° respectivamente. Calcule la m∡AER, siendo AE y CR cevianas interiores; además: AR=AC y m∡BAE=12° a) 20° b) 15° c)30° d) 38° e)24° 17).-En un triangulo ABC; se traza la bisectriz exterior CP; de tal manera que PB=AC. Calcule la m∡A, m∡B=3(m∡A) a) 36° b) 45° c)30° d) 18° e)24° 18).-En un triangulo escaleno ABC, I es un punto de intersección de las bisectrices interiores, si AI=2u , CI=9u . calcule: AC, si es entero. a) 8u b) 9u c)10u d) 11u e) a, b, c 19).-En un triangulo rectángulo ABC se traza la altura BH y luego la bisectriz BQ del ángulo HBC. Si: AB=8u y QC= 5u. calcule: AC a) 9u b) 10u c)15u d) 12u e)15u 20).-Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, mide AB=8u; BC=15u, se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule: PQ. a) 4u b) 6u c)3u d) 2u e)5u 21).-En un triángulo isósceles ABC; AB=BC=5u; se traza la ceviana BP tal que: AP= 2u. si: BP toma un valor entero, calcule el perímetro de la región del triángulo APB. a) 12u b) 11u c)13u d)10u e)9u 22).-En un triángulo ABC la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B. a) 12° b) 18° c)13° d)36° e)24°



23).-E n un triangulo acutángulo dos de sus lados suman 28u, calcule el mayor valor entero que puedo tomar la altura relativa al tercer lado. a) 12u b) 11u c)13u d)14u e)15u 24).- Se ubica un punto P en el interior de un triángulo ABC, tal que: AP = AB = BC, si : m ∡ ACP = 30°, m∡ CAP = 10°. Calcule la m∡BAP a) 20° b) 40° c) 30° d) 10° e) 15° 25).- En el gráfico, calcule "xº", si : AB = AD + DC.

a) 10° b) 12° c) 15° d) 18° e) 36° 26).- En el gráfico, AT = 5 u, BC = 10 u. Si : AM = MC. Calcule TB.

a) 11 u b) 12 u c) 13 u d) 14 u e) 15 u 27).- En el gráfico, calcule: "xº". Si: AB = BC.

a) 22° 30' b) 20° 30' c) 18° 20' d) 18° 30' e) 20° 18' 28).- En el gráfico, calcule "xº". Si : AB = BR = MC y AM = MC.

a) 5° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° 29).- En el gráfico mostrado, calcule "xº".

a) 5° b) 8° c) 10° d) 12° e) 15° 30).- Si: M, N y P puntos medios de BC, AB y AC respectivamente. Calcule "xº", si además: BE = 2u y BD = 4u.

a) 30° b) 35° c) 31° d) 36° e) 37°

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