a) +( - ) ++(b- ) ( - )=( -a) +( - ) ++(b-...

Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II

INTEGRAL DEFINIDA 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. 6.2 El teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow. 6.3 Cálculo de áreas de recintos planos y de volúmenes de revolución. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. * Particiones de un intervalo. Sea I=[a,b] un intervalo cerrado y acotado de R. Se llama partición de I a toda sucesión finita de números reales pertenecientes a I, y estrictamente creciente, siendo el primer término de la sucesión a y el último b. a b=x<x<....<x<x<x= n1-n210

Esta partición se simboliza por ,b)x,....,x,x(a,=P 1-n21

* Integral inferior e integral superior de una función continua. Funciones integrables. Sea la función f:[a,b] ->R continua y P una partición de [a,b]. Llamemos y a los extremos inferior y superior de f en le intervalo es decir:

mi M i

]x,x[ i1-i

m ]x,x[x,f(x)inf= i1-ii ∈ ]x,x[xf(x),sup=M i1-ii ∈ La existencia de estos dos valores está asegurada debido al teorema de Weierstrass. A las sumas:

s mxmxxmxxxm= n1-n212111-iii

n

=1ip )-(b+....+)-(+a)(=)( −−∑

S MxMxxMxxxM= n1-n212111-iii

n

1=ip )-(b+....+)-(+a)-()=-(∑

se les llama sumas de Darboux de la función f asociadas a la partición P. Al extremo superior del conjunto de los números reales , se le llama integral inferior de f en I y se

simboliza por:

sp

f(x)dxb

a-∫

Al extremo inferior del conjunto de los números reales , se le llama integral superior de f en I y se

simboliza por:

S p

f(x)dx-b

a∫

Se dice que la función f: [a,b] -> R es integrable si la integral inferior de f en [a,b] es igual a la superior de f en [a,b], y su valor común se le llama integral definida de f en el intervalo [a,b], se simboliza por:

∫ f(x)dxb

a

Integral definida.

1


f(x) f(x) a b a b Regtángulos inferiores. Regtangulos superiores * Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. Sean f y g dos funciones integrables en [a,b], a<b:

1º- Si ∀ 0f(x)dx0f(x)b],[a,xb

a

≥⇒≥∈ ∫

2º- Si ∀ g(x)dxf(x)dxg(x)f(x)b][a,xb

a

b

a∫∫ ≥⇒≥∈

3º- Si ( g(x)dx+f(x)dx=g(x))dx+f(x)(R),b

a

b

a

b

a

2 ∫∫∫⇒∈ βαβαβα

4º- dx|f(x)|f(x)dxb

a

b

a∫∫ ≤

5º- Relación de Chasles: [a,b]cf(x)dx,=f(x)dx+f(x)dxb

a

b

c

c

a

∈∀∫∫∫

6º- f(x)dx-=f(x)dxb

a

a

b∫∫

7º- 0=f(x)dxa

a∫

8º- Si f es continua y positiva : b][a,x,0=f(x)=>0=f(x)dxb

a

∈∀∫ 9º- Teorema de la media. Si f es una función continua en [a,b], existe un punto c en el interior de este intervalo tal que

a)f(c)-(b=f(x)dxb

a∫

La interpretación geométrica de este teorema es la siguiente:

Integral definida.

2

El área del trapecio mixtilineo abAB es igual al área de un rectángulo de base b-a y altura f(c) , siendo c


un punto interior de [a,b]. El valor f(c) recibe el nombre de altura media o valor medio de función.

3

B F(c) A a c b 6.2 Teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow. Si f es continua en [a,b] y x pertenece a [a,b], entonces F definida en [a,b] por:

f(t)dt=F(x)x

a∫

se llama función integral . Esta es derivable en x y F'(x)=f(x) para todo x de [a,b]. Este teorema expresa sencillamente que la derivada de la función integral es el integrando. - Teorema de Isaac Barrow.(1630-1677) La integral definida de una función en el intervalo [a,b] es igual al valor que toma una primitiva en el punto b menos el valor que toma en el punto a.

∫ G(a)-G(b)=f(x)dxb

a

6.3 Cálculo de áreas de recintos planos y de volúmenes de revolución. a) Cálculo de áreas de recintos planos encerrados por una función. Se pueden presentar tres casos:

1) f(x)>0 f(x)dx=área(R)b

a∫

y=f(x) R

2) f(x)<0 f(x)dx=área(R) b

a∫

Integral definida.


R 3) Aparecen valores positivos y negativos de la función. En este caso habrá que utilizar una expresión similar a la dada seguidamente:

f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=R+R+R=rea(R) b

d

d

c

c

a321 ∫∫∫á

b) Area plana encerrada por dos funciones. Casos: 1) Que nos den los límites de integración: f(x) R g(x) a b

g(x)]dx-[f(x)=área(R)b

a∫

2) Que las dos funciones se corten en dos puntos x=a y x=b R a b

g(x)]dx-[f(x)=área(R)b

a∫

3) Si las dos funciones se cortan en más de dos puntos se buscarán estos y se operará igual que antes. c) Area de una superficie de revolución al girar sobre el eje OX.

dx](x)f[+1f(x)2=A 2b

ax ′∫π

d) Volumen de revolución al girar sobre el eje OX.

Integral definida.

4


V dx][f(x)= 2b

ax ∫π

Ejemplo

.149

22Xyx eje del alrededor girar al elipse la por engendrado volumen el Calcula =+

( ) 33

0

33

0

23

3

2

u1613827

·89

1429

1·4· π=−π=

−π=

−π=

−π= ∫∫−

xxdxxdxxV

e) Longitud de un arco de curva. Consideremos una función continua y=f(x) en un intervalo [a,b], y sea l la longitud del arco entre lospuntos a y b l a b

dx](x)f[+1=l 2b

a

′∫

f) Volumen engendrado al girar el área encerrada por dos funciones alrededor del eje OX.

[ ]dx][g(x)-][f(x)= 22b

ax ∫πV

Integral definida.

5

g) Area encerrada por una función sobre el eje OY


f(b) Ay f(a) Ax a b

(y)dyf 1-=A y

bf

af∫)(

)(

h) Volumen de revolución sobre el eje OY.

1º- La parte gira alrededor del eje Y V Ax xf(x)dx2=b

ay ∫π

2º- La parte gira alrededor del eje Y V Ay dy](y)f[= 21-f(b)

f(a)y ∫π

i) Volumen generado por dos funciones que se cortan al girar respecto al eje OY

V g(x)]dx-x[f(x)2=b

ay ∫π

INTEGRAL DEFINIDA. PROBLEMAS. 1º-Calcular las siguientes integrales definidas:

1.1 1.2 dx2)ln(x+∫2

1-

dxx+

senx2

2

0 cos

π

1∫ 1.3 sen∫ xdxxcos22π

π-

1.4 dx2-x

|x|1+1

3-∫ 1.5 1)-∫ 1.6 E[x]dx∫ dx|1-x|(x

2

3-

4

2-

1.7 1.8 cosx|∫ dx|E[x]|3

3-∫ dx|

-

π

π

2º-Calcular el área limitada por las gráficas de:

a) y=x2+1 y=2x+1 b) y=x2-1 y=3

Integral definida.

6


c) y=x2 y=x+2 d)y=-x2+4x+5 y=5 3º-Determinar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar la región alrededor del

eje OX. )ee,lnx; 2R(

4º-Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar el segmento que une los puntos (0,-1)

y (2,1) al girar alrededor de OX. 5º-Hallar el volumen engendrado por alrededor de OX )senx;0,πR( 6º-¿Cuál es el valor medio de la función en el intervalo ? cosxb+a=f(x) ],[- ππ 7º-Calcular el volumen del cuerpo engendrado por rotación alrededor del eje OX del segmento de

hipérbola x4=y comprendido entre los puntos (1,4) y (2,2).

8º-Calcular el área limitada por la gráfica de , el eje OX y las abscisas x=1 y x=2. lnx2)+(x=y 9º-Hallar el área limitada por la gráfica de , el eje OX y las rectas x=-1 , x=0. Hallar también el

volumen engendrado por dicha superficie al girar entorno a OX. ex=y x

10º-¿Qué área encierran las parábolas ?. 4y=x4x=y 22

11º-Hallar el área limitada por la curva , el eje de abscisas, la ordenada x=0 y la ordenada en

el máximo. ex=y x- 2

12º-Calcular el área limitada por las gráficas y la recta x=1. e=f(x) x e=g(x) -x

13º- Calcular:

13.1 2x|∫ 13.2 dx|-2

1-

dx+

-1|x|1

1- 2x∫ 13.3 x-x|∫ dx|21

2-

14º-Calcular el volumen del sólido que se engendra al girar alrededor del eje OX la región comprendida

entre dicho eje y la gráfica de la función

≤≤≤5x<3si2

3x1si1-x=f(x)

15º-Si f es una función definida en [-1,3] dada por y P la partición de [-1,3] dada

por P={-1,0,1,2,3} calcular las sumas de Rieman de dicha función correspondiente a la partición P. ≤

1>x1-x

1x2=f(x)

2

16º-Considérese la función y el intervalo [1,4]. 1+x+x=f(x) 2

Se pide: a) Calcular el valor medio de f en [1,4] b) Hallar c∈ que cumpla la tesis del teorema de la media. (1,4)

Integral definida.

7


17º-Determinar a y b para que la función

sea continua y después calcular

≤≤+

x<02+x

0x<1-bax+-1xxsen

2

πa=f(x) f(x)dx

2

2-∫

18º-Considérese la curva de ecuación y=x3-2x2+x así como su tangente en el origen. Hallar el área de la región encerrada entre la curva y la tangente. 19º-Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral y aplícalo para determinar los máximos y

mínimos relativos de la función f definida por: 4t)dt-t(=f(x) 3x

0∫

20º-Determina el área limitada por la curva y=ex-x su tangente en el punto (1,e-1) y el eje OY.

21º-En el intervalo [-4,4] se define la función F mediante: dtt-16=F(x) 2x

0∫

a) ¿Cuánto vale F'(2)? b) ¿Cuánto vale F(4)? 22º-Determina un polinomio de segundo grado p sabiendo que verifica las tres condiciones siguientes: a) p(2)=p(-2)=0 b) Tiene un máximo relativo en x=0 c) El área de la región encerrada por el eje OX y la curva y=p(x) es 32

23º-La función f definida por f(x)=x²+bx+c tiene su mínimo en x=2 y verifica: 2-23=dxx

f(x)4

2

ln∫

a) Halla b y c. b) Halla el área de la figura limitada por la gráfica de la parábola y=f(x) y el eje OX. 24º-a) Halla la recta r que corta perpendicularmente a la curva de ecuación y=Ln (1+x²) y a la recta

y=1+x. b) Halla el área del recinto limitado por la recta r, la curva y=Ln(1+x²) y los ejes coordenados en el

primer cuadrante.

25º-Sea f la función definida para x > -1 por: dt.1+t2-t=f(x)

2x

0∫

a) Calcula f(1). b) ¿Es f derivable?. Justifica la respuesta. c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. 26º-Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función definida por ℜ→ℜ:f

1-x=f(x) 3 y la recta tangente a la misma en el punto P=(2,1). 27º-Sea la función definida por: f(x)=|x-1|+1 ℜ→ℜ:f a) Halla una primitiva de f

Integral definida.

8


b) Calcula ∫2

0

)( dxxxf

PROBLEMAS RESUELTOS.-

1º-Calcular el área finita comprendida entre la recta x=1 y las curvas e x=y 2

x8=y

Sol: 37-28=A ln

2º-Dada la curva xln 2+x2=y

a) Buscar el punto M de la curva en el que la tangente es paralela al eje de abscisas. b) Buscar el punto de inflexión I. Sol: a) M(1,2) b) I(2,1+ln 4) 3º-Utilizando el cálculo integral, determina el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h.

4º-a) Representar la función 6+5x-x

1=f(x) 2

b) Calcular f(x)dx.1

1-∫

c) ¿Es aplicable la regla de Barrow para calcular ? Razonar la respuesta. f(x)dx4

1∫

Sol: b) ln 3/2 c) No

5º-Calcular el área encerrada por la gráfica de la función x+4

1=y 2 el eje de abcisas y las rectas x=2

y 32=x . Sol: A= π/24 6º-Calcular el área de la parte del plano comprendida entre la curva y= ln(x+5) y las rectas y=0 x=-9/2

x=1. Sol: 29-2

21-66=A lnln

7º-Halla el área de la figura limitada por las parábolas y²=4x y x²=4y. 8º-Calcular el área de la porción de plano comprendida entre la curva y su

tangente en el punto de abscisa x=1. Sol: A=4 6+x+x3-x3=y 23

9º-Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: 3x+1=f(x) 1+x=g(x)

Sol: A=1/6 10º-Hallar el área comprendida entre las gráficas de las funciones e . x-6x=y 2 x+2x=y 2− Sol: A=64/3

11º-Sean 4x-x=f(x) 2− 2-21=g(x)

x

. Calcular el área del dominio conjunto de puntos M(x,y) tales

Integral definida.

9


que : Sol: A= 5,005 0x2- ≤≤

1)dx+x+x( 2

f(x)yg(x) ≤≤

-3

3=I π

xsi,xlnx=xsi,0

=

=Ae1=

+I1

(

5

4

12º- Sol: 0

1-

ln∫ 2

13º-Hallar el área encerrada por las líneas cuyas ecuaciones son: 1=x0,=x0,=y,xe=y x

Sol: A=1 14º-Hallar el área limitada por las curvas y=ln x , y=2 y los ejes coordenados. Sol: 6,389=1-e=A 2

15º-Dada la función calcular el área de la región limitada por la gráfica de la

función y el eje OX, desde x=0 hasta x=b siendo b la abscisa del mínimo de la función. 0>

0f(x)

Sol: e43

2b

16º-a) Hallar el área limitada por la función f(x)= 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=π. b) Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar en torno del eje OX, la región del

apartado anterior. Sol: a)6

+3=A π b)

43=

2πV

17º-Hallar el valor de la suma:

siendo I100....++I3+I2 10032 nxdx=I2

0n cos∫

π

Sol: S=0

18º-La región del plano limitada por la recta y=x-3, la parábola gira alrededor del eje OX.

Hallar el volumen del cuerpo de revolución que se genera. Sol:

)9-(x=y 2

3500π=V

19º-a) Representar gráficamente la función . |1-x|+|x=|y b) ¿En qué puntos dicha función no es diferenciable? c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función anterior y la recta y=2. Sol: b) x=0 x=1 c) A=3/2

20º-Sea la función x-4

1=f(x) 2 definida en el intervalo [-1,1]. Calcular el área del recinto limitado por la

curva y=f(x) y las rectas x=-1 x=1 y=1/2. Sol: A= 0'45

21º-Calcular el área del recinto comprendido entre la parábola 4x=y

2

y la recta y=x. Calcular asimismo

el volumen generado por dicho recinto al girar 360° alrededor del eje OX. Sol: A= 8/3 15

128= πV

22º- Calcular dx9)+x4)(+x1)(+x

x222

3

∫

Integral definida.

10


Sol: I=0'0061 23º-a) ¿Para qué valores de x tiene sentido la expresión 22-x-4+x+4=f(x) b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función f. c) Calcular el área del recinto limitado por la curva y=f(x) y la recta y=0.

Sol: a)[-4,4] b)M )22-(0,4 c)3

216=A

24º-a) Enunciar e interpretar geométricamente el teorema de Rolle.

b) Dada la función 3 2x-1=f(x) en el intervalo [-1,1], aplicar el teorema de Rolle si es posible. En caso contrario razonar la imposibilidad.

c) Calcular el área que encierra la función dada en el apartado anterior con el eje OX. Sol: c) A=4/5 25º-Calcular el área limitada por las curvas y=sen x y=sen 2x entre x=0 y x=π/4.

Sol: 0,207=2

1-2=A

26º-Calcular el valor de la siguiente integral: ∫− −+−

0

633 11 xx

dx

27º-Calcular el área del recinto determinado por la función f(x)=x2-3x+2, el eje OX y las rectas x=0 y x=3. Sol: 11/6 28º- Area del recinto limitado por la curva: y= 1/((x+1)(x+3)) entre x=0 y x=1. Sol: 1/2 ln(3/2) 29º- Area del recinto limitado por la curva: y = ln(x+3), el eje OX, entre x=0 y x=1. Sol: 4 ln4 - 3 ln3 - 1 30º- Area del recinto limitado por la gráfica de la función: f(x)=sen(x/2) y el eje OX desde x=0 hasta x=π. Sol: 2 31º- Area del recinto limitado por las funciones: f(x)=4x-x2 y g(x)=x2+2x . Sol: 1/3 32º- Area comprendida entre la función: f(x)=x3-4x2+3x y el eje OX. Sol: 37/12 33º- Area del recinto limitado por la gráfica de f(x)=cosx, el eje OX y las rectas x=0 y x=π. Sol: 2 34º- Area del recinto acotado del plano, limitado por la gráfica de f(x)=x2/(1+x2), el eje OX y las recta x=-1

y x=1. Nota: tg(-π/4) = -1; tg(π/4) = 1 Sol: 2-π/2 35º- Calcular el valor de "m" para que el área del recinto limitado por la curva y=x2 y la recta y=mx sea 9/2.

Sol: 3 36º- Area limitada por f(x)=xe-x, el eje OY y la ordenada en el máximo. Sol: 3/e-1. 37º- Obtener el área comprendida entre la función y=ex y la tangente a la curva en x=1. Sol: e/2 - 1

Integral definida.

11


38º- Area del recinto limitado por la curva y=xex, el eje OY y la ordenada correspondiente al punto mínimo de la curva. Sol: 1-1/e

39º- Area limitada por las curvas: y=-x2-2x+3 y la recta y=3. Sol: 4/3 40º- Area de la región del plano delimitada por los ejes de coordenadas y la gráfica de la función

f(x)=(x-1)e-x. Sol: 1/e 41º- Hallar el área de la región del plano limitada por la curva y = (x-1) e-x, el eje de abscisas desde el

punto de corte hasta la abscisa en el máximo. Sol: 1/e-2/e2 42º- Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 3 y los ejes de coordenadas.

Sol: e3-1 43º- Hallar el área comprendida entre la curva y = ln x desde el punto de corte con el eje OX hasta el

punto de abscisa x = e. Sol: 1 44º- Hallar el valor de "a" para que el área de la región limitada por la curva y = -x2+a y el eje OX sea igual

a 36. Sol: a = 9 45º- Calcular el área de las regiones del plano limitadas por las curvas:

a) y = x2-3x y el eje OX b) y = |x2-5x+4| y el eje OX

c) y = x(x-1)(x-3) y el eje OX d) y = x3-6x2+8x y el eje OX Sol: a) 9/2; b) 9/2; c) 37/12; d) 8 46º- Calcular el área comprendida entre la función y=lnx, el eje OX y la tangente a la función en el punto x=e. Sol: e/2 -1 47º- Halla el área determinada por las curvas y=x2, y=1/x y la recta x=2. Sol: 7/3 - ln2 48º- Halla el área determinada por y=x2+1, su recta tangente en x=1 y el eje OY. Sol: 1/3 49º- Halla el área determinada por y=x2+1, su recta normal en x=1 y los ejes. Sol: 16/3.- 50º- Halla el área comprendida entre las curvas y=x, y=1/x, y=-7/8 x + 15/4, siendo x1. Sol: 21/4-ln4 51º- Halla el área encerrada entre las curvas y=x4-4x2, y=x2-4. Sol: 8 52º- Halla el área comprendida entre las curvas y=x3-x, y=3x. Sol: 8 53º- Halla el área comprendida entre las gráficas de la curvas: y=-x4+2x2 e y=1. Sol: 16/15 54º- Área comprendida entre y=x3-x2 y el eje OX. Sol: 1/12 55º- Área comprendida entre la curva y=x/(x2-5x+4) y las rectas x=5 y x=7. Sol: 4/3 ln3 + 1/3 ln4 - 1/3 ln6 56º- Área encerrada entre la curva x2/(2x-2) y las rectas x=3 e y=2. Sol: 3/4 + 1/2 ln2. 57º- Área comprendida entre la curva y=ln(x2+1) y la curva y=ln5. Nota: arctg(-α)=-arctg(α).

Sol: - 8 + 4 arctg(2)

Integral definida.

12


58º- Área comprendida entre la curva y=|x-1| e y=2. Sol: 4 59º- Halla el área comprendida entre la gráfica de las funciones: y=-x2+2x e y=x3(x-2). Sol: 44/15 60º- Halla el área comprendida entre la gráfica de las funciones: y=x2-2x e y=x3(x-2). Sol: 4/15 61º- Halla el área comprendida entre la gráfica de las funciones: y=-x4+2x2, y=x+2 e y=-x+2. Sol: 31/15 62º- Halla el área comprendida entre la gráfica de la función y=tg(x), el eje OX y la recta x=π/4. Sol: ln(2) 63º- Halla el área comprendida entre la gráfica de las funciones: y=2-x2 e y=|x|. Sol: 7/3 64º- Halla el área determinada por las curvas y=x2, y=1/x y la recta y=2. Sol: 42/3-2/3+ln(1/2)

Integral definida.

13

a) +( - ) ++(b- ) ( - )=( -a) +( - ) ++(b-...

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