a 1.243 å m 58.71 g/mol átomos/celda 4 átomos (por teoría ... ·...

Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith

Primero de 2012

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El radio atómico del níquel CCC es 1.243 Å. Calcular: a) el

parámetro de red y b) la densidad del níquel, si se sabe que la masa atómica

del níquel es de 58.71 g/mol.

Datos:

mol/átomos6.02x10 Avogadrode N.

teoría) (por átomos 4 daÁtomos/cel

g/mol 58.71 M

Å243.1a

23

0

Solución:

a) Parámetro de red. En la celda CCC los átomos se contactan entre

si a través de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relación

entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atómico r es:

)1( 2

r4a bien o r4a2 00

Entonces, sustituyendo los datos en la relación anterior

cm3.5157x10a

2

)cm10x243.1(4a

8-

0

8

0

b) Densidad. Para determinar la densidad del níquel, basta con

calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relación:

Avogadro)de erocelda)(núm de volumen(

atómica) da)(masaátomos/cel de número( )2(


Primero de 2012

2

Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados

son iguales, de manera que el volumen viene dado por:

3

0acelda de Volumen

323-

38

cm4.3455x10 celda de Volumen

)10x5157.3(celda de Volumen

Ahora bien, sustituyendo en (2)

3

23323

cm/g977.8

)mol/átomos10x02.6)(cm10x3455.4(

.71g/mol)átomos)(58 4(

2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un átomo

por punto de red es 0.855 g/cm3. La masa atómica del potasio es 39.09

g/mol. Calcule:

a) el parámetro de red y

b) el radio atómico del potasio

Solución:

Datos:

mol/átomos10 x 6.02 Avogadrode N.

teoría) (por átomos 2 daÁtomos/cel

g/mol 39.09 atómica Masa

g/cm 855.0

23

3

a) Parámetro de red. Como el potasio tiene una estructura cúbica, su

3

0acelda de volumen , el cual puede obtenerse a través de la relación:


Primero de 2012

3

Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen

atómica) lda)(masa(átomos/ce

donde:

Avogadro)de (número

atómica) lda)(masa(átomos/cecelda de olumenv

Entonces, sustituyendo los valores:

322-

233

cm 10 x 1.5189 celda de volumen

)átomos/mol10 x )(6.02g/cm 855.0(

g/mol) .09átomos)(39 (2celda de olumenv

y como 3

0acelda de volumen , despejando se obtiene el parámetro de red

Å3355.5a

cm10 x 3355.5acm10 x 1.5189a

celda de volumena

0

8-

0

3 322-

0

30

b) Radio atómico. Como en la celda CC los átomos se contactan

entre si a través de la diagonal del cubo, la relación entre la longitud de la

diagonal de cubo a0 y el radio atómico r es: r4a3 0 , por lo que el radio

atómico puede calcularse despejando dicha relación

Å2.3103 ó cm10 x 3103.2r

4

)cm10 x 3355.5(3r

4

a3r

8-

8-

0

3. Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.892

g/cm3, un peso atómico de 132.91 g/mol y un parámetro de red de 6.13 Å. Un


Primero de 2012

4

átomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del

metal.

Solución:

Datos:

mol/átomos6.02x10 Avogadrode N.

Å13.6a


g/cm 1.892

23

0

3

Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos,

basta con calcular el número de átomos por celda.

De la formula de densidad, se tiene

(1) atómica masa

Avogadro)de erocelda)(núm de (volumendaátomos/cel



Cálculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura

cúbica, el 3

0acelda de volumen , entonces:

322-

3-8

cm10 x 2.3035 celda de volumen

)cm10 x (6.13celda de volumen

Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos,

determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relación (1)


Primero de 2012

5

átomos 2 átomos 1.974celda/átomos

)g/mol (132.91

)mol/átomos10 x (6.02)cm10 x (2.3035)g/cm (1.892daátomos/cel

atómica masa


233·22-3

Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una

estructura CC

4. El galio tiene una estructura ortorrómbica, con a0=0.45258 nm,

b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atómico es 0.1218 nm. La

densidad es de 5.904 g/cm3 y la masa atómica es de 69.72 g/mol. Determine

a) el número de átomos en cada celda unitaria y

b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria

Solución:

Datos:

átomos/mol 10 x 6.02 Avogadrode N.


g/cm 5.904

nm 0.76570 c

nm 0.45186 b

nm 45258.0a

23

3

0

0

0

a) Número de átomos por celda. Se determinan despejándolos de la

relación de densidad

(1) atómica masa





Primero de 2012

6

Cálculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se

multiplican cada uno de los parámetros de red, es decir

322-

7-7-7-

000


)cm10 x 76570.0)(cm10 x 45186.0)(cm10 x (0.45258 celda de volumen

c x bx a celda de volumen

ahora, sustituyendo los valores en (1)

átomos 8 átomos 7.98celda/átomos

g/mol 69.72

)átomos/mol 10 x (6.02)cm 10 x (1.5659)g/cm (5.904 daátomos/cel

atómica masa

Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen daátomos/cel

23322-3

b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relación

(2) celda) de (volumen

átomo) de volumen)(celda/átomos(FE

Cálculo del volumen de átomo. Considerando a los átomos

como esferas rígidas, se obtiene a través de la expresión

324-

37-

3

cm 10 x 7.5875 átomo de volumen

)cm10 x 1219.0(3

4 átomo de volumen

r3

4átomo de volumen

Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuación (2)

0.3876 FE

)cm 10 x (1.5659

)cm10 x 7.5875)(8(FE

322-

3 -24


Primero de 2012

7

5. Una de las formas del manganeso tiene un radio atómico de 1.12

Å, un parámetro de red de 8.931 Å, y un factor de empaquetamiento de

0.479. ¿Cuántos átomos hay en la celda unitaria?

Datos:

0.479 FE

cm10 x 8.931 Å8.931a

cm10 x 1.12 Å1.12r

8-0

-8

Solución: En base a los datos suministrados, el número de átomos por celda

unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresión:

(1) átomo de volumen

celda) de en(FE)(volum aátomo/celd

celda de volumen

átomo) de volumen)(celda/átomos(FE

Para ello, se determinan el volumen de átomos y el volumen de celda

Cálculo del volumen de átomo: Considerando a los átomos como

esferas sólidas

324-

38-

3

cm10 x 5.8849 átomo de volumen

)cm10 x 1.12(3

4 átomo de volumen

r3

4átomo de volumen

Cálculo del volumen de celda:

322-

38-

30


)cm10 x (8.931 celda de volumen

acelda de volumen


Primero de 2012

8

Sustituyendo en (1)

átomos 58 daátomos/cel

57.98 aátomo/celd

cm10 x 5.8849

)cm10 x 1236(0.479)(7. aátomo/celd

324-

3-22

Determine los índices de Miller correspondientes a las direcciones de la

celda cúbica que aparece en la figura

Solución:

Dirección A

1) Se determinan coordenadas iniciales (1,0,0) y coordenadas finales

(0,0,1)

2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:

1 0, 1,- )0,0,1()1,0,0(

3) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir

4) ]1 0 1[

z

y

x

z

y

x

1/2

3/4

A

B

C


Primero de 2012

9

Dirección B

1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2,1,0) y coordenadas

finales (1,0,1)


1 1,- 1/2,- )0,1,2/1()1,0,1(

3) Se simplifican fracciones: 2 2,- ,1)1 ,1,21(2

4) ]2 2 1[

Dirección C

1) Se determinan coordenadas iniciales (0,3/4,1) y coordenadas

finales (1,0,0)


4,-13- 1, )1,43,0()0,0,1(

3) Se simplifican fracciones: 4- 3,- 4,)1- ,43 ,1(4

4) ]4 3 4[

6. Determine los índices para los planos de la celda unitaria cúbica

que aparece en la figura

z

y

x

z

y

x

1/3

B

A


Primero de 2012

10

Solución:

Plano A

1) Se deberá mover el origen, ya que el plano pasa a través de 0,

0,0. Se mueve también el origen un parámetro de red en la dirección “y” (ver

figura). Entonces 1z -1, y,1x

2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones:

1z

1 ;1

y

1 1;

x

1

3) No hay fracciones que simplificar

4) 1) 1 1(

Plano B

1) Se determinan las intersecciones: z 3,1 y,x

2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones:

0z

1 ; 3

y

1 0;

x

1

3) No hay fracciones que simplificar

4) 0) 3 0(

y

Z

Y

X


Primero de 2012

11

7. Un vector dirección pasa a través de cubo unidad (o celda unitaria)

desde la posición )4

1 0, ,4

1( a la )1 ,4

3 ,4

1( . ¿Cuáles son los índices de

dirección?

Solución: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio

5


43 ,

43 0,

41 0, ,

411 ,

43 ,

41

2) Se simplifican fracciones: 3 3, 0, 4

3 ,4

3 ,04

3) [0 3 3]

8. Dibuje los vectores dirección en celdas unitarias para las

siguientes direcciones cúbicas: a) ]1 1 1[ ; b) ]121[ y c) ]011[

Solución:

Para ]1 1 1[ : Las coordenadas de posición para la dirección son (1,-

1,-1). Para su representación tendrá que llevarse el origen del vector

dirección al vértice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo.

z

y

x

z

y

x

Nuevo origen O


Primero de 2012

12

z

y

x

z

y

x

1/2

1/2

Para la dirección ]121[ : Las coordenadas posición para la

dirección, se obtienen dividiendo los índices de dirección por 2 de modo que

puedan estar dentro de la celda unitaria. Son,

por tanto 2

1- 1, ,2

1

Para la dirección ]011[ : La coordenadas posición para la dirección,

son (1,-1,0). El origen del vector dirección tiene que llevarse al vértice inferior

izquierda de la parte trasera del cubo.

9. Determine los índices de Miller del plano cristalino cúbico que

cortan las siguientes coordenadas de posición: (0,0,2

1 ); (1,0,0); (2

1 ,4

1 ,0)

Solución: Primero, se localiza como A, B y C las tres coordenadas de

posición tal como se indica en la figura

z

y

x

z

y

x

Nuevo origen O


Primero de 2012

13

A continuación, se unen B y C y se prolonga BC hasta D, y se unen A y

B. Por último, se unen A y D hasta completar el plano ABD. El origen para

este plano en el cubo puede ser elegido en E, que da las intersecciones

axiales con el plano ABD en 21z ,21 y,1x . Los recíprocos de estas

intersecciones axiales son: 1, 2, 2. No hay fracciones que eliminar y

finalmente, los índices de Miller para el plano dado: (12 2)

10. El hierro puro experimenta un cambio polimórfico de CC a CCC

calentándolo al pasar los 912 ºC. Calcular el cambio de volumen asociado

con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 ºC la celda unitaria CC

tiene un parámetro de red de 0.293 nm y la celda unitaria CCC 0.363 nm.

Datos:

(teoría) átomos 2 daÁtomos/cel

nm 0.293 a

CC Para

0

(teoría) átomos 4 /celdaÁtomos

nm 0.363 a

CCC Para

0

X X

Z

Y

Z

Y

A

D

C B


Primero de 2012

14

Solución: El cambio volumétrico durante la transformación puede calcularse a

partir de datos cristalográficos. El volumen por átomo para la red cristalina

del hierro CC antes de transformarse es:

3CC

3

30

CC

nm 0251.0V

2

)nm 0.293(Vcc

2

aV

El volumen por átomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro átomos por

celda unitaria es

3CC

3

30

CCC

nm 01196.0V

4

)nm 0.363(Vccc

4

aV

El cambio porcentual en volumen durante la transformación CC a CCC,

viene dado por:

4.9% - V

V

100% x nm 0.01258

nm 0.01258 nm 0.01196

V

V

100% x cióntransforma la de antes V.

cióntransforma la de antes V.- cióntransforma la de después .VV

CC

3

33

CC

Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.9%

11. Un cristal único de un metal CCC está orientado de tal forma que

la dirección [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi. Calcular el


Primero de 2012

15

z

y

x

z

y

x[110]

[111]

esfuerzo cortante resultante que actúa sobre el plano de deslizamiento (111)

en las direcciones de deslizamiento [110] y [011].

Solución:

Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección

[001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo de 90º (por inspección)

con la dirección de deslizamiento [110] y un ángulo con la normal al plano

(111) (dirección [111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo

planteado anteriormente

Cálculo de : Aplicando identidades geométricas

º76.54

3

1cosAr

a3

aCos

0

0

02a

0a

03a

[111]

[110]


Primero de 2012

16

Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y

sustituyendo los valores obtenidos

0

)º76.54)(cosº90(cospsi5000

Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección

[001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo con la dirección de

deslizamiento [011] y un ángulo con la normal al plano (111) (dirección

[111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo planteado

anteriormente

Cálculo de : Aplicando identidades geométricas

º45

)1cos(Ara

aCos

0

0

z

y

x

z

y

x

[011]

[111]

0a

0a

02a

[011]


Primero de 2012

17

Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y

sustituyendo los valores obtenidos

psi2040

)º76.54)(cosº45(cospsi5000

12. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el

cobre, el cual tiene un parámetro de red de 3.615Å.

Solución: Sustituyendo los valores dados en la ecuación general

Å476.1d

121

Å615.3d

lkh

ad

)121(

222121

222

0)l,k,h(

13. El litio CC tiene un parámetro de red de 3.5089 x 10-8 cm y

contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias. Calcule:

a) el número de vacancias por centímetro cúbico

b) la densidad del litio

Datos:

mol/átomos10 x 6.02 Avogadrode .

tabla) (Por g/mol 6.94 atómica Masa

200

1Vacancias

cm10 x 5089.3a

23

-80

Solución:


Primero de 2012

18

a) Vacancias por centímetro cúbico: Para determinarlas, se emplea la

siguiente relación:

(1) celda de Volumen

vacancias de Número

cm

Vacancias3

Cálculo del volumen de celda

323-

38-

30


cm)10 x (3.5089 celda de volumen

a celda de volumen

Sustituyendo

320

3

3 23-3

cm/Vacancias10 x 157.1cm

Vacancias

cm10 x 4.32029

2001

cm

Vacancias

b) Densidad del litio. Se obtiene aplicando la relación de densidad.

Cálculo del número de átomos por celda. Considerando que la

celda presenta defectos, es necesario obtener el número de átomos (átomos

calculados), mediante la definición de vacancias y asumiendo que la celda en

condiciones normales presenta 2 átomos

átomos 1.995 calculados Átomos

200

1 - 2 calculados Átomos

Vacancias- normales scondicione en Átomoscalculados Átomos

calculados Átomos- normales scondicione en ÁtomosVacancias

Ahora sustituyendo en la relación de densidad


Primero de 2012

19

3

23323-

g/cm 5323.0

)mol/átomos10 x 02.6)(cm10 x (4.32029

94g/mol)átomos)(6. (1.995



14. Una aleación de niobio se produce al introducir átomos

sustitucionales de tungsteno en la estructura CC; finalmente se produce una

aleación con un parámetro de red de 0.32554 nm y una densidad de 11.95

g/mol. Calcular la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación.

Datos:

g/mol 92.91 niobio del atómica Masa

g/mol 11.95

cm10 x 0.32554 nm 0.32554 a -70

Solución: Para determinar la fracción de átomos de tungsteno dentro de la

aleación, se debe obtener primeramente el número de átomos por celda

unitaria de la aleación, el cual se calcula a partir de la relación de densidad.

(1) niobio del atómica masa

Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen celda/átomos



Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores

de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:

323-

37-

30



a celda de volumen

Una vez determinado el volumen de celda, se sustituye en (1)


Primero de 2012

20

átomos 2.671 daátomos/cel

g/mol 92.91

)átomos/mol10 x )(6.02cm10 x (3.44995)g/mol 95.11( celda/átomos

233-23

Una vez conseguidos el número de átomos por celda unitaria de la aleación,

se emplea la definición de átomos sustitucionales para determinar así, el

número de átomos de tungsteno introducido en la aleación

(2) tungsteno de átomosnormales scondicione en átomos nalessustitucio átomos

Es importante destacar, que los átomos sustitucionales representa el

número de átomos por celda en la aleación y los átomos en condiciones

normales son el número de átomos por red cristalina en una celda CC (2

átomos). De ahí que el número de átomos por celda de tungsteno se calcula

a través de un simple despeje de la expresión (2)

átomos 0.671 tungsteno de átomos

átomos 2 - átomos 2.671 tungsteno de átomos

normales scondicione en átomos - nalessustitucio átomos tungsteno de átomos

Cálculo de la fracción de átomos de tungsteno: Se miden por

medio de la relación siguiente

0.335 átomos de Fracción

átomos 2

átomos 0.671 átomos de Fracción

normales scondicione en átomos

tungsteno de átomos átomos de Fracción


Primero de 2012

21

15. El platino CCC tiene una densidad de 21.45 g/cm3 y un parámetro

de red de 3.9231 Å. En promedio ¿qué porcentaje de los puntos de red

contiene vacantes? (asúmase un átomo por punto de red)

Datos:

(teoría) 4 red de Puntos

mol/átomos10 x 6.02 Avogadrode N.

(tabla) g/mol 195.09 atómica Masa

cm10 x 3.9232 Å 3.9232 a

g/cm 21.45

23

8-0

3

Solución: Para saber el número de vacancias, es necesario determinar el

número de átomos por celda, el cual se determina despejándolo de la

expresión de densidad

(1) atómica masa

Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen celda/átomos



Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores

de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:

323-

38-

30



acelda de volumen

Sustituyendo en (1)

átomos 3.9964529 daátomos/cel

g/mol 195.09

)átomos/mol10 x )(6.02cm10 x )(6.0379g/cm 45.21( celda/átomos

233-233


Primero de 2012

22

Como puede observarse, de haber 4 átomos/celda sería un cristal

perfecto de platino; de aquí la diferencia se debe a la presencia de vacantes.

Para obtener el número de vacantes se aplica la definición

0.0035471 Vacancias

3.9964529 - 4 Vacancias

calculados Átomos- normales scondicione en ÁtomosVacancias

Cálculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen

a través de:

0.000886 red de Ptos

Vacantes

4

0035471.0

red de Ptos

Vacantes

16. Determinar el ángulo de un borde de grano de ángulo pequeño

en el cobre CCC cuando las dislocaciones están separadas 1000 Å. El

parámetro de red del cobre es de 3.615 Å.

Datos:

(Teoría) [110] compacta Dirección

Å1000 D

Å615.3a0

Solución: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada

dirección cada 1000 Å. El vector de Burgers en el cobre CCC es [110], de

manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia

interplanar)


Primero de 2012

23

b

D

b

D

Cálculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina

mediante la relación

Å2.557 d

011

Å615.3d

lkh

ad

110

222110

222

0)l,k,h(

Cálculo del ángulo : Aplicando identidades trigonométricas

0.293º

002557.02

Sen

Å1000

Å557.2

2Sen

D

b

2Sen

a 1.243 å m 58.71 g/mol átomos/celda 4 átomos (por teoría ... ·...

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