Física Aplicada

Mediciónes Aunque las mediciones se realicen con mucho cuidado, no son absolutamente precisas, esto se debe a que todo instrumento de medición tiene una exactitud limitada que se relaciona con la imposibilidad de leer mas allá de cierta fracción de la división mas pequeña que este tiene. Por ejemplo, cuando se mide con una regla graduada en centímetros, cuya menor división es el milímetro, se puede afirmar que el resultado es preciso hasta aproximadamente 0,1 cm. La confiabilidad de un resultado dependerá de la precisión y de la exactitud de las medidas realizadas. Estas características se pueden entender como. Precisión : se refiere al carácter repetible de las mediciones con el uso de un instrumento. Un instrumento es preciso cuando las mediciones que entrega son idénticas o similares. Si los valores son muy diferentes, el instrumento no será confiable. Exactitud : es la semejanza o concordancia que existe entre el valor que arroja la medida y el valor verdadero. Cuanto mas cercano esté el valor arrojado del valor real, más exacta será la medición. El Vernier es un instrumento que permite medir una Longitud en cm hasta la centésima. Es importante aclarar que una mayor precisión no implica mayor exactitud, sin embargo, lo ideal es que la medida sea precisa y exacta. Incerteza o error El resultado de cualquier medida es aproximado, debido a los múltiples factores que intervienen en el proceso de medición. Si a esto se le suma el hecho de que se hacen aproximaciones y redondeos, se debe admitir que toda medición física va acompañada siempre de cierta incertidumbre o error. La Incerteza o error , en la media de una magnitud x, se designa por ∆∆∆∆x. Entonces, la manera correcta de entregar un resultado será: x = xMEDIO + ∆x, donde xMEDIO es el promedio de la medida. Error estimado : corresponde a la mitad de la menor división de un instrumento, y se considera al hacer una sola medida en forma directa. Por ejemplo, si se mide con una regla una longitud de 7 cm y esta tiene como menor división 1 mm, entonces el error estimado es de: ∆∆∆∆x = 0,5 mm = 0,05 cm, la longitud medida se expresa como: x = xMEDIO + ∆x ⇒ x = 7 cm + 0,05 cm Cifras significativas : es la cantidad de dígitos conocidos con certeza en una medida. Por ejemplo, la medida 430,23 gramos tiene 5 cifras significativas, y la medida 0,032 gramos tiene sólo 2 cifras significativas. Algunos ejemplos: a) 473 g tiene 3 cs, b) 31,084 cm tiene 5 cs c) 0,0750 g tiene 3 cs d) 0,024 mm tiene 2 cs Redondeando un número : Cuando el resultado de un cálculo posee una mayor cantidad de números del que permite la regla, se debe aproximar o redondear este resultado. Si el número es mayor o igual a 5, se aumenta en una unidad el número anterior, por ejemplo: 1,29 = 1,3 o bien 6,458 = 6,46 Si el número es menor a 5, no se aumenta y se eliminan las cifras restantes, por ejemplo: 1,24 = 1,2 o bien 9,342 = 9,34

Al sumar o restar, el número de posiciones decimales del resultado debe ser igual al número menor de posiciones decimales de cualquier término de la suma o resta. Por ejemplo: al sumar 2,345 + 0,11, en este caso el resultado debe tener 2 decimales 2,345 + 0,11 = 2,455 = 2,46 Al multiplicar o dividir, el resultado final debe tener tantos dígitos como la medida con el menor número de cifras significativas utilizado en el cálculo: Por ejemplo: 2,25 x 2,1 = 4,725 = 4,7 Verifique que el valor numérico de ( 6,43 + 4,382 – 2,55 ) x 6,5 es 54 Unidades de medida A lo largo de los años se han utilizado distintos sistemas de unidades para las distintas magnitudes o cantidades físicas. Actualmente, el más importante es el Sistema Internacional ( SI ). En el Sistema Internacional de Unidades, el patrón de longitud es el metro ( m ) , el patrón de masa es el kilogramo ( kg ) y el patrón para el tiempo es el segundo ( s ). El sistema de ingeniería británico tomó como patrones, el pie para la longitud, el slug para la masa, y el segundo para el tiempo. Para medir las fuerzas tomo como patrón la libra. Cantidades básicas y derivadas Una cantidad física básica o fundamental se define en términos de un patrón. Hoy en día se utilizan 7 cantidades físicas fundamentales.

Cantidad base Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente Eléctrica Ampere A Temperatura Kelvin K Cantidad de sustancia Mol mol Intensidad luminosa Candela cd

Una cantidad física derivada, se obtiene de la combinación mediante operaciones de multiplicación o división de las cantidades básicas o fundamentales. Cuando los números que representan las medidas de las magnitudes físicas son muy grandes o muy pequeños, la escritura y cálculos con tales números es incomodo. Para evitar esto, se usan potencias de 10 con exponentes positivos para los números muy grandes, y negativos para números muy pequeños. Por ejemplo: 150.000.000 km = 15 • 107 km 0,000007 s = 7 • 10-6 s Para hacer más cómoda estas simplificaciones han definido convencionalmente los llamados PREFIJOS que, antepuestos a la unidad de medida considerada, indica un determinado factor de multiplicación

El cuadro siguiente muestra Prefijos y sus símbolos

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 1018 Exa E 10-1 deci d 1015 Peta P 10-2 centi c 1012 Tera T 10-3 mili m 109 Giga G 10-6 micro µ 106 Mega M 10-9 nano n 103 kilo k 10-12 pico p 102 Hecto h 10-15 femto f 10 Deca da 10-18 atto a

Por ejemplo: a) 5.000.000 m = 5 • 106 m = 5 Mm b) 0,000007 F = 7 • 10-6 F = 7 µF Conversión de unidades En ciertas ocasiones, para resolver ejercicios, es necesario convertir las unidades de un sistema métrico a otro. Para esto se deben conocer los factores de conversión. LONGITUD m cm km pulg pie milla 1 metro 1 1 x 102 1 x 10-3 39,37 3,281 6,214 • 10-4

1 centímetro 1 x10-2 1 1 x 10-5 0,393 3,28 • 10-2 6,214 • 10-6 1 kilometro 1 x 103 1 x 105 1 3,93•104 3,28 • 103 0,6214 1 pulgada 2,54 • 10-2 2,54 2,54 • 10-5 1 8,33 • 10-2 1,578 • 10-5

1 pie 0,3048 30,48 3,048 • 10-4 12 1 1,894 • 10-4

1 milla 1609 1,609 • 105 1,609 6,33 • 104 5280 1 TIEMPO

MASA

s min hora día año 1 segundo 1 1,667 x 10-2 2,778 x 10-4 1,15 x 10-5 3,16 x 10-8 1 minuto 60 1 1,667 x 10-2 6,994 x 10-4 1,90 x 10-6 1 hora 3600 60 1 4,167 x 10-2 1,141 x 10-4 1 día 8,64 x 104 1440 24 1 2,738 x 10-3 1 año 3,156 x 107 5,259 x 105 8,766 x 103 365,2 1

kg g slug (lb / g) Unidad de masa atómica ( u )

1 kilogramo 1 1 x 103 6,852 x 10-2 6,024 • 1026 1 gramo 1 x 10-3 1 6,852 x 10-5 6,024 x 1023 1 slug 14,59 1,459 x 104 1 8,789 x 1027 1 unidad de masa atómica

1,66 x 10-27 1,66 x 10-24 1,137 x 10-28 1

Uno de los problemas que mas frecuentemente presentan los estudiantes es aquel que tiene que ver con la transformación de distintas unidades de medidas. Aquí se mencionan algunos ejemplos de este tipo. Transforme: 1,70 m en pie ⇒ 1,70 • ( 1 m ) = 1,70 • ( 3,281 pie ) = 5,57 pie Transforme: 144 pie2 en m2 ⇒ 144 • ( 1 pie ) 2 = 144 • ( 0,3048 m ) 2 = 13,37 m2

Transforme: 16,5 pulg3 en m3 ⇒ 16,5 • ( 1 pulg)3 = 16,5 • ( 2,54 • 10-2 m )3 = 4,5 • 10-6 m3 / s min s ( 1 min ) ( 60 s ) Transforme: 11,4 gr en kg ⇒ 11,4 • ( 1 g ) = 11,4 • ( 1 • 10-3 kg ) = 11400 kg / m3 cm3 m3 ( 1 cm )3 ( 1 • 10-2 m)3 Ejercicios propuestos 1.- Una pequeña piscina tiene 20 pies de largo, 10 pies de ancho y 5 pies de profundidad. Su volumen es el producto de estas longitudes, ¿cuál es el volumen en metros cúbicos ( m3 )? 2.-En los países de habla inglesa, la superficie de un terreno se mide en acres ( 1 acre = 43560 pies2 ). En los demás países se mide en hectáreas ( 1 hectárea = 10000 m2 ). ¿Cuál es la superficie de un terreno de 100 acres en hectáreas? 3.-Un auto nuevo esta equipado con un tablero de instrumentos de “tiempo real” que incluye el consumo de combustible. Un interruptor permite al conductor cambiar a voluntad entre unidades británicas y unidades SI. Sin embargo, la representación británica muestra millas / galón ( mi / gal) mientras que la versión SI lo hace a la inversa, Litros / kilómetro ( L / km) . ¿Qué lectura SI corresponde a 30,0 mi / gal? Considere que 1 milla = 1,609 km y 1 galón = 231 in3 4.-Una persona sometida a dieta pierde 2,3 kg (correspondiente a unas 5 libras) por semana. Exprese la taza de pérdida de masa en miligramo por segundo ( mg / s ). 5.-Suponga que nos toma 12 h drenar un recipiente con 5700 m3 de agua. ¿Cuál es la tasa de flujo de masa ( en kg / s ) de agua del recipiente? Considere que 1 m3 de agua tiene una masa de 1000 kg.

6.-Una pirámide tiene una altura de 481 pies y su base cubre un área de 13,0 acres. Si el volumen de una pirámide está dado por la expresión V = ( B • h ) / 3 , donde B es el área de la base y h es la altura, a)Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos ( m3 ). La pirámide contiene dos millones de bloques de piedra con un peso aproximado de 2,5 toneladas cada uno. b)Encuentre el peso en libras ( lb ) de esta pirámide. • La libra es una unidad de medida en que los inglese miden el peso de un objeto y 1 lb aproximadamente es el peso de un objeto de 0,5 kg. • Una tonelada equivale a 103 kg 7.-Una viga estructural en forma de I está hecha de acero. En la figura se muestra una vista de su sección transversal y sus dimensiones. a)¿Cuál es el volumen de acero en m

3 ocupado para construir dicha pieza si tiene 1,5 m de longitud?

b)Exprese la respuesta de a) en pie3

c) Si 1 m3 de acero tiene una masa de 11300 kg, ¿cuál es la masa en kg de la pieza señalada? 8.-El caudal de agua en un río fluye a razón de 1000 pie

3 / min. Exprese este valor en m

3 / s

9.-Una llave gotea agua a un recipiente a razón de 2 gotas cada 3 segundos. Un centímetro cúbico ( cm

3 )

contiene 20 gotas. a) ¿Cuál será el volumen de agua recogida en decímetros cúbicos ( dm3 ) , al cabo de

una hora? Considere 1 cm = 0,1 dm 10.-Un albañil debe cubrir el piso de una sala de clases con baldosas de 30 cm x 30 cm. Si la longitud de la sala es 60 pie y el ancho es de 50 pie. ¿Cuál es el número de baldosas que necesita?

Análisis dimensional Las cantidades físicas fundamentales se pueden combinar mediante operaciones de multiplicación o división dando lugar así a las cantidades físicas derivadas . La operación de expresar una magnitud física derivada en función de las primitivas tiene el nombre de “Dimensionar una magnitud física derivada”, para hacerlo, se usa la llamada “Definición operacional”. Las definiciones operacionales son en realidad las propias leyes de la física. Al dimensionar una magnitud física derivada se obtiene la “Ecuación Dimensional” de dicha magnitud física. La tabla muestra cantidades físicas, sus ecuaciones dimensionales y sus unidades de medida. Por ejemplo , la energía cinética ( K ) de un auto en movimiento está definida por la formula: K = ½ • m • ( v )2 , donde m es la masa del auto y v es la rapidez. Obtenga la ecuación dimensional de K y su unidad de medida en el sistema SI. En el análisis dimensional, sólo participan cantidades físicas y constantes físicas que tengan ecuación di mensional . En la formula dada, el ½ de la formula es constante numérica y no tiene unidad de medida: [ K ] = [ M ] • [ L • T-1 ]2 = [ L2 • M • T-2 ] Entonces la ecuación dimensional de energía es: [ L2 • M • T-2 ] y su unidad de medida en el sistema internacional de unidades de medidas es: [ m2 • kg • s-2 ], después podrá observar que toda esta unidad se reemplaza por otra denominada Joule. Otro ejemplo : En la ecuación dada Y = ( π • p • A ) / ( m • sen α ) . ¿qué magnitud puede representar Y? Se sabe que p es presión, A es área, m es masa. La ecuación dimensional de área es ( L2 ). En este ejemplo, π y sen α son constantes numéricas, es decir, no participan en el análisis dimensional: [ Y ] = [ p • A ] = [ L-1 • M • T-2 • L2 ] = [ L • T-2 ], de acuerdo al resultado es aceleración. [ m ] [ M ] Una ecuación física , es una relación matemática entre las cantidades físicas que entran en juego en un determinado fenómeno. Si s, a, t, F, m , son cantidades físicas , entonces las ecuaciones : F = m • a, s = a • t2 / 2, son ejemplos de ecuaciones físicas. Toda ecuación física debe ser dimensionalmente compatible, esto es, las dimensiones en ambos lados deben ser las mismas. Suponga la ecuación física P = Q + x , donde x es longitud, entonces P y Q deben ser también longitudes. Por ejemplo , sea la ecuación x = A + B • t + C • t2 en que x es una longitud y t es tiempo . Obtenga la ecuación dimensional de A , B , C. De acuerdo a lo planteado anteriormente cada término de la ecuación debe representar una longitud, por lo tanto : A = [ L ] ⇒ A = [ L ] B • t = [ L ] ⇒ B • [ T ] = [ L ] ⇒ B = [ L ] / [ T ] = [L • T -1 ] C • t2 = [ L ] ⇒ C • [ T 2 ] = [ L ] ⇒ C = [ L ] / [ T2 ] = [ L • T –2 ] Entonces, las ecuaciones dimensionales de A , B , C , son : A = [ L ] ; B = [ L • T -1 ] ; C = [ L • T -2 ]

Mediante el análisis dimensional, tu puedes encontrar de que magnitud física depende alguna variable mecánica. Por ejemplo , cuando un objeto se mueve en una circunferencia, la aceleración dirigida hacia el centro llamada “centrípeta” está relacionada con las variables mecánica ( v ) la rapidez de movimiento y ( r ) el radio de la circunferencia. Mediante análisis dimensional, obtengamos la forma como se relacionan a con v y r. La aceleración ( a ) debe estar relacionada con ( v ) y ( r ) a través de una ecuación de la forma: a αααα va •••• rb , α significa proporcional y a , b son exponentes numérico a determinar. La expresión a α va • rb , se puede escribir a = k • va • rb con k constante numérica. Recordemos que la ecuación dimensional de la aceleración es : a = [ L • T -2 ], de la rapidez v es: v = [ L • T -1 ], y del radio (longitud) es r = [ L ] [ L • T -2 ] = [ L • T -1 ]a • [ L ]b [ L • T -2 ] = La • T -a • Lb L • T -2 = La + b • T -a Igualando los exponentes correspondientes se tiene: 1 = a + b -2 = - a de aquí a = 2, reemplazando en 1 = a + b se encuentra que b = -1 Luego, a = k • v2 • r-1 o bien a = v2 / r , k es constante numérica que depende las unidades de medida. Otro ejemplo , Tres constantes fundamentales de la física son: la velocidad de la luz c , la constante de gravitación de newton G y la constante de Planck h ( la constante fundamental de la mecánica cuántica). Sus valores aproximados son : c = 3 • 108 m/s, G = 6,67 • 10 -11 m3 / kg • s2 , h = 6,63 • 10 -34 kg • m2 / s Combinando adecuadamente estas tres constantes es posible encontrar una unidad de tiempo TP y una unidad de longitud LP , denominadas tiempo y radio de Planck respectivamente, ¿Cuál es su valor numérico? Encontremos el tiempo Planck: T = cx • Gy • hz , reemplazando por las ecuaciones dimensionales: [ T ] = [ cx • Gy • hz ] = [ L • T-1 ]x • [ L3 • M-1 • T-2 ]y • [ L2 • M • T-1 ]z [ T ] = [ Lx • T-x ] • [ L3y • M-y • T-2y ] • [ L2z • Mz • T-z ] [ Lo • Mo • T ] = [ Lx + 3y + 2z • M-y + z • T-x – 2y - z ] , igualando los elementos correspondientes Lo = Lx + 3y + 2z ⇒ 0 = x + 3y + 2z Mo = M-y + z ⇒ 0 = - y + z T = T-x – 2y - z ⇒ 1 = - x – 2y – z, resolviendo el sistema se tiene: x = -5/2 , y =1/2 , z = 1/2 T = c-5/2 • G1/2 • h1/2 ⇒ T = √ ( G • h ) / c5 T = √ (6,67 • 10 -11 m3 / kg • s2 • 6,63 • 10 -34 kg • m2 / s ) / ( 3 • 108 m/s ) 5 = 1,35 • 10-43 s

Ejercicios propuestos 11.-Encontrar la ecuación dimensional que debe tener el símbolo “ k “ de la ecuación U = ( ½) • k • r2 para que sea homogénea. ( “ U “ es energía y r es longitud ) 12.-La fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos materiales de masas m1 y m2 separados una distancia d entre sus centro formulada por Newton obedece a la expresión: F = G • m1 • m2 G: constante de gravitación universal d2

Si la ecuación dimensional de fuerza se obtiene a partir de F = m • v / t, con m ( masa ) , v ( rapidez ), t (tiempo ) , obtenga la ecuación dimensional de la constante G de gravitación universal. 13.-¿Cuál de las ecuaciones siguientes es dimensionalmente correcta? a) v = vo + a • x sabiendo que v , vo son rapidez ; a es aceleración , x es longitud b) T = 2 π √ l / g sabiendo que l es longitud , g es aceleración, T es tiempo 14.-El desplazamiento de una partícula cuando se mueve bajo aceleración uniforme, es cierta función del tiempo transcurrido y de la aceleración. Suponga que se escribe este desplazamiento como s = k • am • tn , donde k es una constante numérica. Muestre mediante análisis dimensional que esta expresión se satisface si m =1 y n = 2. 15.- Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal ( Q ) a través de un orificio en función de la densidad del líquido ( r ), el diámetro del orificio ( D ) y la diferencia de presiones ( p ). La ecuación dimensional de caudal es [ L3 · T-1 ]. 16.-Determine una expresión para la presión dinámica ( p ) ejercida sobre un cuerpo totalmente sumergido en la corriente de un fluido incompresible al suponer que la presión es función de la densidad ( r ) y de la velocidad ( v ).

→ →

→ →

→ →

→ →

Operatoria Vectorial Una magnitud escalar se describe completamente por un número y una unidad de medida apropiada. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la energía, la rapidez, etc. Una magnitud vectorial se describe completamente por un número, una unidad de medida apropiada, más una dirección y sentido. Por ejemplo, la velocidad, la fuerza, la posición, etc. Características de un vector Para representar una magnitud vectorial, se usan los llamados vectores. Un vector posee: magnitud ( módulo ), que es el número con la unidad de medida dirección , es la recta que contiene al vector sentido , hacia dónde apunta el vector Observando los vectores, podemos darnos cuenta que: A y D poseen igual magnitud, dirección y sentido A y E poseen igual magnitud y dirección, pero distinto sentido B y C poseen igual magnitud, pero distinta dirección y distinto sentido A y F poseen igual dirección y sentido, pero diferente magnitud Por ejemplo , Imaginemos que una persona camina 10 m hacia el Este. ¿Cómo poder especificar su posición? Primero trazamos nuestro sistema de coordenadas de referencia. En seguida desde el punto de partida trazamos una flecha vector que termina en la posición indicada. Es conveniente trabajar con una escala, por ejemplo 1 cm : 5 m. De esta forma especificamos la posición de la persona: Dirección : Oeste – Este Sentido : hacia el Este Magnitud : 10 m

Otro ejemplo, en la figura, la posición del gato es 100 m en una dirección de 30o al Sur del Oeste.

Método gráfico para sumar vectores a)Paralelogramo : Si quieres sumar dos cantidades vectoriales debes copiarlas a partir de un punto en común, luego proyectarlos hasta completar un paralelogramo. La diagonal de ese paralelogramo te indica el vector suma o resultante. Debes tener claro que esta suma es geométrica NO algebraica. b)Polígono : Si quieres sumar varios vectores debes copiar el primero, luego el segundo de modo que el término del primero coincida con el origen del segundo, luego el tercero y así sucesivamente. El vector suma o resultante es aquel que une el origen del primero con el término del último. Esta es una suma geométrica, NO algebraica.

Ejemplo : Una persona camina desde un punto ( origen ) 90 m hacia el sur , en seguida gira y camina 30 m hacia el este , finalmente gira al norte y camina 50 m. a)Haga un diagrama a escala de la situación ( 1 cm : 10 m ) y luego trace el vector que indica el desplazamiento de la persona con respecto al punto de partida. b)¿Cuánto es la longitud del desplazamiento? c)¿Cuál sería la dirección en que se produce este desplazamiento ? Sugerencia, mida el ángulo desde la dirección Este al vector desplazamiento o bien desde la dirección sur al vector desplazamiento. a)El diagrama queda similar al que se muestra en la figura. b) Manteniendo la escala, la medida de la longitud del desplazamiento resulta : D = 5 cm, en el terreno resulta D = 50 m Se puede comprobar este valor obtenido aplicando "Teorema de Pitágoras" pues se forma un triángulo rectángulo como muestra ( b ): c)El desplazamiento se produce en una dirección de ( mida con transportador ) 53 o al sur del este.

Componente rectangular de un vector Las componentes rectangulares de un vector son proyecciones perpendiculares de los extremo del vector a una dirección dada. Así, entonces todo vector se puede expresar como la suma vectorial de sus componentes rectangulares. Si un vector cualquiera se ubica en el plano xy, sus componentes son las proyecciones perpendiculares a dichos ejes. Las magnitudes de las componentes del vector V se pueden obtener con las razones trigonométricas seno y coseno. Si el ángulo α, se mide con respecto al eje x positivo y en sentido antihorario, se tiene: Vx = V • cos α Vy = V • sen α Para especificar la dirección de un vector ya sea en el plano o en el espacio se hace uso de los llamados vectores unitarios . Estos vectores tienen de magnitud la unidad, es decir 1, y se asocia al eje X, el vector i, al eje Y el vector j y al eje Z el vector k.

Por ejemplo , escribir el vector A = 20 unid, en forma vectorial unitaria. Medimos el ángulo que forma con el eje x positivo en sentido antihorario, resultando ser 330o. → A = 20 cos 330 i + 20 sen 330 j → A = 17,32 unid i - 10 unid j

Otro ejemplo , escribir en forma unitaria, el vector que muestra la figura. El ángulo que forma con el eje x en sentido antihorario es 130o, con lo cuál: → N = cos 130 • 14 u i + sen 130 • 14 u j → N = - 8,9 u i + 10,7 u j

El hecho de calcular las componentes rectangulares y luego su escritura en forma unitaria permite obtener la resultante de vectores en forma analítica . Para sumar vectores analíticamente, se suman las componentes correspondientes entre sí, obteniéndose ( Σ x ), ( Σ y ), ( Σ z ), estas son las componentes del vector resultante. Luego mediante el teorema de Pitágoras , y alguna relación trigonométrica adecuada, se determina la magnitud y la dirección del vector resultante. Por ejemplo : Una persona realiza 3 desplazamientos sucesivos, expresándose estos en forma unitaria: d1 = -4 m i + 5 m j ; d2 = 3 m i + 1 m j ; d3 = 5 m i - 3 m j . Determinar la magnitud y dirección del vector resultante de estos desplazamientos. → → → → El vector resultante D = d1 + d2 + d3 → D = - 4 m i + 5 m j + 3 m i + 1 m j + 5 m i - 3 m j → D = 4 m i + 3 m j Magnitud: D = √ 42 + 32 D = 5 m tg θ = 3 m / 4 m = 0,75 → θ = 37o → Entonces el desplazamiento es D = 5 m , 37o con el eje positivo de las X en sentido antihorario. Otro ejemplo : Una persona pasea siguiendo el trayecto que muestra la figura. El recorrido total se compone de 4 tramos rectos. Primero camina 100 m al este, luego camina 300 m al sur, en seguida camina 150 m en una dirección de 30 o al sur del oeste, finalmente camina 200 m en una dirección de 60 o medidos al norte del oeste. a)Escriba cada desplazamiento en forma vectorial unitaria b)Obtenga la suma vectorial de ellos ( desplazamiento resultante). c)¿Cuál es la magnitud y dirección del desplazamiento resultante? → d1 = 100 m i → d2 = - 300 m j → d3 = cos 210 x 150 m i + sen 210 x 150 m j = - 130 m i – 75 m j → d4 = cos 120 x 200 m i + sen 120 x 200 m j = - 100 m i + 173 m j → dRESULT = - 130 m i - 202 m j Magnitud: dRESULT = √ ( 130 )2 + ( 202)2 = 240 m Dirección: tg α = ( 202 / 130 ) α = 57o

Luego la dirección es 180 + 57 = 237o con el eje x positivo medido en sentido antihorario.

Ejercicios propuestos 17.-Considere los vectores, A = ( 400 cm, 37o ), B = ( 90 cm, 320o ), C = ( 70 cm, 150o ) a) Escriba cada vector en forma unitaria b) Obtenga la magnitud y dirección del vector resultante R = A + B + C 18.-Una persona camina 6,0 km hacia el oeste, gira y camina 4,0 km en una dirección de 30o al norte del oeste luego camina 2,0 km al norte. ¿Cuál es la magnitud y dirección del desplazamiento resultante? 19.-Un auto viaja 50 km hacia el este, en seguida 30 km hacia el norte y finalmente 25 km en una dirección de 30 o al norte del este. Determine el desplazamiento resultante del auto con respecto al punto de partida. 20.-Un bote a motor se dirige hacia el norte a 15 millas / hora en un lugar donde la corriente es de 5 millas / hora en una dirección de 70 o al sur del este. Encuentre la velocidad resultante del bote 21.-El rumbo que debe tomar el piloto de un avión para llegar a su destino depende de las velocidades del viento y del avión. Si el avión tiene que volar hacia el Este , y si el viento sopla hacia el Sur , entonces , ¿ en que dirección debe estar orientado el avión ? a) Entre el Norte y el Este b)Entre el Norte y el Oeste c)Entre el Sur y el Este d)Entre el Sur y el Oeste e)Siempre hacia el Este 22.-Dos remolcadores arrastran una balsa. Si el remolcador A ejerce una acción de 18,5 kN y el remolcador B ejerce una acción de 13,0 kN. Determine la magnitud y dirección de la acción resultante de los remolcadores.

23.-Dos vectores a y b tienen magnitudes igual a 12,7 unidades. Están orientados como muestra la figura y su vector resultante (suma) es r. Determine: a)Las componentes x e y de r b)La magnitud de r c)El ángulo que forma r con el eje x

Cinemática de traslación Una de las observaciones elementales que nos proporciona la experiencia, es que vivimos en un mundo en que todo está en movimiento , y aún más, en una gran variedad de movimientos. Pensemos, por ejemplo, en el movimiento de una pelota de ping – pong durante un partido rápido, ágil y con bruscos cambios de dirección en cada paletazo; o en el movimiento de algún cometa que viene desde las profundidades del espacio atravesando una parte del sistema solar; en las moléculas de un cuerpo que están en incesante movimiento, o en el movimiento de los electrones de un átomo alrededor del núcleo, etc. Un niño sentado en un auto se puede encontrar en reposo respecto a éste, pero en movimiento respecto a la superficie terrestre. Al contrario, un árbol y una casa están en reposo respecto a la Tierra, pero en movimiento respecto del auto. Por lo tanto, el movimiento es un concepto relativo , es decir, un objeto puede estar en movimiento o en reposo dependiendo del punto donde se observe. Este punto de observación para un movimiento, se llama sistema de referencia . De ordinario, el sistema de referencia se representa por un sistema de ejes coordenados ( x, y, z ) unidos al cuerpo que sirve como de referencia. La trayectoria de un cuerpo, que es la línea imaginaria trazada durante su movimiento depende del sistema de referencia elegido. Si la trayectoria es una línea recta, se dice que el movimiento es rectilíneo, si la trayectoria es una circunferencia, el movimiento es circunferencial, y si la trayectoria es una parábola, el movimiento es parabólico. Para simplificar el estudio del movimiento, empezaremos con el movimiento de objetos cuya posición pueda describirse localizando sólo un punto de él. Tal punto material recibe el nombre de “partícula ”. Esto es un modelo utilizado cuando no importan las dimensiones del objeto, es decir sólo se quiere estudiar su movimiento de traslación. Para describir el movimiento de una partícula necesitamos los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración, y nuestro sistema de referencia será siempre respecto a la superficie de la Tierra. Concepto de posición: La posición de una partícula es un vector dirigido desde el origen al lugar donde se encuentra el objeto. Si un auto viaja a lo largo de la recta x, y en un instante se encuentra en la coordenada - 6 m, su posición se escribe: → x = - 6 m i Si el objeto se encuentra en el plano xy, ( por ejemplo, la mariposa se ubica 10 m en una dirección de 30o con el eje x) , su posición es. → r = cos 30 • 10 i + sen 30 • 10 j → r = 8,6 m i + 5,0 m j

LA VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA ES UNA CANTIDAD FÍSIC A VECTORIAL → → → El desplazamiento ( d ) se define como la diferencia vectorial entra la posición final ( pF ) y la inicial ( pI ). → → → d = p F - p I → La velocidad media ( vM ) de un objeto se define como el cuociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido. Por ejemplo : Un tren se mueve a lo largo del eje x, (sentido positivo hacia la derecha). Su posición inicial es xI = 50 m i luego de 20 s su posición es xF = 150 m i. ¿Cuál es su velocidad media? El desplazamiento a lo largo del eje x, se escribe: ∆x = xF - xI = 150 m i – 50 m i = 100m i La velocidad media en ese intervalo es: v = ∆x / ∆t = 100m i / 20 s = ( 5 m / s ) i La velocidad instantánea de un objeto se obtiene a partir de la velocidad media considerando intervalos de tiempo ∆t y desplazamiento ∆x cada vez más cortos: vINST. = lím ∆x = d ( x ) derivada de posición ( x ) ∆t→0 ∆t dt respecto al tiempo ( t ). Si un objeto se mueve en el eje x y consideramos sentido positivo hacia la derecha, entonces, la velocidad puede ser positiva o negativa. Si v es positiva, x aumenta, es decir el objeto se mueve a la derecha. Si v es negativa, el objeto se mueve a la izquierda.

La velocidad es una magnitud vectorial, por tanto s e debe expresar mediante los vectores unitarios Suponga que un vehículo se mueve a 20 km/h en un tramo recto, de modo que el sentido hacia la derecha se considera positivo. → Su velocidad es v = + 20 km/h i Si se mueve hacia la izquierda su velocidad es: → v = - 20 km/h i La rapidez es la magnitud de la velocidad. Por ejemplo los trenes que se muestran en la figura tienen la misma rapidez ( 100 km/h ) pero distinta velocidad.

RAPIDEZ DE MOVIMIENTO Cuando se observa el crecimiento de una planta decimos que en un cierto tiempo esa planta ha variado su tamaño o altura. Esta planta pudo haber crecido poco o mucho en ese tiempo y hablamos entonces de la rapidez de su crecimiento . Dos recipientes iguales con distintos líquidos a 100 o C se dejan enfriar. Al cabo de un cierto tiempo, se observa que la temperatura de cada líquido es diferente. Decimos que ambos líquidos tienen diferente rapidez de enfriamiento. En general cuando un fenómeno varía al transcurrir el tiempo podemos hablar de su rapidez de variación. Si un auto recorre una distancia de 560 km en 8,0 horas, usted y muchas personas dirían: “el auto desarrolla en promedio 70 km/h “. Este resultado que se obtuvo de dividir la distancia total recorrida (560 km) entre el tiempo de viaje ( 8,0 h ) es lo que se conoce como rapidez media (vm ). vm = distancia total recorrida / tiempo transcurri do →→→→ vm = d / t Se puede usar cualquier combinación de unidades de distancia y tiempo para expresar una rapidez, por ejemplo: millas / h , km / h , cm / día , m / s . Para transformar una rapidez de km/h a m/s divide p or 3,6. Si quieres transformar de m/s a km/h, multiplica por 3,6. Ejemplo .-Un auto recorre la calle ABC que muestra la figura de la siguiente manera : tramo AB = rapidez media de 60 km/h durante 2 h ; tramo BC = rapidez media de 90 km/h durante 1 h. ¿Cuál es la rapidez media durante todo el trayecto? Para resolver este problema, debemos conocer la distancia total en el tramo ABC y dividirlo con el tiempo total, que en este caso es 3 h. La distancia AB, se obtiene multiplicando la rapidez en ese trayecto por el tiempo empleado: dAB = 60 km/h • 2 h = 120 km La distancia BC , se obtiene multiplicando la rapidez en ese trayecto por el tiempo empleado: dBC = 90 km/ h • 1 h = 90 km Por lo tanto la distancia ABC (distancia total ) es dABC = 120 km + 90 km = 210 km La rapidez media para todo el trayecto es : vm = 210 km / 3 h = 70 km / h Otro ejemplo : Una persona conduce un automóvil durante 10 km viajando siempre a razón 90 km/h y luego otros 10 km viajando ahora a 70 km/h. ¿Cuál es la rapidez media durante el trayecto de los 20 km? Longitud total = 10 km + 10 km = 20 km, t1 es tiempo empleado en recorrer trayecto 1, t2 tiempo en recorrer trayecto 2, es decir: t1 = 10 / 90 = ( 1 / 9 ) h, t2 = 10 / 70 = ( 1 / 7 ) h , tiempo total = ( 1 / 9 ) h + ( 1 / 7 ) h = ( 16 / 63 ) h La rapidez media es: vM = 20 km / ( 16 / 63 ) h = 78,75 km/h

¿QUÉ SIGNIFICA UNA ACELERACIÓN DE 5 m/s 2 ? La velocidad es una magnitud vectorial, es decir posee magnitud, dirección y sentido. Si la velocidad cambia en magnitud o en dirección se produce una aceleración . En este estudio, vamos considerar que la dirección del movimiento del objeto es constante y sólo cambia la magnitud de la velocidad . Por ejemplo, cuando tú sueltas una piedra, su dirección permanece constante, pero va cayendo cada vez más rápido, es decir cambia la magnitud de su velocidad, su rapidez. → → → La aceleración media ( aM ) se define como la velocidad final ( vF ) menos la velocidad inicial ( vI ) dividida por el intervalo de tiempo transcurrido. Si el objeto se mueve en línea recta, entonces vamos a considerar la dirección constante, y sólo cambia la rapidez, (si el objeto se mueve en el mismo sentido del que se considera como positivo, su rapidez es positiva; en cambio si se mueve en sentido contrario, su rapidez es negativa). Cuando el objeto cambia su rapidez de manera uniforme , hablaremos de aceleración constante o simplemente aceleración. → → → → → aM = ∆v / ∆t con ∆v = vF - vI y ∆t = tF - tI Por ejemplo , un auto se mueve en un tramo recto hacia la derecha. En un instante lleva una rapidez de 10 m/s y luego de 5 s su rapidez es 20 m/s. Si el aumento de rapidez es constante , ¿cuál es la aceleración ? a = ∆v / ∆t = ( 20 m/s - 10 m/s ) / 5 s = 2 m/s2 , esto significa que en cada segundo el aumento de rapidez es a razón de 2 m/s. La aceleración instantánea de un objeto se obtiene a partir de la aceleración media considerando intervalos de tiempo ∆t y cambios de velocidad ∆v cada vez más cortos: aINST. = lím ∆v = d ( v ) derivada de velocidad ( v ) ∆t→0 ∆t dt respecto al tiempo ( t ). ¿CÓMO DESCRIBIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PAR TÍCULA? Para describir el movimiento rectilíneo de una partícula, debemos hacer uso de algunas formulas: ( 1 ) x = x(o) + v(o) • t + ½ • a • t2 (expresa la posición x, como función del tiempo t, aquí xo y vo son posición inicial y velocidad inicial, a es la aceleración) ( 2 ) ( vF )2 = ( v(o))2 + 2 • a • ∆x, ( aquí vF es velocidad final, vo es velocidad inicial, ∆∆∆∆x es desplazamiento ) ( 3 ) a = ( vF – vo ) / ∆t ⇒ vF = vo + a •∆t

Ejemplo 1 .-Un auto empieza su movimiento desde la posición x(o) = 100 m y lo hace con velocidad constante de 72 km/h = 20 m/s hacia la derecha. Suponga sentido positivo hacia la derecha. a)¿Cuál es la expresión para la posición? Como el auto se mueve con velocidad constante, entonces su aceleración es cero, por lo tanto la ecuación de posición se transforma en: x = x(o) + v • t ⇒ x = 100 m + 20 m/s • t b)¿Cuál es la posición a los 5 s? x = 100 m + 20 m/s • t ⇒ x = 100 m + 20 m/s • 5 s ⇒ x = 200 m Ejemplo 2 .-Dos ciudades A y B se encuentran en una carretera recta separadas 90 km. Desde A hacia B parte un camión con rapidez constante de 50 km/h y desde B hacia A parte otro camión con rapidez constante de 40 km/h. Considere en la figura, sentido positivo a la derecha: a)¿Cuál es la ecuación de la posición del camión que sale de A y del camión que sale de B? xA = 0 + 50 • t → xA = 50 • t xB = 90 - 40 • t b)Luego de cuánto tiempo se cruzan. Se cruzan cuando tienen la misma posición , es decir cuando : xA = xB ⇒ 50 • t = 90 - 40 • t ⇒ 90 • t = 90 ⇒ t = 1 hora c)¿Qué distancia logró recorrer cada uno? Determine la posición donde se cruzan, para ello basta reemplazar t = 1 h , en cualquiera de las ecuaciones de posición: xA = 50 • t ⇒ xA = 50 • 1 = 50 km, se cruzan en la posición 50 km, entonces A recorrió 50 km, en cambio B recorrió 40 km. Ejemplo 3 .-En el instante considerado como origen para medir el tiempo ( t = 0 ) , la posición de un auto que se mueve a la derecha en un trayecto recto es xo = - 14 m, siendo su rapidez vo = 5 m/s. Acelera uniformemente a razón de a = 2 m/s2 . a)Escriba la ecuación de la posición para cualquier instante de tiempo. x = x(o) + v(o) • t + ½ • a • t2 x = - 14m + 5 m/s • t + ½ • 2 m/s2 • t2 b)¿Que posición ocupa el objeto a los 2 seg ? x = - 14m + 5 m/s • 2s + ½ • 2 m/s2 • (2)2 x = 0 m (el objeto pasa por el origen) c)Escriba la ecuación de la velocidad para cualquier instante de tiempo. v = v(o) + a • t ⇒ v = 5 m/s + 2 m/s2 • t d)¿Cuál es la velocidad a los 2 seg? v = 5 m/s + 2 m/s2 • 2s ⇒ v = 9 m/s

Ejemplo 4 .-Un auto viaja en un camino recto y lleva una velocidad de 10 m/s en el momento en que el conductor pisa el acelerador. Esto ejercerá sobre el auto una aceleración constante que aumenta su velocidad a 20 m/s en 5,0 seg. Considere t = 0 ,el instante en que el conductor pisa el acelerador. a)¿Cuál es la aceleración del auto? vF - v(o) = a • t ⇒ a = ∆v / ∆t a = ( 20 m/s - 10 m/s) = 2 m/s2 ( 5,0 seg - 0 seg ) b)Suponiendo que el auto mantuviera esta aceleración hasta el instante t = 10 seg, ¿ cuál es su velocidad en este instante? v = v(o) + a • t ⇒ v = 10m/s + 2 m/s2 • 10s ⇒ v = 30 m/s c)¿Cuál es el desplazamiento experimentado por el auto desde el inicio de la aceleración hasta el instante t = 10 s ? ( v )2 = ( v(o))2 + 2 • a • ∆x ⇒ ( 30m/s )2 = ( 10m/s)2 + 2 • 2m/s2 • ∆x ⇒ ∆x = 200 m Ejemplo 5 .-Un auto viaja a una rapidez constante de 30 m/s en un trayecto recto, pasa de largo a un agente de tránsito que está escondido detrás de un cartel. Un segundo después de que el veloz auto pasa el cartel, el agente empieza la persecución desde el reposo del auto con una aceleración constante de a = 3 m/s2 . a)Escriba la ecuación de la posición del auto y del agente en relación al origen. El auto viaja con rapidez constante, por lo tanto la aceleración es cero. Ahora bien, como viaja a 30 m/s, esto significa que 1 seg después de cruzar el cartel se encuentra a 30 m del origen (cartel) . Por lo tanto cuando se empieza a estudiar el movimiento ( t = 0 ) : xAUTO = xo + vo • t + ½ a • t2 = 30 + 30 • t xAGENTE = xo + vo • t + ½ a • t2 = 1,5 t2

b)¿En que instante de tiempo el agente alcanza al auto? Cuando el agente alcanza al auto ambos tienen la misma posición, por lo tanto xAUTO = xAGENTE 30 + 30 • t = 1,5 t2 ⇒ 1,5t2 - 30 t - 30 = 0 Resolviendo la ecuación de Segundo grado, se tiene t = 21 s. c)¿Que velocidad lleva el auto cuando es alcanzado , y cuál es la velocidad del agente . Para responder estas preguntas debemos escribir la ecuación de la velocidad en cualquier tiempo tanto para el auto como para el agente. Se derivan las ecuaciones de posición: xAGENTE = 1,5 t2 ⇒ vAGENTE = 3 t, cuando t = 21 s, se tiene: vAGENTE = 3 • 21 = 63 m/s xAUTO = 30 + 30 • t ⇒ vAUTO = 30 m/s

El " área" bajo la curva en el gráfico velocidad - tiempo proporciona la magnitud del desplazamiento experimentado por un objeto en cualquier clase de movimiento. El gráfico de arriba muestra la rapidez ( v ) en función del tiempo ( t ) de una partícula animada de movimiento rectilíneo en la dirección OX. Calcule el desplazamiento experimentado por el objeto entre t = 0 y t = 2 s. Al marcar el “área” entre 0 y 2 s obtenemos una figura que se puede separar en un triángulo y en un rectángulo : ∆x = 10 • 2 + 10 • 2 = 30 m 2 Calcule el desplazamiento experimentado entre 2 seg y 4 seg .

Ejemplo 6 .-El gráfico muestra la velocidad como función del tiempo para una partícula que se mueve en un tramo recto. ¿Cuál es la velocidad media ( vM ) y la rapidez media ( vM ) durante todo el movimiento? Para la velocidad media necesitamos el desplazamiento durante todo el movimiento y el tiempo total empleado para ello: D1 = 10 • 4 / 2 = 20 m D2 = - 10 • 6 / 2 = - 30 m Desplazamiento total: 20 + ( - 30 ) = - 10 m vM = - 10 m / 10 s = - 1 m/s Para la rapidez media , necesitamos la distancia total recorrida: Distancia total: 20 + 30 = 50 m vM = 50 m / 10 s = 5 m/s

MOVIMIENTO VERTICAL BAJO LA ATRACCIÓN DE LA TIERRA Un tipo de movimiento rectilíneo con aceleración constante es aquel que desarrolla un objeto cuando se mueve verticalmente (hacia arriba o hacia abajo) sólo bajo la acción de la gravedad terrestre. En estas condiciones el objeto se mueve con aceleración constante g = 9,8 m/s 2 , llamada aceleración de gravedad, cuya dirección es radial y dirigida hacia el centro de la tierra . Las ecuaciones para este movimiento son las mismas que para un movimiento con aceleración constante, sólo se debe cambiar g por a. Si el sistema de referencia lo consideramos a nivel del suelo, se debe cambiar a por – g: y = yo + voy • t - ½ • g • t2 vy = voy - g • t ( vy )

2 = ( voy )2 - 2 • g • ∆y

Ejemplo 7 .-Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial vo = 30 m/s. Suponga que sólo actúa la atracción de la Tierra, y use g = 10 m/s2

.

a)¿Cuál es la velocidad del cuerpo 2,0 seg luego de su lanzamiento? La velocidad está dada por: v = vo - g • t v = 30 m/s - 10 m/s2 • 2,0 s = 10 m/s b)¿Cuánto tarda el cuerpo en llegar al punto más alto de su trayectoria? En el punto más elevado, se tiene vf = 0 m/s y así la ecuación ocupada en la pregunta a) nos da: 0 = 30 m/s - 10 m/s2 • t → t = 3,0 seg.

c)¿A qué velocidad regresa al punto de lanzamiento? El tiempo empleado al volver al punto de lanzamiento desde que es lanzado es 3 s en la subida y 3 s en la bajada, por lo tanto 6 seg. Entonces la velocidad a los 6 seg es : v = vo - g • t → v = 30 m/s - 10 m/s2 • 6 s v = - 30 m/s El signo negativo significa que el cuerpo ahora viene bajando. d)¿Cuál es la altura máxima que alcanza? y = yo + voy • t - ½ • g • t2 y = 0 m + 30 m/s • t - ½ • 10 • t2 La altura máxima la logra cuando t = 3 s, reemplazando y = 0 m + 30 m/s • 3s - ½ • 10 m/s2 • ( 3s )2 ⇒ y = 45 m e)Construya el gráfico v v/s t En la ecuación v = vo - g • t ⇒ v = 30 - 10 • t, le damos valores a t y obtenemos los correspondientes a v.

Ejercicios propuestos 24.-Dos ciclistas A y B se encuentran en un mismo punto de una carretera horizontal. El ciclista A inicia su movimiento con rapidez constante de 36 km/h y el ciclista B con una rapidez constante de 40 km/h. ¿A que distancia se encuentra A con respecto a B luego de 30 min si : a)Parten en el mismo sentido b)Parten en sentido contrario 25.-Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones con una rapidez inicial de 90 m/s y se detiene por completo en un tramo de 100 m. Encuentre la aceleración supuesta constante y el tiempo empleado en detenerse. 26.-El diagrama muestra la rapidez de una partícula en función del tiempo. Calcule: a)La aceleración a los 8 s y a los 16 s b)El máximo desplazamiento con relación a la posición inicial en el intervalo de 0 a 20 s. c)La distancia recorrida de t = 0 hasta t = 20 s 27.- Un auto al frenar , adquiere un movimiento uniformemente retardado cuya aceleración tiene magnitud igual a 4,0 m/s2 . El conductor que iba a 72 km/h , se da cuenta de un obstáculo frente a él. Aplica el freno y logra detenerse en un tramo de 60 m contados a partir del momento en que vio el obstáculo. ¿Cuál fue el tiempo de reacción del conductor? 28.-Un conductor pasa frente a un motociclista de tránsito quien decide seguirlo porque el límite de velocidad es 60 km/h y el auto iba a 72 km/h. El inspector partiendo del reposo, inicia la persecución 10 s después de que pasó el auto , a una aceleración constante. Se sabe que el motociclista alcanza al conductor a 3,0 km de donde partió. Determine la velocidad del motociclista en ese momento. 29.-En A se suelta desde el reposo un pequeño objeto que se desplaza a lo largo del transportador de roldanas ABCD. Al descender por los tramos AB y CD el objeto lleva una aceleración uniforme de 4,8 m/s2 y su velocidad es constante entre B y C. Si en D su velocidad es 7,2 m/s, determine: a)La distancia entre C y D b)El tiempo que tarda en llegar a D 30.-Una persona A deja caer un macetero desde la ventana de un edificio a 15 m del suelo. Otra persona B se encuentra a 10 m de la base del edificio, si el macetero cae libremente, ¿con que rapidez constante debe moverse la persona B para que logre tomar el macetero justo antes de llegar al suelo?

Movimiento de proyectiles Cualquier cuerpo rígido que puede considerarse como partícula y que es lanzado al aire en cualquier dirección, recibe el nombre de proyectil. En el estudio del movimiento de los proyectiles no se considera el efecto que el aire pudiera tener sobre él, de manera que se supone que el movimiento ocurre en el vacío. Así, el movimiento horizontal es uniforme , es decir, sin aceleración. Por lo tanto, la velocidad horizontal del proyectil se mantiene inalterable durante todo el movimiento. En cambio, en el movimiento vertical está sometido a la atracción de la tierra, y ésta le proporciona la misma aceleración que tiene un cuerpo cuando cae libremente, es decir actúa sobre él la aceleración de gravedad cuyo símbolo es g. Ejemplo : Un futbolista chutea un balón con una rapidez de 20 m/s en una dirección de 30o con el suelo. Suponiendo que sólo actúa la atracción de la Tierra, determine: a)Escriba las ecuaciones de posición y velocidad para el movimiento horizontal y vertical b)¿Cuál es la altura máxima lograda? c)¿Cuál es el alcance máximo horizontal? d)¿Qué velocidad lleva el balón a los 1,5 s? Componente horizontal de la velocidad : voX = vo cos α = 20 m/s • cos 30o = 17 m/s Componente vertical de la velocidad : voY = vo sen α = 20 m/s • sen 30o = 10 m/s Movimiento horizontal : Ecuac. de posición: x = xo + vox • t + ½ • ax • t2 con xo = 0 m y ax = 0 m/s2

x = 0 + 17 • t + ½ • 0 • t2 ⇒ x = 17 • t Ecuación de velocidad: vx = 17 m/s ( constante ) Movimiento vertical : Ecuac. de posición: y = yo + voy • t + ½ • ay • t2 con yo = 0 m y ay = 10 m/s2

y = 0 + 10 • t – ½ • 10 • t2 ⇒ y = 10 • t – 5 • t2 Ecuación de velocidad: vy = voy - g • t ⇒ vy = 10 - 10 • t Para calcular la altura máxima, hacemos vy = 0 (tiempo en llegar al punto mas alto ) ⇒ 0 = 10 - 10 • t ⇒ t = 1 s Este tiempo se reemplaza en la ecuación de posición ( y ): y = 10 • t – 5 • t2 ⇒ y = 10 • 1 – 5 • ( 1 )2 ⇒ y = 5 m Para calcular el alcance máximo, hacemos y = 0 (tiempo en llegar al suelo ) ⇒ y = 10 • t – 5 • t2 ⇒ 0 = 10 • t – 5 • t2 ⇒ t = 2,0 s Este tiempo se reemplaza en la ecuación de posición horizontal ( x ): x = 17 • t ⇒ x = 17 • 2 = 54 m La velocidad a los 1,5 s es: Velocidad horizontal: vx = 17 m/s Velocidad vertical: vy = 10 - 10 • t ( t = 1,5 s) ⇒ vy = 10 - 10 • 1,5 = - 5 m/s → → → v = vx + vy = 17 m/s i – 5 m/s j

Ejercicios propuestos 31.-Una esfera pequeña se encuentra apoyada en un resorte comprimido que está sujeto a un carrito. Se sabe que el resorte al estirarse transmite a la esfera una velocidad inicial vertical para arriba , vB = 4,0 m/s. Suponga que el resorte se halla estirado mientras el carrito avanzaba en línea recta sobre una superficie horizontal con una velocidad constante de vC = 3,0 m/s. a)¿Qué tipo de movimiento tendrá la esfera? b)¿Cuál es la forma de su trayectoria? c)¿Cuál es la magnitud de la velocidad inicial vo con que la esfera fué lanzada? d)¿Cuál es el ángulo de lanzamiento de la esfera? e)¿Después de cuánto tiempo la esfera regresará al carrito? o sea ¿llegará al extremo del resorte? 32.-Una pelota es lanzada horizontalmente con una velocidad vo desde un punto situado a una altura R arriba del suelo. Observe que el alcance de la pelota, al llegar al suelo, es también R. a)La trayectoria que describe la pelota en este caso, ¿es una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola? b)Determine el valor de vo en términos de R y de g . 33.- Una persona lanza oblicuamente una pelota con una velocidad inicial vo = 10 m/s y un ángulo de lanzamiento de 60o . Suponga que g = 10 m/s2 , desprecie la resistencia del aire y considere el momento de lanzamiento como el origen del conteo del tiempo ( t = 0 ). a)En el instante t =0,5 seg , ¿cuál es el valor de la velocidad de la pelota? b)¿Cuál es la posición de la pelota en t = 0,5 seg? c)Determine las componentes vx y vy de la velocidad de la pelota en t = 1,22 seg? d)Determine la posición de la pelota en t = 1,22 seg? e)Calcule el instante en que la pelota llega al punto más alto de su trayectoria. f)¿Cuál es el valor de la altura máxima de la pelota?

34.-Un jugador de básquetbol, lanza una pelota desde una altura de 1,5 m (respecto al suelo). En su trayectoria intercepta un aro situado a 2,0 m de altura. Finalmente toca el suelo en un punto que dista 10 m (distancia horizontal), del punto donde fue lanzada. Si el tiempo en el aire es de 1,0 seg, determine: a)¿Con que velocidad inicial fue lanzada la pelota? b)¿Qué altura máxima alcanzó? ¿Después de cuanto tiempo? c)¿Cuánto tiempo luego de ser lanzada atraviesa el aro? d)¿A que distancia se encuentra el aro del punto de lanzamiento? e)¿Cuál es la velocidad al tocar el suelo? 35.-Una pelota resbala a lo largo de un tejado inclinado en un ángulo de 40 o respecto a la horizontal y situado a una altura h = 65 m sobre el suelo. La pelota llega al borde del tejado con una rapidez de 10 m/s y luego cae libremente. La pared opuesta más próxima al tejado está a una distancia horizontal D = 20 m. Considere el nivel de referencia en el suelo. a)Exprese la velocidad inicial de la pelota en forma vectorial b)¿La pelota llega directamente al piso o choca con la pared opuesta? c)Determine las coordenadas donde choca la pelota d)Determine la velocidad de la pelota en el punto de impacto. 36.-El motociclista desea saltar por sobre 8 autos de altura h = 1 m , y largo d = 2 m. Para ello usará una rampa inclinada que no tiene roce en un ángulo de 45 o y de altura H = 12 m. El motociclista ingresa a la rampa con una velocidad vo y sube por ella sin acelerar (ya que no puede debido a que no hay roce). Calcular el valor de vo para que pueda realizar el salto.

Cinemática de rotación ¿Cuál de los objetos A o B gira más rápido? Decimos que una partícula se encuentra en movimiento circunferencial cuando su trayectoria es una circunferencia, como por ejemplo, la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar atada al extremo de una cuerda. Si además de eso, el valor (magnitud ) de la velocidad permanece constante, el movimiento circunferencial recibe el nombre de uniforme. Entonces en este movimiento (circunferencial uniforme ), el vector velocidad tiene magnitud constante, pero su dirección varía en forma continua. El tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa se llama período del movimiento y se representa por T. Supongamos que al observar la piedra mostrada en la figura anterior, comprobáramos que efectúa 30 vueltas completas en un tiempo igual a 10 seg. La frecuencia f , de ese movimiento es por definición el cuociente entre el número de vueltas y el tiempo necesario para efectuarlas. Por tanto la frecuencia de la piedra será : f = 30 vueltas / 10 seg = 3 vueltas / s Este resultado significa que la piedra efectuó 3,0 vueltas en cada segundo. La unidad de frecuencia , 1 vuelta / s se llama hertz ( Hz ), por lo tanto, en el ejemplo anterior, la frecuencia es de f = 3,0 Hz. La frecuencia y el período de un movimiento están relacionados, de manera que uno es el recíproco del otro , es decir : f = 1 / T o bien T = 1 / f, en el ejemplo el período es T = ( 1/3 ) s La longitud recorrida por la partícula durante un período es la longitud de una circunferencia ( 2 π R ) , siendo R el radio de la trayectoria. Por lo tanto, la magnitud de la velocidad lineal o tangencial, es decir la rapidez para un movimiento circunferencial uniforme es la expresión : v = 2 π R / T, si en el ejemplo, el radio que describe la piedra es 50 cm, entonces la rapidez lineal o tangencial es: v = 2 • 3,14 • 0,5 m / ( 1/3 ) = 9,42 m/s Considere una partícula en movimiento circunferencial que pasa por la posición P1 mostrada en la figura. Después de un intervalo de tiempo ∆t , la partícula estará pasando por la posición P2 . En dicho intervalo ∆t , el radio que sigue a la partícula en su movimiento describe un ángulo ∆θ. La relación entre el desplazamiento angular ( ∆θ ) y el intervalo de tiempo necesario ( ∆t ) se llama velocidad angular ( w ) : w = ∆θ / ∆t . el ángulo girado ∆θ se mide en radianes ( rad) La velocidad angular se mide en la unidad radián / seg ( rad / seg ) Esta velocidad angular proporciona información acerca de la rapidez con la cuál gira un cuerpo. En realidad , cuánto mayor sea la velocidad angular de ese cuerpo, tanto mayor será el ángulo que describe por unidad de tiempo, es decir, estará girando mas rápido. En ciertas aplicaciones técnicas se usa la unidad r.p.m (revoluciones por minuto) = rev / min en lugar de la unidad rad / seg. Como 1 rev = 2π radianes y 1 min = 60 seg, entonces: 1 rpm = ( 2 π / 60 ) rad / seg

En el caso del movimiento circunferencial uniforme, la velocidad angular es constante. Es decir, el objeto gira un mismo número de vueltas en igual tie mpo. Por lo tanto, para este movimiento, podemos escribir en forma particular para la velocidad angular la siguiente expresión: w = 2 π (rad) / T , en que 2π (rad ) es el ángulo girado al dar una vuelta y T el tiempo empleado para ello. Considerando la ecuación para la rapidez lineal o tangencial ( v = 2 π R / T ) y la velocidad angular ( w = 2 π / T ) , se observa que ellas se pueden relacionar mediante la expresión : v = w •••• R Ejemplo .-Una barra gira con movimiento uniforme alrededor de un eje que pasa por el punto O efectuando dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra situados a la distancia RA = 2,0 m y RB = 3,0 m del eje de rotación, calcule : a)El período de movimiento de cada uno b)Las velocidad angulares wA y wB c)Las velocidades lineales vA y vB a) La frecuencia es 2 hz, por lo tanto T = 0,5 s b) Ambos giran con la misma velocidad angular wA = wB = 2 π (rad) / 0,5 s = 4π rad/s c) La velocidad lineal es: v = w • R vA = w • RA ⇒ vA = 4π rad/s • 2m = 25,12 m/s vB = w • RB ⇒ vB = 4π rad/s • 3m = 37,68 m/s PROPIEDADES DE LAS ROTACIONES Todos los puntos de un mismo cuerpo en rotación tienen la misma velocidad angular. Los puntos 1, 2, 3, 4, 5, pertenecen al mismo disco, luego: w1 = w2 = w3 = w4 = w5 Para dos ruedas unidas por una faja o cadena de transmisión, o para dos engranajes tendremos que todos los puntos del perímetro tiene la misma velocidad lineal v, es decir: v1 = v2 = v3 = v4 Al ser la velocidad lineal ( v ) en todos los puntos de igual magnitud, podemos relacionar la velocidad angular de las ruedas y los respectivos radios, es decir: v1 = w1 • R1 , v2 = w2 • R2 ⇒ v1 = v2 ⇒ w1 • R1 = w2 • R2 o bien en términos de las frecuencias y los radios respectivos: f1 • R1 = f2 • R2

Junto con el disco fonográfico giran dos hormigas A y B. Ambas tiene la misma velocidad angular, es decir: wA = wB, La hormiga que esta mas lejos del centro, mayor radio, tiene mayor velocidad lineal ( v ), es decir: vB > vA

Por ejemplo, empleando una correa de transmisión hacemos girar dos poleas, la menor de R1 =12 cm de radio gira con una velocidad angular de w1 =18 rad/seg. Determine la velocidad angular de la polea mayor ( w2 ) si tiene un radio de R2 =16 cm. w1 • R1 = w2 • R2 ⇒ 18 rad/seg • 12 cm = w2 • 16 cm ⇒ w2 = 13,5 rad/s ¿ A QUE SE LLAMA ACELERACIÓN CENTRÍPETA? En el movimiento circunferencial uniforme, la magnitud de la velocidad de la partícula, permanece constante en el tiempo y por tanto la partícula no posee aceleración tangencial. Pero como la dirección del vector velocidad varía, se produce una aceleración hacia el centro llamada centrípeta o normal ( ac ). El vector ( ac ) tiene la dirección del radio y siempre apunta al centro de la circunferencia. Matemáticamente, su magnitud se determina por la expresión : ac = ( v )2 / R o bien ac = w2 • R La magnitud de ac es proporcional al cuadrado de la velocidad e inversamente proporcional al radio de la circunferencia. Por lo tanto, si un auto toma una curva “cerrada” ( con R pequeño ) a gran velocidad, tendrá una aceleración centrípeta enorme. En el ejercicio anterior, ¿cuál es la aceleración centrípeta acA y acB ? acA = ( wA )2 • RA = ( 4π rad/s )2 • 2m = 315,5 m/s2 acB = ( wB )2 • RB = ( 4π rad/s )2 • 3m = 473,2 m/s2

Ejercicios propuestos 37.-Dos poleas de Radios R1 = 10 cm y R2 = 30 cm están acopladas por una banda de transmisión no extensible como muestra la figura. a)Suponiendo que la banda no se deslice sobre las poleas, ¿cree Ud. que la velocidad lineal v1 de un punto en la periferia de la polea R1 es mayor, menor o igual a la velocidad v2 de un punto de la periferia de la polea R2? b)Si se sabe que la polea R1 gira con un frecuencia f1 = 60 rpm (rotaciones por minuto) , determine la frecuencia f2 de la polea R2. 38.-Dos discos colocados en un mismo eje común giran con frecuencia f constante. Siendo RA = 2 R B , determine la relación : a) wA / wB entre las velocidades angulares b) vA / vB entre las velocidades lineales c) aA / aB entre las aceleraciones de los dos puntos mencionados en (b). 39.- Un auto pasa por un tramo curvo de una carretera de 750 m de radio a la velocidad de 100 km/h. Súbitamente aplica los frenos, haciendo que el vehículo disminuya de velocidad a ritmo constante. Sabiendo que al cabo de 8 s, la velocidad se ha reducido a 75 km/h, determine la aceleración del auto inmediatamente después de la aplicación de los frenos. 40.-La figura representa en un instante dado la aceleración y velocidad total de una partícula que se mueve en el sentido horario en una circunferencia de 2,5 m de radio. Si la aceleración a = 15 m/s2 , en ese instante determine: a) la aceleración normal b)la rapidez de la partícula c)la aceleración tangencial 41.-Dos autos A y B van por una misma curva circular de una carretera desarrollando ambos 40 km/h. a)El conductor del auto A aumenta la velocidad a 80 km/h , ¿la aceleración centrípeta del auto se volverá mayor o menor? ¿Cuántas veces? b)El auto B , manteniendo su velocidad , entra en una curva “más cerrada” y de radio dos veces menor. ¿Su aceleración centrípeta se vuelve mayor o menor ? ¿Cuántas veces? 42.-Un disco de 1,0 m de radio situado sobre una plataforma se pone en rotación contraria a las manecillas del reloj con una velocidad angular de 3,0 rad/seg en torno de un eje que pasa por su centro. La plataforma avanza por las vías con una velocidad de 4,0 m/s. Considere un punto de la periferia del disco, determine la magnitud de la velocidad de ese punto.

Leyes del movimiento Las fuerzas juegan un papel importante en el estudio del equilibrio y movimiento de un objeto, por lo tanto es necesario mencionar algunas características de ella: a) No es propiedad de un cuerpo , es decir nada ni nadie posee fuerza, sólo se puede ejercer o aplicar. Por tanto, expresiones como "tengo fuerza" físicamente están incorrectas. b) Puede provocar efectos en un cuerpo , siendo estos: a) deformación b)cambio en el movimiento. Por ejemplo, cuando tú ejerces una fuerza sobre una esponja seca, provocas deformación y esta resulta ser temporal. En cambio si aplicas la misma fuerza sobre un trozo de plasticina, esta deformación es permanente. Para detener un objeto, colocarlo en movimiento o cambiar la dirección de su movimiento debes aplicar una fuerza. c) El efecto que produce una fuerza al actuar sobre un cuerpo considerado como partícula, no sólo depende de su valor, sino también de su dirección. Es decir, el concepto fuerza es una cantidad física vectorial . El vector fuerza se representa mediante un vector que se dibuja a partir del cuerpo que recibe la acción y cuya punta indica el sentido en que se movería el o bjeto si esa fuese la única fuerza que actúa sobre él. d) El concepto de fuerza esta relacionado con la forma como interactúan (acción mutua ) dos objetos. La fuerza es una medida de la intensidad con que interactúan ellos. Cuando empujas un auto, ejerces una fuerza sobre él, al mismo tiempo el auto ejerce una fuerza sobre ti. Al chutear un balón, ejerces una fuerza sobre él, al mismo tiempo el balón ejerce una acción sobre ti. Esta fuerzas, resultado de la interacción de dos cuerpos se llaman acción y reacción y presentan las siguientes características: igual magnitud y dirección, distinto sentido, actúan en cuerpos diferentes. Es decir las fuerzas nacen de a pares, no hay fuerza aislada. Estos son ejemplos de interacción por contacto . e) Podemos observar que siempre que hay presencia de fuerzas, intervienen dos objetos materiales: uno que la ejerce y el otro que la recibe. Por ejemplo , Una persona empuja la pared, ejerce una fuerza sobre la pared y esta acción se representa en la pared ( F1 ) . La pared reacciona instantáneamente con una fuerza que actúa en la persona ( F2 ) , (ejercida por la pared sobre la persona ). Estas fuerzas tienen igual magnitud y dirección, distinto sentido y actúan en cuerpos diferentes. Constituyen un par acción y reacción . El número de fuerzas que actúa sobre un cuerpo , depende de la cantidad de cuerpos con los cuáles interactúe. Si dos o más fuerzas actúan simultáneamente sobre un mismo objeto, su efecto será el mismo que el de una única fuerza cuyo valor corresponde a la suma vectorial de las fuerzas individuales. La suma vectorial de todas las fuerza que actúan sobre un cuerpo recibe el nombre de “fuerza neta” o “fuerza resultante”. → → → → R = F1 + F2 + F3 + ....... , es decir → → R = ΣΣΣΣ F

Ejercicios propuestos ( Cálculo de Fuerza resultant e ) NOTA: Las unidades de medida para fuerzas son newtons ( N ) , kilogramo- fuerza ( kgf ) , kilopondio ( kp ), que luego serán definidas. En el sistema Inglés se miden en libras ( lb ) 43.-En el punto B de la viga hay aplicadas dos fuerzas. a)Escriba cada fuerza en forma vectorial unitaria b)Determine la fuerza resultante en forma vectorial, luego determine su magnitud y dirección. 44.-Sabiendo que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la fuerza resultante en forma vectorial unitaria de las tres fuerzas que actúan en B, luego determine su magnitud y dirección. 45.-Cuatro fuerzas actúan sobre el perno A. Determine la fuerza resultante en forma vectorial unitaria. Luego determine su magnitud y dirección. 46.-Dos remolcadores arrastran una balsa. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 25 kN dirigida según el eje de la barcaza. Hallar, la tensión en cada uno de los cables.

Fuerza de atracción gravitacional Toda partícula material del universo ejerce una fuerza de atracción gravitacional sobre cualquier otra partícula material. Su magnitud depende de la masa de ambas partículas, de la distancia de separación entre ellas y su dirección está a lo largo de la recta que une sus centros. Así por ejemplo la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la tierra sobre la luna es de igual magnitud a la que ejerce la luna sobre la tierra , aún cuando tienen distinta masa. “Para dos cuerpos materiales de cualquier forma, que pueden ser considerados como partículas, dicho valor depende directamente del producto de las masas de ellos e inversamente del cuadrado de la distancia de separación” F = G • m1 • m2 (d)2 G: constante de gravitación universal cuyo valor determinado experimentalmente es: 6,67 • 10-11 N m2 / kg2

La fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre los objetos en las proximidades de su superficie, se conoce como “Peso del cuerpo “. Su valor se debe en gran medida a la enorme Masa de la Tierra, mT = 5,98 • 1024

kg. El peso del mono en la tierra es la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la tierra sobre el mono. El cuerpo que ejerce esta acción es la tierra y se dibuja en el cuerpo que recibe la acción verticalmente hacia abajo. En realidad, el peso de un cuerpo tiene dirección radial y hacia el centro de la Tierra. No hay que olvidar, que como esta es una interacción el mono ejerce una fuerza sobre la Tierra, este par de fuerzas tiene igual magnitud y dirección, distinto sentido, actúan en cuerpos diferentes. De acuerdo con la ley de gravitación, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m1 = 1 kg ubicado en su superficie ( distancia entre los centros = RT = 6,38 • 106 m ) tiene un valor de: F T → cuerpo = 6,67 • 10-11 • 5,98 • 1024 • 1 = 9,8 N (6,38 • 106 )2 Por lo tanto, una bolsa azúcar de 1 kg, cerca de l a superficie de la Tierra pesa 9,8 N. Este valor s e conoce también como 1 kgf ( kilogramo fuerza) o 1 kp ( kilopondio ). Si consideramos la fuerza que ejerce la Tierra sobre cualquier cuerpo de masa “ m “ ubicada en sus cercanías, se tiene : FT → cuerpo = 6,67 • 10-11 • 5,98 • 1024 • m = 9,8 (N/kg) • m (6,38 • 106 )2

El peso del cuerpo resulta así proporcional al valor de su masa y la constante de proporcionalidad si se encuentra en las cercanías de la Tierra es 9,8 N / kg , llamada Intensidad del campo gravitatorio terrestre y se representa por g. Luego se tiene que : F T →→→→ cuerpo = m •••• g La variación del peso de un cuerpo con la ubicación sobre la superficie de la Tierra es relativamente pequeña. A una altura dada, por ejemplo a nivel del mar, el peso de un cuerpo que es máximo en los polos y mínimo en el Ecuador, tiene una variación de 0,5 %. A una latitud dada, el peso disminuye con la altura, y por ejemplo al pasar del nivel del mar a la cumbre del Monte Everest es de un 0,33 %.

El estudio de las fuerzas plantea la necesidad de contar con un instrumento que permita medirlas. Una forma de construir dicho instrumento es dirigir la atención a los efectos de deformación que ella produce al actuar sobre un cuerpo (resorte). El grado de deformación depende de la magnitud de la fuerza aplicada y la rigidez del cuerpo. En muchos casos, la deformación desaparece cuando cesa la acción de la fuerza, en otros persiste algún grado de deformación aún después que la fuerza ha dejado de actuar. En este principio se basa el dinamómetro, que es un resorte dentro de una carcasa y un puntero que indica la deformación de dicho resorte. La escala puede ser calibrada en newtons, en kgf, o bien en kp. 1 kgf, es la atracción gravitatoria de un objeto de 1 kg a nivel del mar y a 45º de latitud. 1 Newton ( N ) es aproximadamente la atracción que ejerce la tierra sobre un objeto de 100 gr. Es decir una manzana ( 100 gr ) pesa aproximadamente 1 N. Luego 1 kgf es aproximadamente 10 N Por ejemplo: En el sistema de unidades británico, la fuerza se mide en libras ( lb ), y 1,0 lb es el peso de un objeto cuya masa es 0,454 kg. Por lo tanto 1,0 lb es aproximadamente igual a 4,45 N. a)¿Cuál es el peso en newtons de un saco de azúcar de 5,0 lb ? b)Si una manzana pesa 1 N , ¿cuál es su peso en libras ? c)¿Cuál es la masa en kg de un boxeador que pesa 120 lb? 1 lb / 4,45 N = 5,0 lb / x ⇒ x = 22,25 N 1 lb / 4,45 N = x / 1 N ⇒ x = 0,22 N 1 lb / 0,454 kg = 120 lb / x ⇒ x = 54,5 kg Otro ejemplo : Entre las propiedades que presenta la materia es conveniente mencionar la idea de densidad . Esto indica la masa por unidad de volumen de una sustancia y es característico de ella, a una temperatura y presión. Considerando que la densidad del hierro es dHi = 7800 kg/m3 , determine cuánto pesa una barra cilíndrica de hierro de 2 cm de diámetro y 120 cm de longitud? Recuerde que el volumen de un tubo cilíndrico es el producto del área de la base ( π • (diámetro)2 / 4 ) y la altura. PESO = m • g, con m = dENSIDAD • VOLUMEN , El volumen de un cilindro es V = ¼ • π • D2 • L , con D diámetro( 2 cm = 0,02 m ) y L longitud del cilindro ( 120 cm = 1,2 m ). V = ¼ • π • D2 • L = ¼ • π • ( 0,02 )2 • 1,2 = 0,0003768 m3 = 3,768 • 10-4 m3 Luego, m = 7800 • 3,768 • 10-4 = 2,93 kg PESO = m • g = 2,93 • 10 = 29,3 N

Fuerzas de fricción Cuando un cuerpo está en movimiento sobre una superficie áspera, o cuando un objeto se mueve a través de un medio viscoso como el aire o agua, existe una resistencia al movimiento debido a la interacción del objeto con el medio que lo rodea. A esta resistencia se le conoce como fuerza de fric ción o de rozamiento. Su dirección es paralela al movimiento y su sentido e s opuesto al sentido del movimiento del objeto . Los experimentos indican que esta fuerza proviene de la aspereza de las dos superficies, de tal modo que el contacto se realiza sólo en unos cuántos puntos de las superficies. En realidad, cuando esta fuerza se concibe a nivel microscópico es muy complicada, porque implica fuerzas electrostáticas entre los átomos o las moléculas en aquellos puntos en donde las superficies entran en contacto. Supongamos un bloque en reposo sobre la superficie de la mesa. Las fuerzas que actúan sobre él son : W : la acción de la Tierra sobre el cuerpo FC : acción ejercida por la superficie de la mesa sobre el bloque. Al tratar de deslizar el bloque, aplicando una fuerza T, la fuerza FC ejercida por la superficie sobre el bloque se inclina hacia la izquierda dando origen a dos componentes rectangulares : Una componente paralela a la superficie, “ f ” llamada fuerza de roce , y una perpendicular a la superficie llamada normal N . Si se aumenta gradualmente el valor de T, mientras su valor no sea grande el bloque permanece en reposo y se habla de fuerza de roce estático ( fe ). Si T se incrementa y alcanza un valor mayor de fe , el bloque comienza a moverse y se habla de fuerza de roce cinético ( fc ). Experimentalmente se comprueba que la fuerza de roce estático crece desde un valor cero hasta un valor máximo. Para dos superficies dadas su valor es proporcional a la fuerza normal N , es decir : fe (max) = cte • N Es independiente del área de la superficie de contacto, esto es, si se divide un bloque por la mitad y se coloca una pieza sobre la otra , el valor fe (max) sigue siendo el mismo.

La constante de proporcionalidad entre fe (max) y N, recibe el nombre de coeficiente de roce estático ( ue ) , y su valor depende de la naturaleza de las superficies de contacto , su limpieza, humedad , lisura ,etc. Entonces la expresión para la fuerza de roce estático es: fe ≤≤≤≤ ue •••• N, la igualdad ( fe = ue • N ) se establece cuando el objeto está a punto de moverse. Al iniciarse el movimiento se observa que la fuerza de roce ahora, cinética, disminuye de valor, es decir, es menor que la fuerza de roce estática máxima. El valor de la fuerza de roce cinética es también proporcional a la fuerza normal y es independiente del área de contacto. Su valor satisface la relación: fc = uc •••• N donde uc , se llama coeficiente de roce cinético y su valor queda determinado por la naturaleza de las superficies. A diferencia de la fuerza de roce estático ( variable) , la fuerza de roce cinética es constante, es decir tiene siempre el mismo valor. Frecuentemente se intenta reducir el valor de la fuerza de roce, la cuál se opone al movimiento deseado, ello se consigue a menudo con rodillos, ruedas, rodamientos. Si un objeto se mueve dentro de un fluido, la fuerza de roce se llama fuerza de roce viscoso y su valor es pequeño si se compara con el roce entre dos superficies sólidas. Por lo tanto el uso de líquidos lubricantes como el aceite, se interpone entre las superficies en contacto, disminuye bastante el roce. Análogamente una capa de aire suministra un soporte casi sin roce para los vehículos aerodeslizantes o para mesas experimentales de aire. Al caminar o correr, no advertimos roce en las rodillas ni en las articulaciones de las piernas. Estas y muchas otras articulaciones se encuentran bien lubricadas mediante el líquido sinovial, que pasa a través del cartílago que las reviste cuando ellas se mueven. Este lubricante tiende a ser absorbido, cuando la articulación está en reposo, aumentando entonces el rozamiento y facilitando el mantener una posición fija. Esto constituye un excelente ejemplo de la sabia ingeniería biológica empleada por la naturaleza. El roce limita la eficiencia de máquinas y motores, pero por otro lado, hacemos uso del roce en un gran número de situaciones, como en el frenar de autos, al caminar, las correas transportadoras, etc. Frecuentemente se intenta reducir el valor de la fuerza de roce, la cuál se opone al movimiento deseado, ello se consigue a menudo con rodillos , ruedas, rodamientos. Si un objeto se mueve dentro de un fluido, la fuerza de roce se llama fuerza de roce viscoso y su valor es pequeño si se compara con el roce entre dos superficies sólidas. Por lo tanto el uso de líquidos lubricantes como el aceite, se interpone entre las superficies en contacto, disminuye bastante el roce. Análogamente una capa de aire suministra un soporte casi sin roce para los vehículos aerodeslizantes o para mesas experimentales de aire. Al caminar o correr, no advertimos roce en las rodillas ni en las articulaciones de las piernas. Estas y muchas otras articulaciones se encuentran bien lubricadas mediante el líquido sinovial, que pasa a través del cartílago que las reviste cuando ellas se mueven. Este lubricante tiende a ser absorbido, cuando la articulación está en reposo, aumentando entonces el rozamiento y facilitando el mantener una posición fija. Esto constituye un excelente ejemplo de la sabia ingeniería biológica empleada por la naturaleza.

El roce limita la eficiencia de máquinas y motores, pero por otro lado, hacemos uso del roce en un gran número de situaciones, como en el frenar de autos, al caminar, las correas transportadoras, etc. Para nuestro caminar, el efecto del roce es importante. Cuando el talón toca el suelo, éste ejerce una fuerza sobre aquél. Las componentes según los ejes x e y son f y N ( fig. a ). Antes de levantar el pie para dar el nuevo paso, la punta del zapato recibe la acción de la fuerza de roce f que esta vez está dirigida hacia adelante, evitando nuevamente el resbalar ( fig, b ). Si la superficie sobre la cuál caminamos es muy lisa, el coeficiente de roce es muy pequeño, por lo que la fuerza de roce también es pequeña y como consecuencia resbalamos fácilmente. Una persona trata de empujar una caja sobre un plano horizontal como muestra la figura (a) y no consigue ponerla en movimiento. Intuitivamente, se agacha y empuja la caja aplicando la fuerza como en (b) y en este caso con el mismo esfuerzo logra su intento. Explique la razón. En el caso a) la fuerza aplicada se descompone en una horizontal y otra vertical Fy. La vertical apunta hacia abajo y se suma al peso del objeto, de este modo aumenta la compresión al suelo, y este reacciona con una fuerza normal de mayor valor. Como la fuerza de roce es proporcional a la normal , si aumenta ésta última, aumenta la fuerza de roce y por ello le cuesta moverla. En el caso b) sólo actúa en la vertical el peso del objeto, por lo tanto la reacción del suelo (la normal) no es de gran valor y por ello la fuerza de roce es pequeña.

Diagrama de cuerpo libre Sobre un cuerpo actúan tantas fuerzas como cuerpos interactúen con él. El diagrama que ilustra todas las fuerzas que en un instante están actuando sobre una partícula recibe el nombre de “diagrama de cuerpo libre “ o “diagrama de fuerzas “. En los siguientes ejemplos se dibujan las fuerzas sobre el objeto marcado por un círculo y además se menciona quién ejerce cada una de ellas. El bloque interactúa con: la tierra que ejerce una fuerza vertical hacia abajo, con la superficie del plano que ejerce dos fuerzas una perpendicular a la superficie llamada normal y otra paralela a la superficie llamada fuerza de roce y con la cuerda que ejerce una acción sobre el bloque hacia arriba del plano. En este caso se han analizado las fuerzas actuando en cada uno de los cuerpos. También podemos considerar el conjunto de los dos bloques como un sistema. Para este caso, el sistema interactúa con la Tierra, la fuerza F ejercida por el agente externo y con la superficie que ejerce solamente una fuerza Normal (no hay fricción). Para calcular el peso del conjunto debemos sumar las masas y luego multiplicar por g, es decir: P = ( m1 + m2 ) • g

En este capítulo, se considera que la polea es Ideal, por lo tanto la tensión a uno y otro lado de la cuerda es la misma. Aquí se han dibujado las fuerzas en cada cuerpo. Si consideramos el conjunto como un sistema, las fuerzas externas sobre él son: P2 : fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo 2 P1 : fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo 1 N : la fuerza normal ejercida por la superficie sobre 1 fC: fuerza de roce ejercida por la superficie sobre 1 No se dibuja la tensión en la cuerda, porque se con sidera parte del sistema. MUY IMPORTANTE Cuando un cuerpo se encuentra en un plano inclinado, el peso se descompone en dos componentes rectangulares: ( P y ) : perpendicular a la superficie del plano ( Px ) : paralela a la superficie del plano Mediante las funciones trigonométricas, podemos determinar sus magnitudes : P x = P sen αααα ; P y = P cos αααα Para transportar el barril hacia arriba, la persona debe ejercer una fuerza menor, que si lo levantara verticalmente. En este caso debe contrarrestar la componente del peso paralela a la superficie.

Ejercicios propuestos 47.- En cada una de las figuras, dibuje y defina las fuerzas que actúan sobre el objeto mencionado . d) Una persona empuja una bolita sobre una mesa áspera empezando a moverse. Al llegar al borde de la mesa cae bajo la acción de la gravedad. Dibuje las fuerzas sobre la bolita: a)cuando se mueve en la mesa, b)cuando cae libremente. e)En la figura A esta fijo a la pared mediante una cuerda. El bloque B es tirado mediante otra cuerda hacia la derecha y las superficies de los cuerpos A y B son ásperas, al igual que entre el suelo y B. Dibuje y defina las fuerzas que actúan en A y en B. f) Un bloque sube por un plano inclinado áspero mediante una cuerda accionada por un motor. Dibuje y defina las fuerzas sobre el bloque. g) Pedro empuja al cuerpo A que está en contacto con B, y ambos sobre una superficie áspera. Suponga que los dos cuerpos se mueven. Dibuje y defina las fuerzas sobre A y B.

a)Un cohete moviéndose bajo la acción de la gravedad.

b)Un bloque sobre una mesa

c)Un saco de cemento sostenido por una cuerda

Primera ley de Newton: Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa. Un cuerpo en movimiento continua moviéndose con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerza externa. Esta primera ley afirma que el cuerpo tiende a conservar su estado de movimiento a menos que sea obligado a cambiarlo por una fuerza neta ejercida sobre él. Se tiene así una definición cualitativa de fuerza, como aquello que hace variar el estado de movimiento de un cuerpo. La tendencia a conservar el estado de movimiento con velocidad constante pone en evidencia una propiedad del cuerpo llamada “ inercia “. La masa del cuerpo es la medida de aquella inercia. Todos hemos vivido la experiencia de ser lanzados hacia delante si vamos de pie y distraídos cuando el vehículo frena bruscamente; o ser lanzados hacia fuera cuando el vehículo describe bruscamente una curva. El vehículo varío su movimiento porque sobre él actúo una fuerza neta; pero no sobre los pasajeros cuyos cuerpos, por inercia siguieron moviéndose con la velocidad que llevaban justo antes que el conductor aplicara los frenos en el primer caso, o antes que cambiara de dirección el movimiento del vehículo en el segundo caso. La primera ley pone en igualdad de condiciones desde el punto de vista dinámico, a reposo y a movimiento con velocidad constante, pues en ambos casos, la fuerza resultante sobre el cuerpo vale cero, es decir no hay fuerza neta : → → → ΣΣΣΣ F = 0 ⇒⇒⇒⇒ v = 0 (reposo) o v = constante ( M .R.U.) Al ser esta, una ecuación vectorial, se tiene : → → → → ΣΣΣΣ F = 0 ⇒⇒⇒⇒ ΣΣΣΣ FX = 0 , ΣΣΣΣ FY = 0 , ΣΣΣΣ Fz = 0 Tercera ley de Newton: Podemos establecer que si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B ( F A → B ) , el objeto B ejerce simultáneamente una fuerza sobre el cuerpo A ( F B → A ) . Este hecho es conocido como la tercera ley de Newton. Ambas fuerzas ( llamadas acción y reacción) tiene igual valor (magnitud), actúan en la misma línea de acción ( igual dirección) , tienen sentido opuesto y actúan en cuerpos diferentes . La fuerza que ejerce el martillo sobre el clavo actúa en el clavo hacia abajo y es de igual magnitud y opuesta a la que ejerce el clavo sobre el martillo que actúa en el martillo hacia arriba. Los efectos que provocan estas fuerzas en uno y otro cuerpo, depende entre otras cosas de las características mecánicas de los objetos.

Segunda ley de Newton: La segunda ley establece que la aceleración ( a ) que adquiere el objeto es directamente proporcional al valor de la fuerza neta ( ΣΣΣΣF ) que actúa sobre él: → → → → a = ΣΣΣΣF / m ⇒⇒⇒⇒ ΣΣΣΣ F = m •••• a con a = dv / dt

La relación anterior, muestra que para una fuerza dada, cuanto mayor sea la masa del cuerpo menor será la aceleración que adquiere. En otras palabras, la masa de un cuerpo caracteriza la “dificultad” que presenta para adquirir una aceleración. Por tanto, dados dos cuerpos de diferente masa, el de masa mayor presentará una mayor “dificultad” para modificar su velocidad, es decir el de mayor masa presenta una más alta inercia . UNIDADES DE FUERZA Y DE MASA Si la masa del cuerpo se mide en kg y la aceleración se mide en m/s2 , entonces la fuerza se mide en Newtons ( N ). Así, entonces 1 N es la fuerza resultante necesaria que aplicada a un cuerpo de masa 1 kg le comunica una aceleración de 1 m/s 2 . MARCOS INERCIALES La primera ley de Newton algunas veces recibe el nombre de ley de inercia , ya que define un conjunto de marcos de referencia llamados marcos de referencia inerciales . Un marco de referencia inercial es aquel en que es válida la primera ley de Newton. Un marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto a las estrellas distantes es la mejor aproximación de un marco inercial. La Tierra no es un marco de referencia inercial debido a su movimiento orbital alrededor del Sol y a su movimiento de rotación alrededor de su propio eje. A medida que la Tierra viaja en su órbita casi circunferencial alrededor del Sol, experimenta una aceleración centrípeta de valor aproximadamente igual a 4,4 • 10-3 m/s2 dirigida hacia el Sol. Además como la Tierra gira alrededor de su propio eje una vez cada 24 h, un punto sobre el Ecuador experimenta una aceleración centrípeta adicional de 3,37 • 10-2 m/s2 . Sin embargo estas aceleraciones son pequeñas comparadas con g y a menudo se pueden despreciar. En la mayoría de los casos se supone que la Tierra es un marco inercial . Por tanto si un objeto se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme ( velocidad constante ), un observador en un marco inercial ( digamos, uno en reposo con respecto al objeto ) afirmará que la aceleración y la fuerza resultante sobre el objeto son cero. Un observador en cualquier otro marco inercial también encontrará que, para el mismo objeto, a = 0 y ΣF = 0. De acuerdo con la primera ley, un cuerpo en reposo y otro con velocidad constante son equivalentes. Existen algunos fenómenos observables en la vida diaria que se originan debido a la naturaleza no inercial de la tierra debido a su rotación. a)Uno de ellos es el remolino que se forma en el lavamanos. Si observamos lo que sucede en cualquier punto del Hemisferio Sur ( Santiago entre ellos), notaremos que el agua al escurrirse del lavamanos gira en dirección contraria a los punteros del reloj. Este remolino que forma el agua se debe exclusivamente a la rotación de la tierra. Es más, en el hemisferio Norte, se observa el mismo efecto, pero la rotación del agua es en sentido contrario. b)Todos sabemos que es muy peligroso caminar sobre un disco que está girando. Es muy difícil saber que debemos hacer para equilibrarnos. Sin embargo la tierra está girando y nosotros no perdemos el equilibrio. La explicación radica en la pequeña magnitud que tiene la velocidad angular de la tierra. Consecuentemente sus efectos son difíciles de captar.

Por ejemplo : ¿Qué fuerza F ejercida en un ángulo de 30 o respecto a la horizontal se necesita para mover con velocidad constante hacia la derecha, sobre una superficie horizontal áspera, un bloque que pesa 80 N ? El coeficiente de roce cinético es 0,4 . Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: P : fuerza ejercida por la tierra sobre el bloque, su valor es 80 N F : fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque N : fuerza normal fc : fuerza de roce cinético ejercida por la superficie sobre el bloque Se deben dibujar fuerzas en el eje x y fuerzas en el eje y, por lo tanto la fuerza F debemos expresarla en término de sus componentes rectangulares. Usando la primera ley de Newton (condición del problema velocidad constante ) podemos escribir : ΣFy = 0 → F sen 30 o + N - P = 0 ⇒ 0,5F + N = 80 ΣFx = 0 → F cos 30 o - f c = 0 ⇒ 0,86F – 0,4 • N = 0 De la primera ecuación, obtenemos el valor de N, pues N = 80 – 0,5F , reemplazando este valor en 0,86F – 0,4 • N = 0 0,86F - 0,4 ( 80 - F sen 30 o ) = 0 0,86 F - 32 + 0,4 • 0,5 F = 0 ⇒ F = 30 N Por ejemplo : Un cuadro que pesa 8 N cuelga en equilibrio mediante dos cables que ejercen tensiones T1 y T2. Determine la tensión en los dos cables. Las fuerzas sobre el cuado son: T1: tensión ejercida por cuerda 1 T2: tensión ejercida por cuerda 2 P: peso del cuadro 8 N Expresando las tensiones en términos de sus componentes se tiene: ΣFy = 0 → sen60 T1 + sen30 T2 – 8 = 0 ΣFx = 0 → - cos60 T1 + cos30 T2 = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: T2 = 4,0 N, T1 = 6,97 N

Por ejemplo : Un cuerpo de masa m se deja deslizar sobre un plano inclinado sin fricción. El ángulo de inclinación es θ = 15o. a)¿Cuál es la aceleración en el movimiento del cuerpo al descender por el plano? b)Si el bloque parte del reposo desde la parte mas alta del plano y la longitud del plano es 2,0 m, ¿cuál es la rapidez al llegar a la parte mas baja del plano? La aceleración del cuerpo está dada por a = ΣF / m , luego debemos determinar la resultante ΣF de las fuerzas externas sobre el bloque . En la dirección perpendicular al plano no hay movimiento, por lo tanto la normal N y la componente del peso mg cos θθθθ se anulan. La única fuerza que queda en el sentido del movimiento, es mg sen θθθθ, por lo tanto ΣF = mg sen θθθθ Siempre es conveniente considerar como sentido posi tivo aquel en el cuál se mueve el objeto. a = ΣF / m, de donde a = mg senθ / m → a = g sen θ = 9,8 • sen 15o = 2,54 m/s2 Para calcular la velocidad al llegar al punto mas bajo, usamos: ( vF )2 = ( vI )

2 + 2 •a • ∆x ( vF )2 = ( 0 )2 + 2 • 2,54 • 2 ⇒ vF = 3,18 m/s

Por ejemplo : Un bloque de 100 kg de masa descansa en un plano horizontal. Hallar la magnitud de la fuerza F necesaria para comunicarle una aceleración de 3 m/s2 hacia la derecha. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano es uc = 0,25. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: F : fuerza ejercida por el agente externo W : peso del cuerpo, W = m g = 100 kg • 10 N/kg = 1000 N N : fuerza ejercida por el suelo sobre el bloque hacia arriba ( normal). f : fuerza de roce cinético Para calcular el valor de la fuerza P debemos considerar las fuerzas en dirección horizontal y vertical. Teniendo presente que en la dirección horizontal no hay movimiento ( ΣΣΣΣF = 0 ) , y en la dirección horizontal ( ΣΣΣΣF = m •••• a ).

Eje y : ΣΣΣΣF = 0 ⇒ N - W - F sen 30 = 0 ⇒ N = 1000 + 0,5 F Eje x : ΣΣΣΣF = m •••• a ⇒ F cos 30 - f = m • a ⇒ 0,86 F - f = 100 • 3 ⇒ 0,86 F - f = 300 Sabiendo que f = uc • N , se tiene f = 0,25 ( 1000 + 0,5 F ) = 250 + 0,125 F 0,86 F - (250 + 0,125 F ) = 300 ⇒ 0,86 F - 250 - 0,125 F = 300 ⇒ 0,735 F = 550 ⇒ F = 748 N

Por ejemplo : Dos bloques unidos por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento descansan sobre planos lisos ( sin fricción ), como muestra la figura. ¿Cuál es la aceleración de los bloques y la tensión en la cuerda? a)Considerando los dos bloques y la cuerda como sistema: La aceleración es: a = ΣF / mSISTEMA

Las fuerzas que pueden acelerar el sistema, son las componentes de los pesos en dirección paralela a los planos, luego: a = ( 100 • 9,81 • sen 30 – 50 • 9,81 • sen 53 ) ( 100 + 50 ) a = 0,658 m/s2 , el conjunto se mueve con esta aceleración y hacia la izquierda. Para calcular la tensión en la cuerda, debemos considerar cualquiera de los bloques, por ejemplo elegimos el de 100 kg (éste baja por el plano): Sentido positivo hacia abajo: ΣF = m • a 490,5 – T = 100 • 0,658 T = 425 N Por ejemplo : Tres bloques están en contacto entre sí sobre una superficie horizontal sin fricción como muestra la figura. Una fuerza horizontal F es aplicada a m1. Si m1 = 2 kg, m2 = 3 kg, m3 = 4 kg, F = 18 N. Determine la aceleración de los bloques y las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques. Considerando como un sistema los tres bloques, la única fuerza que los acelera es F, por lo tanto la aceleración es: a = ΣF / mTOT ⇒ a = 18 N / ( 2 + 3 + 4+ ) kg = 2 m/s2 , esta es la aceleración del conjunto y por lo tanto de cada bloque. Bloque de masa m1: Bloque de masa m3: F: fuerza ejercida por agente externo = 18 N P3: peso del bloque 3 = 4 • 9,8 = 39,2 N F2→1 :Fuerza de contacto ejercida por bloque 2 sobre 1 N: fuerza normal N: fuerza normal F2 →3 : Fuerza de contacto ejercida P1: peso del bloque 1 = 2 • 9,8 = 19,6 N por bloque 2 sobre 3 En la dirección vertical no hay movimiento, En la dirección vertical no hay movimiento luego: N = P1 = 19,6 N luego N = P3 = 4 • 9,8 = 39,2 N En la dirección horizontal ΣF = m • a En dirección horizontal ΣF = m• a 18 - F2→1 = 2 • 2 ⇒ F2→1 = 14 N F2 → 3 = 4 • 2 = 8 N

Por ejemplo : Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas ligeras que pasan sobre las poleas sin fricción. La aceleración del sistema es de 2 m/s2 hacia la izquierda y las superficies son ásperas. Determine : a)Las tensiones en las cuerdas b)El coeficiente de roce cinético entre los bloques y las superficies (suponga que u es el mismo para ambos bloques). Considerando el sistema de los bloques y las cuerdas, la aceleración es: a = ΣΣΣΣF / mSISTEMA, y sentido positivo hacia la izquierda, se tiene: En el bloque de 5 kg, la normal N1 = 49 N, por lo tanto f = u • N1 = u • 49 En el bloque de 3 kg, la fuerza normal N2 es igual a la componente del peso perpendicular al plano: N2 = 3 • 9,8 • cos 25 = 27 N Luego, la fuerza de roce en este bloque es f = u • N2 = u • 27 La componente del peso de 3 kg paralela al plano es 3 • 9,8 • sen 25 = 12,4 N Entonces, a = ΣΣΣΣF / mSISTEMA, 2 = ( 98 – u • 49 – u • 27 – 12,4 ) / 18 ⇒ u = 0,65 Para calcular T1, consideramos sentido positivo hacia abajo en el bloque de 10 kg: 98 – T1 = 10 • 2 T1 = 78 N Para calcular T2 consideramos el bloque de 3 kg, sentido positivo hacia arriba: T2 – 0,65 • 27 - 12,4 = 3 • 2 T2 = 36 N

Ejercicios propuestos 48.-En la figura, el bloque A pesa 4 N y el bloque B pesa 8 N. El coeficiente de roce cinético entre todas las superficies es 0,25. Calcule la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante si: a) A descansa sobre B y se mueve con él b) A se mantiene en reposo c) A y B están unidos por una cuerda ideal que pasa por una polea sin roce 49.-Un embalaje de 75 kg es levantado en equilibrio como muestra la figura. Calcular las fuerzas que ejercen las cuerdas AB y AC. 50.-En la operación de descarga de un buque, un coche de 1600 kg está soportado por un cable. Una cuerda está unida al cable en A y se tira de ella para centrar el auto en la posición prevista. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2o mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30o . ¿Cuál es la tensión en la cuerda AB y AC? 51.-Hallar la tensión en el cable AC y en el cable AB

52.-Hay que bajar una caja fuerte de 2000 N a velocidad constante por una rampa de 4m de longitud, desde un camión de 2 m de altura. a)Si el coeficiente de roce cinético entre la caja y la rampa es 0,3, ¿habrá que empujar o retener la caja? b)¿Qué fuerza paralela a la rampa se necesita? Se presentan aquí algunos ejercicios en los cuáles aparecen poleas, que son dispositivos mecánicos que permiten disminuir el valor de una fuerza ejerc ida. En el solucionario se da una descripción de cómo funcionan las poleas. 53.-Un embalaje de 250 kg se suspende en equilibrio de los distintos polipastos que se muestran en la figura. Hallar la tensión en la cuerda para cada caso. 54.-Una camioneta es rescatada en equilibrio de un lodazal con un cable atado al vehículo y a un árbol. Cuando los ángulos son los que muestra la figura, se ejerce una fuerza de 40 lb en el punto central del cable. ¿Qué fuerza ejerce el cable sobre la camioneta? 55.-Encuentre el peso máximo W que es posible colgar en la figura sin alterar el equilibrio. Suponga que el coeficiente de roce estático entre el bloque y la superficie es 0,3. 56.-Dos pesas cuelgan de dos poleas ideales como muestra la figura. ¿Qué peso W hará que el bloque de 300 lb apenas empiece a moverse hacia la derecha. Considere que el coeficiente de roce estático es uest = 0,3

57.-Suponga que las masas m1 = 2 kg y m2 = 8 kg están unidas por una cuerda que pasa por una polea ligera sin fricción como muestra la figura. Si el conjunto se abandona a partir del reposo ¿cuál es la aceleración de cada cuerpo y la tensión en la cuerda? 58.-a)Suponga que el conjunto se abandona desde el reposo y no hay fricción entre el bloque y la superficie, ¿cuál es la aceleración de cada bloque y la tensión en la cuerda? b)Repita el ejercicio ( a) pero ahora hay fuerza de roce cinético sobre el bloque de 10 kg, suponga que el coeficiente de roce cinético es 0,2. 59.-¿Cuál es la aceleración de cada bloque y la tensión en la cuerda, al abandonar el conjunto desde el reposo?. No hay fricción entre el bloque yl a superficie. 60.-Sobre el cuerpo A se ejerce una fuerza de 45 N, si no hay fricción ¿cuál es el valor de la fuerza que ejerce A sobre B? 61.-El objeto de 6 kg es arrastrado por una fuerza de 80 N, no hay fricción entre la superficie y los bloques. ¿Cuál es la tensión en la cuerda que une los bloques?

Fuerzas en el movimiento circunferencial Recordando que la aceleración que adquiere una partícula en el movimiento circunferencial uniforme tiene un valor a = v2 / R y que su dirección es radial hacia el centro, aplicando la segunda ley de Newton , debe existir una fuerza neta que produzca dicha aceleración. Su valor está dado por la expresión : Σ F = m • ac Σ F = m • v2 / R , pero v = w R Σ F = m • w 2 • R La fuerza aceleradora ( Σ F ) recibe el nombre de fuerza centrípeta (dirigida hacia el centro) y es una fuerza resultante. Siempre que una fuerza actúa sobre un cuerpo debe h aber un agente responsable de la misma. Por lo tanto cuando un describe una trayecto ria curva hay un agente responsable de la fuerza centrípeta que se ejerce sobre el cuerpo

. Imagina un cuerpo apoyado sobre una mesa horizontal sin roce, que gira sujeto por una cuerda o cordón fijo a un clavo. Por lo tanto T es la fuerza centrípeta y su valor está dado por : T = m • (v)2 / R La cuerda ( que ejerce la tensión T ) es el agente del cambio en la dirección de la velocidad del cuerpo. Si se cortara la cuerda, la fuerza centrípeta dejaría de existir y el cuerpo por inercia pasaría a moverse en la dirección de la tangente a la curva en el punto donde se rompió el cordón. Cuando un satélite artificial se encuentra en órbita alrededor de la tierra, podemos considerar que la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza F de atracción de la tierra sobre el satélite. Suponiendo que la órbita sea circular, la fuerza F se halla dirigida al centro de la trayectoria, que es el centro de la tierra. Por tanto el efecto de F es cambiar la dirección de la velocidad del satélite, obligándolo a describir la trayectoria circular alrededor de la tierra. Es decir F es la fuerza centrípeta del movimiento circular del satélite y es el agente responsable de la existencia de esta fuerza. ¿Qué pasaría si la atracción de la tierra dejara de existir?

Considere un auto en una carretera plana y horizontal, cuando toma una de las curvas. Como la trayectoria es curva, la velocidad v del auto cambia continuamente de dirección. Deberá existir entonces una fuerza centrípeta que actúe sobre el auto y la cuál es responsable del cambio de dirección del vector v. En este caso la fuerza centrípeta es proporcionada por la fricción entre los neumáticos y la carretera. Cuando el conductor gira el volante al entrar en la curva, aparece como reacción de la carretera sobre las ruedas una fuerza de fricción lateral f , dirigida hacia el centro de la curva. Esta fuerza de fricción es la fuerza centrípeta en este movimiento y su valor es f = m • v2 / R

La figura muestra un motociclista en un “globo de la muerte”, de radio R moviéndose como muestra la figura. No considerando las fuerzas de fricción, sobre la motocicleta actúan en cada una de sus posiciones : el peso total mg (motocicleta + motociclista) y la reacción normal N del globo. La fuerza N aparece como una reacción a la compresión que la motocicleta ejerce sobre el globo, debido a su tendencia a moverse en línea recta. En cada punto debe actuar sobre la máquina una fuerza centrípeta responsable de la variación de la velocidad. Se tiene para los puntos A , B , C , D: en A : N y mg están ambas hacia el centro, luego la fuerza centrípeta en ese punto es : N + mg = m vA

2 / R

en B : Sólo N está dirigida hacia el centro ( mg es vertical ), N = m vB

2 / R en C : la resultante dirigida hacia el centro es igual a N - mg y la fuerza centrípeta es: N - mg = m vC

2 / R

en D : existe una situación semejante a la del punto B , y la fuerza centrípeta esta dada por N: N = m vD

2 / R

En resumen : Siempre que un cuerpo describe una tra yectoria circular, la fuerza centrípeta está dada en cada instante por la resultante de las fuerzas q ue actúan sobre el cuerpo en la dirección del radio de la trayectoria. Por ejemplo : Suponga que un auto de masa 900 kg va a describir una curva cuyo radio es R = 30 m en una carretera plana y horizontal. a)Si la rapidez del auto es v = 10 m/s ( 36 km/h ), ¿cuál es el valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre él para que logre entrar en la curva? La fuerza centrípeta es : Fc = m • v2 / R = 900 • ( 10 )2 / 30 = 3, 0 • 103 N Observe que como m , v , R están en unidades SI , la fuerza se mide en newtons. b)Si el coeficiente de fricción entre los neumáticos y la carretera es u = 0,5 , ¿el auto lograra describir la curva? Como sabemos, la fuerza centrípeta la proporciona la fricción entre los neumáticos y la carretera. La fuerza de roce máxima es: F = u • N = u • mg = 0,5 • 900 • 9,8 = 4,4 • 10 3 N Como el auto “necesita” de una fuerza centrípeta de sólo 3,0 x 103 N , concluimos que conseguirá describir la curva; o sea la fricción podrá ejercer la fuerza de 3,0 x 10 3 N necesaria para que el auto no se salga de la carretera. c)¿Cuál es el valor máximo de la rapidez que el auto podría desarrollar en esta curva sin derrapar? La velocidad máxima sería la que exigiese una fuerza centrípeta igual al valor máximo de la fuerza de fricción. Entonces siendo vM esta velocidad máxima podemos escribir : m • ( vM )2 / R = f, es decir 900 • ( vM )2 / 30 = 4,4 • 10 3 ⇒ vM = 12,2 m/s = 44 km/h

Otro ejemplo : Una moneda de 20 gr ( 0,02 kg ) gira en un disco horizontal situada a 10 cm ( 0,1 m ) del centro de un disco horizontal. ¿Cuál es la máxima velocidad angular ( w ) que puede adquirir el disco para que la moneda no deslice? Suponga que el coeficiente de roce estático entre las superficies es 0,25 . En este caso la fuerza centrípeta es proporcionada por la fuerza de roce estático : F centrípeta = f roce estático → m v2 / R = ue N , pero v = w R , por lo tanto : m w2 R = ue m g → w = √ ( ue • g ) / R reemplace Ud. los valores.

Ejercicios propuestos 62.- a) Una piedra de masa 0,5 kg está colgada en equilibrio, en el extremo de un cordel como muestra la figura. (a). Cuál es el valor de la tensión T del cordel? b)Suponga que la piedra se haga oscilar como muestra la figura (b). Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria, tiene una velocidad de 2 m/s , calcular la tensión en la cuerda , considere que la longitud del hilo es 1,0 m. 63.-Un auto de masa m ,está describiendo una curva de radio R y centro C con una rapidez v . Para hacer que el auto tenga más seguridad al describir esa curva los ingenieros construyen la pista de modo que la parte externa sea mas alta. Siendo θ el ángulo de elevación dado a la pista, vamos a determinar el valor de este ángulo para que el auto logre hacer la curva incluso en ausencia total de fricción . a)Dibuje, en la figura, las componentes vertical NV y horizontal NH de la reacción normal N de la pista sobre el auto. b)Exprese la magnitud de la componente horizontal NH en función de mg y de θ . c)Usando el valor de la respuesta anterior, muestre que el valor de θ está dado por tg θ = v2 / g R d)Suponga que un auto formula 1 con una rapidez de 72 km/h , estuviera describiendo una curva de radio R = 125 m. Imagine que la pista se encuentra totalmente cubierta de aceite (sin fricción) y determine cuál debería ser el valor de su inclinación θ para que el auto logre describir la curva normalmente. Considere g = 10 m/s2 . 64.-Un auto de masa m = 1500 kg avanza por una carretera a 36 km/h , pasa por una loma cuyo radio , en el punto más alto, vale R = 50 m. Considerando g = 10 m/s2 : a)Calcule la compresión vertical que el auto está ejerciendo sobre el suelo al pasar por aquél punto. b)Compare el valor de esa compresión con el peso del auto. 65-Un juego mecánico de un parque de diversiones consta de un gran cilindro vertical que gira alrededor de su eje lo suficientemente rápido como para que cualquier persona que se encuentre dentro de él se mantenga pegada contra la pared cuando se le quita el piso. El coeficiente de fricción estática entre la persona y la pared es us y el radio del cilindro es r. a)Demuestre que el período máximo de revolución necesario para evitar que la persona caiga es T = ( 4 π2 R us / g ) 1/2

b)Obtenga un valor numérico para T si R = 4 m y us = 0,4 ¿Cuántas revoluciones por minuto efectúa el cilindro? 66.-Una bola de 100 gr se desliza libremente en una cuerda de 0,8 m de longitud. Los extremos de la cuerda están atados a una varilla vertical en los puntos A y B, los cuáles están a una distancia de 0,4 m. Cuando la varilla gira, BC es horizontal e igual a o,3 m. a)¿Cuál es la tensión en la cuerda? b)¿Cuál es la rapidez de la bola en C?

¿Por qué los vehículos de formula 1 tienen una form a aerodinámica? Cuando un objeto se mueve en un fluido (líquido, aire) se presenta una fuerza de fricción llamada viscosa. La fuerza resistiva que actúa sobre un objeto que se mueve en un líquido o gas es proporcional a la rapidez del objeto, se puede escribir: R = b • v donde v es la rapidez del objeto y b una constante cuyo valor depende de las propiedades del medio y de la forma y dimensiones del objeto. Por ejemplo si es una esfera de radio r, entonces b es proporcional a r. Si una esfera de masa m se suelta desde el reposo en un líquido, las fuerzas que actúan sobre ella son la fuerza resistiva b •••• v y el peso de ella mg . Al aplicar la ley de Newton en la dirección vertical y elegir dirección positiva hacia abajo, se tiene: mg - b • v = m • a ⇒ mg - b • v = m • dv / dt , con a = dv / dt hacia abajo Despejando la aceleración: dv / dt = g - ( b / m ) • v ( ∗ ) Cuando v = 0, la fuerza resistiva es cero y la aceleración es g. Cuando t aumenta, la fuerza resistiva aumenta y la aceleración disminuye. Cuando la magnitud de la fuerza resistiva es igual al peso del objeto, la aceleración es cero. La velocidad que alcanza el objeto en este instante se llama velocidad terminal . Desde ahí en adelante se mueve a esta rapidez y con aceleración cero. La rapidez terminal puede obtenerse como: mg - b • vT = 0 ⇒ vT = mg / b La expresión para v que satisface la ecuación ( ∗ ) , con v = 0 en t = 0 es: v = m g ( 1 - e- bt / m ) = vT ( 1 - e - t / τ ) donde τ = m / b llamada constante de tiempo y es el b tiempo que tarda el objeto en alcanzar 63,2% = ( 1 – 1 / e ) de su rapidez terminal. Por ejemplo una pequeña esfera de 2 gr = 0,002 kg se deja caer desde el reposo en un gran recipiente lleno de aceite donde experimenta una fuerza resistiva proporcional a su rapidez. La esfera alcanza una rapidez terminal de 5,0 cm/s. Determine la constante de tiempo τ y el tiempo que tarda la esfera en alcanzar 90% de su rapidez terminal. Como la rapidez terminal está dada por: vT = m g / b , despejamos b, resultando: b = m g / vT ⇒ b = 0,002 • 9,8 / 0,05 = 0,392 kg / s La constante de tiempo τ es: τ = m / b = 0,002 / 0,392 = 5,1 x 10-3 s De la expresión: v = vT ( 1 - e - t / τ ) , se tiene v = 0,9 vT 0,9 vT = vT ( 1 - e - t / τ ) ⇒ 0,9 = 1 - e - t / τ e - t / τ = 0,1 ⇒ - t / τ = ln ( 0,1 ) = - 2,3 ⇒ t = 11,7 x 10-3 s

Para objetos que se mueven a alta rapidez por el aire, aviones, paracaidistas, autos, etc, la fuerza resistiva es proporcional al cuadrado de su rapidez. En estas condiciones la magnitud de la fuerza resistiva puede expresarse como: R = ½ • D • ρ • A • v2 , donde ρ es la densidad del aire, A es el área de la sección transversal del objeto que cae, medida en un plano perpendicular a su movimiento, D es una cantidad llamada coeficiente de arrastre. Este tiene un valor de 0,5 para objetos esféricos y 2 para objetos de forma irregular. Los camiones han instalado deflectores de viento en sus cabinas para reducir el arrastre. Suponga un objeto en caída libre sujeto a una fuerza resistiva del aire hacia arriba de Magnitud R = ½ • D • ρ • A • v2 . Suponga que el objeto se suelta desde el reposo, las fuerzas que actúan sobre él son R y mg. La segunda ley de Newton indica: mg - ½ • D • ρ • A • v2 = m • a ⇒ a = g - ( D • ρ • A / 2m ) • v2 Para la velocidad terminal (cuando a = 0 ) se tiene: vT = √ ( 2 mg / D ρ A ) La rapidez terminal depende de las dimensiones del objeto. Suponga que el objeto es una esfera de radio r, en este caso A α r2 ( con A = π r2 ) y m α r3 ( la masa es proporcional al volumen de la esfera, el cuál es V = 4 π r3 / 3 ) . En consecuencia vT α √ r Valores tabulados experimentalmente indican que una pelota de béisbol de radio 3,7 cm, masa 0,145 kg con un área de sección transversal 4,2 • 10-3 m2 alcanza una velocidad terminal de 43 m/s.

67.-Un lanzador arroja una pelota de 0,145 kg y pasa a un bateador a 40,2 m/s. Encuentre la fuerza resistiva que actúa sobre la pelota a esta rapidez. Considere que la densidad del aire es ρ = 1,29 kg/m3 y el área de la superficie de la esfera es 4,2 x 10-3 m2 . 68.-Suponga que el valor de la resistencia del aire sobre una gota de lluvia que cae , está dada por f = k v , siendo k = 1,0 x 10-4 N seg / m . La masa de la gota es m = 0,1 gr y considere g = 10 m/s2 : a)¿Cuál es el valor de la aceleración de caída de la gota, en el instante en que su velocidad es v = 3,0 m/s? b)¿Y en el instante en que v = 8,0 m/s ? c)¿Cuál es el valor de la velocidad terminal de la gota? 69.-Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba , alcanza el punto más alto de la trayectoria y regresa al punto de lanzamiento. Suponga que la resistencia del aire no es desprecia ble : a)Muestre en un diagrama las fuerzas que actúan en el cuerpo durante el ascenso y durante el descenso b)La magnitud de la aceleración en el ascenso , ¿es mayor , menor o igual que el valor de g? c)Al descender , la magnitud de la aceleración del cuerpo , ¿ es mayor , menor o igual que el valor de g ? d)Con base en sus respuestas , ¿cree usted que el t iempo de ascenso será mayor , menor o igual que el tiempo de descenso.

Trabajo mecánico → El trabajo mecánico ( T ) realizado por una fuerza constante ( F ) que actúa sobre un cuerpo que → experimenta un desplazamiento ( ∆x ), se define como el producto escalar de dichos vectores: → → T = F • ∆x = F •••• ∆∆∆∆x •••• cos θθθθ

En la expresión anterior F es la magnitud de la fuerza, ∆∆∆∆x es la magnitud del desplazamiento, θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento . De este modo el trabajo mecánico realizado por una fuerza es una cantidad física escalar , es decir puede tener valor positivo, negativo o cero. UNIDAD DE MEDIDA: Si la fuerza se mide en newtons ( N ) y la distancia en metros ( m ), el trabajo se mide en joule ( J ). Cuando usted levanta en equilibrio una manzana de 100 gr (peso = 1,0 N ) hasta una altura de 1 m, la fuerza ejercida por usted realiza un trabajo mecánico de 1 J. Por ejemplo , una partícula que se mueve en el plano xy efectúa un desplazamiento d = ( 2i + 3j ) m, conforme actúa sobre ella una fuerza constante F = ( 5i + 2j ) N. El trabajo realizado por la fuerza sobre ella es: → → T = F • d = ( 5i + 2j ) • ( 2i + 3j ) T = 10 i • i + 15 i • j + 4 j • i + 6 j • j Teniendo presente que, en el producto escalar de dos vectores: ( i • i = j • j = 1 ) , ( i • j = j • i = 0 ) T = 10 + 0 + 0 + 6 = 10 J

La fuerza centrípeta no realiza trabajo mecánico porque es perpendicular al desplazamiento,

La persona aplica una fuerza pero no hay desplazamiento. Luego no hay trabajo mecánico.

La fuerza ejercida por la persona sobre el maletín es perpendicular al desplazamiento. Luego, no hay trabajo mecánico.

Por ejemplo : Un bloque de 15 kg es arrastrado sobre una superficie horizontal y áspera por una fuerza constante de 70 N que actúa formando un ángulo de 25 o con la horizontal. El bloque se desplaza 5,0 m y el coeficiente de roce cinético es 0,3 . Calcule el trabajo realizado por: a)La fuerza de 70 N b)La fuerza de roce c)La fuerza normal d)La fuerza de gravedad e)¿Cuál es el trabajo total sobre el bloque? La expresión que permite calcular el trabajo realizado por una fuerza constante es: T = F •••• d •••• cos θθθθ Trabajo realizado por la fuerza F = 70 N T = 70 N • 5,0 m • cos 25o = 317,2 J Trabajo realizado por la fuerza Normal N T = N • 5,0 m • cos 90o = 0 J (La dirección de la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento) Trabajo realizado por la fuerza Peso P T = P • 5,0 m • cos 90o = 0 J (La dirección de la fuerza peso es perpendicular al desplazamiento) Trabajo realizado por la fuerza de roce f T = f • 5,0 m • cos 180o (El sentido de la fuerza de roce es opuesta al desplazamiento) El valor de la fuerza de roce es f = uc • N, (luego debemos calcular la fuerza normal N). Como no hay movimiento en la dirección vertical, la fuerza resultante debe ser cero: sen 25o • 70 + N = 150 → N = 120,4 N f = uc • N = 0,3 • 120,4 N = 36,12 N T = 36,12 N • 5,0 m • cos 180o = - 180,6 N TTOTAL = 317,2 J + 0 J + 0 J + - 180,6 N → TTOTAL = 136,6 J

En muchos casos, el trabajo lo realiza una fuerza q ue varía en magnitud o dirección durante el desplazamiento del cuerpo sobre el cuál actúa. Por ejemplo, al estirar un resorte, en estos casos se hace un gráfico fuerza versus desplazamiento y lueg o el “área” bajo la curva corresponde al trabajo realizado. La potencia es, por definición, el trabajo realizado en la unidad de tiempo. Para elegir un motor, sea térmico o eléctrico, la potencia es una base de criterio más importante que la cuantía de trabajo a realizar. Si una cantidad de trabajo ∆T se realiza en un intervalo de tiempo ∆t, la potencia media se define como: P = trabajo realizado / intervalo de tiempo ⇒ P = ∆∆∆∆T / ∆∆∆∆t Si el trabajo producido en la unidad de tiempo no es constante, se define la potencia instantánea como el límite de este cuociente cuando ∆t → 0, es decir: P = lím ∆T ⇒ P = dT ∆t → 0 ∆t dt

También podemos expresar la potencia mecánica como: P = ∆T / ∆t = F • ∆d / ∆t pero ∆d / ∆t es el desplazamiento por unidad de tiempo que es la velocidad, entonces: P = F •••• v, podemos obtener la potencia multiplicando la fuerza por la velocidad. La unidad de medida SI de potencia es Joule / seg que se llama watt ( W ), es decir 1 J / 1 s = 1 W También se usan con frecuencia el kilowatt ( 1 kW = 103 W ), el megawatt ( 1 MW = 106 W ) En el sistema británico, en el cuál el trabajo se expresa en lb pie y el tiempo en segundos, la unidad de potencia es pie lb / s. Normalmente se usa una unidad mayor llamada caballo de valor (horse power , hp ) 1 hp = 550 pie lb / s = 33000 pie lb / min. Es decir un motor de 1 hp funcionando a plena capacidad realiza 33000 pie lb de trabajo en cada minuto de funcionamiento. También podemos relacionar : 1 hp = 746 W = 0,746 kW La eficiencia de una máquina se define como: efic. = Trabajo realizado / Trabajo teórico = Potencia útil / Potencia teórica A causa de la energía pérdida por rozamiento, el trabajo realizado es siempre menor que el teórico y por ello la potencia útil es menor que la teórica. Por esto el rendimiento de las máquinas es siempre menor que 1 y se expresa como porcentaje. Por ejemplo : Un motor de 60 hp enrolla en forma uniforme un cable alrededor de un tambor. Si el cable eleva una carga de 3 toneladas de ladrillo ( 3000 kilos ) hasta una altura de 12 pies ( 1 pie = 0,3 m ) en 3 seg, calcule: a) la eficiencia del motor. b)¿a que velocidad se realiza el trabajo contra la fricción ( potencia disipada ). a)Al levantar los ladrillos la fuerza que ejerce el motor ( F ) es equivalente al peso del conjunto de ladrillos ( mg ): T = F • d = m • g • h = 3000 • 9,8 • 3,6 = 105840 J La potencia de salida es P = T / ∆t = 105840 J / 3 seg = 35280 W Eficiencia = 35280 / 44760 = 0,78 = 78 % b)La potencia disipada es : 44760 - 35280 = 9480 W

Ejercicios propuestos 70.- Una partícula se somete a una fuerza Fx que varía con la posición como muestra el gráfico. Determine el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo cuado éste se mueve: a) de x = 0 a x = 6,0 m b) de x = 6,0 m a 10,0 m c) de x = 10,0 m a 16,0 m d)de x = 0 m a 16,0 m 71-Un montacargas sube en 3,0 seg y con velocidad constante un saco de café de 60 kg desde el suelo hasta un estante a 2,0 m de altura (considere g = 10 m/s2 ): a)¿Cuál es en newtons la fuerza que ejerce el montacargas sobre el saco al realizar esta operación? b)¿Cuál es el trabajo realizado por el montacargas? c)¿Que potencia desarrolla? 72-Un tanque con capacidad de 2000 litros, está colocado a 6,0 m de altura por encima de una cisterna. Una bomba que funciona durante 20 min hace subir verticalmente el agua llenando completamente el tanque en dicho tiempo. a)¿Cuál es en newtons el peso total del agua subida por la bomba? (considere g = 10 m/s2 , y recuerde que 1 litro de agua tiene una masa de 1 kg) b)¿Cuál fue el trabajo total realizado por la bomba al subir el agua? c)¿Cuál fue la potencia desarrollada por el motor de la bomba para efectuar este trabajo? 73- a)Una mujer de 55 kg sube en una bicicleta de 7 kg por una pendiente del 3 % con una rapidez constante de 5,4 km/h. ¿Qué potencia debe desarrollar? b)Un hombre de 80 kg con una bicicleta de 8 kg empieza a descender por la misma pendiente manteniendo una rapidez constante de 21,6 km/h. ¿Qué potencia disipan los frenos?

74-Viajando por una vía horizontal, un tren de 100 toneladas requiere una potencia de 400 CV para mantener una rapidez constante de 80 km/h. Determine. a)La fuerza total necesaria para vencer el rozamiento en los ejes, la resistencia a la rodadura y la resistencia del aire. b)La potencia adicional necesaria para que el tren mantenga esa misma velocidad subiendo una pendiente del 1 %.

75-A plena carga el montacargas E tiene una masa de 3000 kg y está unido como se muestra al contrapeso W de masa 1000 kg. Determine la potencia en kW que desarrolla el motor cuando el montacargas desciende con velocidad constante de 3 m/s

Un cuerpo o sistemas de cuerpos puede intercambiar energía con otro u otros cuerpos, y el mecanismo mediante el cuál se realiza este intercam bio es el trabajo. Así, por ejemplo, una persona posee energía debido a la ingestión de los alimentos y es capaz de intercambiar esta energía al levantar un cuerpo. El mecanismo mediante el cuál se realiza este intercambio se llama trabajo. De igual manera, el vapor de agua de una caldera posee energía, puesto que es capaz de intercambiar esta energía al mover una turbina. Este intercambio de energía lo realiza mediante trabajo. La energía se puede presentar de distintas formas; química, mecánica, térmica, eléctrica, atómica, nuclear, etc. En el caso antes mencionado, los alimentos que toda persona ingiere sufren reacciones químicas al ser transformadas a sustancias menos útiles, y este cambio va acompañado de una liberación de energía. Los alimentos liberan energía química en el organismo. En el caso del vapor de una caldera, decimos que posee energía térmica y que al mover las turbinas genera energía mecánica que se transforma luego en energía eléctrica en los generadores. La energía al igual que el trabajo es una cantidad física escalar, y presenta las mismas unidades de medida de trabajo, es decir joule ( J ). En la figura, ocurren transformaciones sucesivas de una forma de energía a otra. a) La energía química del carbón se convierte en energía térmica de la llama. b) La energía de la llama se transmite al agua, la cuál toma la forma de vapor. Desde el punto de vista microscópico, la energía térmica del vapor reside en la energía cinética de sus moléculas. Estas, a su vez, comunican energía cinética al rotor de la turbina al chocar contra sus aspas. La rotación del eje de la turbina hace girar el rotor del generador, transformando así parte de la energía química del combustible en energía eléctrica. c) La energía eléctrica se convierte en cinética ( mecánica ) por efecto del motor eléctrico. Suponga un bloque en movimiento acercándose a un resorte. Al chocar contra el resorte, la velocidad del bloque irá disminuyendo hasta anularse, mientras el resorte se va comprimiendo. Por tanto, el bloque en movimiento fue capaz de re alizar el trabajo de comprimir el resorte . De la misma manera un auto en movimiento que choca con otro auto que está detenido, realizará un cierto trabajo al averiar y empujar el vehículo inmóvil. Todo objeto material ( que posee masa m) viajando a una rapidez ( v ), posee energía llamada cinética , porque es capaz de realizar una labor, es decir un trabajo sobre otro objeto u objetos. EC = ½ • m • v2 La EC es proporcional al cuadrado de la rapidez, entonces si un auto aumenta su rapidez al doble, su energía cinética aumenta 4 veces.

Por ejemplo , un auto de 900 kg lleva una rapidez de 72 km/h, su energía cinética es: 72 km/h = 20 m/s ECINÉT. = ½ • 900 • ( 20 )2 = 1,4 • 105 J Por ejemplo : Un carro de 5 kg pasa por el punto A donde tiene una rapidez de 5 m/s, luego pasa por el punto B donde su rapidez es 10 m/s, determine: a)La energía cinética en A b)la energía cinética en B c)La variación de energía cinética, es decir el valor final menos el inicial. a) EC(A) = ½ • 5 • ( 5 )2 = 62,5 J b) EC(B) = ½ • 5 • ( 10 )2 = 250 J c) ∆EC = EC(B) - EC(A) = 250 J - 62,5 J = 187,5 J El teorema fundamental del trabajo y la energía cin ética Se puede demostrar que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo ( trabajo realizado por la fuerza resultante ) es igual a la variación de energía cinética que se produce en el cuerpo. La variación de energía cinética significa la energía cinética final menos la energía cinética inicial: El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre un cuerpo es igual a la variación en su energía cinética: T = EC(F) - EC(I)

Por ejemplo , suponga que el carro de la figura pasa por A con rapidez vA = 3 m/s . y por B a vB = 4 m/s, ¿cuánto vale el trabajo total realizado sobre el cuerpo? El trabajo total es igual a la variación en la energía cinética, por lo tanto : (inicialmente) EA = 2 • (3,0 )2 / 2 = 9 J ; (finalmente ) EB = 2 • (4,0 )2 / 2 = 16 J ∆E = EB - EA = 16 J - 9 J = 7 J

Es decir la fuerza resultante debe hacer actuado sobre el cuerpo realizando trabajo positivo de 7,0 J , trabajo que produjo el aumento en la energía cinética del objeto. El trabajo realizado sobre el cuerpo mide la energía que le fue transferida . El cuerpo poseía una energía cinética de de 9 J y al recibir 7 J más por el trabajo de la resultante , pasó a tener una energía cinética de 16 J. b)Si la fuerza resultante actuara sobre el cuerpo en sentido contrario al movimiento , realizando un trabajo negativo T AB = - 7,0 J . ¿Cuál sería la energía cinética del objeto al llegar a B? Hágalo Ud.

Por ejemplo : Un bloque de 6 kg inicialmente en reposo es arrastrado hacia la derecha a lo largo de una superficie horizontal sin fricción mediante una fuerza horizontal constante de 12 N. ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando se ha movido 3,0 m? El trabajo realizado por la fuerza F es: T = F • d • cos θ T = 12 N • 3,0 m • cos 0o = 36 J El trabajo total es igual a la variación de la energía cinética, es decir: T = ECF - ECI , con ECI = 0 J (el cuerpo parte del reposo ) 36 = ½ • 6 • ( vF )2 ⇒ vF = √ 12 m/s También podemos calcular la aceleración del bloque, para ello podemos ocupar la ecuación de newton del movimiento: a = ΣF / m o bien la formula cinemática: ( vF )2 = ( vI )

2 + 2 • a • ∆x a = ΣF / m ⇒ a = 12 N / 6 kg = 2 m/s2 o bien ( √ 12 )2 = ( 0 )2 + 2 • a • 3,0 ⇒ a = 2 m/s2 Por ejemplo : Un auto de 2000 kg baja por una pendiente de 5o a una rapidez de 90 km/h cuando se aplican los frenos produciendo una fuerza constante de frenado (acción de la carretera sobre los neumáticos) de 7,5 kN . Calcular la distancia recorrida por el vehículo hasta detenerse. Expresamos la rapidez en m/s: 90 km/h = 90:3,6 = 25 m/s Las fuerzas que actúan sobre el auto son: El peso: mg = 2000 • 10 = 20000 N La normal: N La fuerza de roce: f = 7500 N d: es la distancia recorrida por el auto Ahora calculamos el trabajo realizado por cada fuerza desde A hasta B ( d ) : La fuerza normal ( N ) no realiza trabajo porque siempre es perpendicular a la dirección del desplazamiento. La fuerza de roce realiza un trabajo: f • d • cos 180 = - 7500 • d (recuerde que la fuerza de roce siempre es opuesta a la dirección del movimiento. El trabajo que realiza el peso desde A hasta B es: mg • d • cos 85o = 20000 N • d • 0,087 = 1740 • d Ocupamos el teorema del trabajo y la energía cinética: TTOTAL = EC(F) - EC(I) , la energía cinética final es cero porque el objeto se detiene: TPESO + TROCE + TN = EC(F) - EC(I) ⇒ 1740 d + - 7500 d + 0 = 0 - ½ • 2000 • ( 25 )2

- 5760 d = - 625000 ⇒ d = 108,5 m

Por ejemplo : Dos bloques están unidos por un cable inextensible. Si el sistema parte del reposo, determine la velocidad del bloque A tras desplazarse 2 m. Suponga que el coeficiente de roce cinético uc entre el bloque A y el plano es 0,25 y que la polea es de peso despreciable y sin rozamiento. Trabajo y energía para A: TPESO A = 0 J , es perpendicular al desplazamiento TN A = 0 J , la fuerza normal ( N) es perpendicular al desplazamiento Tf ROCE = f • d • cos 180 = u • N • d • cos 180 = = 0,25 • 2000 • 2 • - 1 = - 1000 J TTENSION = T • 2 • cos 0o = 2 T TTOTAL(A) = EF(A) - EI(A) ⇒ - 1000 + 2T = ½ • 200 • ( v )2 - 0 = 100 ( v )2

Trabajo y energía para B: TPESO B(I → F) = EG (I) - EG(F) = 300 • 10 • 2 - 300 • 10 • 0 = 6000 J TTENSION = T • 2 • cos 180o = - 2 T TTOTAL(B) = EF(B) - EI(B) ⇒ 6000 – 2 T = ½ • 300 • ( v )2 - 0 = 150 ( v )2 TTOTAL(A) + TTOTAL(B) = ECINET(F) - ECINET(I) - 1000 + 2 T + 6000 - 2 T = 100 ( v )2 + 150 ( v )2 5000 = 250 ( v )2 ⇒ v = 4,5 m/s Por ejemplo : Un auto de 900 kg viaja con una rapidez de 36 km/h en una carretera siendo el coeficiente de roce cinético 0,6. Calcular la distancia recorrida por el auto hasta detenerse. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: el peso del auto = 9000 N La fuerza normal N1 = 9000 N La fuerza de roce cinético: fc = uc • N1 = 0,6 • 9000 = 5400 N Trabajo total = Energía cinética final - Energía cinética inicial TPESO + TNORMAL + TFUERZA ROCE = ECIN(F) - ECIN(I) El trabajo de la fuerza peso y de la fuerza normal es cero porque son perpendiculares con el desplazamiento, TFUERZA ROCE = ECIN(F) - ECIN(I) fc • d • cos 180 = ½ m ( vF )2 - ½ m ( vI )

2 ⇒ - 5400 d = - ½ • 900 • ( 10 )2 ⇒ d = 8,3 m ¿Qué ocurre con la distancia recorrida si el auto ahora viaja a 72 km/h (el doble de la rapidez ) y se detiene en las mismas condiciones anteriores?. En este caso al realizar el cálculo se obtiene que la distancia recorrida hasta detenerse es 4 veces la distancia calculada anteriormente.

Suponga un cuerpo situado a una altura h arriba del suelo. Debido a la atracción de la Tierra, si este cuerpo se dejara caer sería capaz de realizar trabajo al llegar al suelo: podría aplastar un objeto, perforar el suelo, comprimir un resorte, etc. En otras palabras podemos decir que un cuerpo situado a cierta altura posee energía, pues tiene la capacidad de realizar trabajo al caer ( fig. a ). De la misma manera un cuerpo unido al extremo de un resorte comprimido o estirado, al soltarlo será empujado o halado por el resorte adquiriendo la capacidad de realizar trabajo. Entonces puede decirse que un cuerpo unido a un resorte comprimido o estirado posee energía ( fig. b ). En los dos ejemplos mencionados, los cuerpos tienen energía en virtud de la posición que ocupan: en el primero una posición elevada en relación a la Tierra y en el segundo una posición en el extremo libre de un resorte comprimido o estirado. Esta energía que poseen los cuerpos debido a su posición, se llama energía potencial ( EP ). ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Si un cuerpo de masa m, se sitúa a una altura h arriba de un nivel de referencia, este cuerpo posee una energía potencial gravitacional con respecto a este nivel expresada por : EPOT.GRAV. = m •••• g •••• h , para alturas h , donde g se considera

constante e igual a 10 m/s2

Recuerde que la altura es un concepto relativo, puede ser positiva, negativa o cero dependiendo del nivel de referencia escogido. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE GRAVEDAD (PESO D E UN CUERPO). Suponga un objeto de masa m que se desplaza desde A hasta B. Sean hA , hB las alturas en relación a un nivel cualquiera. El trabajo realizado por el peso ( mg ) del cuerpo desde A hasta B es: TA → B = mg • d • cos θ siendo cos θ = (hA – hB ) / d TA → B = mg • d • (hA – hB ) / d TA → B = mg • (hA – hB ) TA → B = m g hA – m g hB ) TA →→→→ B = EG(A) - EG(B) Es decir el trabajo realizado por el peso de un cuerpo entre dos puntos A y B es igual a la energía gravitatoria en A menos la energía gravitatoria en B.

Por ejemplo : Una lámpara de 2,0 kg se desprende del techo ( punto A ) y cae sobre el piso de una sala desde una altura de 3,0 m. a)¿Cuál es la energía potencial gravitacional que tenía la lámpara en el punto A respecto del piso? b)¿Cuál es la energía potencial gravitacional cuando en la caída pasa por un punto B situado a 2 m del suelo? c)¿Cuánto es el trabajo realizado por el peso de la lámpara cuando pasa de A a B? EP(A) = m • g • hA = 2 • 10 • 3 = 60 J EP(B) = m • g • hB = 2 • 10 • 2 = 40 J Trabajo del peso de A a B = EP(A) - EP(B) = 60 J – 40 J = 20 J En la naturaleza todos los cuerpos son más o menos deformables cuando sufren una compresión o un estiramiento provocado por fuerzas externas. Aquellos cuerpos cuya deformación es proporcional a la fuerza aplicada reciben el nombre de cuerpos elásti cos. Un bloque sobre una superficie horizontal sin fricción se conecta a un resorte. Si el resorte se alarga o se comprime una pequeña distancia desde su posición de equilibrio (sin deformar) ejercerá una fuerza sobre el bloque una fuerza dada por la expresión: → → F = - k • ∆x , donde k es una constante positiva llamada constante elástica del resorte, ∆x es el alargamiento o deformación producida en el bloque. Esta relación llamada ley de Hooke, es válida para el caso de pequeños desplazamiento (dentro del rango elástico del resorte). El signo negativo indica que la fuerza está siempre dirigida en sentido opuesto al desplazamiento. El trabajo realizado por esta fuerza elástica desde una posición xi hasta una posición xf es: Ti → f = ½ k • ( xi )

2 - ½ k • ( x )2 El término ½ k •••• ( x )2 se llama energía potencial elástica. Entonces el trabajo realizado por la fuerza elástica entre dos puntos A y B es igual a la diferencia entre la energía potencial elástica en A y la energía potencial elástica en B, es decir: TA → B = EK (a) - Ek(B)

Cuando un cuerpo elástico se ha deformado, posee cierta energía potencial elástica, pues, al suprimir el agente que produjo la deformación, el cuerpo vuelve a su tamaño original entregando la energía que se había "acumulado" en él.

La fuerza elástica y la fuerza peso se llaman fuerz as conservativas porque el trabajo realizado por cada una de ellas entre dos puntos NO depende de la trayectoria seguida sino de la energía potencial en la posición inicial y la final.

LA FUERZA DE ROCE ES DISIPATIVA, ES DECIR EL TRABAJ O QUE REALIZA DEPENDE DE LA TRAYECTORIA SEGUIDA POR EL CUERPO. En la figura, suponga que el cuerpo se desplaza de A a B a lo largo de un trayecto cualquiera y que sobre él actúa sólo fuerzas conservativas (el peso del cuerpo y la fuerza elástica del resorte). El trabajo realizado por estas fuerzas esta dado por : TAB = EP(a) - Ep(b) Sabemos que cualesquiera que sean las fuerzas, el trabajo total realizado es igual a la variación de la energía cinética: TAB = EC (B) - EC (A) igualando estas expresiones, se tiene que : EP(A) - EP(B) = EC (B) - EC (A) que se puede escribir : EP(A) + EC (A) = EP(B) + EC (B) La suma de la energía potencial en el punto A y la energía cinética en dicho punto , es igual a la suma de la energía potencial en el punto B y la energía cinética en este punto . Entonces como A y B son dos puntos cualesquiera , podemos decir que : Si solamente fuerzas conservativas actúan sobre un cuerpo en movimiento, la suma de la energía cinética del mismo mas su energía potencial, perman ece constante en cualquier punto de su trayectoria. La suma de la energía cinética y de la energía pote ncial de un cuerpo, en un punto dado , se llama energía mecánica total del cuerpo en dicho punto: EM = EC + EP = Energía mecánica Volviendo a la expresión anterior , se tiene que EP(A) + EC (A) representa la energía mecánica total en A , es decir ( EA ) , en cambio EP(B) + EC (B) representa la energía mecánica total en B , es decir (EB ) , por lo tanto : EA = EB Si sólo fuerzas conservativas actúan sobre un cuerp o en movimiento, su energía mecánica total permanece constante para cualquier punto de su tray ectoria , o sea , que la energía mecánica del cuerpo se conserva. Suponga que el cuerpo de la página anterior , tenga en A una energía potencial EP(A) = 20 J y una energía cinética EC(A) = 10 J. a)¿Cuál es la energía mecánica total del cuerpo en A? La energía mecánica en A será : EA = EP(A) + EC(A) = 20 + 10 = 30 J b)Al pasar por el punto M , el cuerpo posee una energía potencial EP(M) = 13 J , ¿cuál es su energía cinética en ese punto ? Como sólo actúan fuerzas conservativas , la energía mecánica del cuerpo se conserva , es decir debemos tener : EM = EA , o bien , EM = 30 J , por lo tanto EM = EP(M) + EC(M) = 30 = 13 + EC(M) luego EC (M) = 17 J La energía potencial del cuerpo disminuyó en 7 J y la energía cinética aumentó en 7 J. c)Al llegar a B , el cuerpo posee una energía cinética EC(B) = 25 J , ¿Cuál es su energía potencial ( EP(B)) en este punto ? Hágalo Ud. y debería obtener 5 J

Por ejemplo : Un niño se desliza idealmente sin fricción en un tobogán como el que muestra la figura. Si parte del reposo en A , ¿con que velocidad llegará al punto más bajo del aparato (punto B)? Las únicas fuerzas que actúan sobre el niño, son su peso , que es conservativa y la reacción normal de la superficie que no realiza trabajo sobre el niño, pues siempre es perpendicular al desplazamiento. Aplicando la conservación de la energía mecánica: EP(A) + EC (A) = EP(B) + EC(B) Si medimos las alturas en relación con un nivel horizontal que pasa por B y designando por m la masa del niño , se tiene : EP(A) = m g h, EC(A) = 0, EP(B) = 0, EC(B) = m (v)2 / 2 Donde v es la rapidez con que llega el niño abajo, luego: m • g • h = m • (v)2 / 2 ⇒ v = √ 2 • g • h Suponga que existe fricción en el movimiento del niño al bajar por el tobogán. Si sabemos que la altura del tobogán es h = 8,0 m , que la masa del niño es m = 50 kg y que llega a B con una rapidez v = 10 m/s . a)Calcular la energía mecánica total del niño en A y en B. EM(A) = EG(A) + EC(A) = 50 • 10 • 8 + 50 • 10 • 0 = 4000 J EM(B) = EG(B) + EC(B) = 50 • 10 • 0 + 50 • ( 10)2 / 2 = 2500 J b)¿Cuál es la cantidad de energía térmica generada por la fricción en el desplazamiento del niño? La energía térmica generada por la fricción es la diferencia entre la energía mecánica en A y la energía mecánica en B , es decir: ETERMICA = 4000 J - 2500 J = 1500 J Por ejemplo : Una vagoneta de 1000 kg parte del reposo en el punto 1 y desciende sin roce por la vía indicada en la figura. Determine: a)La fuerza que la vía ejerce sobre la vagoneta en el punto 2, en donde el radio de curvatura es de 2 m. b)El mínimo valor del radio de curvatura en el punto 3 para que la vagoneta permanezca sobre la vía. Tramo desde 1 hasta 2, no hay fricción, luego la energía mecánica en 1 es igual a la energía mecánica en 2: EMECAN 1 = EMECAN 2 ⇒ EPOT(1) + ECIN(1) = EPOT(2) + ECIN(2) ⇒ 1000 • 10 • 12 = ½ •1000 • ( v2 )

2 ⇒ v2 = 15,49 m/s En el punto (2), las fuerzas que actúan sobre el vagón son, el peso P y la fuerza ejercida por la vía hacia arriba ( F ). Al describir la curva en ese punto debe manifestarse una fuerza resultante hacia el centro, la llamada fuerza centrípeta ( FC ): FC = m • ( v2 )

2 / R ⇒ FC = F - P = m • ( v2 )2 / 6

F - 10000 = 1000 • ( 15,49 )2 / 6 ⇒ F = 4,9 • 104 N Tramo desde 2 hasta 3, para calcular la velocidad en 3. Las fuerzas que actúan son el peso ( P ) del vagón y la normal ( N ). TN + TP = EC(3) - EC(2) , TN = 0 ( perpendicular al desplazamiento) TP( 2 → 3) = EG(2) - EG(3) (considerando nivel de referencia en el suelo) TP( 2 → 3) = m g h2 - m g h3 = 1000 • 10 • 0 - 1000 • 10 • 4,5 = - 45000 J EC(2) = m • ( v2 )

2 / 2 = 1000 • (15,49 )2 / 2 = 119970,0 J, EC(3) = 1000 • (v3)2 / 2 = 500• (v3)2 - 45000 = 500• (v3)2 - 119970,0 ⇒ v3 = 12,24 m/s

En el punto (3), las fuerzas que actúan sobre el vagón son, el peso P y la fuerza ejercida por la vía hacia abajo ( F ). El mínimo valor del radio en el punto 3 para el cuál el vagón no abandona la vía se tiene cuando F = 0. Luego, se tiene FC = m • ( v3 )

2 / R FC = F + P = m • ( v3 )

2 / R 10000 = 1000 • (12,24 )2 / R R = 14,98 m Ejercicios propuestos 76.-En el sistema mostrado en la figura de este problema, la polea y la cuerda tienen masas despreciables y tanto la polea como la tapa de la mesa no presenta fricción. Suponiendo que el sistema sea liberado del reposo, use la conservación de la energía para calcular las velocidades de los cuerpos A y B, después que el cuerpo B desciende una distancia d = 2,0 m. Suponga: mA = 2,0 kg mB = 3,0 kg , g = 10 m/s2 .

77.-La pastilla de 230 gr se comprime contra el resorte A de k = 534 N/m y luego se suelta desde el reposo. Despreciando el roce, hallar la menor compresión del resorte para que la pastilla recorra el bucle ABCDE sin perder nunca el contacto con el mismo. 78.-Un cuerpo de 2 kg es soltado desde una altura h = 1,5 m directamente sobre un resorte no deformado cuya constante elástica es k = 200 N/m. Determine la máxima deformación que el cuerpo provocará en el resorte , después de llegar a él.

79.-En la figura, un bloque de 10 kg se suelta desde A. La pista no ofrece fricción excepto en la parte entre B y C de 6,0 m de longitud. El bloque se mueve hacia abajo por la pista, golpea un resorte de constante k = 2250 N/m y lo comprime 0,3 m desde su posición de equilibrio antes de quedar momentáneamente en reposo. Determine el coeficiente de roce cinético entre el bloque y la superficie entre B y C. 80.-Una partícula de 0,5 kg de masa se dispara desde P como muestra la figura con una velocidad inicial vi que tiene una componente horizontal de 30 m/s. La partícula asciende hasta una altura máxima de 20 m sobre P. Con la ley de conservación de la energía, determine: a)La componente vertical de vi b)El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la partícula durante su movimiento de P a B c)Las componentes horizontal y vertical del vector velocidad cuando la partícula llega a B.

81.-Un bloque se desliza hacia abajo por una pista curva sin fricción y después sube por un plano inclinado como muestra la figura. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y la pendiente es uc . Con métodos de energía demuestra que la altura máxima alcanzada por el bloque es: ymax = h 1 + uc • cot θ

82.-En la figura se muestran dos bloques conectados entre sí por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción. El bloque de masa m1 descansa sobre una superficie horizontal y está conectado a un resorte de constante elástica k. El sistema se libera desde el reposo cuando el resorte no está deformado. Si el bloque que cuelga, de masa m2 cae una distancia h antes de quedar en reposo, demuestre que el coeficiente de roce cinético entre m1 y la superficie se puede obtener por la expresión: uc = m2 • g - k • h/2 m1 • g 83.- Una corredera de 10 kg desliza sin rozamiento a lo largo de una guía vertical como muestra la figura. El resorte unido a la corredera tiene una longitud natural de 100 mm y una constante de 500 N/m. Si la corredera parte del reposo de la posición 1 , determine la velocidad en la posición 2 tras haberse desplazado 150 mm. 84.-Un bloque de 5 kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una rapidez inicial de 8,0 m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3,0 m a lo largo del plano, el cuál está inclinado a un ángulo de 30o con la horizontal. Determine para este movimiento: a)El cambio en la energía cinética del bloque b)El cambio en su energía potencial gravitatoria c)La fuerza de roce ejercida sobre él supuesta constante.

85.-Una piedra de masa m está oscilando como un péndulo, partiendo del reposo de una posición en la cual el hilo forme 60 o con la vertical. Calcular la tensión del hilo cuando la piedra pasa por la posición mas baja de su trayecto (exprese la respuesta en función del peso mg de la piedra). 86.-Una partícula de masa m es soltada en A y se desliza sin roce a lo largo de un riel como muestra la figura. El radio de la parte circular es R y h = 5R , marque la afirmación falsa : a)la energía mecánica total del cuerpo en el punto C vale 5 mgR b)La energía cinética del cuerpo en B es 5 mgR c)La energía cinética del cuerpo en D es 3 mgR d)La velocidad del cuerpo en C es √ 8gR e)La reacción normal del riel sobre el cuerpo en C es 3 mg 87.-En relación al ejercicio anterior : a)¿Cuál es el módulo de la fuerza resultante que actúa en el cuerpo en el punto C? b)¿Cuál es el valor de la reacción normal del riel sobre el cuerpo en el punto B? ¿Y en el punto D ? c)¿Cuál debe ser el mínimo valor de la altura h (en función de R ) para que el cuerpo pase por el punto D sin ejercer compresión sobre el riel?

Centro de masa Cuando un cuerpo tiene movimiento de traslación , todas las partículas del cuerpo tienen el mismo movimiento a medida que transcurre el tiempo. Si se elige una partícula determinada de un cuerpo que tiene movimiento de traslación , entonces el movimiento de dicha partícula representa el movimie nto de traslación de todo el cuerpo. Cuando un atleta lanza un disco, éste además de trasladarse también gira. El movimiento de una partícula cualquiera del disco no representa el movimiento de todo el disco. Para un disco que gira y se traslada y en general para cualquier cuerpo que además de trasladarse gira o vibra , se puede representar su movimiento de traslación por el movimiento de un punto llamado centro de masa . Las coordenadas del centro de masa de un sistema de partículas , de masas m1 , m2 , m3 , etc, que se encuentran ubicadas en las coordenadas ( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) , ( x3 , y3 , z3 ) , etc. , está definido por : xC.M. = m1 • x1 + m2 • x2 + m3 • x3 ……… m1 + m2 + m3 …….. yC.M. = m1 • y1 + m2 • y2 + m3 • y3 ……. m1 + m2 + m3 …………. zC.M. = m1 • z1 + m2 • z2 + m3 • z3 ………. m1 + m2 + m3 ……… Las coordenadas del C.M. de un sistema de partículas no depende del sistema de coordenadas usadas como sistema de referencia. Un conjunto de 6 bolas de billar colocadas sobre una mesa puede ser considerado como un sistema de partículas . Su centro de masa depende de las posiciones relativas entre ellas y de su masa total en razón inversa.

Tres partículas, m1 = 2 kg , m2 = 4 kg, m3 = 5 kg, se encuentran en las coordenadas A1( 2 m , 4 m ) , A2 ( - 2 m, 2 m ), A3 ( - 3 m, - 1 m ) respectivamente. El centro de masa ( C.M.) del sistema se ubica en: x = 2 • 2 + 4 • (-2) + 5 • (-3) = 1,72 m 2 + 4 + 5 y = 2 • 4 + 4 • (2) + 5 • (-1) = 1,0 m 2 + 4 + 5

Para un cuerpo de masa M, el centro de masa ( C.M.) es un punto representativo del movimiento de traslación aunque a la vez el cuerpo vibre o rote, considerando que toda la masa del cuerpo está concentrada en dicho punto. Para un cuerpo , de densidad uniforme , homogéneo , el centro de gravedad (C.G. ) coincide con el centro de masa ( C.M.) . Esta coincidencia sólo es válida si consideramos el valor de g constante en todos los puntos del objeto.

La figura muestra un cuerpo de masa m ( auto ), que se mueve con una velocidad v. Una cantidad física muy importante relacionada con el movimiento del cuerpo, es la llamada cantidad de movimiento o momentum lineal ( p ): →→→→ →→→→ →→→→ p = m • v , p : cantidad física vectorial, que posee la dirección y sentido de la velocidad. p : se mide en la unidad, kg • m/s Por ejemplo, suponga que una partícula de 4 kg se mueve con una rapidez de 5 m/s en una dirección de 40o con el eje x. Su momentum lineal es: → → p = m • v = 4 • ( cos 40o • 5 i + sen 40o • 5 j ) → p = ( 15,32 i + 12,85 j ) kg m/s

Para calcular el momentum lineal total de un sistem a formado por varias partículas, se debe realizar l a suma vectorial de los momentum de cada uno: → → → → pTOTAL = p1 + p2 + p3 + ........................... Podemos calcular la velocidad del centro de masa ( vc.m. ) de un conjunto de partículas, a partir de la expresión: →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ vC.M. = m1 • v1 + m2 • v2 + m3 • v3 + ………. = pTOTAL

m1 + m2 + m3 + ……….. mTOTAL

La aceleración del centro de masa de un sistema de partículas que se mueven con aceleraciones a1 , a2, a3 , …..se puede calcular mediante la expresión : → → → → → aC.M. = m1 • a1 + m2 • a2 + m3 • a3 + ………. = FNETA ( EXTERNA) m1 + m2 + m3 + ……….. mTOTAL Esta última ecuación es válida para cualquier sistema de partículas. El sistema puede ser un cuerpo rígido en el cuál las partículas tienen posiciones fijas entre sí , o pueden ser una colección de partículas en las cuáles haya toda clase de movimiento interno. El movimiento del centro de masa de un sistema ( C.M.) no es afectado por las fuerzas internas, aunque si lo es el movimiento relativo de las partículas del sistema. En consecuencia si la fuerza neta externa que actúa sobre un sistema de partículas es cero, también lo es la aceleración del centro de masa y por tanto el C.M. permanece en reposo o moviéndose con velocidad constante.

Cuando un jugador de fútbol hace un saque , o cuando un tenista, con su raqueta regresa una bola, tenemos en ambos casos la acción de una fuerza ( F ) durante un tiempo breve (∆∆∆∆t ). En ambos casos decimos que se ha aplicado un impulso . Sea una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F. de F = m • a , se tiene, con a = ∆v / ∆t F = m • ∆v / ∆t = m • (vF – vI ) / ∆t , con mv : momentuml lineal F • ∆t = ( m • vF – m • vI ) = pF - pI F •••• ∆∆∆∆t = ∆∆∆∆p El término de la izquierda es el impulso lineal o impulso ( I ) de la fuerza F en el intervalo de tiempo considerado. El impulso aplicado por una fuerza F durante un intervalo de tiempo ∆t, es igual a la variación en el momentum lineal de la partícula. El impulso ( I ) es una cantidad física vectorial que tiene la dirección y sentido de la fuerza, siendo su unidad de medida: N •••• s En general, puesto que la fuerza puede variar en el tiempo, es conveniente definir una fuerza promedio en el tiempo, de este modo, el impulso es: I = Fprom •••• ∆∆∆∆t Por ejemplo : La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo vale 4,0 N y actúa durante un intervalo de tiempo ∆t = 6,0 seg. Suponga que el cuerpo se mueve en línea recta. a)¿Cuál es la magnitud del impulso recibe el cuerpo ? El valor (magnitud) del impulso está dado por : I = 4,0 N • 6,0 seg = 24,0 N seg. La dirección y sentido del impulso son los mismos q ue el de la fuerza resultante F. b)Si el momentum inicial del cuerpo era p1 = 16 kg m/s , ¿cuál será el valor al final del intervalo considerado? Sabemos que la magnitud de la variación de momentum del cuerpo es igual a la magnitud del impulso que recibió, es decir : ∆ p = I , donde ∆p = 24 kg m /s pero ∆ p = p2 - p1 por lo tanto p2 = p1 + ∆ p , al desplazarse en línea recta, la dirección y sentido de p1 y ∆ p es la misma , por lo tanto : p2 = 16 + 24 = 40 kg m /s

Por ejemplo : Un auto de 1800 kg desciende por una pendiente de 5o a 95 km/h cuado se aplican los frenos generando una fuerza de frenado constante (aplicada por la calzada a las cubiertas) de 6750 N. Hallar el tiempo que tarda el vehículo en detenerse. El impulso aplicado sobre el auto es igual a la variación de momentum que se produce en él, es decir : → → → I = pF - pI ( esta expresión se aplica tanto en la dirección x como y) En la dirección x, se tiene: - 6750 • ∆t + 18000 • sen 5o • ∆t = 0 - 1800 • 26,4 - 6750 • ∆t + 1568.8 • ∆t = - 47520 ∆t = 9,17 s Ejercicios propuestos 88.- Una pelota de tenis de masa m = 100 gr y velocidad v1 = 10 m/s es devuelta por un jugador impulsándola con una velocidad v2 del mismo valor y dirección que v1 pero con sentido contrario. a)¿Cuál es la magnitud de la variación en el momentum de la pelota? b)Si el tiempo de contacto fue ∆t = 0,01 seg , calcule la magnitud de la fuerza promedio que la raqueta ejerce sobre la pelota. 89.-Una bola de billar de 0,5 kg de masa , al moverse hacia la izquierda con una velocidad de 2,0 m/s perpendicular a una banda de la mesa, choca con ella y se vuelve con una velocidad de igual magnitud y dirección. Considere positivo el sentido hacia la derecha. Señale cuál de las afirmaciones siguientes está equivocada: a)La cantidad de movimiento de la esfera antes de chocar con la banda era de – 1,0 kg m /s b)La cantidad de movimiento de la bola después del choque es de 1,0 kg m /s c)La variación de la cantidad de movimiento de la bola, en virtud del choque con la banda fue nula. d)El impulso que la bola recibió de la banda fue de 2,0 N s e)Si conociéramos el tiempo de interacción de la banda con la bola, sería posible calcular la fuerza media que una ejerció sobre la otra. 90.-Una persona de masa igual a 70 kg, salta desde una altura de 5,0 m y cae de pie verticalmente sobre el suelo. Suponga, que al llegar al piso para amortiguar el impacto, dobla las rodillas como lo hacemos habitualmente , de manera instintiva. En estas condiciones, se sabe que el impulso del suelo sobre la persona dura cerca de 0,05 seg (considere g = 10 m/s2 ). a)Calcule el valor de la reacción normal que el suelo ejerce sobre la persona. b)Sabiendo que el área del hueso de la pierna que sufre el impacto es de 3,0 cm2 y que el hueso humano, puede soportar una carga de compresión máxima de 1,7 x 108 N/m2 , sin romperse, verifique si la persona se fracturó la pierna. 91.-La velocidad inicial del bloque en la posición A es de 9 m/s. Sabiendo que el coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano inclinado es uc = 0,3, determine cuánto tiempo tarda el bloque en llegar a B con velocidad nula.

Conservación del momentum Suponga dos partículas ( 1 ) y ( 2 ) que pueden interactuar entre sí pero se encuentran aisladas de sus alrededores. Es decir cada partícula puede ejercer una fuerza sobre la otra pero no hay fuerzas externas presentes. En un instante t1 la partícula ( 1 ) tiene un momentum p1i y la partícula ( 2 ) tiene un momentum p2i. En un instante t2 (posterior), la partícula ( 1 ) tiene un momentum p1f y la partícula ( 2 ) tiene un momentum p2f . La acción de la partícula (1) sobre (2) provoca un cambio o variación en el momentum de la partícula (2), y a su vez la acción de la partícula (2) sobre (1) provoca un cambio o variación en el momentum de la partícula (1) → → → → → → F2→1 = ∆p1 ; F1→2 = ∆p2 pero F2→1 = - F1→2 (acción y reacción) ∆t ∆t → → → → → → → → ∆ p1 = - ∆ p2 ⇒ ∆ p1 + ∆ p2 = 0 ⇒ p1i + p2i = p1f + p2f ( ∗ ) La ecuación ( ∗ ) en forma de componentes indica que los momentum totales en las direcciones x, y, z se conservan de manera independiente: Σ pi x = Σ pf x Σ pi y = Σ pf y Σ pi z = Σ pf z

Este resultado conocido como ley de conservación del momentum lineal , puede extenderse a cualquier número de partículas de un sistema aislado. Siempre que dos o más partículas en un sistema aisl ado interactúan entre sí, su momentum total permanece constante. Cualquier variación en el momentum total de un sistema sólo podrá ser originado por fuerzas externas. De modo que si no actuaran fuerzas externas en un sistema, o si la resultante de las fuerza externas actuantes fuese nula , no podría haber variación en p , es decir el momentum total del sistema permanecería constante. Las condiciones para la conservación del momentum son mucho más amplias que las condiciones para la conservación de la energía mecánica. Ésta no varía si sólo actúan fuerzas conservativas. La cantidad de movimiento por otra parte se conservará aún cuando estén actuando fuerzas disipativas, como la fricción , siempre que estas fuerzas sean internas al sistema.

Por ejemplo : La figura muestra dos bloques A y B en reposo unidos a un resorte comprimido, de masa despreciable. Los bloques descansan en una superficie sin fricción y sus masas son mA = 5,0 kg y mB = 7,0 kg . Al soltar el sistema , el resorte se distiende , impulsando los bloques. Suponiendo que el B adquiere una velocidad vB = 2,0 m/s , ¿Cuál es la velocidad vA adquirida por A ? Consideremos el sistema formado por ambos cuerpos y el resorte. La resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es nula : los pesos de los bloques y las reacciones normales de las superficies se anulan. De manera que el momentum del sistema tiene el mismo valor en cualquier instante, aún cuando el momentum de cada bloque varíe debido a la acción de las fuerzas internas que el resorte ejerce sobre ellos. El momentum total del sistema antes de la interacción ( inicial ) es igual al momentum total del sistema después de la interacción ( final ): → → → → pA(I) + pB(I) = pA(F) + pB(F) (suponga sentido (+) a la der.) → → → → mA • vA(i) + mB • vB(i) = mA • vA(F) + mB • vB(F) Pero pA(I) = pB(I) = 0 , pues los bloques antes de soltarlos, se encontraban en reposo , luego: 0 + 0 = 5,0 • vA(F) + 7,0 • 2 ⇒ vA(F) = - 2,8 m/s (el signo indica que A se mueve a la izquierda) Por ejemplo : Una placa de 10 kg de masa se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción. Un bloque de 5,0 kg de masa es arrojado horizontalmente sobre la placa con una velocidad v1 = 6,0 m/s ( a ) . Debido a la fricción entre el bloque y la placa esta es arrastrada y también se pone en movimiento . Luego de cierto tiempo, el bloque y la placa alcanzan la misma velocidad final v2 y pasan a moverse juntos (b) . a)¿Cuál es el valor de la velocidad v2 ? Tomemos como sistema el conjunto placa – bloque. La resultante de las fuerzas externas (pesos y reacción normal ) es nula . Las fuerzas de fricción entre el bloque y la placa son fuerzas internas y por tanto no producen variación en el momentum del sistema. → Por tanto siendo p1 el momentum del sistema en el instante inicial → y p2 el momentum final del sistema, se tiene : → → p1 = p2 ⇒ Como inicialmente la placa se hallaba en reposo, el valor ( magnitud ) de p1 se refiere únicamente al movimiento del bloque, es decir : p1 = 5,0 • 6,0 = 30 kg m/s En la figura (b) el bloque y la placa se desplazan con la misma velocidad v2 , luego se tiene p1 = ( 10 + 5,0 ) • v2 = 15 • v2 , luego 15 • v2 = 30 ⇒ v2 = 30 m/s b)¿Cuál es la cantidad de energía térmica generada por la fricción entre el bloque y la placa? La energía cinética inicial del sistema se debe sólo a la del bloque : Ec1 = 5 • (6)2 / 2 = 90 J La energía cinética final del sistema es : Ec2 = (5 + 10 ) • (2 )2 / 2 = 30 J Luego la energía térmica disipada por la fricción es 60 J.

Fuerzas impulsivas – Colisiones - choques Cuando estalla una bomba o dos autos chocan , así como en otros casos semejantes , aparecen entre los cuerpos fuerzas muy intensas , pero que actúan durante un tiempo muy breve. Esta fuerzas se llaman impulsivas . Estas fuerzas producen enormes aceleraciones en los objetos que actúan, es decir al ser aplicadas en intervalos de tiempo muy breves, producen variaciones considerables en la velocidad de dichos cuerpos. Cuando dos cuerpos chocan , por ejemplo , en la colisión entre dos bolas de billar, puede suceder que la dirección del movimiento de los cuerpos no se altere por el choque , o sea, que se muevan sobre una misma recta, antes y después del choque. Cuando esto ocurre se dice que el choque es directo o bien unidimensional (a). Puede suceder que los cuerpos se muevan en distintas direcciones, antes o después del choque. En este caso la colisión se llama oblicuo o bidimensional (b) Consideremos el caso presentado en la figura siguiente. Suponga que las energías cinéticas de los cuerpos antes del choque sean EcA = 8 J y EcB = 4 J , y que después de la colisión , fueran E´cA = 5 J y E´cB = 7 J . Observamos que antes del choque la energía total del sistema es : EcA + EcB = 8 J + 4 j = 12 J Y después del choque se tiene : E´cA + E´cB = 5 J + 7 J = 12 J En este caso la energía cinética total del sistema tiene el mismo valor antes y después del choque, es decir la energía cinética del sistema se conservó. Siempre que ocurre esto decimos que el choque es elástico . En general, una colisión es elástica cuando los cuerpos que chocan no sufren deformaciones permanentes. En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones debido a la colisión o se hubiera producido energía térmica durante el choque hallaríamos una reducción en la energía cinética del sistema. Siempre que los valores de la energía cinética antes y después del choque sean diferentes, diremos que el choque es inelástico. En el caso de una colisión inelástica, en la cuál los cuerpos siguieran juntos , con la misma velocidad, se habla de una colisión completamente inelástica .

( a ) ( b )

Es importante tener presente que aún cuando la colisión sea de cualquier tipo (elástica , inelástica , completamente inelástica ) el momentum total del sistema se conserva. En los casos en que no existen fuerzas externas que actúen sobre los cuerpos que chocan es natural que ocurra lo anterior, pues ya sabemos que el momentum total de un sistema se conserva si sobre él actúan fuerzas internas. No obstante, aún cuando existan fuerzas externas , como la duración del choque siempre es corta , el impulso ejercido por tales fuerzas externas también será muy pequeño (en general los valores de las fuerzas externas no son tan grandes ) y por consiguiente la variación del momentum que producen puede despreciarse. Observemos que las fuerzas impulsivas que aparecen durante la colisión ( o en explosiones) por ser enormes pueden producir variaciones considerables en el momentum de cada uno de los cuerpos que chocan , pero debido a que se trata de fuerzas internas, no influirán en el momentum total. Así , el momentum de un sistema inmediatamente antes o después de una colisión se puede considerar igual. El momentum total de un sistema de cuerpos que choc an, inmediatamente antes de la colisión, es igual al momentum total del sistema inmediatamente después del choque. El cuociente entre los módulos de los impulsos correspondientes respectivamente, a los períodos de restitución y de deformación recibe el nombre de coeficiente de restitución y se representa por e. También se puede expresar el coeficiente de restitución como el cuociente entre las velocidades relativas después y antes de una colisión. e = vF(B) - vF(A) vI(A) - vI(B) Si e = 0 , entonces el choque es perfectamente inelástico. Las partículas continúan juntas luego del choque, es decir: vF(B) = vF(A) Si e = 1 , entonces el choque es perfectamente elástico. La velocidad relativa de las partículas antes y después del choque es la misma, es decir: vI(A) - vI(B) = vF(B) - vF(A)

Por ejemplo : Un sistema está constituido por tres partículas A , B , C de masas mA = 2 kg, mB = 2 kg , mC = 0,5 kg. En la figura se muestran las posiciones y las velocidades de las partículas del sistema en un instante t1 y en el instante t2 posterior a t1 . a)Determine, el módulo, dirección y sentido de la cantidad de movimiento del sistema en los instantes t1 y t2 . Considerando como referencia el sistema de ejes xy, determinemos el momentum de cada cuerpo en el instante t1 y luego ejecutamos la suma vectorial. → p1 A = mA • vA = 2 kg • 1 m/s j = 2 kg m/s j → p1 B = mB • vB = 2 kg • 2 m/s i = 4 kg m/s i → p1 C = mC • vC = - 0,5 kg • 4 m/s j = - 2 kg m/s j → → → → pTOTAL ( 1 ) = p1 A + p1 B + p1 C = 2 kg m/s j + 4 kg m/s i + - 2 kg m/s j → pTOTAL ( 1 ) = 4 kg m/s i Ahora, para el instante t2 (posterior a t1 ) se tiene: → p2 A = mA • vA = 2 kg • 1,5 m/s i = 3,0 kg m/s i → p2 B = mB • vB = - 2 kg • 0,5 m/s i = - 1,0 kg m/s i → p2 C = mC • vC = 0,5 kg • 4 m/s i = 2 kg m/s i → → → → pTOTAL ( 2 ) = p2 A + p2 B + p2 C = = 3,0 kg m/s i + - 1,0 kg m/s i + 2 kg m/s i → pTOTAL ( 2 ) = 4 kg m/s i b)Con base en su respuesta a la pregunta (a) , ¿ a qué conclusión llega acerca de la resultante de las fuerzas externas que actúan en el sistema? La fuerza resultante externa es cero ( nula) porque el momentum total del conjunto de partículas no cambia. c)¿Cree Ud. que hubo interacción (fuerzas internas ) entre las partículas ? Explique Si, porque las fuerzas internas provocan que cambie el momentum individual de los cuerpos, pero no el momentum total del conjunto. d)¿Hubo conservación de la energía cinética del sistema? En el instante t1, la energía cinética es: EC (t1) = 2 • (1)2 + 2 • (2)2 + 0,5 • (4)2 = 9 Joule 2 2 2 En el instante t2, la energía cinética es: EC (t2) = 2 • (0,5)2 + 2 • (1,5)2 + 0,5 • (4)2 = 6,5 Joule 2 2 2 No se conserva .

Por ejemplo : En una mesa de billar, una bola blanca, de masa m y que se mueve con velocidad v = 2,0 m/s , da contra una bola amarilla (también de masa m ) que se hallaba en reposo. Suponiendo que el choque sea directo y elástico determine la velocidad de una y otra bola después del choque. Sean v1 y v2 las velocidades de las bolas blanca y amarilla después del impacto. El momentum del sistema formado por ambas bolas antes de la colisión es m vB , pues sólo la blanca estaba en movimiento. Como sabemos en cualquier choque hay conservación del momentum total y entonces : → → → m • vB = m • v1 + m • v2 Como el choque es directo, los vectores vB , v1 , v2 tiene la misma dirección y por tanto la relación anterior se puede escribir en forma escalar : m vB = m v1 + m v2 o bien vB = v1 + v2 ⇒ v1 + v2 = 2 Además tratándose de un choque elástico , la energía cinética del sistema se conserva. Luego , entonces : m (vB)2 / 2 = m (v1)2 / 2 + m (v2)2 / 2 ⇒ (v1)2 + (v2)2 = 4 Al resolver el sistema se obtiene : v2 = 2,0 m/s , v1 = 0 Así pues, debido al choque la blanca entra en reposo y la amarilla adquiere una velocidad igual a la que poseía la bola blanca antes del choque. Por ejemplo : Un vagón de tren A de 20Mg se mueve hacia la derecha a la velocidad de 0,5 m/s y colisiona con otro vagón B de 35 Mg que está en reposo. Si después del choque el vagón de 35 Mg ( B ) se mueve hacia la derecha a velocidad de 0,3 m/s, determine el coeficiente de restitución entre los vehículos. Considerando sentido positivo a la derecha, la cons ervación del momentum tiene como resultado: mA • vA(I) + mB • vB(I) = mA • vA(F) + mB • vB(F) 20Mg •0,5 m/s + 35Mg • 0 = 20Mg • vA(F) + 35Mg • 0,3 m/s vA(F) = - 0,025 m/s , es decir A después del choque se mueve a la izquierda El coeficiente de restitución es: e = vF(B) - vF(A) = 0,3 - ( - 0,025) = 0,65 vI(A) - vI(B) 0,5 - 0

Por ejemplo : El péndulo balístico es un sistema con el que se mide la rapidez de un proyectil. La bala se dispara hacia un gran bloque de madera suspendido de algunos alambres ligeros . La bala es detenida por el bloque y todo el sistema se balancea hasta alcanzar la altura h. Puesto que el choque es perfectamente inelástico y el momentum se conserva además de la conservación de la energía mecánica se puede calcular la velocidad de la bala. Suponga que h = 5,0 cm, m1 = 5,0 gr , m2 = 1,0 kg, determine la velocidad inicial de la bala, y la pérdida de energía mecánica por el choque. La conservación del momentum antes e inmediatamente después del choque da como resultado: m1 • v1(I) + 0 = (m1 + m2) • v(1 + 2)(F) ⇒ 0,005 • v1(I) + 0 = 1,005 • v(1 + 2)(F) El término v(1 + 2)(F) , es la velocidad inicial del conjunto para ocupar ahora la conservación de la energía mecánica: (m1 + m2) • (v(1 + 2)(F))2 / 2 = (m1 + m2) • g • h (v(1 + 2)(F)) = √ 2 • g • h = 1 m/s Volviendo a la ecuación del momentum se tiene: 0,005 • v1(I) + 0 = 1,005 • v(1 + 2)(F) ⇒ 0,005 • v1(I) + 0 = 1,005 • 1 v1(I) = 201 m/s La energía mecánica antes del choque corresponde só lo a la energía cinética de la bala: EMECAN(INICIAL) = m1 • (v1(I))2 / 2 = 0,005 • (201)2 / 2 = 101,0 J La energía mecánica después del choque corresponde sólo a la energía gravitatoria del conjunto bloque - bala: EMECAN(FINAL) = (m1+ m2) • g • h = 1,005 • 10 • 0,05 = 0,5025 La energía mecánica disipada durante el choque es la diferencia entre ellas: EDISIPADA = EMECAN(FINAL) - EMECAN(INICIAL) = 0,5025 - 101,0 J EDISIPADA = - 100,5 J (el signo menos significa que se transforma en energía térmica, o bien es el trabajo realizado por la fuerza de roce.

Ejercicios propuestos 92.-Un proyectil de se mueve horizontalmente a la derecha con rapidez v = 40 m/s. En un instante explota fragmentándose en tres partes A , B , C de masa M , 2M , 3M, respectivamente. Sabiendo que después de la explosión la rapidez de las partes B y C valen vB = vC = 110 m/s, determine la rapidez de la parte A. 93.-Un bloque B de 1 kg se mueve con una velocidad vo de magnitud 2 m/s cuando golpea contra la esfera A de 0,5 kg, la cuál está en reposo y cuelga de una cuerda sujeta en O. Sabiendo que el coeficiente de roce cinético entre el bloque y la superficie horizontal es uc = 0,6 y que e = 0,8 entre el bloque y la esfera, determine tras el impacto: a)La altura máxima alcanzada por la esfera b)La distancia x que recorre el bloque 94.-Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura de 2 m sobre el plato de 10 kg de una balanza de resorte. Suponiendo que el choque es perfectamente elástico , determine el máximo desplazamiento del plato. La constante elástica del resorte es k = 20 kN/m.

95.-Dos automóviles de igual masa, A y B se encuentran en r eposo con los frenos sueltos. El auto C de igual masa ha sido empujado y choca con B con una velocidad de 1,5 m/s. Sabiendo que el coeficiente de restitución es 0,8 entre B y C y 0,5 entre A y B, determine las velocidades de cada auto luego de producirse todas las colisiones.

96.-Un bloque B de 1,5 kg está sujeto a un resorte no deformado de constante k = 80 N/m y descansa sobre una superficie horizontal sin roce cuando es golpeado por un bloque igual A que se mueve a 5 m/s. Considerando sucesivamente los casos en que el coeficiente de restitución entre ambos bloque es (a) e = 1 , (b) e =0, determine, la máxima deformación del resorte y la velocidad final del bloque A.

Centro de gravedad El centro de gravedad C.G. de un cuerpo es el lugar o punto del cuerpo en el cual se puede considerar concentrado todo su peso; dependiendo de la geometría del cuerpo el C.G. en algunos casos puede estar dentro o fuera de los límites del cuerpo. Para un objeto irregular el C.G., está ubicado en la zona de mayor concentración de masa. En un cono sólido, por ejemplo, el C.G. está más cerca de la base. Cuando el objeto tiene forma plana, el C.G. se puede localizar técnicamente suspendiendo este objeto de dos puntos diferentes. Figura 1 : El objeto se ha suspendido del punto A, el C.G. se encontrará en el segmento AA´. Figura 2 : El objeto se ha suspendido de otro punto B, el C.G. se encontrará en el segmento BB´. Conclusión : El C.G. se localiza en la intersección AA´ y BB´. OBJETOS QUE SE VUELCAN En la figura 1, el bloque no se vuelca porque el C.G. está sobre la base de apoyo, la línea de acción del peso intersecta la base. En la figura 2, el bloque esta a punto de volcar, porque el C.G. está justo sobre el límite de la base. La línea de acción del peso intersecta el límite dela base. En la figura 3, el bloque se vuelca porque el C.G. sobrepasa la base de apoyo, la línea de acción del peso no intersecta la base de apoyo.

Estabilidad de los cuerpos Considera un cono sólido de madera que está sobre una mesa horizontal. No puedes sostenerlo sobre el vértice. Aún si lo colocas de tal forma que el C.G. quede exactamente sobre la punta, la mas leve vibración o corriente de aire lo hará caer. Observa que este movimiento hace descender el C.G.. Decimos que un objeto está en equilibrio inestable cuando un desplazamiento cualquiera hace hace descender el C.G. Es fácil erguir un cono sobre la base. Para volcarlo sería necesario elevar el C.G. Esto significa que tenemos que incrementar su energía potencial , lo que requiere trabajo. Decimos que un objeto está en equilibrio estable cuando un desplazamiento cualquiera eleva el C.G. Si colocas el cono de costado, la altura del C.G. no varía con los desplazamientos. Decimos que un objeto en esta posición está en equilibrio neutro . El lápiz equilibrado en posición horizontal está en equilibrio apenas estable. Basta elevar ligeramente su C.G. para hacerlo caer. Si colocas dos papas en sus extremos, el equilibrio es mas estable. Ahora el C.G. está debajo del punto de apoyo. Centro de gravedad de las personas Cuando estas de pie con los brazos en los costados, tu C.G. se encuentra dentro de tu cuerpo. Característicamente se encuentra de 2 cm a 3 cm debajo del ombligo y a la mitad de distancia entre el frente y la espalda. El C.G. de las mujeres está algo más abajo que el de los hombres debido a que las mujeres suelen tener la pelvis proporcionalmente mas grande y los hombres mas estrechos. El C.G. de los niños está aproximadamente un 5% mas arriba debido a que tiene la cabeza proporcionalmente mas grande y las piernas mas cortas. Cuando estas de pie, tu C.G. se encuentra en algún punto sobre tu base, es decir sobre el área delimitada por tus pies. En situaciones inestables como cuando viajas de pie en un autobús que se bambolea, sueles separar los pies para aumentar esta área. Al aprender a caminar un niño debe aprender a coordinar y colocar su C.G. por encima del pie que lo sostiene. Muchas aves, por ejemplo las palomas lo consiguen moviendo la cabeza hacia delante y hacia atrás a cada paso. CALCULO DE CENTRO DE GRAVEDAD Existen cuerpos compuestos formados por distintas formas de longitudes, de áreas, de volúmenes que no presentan simetría, entonces para calcular las coordenadas de su centro de gravedad, se debe subdividir en figuras conocidas (triángulos, rectángulos, círculos, conos, cilindros, etc. ) cuyo centro de gravedad se conocen por medio de fórmulas ya establecidas. Si todos los cuerpos son varillas (longitudes) de la misma densidad y de la misma sección recta, podemos calcular las coordenadas del centro de gravedad, mediante las expresiones: x = Σ (L i • x i ) / Σ(L i ) ; y = Σ (L i • y i ) / Σ(L i ) ; z = Σ (L i • z i ) / Σ(L i) Si todos los cuerpos son superficies (áreas) de la misma densidad y del mismo espesor, podemos calcular las coordenadas del centro de gravedad, mediante las expresiones: x = Σ (A i • x i ) / Σ(A i ) ; y = Σ (A i • y i ) / Σ(A i ) ; z = Σ (A i • z i ) / Σ(A i)

Si todos los cuerpos tienen volúmenes de la misma densidad, podemos calcular las coordenadas del centro de gravedad, mediante las expresiones: x = Σ (V i • x i ) / Σ(V i ) ; y = Σ (V i • y i ) / Σ(V i ) ; z = Σ (V i • z i ) / Σ(V i)

Para los cuerpos homogéneos, de forma geométrica de finida, el centro de gravedad está en el eje de simetría del cuerpo y en su centro geométrico. a) LINEAS O LONGITUDES b) SUPERFICIES

c) VOLUMENES

Por ejemplo : Un alambre cilíndrico de cobre (con densidad de masa uniforme ) se ha doblado de manera que forma dos esquinas de ángulo recto. Determine las coordenadas del C.G. Sabemos que L1 = 10 cm, L2 = 8 cm, L3 = 10 cm Para calcular las coordenadas del C.G. debemos trazar primero un sistema de ejes (siempre es conveniente de modo que la figura quede en el primer cuadrante). Luego, para cada longitud ubicas su centro geométrico ( en coordenadas x e y ) y completas la tabla. x = Σ L • x / ΣL x = 112 / 30 = 3,73 cm y = Σ L • y / ΣL y = 122 / 30 = 4,06 cm Por ejemplo : Determine el C.G. de una pieza plana de acero ( superficie) de espesor uniforme. Se traza un sistema de ejes de modo que la figura quede ubicada en el primer cuadrante. Luego se divide en un rectángulo ( I ) y en triángulo ( II ). Luego, para cada superficie ubicas su centro geométrico ( en coordenadas x e y ) y completas la tabla. y = Σ A • y / ΣA y = 44 / 26 = 1,69 cm

x = Σ A • x / ΣA x = 124 / 26 = 4,76 cm

Ejercicios propuestos 97.-Determine las coordenadas del centroide de la superficie plana representada.

98.- La figura muestra 3 objetos uniformes, una barra, un triángulo rectángulo, un cuadrado. Se proporcionan sus masa en kg y sus coordenadas en metros. Determine el centro de gravedad para el sistema de los tres objetos.

Torque o momento de fuerza Cuando se abre una puerta (vista desde arriba) es necesario jalar o empujar de la empuñadura y observamos que la puerta empieza a girar, entonces la fuerza F aplicada en la empuñadura ha producido la rotación de la puerta. La experiencia indica que el mayor efecto de rotación se produce al aumentar la fuerza o al aumentar la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza al eje de rotación. El efecto rotacional queda medido por la magnitud física llamada Momento o Torque . El momento o torque ( M ) de una fuerza respecto de un punto está dado por el producto cruz o vectorial entre el vector posición ( r ) y el vector fuerza ( F ): → → → M = r x F Magnitud : r • F • sen θ Dirección : perpendicular al plano formado por r y F Sentido : entrando o saliendo del plano Por ejemplo : Determine el momento de una fuerza aplicado al cuerpo de la figura cuando F = 6 N y hace un ángulo de 30o con el eje x, y r mide 45 cm haciendo un ángulo de 50o con el eje positivo x. Se escribe cada vector en forma unitaria F = ( cos 30 • 6 i + sen 30 • 6 j ) N F = 5,16 N i + 3 N j r = ( 0,45 • cos 50 i + 0,45 • cos 50 j) m r = ( 0,28 m i + 0,34 m j → → → M = r x F → M = ( 0,28 i + 0,34 j ) x ( 5,16 i + 3 j ) → M = 1,44 i x i + 0,84 i x j + 1,75 j x i + 1,02 j x j → M = 0,84 k - 1,75 k = - 0,91 k (N m) Otra forma de calcular el momento o o torque de F es: Magnitud: M = r • F • sen θ = 0,45 • 6 • sen 20o = 0,92 ( N m ) Dirección: perpendicular al plano xy Sentido: entrando al plano, por regla de la mano derecha

También el Momento de una fuerza, se puede obtener multiplicando la magnitud de la fuerza con la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza al punto considerado ( esta distancia se llama brazo ). En este caso se debe tener presente que si la fuerza produce una rotación horaria, se considera el momento negativo, en cambio si la rotación es antihoraria, el momento es positivo. Por ejemplo : Una barra delgada que mide 50 cm ( 0,5 m ) de longitud se encuentra pivoteada en el punto O (este es el eje de rotación) y se encuentra sometida a la acción de dos fuerzas, F1 = 10 N y F2 = 8 N. Determine el momento con respecto al punto O producido por F1 y por F2, luego determine el momento resultante.

Calculemos el momento producido por F1 en relación al punto O. Para ello debemos obtener el brazo de la fuerza es decir, la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza al eje de rotación: Brazo = sen 30 • 0,2 m = 0,1 m M1 = F1 • Brazo = 10 N • 0,1 m = + 1,0 N m La fuerza F1 tiende a provocar una rotación antihorario en la barra, por ello el momento es positivo, la dirección del momento ( M1 ) es a lo largo del eje de rotación ( punto O ) y saliendo de él. Calculemos el momento producido por F2 en relación al punto O. Para ello debemos obtener el brazo de la fuerza es decir, la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza al eje de rotación: Brazo = sen 30 • 0,5 m = 0,25 m M2 = F2 • Brazo = 8 N • 0,25 m = - 2,0 N m La fuerza F2 tiende a provocar una rotación horaria en la barra, por ello el momento es negativo, la dirección del momento ( M2 ) es a lo largo del eje de rotación ( punto O ) y entrando de él. El momento resultante sobre la barra es igual a la suma algebraica de los momentos producidos por cada fuerza: MTOTAL = M1 + M2 = +1,0 N m + - 2,0 N m = - 1,0 N m Esto significa que si la barra se dejara libremente, giraría en sentido horario.

El momento de una fuerza respecto a un punto se puede obtener, calculando el momento de sus componentes rectangulares con respecto al punto y luego ejecutar la suma algebraica de dichos momentos. Por ejemplo : En la figura, se aplica una fuerza F = 300 N en el extremo de la barra que se encuentra pivoteada (clavada) en B (eje de rotación) , pudiendo girar libremente. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto a B. Calculemos la magnitud de las componentes rectangulares de F en el eje x y en el eje y. Fx = 300 N • sen 50 o = 230 N Fy = 300 N • cos 50 o = 193 N El momento total producido por F es igual a la suma algebraica del momento producido por cada componente. Mx = Fx • distancia perpendicular desde la línea de acción de Fx al eje de rotación Mx = 230 N • 0,5 m = 115 N m , rotación horaria , es decir Mx = - 115 N m My = Fy • distancia perpendicular desde la línea de acción de Fy al eje de rotación My = 193 N • 0 m = 0 N m (la línea de acción de Fy pasa por el eje de rotación) Luego MF = Mx + My = - 115 Nm + 0 Nm = - 115 Nm Magnitud : 115 Nm; Dirección ; perpendicular al plano ( a lo largo del eje que pasa por B; Sentido : entrando al plano. Ejercicios propuestos 99.-Una fuerza de 800 N actúa sobre un cuerpo como se muestra en la figura. Encuentre el momento de la fuerza F respecto a B (magnitud, dirección, sentido).

100.-En la figura, determine el momento de una fuerza resultante en magnitud, dirección y sentido sobre la barra que se muestra en la figura, respecto de: a)Un eje que pasa a través de O, perpendicular a la barra b)Un eje que pasa a través de C, perpendicular al a barra 101.-Para enderezar un poste de valla se emplea un tensor de trinquete. Sabiendo que la tensón en el cable BC es de 1040 N y que d = 1,90 m, determine el momento respecto a D de la fuerza que ejerce el cable en C. 102.-Una válvula de pedal de un sistema neumático está articulada en A. Sabiendo que α = 28o , determine el momento respecto a B de la fuerza de 16 N descomponiéndola en sus componentes horizontal y vertical. 103.-A una palanca se aplican, dos fuerzas paralelas cada una de 60 N. Determine el momento que provocan las dos fuerzas con respecto al punto A.

Equilibrio de cuerpo rígido Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuan do se cumplen en él las dos condiciones siguientes: ΣF = 0 ⇒ ΣFx = 0 , ΣFy = 0 , ΣFz = 0 , esta condición define el equilibrio de traslación . ΣM = 0 ( respecto a cualquier punto) , esta condición define el equilibrio de rotación.

Algunos tipos de conexiones y su respectivas fuerzas y momento. Por ejemplo : Una barra de peso despreciable esta “empotrada” en una pared como muestra la figura. En su extremo más alejado se ejerce una fuerza de 10 kN, determine: a)Las fuerzas (reacciones) y el momento ejercido por el empotramiento sobre la barra. Las fuerzas que ejerce el empotramiento sobre la barra son una horizontal ( Rx ) y otra vertical ( Ry ). Además ejerce un momento ( M ) que le asignaremos el sentido que muestra la figura. ΣFx = 0 → - R x = 0 → R x = 0 (el empotramiento no ejerce fuerza horizontal) ΣFy = 0 → R y - 10 kN = 0 → R y = 10 kN (está dirigida hacia arriba porque el resultado es ( + ) Al considerar momentos respecto a A, las fuerzas R x , R y no producen momento: Σ M A = 0 → M - 10 kN • 2 m = 0 → M = 20 kN m El momento que ejerce el empotramiento es el indicado en la figura, es decir se ejerce a lo largo del eje de rotación saliendo de la figura.

Por ejemplo : En la figura se muestra una barra homogénea rígida y horizontal OA, de peso P = 20 N, articulada en O (puede girar en torno a O ), sostenida por una cuerda AB, sujeta a una pared en el punto B y formando un ángulo de 60o con la horizontal. Un peso P´= 20 N está colgado en el extremo A de la barra, sabiendo que la barra está en equilibrio, determine la tensión T en la cuerda y el valor de la fuerza R que la articulación ejerce en la barra. Fuerzas que actúan sobre la barra Una cuerda tensionada sólo puede ejercer una fuerza en la dirección de la cuerda misma. Por tanto en la figura, la tensión T que la cuerda ejerce en la barra tiene la dirección y el sentido indicado. A su vez, una articulación puede ejercer una fuerza en cualquier dirección, por eso, la reacción de la articulación en O sobre la barra se representó con una componente horizontal ( Rx ) y otra componente vertical ( Ry ). Además de las fuerzas Rx , Ry , T , están aplicadas en la barra, su propio peso P (en el punto medio que es su centro de gravedad) y el peso P´ aplicado en A. Si se consideran los ejes OX y OY que se muestran en la figura y si se recuerda que la barra está en equilibrio, se sabrá que las fuerzas Rx , Ry , T , P y P´ satisfacen las ecuaciones: Σ Fx = 0 , Σ Fy = 0 y Σ M = 0

Considerando las fuerzas según OX y OY , la tensión T se reemplaza por sus componentes rectangulares: Σ Fx = 0 → Rx - T cos 60 o = 0 ; Σ Fy = 0 → Ry + T sen 60o - 20 N - 20 N = 0

Tomemos los momentos en relación a O (observe que las líneas de acción de las fuerzas Rx, Ry , T cos 60o pasan por ese punto y por tanto sus momentos en relación con él serán nulos). Σ M = 0 → T sen 60ºo • 4 m - 20 • 4 m - 20 • 2 m = 0 Al resolver estas ecuaciones, se obtiene T = 35 N , Rx = 17,5 N , Ry = 10 N ( Hágalo ).

Observe que las fuerzas son todas positivas, luego sus sentidos son los indicados en la figura. Luego podemos determinar la fuerza total que ejerce la articulación R sobre la barra: → R = 17,5 N i + 10 N j ; Magnitud: R = √ ( 17,5 ) 2 + ( 10 ) 2 = 20,15 N Dirección : tg α = 10 / 17,5 = 0,57 → α = 30o

La fuerza que ejerce el pasador (soporte) en O tiene magnitud 20,15 N, en una dirección de 30o sobre la horizontal.

Por ejemplo : Un niño de peso PM = 400 N camina a lo largo de una plancha de peso P = 300 N, apoyada por dos soportes, en los puntos A y B, a una distancia de 4,0 m uno del otro como muestra la figura. Las fuerzas NA y NB representan las reacciones de los apoyos sobre la plancha y su centro de gravedad está situado en medio de AB. a)Estando la plancha en equilibrio en la posición horizontal y siendo x la distancia del niño al punto B, determina el valor de la reacción NA en función de x . Como la plancha está en equilibrio, sabemos que las fuerzas que actúan en él son tales que Σ M = 0. Tomemos los momentos en relación con el punto B porque así, la incógnita, NB que tiene momento nulo en relación con ese punto, no aparecerá en la ecuación . Tendremos : P • AB / 2 - NA • AB - PM • x = 0 , es decir 300 • 4,0 / 2 - NA • 4,0 - 400 • x = 0 de donde se tiene, NA = 150 - 100 x b)¿Cuál es la distancia máxima x que el niño puede alejarse de B sin que la plancha se desequilibre girando en torno de B? Por la relación NA = 150 - 100 x , obtenida en la pregunta a), veremos que a medida que x aumenta, la reacción NA disminuye. Cuando la plancha estuviera lista para girar en torno a B , estará solamente tocando A , sin hacer compresión con ese apoyo, es decir tendremos NA = 0 . Por tanto el valor pedido de x se obtendrá de la siguiente manera: 0 = 150 - 100 x donde x = 1,5 m c)En la situación considerada en b) , ¿cuál será el valor de la reacción NB? En esa situación, la plancha aún está en equilibrio, pero NA = 0 . Entonces por la relación Σ Fy = 0, considerando OY vertical, se tiene : NA + NB - P - PM = 0 , es decir NB = 300 + 400 donde NB = 700 N Ejercicios propuestos 104.-Una escalera uniforme de 5,0 m de longitud y peso igual a 40 kgf , está en equilibrio con su parte superior apoyada en una pared vertical sin fricción y su base apoyada en el suelo áspero a 3,0 m de la pared. a)Trace un diagrama que corresponda a la situación y muestre las fuerzas que actúan en la escalera. b)Determine la reacción normal de la pared N1; del suelo N2 y la fuerza de fricción en la escalera f.

105.-Una varilla semicircular y uniforme pesa 50 N y tiene radio r = 50 cm. Se encuentra sujeta mediante un pasador en A y se apoya en la pared lisa (sin roce ) en B. Determine las fuerzas sobre la varilla en A y en B ( reacciones ).

106.-Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se utiliza para levantar un cajón de 2400 kg. Está sujeta mediante una articulación en A y un soporte liso en B. El centro de gravedad de la grúa está situado en G. Determine las componentes de las reacciones en A y en B. 107.-Una barra OM de peso despreciable, tiene una longitud de 4,0 m. Tres pesos, P1 = 4,0 N , P2 = 5,0 N , P3 = 6,0 N están colgados respectivamente en los puntos A , B , C de la barra, tales que OA = 1,0 m , OB = 2,0 m, OC = 3,0 m. ¿ A qué distancia del punto O debemos colgar la barra para que quede en equilibrio horizontal? 108.-El armazón de la figura soporta parte del tejado de un pequeño edificio. Sabiendo que la tensión del cable es de 150 kN, determine la reacción en el empotramiento E. Considere a = 1,8 m 109.-Una carga que pesa 900 N está sujeta de una estructura como muestra la figura. La sujeción del punto P ejerce tanto una fuerza vertical como horizontal y el peso de cada parte de la estructura actúa sobre el punto medio de la misma. a)Determine las componentes de la fuerza ejercida en el punto P sobre la estructura y el valor de la tensión del cable. c)¿Qué peso máximo puede tener la carga si la máxima tensión que soporta el cable es 2500 N?

110.-La viga AD soporta las dos cargas de 200 N indicadas. La viga está suspendida del empotramiento D y del cable BE unido al contrapeso W. Hallar la reacción en D, cuando W = 500 N

111.-Despreciando el rozamiento y el radio de la polea, determine: a) la tensión en el cable ABD b) la reacción en C

112.-Sobre la viga AB de peso despreciable actúan las fuerzas que se indican y una carga distribuida rectangular. Determine la magnitud de las reacciones en el rodillo y en el pasador.

113.-Una escalera de tijera de peso despreciable se construye como muestra la figura. Una pintora de 70 kg de masa esta parada sobre la escalera a 3,0 m del punto inferior. Suponga el piso sin fricción y encuentre: a) La tensión en la barra horizontal que conecta las dos partes de la escalera b) Las fuerzas normales en A y en B c) Las componentes de la fuerza de reacción en la articulación única C que la pata izquierda de la escalera ejerce sobre la pata derecha.

114.- Un oso hambriento que pesa 700 N camina sobre una viga con la intención de llegar a una canasta de comida que pesa 80 N que cuelga en uno de sus extremos. La viga es uniforme, esta sujeta con un pasador a la pared, pesa 200 N, su largo es 6,0 m y en el otro extremo la sujeta una cuerda.. a)Cuando el oso está en x = 1,0 m, encuentre la tensión en el alambre y las componentes de la fuerza ejercida por el pasador sobre el extremo izquierdo de la viga. b)Si el alambre puede soportar una tensión máxima de 900 N, ¿cuál es la distancia máxima que el oso puede caminar antes de que se rompa el alambre? 115.-En el armazón de la figura que se encuentra en equilibrio, determine: a)Las reacciones en el pasador ( A ) y rodillo ( C ) b) Las fuerzas en cada una de las barras. 116.- Una viga uniforme de masa m está inclinada a un ángulo θ respecto de la horizontal. Su extremo superior produce una inclinación de 90o en una cuerda muy rugosa amarrada a la pared, y su extremo inferior descansa sobre un piso rugoso. a) Si el coeficiente de fricción estática entre la viga y el piso es u, determine una expresión para la masa M máxima que puede colgarse de la parte superior antes de que la viga se deslice. b) Determine la magnitud de la fuerza de reacción en el piso y de la fuerza ejercida por la viga sobre la cuerda en función de m, M , u.

ANEXO 1 - MUSCULOS En los cuerpos de los animales se encuentran muchos ejemplos de palancas. Los músculos proporcionan las fuerzas necesarias para el uso de dichas palancas. Un músculo se compone de miles de fibras largas y finas. Cuando un músculo es estimulado por una señal eléctrica del sistema nervioso, se contrae brevemente o se crispa, ejerciendo por consiguiente una fuerza. Una serie de pulsos enviados a un músculo producen una serie de contracciones en las fibras. Estas aparecen muy seguidas en el tiempo, pero se producen en diferentes instantes en lugares distintos del músculo, de modo que el resultado aparente es una contracción suave del músculo. Si la frecuencia de las contracciones aumenta, la tensión del músculo aumenta hasta un estado de tensión máxima. Más allá de este valor, un aumento de la frecuencia de impulsos nerviosos no produce ningún aumento de tensión. La máxima tensión posible disminuye rápidamente si el músculo se alarga o se acorta mucho. Por ejemplo incline su muñeca hacia delante tanto como pueda e intente cerrar el puño. La mayoría de la gente o bien no llega a cerrar los dedos, o lo hace con poca fuerza. LA COLUMNA VERTEBRAL . La columna vertebral humana consta de 24 vértebras separadas por discos impregnados de un fluido. Cuando una persona se agacha, la columna se comporta como una palanca de poca ventaja mecánica, Así, al agacharse para recoger aunque sea un objeto ligero, produce gran fuerza sobre el disco sacrolumba r, que separa la última vértebra del sacro , el hueso que sostiene la columna vertebral. Si este disco se debilita puede romperse o deformarse y ejercer presión sobre los nervios próximos y producir grandes dolores. Usemos un modelo que trate la columna vertebral como una barra con pivote. El pivote corresponde al sacro y ejerce una fuerza R. Los diversos músculos de la espalda son equivalentes a un solo músculo que produce una fuerza T. Cuando la espalda está horizontal, el ángulo α es de 12o , w es el peso del torso, cabeza y brazos que alcanzan aproximadamente el 65% del peso total del cuerpo. Como α es pequeño, la línea de acción de T pasa cerca del pivote, por lo cuál el brazo de palanca es pequeño. Sin embargo el peso w actúa en ángulo recto con respecto a la columna y su brazo de palanca es mucho mayor. Por consiguiente para que sus momentos se equilibren, la fuerza muscular T debe ser mucho mayor que el peso. Como T es grande , también lo es su componente horizontal. En el equilibrio, la fuerza R debida al sacro ha de tener una componente horizontal igual pero opuesta, de modo que la fuerza debida al sacro es también mucho mayor que el peso. Si estos cálculos se efectúan en detalle, los números que se obtienen son impresionantes. Para un hombre de 170 lb ( 77 kg), T y R se aproximan a las 500 lb. Si el hombre además está levantando un niño de 40 lb, de modo que en el extremo derecho de la barra de la figura haya un peso adicional de 40 lb, T y R alcanzan las 750 lb. Tales fuerzas en los músculos y en el disco son potencialmente peligrosas.

Como el inclinarse, incluso sin levantar un peso produce una gran tensión sobre la columna, debería evitarse. Si, por el contrario, se flexionan las rodillas pero se mantiene la espalda vertical, los centros de gravedad de todos los pesos están aproximadamente en la vertical del sacro. En consecuencia sus momentos con respecto al sacro son pequeños y los músculos no han de hacer ninguna fuerza apreciable. La fuerza sobre el disco es entonces aproximadamente igual al peso total que sostiene. Para el hombre de 170 lb, este peso es aproximadamente de 110 lb para sólo el cuerpo y de 150 lb con una carga de 40 lb. Esta es una manera mucho más segura de levantar incluso un objeto ligero. Maneras ( a ) incorrecta y ( b ) correcta de levantar un peso. a) b) EJERCICIOS PROPUESTOS - MUSCULOS 117.-Una persona se flexiona y levanta un objeto de 200 N con la espalda en posición horizontal. El músculo de la espalda unido en un punto dos tercios arriba de la espina dorsal mantiene la posición de la espalda, donde el ángulo entre la espina dorsal y éste músculo es de 12o . Con el modelo mecánico que se muestra y considerando el peso de la parte de arriba del cuerpo igual a 350 N, encuentre la tensión en el músculo de la espalda y la fuerza compresiva en la espina dorsal. 118.-Cuando una persona se para sobre la punta del pie, la posición del pie es como muestra la figura. El peso total del cuerpo FG es soportado por la fuerza n ejercida por el piso sobre la punta del pie. Se presenta un modelo mecánico, donde T es la fuerza ejercida por el tendón de Aquiles sobre el pie y R es la fuerza ejercida por la tibia sobre el pie. Encuentre los valores de T, R y θ cuando FG = 700 N

ANEXO 2 - PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS MATERIALES Hasta ahora hemos estudiado objetos en movimiento o en reposo. Se ha partido de la suposición de que los objetos son rígidos y totalmente sólidos. Sin embargo sabemos que el alambre puede alargarse, que los neumáticos de hule se comprimen y que los pernos se rompen en algunas ocasiones. Para tener una comprensión más completa de la naturaleza, es necesario estudiar las propiedades mecánicas de la materia. Estudiaremos los conceptos de elasticidad , tensión y compresión. Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma original cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, resortes, son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. La masilla, la arcilla son ejemplos comunes de cuerpos inelásticos. Para todo cuerpo elástico conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes. Antes se estudio que en un resorte de comportamiento regular la fuerza aplicada ( F ) es en magnitud proporcional a la deformación ( ∆x ) que experimenta. Matemáticamente esta relación se expresa por la ley de Hooke ( F = k •••• ∆∆∆∆x ) , donde k es constante de proporcionalidad, característica propia del resorte. La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral, de hecho se aplica a la deformación de todos los cuerpos elásticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo general, es necesario definir los conceptos de esfuerzo y deformación . El esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto , en otras palabras a la deformación misma. En la figura se muestran los tres tipos más comunes de esfuerzos y sus correspondientes deformaciones. Un esfuerzo de tensión ( tracción ) ( a ) que tiende a producir un alargamiento al objeto. En un esfuerzo de compresión ( b ) éste tiende a comprimir el objeto. Un esfuerzo cortante ( c ) ocurre cuando fuerzas se aplican tangencialmente al área del objeto sometido a esfuerzo. a) b) c) La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye la fuerza.

ESFUERZO ( σσσσ ) : es la razón de una fuerza aplicada entre el área sobre la que actúa. σσσσ = F / A , se mide en N / m2 = Pascal ( Pa ) , en lb / pulg2 , en lb / pie2 El cambio de longitud ( ∆∆∆∆L ) de una barra sometida a esfuerzo de tracción o de compresión es proporcional a su longitud inicial ( Lo ) . Se define como deformación unitaria longitudinal ( εεεε ) la variación de longitud en relación a su largo inicial, esto es: εεεε = ∆∆∆∆ L / L o , de acuerdo a la definición, ε no tiene dimensión La relación entre esfuerzo ( σ ) y deformación ( ε ) para un material sometido a tracción puede ser determinada experimentalmente. La figura muestra la forma de la curva para resultados típicos de este tipo de experimento en un material dúctil. Para valores pequeños de deformación , el gráfico esfuerzo ( σσσσ ) versus deformación ( εεεε ) es una línea recta es decir el esfuerzo es directamente proporcional con la deformación. Más allá del límite de proporcionalidad ( σP ) punto ( A ) el comportamiento ya no es lineal , sin embargo existe un tramo de valores entre A y B en que el material aún recupera sus dimensiones originales al dejar de aplicar la fuerza. La deformación hasta el punto B se llama elástica. Si la fuerza aplicada se aumenta aún más, la deformación crece muy rápidamente, el objeto no recupera sus dimensiones originales, al dejar de actuar la fuerza y presenta una deformación permanente . El punto más alto de la curva ( C ) corresponde al esfuerzo máximo a que puede ser sometido el material . Más allá de este punto se sigue produciendo deformación adicional aunque la fuerza aplicada se reduzca y en el punto D se produce la fractura o ruptura. Desde B a D se dice que el material experimenta deformación plástica . Si los puntos correspondientes a los esfuerzos máximos ( σMAX ) y esfuerzo de ruptura ( σRUPTURA ) están muy próximos se dice que el material es frágil, no es capaz de deformarse plásticamente y no soporta deformación permanente. Si dichos puntos están suficientemente distantes se dice que el material es dúctil y soporta deformación permanente. Las deformaciones elásticas de un sólido se relacionan con los esfuerzos asociados a través de magnitudes llamadas módulos elásticos. En la región lineal del gráfico ( σ ) versus ( ε ) para la tracción o compresión, su pendiente corresponde al cuociente entre ( σ ) y ( ε ) y se llama módulo de Young ( Y ) : Y = σσσσ / εεεε El módulo de Young ( Y ) es una constante propia para cada material. Depende sólo de la composición del material y no del tamaño. La unidad de medida para el módulo de Young, es la misma que para el esfuerzo. Cada elemento tiene su propio módulo de Young, por tanto esta información se obtiene directamente de tablas.

Sobre los objetos también pueden actuar fuerzas tangenciales o de torsión. Un ejemplo sencillo de esfuerzo y deformación cortante, fácil de hacer consiste en colocar un libro sobre una mesa y ejercer fuerzas iguales en sentidos opuestos sobre sus cubiertas. Cada página se desplaza ligeramente respecto a la siguiente, y la forma del libro cambia aún cuando su altura " L " y su anchura " W" permanece prácticamente iguales. La cubierta superior se desplaza " ∆s " respecto a la inferior. El esfuerzo cortante sobre la cubierta superior es : σσσσC = F PARALELA / área , la deformación cortante es: εεεε C = ∆∆∆∆s / L El cuociente entre σC y εC define el módulo cortante o de cizalladura ( G ) . Es decir G = σσσσC / εεεεC El módulo cortante o de cizalladura sólo tiene significado para materiales sólidos. Un líquido o un gas fluyen bajo la acción de un esfuerzo cortante y no pueden soportarlo de forma permanente. Generalmente el módulo de cizalladura oscila entre 1/3 y 1/2 del módulo de Young del material. CONSTANTES ELASTICAS APROXIMADAS PARA ALGUNOS MATERIALES

SUSTANCIA ( Y ) x 109 Pa ( G ) x 109 Pa Aluminio 70 30 Bronce 91 36 Acero 200 84 Hielo 14 3

¿Cuál es el diámetro mínimo que debe tener un cable de acero para que mediante una grúa levante un peso máximo de 8,8 • 10 4 N ? Considere que el límite elástico para el acero es 30 • 107 N/m2. La tensión máxima que soportará el cable es de 8,8 • 104 N. Si el esfuerzo no excede del valor asignado al límite elástico, el área de la sección transversal será : σE = T / A ⇒ A = 8,8 • 104 N / 30 • 107 m2

= 3,0 • 10-4 m2

Si el área es igual a π • ( D )2 / 4 , con D el diámetro se tiene : D = 1,95 • 10-2 m = 1,95 cm. Por supuesto que el valor del diámetro debería ser algo mayor a fin de dar cierto margen de seguridad. La deformación elástica máxima que puede experimentar un objeto, se obtiene conociendo los valores de ( Y ) y ( σE ). Para el acero, Y = 2 • 1011 N/m2 , y el límite elástico σE = 30 • 107 N/m2 , luego la deformación máxima es: ε = σE / Y = 30 • 107 N/m2 / 2 • 1011 N/m2 = 1,5 • 10-3 , Esto significa que si una barra de acero se estira más que 0,15 %, se habrá sobrepasado su límite elástico.

EJERCICIOS PROPUESTOS 119.-Una barra rígida AB está sujeta por dos postes como muestra la figura. El alambre AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm y BD está hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine el alargamiento de cada barra cuando actúa en el punto F una carga de 90 kN. Considere Yacero = 2 • 1011 Pa , Yaluminio = 70 • 109 Pa. 120.-Una lámpara que pesa 800 N está soportada por 2 barras de acero AB y BC. La barra AB mide 0,8 m y tiene un diámetro de 10 mm y la barra BC mide 0,9 m y tiene un diámetro de 8 mm. Determine el alargamiento que se produce en cada barra. Considere Yacero = 2 • 1011 Pa 121.-Un cable de acero para transporte está enrollado alrededor de un tronco y de él tira un tractor. El diámetro del cable es 12,5 mm y la distancia entre el tractor y el tronco es 10,5 m. Para tirar del tronco es necesaria una fuerza de 9500 N. Sabiendo que esto ocurre dentro del límite elástico del alambre y que el módulo de Ypung para el acero es YACERO = 2 • 1011 N/m2 a)¿Cuál es el esfuerzo en el cable ? b)¿Cuál es la deformación unitaria longitudinal del cable ? c)¿Cuánto se alarga el cable cuando se tira del tronco ?