edebé

Matemáticas 1ESO

GEOMETRÍA

8

CONTENIDOS

1. Elementos básicos de la geometría

1.1. Determinación de una recta

1.2. Posición relativa de dos rectas en el plano

1.3. Semirrecta y segmento

2. Ángulo

2.1. Concepto de ángulo

2.2. Medida de ángulos

2.3. Clasificación de los ángulos

2.4. Operaciones con ángulos

2.5. Relaciones angulares

3. Construcciones geométricas con regla

y compás

Competencia matemática

• Expresar medidas angulares en forma compleja e in-

compleja.

• Aplicar los conceptos geométricos elementales en la

descripción de situaciones de la vida cotidiana.

Competencia en comunicación lingüística

• Utilizar el lenguaje geométrico para interpretar y

transmitir información en situaciones cercanas.

Competencia para aprender a aprender

• Presentar de forma clara, ordenada y precisa las cons-

trucciones y trabajos geométricos.

COMPETENCIAS BÁSICAS

164 Unidad 8

Rectas y ángulos

PREPARACIÓN DE LA UNIDAD• Los elementos básicos de la geometría son el punto, la rec-

ta y el plano.

• Las rectas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.

• Un ángulo es la región del plano limitada por dos semi-

rrectas que tienen el mismo origen.

• Una figura es simétrica si puede dividirse en dos partes igua-

les mediante una línea recta. Esta línea recta se denomina

eje de simetría.

Ángulo

165Rectas y ángulos

Indica qué elementos de la fotografía pueden describirse como rectaso ángulos.

166 Unidad 8

1. Elementos básicos de la

geometríaLa geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de

las figuras geométricas.

En éstas podemos identificar puntos, rectas y planos, que son los tres elemen-

tos básicos de la geometría.

Tanto las rectas como los planos son ilimitados, por lo que los representamos

mediante una parte de ellos.

Al trazar una recta en un plano, éste queda di-

vidido en dos partes.

Cada una de estas partes es un semiplano.

PUNTOS

BA

• Para representarlos utilizaremos dos pe-

queños trazos que se cortan o un pe-

queño círculo.

• Lo simbolizaremos con letras mayús-

culas: A, B...

RECTAS PLANOS

r

α

• Las representaremos mediante una lí-

nea recta.

• Las simbolizaremos con letras minús-

culas: r, s, t...

• Los representaremos mediante un pa-

ralelogramo.

• Los simbolizaremos con letras griegas:

α, β, γ...

1. Identifica, en la imagen, algunos objetos que puedan asociarse a pun-

tos, rectas o planos.

LENGUAJE MATEMÁTICO

Alfabeto griego

Α α alfa

Β β beta

Γ γ gamma

Δ δ delta

Ε ε épsilon

...

AC

TIV

IDA

DES 2. Representa un plano α y dibuja a con-

tinuación una recta r que pertenezca al

plano.

Después, representa dos puntos A y B, el pun-

to A que pertenezca a la recta y el punto Bque pertenezca al plano pero no a la recta.

3. Establece qué relaciones hay entre los

tres elementos básicos de la geometría

(punto, recta y plano), dependiendo de si

uno de ellos pueda contener a otro o no.

CB

167Rectas y ángulos

1.1. Determinación de una recta

Observa a continuación cuántas rectas se pueden trazar que pasen por un

punto y por dos puntos.

1.2. Posición relativa de dos rectas en el plano

Dos rectas en un mismo plano pueden tener diferentes posiciones entre sí.

AB

C

Por dos puntos sólo pasa una recta.Por un punto pasan infinitas rectas.

AB r

A

Dado que por dos puntos sólo puede pasar

una recta, podemos decir que una recta que-

da determinada por dos puntos.

Si tres o más puntos pertenecen a una mis-

ma recta, se dice que están alineados.

RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS RECTAS COINCIDENTES

s

rP

s

r

sr

Tienen un único punto en común. No tienen ningún punto en común, aun-

que las prolongues.

Tienen todos los puntos en común.

4. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de los puntos

de la figura. ¿Cuántas rectas has obtenido?

a) ¿Qué ocurriría si el punto B per-

teneciese a la recta determina-

da por A y D?

b) Determina cuántas rectas ob-

tendrías si los puntos B y C per-

teneciesen a la recta determi-

nada por los puntos A y D.

A D

B C

5. Dobla una hoja de papel y repasa con lápiz el plie-

gue que se ha formado. ¿Qué elemento geométrico

has dibujado?

6. Observa tu entorno y pon varios ejemplos de rectas

paralelas y de rectas secantes.

7. Si la recta r es perpendicular a la recta s y ésta, a su vez,

es perpendicular a la recta t, ¿cuál es la posición re-

lativa de las rectas r y t?

AC

TIVID

AD

ES

168 Unidad 8

Fíjate ahora en cómo pueden unirse diferentes segmentos entre sí por sus ex-

tremos.

Además, el concepto de segmento permite de-

finir la distancia entre dos puntos:

La distancia entre dos puntos A y B es la longitud

del segmento que los une.

1.3. Semirrecta y segmento

Observa las figuras.

A

BDistancia

ASemirrecta

Origen

SemirrectaA

B

Extremos

Segmento AB

Cada una de las dos partes en que el pun-

to A divide a la recta se llama semirrecta.

El punto A es el origen de las dos semi-

rrectas.

La parte de la recta comprendida

entre los puntos A y B se llama segmen-

to y lo simbolizaremos por AB.

Los puntos A y B son los extremos del seg-

mento.

P

Q

R

S

UV

W

X

Los segmentos PQ, QR y RS están uno a

continuación del otro y tienen entre sí

un extremo en común.

Diremos que son segmentos consecuti-

vos.

Los segmentos UV, VW y WX son conse-

cutivos y además están situados sobre una

misma recta.

Diremos que son segmentos consecutivos

alineados.

Distancias

Distancia entre un punto y una

recta

La distancia d entre el punto P y la

recta r es la longitud del segmento

PQ, perpendicular a r.

Distancia entre dos rectas pa-

ralelas

La distancia d entre dos rectas pa-

ralelas r y s es la longitud del seg-

mento PQ, perpendicular a r y s.

Observa que, en general, para re-

presentar ángulos rectos utilizamos

el símbolo � en lugar de un arco.

d

P

Q

r

s

P

Qr

d

8. Dibuja una recta y señala dos puntos distintos sobre ella.

¿Cuántas semirrectas resultan? ¿Y cuántos segmentos?

— A continuación, señala tres puntos distintos sobre otra rec-

ta y determina el número de semirrectas y de segmentos.

9. Cita dos elementos de tu entorno que puedas representar

mediante una semirrecta y tres objetos que se identifiquen

con segmentos.

AC

TIV

IDA

DES 10. Los segmentos AB y BC son consecutivos. Si la dis-

tancia entre A y B es de 7 cm y la distancia entre B y Ces de 5 cm, ¿qué podemos decir de la distancia entre

A y C?

11. Considera dos puntos A y B. ¿Qué elemento geomé-

trico resulta de la intersección de la semirrecta de

origen A que contiene al punto B y la semirrecta de ori-

gen B que contiene al punto A?

169Rectas y ángulos

2. Ángulo

2.1. Concepto de ángulo

A continuación veremos dos maneras diferentes de entender el concepto de án-

gulo: como región del plano o como región barrida en un giro.

El ángulo como región del plano

Imagina que desde el punto en que te encuentras parten dos caminos. La región

comprendida entre ambos caminos se denomina ángulo.

El ángulo como región barrida en un giro

Si haces girar un lápiz sobre una mesa

manteniendo fijo uno de sus extremos,

la región del plano que barre el lápiz

en su giro también es un ángulo.

O

Posicióninicial

Posiciónfinal

Semirrecta generatriz

• Las dos semirrectas son los lados del

ángulo.

• El origen común de ambas, O, es el

vértice.

Para nombrar un ángulo utilizamos una letra mayúscula y el símbolo ^, que

situamos encima de la letra.

O A

VérticeLado

Lado

Fíjate en los elementos de un ángulo:

Ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mis-

mo origen.

Ángulo es la región del plano barrida al girar una semirrecta o, semirrecta

generatriz, respecto de su origen desde una posición inicial hasta una po-

sición final.

Transporte de ángulos

Para transportar un ángulo a tu cua-

derno puedes utilizar una regla y el

compás. Observa:

➀ ➁

➂ ➃

➄ ➅

12. Señala los ángulos que observes en

estas señales de tráfico. Para ello

dibuja un arco que vaya de lado a

lado o de la posición inicial a la po-

sición final.

— ¿Sabrías decir cuál es el signifi-

cado de las señales?

13. Dos semirrectas con el mismo ori-

gen dividen el plano en dos re-

giones.

Efectúa un dibujo que refleje la

situación descrita en el enunciado

e indica los ángulos en el dibujo

correspondiente.

AC

TIVID

AD

ES

Mide el ángulo representado en la figura utilizando el transportador de án-gulos.

— Hacemos coincidir el punto central del

transportador con el vértice del ángu-

lo y su base, con uno de los lados del

ángulo.

— Observamos el número de grados que

indica el otro lado del ángulo, 65.

Luego, el ángulo mide 65°.

EJEM

PLO

1

170 Unidad 8

Unidades de medida de ángulos: sistema sexagesimal

La unidad de medida que utilizamos habitualmente para medir ángulos es el gra-

do sexagesimal.

2.2. Medida de ángulos

Dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro án-

gulos iguales son rectas perpendiculares. Cada uno

de los ángulos que forman es un ángulo recto.

El ángulo recto se toma como base para establecer

la unidad fundamental del sistema sexagesimal de

medida de ángulos.

Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (�) y el se-gundo sexagesimal (″). La relación entre estas unidades es la siguiente:

El grado, el minuto y el segundo forman un sistema sexagesimal porque cada uni-

dad es 60 veces mayor que la inmediatamente inferior.

El transportador de ángulos es un instrumento graduado de 0° a 180° que se

utiliza para medir y trazar ángulos. Veamos cómo se utiliza.

� 60

: 60

� 60

: 60

minuto

sexagesimal (′)grado

sexagesimal (º)

segundo

sexagesimal (″)

90 80

60

50

40

30

10

0

70

20

1°

Un grado sexagesimal es el ángulo que obtenemos al dividir un ángulo rec-

to en 90 partes iguales. Se simboliza 1°.

14. Di cuántos grados miden 3 ángulos rectos. ¿Y medio ángulo rec-

to? ¿Cuántos ángulos rectos son 360°?

15. Representa los siguientes ángulos: 30°, 45°, 60°, 210° y 270°.

16. Mide los ángulos de la figura de la derecha utilizando un trans-

portador de ángulos.

A

D

C

BEA

CTI

VID

AD

ES

5 968″ 60

568 99′

28″

99′ 60

39′ 1° 1° 39′ 28″

EJEM

PLO

3

171Rectas y ángulos

Conversión de medidas angulares

Sabemos que al efectuar cualquier medida podemos expresar el resultado en

forma compleja o en forma incompleja. Esto también ocurre con la medida de

ángulos.

Así, podemos decir que la medida de un ángulo es 15° 32′ 48″ o que es 55 968″.

Forma compleja Forma incompleja

Veamos cómo se pasa de forma compleja a forma incompleja, y viceversa.

— Dividimos los segundos por 60

para pasar a minutos. El resto

obtenido lo apuntamos en el re-

sultado como segundos.

— Dividimos los minutos del co-

ciente por 60 para pasar a gra-

dos. El resto obtenido lo apun-

tamos en el resultado como mi-

nutos. El cociente lo apuntamos

en el resultado como grados.

Así, 5 968″ son 1° 39′ 28″.

�

�

Expresa 15° 32 ′ 48 ″ en forma incompleja de segundos.

— Transformamos los grados y minutos a la unidad que se pide, segun-

dos:

— A continuación sumamos los resultados:

54 000″ + 1 920″ + 48″ = 55 968″

Así, 15° 32′ 48″ son 55 968″.

3260

11920′ ′′

′′′· =15 ° ·

3 600

1°

′′ ′′= 54 000

EJEM

PLO

2

17. Expresa las siguientes medidas de ángulos en forma in-

compleja de segundos.

a) 23° 15′ 44″ d) 17° 32′ 23″

b) 18′ 13″ e) 10° 10′ 10″

c) 3° 4′ f ) 64° 59′ 59″

18. Expresa las siguientes medidas de ángulos en forma com-

pleja.

a) 3 602″ d) 1 500″

b) 125′ e) 330′

c) 16 425″ f ) 9 672″

CALCULADORA

Algunas calculadoras disponen de la

tecla , que permite efectuar di-

rectamente tanto la transformación de

forma compleja a incompleja como su

inversa. Si tu calculadora dispone de

esta tecla, consulta el manual para

saber cómo usarla.

Expresa 15° 48′ 27″ en forma incom-

pleja de segundos.

Di a cuántos minutos equivalen

4° 13′ 38″.

C2

C1

Expresa 5 968 ″ en forma compleja.

AC

TIVID

AD

ES

CB CB

SUMA RESTA

Resuelve la suma: 14° 15′ 34″+ 20° 37′ 44″

— Colocamos las medidas de

los ángulos una debajo de la

otra de manera que en cada

columna coincidan las uni-

dades.

— Sumamos por separado los

grados, los minutos y los se-

gundos.

— Si el número de minutos o

de segundos resultante es

mayor o igual que 60, lo

transformamos en la unidad

de orden inmediatamente

superior.

14° 15′ 34″ + 20° 37′ 44″ = 34° 53′ 18″

Resuelve la resta: 75° 34′ 15″− 22° 45′ 30″

— Colocamos de la misma ma-

nera que en la suma las me-

didas de los ángulos y co-

menzamos a restar por las uni-

dades de orden inferior.

— Si el número de segundos o

de minutos en el minuendo

es menor que en el sustra-

endo, transformamos una

unidad de orden inmediata-

mente superior del minuen-

do en su equivalente de or-

den inferior.

75° 34′ 15″− 22° 45′ 30″ = 52° 48′ 45″

MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO NATURAL DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL

Resuelve la multiplicación: 12° 34′ 27″ × 3

— Multiplicamos por el nú-

mero natural los grados,

los minutos y los segun-

dos.

— Si el número de minutos

o el número de segundos

del resultado es mayor

o igual que 60, lo trans-

formamos en una unidad

de orden inmediata-

mente superior.

12° 34′ 27″ × 3 = 37° 43′ 21″

Resuelve la división: 52° 58′ 35″ : 5

— Dividimos los grados por

el número natural, trans-

formamos el resto a mi-

nutos y los sumamos a los

que ya teníamos.

— Dividimos los minutos,

transformamos el resto a

segundos y los sumamos

a los que ya teníamos.

— Dividimos los segundos.

52° 58′ 35″ : 5 = 10° 35′ 43″

172 Unidad 8

Operaciones en el sistema sexagesimal

Para operar con medidas de ángulos debemos tener en cuenta que constitu-

yen un sistema sexagesimal de unidades.

75° 34′ 15″− 22° 45′ 30″

75° 33′ 75″− 22° 45′ 30″

45″

74° 93′ 75″− 22° 45′ 30″

52° 48′ 45″

14° 15′ 34″+ 20° 37′ 44″

34° 52′ 78″

78″ = 1′ 18″

34° 53′ 18″

52° 5

02° 10°

2 × 60 = 120′ ; 120′ + 58′ = 178′

178′ 5

28′ 35′03′

3 × 60 = 180″; 180″ + 35″ = 215″

215″ 5

15″ 43″0″

12° 34′ 27″× 3

36° 102′ 81″

81″ = 1′ 21″

36° 103′ 21″

103′ = 1° 43′

37° 43′ 21″

−1′ +60″

−1° +60′

�

�

�

19. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 23° 58′ 56″ + 34° 47′ 13″ c) 12° 17′ 28″ × 5 e) (35° 16′ 45″ − 22° 16′ 58″) × 3

b) 45° 27′ 15″ − 28° 14′ 48″ d) 130° 26′ 20″ : 5 f ) (7° 25′ 39″ + 31° 27′ 48″) : 7AC

TIV

IDA

DES

173Rectas y ángulos

2.3. Clasificación de los ángulos

Podemos clasificar los ángulos atendiendo a dos criterios. Observa:

• Según la región del plano que abarcan.

• Según su amplitud o medida.

ÁNGULO CONVEXO ÁNGULO CÓNCAVO

El ángulo^Aes convexo porque abarca una

de las cuatro regiones del plano que se

determinan al prolongar sus lados.

A

El ángulo ^B es cóncavo porque abarca

tres de estas cuatro regiones.

B

ÁNGULO AGUDO ÁNGULO RECTO ÁNGULO OBTUSO

• Su amplitud es menor que la de un án-

gulo recto.

• Mide menos de 90°.

• Sus lados son perpendiculares.

• Mide 90°.

A = 90°

• Su amplitud es mayor que la de un án-

gulo recto.

• Mide más de 90°.

ÁNGULO NULO ÁNGULO LLANO ÁNGULO COMPLETO

• Su amplitud es nula.

• Mide 0°.

O

• Su amplitud equivale a dos ángulos rec-

tos.

• Mide 180°.

O

• Su amplitud equivale a cuatro ángulos

rectos.

• Mide 360°.

O

20. Indica si estos ángulos son cóncavos o convexos. 21. Clasifica los siguientes ángulos por su amplitud o medida.

A CD

BD

CB

A

AC

TIVID

AD

ES

174 Unidad 8

2.4. Operaciones con ángulos

Dos ángulos reciben diferentes nombres según su posición. Observa:

Los ángulos pueden sumarse, restarse, y multiplicarse y dividirse por un nú-

mero natural.

Veamos cómo efectuar gráfica y numéricamente estas operaciones.

ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS ADYACENTES

Los ángulos ^A y

^B tienen en común el vértice y uno de los lados.

OB

A

Lado común

Los ángulos^C y

^D son consecutivos y sus lados no comunes for-

man un ángulo llano.

O

CD

Lado común

SUMA RESTA

Para sumar dos ángulos, se transporta uno a continuación del otro

de manera que resulten ángulos consecutivos.

^A + ^B = 80°

^A = 60°^B = 20°

+ =A

B

B A

B A+

Para restar dos ángulos, superponemos el menor al mayor de modo

que tengan un lado y el vértice comunes.

^A − ^B = 40°

^A = 60°

^B = 20°

=A B BA

BA –

MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO NATURAL DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL

Para multiplicar un ángulo por un número natural, sumaremos tan-

tas veces el ángulo como indica dicho número.

^A = 30° 2 ⋅ ^A = 60°

2 A

A A

A

2 A

Dividir un ángulo por un número natural es hallar otro ángulo que

multiplicado por dicho número dé el primero.

^B = 120°

^B = 30°4

En el caso particular en que dividimos el ángulo en dos partes igua-

les, la semirrecta obtenida es la bisectriz del ángulo.

4

4B

B

BB

175Rectas y ángulos

Dado un ángulo, podemos definir su ángulo complementario y su ángulo su-

plementario de esta manera:

A = 60° B = 25°

Resolución numérica:

a) 60° + 25° = 85°

b) 60° − 25° = 35°

c) 3 · 25° = 75°

d) 60

415

° = °

Dados los ángulos ^A y ^B, efectúa gráfica y numéricamente las operaciones siguientes:

a) ^A + ^B b) A − ^B c) 3 ⋅ ^B d) A : 4

Resolución gráfica:

Transportamos los ángulos en cada caso de la manera conveniente.

A

A

4A

A + B

B

BB

B

B

A – B 3B

a) b) c) d)

EJEM

PLO

4

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Los ángulos ^A y

^B son complementarios porque suman 90°.

^A + ^B = 90°

A

B

Los ángulos ^C y

^D son suplementarios porque suman 180°.

^C + ^D = 180°

CD

22. Razona y responde:

a) ¿Todos los ángulos consecutivos son adya-

centes? ¿Y al revés?

b) ¿Todos los ángulos suplementarios son ad-

yacentes? ¿Y al revés?

23. Compara los siguientes ángulos y ordénalos de

mayor a menor sin utilizar el transportador de án-

gulos.

B

CA

D

E

AC

TIVID

AD

ES

24. Dados los ángulos ^A y

^B:

resuelve gráfica y numéricamente los apartados siguientes:

a) ^A + 2 ·

^B b) 3 ·

^A −

^B

2

25. Dibuja el ángulo complementario y el suplementario de cada uno

de los siguientes ángulos. Determina numéricamente sus valores.

B = 80°A = 40°

B = 135°A = 90°

176 Unidad 8

2.5. Relaciones angulares

Veamos a continuación las relaciones entre ángulos y las propiedades que nos

permiten determinar si dos ángulos son iguales o suplementarios sin necesi-

dad de efectuar ninguna operación.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Los ángulos ^A y

^C tienen el mismo vérti-

ce y los lados de uno son la prolongación

de los del otro. Son ángulos opuestos por

el vértice.

También los ángulos ^B y

^D son opuestos

por el vértice.

AC

D

B

^A y ^D son adyacentes, por tanto,

^A + ^D = 180°.^C y

^D son adyacentes, por tanto, ^C + ^D = 180°.

Del mismo modo se obtiene^B = ^D.

^A = 180° − ^D^C = 180° − ^D

⎫⎬⎭

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS

Los dos ángulos son agudos.

^A = ^B

A B

Los dos ángulos son obtusos.

^A = ^B

A B

Un ángulo es agudo y el otro, obtuso.

^A = ^C^B + ^C = 180°

⎫⎬⎭

AB

C

Dos ángulos de lados paralelos son iguales si los dos son agudos o si los dos son obtusos. Dos án-

gulos de lados paralelos son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

Los dos ángulos son agudos.

^A + ^C = 90° ^A = ^B^B + ^C = 90°

⎫⎬⎭

A

BC

Los dos ángulos son obtusos.

^C = ^D^A = ^C + 90°

^A = ^B^B = ^D + 90°

⎫⎬⎭

CA

D

B

Un ángulo es agudo y el otro, obtuso.

^A + ^C = 180° ^A + ^B = 180°^C = ^B

⎫⎬⎭

A

C

B

Dos ángulos de lados perpendiculares son iguales si los dos son agudos o si los dos son obtusos.

Dos ángulos de lados perpendiculares son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.

^A = ^C

^A + ^B = 180°

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE

CORRESPONDIENTES ALTERNOS INTERNOS ALTERNOS EXTERNOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

^A y ^E ^D y

^H^B y

^F ^C y ^G

A

CB

D

G

HE

F

^C y ^E ^D y

^F

C

D E

F

^A y ^G ^B y

^H

A

BH

G

^A y ^C ^B y

^D^E y

^G ^F y ^H

CB

D

H

GF

E

A

Dos ángulos correspon-

dientes son iguales.

Dos ángulos alternos in-

ternos son iguales.

Dos ángulos alternos ex-

ternos son iguales.

Dos ángulos opuestos

por el vérticeson iguales.

177Rectas y ángulos

Al cortar dos rectas paralelas por una recta secante se determinan ocho ángulos.

Estos ángulos guardan entre sí diferentes relaciones según la posición que

ocupan.

Observa dichas relaciones en la tabla siguiente:

Si accedes a la página http://www.ca

tedu.es/gestor_recursos/reposito

rio/sl/178/angulos.swf, repasar los con-

tenidos sobre rectas y ángulos.

@

26. Justifica las relaciones entre ángulos alternos internos y

alternos externos a partir de las relaciones entre ángulos

correspondientes y entre ángulos opuestos por el vértice.

27. En la figura de la derecha, determina los pares de ángulos

iguales.

— Razona tu respuesta.

A

B

C

E

D

F

ADYACENTES CONJUGADOS INTERNOS CONJUGADOS EXTERNOS

^A y ^B ^A y

^D ^B y ^C ^C y

^D^E y

^F ^E y ^H ^F y

^G ^G y ^H

G

A

D

H

E

FC

B

^C y ^F

^D y ^E

C F

D E

^A y ^H

^B y ^G

B

A

G

H

Dos ángulos adyacentes

son suplementarios.

Dos ángulos conjugados in-

ternos son suplementarios.

Dos ángulos conjugados ex-

ternos son suplementarios.

AC

TIVID

AD

ES

178 Unidad 8

3. Construcciones geométricas

con regla y compásA continuación veremos cómo trazar rectas paralelas y rectas perpendiculares

con regla y cartabón, y unas construcciones geométricas fundamentales con re-

gla y compás.

TRAZADO DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA

— Colocamos el cartabón y la regla

según se muestra en la figura.

— Deslizamos el cartabón sobre la

regla. De este modo, obtenemos

rectas paralelas a r.

TRAZADO DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA

— Colocamos la regla y el carta-

bón según la figura.

— Deslizamos el cartabón sobre

la regla. De este modo, obtene-

mos rectas perpendiculares a r.

Obtén la recta paralela a r por el punto P

— Colocamos el cartabón y la regla se-

gún se ha visto.

— Deslizamos el cartabón hasta que el lado

que forma ángulo recto con la regla pase

por el punto P.EJ

EMPLO

5

Obtén la recta perpendicular a r por el pun-to P.

— Colocamos la regla y el cartabón tal

como se ha enseñado.

— Deslizamos el cartabón hasta que el lado

que forma ángulo recto con la regla pase

por el punto P.

EJEM

PLO

6

Consejos útiles

• Utiliza los instrumentos de dibujo

con precisión y cuidado.

• Presenta siempre tus trabajos lim-

pios y ordenados.

28. Traza una recta r y después traza cuatro rectas paralelas a rque disten una de otra 1 cm.

29. Traza una recta r y después dibuja cuatro rectas perpendi-

culares a ella que disten una de otra 1,5 cm.AC

TIV

IDA

DES

179Rectas y ángulos

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES

— Trazamos una semirrecta con origen

en A y que no pase por B, y señalamos

sobre ella tres segmentos iguales con-

secutivos a partir del punto A.

BA

— Unimos el extremo del último seg-

mento trazado sobre la semirrecta con

el punto B.

BA

— Trazamos rectas paralelas a la recta anterior

que pasen por los puntos marcados en la

semirrecta.

BAC D

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

— Trazamos un arco de radio aproxima-

damente mayor que la mitad del seg-

mento con centro en el punto A.

A B

— Trazamos otro arco de igual radio con

centro en el punto B.

A B

— Trazamos la recta que pasa por los puntos don-

de se cortan los dos arcos.

A B

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales.

— Situamos la punta del compás en el

vértice del ángulo y trazamos un arco

que corte los lados.

V

B

A

— Con centro en los puntos en los que

el arco anterior corta a los lados, tra-

zamos dos nuevos arcos de igual radio.

V C

A

B

— Trazamos la semirrecta con origen en el vér-

tice del ángulo y que pasa por el punto de cor-

te de los dos últimos arcos.

VC

B

A

30. Traza un segmento de 7,5 cm de longitud. A continua-

ción, dibuja la mediatriz del segmento.

— Traza un segmento de 8 cm de longitud. Después, divide

el segmento en tres partes iguales.

31. Construye un cuadrado de 10 cm de lado utilizando la re-

gla y el cartabón. Después, dibuja una cuadrícula de 1 cm

de lado en el interior del cuadrado.

32. Dibuja un ángulo de 57° y traza su bisectriz.

AC

TIVID

AD

ES

CB

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En ocasiones, imaginar la posible solución del problema nos conduce a la solución real de éste. Esta

estrategia es especialmente útil en problemas geométricos.

180

Averigua en qué punto de la banda inferior debe chocarla bola blanca para que al rebotar golpee la bola roja.

Considera que los ángulos formados por la trayectoria de la bola conla banda, antes y después de chocar con ésta, son iguales.

Comprensión del enunciadoExpresa el enunciado del problema con tus palabras.

Planificación de la resoluciónSupongamos que la bola choca en un punto M de la banda.

Puesto que^A = ^B, si colocáramos un espejo en la banda, veríamos a través de él que la bola continúa en línea recta después de chocar

con ésta.

Para que la bola blanca golpee a la roja, esa recta deberá pasar por la imagen de la bola roja en el espejo.

Basta pues con unir la bola blanca con el simétrico de la bola roja respecto del espejo.

Ejecución del plan de resolución

— Trazamos Q�, el simétrico de Q respecto del espejo.

— Unimos P y Q�. El punto M es la solución.

Revisión del resultado y del proceso seguidoComprobamos con el transportador de ángulos que los ángulos formados por la trayectoria de la bola con la banda, antes y después

de chocar en el punto M, son iguales.

P

Q

M

Q�

P

Q

M

A B

ESTRATEGIA: Experimentación con la posible solución

Unidad 8

181

Utiliza la estrategia anterior para resolver los si-

guientes problemas.

33. Averigua en qué punto del espejo debe inci-

dir un rayo láser que pasa por A para que el rayo

reflejado pase por B.

A

B

Punto

SEMIRRECTA

Cada una de las dos partes en que queda dividida una

recta por un punto de ésta.

SEGMENTO

La parte de recta comprendida entre dos puntos de ella.

SEMIPLANO

Cada una de las dos partes en que queda dividido un

plano por una recta de éste.

ÁNGULO

Región del plano limitada por dos semirrectas que tie-

nen el mismo origen.

Los elementos

básicos

de la geometría

permiten

definirRecta

Plano

Dos rectas perpendiculares determinan cuatro ángulos

rectos.

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento

que los une.

Ángulo también es la región del plano barrida al girar

una semirrecta respecto de su origen desde una posi-

ción inicial hasta una posición final.

• Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un

grado sexagesimal (°) es el ángulo que obtenemos al di-

vidir el ángulo recto en 90 partes iguales.

• Los submúltiplos del grado sexagesimal son el

minuto sexagesimal (�) y el segundo sexagesimal (″),

y la relación entre estas unidades es:

1° = 60� ; 1� = 60″

• La medida de un ángulo puede expresarse en forma com-

pleja o incompleja.

Forma compleja: 24° 45� 18″

Forma incompleja: 89 118″

• Los ángulos pueden clasificarse según la región del

plano que abarcan en convexos o cóncavos, y según

su amplitud o medida en nulos, agudos, rectos, obtu-

sos, llanos o completos.

• Dos ángulos son consecutivos si sólo tienen en co-

mún el vértice y un lado. Son adyacentes si son

consecutivos y sus lados no comunes forman un án-

gulo llano.

• Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Son suplementarios si suman 180°.

3

2

1

1

2

3

AC

TIVID

AD

ES34. Averigua en qué punto de la carretera debería instalarse una gasoli-

nera para que la distancia de ésta a las localidades A y B, respectiva-

mente, sea la más corta posible.

B

A

SÍNTESIS

Rectas y ángulos

Puntos, rectas y planos

35. Dibuja en tu cuaderno tres puntos, A, B y C, y responde:

• ¿Puedes trazar una recta que contenga los tres puntos? Si no

es así, ¿en qué caso podrás hacerlo?

• Dados dos puntos cualesquiera, ¿existirá siempre una recta

que pase por ambos?

36. Dados una recta r y un punto P que no pertenece a r, ¿cuán-

tas rectas paralelas a r que pasen por P existen? ¿Y perpendi-

culares a r que pasen por P?

37. Indica en el plano de la siguiente figura:

a) Dos calles paralelas.

b) Dos calles perpendiculares.

c) Dos calles que se corten y no sean perpendiculares.

d) Explica a alguien qué itinerario debe seguir para ir desde

tu casa (punto A) a la biblioteca (punto B).

38. ¿Puedes dibujar toda una semirrecta en el papel? ¿Por qué?

39. Dibuja un punto A y traza cinco semirrectas diferentes con ori-

gen en dicho punto A.

40. Si la distancia en horizontal y en vertical entre dos puntos

adyacentes de la figura es la misma, ¿cuántas distancias dife-

rentes podemos encontrar en el dibujo?

Ángulos

41. Observa los siguientes ángulos y haz una estimación de sus

medidas. Comprueba después con el transportador si los va-

lores que has estimado son correctos.

42. Mide con un transportador de ángulos los siguientes ángu-

los e indica cuáles son cóncavos y cuáles son convexos.

— Transporta los ángulos a tu cuaderno y dibuja un ángulo

consecutivo de cada uno de los anteriores.

43. ¿Cuántos ángulos llanos son 360 grados sexagesimales?

44. Completa:

O

O

O

C

B

A

B CA

D

E

F

5ª

Ave

nid

a

7ª

Ave

nid

a

8ª

Ave

nid

a

Ave

nid

a d

e la

s A

me

rica

s

9ª

Ave

nid

a

Calle 42

Calle 49

Calle 48

Calle 47

Calle 46

Calle 45

Calle 44

Calle 43

Calle 40

Calle 39

Calle 38

Aven

ida B

road

way

A

B

BibliotecaPública

TerminalBus

Times Square

ADYACENTES CONSECUTIVOS

........................ Sí

........................ ........................

........................ ........................

182

AC

TIV

IDA

DE

S8

Unidad 8

R

R

R

R

183

45. Traslada los ángulos ^A y

^B a tu cuaderno y realiza gráfica y

numéricamente las siguientes operaciones:

a) ^A + ^

B b) ^A − ^

B c) 3 · ^A − 2 ·

^B

46. A partir de los ángulos ^A y

^B del ejercicio anterior, efectúa

las actividades indicadas.

— Representa gráficamente el ángulo 2 · ^A +

^B.

— Dibuja el ángulo complementario del ángulo^A.

— Dibuja el ángulo suplementario del ángulo ^B.

— Clasifica los ángulos ^A, complementario de

^A, ^B y suple-

mentario de ^B según sean agudos, rectos, obtusos o llanos.

47. Dibuja el ángulo que falta:

48. Calcula mentalmente las siguientes operaciones e indica el re-

sultado en grados sexagesimales.

a) Un ángulo llano + un ángulo recto

b) Un ángulo completo − tres ángulos rectos + dos ángulos nu-

los

c) Dos ángulos rectos − un ángulo completo + tres ángulos lla-

nos

Cuatro ángulos rectos − dos ángulos nulosd) —————————————————————————————

4

49. Expresa las siguientes medidas angulares en forma incompleja

de segundos.

a) 47′ 12″ b) 81° 44′ c) 10° 58′ 56″

50. Expresa las siguientes medidas angulares en forma compleja.

a) 7 927″ b) 90 048″ c) 2 203′ d) 1 427′

51. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 36° 50′ 5″ + 23° 12′ 57″ c) 152° 7′ 9″ : 3

b) 48° 15′ − 30° 27′ 14″ d) (1° 17′ − 37′ 4″) × 4

52. Si sabemos que el ángulo ^A de la figura es el doble del ángulo^B, ¿cuánto miden estos ángulos?

Llamamos x al valor del ángulo ^B. Entonces

^A = 2x.

Por ser^A y

^B ángulos conjugados internos:

x + 2x = 180° ⇒ 3x = 180° ⇒ x = = 60°

Respuesta: ^A = 120° y

^B = 60°

53. Si sabemos que ^F es tres veces mayor que

^A, calcula el valor de

los ángulos de la figura.

54. Si sabemos que el ángulo ^A de la figura vale 145°, determina

el valor de los ángulos^B, ^C, ^D y

^E.

A = 145°D

B

E

C

C

A

F

180

3

°

A

B

C

E

H3 · – 4 …………… =

3 · ……………

4=

+ …………… =

a)

b)

c)

F

A

A = 60°B = 40°

Rectas y ángulos

R

184

AC

TIV

IDA

DE

S Construcciones geométricas

55. Dibuja una recta r y un punto P exterior a la recta r. Traza la rec-

ta paralela a r por el punto P y la recta perpendicular a r por

el punto P. ¿Cómo son entre sí las dos rectas que has traza-

do?

56. Traza un segmento de 17,3 cm de longitud. A continuación, di-

buja la mediatriz del segmento y determina el punto medio.

— Mide las distancias del punto medio a los dos extremos del

segmento y comprueba que efectivamente son iguales.

57. Dibuja un ángulo de 87° y traza su bisectriz.

58. Traza la bisectriz de un ángulo llano. ¿Cómo es cada uno de los

ángulos obtenidos?

59. Dibuja un segmento AB y divídelo en cuatro partes iguales.

Problemas

60. Halla la amplitud de los ángulos que forman los vértices de

cada una de las siete piezas que componen el tangram de la

figura.

61. Se dice que un conjunto de puntos del plano es convexo si

todo segmento cuyos extremos pertenecen al conjunto está to-

talmente contenido en dicho conjunto. En caso contrario, se

dice que es cóncavo.

— Indica cuáles de los siguientes conjuntos de puntos del pla-

no son cóncavos y cuáles convexos.

62. ¿Qué propiedades cumplen la perpendicularidad y el parale-

lismo de las rectas? Para averiguarlo conéctate a la página

http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm.

63. Busca en Internet diferentes significados de la palabra geo-

metría. A continuación, busca el significado en una enciclo-

pedia.

— Contrasta las definiciones que has hallado en Internet con

la que has encontrado en la enciclopedia. Después, haz lo

mismo con las de tus compañeros.

Más a fondo

64. Ignacio, que vive en el pueblo A, quiere ir a visitar a su ami-

go, que vive en el pueblo B, pero antes decide darse un cha-

puzón en el río.

Averigua en qué punto deberá bañarse Ignacio para que el tra-

yecto recorrido hasta la casa de su amigo sea lo más corto po-

sible.

65. Dibuja el esquema del plano que refleja la siguiente situación:

• Las calles Álamo y Venecia se cortan perpendicularmente en

la Plaza Mayor.

• Las calles Rosas y Turquía son paralelas a la calle Álamo.

• La calle Cerezo corta perpendicularmente a la calle Rosas.

a) ¿Cómo son entre sí las calles Cerezo y Venecia? ¿Y las ca-

lles Cerezo y Turquía?

b) Compara tu esquema con el de tus compañeros y compa-

ñeras. ¿Qué observas?

66. Dibuja una recta secante a dos rectas paralelas y señala los án-

gulos iguales. Si uno de los ángulos mide 60°, calcula los va-

lores de los restantes.

B

A

a b c d e

1

2

43

67

5

8

Unidad 8

@

@

A

185

67. ¿Cuántos minutos faltan para que 19,323� se conviertan en

20�? ¿Y cuántos segundos?

68. Halla la parte decimal que les falta a los ángulos siguientes para

convertirse en un número entero de grados:

a) 20� 30� 15� c) 9� 10�

b) 45� 29� d) 146� 2�

69. Calcula cuánto mide cada uno de los ángulos indicados en los

polígonos regulares siguientes:

70. Sabiendo que el ángulo A indicado en la figura mide 102�

30� 25�, calcula el resto de ángulos del rombo.

71. Sabiendo que el ángulo A mide 51� 21� 37�, ¿cuánto mide el

ángulo B indicado en el trapecio?

72. Las palas de una hélice tienen la forma descrita en el dibujo:

— Sabiendo que el ángulo A mide 45� 20� 30�, calcula cuán-

to mide el ángulo indicado en la pala.

73. ¿Cuántas vueltas han de transcurrir para que dos piezas que

inicialmente están juntas y que giran 25� y 45�, respectiva-

mente, cada 5 minutos, vuelvan a estar juntas? ¿Cuánto tiem-

po habrá transcurrido?

74. Sabiendo que el ángulo A mide 50�, halla el ángulo B que aguan-

ta la pirámide invertida.

75. Calcula el valor de A y B, a partir de las medidas indicadas en

el dibujo siguiente:

76. Calcula, a partir de los datos indicados, cuánto mide el ángu-

lo C en la figura.

77. Calcula el ángulo suplementario de cada uno de los ángulos

siguientes:

a) 127� 30� 20� c) 320,23�

b) 50,3230� d) 120 340�

78. Calcula el ángulo complementario de cada uno de los ángu-

los siguientes:

a) 120�23�21� c) 6 600�

b) 169,555� d) 360 000�

BD

E

C

A

A � 55� 20� 30� B � 47� 24� D � 29� E � 40� 15� 25�

A

130°

B

100°

B

A

A

A

B

A

Rectas y ángulos

186

INVESTIGAE

VA

LUA

CIÓ

N

¿Cuántas rectas que pasen por un punto pueden trazarse?

¿Y cuántas que pasen por dos puntos?

— Dibuja tres puntos no alineados. ¿Cuántas rectas que

pasen por dos de estos puntos puedes trazar?

Indica cuáles son las diferentes posiciones relativas de dos

rectas en el plano y pon ejemplos de cada una de ellas.

Completa las siguientes frases.

a) Un punto divide una recta en dos .....................

b) Una recta divide el plano en dos .....................

c) Para determinar un segmento necesitamos .........................

puntos.

Dibuja un segmento AB y divídelo en tres partes iguales.

A continuación, traza la mediatriz de una de las partes ob-

tenidas.

Di si un ángulo de 120° es cóncavo o convexo.

Dibuja un ángulo recto y un ángulo agudo, y súmalos grá-

ficamente.

— Multiplica por 2 el ángulo recto y di qué tipo de án-

gulo has obtenido.

Dados los ángulos ^A = 12° 48′ 25″ y

^B = 31° 3′ 17″, calcula:

a) ^B − ^A

b) 2 · ^A + 3 ·

^B

c) ^B : 7

Dibuja:

• Un tablero de ajedrez con regla y cartabón.

• Dos ángulos correspondientes y dos ángulos opuestos

por el vértice.

8

7

6

5

4

3

2

1

79. Los geometras de la Grecia clásica intentaron efectuar sus cons-

trucciones geométricas únicamente con regla y compás. Sin

embargo, hubo tres construcciones, denominadas los tres pro-

blemas clásicos, que no pudieron resolver.

Con la ayuda de los enlaces que se proponen:

http://www.gap-system.org/~history/Mathematicians/

Mascheroni.html

http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/

grec.htm

http://www.redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_

permanentes/mate/nombres/mate1i.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Duplicación_del_cubo

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_círculo

resuelve las siguientes cuestiones:

• ¿Cuáles son los tres problemas clásicos? Dibújalos y descri-

be en qué consisten.

• ¿Ha sido posible resolverlos únicamente con regla y com-

pás? Razona tu respuesta.

• Halla numéricamente el lado de un cuadrado que tenga la

misma área que un círculo de radio 3 cm.

80. Las ilusiones ópticas se producen cuando el sentido de la

vista no nos permite percibir correctamente el entorno.

Con la ayuda de los enlaces que se proponen:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ilusión_óptica

http://www.educacionplastica.net/ilusiones.htm

resuelve las siguientes cuestiones:

• ¿En qué dos grandes categorías se pueden agrupar las

ilusiones ópticas?

• ¿Son paralelas las rectas de la figura? ¿A qué categoría de

ilusión óptica pertenecen?

• Diseña una ilusión óptica con rectas paralelas y rectas

perpendiculares.

CB

Unidad 8

CB

CB

@ @

CRÓNICA MATEMÁTICA

187

Demuestra tu ingenio

Rectas y ángulos

Astronomía babilónica y sistema sexagesimal

Los astrónomos babilonios introdu-jeron los grados sexagesimales paramedir ángulos.

Algunas definiciones de EuclidesLos griegos convirtieron la geometría en el fundamento de las matemáticas.

Euclides (s. IV a. C.) la organizó en su obra Elementos, estableciendo, en-tre otras, las siguientes definiciones:

1. Un punto es aquello que no tiene partes.

2. Una línea es una longitud sin anchura.

3. Las extremidades de una línea son puntos.

…

23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, por más que se las prolongue en ambossentidos, nunca se encuentran.

1 minuto = 60 segundos

Hace mucho tiempo, un emperador encargó al mejor escultor de la ciudad que cons-truyera una escultura en el centro de su palacio.El emperador puso la siguiente condición:

La escultura tiene que constar de 12 figuras con la forma de mis 12 hijos ytienen que estar colocadas en 6 filas de 4 figuras cada una.

El escultor, después de analizar durante muchos días la disposición de lasfiguras, llegó a las siguientes soluciones:

Marca mediante líneas las 6 filas que engloben las 4 figurasde la escultura.