9. matrices (s)
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matricesTRANSCRIPT
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
1ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
INTRODUCCIÓN
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicialde la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricialcomo una forma abreviada de escribir un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices seutilizan en el cálculo numérico, en la resolución desistemas de ecuaciones lineales, de las ecuacionesdiferenciales y de las derivadas parciales.La utilización de matrices constituye actualmente unaparte esencial de los lenguajes de programación, ya quela mayoría de los datos se introducen en losordenadores como tablas organizadas en filas ycolumnas:
HOJAS DE CÁLCULO, EN LOS NEGOCIOS,...
2ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRICES DEFINICIÓN:Una matriz es un arreglo rectangular de
números reales dispuestos en filas y columnas y encerradosentre corchetes o paréntesis, es decir de la forma:
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
............
............
...........
...........
...........
321
321
33333231
22232221
11131211
La matriz se denota también por:
A = aij m x n = K m x n
3ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2 3
4 5A
3 1 3
3 2 2
4 0 5
B
3 2 0
4 1 3C
Las líneas horizontales de números se conoce
como filas y las verticales como columnas.
columna
3 2 0
4 1 3C
fila
Ejemplo
4ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
ORDEN DE UNA MATRIZ
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.....
.....
.....
.....
321
3333231
2232221
1131211
COLUMNAS
F
I
L
A
S
5
El orden de una matriz está dado por el producto indicado m x n.
Donde: m indica el número de filas y n el número de columnas.
ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)m×n son
iguales, sí y solo si, tienen en los mismo
lugares elementos iguales, es decir :
mxnijmxnij ba aij = bij, i y j.
6ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Dados
a11 = b11
a12 = b12
a21 = b21
a22 = b22
A = B
Entonces:
7ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
TIPOS DE
MATRICES
8ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ RECTANGULAR
La matriz de orden mxn, con mn, recibe el nombre dematriz rectangular MATRIZ RECTANGULAR.
Ejemplo:
MATRIZ FILA
La matriz de orden 1xn se le denomina matriz fila, es
decir en la forma siguiente
A = naaaa 1131211 .....
9ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ COLUMNA
A las matrices de orden nx1 se les denomina matriz
columna, es decir de la forma
MATRIZ CERO
Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir,
aij = 0 i,j, recibe el nombre de matriz cero o nula.
1
21
11
na
a
a
A
A =
000
000
10ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ CUADRADA
La matriz que tiene el mismo número de filas y
columnas se llama matriz cuadrada. Esto es,
Amxn es cuadrada m = n
En una matriz cuadrada de orden nxn, la diagonal principal es la
línea formada por los elementos a11,a22,….ann y a la suma de los
elementos de la diagonal de una matriz cuadrada se llama TRAZA
DE LA MATRIZ (Tr(A))
Ejemplo:
2221
1211
aa
aaA =
11ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Diagonal principal:Son los elementos a11 , a22 , ..., ann.
CARACTERÍSTICAS:
12ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Diagonal secundaria : Son los
elementos aij con i+j = n+1
13ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Traza de una matriz: Es la suma de los
elementos de la diagonal principal. Tr (A ).
Tr (A ) = 5 + 2 + 4 + 8 = 19
14ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Ejemplo
Escribir explícitamente las siguientes matrices:
2 3, 2ij x
A a aij i j
3 2, 3ij ijx
A a a i j
3 3
2 ,,
( ) ,ij ij ix
i j si i j es imparB b b
j si i j es par
1
2
3
4 Sean
3 3
/ ,,
max , ,ij ijx
i j si i j es imparA a a
i j si i j es par
15ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
1/ 2 3
2 2 2 3
3 3/ 2 2
x y z
y B x y z
x y z
Si A=B, hallar x,y,z.
4 Sean las matrices
2 2( ) / 2 ( 1)x i j
ij jA a K ai
1
3 3
x yB
x y
Hallar los valores de x e y de modo que A=B
16ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
OPERACIONES
CON
MATRICES
17ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
SUMA DE MATRICES
cij = aij + bij, i,j n,....,3,2,1
A + B = ijijijij baba
Consideremos dos matrices de orden mxn, A = y B= , la suma de lasmatrices A y B es otra matriz C = de orden mxn, en donde cada elementode la matriz C es la suma de los elementos correspondientes de A y B, esdecir:
Por lo tanto:
18ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Si A,B y C son matrices del mismo orden, entonces se cumplen las
siguientes propiedades:
PROPIEDADES :
· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C
· Conmutativa : A+B = B+A
· Elemento neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A
· Elemento simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Dos matrices del mismo orden se llaman CONFORMABLES respecto a
la suma algebraica.
Las matrices del mismo orden o conformables respecto de la suma
algebraica, siguen las mismas leyes de la adición que sujetan a los
elementos de las componen.
19ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Ejemplo
20ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
DIFERENCIA DE MATRICES
C = mxnijijmxnijmxnij baba
PRODUCTO DE UN ESCALAR
POR UNA MATRIZ
kA = k ija 0 ijka
Dadas las matrices A y B del mismo orden mxn, la diferencia entre A y B es otra
matriz C, del mismo orden, tal que:
Dados una matriz A y un numero escalar k, el producto de k por A se define por
21ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UNA
MATRIZ POR UN ESCALAR
k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva)
(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva)
k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
1·A = A (elemento unidad)
22ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MULTIPLICACION DE MATRICES
pj
ij
b
b
.
.
.
.
j-ésima columna de B
i-ésima fila de A (aij…….aip) x = cij
Si A = (aij)mxp y B = (bij)pxn; el producto de AxB, en este orden, es la matriz C =
(cij)mxn cuyos elementos se obtienen de los elementos A y B siguiendo el
desarrollo:
Cij = ai1b1j + ai2b2j + ……. + aipbpj
Por esta definición cada elemento de ij de C es la suma de los productos
formados al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila por A por los elementos
correspondientes de B, esto es:
OBSERVACIÓN
El producto de dos matrices AB esta definido sólo cuando el número de columnas de la matriz A es igual al
número de filas de la matriz B. 23ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
DE MATRICES
Si A, B y C son matrices de dimensiones
conformables respecto de la suma y producto,
entonces se tiene:
A(BC) = (AB)C
A( B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
AB BA
AB = 0 A =0 ó B = 0
AB = AC B = C
24ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
1 36 2 8
1. . 5 01 4 5
3 7
AB
1 3
6 2 8 5 6 2 8 0
3 7
1 3
1 4 5 5 1 4 5 0
3 7
6 10 24 18 0 56
1 20 15 3 0 35
20 74
36 38
Ejemplo
25ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
TIPOS
ESPECIALES
DE MATRICES
26ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ TRANSPUESTA
La transpuesta de una matriz A, es una matriz que se obtiene al
intercambiar las filas por las columnas de la matriz A, de tal manera
que la fila i de la matriz se convierte en la columna i de la matriz
transpuesta.
A la matriz transpuesta A denotaremos por At, es decir:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
......
...
...
21
22221
11211
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
...
....
...
...
21
22212
12111
Si A = at =
Ejemplo
27ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
28ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
PROPIEDADES DE LA MATRIZ
TRANSPUESTA
•It = I
•(At)t = A
•(kA)t = kAt, k es un escalar.
•(A + B)t = At + Bt
•(AB)t = Bt At
29ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su
traspuesta.
A = At aij = aji
30
ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
A = At Es simétrica
Ejemplo
31ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ ANTISIMÉTRICA O
HERMISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta
de su traspuesta. Necesariamente aii = 0
A = -At aij = -aji,
0 2 1 3
2 0 3 4
1 3 0 5
3 4 5 0
A
Ejemplo
32ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal)
de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr
A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en
cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz
identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
Denotamos por:
MATRIZ IDENTIDAD O UNITARIA
A =
1...000
.....
0...100
0...010
0...001
33ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no
diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11,
d22, ..., dnn ).
Es matriz cuadrada cuyos elementos son aij = 0 para ij se
llama matriz diagonal, es decir que se expresa en la forma:
MATRIZ DIAGONAL
A =
nna
a
a
a
...000
.....
0...00
0...00
0...00
33
22
11
Ejemplo
34ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Es una matriz diagonal en la que se verifica a11 = a22 = ……
= ann = k o sea que es una matriz de la forma:
MATRIZ ESCALAR
A =
k
k
k
k
000
.....
0...00
0...00
0...00
E =
400
040
004Ejemplo
35ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0, para i>j se
llama matriz triangular superior.
Es decir:
A =
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
11 12 13 1
22 23 2
33 3
...
0 ...
. ...
.
0 0 0 ...
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
3 1 3
0 2 0
0 0 5
A
Ejemplo
36ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Una matriz cuadrada cuyos elementos aij =0 para i<j se
llama matriz triangular inferior, es decir:
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
11
21 22
31 32 33
1
0 0 ... 0
0 ... 0
... 0
. . ... .
n nn
a
a a
A a a a
a a
3 0 0
3 2 0
1 0 5
B
Ejemplo
37ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Una matriz cuadrada es idempotente si y sólo si es igual a
su cuadrado.
MATRIZ IDEMPOTENTE E
INVOLUTIVA
A es idempotente A2 = A
La matriz A =
2
1
2
12
1
2
1
es idempotente
Ejemplo
38ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Una matriz es involutiva si y sólo si su
cuadrado es la identidad.
A es involutiva A2 = I
La matriz A =
10
01es involutiva.
Ejemplo
39ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAt = At A = 1.
Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente
cuadrada e invertible, con inversa A-1 = At.
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:
MATRIZ ORTOGONAL
Si A es ortogonal, entonces:
40ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Comprobar que la matriz dada es ortogonal
cos α - sen α 0
A = sen α cos α 0
0 0 1
Ejemplo
41ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Ejemplos
Resolver las siguientes ecuaciones:
3 5 2 7 11 1,
2 1 4 1 10 5Si A B y C
1
) 3( 2 ) 5( ) 2( )
) 3( ) 2 2( ) ( )
a X A B C X A B
b X A B X B C X C
2 Calcular AB si:
1 2 3
4 5 6
0 1 0
A
2 0
1 2
0 1
B
42ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
3 Calcular los productos:
0 0 01 1
1 1 2 42 2
2 2 3 11 1
3 3 4
4 Calcular la matriz X, si:
12 2( )
2
T
T T T T T T TCX A B A C X AB B
Donde:
2 0 1 2;
0 2 0 1
T
T TC A y C A B
43ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
INVERSA DE
MATRICES
44ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Se presenta sólo en matrices cuadradas.
Sea:
A=aijnxn B = bijnxn
Tal que:
A.B = B.A = I
Entonces se dice que la matriz B es la matriz
inversa de A, denotándose B = A-1
Luego
A.A-1=A-1.A=I
MATRIZ INVERSA
45ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Sea
Como:
A.B =B.A=I, entonces B es la inversa de A; es
decir:
ya que A x B = I
2 3 2 / 7 3/ 7
1 2 1/ 7 2 / 7A y B
12 / 7 3/ 7
1/ 7 2 / 7A B
Ejemplo
46ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Se debe tener presente:
• Si una matriz tiene inversa, entonces estainversa es única.
• Si la matriz “B” es la matriz inversa de lamatriz “A”, entonces también se puede decirque la matriz “A” es la matriz inversa de lamatriz “B”.
• Una matriz cuadrada “A” tiene inversa si ysólo si y por lo tanto es inversible (nosingular): si dicha matriz no tieneinversa, es decir la matriz “A” es noinversible, (singular)
0A
0A
47ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
PROPIEDADES:
• I-1 = I
• ( A-1)-1 = A
• (A B)-1 = B-1 A-1
• ( At )-1 = ( A-1)t
48ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Método por igualdad
de ecuaciones
METODOS PARA
DETERMINAR LA
INVERSA DE
MATRICES
Método esquemático
Método de una matriz ampliada
49ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Hallar por el método de igualdad de
ecuaciones la inversa de “A”
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE IGUALDAD DE ECUACIONES
1
11
2
32
2
A
50ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Sea:
Supóngase que =ad – bc no es igual a cero.
Entonces A-1 existe y esta dado por:
a bA
c d
1 1 d bA
c aA
NOTA:
51ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Aplicar la fórmula:
Donde explicamos lo siguiente:
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO
ESQUEMÁTICO2
1 ( )Adj AA
A
52ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2.1 MENORES COMPLEMENTARIOS
Sea la matriz cuadrada de , se denomina menorcomplementario de aij y se denota por , al determinante dela matriz de orden (n-1)x(n-1).
Nota:
• = Cálculo de la determinante de Mij
• : Se le llama menor del elemento aij de A (Menorcomplementario).
Ejemplo:
Calcular el menor del elemento a23 y dar como respuesta sudeterminante
ij nA a
ijM
ijM
ijM
1 2 3
2 1 3
0 1 4
A
53ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2.2 COFACTOR DE UNA MATRIZ
El cofactor del elemento aij, que se simbolizapor Aij, se define por
Ejemplo:
Encontrar la matriz de los cofactores de A.
( 1)i j
ij ijA M
1 2 1
3 2 1
1 0 1
A
54ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2.3 MATRIZ ADJUNTA
Se llama matriz adjunta de la matriz A a la
transpuesta de la matriz cofactor de A, es
decir:
( )tadjA cofac A
55ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2.4 RESOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA
MATRIZ POR EL MÉTODO ESQUEMÁTICO
1 ( )Adj AA
A
Si A es matriz invertible 0A
1 2 1
3 2 1
1 0 1
A
Ejemplo
Hallar la inversa de la matriz A
56ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO
DE UNA MATRIZ AMPLIADA3
GAUSS - JORDAN
El método consiste en construir una matriz de orden nxn,formada por la matriz A y la matriz I es decir:
A: I………………………………..(1)
Mediante las operaciones elementales sobre las filas de lamatriz construida, transformando (1) en la forma:
I : B
Donde B = A-1 es la matriz inversa.
57ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
OPERACIONES ELEMENTALES O
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Son las operaciones con matrices que no se modifica ni suorden ni su rango.
Las operaciones elementales o transformaciones elementalespor filas o columnas sobre una matriz A son las siguientes:
1. La permutación de la fila i y la fila j.
2. La permutación de la columna i y la columna j.
3. El producto de todos los elementos de la fila i por unescalar k distinto de cero.
4. El producto de todos los elementos de la columna i por unescalar k distinto de cero.
5. La suma de la fila i, con los correspondientes elementos dela fila j multiplicados por un escalar k.
6. La suma de los elementos de la columna i, con loscorrespondientes elementos de la columna j multiplicadospor un escalar k.
58ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Hallar la inversa de la matriz:
2 4
3 1A
Ejemplo
59ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2 41 0
3 10 1
1
1
2f
1
21 2 0
3 10 1
2 13f f
1
21 2 0
3 10 1
12
01 2
30 5 12
2
1
5f
12
01 2
30 1 110 5
12
01 2
30 5 12
60ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
110
21 0 5
30 1 110 5
1 22f f
1
110
25
3 110 5
A
1 41
3 210
12
01 2
30 1 110 5
61ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
2º.- Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones
en la matriz de la derecha.
Calcular la inversa de
1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la
matriz identidad,
Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por
tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.
Ejemplo
62ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
3º.- Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones
en la matriz de la derecha.
4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal
correspondiente.
6
63ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Determine si las matrices dadas son inversas entre si,
calculando su producto.
Ejemplos
1
3117
285
121
231
341
452
y
225.0
101
5.15.05.1
121
032
111
y
Hallar la matriz inversa por el método de igualdad de
ecuaciones.2
1 2
1 3A
2 3
1 2B
1 2 3
2 1 4
4 1 2
C
Hallar A-1 por el método esquemático para la matriz 33 2 1
4 5 2
2 1 4
A
1 2 3
2 4 3
3 2 1
B
1 1 1
0 0 1
1 1 1
C
0 1 2 2
1 1 2 3
2 2 2 3
2 3 3 3
D
64ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Hallar A-1 por el Método de Gauus de4
2 5
1 3A
2 3 4
0 0 1
1 2 1
B
1 1 1 1
2 1 1 0
2 1 0 1
2 1 1 3
C
Hallar A-1 por el Método de Gauus de5
2 5
1 3A
2 3 4
0 0 1
1 2 1
B
1 1 1 1
2 1 1 0
2 1 0 1
2 1 1 3
C
65ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
0111
1011
1101
1110
A
Se da la matriz6
Calcular la traza A-1.
Dada la matriz7
112
212
221
A
Calcular: Traza Adj ( Adj ( A ) ).
Calcular la matriz X si:8 1 1 12AB XC A
Donde:
1 1 10 2 1 3 2 0
, ,1 1 1 2 0 2
A B C
66ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
RANGO DE
UNA MATRIZ
67ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
METODO DE LA
DETERMINANTE1
El rango de una matriz A de orden nxn, es el orden de lasubmatriz cuadrada más grande contenida en A, cuyodeterminante es no nulo y que denotaremos por r(A) = rangode A.
OBSERVACIÓN:
1. De la definición del rango de una matriz A, se observa quesi el rango de A es k, entonces r(A) minm,n donde Aes la matriz de orden mxn.
2. Para calcular el rango de una matriz A, es suficiente queentre todas sus submatrices cuadradas más grande,encontremos una que tenga su determinante no nulo, y siesto no ocurre continuamos con las submatrices cuadradasde orden inferior.
68ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
Calcular el rango de la matriz.
0 2 4
1 4 5
3 1 7
0 1 2
A
Ejemplos
69ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
2
Este método consiste en aplicar las
transformaciones elementales
apropiadas a una matriz, de cualquier
orden, hasta conseguir tener ceros
debajo de la diagonal principal.
A la matriz así obtenida se le denomina
“matriz escalonada”.
70ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
MATRIZ ESCALONADA
100
010
001
1100
7010
4001
00000
00000
31000
10210
CONDICIONES A CUMPLIR
1. Si un renglón no consta
exclusivamente de ceros, entonces el
1er. elemento distinto de cero en el
renglón es 1.
2. Si hay renglones exclusivamente de
ceros, entonces están agrupados en la
parte inferior de la matriz.
3. En 2 renglones consecutivos (j y j+1)
diferentes de cero, el 1er. número
diferente de cero del renglón j+1
aparece a la derecha del 1er. número
diferente de cero del renglón j.
4. Todas las columnas que contienen el
1er. elemento diferente de cero de
algún renglón tienen ceros en todas
sus demás posiciones.
EJEMPLO DE MATRICES ESCALONADAS REDUCIDAS
EJEMPLO DE MATRICES ESCALONADAS
1 5 1 2
0 1 3 4
0 0 1 5
1 2 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1 3 0
0 0 1 3 0
0 0 0 0 1
71ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ
1. Hallar el rango de la matriz:
2. Hallar el rango de la matriz:
Ejemplos
72ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ