850 capÍtulo 12 funciones vectoriales · 2017. 9. 14. · 852 capÍtulo 12 funciones vectoriales...

850 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vec-toriales a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Seempezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto enel espacio puede desarrollarse de manera similar.)

Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x yla coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizarƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir y Portanto, el vector de posición toma la forma

Vector de posición.

Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar laprimera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la ace-leración del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto

que se aproxima al punto a lo largo de la curva dadapor como se muestra en la figura 12.11. A medida que ladirección del vector (denotado por ) se aproxima a la dirección del movimiento enel instante t.

Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curvaen el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de Portanto, la dirección de da la dirección del movimiento en el instante t. Lamagnitud del vector

da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar para hallarla aceleración, como se indica en las definiciones siguientes.

Exploración de velocidadConsidérese el círculo dado por

Usar una herramienta de graficaciónen modo paramétrico para repre-sentar este círculo para varios val-ores de . ¿Cómo afecta a lavelocidad del punto final cuando setraza la curva? Para un valor dadode , ¿parece ser constante lavelocidad? ¿Parece ser constante laaceleración? Explicar el razona-miento.

x

Vector velocidaden el instante t

PC Q

r(t)r(t + t)

r

y

x

y

Vector velocidaden el instante t

t0

Figura 12.11

límlím

sen

SECCIÓN 12.3 Velocidad y aceleración 851

Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son si-milares. Es decir, si entonces

Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se muevea lo largo de la curva plana C descrita por

Vector posición.

Solución

El vector velocidad es

Vector velocidad.

La rapidez (en cualquier instante) es

Rapidez.

El vector aceleración es

Vector aceleración.

Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son

y

Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular

Ecuación rectangular.

Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en lafigura 12.12. Como el vector velocidad

tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícu-la se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.

En el ejemplo 1, nótese quelos vectores velocidad y aceleraciónson ortogonales en todo punto y encualquier instante. Esto es característi-co del movimiento con rapidez cons-tante. (Ver ejercicio 57.)

21

2

1

2

1

2

1

x

y

v(t)

Círculo: x2 + y2 = 4

a(t)

t22

tr(t) 2 sen i 2 cos j

Figura 12.12

DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivadas y r es una funciónvectorial dada por entonces el vector velocidad, el vector acel-eración y la rapidez en el instante t se definen como sigue.

VelocidadAceleración

Rapidez

VelocidadAceleración

Rapidez

sen

sen

sen

sen

sen

sen


Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por

Vector posición.

y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando y

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas y se puede determi-nar que la curva es una parábola dada por como se muestra en la figura 12.13.El vector velocidad (en cualquier instante) es

Vector velocidad.

y el vector aceleración (en cualquier instante) es


Cuando los vectores velocidad y aceleración están dados por

v(0) 2(0)i j j y a(0) 2i.


v(2) 2(2)i j 4i j y a(2) 2i.

Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.13, nótese que el vec-tor aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Estoimplica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vér-tice de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de laparábola.

Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectoriasparabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siem-pre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medidaque se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Verfigura 12.14.)

Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dadapor

Vector posición.

y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas y se puede determinarque la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por Como

el objeto parte de y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, comose muestra en la figura 12.15. Como se tiene

Vector velocidad.

y



v(1) r (1) i 3j 3k y a(1) r (1) 6j .

xSol

a

y

y

x4

2

4

6

210

z

(1, 1, 3)

v(1)

a(1)

C

Curva:r(t) = ti + t3j + 3tk, t 0

Figura 12.13

Figura 12.14

Figura 12.15


Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la funciónde posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la fun-ción de posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplosiguiente.

Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración


donde se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto despuésde segundos.

Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir lascondiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene

Como el objeto parte del punto se tiene

Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de lascondiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es

donde Haciendo y aplicando la condición inicial se obtiene

Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es

Vector velocidad.

Integrando una vez más se obtiene

donde Haciendo y aplicando la condición inicial r(0) i2j, se tiene

Por tanto, el vector posición es

Vector posición.

La posición del objeto después de segundos está dada por como se muestra en la figura 12.16.

r(t) = i 2 j t2kt22( )

Curva:

y6

6

4

2

6

4

2

z

x

(1, 4, 4)

(1, 2, 0)

t = 2

t = 0

r(2)

C

Figura 12.16


Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayec-toria de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre unproyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano verticalque puede representarse por el sistema de coordenadas xy con el origen correspondiente aun punto sobre la superficie de la Tierra (figura 12.17). Para un proyectil de masa m, lafuerza gravitatoria es

Fuerza gravitatoria.

donde la constante gravitatoria es pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros porsegundo al cuadrado. Por la segunda ley del movimiento de Newton, esta misma fuerzaproduce una aceleración y satisface la ecuación Por consiguiente, laaceleración del proyectil está dada por lo que implica que

Aceleración del proyectil.

Un proyectil de masa m se lanza desde una posición inicial con una velocidad inicial Hallar su vector posición en función del tiempo.

Solución Se parte del vector aceleración y se integra dos veces.

Se puede usar el hecho de que y para hallar los vectores constantes y Haciendo esto se obtiene y Por consiguiente, el vector posición es

Vector posición.

En muchos problemas sobre proyectiles, los vectores constantes y no se danexplícitamente. A menudo se dan la altura inicial la rapidez inicial v0 y el ángulo conque el proyectil es lanzado, como se muestra en la figura 12.18. De la altura dada, se puedededucir que Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que

y se puede escribir

Por tanto, el vector posición puede expresarse en la forma

Vector posición.

x

v(t2)a

v(t1)

v0 velocidad inicial

v0 v(0)a

Altura iniciala

y

Figura 12.17

y

x

h

yj

xir0

v0

v0

v0

r0 = = altura inicialh

x =

y =

cos

sen

v0 = v0 = rapidez inicial

Figura 12.18

sen

sen

sen

sen


Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo ycon un ángulo de 45° respecto al suelo, como se muestra en la figura 12.19. Hallar la alturamáxima que alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies dealtura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento?

Solución Se tienen dados y Así, tomando pies porsegundo al cuadrado se obtiene

La altura máxima se alcanza cuando

lo cual implica que

segundos.

Por tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es

Altura máxima cuando segundos.

La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando

Despejando t de esta ecuación se obtiene segundos. En este instante, laaltura de la pelota es

Altura cuando segundos.

Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 10 pies.

300 pies

45

3 pies

10 pies

Figura 12.19

TEOREMA 12.3 FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL

Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado de unaaltura inicial con rapidez inicial y ángulo de elevación se describe por mediode la función vectorial

donde g es la constante de la gravedad.

sen

sen

pies.

pies.


En los ejercicios 1 a 10, el vector posición r describe la trayecto-ria de un objeto que se mueve en el plano xy. Dibujar una gráfi-ca de la trayectoria y dibujar los vectores velocidad y ace-leración en el punto dado.

Función posición Punto

1.2.3.

7.8.9.

10.

En los ejercicios 11 a 20, el vector posición r describe la trayecto-ria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad, rapi-dez y aceleración del objeto.

Aproximación lineal En los ejercicios 21 y 22 se dan la gráficade la función vectorial y un vector tangente a la gráfica en

.

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la rectatangente a la gráfica en

b) Utilizar las ecuaciones de la recta para aproximar

21.22.

Figura para 21 Figura para 22

En los ejercicios 23 a 28, usar la función aceleración dada paradeterminar los vectores velocidad y posición. Después hallar laposición en el instante

23.

24.

25.

Movimiento de proyectiles En los ejercicios 29 a 44, usar el mod-elo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hayresistencia del aire.

29. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lan-zado desde una altura de 10 pies sobre el suelo con una veloci-dad inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30° sobrela horizontal. Usar una herramienta de graficación para repre-sentar la trayectoria del proyectil.

30. Determinar la altura máxima y el alcance de un proyectil dis-parado desde una altura de 3 pies sobre el nivel del suelo convelocidad inicial de 900 pies por segundo y con un ángulo de45° sobre la horizontal.

31. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo,se aleja del bate con un ángulo de 45° y es cachada por un jar-dinero a 3 pies sobre el nivel del suelo y a 300 pies del plato delanzamiento. ¿Cuál es la rapidez inicial de la pelota y qué alturaalcanza?

32. Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota aljugador de primera base a 90 pies. La pelota es lanzada desde 5pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50 mi-llas por hora y con un ángulo de 15° con la horizontal. ¿A quéaltura cacha la pelota el jugador de primera base?

33. Eliminar el parámetro t de la función de posición para el movi-miento de un proyectil y mostrar que la ecuación rectangular es

34. La trayectoria de una pelota la da la ecuación rectangular

Usar el resultado del ejercicio 33 para hallar la función de posi-ción. Después hallar la velocidad y la dirección de la pelota enel punto en que ha recorrido 60 pies horizontalmente.

y

x

z

22

6

5

46

(3, 4, 4)

sen

4.5.6. 3, 2r t 1

4 t3 1 i tj1, 1r t t2 i t3j1, 3r t t i t2 4 j

11. 12.

13. 14.

15.16.17.18.19.

20. r t ln t, 1t , t4

r t et cos t, et sen t, et

r(t 2 cos t, 2 sen t, t2

r t 4t, 3 cos t, 3 sen tr t t2 i t j 2t3 2kr t t i t j 9 t2 k

r t 3t i t j 14t2kr t t i t 2j t2

2 k

r t 4t i 4t j 2t kr t t i 5tj 3tk

26.

27.

28.r 0 0v 0 2i 3j k,

a(t) et i 8kr 0 iv 0 j k,

a t cos t i sen t jr 0 5j 2kv 0 3i 2j k,

a t 32k

sen

sen


50. a) Mostrar que la rapidez de la partícula es b) Usar una herramienta de graficación en modo paramétrico

para representar el círculo para Probar distintos valoresde ¿Dibuja la herramienta de graficación más rápido loscírculos para los valores mayores de

51. Hallar el vector aceleración y mostrar que su dirección es siem-pre hacia el centro del círculo.

52. Mostrar que la magnitud del vector aceleración es

Movimiento circular En los ejercicios 53 y 54, usar los resulta-dos de los ejercicios 49 a 52.

53. Una piedra que pesa 1 libra se ata a un cordel de dos pies delargo y se hace girar horizontalmente (ver la figura). El cordel seromperá con una fuerza de 10 libras. Hallar la velocidad máxi-ma que la piedra puede alcanzar sin que se rompa el cordel.(Usar donde

Figura para 53 Figura para 54

54. Un automóvil de 3 400 libras está tomando una curva circular de300 pies de radio a 30 millas por hora (ver la figura). Supuestoque la carretera está nivelada, hallar la fuerza necesaria entre losneumáticos y el pavimento para que el automóvil mantenga latrayectoria circular sin derrapar. (Usar F ma, donde m3 400/32.) Hallar el ángulo de peralte necesario para que ningu-na fuerza de fricción lateral sea ejercida sobre los neumáticosdel automóvil.

55. Lanzamiento de peso La trayectoria de un objeto lanzado conun ángulo es

donde es la rapidez inicial, es la altura inicial, es el tiem-po en segundos y es la aceleración debida a la gravedad.Verificar que el objeto permanecerá en el aire

y recorrerá una distancia horizontal de

pies.

56. Lanzamiento de peso Un peso es lanzado desde una altura depies con rapidez inicial pies por segundo y con

un ángulo de con la horizontal. Hallar el tiempo totalde recorrido y la distancia horizontal recorrida.

57. Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, susvectores velocidad y aceleración son ortogonales.

58. Demostrar que un objeto que se mueve en línea recta a veloci-dad constante tiene aceleración nula.

59. Investigación Un objeto sigue una trayectoria elíptica dadapor la función vectorial a) Hallar y b) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

c) Representar gráficamente la trayectoria elíptica y los vec-tores velocidad y aceleración para los valores de t dados en latabla del inciso b).

d) Usar los resultados de los incisos b) y c) para describir larelación geométrica entre los vectores velocidad y acele-ración cuando la rapidez de la partícula aumenta y cuandodisminuye.

64. Cuando t 0, un objeto está en el punto (0, 1) y tiene un vectorvelocidad v(0) i. Se mueve con aceleración a(t) sen ticos t j. Mostrar que la trayectoria del objeto es un círculo.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 65 a 68, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que pruebe que es falsa.

65. La aceleración de un objeto es la derivada de la rapidez.66. La velocidad de un objeto es la derivada de la posición.67. El vector velocidad apunta en la dirección de movimiento.68. Si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, entonces

los vectores velocidad y aceleración son ortogonales.

300 pies

30 mph2 pies

1 libra

sen

sen

t 0

Rapidez

segundos

60. Considerar una partícula que se mueve sobre una trayectoriaelíptica descrita por donde

es la velocidad angular constante.a) Encontrar el vector velocidad. ¿Cuál es la rapidez de la

partícula?b) Encontrar el vector aceleración y demostrar que su direc-

ción está siempre hacia el centro de la elipse.

d dtr t a cos t i b sen t j,

61. Con las propias palabras, explicar la diferencia entre la velo-cidad de un objeto y su rapidez.

62. ¿Qué se conoce acerca de la rapidez de un objeto si el ángu-lo entre los vectores velocidad y aceleración es a) agudo yb) obtuso?

63. Redacción Considerar una partícula que se mueve sobre latrayectoria a) Analizar todo cambio en la posición, velocidad o acele-

ración de la partícula si su posición está dada por la fun-ción vectorial

b) Generalizar los resultados a la función posición

sen

sen sen

sen

Soluciones de los ejercicios impares A-31

rrr

i j ki ji j

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i j ki j Ci j k C

i j k Ci j k Cr i kr i j

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A-32 Soluciones de los ejercicios impares

r i j

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