Probabilidad y Variables Aleatorias

LEONARDO LÓPEZ C.ECONOMIA ESTADISTICA COMPUTARIZADA

PARALELO: 261

Regla de LaplaceDefiniciónSu espacio muestral E tiene todos los sucesos elementales equi-probables. La probabilidad de un suceso A es:

Regla de Laplace - EjemploEste dado no está trucado. Su espacio muestral es : E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 Si lo lanzas muchísimas veces. ¿Qué número saldrá más veces el 1 o el 2 o el 3, o el 4, o el 5, o el 6? ¿ Cuál será la probabilidad de que salga un 1 ? ¿y un 2? ¿y un 3?...

Parece que todos los sucesos elementales, todos los del espacio muestral E, tienen la misma probabilidad de ocurrir. Son EQUIPROBABLES. Entonces si quieres calcular la

probabilidad del suceso ser par:A= {2, 4 o 6 } saldrá 3 de 6 = 0.5

3 casos que tiene el suceso A.  3

6 que tiene el espacio muestral E

 6

Teorema de BayesSea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

Teorema de Bayes - EjemploEl parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovío, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%

Distribución de BernoulliEs una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

La fórmula es:

Con x = {0,1}

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.X∼Be(0,5)P(X = 0) = f(0) = 0,500,51 = 0,5P(X = 1) = f(1) = 0,510,50 = 0,5

Distribución de Bernoulli - Ejemplo

Distribución BinomialLa distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1. El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

2. Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernoulli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

3. La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

4. Las pruebas son estadísticamente independientes.

Distribución BinomialEn estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

Distribución Binomial

• n es el número de pruebas.• k es el número de éxitos.• p es la probabilidad del éxito.• q es la probabilidad del fracaso.

• el número combinatorio es:

• Media: μ = n.p

• Varianza:

•Desviación Típica:

En una farmacia se ha calculado la probabilidad de venderle a un cliente con obra social es del 20%. Se eligen al azar 15 clientes de ese tipo que ingresan al negocio y se desea calcular la probabilidad de concretar menos de tres ventas.

Si se cumple los supuestos básicos de la distribución binomial, entonces:P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

Matemáticamente esto se resuelve así:

Entonces: P(x<3) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.398

Distribución Binomial

Distribución de PoissonUna variable de tipo Poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo.El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:

1. El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior.

2. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él.

3. La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio.

Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son variables en las que se cuentan sucesos raros.La función de probabilidad de una variable Poisson es:

Distribución de Poisson

Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intelección de calles, los registros policíacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección.

El departamento de seguridad vial desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 3 accidentes.

Analizando el problema, este situación se ajusta a un proceso de Poisson, hay una secuencia de llegada (por mas que exista un choque múltiple, siempre hay uno que choca primero). Tenemos la siguiente información:

l = 5 accidentes por mes

x = 3 accidentes por mes

Aplicando la formula de la probabilidad de Poisson:

Distribución de Poisson

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución.

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

Distribución Geométrica

Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.

a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva

p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesivaq = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

Distribución Geométrica -Ejemplo

b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva

p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva

Distribución Geométrica -Ejemplo

En estadística la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ.

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Distribución Binomial Negativa

Distribución Binomial NegativaEjemplo

Características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes.

c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí.

d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.

Distribución Hipergeométrica

Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:

donde:

N = x + y + z = total de objetosa = total de objetos del primer tipob = total de objetos del segundo tipoc = N-a-b = total de objetos del tercer tipon = objetos seleccionados en la muestrax = objetos del primer tipo en la muestray = objetos del segundo tipo en la muestraz = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

Distribución Hipergeométrica

En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

Distribución HipergeométricaEjemplo

a)N= 20+3+2 =25 total de artículos

a=20 productos sin defectos

b= 3 productos con defectos menores

N-a-b= 2 productos con defectos mayores

n= 5 productos seleccionados en la muestra

x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra

y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra

z = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

Distribución Hipergeométrica

b)N= 25

a=20 productos sin defectos

b= 3 productos con defectos menores

N-a-b= 2 productos con defectos mayores

n= 5 productos seleccionados en la muestra

x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra

y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra

z = n-x-y = 5-4-1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

Distribución Hipergeométrica