NOTAS DE CLASE

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Contenido

1. Frecuencias naturales y modos normales de oscilacin 2. Cuerda sujeta en sus dos extremos 3. Cuerda con un extremo libre 4. Ondas estacionarias en una columna de aire 5. Modos normales en una oscilacin forzada de una

cuerda tensa

ONDAS CONFINADAS 1. Frecuencias naturales y modos normales de oscilacin En un medio ilimitado (infinito o semi-infinito) pueden propagarse ondas de frecuencias arbitrarias. No ocurre lo mismo cuando el medio est confinado en una regin de dimensin finita. En un medio limitado las soluciones de la ecuacin de ondas deben satisfacer condiciones de contorno apropiadas en los bordes de la regin. Para que se puedan satisfacer estas condiciones de contorno, la frecuencia no puede tomar cualquier valor. Existen soluciones solamente para una serie, en general infinita, de valores bien determinados de la frecuencia, denominadas frecuencias propias. Los valores concretos de las frecuencias propias dependen de la forma y dimensin del recipiente que limita la regin.

Soluciones armnicas de la ecuacin de ondas

En las secciones anteriores encontramos que las soluciones armnicas propagantes de la ecuacin de ondas son:

1) ( ) ( )( , ) cos ( / ) cosx t A t x c A t kx + = + = + , que es una onda armnica de frecuencia que se propaga de izquierda a derecha., y 2) ( ) ( )( , ) cos ( / ) cosx t A t x c A t kx + = + + = + + , que es una onda armnica de frecuencia que se propaga de derecha a izquierda. Se puede demostrar que haciendo una combinacin lineal de las soluciones propagantes 1) y 2) se obtienen otras dos soluciones armnicas de la ecuacin de ondas:

3) ( , ) sen cos( )x t A kx t = + 4) ( , ) cos cos( )x t A kx t = + (demostrar explcitamente que 3 y 4 son soluciones de la ecuacin de ondas)

Las soluciones 3 y 4 son funciones de ondas estacionarias por razones que vamos a ver ms a adelante.

2. Cuerda sujeta en sus dos extremos. Vamos a estudiar las oscilaciones armnicas de una cuerda de longitud L que est fija en sus dos extremos, como se muestra en la Fig.1.

Si la cuerda est fija solamente en uno de sus extremos (x = 0), la solucin armnica de la ecuacin de ondas que satisface la

condicin de contorno:

(0, ) 0t = (1) viene dada por la ecuacin 3, (que la volvemos a escribir),

( , ) sen cos( )x t A kx t = + (2) Como la cuerda ahora est tambin fija en x = L, se tiene que satisfacer adems la condicin de contorno:

(L,t) = 0 (3) La nica posibilidad que tiene (2) para satisfacer esta condicin de contorno es que:

( ) 0sen kL = (4)

y esto implica que

/kL L c n = = (5) donde n es un entero arbitrario.

Esto significa que la cuerda puede tener movimientos armnicos slo a ciertas frecuencias bien definidas n que vienen dadas por:

n = nc/L (6) Para las oscilaciones transversales de la cuerda c2 = T/ y, por lo tanto:

TL

nn = (7)

Si reemplazamos (6) en (2) concluimos que las funciones:

n(x,t) = An sen(nx/L) sen(nct/L + n) (8) son las soluciones armnicas de la ecuacin de ondas que satisfacen las condiciones de contorno (1) y (3). Observemos que para diferentes valores de n la cuerda oscila de una forma diferente. A cada una de estas formas diferentes que puede oscilar la cuerda se denomina modo normal de oscilacin.

Interpretacin de la solucin. Cada punto x0 de la cuerda (ver ecuacin (8)) efecta una oscilacin armnica

n(x0,t) = An sen(nt + n) (9) de amplitud:

Bn = An sen(nx0/L) (10) Este tipo de movimiento de la cuerda se denomina onda estacionaria. Los puntos x = mL/n (m = 1,2,....., n-1), en los que sen(nx/L) = 0, permanecen inmviles y se llaman nodos de la onda estacionaria. El modo de oscilacin n tiene, por lo tanto, n-1 nodos (sin incluir sus extremos).Los puntos en los que sen(nx/L) = 1, oscilan con la amplitud mxima An y se llaman antinodos (o vientres) de la onda estacionaria. El modo de oscilacin n tiene n antinodos.

El perfil (la envolvente) de la onda estacionaria (8) es, en todo momento, la sinusoide:

(x,t) = Cn(t) sen(nx/L) (11) donde

Cn(t) = An sen(nct/L + n) (12) En los instantes de tiempo t, en los que sen(nt/L+n) = 1, los desplazamientos de la cuerda alcanzan sus valores mximos y la velocidad del movimiento es nula. En los instantes de tiempo en los que sen(nt/L+n) = 0, el desplazamiento es igual a cero y la velocidad es mxima.

Las frecuencias de las oscilaciones de todos los puntos de la cuerda coinciden y vienen dadas por la ecuacin (7). Estas frecuencias son las frecuencias propias de las oscilaciones de la cuerda. En la ecuacin (7) aparecen solamente cantidades que dependen de la cuerda (su

tensin, longitud y densidad de masa). Las frecuencias propias, por consiguiente, no pueden modificarse desde el exterior.

A cada una de las frecuencias propias le corresponde un modo particular de oscilacin de la cuerda. Por esta razn se dice que la ecuacin (8) representa un modo normal de oscilacin de la cuerda (el n-simo modo normal en este caso).

Para las ondas que se propagan en cuerdas, la frecuencia es igual a kc, y como k = 2/, = 2c/. Al n-simo modo normal le corresponde, por consiguiente, una longitud de onda n que viene dada por

n = 2L/n (13) En la Fig.2 se muestran, esquemticamente, los cuatro primeros modos normales de oscilacin de la cuerda en el instante en que sen(nt/L+n) = 1. El primer modo tiene un antinodo. Su longitud de onda es 2L y su frecuencia f1 = c/2L. El segundo modo normal tiene dos antinodos con un nodo en el medio. La longitud de onda de este modo es L y su frecuencia es f2 = 2f1. La frecuencia del tercer modo es 3f1 y as sucesivamente. La frecuencia de cualquier modo de oscilacin es un mltiplo de la frecuencia ms baja f1. La frecuencia f1 se denomina frecuencia fundamental. Los mltiplos, fn = nf1, de la frecuencia fundamental son los armnicos superiores de f1. La frecuencia del primer armnico (n=1) es la frecuencia fundamental, la frecuencia del segundo armnico f2 es el doble de f1, etc. En msica, a los armnicos superiores se los llama parciales. Esta denominacin es ms apropiada porque las frecuencias propias de oscilacin de algunos instrumentos musicales, en particular los de percusin, no son mltiplos enteros de la frecuencia ms baja.

La aparicin, en forma natural, de frecuencias que son mltiplos de una frecuencia fundamental recibe el nombre de cuantificacin, y juega un papel fundamental en toda la fsica.

Solucin general del movimiento de una cuerda sujeta en sus dos extremos. Cualquier solucin de la ecuacin de ondas que satisface las condiciones de borde (1) y (3) puede expresarse como una superposicin lineal de las soluciones estacionarias (8):

(x,t) = 1 1

( , ) sen( / ) sen( )n n nn n

x t A n x L t n

= = = + (14)

La funcin (x,t) definida por esta ecuacin es la solucin general de las oscilaciones libres de la cuerda. Fsicamente, la ecuacin (14) representa el estado de movimiento ms general de una cuerda de longitud L cuyos extremos estn fijos.

Las constantes An y n se pueden calcular si se conocen las condiciones iniciales: el desplazamiento y la velocidad v = /t de todos los puntos de la cuerda en t = 0. No entraremos aqu en los detalles de cmo se realizan estos clculos.

La ecuacin (14) nos dice que cualquier movimiento de la cuerda puede considerarse como la superposicin de un cierto nmero de modos normales de oscilacin (en rigor infinitos) con amplitudes Bn y fases n, que dependen de las condiciones iniciales.

Se pueden excitar las oscilaciones libres de una cuerda tensa por la accin de un golpe (piano) o estirndola y despus soltarla (arpa, guitarra) o por ambas acciones a la vez. En todos los casos el movimiento resultante es una superposicin de todos los modos normales de oscilacin que han sido activados simultneamente. Por lo tanto, los sonidos musicales generados por

una cuerda contienen muchas frecuencias propias: la fundamental y varias de sus armnicas, al mismo tiempo.

Mediante tcnicas apropiadas se puede hacer que uno de los modos normales de oscilacin sea dominante. Esto se consigue preparando adecuadamente las condiciones iniciales. Por ejemplo, si se estira la cuerda como se muestra en la Fig. 3a y luego se la suelta, el modo de oscilacin dominante ser el primero, mientras que si se la estira como se indica en la Fig. 3b y luego se la suelta, el modo de oscilacin dominante ser el tercero. Si por algn mtodo pudiramos estirar inicialmente la cuerda de modo tal que en lugar de las lneas quebradas de las Fig.3a y 3b tuviramos unas perfectas sinusoides, entonces se excitaran solamente los modos primero y tercero, respectivamente. En la prctica estas preparaciones iniciales son muy difciles de hacer, y esto explica por qu al excitar una cuerda su movimiento ser en general una superposicin de muchos modos normales.

La intensidad relativa con que intervienen cada uno de los modos normales de oscilacin se denomina espectro de oscilacin. El mdulo del coeficiente Bn es una medida del grado de participacin del modo de orden n. La representacin grfica de Bn en funcin del nmero n, constituye lo que se llama el espectro de oscilacin de la cuerda. El espectro de oscilacin depende exclusivamente de la forma en que la cuerda ha sido puesta en movimiento, esto es, de las condiciones iniciales. En otras palabras, depende de la forma en que es excitada la cuerda.

3. Cuerda con un extremo libre. En esta seccin estudiaremos las oscilaciones armnicas de una cuerda cuando uno o ambos de sus extremos puede moverse libremente en la direccin transversal a la cuerda. Esta condicin puede obtenerse si se ata el extremo de la cuerda a un anillo sin masa, que desliza sin friccin a lo largo de una varilla transversal. El anillo y la varilla mantienen la tensin de la cuerda pero no ejercen ninguna fuerza transversal.

Vamos a estudiar el caso en que la cuerda est fija en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho como se muestra en la Fig.4.

La ecuacin (2) es la solucin armnica de la ecuacin de ondas que satisface la condicin de contorno (0,t) = 0 en x = 0. En el extremo libre la condicin de contorno es:

( , ) 0L tx

= (15) Para que (2) satisfaga la condicin (15), en cualquier instante de tiempo t, se debe cumplir que:

cos(L/c) = 0 (16) y esto implica que

L/c = m(/2), (17) donde m = 2n1 y n = 0, 1, 2, 3,..

Las frecuencias propias son:

n = m(c/2L) = m 1, (18) donde 1 = c/2L es la frecuencia fundamental y m = 1, 3, 5, ... . Obsrvese que los armnicos son mltiplos impares de la frecuencia fundamental.

Si reemplazamos (18) en (2) obtenemos para la funcin que describe el n-simo modo normal de oscilacin la siguiente expresin:

m(x,t) = Am sen(mx/2L) sen(mct/2L + ) (19)

En la Fig.5 se muestran los tres primeros modos normales de oscilacin de una cuerda que tiene un extremo fijo y el otro libre.

4. Ondas estacionarias en una columna de aire. El desplazamiento el aire (x,t) en el interior de un tubo satisface la ecuacin de ondas

2 2

2 2

12x c t

= (20)

donde c es la velocidad del sonido. La presin en exceso p producida por la onda sonora, que est relacionada con el desplazamiento del aire a travs de la expresin

p Bx

= (21) tambin satisface la ecuacin de ondas. Esto es,

2

2

22

2

tp

c1

xp

=

(22)

En los extremos del tubo, el desplazamiento del aire y la presin en exceso deben satisfacer condiciones de borde apropiadas.

En el extremo cerrado el desplazamiento de las molculas debe ser siempre nula, por lo tanto el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento. Si el desplazamiento del aire es sinusoidal las variaciones de presin tambin lo son. Sin embargo, la presin y el desplazamiento estn desfasados 90 (porque estn relacionadas a travs de la ecuacin (21). Esto significa que en una onda estacionaria los nodos de desplazamientos son antinodos de presin y viceversa. El extremo cerrado de un tubo es, por lo tanto, un antinodo de presin.

El extremo de un tubo, abierto a la atmsfera, es un nodo de presin porque la presin est fijada con el valor de la presin atmosfrica. El extremo abierto es, por lo tanto, un antinodo de desplazamiento (la derivada de con respecto a x debe anularse).

En rigor, el extremo abierto de un tubo es un nodo de presin (antinodo de desplazamiento) solo si el dimetro del tubo es muy pequeo comparado con la longitud de onda de la onda sonora. Se puede verificar, terica y experimentalmente, que todo ocurre como si el nodo de presin estuviera en un punto situado ligeramente afuera del extremo abierto del tubo. Por consiguiente, la longitud efectiva del tubo es un poco mayor que la real. Si L es la longitud del tubo y e es la distancia entre el extremo abierto del tubo y el nodo de presin, la longitud efectiva del tubo Lef es

eLLef = + (23) La teora predice para e un valor igual a 8a/(3) donde a es el radio del tubo. Este valor concuerda razonablemente bien con los valores medidos que son del orden de 0.8a.

Un tubo de rgano es un ejemplo de la utilizacin de ondas estacionarias en columnas de aire. En estos tubos una corriente de aire se vuelve turbulento al pasar por una pequea rendija, mientras que un borde afilado divide en dos a este flujo turbulento (ver Fig.6). El movimiento turbulento complicado del aire que penetra en el interior del tubo es una superposicin de vibraciones de muchas frecuencias. Si alguna de estas

frecuencias coincide con una frecuencia natural de oscilacin de la columna de aire, se excita el modo normal correspondiente. En general se excitan ms de un modo normal simultneamente. Las frecuencias naturales del tubo dependen de su longitud y de que su extremo est abierto o cerrado.

En un tubo de rgano cerrado existe un nodo de desplazamiento en el extremo cerrado y un antinodo cerca de la abertura (el punto A de la Fig.6). Por tanto, las frecuencias naturales de vibracin en dicho tubo son las correspondientes a un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro. Las condiciones de borde para son las mismas que para una cuerda fija en un extremo y libre en el otro. Por analoga con el problema de la cuerda slo se encuentran los armnicos impares. La longitud de onda del modo fundamental es aproximadamente cuatro veces la longitud del tubo En la Fig.

7 se muestra esquemticamente las ondas estacionarias en un tubo que est abierto en un extremo y cerrado en el otro. En lneas llenas se muestra la envolvente de la onda estacionaria de desplazamiento y en lneas rayadas la envolvente de la onda de presin. Obsrvese que donde se tiene un nodo de desplazamiento hay un antinodo de presin, y donde se tiene un antinodo de desplazamiento hay un nodo de presin.

En un tubo abierto en ambos extremos existe un antinodo de desplazamiento (y un nodo de presin) cerca de ambos extremos. Las frecuencias naturales de estos tipos de tubo son, por tanto, anlogas a las de una cuerda libre (o sujeta) en ambos extremos. La longitud de onda de la fundamental es 2 veces la longitud efectiva del tubo y se encuentran presentes todos los armnicos.

5. Modos normales en una oscilacin forzada de una cuerda tensa. Estudiaremos en esta seccin las oscilaciones forzadas de una cuerda tensa que tiene fijo su extremo x = 0, pero cuyo extremo x = L est vibrando transversalmente con una amplitud A y una frecuencia que estn controladas por el mecanismo de excitacin.

La ecuacin (2) es la solucin armnica de la ecuacin de ondas que satisface la condicin de que la cuerda est fija en x = 0. En el extremo x = L se tiene que cumplir tambin que:

(L,t) = A sent (24) Igualando (24) y (2) en x = L obtenemos:

B sen(L/c) sen(t + 0 ) = A sent (25) La ecuacin (25) se satisface para cualquier valor de t slo si 0 = 0 y si

sen ( / )AB

L c= (26)

El desplazamiento (x,t) de cualquier punto de la cuerda viene dado entonces por: (x,t) = )tsen()c/xsen(

)c/L(senA (27)

La ecuacin (27) implica que, para un dado valor A de la amplitud del desplazamiento forzado en el extremo x = L, la amplitud de respuesta B de la cuerda como un todo ser grande si la frecuencia de la fuerza impulsora est cerca de una de las frecuencias naturales de oscilacin de la cuerda (definidas por medio de la ecuacin (4)). En particular, la amplitud B de la onda

estacionaria ser infinitamente grande si la frecuencia del desplazamiento forzado es exactamente igual a una de las frecuencias naturales de las cuerdas, esto es, si sen(L/c) = 0. Sabemos, sin embargo, que las fuerzas disipativas, que siempre estn presentes, eliminan estos infinitos no reales. La grfica que se muestra en la Fig.8 representa el mdulo de la amplitud de respuesta B en funcin de la frecuencia en una situacin real, en la que existe disipacin. Observemos que esta grfica es una sucesin de curvas similar a la grfica de la amplitud de respuesta de un oscilador armnico.

Si la frecuencia de excitacin es igual a cualquiera de las frecuencias naturales, la cuerda entra en resonancia y la amplitud de los antinodos ser mucho mayor que la amplitud del extremo

accionado. En otras palabras, aunque este ltimo no es un nodo, cuando la cuerda entra en resonancia, el extremo excitado est mucho ms prximo a un nodo que a un antinodo. Los grficos de la Fig.9 muestran la oscilacin forzada de una cuerda: (a) para una frecuencia impulsora un poco mayor que la frecuencia de resonancia y (b) para una frecuencia impulsora menor que la frecuencia de resonancia.

La ecuacin 27 es la solucin permanente de la ecuacin de ondas, es decir, es la solucin que describe las oscilaciones que se establecen en la cuerda despus de haber transcurrido un cierto tiempo (del

orden de varios periodos de oscilacin) del momento en que se comenz a aplicar la fuerza impulsora. Durante todo ese tiempo la fuerza impulsora entrega la energa necesaria para que la amplitud crezca desde cero hasta alcanzar su gran amplitud resonante. Esta amplitud resonante es grande, pero no infinita debido a las fuerzas disipativas que estn siempre presentes en un sistema real. Cuando se llega al estado estacionario (o sea cuando la amplitud de la onda deja de aumentar), la energa que se disipa en el sistema se compensa exactamente con la que entrega la fuerza impulsora externa.

NOTAS DE CLASE ONDAS CONFINADAS 1. Frecuencias naturales y modos normales de oscilacin