Electromagnetismo – Profesorado de Física - Profesor Álvaro Suárez 2013

Repartido N°8 “Corriente de desplazamiento y ondas electromagnéticas”

Nota aclaratoria: para los problemas del 1 al 6 donde aparezcan corrientes variables en el tiempo, se asumirá que dichas variaciones son lo suficientemente lentas como para despreciar los efectos de radiación. 1. En una región del espacio cilíndrica infinitamente larga de radio R, en el vacío, hay un campo no electrostático dado

por 0ˆ(1 / ) ( ) kE E r R sen t u , el cual genera una campo magnético a su alrededor.

a) Determine la densidad de corriente de desplazamiento.

b) Asumiendo que el campo magnético inducido tiene la dirección dada por u y que es nulo en el eje de la región

cilíndrica, determine dicho campo en todos los puntos del espacio a partir de la ley de Ampère-Maxwell en forma diferencial. c) ¿Podría con un conductor recto y muy largo generar un campo magnético con similares características al determinado en la parte anterior? ¿Qué condiciones tendría que cumplir la densidad de corriente de conducción?

2. Un capacitor formado por dos placas circulares de radio a y separadas una distancia b ( )b a tiene inicialmente una

carga 0Q . Entre las placas existe un dieléctrico no ideal con una constante dieléctrica k y una resistividad .

a) Determine la corriente de conducción y la corriente de desplazamiento entre las placas en función del tiempo. b) Determine el campo magnético total entre las placas durante la descarga del capacitor. c) De argumentos cualitativos que justifiquen el resultado obtenido en la parte anterior.

d) Si el capacitor se carga de forma que la diferencia de potencial 2( ) 10V t t , determine el tiempo necesario para que

la corriente de desplazamiento sea igual a la de conducción. 3. Considere nuevamente el problema 1 del repartido 6. a) Tal como ha visto, si se determina la circulación de campo magnético a lo largo de la curva C a partir de la ley de Ampère, se obtiene un resultado incorrecto. Justifique este hecho a partir de la ley de Ampère-Maxwell. b) Demuestre que la corriente de desplazamiento a través del área

circular de radio r está dada por: 2 2 1/2

1( )

D C

aI I

a r

c) Determine el campo magnético en el punto P a partir de la ley de Ampère-Maxwell y compare dicho resultado con el obtenido con la ley de Biot-Savart. ¿Qué puede concluir? d) ¿Podría haber determinado la corriente de desplazamiento a partir de los resultados obtenidos en las partes d y e del problema 1 del repartido 6? 4. Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de partículas cargadas flotando en el vacío) se encuentra en expansión creciendo el radio de la esfera como ( )R t . La carga total de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo

momento de forma uniforme en el volumen de la esfera. a) Determine la densidad de corriente de desplazamiento y de conducción en cada punto del espacio. b) Verifique que el resultado obtenido está acorde con la corriente generalizada a través de una superficie cerrada. c) Determine el campo magnético en cada punto del espacio. d) A partir de los resultados obtenidos, ¿puede explicar por qué la ley de Biot Savart da un resultado correcto para determinar el campo magnético en el problema 3? 5. Un resistor cilíndrico de área A, largo x , resistividad y permitividad eléctrica , se conecta a una fuente de

voltaje dada por 0( ) cos( )V t V t . Considere uniforme el campo eléctrico dentro del resistor.

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a) Encuentre una expresión para la corriente de conducción a través del resistor. b) Encuentre una expresión para la corriente de desplazamiento a través del resistor. c) Para un conductor metálico típico, conectado a una fuente de 50Hz , ¿es importante la presencia de la corriente de desplazamiento?

6. Considere un capacitor formado por dos placas circulares de radio a y separadas una distancia b ( )b a ; entre ellas

hay vacío. Entre los centros de las placas se establece una diferencia de potencial 0( ) cos( )V t V t . Se puede demostrar

con relativa sencillez que el campo eléctrico entre las placas del capacitor es en primera aproximación

0( ) cos( ) /E t V t b .

a) Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de Ampère-Maxwell. b) A partir de la ley de Faraday determine la primera corrección en el campo eléctrico debido a este campo inducido. ¿A partir de qué valor del radio del capacitor comienza a ser importante esta corrección?

7. Un campo magnético en el vacío está dado por i( ) i( )

0 0ˆ ˆe e

x y

kz t kz tu uB B B . Determine a partir de la ley de Ampère-

Maxwell, el campo eléctrico asociado. 8. Dos planos infinitos perfectamente conductores ( g ) están dispuestos en 0z , y en z L . El campo eléctrico de

una onda que se propaga entre los planos tiene la forma: 0ˆ( )cos( )

xuE E sen kz t

a) Utilizando las condiciones de borde en los planos conductores, escriba los posibles valores de k . b) Determine el campo magnético a partir de la ley de Faraday. El campo magnético, ¿está en fase con el eléctrico? c) Determine el vector de Poynting en cada instante y su promedio temporal. d) De argumentos físicos que justifiquen los resultados obtenidos en la parte anterior.

9. El campo debido a una antena corta tiene el potencial vector i( t-k )

0 0 ˆ ˆ(cos )4

er

r

u uI l

A senr

. Siendo

0I la

amplitud de la intensidad de corriente oscilante y l la longitud de la antena. a) i) Demuestre que el campo magnético está dado por:

i( t-kr) 2

0 0

2 2ˆ

1 i

4

eu

I l kB sen

k r kr

ii) A partir de la expresión del campo magnético, demuestre que el campo eléctrico en todos los puntos del

espacio está dado por:

i( t-kr) 2

0

2 2 3 3 2 2 3 3

0

ˆ ˆ1 1 1 1 i

2 cos4 i i

er

u uI l k

E senc k r k r k r k r kr

b) Demuestre que cuando la distancia al origen es mucho menor que la longitud de onda ( 2 )kr , el campo

eléctrico es aproximadamente el de un dipolo eléctrico.

c) ¿A qué se reducen los campos eléctrico y magnético cuando la distancia al dipolo es mucho mayor que la

longitud de onda ( 2 )kr ? ¿Es lógico el resultado obtenido?

d) Muestre que los campos de radiación se relacionan entre sí mediante la expresión ˆ1

rR RuB Ec

.

e) Determine el vector de Poynting cuando la distancia al dipolo es mucho mayor que la longitud de onda y su valor

promedio. ¿La energía electromagnética se radia con simetría esférica?

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10. Considere dos partículas cargadas con cargas q opuestas, separadas por una distancia b. Supongamos ahora que las partículas oscilan en torno al eje z, realizando un movimiento armónico simple de frecuencia . Como consecuencia de esto, el sistema de dos partículas es un dipolo eléctrico oscilante, con su momento dipolar eléctrico dado por

0( )p t p sen t , siendo 0p qb . A grandes distancias del dipolo, el campo eléctrico

está dado por:

a) Determine a partir de la ley de Faraday el campo magnético asociado. Conserve solo el término de campo lejano.

b) Verifique que los campos de radiación se relacionan entre sí mediante la expresión ˆ1

rR RuB Ec

.

c) Determine el valor medio del vector de Poynting y a partir de éste, muestre que la potencial total radiada por el

dipolo está dada por: 2 4

0

3

012

pP

c

d) Un ejemplo de dipolo eléctrico oscilante es una antena de rectilínea de largo l de una radioemisora. Si circula una corriente

0( )I t I sen t , demuestre que la potencia emitida por la antena es directamente proporcional a 2

0I . Al coeficiente de proporcionalidad se le denomina “resistencia de radiación”. ¿Se le ocurre por qué el

nombre? Algunos resultados:

1. a) 0 ,D

EJ r R

t

, 0,DJ r R , b)

2

0 0 0ˆcos( ) ,

2 3

r rB E t u r R

R

,

2

0 0 0 cos( )ˆ ,

6

E t RB u r R

r

.

2. a) 0/

0

0

t k

C

Q eI

k

, C DI I , b) 0B , d) 0t k .

4. a) 0

4

3ˆ ,

4D r

rQ dRJ u r R

R dt , 0 ,DJ r R , 0

4

3ˆ ,

4C r

rQ dRJ u r R

R dt , 0 ,CJ r R , c) 0B .

5. a) 0 cos( )C

AV tI

x

, b) 0 ( )

D

A V sen tI

x

.

6. a) 0 0

2

r dVB

b dt

, b)

2 2

0 0 0cos( )1

4

V t rE

b

,

2ca

.

7. i( ) i( )0 0ˆ ˆe ex y

kz t kz tu u

B BE

k k

.

8. a)

nk

L

b) 0 ˆcos( ) ( ) yu

EB kz sen t

c , c)

2

0

0

ˆcos( ) ( )cos( ) ( ) zuE

S t sen t kz sen kzc

, 0S

9. e) 2 2 2

2 20

2 2

0

ˆ( )16

r

I l kS sen t kr sen u

cr

,

2 2 220

2 2

0

ˆ32

r

I l kS sen u

cr

.

2

0

0

ˆ( )4

up sen

E sen kr tr c

Líneas de campo eléctrico del dipolo oscilante