7rusos.xls

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFacultad de Arquitectura e Ingenieria CivilAsignatura: Profesor: Ing C.E. Zapatel S,CICLO 2008 II

REF: MECANICA DE MATERIALES Por HIBBELEER

CAP 9 :TRANSFORMACION ESFUERZO-CIRCULO OTTO MOHR(REF HIBBELER PAG 476)En esta seccion explicaremos que las ecuaciones para transformacion de esfuerzo plano tienen una solucion grafica cuyo autor es el Ing Otto Mohr, en el cual nos permite visualizar la forma en que varian los componentes de los esfuerzos normal y cortante

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS(ref Hibbeler, pag 478)Construccion del circulo1.-Establecer un sistema de coordenadas, las abscisas representen el esfuerzo normal σsiendo positivo hacia la derecha, las ordenadas representan el esfuerzo cortante τ positivohacia abajo, ver fig 9-17a2.-Usando la comvencion de signo positivo para σx,σy ,τxy que se indican en la fig 9-17b, graficar el centro del circulo C, ubicado en el eje σ a la distancia σprom=(σx+σy)/2 del origenfig 9-17a3.-Graficar el PUNTO DE REFERENCIA A cuyas coordenadas sean A(σx ,τx). El punto , representa las componentes del esfuerzonormal y cortante sobre la cara vertical derecha del elemento, y como el eje x1 coincide con el eje x, lo anterior representa Ө=0º, fig -9-17b4.-Unir el punto A con el centro C del circulo, y determinar CA por trigonometria. Esta distanciarepresenta el radio R del circulo, fig 9-17a5.-Una vez trazado R trazar el circulo

ESFUERZOS PRINCIPALES1.-Los esfuerzos principales σ1 , σ2, (σ1 > σ2) se representan con los 2 puntos B y D dondeel circulo corta al eje σ, es decir, donde τ=0, fig 9-17a2.-Estos esfuerzos actuan sobre los planos definidos por los angulos Өp1 , Өp fig 9-17c.Se representan asi en el circulo con los angulos 2Өp1 (que se indica) y 2Өp(no se indica), y se miden a partir de la linea de referencia radial CA, hasta las lineas CB y CD, respectivamente3.-Mediante trigonometria solo se debe calcular uno de esos angulos, a partir del circulo, ya que Өp1 , Өp estan a 90º entre si. Recuerde que la direccion de rotacion 2Өp en el circulo( en este caso sentido antihorario), representa la misma direccion de rotacion Өp a partir del eje de referencia (+x) hacia el plano principal (+x1), fig 9-17c

ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL PLANO1.-Los componentes de esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante maximo con el plano se determinan en el circulo, como coordenadas del punto E o del punto F, fig 9-17a2.-En este acso, los angulos Өs1 , Өs2 definen la orientacion de los planos que contienen esos componentes, fig 9-17d. El angulo 2Өs1 se ve en la fig 9-17a,y se puede determinar mediante trigonometria. En este caso, la rotaciones el sentido horario, por lo que Өs1 debe ser en sentido de las manecillas del reloj, en el elemento, ver fig 9-17dESFUERZOS EN UN PLANO ARBITRARIO1.-Los componentes de esfuerzo normal y cortante σx1, τx1 y1 , que actuan sobre determinadoplano definido por el angulo Ө, fig 9-17e, se pueden obtener a partir del circulo, mediante trigonometria, para determinar las coordenadas del punto P, fig 9-17a2.-Para ubicar a P el angulo conocido Ө del plano(en este caso, sentido antihorario),fig 9-17e, debe medirse en el circulo en la misma direccion 2Ө(sentido antihorario), desde la linea de CA hacia la linea radial CP, fig 9-17a, referencia radial

z yσx

σzτyz τxy

τxz xy σx σx

τxy σy σx σ y

xFig a.-Esfuerzo general de esfuerzo Fig b.-Esfuerzo plano, σz=0

σprom ACLARACIONARCO AE=2Өs1

F ARCO AB=2Өp1τ1 ARCO AP=2Ө

Eje ARCO AA=Ө=0ºcoordenadas σ+ El eje coord ubica σx de A

σ2 σ,τ=Eje coordenadasE 2Өp1 σ+

Ө=0º τ+ τ+ σx

2Өs1

Өp2=90+Өp1fig σ2 x1

τxy Өp2 σ1σ x Өp1 x

σ y

fig b fig c

σ prom

τxy σ prom Τx1y1 max en el planoσ x x

Өs1x1

σ yfig d

fig b y1x1

Өx

τxyNOTA.-LA SUMA DE LOS ESFUERZOS NORMALES SOBRE 2 PLANOS MUTUAMENTE PERPENDICULARES CUALQUIERA ES INVARIABLE, es decir, en el plano x,y

σx+σy=σ1+σ2=σx1+σy1= constante

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Circulo de Mohr esfuerzo plano

La carga axial P produce el estado de esfuerzos en el material, como se indica la figura 9-1. Trazar el circulo de Mohr para este caso

σ/2 F σ max=σ/2

P Ө=0º

D C B τx1y1 P τxy

σ1 A(σx,τxy)

EJEMPLO 9.7.-(Ref hibbeler pag 480).-

D C A=B=P σ+ xP A(σ,0) 45º

σ σ E σx τmax=σ/2 x1τ+ R=σ/2

Fig a fig b fig cσ,τ=Eje coordenadas

SOLUCION σ+De la fig a τ+

σ x=σ σ y=0 τ xy=0

Se definen los ejes σ , τ en la fig b, el centro del circulo C esta en eje σ enσ prom=(σx + σy)/2= σ/2

Desde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(σ,0)El radiode giro R=CA=σ/2, ver fig b

ESFUERZOSObservese que los esfuerzos principales estan en los puntos A y D, a partir del Eje coordenadas

σ1=σ σ 2=0El elemento de la fig 9-18a representa este estado de esfuerzos principalesEl esfuerzo cortante maximo en el plano, y el esfuerzo normal promedio asociado se identificanen el circulo como E o F , fig b. En el punto E sucede que

τ max en el plano=R=σ/2σ prom =σ/2

Por observacion el angulo 2Ө1=90º; Ө=45ºEl eje x1 esta orientado a 45º, en el sentido horario, respecto al eje x, fig c.Como E tiene coordenadas positivas, luego σprom, τmax en el plano actuan en las direccionesx1,t1 positivas, respectivamente



La carga de torsion T produce un estado de esfuerzos en el eje, según fig 9-19a.Trazar elCirculo de Mohr esfuerzo plano

Ө=0º F,A(0 -τ)

2Өp1 σ2=τT D P=C B σ+ x

T σ2 σ1 45º τ σ1= τ

E x1Punto x τ+ R=τFig a fig b fig c

σ,τ=Eje coordenadasσ+

SOLUCION τ+Tomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro C

σ x=0 σ y=0 τ xy= - T

σ prom=(σx + σy)/2= 0

ESFUERZOSEn este caso el puntoA representa un punto de esfuerzo normal, promedio y un esfuerzo cortante maximo en el plano, fig b, luego

τmax en el plano= - τσ prom=0

Los esfuerzos principales se identifican con los puntos B y D del circulo, medidos a partir delEje coordenadas

σ1 = τσ2 = -τ

El angulo ce CA a CB, en sentido horario es 2Өp1=90º, luego Ө=45º. Este angulo en sentidohorario define la direccion de σ1 (o del eje x1). Los resultados se muestran en la fig c

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Los ejes σ,τ se establecen en la fig b. El centro del circulo C esta en el eje σ a una distancia:

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Debido a las cargas aplicadas, el elemento en el punto Z del cilindro macizo en la fig a,estasometido al esfuerzo que se ilustra. Determinar los esfuerzos principales que actuan en A

12Ө=0º F x1

T A σ2=14.5kM Z 6 R 22.5º

P 2Өp2 C B x τ D 6 6 σ+ σ1=2.49k

12k lb/pulg2= σ τ+

τ=6k lb/pulg2 A(-12,6) E fig c σ2 σ1

Fig a.-Detalle punto z fig b σ,τ=Eje coordenadasσ+

SOLUCION τ+Construccion del circuloTomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro C

σ x=12k σ y=0 τ xy= - 6k

σ prom=(σx + σy)/2= -6k lb/pulg2Desde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(-12, -6). El eje de coordenadas se ubica en funcion de A

Esfuerzos principalesLos esfuerzos principales se determinan con las coordenadas de los puntos B y D del circulo,

σ1 = 8.49-6= 2.49k lb/pulg2 Respσ2 = -6 - 8.19= - 14.5k lb/pulg2 Resp

Se puede determinar la orientacion del elemento calculando el angulo 2Өp2 sentido antihorario ver fig b, que tiene la direccion Өp2 de σ2 y su plano principal asociado, luego

2Өp2= arctan 6/(-6)= 45ºӨp2= 22.5º

El elemento esta orientado de tal manera que el eje x1 o σ2 esta a 22.5º sentido antihorario, respecto eje x, según fig c



El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento, fig aDeterminar los esfuerzos cortantes maximos en el plano y la orientacion del elemento

90M Pa60M pa σprom

F x120M Pa τ=81.4

21.3º 20 35 C B xD 60 R σ+ σ=35

fig a A 2Өs1 81.4 M PaA(-20M,-60M) Ө=0ºA(Horiz, Vert) E(35,81.4) fig c

τ + σ1σ,τ=Eje coordenadas

fig b σ+SOLUCION τ+Construccion del circulo



El radiode giro R=CA=RAIZ(6²+ 6²)=8.49lb/pulg2, ver fig b

medidos a partir del eje de coordenadas σ , τ cuando σ1 >σ2


Tomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro Cσ x= -20M Pa σ y=90M Pa τ xy= 60M Pa

σ prom=(σx + σy)/2= 35M PaDesde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(-20, 60). El eje se ubica considerando A

Esfuerzo maximo en el planoEl esfuerzo cortante maximo y el esfuerzo normal promedio en el plano, se identifican con el punto E,F en el circulo. En particular las coordenadas dfel punto F(35,81.4) dan como resultado

τmax en el plano= 81.4M Pa Respσ prom=35M Pa Resp

El angulo Өs1 antihorario se puede determinar a partir del circulo, se identifica: 2Өs1= arctang(55/60)=42.5ºӨs1= 21.3º

El angulo es antihorario define la direccion del eje x1, figc. Como el punto E tiene coordenadas positivas, el esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante maximo en el plano actuan, ambos en las direcciones positivas de x1, y1 como se indican



El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento, fig a. Representar este estado de esfuerzo sobre un elemento orientAdo a 30º en sentido antihorario, de la posicionque se muestra


El radio de giro R=CA=RAIZ(60²+ 55²)=81.4MM Pa, ver fig b


B12k lb/pulg2

Dτ=6k lb/pulg2 . 8 2 E

Ө=0º y1 x18k lb/pulg2 A σ=8.2 y1

R 120º Q 30º 6 C B x

τx1y1 8 2 60º xfig a P 81.4 M Pa σ=12.2

X1 σx1 fig c τ + σ1

A σ,τ=Eje coordenadasfig b

D Ф=30.96º 60ºФ1=29.04º

R=11.66 P

SOLUCION τ+Construccion del circuloTomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro C

σ x= -8k lb/pul2 σ y=12k lb/pulg2 τ xy= -6k lb/pulg2

σ prom=(σx + σy)/2= 2k lb/pulg2Desde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(-8, -6). El eje de coordenadas se ubica en funcion de A, dist σx

Esfuerzos sobre el elemento a 30ºComo se debe girar el elemento a 30º en sentido antihorario, se debe trazar un radio CP=2*30=60º en sentido antihorario a partir de CA(Ө=0º) fig b. Ahora se debe obtener las

Ф=arctan(6/10)=30.96º Ф1=60-30.96=29.04ºσx1=2-11.66*cos29.04º= -8.20k lb/pulg2 Respτx1 y1=11.66*sen29.04º=5.66k lb/pulg2 Resp

Estos 2 componentes de esfuerzo actuan sobre la cara BD del elemento ver fig c, porque eleje x1 para esta cara esta orientado a 30º del eje x, se sentido antihorarioLos componentes se esfuerzo actuan sobre la cara DE adjunta del elemento, que esta a 60º del eje positivo X en sentido horario, fig c, se representan por las coordenadas del punto Q delcirculo. Este punto esta en el radio CQ, que esta a 180º de CP Las coordenadas del punto Q son

σx1= 2+11.66*cos29.04º=12.2k lb/lug2


σ+ 5.66

Los ejes σ,τ se establecen en la fig b. El centro del circulo C esta en el eje σ a una distancia:Medido a partir del eje τ

El radiode giro R=CA=RAIZ(10²+ 6²)=11.66k lb/pulg2, ver fig b

coordenadas del punto P(σx1 ,τx1 y1). De acuerdo con la geometria del circulo

τx1y1= -(11.66*sen29.04)= -5.66k lb/pulg2Observese que en este caso τx1y1 actua en la direccion de -y

9.5.-Esfuerzos en ejes , debido a carga axial y a torsion, cuando eje es circular

Siempre que el material permanezca linealmente elastico y solo se someta a pequeñas deformaciones, se puede usar el principio de superposicion para obtener el esfuerzo resultante en el eje, debido a las 2 cargas, usando el circulo de Mohr


Se aplican una fuerza axial de 900N y un par de torsion de 2.50N-m al eje que muestra la fig a,Si el diametro del eje es de 40mm, calcular los esfuerzos principales en un punto P de su superficie 716.2

900 N 900 N

M P 2.5 N-m198.9

2.5 N-mEmpotrado

900NFig a Fig b.-DCL Fig c

SOLUCIONCargas internas, ver fig bComponentes de esfuerzo, los esfuerzos prucidos en el punto Pc=diam/2=40/2=20mm Reemplazando valoresJ=π/2*r^4 τ=Tc/J=2.5*0.02/3.14*0.5*0.02^4=198.9k Par=0.02m σ=P/A=900/(3.14*0.02²)=716.2k Pa

Esfuerzos principalesSe determinara mediante el Circulo de Mohr, fig d

. 8 2 767.72

51.614.5º

D 2Өp2 C B198.9 R σ+ Ө=0º A 81.4

Fig e σx1 τ + σ1

Construccion del circuloTomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro C

σ x= 0 σ y=716.2k Pa τ xy= 198.9k Pa

σ prom=(σx + σy)/2= 358.1k PaDesde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(0, 198.9). El eje de coordenadas se ubica en funcion de A, dist σx

Los esfuerzos principales se representan con los puntos B y Dσ1=358.1+409.7=767.8k Pa Respσ2=358.1-409.7= - 51.6k Pa Resp

El angulo 2Өp2, en sentido horario, se puede determinar en el circulo, 2Ө=29.1º. El elementoesta orientado de tal manera que el eje x1 o σ2 como Өp1=14.5º con el eje x, en sentido horario ver fig e


9.6.-Variaciones de esfuerzos a traves de una viga primatica


A=π*r²=

σx=0, el eje τ se ubica en el punto A


El radiode giro R=CA=RAIZ(358.1²+ 198.9²)=409.7k Pa, ver fig b


La viga de la figa, esta sometida a la carga distribuida w=120k N/m. Determinar los esfuerzosprincipales en ella, en el punto P en la parte superior del alma. Desprecie el tamaño de los chaflanes y las concentraciones de esfuerzo en ese punto I=67.4x10^-4m4

wP 15 175

. 10 200 10.75. 0.3 P N A N ARi=w 2m 15

fig aF=0.3w=36k 175

fig bP

V M 35.2k Pa120k 0.3 m 45.4k Pa

fig b

SOLUCION fig cCargas internasRi=wL/2=120k*2/2=120kF=0.3*120k=36kVp=120k-F=120-36=84k NMp=120k*0.3-36k*0.15=30.6k N-mComponentes de esfuerzo, en el punto Py=0.10m Reemplazando valoresI=67.4*10^(-6) m4 σ= - M*y/It=0.01m σ= - 45.4M PaQ=y1*Ai=0.01075*(0.175*0.015) τ= VQ/(I*t)

τ= 35.2M Pa

Esfuerzos principalesSe determinara mediante el Circulo de Mohr, en el punto P fig d

19.2MӨ=0º 45.4 A x1

35.2 R 64.6M 28.6º xD 2Өp2 C B

R 22.7 σ+(M Pa)

Fig eσ2 σ1

Fig d τ +(M Pa)

Construccion del circuloTomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro C

σ x= -45.4M σ y=0 τ xy= 35.2M

σ prom=(σx + σy)/2= -22.7MDesde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(-45.4, 0). El eje de coordenadas se ubica en funcion de A, dist σx

Los esfuerzos principales se representan con los puntos B y Dσ1=41.9-22.7=19.2M Pa Respσ2= -(22.7+41.9)= - 64.6M Pa Resp

El angulo es antihorario 2Өp1=57.2º, luego Өp1=28.6º

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFacultad de Arquitectura e Ingenieria CivilAsignatura: RESISTENCIA DE MATERIALES IProfesor: Ing C.E. Zapatel S,CICLO 2008 II Aug-089.7.-Esfuerzo cortante maximo absoluto

1.-El estado general de esfuerzo tridimensional en un punto se puede representarpor un elemento orientado de tal manera que solo actuen sobre el 3 esfuerzos principales


σx=0, el eje τ se ubica en el punto A


El radiode giro R=CA=RAIZ(35.2²+ 22.7²)=41.9M Pa, ver fig b

Puntos importantes(Ref hibbeler pag 495).-

2.-A partir de esto, se puede obtener la orientacion del elemento que represente el esfuerzo cortante maximo absoluto, girando 45º al elemento respecto al eje que define la direccion de σint3.-Si los esfuerzos principales en el plano tienen ambos el mismo signo, el Esf Cort Max absol

4.-Si los esfuerzos principales en el plano tienen signos contrarios, el esfuerzo cortante Maxabsoluto es igual al esfuerzo cortante maximo en el plano, esto es, τmaz(min)=(σmax-σmin)/2

Nota.-Es muy importante el calculo del esfuerzo cortante maximo absoluto, al diseñar miembroshechos de materiales ductiles, porque la resistencia del material depende de su capacidad para resistir el esfuerzo cortante

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Debido a la carga aplicada, el elemento en el punto indicado en la fig a, esta sometido al estado de esfuerzo plano que se muestra. Determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante maximo absoluto en el punto

P140 lb/pulg2

P220 lb/pulg2

A

fig a

Ө=0º 10 10 31.2 A

40 R x1(σmin,0) D 2Өp2 C B(σmax,0) 51.2 38.0º x

R 10 σ+

Fig cFig b τ +

estara hacia afuera del plano y tiene un valor de τmaz(min)= σmax/2


SOLUCIONConstruccion del circuloTomando como referencia el Circulo de la fig 9-17a, se tiene la fig a, donde eje σ,τ centro C

σ x= -20 σ y=0 τ xy= 40

σ prom=(σx + σy)/2= -10 lb/pulg2Desde la cara derecha del elemento, fig a, el punto de referencia para Ө=0º, tiene las coordenadas A(σx,τxy)=A(-20, 40). El eje de coordenadas se ubica en funcion de A, dist σx

Los esfuerzos principales se representan con los puntos B y Dσmax=41.2-10=31.2 lb/pulg2 Respσmin=-41.2-10= -51.2 lb/pulg3 Respσint= 0, porque σz=0

El angulo 2Өp2, en sentido antihorario, se puede determinar en el circulo, 2Ө=tan(40/20)=76º. El elemento esta orientado de tal manera que el eje x1 o σ2 como Өp1=38.0º en sentido antihorario ver fig cEsfuerzo cortante maximo absolutoSegún las ecuaciones 9-13, ec 9-14 τ max/min=(σmax-σmin)/2= 41.2 lb/pulg2

Estos mismos resultados tambien se pueden obtener trazando el circulo de Morh para cada orientacion de un elemento, respecto a los ejes x1,y1,z1 fig d.Como σmax, σmin tienen signod opuestos, entonces el cortante maximo absoluto es igual al esfuerzo cortante maximo en el plano. Esto se debe a una rotacion de 45º del elemento de la fig c en torno al eje z1, por lo que el elemento final se indica fig e

t x1A 10

τ2 y1 83º τ1 76 τ3 σ+ x τ1 τ3 14.5º

10 τ2 41.2τmaxabs 41.2

τ + Fig c

EJEMPLO 11-5(Ref Popov pag 488,496)Dado el esfuerzo mostrado en la fig,(a) transformelo en los esfuerzos principales (b)los esfuerzos cortantes maximos y los esfuerzos normales asociados. Analice como un elementoen el espacio

σx=-2M4M Pa σy= +4M

4M Pa=t σz= 02M Pa txy=+4M


El radiode giro R=CA=RAIZ(40²+ 10²)=41.2 lb/pulg2, ver fig b

σ prom=(σmax+σmin)/2= -10lb/pulg2

0fig a

C

1M 2M2M F (1,5)

t1=5 R=3 t2=3t3 σ+

t3=2 C B(6,0)R=5 t2=3

t1=5A

4 6σ3 σ1

Solucion(C. Zapatel)Los esfuerzos dados no son los esfuerzos principales, por lo cual el proceso es:1.-Centro del Circulo sobre el Eje σxprom=(-2+4)/2= +1M Pa, la ordenada t esta a la izq2.-Origen de los planos en la cara derecha, A(-2, -4)3.-Radio del circulo , R= RAIZ(2^2+4^2)=5MRecta AB localiza plano principal para σ1=6M. El angulo θ=Arc tan4/8=26.34º4.-Del grafico se determinan σmax=σ1=6M, σmin=σ3=4M, tmax=Radio=5M5.-Trazo de los circulos restantes, a partir de σ1=6M, σ2=0, σ3= -4MNOTA.-SE DEBE CUMPLIR QUE σ1>σ2>σ3; EN VALOR ALGEBRAICO6.-Determinacion de los centros de los circulos, a partir de σ1, σ2, σ3

σ promedio(σ1+σ2)/2= 0.5(6+0)=3(σ1+σ3)/2= 0.5*(6-4)=1(σ2+σ3)/2= 0.5(0-4)=-2

Dibujo del resto de circulos, Radios = tDeterminacion de τ, los valores absolutos son:τ1= (σ2-σ3)/2=0.5*(0--4)=2τ2= (σ1-σ3)/2=0.5(6--4)=5τ3= (σ1-σ2)/2=0.5(6-0)=3 t

F(1,5)

1M PaE(-4,0) D C B(6,0)

tmax= 5M Pa 26.34º σ1M

1M Pa45º

A(-2,-4 G(1,5)4M Pa

6M Pa

NOTA.- SI LOS ESFUERZOS DADOS FUESEN PARA UN PROBLEMA DE DEFORMACION PLANA, EL ESFUERZO PRINCIPAL MEDIO, EN VEZ DE SER CERO, de la ec 11-5 es σz=v(σx+σy)=σ2=v(6-4)=2vdonde v es la relacion de Poisson

EJEMPLO 11-6(Ref Popov pag 497)Para el esfuerzo plano mostrado en la fig, dibujo los 3 circulos principales de Mhor y determine el estado de esfuerzo para cortante maximo

σ1=10M Pa6M Pa σ2= 6M

σ3= 010M Pa No existe cortante

t C C

Medido a partir del eje τ

Son esfuerzos principales

0fig a

C C 3M 2M 3M

D (5,5)

t1=5 t2=2t3 σ+

t3=3 C A(10,0)t2=2

t1=5 45ºPlano de cortante A E(5,5)

σ2=6σ1=10

10M Pa

5M Pa

5M Pa

45º

Solucion(C. Zapatel)NOTA.-SE DEBE CUMPLIR QUE σ1>σ2>σ3; EN VALOR ALGEBRAICO6.-Determinacion de los centros de los circulos, a partir de σ1, σ2, σ3

σ promedio(σ1+σ2)/2= 0.5(10+6)=8(σ1+σ3)/2= 0.5*(10+0)=5(σ2+σ3)/2= 0.5(6+0)= 3

Dibujo del resto de circulos, Radios = tDeterminacion de τ, los valores absolutos son:τ1= (σ2-σ3)/2=0.5*(6-0)=3τ2= (σ1-σ3)/2=0.5(10-0)=5τ3= (σ1-σ2)/2=0.5(10-6)=2

este tipo de problema ocurre en el analisis de recipientes a presion donde es importante advertir que pueden surgir esfuerzos cortantes

t C

Medido a partir del eje τ

II.- SOLUCION ANALITICAAnaliticamente se obtienen aplicando las formulas de la ec 26, ec 25, ec 24σ' = -400*cos²30-800*sen²30º= -500 kgf/cm2, τ' =0.5*(-400+800)*sen60º=173 kg/cm2 -ec 26σ" = 200*cos²60-800*sen²60º= -550 kgf/cm2, τ" =0.5*(200+800)*sen120º=433 kg/cm2-ec 25σ"'= 200*cos²30-400*sen²30º= 50 kgf/cm2, τ"'=0.5*(200+400)*sen60º=260 kg/cm2-ec 24

σo= 1/3(σ1+σ2+σ3)=1/3(200-400-800)= -333 kg/cm2

Por las formulas ec 29, las deformaciones lineales principalesε1=1/E*(σ1-μ(σ2+σ3))= (100/2*10^6)*(2+0.3*1.2)=2.8*10^-4ε2=1/E*(σ2-μ(σ3+σ1))=(100/2*10^6)*(-4+0.3*6)= - 1.1*10^-4ε3=1/E*(σ3-μ(σ1+σ2))= (100/2*10^6*)( -8+0.3*2)= -3.7*10^-4Por las formulas ec 30, la variacion unitaria del volumen∆V/V=ε1+ε2+ε3=(1-2μ/E)*(σ1+σ2+σ3)= 10^-4*(2.8-1.1-3.7)

Determinacion de las tensiones octaedricas, de las formulas ec 28

τo=1/3*RAIZ( (σ1-σ2)²+(σ2-σ3)² +(σ3-σ1)²)=1/3*RAIZ( (200+400)²+(-400+800)² +(-800-200)²)τo=354 kg/cm2po=RAIZ(σ²1+σ²2+σ²3)=RAIZ(200²+400²+800²)=529 kgf/cm2

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFacultad de Arquitectura e Ingenieria CivilAsignatura: RESISTENCIA DE MATERIALES IProfesor: Ing C.E. Zapatel S, Jul-08

Ref: Miroliubov y otros "Problemasde Resistencia de materiales" Edi Mir-MoscuVII.- MOMENTO TORSOR(Ref Rusos pag 81)1.0.-Momento TorsorSe obtiene por el metodo de las secciones, el Valor del Mto Torsor Mt, en una seccion es igual a la suma algebraica de los mometos de los pares de fuerzas exteriores (concentrados M

y distribuidos en direccion longitudinal de intensidad m) que actuan respecto al eje geometricode la barra a un lado de la seccion en cuestion

Mt=∑M+∑§mdx ec 80

La integracion se lleva a cabo sobre cada tramo donde actua un momento distribuido y la suma, sobre todos los tramos, situados a un lado de la seccion que se analizaEl Mto Torsor, visto desde la normal exterior a la seccion se considerara, convencionalmente,positivo si gira en sentido OPUESTO al de las manecillas del relojEntre el momento Mt del par de fuerzas en kgf*cm, el numero de revoluciones por minuto, n y la potencia N existe la formulaPara la potencia esta dada en caballos de vapor

M=71620*N/n ec 81,aPara la potencia esta dada en kilovatios

M=97360*N/n ec 81,aM(N*m)w=velocidad angular de rotacion N=potencia vatios

M=N/w ec 81,c

Puesto que el momento de giro es proporcional a la potencia, en caso de arboles se dibuja las potencias de las maquinas

Ejemplo 18(Miroliubov pag 82).-Dado M (fig 40), construir Mt

m1=M/2a M m=2m1m=0

a a a/2 2a

Mt2=M/2 Mt3

M4

M/2 M/2

M/2

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFacultad de Arquitectura e Ingenieria CivilAsignatura: RESISTENCIA DE MATERIALES IProfesor: Ing C.E. Zapatel S, Jul-08Mt4=-M/2+0.5*2m1*2a=-M/2+2a(M/2a)= -M/2+M=M/2


2.0.-TENSIONES TANGENCIALES, ANGULO DE TORSION Y ENERGIA POTENCIAL DE LADEFORMACION ELASTICA

Caso de un barra cilindrica de seccion transversal circular, de diametro d=2R, las tensiones tangenciales t en un punto arbitrario de la s.t., situado a una distancia p del centro, se calcularapor la formula

t=Mt*p/Ip ec 82

Ip=πR^4/2=πd^4/32=0.1*d^4=Momento polar de Inercia de la seccion circularLas tensiones maximas en los puntos mas alejados del centro valen

tmax= Mt/Wp ec 83

En el caso de barras de seccion transversal no circular las tensiones tangencialles maximas se obtienen

tmax= Mt/Wp ec 84

Wt=Modulo de la seccion en la torsion cuyo valor, para las secciones de diversa configuracion,figura en los correspondientes manuales y en los textos de resistencia de materiales

constante, se determina por la formula de la ley de Hooke

ec 85

It=Mto de inercia de la seccion transversal de la barra de torsion, que en el caso de una seccion transversal circular es igual a Ip en otras secciones ver manuales

Si la barra tiene varios tramos en los que Mt varia según una u otra ley, entonces el angulo completo de torsion(angulo de giro mutuo de las secciones extremas de la barra) se encuentra:

ec 86

La integracion se realiza sobre la longitud de cada tramo y la suma, sobre todos los tramos dela barraEn los arboles conviene medir los angulos de torsion desde la seccion donde se encuentra la polea motriz del arbol hacia los 2 lados

La formula general para la determinacion de la energia potencial de la deformacion elastica acumulada en la barra durante la torsion es

ec 87

La integracion y la suma se realizan aquí igual que al determinar el angulo de torsion

Ejemplo 18(Miroliubov pag 84).-Dado M,a,d y G(fig 41) construir los diagramas de Mt, φcalcular tmax I,II y U

Wp=Ip/R=πR³/16=0.2 d³, el modulo polar de la resistencia de la seccion circular

El angulo de torsion φ en el tramo de longitud L en el que el momento torsor Mt permanece

φ= Mt*L/(G*It)

φ= ∑§Mt*dx/(G*It)

U=∑§M²t*dx/(2G*It)


m=2M/a 2MM

a2a

I I I

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