73

Como el tiempo que tarda en recorrerlo

es 2 - v

2

v3

+ resulta

2 - v

2

v3

+ = 1.

A cada una de las expresiones

2 - v2

y v3

las llamaremos

fracciones algebraicas.

Fracciones Algebraicas

Liliana camina todas las maanas 5Km en una hora. Los primeros 3Km los recorre a una velocidad constante v pero, ya cansada, recorre los ltimos 2 Km a una velocidad de v-2 Km por hora. Con qu velocidad camina en cada tramo?

Recordemos que, en esta situacin, el espacio recorrido se relaciona con la velocidad y el tiempo por la frmula: e = v.t

Espacio recorrido

Velocidad con que

recorre el tramo

Tiempo que tarda en

recorrerlo

Primer tramo

3 v v3

Segundo tramo

2 v - 2 2 - v

2

DEFINICIN Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) Op(x) llamaremos fraccin algebraica a toda

expresin de la forma Q(x)P(x)

.

La indeterminada x podr tomar aqu cualquier valor real siempre que dicho valor no anule al denominador.

EJEMPLOS

a) 2 x1 2x

2

3

++

b) 3 x ; 3 -x

x-

Como puedes observar toda expresin algebraica racional puede expresarse como cociente de polinomios.

74

EJEMPLO

1) -(x ; 1) -(x ) 1 -(x

; 1) -(x x

x 2x - x 223 +

x 0 ; x 1

A las fracciones ba

y r . b.r a

las

llamamos fracciones equivalentes.

Ejs: 2515

;106

; 53

son fracciones

equivalentes.

EJEMPLO Si x 0

2 x3 x

2x x x3 x

23

2

++

=++

Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones algebraicas y nmeros fraccionarios.

Recordemos que: si a, b y r son nmeros reales b 0 y r 0 entonces:

ba

r . b.r a

=

En este caso decamos que habamos simplificado los factores comunes de la fraccin.

Simplificacin de fracciones algebraicas

DEFINICIN

Dada la fraccin algebraica Q(x)P(x)

; Q(x) Op(x).

Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales que: P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) Op(x). Luego se verifica que:

N(x)M(x)

N(x).d(x)M(x).d(x)

Q(x)P(x)

==

En este caso diremos que N(x)M(x)

es una simplificacin de

la fraccin algebraica Q(x)P(x)

DEFINICIN

Dos fracciones algebraicas Q(x)P(x)

y N(x)M(x)

son equivalentes si una de ellas es la simplificacin de la otra.

75

EJEMPLO

Dadas las fracciones:1 -x 1 x

; x

3x 22

++; x0; x1

Para escribirlas con igual denominador buscamos fracciones equivalentes a las dadas con esa propiedad

23

24

2

222

23

2

22

x- x x x

x1) -(x x) 1 (x

1 -x 1 x

x- x3 -2x x

1) -(x x

1) -(x 3) (x

x) 3 (x

+=

+=

+

+=

+=

+

x 0 ; x 1

OBSERVACIN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fraccin

equivalente a Q(x)P(x)

multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio

H(x) Op(x). Me parece que son las mismas operaciones de nmeros reales aplicadas a polinomios.

S, deberamos repasar el mdulo I

Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numricas y algebraicas.

Recordemos: Si a, b, c y d son nmeros reales, b 0,

d 0 y b d ; las fracciones dc

y ba

se

podan reducir a comn denominador considerando dos fracciones equivalentes con igual denominador.

b.da.d

ba

= d.bc.b

dc

=

Reduccin a comn denominador de fracciones algebraicas

DEFINICIN

Dadas las fracciones Q(x)P(x)

y N(x)M(x)

con Q(x) Op(x), N(x) Op(x) Las expresiones:

N(x) Q(x).N(x) P(x).

y N(x).Q(x)M(x).Q(x)

son

fracciones algebraicas equivalentes a las dadas con igual denominador. A Q(x) . N(x) se lo llama denominador comn.

Las fracciones algebraicas dadas fueron reducidas a comn denominador.

76

Suma y resta de fracciones algebraicas

Observacin: Aunque cualquier denominador comn es vlido, las operaciones resultarn ms sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores comunes el de menor grado. A este denominador se lo llama mnimo comn denominador.

Regla prctica para hallar el mnimo comn denominador. Se factorizan los polinomios de los

denominadores. Se multiplican todos los factores

diferentes. Si existen dos factores con la misma base

y distinto exponente es suficiente tomar como factor aquel que tiene mayor exponente.

EJEMPLO Si debemos hallar el mnimo comn denominador de las fracciones algebraicas:

2

2

32 ) 1 -(x x3

; 1) - x ( x

2 -x ;

x1 x +

debemos tener en cuenta los factores x3 y (x 1)2 El mnimo comn denominador es:

x3 (x 1)2

Recordemos: Dadas las fracciones numricas

bc

y ba

qued definida:

bc a

bc

ba

=

Si las fracciones tienen distinto denominador, se deben escribir primero las fracciones con comn denominador y luego operar.

b.dcb a.d

d.bc.b

b.da.d

dc

ba ==

DEFINICIN Para sumar o restar dos o ms fracciones algebraicas se deben reducir todas a denominador comn y luego sumar o restar los polinomios de los numeradores.

Dadas N(x)M(x)

y Q(x)P(x)

;Q(x)Op(x); N(x) Op(x)

Q(x)N(x)M(x)Q(x)P(x)N(x)

N(x).Q(x)M(x).Q(x)

Q(x).N(x)P(x).N(x)

N(x)M(x)

Q(x)P(x)

=

==

EJEMPLO:

4029

40

5 24

8.51.5

5.83.8

81

53

=+

=+=+

EJEMPLO: Sea x 0 y x 1

23

24

2

222

2

x- x3 -2x x2 x

1)-(x x

1) (x x 1)-3)(x(x

1 -x 1x

x

3x

++=

=+++

=+

++