7100852_um

En esta unidad estudiaremos:1. La percepcin del tiempo y el espacio.

2. Descripcin del movimiento. Instante e intervalo de tiempo. Posicin y trayectoria. Desplazamiento y espacio recorrido.

3. Velocidad. El vector velocidad. Clasificacin de los movimientos.

4. Movimiento rectilneo uniforme. Grficas del movimiento rectilneo uniforme. Ecuacin del movimiento rectilneo uniforme. Composicin de movimientos rectilneos y uniformes.

5. Movimiento rectilneo uniformemente variado. Aceleracin. Grficas del movimiento uniformemente variado. Ecuaciones del movimiento uniformemente variado. Estudio de un caso particular: la cada libre.

6. Movimiento circular uniforme. ngulo recorrido. Velocidad lineal y velocidad angular. Grficas y ecuaciones del movimiento circular uniforme.

4 Movimientos rectilneos y circulares. Introduccin a la Cinemtica

Unidad_04.indd 78 28/03/12 14:53

La Cinemtica es la parte de la Fsica que estudia los movimientos, con independencia de la causa que los produce. La descripcin del movimiento se basa en dos magnitudes fundamentales: el espacio y el tiempo.

Ambas se encuentran estrechamente ligadas a nuestra forma de percibir el mundo. El espacio se expresa en trminos de longitud y el tiempo se relaciona con los cambios que observamos continuamente, aunque los conceptos de espacio y tiempo se han ido modificando a lo largo de los siglos.

Los fundamentos de la Cinemtica datan del siglo XVI y, a pesar de los nuevos descu-brimientos que se han venido produciendo desde entonces, mantienen su validez para la gran mayora de los movimientos que ocurren a nuestro alrededor.

La Cinemtica nos proporciona las leyes con las que calculamos la duracin del viaje a partir de la velocidad de este tren y la distancia que debe recorrer.

La percepcin del tiempo y el espacio1

En su obra titulada Introduccin a la ciencia, Isaac Asimov nos habla de una famosa paradoja en la que se relacionan el transcurso del tiempo y la velocidad:

Si los astronautas se trasladaran a la velocidad de la luz cuando abandonasen la Tierra, el transcurso de su tiempo sera mucho ms lento que el del nuestro. Los viajeros del espacio podran alcanzar un destino remoto y regresar al cabo de una semana segn lo entenderan ellos, aunque verdaderamente habran transcurrido muchos siglos sobre la Tierra. Si el tiempo se retarda realmente con el movimiento, una persona podr hacer el viaje de ida y vuelta hasta una estrella distante. Pero, desde luego, deber despedirse para siempre de su pro-pia generacin y del mundo que conoci, pues cuando regrese encontrar un mundo del futuro.

a) En qu consiste la paradoja que se describe en el texto?

b) A qu velocidad deben ir los astronautas para que ocurra la dilatacin del tiempo?

c) Por qu crees que no observamos ese efecto en la vida real?

Reflexiona

Recuerda...

Una magnitud es toda propie-dad que se puede medir. Hay siete magnitudes fundamenta-les, entre las que se encuentran la longitud y el tiempo.

El Sistema Internacional (SI) establece la unidad de medida para cada magnitud, y sus correspondientes mltiplos y submltiplos.

1 La Cinemtica es una rama de la Fsica. Por qu se considera esta, al igual que la Qumi-ca, una ciencia experimental? Puedes nombrar a dos grandes fsicos en la historia de la humanidad, indicando su principal aportacin?

2 Si quisieras cuantificar la velocidad a la que eres capaz de correr, qu magnitudes ten-dras que medir? Cmo la calcularas?

Movimientos rectilneos y circulares. Introduccin a la Cinemtica 79

Unidad_04.indd 79 28/03/12 14:53

Unidad 480

En la vida cotidiana, decimos que un objeto se mueve cuando cambia su posicin con el tiempo. En Cinemtica, al objeto en movimiento se le da el nombre de mvil.

Por lo tanto, para describir el movimiento de un cuerpo necesitamos conocer su posi-cin en cada instante de tiempo con respecto a un punto dado, entendiendo por tal una posicin determinada, que puede ser la que ocupa otro objeto. Pero, cul es ese punto?

Pongamos un ejemplo. Piensa que ests haciendo un viaje en autobs. Ests en reposo o en movimiento? Respecto a la carretera, sin duda ests en movimiento. Sin embargo, te encuentras en reposo respecto al asiento. As pues, la conclusin es que el estado de reposo o movimiento de un objeto es relativo al punto que se tome como referencia.

Instante e intervalo de tiempoEl tiempo (t) es una de las magnitudes que hay que medir para describir un movimien-to. Se trata de una magnitud fundamental del Sistema Internacional, cuya unidad es el segundo (s).

Adems del instante de tiempo valor que marca el aparato de medida en un momento dado, es frecuente utilizar el intervalo de tiempo (t), que es el tiempo transcurrido entre dos instantes determinados, llamados inicial y final, y se obtiene como la diferencia entre sus valores: t = tfinal tinicial

Punto de referencia. La chica que viaja en el autobs est en reposo respecto al punto A (el asiento) y en movimiento respecto al punto B (el rbol).

Descripcin del movimiento2

Recuerda...

La notacin se utiliza para indi-car la diferencia entre dos valores de una magnitud, es decir, su variacin.

La medida del tiempo

Realizar la medida del tiempo con precisin y exactitud ha sido un reto constante para el ser huma-no, que ha desarrollado relojes y cronmetros cada vez ms per-feccionados.

Actualmente, los relojes ms exac-tos que se conocen son los lla-mados relojes atmicos, que se basan en la emisin de radiaciones por parte de algunos tomos.

3 Ana y su amigo Jorge estn dando un paseo en barca. Responde a estas cuestiones:a) Se est moviendo Ana respecto al motor de la barca? Y respecto a Jorge?

b) Estn en reposo o en movimiento respecto a la orilla?

c) Si se paran y echan el ancla, podemos afirmar que se encuentran en reposo, con independencia del punto de referencia que se tome?

4 Nos encontramos en el interior de un tren esperando a que comience el viaje. Por la ventanilla vemos otro tren, tambin parado. De pronto, observamos que nos movemos respecto al otro tren, pero despus de un tiempo llegamos a la conclusin de que segui-mos parados. Puedes explicar la situacin desde el punto de vista de la Cinemtica?

Un mvil se encuentra en movimiento si cambia su posicin al transcurrir el tiempo con respecto a un punto fijo e invariable que tomamos como referen-cia. Si esa posicin se mantiene constante y no vara con el tiempo, el mvil se halla en reposo.

Unidad_04.indd 80 28/03/12 14:53


Posicin y trayectoriaUna vez elegido el punto de referencia, el estudio del movimiento pasa por determinar la posicin del mvil en cada instante de tiempo, distinguiendo esta de la trayectoria.

Desplazamiento y espacio recorrido son magnitudes diferentes.

La posicin del mvil viene dada por un vector, llamado vector posicin (r), cuyo ori-gen es el punto de referencia y cuyo extremo se sita en el lugar ocupado por el mvil. Si este sigue una lnea recta, para determinar su posicin bastar con indicar su distan-cia al punto de referencia (x), precedida de un signo, cuyo significado se interpreta as:

La posicin es positiva (x 0) si el mvil est a la derecha del punto de referencia.

La posicin es negativa (x < 0) si el mvil se sita a la izquierda del punto de refe-rencia.

La posicin es cero (x = 0) si el mvil est exactamente en el punto de referencia.

Fjate en el siguiente ejemplo:

Desplazamiento y espacio recorridoAunque se usan como sinnimos en la vida cotidiana, estas dos magnitudes son dife-rentes en Cinemtica.

Observa en la figura del margen que el desplazamiento es un vector y el espacio reco-rrido es un escalar. Si la trayectoria es recta, el desplazamiento se designa como x y es positivo cuando el mvil se mueve hacia la derecha y negativo si lo hace hacia la izquierda. Puedes verlo en este otro ejemplo:

Punto de referencia

100 m

x1 = 300 m x2 = 100 m

Punto de referencia

100 m

Espacio recorrido: s = 600 m

Desplazamiento: x = x2 x1 = 400 m 200 m = 200 m

x1 = 200 m x2 = 400 m

x3 = 400 m

Espacio recorrido (s)

Desplazamien

to (r =

r2 r1)

y

x

r1

r2

Magnitudes vectoriales y escalares

En Fsica encontramos dos tipos de magnitudes: las magnitudes escalares (como la masa), para las cuales basta con indicar su valor y la unidad en que se miden, y las magnitudes vectoriales (como la fuerza), para las que, adems, es necesario indicar la direccin y el sentido. En Cinem-tica, son magnitudes vectoriales la posicin, el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin, entre otras.

Los vectores se suelen simbolizar con una letra negrita, r, o con una fecha sobre la letra, r. En este libro utilizamos la primera notacin en el texto y la segunda en las ilustraciones.

Estudiaremos algo ms sobre los vectores en la unidad Las fuer-zas. Presin atmosfrica e hidros-ttica.

Contina practicando estos conceptos con las

actividades 37 a 45 de la pgina 97.

La posicin es el lugar en que se encuentra el mvil respecto al punto tomado como referencia en un instante de tiempo dado. La trayectoria es la lnea que une las posiciones sucesivas por las que pasa el mvil.

El desplazamiento (r) de un mvil en un intervalo de tiempo es la diferencia entre las posiciones que ocupa en el instante final y en el instante inicial. El espacio recorrido (s) es la longitud que recorre medida sobre la trayectoria.

Unidad_04.indd 81 28/03/12 14:53

Unidad 482

La velocidad es una magnitud derivada de gran importancia en Cinemtica. Cuando un objeto se mueve, podemos definir su velocidad media y su velocidad instantnea.

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s), aunque tambin se usa frecuentemente el kilmetro por hora (km/h). Si la trayectoria es una lnea recta, el valor de la velocidad media se calcula con la siguiente frmula:

vm = xt

= x2 x1t2 t1

Como x posee un signo que indica el sentido del movimiento, la velocidad, calculada a partir de l, tiene tambin un signo, que se interpreta de la misma forma: una velo-cidad positiva indica que el mvil se desplaza hacia la derecha con respecto al punto de referencia, y una velocidad negativa, que se mueve hacia la izquierda.

Calcular la velocidad media de un mvil es sencillo si tenemos los datos de desplaza-miento y tiempo. En cambio, el clculo de la velocidad instantnea requiere algunas herramientas matemticas que estudiars en cursos superiores.

Observa y aprende

Un ciclista se desplaza por una carretera recta. Utiliza los datos del dibujo para calcular la velocidad del ciclista en cada intervalo de tiempo.

Considerando los intervalos entre dos instantes de tiempo consecutivos y la frmula para el clculo de la velocidad media, tenemos:

Desde t0 = 0 s hasta t1 = 12 s: v1 =

xt

= x1 x0t1 t0

= 30 m 0 m

12 s 0 s = 2,5 m/s

A medida que transcurre el tiempo, la velocidad del ciclista va aumentando.

10 m

t0 = 0 sx0 = 0 m

t1 = 12 sx1 = 30 m

t2 = 20 sx2 = 70 m

t3 = 25 sx3 = 100 m


xt

= x2 x1t2 t1

= 70 m 30 m

20 s 12 s = 5 m/s


xt

= x3 x2t3 t2

= 100 m 70 m

25 s 20 s = 6 m/s

Velocidad3

Recuerda...

La conversin de unidades de magnitudes derivadas se reali-za mediante los correspondien-tes factores de proporcionalidad, teniendo en cuenta la equivalen-cia entre las unidades de medida. Por ejemplo, si queremos conver-tir 15 m/s a km/h, hacemos:

v = 15 m

s

1 km

1 000 m

3 600 s

1 h = 54 km/h

5 Calcula la velocidad media del ciclista del Observa y aprende en todo el trayecto. Com-parando los clculos realizados, de qu forma obtienes ms informacin sobre el movi-miento? Expresa todos los valores de velocidad calculados en km/h.

La velocidad media (vm) de un mvil se define como el cociente entre el desplazamiento que ha tenido lugar y el intervalo de tiempo empleado para ello. La velocidad instantnea (v) es la velocidad que tiene el mvil en un instante de tiempo dado.

Unidad_04.indd 82 28/03/12 14:53


6 Calcula la velocidad media de estos mviles que se mueven con movimiento rectilneo y asgnale su signo de acuerdo con los datos que se dan:

a) El mvil se ha movido 200 m hacia la izquierda y ha invertido 4 minutos.

b) El mvil se encuentra 10 m a la izquierda del punto de referencia en el instante t = 3 s, y en el instante t = 15 s, 30 m a la derecha de dicho punto.

7 Un coche describe este movimiento:

Calcula el valor del desplazamiento y el espacio recorrido por el coche. Halla el valor de su velocidad media. Se obtiene el mismo resultado si utilizamos el espacio reco-rrido? Justifcalo.

El vector velocidad Como se define a partir del desplazamiento, que es una magnitud vectorial, la velo-cidad se representa tambin mediante un vector. Concretamente, la velocidad ins-tantnea la que lleve el mvil en un instante dado es un vector tangente a la trayectoria cuyo sentido coincide con el del movimiento. Observa la figura:

Cuando la trayectoria es una recta, el vector velocidad mantiene siempre la misma direccin (la de la trayectoria); en cambio, cuando la trayectoria es curva, la direccin del vector velocidad vara segn el instante de tiempo que estemos considerando.

Clasificacin de los movimientosLa variedad de movimientos que podemos encontrar es enorme. Para facilitar su estu-dio, se clasifican atendiendo a dos criterios: su trayectoria y el valor de su velocidad.

Segn su trayectoria Segn su velocidad

Uniformes La velocidad del mvil es constante

VariadosLa velocidad del mvil no es constante

RectilneosLa trayectoria es una lnea recta

Curvilneos La trayectoria no es una lnea recta

AceleradosEl mvil va aumentando su velocidad

Circulares La trayectoria es una circunferencia

Movimientos

RetardadosEl mvil va disminuyendo su velocidad

60 m

x0 = 60 mt0 = 0 s

xf = 180 mtf = 240 s

Lmites de velocidad

Cuando circulamos por una carre-tera en coche, en moto, o con cualquier otro vehculo, debemos adecuar nuestra velocidad a los lmites establecidos por las normas de circulacin. Multitud de seales nos avisan de los lmites mximos permitidos (circulares en color rojo con fondo blanco) o de la veloci-dad aconsejada en determinados tramos, como puede ser una curva peligrosa (circular con fondo azul).



Unidad_04.indd 83 28/03/12 14:53

Unidad 484

8 Tomando como origen el jugador de bolos, elabora una tabla de datos de posicin y tiempo para el movimiento de la bola y calcula su velocidad para los intervalos dados por cada dos instantes de tiempo consecutivos. De qu tipo de movimiento se trata?

9 Un galgo corre en lnea recta por el campo persiguiendo una liebre. Con un rbol como referencia, se han obtenido los siguientes datos de posicin y tiempo:

Realiza los clculos necesarios para averiguar qu tipo de movimiento es.

Como la velocidad no vara, en un movimiento de este tipo el mvil recorre la misma distancia para intervalos de tiempo iguales y su velocidad media tiene siempre el mismo valor, con independencia del intervalo de tiempo seleccionado, coincidiendo adems con la velocidad instantnea.

Si observamos el movimiento de un objeto sobre una cinta transportadora o el de un patinador que se desliza, veremos que ambos poseen caractersticas comunes.

Observa y aprende

Estos datos corresponden al movimiento rectilneo de un transbordador que navega por un ro. Es un movimiento uniforme?

Si el movimiento es uniforme, la velocidad media debe ser siempre la misma. Vamos a realizar algunos clculos para comprobar si es as:

Desde t0 = 0 s hasta t1 = 5 s: v1 = xt =

52,5 m 0 m

5 s 0 s = 10,5 m/s

Desde t1 = 5 s hasta t2 = 15 s: v2 = xt =

157,5 m 52,5 m

15 s 5 s = 10,5 m/s

Los clculos confirman que la velocidad media es la misma en cualquier intervalo de tiem-po. Si consideramos todo el trayecto, veremos que efectivamente es cierto:

Desde t0 = 0 s hasta tf = 50 s: v = xt

= 525 m 0 m

50 s 0 s = 10,5 m/s

El movimiento es rectilneo y uniforme, con una velocidad constante de 10,5 m/s.

Posicin, x (m) 0 52,5 157,5 315 525

Tiempo, t (s) 0 5 15 30 50

Movimiento rectilneo uniforme4Rcords de velocidad

Desde hace ms de 2 000 aos, en que se instauraron los prime-ros juegos olmpicos en la Grecia clsica, los seres humanos com-petimos por establecer las mejo-res marcas en distintas disciplinas deportivas. Es el caso, por ejem-plo, de la carrera de 100 metros lisos, cuyo rcord masculino ha rebajado los 9,7 s (lo cual corres-ponde a una velocidad media aproximada de 10 m/s, es decir, 36 km/h).

x (m) 200 50 0 125 225

t (s) 0 30 40 65 85

Se denomina movimiento rectilneo uniforme (mru) aquel cuya trayectoria es una lnea recta y cuya velocidad es constante.

Unidad_04.indd 84 28/03/12 14:53


10 Construye las grficas posicin-tiempo para los movimientos de las actividades 8 y 9 de la pgina anterior. Interpreta la informacin que proporcionan.

11 Una persona pasea por una avenida rec-ta en la que hay un quiosco de prensa que se toma como referencia. Interpreta esta grfica en sus distintos tramos, que describe los movimientos de la persona.

Grficas del movimiento rectilneo uniformeLos datos de posicin y tiempo de un movimiento rectilneo uniforme pueden represen-tarse sobre una grfica, en la que situamos el tiempo en el eje de abscisas y la posicin en el de ordenadas. El resultado es una lnea recta cuya pendiente es la velocidad del movimiento.

Adems de la grfica posicin-tiempo, tambin podemos representar grficamente la velocidad frente al tiempo. En el movimiento rectilneo uniforme, como la velocidad no vara, se obtiene una lnea recta horizontal.

En el caso de que el mvil haya llevado a cabo distintos movimientos, la grfica posi-cin-tiempo presentar varios tramos perfectamente diferenciados, correspondientes a cada uno de ellos.

La grfica velocidad-tiempo es una lnea horizontal para un mru, pues la velocidad no vara.

Observa y aprende

Juan y Alicia trabajan en la misma oficina. La siguiente grfica describe los movi-mientos realizados por Juan, tomando como punto de referencia la mesa de Alicia. Interpreta el significado de cada tramo.

Tramo A

En el instante inicial, Juan se encuentra a 3 m a la derecha de la mesa de Alicia. Se des-plaza con movimiento uniforme hacia la dere-cha (la grfica es una lnea recta de pendiente positiva). Su velocidad, calculada a partir de la representacin, es:

vA = xt

= 8 m 3 m

10 s 0 s = 0,5 m/s

Tramo B

En este tramo la lnea recta horizontal indica que la posicin no cambia con el tiempo. Juan se encuentra en reposo durante 25 s, a 8 m de Alicia.

Cada tramo nos proporciona informacin sobre los distintos movimientos de Juan.

Grfica posicin-tiempo. La representacin de la posicin frente al tiempo para el mru del transbordador del Observa y aprende de la pgina anterior es una lnea recta, cuya pendiente coincide con su velocidad.

vm = xt = 10,5 m/s

x (m)v (m/s)

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t (s)

t (s)


actividades 52 a 56 de las

pginas 97 y 98.

Unidad_04.indd 85 28/03/12 14:53

Unidad 486

Ecuacin del movimiento rectilneo uniformeComo hemos visto, para un mru la dependencia entre la posicin ocupada por el mvil y el tiempo es lineal, hecho que se pone de manifiesto al obtener la grfica x-t. Esto nos permite expresar esa dependencia mediante una frmula o ecuacin.

El significado de las variables y constantes que aparecen en la ecuacin es el siguiente:

x es la posicin del mvil en un instante de tiempo. Por tanto, t es el instante de tiempo, cuyo valor determina, a travs de la ecuacin, la posicin del mvil.

x0 se corresponde con la posicin inicial del mvil, es decir, su posicin respecto al punto de referencia cuando comenzamos a contar el tiempo (t = 0); v es la veloci-dad del mvil, cuyo valor es constante. Si x0 = 0, el mvil parte del punto de refe-rencia.

La ecuacin de un movimiento dado nos sirve para realizar clculos diversos.

Observa y aprende

Un coche circula a una velocidad constante de 20 m/s por una carretera recta. Cuando comenzamos a medir el tiempo, se encuentra a 1 400 m a la izquierda del punto tomado como referencia.

a) Halla la posicin (x) del coche cuando ha transcurrido un cuarto de hora.

b) Averigua en qu instante de tiempo est a 3 km de distancia del punto de referencia.

En primer lugar, escribimos la ecuacin que corresponde a este movimiento, teniendo en cuenta que la velocidad es constante. Considerando que la posicin inicial del mvil es x0 = 1 400 m, la ecuacin del movimiento queda as:

x = x0 + v t x = 1 400 + 20 t

a) Para calcular la posicin del mvil en un instante determinado, basta con sustituir en la ecuacin. En este caso, para t = 15 minutos = 900 s, tenemos:

x = 1 400 m + 20 m/s 900 s = 16 600 m = 16,6 km

b) Para saber el instante en que el mvil se encontrar en la posicin x = 3 km = 3000 m, sustituimos de nuevo en la ecuacin y despejamos:

3 000 m = 1 400 m + 20 m/s t t = 220 s = 3 min 40 s

La ecuacin del movimiento nos permite realizar clculos de posicin y tiempo, sustituyendo los datos conocidos y despejando.

Impresionante!

En uno de sus vuelos experimen-tales, la NASA consigui que su prototipo supersnico X-43 A, impulsado por motores atmosf-ricos, alcanzara la velocidad de 9,8 mach durante unos 10 segun-dos. Para que te hagas una idea, piensa que 1 mach equivale a la velocidad del sonido, es decir, 340 m/s, lo que significa que el avin alcanz la sorprenden-te velocidad de 3 300 m/s, casi 12 000 km/h.



12 Interpreta las siguientes ecuaciones de movimiento, indicando para cada una la posicin inicial, la velocidad del mvil y el sentido del movimiento:

a) x = 40 + 10 t b) x = 100 + 2 t c) x = 5 3 t

13 La ecuacin que describe el movimiento de un objeto en una cinta transportadora es x = 2 + 0,2 t. Construye una tabla de datos de posicin y tiempo y representa la grfica correspondiente. Qu tipo de movimiento describe el objeto?

La ecuacin de un movimiento rectilneo uniforme, correspondiente a una dependencia lineal entre la posicin y el tiempo, es:

x = x0 + v t

Unidad_04.indd 86 28/03/12 14:53

Composicin de movimientos rectilneos y uniformesImagina que cruzamos un ro en una barca con movimiento rectilneo y uniforme. La posicin en la que alcanzaremos la orilla opuesta depender tanto del punto de partida como de la velocidad de la barca y de la corriente del ro. Observa el dibujo:

Nuestro movimiento, y la trayectoria que describimos, es el resultado de la combinacin de dos movimientos simultneos e independientes: el de avance de la barca y el de la corriente de agua. Por tanto, hablamos de composicin de movimientos.

Para estudiar un movimiento que es composicin de otros dos, debemos considerar los desplazamientos que se dan en dos direcciones (x e y), perpendiculares en este ejem-plo. Cada uno de ellos tiene su propia ecuacin de dependencia respecto al tiempo. As, si la barca avanza a 3 m/s y la corriente la arrastra a 0,5 m/s, tendremos:

Corriente: x = 0,5 t Avance: y = 3 t

Si el ro tiene una anchura de 120 m, entonces hacemos y = 120 y con este dato cal-culamos el tiempo que la barca tardar en alcanzar la orilla opuesta:

t = 120 m

3 m/s = 40 s

En ese tiempo, la corriente habr desplazado a la barca hacia la derecha una distancia:

x = 0,5 m/s 40 s = 20 m

Ambos movimientos son independientes, por lo que los clculos se hacen por separado. Sin embargo, lo que nosotros percibimos es un solo movimiento rectilneo desde la posicin inicial a la posicin final, situada en la orilla opuesta y 20 m hacia la derecha.

La bola lanzada por el jugador de golf describe una trayectoria curvilnea.

y

x

vy = 3 m/s

vx = 0,5 m/s

120 m

El tiro parablico

Otro ejemplo de movimiento compuesto es el lanzamiento de proyectiles, entendiendo por pro-yectil cualquier cuerpo que, una vez impulsado, se mueve bajo la nica accin de la gravedad. En l se combinan el movimiento rec-tilneo (horizontal u oblicuo) del lanzamiento y el vertical de cada del proyectil. El resultado es una trayectoria curvilnea (parbola).

14 Qu entendemos por composicin de movimientos? Por qu utilizamos, en el ejemplo de la barca, dos ecuaciones de movimiento distintas?

15 Repite los clculos del ejemplo anterior suponiendo que la anchura del ro es de 500 m, que la velocidad de la barca es de 22 km/h y que la corriente de agua se desplaza a 5 km/h. Indica en cada paso qu ests obteniendo e interpreta la situacin.

16 Un windsurfista se adentra en el mar sobre su tabla. Cuando se encuentra algo alejado de la orilla, observa que se ha desplazado hacia la izquierda con respecto al punto en que comenz a navegar. Qu explicacin fsica puedes dar a esta situacin?

17 Indica si las siguientes afirmaciones relativas a los movimientos rectilneos y uniformes son ciertas o no. Justifica tus respuestas.

a) La posicin en un mru es cero cuando el tiempo es cero.

b) La composicin de movimientos rectilneos uniformes da como resultado otro movimiento diferente de los que intervienen.

c) En un mru, el mvil siempre se desplaza la misma distancia en el mismo tiempo.


Unidad_04.indd 87 28/03/12 14:53

Unidad 488

Un cuerpo que cae o un vehculo que frena son ejemplos cotidianos de movimientos cuya velocidad no es constante. Entre los movimientos variados, son especialmente importantes los que presentan una variacin lineal de la velocidad.

AceleracinPara estudiar los movimientos variados, es necesario introducir una nueva magnitud, que cuantifica la variacin de la velocidad respecto al tiempo: la aceleracin.

La unidad de aceleracin en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cua-drado (m/s2), pues se obtiene dividiendo velocidad (en m/s) y tiempo (en s). Aunque la aceleracin es tambin un vector, como estamos considerando movimientos rectil-neos podemos trabajar solo con su valor, es decir:

am = vt

= v2 v1t2 t1

A partir de la frmula vemos que, si la velocidad aumenta, v ser positivo, por lo que tambin la aceleracin ser positiva; pero si la velocidad disminuye, v ser negativo y, en consecuencia, la aceleracin ser negativa. Cuando la aceleracin del mvil es constante, el movimiento es uniformemente variado, pues entonces la velocidad vara de forma lineal respecto al tiempo. No obstante, podemos distinguir entre dos casos particulares:

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado (mrua), en el cual la acelera-cin es constante y positiva. El mvil va aumentando su velocidad progresivamente, como ocurre en el caso de la cada de los cuerpos.

Movimiento rectilneo uniformemente retardado (mrur), para el que la acele-racin es constante y negativa. Un ejemplo es el frenado de un cuerpo que se desli-za a causa del rozamiento, disminuyendo su velocidad gradualmente.

A medida que desciende por la pendiente, el esquiador va aumentando su velocidad. Se trata de un movimiento uniformemente acelerado.

Movimiento rectilneo uniformemente variado5

18 Contesta brevemente a estas cuestiones:a) En qu se diferencian el movimiento uniforme y el uniformemente variado?

b) Qu aceleracin tiene un mvil que se desplaza con mru?

c) Qu significado tiene el signo de la aceleracin? Y el de la velocidad?

19 Calcula la aceleracin de un coche sabiendo que en el instante t1 = 30 s su velocidad es v1 = 12 m/s, y que en el instante t2 = 38 s su velocidad es v2 = 18 m/s.

20 Seala el error de estos enunciados y vuelve a escribirlos de forma que sean correctos:a) La aceleracin es el cociente del espacio recorrido y el tiempo empleado.

b) La velocidad de un mru es cero.

c) La aceleracin de un mrua es cero.

Un movimiento rectilneo uniformemente variado (mruv) es aquel cuya trayectoria es una lnea recta y cuya velocidad aumenta o disminuye de for-ma lineal con el tiempo.

La aceleracin media (am) de un mvil se define como el cociente entre la variacin de velocidad experimentada por el mvil y el intervalo de tiempo invertido en esa variacin.

Unidad_04.indd 88 28/03/12 14:53


Grficas del movimiento uniformemente variadoAl igual que en el movimiento rectilneo uniforme, al representar grficamente los valores de posicin o de velocidad del mvil para diferentes instantes de tiempo, se obtienen grficas caractersticas del movimiento variado.

Cuando representamos las posiciones ocupadas por el mvil en los distintos instantes de tiempo para un movimiento rectilneo uniformemente variado, obtenemos parbo-las como estas:

En estas grficas, el punto de corte con el eje de ordenadas es el valor de la posicin inicial (x0) y el punto de corte con el eje de abscisas representa el instante en que el mvil pasa por el punto de referencia.

Analizando ambas grficas, vemos que en el primer caso la pendiente de la grfica, que nos da la velocidad del mvil en cada instante, va aumentando progresivamente: se trata de un movimiento acelerado. En la segunda grfica, la pendiente o, lo que es lo mismo, la velocidad del mvil, va disminuyendo, como corresponde a un movimiento retardado.

Por otra parte, si representamos la grfica velocidad-tiempo, el resultado es una lnea recta cuya pendiente es, precisamente, la aceleracin. Son las grficas que ves al margen, correspondientes a un mrua (arriba) y a un mrur (abajo), respectivamente.

En la grfica de velocidad, los puntos de corte con los ejes tambin poseen significado fsico. As, el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es la velocidad inicial, es decir, la velocidad del mvil cuando comenzamos a medir el tiempo (t = 0). El punto de corte con el eje de abscisas, si existe, es el instante en que la velocidad del mvil es cero.

A intervalos de tiempo iguales, el desplazamiento es cada vez mayor. El mvil va aumentando su velocidad: es un movimiento acelerado.

A intervalos de tiempo iguales, el desplazamiento es cada vez menor. El mvil va disminuyendo su velocidad: es un movimiento retardado.

La grfica de velocidad-tiempo en un mruv es una lnea recta, ascendente si el movimiento es acelerado o descen-dente si es retardado. La pendiente de la grfica proporciona el valor de la aceleracin.


actividades 62 a 65 de las

pginas 98 y 99.

21 Tenemos los siguientes datos de posicin y tiempo para un mvil:

a) Representa la grfica x-t para este movimiento.

b) Qu tipo de movimiento es? En qu te basas para responder?

c) Halla, a partir de la grfica, la posicin inicial del mvil y el instante en el que pasa por el punto de referencia.

22 Un mvil parte del reposo e incrementa su velocidad en 0,53 m/s cada 4 s.a) Qu tipo de movimiento tiene el mvil? Cunto vale su aceleracin?

b) Elabora una tabla, tomando los valores de tiempo adecuados, y construye la grfi-ca velocidad-tiempo para este movimiento. Confirma la grfica tus respuestas del apartado anterior?

Posicin (m) 2 4 18 28 40

Tiempo (s) 0 2 4 5 6

Unidad_04.indd 89 28/03/12 14:53

Unidad 490

Ecuaciones del movimiento uniformemente variadoLa grfica velocidad-tiempo de un movimiento uniformemente variado pone de mani-fiesto una dependencia lineal de la velocidad respecto al tiempo, pues se obtiene una recta cuya pendiente es la aceleracin. Por otra parte, la grfica posicin-tiempo indica que la posicin es una funcin cuadrtica del tiempo, ya que la curva obtenida es una rama de parbola. De esas representaciones pueden deducirse las ecuaciones del movimiento rectilneo uniformemente variado.

En estas ecuaciones, x0 y v0 son, respectivamente, la posicin y la velocidad iniciales del mvil, es decir, en el instante t = 0. La aceleracin, a, es constante. Si despejamos t de la ecuacin de la velocidad y lo sustituimos en la ecuacin de la posicin, obtenemos una tercera ecuacin, que relaciona directamente la posicin y la velocidad:

v2 = v20 + 2 a (x x0)

Combinando las ecuaciones anteriores es posible realizar clculos diversos. En estos clculos es muy importante considerar el signo correcto para la aceleracin: positiva o negativa, segn sea un movimiento acelerado o retardado, respectivamente.

Observa y aprende

Un mvil parte del reposo en lnea recta a 30 m a la izquierda del punto de refe-rencia con una aceleracin constante de 5 m/s2. Halla su velocidad cuando han transcurrido 0,3 minutos, y calcula la posicin del mvil en ese mismo instante.

En primer lugar, debemos escribir las ecuaciones de movimiento. Como parte del reposo, tenemos que v0 = 0, y si inicialmente est a 30 m a la izquierda del punto de referencia, x0 = 30 m. De acuerdo con esto, tenemos:

v = 5 t x = 30 + 2,5 t2

Considerando t = 0,3 min = 18 s, sustituimos en la ecuacin de velocidad:

v = 5 t = 5 m/s2 18 s = 90 m/s

Del mismo modo, podemos calcular la posicin de mvil para t = 18 s:

x = 30 + 2,5 t2 = 30 m + 2,5 m/s2 (18 s)2 = 780 m

A los 0,3 minutos de iniciado el movimiento, el mvil se encuentra a 780 m a la derecha del punto de referencia, y su velocidad es igual a 90 m/s.

En funcin del espacio

En un movimiento rectilneo sin cambio de sentido, el despla-zamiento y el espacio recorrido coinciden, y las ecuaciones pue-den expresarse en funcin de esta ltima magnitud. De esta forma tenemos:

s = s0 + v0 t + 1

2 a t2

v2 = v20 + 2 a (s s0)



23 Calcula la velocidad y la posicin, cuando han transcurrido 15 segundos, de un objeto que se mueve en lnea recta con una aceleracin de 3 m/s2, sabiendo que parte del punto de referencia con una velocidad inicial de 2 m/s.

24 Un vehculo est frenando con una aceleracin de 0,6 m/s2. Si su velocidad cuando comenz a frenar era de 90 km/h, cunto tarda en pararse? Qu distancia recorre durante la frenada? (Nota. Sita el punto de referencia en el lugar donde comienza la frenada).

Las ecuaciones de un movimiento rectilneo uniformemente variado para la velocidad y la posicin del mvil en funcin del tiempo son:

v = v0 + a t x = x0 + v0 t + 1

2 a t2

Unidad_04.indd 90 28/03/12 14:53


Estudio de un caso particular: la cada libreSi tenemos un objeto en la mano y lo dejamos caer, observamos cmo su velocidad va aumentando progresivamente a medida que desciende. La cada de un objeto es un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, en el que el mvil parte con velocidad inicial cero. Si medimos el espacio recorrido por el objeto en distintos ins-tantes de tiempo y dibujamos la grfica s-t, obtenemos en efecto una parbola:

La aceleracin de cada de los cuerpos, que es constante y vale 9,8 m/s2, se designa con la letra g. Por lo tanto, teniendo en cuenta las ecuaciones generales del movimiento uniformemente acelerado y el valor de la aceleracin en este caso, las ecuaciones de la cada libre son las siguientes:

v = g t s = 1

2 g t2 v2 = 2 g s

Estas ecuaciones nos sirven para realizar clculos en situaciones reales.

Observa y aprende

Un objeto cae desde una altura de 7 m. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar el suelo y la velocidad con la que llega.

Para determinar cundo alcanza el suelo, utilizamos la frmula del espacio recorrido, igualndolo a 7 m. De ah despejamos el tiempo t:

s = 1

2 g t2 7 m =

1

2 9,8 m/s2 t2 t = ! 2 7 m9,8 m/s2 = 1,2 s

Para hallar la velocidad con la que llega al suelo, tenemos dos posibilidades: utilizar el tiempo que acabamos de calcular en la ecuacin de la velocidad o usar la frmula que relaciona la velocidad y el espacio recorrido. Haciendo esto ltimo, tenemos:

v2 = 2 g s v2 = 2 9,8 m/s2 7 m v = !137,2 m2/s2 = 11,7 m/s

El objeto llegar al suelo en 1,2 s con una velocidad de 11,7 m/s.

Esta nadadora que se deja caer desde un trampoln a una altura de 5 m tarda tan solo 1 s en llegar a la superficie del agua.

s (m)

50

40

30

t0 = 0 s

t1 = 1 s

t2 = 2 s

t3 = 3 s s3 = 44,1 m

s2 = 19,6 m

s1 = 4,9 m

s0 = 0 m

20

10

1 2 3 t (s)

El lanzamiento vertical

Cuando lanzamos verticalmente un objeto, su movimiento es rec-tilneo uniformemente retardado, con una aceleracin negativa de 9,8 m/s2. En este caso, adems de considerar que la aceleracin es negativa, hay una velocidad inicial distinta de cero, por lo que las ecuaciones son estas:

v = v0 g t

s = v0 t 1

2 g t2

v2 = v20 2 g s

El clculo ms frecuente es el de la altura mxima, que correspon-de al instante en que la velocidad es cero (v = 0).



25 Un bolgrafo ha cado desde una cierta altura y ha llegado al suelo con una velocidad de 4 m/s. Calcula el tiempo que ha tardado en alcanzar el suelo y la altura desde la que se ha producido la cada.

26 Cunto tiempo tarda un objeto que cae en adquirir la velocidad de 100 km/h, suponien-do que no es frenado en su cada por el rozamiento con el aire?

27 Lanzamos hacia arriba una bola con una velocidad de 12 m/s. Qu tipo de movimiento describe la bola? Halla el tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima. Cul es esa altura?

Unidad_04.indd 91 28/03/12 14:53

Unidad 492

Si observamos una noria en un parque de atracciones, veremos que describe un movi-miento circular a intervalos de tiempo regulares. Se trata de un ejemplo de un tipo de movimiento muy habitual.

Para estudiar el movimiento circular uniforme, es conveniente definir unas nuevas mag-nitudes, llamadas angulares. De este modo, nos interesar el ngulo recorrido por el mvil sobre la circunferencia, a partir del cual definiremos la velocidad angular.

ngulo recorridoUn mvil en movimiento circular uniforme recorre el mismo espacio sobre su trayecto-ria en intervalos iguales de tiempo; pero, como est girando en torno a un punto fijo (el centro de la circunferencia que describe), tambin podemos considerar que barre un determinado ngulo () en cada intervalo de tiempo.

La unidad del Sistema Internacional para medir ngulos es el radin (rad). La conver-sin entre grados y radianes se realiza teniendo en cuenta que 360 equivalen a 2pi radianes.

Cuando el ngulo se mide en radianes, se puede relacionar el espacio recorrido por el mvil sobre la trayectoria que es la longitud del arco con el ngulo correspon-diente, a travs del radio de la circunferencia. La frmula, que se deduce de la propia definicin de radin, es la siguiente:

= sR

Con esta relacin podemos calcular el espacio que corresponde a un ngulo dado, y viceversa, conociendo el radio de la trayectoria. Tanto el espacio como el radio deben expresarse en las mismas unidades de longitud.

Cada 10 segundos, la manecilla del cronmetro recorre un ngulo de 60. Es un movimiento circular uniforme.

0 0 rad 45 pi/4 rad 90 pi/2 rad 180 pi rad 270 3pi/2 rad

R

Movimiento circular uniforme6

El radin

Un radin (rad) es el valor del ngulo para el cual el radio mide igual que el arco que abarca. La circunferencia completa tiene una longitud igual a 2piR y corres-ponde a un ngulo de 360. De aqu podemos deducir que 360 = 2pi rad y calcular la equi-valencia en radianes de cualquier ngulo, como en esta tabla:

28 Realiza la conversin de los siguientes ngulos, expresados en grados, a radianes:a) 36 b) 540 c) 150 d) 245

29 Un mvil describe una trayectoria circular de radio 4 m. Calcula el ngulo que correspon-de a los siguientes valores de espacio recorrido:

a) s = 30 cm b) s = 1 m c) s = 4 m

30 El mvil del ejercicio anterior recorre 35 m antes de pararse. Qu ngulo total ha reco-rrido? Cmo interpretas que ese ngulo sea mayor que 2pi radianes?

Un movimiento circular uniforme (mcu) es el que posee una trayectoria circular y un valor de velocidad constante.

Unidad_04.indd 92 28/03/12 14:53


Velocidad lineal y velocidad angularPara determinar la rapidez con la que un mvil describe un movimiento circular uni-forme, podemos considerar indistintamente el ngulo o el arco que recorre en cada intervalo de tiempo. Esto significa que es posible definir dos velocidades diferentes.

Ambas magnitudes son constantes en un mcu. La unidad de velocidad angular en el Sistema Internacional es el radin por segundo (rad/s), pues el ngulo se mide en radianes y el tiempo, en segundos. La velocidad lineal, por su parte, se mide en m/s. De las definiciones se deducen las siguientes frmulas:

= t

v = st

Si tenemos en cuenta la relacin existente entre el ngulo y el espacio recorrido, es posible obtener una frmula que relaciona la velocidad angular y la velocidad lineal:

= s

R s = R ; v =

st

= R

t = R v = R

Los movimientos circulares tienen, adems, otra particularidad: son cclicos o peridi-cos, pues el mvil describe una y otra vez la misma trayectoria. Esto nos permite definir otras dos magnitudes muy importantes:

La frecuencia (f) es el nmero de vueltas completas que da el mvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz, equivalente a s1). Como cada vuelta equivale a 2pi rad, la relacin entre velocidad angular y frecuencia viene dada por la frmula:

= 2pi f

El perodo (T) es el tiempo invertido por el mvil en completar una vuelta. La fre-cuencia y el perodo son, por lo tanto, magnitudes inversas. De este modo, se verifi-can estas relaciones:

f = 1

T =

2pi

T

El cuentarrevoluciones del coche nos indica la frecuencia del motor en revo-luciones (o vueltas) por minuto, rpm.

Experimenta

Con un cronmetro y el microon-das de la cocina podrs realizar esta sencilla experiencia sobre el movimiento circular.

Pon un vaso con agua en el borde del plato del microondas y selec-ciona el indicador de potencia en un valor bajo (por ejemplo, descongelacin). Pon en marcha el microondas de modo que se mantenga funcionando durante, al menos, 3 minutos.

Con tu cronmetro, mide exacta-mente el tiempo que tarda el pla-to en realizar 2 giros completos, y anota el resultado.

Repite esta operacin 3 veces y calcula la velocidad angular en cada caso. Podemos afirmar que, durante su funcionamiento, el vaso colocado sobre el plato del microondas describe un movi-miento circular uniforme?

31 Un mvil describe un movimiento circular uniforme con un radio de 20 m en el cual barre un ngulo de 3 radianes cada minuto. Calcula:

a) La velocidad angular del mvil.

b) El ngulo que recorre en 50 segundos.

c) La velocidad lineal que lleva.

32 Un tiovivo tarda 18 segundos en completar una vuelta. Realiza los clculos necesarios e indica:

a) La velocidad angular del tiovivo.

b) El ngulo que recorre en 12 s.

c) La frecuencia del movimiento descrito por el tiovivo.

33 Podemos calcular la velocidad lineal del tiovivo del ejercicio anterior? En caso afirmati-vo, hllala y, en caso negativo, explica qu datos necesitas.

La velocidad angular media () de un mvil es el cociente entre el ngulo que barre en un cierto intervalo de tiempo y el valor de ese intervalo. La velo-cidad lineal (v) se obtiene como el cociente entre el espacio o arco recorrido y el intervalo de tiempo empleado.

Unidad_04.indd 93 28/03/12 14:53

Unidad 494

34 Para un objeto que se mueve en una trayectoria circular hemos obtenido los siguientes datos de ngulos en distintos instantes de tiempo:

a) Representa la grfica -t para este movimiento. Qu tipo de movimiento es?

b) Calcula la velocidad angular del mvil a partir de la grfica obtenida.

c) Escribe la ecuacin que se deduce de la grfica.

d) El radio de la trayectoria es de 20 cm. Escribe la ecuacin correspondiente al espa-cio recorrido en funcin del tiempo.

Grficas y ecuaciones del movimiento circular uniformeSi representamos el espacio recorrido y el ngulo frente al tiempo para un objeto que se mueve con movimiento circular uniforme, obtenemos en ambos casos lneas rectas que ponen de manifiesto una dependencia lineal.

Las pendientes son, respectivamente, la velocidad lineal y la velocidad angular del mvil. El punto de corte con el eje de ordenadas corresponde al espacio o al ngulo inicial (cuando t = 0). Por consiguiente, para el movimiento circular uniforme, obtenemos ecuaciones similares a las que corresponden a un movimiento rectilneo uniforme.

Observa y aprende

Un objeto se mueve con mcu en una trayectoria de radio 1,5 m y con una veloci-dad angular de 0,2 rad/s, con ngulo inicial cero. Escribe las ecuaciones del movi-miento y calcula el ngulo y el espacio que ha recorrido despus de 1 minuto.

Hallamos primero la velocidad lineal, a partir de la velocidad angular y el radio:

v = R = 0,2 rad/s 1,5 m = 0,3 m/s

Con este dato, ya podemos escribir las ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto s0 como 0 son nulos:

s = 0,3 t ; = 0,2 t

Las ecuaciones anteriores nos sirven para conocer el espacio y el ngulo que nos piden:

s = 0,3 t = 0,3 m/s 60 s = 18 m

= 0,2 t = 0,2 rad/s 60 s = 12 rad (1,9 vueltas)

Es fcil comprobar que s = R 18 m = 12 rad 1,5 m

En 1 minuto, el mvil recorre 18 m, equivalentes a un ngulo de 12 rad.

ngulo, (rad) 0,5 1 1,75 2,5 4,25 Tiempo, t (s) 0 2 5 8 15

En el movimiento circular uniforme, la grfica -t es lineal.

Aceleracin centrpeta

En un mcu, la velocidad lineal y la velocidad angular son constantes. Sin embargo, el vector velocidad cambia su direccin continuamen-te, por lo que en realidad s hay una variacin de la velocidad. Esta variacin no en mdulo, pero s en direccin da lugar a una aceleracin, la aceleracin cen-trpeta, que estudiaremos en la unidad Fuerzas y movimiento. Las leyes de la Dinmica.



Las ecuaciones de un movimiento circular uniforme para el espacio recorrido y el ngulo en funcin del tiempo son:

s = s0 + v t = 0 + t

Unidad_04.indd 94 28/03/12 14:53

La Ciencia... ms cerca

95Movimientos rectilneos y circulares. Introduccin a la Cinemtica

La cada de los cuerpos: el triunfo de la experimentacinAunque no solemos cuestionarnos el hecho de si la cada de los cuerpos depende de su masa, es decir, de lo pesados que sean, nuestra intuicin nos induce a pensar que, si dos cuerpos se dejan caer desde la misma altura, el que llegar al suelo antes ser el ms pesado.

El fenmeno de la cada libre de los cuerpos ya fue objeto de atencin por parte del filsofo griego Aristteles, dis-cpulo predilecto de Platn, que vivi en el siglo IV a. C. Este pensador, basndose nicamente en la observacin inmediata, entenda que exista una relacin directa con el peso, de modo que afirm: No todos los cuerpos caen a la misma velocidad; la velocidad de cada ser mayor cuanto ms pesado sea un cuerpo.

El prestigio incuestionable de Aristteles hizo que su doc-trina perdurase durante siglos. Su influencia, en conse-cuencia, inspir las incipientes ciencias que se empezaron a de sarrollar como tales a finales de la Edad Media. Pero en el siglo XVII surge en el panorama cientfico la figura del ita-liano Galileo Galilei, incansable experimentador, que estu-di, entre otras cuestiones, el movimiento de los cuerpos. Galileo realiz numerosas experiencias de cada de objetos sobre planos inclinados y dedujo que la velocidad de ca-da de los cuerpos dependa de la altura desde la que se dejaban caer y no de su masa. Es, por tanto, Galileo quien definitivamente rompe con la intuicin y enuncia: Todos los cuerpos caen a la misma velocidad, con independencia de su peso.

Actualmente ya no existe controversia al respecto. El hecho de que todos los cuerpos caen con la misma aceleracin, con independencia de su peso, se comprueba en una cmara de vaco, en la que no existe el rozamiento con el aire, mediante fotografa de alta velocidad.

El interesante fenmeno de la cada libre de los cuerpos ha superado las fronteras terrestres, y ha sido merecedor de ser estudiado y reproducido nada menos que en la Luna. El 20 de julio de 1969, el Apolo XI se encontraba en misin espacial, con el histrico acontecimiento de la llegada del hombre a la Luna. Una de las experiencias llevadas a cabo por el astronauta norteamericano Neil Armstrong consisti en comprobar la ley de cada de graves de Galileo. Se dejaron caer dos objetos de diferente masa desde la misma altura en un medio ausente de aire: ambos llegaron al suelo al mismo tiempo, como ya demostr el fsico italiano en su momento.

Incluso en el espacio

Si bien Galileo fue un gran estudioso del movimiento y lleg a establecer relaciones matemticas precisas entre velocidades y distancias recorridas, no fue el ni-co en su poca. Otros cientficos de la talla de Leibniz o Huygens tambin hicieron aportaciones importan-tes. Precisamente entre los predecesores de Galileo se encuentra Domingo de Soto, espaol nacido en Segovia en 1494, quien public una obra titulada Comentarios y cuestiones a la Fsica de Aristteles, en la cual consideraba el movimiento de cada de los cuerpos como un ejemplo de movimiento variado.

Un cientfico espaol

35 La cada libre es un claro ejemplo de cmo el mtodo cientfico basado en la observacin y la experi-mentacin nos ayuda a comprender el mundo. Qu diferencias existen entre un filsofo y un cient-fico?

36 Desde finales del siglo XVII se conocen las ecuaciones que rigen el fenmeno de la cada libre. Confir-man las ecuaciones los resultados experimentales de Galileo?

Unidad_04.indd 95 28/03/12 14:53

De un vistazo repasamos la unidad

... y los conceptos ms importantes

96 Unidad 4

Comenzamos estudiando los

Trabajamos tambin el movimiento

La Cinemtica es la parte de la Fsica que se ocupa del estudio de los movimientos. Para caracteri-zarlos se definen magnitudes como la posicin, el tiempo o la velocidad. Un primer anlisis de los movimientos permite clasificarlos en funcin de su trayectoria, distinguiendo entre rectilneos y curvilneos, o en funcin de su velocidad, de modo que pueden ser uniformes o variados. Estos ltimos, a su vez, pueden ser acelerados o retardados, segn la velocidad aumente o dismi-nuya con el tiempo.

Cuando la velocidad del mvil es constante, el movimiento es uniforme. En este caso, para inter-valos de tiempo iguales el mvil recorre la misma distancia, por lo que las grficas de posicin frente al tiempo son lneas rectas cuya pendiente se corresponde con la velocidad, y las grficas de velocidad son lneas horizontales, pues la veloci-dad no vara. La ecuacin del movimiento uniforme refleja la dependencia lineal que existe entre la posicin y el tiempo.

En el caso del movimiento uniformemente varia-do, la velocidad ya no es constante, por lo que a intervalos de tiempo iguales, el mvil recorre cada vez una distancia mayor si es acelerado, o menor si es retardado. Las grficas de posicin frente al tiempo son parbolas, y las de velocidad frente al tiempo, lneas rectas cuya pendiente es la ace-leracin del mvil. Para este movimiento es posible escribir varias ecuaciones que relacionan la posicin y la velocidad con el tiempo. Un caso particular de movimiento uniformemente acelerado es la cada libre, en la que el objeto desciende con una acele-racin constante igual a 9,8 m/s2.

En ocasiones, la trayectoria del mvil es una cir-cunferencia; se trata de un movimiento circular, para cuyo estudio se introducen nuevas magnitu-des, como el ngulo recorrido o la velocidad angular. Otras magnitudes, como el perodo o la frecuencia, permiten caracterizar este tipo de movimientos, en los que el mvil recorre cclica-mente la misma trayectoria.

estudiando sus grficas de

adems de su

para lo cual definimos la

introduciendo nuevas magnitudes como

y estudiamos sus Grficas Ecuaciones

Trayectoria Velocidad

Posicin-tiempo (x-t) Velocidad-tiempo (v-t)

y la Composicin de movimientos

Aceleracin

Ecuacin de movimiento

que se describen con magnitudes como

y se clasifican segn su

Rectilneo uniforme

Circular uniforme

Rectilneo uniformemente variado

Por ltimo, analizamos el estudio experimental de La cada de los cuerpos

Finalmente, estudiamos el movimiento

Analizamos el movimiento

Posicin Tiempo Espacio recorrido Velocidad

ngulo recorrido Velocidad angular Perodo Frecuencia

Movimientos

Este esquema te ser-vir de base para asi-milar los contenidos de la unidad. Utilzalo para estudiar, com-pletndolo con las definiciones o aclara-ciones que necesites.

Unidad_04.indd 96 28/03/12 14:53

Aplica lo aprendido


Descripcin del movimiento. Velocidad

37 Define los siguientes trminos: movimiento, punto de referencia y posicin.

38 Comenta la siguiente afirmacin: Todo movimiento es relativo. Ilustra tu comentario con algn ejemplo.

39 Contesta las siguientes cuestiones, explicando tu respues-ta en cada caso:

a) Por qu hay que tomar como referencia un punto fijo e invariable para describir el movimiento?

b) Qu ocurrir si el punto que tomamos como referen-cia tambin est en movimiento?

40 Explica claramente con ejemplos la diferencia entre:a) Posicin y trayectoria.

b) Espacio recorrido y desplazamiento.

c) Instante e intervalo de tiempo.

41 El ciclista del dibujo circula por una pista horizontal. Ela-bora una tabla posicin-tiempo, interpretando el signifi-cado de cada pareja de datos. Toma como referencia la seal de trfico.

42 Interpreta el significado fsico de los siguientes datos:a) x = 15 m b) x = 15 m c) x = 0 md) x = 6 m e) s = 8 m f) x = 8 m

43 Puede un objeto que se est moviendo tener un despla-zamiento cero? Puede ser cero el espacio que recorre? Explica tus respuestas con ejemplos.

44 Un coche que circula por una carretera recta ha pasado frente a un taller y se encuentra a 400 m de este. En ese momento comenzamos a contar el tiempo. Tras circular durante 2 minutos, a 2 500 m del taller encuentra un cruce en el que realiza el cambio de sentido, y, un minuto des-pus, llega a una gasolinera a 300 m del cruce.

a) Dibuja la trayectoria seguida por el coche, indicando su posicin en cada instante y tomando como refe-rencia el taller.

b) Calcula el desplazamiento experimentado por el coche desde el instante inicial hasta que llega a la gasolinera, y el espacio recorrido en ese mismo inter-valo de tiempo.

45 Si el desplazamiento de un mvil es x = 48,3 m y su posi-cin final es xf = 13,2 m, en qu posicin se encontraba el mvil inicialmente? Podemos afirmar que el objeto se ha desplazado hacia la derecha? Explcalo.

46 Define qu se entiende por velocidad media y por velo-cidad instantnea. Si miramos el indicador de velocidad de nuestro coche en un momento dado durante un viaje, cul de las dos magnitudes estamos midiendo?

47 Calcula la velocidad media de un mvil que se encuentra inicialmente en un punto situado a 10 m a la izquierda del punto de referencia y que, transcurridos 15 s, est a 250 m a la derecha de este. Interpreta el resultado.

48 Realiza los siguientes cambios de unidades de velocidad:a) v = 340 m/s. Exprsala en km/h.

b) v = 72 km/h. Exprsala en m/s.

c) v = 12 cm/min. Exprsala en m/s.

d) v = 3 105 km/s. Exprsala en m/s.

49 En una prueba de clasificacin para un gran premio de automovilismo, un primer piloto ha completado el reco-rrido de 4 700 m en 2 minutos y 10 segundos; un segundo piloto lo ha realizado a una velocidad de 140 km/h; y un tercer piloto lo ha hecho a la velocidad de 37 m/s. Cmo quedar distribuida la parrilla de salida?

50 En el ao 2004, el tenista Andy Roddick bati un rcord de velocidad en el saque, al lanzar la pelota a la increble velocidad de 242,2 km/h. De cunto tiempo dispuso su contrincante para reaccionar, si se encontraba a 23,8 m?

51 A las 14 h 36 min 50 s un coche se encuentra circulando por una autova a 1 300 m de su punto de partida, y a las 14 h 52 min 36 s se encuentra a 24 500 m de este.

a) Cul es el intervalo de tiempo transcurrido?

b) Cul es la velocidad media del mvil, expresada en m/s y en km/h?

Movimiento rectilneo uniforme

52 Define el movimiento rectilneo uniforme e indica dos movimientos reales de este tipo.

53 En un movimiento rectilneo uniforme:a) Cmo es la velocidad?

b) Cmo es la trayectoria?

c) Cmo son las grficas de posicin y velocidad?

54 En el dibujo se representa la posicin de un corredor en diferentes instantes de tiempo durante una carrera.

a) Construye una tabla de datos posicin-tiempo. Toma como punto de referencia la valla.

Unidad_04.indd 97 28/03/12 14:53

b) De qu tipo es el movimiento? Haz los clculos de velocidad media necesarios.

c) Representa los datos de la tabla. Confirma la repre-sentacin grfica tu respuesta del apartado anterior?

55 Fjate en la siguiente grfica de movimiento. Son verda-deras o falsas estas afirmaciones?

a) Se trata de un movimiento uniforme.

b) La posicin inicial del mvil es de 75 m a la derecha del punto de referencia.

c) La velocidad del mvil es de 3 m/s.

d) El mvil no pasa por el punto de referencia.

e) El mvil se desplaza hacia la izquierda.

56 Cul de los siguientes mviles (A o B) tiene mayor veloci-dad? Explica tu respuesta.

57 De las siguientes ecuaciones de movimiento, indica la que corresponde a cada una de las grficas, justificando tu respuesta:

x = 100 + 4 t x = 6 t x = 50 10 t x = 10 + 2 ta) b)

c) d)

58 La ecuacin x = 120 + 6 t describe matemticamente el movimiento de un objeto que se desplaza horizontalmen-te a velocidad constante. Calcula:

a) El instante de tiempo en que el mvil se encontrar en la posicin x = 360 m.

b) La posicin en la que se encontrar el mvil cuando t = 2 min.

c) El desplazamiento del mvil entre los instantes t1 = 15 s y t2 = 45 s.

59 Un patinador se desplaza de un extremo a otro de una pista de hielo de 120 m de longitud con una velocidad constante de 8,5 m/s. Calcula:

a) El desplazamiento del patinador entre los instantes t1 = 4 s y t2 = 9 s.

b) El instante en que alcanza el centro de la pista.

c) El tiempo que invertir en recorrer la pista.

Resuelve el ejercicio tomando como punto de referencia el extremo izquierdo de la pista y repite los clculos supo-niendo que el punto de referencia es un bandern que hay en el centro de la pista.

60 Un tren que circula a velocidad constante ha atravesado un paso a nivel e inicia un tramo recto. Ponemos en mar-cha un cronmetro cuando se encuentra a 250 m del paso a nivel; cuando marca 1 min 15 s, el tren est a 2 650 m.

a) Calcula la velocidad media del tren y escribe su ecua-cin de movimiento.

b) Calcula la posicin del tren a los 25 segundos.

c) Dibuja la grfica posicin-tiempo correspondiente.

61 Construye las grficas posicin-tiempo y velocidad-tiem-po, para un mvil a partir de esta informacin:

a) Cuando t = 0, se encuentra a 10 m a la izquierda del punto de referencia.

b) En los primeros 45 s, se mueve hacia la derecha del punto de referencia con una velocidad tal que recorre 10 m en 4 s.

c) Desde los 45 s hasta los 60 s, se halla en reposo.

d) A los 60 s, inicia un movimiento rectilneo uniforme de regreso al punto de referencia a una velocidad de 3 m/s.

e) Se detiene a 20 m a la izquierda del punto de referencia.

Movimiento rectilneo uniformemente variado

62 Calcula el valor de la aceleracin en los siguientes casos:a) Una corredora adquiere una velocidad de 6 m/s a los

0,75 s de haber comenzado la carrera.

b) Un coche aumenta su velocidad de 72 km/h a 27 m/s en 3,5 s.

c) Un ciclista reduce su velocidad de 12 m/s a 16,2 km/h en 15 s.

63 Calcula la variacin de velocidad experimentada por un mvil que se desplaza con una aceleracin constante e igual a 1,2 m/s2 durante un intervalo de tiempo de 20 s. Si la velocidad en el instante inicial era de 4 m/s, qu velo-cidad adquiri el mvil transcurridos los 20 segundos?

64 A partir de la grfica, indica la velocidad ini-cial del mvil, su acele-racin y el sentido del movimiento.

98 Unidad 4

Unidad_04.indd 98 28/03/12 14:53

65 En el instante t1 = 2 s, la velocidad de un mvil es v1 = 36 km/h. Cul ser la velocidad del mvil en el instante t2 = 5 s, sabiendo que est frenando a razn de 0,5 m/s en cada segundo?

66 La ecuacin que describe el movimiento de un coche en el momento en que va a efectuar un adelantamiento es:

x = 850 + 21 t + 0,6 t2

a) De qu tipo de movimiento se trata?

b) Calcula la posicin inicial del coche respecto al punto que hemos tomado como referencia.

c) Halla la velocidad inicial del coche y el valor de su aceleracin.

d) En qu posicin se encontrar el coche cuando han transcurrido 5 segundos?

e) Escribe la ecuacin de velocidad para este movimiento.

67 Escribe la ecuacin de movimiento de un tren que est saliendo de la estacin, sabiendo que parte del reposo y que en 2 minutos alcanza una velocidad de 151,2 km/h. Toma como referencia la estacin.

68 Dada la siguiente ecuacin de movimiento:

x = 15 t + 0,1 t2

a) Qu tipo de movimiento representa? Calcula la posi-cin del mvil en el instante t = 12 s.

b) Cul ser el desplazamiento experimentado por el mvil entre los instantes t1 = 5 s y t2 = 15 s?

c) Escribe la ecuacin de velocidad y calcula la velocidad que tendr el mvil en el instante t = 6 s.

69 Una gra que est circulando por la carretera a una veloci-dad de 15 m/s encuentra un semforo en rojo y frena con una aceleracin de 2 m/s2.

a) Escribe sus ecuaciones de movimiento, tomando como referencia el surtidor de gasolina.

b) Calcula la velocidad del vehculo en los instantes indi-cados. Construye con estos datos una tabla de valores v-t, y dibuja la grfica correspondiente.

c) Qu distancia separa el surtidor del semforo?

d) Realiza los clculos de posicin correspondientes a los mismos instantes de tiempo y representa la grfica x-t. Qu informacin se obtiene?

70 Para medir la profundidad de un pozo, dejamos caer una gruesa piedra y medimos el tiempo que tarda en llegar al fondo. Si suponemos que coinciden el instante

del impacto con el instante en que percibimos el sonido y hemos medido un tiempo de 1,8 s, calcula la profundi-dad del pozo.

71 Hemos lanzado hacia arriba un dibolo a una velocidad de 10 km/h. Escribe las ecuaciones del movimiento y cal-cula qu altura alcanza.

72 Un paracaidista salta desde un avin que vuela a 2500 m de altura. Cae libremente durante 15 s y, en ese instante, abre su paracadas y contina la cada a una velocidad constante de 35 km/h. Halla el tiempo que tarda en llegar al suelo desde que se lanz del avin.

Movimiento circular uniforme

73 Resume en un prrafo las caractersticas del movimiento circular uniforme y define las magnitudes angulares que se utilizan para su descripcin.

74 La bolita de una ruleta gira con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Si el dimetro de la ruleta es de 1,2 m, calcula:

a) La velocidad lineal de la bolita.

b) El ngulo y el espacio que recorre en 15 segundos.

c) La frecuencia del movimiento.

75 Beln y Luis estn realizando una experiencia de labora-torio sobre el movimiento circular uniforme, en la que un motor hace girar una rueda. Esta tiene una marca que per-mite medir el tiempo que tarda en dar una vuelta completa.

a) Qu magnitud estn midiendo Beln y Luis?

b) Ajustando la posicin de un conmutador que regula la potencia del motor, han obtenido estos datos:

Qu velocidad angular alcanza la rueda en cada posicin del conmutador?

76 Un mvil con movimiento circular uniforme tiene una frecuencia de 4 Hz y una velocidad lineal de 6 m/s.

a) Halla su velocidad angular. Cul es el radio de la trayectoria?

b) Calcula el tiempo que tarda el mvil en recorrer un ngulo de 2 radianes.

77 Un patinador de velocidad debe superar una marca de 20 s en una pista circular de 150 m de dimetro para clasificar-se en una competicin.

a) Qu velocidad angular debe alcanzar? A qu velo-cidad lineal equivale en este caso?

b) Finalmente, el atleta logra alcanzar la velocidad de 88 km/h. En cunto queda establecida su marca?

Posicin 1 Posicin 2 Posicin 3 Posicin 4

2,3 s 4,5 s 7,0 s 10,2 s


Unidad_04.indd 99 28/03/12 14:53

Es de tu competencia La comunicacin lingstica

Rcord en el espacio4,3 kilmetros por segundo, o lo que es lo mismo, 15 480 km/h. Esa es la velocidad alcan-zada el pasado 5 de junio por la misin Dawn, de la NASA, la mayor jams conseguida por una nave espacial con el impulso de sus propios motores. Sin embargo, y a pesar de ser espectacular, esta cifra no es, ni mucho menos, definitiva.

[] Al llegar a los 15 480 km/h, la misin Dawn superaba el pasado sbado el rcord de otra nave de la NASA, la Deep Space 1, que tambin est impulsada por motores de iones. Estamos utilizando esta asombrosa tecnologa de motores inicos para llegar a orbitar y explorar Vesta y Ceres, dos de los objetos ms misteriosos del cinturn de asteroides, ase-gura Robert Mase, director del proyecto Dawn en el Jet Propulsion Laboratory, en Pasadena.

Para su largo viaje de casi 5 000 millones de km, la misin Dawn, que abandon la Tierra el 27 de septiembre de 2007, est equipada con una batera de tres motores inicos, la apuesta tecnolgica de la agencia espacial norteamericana para los largos viajes de futuras exploraciones interplanetarias. A diferencia de la inmensa mayora de las sondas espaciales, que se lanzan en trayectorias fijas hacia puntos concretos, como piedras tiradas con una honda y que no pueden cambiar de direccin, las naves equipadas con motores de iones son capaces de modificar, por sus propios medios, sus trayectorias en pleno vuelo. Y eso es posible porque consumen muy poca cantidad de combustible [...]

Los motores inicos se han ido encendiendo y apagando en cientos de secuencias concre-tas y previamente calculadas por los tcnicos de la misin. En total, han funcionado hasta ahora durante un perodo de 620 das (durante los que solo han consumido 165 litros de combustible, algo impensable para naves convencionales). Al final de su misin, que ter-minar en febrero de 2015 con su llegada a Ceres, Dawn habr acumulado 2 000 das de funcionamiento de sus tres motores (lo que equivale a cinco aos y medio de combustin en una misin que durar ocho). En ese momento, la nave habr alcanzado la increble veloci-dad de 38 620 km/h.

J. M. NIEVES. www.abc.es. Junio, 2010.

Practica la

lectura cientfica!

La ciencia progres

a continuamente,

y cada da se prod

ucen nuevos y

sorprendentes logro

s, como este que

te presentamos, re

lativo a la carrera

espacial. Mantener

se al da no es dif

cil

a travs de los med

ios de divulgacin

cientfica o de Inte

rnet.

100 Unidad 4

Busca en el diccionario o en alguna enciclopedia el sig-nificado de los siguientes trminos que aparecen en el texto:

Asteroides. Interplanetarias. Honda.

Ampla tu vocabulario

En qu se diferencia la misin Dawn de otras misiones convencionales? Cul era el anterior rcord de velocidad de una nave espacial? Por qu se sabe que este nuevo rcord ser batido en breve?

Comprueba tu comprensin lectora

La investigacin espacial es una de las ms costosa. Comenz en el siglo XX con fines militares y contina en la actualidad, a veces rodeada de polmica por la concesin de fondos para aco-meter misiones espaciales. Te parece til e interesante mantener este tipo de investigacin? Argumenta tu punto de vista.

Expresa tu opinin

El texto es un fragmento de un artculo periodstico. Redacta un prrafo que sirva para difundir la informacin en los medios de forma resumida, como hacen habitual-mente las agencias de noticias.

Extrae las ideas principales

Unidad_04.indd 100 28/03/12 14:53

Es de tu competencia El tratamiento digital de la informacin

Medir la velocidad Desde un coche que circula por una carretera hasta un rayo de luz que atraviesa de una parte a otra el espacio, son muchos y variados los sistemas fsicos para los cua-les resulta interesante, y en la mayora de las ocasiones necesario, conocer el valor de la velocidad.

Lo cierto es que la velocidad es una de las magnitudes ms importantes asociadas al movimiento y su valor se cuantifica habitualmente, bien sea utilizando algn apara-to especficamente diseado para ello, o bien realizando alguna experiencia con esa finalidad. Analizando algunos casos concretos, comprobaremos que no siempre es fcil obtener la velocidad y que a veces debemos poner a prueba nuestro ingenio para lograrlo.


Toma nota de toda la informacin que vayas recopilando durante tu investigacin, y elabora una ficha para cada uno de los casos planteados. No olvides incluir tambin los datos de las fuentes utilizadas, indicando la proceden-cia, los autores y la fecha de publicacin.

Organiza la informacin

Para encontrar la informacin en la Red, te ser de utilidad introducir algunos de estos trminos en los buscadores:

Velocmetro, anemmetro funcionamiento. Experimento Michelson Morley. Velocidad barco, saque tenis.

Utiliza la gua de bsquedaInvestiga

Fjate en estas cuestiones relacionadas con la medida de la velocidad y trata de localizar sus respuestas utilizando la bibliografa a tu alcance o Internet:

Todos los vehculos a motor van equipados con un velocmetro. Cmo funciona este aparato?

El anemmetro se utiliza para medir la velocidad del viento. Cmo lo hace?

Michelson y Morley realizaron un experimento para medir la velocidad de la luz. Puedes describirlo breve-mente?

En qu unidad se mide la velocidad de un barco o de una aeronave?

Cmo se mide la velocidad de la pelota durante un partido de tenis? Qu tiene en comn con los controles de velocidad en carretera?

Elabora una presentacin multimedia

La informacin recopilada te servir para elaborar una presentacin sobre las distintas formas de medir la velocidad. Para ello, disea y realiza, con ayuda de las herramientas informticas adecuadas, unas cinco o seis diapositivas que incluyan estos aspectos:

Una introduccin que describa el concepto de velocidad y las unidades en que se mide.

Una descripcin ilustrada de la forma de cuantificar la velocidad en los distintos sistemas analizados.

Una conclusin final que destaque la importancia de la estimacin del valor de esta magnitud.

Prepara una exposicin

Basndote en el trabajo que has realizado, prepara una exposicin, de modo que utilizando los medios a tu alcance puedas ofrecer un resumen de la informacin recopilada ante tus compaeros y compaeras. Recuerda que si incluyes en tu trabajo imgenes y fotografas, la exposicin ser ms amena.

Unidad_04.indd 101 28/03/12 14:53

7100852_um

Documents