7 · web viewlos siguientes ejemplos ilustran más el aprovechamiento de que estas funciones sean...
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7
Funciones exponenciales .
1. Funciones exponenciales
2. Funciones logarítmicas
3. Leyes de los logaritmos
4. La base e
5. Crecimiento y decrecimiento exponencial
6. Notación científica
7. Logaritmos comunes y sus aplicaciones
1. Funciones exponenciales
-
4
Imagine usted que un cultivo de bacterias crece con tal rapidez que, a cada hora, el número de bacterias se duplica. En estas condiciones, sí había 10,000 bacterias cuando el cultivo empezó a crecer, el número habría aumentado a 20,000 después de una hora, habría 40,000 después de 2 horas y así, sucesivamente. Se vuelve razonable decir que
y = f(x) = (10,000)2x
nos da el número de bacterias presentes después de x horas. Esta ecuación define una función exponencial con la variable independiente x y la variable dependiente (o función) y.
Una función como f(x) = bx, que tiene a la variable como exponente, se conoce con el nombre de función exponencial. Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base numérica b > 0. Por ejemplo, tomemos en consideración la función y = f(x) = 2x con su gráfica. Observe lo siguiente:
1. La función se define para todos los valores reales de x. Cuando x es negativa, podemos aplicar la definición de los exponentes negativos. Así, para x = -2,
EMBED Equation.3
2
x
=
2
-
2
=
1
2
2
=
1
4
El dominio de la función es el conjunto de los números reales.
2. Para todos los reemplazos, de x, la función adquiere un valor positivo. O sea, 2x no puede representar jamás un número negativo y tampoco es posible que 2x se haga igual a cero. El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos.
3. Por último, como ayuda para elaborar la gráfica, se pueden localizar unos cuantos pares ordenados de números específicos.
2
Si se desea, la exactitud de esta gráfica se puede mejorar usando más puntos. Por ejemplo, tomamos en cuenta valores racionales de x, como
1
2
o
3
2
:
2
1
2
=
2
=
1
.
4
2
3
2
=
2
(
)
3
=
2
.
7
b
r
b
s
=
b
r
+
s
Usar valores irracionales para x como
2
o π,constituye una cuestión completamente diferente. (Recuerde usted que nuestro desarrollo de los exponentes se detuvo en los racionales.) Dar un significado preciso a uno de estos números queda fuera del alcance de este curso. Resulta, empero, que la forma indicada de la curva correspondiente a y = 2x es correcta y puede lograr que “se acomoden” en la curva las definiciones formales de ciertos valores, como
2
2
.
Se puede usar una calculadora para entender mejor los números como
2
2
. Por ejemplo, verifique usted estas potencias de 2, con aproximación hasta diezmilésimos.
21.4 = 2.6390
21.41 = 2.6574
21.414 = 2.6647
21.4142 = 2.6651
b
r
b
s
=
b
r
-
s
Dado que los exponentes con decimales están acercándose cada vez más al número irracional
2
, las potencias correspondientes se aproximan a
2
2
. Así, las aproximaciones exponenciales sugieren que
2
2
=
2
.
67
, con la aproximación hasta centésimos. Ahora, encuentre usted directamente
2
2
con una calculadora y compare los resultados.
En estudios más avanzados se puede demostrar que, para cualquier base positiva a y b. se cumplen las siguientes reglas de los exponentes, representados por números reales cualesquiera, r y s.
b
r
(
)
s
=
b
rs
Nuestro trabajo previo con estas mismas reglas, para exponentes racionales, puede servir de base ahora para aceptar estos resultados.
EJEMPLO 1Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8x en el intervalo [-1, 1], usando una tabla de valores.
Solución
Hasta aquí hemos restringido nuestra atención a las funciones exponenciales de la forma y = f(x) = bx, donde b > 1. Todas estas gráficas tienen la misma forma de la función y = 2x. Para b = 1, y = bx = 1x = 1 para todo valor de x. Como en este caso se trata de una función constante. f(x) = l, no usamos la base b = 1 en la clasificación de las funciones exponenciales.
Ahora, exploremos las funciones exponenciales y = f(x) = bx para las cuales tenemos: 0 < b < 1. En particular, si
b
=
1
2
, tenemos:
y
=
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
1
2
x
; o sea: y = 2-x .
a
r
b
r
=
ab
(
)
r
También es posible elaborar la gráfica de
y
=
g
x
(
)
=
1
2
x
relacionándola con la gráfica de
y
=
f
x
(
)
=
2
x
. Como
g
x
(
)
=
1
2
x
=
2
-
x
=
f
-
x
(
)
, los valores de y para la función g son los mismos valores de y correspondientes a f, pero en el lado opuesto del eje de las y. En otras palabras, la gráfica de g es el reflejo de la gráfica de f, respecto del eje de las y.
EJEMPLO 2Use la gráfica de y = f(x) = 2x para trazar las curvas definidas por
y
=
g
x
(
)
=
2
x
-
3
e
y
=
h
x
(
)
=
2
x
-
1
SoluciónComo g(x) = f(x - 3), es posible obtener la gráfica de g desplazando la gráfica de y = 2x tres unidades hacia la derecha. Además, dado que h(x) = f(x) - 1, la gráfica de h se puede elaborar desplazando la de y = 2x una unidad abajo.
b
0
=
1
Hemos analizado funciones de la forma y = f(x) = bx para valores específicos de b. En cada caso, es preciso que usted advierta que las gráficas pasan por el punto (0, 1), ya que y = b0 = 1. Por otra parte, cada una de esas gráficas tiene el eje de las x como asíntota unilateral y no hay ninguna abscisa al origen. A continuación, se resumen éstas y otras propiedades de y = f(x) = bx , para b > 0 y b ≠ 1.
b
-
r
=
1
b
r
a
b
c
La propiedad de las funciones biunívocas se pueden expresar de esta manera:
Si f(x1) = f(x2), entonces: x1 = x2.
Es decir: como f(x1) y f(x2) representan el mismo valor del rango sólo puede haber un valor correspondiente en el dominio; en consecuencia, xl = x2 .Usando f(x) = bx esta aseveración significa lo siguiente:
Si bx1 = bx2, entonces: x1 = x2.
Esta propiedad se puede aprovechar para resolver ciertas funciones exponenciales, como
5
x
2
=
625
. Primero, observamos que 625 se puede expresar como 54.
5
x
2
=
625
5
x
2
=
5
4
Gracias a que la función f(t) = 5t es biunívoca, podemos igualar los exponentes y resolver la ecuación para x.
x2 = 4
x = ( 2 (x = 2 o también: x = -2)
Para verificar estas soluciones, advertiremos que
5
2
2
=
5
4
=
625
y también
5
-
2
(
)
2
=
5
4
=
625
.
a
b
c
(
)
Los siguientes ejemplos ilustran más el aprovechamiento de que estas funciones sean biunívocas para resolver ecuaciones exponenciales.
EJEMPLO 3 Resuelva para x:
1
3
x
-
1
=
81
SoluciónEscribimos 81 como 34 y
1
3
x
-
1
como 3-(x-1)
3
-
x
-
1
(
)
=
3
4
-
x
-
1
(
)
=
4
Pr
opiedad
de
la
función
biunívoca
(
)
-
x
+
1
=
4
-
x
=
3
x
=
-
3
Verifique usted este resultado en la ecuación original.
EJEMPLO 4Resuelva para
x
:
b
x
2
-
x
=
1
SoluciónObservamos que 1 se puede escribir en la forma b0. De esta manera, tenemos
b
x
2
-
x
=
b
0
x
2
-
x
=
0
Si
b
x
1
=
b
x
2
,
entonces
:
x
1
=
x
2
(
)
x
x
-
1
(
)
=
0
x
=
0
o
bien
:
x
=
1
Verifique usted ambos resultados en la ecuación original.
a
b
(
)
c
=
a
b
c
a
b
c
=
a
b
c
(
)
¹
a
b
(
)
c
EJERCICIOS 1
Elabore la gráfica de la función exponencial f utilizando una breve tabla de valores. Luego, aproveche esta curva para utilizar la gráfica de g. Indique las asíntotas horizontales.
1.
f
x
(
)
=
2
x
;
g
x
(
)
=
2
x
+
3
2.
f
x
(
)
=
3
;
g
x
(
)
=
3
x
-
2
3.
f
x
(
)
=
4
x
;
g
x
(
)
=
-
4
x
(
)
4.
f
x
(
)
=
5
x
;
(
)
x
x
g
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
1
5.
f
x
(
)
=
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
;
(
)
x
x
g
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
3
6.
f
x
(
)
=
8
x
;
g
x
(
)
=
8
x
-
2
+
3
7.
f
x
(
)
=
3
x
;
g
x
(
)
=
2
3
x
(
)
8.
f
x
(
)
=
3
x
;
g
x
(
)
=
1
2
3
x
(
)
9.
(
)
2
2
x
x
f
=
;
3
2
)
(
2
-
=
x
x
g
10.
f
x
(
)
=
4
x
(
)
x
x
g
-
=
1
4
Trace las curvas de cada ejercicio en los mismos ejes coordenados.
11.
y
=
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
,
y
=
2
x
,
y
=
5
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
12.
y
=
1
4
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
,
y
=
1
3
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
,
y
=
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
13.
y
=
2
x
,
y
=
-
2
x
(
)
14.
y
=
2
x
,
y
=
2
-
x
,
x
x
y
-
-
=
2
2
(Sugerencia: Reste las ordenadas).
Aplique la propiedad de que una función exponencial es biunívoca para resolver con la función adecuada cada una de las ecuaciones indicadas.
15.
2
x
=
64
16.
3
x
=
81
17.
2
x
2
=
512
18.
3
x
-
1
=
27
19.
5
2
x
+
1
=
125
20.
2
x
3
=
256
21.
7
x
2
+
x
=
49
22.
b
x
2
+
x
=
1
23.
1
2
x
=
32
24.
1
10
x
=
10
,
000
25.
9
x
=
3
26.
64
x
=
8
27.
9
x
=
27
28.
64
x
=
16
29.
1
49
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
7
30.
5
x
=
1
125
31.
27
8
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
9
4
32.
0
.
01
(
)
x
=
1000
33. En el mismo sistema de ejes coordenados, elabore las gráficas de las funciones y = 2x e y = x2, para el intervalo [0, 5]. (Utilice una unidad de medida más grande en el eje de las x que en el eje de las y.) ¿Cuáles son los puntos de intersección?
34. Use una calculadora para verificar que
3
=
1
.
732050
…. Luego, anote en la tabla las potencias de 2, redondeando cada anotación con una aproximación hasta de cuatro cifras decimales (hasta diezmilésimos).
X
1.7
1.73
1.732
1.7320
1.73205
2x
Con base en los resultados anteriores. ¿cuál es su aproximación para
2
3
hasta milésimos? Ahora encuentre directamente el valor de
2
3
en la calculadora y compare ambos resultados.
35. Aplique las instrucciones del Ejercicio 34 con estos números:
(a)
3
2
(b)
3
3
(c)
2
5
(d)
4
p
*36. Resuelva para x
6
2
x
(
)
4
x
(
)
=
1728
.
37. Resuelva para x
5
2
x
+
1
(
)
7
2
x
(
)
=
175
.
2. Funciones logarítmicas
En la sección anterior, se hizo hincapié en que y = f(x) = bx, para b > 0 y para b ≠ l. es una función biunívoca. Como cada función biunívoca tiene una inversa, se deduce que f tiene una inversa. La gráfica de g, la función inversa, es el reflejo de y = f(x) al otro lado de la recta definida por y = x. He aquí dos casos típicos, para b > 1 y para 0 < b < 1.
2
x
-
1
=
32
La ecuación correspondiente a g, la función inversa, se puede obtener intercambiando el papel que desempeñan las variables, de la manera siguiente:
Función f:
y
=
f
x
(
)
=
b
x
Función inversa g:
x
=
g
y
(
)
=
b
y
Por lo tanto, x = by es la ecuación correspondiente a g. Infortunadamente, no contamos con ningún método para resolver x = by y expresar el valor de y explícitamente, en función de x. Para vencer esta dificultad, se ha ideado una nueva terminología.
La ecuación x = by nos dice que y es el exponente de la base b que produce x. En situaciones como ésta, se usa la palabra logaritmo en lugar de exponente. Entonces, un logaritmo es un exponente. Ahora, podemos decir que y es el logaritmo de base b que produce x. Esta definición se puede abreviar así: y = logaritmob x, y se abrevia más todavía para llegar a la forma definitiva:
y = logbx
2
x
2
=
16
que se lee así: “y es el log de x en la base b” o “y es el log de base b de x”.
Es importante advertir que sólo estamos definiendo (no demostrando) que la ecuación y = logbx tiene el mismo significado que x = by. En otras palabras, estas dos formas son equivalentes:
Forma exponencial: x = by
Forma logarítmica: y = logbx
Y, como son equivalentes, definen las misma función g:
y = g(x) = logb x
Y ya sabemos que y = f(x) = bx e y = g(x) = logbx son funciones inversas. En consecuencia, tenemos lo siguiente:
f
g
x
(
)
(
)
=
f
log
b
x
(
)
=
b
log
b
x
=
x
y
g
f
x
(
)
(
)
=
b
x
(
)
=
log
b
b
x
(
)
=
x
EJEMPLO 1Escriba la ecuación de g, la función inversa de y = f(x) = 2x y elabore las gráficas de ambas en los mismos ejes coordenados.
SoluciónLa inversa g tiene la ecuación y = f(x) = 2x, y su gráfica se puede obtener reflejando y = f(x) = 2x al otro lado de la recta definida por y = x.
8
2
x
+
1
=
64
1
2
x
=
64
1
5
x
+
1
=
125
Encontramos y = logbx intercambiando el papel que desempeñan las variables de y = bx.. Como consecuencia de este intercambio, también se intercambian los dos dominios y rangos de las dos funciones. Por consiguiente,
El dominio de es igual al rango de y = bx.
El rango de y = logbx es igual al dominio de y = bx.
Estos resultados se incorporan a la siguiente lista de propiedades importantes de la función y = logbx, donde b > 0 y b ≠ 1.
1
4
x
-
2
=
64
EJEMPLO 2Encuentre el dominio de y = log2 (x - 3).
SoluciónEn y = log2 (x - 3, la expresión x - 3 desempeña el mismo papel de la x en log2x. Por lo tanto, x - 3 > 0, y el dominio consiste en cada x > 3.
27
x
=
3
La siguiente tabla suministra varios ejemplos específicos de la equivalencia entre estas dos formas. En cada caso, la expresión en la forma logarítmica. a la izquierda, es equivalente a la que aparece en la columna de la derecha.
Forma logarítmica
logb x = y
Forma exponencial
by = x
Log5 25 = 2
52 = 25
Log27 9 = 2/3
272/3 = 9
Log6 1/36 = -2
6-2 = 1/36
logb 1 = 0
b0 = 1
De las formas, y = logbx y x = by, generalmente es más fácil trabajar con la exponencial. En consecuencia, cuando surge un problema concerniente a y = logbx, con frecuencia es conveniente convertir la expresión en la forma exponencial. Por ejemplo, para calcular el valor de log9 27, escribimos
y = log927
Luego, convertimos y = log9 27 en la forma exponencial. Así:
9y = 27
Para resolver esta ecuación exponencial, volvemos a escribir cada lado usando la misma base. Es decir: como 27 = 33 y 9y = (32)y = 32y, tenemos
32y = 33
2y = 3 (f(t) = 3t es una función biunívoca)
y = 3/2
EJEMPLO 3Resuelva para b: logb 8 = 3/4
SoluciónLa convertimos en la forma exponencial.
b3/4 = 8
Elevamos la potencia 3/4 de ambos lados.
(b3/4)4/3 = 84/3
8
4
3
=
8
3
(
)
4
=
2
4
b = 16
EJERCICIOS 2
Elabore la gráfica de la función f . Refleje esta curva al otro lado de la recta definida por y = x para obtener la gráfica de g, la función inversa, y escriba la ecuación de g.
l. y = f(x) = 4x 2. y = f(x) = 5x 3. y = f(x) = (1/3)x 4. y = f(x) = (0.2)x
Describa cómo se puede obtener la gráfica de h a partir de la gráfica de g. Encuentre el dominio de h y escriba la ecuación de la asíntota vertical.
5. g(x) = log3 x; h(x) = log3 (x + 2) 6. g(x) = log5x; h(x) = log5 (x - l)
7. g(x) = log8 x; h(x) = 2 + log8x 8. g(x) = log10x; h(x) = 2 log10 x
Elabore la gráfica de f y señale su dominio.
9. f(x) = log10x 10. f(x) = -log10x 11. f(x) = (log10x(
12. f(x) = log10 (-x) 13. f(x) = log10 (x( 14. f(x) = log1/10 (x + 1)
Convierta cada expresión exponencial en forma logarítmica.
15. 28 = 256 16. 5-3 = 1/125 17. (1/3)-1 = 3
18. 813/4 = 27 19. 170 = 1 20. (1/49)-1/2 = 7
Convierta cada expresión logarítmica en forma exponencial.
21. log10 0.0001 = -4 22. log64 4 = 1/3 23.
log
2
2
=
2
24. log13 13 = 1 25. log12 1/1728 = -3 26. log27/8 9/4 = 2/3
Resuelva para la cantidad indicada: y, x o b.
27. log2 16 = y 28. log1/2 36 = y 29. log1/3 27 = y 30. log7 x = -2 31. log1/6 x = 3
32. log8 x = y 33. logb 125 = 3 34. logb 8 = 3/2 35. logb 1/8 = -3/2 36. log100 10 = y
37. log27 3 = y 38. log1/16 x = 1/4 39. logb 16/81 = 4 40. log8 x = -3 41. logb 1/27 = -3/2
42.
log
3
x
=
2
43.
log
8
1
8
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
y
44. logb 1/128 = -7 45. log0.001 10 = y 46. log0.2 5 = y
47. log9 x = 1
Calcule el valor de cada expresión
48. log2 (log4 256) 49. log3/4 (log1/27
1
81
)
Intercambiando el papel que desempeñan las variables, encuentre la función inversa g. Demuestre que (f o g)(x) = x y (g o f)(x) = x.
*50. y = f(x) = 2x+1 *51. y = f(x) = log3 (x + 3)
3. Leyes de los logaritmos
Para las leyes de los exponentes, tenemos
23 ( 24 = 23+4 = 27
Ahora, concentrémonos nada más en la parte exponencial:
3 + 4 = 7
Los tres exponentes incluidos aquí se pueden expresar como logaritmos.
3 = log2 8 porque 23 = 8
4 = log2 16 porque 24 = 16
7 = log2 128 porque 27 = 128
Sustituir estas expresiones en 3 + 4 = 7, nos da:
log2 8 + 10g2 16 = log2 128
Además, como 128 = 8 ( 16, tenemos
log2 8 + log2 16 = log2 (8 ( 16)
Este es un caso especial de la primera ley de los logaritmos:
27
x
=
9
125
x
=
25
Como los logaritmos son exponentes, no es de asombramos que estas leyes se puedan demostrar usando las reglas adecuadas de los exponentes. A continuación, aparece una demostración de la ley 1; las demostraciones de las leyes 2 y 3 se dejan como ejercicios.
Sean:
logb M = r y logb N = s
Convertimos en la forma exponencial:
1
4
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
32
M = br y N = bs
Multiplicamos las dos ecuaciones:
MN = brbs = br+s
Luego, convertimos esta expresión en la forma logarítmica:
logb MN = r + s
Sustituimos r y s por sus equivalentes para obtener el resultado final:
logb MN = logb M + logb N
EJEMPLO 1Para los números positivos A, B y C, demuestre que
log
b
AB
2
C
=
log
b
A
+
2
log
b
B
-
log
b
C
Solución
log
b
AB
2
C
=
log
b
AB
2
(
)
-
log
b
C
(Ley 2)
=
log
b
A
+
log
b
B
2
-
log
b
C
(Ley 1)
=
log
b
A
+
2
log
b
B
-
log
b
C
(Ley 3)
EJEMPLO 2Escriba 1/2 logbx – 3logb (x - 1) como el logaritmo de una sola expresión en x.
3
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
27
125
Solución
1
2
log
b
x
-
3
log
b
x
-
1
(
)
=
log
b
x
1
2
-
log
b
x
-
1
(
)
3
=
log
b
x
1
2
x
-
1
(
)
3
=
log
b
x
x
-
1
(
)
3
EJEMPLO 3Dados: logb 2 = 0.6931 y logb 3 = 1.0986, encuentre usted: logb
12
.
Solución
log
b
12
=
log
b
12
1
2
=
1
2
log
b
12
=
1
2
log
b
3
×
4
(
)
=
1
2
log
b
3
+
log
b
4
[
]
=
1
2
log
b
3
+
log
b
2
2
[
]
9
25
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
5
3
=
1
2
log
b
3
+
2
log
b
2
[
]
=
1
2
log
b
3
+
log
b
2
[
]
=
1
2
1
.
0986
(
)
+
0
.
6931
=
1
.
2424
f
-
1
x
(
)
y
=
1
3
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
g
x
(
)
=
log
5
x
+
2
(
)
EJEMPLO 4Resuelva para x: log8 (x - 6) + log8 (x + 6) = 2.
Solución Primero, observamos que en log8 (x + 6) debemos tener x - 6 > 0; o sea: x > 6. De manera parecida, (x + 6) exige que tengamos x > - 6. Por consiguiente, las únicas soluciones, si las hay, deben satisfacer la condición: x > 6.
Log8 (x - 6) + log8 (x + 6) = 2
g
x
(
)
=
2
+
log
5
x
Log8 (x - 6)(x + 6) = 2 (Ley 1)
Log8 (x2 - 36) = 2
x2 - 36 = 82 (convertimos en la forma exponencial)
x2 - 100 = 0
(x + 10)(x - 10) = 0
x = -10 o bien: x = 10
g
x
(
)
=
-
log
5
x
Las únicas soluciones posibles son -10 y 10. Nuestra observación inicial de que x > 6 elimina automáticamente al -10. (Si no se hubiera hecho esa observación inicial, el -10 se habría eliminado de todos modos, al verificar en la ecuación dada). El valor x = 10 se puede verificar de la manera siguiente:
Log8 (l0 - 6) + log8 (l0 + 6) = log8 4 + log8 16
=
2
3
+
4
3
=
2
EJEMPLO 5Resuelva para x: log10 (x3 - 1) – log10 (x2 + x + 1) = 1.
Solución
log
10
x
3
-
1
(
)
-
log
10
x
2
+
x
+
1
(
)
=
1
log
10
x
3
-
1
x
2
+
x
+
1
=
1
(Ley 2)
log
10
x
-
1
(
)
x
2
+
x
+
1
(
)
x
2
+
x
+
1
=
1
(factorizando)
log
10
x
-
1
(
)
=
1
x
-
1
=
10
1
(¿Por qué?)
x
=
11
Verificación:
Log10 (113 - 1) – log10 (112 + 11 + 1) = log10 1330 – log10 133
=
log
10
1330
133
= log10 10 = 1
EJEMPLO 6Resuelva para x: log3 2x – log3 (x + 5) = 0.
Solución
log3 2x - log3 (x + 5) = 0
log
3
2
x
x
+
5
=
0
2
x
x
+
5
=
3
0
2
x
x
+
5
=
1
2
x
=
x
+
5
x
=
5
Verificación: log3 2(5) - log3 (5 + 5) = log3 10 - log3 10 = 0
g
x
(
)
=
2
log
5
x
Algunas veces, es conveniente resolver una ecuación logarítmica aplicando la propiedad de que las funciones logarítmicas son biunívocas. Esta propiedad (expuesta en la página 367) dice así:
Si logb M = logb N, entonces: M = N.
He aquí, por ejemplo, la solución de la ecuación del Ejemplo 6 con la aplicación de esta propiedad.
log3 2x - log3 (x + 5) = 0
log3 2x = log3 (x + 5)
2x = x + 5 (por ser una función biunívoca)
x = 5
PRECAUCION: APRENDA A EVITAR ERRORES COMO ESTOS
MAL
BIEN
logb A + logb B = logb (A + B)
logb A + logb B = logb AB
logb (x2 - 4) = logb x2 - logb 4
logb (x2 - 4)
= logb (x + 2) (x - 2)
= logb (x + 2) + logb (x - 2)
(logb x)2 = 2 logb x
(logb x)2 = (logb x) (logb x)
log
b
A
-
log
b
B
=
log
b
A
log
b
B
log
b
A
-
log
b
B
=
log
b
A
B
Si 2 logb x = logb (3x + 4),
Entonces: 2x = 3x + 4
Si 2 logb x = logb (3x + 4),
Entonces: logb x2 = logb (3x + 4)
log
b
x
2
=
log
b
x
2
log
b
x
2
=
log
b
x
-
log
b
2
logb (x2 + 2) = 2 logb (x + 2)
logb (x2 + 2) no se puede
simplificar más.
EJERCICIOS 3
log
b
b
x
(
)
=
x
Aplique las leyes de los logaritmos (hasta donde sea posible) para convertir los logaritmos en expresiones que incluyan sumas, diferencias, y múltiplos de los propios logaritmos.
1.
log
b
3
x
x
+
1
2.
log
b
x
2
x
-
1
3.
log
b
x
2
-
1
x
4.
log
b
1
x
2
5.
log
b
1
x
2
6.
log
b
x
+
1
x
-
1
Convierta cada expresión en el logaritmo de una sola expresión en x.
7. logb (x + 1) - logb (x + 2) 8. logb x + 2 logb (x - 1)
9.
1
2
log
b
x
2
-
1
(
)
-
1
2
log
b
x
2
+
1
(
)
10. logb (x + 2) - logb (x2 - 4)
11. 3 logb x - logb 2 - logb(x + 5) 12.
1
3
log
b
x
-
1
(
)
+
log
b
3
-
1
3
log
b
x
+
1
(
)
Use las leyes adecuadas de los logaritmos para explicar por qué es correcta cada expresión.
13. logb 27 + logb 3 = logb 243 - logb 3 14. logb 16 + logb 4 = logb 64
15.
-
2
log
b
4
9
=
log
b
81
16
16.
1
2
log
b
0
.
0001
=
-
log
b
100
Encuentre los logaritmos usando las leyes de los propios logaritmos y la siguiente información: logb 2 = 0.3010, logb 3 = 0.4771 y logb 5 = 0.6990. Suponga que todo los logaritmos tienen la misma base b.
17. (a) log 4 (b) log 8 (c) log 1/2 18. (a)
log
2
(b) log 9 (c) log 12
19. (a) log 48 (b) log 2/3 (c) log 125 20. (a) log 50 (b) log 10 (c) log 25/6
21. (a)
log
5
3
(b)
log
20
3
(c)
log
900
22. a) log 0.2 (b) log 0.25 (c) log 2.4
Resuelva para x y verifique
23. log10 x + log10 5 = 2 24. log10 x + log10 5 = 1 25. log10 5 – log10 x = 2
26. log10 (x + 21) + log10 x = 2 27. log12 (x - 5) + log12 (x - 5) = 2 28. log3 x + log3 (2x + 51) = 4
29. logl6 x + logl6 (x - 4) = 5/4 30. log2 (x2) - log2 (x - 2) = 3 31. log10 (3 - x) – log10 (12 - x) = -1
32. logl0 (3x2 - 5x - 2) – log10 (x - 2) = 1 33. log1/7 x + log1/7 (5x - 28) = -2
34. log1/3 12x2 - logl/3 (20x - 9) = -1 35. log10 (x3 - 1) – log10 (x2 + x + 1) = -2
36. 2 log10 (x - 2) = 4 37. 2 log25 x – log25 (25 - 4x) = 1/2
38. log3 (8x3 + 1) – log3 (4x2 - 2x + 1) = 2
*39. Demuestre la ley 2. (Sugerencia: guíese con la demostración de la ley l, usando
b
r
b
s
=
b
r
-
s
)
*40. Demuestre la ley 3. (Sugerencia: use (br)k = brk.)
*41. Demuestre para x: (x + 2) logb bx = x.
*42. Resuelva para x: logN2 N = x.
*43. Resuelva para x: logx (2x)3x = 4x.
*44. (a) Explique por qué logb b = 1.
(b) Demuestre que (logb a)(loga b) = l. (Sugerencia: aplique usted la ley 3 y el resultado blogbx = x.)
*45. Utilice BlogBN = N para obtener:
log
B
N
=
log
b
N
log
b
B
(Sugerencia: empiece tomando el logaritmo de ambos lados en la base b).
4. La base e
Todas las gráficas de y = bx, para b > 1 tienen la misma forma básica, como se pone de manifiesto en la figura siguiente. Observe usted que, cuanto mayor es el valor de b, tanto más aprisa asciende la curva hacia la derecha y más rápidamente se aproxima el eje de las x hacia la izquierda. Usted puede usar la imaginación para ver que, cuando se tomen en consideración todos los valores posibles de la base b > 1, las curvas correspondientes llenarán completamente la regiones sombreadas, como se ilustra en la siguiente página.
b
log
b
x
=
x
Todas estas curvas pasan por el punto P(0, 1). Las rectas tangentes a las curvas en el punto mencionado resultan virtualmente horizontales (con una pequeña pendiente positiva) para los valores de b cercanos a 1, en tanto que son casi verticales para los valores grandes de b. Las pendientes de dichas tangentes consisten en todos los números m > 0.
12
Por las marcas señaladas en la Cuadrícula, usted puede observar que la pendiente de la tangente a y = 2x es menor que 1 ; pues, para cada aumento de 1 unidad en sentido horizontal, la variación en el sentido vertical resulta menor que 1 unidad. De manera semejante, puede usted apreciar que la pendiente de la tangente a y = 3x es ligeramente mayor que 1. Sospechamos que debe haber un valor b que permita que la pendiente de la tangente a la correspondiente función exponencial y que pase por P resulte exactamente igual a 1. En efecto, en cursos avanzados es posible demostrar que existe dicho valor de b. El número indicado desempeña un papel muy importante en las matemáticas y se designa por medio de la letra e.
e es el número real que permite que la tangente a la curva definida por y = ex, en el punto P(0, 1), tenga la pendiente igual a 1.
A
BC
Como la curva correspondiente a y = ex queda entre las definidas por y = 2x e y = 3x, esperamos que e satisfaga esta condición: 2 < e < 3. En efecto, esto es correcto; de hecho, resulta que e es un número irracional que está más cerca de 3 que de 2. Aproximado hasta cienmilésimos, se obtiene: e = 2.71828.
Es importante tener presente que e es un número real, así como π es un número real que encontramos con frecuencia en las matemáticas. Los valores específicos para las potencias de e se pueden encontrar en la tabla II del apéndice. Por ejemplo, con dicha tabla obtenemos los siguientes valores, redondeados a décimos, centésimos o milésimos.
AB
(
)
2
C
e
2
=
7
.
39
e
-
2
=
0
.
135
e
3
=
20
.
1
e
-
3
=
0
.
050
e
4
=
54
.
6
e
-
4
=
0
.
018
Para propósitos teóricos, e es el número más importante como base de funciones exponenciales y logarítmicas. La inversa de y = ex está dada por y = loge x. En lugar de loge x, escribimos ln x, expresión que recibe el nombre de logaritmo natural de x. Por lo tanto. x = ey e y = ln x son equivalentes.
A
B
C
Como e > l, las propiedades de y = bx y de y = logbx (b > 1) siguen cumpliéndose con y = ex y con y = In x. A continuación, reunimos estas propiedades para una fácil referencia.
A
3
BC
(
)
3
2
log
b
x
-
1
(
)
+
1
2
log
b
x
En cada lista, la propiedad 8 es consecuencia directa de que las funciones
f
(
x
)
=
e
x
y
g
(
x
)
=
ln
x
sean inversas. Por consiguiente,
x
=
f
(
g
(
x
))
=
f
(ln
x
)
=
e
ln
x
y también
x
=
g
(
f
(
x
))
=
g
(
e
x
)
=
ln
e
x
Además, consulte usted el caso general, en la página 367.
log
b
16
27
1
+
1
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
En los ejemplos siguientes, se utiliza la base e para resolver cada caso de manera semejante a la que puso antes en práctica, con otras bases.
EJEMPLO 1(a) Encuentre el dominio de
y
=
ln(
x
-
2
)
. (b) Elabore la gráfica de
y
=
ln
x
2
, para x > 0.
Solución
(a) Como el dominio de
y
=
ln
x
consta de cada x > 0, el dominio de
y
=
ln(
x
-
2
)
consistirá en cada x para la cual se tenga x – 2 > 0; o sea, cada x > 2.
(b) Dado que
y
=
ln
x
2
=
2
ln
x
, obtenemos la gráfica multiplicando por 2 las ordenadas de
y
=
ln
x
.
EJEMPLO 2 Sea
f
(
x
)
=
3
x
2
x
2
+
4
. Aplique las leyes de los logaritmos para escribir
ln
f
(
x
)
como una expresión que incluya sumas, diferencias y múltiplos de los logaritmos naturales.
Solución Como
f
(
x
)
=
3
x
2
x
2
+
4
, podemos proceder de la siguiente manera:
ln
f
(
x
)
=
ln
3
x
2
x
2
+
4
=
ln
3
x
2
-
ln(
x
2
+
4
)
(Por la ley 2 de los logaritmos)
=
ln
3
+
ln
x
2
-
ln(
x
2
+
4
)
(Por la ley 1 de los logaritmos)
=
ln
3
+
2
ln
x
-
ln(
x
2
+
4
)
(Por la ley 3 de los logaritmos)
Siempre que M = N, por la definición de función, se deduce que ln M = ln N. Es decir, para valores iguales en los dominios de M y N, sólo puede haber un valor en el rango.
EJEMPLO 3 Resuelva para
t
:
e
ln(
2
t
-
1
)
=
5
Solución
e
ln(
2
t
-
1
)
=
5
2
t
-
1
=
5
(Propiedad 8, para
y
=
e
x
;
e
ln
x
=
x
)
2
t
=
5
t
=
3
EJEMPLO 4 Resuelva para t:
e
2
t
-
1
=
5
.
Solución Escribimos la expresión exponencial en forma logarítmica.
e
2
t
-
1
=
5
2
t
-
1
=
ln
5
(log
e
5
=
ln
5
=
2
t
-
1
)
2
t
=
1
+
ln
5
t
=
1
2
1
+
ln
5
(
)
Verificación:
e
2
1
2
1
+
ln
5
(
)
[
]
-
1
=
e
1
+
ln
5
-
1
=
e
ln
5
=
5
Con aproximación hasta milésimos:
t
=
1
2
1
+
ln
5
(
)
=
1
.
305
EJEMPLO 5 Resuelva para x:
ln(
x
+
1
)
=
1
+
ln
x
.
Solución
ln(
x
+
1
)
-
ln
x
=
1
ln
(
x
+
1
)
x
=
1
Ahora, convertimos la expresión a la forma exponencial:
(
x
+
1
)
x
=
e
ex
=
x
+
1
(
e
-
1
)
x
=
1
x
=
1
e
-
1
Verificación:
ln
1
e
-
1
+
1
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
ln
e
e
-
1
=
ln
e
-
ln(
e
-
1
)
=
1
+
ln(
e
-
1
)
-
1
=
1
+
ln
1
e
-
1
Recuerde: Si logb x = y, entonces: by = x.
ln
x
+
1
x
=
log
e
x
+
1
x
=
1
Por lo tanto,
e
1
=
x
+
1
x
EJEMPLO 6 (a) Presente
h
(
x
)
=
ln(
x
2
-
5
)
como la composición de dos funciones. (b) Exprese
F
(
x
)
=
e
x
2
-
3
x
como la composición de tres funciones.
Solución
(a) Sean:
f
(
x
)
=
ln
x
y
g
(
x
)
=
x
2
+
5
. Entonces:
(
f
o
g
)(
x
)
=
f
(
g
(
x
))
=
f
(
x
2
+
5
)
=
ln(
x
2
+
5
)
=
h
(
x
)
(b) Sean:
f
(
x
)
=
e
x
,
g
(
x
)
=
x
,
h
(
x
)
=
x
2
-
3
x
. Entonces:
(
f
o
g
h
)(
x
)
=
f
(
g
(
h
(
x
)))
h es la función “interna”
=
f
(
g
(
x
2
-
3
x
))
g es la función “central”
=
f
(
x
2
-
3
x
)
f es la función “externa”.
(son posibles otras soluciones)
EJEMPLO 7 Determine los signos de
f
(
x
)
=
x
2
e
x
+
2
xe
x
.
Solución Encontramos que
f
(
x
)
=
x
2
e
x
+
2
xe
x
=
xe
x
(
x
+
2
)
, donde ex > 0 para cualquier x, en tanto que los demás factores se igualan a cero, cuando x = 0 o cuando x = -2.
Intervalo
-¥
,
-
2
(
)
-
2
,
0
(
)
0
,
¥
(
)
Signo de x + 2
-
+
+
Signo de x
-
-
+
Signo de f(x)
+
-
+
f
(
x
)
>
0
, en los intervalos
(
-¥
,
-
2
)
y
(
0
,
¥
)
.
f
(
x
)
<
0
, en el intervalo (-2,0)
Use valores específicos para verificaren cada intervalo, con el fin de determinar el signo de f(x) para dicho intervalo. Por ejemplo, sea x = -1 en el intervalo (-2,0).
EJERCICIOS 4
Trace en los mismos ejes las gráficas de cada pareja de funciones.
1.
y
=
e
x
;
y
=
e
x
-
2
2.
y
=
e
x
;
y
=
2
e
x
3.
y
=
ln
x
;
y
=
1
2
ln
x
4.
y
=
ln
x
;
y
=
ln(
x
+
2
)
5.
y
=
ln
x
;
y
=
ln(
-
x
)
6.
y
=
e
x
;
y
=
e
-
x
7.
y
=
e
x
;
y
=
e
x
+
2
8.
y
=
ln
x
;
y
=
ln
x
9.
f
(
x
)
=
-
e
-
x
;
g
(
x
)
=
1
-
e
-
x
10.
g
(
x
)
=
1
-
e
-
x
;
s
(
x
)
=
1
-
e
-
2
x
11.
g
(
x
)
=
1
-
e
-
x
;
t
(
x
)
=
1
-
e
(
-
1
2
)
x
12.
u
(
x
)
=
1
-
e
-
3
x
;
v
(
x
)
=
1
-
e
(
-
1
3
)
x
Explique cómo es posible obtener la gráfica de f a partir de la curva definida por y = ln x. (Sugerencia: aplique primero las leyes adecuadas de los logaritmos.)
13.
f
(
x
)
=
ln
ex
14.
f
(
x
)
=
x
x
2
+
1
15.
f
(
x
)
=
ln
x
16.
f
(
x
)
=
ln
1
x
17.
f
(
x
)
=
ln(
x
2
-
1
)
-
ln(
x
+
1
)
18.
f
(
x
)
=
ln
x
-
3
Encuentre el dominio.
19.
f
(
x
)
=
ln(
x
+
2
)
20.
f
(
x
)
=
ln
x
21.
f
(
x
)
=
ln(
2
x
-
1
)
22.
f
(
x
)
=
1
ln
x
23.
f
(
x
)
=
ln(
x
-
1
)
x
-
2
24.
f
(
x
)
=
ln(ln
x
)
Utilice (hasta donde sea posible) las leyes de los logaritmos para escribir ln f(x) como un expresión que incluya sumas, diferencias u múltiplos de los logaritmos naturales.
25.
f
(
x
)
=
5
x
x
2
-
4
26.
f
(
x
)
=
x
x
2
+
1
27.
f
(
x
)
=
(
x
-
1
)(
x
+
3
)
2
x
2
+
2
28.
f
(
x
)
=
x
+
7
x
-
7
29.
f
(
x
)
=
x
3
(
x
+
1
)
30.
f
(
x
)
=
x
x
2
-
1
3
Convierta cada una de las siguientes expresiones en el logaritmo de una sola expresión.
31.
1
2
ln
x
+
ln(
x
2
+
5
)
32.
ln
2
+
ln
x
-
ln(
x
-
1
)
33.
3
ln(
x
+
1
)
+
3
ln(
x
-
1
)
34.
ln(
x
3
-
1
)
-
ln(
x
2
+
x
+
1
)
35.
1
2
ln
x
-
2
ln(
x
-
1
)
-
1
3
ln(
x
2
+
1
)
Simplifique.
36.
ln(
e
3
x
)
37.
e
ln
x
38.
ln(
x
2
e
3
)
39.
e
-
2
ln
x
40.
(
e
ln
x
)
2
41.
ln
e
x
e
x
-
1
æ
è
ç
ö
ø
÷
Resuelva para x.
42.
e
3
x
+
5
=
100
43.
e
-
0
.
01
x
=
27
44.
e
x
2
=
e
x
e
3
4
45.
e
ln(
1
-
x
)
=
2
x
46.
ln
x
+
ln
2
=
1
47.
ln(
x
+
1
)
=
0
48.
ln
x
=
-
2
49.
ln
e
x
+
1
=
3
50.
e
ln(
6
x
2
-
4
)
=
5
x
51.
ln(
x
2
-
4
)
-
ln(
x
+
2
)
=
0
52.
(
e
x
+
2
-
1
)
ln(
1
-
2
x
)
=
0
53.
ln
x
=
1
2
ln
4
+
2
3
ln
8
54.
1
2
ln(
x
+
4
)
=
ln(
x
+
2
)
55.
ln
x
=
2
+
ln(
1
-
x
)
56.
ln(
x
2
+
x
-
2
)
=
ln
x
+
ln(
x
-
1
)
57. Use una calculadora para completar la tabla. Anote cada valor con aproximación hasta diezmilésimas (cuatro cifras).
n
2
10
100
500
1000
5000
10,000
1
+
1
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
Demuestre que cada función es la compuesta de dos funciones.
58.
h
(
x
)
=
e
2
x
+
3
59.
h
(
x
)
=
e
-
x
2
+
x
60.
h
(
x
)
=
ln(
1
-
2
x
)
61.
h
(
x
)
=
ln
x
x
+
1
62.
h
(
x
)
=
(
e
x
+
e
-
x
)
2
63.
h
(
x
)
=
ln
x
3
Demuestre que cada función es la compuesta de tres funciones.
64.
F
(
x
)
=
e
x
+
1
65.
F
(
x
)
=
e
(
3
x
-
1
)
2
66.
F
(
x
)
=
ln(
x
2
+
1
)
[
]
3
67.
F
(
x
)
=
ln
e
x
+
1
68. f(x) = xex + ex 69. f(x) = e2x' - 2xe2x70. f(x) = -3x2e-3x + 2xe-3x71. f(x) = 1 + ln x
72. Demuestre que
ln
x
4
-
x
2
-
4
4
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-
ln
x
+
x
2
-
4
(
)
*74. Resuelva para
x
:
e
x
+
e
-
x
2
=
1
*75. Resuelva para x en función de
y
:
y
=
e
x
2
-
1
2
e
x
(Sugerencia: haga usted
u
=
e
x
y resuelva la expresión cuadrática en u que obtenga.)
2. Crecimiento y decrecimiento exponencial
Existe una gran variedad de problemas de aplicación relacionados con las funciones exponenciales y logarítmicas. Antes de tomar en consideración estas aplicaciones, será útil aprender a resolver una ecuación exponencial. como
2
x
=
35
.
2
x
=
35
ln
2
x
=
ln
35
Si
A
=
B
,
entonces
:
ln
A
=
ln
B
(
)
x
ln
2
=
ln
35
¿
Por
qué
?
(
)
x
=
ln
35
ln
2
Se puede obtener una aproximación al valor de x usando la tabla III del apéndice. Los números de esta tabla suministran los valores de ln x aproximados hasta milésimos. (En la mayor parte de los casos, ln x es irracional.) En esa misma tabla, tenemos: ln 2 = 0.693. Aunque ln 35 no se suministra (directamente) en la tabla, podemos encontrarlo aplicando la segunda ley de los logaritmos.
ln
35
=
ln
3
.
5
(
)
10
(
)
=
ln
3
.
5
+
ln
10
=
1
.
253
+
2
.
303
Tabla
III
(
)
=
3
.
556
Ahora, tenemos:
x
=
ln
35
ln
2
=
3
.
556
0
.
693
=
5
.
13
Como tosca verificación, observamos que 5.13 es un valor razonable, ya que 25 = 32.
Observe que los valores encontrados en la tablas de logaritmos son sólo aproximaciones. Para evitar complicaciones. Empero, usaremos el signo igual (=)
VERIFIQUE SU COMPRENSION
Resuelva para x cada ecuación expresada con logaritmos naturales. Señale la solución aproximada usando la tabla III.
1. 4x = 5 2. 4-x = 5 3.
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
12
4. 23x = 10 5. 4x=15 6. 67x = 4
Al principio de la Sección 1, desarrollamos la fórmula y = (10,000)2x, que nos da el número de bacterias presentes en un cultivo, después de x horas de proliferación; 10,000 es el número inicial de bacterias. ¿Cuánto tardará este cultivo de bacterias en llegar a 100,000? Para contestar este pregunta, hagamos y = 100,000 y resolvamos la ecuación para x.
10
,
000
(
)
2
x
=
100
,
000
2
x
=
10
Divi
dim
os
entre
10
,
000
(
)
x
ln
2
=
ln
10
x
=
ln
10
ln
2
=
2
.
303
0
.
693
=
3
.
32
Tardará aproximadamente 3.3 horas.
1
+
1
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
En el ejemplo anterior, se usaron funciones exponenciales y logarítmicas para resolver un problema de crecimiento exponencial. Muchos problemas que implican el crecimiento exponencial o el decrecimiento exponencial se pueden resolver usando la fórmula general:
y
=
f
x
(
)
=
Ae
kx
que muestra en qué forma depende del tiempo x la cantidad de una sustancia determinada y. Como
f
0
(
)
=
A
, la propia A representa la cantidad inicial de la sustancia, en tanto que k es una constante. En una situación dada,
k
>
0
significa que y es un valor creciente (aumenta) con el tiempo. Para
k
<
0
, la sustancia decrece (disminuye). (Compare usted las gráficas de
y
=
e
x
y de
y
=
e
-
x
).
También el citado problema de las bacterias se ajusta a esta fórmula general, como se puede observar al sustituir
2
=
e
ln
2
en la ecuación
y
=
10
,
000
(
)
2
x
:
y
=
10
,
000
(
)
2
x
=
10
,
000
(
)
e
ln
2
(
)
x
=
10
,
000
e
ln
2
(
)
x
EJEMPLO 1 Una sustancia radiactiva se desintegra (y se convierte en otro elemento químico) de acuerdo con la fórmula:
y
=
Ae
-
0
.
2
x
, donde y es la cantidad remanente después de x años.
(a) Si tenemos la cantidad inicial A = 80 gramos. ¿qué cantidad quedará después de 3 años?
(b) La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en descomponerse la mitad de la misma. Encuentre la vida media de esta sustancia. en la que A = 80 gramos.
Solución
(a) Como A = 80. tenemos:
y
=
80
e
-
0
.
2
x
. Necesitamos resolver esta ecuación para la cantidad y, cuando
x
=
3
.
y
=
80
e
-
0
.
2
x
=
80
e
-
0
.
2
3
(
)
=
80
e
-
0
.
6
=
80
0
.
549
(
)
Tabla
II
(
)
=
43
.
920
Habrá alrededor de 43.9 gramos después de 3 años.
(b) Esta pregunta se refiere al tiempo x en el que sólo queda la mitad de la cantidad inicial. En consecuencia, la vida media x constituye la solución de
40
=
80
e
-
0
.
2
x
. Dividimos ambos lados entre 80:
1
2
=
e
-
0
.
2
x
Tomamos el logaritmo natural de ambos lados, o convertimos la expresión en la forma logarítmica, para obtener:
-
0
.
2
x
=
ln
1
2
. Como
ln
1
2
=
ln
1
-
ln
2
=
-
ln
2
, resolvemos la ecuación para x de la manera siguiente:
-
0
.
2
x
=
-
ln
2
x
=
ln
2
0
.
2
=
3
.
465
La vida media aproximadamente 3.465 años.
1
+
1
10
æ
è
ç
ö
ø
÷
10
=
2
.
59374
El carbono 14, representado mediante 14C, es un isótopo radiactivo de dicho elemento, que tiene una vida media de alrededor de 5750 años. Encontrando qué cantidad de 14C contienen los restos de lo que fue un organismo vivo, es posible determinar qué porcentaje representa de la cantidad original de 14C, en el momento de la muerte. Una vez que se tiene esta información, la fórmula
y
=
Ae
kx
nos permite calcular la antigüedad de los restos. La fecha correspondiente se obtiene al resolver la ecuación para la constante k. Dado que la cantidad de 14C después de 5750 años será
A
2
, obtenemos lo siguiente:
Explique cada paso de esta solución
A
2
=
Ae
5750
k
1
2
=
e
5750
k
5750
k
=
ln
1
2
k
=
ln
0
.
5
5750
Sustituimos k por este valor en
y
=
Ae
kx
para obtener la siguiente fórmula de la cantidad residual del carbono 14. después de x años:
y
=
Ae
ln
0
.
5
/
5750
(
)
x
EJEMPLO 2 Se encuentra que el esqueleto de un animal contiene la cuarta parte de la cantidad original de 14C . ¿Qué antigüedad tiene el esqueleto?
SoluciónSea x la antigüedad del esqueleto. Entonces:
1
4
A
=
Ae
ln
0
.
5
/
5750
(
)
1
4
=
e
ln
0
.
5
/
5750
(
)
x
ln
0
.
5
5750
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
=
ln
1
4
=
-
ln
4
x
=
5750
(
)
-
ln
4
(
)
ln
0
.
5
=
11
,
500
El esqueleto tiene alrededor de 11,500 años de antigüedad.
1
+
1
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
100
=
2
.
70481
También las fórmulas usadas en la evaluación del interés compuesto constituyen aplicaciones del crecimiento exponencial. Cuando una inversión gana un interés compuesto, esto significa que el interés obtenido después de un periodo fijo de tiempo se agrega a la inversión inicial y, entonces, el nuevo total, gana intereses durante el siguiente periodo de inversión; y así, sucesivamente. Supongamos. por ejemplo, que una inversión de P pesos gana intereses cada año con el rédito del r por ciento de interés compuesto anual. En estas condiciones. después del primer año, el valor total corresponde a la suma de la inversión inicial P más el interés Pr (r se utiliza en forma de fracción decimal). De este modo, el total después de un año es
P
+
Pr
=
P
1
+
r
(
)
Después del segundo año, la cantidad total es
P
1
+
r
(
)
más el interés ganado por esta cantidad, el cual corresponde a
P
1
+
r
(
)
r
. Entonces, el total después de dos años es
P
1
+
r
(
)
+
P
1
+
r
(
)
r
=
P
1
+
r
(
)
1
+
r
(
)
=
P
1
+
r
(
)
2
De modo parecido, después de tres años, el total es
P
1
+
r
(
)
2
+
P
1
+
r
(
)
2
r
=
P
1
+
r
(
)
2
1
+
r
(
)
=
P
1
+
r
(
)
3
y, después de t años, la cantidad final A está dada por
A
=
P
1
+
r
(
)
t
Los periodos para señalar el rédito por el interés compuesto son habitualmente menores de un año. Pueden ser trimestrales (4 veces al año), mensuales o diarios, o de cualquier otro intervalo. En casos así, la tasa de interés para el periodo señalado corresponde al rédito r anual dividido entre el número de los periodos de interés que hay en cada año. Así, si el interés compuesto es trimestral, la tasa de interés para cada periodo corresponde a r/4. Ahora, de acuerdo con el razonamiento usado para obtener
A
=
P
1
+
r
(
)
t
, la cantidad final A, después de un año (4 periodos redituables), es:
A
1
=
P
1
+
r
4
æ
è
ç
ö
ø
÷
4
Si hay n periodos redituables por año, el rédito por cada periodo viene a ser r/n y, después de un año, tenemos
A
1
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
De manera semejante, después de t años, la cantidad final A, está dada por
A
t
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
nt
Este resultado se puede derivar del resultado anterior. Véase el Ejercicio 46.
EJEMPLO 3Una inversión de $5000 gana intereses con el rédito anual del 8.4 %, compuesto mensualmente. Conteste usted lo siguiente:
(a) ¿Qué cantidad se tendrá después de un año?
(b) ¿Qué suma de dinero habrá después de 10 años?
(c) ¿Qué interés se habrá ganado en los 10 años?
Solución
(a) Como el rédito anual corresponde a r = 8.4% = 0.084, y el interés compuesto se determina mensualmente, la tasa del interés mensual es r/n = 0.084/12 = 0.007. Sustituimos este valor, con P = 5000 y n = 12, en
A
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
.
A
=
5000
1
+
0
.
007
(
)
12
=
5000
1
.
007
(
)
12
=
5436
.
55
Para determinar el valor de (1,007)12, use una calculadora que tenga la tecla exponencial, generalmente señalada con el símbolo yx . Primero registre 1.007, oprima la tecla yx y, a continuación registre el 12 para obtener 1.08731. (También es posible usar una tabla con las tasas de interés compuesto.)
Al redondear la cantidad de dinero suprimiendo los centavos, la cantidad que permanece en depósito, después de un año, es $5437,
(b)Usamos la fórmula:
A
t
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
nt
donde
P
=
5000
,
r
n
=
0
.
007
,
n
=
12
,
y
t
=
10
.
A
=
5000
1
.
007
(
)
12
10
(
)
=
5000
1
.
007
(
)
120
=
11547
.
99
Después de 10 años, la cantidad asciende aproximadamente a $11,548.
(c) Después de 10 años, el interés ganado es
11548 - 5000 = 6548 pesos
1
+
1
1000
æ
è
ç
ö
ø
÷
1000
=
2
.
71692
Como ejemplo, tome usted r = 0.2 y use una calculadora para verificar los siguientes cómputos, redondeados hasta cienmilésimos (cinco cifras decimales), que demuestren que
1
+
0
.
2
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
se aproxima a
e
0
.
2
conforme n se vuelve cada vez más grande.
1
+
0
.
2
10
æ
è
ç
ö
ø
÷
10
=
1
.
21899
1
+
0
.
2
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
100
=
1
.
22116
1
+
0
.
2
1000
æ
è
ç
ö
ø
÷
1000
=
1
.
22138
Además
,
e
0
.
2
=
1
.
22140
La nota al margen, en la página 377, señala que los valores de
1
+
1
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
se aproximan al número e, conforme n se hace cada vez más grande. También es cierto que
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
se aproxima a
e
r
, conforme n aumenta cada vez más. Estas observaciones, cuando se hacen matemáticamente precisas. conducen a la siguiente fórmula del interés compuesto continuo:
A
=
Pe
rt
donde P es la inversión inicial, r es la tasa de interés anual y t es el número de años, En estas condiciones, $1000 invertidos al 10% de interés compuesto continuo, durante 10 años, producen una cantidad de
A
=
1000
e
0
.
10
(
)
10
(
)
=
1000
e
1
=
1000
2
.
718
(
)
=
2718
Tras 10 años, a pesar de aplicarse un interés compuesto continuo, la cantidad que permanezca en depósito (redondeada al entero más cercano) no aumentará a más de $2718.
EJEMPLO 4Supongamos que se invierten $1000 al 10% de interés compuesto continuo. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que se duplique esta inversión?
SoluciónDeseamos que la cantidad final en depósito sea $2000. Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación, y necesitamos resolverla para t:
2000
=
1000
e
0
.
10
(
)
t
2
=
e
0
.
1
(
)
t
Divi
dim
os
entre
1000
(
)
ln
2
=
0
.
1
(
)
t
Escribimos
en
la
forma
log
arítmica
(
)
ln
2
0
.
1
=
t
Divi
dim
os
entre
0
.
1
(
)
0
.
693
0
.
1
=
t
Encontramos
ln
2
en
la
tabla
III
(
)
6
.
93
=
t
Se necesitarán aproximadamente 7 años para que la inversión duplique su valor. Como verificación, observe usted, en la tabla III, que
e
0
.
1
(
)
7
(
)
=
e
0
.
7
=
2
.
01
,
que es aproximadamente igual a 2.
y
=
e
x
EJERCICIOS 5
Use la tabla III y calcule el valor de cada una de las siguientes expresiones aproximando hasta milésimos (tres cifras decimales).
1.
ln
6
ln
2
2.
ln
10
ln
5
3.
ln
8
ln
0
.
2
4.
ln
0
.
8
ln
4
5.
ln
15
ln
3
6.
ln
25
ln
5
7.
ln
100
ln
10
8.
ln
80
ln
8
Calcule el valor de y en
y
=
Ae
kx
, para los valores dados de A, k y x.
9. A = 100, k = 0.75, x = 4 10. A = 25, k = 0.5, x = 10
11. A = 1000, k = -1.8, x = 2 12. A = 12.5, k = -0.04, x = 50
Resuelva para k. Deje cada respuesta expresado en logaritmos naturales.
13. 5000 = 50
e
2
k
14. 75 = 150e
e
10
k
15.
A
3
=
Ae
4
k
16.
A
2
=
Ae
100
k
17. Un cultivo de bacterias crece de acuerdo con la fórmula
y
=
10
,
000
e
0
.
6
x
, donde x es el tiempo, expresado en días. Calcule el número de bacterias que habrá después de 1 semana.
18. Calcule el número de bacterias que hay en el cultivo del Ejercicio 17, después de que ha proliferado durante 12 horas.
19. ¿ Cuánto tiempo se necesitará para que se triplique el cultivo de bacterias del Ejercicio 17?
20. ¿ Cuánto tiempo hará falta para que el número de bacterias del Ejercicio 17 llegue a 1,000,000?
21. Cierta sustancia radiactiva se descompone de acuerdo con la fórmula exponencial
S
=
S
o
e
-
0
.
04
t
donde So es la cantidad inicial de la sustancia y S es la cantidad de dicha sustancia que queda después de t años. Si al principio hay 50 gramos de la sustancia radiactiva, ¿cuánto tiempo se necesitará para que se descomponga la mitad?
22. Demuestre usted que, cuando se resuelve para t la fórmula del Ejercicio 21, el resultado es
t
=
-
25
ln
S
S
o
23. Una sustancia radiactiva está desintegrándose de acuerdo con la fórmula
y
=
Ae
kx
, donde x es el tiempo, en años. Se tiene la cantidad inicial A = 10 gramos y, después de 5 años, quedan 8 gramos.
(a) Encuentre el valor de k. Deje la respuesta expresada en logaritmo natural.
(b) Calcule la cantidad restante después de 10 años.
(c) Calcule la vida media, aproximando hasta el décimo más cercano de un año.
24. La vida media del radio es de 1690 años, aproximadamente. Un laboratorio tiene 50 miligramos de radio.
(a) Utilice la vida media al resolver para k la ecuación
y
=
Ae
kx
. Deje la respuesta expresada en logaritmo natural.
(b) Aproximando a las decenas de años más cercanas, ¿cuánto tiempo se necesitará para que sólo queden 40 miligramos?
25. Supongamos que 5 gramos de una sustancia radiactiva se descomponen a razón de 4 gramos por cada 30 segundo. ¿Cuál es su vida media, aproximada hasta la décima de segundo más cercana?
26. ¿Cuánto tiempo se necesita para que se desintegren las dos terceras partes del material radiactivo del Ejercicio 25? Aproxime su respuesta a la décima de segundo más cercana.
27. Cuando se estudió por primera vez el crecimiento demográfico de cierta ciudad, tenía una población de 22,000 habitantes. Se encontró que la población P, en función del tiempo (en años), crecía de acuerdo con la fórmula exponencial
P
=
22
,
000
(
)
10
0
.
0163
t
(
)
¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población?
28. ¿Cuánto tiempo hará falta para que se triplique la población de la ciudad mencionada en el Ejercicio 27?
29. Se ha descubierto que una momia egipcia contiene el 60% de su 14C. Con aproximación al siglo más cercano, ¿qué antigüedad tiene la momia? (Observación: si A es la cantidad original de 14C, la cantidad restante será
3
5
A
)
30. Un esqueleto contiene la centésima parte de la cantidad original de 14C. Aproximando el valor al milenio más cercano, ¿cuál es la antigüedad del esqueleto?
31. Responda la misma pregunta del Ejercicio 30, si sólo queda una millonésima del 14C.
Use una calculadora que tenga la tecla exponencial y la de logaritmo natural
e
x
(
)
, para contestar las siguientes preguntas.
32. Supongamos que una inversión de $10,000 gana réditos con la tasa del 9% de interés compuesto anual. Si el tiempo de depósito de la inversión es de un año (t = 1), encuentre usted el valor de la inversión para cada uno de los siguientes periodos de aplicación del interés compuesto:
(a) n = 4 (trimestrales)(b) n = 12 (mensuales)(c) n = 52 (semanales)(d) n = 365 (diarios)
(e) continuamente.
33. Siga las instrucciones del Ejercicio 32, pero aumente a 5 años el tiempo de depósito de la inversión.
34. Calcule el interés ganado en cada caso del Ejercicio 32.
35. Siga las instrucciones del Ejercicio 32, pero cambie a 3.5 años el tiempo de depósito de la inversión.
36. Supongamos que se invierten $1500 a rédito con la tasa de 8% de interés compuesto continuamente, anual. ¿Qué cantidad habrá en depósito después de 5 años? ¿ Y después de 10 años?
37. La señorita Rivera deposita $5000 al 9% de interés anual. ¿Cuánto tiempo necesitará para que se duplique su inversión? ¿Cuánto tiempo tardará, si la tasa de interés fuera el 12%?
38. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que se duplique una inversión de $1000, si gana el 12% de interés compuesto, continuo, anual? ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse?
39. Una inversión de $1000 gana réditos a la tasa del r% compuesto, continuo, anual. Si la inversión se duplica en 5 años, ¿cuál es el valor de r?
40. ¿Cuánto tiempo hace falta para que se duplique una inversión de $4000, si gana réditos con la tasa del 8% de interés anual, compuesto trimestralmente?
41. En el Ejercicio 40, ¿cuánto tiempo se necesitaría, si los periodos de aplicación del interés compuesto fueran mensuales?
42. Una inversión P gana el 9% de interés anual. compuesto continuamente. Después de 3 años, el valor de la inversión es de $5000. Encuentre usted la cantidad inicial P. (Sugerencia: resuelva para P la fórmula
A
=
Pe
rt
.)
43. Conteste la pregunta del Ejercicio 42 empleando 6 años como tiempo de depósito.
44. Una inversión P gana el 8% de interés anual, compuesto en periodos trimestrales. Después de un año, el valor de la inversión es de $5000. Encuentre la cantidad inicial P. (Sugerencia: resuelva
A
1
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
para P.)
45. ¿Qué suma de dinero se debe invertir a la tasa de interés del 12% anual, compuesto en periodos mensuales, para lograr que el valor de la inversión ascienda a $20,000 después de 5 años? (Sugerencia: resuelva usted
A
t
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
para P.)
46. Explique cómo se puede obtener el resultado
A
t
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
nt
a partir de
A
1
=
P
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
. [Advertencia: A2, el valor de la inversión después de 2 años, se obtiene cuando A ha ganado durante un año el interés compuesto n veces: por lo tanto,
A
=
A
1
+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
.]
3. Notación científica
Para escribir números muy grandes o muy pequeños los científicos usan con frecuencia una forma de expresión llamada notación científica. Como lo observará usted, la notación científica es útil para simplificar ciertos tipos de cómputos. He aquí algunos ejemplos de la notación científica:
623,000 = 6.23 x 105
0.00623 = 6.23 x 10-3
6230 = 6.23 x 103
0.0000623 = 6.23 x 10-5
Es fácil verificar que son correctos. Por ejemplo
6.23 x 105 = 6.23 x 100,000 = 623,000
6.23 x 10-3 = 6.23 x
1
10
3
=
6
.
23
1000
=
0
.
00623
Los ejemplos anteriores indican que un número N se ha puesto en la notación científica, cuando está expresado como el producto de un número del 1 al 10 por una potencia del propio 10 con exponente entero. Así, tenemos:
N
=
x
10
c
(
)
donde
1
£
x
<
10
y
c
es
un
entero
y
>
0
Ejemplos:
e
x
1
=
e
x
2
0
<
e
x
<
1
2
,
070
,
000
.
=
2
.
07
x
10
6
seis
cifras
hacia
la
izquierda
0
.
00000084
=
8
.
4
x
10
-
7
siete
cifras
hacia
la
derecha
Para convertir de nuevo en la notación normal un número dado en la notación científica, lo único que se necesita es desplazar el punto decimal las cifras señaladas por el exponente de 10. El punto decimal se mueve hacia la derecha cuando el exponente es positivo y hacia la izquierda cuando es negativo.
EJEMPLO 1 Escriba
1
.
21
x
10
4
en la notación normal.
SoluciónMovemos el punto decimal de 1.21 cuatro cifras hacia la derecha.
1
.
21
x
10
4
=
12
,
100
EJEMPLO 2 Escriba
1
.
21
x
10
-
2
en la notación normal.
SoluciónMovemos el punto decimal de 1.21 dos cifras hacia la izquierda.
e
0
=
1
1
.
21
x
10
-
2
=
0
.
0121
VERIFIQUE SU COMPRENSION
Convierta en notación científica.
1. 739 2. 73,900 3. 0.00739
4. 0.739 5. 73.9 6. 7.39
Convierta en notación normal.
7.
4
.
01
x
10
3
8.
4
.
01
x
10
-
3
9.
1
.
11
x
10
-
2
10.
1
.
11
x
10
5
11.
9
.
2
x
10
-
4
12.
4
.
27
x
10
0
La notación científica puede ayudar a simplificar cómputos aritméticos. Por ejemplo, para evaluar
2
,
750
,
000
(
)
0
.
015
(
)
750
primero, escribimos cada número en la notación científica:
2
,
750
,
000