7 mo grado

1. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 1 Desarrollo de clases 2. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos2 Nmeros positivos y negativos Expectativas de logro Desarrollan el concepto de un nmero opuesto. Distinguen entre nmeros positivos y negativos. Desarrollan el concepto de nmero entero. Representan nmeros enteros en la recta numrica. Identican el valor absoluto de un nmero entero. Dominan las operaciones bsicas con nmeros enteros para resolver problemas de la vida real. Resuelven problemas de la vida real que implican nmeros enteros. Identican nmeros racionales en problemas de la vida real y usan las operaciones bsicas para resolverlos. Reconocen en situaciones de la vida real la conveniencia de los nmeros decimales. Utilizan nmeros decimales en la solucin de problemas de la vida real. (44 horas) 11 12 Nmeros reales Raz cuadrada Relacin de orden con la raz cuadrada Valor de la raz cuadrada Nmeros irracionales Nmeros reales Operaciones con races cuadradas Racionalizacin Raz cbica Intervalos en la recta numrica Inters Inters simple Inters compuesto Sptimo grado Nmeros positivos y negativos Uso Representacin grca Relacin de orden Valor absoluto Adicin de nmeros con igual signo Adicin de nmeros con diferente signo Propiedad conmutativa y asociativa de la adicin Sustraccin PO slo con adicin Multiplicacin Propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicacin Potencias y races Divisin y las fracciones Recproco o inverso multiplicativo Operaciones combinadas Propiedad distributiva Exponente negativo Aplicacin de los nmeros negativos Relacin y desarrollo Octavo grado Noveno grado Unidad 1 Tanto por ciento Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1 Conversin entre tanto por ciento y fracciones Razn, proporcionalidad y por ciento Razones y proporciones Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Aplicacin de la proporcionalidad Tanto por ciento 3. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 3 Leccin ContenidosDistribucin de horas (44 horas) 1/13~7/13 8/13~9/13 10/13~11/13 12/13~13/13 1/9 2/9 3/9 Uso de los nmeros positivos y negativos Representacin grca en la recta numrica Relacin de orden Valor absoluto Adicin de nmeros con igual signo Adicin de nmeros con diferente signo Propiedad conmutativa y asociativa de la adicin Sustraccin Planteamiento slo con adicin Multiplicacin Propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicacin Divisin Recproco o inverso multiplicativo Operaciones combinadas Propiedad distributiva Exponente negativo Aplicacin de los nmeros negativos 1. Nmeros positivos y negativos (13 horas) 2. Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos (9 horas) Plan de estudio13 4/9~6/9 7/9~9/9 1/20~4/20 5/20~7/20 8/20~11/20 12/20~13/20 14/20~15/20 16/20 17/2~19/20 20/20 1/2~2/2 3. Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos (20 horas) Ejercicios (2 horas) Evaluacin Puntos de leccin Leccin 1: Nmeros positivos y negativos Se introducen los nmeros negativos como nmeros que tienen caractersticas o sentidos opuestos a los nmeros positivos. En la siguiente tabla se muestran estos sentidos. 14 1~3 Temperatura Temperatura 0 o C 4 Subida de temperatura Bajada de temperatura Temperatura de ayer 5 Ganancia o ingreso Prdida o egreso No hay movimiento de dinero 6 Altura Profundidad Nivel del mar 7 Punto hacia el este Punto hacia el oeste Punto O 8 Movimiento hacia el este Movimiento hacia el oeste No hay movimiento 9 Futuro Pasado Ahora 10 Transcurso de tiempo hacia el futuro Transcurso de tiempo hacia el pasado No hay transcurso de tiempo Ejemplo en el CT Cantidad positiva Cantidad negativa Punto de referencia No hay horas 4. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos4 Por ejemplo en A7, el punto A corresponde a +3 y el punto B corresponde a -2. C B AO 2 km 3 km Si se cambia la direccin positiva cambia el signo (Si se toma hacia el oeste como la direccin positiva, el punto A corresponde a -3 y el punto B a +2). Asimismo si se cambia el punto de referencia, cambian los nmeros que corresponden (Si se toma el punto C como punto de referencia el punto A corresponde a +7 y el punto B a +2). Despus de introducir el concepto de cantidad negativa con estos ejemplos, se abstrae el concepto de nmero negativo (es decir n- meros sin unidad de medida) y se ubican en la recta numrica. El punto que corresponde al 0 (cero) se llama origen y se expresa con la letra O. Se dene la relacin de dimensin (de orden) de los nmeros en la recta numrica diciendo que los nmeros que estn ms a la derecha son mayores. Se dene el valor absoluto de un nmero como la distancia entre ese nmero y el origen. Tambin se puede considerar como lo que queda despus de quitar el signo de un nmero. Leccin 2: Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Denicin de la adicin En el CT se dene la adicin como el compuesto de dos movimientos (expresados s- tos con echas en la recta numrica). Ejemplo: (+3) + (+2) +5 +3 +2 El punto de partida de la segunda echa (+2) comienza donde termina la primera (+3). La echa resultante o tercera echa (+5) tiene como punto de partida el punto de partida de la primera (+3) y termina donde termina la segunda (+2). Cuando los dos sumandos son nmeros positivos se sabe que la composicin de las dos echas se dirige hacia la derecha en la recta numrica y representa la adicin de los nmeros que corresponden a las echas. Como se pueden componer dos echas cualquiera que sea la direccin, se dene la adicin de los dos nmeros como el compuesto de las dos echas correspondientes. Ejemplo: (+3) + (-5) (-2) (-5) +3 Regla de la adicin Despus de denir la adicin se expresa la forma de la adicin como se presenta a continuacin de modo que los estudiantes puedan hacer el clculo formalmente. a + b, cuando a y b son del mismo signo. Signo: El que lleva a y b Valor absoluto: La suma de los valores absolutos de a y b. a + b, cuando a y b son de diferente signo. Signo: El del nmero que tiene mayor valor absoluto. Valor absoluto: La diferencia del valor absoluto mayor menos el valor absoluto menor. Propiedad conmutativa y asociativa de la adicin Propiedad conmutativa: a + b = b + a. Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) En los grados anteriores los estudiantes ya aprendieron estas propiedades con los nmeros positivos sin mencionar los trminos. La validez de stas con los nmeros negativos se puede comprobar manejando echas en la recta numrica; sin embargo en el CT slo se muestran con algunos ejemplos sin utilizar la recta numrica. Ejemplo: + = + ; (-4) + (+7) = (+7) + (-4) 5. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 5 Con estas propiedades se puede cambiar el orden de la adicin (Esta es la razn por la cual no se ensea el orden del clculo usando parntesis cuando hay slo adiciones) y por lo general es ms fcil sumar los nmeros positivos y negativos separadamente. Ejemplo: (-4) + (+7) + (+5) + (-3) = = (+7) + (-4) + (+5) + (-3) ... p. conmutativa = (+7) + (+5) + (-4) + (-3) ... p. conmutativa = {(+7) + (+5)} + {(-4) + (-3)} ... p. asociativa = (+12) + (-7) = +5 Denicin de la sustraccin Se dene la sustraccin como la operacin inversa de la adicin, es decir, la resta a - b es la solucin de la ecuacin x + b = a. Ejemplo: + (+4) = (+7) +4 +7 Se encuentra el nmero con la sustraccin (+7) - (+4). Tambin se sabe que se obtiene el nmero componiendo la echa que corresponde a -4 a la echa de +7. De esta manera se deduce que restar un nmero equivale a sumar este nmero con diferente signo y con el mismo valor absoluto. Aplicando estas observaciones se dene como una sustraccin donde aparece un n- mero negativo. Ejemplo: + (- 3) = -7 -3 -7 = (-7) - (-3) Para encontrar el resultado se compone la echa +3 a la echa -7, o sea que (-7) - (-3) = (-7) + (+3). +3 -7 Regla de la sustraccin La regla de la sustraccin es a - b = a + (-b) Adicin y sustraccin combinadas Como se puede convertir una sustraccin en una adicin, un PO con adicin y sustraccin se puede convertir en un PO slo con adicin y en este PO se utiliza una expresin ms simple. Ejemplo: (+3) - (+5) + (-8) - (-9) = = (+3) + (-5) + (-8) + (+9) = 3 - 5 - 8 + 9 En la ltima expresin se coloca 3 + 9 y - 5 - 8 separadamente y luego 12 - 13, esto es: 3 - 5 - 8 + 9 = 3 + 9 - 5 - 8 = 12 - 13 = -1 Se llama trmino a cada nmero de un PO slo con adicin. En el PO anterior los trminos son: +3, -5, -8 y +9. Leccin 3: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Denicin de la multiplicacin Cuando en una multiplicacin el multiplica- dor es un nmero negativo por ejemplo en 80 x (-5) no se puede aplicar el sentido de la multiplicacin aprendido en los grados anteriores. Para introducir la multiplicacin en el CT se utiliza el movimiento en la recta numrica igual que se hizo en el caso de la adicin. Pri- mero se presenta una situacin en la que se encuentra el resultado con una multiplicacin de dos nmeros positivos y luego usando una situacin semejante se extiende a los casos en que uno o ambos factores son negativos y se encuentra el producto. 6. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos6 Ejemplo: (+80) x (+5) Se interpreta (+80) como camina hacia el este a 80 m/min. Ahora est en el punto O. Dnde estar 5 minutos despus? Ahora 5 minutos despus 80m/min Oeste Este O Se aplica la frmula: (Velocidad) x (Tiempo) = (Posicin). Como la Velocidad = +80 y el Tiempo = 5; (+80) x (+5) = +400, as la Posicin = +400. Ejemplo: (-80) x (+5) Se interpreta (-80) como camina hacia el oeste a 80 m/min. Ahora est en el punto O. Dnde estar 5 minutos despus? Ahora 80m/min Oeste Este O 5 minutos despus Como la Velocidad = -80 y el Tiempo = 5; (-80) x (+5) = -400, as la Posicin = -400. Regla de la multiplicacin El producto de dos nmeros se obtiene as: Signo: Si los dos factores tienen el mismo signo el producto lleva el signo positivo (+). Si los dos factores tienen diferente signo el producto lleva el signo negativo (-). Valor absoluto: El valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos de los dos factores. Multiplicacin por 1 1 x a = a; a x 1 = a Esta propiedad la aprendieron los estudiantes con los nmeros positivos en los grados anteriores, aqu slo se generalizar a los nmeros negativos. Multiplicacin por -1 Se abrevia (-1) x a como -a Ejemplo: (-1) x (+5) = -5; porque (-1) x (+5) = -(+5) y -(+5) = -5 (-1) x (-5) = 5; porque (-1) x (-5) = -(-5) y -(-5) = 5 Nota: Hay que prestar atencin a que no se ha denido -a para un nmero negativo a. Ejemplo: -a > 0 si a < 0 Multiplicacin por cero x 0 = 0, 0 x = 0, a x 0 = 0; 0 x a = 0 Esta propiedad la aprendieron los estudiantes con los nmeros positivos en los grados anteriores, aqu slo se generalizar para los nmeros negativos. Propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicacin a x b = b x a; (a x b) x c = a x (b x c) Signo del producto con varios factores Si la cantidad de los factores negativos es par, el producto lleva el signo positivo. Si la cantidad de los factores negativos es impar, el producto lleva el signo negativo. Raz cbica Si existe la relacin a3 = b, se dice que el nmero a es la raz cbica de b y se escribe a = b 3 Ejemplo: 3 8 = 2 pues 23 = 8; 3 -8 = -2 pues (-2)3 = -8 Divisin En el CT se dene la divisin como la operacin inversa de la multiplicacin. x b = a equivale a a b = La relacin entre la multiplicacin y la divisin es igual a la que existe entre la adicin y la sustraccin, y tambin lo es su forma de enseanza. Primero hay que asegurar la relacin entre la multiplicacin y la divisin usando los nmeros positivos. 7. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 7 Ejemplo: x (+3) = + 12 equivale a (+12) (+3) = Usando esta relacin se extiende la divisin a los nmeros negativos. Ejemplo: x (+3) = -12 equivale a (-12) (+3) = x (-3) = +12 equivale a (+12) (-3) = x (-3) = -12 equivale a (-12) (-3) = De estos ejemplos se deduce la siguiente regla de la divisin: Signo: Si el signo de los dos nmeros es igual el cociente es positivo y si los signos son diferentes el cociente es negativo. Valor absoluto: El valor absoluto del cociente es el cociente de los valores absolutos de los dos nmeros. Divisin con cero Cuando el nmero a es diferente de cero, 0 a = 0. No se puede dividir entre cero. Fraccin negativa Ejemplo: -5 3 = 5 -3 = - 5 3 porque (-5) (+3) = (+5) (-3) = - (5 3) Recproco o inverso multiplicativo El nmero b que al multiplicarlo por a es igual a 1 se llama recproco de a o inverso multiplicativo de a. Ejemplo: 5 3 - 5 3 1 3 - 1 3 1 2 1 2 - 3 5 3 5 -3 -3 0.4 -0.4 0 2 -2 2.5 -2.5 Nmero Recproco No existe Dividir entre un nmero equivale a multiplicar por su recproco. Ejemplo: 3 4 6 7 = 3 4 x 7 6 = 7 8 Operaciones combinadas Caso (1) El PO lleva slo multiplicacin y/o divisin. Se convierten las divisiones en multiplicaciones. Ejemplo: ( )2 3 -x = x x 4 5 8 15 4 5 ( )2 3 - 15 8 = - 4 5 x x 2 3 15 8( ) = -1 Caso (2) El PO lleva tanto adicin y/o sustraccin como multiplicacin y/o divisin. Se realizan primero las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. Ejemplo: 7 x 3 + 48 6 = 21 + 8 = 29 Caso (3) El PO lleva parntesis. Se calcula primero la parte que va entre parntesis. Ejemplo: 2 + (6 + 12) 6 = 2 + 18 6 = 2 + 3 = 5 Propiedad distributiva ( a + b ) x c = a x c + b x c; c x ( a + b) = c x a + c x b Esta propiedad los alumnos la aprendieron en los grados anteriores con los nmeros positivos sin mencionar su nombre. Aqu se cono- ce su nombre y se generaliza a los nmeros negativos. Aplicacin Para encontrar la suma total de datos casi iguales hay una manera que consiste en se- leccionar un nmero que se aproxima a la media de estos datos y que se toma como punto de referencia. El total se encuentra multiplicando el punto de referencia por el nmero de datos y a este producto se le suma el total de las diferencias de los datos menos el punto de referencia. Ejemplo: Se toma 70 como punto de referencia. 78 +8 Datos Dato - 70 65 67 58 70 72 64 83 -5 0-12-3 +2 -6 +13 La suma de los datos es 70 x 8 + (-3) = 557 Punto de referencia Nmero de datos Total de las diferencias de los datos menos la media 8. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos8 Nmeros positivos y negativosLeccin 1: (1~2/13) Expresar la temperatura y el cambio de temperatura con nmeros positivos y negativos. (M) Lmina con las ilustraciones de los termmetros. Objetivo: Materiales: Desarrollo de clases 1. Comentar lo observado en el mapa y la tabla. [A] * Aprovechando los comen- tarios hacer referencia a las 12 ciudades sealadas en el mapa y que las mismas aparecen en la tabla. * Concluir que en la tabla aparece la temperatura de ayer y hoy de las diferentes ciudades. 2. Escribir el cambio de temperatura. M: Cmo es el cambio de temperatura en la ciudad de Li- ma? RP: Es de uno, de uno ms, es mayor, etc. M: Cmo es el cambio de temperatura en la ciudad de Te- gucigalpa? RP: Es de uno menos, es menor, etc. * Explicar el cambio de temperatura: positivo (Lima) y negativo (Tegucigalpa). * Indicar que escriban en la tabla el cambio de temperatura de las dems ciudades. 3. Escribir en los cuadritos del mapa la informacin pe- dida. [A1] * Indicar que el cuadrito de arriba representa la temperatura de las 12:00 a.m. de hoy y el de abajo el cambio de temperatura entre ayer y hoy. M: Cul es la temperatura de hoy en la ciudad de Ottawa? RP: Es de -8 C. M: Cul es el cambio de temperatura entre ayer y hoy en la ciudad de Ottawa? RP: Es de 10 C. M: Cules nmeros escribire- 15 mos en los cuadritos para la ciudad de Ottawa? RP: -8 y +10. M: Cules nmeros escribiremos en los cuadritos para la ciudad de Miami? RP: 13 y +3. * Ayudar a los alumnos que tengan problemas en encontrar el cambio de temperatura, especialmente cuando el cambio es negativo. Contina en la siguiente pgina... 9. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 9 Leccin 1: (1~2/13) Nmeros positivos y negativos ... viene de la pgina anterior. * Si los estudiantes tienen problemas para encontrar las respuestas de Ottawa y An- chorage, pdales que hagan una representacin grca. 4. Comentar lo observado en los termmetros. [A2] M: Existe algn punto de referencia para medir la temperatura con un termmetro?, cul es? RP: S, el nmero cero. * Explicar el signicado de un punto de referencia y pedir que lo identiquen en los termmetros. * Solicitar que escriban la temperatura que indica el termmetro. * Indicar que para medir la temperatura deben contar las ra- yitas arriba o abajo del cero segn el caso. 5. Escriba la temperatura in- dicada en los termmetros. [A3] M: Qu temperatura marca el termmetro (d)? RP: -12 C. * Solicitar que escriban la temperatura para los termmetros (a) ~ (c). 6. Explicar el signicado de un nmero negativo en relacin con la temperatura. * Indicar que para medir la temperatura se utiliza 0 como punto de referencia. * Indicar que existen temperaturas ms altas que 0 y ms bajas que 0. * Llenar los cuadros mostrados en la explicacin. * Explicar el uso del signo ms (+) y el signo menos (-) en las temperaturas. [Continuacin] 7. Resolver 1 . * Explicar que con el signo positivo o negativo se puede expresar la posicin relativa con respecto al punto de referencia. 10. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos10 Nmeros positivos y negativosLeccin 1: (3/13) Expresar el cambio en la cantidad con nmeros positivos o negativos referente a la ganancia y la prdida, y la altura y la profundidad. (M) Lmina con la ilustracin de la pgina 4 del CT. Objetivo: Materiales: 1. Calcular el cambio de temperatura. [A4] M: Cunto ha cambiado la temperatura en la ciudad de Te- gucigalpa? RP: 3 C, +3 C, ms 3 C. M: Cunto ha cambiado la temperatura en la ciudad de Co- mayagua? RP: -5 C, menos 5 C. * Indicar que se expresa con signo positivo el cambio de la temperatura si la de hoy es ms alta que la de ayer o con signo negativo si sucede lo contrario. 2. Resolver 2 . 3. Expresar la ganancia con signo positivo y la prdida con signo negativo. [A5] M: Si 600 lempiras de ganancia se expresa con +600 cmo se expresa 300 lempiras de prdida? RP: -300. * Concluir que la ganancia se expresa con signo positivo y la prdida con signo negativo. 4. Expresar la altura con signo positivo y la profundidad con signo negativo. [A6] * Indicar que observen el dibujo y lo comenten tomando en cuenta el signo positivo y negativo. M: Cmo puede expresarse la altura de la montaa de Cela- que? RP: +2827 m. M: Cmo puede expresarse la depresin (profundidad) del desierto de Colorado? RP: -610 m. * Concluir que se toma el nivel del mar como punto de referencia para expresar un n- mero con signo positivo o negativo. * Sugerir a los estudiantes que ejempliquen situaciones donde utilizan los nmeros positivos y negativos. RP: En mi casa hay un pozo de -5 m de profundidad. Hoy mir una antena como de +20 m de altura. 5. Resolver 3 . 11. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 11 Leccin 1: (4/13) Objetivo: Materiales: Nmeros positivos y negativos Expresar el cambio en la cantidad con nmeros positivos o negativos referente a la posicin o movimiento hacia el este y el oeste, y el norte y el sur. (M) Lmina con la ilustracin de carreteras que estn ubicadas de este a oeste y de norte a sur. 1. Expresar la posicin y/o el movimiento con nmeros negativos o positivos. * A travs de un juego en el aula los estudiantes ubicarn el punto de referencia en el centro del aula y marcarn los cuatro puntos cardinales. Los estudiantes se ubicarn de acuerdo al nmero positivo o negativo que el maestro diga ya sea como posicin o movimiento. La competencia se har en parejas, primero con la direccin este-oeste y despus la norte-sur. Las reglas del juego pueden cambiar en funcin del objetivo de la clase. 2. Expresar con nmeros positivos o negativos la posicin de un punto. [A7] M: Segn el dibujo cmo se expresa la posicin del punto B que queda 2 km hacia el oeste desde el punto O? RP: -2 km. * Es importante que se cercio- re que los estudiantes ubican correctamente los puntos cardinales. 3. Resolver 4 y 5 . 4. Expresar con nmeros positivos o negativos los movimientos. [A8] M: Segn el dibujo cmo se expresa 3 km de movimiento hacia el oeste? RP: -3 km. * Concluir que la direccin del movimiento es positiva si es hacia el este y negativa si es hacia el oeste. 5. Resolver 6 . Todas las actividades desarrolladas en esta clase deben relacionarse con el juego. Los estudiantes deben formular sus propias conclusiones y discutirlas. 12. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos12 Nmeros positivos y negativosLeccin 1: (5/13) Expresar el cambio en la cantidad con nmeros positivos o negativos en relacin al tiempo antes o despus de ahora y el tiempo de transcurso al pasado o al futuro. (M) Reloj de cartn o uno de pared. Objetivo: Materiales: 1. Expresar con nmeros positivos o negativos el tiempo antes o despus de ahora. [A9] * Pdales que observen los dibujos de los relojes y los comenten. * Aprovechando los comen- tarios hacer referencia a los tres momentos y la posicin de las agujas. M: Si se expresa con +15 minutos el momento 15 minutos despus de ahora cmo se expresa el momento 20 minutos antes de ahora? RP: -20 minutos. * Indicar que se puede expresar el tiempo con nmeros positivos y negativos utilizando el ahora como punto de referencia. 2. Resolver 7 . 3. Expresar con nmeros positivos o negativos el tiempo trascurrido. [A10] * Pdales que observen los dibujos de los relojes y determi- nen el punto de referencia. M: Si se expresa con +20 minutos los 20 minutos de tras- curso del tiempo cmo se expresa los 10 minutos de transcurso al pasado? RP: -10 minutos. * Indicar que se puede expresar con nmeros positivos y negativos el tiempo trascurrido o el tiempo transcurrido al pasado tomando una hora cualquiera como punto de referencia. * Indicar que usando los nmeros con signo positivo o negativo se pueden expresar las cantidades que tienen caractersticas contrarias. 4. Marcar en un reloj horas positivas y negativas. * Pedir a los estudiantes que marquen horas positivas y negativas en el reloj. Por ejemplo, si el punto de referencia es 10:45 a.m. qu hora representa +30 minutos?, qu hora representa -20 minutos? RP: 11:15 a.m. y 10:25 a.m. 5. Resolver 8 . 13. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 13 Leccin 1: (6/13) Objetivo: Materiales: Nmeros positivos y negativos Denir el conjunto de los nmeros naturales (N) y el conjunto de los nmeros enteros (Z). 1. Expresar como negativos los nmeros menores que cero. [A11] M: Cmo hemos expresado las temperaturas bajo cero grado (los egresos con lempiras, las cantidades bajo el nivel del mar, el tiempo antes de ahora)? RP: Con el signo menos, con el signo negativo. M: Si se expresa como +5 el n- mero que es 5 mayor que el cero tomando el cero como punto de referencia cmo se puede expresar el nmero que es 5 menor que cero? RP: Como -5. * Indicar que un nmero menor que cero se expresa con el signo menos. 2. Llamar nmeros negativos y positivos. M: Cmo se llaman los nmeros que son mayores (menores) que cero? RP: Nmeros positivos (negativos). * Indicar que el cero no es positivo ni negativo y que se utiliza como punto de referencia entre stos. 3. Resolver 9 . 4. Denir los nmeros naturales. * Indicar que a los nmeros que sirven para contar se les llama nmeros naturales. * Indicar que este conjunto se representa con la letra N. * Indicar que el conjunto de los naturales no incluye el cero. 5. Denir los nmeros enteros. * Indicar que la unin de los n- meros naturales, el cero y los nmeros negativos forman el conjunto de los nmeros enteros. * Indicar que este conjunto se representa con la letra Z. * Indicar los subconjuntos de Z (Z- , {0} y Z+ ) 6. Concluir que todo nmero natural es entero. [A12] M: Los nmeros {1, 2, 3, } son naturales o enteros? RP: Son naturales y son enteros. M: Los nmeros {-1, -2, -3, } son naturales o enteros? RP: Son enteros pero no son naturales. * Concluir que todo nmero natural es entero pero no al revs. * Concluir que los nmeros naturales estn contenidos en los nmeros enteros. 14. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos14 1. Denir los nmeros racionales. * Indicar que la unin de las fracciones positivas, el cero y las fracciones negativas (for- madas por el signo menos y una fraccin) forman el conjunto de los nmeros racionales. * Indicar que este conjunto se representa con la letra Q. * Indicar los subconjuntos de Q (Q- , {0} y Q+ ) 2. Concluir que todo nmero entero es racional. [A13] M: Los nmeros {1, -1, 2, -2, 3, -3, } son enteros o racionales? RP: Son enteros y racionales. * Indicar que todo nmero entero se puede expresar como racional. M: Los nmeros {- 1 4 , - 2 3 , - 3 3 , - 4 2 , } son enteros o racionales? [A14] RP: Los nmeros - 1 4 y - 2 3 son racionales y los nmeros - 3 3 = -1 y - 4 2 = -2 son racionales y a la vez enteros. * Concluir que todo nmero entero es racional. * Concluir que no todo nmero racional es entero. * Concluir que los nmeros enteros estn contenidos en los nmeros racionales. 3. Denir los nmeros decimales. M: Cmo puede expresarse 2.4 como una fraccin? RP: Multiplicando el numerador y el denominador por 10, 2.4 x 10 10( ), 12 5 . * Concluir que los nmeros racionales cuyos denominado- res son mltiplos de 10 son nmeros decimales. Nmeros positivos y negativosLeccin 1: (7/13) Denir el conjunto de los nmeros racionales (Q).Objetivo: Materiales: * Concluir que como todo nmero decimal se puede escribir como un nmero racional, los nmeros decimales son nmeros racionales. 4. Concluir que N Z Q. M: Si N Z y Z Q, qu relacin se establece entre N y Q?, y entre N, Z y Q? RP: Que N Q y que N Z Q. * Explicar estas relaciones con ejemplos numricos. 15. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 15 Leccin 1: (8~9/13) Objetivo: Materiales: Nmeros positivos y negativos Representar nmeros positivos y negativos en la recta numrica. (M) Recta numrica. (N) CT, regla graduada en cm. 1. Representar en la recta numrica los nmeros negativos. [B1] * Indicarles que dibujen una recta numrica y que ubiquen los nmeros naturales y el cero. * Cerciorarse que los segmen- tos sean de la misma longitud, por ejemplo 1 cm. M: Dnde ubicamos los nmeros naturales (positivos) en la recta numrica? RP: A la derecha del nmero cero. M: Dnde ubicamos los nmeros negativos en la recta numrica? PR: A la izquierda del nmero cero. * Indicar que extiendan la recta numrica a la izquierda y que hagan las respectivas divisiones igual que se hizo con los nmeros positivos. * Indicar en la recta numrica la direccin positiva y la direccin negativa. M: Cmo se ubican los nmeros negativos en la recta numrica? * Indicar que en la primera divisin a la izquierda de 0 se ubica -1, en la segunda se ubica -2 y as sucesivamen- te. M: En la recta numrica qu nmero se encuentra entre los enteros positivos y los negativos? RP: El nmero cero. * Indicar que al punto que corresponde el nmero cero se le llama origen y se representa con la letra O. Adems se toma como un punto de referencia en la recta numrica. 2. Representar en la recta numrica nmeros positivos y negativos. * Indicar que la representacin grca de un nmero en la recta numrica es un punto. * Pdales que representen grcamente los nmeros +4, -2, -3.5, - 1 2 y + 4 3 . 3. Resolver 10 y 11 . 16. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos16 Nmeros positivos y negativosLeccin 1: (10~11/13) Comparar dos nmeros y establecer la relacin de orden entre ellos. M) Recta numrica. (N) CT, regla graduada en cm. Objetivo: Materiales: 1. Establecer la relacin de orden entre dos nmeros. [C1] * Indicar que ubiquen en la recta numrica los nmeros +3 y +5. M: En la recta numrica cul nmero est ms a la derecha +3 +5?, cul es el mayor? RP: El +5 est ms a la derecha. El +5 es el mayor. * Indicar que expresen esta relacin como +5 > +3. * Concluir que de dos nmeros positivos es mayor el que se encuentra ms a la derecha en la recta numrica. M: En la recta numrica cul nmero est ms a la derecha +4 -2?, cul es el mayor? RP: El +4 est ms a la derecha. El +4 es el mayor. * Concluir que de dos nmeros es mayor el que se encuentra ms a la derecha en la recta numrica ya sea que stos sean positivos y/o negativos. * Tener mucho cuidado al comparar los nmeros decimales (expresados hasta dcimas) y racionales (con denomina- dores pequeos). 2. Expresar una relacin mayor que como una relacin menor que. M: Cmo puede expresarse +5 > +3 como una relacin menor que? RP: Como +3 < +5. * Concluir que toda relacin mayor que puede expresar como una relacin menor que y viceversa. * Concluir que de dos nmeros (positivos y/o negativos) es menor el que se encuentra ms a la izquierda en la recta numrica. 3. Resolver 12 . * Apoye a los estudiantes especialmente en aquellas parejas de n- meros racionales, ya que tienden a confundirse. Por ejemplo al comparar 1 2 y 1 3 establecen la relacin 1 3 > 1 2 que es errnea, por eso sugirales que utilicen la recta numrica. 17. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 17 Leccin 1: (12/13) Objetivo: Materiales: Nmeros positivos y negativos Encontrar el valor absoluto de un nmero y asociarlo a la relacin de orden. (M) Recta numrica. (N) CT, regla graduada en cm. 1. Encontrar la distancia entre un nmero y cero en la recta numrica. [D1] M: Cul est ms lejos de 0 en la recta numrica +3 -3? RP: Estn a igual distancia. 2. Llamar valor absoluto a la distancia en la recta numrica entre 0 y un nmero. M: En la recta numrica cul es la distancia entre 0 y +3? y entre 0 y -3? RP: Es 3. * Indicar que se llama valor absoluto de un nmero a la distancia en la recta numrica entre 0 y el nmero. * Indicar que se utilizan dos ba- rras para indicar el valor absoluto. * Concluir que +3 y -3 tienen el mismo valor absoluto, es decir l+3l = l-3l = 3 3. Resolver 13 . Contina en la siguiente pgina... 18. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos18 Nmeros positivos y negativosLeccin 1: (12/13) Comparar dos nmeros utilizando el valor absoluto.Objetivo: (13/13) Materiales: ... viene de la pgina anterior. 4. Comparar la dimensin de dos nmeros y su valor absoluto. [D2] * Presentar la tabla en la pizarra para que los estudiantes la llenen con la relacin de orden tanto para los nmeros como para sus valores absolutos. * Pedir a los estudiantes que saquen sus propias conclusiones conforme a la tabla. * Comparar las conclusiones con las presentadas en el CT. * Es importante que los estudiantes se den cuenta que en la recta numrica el valor absoluto se incrementa cuando el nmero se aleja de cero ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha. 1. Resolver 14 . * Utilizar la recta numrica que ilustra la relacin entre el orden y el valor absoluto. * Si un estudiante termina antes que los dems revsele el trabajo y dele otros ejercicios, o pdale que le ayude como tutor a otros compaeros que presentan dicultades. Si no terminan todos los ejercicios djelos como tarea y revse- los en la siguiente clase. [Hasta aqu 12/13] [Desde aqu 13/13] [Continuacin] 19. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 19 Leccin 2: (1/9) Objetivo: Materiales: Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Comprender el sentido de la suma de dos nmeros con el mismo signo en la recta numrica. Sumar dos nmeros con el mismo signo. (M) Un automvil de cartn, masking, lmina de la recta numrica y los movimientos. 1. Presentar la situacin de un automvil cuyos movimientos se ilustran en la grca. [A1]. M. Qu direccin tienen los dos movimientos pequeos? RP: Al este. M. En cul direccin qued es- tacionado el auto? RP: Hacia el este. M. Cul echa ilustra esta ltima situacin? RP: La de abajo. * Indicar que un movimiento hacia el este se expresa con signo positivo y hacia el oeste con signo negativo. 2. Analizar la situacin. [A2]. M: El auto est en el punto A. Avancemos al este (caso 1). Cuntos km avanza hasta la primera parada? RP: 3 km. * Indicar que cuenten los espa- cios en la recta numrica. M: Cuntos km ms avanza para llegar a la posicin - nal? RP: 2 km. M: Cuntos km recorri por todo desde el punto A? RP: 5 km. M: Con cul de las operaciones ilustramos estos movimientos y por qu? RP: Con la suma, con la adicin. Porque unimos los dos movimientos. 3. Conocer el PO. [A3] M: Cul ser el PO? RP: (+3) + (+2) = +5 M: Por qu +3, +2 y +5 son positivos? RP: Porque los tres son movimientos hacia el este. 4. Hacer el mismo anlisis con el caso (2). Contina en la siguiente pgina... 20. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos20 Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Leccin 2: (1/9) Comprender el sentido de la suma de dos nmeros con diferente signo en la recta numrica. Sumar dos nmeros con diferente signo. (M) Un automvil de cartn, masking, lmina con la ilustracin de (B1). Objetivo: (2/9) Materiales: [Hasta aqu 1/9] [Desde aqu 2/9] 1. Analizar la situacin de manera similar a la clase anterior Caso (1). [B1] M: Qu direccin tienen los dos movimientos? RP: Primero al oeste y despus al este. M: En cul direccin qued el auto al nal? RP: Hacia el este. M: Cuntos km avanza en cada movimiento? RP: 3 km, 5 km. M: A cuntos km qued el auto desde A? RP: 2 km. M: Al este u oeste? RP: Al este. 2. Conocer el PO. M: Cul ser el PO? RP: (-3) + (+5) = +2 M: Por qu -3 es negativo y +5 es positivo? RP: -3 porque va hacia el oeste y +5 al este. M: Por qu +2 es positivo? RP: Porque el auto queda a 2 km al este de A. 3. Hacer el mismo anlisis con el caso (2). 4. Resolver 3 . Contina en la siguiente pgina... ... viene de la pgina anterior. 5. Resolver 1 . 6. Conrmar el proceso para sumar dos nmeros que tienen el mismo signo. 7. Resolver 2 . * Puede reforzar los procedimientos para sumar decimales y fracciones. [Continuacin] 21. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 21 Leccin 2: (2/9) Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos ... viene de la pgina anterior. 5. Conrmar el proceso para sumar dos nmeros con diferente signo. 6. Resolver 4 . 7. Sumar nmeros racionales con distinto signo. [B2] * Desarrollar este ejercicio en forma similar a los anteriores. 8. Resolver 5 . [Continuacin] 22. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos22 Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Leccin 2: (3/9) Sumar nmeros positivos y negativos aplicando la propiedad conmutativa y asociativa. Objetivo: Materiales: 1. Sumar dos nmeros con igual o diferente signo cambiando el orden de los sumandos. [C1 a)] M: Cunto es (-4) + (+7)? RP: +3 M: Cunto es (+7) + (-4)? RP: +3 M: Cmo son estos resultados? RP: Iguales. M: Ahora sumen y comparen: (-5) + (-3); (-3) + (-5), cmo son los resultados? RP: Son iguales. M: Qu podemos concluir? RP: Que podemos sumar dos nmeros en cualquier orden y siempre da el mismo resultado. M: Cmo se llama esta propiedad? RP: Conmutativa. 2. Sumar tres nmeros con igual o diferente signo cambiando el orden de asocia- cin. [C1 b)] * Indicar a dos estudiantes que resuelvan en el pizarrn el PO del CT de las dos formas propuestas y que comparen sus respuestas. * Concluir a travs de preguntas y respuestas que por medio de la propiedad asociativa podemos sumar tres nmeros en diferente orden sin alterar el resultado. 3. Conrmar la validez de las propiedades conmutativa y asociativa con los nmeros positivos y negativos. 4. Resolver el ejemplo. [C2] * Plantear el ejercicio para que los estudiantes lo resuelvan por s mismos. * Inducir a los alumnos que asocien primero los dos nmeros positivos y despus los dos negativos (aplicacin de las propiedades conmutativa y asociativa). * Concluir que por medio de la propiedad asociativa podemos sumar tres o ms nmeros en diferente orden sin alterar el resultado. 5. Resolver 6 . 23. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 23 Leccin 2: (4/9) Objetivo: Materiales: Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Comprender el sentido de la resta de nmeros en la recta numrica. (M) Lmina con la ilustracin de los tres movimientos (D1) 1. Comentar la situacin y captar su sentido. [D1] M: Cuntos metros se avanz al comienzo? RP: No sabemos. M: Como no sabemos lo repre- sentaremos con . M: Cunto avanz en el segundo movimiento? RP: 4 km. M: Cunto avanz por todo? RP: 7 km. M: Con cul PO podemos expresar la composicin de estos movimientos? RP: Con la suma, + (+4) = +7 M: Cul es el PO para encontrar ? RP: = (+7) - (+4) = +3 2. Expresar el tercer movimiento. [D2] M: Como no conocemos el primer movimiento, imaginemos un tercer movimiento que es opuesto al segundo y que re- gresa al nal del primer movimiento. Con cul nmero podemos expresar este tercer movimiento? RP: -4 M. Por qu el tercer movimien- to se expresa con -4? RP: Porque va hacia el oeste. M. Cul es el PO que expresa la composicin del movimien- to de 7 km hacia el este con el tercer movimiento? RP: (+7) + (-4) = +3 3. Discutir las observaciones. * Comparando (a) con (b) concluir que la sustraccin es la operacin inversa a la adicin pues + (+4) = +7 equivale a (+7) - (+4). Comparan- do (b) con (d) concluir que la sustraccin se puede convertir en una adicin, pues (+7) - (+4) = (+7) + (-4). 24. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos24 Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Leccin 2: (5/9) Restar dos nmeros convirtiendo la sustraccin en una adicin. Objetivo: Materiales: 1. Expresar una adicin como una sustraccin. [D3] M: Con cul PO podemos encontrar el valor de la casilla en + (-3) = +2. RP: Con la sustraccin, = (+2) - (-3). M: Cmo puede expresarse = (+2) - (-3) como una suma? RP: = (+2) + (+3) M: Cul es el valor de la casilla? RP: +5, (+2) + (+3) = +5. * Indicar que utilicen las conclusiones de la clase anterior para resolver (1) y (2). 2. Conrmar la resta de un n- mero. M: Qu se hace para restar dos nmeros? RP: Sumarle al primer nmero el opuesto del segundo. * Concluir que para restar un nmero se suma un nmero que tiene el signo contrario y el mismo valor absoluto. 3. Resolver 7 . * Si los estudiantes tienen di- cultad para convertir una sustraccin en una adicin repa- se el contenido anterior. 25. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 25 Leccin 2: (6/9) Objetivo: Materiales: Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Restar cero de un nmero y viceversa. Resolver problemas aplicando la adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos. 1. Efectuar sustracciones con cero. [D4] M: Qu pasa si sumamos cero a un nmero? RP: Nos da el mismo nmero. M: Cul es el resultado de 0 - (+3)?, y de 0 - (-3)? RP: -3, +3 M: Si restamos un nmero del cero qu nos da? RP: El mismo nmero pero con signo contrario. M: Cul es el resultado de (+3) - 0? RP: +3 M: Cul es el resultado si restamos cero a un nmero? RP: El mismo nmero. 2. Resolver 8 y 9 . * En 9 como son problemas de aplicacin los alumnos deben leerlos detenidamente comprendiendo la situacin dada, haciendo una representacin grca del mismo, identicando los datos, escribiendo el PO, encontrando el resultado y dando la respuesta con sus unidades. 26. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos26 Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Leccin 2: (7/9) Convertir un PO con adiciones y sustracciones en un PO slo con adicin y calcularlo. Objetivo: Materiales: 1. Convertir a un PO slo con adicin. [E1] M: En (+3) - (+5) + (-8) - (-9) cuntas sustracciones hay? RP: 2 M: Cambien estas sustracciones de modo que slo haya adiciones en el PO. RP: (+3) + (-5) + (-8) + (+9) 2. Identicar los trminos de un PO. * Explicar que a cada sumando del PO anterior se le llama trmino. M: Cules son los trminos del PO anterior? RP: (+3), (-5), (-8) y (+9) * Indicarles que se le llama trmino a cada nmero de un PO que est representado slo con adicin. 3. Resolver 10 . 4. Encontrar el clculo de un PO slo con adicin. [E2] M: Cunto es el resultado del PO anterior? RP: -1 M: Cmo lo hicieron? RP: Sumamos primero los n- meros positivos y despus los negativos. Luego sumamos los dos resultados. * Explicar el desarrollo del clculo en la pizarra. * Indicar que primero se resuel- ve lo que est dentro de los parntesis. 5. Resolver 11 . 27. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 27 Leccin 2: (8~9/9) Objetivo: Materiales: Adicin y sustraccin de nmeros positivos y negativos Eliminar los parntesis de un PO slo con adicin y calcularlo. 1. Eliminar parntesis en un PO slo con adicin. [E3] M: En un PO slo con adiciones por qu podemos eliminar los parntesis? RP: Porque signica lo mismo, porque no se altera el resultado. M: Escriban (-4) + (+2) + (-3) sin parntesis. RP: -4 + 2 - 3 2. Resolver 12 y 13 . 3. Calcular el PO. [E4] M: Cul es el resultado de -3 + 6 + 5 -7? RP: 1 M: Cmo lo hicieron? RP: Sumamos primero los n- meros positivos y despus los negativos. Luego sumamos los dos resultados. * Explicar el desarrollo del clculo en la pizarra. * Indicar que se omite el signo positivo en la respuesta. * Como hay diversas formas de hacerlo que los estudiantes las desarrollen todas en la pizarra y las discutan. 4. Resolver 14 . 5. Calcular el PO. [E5] * Desarrollarlo en forma similar al anterior. 6. Resolver 15 . 28. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos28 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (1~2/20) Interpretar el sentido de la multiplicacin de dos n- meros en trminos de la velocidad, el tiempo y la posicin. (M) Lminas con los dibujos de las situaciones mos- tradas en [A]. Objetivo: Materiales: 1. Captar el sentido de la multiplicacin por nmeros negativos. [A1] M: Cul es el sentido de 4 x 3? RP: 4 + 4 + 4, 3 veces 4. M: Y el de (-80) x 5? RP: (-80) + (-80) + (-80) + (-80) + (-80) = - 400 M: Y el de (-80) x (-5)? RP: ? M: Qu podemos hacer? * Es probable que los estudiantes no tengan respuesta para estas dos ltimas preguntas por lo que habr que estudiar la siguiente situacin. 2. Interpretar la multiplicacin de dos nmeros positivos. [A2] * Interpretar el caso de Mara analizando los dibujos. M: Cmo se interpreta 80?, y 5? RP: 80 signica que avanza 80 metros por minuto hacia el este. 5 signica que han transcurrido 5 minutos despus de ahora. M: Despus de 5 minutos cuntos metros ha avanzado Ma- ra y en cul direccin? RP: 400 metros al este. M: Con cul PO podemos expresar la situacin anterior? RP: 80 x 5. M: En el PO 80 x 5 = 400 cul es la interpretacin de cada uno de los nmeros? * Concluir que 80 se interpreta como la velocidad, 5 como el tiempo transcurrido y 400 como la posicin despus de 5 minutos a una velocidad de 80 metros por minuto. * Concluir que el PO anterior se interpreta como (velocidad) x (tiempo) = (posicin). 3. Interpretar la velocidad, el tiempo y la posicin en trminos negativos. M: Si la velocidad hacia el este se considera positiva cmo se considera la velocidad hacia el oeste? RP: Negativa * Hacer preguntas similares con el tiempo antes de ahora y la posicin que corresponde a la distancia desde el punto O hacia el oeste? 4. Analizar la velocidad, el tiempo y la posicin cuando los valores son positivos, negativos o cero. [A3] * Indicar a los estudiantes que inventen PO para cada una de las po- sibilidades y las interpreten. Por ejemplo: 40 x 7, 9 x (-10), (-12) x 7 y (-20) x (-15). Contina en la siguiente pgina... 29. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 29 Leccin 3: (1~2/20) Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos ... viene de la pgina anterior. 5. Expresar la situacin con un PO. [A4] M: Cmo se interpreta la velocidad y el tiempo en el caso de Jos? RP: La velocidad negativa y el tiempo positivo. M: Con cul PO podemos expresar la situacin anterior? RP: (-80) x 5. M: Despus de 5 minutos cuntos metros ha avanzado Jos y en cul direccin? RP: 400 metros al oeste. M: Cmo podemos expresar la posicin de Jos? RP: -400 * Concluir que -80 se interpreta como la velocidad hacia el oeste, 5 como el tiempo transcurrido y -400 como la posicin hacia el oeste desde el punto O despus de 5 minutos a una velocidad hacia el oeste de 80 metros por minuto. 6. Expresar la situacin con un PO. [A5 y A6] * Auxilindose de las lminas interpretar las situaciones y determinar el PO y el clculo de forma similar a la anterior. [Continuacin] 30. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos30 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (3/20) Multiplicar dos nmeros aplicando la ley de los signos. Objetivo: Materiales: 1. Resolver 1 . * Escribir los PO en la pizarra junto con sus resultados: 80 x 5 = 400; (-80) x 5 = -400; 80 x (-5) = -400 y (-80) x (-5) = 400. M: Qu observan en cuanto al valor absoluto del producto? RP: Que es igual al producto de los valores absolutos de los factores. M: Qu observan en cuanto al signo del producto? RP: Que algunos son positivos y otros negativos. * Concluir lo que se presenta en el resumen. Hay que tener cuidado que los estudiantes no consulten el resumen del CT porque el objetivo es que ellos lo deduzcan. * Puede ejemplicar los cuatro casos de la multiplicacin con palabras (ms por ms, ms por menos, etc.). 2. Desarrollar el ejemplo. [A7] * Indicar que los desarrollen con ayuda del cuadro resumen del CT. * Concluir que la multiplicacin de dos nmeros de igual signo da resultado positivo. 3. Resolver 2 . 4. Desarrollar el ejemplo. [A8] * Indicar que los desarrollen con ayuda del cuadro resumen del CT. * Concluir que la multiplicacin de dos nmeros de distinto signo da resultado negativo. 5. Resolver 3 . Es muy importante vericar los procedimientos em- pleados por los estudiantes ya que se necesita el uso correcto de las tablas de multiplicar y los procedimientos para multiplicar nmeros decimales y fracciones. 31. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 31 Leccin 3: (4/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Multiplicar un nmero por 1, -1 y 0. 1. Multiplicar un nmero por 1 -1. [A9] M: Cul es el resultado de 3 x 1?, cmo se interpreta? RP: Es 3 porque 1 vez 3 es 3? M: Cmo es el producto en relacin con el nmero que no es 1 (caso a)? RP: Es igual al mismo nmero. * Concluir que al multiplicar un nmero positivo o negativo por 1 el resultado es el mismo nmero. M: Cmo es el producto en relacin con el nmero que no es -1 (caso b)? RP: Es igual al mismo nmero pero con signo contrario. * Concluir que al multiplicar un nmero positivo o negativo por -1 el resultado es el mismo nmero pero con signo contrario. 2. Analizar el ejemplo. [A10] M: Si el signo cambia al multiplicar por -1 a qu es equivalente (-1) x 3 y (-1) x (-3)? RP: -3 y 3. 3. Resolver 4 . 4. Multiplicar por cero. [A11] * Recordar la situacin plantea- da en [A4]. M: Qu sucede con la posicin de Jos despus de 0 minutos? RP: No avanza, no recorre nada, permanece en el mismo pun- to. Cmo se puede expresar con un PO esta situacin? RP: (-80) x 0 = 0. * Concluir que 0 representa el tiempo de ahora y por lo tanto no hay recorrido. * Desarrollar 0 x (-5) de forma anloga. M: Qu conclusin podemos sacar de todo esto? RP: Que un nmero multiplicado por cero es igual a cero. 5. Resolver 5 . 32. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos32 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (5/20) Multiplicar tres o ms nmeros en el orden ms con- veniente aplicando la propiedad conmutativa y asociativa. Objetivo: Materiales: 1. Multiplicar dos nmeros con diferente signo cambiando el orden de los factores. [B1] M: Calculen 3 x (-4) y (-4) x 3. Cmo son los resultados? RP: -12, son iguales. M: Qu podemos deducir de estas respuestas? RP: Que podemos multiplicar dos nmeros en cualquier orden y siempre da lo mismo. M. Cmo se llama esta propiedad? RP: Conmutativa. * Concluir que el signo y el valor absoluto del producto no dependen del orden de los factores. 2. Resolver el ejemplo. [B2] * Indicar a dos estudiantes que resuelvan en el pizarrn el PO del CT de las dos formas propuestas y que comparen sus respuestas. * Concluir a travs de preguntas y respuestas que por medio de la propiedad asociativa podemos multiplicar tres n- meros en diferente orden sin alterar el resultado. 3. Resolver el ejemplo. [B3] * Inducir a los alumnos para que asocien primeramente los dos nmeros que sean los ms adecuados (en este caso (-25) x 4 = 100) y despus aplicar la multiplicacin abreviada por 100. * Concluir que por medio de las propiedades conmutativa y asociativa podemos multiplicar tres o ms nmeros en diferente orden sin alterar el producto. 4. Resolver 6 . 33. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 33 Leccin 3: (6/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Determinar el signo del producto por la cantidad de factores negativos que tenga el PO. 1. Determinar el signo del producto. [B4] M: Cul es el signo del produc- to de (-1) x (-2) y (-1) x (-2) x (-3)? RP: Positivo (+) y negativo (-) respectivamente. M: Por qu da esos resultados? RP: Da positivo porque los dos factores son negativos. Da negativo pues al multiplicar los dos primeros factores da positivo y al multiplicarlo con el ltimo queda negativo. * Indicarles que obtengan el signo de los dems ejercicios (3)~(5). M: Observen los signos de los cinco productos anteriores qu observan? RP: Que se van alternando: positivo, negativo, etc. M: Observen el nmero de factores y saquen conclusiones. RP: Cuando hay 2, 4 6 factores con signo negativo el signo del producto es positivo y cuando hay 3 5 es negativo. * Concluir que si el nmero de factores negativos es par el producto es positivo y si es impar es negativo. Asimismo que el valor absoluto del producto es la multiplicacin de los valores absolutos de los factores. 2. Resolver el ejemplo. [B5] M: Cul es el resultado? RP: -120 M: Por qu el resultado es negativo? RP: Porque si hay tres factores negativos el producto es negativo. Si el nmero de factores negativos es impar (tres) el producto es negativo. 3. Resolver 7 . 34. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos34 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (7/20) Calcular potencias de exponente 2 y 3. Expresar potencias como raz cbica y viceversa. Objetivo: Materiales: 1. Calcular potencias con n- meros positivos. M: Cunto es 52 ? RP: 10, 7, 25. * Concluir que 52 signica multiplicar 2 veces el 5 (el exponente indica el nmero de veces que hay que multiplicar la base por s misma). 2. Calcular potencias con exponente 2. [C1] * Indicar que calculen (-2)2 y - 22 . M: Por qu los resultados son distintos?, cul es la diferencia en los PO? RP: En el primero la base -2 est entre parntesis y en el otro no. M: Qu concluyen? RP: Si elevamos un nmero negativo a la 2 ste debe ence- rrarse entre parntesis para que el resultado sea positivo y si no se encierra el resultado es negativo. 3. Resolver 8 . 4. Expresar potencias como races y viceversa. [C2]. M: Cmo puede expresarse 23 = 8 como una raz?, y (-2)3 = -8? RP: 3 8 = 2 y -8 = -2 3 * Concluir que a la base 2 y -2 se la llama raz cbica de 8 y -8 respectivamente. M: Calculen 53 y escrbanlo como una raz. RP: 53 = 125; 3 125 = 5 M: Cmo puede expresarse 3 27 = 3 como potencia? RP: 33 = 27 5. Resolver 9 . 35. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 35 Leccin 3: (8/20) Objetivo: Objetivo: (9/20) Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Escribir un PO de multiplicacin como un PO de divisin. Dividir dos nmeros aplicando la ley de los signos. 1. Escribir un PO con divisin. [D1] M: Cmo podemos conocer el nmero que va en la casilla en x (+3) = +12? RP: Buscando un nmero que multiplicado por +3 d igual a +12. Dividiendo, (+12) (+3). M: Cul es el nmero que va en la casilla? RP: +4 * Concluir que una multiplicacin se puede expresar como una divisin. * Concluir que el valor de en x (+3) = +12 se encuentra a travs de la divisin, es decir, = (+12) (+3). * Indicar que encuentren los valores para (2)~(4). 2. Resolver 10 . [Hasta aqu 8/20] [Desde aqu 9/20] 1. Analizar los signos en los PO de 10 . M: Cul es el signo de los n- meros de las casillas en (1) y (5)?, y en (4) y (6)? RP: Positivo M: Cul es el signo de los n- meros de las casillas en (2) y (8)?, y en (3) y (7)? RP: Negativo * Concluir que el cociente de la divisin de dos nmeros es positivo si ambos tienen el mismo signo y es negativo si tienen signos diferentes. Asi- mismo concluir sobre el valor absoluto. M: Con cul de las operaciones se parecen estos resultados? RP: Con la multiplicacin. Contina en la siguiente pgina... 36. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos36 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (9/20) ... viene de la pgina anterior. 2. Calcular los cocientes. [D2] * Indicar que calculen los cocientes determinando la ley de los signos. 3. Resolver 11 . 4. Escribir un cociente inexac- to como fraccin. [D3] M: Es exacto el cociente de dividir (-5) (+3)?, cmo se puede expresar como una fraccin? RP: No, - 5 3 . * Concluir que si uno de los trminos es negativo la fraccin resultante es negativa. * Desarrollar [D4] en forma similar. 5. Resolver 12 . [Continuacin] 37. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 37 Leccin 3: (10/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Convertir una fraccin en su equivalente decimal. 1. Calcular el equivalente decimal de una fraccin. [E1] * Repasar la escritura de 2 3 como una fraccin. M: Cmo se puede escribir - 3 8 con un PO de divisin? RP: (-3) 8 M: Dividan (-3) 8 cul es el resultado? RP: -0.375 * Concluir que - 3 8 = -0.375 * Apoyar el proceso de divisin ya que 3 < 8 y hay que agre- gar ceros al dividendo para continuar la divisin. * Desarrollar (2) de [E1] en forma similar. * Tener el cuidado de detener el proceso de divisin cuando en el cociente se repiten una o ms cifras. * Concluir que cuando el divisor es 2, 5, 8 o el producto de estos nmeros la divisin ser exacta. 2. Resolver 13 . * Puede permitirse el uso de la calculadora para vericar las respuestas. 38. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos38 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (11/20) Evaluar una fraccin compleja.Objetivo: Materiales: 1. Escribir la divisin de fracciones como una fraccin compleja. [E2] M: Cmo se puede escribir la divisin 2 3 ( )4 5 - como una fraccin? * Indicar que consideren cada fraccin como un nmero y no como dos. RP: ( )4 5 - = 2 3 2 3 4 5 - * Denir una fraccin compleja. 2. Evaluar una fraccin compleja. [E3] M: Escriba la fraccin compleja anterior como la divisin de dos fracciones y encuentre el resultado de la divisin. ( )4 5 = - 2 3 2 3 4 5 - 2 3 ( )5 4 5 6 = x - = - RP: * Llamar a este proceso evaluacin de una fraccin compleja. M: Qu se hace para evaluar una fraccin compleja? RP: Efectuar la divisin. 3. Resolver 14 . 39. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 39 Leccin 3: (12/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Encontrar el recproco de una fraccin. 1. Escribir un PO con divisin. [F1] M: Cmo podemos conocer el nmero que va en la casilla en - 2 3 x = +1? RP: Buscando un nmero que multiplicado por - 2 3 d +1. Dividiendo, +1 ( )2 3 - . M: Cul es el nmero que va en la casilla? RP: - 3 2 * Llamar a - 3 2 recproco o inverso multiplicativo de - 2 3 . * Concluir que el inverso multiplicativo de un nmero es otro cuyo producto con aquel es 1. 2. Encontrar el recproco de una fraccin. [F2] M: Comparen - 2 3 con - 3 2 cul es la diferencia? RP: Que sus trminos estn in- vertidos y conservan el mismo signo. M: Cul es el resultado de multiplicar estas dos fracciones? RP: Es 1. * Concluir que una fraccin es recproca de otra si el produc- to entre ellas es 1. * Trabajar en forma similar los dems recprocos de esta seccin. M: Cul es el recproco de 0 = 0 3 ? RP: 0, 3, 0 3 , no hay. * Discutir todas las respuestas y comprobar que cero no tiene recproco. 4. Resolver 15 . 40. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos40 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (13/20) Convertir una divisin en una multiplicacin y calcular. Objetivo: Materiales: 1. Comparar una divisin de fracciones con la multiplicacin equivalente utilizando el recproco. [F3] M: Calcule 6 7 ( )2 3 - 6 7 ( )3 2 - y x . Cmo son los resultados?, qu observa? RP: Los resultados son iguales. En la multiplicacin se utiliza el recproco del divisor. * Concluir que una divisin se puede convertir en una multiplicacin utilizando el recproco del divisor. 2. Dividir utilizando el recproco del divisor. [F4] * Desarrollar (1)~(3) en forma similar. * Indicar que conviertan las divisiones en multiplicaciones y calculen. 3. Resolver 16 . * Supervisar la forma del clculo de los estudiantes especialmente cuando el divisor es un nmero decimal. 41. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 41 Leccin 3: (14~15/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Calcular operaciones combinadas siguiendo la jerarqua de las operaciones. 1. Convertir en un PO slo con multiplicacin. [G1] M: Cul es el resultado de 4 5 x ( )2 3 - 8 15 ? RP: -1 M: Exprese el PO anterior slo con multiplicaciones y calcule. RP: 4 5 x ( )2 3 - x 15 8 M: Cmo son los resultados anteriores? RP: Son iguales, son equivalen- tes. * Concluir que un PO con multiplicaciones y divisiones puede convertirse en un PO slo con multiplicaciones. 2. Resolver 17 . 3. Resolver un PO que tiene las 4 operaciones bsicas. [G2] * Concluir en el desarrollo de la jerarqua de las operaciones bsicas. * Desarrollar 7 x 3 + 48 6 de acuerdo a la jerarqua de las operaciones. 4. Resolver 18 . 5. Resolver un PO con potencias y races adems de las operaciones bsicas. [G3] * Concluir en el desarrollo de la jerarqua de un PO con potencias, races y operaciones bsicas. * Desarrollar 24 x 3 + 3 8 x 2 - 3 x 6 de acuerdo a la jerarqua de las operaciones. 6. Resolver 19 . 42. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos42 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (16/20) Aplicar la propiedad distributiva.Objetivo: Materiales: 1. Aplicar la propiedad distributiva. [H1] M: Calculen (-7 + 5) x (-4) y (-7) x (-4) + 5 x (-4). Cmo son los resultados obtenidos? * Tener el cuidado que los estudiantes resuelvan primero lo que est entre parntesis y despus la otra operacin. RP: Iguales. * Desarrollar (2) y (3) en forma similar. M: Qu podemos concluir? * Concluir sobre la propiedad distributiva. * Indicar que diferencien entre las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. 2. Resolver 20 . 43. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 43 Leccin 3: (17/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Conocer la manera de calcular potencias con exponente cero o negativo. 1. Escribir un producto de potencias de igual base como una sola potencia. [I1] M: Exprese 23 , 24 y 23 x 24 como una multiplicacin de 2. RP: 2 x 2 x 2; 2 x 2 x 2 x 2 y (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2) M: Si 23 x 24 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2) cmo se puede escribir este producto como una sola potencia? RP: 27 M: Con estos resultados qu podemos concluir? RP: Que 23 x 24 = 27 . M: Qu pasa con la base comn y los exponentes? RP: Se escribe la base comn y se suman los exponentes. 2. Escribir un cociente de potencias de igual base como una sola potencia. * Desarrollarlo en forma similar al anterior. 3. Denir la potencia de exponente cero. [I2] M: Cul es el cociente en 23 23 ? * Sino surgen ideas, pdales que desarrollen las potencias y dividan los resultados. RP: 8 8 = 1 M: Cul es el resultado de 23 23 al aplicar la segunda propiedad vista anteriormente? RP: 23 23 = 23 - 3 = 20 M: Si 23 23 = 1 y 23 23 = 20 qu podemos concluir? RP: Que 20 = 1 4. Denir la potencia de exponente negativo. * Desarrollar [I2] (2) como se presenta en el CT para concluir que 2-4 = 1 24 44. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos44 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (18/20) Calcular potencias con exponente cero o negativo.Objetivo: Materiales: 1. Analizar las potencias de exponente cero y negativo. M: Comparen las propiedades del resumen con las respuestas obtenidas en la clase anterior, qu observan? RP: Que se parecen en su forma. M: Por qu se dice que la base es distinta de cero? * Explicar por qu el nmero cero no puede estar en la casilla (cero no puede ser base). * Hacer nfasis en la lectura de las propiedades, por ejemplo, un nmero elevado a la cero es igual a uno ( 0 = 1). * En las potencias de exponente negativo tener el cuidado de expresarlas con un 1 en el numerador y con exponente positivo en el denominador 2. Calcular potencias de exponente cero y negativo. [I3] * Desarrollar estos ejercicios como se plantean en el CT utilizando lo visto anteriormente. 3. Resolver 21 . 45. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 45 Leccin 3: (19/20) Objetivo: Materiales: Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Escribir una potencia de exponente negativo en su equivalente de exponente positivo. 1. Expresar una potencia de exponente negativo con exponente positivo. [I4] M: Calculen ( )3 2 -3 y ( )2 3 3 Cmo son los resultados obtenidos? RP: Iguales. M: Qu podemos concluir? * Concluir que una potencia con exponente negativo se puede expresar con exponente positivo. * Desarrollar (2) en forma similar. * En la potencia de exponente negativo se aplica la propiedad aprendida y en la de exponente positivo la denicin de potenciacin. 2. Analizar las propiedades del resumen. M: Cmo son las fracciones utilizadas? RP: Son recprocas. * Hacer que los estudiantes se den cuenta que las fracciones son recprocas entre s. M: Por qu se dice que tanto el numerador como el denominador deben ser distintos de cero? * Explicar que el cero no puede tomar estos valores porque no est denida la divisin entre cero. 3. Resolver 22 . 46. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos46 Multiplicacin y divisin de nmeros positivos y negativos Leccin 3: (20/20) Resolver problemas de la vida real utilizando el concepto de nmero negativo. Objetivo: Materiales: 1. Resolver el problema. [J1]. * Presentar el problema y discutir sobre l. M: Qu podemos hacer para resolver este problema? * Si surge la idea de aplicar la media debe aprovecharse, sin embargo el concepto que se est trabajando es el de los nmeros negativos por lo que se espera que utilicen la suma de las diferencias de los pesos con respecto al peso dado. Si la suma es negativa el elevador tiene capacidad para 8 personas y si es positiva no tiene capacidad. 2. Resolver el problema. [J2]. * Inducir a los estudiantes que utilicen la estrategia de calcular el agua que entra (600 + 15 x 20) menos la que se gasta (40 x 20) en el lapso de 20 minutos. La segunda forma de resolucin no es tan fcil de percibirla, pero se puede inducir proponindoles que calculen el agua que se pierde por minuto y extrapo- lndola a 20 minutos y que esta cantidad se la resten a la cantidad de agua que haba. 3. Resolver 23 . 47. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 47 Unidad 1: (1~2/2) Objetivo: Materiales: Nmeros positivos y negativos Ejercicios de la unidad Conrmar lo aprendido sobre los nmeros positivos y negativos. 1. Resolver 1 ~ 25 . * En esta seccin cuando se hable de nmeros se sobre- entiende que abarca a los positivos y a los negativos. Tipos de ejercicios: 1 Escritura y clculo de temperaturas con nmeros. 2 Expresin de situaciones con nmeros. 3 Otras situaciones donde se utilizan los nmeros. 4 Expresin de nmeros tomando el cero como referencia. 5 Representacin de nmeros en la recta numrica. 48. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos48 Nmeros positivos y negativos Ejercicios de la unidad Unidad 1: (1~2/2)6 Representacin de nmeros en la recta numrica 7 Relaciones de orden en los nmeros. 8 Conceptualizacin de n- mero negativo 9 Adicin de nmeros. 10 Sustraccin de nmeros. 11 Expresin y clculo de un PO slo con adicin de n- meros. [Continuacin] 49. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 49 12 Expresin y clculo de un PO slo con adicin de n- meros. 13 Multiplicacin de nmeros. 14 Determinacin del signo de una potencia. 15 Equivalencia de la potenciacin como radicacin. 16 Equivalencia de la radicacin como potenciacin. 17 Divisin de nmeros. Unidad 1: (1~2/2) Nmeros positivos y negativos Ejercicios de la unidad [Continuacin] 50. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos50 18 Evaluacin de fracciones complejas. 19 Divisin de nmeros utilizando el recproco. 20 Operaciones combinadas. 21 Expresin y clculo de un PO slo con multiplicacin. 22 Clculo de potencias. 23 Expresin de potencias con exponente negativo a positivo. 24 Resolucin de problemas empleando un PO con multiplicacin. 25 Resolucin de problemas. Nmeros positivos y negativos Ejercicios de la unidad Unidad 1: (1~2/2) Materiales: [Continuacin] 51. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 51 Unidad 1: Nmeros positivos y negativos Evaluacin de la unidad 1. Resolver 1 . 52. Unidad 1 - Nmeros positivos y negativos52 Nmeros positivos y negativos Evaluacin de la unidad Unidad 1: 2. Resolver 2 ~ 3 . Contina en la siguiente pgina... 53. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 53 Unidad 1: Nmeros positivos y negativos Evaluacin de la unidad ... viene de la pgina anterior. 3. Resolver 4 . 54. Unidad 2 - Variables y expresiones54 Variables y expresiones Expectativas de logro Desarrollan el concepto de variables y expresiones algebraicas. Usan variables y expresiones algebraicas para formalizar matemticamente frases de la vida real. (26 horas) 11 12 Polinomios Potenciacin Notacin cientca Clasicacin de polinomios Adicin y sustraccin Multiplicacin y divisin Valor numrico Productos notables Factorizacin Aplicacin de la factorizacin Inecuaciones lineales en una variable Smbolos de desigualdad Propiedades de la desigualdad Inecuaciones lineales Sptimo grado Variables y expresiones Expresiones con letras Reglas convencionales Expresin de cantidades con variables Valor numrico Producto de expresiones algebraicas por un nmero Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas Frmulas Relacin y desarrollo Octavo grado Noveno grado Ecuaciones lineales en una variable Igualdades numricas Ecuaciones Ecuaciones lineales Propiedades de la igualdad Solucin de ecuaciones lineales Aplicacin de las ecuaciones lineales Expresiones racionales algebraicas Expresiones racionales algebraicas Multiplicacin y divisin Adicin y sustraccin Despeje de variables Ecuaciones cuadrticas en una variable Ecuaciones cuadrticas Resolucin de ecuaciones cuadrticas mediante: Factorizacin Uso de la raz cuadrada Completacin al cuadrado (frmula cuadrtica) Aplicacin de las ecuaciones cuadrticas. Unidad 2 Sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables Sistema de ecuaciones Mtodos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables Aplicacin del sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables Funcin lineal Razn de cambio Sistema de coordenadas cartesianas Grca de una funcin lineal Ecuacin de la recta Criterio de paralelismo y per- pendicularidad Grca de ecuaciones lineales en dos variables Solucin grca de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Aplicacin de la funcin lineal Ecuaciones lineales en dos variables 55. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 55 Leccin ContenidosDistribucin de horas (26 horas) 1~3/12 4~5/12 6~8/12 9~10/12 11~12/12 1~5/12 6/12 7~10/12 11~12/12 2/2 No hay horas Expresiones con letras Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas con multiplicacin Expresiones algebraicas con potencias Expresiones algebraicas con divisin Expresin de cantidades con variables Valor numrico de expresiones algebraicas Producto de expresiones algebraicas por un n- mero (Incluye la divisin convirtindola en una multiplicacin por su inverso) Trminos semejantes Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas Frmulas 1. Variables y expresiones (12 horas) Plan de estudio13 2. Operaciones con expresiones algebraicas (12 horas) Ejercicios (2 horas) Evaluacin Puntos de leccin Leccin 1: Variables y expresiones Los alumnos tienen la experiencia de usar casillas: , , , etc. para expresar los n- meros en general. Por ejemplo en 6 grado para expresar la propiedad conmutativa de la multiplicacin se utiliz la siguiente forma: x = x . En esta leccin se sustituyen estas casillas por letras a las cuales se les llama variables. A la combinacin de nmeros y letras unidas con los signos de las operaciones aritmticas se le llama expresin algebraica o ms brevemente expresin. Existen reglas para que las expresiones algebraicas sean concisas: a No se escribe el signo de la multiplicacin x. Ejemplo: a x b = ab b Se coloca el nmero antes de las variables. Ejemplo: a x 2 x b = 2ab 14 Nota: Se escribe a en lugar de 1a y -a en lugar de -1a, porque en la unidad 1 se deni - (-3) como (-1) x (-3) = 3 y - (+3) se deni como - (+3) = -1 x (+3) = -3. La letra (pi) cuando se trabaja con la circunferencia, se coloca despus del nmero y antes de las variables, ya que representa un nmero jo. Ejemplo: x 2 x r = 2r c Por lo general no se utiliza el signo de la divisin sino que se utiliza la forma de fraccin. Ejemplo: a b = a b 2a + 3 4 (2a + 3) 4 = Nota: Hay varias maneras de representar una expresin en la forma de fraccin. Ejemplo: a; a 4 3a 4 1 4 a 3 4 56. Unidad 2 - Variables y expresiones56 Por lo general se coloca el signo menos (-) antes de la fraccin. Ejemplo: -4a 3 y 4a -3 como - 4a 3 - 4 3 a Sustituyendo las variables por valores numricos en una expresin algebraica se obtiene el valor numrico de la expresin. Ejemplo: Cuando a = -1 y b = 2; a2 + 2b - 1 = (-1)2 + 2 x 2 - 1 = 1 + 4 - 1 = 4 = 4 4 4 4 1 Leccin 2: Operaciones con expresiones algebraicas Seccin 1: Producto de expresiones algebraicas por un nmero En una expresin algebraica como 3a - 4b + 9, se puede convertir la sustraccin en una adicin cambiando el signo del sustraendo, esto es 3a + (-4b) + 9. En esta ltima expresin 3a, -4b y 9 son trminos de la expresin algebraica, es decir, un trmino de una expresin algebraica consiste en un nmero multiplicado por una o ms variables. La suma de todos los trminos conforma la expresin algebraica. La parte numrica 3 de 3a y -4 de -4b se llama coeciente. Una de las mayores dicultades que presentan los estudiantes es cuando eliminan un parntesis precedido del signo menos (-). Ejemplo: 3a + 4 - (5a - 3) = 3a + 4 - 5a + 3. Por lo general slo realizan la multiplicacin por el primer trmino del parntesis olvidn- dose del resto. En el CT se explica el procedimiento del clculo de la sustraccin, es decir, restar un n- mero equivale a sumar el nmero con diferente signo (el nmero opuesto). Cambiar el signo equivale a multiplicar por -1. Estos conceptos los estudiantes ya los aprendieron en la unidad 1. Ejemplo: 3a + 4 - (5a - 3) = 3a + 4 + (-1) (5a - 3) En este momento los alumnos tienen que saber el clculo de (-1) (5a - 3). Por esta razn en el CT se estudia la multiplicacin de un n- mero por una expresin antes de la adicin. La parte referida especcamente al producto de una expresin algebraica por un nmero se enfoca en la enseanza del clculo que se necesita para resolver ecuaciones lineales. El clculo general en los polinomios se explicar en octavo grado. Al trabajar con expresiones algebraicas se aplicar lo siguiente: 2a x 3 = 6a Se escribe el nmero primero y las variables despus c b a 2a x 1 2 = a Se omite el coeciente 1 2a x 1 2( )- = -a En lugar del coeciente -1 se escribe slo el signo menos Hay dos maneras de realizar la divisin de una expresin algebraica entre un nmero: a Convertir la divisin en una multiplicacin utilizando el recproco (inverso multiplicativo). b Expresar el cociente en la forma de una fraccin (Ejemplo A3 del CT). = 2a 3 Ejemplo: 4a 6 = 2 4a 6 3 Para la divisin de una expresin algebraica entre una fraccin se utiliza la manera (a) del caso anterior para evitar la forma donde hay otra fraccin en el denominador, es decir se evita trabajar con una fraccin compleja (Ejemplo A4 del CT). Ejemplo: 4a 3 5 = 4a x = a 5 3 20 3 Para la multiplicacin de un nmero por una expresin algebraica con varios trminos se utiliza la propiedad distributiva y se elimina el parntesis (Ejemplo A5 y A6 del CT). Ejemplo: a (2a - 3) x (-4) = {2a + (-3)} x (-4) = 2a x (-4) + (-3) x (-4) = -8a + 12 57. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 57 b -(2a - 3) = (-1) x (2a - 3) = (-1) x 2a + (-1) x (-3) = -2a + 3 (3a + 4) 5 x 7 = (3a + 4) x 7 5 21a + 28 5 = c Hay dos maneras de realizar la divisin de una expresin algebraica (de ms de un trmino) entre un nmero (Ejemplo A8 y A9 del CT). a (6a + 10) 4 = (6a + 10) x 1 4 = 3a 2 + 5 2 b (6a + 8) 4 = 6a + 8 4 2 3 4 = 3a + 4 2 = 3 2 a + 2 En la forma (b) es importante dividir los dos trminos del numerador. Seccin 2. Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas Dos o ms trminos son semejantes si tienen la misma letra o variable con el mismo exponente. Los trminos semejantes se simplican haciendo uso de la propiedad distributiva de la multiplicacin. Ejemplo: 2a + 3a = (2 + 3)a = 5a Para sumar y restar expresiones algebraicas se eliminan los parntesis que las separan y luego se simplican los trminos semejantes. En el proceso de eliminar parntesis se debe tener el cuidado de no equivocarse con el signo. Ejemplo: a (3a + 4) + (5a - 6) Para aplicar la propiedad asociativa de la adicin hay que convertir la sustraccin en una adicin. (3a + 4) + (5a - 6) = (3a + 4) + {(5a + (-6)}(1) = 3a + 4 + 5a + (-6) = 8a - 2 (1) Ahora se pueden eliminar los parntesis porque se suma en cualquier orden. La adicin del ltimo trmino (-6) se puede expresar directamente como una sustraccin 3a + 4 + 5a - 6 Comparando con la primera expresin, se sabe que basta eliminar los parntesis en el caso de la adicin (3a + 4) + (5a - 6) = 3a + 4 + 5a - 6 b (5a + 4) - (2a - 6) = (5a + 4) + (-1)( 2a - 6) = (5a + 4) + (-2a + 6) = 3a + 10 Por lo general se efecta el clculo en la siguiente forma: (5a + 4) - (2a - 6) = 5a + 4 - 2a + 6 = 3a + 10 En este proceso cuando hay un signo menos antes del parntesis es muy importante el cambio de signo en todos los trminos dentro del parntesis, es decir, 2a cambia a -2a y -6 cambia a +6. Seccin 3: Frmulas En esta seccin se expresan en variables varias frmulas que se ensearon en los grados anteriores utilizando los smbolos , , , etc. El nmero que se utiliza cuando se trabaja con la circunferencia se escribe entre el nmero y las variables, porque el nmero representa un valor jo. 58. Unidad 2 - Variables y expresiones58 Variables y expresionesLeccin 1: (1/12) Escribir cantidades como expresiones algebraicas. Identicar las variables y los nmeros en una expresin algebraica. (N) CT, fsforos. Objetivo: Materiales: Desarrollo de clases 1. Comentar lo observado en el problema. [A1] M: Formemos cuadrados uno despus de otro utilizando fsforos. Cuntos fsforos se necesitan para formar 1, 2 y 3 cuadrados? RP: Para 1 cuatro fsforos, para 2 siete fsforos y para 3 diez fsforos. M: Cuando el primer cuadrado est formado cuntos fsforos se agregan para formar el segundo cuadrado (y el terce- ro)? RP: Tres fsforos. M: Cmo se puede descompo- ner el primer cuadrado formado utilizando esta ltima respuesta? RP: Como 1 fsforo y 3 fsforos. 2. Escribir con operaciones la cantidad de fsforos. M: Si se representa con la cantidad de cuadrados formados cmo se puede expresar en forma general la cantidad de fsforos que se necesita para formar los cuadrados? RP: Como 1 + 3 x * Indicar que ahora se utilizarn las letras en vez de los signos , etc. M: Si se sustituye por a cmo se escribir la expresin 1 + 3 x ? RP: 1 + 3 x a * Indicar que las letras tienen la misma funcin que , etc. Contina en la siguiente pgina... 15 59. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 59 Leccin 1: (1/12) ... viene de la pgina anterior. 3. Resolver 1 . * Lo importante es que el estudiante se de cuenta que slo tienen que sustituir el valor de a por 10 (20 30) en la expresin 1 + 3 x a. 4. Llamar expresin algebraica a este tipo de expresiones. * Indicar que a las letras se les llama variables. * Indicar que expresiones como 1 + 3a son expresiones algebraicas. 5. Resolver 2 . Objetivo: (2/12) Materiales: Variables y expresiones Escribir cantidades como expresiones algebraicas. [Hasta aqu 1/12] [Desde aqu 2/12] 1. Pensar en la forma de encontrar el precio total de a cuadernos. [A2] M: Cul es el precio para 1 cuaderno (2, 3, )? RP: Para 1 veinte lempiras, para 2 cuarenta lempiras, etc. * Indicar que llenen la tabla pero expresando las cantidades con las operaciones no con los resultados. M: Cul es la relacin que existe entre la cantidad de cuadernos y el precio total? RP: Para encontrar el precio total se multiplica el precio por unidad (20 lempiras) por la cantidad de cuadernos. M: Cul es el precio para a cuadernos? RP: Es 20 x a. M: Cmo se le puede llamar a 20 x a? RP: Expresin algebraica. 2. Pensar en la forma de encontrar el cambio de 500 lempiras cuando se compran a cuadernos. [A3] * Desarrollar esta actividad en forma similar a como se desarroll la del inciso 1. * Es importante aclarar que la cantidad de cuadernos no puede ex- ceder a 25 porque es lo mximo que se puede comprar con 500 lempiras. Contina en la siguiente pgina... [Continuacin] 60. Unidad 2 - Variables y expresiones60 Variables y expresionesLeccin 1: (2/12) Escribir cantidades como expresiones algebraicas.Objetivo: (3/12) Materiales: ... viene de la pgina anterior. 3. Resolver 3 . 1. Pensar en la forma de encontrar el precio total de a cuadernos y b bolgrafos. [A4] M: Cul es el precio para a cuadernos? RP: Es 20 x a. M: Cul es el precio para b bolgrafos? RP: Es 15 x b. M: Cul es el precio total para a cuadernos y b bolgrafos? RP: Es 20 x a + 15 x b. M: Cmo se le puede llamar a 20 x a + 15 x b? RP: Expresin algebraica. * Indicar que en este caso hay dos variables: a y b. 2. Resolver 4 . [Hasta aqu 2/12] [Desde aqu 3/12] [Continuacin] 61. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 61 Leccin 1: (4/12) Objetivo: Materiales: Variables y expresiones Aplicar algunas reglas convencionales para la escritura de expresiones algebraicas (EA). 1. Pensar en la forma de escribir brevemente las expresiones algebraicas. [B1] M: Cmo se puede escribir brevemente a x b?, 3 x a? RP: Como ab, ba, y como 3a, a3 2. Expresar las reglas utilizadas en la multiplicacin de expresiones algebraicas. M: De qu forma se abrevia la multiplicacin en una EA? RP: No escribiendo el signo por entre las variables. M: En la multiplicacin de EA qu se escribe primero, los nmeros o las variables? RP: Primero los nmeros y luego las variables. 3. Aplicar las reglas utilizadas en la multiplicacin de EA. [B2] * Cerciorarse que eliminan el signo por y que escriben primero los nmeros y despus las variables. * Indicar que las variables se escriben en orden alfabtico. 4. Resolver 5 . 5. Aplicar ms reglas utilizadas en la multiplicacin de EA. [B3] M: Cmo se puede escribir ms brevemente 1 x a y a x 1? RP: Como a. M: Cmo se puede escribir ms brevemente (-1) x a y a x (-1)? RP: Como -a. M: Cmo se puede escribir ms brevemente (-2) x a y a x (-2)? RP: Como -2a. 6. Resolver 6 . 62. Unidad 2 - Variables y expresiones62 Variables y expresionesLeccin 1: (5/12) Expresar en forma abreviada la multiplicacin de un nmero por una expresin algebraica (EA). Expresar en forma abreviada la multiplicacin de dos EA. Objetivo: Materiales: 1. Pensar en la forma de escribir brevemente la multiplicacin de EA. [B4] M: Cmo se puede escribir brevemente 4 x (a + 3)? RP: Como 4(a + 3). M: Cmo se puede escribir brevemente (a + 3) x (b + 2)? RP: Como (a + 3) (b + 2). * Concluir que se elimina el signo por en la multiplicacin de EA. 2. Resolver 7 . 3. Pensar en la forma de escribir brevemente la multiplicacin de EA. [B5] M: Cmo se puede escribir brevemente 3 x a + 2? RP: Como 3a + 2. M: Cmo se puede escribir brevemente a x 4 - 2 x b? RP: Como 4a - 2b. * Concluir que se elimina el signo por en la multiplicacin de EA. 4. Resolver 8 . 5. Pensar en la forma de escribir brevemente la multiplicacin de EA. [B6] M: Cmo se puede escribir brevemente a + (-4) x b? RP: Como a - 4b. M: Cmo se puede escribir brevemente a - (-4) x b? RP: Como a + 4b. * Es importante hacer la referencia a una situacin similar con los nmeros negativos y positivos vistos en la unidad 1. * Concluir que se elimina el signo por en la multiplicacin de EA. 6. Resolver 9 . En el desarrollo de clases se hace referencia al desarrollo de algunos ejercicios planteados en los ejemplos, sin embargo se recomienda que el maestro los desarrolle todos para que los estudiantes aancen sus conocimientos. 63. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 63 Leccin 1: (6/12) Objetivo: Materiales: Variables y expresiones Expresar como potencia una variable multiplicada varias veces. Expresar en forma abreviada la divisin de una EA entre un nmero. 1. Pensar en la forma de escribir como potencia una multiplicacin de variables. [B7] M: Cmo se puede escribir brevemente a x a x a? RP: Como a. M: Cmo se puede escribir brevemente (-b) x (-b) x (-b)? RP: Como (-b). * Es importante hacer la referencia a una situacin similar con las potencias vistas en la unidad 1. 2. Resolver 10 . 3. Pensar en la forma de escribir la divisin de EA entre un nmero. [B8] M: Cmo se puede escribir a 3 como fraccin? y 2a 3? RP: Como a 3 y 2a 3 . * Es importante recordar que la divisin se expresa como una multiplicacin por el inverso del divisor. * Concluir que al convertirse en una multiplicacin el signo por se elimina. 4. Resolver 11 . 5. Pensar en la forma de escribir la divisin de EA entre un nmero. [B9] M: Cmo se puede escribir (-a) 3 como fraccin? y a (-3)? RP: Como - a 3 M: Cmo se puede escribir (-a) (-3) como fraccin? RP: Como a 3 * Es importante hacer la referencia a una situacin similar con los nmeros negativos y positivos vistos en la unidad 1. 6. Resolver 12 . 64. Unidad 2 - Variables y expresiones64 1. Pensar en la forma de escribir la divisin de EA entre un nmero. [B10] M: Cmo se puede escribir (a + 3) 4 como fraccin? y (a + 3) (-4)? RP: Como a + 3 4 y - a + 3 4 2. Pensar en la forma de escribir la divisin de un nmero entre una EA? M: Cmo se puede escribir 4 (a + 3) como fraccin? y (-4) (a + 3)? RP: Como 4 a + 3 y - 4 a + 3 3. Resolver 13 . 4. Pensar en la forma de escribir la multiplicacin y/o divisin de EA como fraccin. [B11] M: Cmo se puede escribir 4 x a 5 como fraccin? y a 4 x 5? RP: Como 4a 5 y 5a 4 . M: Cmo se puede escribir a 4 5 como fraccin? RP: Como a 20 . 5. Resolver 14 . Variables y expresionesLeccin 1: (7/12) Expresar en forma abreviada la divisin de expresiones algebraicas. Objetivo: Materiales: Objetivo: (8/12) Escribir en forma abreviada las expresiones algebraicas que contienen varias operaciones. 1. Pensar en la manera de escribir en forma abreviada las EA. [B12] M: Cmo se puede escribir b 3 + c 4 como fraccin? RP: Como b 3 + c 4 . M: Cmo se puede escribir z 5 - b 6 x c como fraccin? RP: Como z 5 - bc 6 . M: Cmo se puede escribir 3 z 4 - 8 x m x n como fraccin? [Hasta aqu 7/12] [Desde aqu 8/12] RP: Como 3 4z - 8mn 2. Resolver 15 . 3. Resolver 16 . * En este ejercicio las EA se dan en forma de fraccin para que el estudiante las exprese en forma larga. 65. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 65 Leccin 1: (9/12) Objetivo: Materiales: Variables y expresiones Expresar cantidades con variables. 1. Comentar lo observado en el problema. [C1] M: Si se sabe que el largo de un rectngulo mide a cm y el ancho mide b cm, cmo se puede expresar su rea? RP: Multiplicando a por b, a x b, ab, etc. * Si los estudiantes tienen di- cultad para expresar el rea utilizando las variables, pre- snteles un ejercicio donde las medidas estn dadas en forma numrica para que tengan una mejor comprensin. * Es importante que los estudiantes siempre hagan la representacin grca del problema. M: Para este mismo rectngulo cmo se puede expresar su permetro? RP: Sumando ambos lados dos veces, a + b + a + b, 2a + 2b, etc. 2. Resolver 17 . 3. Expresar cantidades con variables. [C2] M: Si se camina a metros en 8 minutos, cul es la velocidad por minuto? RP: a 8 = a 8 (m/minutos) * Es importante recordar que la velocidad se dene como la distancia entre el tiempo. M: Si cada cuaderno cuesta b lempiras y se compran 9, cmo se expresara el gasto en la compra? RP: b x 9 = 9b (lempiras) M: Don Alberto tiene m nios y quiere repartirles en partes iguales 50 lempiras. Cmo se expresara la cantidad dada a cada uno? RP: 50 m (lempiras) 66. Unidad 2 - Variables y expresiones66 Variables y expresionesLeccin 1: (10/12) Expresar cantidades con variables.Objetivo: Materiales: 1. Comentar lo observado en el problema. [C3] M: Si se corta de un cordn de a metros de longitud 3 partes de b centmetros de longitud. Cul es la longitud de la parte que sobra? * Indicarles que hagan la representacin grca del problema. M: Cmo son las unidades de medida que se dan?, cules son?, qu hay que hacer? RP: Son distintas, metros y centmetros, hay que convertir los metros a centmetros o viceversa. M: Si trabajamos con centmetros Cmo se expresara la longitud del cordn? RP: Multiplicando por 100, 100 x a, 100a. M: Cmo se expresara las partes que se cortan? RP: b x 3, 3b. M: Cmo se expresa la longitud de la parte que sobra? RP: 100a - 3b (centmetros) 2. Resolver 18 . 3. Comentar lo observado en el problema. [C4] M: Cul es el nmero cuya decena es a y cuya unidad es b? M: Qu caractersticas tienen los nmeros que estn formados por decenas exactas? RP: Terminan en cero, son mltiplos de 10. M: Cmo se puede expresar un nmero cuya decena es a? RP: 10 x a, 10a. M: Qu caractersticas tienen los nmeros que estn formados slo por unidades? RP: Tienen slo un dgito, la unidad es el mismo nmero. M: Cmo se puede expresar un nmero cuya unidad es b? RP: Como b. M: Cmo se puede representa el nmero cuya decena es a y la unidad es b? RP: 10 x a + b, 10a + b. 4. Resolver 19 . 67. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 67 Leccin 1: (11/12) Objetivo: Materiales: Variables y expresiones Calcular el valor numrico de expresiones algebraicas. 1. Comentar lo observado en el problema. [D1] M: Si se sabe que la cantidad total de varitas que se necesita para formar a cuadrados es 3a + 1, qu se hace para saber la cantidad de varitas que se necesita para formar 50 cuadrados? RP: Multiplicar 50 por 3 y sumarle 1, sustituir a por 50 en la expresin algebraica. 2. Sustituir el valor de las variables y hacer el clculo. M: Cul es el valor de a? RP: 50. M: Si sustituimos a por 50 en 3a + 1 cul es el resultado? RP: 3a + 1 = 3 x 50 + 1 = 151 * Concluir que se sustituye las variables por los nmeros. 3. Llamar valor numrico a este tipo de valores obtenidos. 4. Calcular el valor numrico. [D2] M: Cul es el valor numrico de 2 - 3a si a = 4? RP: 2 - 3a = 2 - 3 x 4 = 2 - 12 = -10 * Concluir que el valor numrico es -10. M: Cul es el valor numrico de 3a - 5b si a = 2 y b = 7? RP: 3a - 5b = 3 x 2 - 5 x 7 = 6 - 35 = -29. * Concluir que el valor numrico es -29. 4. Resolver 20 . 68. Unidad 2 - Variables y expresiones68 Variables y expresionesLeccin 1: (12/12) Calcular el valor numrico de expresiones algebraicas. Objetivo: Materiales: 1. Calcular el valor numrico. [D3] M: Si a = -3 cul es el valor numrico de -a? RP: -a = - (-3) = 3 M: Si a = -3 cul es el valor numrico de a? RP: a = (-3) = 9 * Concluir que el valor numrico se calcula de la misma manera cuando hay potencias en una EA. M: Cul es el valor numrico de 4 + m n si m = -6 y n = 4? RP: 4 + m n = 4 + (-6) 4 = - 2 4 = - 1 2 * Concluir que el valor numrico se calcula de la misma manera cuando hay divisiones en una EA. 2. Resolver 21 . 69. Gua para Docentes - Matemticas 70 grado 69 Leccin 2: (1/12) Objetivo: Materiales: Operaciones con expresiones algebraicas Identicar los trminos y los coecientes en las expresiones algebraicas. Calcular el producto de una expresin algebraica por un nmero. 1. Expresar una sustraccin como una adicin. [A] M: Cmo puede expresarse 5 - 3 como una adicin? RP: Como 5 + (-3). M: Cmo puede expresarse la expresin algebraica 3a - 4b + 9 como una adicin? RP: Como 3a + (-4b) + 9. * Indicar que cada uno de los sumandos en 3a + (-4b) + 9 es un trmino de la EA. * Indicar que el nmero de cada trmino es el coeciente del trmino. 2. Identicar los trminos y los coecientes en las EA. [A1] M: En 3a + (-4b) + 9 cules son los trminos y los coecientes de cada variable? RP: Los trminos son 3a; -4b y 9. El coeciente de 3a es 3 y de -4b es -4. M: Si 1 x a = a Cul es el coeciente de a? RP: Es 1. M: Si (-1) x a = -a Cul es el coeciente de -a? RP: Es -1. 3. Resolver 1 . Contina en la siguiente pgina... 70. Unidad 2 - Variables y expresiones70 ... viene de la pgina anterior. 4. Calcular el producto de una EA por un nmero. [A2] M: Cmo podemos encontrar el producto de 2a x 3? RP: Multiplicando, multiplicando 2 x 3 y agregando la variable a. * Indicar que se multiplican los nmeros y se copia la variable (hacer nfasis en la aplicacin de las propiedades para un mejor entendimiento). * Desarrollar los dems ejemplos. 5. Resolver 2 . Operaciones con expresiones algebraicas Calcular la divisin de una expresin algebraica entre un nmero. Simplicar a su mnima expresin una EA. Objetivo: (2/12) Materiales: Leccin 2: (1/12) [Hasta aqu 1/12] [Desde aqu 2/12] 1. Expresar una divisin como una multiplicacin. [A3] M: Cmo puede expresarse 4a 6 como una multiplicacin?, por quin se multiplica? RP: Como 4a x 1 6 , por su inverso multiplicativo. M: Cmo puede calcularse este producto? RP: Multiplicando 4 por 1 y co- piando la variable y el 6. M: Se puede simplicar este producto?, cmo? RP: S, sacando mitad tanto al numerador como al denominador.

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