7. inferencia estadística · inferencia en poblaciones normales métodos estadísticos para la...

7. Inferencia Estadística

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 1

Tema 7: Inferencia Estadística

1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandesp μ g2. Introducción al contraste de hipótesis3. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes4. Interpretación de un contraste usando el p-valorp p5. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza6. Inferencia en poblaciones normales


1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes

l d é d b ó l iSea X una v. aleatoria de interés con distribución cualquiera y con

Si n es grande (n>30)

1

Z


Z ∼ N(0,1)

1- α1- α

α /2 α /2


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

-zα/2 zα/2

Si tomásemos infinitas muestras, y con cada una calculásemos el intervalo

/ 2x z σ± / 2x z

nα±

Entonces, el 100(1-α)% de esos intervalos tendría el valor de μ

Z ∼ N(0,1)

1- α1- α

0

α /2 α /2


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

-zα/2 zα/2

En la práctica:

Sólo una muestra

Sólo un intervaloSólo un intervalo

El intervalo sí o no contendrá a μ

A la incertidumbre de si lo contendrá le llamaremos confianzaconfianza

Z ∼ N(0,1)

1- α1- α

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

α /2 α /2


-zα/2 zα/2

intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ

/ 2(1 ) :IC x znασ

α μ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

Ejemplo Una muestra aleatoria extraída de una población con σ²=100 de n=144

n⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

j pobservaciones tiene una media muestral =160. se pide:

(a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para μ.

(b) Calcular un intervalo de confianza del 90% para μ.

(a)

(b)

Mayor confianza=más anchos90%


Mayor confianza=más anchos95%

X

Cuestiones

¿Verdadero falso o incierto?/ 2(1 ) :IC x z

nασ

α μ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭¿Verdadero, falso o incierto?

• El intervalo de confianza nos dice entre qué valores variará μ de unas muestras a otras

⎩ ⎭

muestras a otras

• Es imposible que μ esté fuera del intervalo de confianza

• El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si X es normal

• El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si es normalX

• Lo mejor será construir intervalos de confianza del 100%, así no tendremos incertidumbre

• El intervalo de confianza me dice entre qué valores estará la media poblacional con una confianza determinada

• Si tengo pocos datos, el intervalo de confianza puede no ser válido


/ 2(1 ) :IC x zασ

α μ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪/ 2 nα⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Es también un parámetro, y será desconocido

Lo sustituimos por un estimadorLo sustituimos por un estimador

/ 2ˆ(1 ) :IC x z σ

α μ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬/ 2(1 ) :IC x z

nαα μ ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

¿Qué estimador usamos para σ²?


¿Qué estimador usamos para σ² ?

Método de los momentos: varianza muestralMétodo de los momentos: varianza muestral

Se puede demostrar que es SESGADO

subestima la verdadera varianza


¿Qué estimador usamos para σ² ?

es SESGADO

Corregimos el sesgo

Nuestro estimador ‘oficial’ será el estimador insesgado

• Cuasivarianza• Pseudo varianza• Varianza corregida


Varianza corregida• Varianza corregida por grados de libertad


/ 2

ˆ(1 ) : sIC x z

nαα μ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪n⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Ejemplo Se mide la duración de 200 componentes electrónicos hasta su avería. De esos 200 datos se tiene que la media muestral es 1300 horas y la cuasivarianza es 10.000 (horas al cuadrado). Calcula un intervalo de confianza de μ de nivel de confianza 95%confianza 95%

1300X =2ˆ 10.000

2000 05

Sn

==

100001300 1.96200

μ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

[1286;1314]μ ∈

0.025

0.051.96z

α =

=

⎩ ⎭


Determinación del tamaño muestral


Acabamos de ver que...

(1 ) :IC x z σ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪∈ ±⎨ ⎬/ 2(1 ) :IC x znαα μ− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

{ }x Lμ ∈ ±

¿Cuál debe ser n para conseguir un L determinado?

Lo estimo con alguna Lo estimo con alguna muestra piloto

Informática. Universidad Carlos III de Madrid 13

Ejemplo Sea X el contenido de impurezas en un material obtenido en cierto proceso productivo (miligramos de impureza por kilogramo de producto obtenido). Se toma una muestra aleatoria de 200 observaciones obteniéndose una media toma una muestra aleatoria de 200 observaciones obteniéndose una media muestral del consumo de 120 mg/Kg y una desviación típica muestral 20 mg/Kg.

120X =

0

ˆ 20200

Sn

==

Estimar mediante un intervalo de un 95% de confianza el contenido medio de impurezas.

¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para que L=1 mg?

Informática. Universidad Carlos III de Madrid 14

2. Introducción al contraste de hipótesis

Veamos la idea de contraste de hipótesis con un ejemplo

Ejemplo Un fabricante de transistores del tipo BC547B sabe que cuando su producción se mantiene en los niveles de calidad deseables, el valor de la llamada ganancia en corriente de los transistores (conocida por β, adimensional) sigue una distribución normal de media 290 y varianza 760.

Son en realidad estimaciones con muchísimos datos históricos. A efectos prácticos, los consideramos como si fuesen los poblacionales

β2

290760

μ

σ

=

=760σ = 760σ =760σ =

290μ=

¿Cómo puedo saber si se mantiene el proceso en los mismos parámetros?los mismos parámetros?


¿Se mantiene la media? ¿Ha aumentado la variabilidad?

Ejemplo

β 290μ=¿Cómo puedo saber si se mantiene el proceso en los mismos parámetros?β

2

290760

μ

σ

=

=760σ =

p p

290μ=

¿Se mantiene la media?

¿Ha aumentado la variabilidad?

Son hipótesis que quiero comprobar¿Cómo lo puedo hacer?

• Tomo una muestra de observaciones

• A la vista de los datos decido si mantengo o no la hipótesis (el objetivo no es estimar sino validar)

Si 290x >> parece muy probable que la media SI haya cambiado

Si 290x parece muy probable que la media NO haya cambiadoSi 290x parece muy probable que la media NO haya cambiado

A la vista de los datos, tomo la decisión que sea más plausible


(nunca estaré seguro al 100%)

¿Cómo me puede ayudar la estadística?

Ejemplo

β 2

290760

μ

σ

=

=

Veamos el método estadístico:

β 760σ =760σ = Objetivo: Validar una hipótesis con los datos

Contraste de hipótesis

290μ=

X XX X


Las hipótesis serán restricciones sobre los parámetros

X3 ... XnX1 X2

2ˆ,X SHipótesis nula

H

Hipótesis alternativa

H1

¿Se mantiene la media?

290μ= ó 290μ≠

H0 H1

alternativa bilateral

¿Ha aumentado la variabilidad?

2 760σ ≤ 2 760σ >ó alternativa unilateral

• Entre H0 y H1 está todo el rango de valores posibles

• H0 debe tener siempre el signo =

• Se aceptará H0 salvo que haya mucha evidencia en contra


• Se aceptará H0 salvo que haya mucha evidencia en contra

Ejemplo

β 2

290760

μ

σ

=

=H0 H1

β 760σ =760σ = 290μ= 290μ≠

2 760σ ≤ 2 760σ >

290μ=

X XX X ˆ

760σ ≤ 760σ >

X3 ... XnX1 X2 2ˆ,X S

Rechazamos H0 sólo si hay mucha evidencia en contra. Es decir, si los

datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidentey

En la sección siguiente veremos cómo obtener los límites de las

regiones de aceptación y rechazo


3. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes

P hi ó i b l di i l i i Para contrastar una hipótesis sobre la media μ seguimos los siguientes pasos:

E ifi l hi ót i l l lt ti Q t t Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. Queremos contrastar alguna de estas hipótesis, donde μ0 es un valor concreto

PASO 1:

0 0

1 0

::

HH

μ μ

μ μ

=

≠0 0

1 0

::

HH

μ μ

μ μ

≤

>0 0

1 0

::

HH

μ μ

μ μ

≥

<

En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de Ejemplo j p ptransistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290

H0 H1

Ejemplo

290μ= 290μ≠

H0 H1


PASO 2: Hallamos una medida de la discrepancia entre los datos y H0

Si la discrepancia es grande: se rechaza H0Si la discrepancia es grande: se rechaza H0

Esa medida se denomina estadístico de contraste

¿Cómo se busca el estadístico de contraste, que resuma la información relevante para un

Usando las propiedades de los estimadores, e introduciendo la

información de H0

S b t d

contraste? información de H0

Sabemos que, para muestras grandes

Estadístico de contraste


En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290

H0 H1

Ejemplo

290μ= 290μ≠

H0 H1

Con 100 observaciones:

Resume en un número la información para decidir entre H0 y H1

Para valorar el estadístico de contraste, buscamos una distribución de referencia que nos diga si es un valor grande o pequeño

PASO 3:

referencia que nos diga si es un valor grande o pequeño

La distribución de referencia es la del estadístico de contraste cuando μ=μ N(0,1)


estadístico de contraste cuando μ=μ0( , )

Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente.

PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0.

Caso (a) PASO 1:

290X

PASO 2: PASO 3:

0 1: 290; : 290H Hμ μ= ≠ 0290

ˆ /XTS n−

= T0~N(0,1)

Rechazamos H0 si

290 290

290 0xt −<< 290x −

290x << 290x >>

0 0ˆ /

ts n

= <<0

290 0ˆ /

xts n

= >>

N(0,1)Si H0 es falsa tenderemos a estar

por esta zona

Si H0 es falsa tenderemos a estar

por esta zona



PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0

290XCaso (b) PASO 1: PASO 2: PASO 3:

T0~N(0,1)0 1: 290; : 290H Hμ μ≤ > 0290

ˆ /XTS n−

=

Rechazamos H0 si

290

290x −

290x >>

0290 0

ˆ /xts n

= >>

N(0,1) Si H0 es falsa tenderemos a estar

por esta zona



PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0

290XCaso (c) PASO 1: PASO 2: PASO 3:

T0~N(0,1)0 1: 290; : 290H Hμ μ≥ < 0290

ˆ /XTS n−

=

Rechazamos H0 si

290290x <<

290 0xt −<<0 0

ˆ /t

s n= <<

N(0,1)Si H0 es falsa tenderemos a estar

por esta zona


PASO 1: PASO 2: PASO 4:

0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ= ≠(a)

Rechazo H0 Rechazo H0

Acepto H0

(a)

0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ≤ >

Rechazo H0Acepto H0

PASO 3:

(b)(b)

0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ≥ <

N(0,1)

Rechazo H0 Acepto H0(c)

(c)


La región de rechazo está donde señala H1

Metodología general para hacer un contraste de hipótesis

Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. PASO 1:

Estadístico de contrastePASO 2:

PASO 3: Distribución de referencia

PASO 4: Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo

Rechazo H0 Acepto H0

¿Qué área ocupa la región de rechazo?

?• La región de rechazo ocupa un área pequeña

• Ese área se llama α=nivel de significación g

• Su valor lo decide el analista

• Suele ser α=0.05, 0.10, 0.01Valor crítico



H0 H1

Ejemplo

290μ= 290μ≠

H0 H1

Nivel de significación α=0 05


Acepto H0

Nivel de significación, α=0.05 T0~N(0,1)


1

α/2=0.025 α/2=0.025

0 1 2 3-1-2-3

1.96-1.96


-2.78Rechazamos H0Valores críticos


H0 H1

Ejemplo

290μ= 290μ≠

H0 H1


Nivel de significación α=0 05 T0~N(0,1)Nivel de significación, α=0.05

La diferencia entre la media de la muestra (282.3) y la de la hipótesis

(290) es significativa (al 5%)(290) es significativa (al 5%)

C l i i l d Concluimos, con un nivel de significación del 5%, que la media

poblacional ha cambiado


Cuestiones

¿Verdadero falso o incierto?¿Verdadero, falso o incierto?

• Mediante un contraste de hipótesis buscamos el respaldo de los datos a alguna suposición sobre la poblaciónalguna suposición sobre la población

• Si rechazo la hipótesis de que μ=100 con α=0.05, la conclusión es que es imposible que μ=100

• Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con α=0.05. Con unos datos obtengo y el contraste me lleva a Aceptar H0. Entonces quiere decir que con un nivel de significación de 0.05 μ=104.3

104.3x =decir que con un nivel de significación de 0.05 μ 104.3

• Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con α=0.05. Con unos datos obtengo y el contraste me lleva a Aceptar H0. Entonces quiere d i i l d i ifi ió d 0 05

104.3x =decir que con un nivel de significación de 0.05 100x =

• Si tomamos pocos datos, el contraste puede ser erróneo

• Un analista puede aceptar una hipótesis nula con α=0.05, pero rechazarla con α=0.01


Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años tienen una estatura media de μ0 =177 cm.

S l l d 50 jó d il ñ d d d l

Ejemplo

Se toman las alturas de 50 jóvenes madrileños en ese rango de edad y resulta

175.9x cm= ˆ 5.93s cm=

¿H id i fi i t d i l jó d il ñ ¿Hay evidencia suficiente para decir que los jóvenes madrileños tiene una estatura media inferior a la nacional?

Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. PASO 1:

Dos opciones

Estatura media inferior

E di i f i

177μ <

177≥Estatura media no inferior 177μ ≥

177H ≥0

1

: 177: 177

HH

μμ≥<


Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años tienen una estatura media de μ0 =177 cm.

S l l d 50 jó d il ñ d d d l

Ejemplo

Se toman las alturas de 50 jóvenes madrileños en ese rango de edad y resulta

¿H id i fi i t d i l jó d il ñ

0

1

: 177: 177

HH

μμ≥<

175.9x cm= ˆ 5.93s cm=

¿Hay evidencia suficiente para decir que los jóvenes madrileños tiene una estatura media inferior a la nacional?

1

Estadístico de contrastePASO 2:

PASO 3: Distribución de referencia N(0,1)

L dif i l di

PASO 4: Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo

Acepto H0La diferencia entre la media muestral (175.9) y la hipótesis nula

no es significativa (al 5%)Rechazo H0

Acepto H0

α=0.05

La diferencia observada se atribuye, con un nivel de significatividad del 5%, a la

α 0.05

0 1 2 3-1-2-3Valor crítico=-1.65


variabilidad de la muestra y no a diferencias reales

-1.31

La verdad(que nunca sabré con sólo n datos)El resultado del

contraste

(H1 cierta)H0 cierta H0 falsa

(H1 falsa)

contraste(sólo n datos)

Acepto H0(Rechazo H1)

( )( )

ACIERTO!!ACIERTO!! ERROR TIPO IILo cometo con

probabilidad que

Rechazo H0 ACIERTO!!ACIERTO!!ERROR TIPO I

L t

p qdepende de cada

caso

(Acepto H1)ACIERTO!!ACIERTO!!Lo cometo con

probabilidad

α

Cuando demos la conclusión de un contraste


debemos dar siempre el nivel de significación, para dar una medida de su precisión

Metodología general para hacer un contraste de hipótesis

1 D t i H H t i d t H d b t l i 1. Determinar H0 y H1 teniendo en cuenta que H0 debe tener el signo = y que el método favorecerá dicha hipótesis.

2. Buscar el estadístico de contraste que será la medida de discrepancia entre la muestra y H0.

3. A partir de las propiedades del estadístico de contraste, y el nivel de significación, delimitamos con los valores críticos las regiones de aceptación y rechazo.aceptación y rechazo.

4. Localizamos si el valor que toma el estadístico de contraste cae en la región de aceptación o en la de rechazo.


4. Interpretación de un contraste usando el p-valor

El resultado de un contraste tiene dos elementos:El resultado de un contraste tiene dos elementos:

1. Aceptamos o rechazamos H0

2. El nivel de significación

Conclusión del contraste

Medida de su incertidumbreα2. El nivel de significación Medida de su incertidumbreα

El nivel de significación es una medida de incertidumbre poco precisa

Ejemplo0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ≥ < 0.05α=Hacemos el contraste con

Caso 1 Caso 2

Rechazo H0 Acepto H0 Rechazo H0 Acepto H0

0 050.05α= 0.05α=

1 65-1.65t0=-1.7

Rechazamos H0

-1.65t0=-3

Rechazamos H0


En ambos casos la conclusión sería la misma: Rechazamos con α=0.05

Sin embargo en el caso 2 estamos más seguros ¿Cómo expresarlo?

Vamos a ver otra forma mejor de medir la incertidumbre del resultado del contraste

El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo

Caso 1Caso 1

0.05α=

Rechazo H0Acepto H0

p-valor= p0.045

t0=-1.7Rechazamos H0


Rechazamos H0Como p-valor<α El p-valor es más informativo que el nivel de significación

El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo

Caso 2

Rechazo H0Acepto H0

0 050.05α=

p-valor= 0 00 30.0013

t0=-3Rechazamos H0

En este Caso 2 el p-valor es realmente pequeño Estamos mucho más

Rechazamos H0Como p-valor<<α


pequeño. Estamos mucho más seguros de nuestra conclusión

0 0 1 0: ; :H Hϑ ϑ ϑ ϑ≤ >

Aceptamos H0

αp-valor>α

Rechazamos H0

tt0

p-valor<α

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 40t0

0 0 1 0: ; :H Hϑ ϑ ϑ ϑ≥ <

Rechazamos H0

p-valor>α

Aceptamos H0

αp valor α

t0

p-valor<α

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 41t0

0 0 1 0: ; :H Hϑ ϑ ϑ ϑ= ≠

/ 2αp-valor>α

/ 2αp valor>α

-|t0| |t0|p-valor: es la suma de las dos áreas

p-valor>α

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 42-|t0| |t0|

5. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

I l d fi l di l i i f ióIntervalos de confianza para la media y contrastes usan la misma información

ˆ /XTS

μ−=

/S n

00 ~ (0,1)ˆ /

XT NS n

μ−=


0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ= ≠N(0,1)

Acepto H0

t

/ 2α / 2αSe puede demostrar que la realización de un contraste de hipótesis bilateral

: ; :H H ≠ t0

con nivel de significación α es equivalente a realizar un intervalo de confianza de nivel

0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ= ≠


a a u e a o de co a a d(1-a) y comprobar si μ0 está dentro o fuera

de dicho intervalo.


C 100 b i

Ejemplo

290μ=

290μ≠H0

H1



Rechazo H0Rechazo H0

Acepto H0

0 1 2 3-1-2-3

α/2=0.025

Rechazamos H0:μ=290

α/2=0.025

0 1 2 3123

1.96-1.96-2.78

Intervalo de confianza de nivel (1 a)Intervalo de confianza de nivel (1-a)


No contiene al 290

6. Inferencia en poblaciones normales

1. Inferencia en muestras pequeñasp q2. Inferencia con la distribución t de Student3. Inferencia sobre μ4. Inferencia sobre σ²


1. Inferencia en muestras pequeñas

En el tema anterior usamos que si X es una v. aleatoria de interés con distribución cualquiera y con

si n es grande (n>30)

C i é d dí i b d Construimos métodos estadísticos basados en la aproximación a esa normal


¿Y si n no es grande?

1. Inferencia en muestras pequeñas

¿Y si n no es grande?¿Y si n no es grande?

Las propiedades estadísticas de

/X

nμ

σ−

ˆ /XS n

μ−

cambian!! Dependen de la distribución de X

Los intervalos y los contrastes del tema Los intervalos y los contrastes del tema anterior no serían correctos

En el caso de X normal, se tiene que independientemente del tamaño de n

X X~ (0,1)/

X Nnμ

σ−

~ˆ /XS n

μ− Distribución

t de Student


/ nσ /S n

6: Inferencia en poblaciones normales



2. Inferencia con la distribución t de Student

• La distribución t de Student es una variable aleatoria continua, simétrica, de media cero, y de perfil muy parecido a la normal estándar.

• Depende de un parámetro g que se denomina grados de libertad Su • Depende de un parámetro g que se denomina grados de libertad. Su notación habitual es tg


2. Inferencia con la distribución t de Student

Puede demostrarse que si X N(μ,σ²),

1~ˆ / nX tS

μ−

−/S n

La distribución cambia con n

Si el tamaño muestral es grande

( )X μ−1~ ~ (0,1)ˆ / n

X t NS n

μ−


3. Inferencia sobre μ

Intervalos de confianza para m

⎧ ⎫⎪ ⎪ˆ

en lugar de α /2z

αα μ −

⎧ ⎫⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1; /2(1 ) : n

SIC X t

n⎪ ⎪⎩ ⎭


En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de

li 25 bti

Ejemplo

analizar 25 rocas se obtiene que

= 9.77xSuponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución

=ˆ 3.164sp q g

normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para el contenido medio de Cadmio en las rocas de la mina.

⎧ ⎫⎪ ⎪±⎨ ⎬ˆ

(1 ) :S

IC X t αα μ −⎪ ⎪− ∈ ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1; /2(1 ) : nIC X tn



li 25 bti

Ejemplo


= 9.77xSuponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución

=ˆ 3.164sp q g

normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para el contenido medio de Cadmio en las rocas de la mina.

Para n=25

y a=0.05

a/2=0 025a/2=0.025

=24;0.025 2.06t

⎧ ⎫±⎨ ⎬3.164

(0 95) : 9 77 2 06 (8 47 11 07)ICMétodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 56

μ ∈ ± =⎨ ⎬⎩ ⎭

(0.95) : 9.77 2.06 (8.47,11.07)25

IC

Para n=25

y a=0.05a/2=0.025

2 06=24;0.025 2.06t

Usando la aproximación N(0,1) como si fuese para muestras grandes...

a/2=0.025

=0 025 1.96z


0.025

Usando la t de Student: intervalo exacto

μ ⎧ ⎫∈ ± =⎨ ⎬⎩ ⎭

3.164(0.95) : 9.77 2.06 (8.47,11.07)

25IC

⎩ ⎭25

Usando la aproximación a N(0 1) para muestras grandes

⎧ ⎫±⎨ ⎬3.164

9 77 1 96 (8 53 11)

Usando la aproximación a N(0,1) para muestras grandes

μ ⎧ ⎫∈ ± =⎨ ⎬⎩ ⎭9.77 1.96 (8.53,11)

25

Si no usamos la t de Student, daremos un intervalo más estrecho del que tiene realmente un confianza del 95%. Este intervalo tiene una confianza menor de la que pensamosconfianza menor de la que pensamos


Para poblaciones normales usaremos siempre la t de Student

3. Inferencia sobre μ


(a) H :μ=μ ; frente a H :μ≠μ(a) H0:μ=μ0; frente a H1:μ≠μ0,

(b) H0:μ≤μ0; frente a H1:μ>μ0,

(c) H0:μ≥μ0; frente a H1:μ<μ0.

Se hacen igual, pero usando las siguientes distribuciones de referenciaSe hacen igual, pero usando las siguientes distribuciones de referencia

X X00 ~ (0,1)

/XZ N

nμ

σ−

= 00 1~ˆ / n

XT tS n

μ−

−=

/ nσ /S n



0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ= ≠(a)


Acepto H0

(a) α /2zα− /2zα−1; /2ntα−− 1; /2nt

0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ≤ >

Rechazo H0Acepto H0

PASO 3:

(b)(b)

αzα−1;nt

0 0 1 0: ; :H Hμ μ μ μ≥ < Rechazo H0 Acepto H0

0 ~ (0,1)Z N

0 1~ nT t −(c)

(c) α−zα−− 1;nt

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 60La región de rechazo está

donde señala H1

α−1;n

Ejemplo Se quiere saber si la media de la ganancia β de los transistores BC547B se mantiene el valor nominal μ=290

H0 : μ=290 H1: μ≠290

Con 100 datos:

p-valor del test de la chi-cuadrado para el ajuste de una normal:

l 0 43p-value=0.43

P d i lid d X


Podemos asumir normalidad en X

Ejemplo Se quiere saber si la media de la ganancia β de los transistores BC547B se mantiene el valor nominal μ=290

H0 : μ=290 H1: μ≠290a=0.05

Con 100 datos:


Con un nivel de significación del 5%, rechazamos H0

d f l dAcepto H0

(a)99;0.025t− 99;0.025t

La diferencia entre los datos y 290 es significativa

99;0.025

1.98-1.98=( 1 96)z

El tamaño muestral es grande, y por eso el valor crítico es muy similar al de N(0,1)


=0.025( 1.96)z

4. Inferencia sobre σ²

Estimadores de s2

( )2n

iX X−∑ ( )2n

iX X−∑( )2 1iS

n==∑ ( )

2 1ˆ1

iSn

==−

∑

sesgado (cuasivarianza)

insesgadog

En poblaciones normales la distribución muestral de estos En poblaciones normales, la distribución muestral de estos estimadores está relacionada con la distribución chi-cuadrado



La distribución chi-cuadrado

• La chi-cuadrado es una variable aleatoria no negativa. Es asimétrica positiva

• Depende de un parámetro g que se llama grados de libertad2

• Su notación es2gχ

Si X es normal

2212

ˆ( 1) ~ nn S χσ −−σ2

212 ~ n

nS χσ −σ



Intervalos de confianza para σ²Intervalos de confianza para σ²

Operando igual que en el caso de la media...

⎧ ⎫

No son simétricos alrededor de la

2 22

2 21; / 2 1;1 / 2

ˆ ˆ( 1) ( 1)(1 ) : ;n n

n s n sICα α

α σχ χ− − −

⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎪ ⎪− ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭alrededor de la

estimación2 2

22 2(1 ) : ;ns nsIC α σ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− ∈⎨ ⎬⎪ ⎪2 21; / 2 1;1 / 2n nα αχ χ− − −

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭



li 25 bti

Ejemplo


= 9.77x

Suponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución

=ˆ 3.164s =2ˆ 10.01s

p q gnormal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 99% para la varianza poblacional s2

2 22

2 2

ˆ ˆ( 1) ( 1)(1 ) : ;n s n sIC α σχ χ

⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎪ ⎪− ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪1; / 2 1;1 / 2n nα αχ χ− − −⎪ ⎪⎩ ⎭



li 25 bti

Ejemplo


= 9.77x

Suponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución

=ˆ 3.164s =2ˆ 10.01s

p q gnormal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 99% para la varianza poblacional s2

a/2=0.005 α/2=0.005Para una confianza del 99%

tenemos α/2=0.005

224;0.995 9.89χ = 2

24;0.005 45.6χ =

2 22 24 3.165 24 3.165(0.99) : ,

45.6 9.89IC σ

⎛ ⎞× ×∈⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2(0.99) : 5.27,24.29IC σ ∈

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 68¿Podría ser σ2=25?


Contraste de hipótesis para σ²

( ) H ² ² H ² ²(a): H0 : σ²=σ0²; H1: σ²≠σ0²

(b): H0 : σ²≤σ0²; H1: σ²>σ0²

(c): H0 : σ²≥σ0²; H1: σ²<σ0²

Sigue la misma metodología que para otros parámetros

(c): H0 : σ ≥σ0 ; H1: σ σ0

Estadístico de contraste

220 2

ˆ( 1)n SXσ−

=2

20 2

0

nSXσ

=0σ 0σ

Distribución de referencia

2 20 1~ nX χ −


0 1nχ


(a)


Acepto H0

H0 : σ²=σ0²; H1: σ²≠σ0² 220 2

ˆ( 1)n SX −=

(a)

0 20σ

22 nSX =

21; / 2n αχ −

21;1 / 2n αχ − −

H0 : σ²≤σ0²; H1: σ²>σ0²

0 20

Xσ

=

Rechazo H0Acepto H0

PASO 3:

(b)21;n αχ −

(b)

H0 : σ²≥σ0²; H1: σ²<σ0²2 20 1~ nX χ −

Rechazo H0Acepto H0

(c)

La egión de echa o está

21;1n αχ − −

(c)


La región de rechazo está donde señala H1

Ejemplo Sobre los transistores BC547B mencionados anteriormente, teníamos el objetivo de comprobar si la media no había cambiado, así como comprobar si la varianza no había aumentado. Podemos ahora contrastar comprobar si la varianza no había aumentado. Podemos ahora contrastar este segundo punto. Los datos históricos decían que σ0²=760. Por tanto el contraste es

H0:σ²≤760;H₁:σ²>760.

Rechazo H0Acepto H0

Con 100 datos2ˆ 766.85s =

299;0.05 123.2χ =

220 2

0

ˆ( 1) 99 766.85 99.89760

n sxσ− ×

= = =; 0 7σ

N h La diferencia entre los datos y la hipótesis no es significativa No rechazamos H0la hipótesis no es significativa

(con nivel 5%) y puede deberse al azar de la muestra


7. inferencia estadística · inferencia en poblaciones normales métodos estadísticos para la...

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