7. el m todo de los elementos finitos

7/22/2019 7. El m Todo de Los Elementos Finitos

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27.06.12.ESTABILIDAD IV

NOTAS SOBRE ELEMENTOS FINITOS

Planteo General del Mtodo

1. Introduccin

La modelizacin matemtica exacta de los problemas de ingeniera, es decir,suponiendo que los cuerpos materiales cargados son continuos, o sea, constituidos porinfinitos puntos, conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales que deben resolversepara tener la solucin de aquellos. Dado que dichas ecuaciones generalmente no sepueden resolver, para llegar a la solucin del problema se recurre a los mtodosnumricos .

El Mtodo de Elementos Finitos es uno ms de dichos mtodos numricos pero tiene laparticularidad de ser, en la actualidad, el ms apto de ellos para la simulacinmatemtica de sistemas reales.

En este curso emplearemos el Mtodo de Elementos Finitos para el clculo ydimensionamiento de estructuras resistentes, pero conviene aclarar que se lo puedeutilizar para otros usos de la ingeniera estructural:a) Verificacin y certificacin de estructuras frente a normas reglamentarias;b) Estimacin de la vida til remanente de estructuras y obras;c) Anlisis de los factores que originaron un accidente interpretando los resultados de

este.Tambin en otros campos de la ingeniera se puede aplicar el Mtodo de ElementosFinitos, por ejemplo a la resolucin de:d) Simulacin de procesos industriales;e) Problemas de campo en rgimen permanente: transmisin del calor, potencial

elctrico, flujo de un fluido, etc.;f) Flujo de fluidos viscosos;g) Transporte por conveccin.

2. Presentacin del Mtodo de Elementos Finitos

El problema de calcular las solicitaciones que actan sobre un slido deformable quedatotalmente resuelto si se conoce, por ejemplo, el campo de desplazamientos de todoslos puntos del cuerpo. En la realidad esta evaluacin es prcticamente imposible en lacasi totalidad de los casos, pero el Ingeniero, frente a los problemas que le presenta larealidad, tiene que poder resolverlos siempre. De una o de otra forma. Hoy por hoy,una de las mejores soluciones a este problema la ofrece el Mtodo de los Elementosfinitos , el que se basa en limitar la determinacin de los desplazamientos de los infinitospuntos del cuerpo, a un cierto nmero finito de ellos, distribuidos en toda su masa enforma ms o menos uniforme o respondiendo a criterios que veremos, a los que sedenomina n o d o s . El proceso mediante el que se pasa de los infinitos puntos del slido


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real a un nmero limitado de nodos, se denomina discretizacin 1 . Para poderrepresentar al cuerpo sobre el que se trabaja, este conjunto de nodos, adems decubrir todo el cuerpo, debe constituir un sistema, es decir, deben estar ordenados yrelacionados entre s de determinada forma.

La resolucin del sistema consiste en determinar, en primera instancia, solamente losvalores de los desplazamientos nodales, es decir, las deformaciones que sufre laestructura en correspondencia con cada uno de los nodos , por lo que permanecendesconocidos los valores de los desplazamientos correspondientes a los restantespuntos del continuo. La solucin de este ltimo problema pasa por determinar losvalores aproximados de los dichos desplazamientos que sufre el cuerpo en losrestantes puntos del slido, lo que se logra mediante un proceso de interpolacin entrelos valores nodales conocidos. Para realizar esta interpolacin se construye una malla uniendo los nodos mediante curvas arbitrarias y formando de este modo figurastambin arbitrarias; en el caso de (fig. 1.b) los nodos han sido unidos mediante rectasque conforman una malla de base triangular la cual, como se dijo, debe cubrir todo elcuerpo. Al interior de cada uno de los elemento de la malla, se aproximan los valoresde los corrimientos de su infinitos puntos empleando func ion es de interpolacin ,denominadas tambin por algunos autores funciones de forma . El clculo estterminado cuando se ha realizado la interpolacin de valores en todos los elementos dela malla, o sea, en todo el cuerpo.

En otras palabras, los principios fundamentales del mtodo de elementos finitos son, enconsecuencia: la discretizacin ; y la interpolacin . La discretizacin permite calcularlos desplazamientos reales2 de un nmero finito de puntos; a partir de estos lainterpolacin sirve para aproximar los valores de los desplazamientos en los infinitospuntos restantes del cuerpo.

a) b)

NODOS MALLA y ELEMENTO de MALLA

Figura 1

Como veremos en seguida, en general no son los nodos los que determinan la red sinoque es esta, a travs de la definicin de sus elementos componentes, la que definemayormente sus ubicaciones.

1 Segn el Diccionario, discreto se aplica a las cantidades o variables que slo pueden tomar valores enteros, por

ejemplo el nmero de habitantes de un pas o el nmero de nodos de un sistema2 En realidad los que sufre el Modelo Matemtico qu e representa a la estructura real.


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En efecto, la resolucin de una estructura utilizando cualquiera de los mtodosdisponibles implica la definicin de un solo tipo de campo para toda ella, por ejemploelcampo de desplazamientos o deformaciones de sus puntos cuando est sometida a laaccin de un determinado sistema de cargas, pero cuando la geometra de unelemento cambia en sus diferentes zonas ms all de ciertos lmites o cuando lo hace

el material con el que est construido, nos encontramos con que el campo consideradono tendr las mismas caractersticas en todas las partes de la estructura, en otraspalabras, tendremos una complejidad geomtrica y/o mecnica segn los casos. Unode los principios esenciales de la discretizacin de un slido en que se apoya elmtodo de diferencias finitas , consiste en dividir la estructura en un cierto nmero deelementos con campos geomtricos y/o mecnicos lo ms uniformes posible. Esta es larazn por la que se comienza la aplicacin del mtodo dividiendo el medio continuo enuna serie de elementos discretos que conforman una malla. Estos elementos sevinculan entre s a travs de puntos que pertenecen a dos o ms de ellos y que son losn o d o s los cuales,por consiguiente, surgen como una consecuencia del trazado de lamalla; de todos modos esto est condicionado a la conveniencia de que los puntos deaplicacin de las cargas concentradas, si las hay, coincidan con nodos .

As las cosas, el Mtodo de Elementos Finitos para la resolucin de estructurasconsiste en:

1) representar un campo continuo, por ejemplo el campo de desplazamientos odeformaciones de una estructura cargada, descomponindolo en un ciertonmero finito de elementos, se buscar que en estos el campo sea lo mshomogneo posible;

2) definir la matriz rigidez de cada uno de los elementos en que se hadescompuesto la estructura

3) definir las condiciones de equilibrio de cada uno de dichos elementos4) establecer las condiciones de vnculo entre los elementos, su forma de

ensamblarse, lo quese logra a partir de los puntos comunes a dos o ms deellos que son los nodos

5) establecer las condiciones de borde del conjunto

Todo esto nos va a permitir, operando adecuadamente:6) resolver el problema, es decir, conocer los desplazamientos de los nodos, que

constituyen las incgnitas del sistema7) generalizar estos desplazamientos a todos los puntos del cuerpo mediante

funciones de interpolacin.

Debemos reiterar, antes de seguir, que una solucin en elementos finitos puederesolver con buena aproximacin slo el modelo matemtico para el que fue planteaday no permite producir ms informacin que aquella contenida en el modelo.

La denominada formulacin estndar del Mtodo de Diferencias Finitas es la que seplantea en base a desplazamientos, la que resulta sumamente efectiva en el anlisisestructural. La formulacin del Mtodo de diferencias finitas por medio de losdesplazamientos se apoya en el principio de los trabajos virtuales.

A la formulacin estndar del Mtodo de Diferencias Finitas en base a deformaciones

se la puede considerar como una extensin del Mtodo de las Deformaciones, ya


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visto en cursos anteriores y que se utiliza en la resolucin de estructuras de barras.Este procedimiento consiste en:1) idealizar la estructura como un conjunto de vigas y columnas, es decir, elementos

lineales, interconectadas entre s a travs de nudos, o sea, discretizarla;2) identificar los desplazamientos incgnitos de los nudos, necesarios para cumplir las

condiciones de compatibilidad geomtrica, los que permiten definir completamente eldesplazamiento de la estructura en su conjunto;3) plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en los nudos y resolverlas;4) conocidos los desplazamientos de los nudos calcular la distribucin interna de

tensiones en los elementos;5) Interpretar los resultados.

A fin de efectuar la comparacin entre ambos, un anlisis con Elementos Finitos puederepresentarse mediante un proceso similar, como el siguiente:1) idealizar el continuo (la estructura) dividindolo en un conjunto finito de elementos

discretos conectados entre s a travs de nodos pertenecientes a dos o ms deellos;2) las fuerzas externas actuantes son trasladadas a los nodos, usando el principio detrabajos virtuales para obtenerlas (para obtener las fuerzas aplicadas en ellos quesean equivalentes a las externas actuantes sobre la estructura);

3) estas fuerzas son equilibradas por las solicitaciones en los elementos concurrentesal nodo considerado; estas fuerzas son una consecuencia de los estadostensionales de dichos elementos: Fint = Pnodal;

4) Las relaciones de compatibilidad y las de tensiones y deformaciones del material sonperfectamente satisfechas, pero no en todos los puntos, como ocurre en el niveldiferencial de clculo, sino slo en los nodos, y a partir de ellos en la estructura ensu conjunto, y en cada elemento componente bajo la accin de sus fuerzas nodales(Fint).

Este Mtodo, y en general todos los mtodos numricos, deben ser aplicadosindefectiblemente utilizando programas de computacin. Ms aun, su desarrolloprctico slo fue posible a partir de la existencia de computadoras suficientementepoderosas al alcance de los proyectistas. Pero existen dos situaciones que se sumangenerando un gran problema: por un lado, los programas de clculo pueden serutilizados por cualquiera que los sepa aplicar, aun cuando no tenga la menor idea delas caractersticas fsicas del problema que est resolviendo y, por otro, la utilizacin deun programa de clculo numrico es muy delicada pues no existe en la prctica un

camino simple y directo para controlar su calidad, es decir, la representatividad y elvalor de los resultados que genera, ms all de la capacidad del usuario para hacerlo.Los errores que de su empleo pueden aparecer surgen de:

1) Los datos iniciales del problema2) las hiptesis bsicas, que surgen de la modelizacin del espacio, la asuncin de

ciertas propiedades esenciales de los materiales, etc.3) la modelizacin matemtica del fenmeno fsico, que implica hiptesis sobre

geometra, cinemtica, propiedades mecnicas, estados de carga, condicionesde borde, etc.

4) la interpretacin de los resultados que se obtengan.El primero y el cuarto de los puntos anteriores dependen de la capacidad del usuario,

los dos restantes de la calidad del programa, cosa que no siempre es fcil decidir.Como se ve, su aplicacin pueden tener consecuencias graves y para ello existe una


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nica solucin: conocer bien, por parte de quien lo utiliza, el comportamiento general delas estructuras que se analizan y tambin los fundamentos tericos del procedimientoadoptado .

En la secuencia de operaciones que implica el problema bsico de proyectar ycalcular una estructura, el mtodo de diferencias finitas se incorpora en la formaindicada en (fig. 2), en la que tambin se indican los ciclos a recorrer si la solucinencontrada no resultase satisfactoria. Se recurrir a uno u otro de estos ciclos segnsea la instancia en la que los resultados que se van obteniendo dejan de sersatisfactorio.

Problema fsico: cambio del problemala estructura fsico

Modelo matemtico mejora del modeloMatemtico

Solucin porElementos Finitos

Evaluacin de la NO ACEPTABLE refinamiento de laprecisin de la malla y/o de los

solucin del modelo parmetrosmatemtico

ACEPTABLEInterpretacin NO ACEPTABLE falta dede resultados precisin:

refinamientovalores excesivos del anlisis

ACEPTABLE Mejora del proyecto:optimizacin de la estructura

Dimensionamientoy terminacin del

proyecto

Figura 2


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3. Idea bsica

Actualmente existe, en la gran mayora de los casos prcticos, una nica manera oprocedimiento para encarar la resolucin aproximada de problemas referidos a slidoscontinuos , la que ya hemos aplicado en algunos casos vistos, tanto en cursosanteriores como en este 3, y que tambin se aplica en el presente mtodo de loselementos finitos .

Dicho procedimiento consiste esencialmente en sustituir los infinitos puntos quecontiene el cuerpo material que se quiere estudiar, que es un continuo, por un nmerofinito de ellos adecuadamente seleccionados, denominados n o d o s , los que estnordenados como sistema. Se procede de la siguiente forma:

a) Dividir el cuerpo (la estructura) en una cantidad suficiente de elementoscomponentes, de dimensiones finitas, a los que se denomina elem entos f ini tos 4 y que constituyen una malla, hacerlo de forma que cada uno de ellos contengaun campo de desplazamientos lo ms homogneo posible;

b) Los nodos quedan definidos en funcin de la malla establecida (son por lomenos sus nudos), la cantidad de nodos que resulte debe ser suficiente comopara resolver el problema planteado con la aproximacin buscada, adems, sihay cargas concentradas, se tratar que sus puntos de aplicacin coincidan connodos ;

c) Si se logra que todas las cargas concentradas que actan sobre la estructuraestn aplicadas en los nodos , lo que en general es relativamente sencillo, nosencontramos con que sobre un elemento finito pueden actuar dos tipos decargas: de volumen, como sera el caso del peso propio, y de superficie, que sonlas cargas distribuidas. Si hubiese, excepcionalmente, cargas concentradasactuando sobre l, se procede de la misma forma que con las de los dos tiposrestantes, como se indica a continuacin;

d) Se calculan las fuerzas nodales de cada elemento, que son fuerzasconcentradas, aplicadas en los nodos , que producen sobre el elemento finitoconsiderado el mismo efecto mecnico que las cargas aplicadas a ldirectamente, que se indican en el punto precedente;

e) El comportamiento mecnico de cada uno de estos elemento finitos se definemediante un nmero finito de parmetros5;

f) Se resuelven en forma individual cada uno de los elementos finitos utilizandopara cada uno, en principio, un sistema de coordenadas particular al que se

denomina sistema de coordenadas locales y que se elije, por ejemplo, de formade simplificar los procedimientos de clculo;g) Para efectuar el ensamblado de loselementos finitos , en otras palabras para

volver a armar la estructura en base a ellos, se adopta unsistema decoordenadas global , al que se refiere la estructura en estudio; ello implicaefectuar las correspondientes transformaciones de coordenadas, en los clculosque siguen, para pasar de las locales a las globales ;

3 Por ejemplo en el Mtodo de Diferencias Finitas y en el clculo de estructuras de barras hiperestticas.4 Se los puede imaginar como los ladrillos que conforman una construccin, la que sera el cuerpo, lo que significa

que van a actuar como sistema, con relaciones recprocas entre ellos perfectamente definidas.5 Estos parmetros son: las caractersticas geomtricas del cuerpo, por ejemplo su espesor, y las caractersticasmecnicas del material con el que est construido, por ejemplo su mdulo de elasticidad (E).


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h) En base a la compatibilidad de esteensamblado queda planteado el modelomatemtico que representa al cuerpo real en forma aproximada, el que conducepara su resolucin a un sistema de (n) ecuaciones algebraicas lineales con (n)incgnitas y que se resuelve de forma matemticamente exacta obtenindoselos desplazamientos de la totalidad de los nodos bajo la accin de las cargas

aplicadas.i) Se termina de resolver el problema, ahora aproximadamente, calculando losdesplazamientos de los infinitos puntos que componen el cuerpo mediante unproceso de interpolacin entre los valores exactos de los desplazamientos en losnodos .

Al mtodo de los elementos finitos se lo puede utilizar en la actualidad, en el campo delas estructuras resistentes, para la resolucin de problemas de segundo orden tantomecnicos como geomtricos. De todos modos, para iniciarnos en el estudio de susfundamentos, sin introducir inicialmente complicaciones innecesarias, comenzaremosrefirindonos exclusivamente a estructuras con las siguientes caractersticas:

1) comportamiento lineal;2) deformaciones bajo las cargas actuantes de valor despreciable, lo que significaque no inciden en los resultados obtenidos;

4. Nomenclatura

Emplearemos la siguiente nomenclatura especfica, que es bsicamente la que seemplea en la obra citada:

ae: vector desplazamiento del elemento (e)ae j: desplazamiento del nodo (j) considerado como perteneciente al elemento (e)e: suprandice que indica pertenencia al elemento finito genrico (e)f ep: fuerzas nodales que representan a las cargas actuantes sobre el elemento (e)f e : fuerzas nodales que expresan los esfuerzos introducidos en la estructura por las

deformaciones iniciales que puedan existir en el cuerpo o en alguna de sus partesIe: funcin de interpolacin del elemento (e)K: matriz de rigidez del cuerpoKe: matriz de rigidez del elemento (e)l = mi ; con (i = 1 n): nmero de grados de libertad del sistemam : nmero de grados de libertad de un nodo

n : nmero total de nodos que contiene el cuerpoNei: funcin de forma del nodo (i) perteneciente al elemento (e)qe: vector representativo de las fuerzas nodales del elemento (e)qei: fuerza nodal del nodo (i) tomado como perteneciente al elemento (e)r : nmero de nodos contenidos en un elemento finito r i: fuerza nodal actuante en el nodo (i) originada por las cargas externass : nmero de elementos finitos en que se divide el cuerpou: componentes de los vectores desplazamientoU: componentes de las fuerzas nodales {} : vector fila{}T: vector columna


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5. Secuencias conceptual y operativa del Mtodo

La fundamentacin terica y el sistema operativo del mtodo de elementos finitos ,cuando se lo desarrolla para aplicarlo al clculo de los desplazamientos que sufren lospuntos de un cuerpo material sometido a la accin de cargas 6, y a partir de ellos losestados de solicitacin que los originan, se apoyan y desarrollan de la siguiente forma:1) Definicin del Sistema de Elementos Finitos. El cuerpo material se divide, en su

totalidad, en un nmero finito (s) de elementos f ini tos y se lo hace mediantepuntos, lneas o superficies imaginarias (fig. 3) segn se trate de estructuraslineales, bidimensionales o tridimensionales.

Elementos bidimensionales

contorno del cuerponodo (j) 1

s 2nodos

s-1

Elementos lineales Elementos espaciales

Figura 3

Se tratar de tener una malla que cumpla los siguientes requisitos: 1) seradecuadamente densa en funcin del problema estructural que se quiera resolver(geometra del cuerpo, uso de ms de un material y estados de carga a

considerar)7

, la densificacin de la malla puede variar de una regin a otra de laestructura (fig.4) y debe cubrirla completamente; 2) lograr, en lo posible, que estoselementos finitos no contengan en su interior cambios geomtricos bruscos,modificaciones de las caractersticas del o de los materiales que constituyen elcuerpo, ni puntos de aplicacin de cargas concentradas, en otras palabras, sebuscar que estas ltimas, tanto activas (F) como reactivas (R) 8, acten en losnodos y que los cambios de los dos primeros tipos coincidan con los lmites deelementos contiguos. Esto explica por qu, si lo que vamos a calcular son los

6 El Mtodo, como ya dijimos, tambin se emplea para la resolucin de otros tipos de problemas fsicos que puedanmodelizarse matemticamente en forma similar (temperatura, escurrimiento de lquidos, elctricos, etc.) .7 Recurdese que slo estamos tratando cuerpos con comportamiento lineal y que sufren deformaciones

despreciables.8 Esto significa que habr que colocar un nodo en correspondencia con cada apoyo externo.


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desplazamientos de los nodos se comienza dividiendo al cuerpo, que es uncontinuo, en un nmero finito de elementos discretos, con la nica condicin de quehaya nodos en en los puntos de apoyo y en los de aplicacin de cargasconcentradas.

Corte Planta

Figura 4

2) Vnculos entre elementos finitos y determinacin de los nodos. Se supone que loselementos finitos as definidos slo estn vinculados entre s mediante un nmerofinito de puntos de su contorno, que son precisamente los n o d o s (fig. 3), los quecomnmente constituyen los vrtices de cada elemento pero que tambin puedenexistir en las aristas de los de tipo superficial o volumtrico (fig. 5).

3 Nodos 6 Nodos 9 Nodos

Figura 5

3) Desplazamientos de los nodos. Los desplazamientos (a ei) de cada uno de estosnodos la nomenclatura empleada indica el nodo (i) considerado comoperteneciente al elemento finito (e)9 sern las incgnitas fundamentales delproblema y, una vez que este est resuelto, estos desplazamientos nodales seconocern con exactitud (fig. 6).

El vector desplazamiento de cada elemento finito se expresa en funcin de los

desplazamientos individuales de sus nodos de la siguiente forma:{ae} = {ae1 ; ae2 ; .. ;aer }T [1]

{ae} es el vector desplazamientos del elemento finito (e) y (aei) es el desplazamientodel nodo (i) considerado como perteneciente al elemento finito (e).

9 Por la forma en que se los defini los nodos pertenecen a ms de un elemento finito y en el proceso de clculosern considerados tantas veces como sea el nmero de elementos distintos a los que pertenece.


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ae33

ae2a

e1 Figura 6

1 2

Los desplazamientos individuales (ae j) se indican a partir de sus componentes:{ae j} = {ae jh} referidas a un sistema de coordenadas local , es decir, particular delelemento que en cada caso se est considerando (fig. 7), el subndice (h) varaentre (1) y (m), siendo (m) el nmero de componentes del vector en el espacioconsiderado. En consecuencia, el valor de (m) depende de las dimensiones delespacio en que se trabaje y de las condiciones estticas de vnculo que el nodopueda poseer (m=1 en problema lineales; m 2 en problemas bidimensionales; m3en problemas tridimensionales). En consecuencia, las componentes del vector {a e j}son:

{ae jx} en problemas lineales (m=1){ae jx ; ae jy} en problemas planos (m=1, 2){ae jx ; ae jy ; ae jz} en problemas espaciales (m=1, 2, 3)

a) m=2 en el plano b) m=1 en el plano

ae jy ae j

y ae jx

coordenadaslocales

borde del x cuerpo

Figura 7

4) Grados de libertad de un elemento finito. Cada una de las componentes (a e jh) deldesplazamiento (a e j) del nodo (j) considerado como perteneciente al elemento (e),representa un grado de l ibertas del nodo . El nmero de grados de libertad de unelemento finito es igual a la suma de los grados de libertad de todos sus (r) nodos :

Nmero de grados de libertad de un elemento = m j ; con (j = 1 r)

En el caso de la (fig. 7a), el elemento en ella representado tiene seis (6) grados delibertad y en la (fig. 7b) cinco (5)..

5) Fuerzas Nodales. Se determina un conjunto de fuerzas concentradas aplicadas enlos nodos de cada elemento finito , las que se denominan fuerzas no dales y que se


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expresan mediante el vector (q i), las que equivalen, desde el punto de vista de losefectos estructurales que producen, a las fuerzas externas que actan sobre elelemento finito que en cada caso se considera. Estas fuerzas pueden ser delsiguiente tipo: cargas por unidad de volumen por ejemplo el peso propio o lasfuerzas inercialescargas repartidas sobre su superficie que son cargas por

unidad de superficiey cargas repartidas sobre los bordes libres de la estructura10

que son cargas por unidad de lo ngitud11 (fig. 8).

distribuidas lineales

distribuidassuperficiales

de masa

Figura 8

En el caso de un elemento genrico (e) que posea (r) nodos , el vectorrepresentativo de sus fuerzas nodales {q e} se expresan, en funcin de la fuerzanodal actuante en cada uno de sus nodos (qei), de la siguiente forma:

{qe} = {qe1 ; qe2 ; ..; qr r }T [2]

Por su parte las fuerzas nodales se definen a partir de sus componentes referidasal sistema de coordenadas local :

{qe j} = {qe jh}T con h variando entre1 y m [3]

Donde (m) es el nmero de fuerzas componentes del vector, nmero que, igual queen caso de los desplazamientos, depende de las dimensiones del espacio en quese trabaje y de las condiciones estticas de vnculo que el nodo pueda poseer(m=1 en problema lineales o unidimensionales; m2 en problemas planos o

bidimensionales; m3 en problemas espaciales o tridimensionales). Naturalmente,el nmero (m) de posibles componentes de una fuerza nodal es igual al nmero degrados de libertad del nodo .

El suponer al nodo perteneciendo a varios elementos finitos , es una idealizacinmatemtica que nos permite aplicar a l slo las cargas que actan sobre elelemento finito que se est considerando y, como las cargas concentradas no

10 Podra imaginarse tambin la existencia de cargas lineales aplicadas en el interior de la estructura, en cuyo caso sehar coincidir su lnea de aplicacin con un lmite entre elementos finitos contiguos, en este ltimo caso, paratenerlas en cuenta habr que repartirlas proporcionalmente entre dichos elementos finitos con un borde en comn. 11

Como vimos, si existen cargas concentradas aplicadas al cuerpo, sus puntos de aplicacin se harn coincidir connodos. Si en algn caso esto no fuese posible y quedase alguna carga concentrada en el interior de un elemento, selas sustituye por fuerzas nodales que produzcan en conjunto su mismo efecto y se las incluye en este paso.


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estn aplicadas sobre ningn elemento finito sino directamente sobre el nodo considerado como punto fsico, slo las consideraremos cuando se produce elensamble de todos los elementos finitos para reconstituir el cuerpo material que seanaliza (ver punto 11 siguiente).

6) Relacin entre Fuerzas y Desplazamientos en un elemento finito. Comoconsecuencia de todo lo visto, estamos en condiciones de establecer la relacinentre fuerzas y desplazamientos en el elemento finito genrico (e). Habiendosupuesto que el comportamiento mecnico del elemento es lineal elstico y que elefecto de sus deformaciones no incide sobre los resultados obtenidos, es decir, quese pueden superponer soluciones, la expresin del vector representativo de laresultante de todas las fuerzas que actan en el nodo (i), considerado comoperteneciente al elemento finito (e), se puede escribir de la siguiente forma:

qei = Keaei + f epi + f e o,i [4]

Si consideramos el conjunto de los nodos pertenecientes al elemento finito (e) laexpresin anterior se transforma en:

qe = Keae + f ep + f e o [5]

El primer trmino de la frmula anterior representa el conjunto de las fuerzas queactan en los nodos de un elemento finito genrico (e), las que estn originadas, deacuerdo con el segundo trmino de la expresin [5] por:

a) los desplazamientos (a e) de los nodos del elemento finito genrico (e), donde(Ke) es la matriz de r igidez del mismo;

b) las fuerzas nodales f ip, necesarias para representar a las cargas que actansobre el elemento finito ;

c) las fuerzas nodales f i o, necesarias para equilibrar las deformaciones inicialesque, en ciertas circunstancias, existen en el elemento finito . Estos efectos puedenestar originados por: una variacin de temperatura en cuerpos sin libertad dedesplazamiento (fig. 9); defectos de montaje; inestabilidad volumtrica en cuerposconstruidos con materiales que presenten comportamientos de tipo reolgico, comosera el caso de la fluencia o de la retraccin; etc.

En resumen, las fuerzas nodales estn unvocamente definidas por:a) Las que surgen de los desplazamientos de los nodos y que son iguales al

producto de estos desplazamientos por el factor de proporcionalidad entrecargas y desplazamientos representado por la matriz rigidez;b) las cargas actuantes sobre el elemento finito al que pertenecen dichos

nodos ;c) la deformacin inicial delelemento finito al que pertenecen dichos nodos .

Ntese que la frmula [4] no es una frmula de equilibrio sino que est marcandoun desequilibrio del punto matemtico que representa alnodo (i) considerado,tomndolo como perteneciente al elemento finito (e). En efecto, la Resistencia deMateriales nos ensea que en todo punto de un cuerpo material en equilibrio lafuerza que sobre l acta debe ser igual a la deformacin que sufre multiplicada


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por un factor de proporcionalidad12, en cuyo caso el segundo trmino de lasecuaciones [4] o [5] debera dar una resultante nula pues en el se incluyen tanto lascargas actuantes como las deformaciones que aparecen. En consecuencia, lo quenos est marcando la frmula [4] es precisamente el desequilibrio (q ei) de los nodos cuando se los considera como pertenecientes a un nico elemento finito , que

queda expresado por las fuerzas nodales , y la [5] el desequilibrio delelemento finito cuando se lo considera aisladamente. Los elementos finitos slo van a estar enequilibrio cuando se los ensambla para reconstruir el cuerpo material que seanaliza, que est en equilibrio, es decir, cuando se los considera como formandoun sistema, lo que implica introducir las acciones recprocas entre ellos.Resumiendo, los nodos considerados como puntos matemtico pertenecientes aun nico elemento finito normalmente no estn en equilibrio, su equilibrio seobtiene cuando se reconstruye el nodo como punto fsico sumando la totalidad delos puntos matemticos que lo constituyen, o sea, cuando se incorporan lasrelaciones recprocas entre todos los elementos finitos que comparten undeterminado nodo y, si corresponde, las fuerzas concentradas externas que actensobre l, que es lo que haremos en el punto 11.

a) Cuerpo material(a temperatura ambiente T=to) T=to

L Lb) Deformacin del cuerpo T=(to+ t)

por efecto trmico(T aumenta en t)

T=(to+ t)c) Si el cuerpo no es libremente dilatable, N N

el efecto trmico equivale a unacortamiento13 y se transforma enuna carga de compresin.

Figura 9

7) Matriz Rigidez del elemento finito. Lamatriz de rigidez (Ke) del elemento finito (e)es siempre una matriz cuadrad de dimensin igual al nmero de grados de libertad

que posee dicho elemento, que es igual a la sumatoria entre uno (1) y (r) de losgrados de libertad (m) de la totalidad de los nodos pertenecientes a un determinadoelemento finito . Se la puede escribir como una matriz cuadrad de dimensin (r.r),menor que la anterior, en la forma:

12 La ley de Hook expresa este hecho de la siguiente forme: =E. , donde (E) es el Mdulo de Elasticidad delmaterial y en una estructura esta relacin se expresa como: (Fuerza=K.Deformacin), recurriendo a la matriz

rigidez (K) del cuerpo del que se trate.13 De la misma magnitud que la parte del alargamiento trmico impedidas por las condiciones de vnculo, la que enel presente ejemplo es del 100%.


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Ke11 Ke1j Ke1r

Ke = Keij [6]

Ke

r1 Kerj K

err

Los trminos Keij, que representan la deformacin en el nodo (i) expresada enfuncin de sus componentes cuando se aplica una carga unitaria en el nodo (j), sonsubmatrices generadas a partir de cada uno de los nodos del elemento finito ;tambin son cuadradas y tienen dimensin (m.m), donde (m) es, en cada caso, lacantidad de componentes de la fuerza nodal considerada o grado de libertad delnodo .

8) Cambio de Sistema de Coordenadas de los resultados obtenidos. Una vezcalculados los valores anteriores para cada uno de los (s) elementos finitos en losque se dividi el cuerpo considerado, hay que proceder a ensamblarlos parareconstruirlo y tener as la respuesta al problema estructural inicialmente planteado.Este proceso de ensamblado requiere la adopcin de un nico sistema decoordenadas que abarque al conjunto de todos los elementos finitos en los que sedividi al cuerpo y que se denomina sistema de coordenadas global . Enconsecuencia corresponde aplicar, a los resultados obtenidos para cada elemento,expresados en coordenadas locales , una transformacin de coordenadas que loslleve a coordenadas globales . En (fig. 10) se muestra una estructura de barras enla cual cada una de las barras componentes se ha considerado como un elementofinito nico en cuyo anlisis se utiliz el sistema de coordenadas local que en cadacaso se consider ms adecuado 14

y3Y

y2x2 x3

coordenadas globales y1 coordenadas locales

x1

X

Figura 10

La transformacin de coordenadas a la que se hizo referencia, se efectamultiplicando los datos obtenidos por una matriz (T) de transformacin decoordenadas. Para pasar a coordenadas globales de un punto con coordenadaslocales (xl,yl), se tiene:

14 En el ejemplo de la figura se ha hecho coincidir el eje de cada barra con el eje de abscisas (eje x).


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xi cos sen Xi Xi= = T [6a]

yi local sen cos Yi global Yi global

Para hacer la transformacin, en este mismo caso, de un elemento finito rectangular que posea cuatro (4) nodos , la matriz de transformacin [T] seconforma en base a submatrices (T ):

T 0 0 0T = 0 T 0 0 [6b]

0 0 T 00 0 0 T

9) Ensamblado de los elementos finito. Esta operacin de ensamblado de loselementos finitos se efecta a partir de las dos condiciones siguientes, que son las

que nos permitirn plantear el sistema de ecuaciones que conduzca a la resolucindel problema:

a) compatibilidad de los desplazamientos : lo que implica que el desplazamientode un nodo perteneciente a ms de un elemento, debe tener el mismo valor seacual sea el elemento concurrente al nodo que se considere (fig. 11) 15;

b) equilibrio ; condicin que impone que el conjunto de todas las fuerza aplicadasa un nodo , tanto internas como externas, debe estar en equilibrio, es decir, suresultante debe ser nula 16, lo que significa que las cargas actuantes son lasnecesarias, y nada ms que las necesarias, para originar las deformaciones que

se producen17

.

ai

Figura 11

10) Compatibilidad de los Desplazamientos Nodales. El conjunto (a), que contiene latotalidad de los desplazamientos nodales de la estructura, que como sabemos

15 Un punto fsico no puede estar en dos lugares al mismo tiempo.16

Pues hemos incluido entre las cargas a las necesarias para originar los desplazamientos reales (a.K)17 Esto es una forma de expresar que las deformaciones que se producen en la estructura (el corrimiento de sus puntos nodales) son compatibles con las cargas aplicadas, es decir, son las originadas por estas.


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16

constituyen las incgnitas del problema, est representado por el siguiente vectorcolumna:

{a} = {a1, a2, .., an}T [7]

En l cada desplazamiento aparece una sola vez, independientemente del nmerode elementos finitos que compartan cada nodo 18 pues, como dijimos, un puntofsico no puede estar en dos lugares al mismo tiempo, con lo que se satisfaceautomticamente la condicin de compatibilidad de desplazamientos .

11) Equilibrio de los nodos. Para dar cumplimiento a la condicin de equilibrio delcuerpo, se procede de la siguiente forma: en funcin de las condiciones planteadaspreviamente, la participacin que cada elemento finito tiene en el funcionamientoglobal de la estructura se conoce y est representada por las fuerzas nodalescomponentes (qei). En estas condiciones el modelo matemtico a resolver, que esrepresentativo de la estructura real en estudio, consiste en la misma sometida a unsistema de cargas concentradas y deformaciones (r), aplicadas en cada uno de susnodos , las que deben ser compatibles entre s, es decir, que las deformacionessufridas por cada nodo deben corresponderse con las cargas aplicadas al mismo.En estas condiciones, al plantear el equilibrio del conjunto de elementos finitos enque se ha descompuesto el cuerpo, lo que implica hacer nulos todos los vectores(r), se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que contiene a losdesplazamientos como incgnitas y, una vez calculados estos ltimos, el problemaqueda resuelto.

Consideremos entonces a la estructura sometida, en cada uno de sus (n) nodos , ala accin a un conjunto de fuerzas (r j), que es la resultante de todas las fuerzasnodales (qei) que actan en el mismo. En consecuencia, la estructura se encontrarsometida a un sistema de cargas representado por el vector (r):

r = {r 1; ; r j; ... ; r n} [8]

Reiteramos, cada una de estas fuerzas (r i) tiene un nmero de componentes quees igual al de las fuerzas nodales aportadas por cada uno de los elementos finitos que concurren al nodo en cuestin. Por razones de equilibrio ya justificadas en elpunto 9 precedente, cada una de estas fuerzas (r j) debe ser nula:

r i = q1

i + q2

i + .. + qsi = q

ei = 0 [9]

Por conveniencia operativa, en estas expresiones, y las siguientes, se incluyen latotalidad de los elementos finitos del sistema, con lo cual en cada caso particularsern nulas las posiciones correspondientes a aquellos que no contienen al nodo (i)que se est considerando. En otras palabras, la sumatoria de la expresin [9] seextiende a la totalidad de los elementos finitos del sistema, es decir, desde (e=1)hasta (e=s). El trmino (qei) de la sumatoria, representa la fuerza que el elementofinito (e) aporta al nodo (i).

18 Esto queda claro si se observa la (fig. 5) donde el desplazamiento del nodo (i) es siempre el mismo,independientemente del elemento en el que se lo considere.


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17

A estas fuerzas (r i) deben sumarse, en los nodos en que existan, las fuerzasexternas concentradas aplicadas a cada uno de ellos en particular, incluyendonaturalmente las reacciones de apoyo.

12) Clculo de los Desplazamientos Nodales. Reemplazando en la expresin [9] el

valor que para las fuerzas nodales (qe) da la expresin [5], que por comodidadreproducimos seguidamente:

qe = Keae + f ep + f e o [5]

y teniendo en cuenta que los desplazamientos nodales (a i) correspondientes atodos los elementos finitos que concurren a cada nodo son los mismo, omitiendo enellas el suprandice (e) y haciendo variar (i) entre (1) y (n), tendremos el sistema deecuaciones siguiente que es el que nos permitir resolver el problema:

r 1 = ( Ke11).a1 + ( Ke12).a2 + ....... + ( Ke1n).an + f 1 = 0

r 2 = ( Ke21).a1 + ( Ke22).a2 + ....... + ( Ke2n).an + f 2 = 0 [10]....................................r n = ( Ken1).a1 + ( Ken2).a2 + ....... + ( Kenn).an + f n = 0

Sistema que, en forma genrica se expresa como:

r i = ( Kei1).a1 + ( Kei2).a2 + ....... + ( Kein).an + f i = 0 ; (i = 1 n) [11]

donde

f i = f epi + f

e Fi + Ri [12]

siendo F i y Ri respectivamente las fuerzas concentradas activas y reactivas queactan sobre la estructura en el nodo (i).

Las matrices rigidez (Keij) indican el desplazamiento del nodo (i), considerado comoperteneciente al elemento finito (e), cuando acta una fuerza unitaria en el nodo (j)del mismo elemento finito , la sumatoria que las afecta comprende todos loselementos finitos que comparten el nodo (i).

Reiteramos que, si bien las sumatorias anteriores se extienden desde (e=1) hasta(e=s), en ellas slo son distintos de cero los trminos correspondientes a loselementos finitos que contienen al nodo (i) que en cada caso se est considerando.

En trminos matriciales el sistema de ecuaciones [10] se puede escribir de lasiguiente forma:

{r}T = K . {a}T + {f}T = 0 [13]

En la cual los trminos que la integran valen:


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18

r 1 f 1 a1

r 2 f 2 a2{r}T = = 0 {f}T = {a}T =

......... ........ ........

Rn f n an

K11 K12 ........... K1n

K21 K22 ........... K2nK =

.....................................

Kn1 Kn2 ........... Knn

La matriz rigidez Kde la estructura est constituida porsubmatrices de la forma:Kij = Keij y el vector de las fuerzas nodales {f} por subvectores que valen f i = f ei ;en ellos las sumatorias comprenden a todos los elementos del sistema, por lo que(e) va a variar entre (1) y (s) e (i) y (j) lo harn entre (1) y (n). Esta regla deensamblaje es muy til pues, tan pronto como se conozca un coeficiente para unelemento particular, se lo puede almacenar en la posicin adecuada.

La expresin [13] tambin se puede escribir de la siguiente forma, poniendo enevidencia la incgnita (a):

K.a = f [14]

13) Consideracin de las condiciones de borde. En consecuencia, el sistema deecuaciones [14] puede ser resuelto invirtiendo la matriz rigidez (K), pero esto sloser posible una vez que hayan sido tenidos en cuenta los desplazamientosimpuestos en los apoyos, es decir, una vez que se hayan incorporado al problemalas condiciones de borde que garanticen la estaticidad del cuerpo en estudio. Engeneral a los desplazamientos limitados que imponen los apoyos los hemos

considerados nulos19

y, salvo aclaracin en contrario, as lo seguiremos haciendo.Si no se incluye un nmero suficiente de desplazamientos nulos (o controlados)capaz de impedir que la estructura se mueva como un slido rgido, resultarimposible resolver el sistema, pues un slido que bajo la accin de las cargasactuantes se desplaza no se deforma, con lo que los desplazamientos de susnodos sern iguales a los del cuerpo rgido que los contiene, admitiendo enconsecuencia el sistema infinitas soluciones. Desde un enfoque estructural ellosignifica que no existe solucin al problema de la deformabilidad del cuerpo pueseste no se deforma. Este hecho, estructuralmente evidente, desde el punto de vista

19 Este supuesto se corresponde con las caractersticas de los apoyos considerados en los cursos previos: mviles,

que eliminan un desplazamiento; fijos, que eliminan todo los desplazamientos (2 en el plano); empotramientos, queeliminan todos los desplazamientos y rotaciones (respectivamente 2 y 1 en el plano).


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19

matemtico implica que, al ser (K) una matriz singular, carece de inversa. En elejemplo de (fig. 12) se muestra cmo un mismo cuerpo, sometido a la accin deuna misma carga externa (F), en el caso de (fig. 12a), en el que est sometido a unestado de carga distinto de cero, se desplaza con aceleracin constante (a) y en elde (fig. 12b), en el que aparece una reaccin que hace que el cuerpo est sometido

a la accin de un conjunto de cargas con resultante nula, se deforma acortndoseen una magnitud ( L).

a) L b) L

F F R = -F

Figura 12

Si suponemos que, por ejemplo, debido a la existencia de un apoyo fijo ladeformacin (ai) es nula, es suficiente colocar ceros (0) en la fila y la columna de lamatriz rigidez, salvo en correspondencia con la diagonal en cuyo emplazamiento secoloca un uno (1). En tales condiciones la expresin [14] queda:

0 a1 f 1

0 1 0 a i = 0 [15]

0 an f n

14) Interpolacin. Conocidos los desplazamientos de todos los nodos de un elementofinito, se puede aproximar el de sus restantes puntos (que son infinitos) medianteuna operacin de interpolacin. Esta interpolacin se logra normalmente a partir deun conjunto finito de funciones denominas funciones de forma (N). En general seadopta una funcin de forma distinta por cada nodo de cada uno de los elementos

considerado (N j).La suma ponderada de las funciones de forma correspondientes a la totalidad delos nodos de un elemento finito (e) se conoce como func in de interpolacin (Ie)del mismo. En el punto siguiente se desarrolla este tema con ms detalle.

15) Clculo de los estados tensionales y de los diagramas de solicitacin. A partir delestado de deformacin calculado y teniendo en cuenta las propiedades mecnicasdel material se pueden obtener los estados tensionales actuantes en todos lospuntos de cada uno de los elemento finitos y, en consecuencia, las de todos los dela estructura. Tambin se pueden obtener los diagramas de solicitacin.

a= F//m


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6. Funciones de forma o de interpolacin

6.1. Presentacin

Uno de los pasos esenciales del Mtodo de Elementos Finitos consiste en definir en sutotalidad al campo continuo de deformaciones de los infinitos puntos que constituyen elcuerpo, que no se conoce, en funcin de los valores nodales conocidos (a i), que sonslo (n) y donde (i) es el nmero del nodo considerado. En el caso ms general elcampo de deformaciones se puede expresar como [a(x,y,z)] y se lo obtieneinterpolando los valores desconocidos a partir de los conocidos, lo que se hacemediante ciertas funciones especficas denominadas fun cion es de interpolacin , yque corresponde una a cada uno de los elementos finitos en que se ha dividido elcuerpo. Las funciones de interpolacin se obtienen sumando otras funciones, tambinvlidas solamente en el elemento finito considerado, cada una de las cuales estvinculada a cada uno de los (r) nodos de dicho elemento, se las conoce comofunciones de forma . La resolucin de una estructura real requiere la existencia detantas funciones de interpolacin como sea el nmero de elementos finitos en que se laha dividido para poder resolverla (s). Para la construccin de cada una de estas (s)funciones de interpolacin se requieren tantas funciones de forma como nodos (r)posea el elemento finito considerado, en consecuencia la construccin de cada una delas (n) funciones de interpolacin requiere la existencia de sus correspondientes (r)funciones de forma .

El campo de valores [a(x,y,z)], que se obtiene aplicando la correspondiente funcin deinterpolacin a cada uno de lo elementos finitos considerados, es slo unaaproximacin del campo real [a(x,y,z)] y se lo expresa de la siguiente forma para elelemento finito genrico (e):

na(x,y,z) a(x,y,z) Nie(x,y,z). ai = Ne(x,y,z) [16]

i=1

Expresin en la que (Nie) es la funcin de forma asociada al nudo (i) considerado comopertenciente al elemento (e), del cual se conoce el valor real de su desplazamiento (a i)y, a partir de los (Nie) correspondientes a los (r) nodos del elemento finito (e),seconstruye la funcin de interpolacin (Ne) de dicho elemento, con la que se buscaaproximar los valores de los desplazamientos de todos los infinitos puntos que

conforman al mismo, que es en este caso el dominio de interpolacin. 6.2. Convergencia de la interpolacin

Consideremos un cuerpo material discretizado mediante una malla de elementos finitosde dimensin (h) longitud del lado mayor o dimetro del crculo circunscripto. Si elvalor de (h) se hace cada vez ms pequeo, de forma que cada nueva divisincontenga a la anterior y conservando para los elementos del mismo tipo la mismafuncin de interpolacin, diremos que existe convergencia si cuando (h) tiende a cero lasolucin aproximada tiende asintticamente hacia la solucin exacta.

Se puede demostrar que la convergencia existe cuando se cumplen las siguientescondiciones:


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1. La funcin de interpolacin de un elemento finito debe ser continua y derivable en elinterior de dicho elemento y, al pasar de un elemento al contiguo, las funciones que lescorresponden deben ser continuas al atravesar el lmite que los separa.

2. Las funciones de interpolacin deben permitir representar todo el campo de posiblesdeformaciones del elemento finito al que pertenecen, lo que se satisface si sedemuestra que pueden representar los siguientes casos lmite: a) los estados dedesplazamiento como cuerpo rgido, como sera el caso del elemento (BD) de (fig. 13);b) los estados de deformacin constante, como sera por ejemplo el caso de la traccinpura (fig. 14)

N A B C D

NFigura 13 Figura 14

6.3. Malla conforme

Para que una malla sea conforme , dos elementos de campo contiguos deben acoplarsesi recubrimientos ni separaciones (fig. 15)

Elementos separados Elementos superpuestos

Unin conforme Uniones no conformes

Figura 15

Para que la malla sea conforme la posicin de un punto (x) situado sobre el lmite entredos elementos finitos contiguos, slo debe ser funcin de los nodos situados sobre

dicho lmite (cara o superficie segn se trate de elementos bi o trilineales). Estacondicin se cumple si cada funcin (Nie) satisface los siguientes requisitos:


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a) se anula no slo en todos los nodos del elemento finito (e) distinto del identificadocon (i) sino que, tambin los hace en todo lmite que no contenga al nodo (i)considerado;

b) las trazas de dos funciones que llegan al mismo lmite deben ser iguales;c) dos elementos contiguos comparten los mismos nodos en la interface, es decir que

en la interface comn ambos elementos finitos tienen el mismo nmero de nodos.6.4. Construccin de las funciones de interpolacin

Las funciones de interpolacin , que en principio son elegidas por el proyectista dentrode ciertos lmites bastante amplios, deben satisfacer las siguientes condiciones, lascuales, en consecuencia, tambin deben ser satisfechas por las funciones de forma :

a) deben ser continuas en el dominio de su utilizacin (fig. 16.a), es decir, en elinterior del elemento considerado, esto implica que la funcin no debe tener saltos (fig.16.b);

b) debe conducir a un valor nico del campo en todo el dominio y no a ms de uno,como es el caso de (fig. 16.c);

c) las funciones de interpolacin deben satisfacer los valores nodales en la totalidadde los nodos pertenecientes al elemento que se estudia, esto implica que las funcionesde forma [Nie(x,y,z)] deben valer uno (1) en el nodo (i) del elemento finito (e) y cero (0)en todos los restantes nodos de l, lo que conduce a que si un elemento finito tiene (r)nodos se debe cumplir que, para (k=1, 2, i, , r):

Nk = 1 para k=iNk = 0 para ki

a) b) c)

SI NO NO

Figura16

6.4.1) Construccin de las funciones de forma y de interpolacin

Existen varios mtodos para guiar la construccin de las funciones de forma, yconsecuentemente la correspondiente funcin de interpolacin y la seleccin del msadecuado en cada caso prctico va a depender, fundamentalmente, de:

1) la naturaleza del problema que se quiere resolver;2) los medios de clculo disponibles para hacerlo;3) la experiencia del proyectista.


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En este texto slo analizaremos el m to d o d ir ec to pues es el que permite una msfcil comprensin de los aspectos conceptuales de la operacin 20.Su forma de operares la siguiente:

1) Se trabaja en base a polinomios;2) Si los elementos son lineales, los polinomios se construirn en funcin de la

nica variable de que se dispone que es (x) y sern del tipo:N = A0 + A1.x + A2.x2 + + An. xn [17]

3) Si los elementos son planos, los polinomios sern en (x,y) y se construyen enbase a denominado tringulo de Pascal que tiene la siguiente forma:

grado 0 1grado 1 x ygrado 2 x2 xy y2 grado 3 x3 x2y x y2 y3 grado 4 x4 x3y x2 y2 x y3 x4

4) Si los elementos son tridimensionales se tendrn que utilizar polinomios en (x),(y) y (z).

5) En el caso de los elementos finitos lineales, se debe elegir un polinomio quetenga tantos coeficientes como grados de libertad el elemento considerado, loque es inmediato.

6) En el caso de los elementos finitos planos, se debe elegir, en cada caso, elpolinomio completo de mnimo grado que tenga tantos coeficientes como gradosde libertad el elemento considerado a fin de garantizar su unicidad. Si estenmero no corresponde a un polinomio completo, se pueden agrupar ciertostrminos o suprimirlos, pero debe preservarse siempre la simetra del elemento.

6.4.2) Elementos finitos lineales

Consideremos, para comenzar, un elemento lineal con slo dos (2) nodos, a los quedesignaremos como (1) y (2), ubicados cada uno en uno de los extremos del elemento

(fig. 17). El conjunto tiene dos (2) grados de libertad, los posibles movimientos sobre eleje de las (x) de ambos nodos, por consiguiente, en base a lo dicho, utilizaremos comofuncin de interpolacin un polinomio de primer grado, pues es el que tiene slo dos (2)coeficientes a determinar:

a = A0 + A1.x [18]

Las dos condiciones nodales permiten determinar los valores de los coeficientes A 0 y A1:

20 Otros procedimientos muy utilizados para construir las funciones de interpolacin son: los polinomios deLagrange, los polinomios de Hermite y las familias de De Serendip.


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24

en x=0 : A0 + A1.0 = a1 [19]

en x=L : A0 + A1.L = a2 [20]

por consiguiente: (A0 = a1) ; A1 = [(a2 a1) / L] ; con lo que se obtiene:

N(x) = a1 + (a2 a1).(x/L) =

= a1 .[1 (x/L)] +a2 . (x/L) =

= N1(x) . a1 + N2(x) . a2 [21]

Con lo que hemos encontrado las funciones de forma y de interpolacin buscadas (fig.17b):

N1(x) =1 (x/L) ; N2(x) = (x/L) [22]

El factor de ponderacin de cada funcin de forma en la sumatoria destinada aconstruir la funcin de interpolacin , expresin [15], es el desplazamiento (aj) del nodoal que ella est asociada:

Ne = Nie . a i con i=1, 2, , r [23]

a) i=1 i=2

x0 L

b)

1 1N1(x) N2(x)

1 2c)

Iai

Ni N j a ja1 a2

+ =1 2 1 2 1 2

Figura 18


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25

En (fig. 17b) se representan estas funciones de forma , simples, de un elemento finito lineal y en la (fig. 17c) se representa la suma ponderada de ellas y su resultante, quees la funcin de interpolacin del elemento finito considerado y representa su estadoaproximado de deformacin.

Si la aproximacin obtenida con la interpolacin lineal vista no se considera suficiente,se puede adoptar para el mismo elemento finito un nmero mayor de nodos .Consideremos el caso de un elemento finito lineal con tres (3) nodos , lo que nosconduce a trabajar con funciones de forma de orden mayor (fig. 19), las que surgen deutilizar un polinomio con tres (3) constantes a determinar.

N1(x) = 1 (3/L).x + (2/L2).x2N2

N2(x) = (4/L9.x (2/L2).x2

N3(x) = (-1/L).x + (-2/L2).x2N1 N3

1 2 3

x0 L/2 L

Figura 19

6.4.3) Elementos finitos planos

En la (fig.20) se muestra un caso simple de interpolacin de un elemento finito genricoplano (e), indicndose las tres funciones de forma que, multiplicadas por los valores dela deformacin en sus correspondientes nodos (ai) y sumadas nos conducen a lafuncin de interpolacin . Esta ltima representa, en forma aproximada, lasdeformaciones que sufren los infinitos puntos del elemento.

1 ai

1 1 a j al

N1e N2e N3e Estado de deformacin

Figura 20

En resumen, lo que se busca es que estas funciones de interpolacin definan, demanera suficientemente aproximada y unvoca, el estado completo de deformacin del


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elemento finito considerado en funcin de los desplazamientos nodales, los cuales,como vimos, se conocen con exactitud. Reiteramos que, para que ello sea as, sedeben elegir adecuadamente las funciones de forma .

7. Elementos Finitos Paramtricos7.1. Transformaciones geomtricas

Si volvemos al caso indicado en (fig. 3) que se repite en (fig. 21a), en la cual en aras dela simplicidad de la exposicin se recurri al empleo exclusivo de elementos finitos triangulares, nos encontramos con que en realidad ellos son inadecuados pues nocubre al cuerpo en su totalidad. Tomando como ejemplo el caso del elemento finito (1)resulta que para cubrir efectivamente el cuerpo debiera tener la forma indicada en(fig.21b), que no es una forma simple como resulta ser un tringulo, pero no hay msalternativa que utilizar dicha forma, pues es la que nos permite cubrir al cuerpocompletamente. Para el anlisis de elementos finitos geomtricamente complejos se hadesarrollado el concepto de elemento finito p ar am tr ico .

El mtodo paramtrico consiste en definir un elemento finito de referencia,topolgicamente similar al elemento fsico que se quiere representar pero de formassimples y, mediante una transformacin geomtrica, que se realiza a partir de unafuncin de transformacin geomtrica [R], hacerlo coincidir con el elemento finito realo fsico. La transformacin geomtrica [R] permite definir la forma delelemento finitofsico tomando como referencia un cierto nmero de puntos o parmetros que engeneral son los nodos . Las funciones de transformacin son simplemente funciones de

interpolacin pero ahora de carcter geomtrico.

a) b) contorno del cuerpo

1s 2

s-1

Figura 21

Como se indica en (fig. 22), si el nmero de puntos considerados en ambos elementosfinitos , el de referencia y el real, es el mismo, diremos que se trata de un elemento finito is o p aram tr ico ; en el caso en que tenga mas puntos el elemento de referencia que elreal, la transformacin ser subparamtrica y si este ltimo tiene ms puntos que elprimero la transformacin ser superparamtrica .


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27

1 4 2

ELEMENTO de REFERENCIA 6 5

3Elementos:

SUBPARAMTRICO ISOPARAMTRICO SUPERPARAMTRICO

1e 2e 4e

6e 5e

3e

ELEMENTOS REALES

Figura 22

7.2. Elementos Finitos Isoparamtricos

Aunque no es una eleccin forzosa, resulta ser muy frecuente, por ser la ms eficaz ysencilla, utilizar las mismas funciones de interpolacin y los mismos nodos para definirla geometra y el campo de desplazamientos, es decir que haremos:

[R] = [N] [24]

En tal caso diremos, en el presente texto, que se emplean elementos f ini tosis o p aram tr i co s o sea, que se tiene una malla isoparamtrica .

Los elementos isoparamtricos permiten definir elementos de frontera curvos, loselementos de referencia se transforman en elementos curvilneos en una, dos o tredimensiones. Por ejemplo, los elementos de referencia planos con bordes rectospueden transformarse en elementos planos con bordes curvos (fig. 22) o directamenteen elementos curvos, como sera el caso de las lminas (fig. 23).

7.3. Proceso de interpolacin geomtrica

El proceso de interpolacin geomtrica es similar, por no decir igual, al de interpolacinde deformaciones que terminamos de ver y en l se procede de la siguiente forma:

a) La necesidad de definir geomtricamente la forma de los elemento finitos que seutilizan, surge del requerimiento del mtodo de determinar la matriz de rigidez delos mismos integrando en toda su rea.


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28

Figura 23

b) Como los nicos puntos geomtricamente definidos son los nodos , ubicados en losbordes del elemento finito (e) considerado, para fijar la geometra del resto delelemento se interpola la posicin de todos sus puntos utilizando funciones deinterpolacin geomtrica (Re).

c) Las funciones (Re) se materializan sumando un conjunto de funciones de formageomtrica (Rie), cuyo nmero es igual a la cantidad de nodos que tiene elelemento finito considerado y se expresa de la siguiente forma:

rx = Rie. xe [25]

i=1

d) Estas funciones de forma geomtrica (Ri) poseen las siguientes caractersticas:valen uno (1) en correspondencia con el nodo (i) y cero en todos los otros nodosdel elemento y en los lmites de este que no contengan al nodo (i).

e) Si denominamos (xi; yi; zi) a las coordenadas del nodo (i), variando este ndiceentre 1 y (r) para el caso de un elemento finito con (n) nodos , las coordenadas delos infinitos puntos del elemento considerado vienen dadas por la siguientesuperficie de interpolacin :

rxe = R1e.x1 + R2e.x2 + + Rne.xn = Rie.xi

i=1r

ye

= R1e

.y1 + R2e

.y2 + + Rne

.yn = Rie

.yi i=1r

ze = R1e.z1 + R2e.z2 + + Rne.zn = Rie.zi [26]i=1

7.4. Criterios de convergencia

Se puede demostrar sin dificultad que los criterios de convergencia se satisfacen paralos elementos isoparamtricos si se verifica la siguiente condicin:


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29

r Rie = 1 [27]

I=1

De hecho, si las condiciones son satisfechas para los elementos de referencia tambin

lo son para los elementos reales.

* * * * *

Luis J. Lima

Junio de 2012.


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(Lectura complementaria: captulos 1 y 2 del libro El Mtodo de los ElementosFinitos, de O.C.Zienkiewicz,Editorial Revert, Barcelona, ao 2007)

BIBLIOGRAFA

[1] Franois Frey y Jaroslav Jirousek: Mthode des lments finis, PressPolytechnique et Universitaire Romande, Lausana, Suiza, 2009.

[2] O.C. Zienkiewicz: El mtodo de los elementos finitos, Editorial Revert, Barcelona,2007.

[3] Marc Bonnet y Attilio Franfi: Analyse des solides dformables par la mthode deslements finis, Les ditions de lcole Polytechnique, Pars, 2007.

[1] Alaa Chateauneuf: Comprendre les lments finis, Ed.Ellipses, Pars 2005.[2] Jorge Schamn: Introduccinal Mtodo de los Elementos Finitos, Editado por

Facultad de Ingeniera UNLP-CEILP, La Plata, 1999.[3] Tirupathi R. Chabdrupatla y Ashok D. Belegundo : Introduccin al estudio del

Elemento Finito en Ingeniera, Ed.Pearson, Mxico, 1999.[4] Klaus-Jrgens Bathe: Finite Elements Procedures, Ed. Prentice Hall, EEUU, 1996. [5] Jos Mara Fornons: El Mtodo de los Elementos Finitos en la Ingenier a de

Estructuras, Ed. Universidad Politcnica de Barcelona, Barcelona, 1982.[6] Joao Oliveira Pedro: Finite Elements stress analysis of plate, shells and massive

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7. el m todo de los elementos finitos

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