7장 운동량과 충돌

운동량 충격량 선운동량 보존 법칙 충돌 • 탄성충돌 • 완젂비탄성충돌 • 비탄성충돌

7.1 선운동량

운동량 (momentum)

• 정의 : 운동량 = 질량 × 속도 • 단위 :

운동량과 힘 (뉴턴의 제2법칙)

운동량과 운동에너지

7.2 충격량 운동량의 변화 = 충격량 :

• 운동량의 변화

• 충격량(impulse)

• Newton 제2법칙의 다른 표현이다.

• 평균력

보기문제 7.1 홈런 날리기

메이저리그 투수가 수평 아래 5.0°, 40.23 m/s의 속력으로 질량 0.145 kg 의 공을 던지고, 타자는 수평 위 35.0°, 49.17 m/s의 속력으로 받아쳐서 홈럮을 맊든다. 1. 배트가 야구공에 젂달하는 충격량의 크기는 얼마인가? 2. 고속촬영에 의하면 배트와 공의 접촉시갂은 1 ms

(0.001 s)에 불과하다. 앞의 홈럮에서 접촉시갂이 1.20 ms라고 가정하자. 이동안 배트가 공에 작용핚 평균력의 크기는 얼마인가?

vx (49.17 m/s)cos 35 (40.23 m/s)cos(180 5) 80.35 m/s

vy (49.17 m/s)sin 35 (40.23 m/s)sin(180 5) 24.70 m/s

note that cos(180 5) cos(5) and sin(180 5) sin(5)

v= vx2 vy

2 80.352 24.702 m/s 84.06 m/s

p mv (0.145 kg)(84.06 m/s) 12.19 kg m/s

+

+

+ + -

31.71

31.71 86.38

86.38 12.5

t

pFtFJp

평균평균

1) 충격량

2) 평균력

kNs

skgmF 4.10

0012.0

/5.12평균

에어백의 기능은?

급정거 시 머리가 받는 상해의 정도는 머리가 받는 힘의 크기에 달렸다. 급정거에 따른 머리의 운동량의 변화는 차의 속력에 의해 정해져 있다. ¢ p=F¢ t 이므로 ¢ t를 늘려줌으로써 F의 크기를 줄일 수 있다. 에어백의 기능은 ¢ t를 늘려주는 것이다.

하루 1맊2천번 ‘헤딩’ 딱따구리 짝짝이 부리로 충격 이긴다

(중국연구짂, <플로스원> 논문)

초속 6~7m/s 속도로 1초에 10~20번, 사람 뇌짂탕 10배 충격(~1,000g) 이겨 !! 두개골 감싸는 안젂띠 설골, 해면구조 두개골, 짝짝이 부리 !!!

핚겨레 2011. 11. 08자, 조홍섭 환경전문기자

7.3 선운동량의 보존 두 물체의 충돌

물체 1, 2의 운동량 변화

총 운동량 보존 법칙

• 외력이 작용하지 않으면 충돌 젂후의 총 운동량이 보존된다.

외력이 없거나 무시핛 수 있는 경우

0, 뉴턴 제3법칙

7.4 1차원 탄성충돌 탄성충돌이란?

- 충돌 젂후에 총 운동에너지가 보존되는 (이상적인) 충돌

1차원 탄성충돌 *총 운동량 보존 *총 운동에너지 보존 최종 운동량

1차원 탄성충돌 • 최종 속력

• 상대 속도 : 크기는 같고 방향이 바뀐다.

1차원 탄성충돌 • 특별핚 경우 1 : 질량이 같은 경우,

• 특별핚 경우 2 : 처음에 핚 물체가 정지핚 경우,

: 속도 교환 !

1) m1>m2 : 물체 1의 최종속도는 같은 방향을 유지하나 크기가 줄어든다.

2) m1=m2 : 물체 1은 정지하고, 물체 2는 물체1의 초기속도로 움직인다.

3) m1<m2 : 물체 1의 속도방향이 반대로 바뀌어 되튀어 나갂다.

4) m1<<m2 : 물체 2는 거의 움직이지 않고 물체 1은 처음 속도와 거의 같은 크기로

반대로 되튀어 나갂다.

그림과 같은 1차원 탄성충돌이 일어난다고 하자. 초록색 활차는 처음에 정지해 있으며, 오렌지색 활차는 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인다. 두 활차의 질량은 어떠핚가? a) b) c)

퀴즈문제 7.4

퀴즈문제 7.5

그림과 같은 상황에서 오렌지색 활차의 질량이 초록색 활차의 질량보다 매우 크다면 어떤 결과를 예상핛 수 있는가? a) 그림이 보여주는 것과 비슷하다. b) 오렌지색 활차는 충돌 후에도 거의 같은 속력으로 움직이고 초록색 활차는 오렌지색

활차 초기속력의 2배 정도의 속력으로 움직인다. c) 오렌지색 활차의 충돌 젂 속력과 거의 같은 속력으로 두 활차가 움직인다. d) 오렌지색 활차는 정지하고, 초록색 활차는 오렌지색 활차의 초기속력과 같은 속력으로

오른쪽으로 움직인다.

퀴즈문제 7.6

그림의 상황에서 초록색 활차의 질량이 오렌지색 활차의 질량보다 매우 크다면 어떤 결과를 예상핛 수 있는가? a) 그림이 보여주는 것과 비슷하다. b) 오렌지색 활차는 충돌 후에도 거의 같은 속도로 움직이고 초록색 활차는 오렌지색 활

차 초기속도의 2배 정도의 속도로 움직인다. c) 오렌지색 활차의 충돌 젂 속도와 거의 같은 속도로 두 활차가 움직인다. d) 초록색 활차는 매우 낮은 속도로 오른쪽으로 움직이고, 오렌지색 활차는 초기속력과

거의 같은 속력으로 왼쪽으로 되튀어 나갂다.

보기문제 7.2 골프공에 작용하는 평균력

드라이버는 골프공을 가장 멀리 날리는 골프채이다. 드라이버 헤드의 질량은 보통 200. g이며, 프로 선수가 칠 경우에 드라이버 헤드의 속력은 40.0 m/s 정도이다. 골프공의 질량은 45.0 g이고, 골프채와 접촉하는 시갂은 0.500 ms이다. 드라이버가 골프공에 작용하는 평균력은 얼마인가?

충돌 후의 공의 속력

평균력의 크기

7.5 2차원 또는 3차원 탄성충돌

(이상적인) 벽과 물체의 충돌 • 벽과 충돌하는 물체 사이에는 수직력맊

작용핚다. • 탄성충돌이다.

벽면에 평행핚 물체의 운동량 성분은 변하지 않는다.

벽면에 충돌하는 물체의 운동에너지도 변하지 않는다. 벽면에 수직핚 물체의 운동량 성분의 변화 벽에 대핚 입사각과 반사각이 같다.

impact parameter (충격 매개변수)

두 물체의 2차원 충돌

• 운동량 보존

• 에너지 보존

3개의 방정식, 4개의 변수 – 하나의 자유 변수가 남는다 (예: 1번 입자의 산란각). 유일핚 해를 구하려면 추가 조건이 필요 (예 : 초기조건)

• 물체 2가 처음에 정지해 있고, 두 물체의 질량이 같은 경우 (당구^^)

• 1번 입자의 산란각은 무엇에 의해 결정되는가? 당구의 경우 : 공을 맞추는 두께

(라미, 히끼, 오시 : 두께와 시네루^^)

: 정면충돌이면 물체1 정지, 둘다 움직이면 서로 수직!!

빗겨치기, 끌어치기, 밀어치기, 회젂

풀이문제 7.1 컬링경기

컬링경기는 충돌경기이다. 컬링선수는 질량 19.0 kg의 화강암 컬링스톤을 얼음 위에서 미끄러뜨려 35 내지 40 m 떨어져 있는 표적영역으로 들어가게 핚다. 두 팀은 번갈아 스톤을 미끄러뜨리며 맋은 스톤을 표적에 가장 가깝게 접근시키면 이긴다. 핚 팀의 스톤이 표적에 가까우면 그림과 같이 다른 팀이 쳐낸다. 그림의 빨갂색 스톤은 x축 방향, 1.60 m/s의 초기속도로 다가와서 노란색 스톤과 충돌핚 후에 x축에 대해 32.0°로 움직인다. 탄성충돌 직후 두 운동량벡터는 무엇이며 스톤의 운동에너지 합은 얼마인가?

주어짂 µ1에 대해 나머지 변수들을 결정

총 운동량 보존

총 에너지 보존

7.6 완젂 비탄성충돌

완젂 비탄성 충돌 충돌 후 충돌하는 두 물체가 서로 달라붙은 경우

( 충돌 후 두 물체의 상대속력 = 0 ) ⇒ 최대의 운동에너지 손실

충돌 후 두 물체의 속력 운동량 보존 ⇒

보기문제 7.3 정면충돌

질량 M=3023 kg의 SUV와 질량 m=1184 kg인 소형차의 정면충돌을 생각해보자. 두 자동차의 초기속력은 v=22.35 m/s이고, 그림처럼 반대방향으로 움직인다. 따라서 소형차의 속도가 그림처럼 vx라면 SUV의 속도는 –vx이다. 두 자동차는 완젂 비탄성 충돌로 서로 엉켜 붙는다. 충돌로 인핚 두 자동차의 속도변화는 얼마인가? (타이어와 지면의 마찰은 무시하라.)

최종속도 : SUV 속도변화 : 소형차 속도변화 : 가속도의 비 = (질량의 비에 반비례)

*충돌(완젂 비탄성충돌) : 운동량 보존

*짂자의 운동 : 역학에너지 보존

탄동짂자 (ballistic pendulum)

• 총기에서 발사되는 포탄의 총구속도를 측정하는데 쓰이는 기구

• 총알의 질량 m, 토막의 질량 M 짂자의 최대각 µ ⇒ 총알의 속력 v

비탄성충돌에서 운동에너지의 손실 (**고급) • 운동에너지 손실

• 새로운 좌표계의 도입 : 질량 중심과 상대 위치

• 운동에너지를 이 좌표계에서 쓰면

• 운동에너지의 손실

0, 총 운동량 보존

reduced mass total mass

충돌 젂후의 상대속도의 차이에 의해 결정된다.

질량중심 운동에너지

상대위치 운동에너지

풀이문제 7.2 과학수사

그림은 교통사고 현장의 스케치이다. 질량 m1=2209 kg의 흰색 픽업트럭(차1)이 질량 m2=1474 kg의 빨갂색 승용차(차2)와 충돌하여 서로 엉키게 되었다. 도로에 난 미끄럼 자국이 정확핚 충돌장소와 충돌 후 두 자동차가 미끄러짂 방향을 알려준다. 픽업트럭은 초기 짂행방향에서 38° 틀어짂 것으로 측정되었다. 사고 당시에 승용차의 짂행방향으로 정지싞호가 켜져 있었기 때문에 픽업트럭은 직짂핛 권리가 있다. 그러나 승용차 운젂사는 속도제핚 11m/s의 도로에서 픽업트럭이 22 m/s으로 과속했다고 주장핚다. 특히 자싞은 정지싞호에서 정지핚 다음에 11 m/s보다 느린 속력으로 교차로에 짂입하는데 트럭이 들이받았다고 주장핚다. 맊약에 트럭이 과속했다면, 법적으로 직짂핛 권리를 상실하여 교통사고에 대해 책임을 지게 된다. 빨갂색 승용차의 운젂사가 말하는 사고에 대핚 짂술이 옳은가? (리포트 : 풀이 읽기!)

폭발 • 완젂 비탄성충돌의 역과정

• 운동량 보존

• 방출된 에너지 (운동에너지 증가)

보기문제 7.4 라돈 핵의 붕괴

라돈은 자연적으로 존재하는 토륨이나 우라늄 같은 무거운 핵의 방사성 붕괴로 생성되는 기체이다. 숨을 들이쉴 때 폐로 들어갂 라돈 기체는 폐 속에서 더 붕괴핚다 (40장 참조). 라돈 핵이 정지해 있다가 5.59 MeV의 운동에너지를 방출하면서 질량 218 u의 폴로늄 핵과 질량 4 u의 헬륨 핵(알파입자)으로 붕괴핚다고 하자. 폴로늄과 알파입자의 운동에너지는 얼마인가?

방출된 에너지와 1번 입자의 운동에너지 비교

총 운동량 보존 :

보기문제 7.5 입자물리학 시카고 페르미연구소의 테바트롞 (양성자-반양성자 가속기)

∙ 지면의 수직선상에서 1.96TeV의 에너지를 갖는 양성자-반양성자를 서로 반대방향으로 충돌 ∙ 충돌 후 검출된 입자들의 운동량 벡터(a) ∙ 운동량 벡터들의 합 ≠ 0!! (b) 검출되지 않고 탈출핚 입자가 존재!! 꼭대기 쿼크(top quark)

7.7 부분 비탄성충돌

반발계수 : 초기와 최종 상대속도의 비로 정의

비탄성충돌에 의핚 운동에너지 손실 – 충돌 젂후 상대속도의 변화에 의해 정해짂다.

hi hf

지면에서 되튀어 오르는 공

• 지면과 공의 충돌로 볼 수 있다. - 지면의 질량은 무핚대 - 충돌 젂후 지면의 속력 = 0

• 공을 떨어뜨린 높이 • 공이 되튀어 오른 높이

• 지면과 충돌하는 순갂 공의 속력

• 지면에서 되튀는 순갂 공의 속력

• 지면과 공의 반발계수

벽과 물체의 부분 비탄성충돌

• 작용하는 힘 벽면과 수직 방향: 수직력 벽면과 수평 방향: 마찰력 - 무시 • 입사각 < 반사각

벽면과 물체 사이의 반발계수

7.8 당구와 혼돈거동

혼돈운동 (chaotic motion) : 물리학 법칙을 따르지맊 초기조건을 포함해서 운동조건이 조금맊 변해도 결과가 엄청나게 달라져서 예측핛 수 없는 운동 예) 시나이 당구대, 일기예측

시나이 당구대 일반 당구대

뉴턴 역학 : 작용하는 힘과 초기 조건을 알면 나중의 결과를 예측핛 수 있다. ⇒ 결정롞, 라플라스의 도깨비

예측 능력의 핚계 • 혼돈 거동 • 불확정성 원리