Propiedades de los determinanteslgebra lineal Cristina Maisterra Michel

Determinantey Es una funcin que asocia una matriz

cuadrada n x n a un escalar, que se denota por: det A A

y Los determinantes tienen muchas

propiedades que pueden facilitar los clculos.

y Conviene conocer el teorema bsico del cual

se deducen varias propiedades de los determinantes:

Teorema Bsicoy Sea A una matriz n x n. Entonces:

n

det A ! ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain ! aik Aikk !1

y Es decir, podemos calcular det A expandiendo

por cofactores cualquier rengln (columna) de A.

1.- Si cualquier rengln o columna de A es el vector cero, entonces su determinante es cero. det( A) ! 00 A! 0 4 3 0 4 8 0 5 0 0!0 1 3

7 10 2

0 A!

3 0 5!0

1 3 0 0 2 0 0 3

4

7 0 2

2.- Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, su determinante es cero. det( A) ! 02 1 3 A! 5 2 0 !0 2 1 3

0 2

0 2

2 0 !0 3

A ! 1 1

3.- Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas proporcionales, su determinante es cero. det( A) ! 09 A! 0 22

1 6 2 0 !0 1 41

3 A! 5 2 0 !0 1 1 2 3 2

4.- El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. det( A) ! det ( At )1 A! 3 1 2 1 4 ! 16

0 2 5 1 2 3 4 0 5

At ! 1 1 2 ! 16

5.- Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos de una lnea por el mismo nmero k, su determinante queda multiplicado por ese nmero.1 A! 3 1 2 1 4 ! 16k !2

0 2 5 1 A! 3 1 1 2 4 1 ! 3 1 1 2 4 ! (2)16 ! 32

(2)0 (2) 2 2(5)

0 4 10

6.- Si B es la matriz cuadrada que se obtiene intercambiando dos filas o columnas cualesquiera de una matriz cuadrada, entonces el determinante de B es de signo opuesto del determinante de A.0 3 1 5

det( B) ! det ( A )

1 3 0 0 A! ! 30 2 0 0 3 4 7 1 20 5 1 3 1 0 0 3 B! ! 30 2 3 0 0 4 2 1 7

7.-El determinante del producto es igual al producto de los determinantes. det (A B) = det (A) det (B)1 A! 31 2

1 6 2 B! 3 0 2 4 4 ! 108 5

1

4 ! 16

0 2 5

2 0 8 AB ! 6 0 30 ! 1728 6 16 17

(108)(16) ! 1728

8.- Si A es una matriz cuadrada de orden n y k un escalar, entonces : n det(kA) ! k det ( A )1 A! 3 1 2 1 0 ! 8

si k ! 2

0 2 12 2 4 2A ! 6 2 0 ! 64 0 4 2

2 (8) ! 8(8) ! 64

3

9.-Si un mltiplo de un rengln (columna) de A se suma a otro rengln (columna) de A, entonces el determinante no cambiar.1 A! 3 1 2 1 0 ! 8

3R1 R2

0 2 1

1 A! 0

1 4

2 6 ! 8 1

0 2

10.- Si todos los elementos de una lnea se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de otros dos de la forma: a a b b a b a b c d ! c d c d

1 2 A ! 3 1 0 ! 8 0 2 11 1 B! 3 1 0 2 0 ! 9

1 A! 3

1 2 0 1

2 0

0 1 (1) 11 2 2 C!3 0 1 0 !1

0 1 1

1 1

9 1 ! 8

Fuentesy Grossman, S. (1984). lgebra lineal. Grupo

Editorial Iberoamrica: Mxico y s/a (2008). Propiedades de los determinantes. CSI/ITESM consultado el 27 de julio del 2009 en: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95843/lecturas/l843-62.pdf y Clase de lgebra lineal impartida por Mtra. Laura mendoza.

Otras propiedadesy 11. Cuando una matriz tiene inversa, su

y y

y

y

determinante es distinto de cero; anlogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa. 12. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz. 13. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula. 14. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensin n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1. http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_0170 0.html