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En los planes de formación inicial del profesor de matemáticas de Secundaria actuales se considera la planificación como unacompetencia principal que debe desarrollarse. Presentamos el Análisis de Contenido como un procedimiento que se ocupa deanalizar y organizar los diferentes significados que admiten las matemáticas escolares, de cara a la planificación de unidadesdidácticas. El profesor en formación desarrolla mediante este análisis diversas capacidades necesarias para la planificación.Ejemplificamos el procedimiento y sus fases mediante el tema Sistema de los Números Naturales.

In the current mathematics secondary teacher training syllabi, planning is considered as a main competence that should beemphasized. We introduce content analysis as a procedure for analyzing and organizing the different school mathematics mean-ings that should be taken into account to plan didactical units. We use the system of whole numbers for exemplifying the phasesof this procedure.

a Ley Orgánica 2/2006 de Educación establece, en suartículo 94, que para impartir las enseñanzas de EducaciónSecundaria Obligatoria y de bachillerato será necesario tenerel título de Licenciado, Ingeniero o Arquitecto, además deuna formación pedagógica y didáctica de nivel de Postgrado.En el marco de la actual reforma universitaria basada en laconvergencia europea, se presentan como finalidades priori-tarias la elaboración de nuevas titulaciones, actualización desu orientación profesional y vinculación con el mercado detrabajo.

La noción de competencia resulta central en la nueva orien-tación de las titulaciones:

El plan de estudios conducente a la obtención de un títulodebe tener en el centro de sus objetivos la adquisición decompetencias por parte de los estudiantes, ampliando portanto (aunque no excluyendo) el tradicional enfoque basa-do principalmente en contenidos y horas lectivas. Se debe-rá hacer énfasis en los métodos de aprendizaje de dichascompetencias, así como en los procedimientos para eva-luar su adquisición. (…) Se utiliza el término competenciaexclusivamente en su acepción académica, y no en su acep-ción de atribución profesional. Las competencias son unacombinación de conocimientos, habilidades (intelectuales,manuales, sociales, etc.), actitudes y valores que capacita-rán a un titulado para afrontar con garantías la resoluciónde problemas o la intervención en un asunto en un con-texto académico, profesional o social determinado. (MEC,2005; p. 14).

Luis RicoAntonio MarínJosé Luis LupiáñezPedro GómezUniversidad de Granada

Planificación de las matemáticas escolares en

secundaria. El caso de los Números Naturales

L En el contexto actual de nuevas estructuras para planes deestudios universitarios, la norma establece la formación ini-cial del profesorado de Secundaria mediante un título. Estaformación debe centrarse en la adquisición y desarrollo deunas competencias generales y específicas, de carácter profe-sional propio (Ley Orgánica 2/2006).

El Ministerio de Educación y Ciencia resalta la aproximacióna la formación basada en la noción de competencia en unborrador de directrices para los títulos de Master que organi-cen la formación inicial del profesorado de Secundaria(Consejo de Universidades, 2006). La caracterización de lascompetencias y del conocimiento profesional del profesor deEducación Secundaria ha traspasado el ámbito de la reflexiónteórica, limitada a especialistas, para ocupar a los responsa-bles de la política educativa, gestores de centros de formaciónsuperior y expertos universitarios. El marco de competenciasparece especialmente adecuado para abordar la formacióninicial del profesorado de Secundaria mediante titulacionesde postgrado, ya que la docencia es un campo profesional

Junio 2008, pp. 7-2358

prioritario para los licenciados en Ciencias y Humanidades yde otras titulaciones, que corresponden a campos y materiasque se estudian en Educación Secundaria.

Competencias del profesor de matemáticas

Son varios los equipos y grupos de trabajo que, recientemen-te, vienen estudiando las competencias básicas para estructu-rar planes de formación, inicial y permanente del profesorado(Oser, Achtenhagen & Renold, 2006; TEDS-M, 2007).

En efecto, la determinación de las competencias asociadas acada una de las titulaciones universitarias pone el acento en lapreparación para el ejercicio de la actividad profesional y suvinculación a la formación universitaria. Distintos documen-tos, elaborados en España por instituciones o grupos de estu-dio, han sintetizado las competencias del profesor, necesariaspara su desempeño como profesionales autónomos y críticos(Pérez, 2005). Entre esas propuestas destacan competenciasrelativas a la revisión de significados de los conceptos y a sutratamiento. La propuesta de Directrices para el Máster deProfesor en Secundaria (Consejo de Universidades, 2006)señala, entre las competencias propias de estos profesores, lassiguientes:

Conocer los contenidos curriculares de las materiascorrespondientes a la especialidad cursada, así como elcuerpo de conocimientos didácticos en torno a los proce-sos de enseñanza y aprendizaje respectivos. (…)

Ser capaz de planificar, desarrollar y evaluar el proceso deenseñanza y aprendizaje potenciando procesos educativosque faciliten la adquisición de las competencias propias delas respectivas enseñanzas, atendiendo al nivel y formaciónprevia de los estudiantes así como la orientación de losmismos, tanto individualmente como en colaboración conotros docentes y profesionales del centro. (p. 3).

Estos y otros documentos contemplan similares tipos de com-petencias en el modelo básico de formación y actualizacióndocente para el profesorado de Secundaria. Tales trabajos hantenido especial incidencia en las reflexiones acerca de la for-mación inicial de profesores de matemáticas de Secundaria.En el momento actual, la formación del profesorado deEducación Secundaria requiere incorporar reflexión teórica einstrumentos técnicos que promuevan la competencia en elproceso de planificación de la enseñanza y aprendizaje en elaula del futuro profesor (Comisión Educación CEMAT, 2004;Campillo, 2004; Rico, 2005).

Planificación docente

La planificación es una de las competencias profesionalesclave para el profesor y que está menos desarrollada en losplanes de formación del profesorado. Resulta especialmente

importante para el profesorado de matemáticas, dadas lasdificultades inherentes al aprendizaje y enseñanza de estamateria. En este documento se precisan algunas capacidadesque contribuyen al desarrollo de esta competencia.

La información que aportan a la planificación docente loscurrículos de Educación Secundaria establecidos y las secuen-ciaciones de contenidos que los boletines oficiales publican,se muestran claramente insuficientes para llegar al nivel delaula y decidir acerca de qué debe aprender un alumno o alum-na de secundaria en cada tema y cómo hacerlo operativo cadadía. Los libros de texto que publican las editoriales y su com-plemento en forma de libro del profesor ocupan el espaciointermedio entre la secuenciación general del Boletín Oficialdel Estado y la planificación diaria de actividades que el pro-fesor debe realizar, ya que responden a preguntas como ¿quécontenidos trabajo con mis alumnos? ¿qué expectativas tengorespecto a su aprendizaje? ¿cómo selecciono y estructuro lasclases para que el alumno alcance las expectativas previstas?Sin embargo los libros de texto se redactan para perfiles dealumnos y profesores que no coinciden con la realidad decada centro y aula. La información que contienen, las estrate-gias didácticas con las que organizan los contenidos, la selec-ción de tareas que realizan y la limitación de recursos quesuponen, obligan, cada vez más, a que el profesor utilice ellibro de texto como un apoyo a su trabajo en el aula y no comouna guía de actuación para seguir de modo prescriptivo.

La normativa educativa señala la obligatoriedad de elaborardocumentos curriculares específicos para cada centro, quecontengan instrumentos para tomar decisiones y propuestaspara ajustar el contenido oficial del currículo a la realidad delalumnado de cada centro. Igualmente, enfatiza la necesidad deresponder a la diversidad del alumnado en sus condiciones devida, expectativas y conocimientos con variedad de activida-des. Estas consideraciones, refuerzan la importancia del traba-jo de programación y selección de tareas en la labor del profe-sor. La planificación, como competencia clave del profesor dematemáticas, demanda el desarrollo de capacidades específi-cas para identificar, organizar, seleccionar y priorizar los signi-ficados de los conceptos matemáticos mediante el análisis cui-dadoso de su contenido, análisis necesario para establecer lasexpectativas de aprendizaje, previo al diseño de tareas y nece-sario para la elección de secuencias de actividades.

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La planificación es una delas competenciasprofesionales clave para elprofesor y que está menosdesarrollada en los planes deformación del profesorado.

Matemáticas escolares

Para la formación inicial del profesorado de matemáticas deSecundaria consideramos prioritario el desarrollo de unconocimiento especializado sobre matemáticas escolares, esdecir, sobre las matemáticas consideradas como objeto deenseñanza y aprendizaje. Nuestro planteamiento sobre mate-máticas escolares postula que ideas, estructuras y conceptosmatemáticos se han generado y constituido como herramien-tas para organizar los fenómenos de los mundos natural, men-tal y social. Los términos y conceptos matemáticos que seusan y presentan en el sistema educativo corresponden anociones socialmente útiles y culturalmente relevantes, que setransmiten para la formación de todos los ciudadanos. El sis-tema educativo organiza y estructura dichos conceptos eideas a los efectos de su enseñanza, y contribuye a que los ciu-dadanos lleven a cabo su aprendizaje en el uso de tales herra-mientas en contexto.

Las matemáticas son un modelo paradigmático de proporcio-nar significado a relaciones y expresiones abstractas, que nocorresponden a objetos o propiedades f ísicas, pero que satis-facen un marco de experiencias estructuradas, relacionadascon las acciones de clasificar, contar, ordenar, situar, repre-sentar, medir, expresar armonía, buscar relaciones y regulari-dades, jugar y explicar (Devlin, 1994; Steen, 1990).

Las conexiones internas en los sistemas de conceptos mate-máticos los constituyen en estructuras; de este modo propor-cionan referencia –valor veritativo- a cada noción, por mediode sus vínculos en la estructura conceptual en que se inserta.Un concepto adquiere objetividad y potencial argumentativocuando forma parte de una estructura. Las conexiones y usosexternos aportan sentido, basado en la experiencia propia oen la experiencia culturalmente acumulada; incorporanmodos de actuar ante situaciones, contribuyen a resolver pro-blemas, a procesar información y al ajuste a modelos.

Nuestro interés por el significado de los conceptos matemáti-cos está, pues, centrado en el ámbito de la matemática esco-lar, en su consideración funcional. En el ámbito escolar, unmismo concepto matemático puede expresar una variedad de

significados. Basándonos en las ideas de sentido y referencia(Frege, 1996), establecemos que los diferentes significados deun concepto matemático vienen dados por las estructurasconceptuales en que se inserta –referencia-, por los sistemasde símbolos que lo representan –signos-, y por los objetos yfenómenos de los que surge -sentido. En la reflexión sobrematemática escolar, que corresponde al estudio curricular, elsignificado de un concepto se establece mediante la ternaEstructura Conceptual-Representaciones-Fenómenos. Ade-cuamos así la terna de Frege: Signo-Sentido-Referencia, con lacual caracterizamos el significado de un concepto de las mate-máticas escolares.

Hay diferentes significados para un mismo concepto matemá-tico, que vienen dados por las estructuras conceptuales que lorefieren, por los sistemas de símbolos que lo representan, ypor los objetos y fenómenos de los que surge y que le dan sen-tido. Sostenemos que esto es así porque un mismo conceptoadmite una pluralidad de relaciones internas, de modos derepresentación y de sentidos, que vienen determinados por lasrelaciones externas del concepto de referencia (Rico, 1997).

Análisis de contenido

El Análisis de Contenido, tal y como aquí se presenta, es unaherramienta técnica para establecer y estudiar la diversidadde significados de los contenidos de las MatemáticasEscolares. El Análisis de Contenido es parte del AnálisisDidáctico, que configura un conjunto de procedimientosnecesarios para llevar a cabo el diseño y planificación de uni-dades didácticas. Mediante este Análisis se desarrollan lascapacidades del profesor de matemáticas para establecerdiversos significados de los temas matemáticos escolares, queson conocimientos necesarios para marcar expectativas sobreel aprendizaje de los alumnos y para delimitar y diseñar tare-as basadas en la concreción de unas demandas cognitivas. Esdecir, el Análisis de Contenido contribuye al desarrollo decapacidades profesionales para la enseñanza vinculadas con lacompetencia de planificación.

En reiteradas ocasiones hemos subrayado la conveniencia decomenzar las tareas de planificación y diseño de unidadesdidácticas por medio del Análisis de Contenido, es decir, pormedio del estudio de los diversos significados de los concep-tos matemáticos, que hemos estructurado mediante diversosorganizadores del currículo (Rico, 1997; Segovia y Rico, 2001;Gómez, 2002; Gómez, 2007).

El Análisis de Contenido sobre un tópico se lleva a cabomediante distintas fases, las cuales desarrollan ciertas capaci-dades y contribuyen a la competencia de planificación. En estetrabajo se muestra una aplicación de las nociones del Análisisde Contenido mediante su ejemplificación con un tema de

Para la formación inicial delprofesorado de matemáticas de

Secundaria consideramosprioritario el desarrollo de un

conocimiento especializadosobre matemáticas escolares, es

decir, sobre las matemáticasconsideradas como objeto de

enseñanza y aprendizaje.

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Primer Ciclo de Educación Secundaria Obligatoria. El temaelegido como ejemplo es Sistema de los Números Naturales.

Tratamiento curricular

Fijado el nivel en que va a realizarse el Análisis de Contenidode un tópico, en este caso el Primer Ciclo de Secundaria, esobligado acercarse a la normativa curricular y analizar lasreferencias al tema contenidas en los diferentes niveles. Tantolos Decretos de Enseñanzas como las secuenciaciones carac-terizan al tema, dando un programa de contenidos organiza-do en epígrafes, junto con algunas referencias metodológicasque proporcionan información sobre su extensión y aportanespecificidad a los contenidos. La referencia básica para elSistema de los Números Naturales, que se ejemplifica, es:

Primer curso. Contenidos:

1º. Aritmética y álgebra. Números naturales. El sistema denumeración decimal. Divisibilidad. Fracciones y decimales.Operaciones elementales. Redondeos. Potencias de expo-nente natural. Raíces cuadradas exactas. Las magnitudes ysu medida. El sistema métrico decimal. El euro.Magnitudes directamente proporcionales. Porcentajes.

2º. Relación de divisibilidad. M.C.D. y m.c.m. de dos núme-ros naturales. Estimaciones, aproximaciones y redondeos.Precisión y estimación en medidas (MEC, 2000; p. 61).

A partir de esta información se abre la posibilidad de:

• Destacar conexiones con otros temas y núcleos temáticosdel currículo.

• Establecer una secuenciación de los aspectos del tema quese podrán desarrollar en varios cursos o a lo largo de otrostópicos.

• Delimitar el contenido en un curso en el marco de unaprogramación global.

Pero la información de los documentos curriculares es ampliay genérica, lo suficiente como para admitir una diversidad deinterpretaciones. De hecho, los distintos libros de texto yotros desarrollos muestran diferentes aproximaciones que,por razones diversas, se suelen aceptar como modelos de pro-puestas curriculares. Conviene, pues, destacar algunos instru-mentos y técnicas de trabajo para el profesor en formación,que contribuyan al desarrollo de capacidades relativas al dise-ño de tareas y planificación de unidades didácticas; estas téc-nicas marcan criterios para organizar y seleccionar conteni-dos, focalizar prioridades y configurar itinerarios de aprendi-zaje (Gómez, 2007).

El desarrollo del currículo de matemáticas lo debe establecer,en definitiva, el seminario de profesores de cada centro.

Tipos de contenido

Para el correcto desarrollo de las tareas docentes y el logro delas expectativas de aprendizaje, el profesor tiene que planifi-car su trabajo y, como se ha dicho, necesita considerar el sig-nificado de conceptos e ideas matemáticas desde una pers-pectiva más amplia que la de su exclusiva fundamentaciónformal y axiomática y de su justificación deductiva, superan-do pretendidas versiones canónicas del currículo que loestancan y limitan. El análisis de los significados de ideas yconceptos de las matemáticas escolares obliga a revisar loscontenidos y las estructuras en las que tales conceptos seinsertan.

Por ello el Análisis Didáctico comienza por el Análisis deContenido, es decir, hace una revisión de las estructurasmatemáticas desde la consideración de su aprendizaje y ense-ñanza, y de ahí la importancia de revisar los contenidos desdeuna perspectiva cognitiva. Algunos investigadores en educa-ción matemática, expertos en su aprendizaje, han organizadoel conocimiento matemático escolar con criterios cognitivosy, para ello, usan la clasificación del contenido de las matemá-ticas escolares en dos grandes bloques: conceptual y procedi-mental (Bell, Costello & Küchemann, 1983; Hiebert y Lefevre,1986; Rico, 1995). Dentro de estos dos bloques establecen tresniveles de complejidad.

En el campo conceptual se señalan hechos, conceptos y estruc-turas como los tres tipos de conocimientos que articulan elcampo en grado de complejidad creciente. Los hechos consti-tuyen el nivel básico de complejidad conceptual, y se puedendiferenciar en términos, notaciones, convenios o resultados. Enun nivel medio de complejidad están los conceptos, que pue-den tener diferentes significados, como es el caso del númeronatural o la relación de divisibilidad. En un nivel de compleji-dad superior están las estructuras. El conocimiento de laestructura del Sistema de los Números Naturales se inicia conlas operaciones internas, relaciones y propiedades caracterís-ticas del semianillo arquimediano de los números naturales(N, +, x, ≤).

En el ámbito de los procedimientos los tres niveles de com-plejidad que se consideran son: destrezas, razonamientos yestrategias. Por ello, algunos contenidos del Sistema de los

Para el correcto desarrollo delas tareas docentes y el logrode las expectativas deaprendizaje, el profesor tieneque planificar su trabajo.

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Números Naturales se presentan en este nivel básico comodestrezas para adquirir o afianzar (es el caso del uso del parén-tesis y la jerarquía de operaciones o los algoritmos del pro-ducto y la división); otros conocimientos se consideran for-mas de razonamiento (deductivo, o inductivo en el tratamien-to de regularidades numéricas); finalmente, otros tienen unmayor nivel de complejidad, que corresponde a las estrategias(como son las estrategias de “estimar” o “reconocer patronesnuméricos).

Un profesor en formación ha de ser capaz de discriminar loscontenidos matemáticos como objetos de aprendizaje, para locual es útil esta clasificación. También ha de tener capacidadpara establecer una clasificación detallada de los contenidosque intervienen en un tema concreto, de su tipología y nivelde complejidad.

La Tabla 1 aplica esta clasificación para el Sistema de losNúmeros Naturales.

Focos conceptuales

Para avanzar y profundizar en el proceso de análisis del con-tenido de un tema conviene que el profesor determine rela-ciones y prioridades entre conceptos, procedimientos y estra-tegias. Es fácil observar que dentro de un mismo tema hayconceptos y procedimientos que pueden estar al servicio deuna estrategia importante. Desde la perspectiva del tema quese está planificando las estrategias ocupan lugares predomi-nantes y hacen que otros conceptos o procedimientos se supe-diten a ellas. Para ello, se requiere capacidad del estudiantepara profesor para fijar los conceptos que articulan el tema ymostrar el sistema de relaciones que se generan entre los dis-tintos tipos de contenidos a partir de dichos focos conceptua-les.

Con estas premisas se habla de focos conceptuales prioritarioscuando se propone la organización de los contenidos de untema a partir de un número reducido de ideas prioritarias. Losfocos conceptuales consisten en agrupaciones específicas deconceptos, estrategias y estructuras, que adquieren importan-cia especial ya que expresan, organizan y resumen agrupa-

mientos coherentes de los contenidos. Los focos conceptualesse identifican porque establecen prioridades sobre las expec-tativas de aprendizaje del tema y permiten una adecuadasecuenciación de tareas para su enseñanza.

Tabla 1. Clasificación cognitiva del contenido del Sistema de losNúmeros Naturales.

Términos: cero, uno, dos, tres,….; igual, mayor/menor que;suma; resta; producto; divi-sión; siguiente a; anterior de;…decena, centena, unidad demillar, millón, decena demillón, …; billón, trillón, …; Notaciones: 0, 1, 2 ,3 4, 5, 6, 7,8 y 9; =, <, ≤,+, -, x, :; 10, 100,1000,…; 102,103,…Convenios: • Los naturales comienzan en0• Periodicidad de los órdenesdel sistema: [(u, d, c), (um, dm,cm)], [(uM, dM, cM)],…• Valor posicional de las cifrasen un número• Lectura: todo número se leecomenzando por la cifra demayor orden, con indicaciónde dicho orden, continúapor…• Colocación de sumandos; delos factores de un producto; delos términos en una resta; delos términos en una división.Resultados:• Cada 10 unidades de unorden forman una unidad deorden superior.• Comparación de naturalespor tamaño y, en caso de igual-dad, por su cifra de mayororden. • Todo número n tiene unsiguiente n+1 y, excepto 0, unanterior n-1.• Tablas de sumar y de multi-plicar.• Regularidades numéricas.Conceptos Numéricos:• Significados del número.• Diversos conceptos denúmero natural• Secuencia numérica.• Recta numérica.• Sistema decimal de numera-ción.• Orden entre naturales.• Suma, resta producto y divi-sión de naturales.• Divisibilidad.• Propiedades de las operacio-nes numéricas.

Estructuras:• (N, +) y (N, x) Semigruposconmutativos.• (N, ≤) Orden total y arqui-mediano.• (N, +, x, ≤) Semianilloarquimediano.Destrezas: • Escritura y lectura de núme-ros• Descomposición polinómicade un número• Uso del paréntesis y jerarquíade las operaciones• Algoritmos de la suma y de laresta • Algoritmos del producto;algoritmos de la división.• Expresiones de un mismonúmero como resultado dedistintas operaciones• Diversidad de representacio-nes de un mismo número.• Orden de magnitud de unnúmero o cantidad.• Usos básicos de la calculado-ra con naturales.Razonamiento:• Deductivo: propiedades delas operaciones• Inductivo: regularidadesnuméricas• Recta numérica. Propiedadesy operaciones en la recta• Figurativo: estructuras quese expresan gráficamente• Argumentos para justificarpropiedades numéricasEstrategias:• Calculo mental• Estimación de los resultadosde una operación• Reconocimiento de patronesnuméricos• Reconocimiento de la estruc-tura que comparten dos o másnúmeros• Construcción de un conjuntode números con ajuste a unaregla• Estrategias de cálculo con lacalculadora manual• Resolución de problemasaritméticos y numéricos

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Para avanzar y profundizar enel proceso de análisis del

contenido de un tema convieneque el profesor determine

relaciones y prioridades entreconceptos, procedimientos,

estrategias.

En nuestro caso, los conceptos que consideramos prioritariospara centrar el aprendizaje y abordar la enseñanza del temaSistema de los Números Naturales, son:

• Nociones sobre significados y usos de los naturales• Sistema Decimal de Numeración• Relación de orden• Suma de naturales• Producto de naturales• Divisibilidad. Teorema Fundamental de la Aritmética

Cada uno de estos focos prioritarios incluye una diversidad dehechos, conceptos y procedimientos ligados al mismo. Sicombinamos esta elección de focos con la clasificación cogni-tiva podemos elaborar varios listados que expresan priorida-des en la organización de los contenidos del tema Sistema delos Números Naturales.

La elaboración de estas listas no tiene un carácter exhaustivo,pero son importantes ya que desarrollan la capacidad del pro-fesor en formación para organizar los contenidos de un tematomando como base ideas centrales que, de otro modo, semuestran aisladas; también desarrolla la capacidad de usar lostipos y niveles establecidos en la clasificación cognitiva. Así, apartir de los focos antes mencionados, elaboramos lossiguientes listados de ideas prioritarias para el Sistema de losNúmeros Naturales:

Tabla 2: Focos Conceptuales del Sistema de los Números Naturales

Conviene advertir las limitaciones a que puede conducir unénfasis excesivo en la elaboración de listas. Centrar el trabajodel profesor en formación en una actividad exclusivamenteanalítica plantea diversos interrogantes:

• Grado de precisión: ¿todas las listas dicen lo mismo?• Desconocimiento de sus límites: ¿hasta donde llega una

lista?• La extensión de una lista: ¿cuándo agotan un tema?

• La definición de una lista: ¿por qué incorporan cuestionesdiferentes?

La elección de conceptos prioritarios ha permitido transitardesde un listado a varios listados paralelos, pero no ha produ-cido aún la consideración de conexiones entre diferentesfocos, ni tampoco al interior de los focos conceptuales. Surgela necesidad de destacar y reconocer las relaciones dentro delos distintos focos y conceptos que intervienen en una mismaestructura.

Mapa relacional de conceptos y procedimientos

La organización alrededor de conceptos básicos admite unaprimera representación en modo de mapa conceptual, especí-fico a cada uno de los focos. Con esta representación se esta-blecen nexos entre el conocimiento conceptual y procedi-miental de un mismo núcleo de conceptos básicos. Entre lasventajas de los mapas conceptuales destacan:

• Establecer una jerarquía de nociones dentro de cada con-cepto, que se expresa por su ordenación dentro de unalista mediante una representación lineal secuenciada.

• Conectar las nociones de las distintas listas; las relacionesy conexiones se muestran mediante segmentos o posicio-nes conectadas que, a veces, se identifican mediante eti-quetas.

• Mostrar un grafo con nodos y conexiones como productofinal; los nodos con mayor número de conexiones son losconceptos principales.

• Considerar distintos recorridos en el grafo; cada recorridomuestra un modo coherente de secuenciar varias nocio-nes centrales en una estructura conceptual.

• El mapa conceptual es, fundamentalmente, un esquemapara entender e interpretar una estructura conceptualdeterminada.

En la Figura 1 vemos la expresión de los conceptos y procedi-mientos básicos, que corresponden al foco Sistema Decimalde Numeración del tema Sistema de los Número Naturales, enforma que muestra los conceptos principales de ese foco ynociones básicas asociadas a los correspondientes conceptos.

Por cada uno de los focos prioritarios puede y debe estable-cerse un sistema de relaciones con el que se articulen lasnociones del foco, ya destacadas en la Tabla 2; en cada casodará lugar a un mapa conceptual. Con este ejercicio se desa-rrollan las capacidades de síntesis y estructuración, y su logro

Significados yusos

Sistema Decimalde Numeración

Suma de natura-les

Orden entrenaturales

Producto denaturales

*Secuencia/Contar*Ordinal/Ordenar*Cardinal/Cuantificar*Signo/Codificar*Símbolos/Estructurar*Números/Operar*Recta/Visualizar*Nociones yconceptos denúmero natural* Tipos denúmeros por sutamaño; peque-ños, medianos ygrandes.

* Símbolos.Cero* Base: principiode agrupamien-to* Unidades deorden superior* Escritura y lec-tura de números* Notación poli-nómica* Tablas numéri-cas* Algoritmos desuma y resta* Algoritmos deproducto y divi-sión

* Símbolos desuma y resta* Noción desuma y resta*Composicionesaditivas de unnúmero* Tabla desumar* Algoritmos desuma y resta* Suma con lacalculadora* Propiedades dela suma* Estructura de(N +)* Estimación desumas y restas

* Siguiente yanterior* Secuencianumérica* Compararnaturales cua-lesquiera* Relación deorden* Estructuraordinal de N* Orden de mag-nitud de unnúmero* Orden deaproximación enuna estimación.

* Simbolizacióndel producto * Términos delproducto y divi-sión.* Notaciones* Tabla de mul-tiplicar* Algoritmos* Productos ydivisiones con lacalculadora* Divisibilidad.* Factorización* Estructura de(N; ×)* Estimación deproductos ydivisiones

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se muestra al elaborar la red de nociones básicas mediante elmapa conceptual correspondiente, al conectar y estructurarlas nociones centrales de las distintas listas presentadas segúnlos focos señalados.

Mapas conceptuales: de los focos a la estructura

Ahora bien, consideremos la estructura conceptual Sistemade los Número Naturales, que contempla los focos prioritariosmostrados en la Tabla 2. Corresponde al profesor en forma-ción expresar tal estructura mediante un único mapa concep-tual, que sintetice las aportaciones de los seis mapas específi-cos a cada uno de los focos. La capacidad del profesor en for-mación para sintetizar y estructurar las principales ideas delos distintos focos prioritarios, sus conexiones y las conexio-nes entre los focos, se intensifica y desarrolla con la realiza-ción del mapa conceptual conjunto, que muestra la riqueza derelaciones entre los contenidos y entre los focos conceptualesdel tema escogido. Se pueden considerar diferentes criterios ala hora de elaborar un mapa para una estructura conceptual.Ejemplificamos con la estructura Sistema de los NúmerosNaturales el paso de mapas conceptuales centrados en focosal mapa de la estructura global completa.

En el esquema de mapa conceptual de la Figura 2 ocupan unlugar central las nociones del Sistema Decimal deNumeración, los tres tipos de números ya mencionados en elprimer foco y los sistemas de representación que presentamosmás adelante. Dependiendo de la complejidad del patrón delcual proceden, se distinguen los siguientes tipos de números

pequeños (números de uno o dos dígitos, números de la vidacotidiana), medianos (números que se expresan mediante latotalidad de sus cifras, hasta un orden de magnitud del billón,números usuales de las magnitudes cotidianas) y grandes(números que se expresan mediante notación científica, de unorden de magnitud elevado y que corresponden a magnitudesde disciplinas científicas) (Rucker, 1988; pp. 72-73). Tambiéndestacan, además del Sistema Decimal de Numeración, cua-tros grandes sistemas de representación, en la recta o entablas, mediante configuraciones puntuales, en notación fac-torizada y en notación científica.

Figura 2: Aproximación al mapa conceptual del Sistema de losNúmeros Naturales

Así, los números pequeños suelen representarse en tablas, enla recta o mediante configuraciones puntuales. Para los

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Figura 1: Mapa Conceptual Sistema Decimal de Numeración

números medianos se maneja la escritura en forma factoriza-da, además, los números grandes requieren también la nota-ción científica. Por otra parte, todos los números se puedenrepresentar en el Sistema Decimal de Numeración. Ligadas aestas representaciones están la gran mayoría de conceptos yprocedimientos ya enumerados anteriormente y que presen-tan al menos conexiones con ciertos procedimientos a los quese vinculan para su formulación o desarrollo matemático.

Establecer estos nexos conduce a un tipo de mapa más com-pleto. En este caso se incorporan algunos nuevos conceptos yprocedimientos ligados a los focos prioritarios tercero, quintoy sexto del Sistema de los Números Naturales y nociones refe-rentes a estrategias de resolución de problemas y otros usos ysignificados del número, con sus correspondientes conexio-nes; se obtiene así el mapa conceptual de la Figura 3, quemuestra una visión global de los focos considerados priorita-rios en el Análisis de Contenido de esta estructura conceptualen Educación Secundaria.

El resultado más importante de esta actividad es la profundi-dad del análisis de relaciones entre conceptos y procedimien-tos que el profesor en formación realiza, lo que contribuye aldominio de la estructura en estudio a los efectos de su consi-deración como objeto de enseñanza y aprendizaje.

Estructura conceptual y análisis de contenido

Los mapas conceptuales son las herramientas propuestas parallevar a cabo el estudio de la estructura conceptual de un tópi-co matemático. Con los mapas se inicia el Análisis deContenido del tema. La delimitación de la estructura concep-tual de un tópico matemático ubica los correspondientes con-ceptos y procedimientos y sus relaciones, establece priorida-des, destaca conexiones y muestra las diversas opciones y tra-yectorias que pueden marcarse para organizar las expectati-vas sobre su aprendizaje; igualmente, aporta las referenciasnecesarias para establecer sus significados.

Los mapas conceptuales proporcionan una técnica para mos-trar una estructura conceptual; mediante esta técnica se desa-rrollan las capacidades del profesor que contribuyen a sucomprensión de dicha estructura. Como toda técnica tienediversas vías e interpretaciones, que llevan a una diversidadde mapas conceptuales. Aunque esta técnica es útil, no con-viene olvidar que tiene limitaciones ya que los mapas concep-tuales son un modo de expresar la estructura conceptual, perono la sustituyen.

El Análisis de Contenido tiene su primera fase en la conse-cución de un marco de relaciones que muestre la complejidad

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Figura 3: Mapa Conceptual del Sistema de los Números Naturales

de la estructura conceptual en estudio. Adquirir destrezas ydesarrollar capacidades para seleccionar focos conceptualesprioritarios para cada uno de los temas del currículo de mate-máticas de Secundaria, junto con los conceptos, ideas y pro-cedimientos principales que se articulan en cada foco, permi-te el desarrollo de un segundo nivel de capacidades, con lasque sintetizar y expresar la estructura de un tema. La técnicapropuesta muestra una diversidad de mapas que organizan lacomplejidad. En primer lugar, en cada uno de los focos y, ensegundo lugar, para toda la estructura conceptual conjunta-mente considerada.

Sistemas de representación

El estudio y revisión de los sistemas de representación es otrade las componentes del Análisis de Contenido, junto a laestructura conceptual y el Análisis Fenomenológico. Porrepresentación entendemos cualquier modo de hacer presen-te un objeto, concepto o idea. Conceptos y procedimientosmatemáticos se hacen presentes mediante distintos tipos desímbolos, gráficos o signos y cada uno de ellos constituye unarepresentación (Castro y Castro, 1997).

Hay diversidad de modos de representar conceptos matemá-ticos: mediante signos o símbolos especiales, mediante esque-mas, gráficos o figuras, principalmente. Lo peculiar de ideas yconceptos matemáticos es que cada uno de ellos admite diver-sas representaciones. Los modos de representar nocionesmatemáticas destacan las propiedades de los conceptos y pro-cedimientos. Los modos de representación muestran objetosque forman parte de una estructura, se presentan organizadosen sistemas; por ello se habla de sistemas de representación(Janvier, 1987; Kaput 1992).

Cada sistema de representación pone de manifiesto y destacaalguna peculiaridad del concepto que expresa; también per-mite entender y trabajar algunas de sus propiedades. Así lovemos con las operaciones dentro de un mismo sistema derepresentación:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 3 · 5 = 42 - 1 = (4+1) · (4-1)

Los sistemas de representación son centrales en la caracteri-zación del significado de las nociones matemática, contribu-yen a la comprensión de conceptos y procedimientos. No hayjerarquía entre los sistemas de representación. Cada uno deellos permite resaltar aspectos particulares de esos conceptosy de sus relaciones, y oculta otros.

Mediante las conexiones entre los sistemas de representaciónse muestra la riqueza de aspectos y relaciones involucrados enun concepto, como ocurre con las relaciones de la Figura 4que exploran la igualdad n2 = 1 + 3 + 5 +…+[2n-1]:

Figura 4: Formación de los números cuadrados con dos sistemas derepresentación

Toda la complejidad de significados que pone de manifiesto laestructura conceptual de un tema de matemáticas se haceoperativa mediante sus diferentes sistemas de representación.Las conexiones entre sistemas de representación contribuyena plantear nociones convencionales de manera no convencio-nal, destacar alguna propiedad no reconocible en la represen-tación usual de un tema. Conocer un contenido se sustenta enel dominio de sus sistemas de representación y de los modosde expresar una misma propiedad mediante diverso sistemas.Como se ha visto en los mapas conceptuales de las Figuras 2 y3, los sistemas de representación centran y organizan laestructura conceptual. El estudio de los sistemas de represen-tación de un tema matemático tiene como objeto que los pro-fesores en formación desarrollen su capacidad para analizardiferentes formas de representación de los conceptos mate-máticos involucrados en ese tema y explorar y mostrar susdiferentes conexiones.

Sistemas de representación de los NúmerosNaturales

Al considerar el sistema de los números naturales, desde suestructura conceptual y desde una revisión histórica de sudesarrollo (Ifrah, 1997), destacan cuatro modalidades derepresentación: simbólica, verbal, gráfica, y la que suminis-tran los materiales manipulativos.

La Figura 5 muestra la riqueza de sistemas que surgen delestudio de las diferentes modalidades de representación de losnúmeros naturales y los diferentes significados, en cada caso,para este concepto. En la figura hemos señalado con asteris-cos una ejemplificación de diferentes modos de representar elnatural 4 en esos sistemas. Comentamos las principales carac-terísticas de algunos de los sistemas de representación consi-derados para los Números Naturales.

Sistemas de Representación Simbólicos

Dentro de esta modalidad de representación se considera lossistemas para representar naturales dependiendo de si se usauna estructura simple, aditiva o posicional; dentro de éstaúltima sobresale el sistema decimal de numeración y, a partirde él, las relaciones numéricas y de factorización.

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En su forma más sencilla, está el sistema simple, en el cual losnúmeros naturales se emplean para contar cantidades peque-ñas tomando como unidad una única marca que se repite tan-tas veces como sea necesario. Con motivo de utilizar símbo-los para designar agrupaciones de la unidad, surgen los siste-mas aditivos, entre los que destacan los sistemas de numera-ción egipcio, romano y chino. Estos sistemas permiten escri-bir números grandes con relativa economía, usando sencillasreglas aditivas.

Finalmente están los sistemas posicionales, entre los que des-taca el sistema decimal de numeración.

El empleo y estudio de relaciones aritméticas entre números(expresión de un número como suma, resta, producto y divi-sión de otros) pone de manifiesto nuevas formas de represen-tar números naturales. Además, el estudio de la estructuramultiplicativa muestra otras facetas de esos números. ElTeorema Fundamental de la Aritmética establece, igualmente,una única forma de expresión de cada número en función desus factores y ciertas propiedades multiplicativas.

Sistema de Representación Verbal

Vinculado al sistema de representación simbólico está el ver-bal, en el que las reglas del lenguaje organizan y condicionanla representación de los números naturales. En este caso,nuestro lenguaje impone normas y reglas para representarnúmeros que se organizan en torno al uso del significadoordinal o cardinal de los naturales.

En el caso del significado ordinal, también existen un conjun-to de reglas nemotécnicas para nombrar los diferentes órde-nes

Sistemas Gráficos de Representación

Dentro de esta modalidad de sistema de representación des-taca la recta numérica, las configuraciones puntuales y laTabla-100, como se muestra en la Figura 5.

La primera representación gráfica que consideramos es larecta numérica. Su significado más inmediato es que losnúmeros naturales se pueden construir con regla y compás,usando un sencillo procedimiento que parte de que cualquiernúmero natural n se obtiene como suma reiterada de la uni-dad n veces.

En relación con las configuraciones puntuales, en la Figura 5aparecen los primeros términos de la sucesión de númeroscuadrados y triangulares. Las configuraciones puntuales, onúmeros figurados, expresan en su estructura propiedadesaritméticas que no son visibles en su representación decimal.Por ejemplo, en la Figura 4 observamos que cualquier núme-ro cuadrado es suma de impares consecutivos. También exis-ten números pentagonales, hexagonales, etc. En Castro (1995)puede encontrarse un amplio estudio de las configuracionespuntuales y sus propiedades.

Finalmente, destacamos aquellas representaciones de losnaturales que se expresan mediante una tabla. Entre ellas des-

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Figura 5: Sistemas de representación en el Sistema de los Números Naturales

taca la Tabla-100, que consiste en representar los naturales del1 al 100 en una tabla 10 x 10, como se ve en la Figura 6:

Figura 6: La Tabla-100.

Sobre esta tabla se pueden explorar relaciones aritméticas,algebraicas y geométricas entre números, así como estudiarpatrones gráficos que siguen determinadas sucesiones numé-ricas, basadas en estructuras aditivas o multiplicativas. EnRico y Ruiz (2004) se describen, ejemplifican y analizan endetalle estas relaciones. Las tablas de sumar y de multiplicar son variantes usuales detablas numéricas. El Triángulo de Pascal es otra representa-ción numérica en forma de tabla, construida sobre relacionescombinatorias.

Sistemas de representación y análisis de contenido

Los sistemas de representación, como se muestra en la Figura3, constituyen elementos centrales para organizar la estructu-ra conceptual de un tema. Mediante un trabajo explícito sobrela diversidad de sistemas de representación en una mismaestructura y sobre las conexiones entre ellos, se profundiza enel dominio del contenido en estudio. La búsqueda de nuevaso diversas expresiones de una misma propiedad contribuye aclarificar y a profundizar el entramado de conceptos en que sesustenta.

El Análisis de Contenido alcanza una segunda fase cuandologra mostrar la complejidad de la estructura conceptualmediante sus principales sistemas de representación.Adquirir destrezas y desarrollar capacidades para seleccionarrelaciones entre distintos sistemas de representación de unmismo concepto, con las cuales traducir sus propiedades yregularidades de un sistema a otro, proporciona una técnicapara relacionar distintos conceptos, interpretar propiedades ydesarrollar argumentos de prueba y demostración. Estascapacidades, derivadas del estudio de los sistemas de repre-sentación enriquecen la competencia de planificación de losprofesores.

Análisis fenomenológico

¿A qué se refiere la fenomenología? Nuestra aproximación a lafenomenología se vincula con un planteamiento funcional delas matemáticas escolares que, como se ha dicho, afirma quelas ideas y conceptos son el núcleo de nuestro pensamiento,las herramientas con las que pensamos. Esta aproximaciónsostiene que el pensamiento matemático surge de los fenóme-nos y que las estructuras matemáticas abstraen y organizangrandes familias de fenómenos de los mundos natural, socialy mental. Ideas, estructuras y conceptos matemáticos se hanconstruido por grupos humanos y se han desarrollado a lolargo de la historia, como herramientas para entender y orga-nizar el mundo de los fenómenos y poder trabajar sobre ellos.En el modelo funcional que seguimos, el significado de losconceptos matemáticos se logra mostrando su conexión conel mundo real, con los fenómenos en cuyo tratamiento seimplican tales conceptos. Por ello, cuando se quiere presentaruna estructura matemática en toda su plenitud de significados,se considera la conexión de sus diferentes subestructuras condistintas familias de fenómenos y se vincula con aquellos cam-pos del conocimiento donde tiene una utilidad establecida. ElAnálisis de Contenido necesita del análisis fenomenológico.

El análisis fenomenológico que aquí se presenta aporta unatécnica para mostrar cuáles son los sentidos con que se utili-zan conceptos y estructuras; pone el acento en el uso y aplica-ción de los conceptos, en los medios y en los modos en que,con ellos, se abordan distintas tareas y cuestiones cuando danrespuesta a determinados problemas, en definitiva, cuandocontribuyen a la comprensión de ciertos fenómenos.

El análisis fenomenológico se propone mostrar la vinculaciónde conceptos y estructuras matemáticos con ciertos fenóme-nos que están en su origen, y que los vinculan con los mundosnatural, cultural, social y científico. Y esto con la finalidad dedotar de sentido el aprendizaje de tales conceptos y estructu-ras. Para ello se ayuda de la reflexión sobre situaciones y con-textos, con la cual el profesor en formación inicia el análisisfenomenológico.

Situaciones

El análisis fenomenológico de una estructura matemáticacomienza por delimitar aquellas situaciones donde tienen usolos conceptos matemáticos involucrados, aquéllas en las queéstos muestra su funcionalidad. Las situaciones destacan elmedio en el cual una determinada estructura matemáticatiene uso regular. Cualquier tarea matemática a la que seenfrenta un individuo viene asociada a una situación, consi-derando ésta como aquella parte del mundo real en la cual sesitúa la tarea para el individuo. Una situación viene dada poruna referencia al medio (natural, cultural, científico y social)en el cual se sitúan tareas y cuestiones matemáticas que pue-

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den encontrar los ciudadanos, que se proponen a los estu-diantes y que centran su trabajo. Según el medio que desta-quen, los expertos consideran distintos tipos de situaciones.Ejemplificamos aquí el caso de los números naturales con lassituaciones del estudio PISA: personales, educativas o labora-les, públicas y científicas (OCDE, 2005; pp. 41- 42).

Las situaciones personales son las relacionadas con las activi-dades diarias de los alumnos. Se refieren a la forma en que unproblema matemático afecta inmediatamente al individuo y almodo en que el individuo percibe el contexto del problema.Estas situaciones se relacionan con prácticas cotidianas y sue-len poner en juego los conceptos más básicos. En el caso delSistema de los Números Naturales, la práctica de la secuencianumérica es el uso cotidiano básico más común y extendido.También el conocimiento de los números pequeños y de susrelaciones aditivas es obligado en la mayor parte de las situa-ciones personales.

Situaciones educativas, ocupacionales o laborales son las queencuentra el alumno en el centro escolar o en un entorno detrabajo. Se refieren al modo en que el centro escolar o el lugarde trabajo propone tareas que necesitan una actividad mate-mática para encontrar una respuesta. El mundo del trabajoincluye el conocimiento de horarios, retribuciones, manejo decuentas corrientes, pagos y adquisiciones. La administracióndel tiempo, del dinero y la gestión de cantidades de determi-nados materiales forma parte de la práctica usual de la pobla-ción adulta, en toda la gama de niveles laborales y sociales. Elcampo de aplicaciones y usos de los números en cada una delas profesiones de nuestra sociedad es objeto de reflexión y deenseñanza en la escuela actual.

Situaciones públicas se refieren a la comunidad local u otramás amplia, en la cual los estudiantes observan determinadosaspectos sociales de su entorno o que aparezcan en los mediosde comunicación. Los estudiantes como ciudadanos debenestar capacitados para interpretar, analizar y evaluar informa-ción numérica que se presente en los medios de comunica-ción, que forme parte de las decisiones que afectan a la vidapolítica y social de una comunidad. También deben dominarlas operaciones básicas para seguir argumentos cuantitativos,tener sentido del número, capacidad para hacer estimacionesy dominio de distintos códigos que se emplean en la presen-tación de datos numéricos.

Situaciones científicas son más abstractas e implican la com-prensión de un proceso tecnológico, una interpretación teóri-ca o un problema específicamente matemático. De hecho,cada una de las disciplinas científicas o técnicas hacen ciertouso técnico específico, en ocasiones muy elaborado, de losconceptos y estructuras numéricas. El dominio de los distin-tos conjuntos numéricos junto con las estructuras matemáti-cas del Análisis y del Álgebra constituyen el marco conceptual

donde se sitúan las aplicaciones y usos científicos numéricosmás avanzados.

Por tanto, un primer paso en el análisis fenomenológico deuna estructura o concepto matemático, consiste en la revisiónde sus usos según los tipos de situaciones. Esta revisión debeconcluir con un conjunto de situaciones en las que los con-ceptos y estructuras considerados se utilizan, destacandoaquellos usos que tienen especial relevancia para la formacióndel estudiante de Secundaria.

Contextos numéricos

Un contexto matemático es un marco en el cual conceptos yestructuras atienden unas funciones, responden a unas nece-sidades como instrumentos de conocimiento. Los contextosde una determinada estructura se reconocen porque mues-tran posibles respuestas a la pregunta ¿para que se utilizanestas nociones? El contexto refiere el modo en que se usan losconceptos, en una o varias situaciones.

En el Sistema de los Números Naturales son varios los con-textos numéricos, ya que los números naturales satisfacen dis-tintas funciones y atienden diferentes necesidades cuando seusan para contar y medir, para ordenar y cuantificar, para ope-rar y simbolizar.

El contexto numérico más sencillo utiliza los números paracontar; en este caso su utilidad consiste en asignar los térmi-nos de la secuencia numérica a los objetos de una colección,bien señalando cada objeto o marcando pautas y realizandoespaciamientos temporales. Sin el dominio de la secuencianumérica, que es una función básica de dominio lingüístico,no es posible el uso de los números.

El segundo tipo de contexto es aquel que usa los númeroscomo cardinal; utilizamos este sentido cuando queremos darrespuesta a la cuestión ¿cuántos hay? ante una colección dis-creta de objetos distintos. Cuantificar los objetos de un con-junto en el ámbito de la Educación Secundaria aparece enproblemas diversos. En algunos casos se determina un cardi-nal mediante la aplicación de operaciones, cuando se respon-de a preguntas como el número de objetos que hay en diver-sos agrupamientos y conviene sumar o multiplicar. En otroscasos se determina un cardinal de un conjunto de objetos paracuya construcción se requiere algún procedimiento combina-torio o algoritmo elemental, o bien se aplican fórmulas suma-torias o factoriales.

El contexto de medida permite conocer la cantidad de unida-des de alguna magnitud continua; en este caso el sentido vienedado porque proporciona respuesta a la pregunta ¿cuántomide? Un tipo específico de problemas en este contexto surge

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cuando se pretende obtener longitudes, superficies u otrasmagnitudes, o bien valores de magnitud en los que una dividenecesariamente a la otra. Todas las aplicaciones del Sistemade los Números Naturales en la Física o la Economía seencuentran en este contexto.

Un cuarto tipo lo constituye el contexto ordinal, cuya moda-lidad propone conocer la posición relativa de un elemento enun conjunto discreto y ordenado; proporciona respuesta a lapregunta ¿qué lugar ocupa? Los estudios sobre sucesiones numéricas, en particular lasprogresiones aritméticas y geométricas, incluyen este contex-to ya que se refieren al estudio de conjuntos numéricos orde-nados. Igualmente, cualquier problema numérico para cuyaresolución sea necesario establecer un tipo de orden naturalse encuentra dentro de este contexto ya que responde a lamisma cuestión de origen.

El contexto operacional es el más fecundo, en el que hay quedar respuesta a la cuestión ¿cuál es el resultado? Las accionesde agregar, separar, reiterar y repartir expresan multitud deacciones sobre y transformaciones con los objetos; también sepueden establecer relaciones de comparación e igualación.Todas estas acciones tienen su expresión en el sistema de losnúmeros naturales mediante las operaciones aritméticas bási-cas que, a su vez, modelizan y proporcionan respuesta a lascuestiones cuantitativas que se plantean con las accionesmencionadas. La diversidad de problemas aritméticos aditi-vos y multiplicativos elementales muestran el contexto opera-cional básico.

También podemos considerar una variante estructural dentrode los contextos operacionales, dada por la pregunta clave¿cómo se expresa (un número) mediante determinadas opera-ciones? En este caso se trata de mostrar cuál es la estructuraoperatoria que tiene un número o que comparten variosnúmeros, es decir, de expresar uno o varios números comoresultado de las mismas operaciones. La función principalconsiste en expresar la estructura de relaciones dentro delSistema de los Números Naturales. Los diversos desarrollosaditivos y multiplicativos de los números, puestos de mani-fiesto mediante configuraciones puntuales, también la facto-rización de números pequeños o medianos, notación científi-ca, u otras son ejemplos de este contexto.

Finalmente, un sexto tipo menos convencional, lo constituyeel denominado contexto simbólico en el cual los números seutilizan para distinguir y denominar clases de fenómenos oelementos, confundidos a veces con etiquetas; en cualquierade ellos hay que dar respuesta a la cuestión ¿cuál es el código?Se establecen así diferentes contextos numéricos basados, enlas cuestiones planteadas y en los modos de uso de las estruc-turas numéricas. Conviene subrayar que determinadas tareasy problemas matemáticos pueden proponer, simultánea o

consecutivamente, cuestiones que afectan a más de uno de loscontextos considerados.

Fenómenos y subestructuras

Hemos visto que se puede reconocer el uso de un determina-do tema, de hecho de todos los temas matemáticos de laEducación Secundaria, en una variedad de situaciones.También hemos visto que conceptos y estructuras desempe-ñan diferentes funciones según el marco estructural –el con-texto- en que los situemos, y que estos contextos son recono-cibles, básicamente, por la cuestión o cuestiones a las que seproponen dar respuesta. Estas cuestiones permiten marcarlos principales modalidades de uso y señalan, junto con lassituaciones, las principales familias de fenómenos que estánen el origen de la estructura conceptual que se considera.

Pero caracterizar la relación de una estructura matemáticacon los fenómenos sólo por el medio en que se localizan y porlos modos en que los trata, es un resultado limitado. Familiasde fenómenos y subestructuras se vinculan porque éstasmodelizan a aquéllas y, así, expresan su sentido. La Figura 7muestra esta relación:

Figura 7: Relaciones entre fenómenos y subestructuras

Sostenemos que es posible establecer relaciones entre fenó-menos y subestructuras, donde cada fenómeno conecta conuna subestructura que lo expresa matemáticamente mediantesu modelización, con la cual contribuye a plantear y resolvercuestiones y problemas vinculados a tales fenómenos o fami-lias de fenómenos. Se pueden establecer parejas (Subestruc-tura, Fenómeno), en las que la subestructura ofrece un mode-lo para el fenómeno. Nuestra técnica para el análisis fenome-nológico concluye cuando vincula las familias de fenómenoscon las subestructuras detectadas. Consideremos este tercerpaso para el Sistema de los Números Naturales.

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Análisis fenomenológico de los Números Naturales

El sistema de los números naturales tiene un amplio campo desubestructuras, ya consideradas en el estudio de su EstructuraConceptual, que ofrecen distintos modelos para las accionesreales sobre objetos y cantidades. Entre las diferentes subes-tructuras destacan las establecidas inicialmente en los focosprioritarios:

1. El Sistema Decimal de Numeración, como subestructuraorientada a representar verbal y simbólicamente los tér-minos numéricos; la simbolizamos por S.D.N.

2. La subestructura de Orden de los números naturales,basada en la relación “siguiente de” o “sucesor de”, con suspropiedades; la simbolizamos por (N, ≤).

3. La subestructura Aditiva de los números naturales, basa-da en las relaciones aditivas (suma y resta) y en sus pro-piedades, que simbolizamos por (N, +).

4. La subestructura Multiplicativa de los números naturales,subestructura basada en las relaciones multiplicativas(producto y división entera) y en sus propiedades; la sim-bolizamos por (N, x).

5. La subestructura Factorial de los números naturales, basa-da en el teorema fundamental de la aritmética, la relaciónde divisibilidad y sus propiedades.

Ejemplificamos con la subestructura cuarta el tercer paso delanálisis fenomenológico, ya que las operaciones numéricasdotan al Sistema de los Números Naturales de su gran podermodelizador y contribuyen a su uso dinámico (Freudenthal1983).

Los fenómenos que están en la base del SistemaMultiplicativo son aquellos que se basan en la consideraciónde la reiteración de colecciones, en las acciones de repetir/repartir una cantidad, formar una cantidad varias vecesmayor que otra/ o hacer un número dado de partes de unacantidad, en las comparaciones multiplicativas basadas en lasrelaciones tantas veces más que/ tantas veces menos que, enlos emparejamientos de los elementos de dos colecciones yotras variantes similares; el listado de fenómenos multiplica-tivos puede ampliarse si se contemplan otras condicionesdadas por la situación concreta que se considere y otras varia-bles. Según sus modos de uso, tenemos que la Subestructura(N, x) se vincula con los contextos cardinal, de medida y ope-racional, fundamentalmente, dando lugar a tres tipos demodelos o relaciones entre las subestructuras y los fenóme-nos, que en la literatura especializada (Castro, 2001) se pre-sentan como Problemas Aritméticos Multiplicativos:

• Problemas Multiplicativos de Proporcionalidad Simple,• Problemas Multiplicativos de Producto Cartesiano, y• Problemas Multiplicativos de Comparación.

Otra familia de fenómenos específicamente matemáticos,consistente en las relaciones multiplicativas entre números ysu estudio, conecta con la subestructura (N, x).

Análisis fenomenológico y análisis de contenido

El primer paso que proponemos para el AnálisisFenomenológico consiste en el estudio de las situaciones vin-culadas a la estructura en estudio; seguimos en este caso lostipos propuestos en el estudio PISA 2003. La delimitación delos distintos contextos es el segundo paso en el AnálisisFenomenológico de un tema. Subrayamos que un contexto esun marco en el cual conceptos y estructuras atienden unasfunciones, es decir, responden a unas determinadas necesida-des como instrumentos de conocimiento.

Este segundo paso del Análisis Fenomenológico de un temadelimita los contextos de uso, las demandas cognitivas a lasque atienden tales conceptos y, por ello, las funciones cogniti-vas que satisfacen. Para llevarlo a cabo conviene enunciar lascuestiones o interrogantes a los que da respuesta la estructu-ra conceptual considerada: ¿Cuáles son los usos principales delos conceptos y estructuras considerados? ¿A qué cuestiones einterrogantes dan respuesta?

El Análisis Fenomenológico de una estructura matemáticaincluye un tercer paso, que consiste en identificar las rela-ciones entre subestructuras y fenómenos, dentro de unamisma Estructura Conceptual.

La fenomenología de un concepto matemático la compo-nen los fenómenos para los cuales dicho concepto consti-tuye un medio de representación y organización. (…) Unanálisis fenomenológico consiste en describir fenómenosasociados a los conceptos matemáticos así como la relaciónque existe entre ellos (Segovia y Rico, 2001; p. 89).

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Un contexto es un marco en elcual conceptos y estructurasatienden unas funciones, esdecir, responden a unasdeterminadas necesidadescomo instrumentos deconocimiento.

A los efectos del Análisis de Contenido que venimos desarro-llando, el Análisis Fenomenológico culmina cuando se esta-blecen asociaciones entre las distintas familias de fenómenosdetectados y las subestructuras y conceptos que conforman laEstructura Conceptual en estudio. En la realización delAnálisis Fenomenológico se desarrollan capacidades talescomo tipificar diferentes medios en los que se usan los cono-cimientos matemáticos; conectar las matemáticas con lasciencias experimentales, con el arte, la economía y otrasramas del conocimiento; atender distintos modos de uso delos conceptos, es decir, precisar las funciones que se llevan acabo mediante la estructura contemplada, enunciar las cues-tiones y familias de problemas a las que dan respuesta; final-mente, establecer relaciones entre fenómenos y subestructu-ras en tanto las segundas modelizan a los primeros.

Todas estas capacidades contribuyen a la competencia de pla-nificación del profesor en formación, ya que son otros tantosdatos que conviene considerar en el momento de establecerlas expectativas de aprendizaje para los alumnos, seleccionary organizar los contenidos y diseñar secuencias metodológi-cas, ejemplos, motivaciones y materiales para su transmisión.

Conclusiones

Este trabajo está centrado en una de las competencias profe-sionales básicas para el profesor, considerada en un contextode formación inicial de profesores de matemáticas deEducación Secundaria: la planificación. Para determinar yestablecer un conjunto de capacidades que contribuyen aldesarrollo de esa competencia en el contexto considerado, seexplicita qué se entiende por Matemáticas Escolares,Significado de un Concepto y Análisis de Contenido, así comola complementariedad de estas ideas. Se ha disertado concierto detalle sobre la complejidad detectada por estas nocio-nes y se ha realizado un estudio sobre la diversidad de signifi-cados de una estructura matemática, las fases para su trata-miento técnico y las capacidades que se impulsan.

En este marco las decisiones basadas en el Análisis deContenido se centran, en primer lugar, sobre la noción deEstructura Conceptual, en segundo lugar sobre los Sistemasde Representación y, en tercer lugar, sobre el AnálisisFenomenológico. En cada una de estas fases hay una serie depasos y técnicas que organizan el Análisis de Contenido, quese han detallado y ejemplificado para el tema Sistema de losNúmeros Naturales en Educación Secundaria. Subrayamosalgunas ideas que se desprenden de este estudio:

La clasificación cognitiva de los contenidos los organiza endestrezas, hechos, conceptos, razonamientos, estructuras yestrategias. Esta clasificación orienta al profesor en su formu-lación específica sobre las expectativas de aprendizaje de los

escolares de Secundaria mediante capacidades, referidas ademandas cognitivas tales como identificar, reconocer, calcu-lar, aplicar, justificar, y otras. Las capacidades de los escolaresestán ligadas a tipos de contenidos, según los criterios con-templados.

El análisis de los sistemas de representación contribuye a faci-litar la toma de, al menos, dos importantes decisiones:

• Una vez analizado qué significados y aplicaciones del temaestán ligados a cada sistema de representación es posibledecidir qué significados y aplicaciones van a ser objeto deplanificación en un curso o nivel concreto.

• Los diferentes sistemas de representación, que muestranlos significados de un concepto, actúan a modo de valoresde una variable de tarea. Las decisiones tomadas paraseleccionar tareas escolares ligadas a una misma capaci-dad deberán de tener en cuenta que el alumno puede ydebe activar la capacidad o desarrollarla, utilizando repre-sentaciones diferentes.

Las conexiones entre conceptos y procedimientos, sentidos yrepresentaciones en un mismo mapa conceptual facilita ladefinición de las secuencias de tareas que el profesor elaborapara provocar el aprendizaje. En la planificación del trabajo enel aula, las tareas no son agentes de acción aislados. Estánconectadas mediante una lógica que las encadena a las capa-cidades, a los contenidos y entre ellas. En las decisiones quetoma el profesor para elaborar estas secuencias, se manejancriterios de coherencia en el ámbito de las matemáticas esco-lares, como el de combinar tareas de contenido conceptual,con otras de tipo procedimental, o de aplicaciones según dis-tintos contextos. Realizar una caracterización de conexionesentre estos ámbitos en un mapa conceptual facilita una elec-ción del itinerario, buscando la complementariedad de tareasy previniendo exclusiones u olvidos.

Finalmente, el análisis fenomenológico muestra el o losmedios en que conceptos y subestructuras se usan, los modos

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Las conexiones entre conceptosy procedimientos, sentidos yrepresentaciones en un mismomapa conceptual facilita ladefinición de las secuencias detareas que el profesor elaborapara provocar el aprendizaje

de uso y la potencialidad modelizadora de las subestructuraspara dar respuesta a los problemas que en cada contexto seplantean. En la planificación de tareas deben considerarse,pues, las situaciones y contextos en que se aplican los concep-tos y en los que reciben respuesta cuestiones y problemasrelevantes.

En todo este trabajo la principal finalidad ha ido orientada amostrar el dominio sobre el contenido y desarrollo de capaci-dades que contribuyen a la planificación del profesor compe-tente. Entre ellas hemos destacado las siguientes:

• seleccionar focos conceptuales prioritarios en cada uno delos temas del currículo de matemáticas de Secundaria;

• establecer los conceptos y procedimientos que se articulanen cada foco;

• sintetizar y expresar la estructura de un tema mediantediversos mapas que organicen su complejidad,

• relacionar distintos sistemas de representación de unmismo concepto y traducir sus propiedades y regularida-des de un sistema a otro,

• relacionar mediante distintos sistemas de representaciónlos conceptos y propiedades así como desarrollar argu-mentos de prueba y demostración;

• tipificar diversos medios en los que se usan unos determi-nados conocimientos matemáticos;

• conectar las matemáticas con las ciencias experimentales,con el arte, la economía y otras ramas del conocimiento;

• atender distintos modos de uso de los conceptos y precisarlas funciones que se llevan a cabo mediante la estructuracontemplada,

• establecer relaciones entre fenómenos y subestructuras entanto las segundas modelizan a los primeros;

• enunciar cuestiones y familias de problemas a los que lassubestructuras dan respuesta.

El adiestramiento sobre estas capacidades viene dadomediante diversas técnicas, que contribuyen a su ejercicio,desarrollo y perfeccionamiento. El Análisis de Contenido pro-porciona un marco conceptual en que estas capacidades searticulan y complementan. Las capacidades contempladasconstituyen, conjuntamente, un marco de destrezas y habili-dades, necesarias para el dominio del contenido matemático alos efectos de planificar las expectativas e itinerarios deaprendizaje de los alumnos, las demandas cognitivas que seles plantean expresadas en términos de tareas, y la organiza-ción de su enseñanza mediante secuencias de instrucción.

El Análisis Cognitivo, centrado en los procesos de planifica-ción del aprendizaje (Lupiáñez y Rico, 2006) y el Análisis deInstrucción, centrado en los proceso de planificación de laenseñanza (Marín, 2005), siguen al Análisis de Contenido,que se centra en los procesos de planificación de la materia.Conjuntamente, estos tres tipos de análisis forman parte delAnálisis Didáctico. Por razones de extensión no hemos des-arrollado las otras componentes del Análisis Didáctico, pro-cedimiento cuyo dominio resulta imprescindible para planifi-car las unidades didácticas de matemáticas en Secundaria(Gómez, 2007).

Planificar el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas esco-lares no es tarea trivial, se trata de una competencia profesio-nal importante que supone el dominio de diversos campos yel desarrollo de ciertas capacidades para interpretar y organi-zar el conocimiento de las matemáticas escolares. La forma-ción profesional del profesor de matemáticas de Secundariadebe incluir una preparación didáctica específica sobre plani-ficación, de la cual el Análisis de Contenido es sólo un primerpaso para interpretar el conocimiento matemático en térmi-nos de las matemáticas escolares, al que hemos dedicado estetrabajo.

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El análisis fenomenológicomuestra el o los medios en que

conceptos y subestructuras seusan, los modos de uso y la

potencialidad modelizadora delas subestructuras para dar

respuesta a los problemas queen cada contexto se plantean

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