61

n los aos que llevamos con esta seccin hemos habladomuchas veces de puzzles, de su diseo, de su construccin ydel estudio de sus posibilidades de manipulacin. Hoy quere-mos presentar uno basado en la combinatoria.

Aprovechando la propuesta polcroma de la nueva etapa deSUMA, queremos jugar con colores viendo todas las formasde ordenarlos para obtener piezas distintas y conseguir figu-ras con colorido.

Vamos a dedicar especial atencin, como hemos hechomuchas veces, al diseo y estudio preliminar de las piezas quese pueden construir, antes de pasar a jugar con ellas.

Cmo surgi la actividad

Estbamos trabajando en clase la divisin de figuras en partesiguales (sobre lo que ya hablamos en el nmero 45 Dividiren partes iguales de SUMA) y habamos comenzado con loms simple, dividir un cuadrado en cuatro partes iguales yentonces apareci el reto, de cuntas formas distintas pode-mos dividir un cuadrado en cuatro piezas que sean exacta-mente iguales (es decir si las recortamos y las colocamos unasobre otra coinciden)?

La pregunta dio lugar a una actividad frentica, cada uno que-ra encontrar su divisin. A continuacin mostramos algunasde las divisiones que aparecieron:

Grupo Alquerque de SevillaConstituido por:Juan Antonio Hans Martn. C.C. Santa Mara de los Reyes.Jos Muoz Santonja. IES Macarena.Antonio Fernndez-Aliseda Redondo. IES Camas. juegos.suma@fespm.org

Combinatoria de colores

E

53

Noviembre 2006, pp. 61-64 Juegos

Como el colorear es la debilidad de los alumnos de primerode ESO, cuando fueron apareciendo las distintas divisionesalguien pregunto: Maestro, las podemos colorear?

Y entonces cambi la lnea de trabajo, pues el problema eraahora cmo colocar los colores y por tanto surgi una nuevaactividad de investigacin con los siguientes apartados:

1. Dibujemos un cuadrado y dividmoslo trazndole lasdos diagonales (suele ser de las primeras en aparecer),entonces el cuadrado contiene cuatro tringulos rec-tngulos issceles.

2. Escojamos cuatro lpices de colores distintos.

3. Si cada uno de los tringulos de ese cuadrado lo pinta-mos de un color obtenemos distintas piezas. Por ejem-plo la figura adjunta.

4. Cuntos cuadrados distintos se pueden construir conlos cuatros colores escogidos sin que se repita ningunode ellos?

A partir de esta idea surgieron tres trabajos distintos depen-diendo de la figura base de la que se parta, que como vere-mos, influye en los resultados.

Primer puzzle de combinatoria

ConstruccinLa respuesta a la pregunta base del coloreo de la pieza ya divi-dida ha dado ms de un quebradero de cabeza a nuestrosalumnos. Ellos no conocen nada de Combinatoria por lo quelas soluciones iban saliendo por ensayo y error, por intuiciny por el poco o mucho factor visual desarrollado. Muchos deellos (y de nosotros), para distinguir claramente dos piezasdiferentes, las tenemos que dibujar, recortar y superponerpara ver claramente si son piezas iguales o distintas. Se lesinsisti en buscar algn procedimiento para no dibujar figu-ras repetidas, por ejemplo, fijar uno de los colores siempre enla misma posicin.

Analizando el problema desde el punto de vista de la Combi-natoria deducimos que la situacin planteada es una permu-tacin circular de cuatro elementos (los cuatro colores) alre-dedor del centro del cuadrado. El nmero de ordenacionesposibles en una permutacin circular de n elementos se obtie-ne por el factorial de n 1; P(n) = (n 1)!

En nuestro caso es P(4) = (4 1)! = 3 2 1 = 6.

Por lo que nuestro primer puzzle de combinatoria tendr seispiezas distintas. Para demostrar que las piezas son distintas opara deducir cul es la que falta hacemos un anlisis compa-rativo entre ellas. Despus del estudio detallado aparecen lasseis posibilidades:

JuegosUna vez que tenamos las piezas no quisimos quedarnos ah.Comenzamos a jugar con ellas y se plante cmo construircomposiciones con las seis piezas que tiene el puzzle con lascondiciones de que las piezas tengan un lado comn y corres-pondan a un tringulo del mismo color.

Incluimos a continuacin algunas de las figuras ms llamati-vas que realizaron los alumnos.

62

SUMA 53Noviembre 2006

Color: Sensacin producida porlos rayos luminosos que

impresionan los rganosvisuales y que depende de la

longitud de onda.RAE

Segundo puzzle de combinatoriaPartiendo de la divisin del cuadrado en cuatro cuadradosiguales y escogiendo cuatro colores podemos construir elsegundo puzzle. Las ordenaciones posibles de los cuatro colo-res son tambin una permutacin circular de cuatro elemen-tos, por lo que tenemos otras seis piezas diferentes:

Juegos y composicionesComo en el primer puzzle, para la realizacin de las composi-ciones, las piezas han de unirse por un lado que tenga elmismo color.

A simple vista puede parecer que estamos en el mismo casoque el puzzle anterior, pero aqu se plantea una nueva dificul-

tad. Anteriormente al unir los dos lados del cuadrado slohaba que hacer coincidir un color, pero en este segundo casoun lado equivale a una combinacin de dos colores coinci-diendo a la vez. Esto dificulta ms la construccin de figurascon las seis piezas.

El primer reto a plantear es: Con este puzzle se puede formarun rectngulo de 2x3 piezas?

Tercer puzzle: Rombos de coloresYa metidos en faena, decidimos modificar un poco las condi-ciones iniciales. bamos a seguir jugando a colorear piezaspero en este caso la pieza no sera tan regular como un cua-drado. Decidimos elegir un rombo con la caracterstica de quesu lado coincida con su diagonal menor, es decir, sera unrombo formado por dos tringulos equilteros (esta restric-cin influye slo en la regularidad de las figuras que se pue-den construir al final, no en el estudio combinatorio de piezasque se hace previamente). Con ese rombo dividido en cuatropartes iguales (tringulos rectngulos) por sus diagonales,comenzamos a trabajar.

Si cada una de las divisiones del rombo la pintamos de uncolor, cuntos rombos distintos se formarn?

Volcando aqu el estudio hecho en los dos casos anterioresnos encontramos rpidamente con los siguientes seis casos:

63

SUMA 53Noviembre 2006

En los rombos, los cuatro lados son iguales, pero los cuatrongulos no son todos iguales, por lo que se nos plantea lasiguiente cuestin, son iguales estos dos rombos?

Con slo superponerlo comprobamos que son rombos dife-rentes, y por tanto este puzzle tiene otras seis piezas ms(nuestros alumnos las nombran los rombos tendidos).

Este puzzle esta compuesto por 12 rombos diferentes que pue-den generar todas las formas que nuestra imaginacin, y muchomejor la que nuestros alumnos, quieran poner en el juego.

Enigmas y composicionesSi tenemos 12 rombos podremos formar romboides contodos ellos cumpliendo la regla de que los lados coincidanexactamente y los colores que se toquen sean iguales? Des-pus de estudiar la cuestin aparecen romboides de distintasdimensiones, luego la siguiente pregunta es: de qu dimen-siones pueden ser los romboides obtenidos?

Con los 12 rombos (24 tringulos equilteros) podemosconstruir un hexgono regular con las restricciones de hacercoincidir los colores que estn en contacto?

Como siempre un paso msAl hablar de puzzles siempre nos gusta tratar el tema de laconstruccin por parte de los alumnos de las piezas que seutilizan, pues pensamos que es un escaln ms en el procesoeducativo. En primer lugar hace que los alumnos personalicensu material, ya que estn trabajando con un puzzle que ellosse han construido y adems entran en juego una serie de pro-cedimientos que pueden desarrollarse en otras reas, porejemplo en Tecnologa.

En este caso es muy fcil la construccin del material, bastaentregar en cartulina los dibujos de varios cuadrados o rom-bos y que los alumnos los dividan y coloreen. Posteriormentese plastifican y recortan o incluso mejor, se pegan previamen-te sobre una superficie ms rgida como panel o cartn pluma,ya que ambas son fciles de cortar con un simple cutter. Unavez plastificado a jugar!

64

SUMA 53Noviembre 2006