ANALISIS ESTRUCTURAL I

TRABAJOSi una fuerza F se mueve a lo largo de su recta de accin una distancia ds, el trabajo realizado es:dW= F.ds

El trabajo total realizado por F, al desplazarse desde el punto inicial s1 al punto final s2 es:

Trabajo externo y trabajo interno:

Consideremos una carga aplicada gradualmente sobre una estructura. El punto de aplicacin de la misma se desplaza una longitud ( (delta) cuando la carga crece de 0 a P.El trabajo total realizado por la carga ser:

(Grficamente, esta expresin representa el valor del rea bajo la curva)

Anlogamente, el trabajo realizado por un par M cuando sufre un desplazamiento angular d( es:

Este trabajo exterior, siempre que las fuerzas se apliquen en forma esttica, es decir lentamente y se cumpla la Ley de Hooke, se transforma totalmente en energa potencial elstica de deformacin.

We=WiENERGA INTERNA DE DEFORMACIN EN SLIDOS ELSTICOS

Se dice que un slido es elstico si, para cualquier carga exterior P, la relacin P-U (Fig. 1), se cumple mediante una nica ley a travs de los ciclos de carga y descarga.(U es la componente del desplazamiento del punto de aplicacin de la carga P en la direccin de dicha carga).

Si la carga crece lentamente, de modo de no producir aceleraciones, y el slido es elstico, (por lo que el diagrama de carga es reversible), entonces todo el trabajo externo We, de la carga, queda almacenado en forma de energa interna de deformacin, Wi.CALCULO DE LA ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION Wi

Wi causada por el esfuerzo axial N:

Consideremos una barra de longitud infinitesimal dx, para lo cual resulta N=cte, entonces el trabajo vale:

por la Ley de Hooke Reemplazando

Expresin vlida solo en el caso lineal.Wi causada por el momento flector M

Consideremos un tramo de viga de longitud infinitsimal dx, para el cual suponemos M=cte., entonces el trabajo infinitesimal vale:

(K es la curvatura longitudinal o curvatura especfica)Para slidos linealmente elsticos, donde es vlida la ley de Hooke, K vale: de donde el trabajo interior ser:

Wi causada por el esfuerzo cortante Q

Consideremos un tramo de viga de longitud infinitsimal dx, para el cual suponemos Q=cte., entonces el trabajo infinitesimal vale:

(( es la distorsin especfica)Para slidos linealmente elsticos, donde es vlida la ley de Hooke, K vale:

De donde el trabajo interior ser:

Ac es la seccin de cortadura, normalmente menor que la seccin normal, y es corregida por el factor de corte ( (kappa).Ac=(.(

Ejemplos prcticos de clculo de deformaciones igualando trabajosa) Determinar el descenso (b del extremo libre de la viga de la figura:

b) Determinar la flecha ( de la viga simplemente apoyada de la figura, con una carga P aplicada en la mitad de la luz:

(La energa interna de deformacin por corte se desprecia, ya que frente a la de flexin suele ser menor a 1%.)

La energa interna en toda la viga es, por simetra, igual al doble de la energa que corresponde a la mitad de la misma.

Finalmente:

Para el caso de varias cargas concentradas o cargas uniformemente distribuidas, para el clculo del trabajo externo, se adopta la ecuacin de una elstica aproximada de parbola simtrica respecto del centro, con un parmetro (0 a determinar.

MTODO DEL TRABAJO VIRTUAL (MTODO DE LA CARGA UNITARIA)Considrese el caso de la Figura 1(a), representa una estructura elstica deformada, sometida a la accin de dos cargas aplicadas gradualmente, cuyos puntos de aplicacin se desplazan distancias (1 y (2 respectivamente.Queremos encontrar la deformacin de un punto cualquiera de esta estructura, por ejemplo la componente vertical del desplazamiento del punto C.

En la Figura 1(b), se representa la misma estructura sometida nicamente a la accin de una carga virtual unitaria aplicada en C y en la direccin del desplazamiento que nos interesa conocer. Llamamos con ( al desplazamiento producido por la carga unitaria en su punto de aplicacin.

Tambin se representa en ambas figuras, un elemento tipo deformado interior sometido a fuerzas internas s y u segn el caso y sobre el que se indican las deformaciones dL y dL1.

Aplicando el principio We= Wi se tiene para el estado de cargas de la fig 1(a):

Para la fig 1(b):

Ahora imagnemos que primero producimos la deformacin en la Figura 1(b), y a esta le aplicamos gradualmente las cargas reales de la Figura 1(a)

Puesto que la energa de deformacin y el trabajo realizado deben ser iguales segn se apliquen las cargas a la vez o en forma separada, comparando la ltima ecuacin con las anteriores resulta:

(*)

Esta es la ecuacin bsica del Mtodo de la Carga Unitaria.Cuando se quiere obtener la rotacin de la tangente en cualquier punto de la estructura, solamente es necesario reemplazar la fuerza virtual unitaria por un par virtual unitario y, realizando el mismo procedimiento anterior, se llega a que:

Donde u es la fuerza interna originada por el par unitario en un elemento tipo, y ( es el ngulo de rotacin buscado.Para el caso particular de una viga estticamente determinada sometida a las cargas P1 y P2 , el eje longitudinal coincide con el eje x. Para encontrar el desplazamiento vertical ( en un punto arbitrario C, se coloca una fuerza unitaria vertical en C, como se indica en la figura, y se aplica la ecuacin (*)

Interpretemos los trminos dL y u incluidos en la ecuacin. dL es el cambio de longitud de cualquier fibra cuya longitud inicial es dx y cuya seccin tiene un rea dA, producido por las cargas reales P1 y P2.

M: momento en la seccin

I: momento de inercia

E: mdulo de elasticidad

y: distancia de la fibra al eje de la flexin

En la figura (b) se observa que u es la fuerza interna en la misma fibra, resultante de la aplicacin de una carga unitaria ficticia en el punto C, siendo igual a la tensin de flexin de la fibra multiplicada por dA, o sea:

Si sustituimos dL y u en la ec. (*) resulta:

Si se busca la rotacin de la tangente en C, se coloca un par unitario en C y se aplica la frmula bsica, llegando a:

El enunciado del principio dice: "Es condicin necesaria y suficiente para que un sistema material cualquiera est en equilibrio que el trabajo virtual de todas las fuerzas actuantes sea nulo para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales"Al tratarse de cuerpos deformables el trabajo virtual comprende el trabajo realizado por las fuerzas exteriores mas las interiores. Y como se ha demostrado, el trabajo se aplica sobre un sistema de fuerzas que debe estar en equilibrio y un conjunto de desplazamientos virtual, o sea compatible con las condiciones de vnculo de la estructura y con las condiciones de continuidad del sistema estructural.

El P.T.V. (Principio de los Trabajos Virtuales), relaciona tres aspectos:

1. Sistema de fuerzas en equilibrio

2. Desplazamientos virtuales compatibles

3. Suma de trabajo virtual igual a cero

Si se cumplen dos de ellos se cumple el tercero.-

CLCULO DE DESPLAZAMIENTOS POR APLICACIN DEL PRINCIPIO DE LOS T.V.

Calcular el giro (B en el extremo B de la viga simplemente apoyada de la figura, sometida a una carga uniformemente distribuida igual a q.

El sistema auxiliar B, tiene por nica carga externa el momento unitario en el extremo B de la viga. Este sistema est en equilibrio, ya que los momentos Mf y Q se han determinado de modo de satisfacer el equilibrio en todo punto. Como sistema de deformaciones o desplazamientos virtuales, se toma el sistema real. Estos desplazamientos son compatibles con los vnculos, por los que stos no realizan trabajo.-

Si planteamos el P.T.V. tenemos:

Como los valores del segundo miembro son conocidos, podemos calcular el giro.

Se destaca la conveniencia de trabajar con un estado auxiliar en el que intervenga una nica carga, la cual realiza trabajo exterior, con la deformacin incgnita del estado real.

Este mtodo permite calcular una componenete del desplazamiento de un solo punto por vez.Para calcular una componente del desplazamiento de un punto se procede de la siguiente manera:1. Se determinan los diagramas de los esfuerzos internos en el estado real.2. Se plantea un estado auxiliar con una estructura igual a la dada, pero con una nica carga unitaria colocada en el punto cuyo desplazamiento se busca y en la direccin de la componente deseada del mismo.

3. Se determinan los esfuerzos internos para el estado auxiliar.

4. Se calcula el desplazamiento por la expresin.Ejemplo de aplicacina) Determinar el descenso (A del extremo libre de la viga en voladizo de la figura, sometida a la accin de una carga uniformemente repartida q.

b) Verificar la flecha de la viga simplemente apoyada de la figura, sometida a una carga uniformemente distribuida q.

Expresin ya deducida en el curso de Resistencia de Materiales.DESPLAZAMIENTOS POR VARIACIONES TRMICAS EN SISTEMAS ISOSTTICOS DE ALMA LLENA.

Supongamos que el cambio de temperatura es pequeo, de manera que no cambian las propiedades del material, y que la variacin de temperatura en altura de la viga es lineal.

Podemos suponer que la seccin plana CD se ha desplazado una distancia dl hasta la posicin D'C' y luego ha rotado un ngulo d( para llegar hasta la posicin final C"D".

Deformacin debida al aumento cte:

Deformacin producida por el giro relativo de la seccin:

El trabajo interior ser:

TEOREMA DE BETTI O DE RECIPROCIDAD DE LOS TRABAJOS

Consideremos dos estructuras iguales. Sobre la primera acta un sistema de cargas que llamaremos I compuesto por las cargas Pi, y sobre la segunda acta un sistema de cargas que llamaremos II compuesto por las cargas Qi.Primero se aplica el P.T.V. tomando el sistema I como el de fuerzas en equilibrio y el sistema II como el de deformaciones congruentes.

Los sistemas se hallan en equilibrio por lo tanto se puede aplicar el P.T.V. As, la ecuacin resulta:

(1)Segundo aplico el P.T.V. tomando el sistema II como el de fuerzas en equilibrio y el I como el de deformaciones congruentes. Con lo cual la ecuacin resulta:

(2)Comparando (1) y (2), como los segundos miembros son iguales, los primeros tambin lo son, con lo que resulta la expresin del Teorema de Betti:

Enunciado: "Dado un cuerpo elstico y dos sistemas de fuerzas I y II , el trabajo virtual de las fuerzas del sistema I a travs de los desplazamientos provocados por el sistema II, en los puntos de aplicacin de las cargas del sistema I, es igual al trabajo virtual de las fuerzas del sistema II asociadas a los desplazamientos provocados por el sistema I en las mismas condiciones".

LEY DE MAXWELL O DE RECIPROCIDAD DE LAS DEFORMACIONES

Es un importantsimo caso particular del teorema de Betti.

Consideramos:

Sistema I: compuesto por una nica fuerza Pa= 1t que acta en un punto a segn una direccin ( (alfa).Sistema II: compuesto por una nica fuerza Pb= 1t que acta en un punto b segn una direccin ( (beta).

: deformacin del sistema II en el punto de aplicacin de la fuerza del sistema I en la direccin de ( (alfa).-

: deformacin del sistema I en el punto de aplicacin de la fuerza del sistema II en la direccin de ( (beta).Por el Teorema de Betti es: y como: PI = PII = 1(t), resulta:

Enunciado: "El desplazamiento de un punto a medido en la direccin ( (alfa), provocado por una fuerza unitaria que acta en un punto b segn una direccin ( (beta), es igual al desplazamiento de un punto b segn una direccin ( (beta), provocado por una carga unitaria actuando en a segn una direccin ((alfa)."

Si la viga es horizontal, y est sometida a cargas verticales, siendo los desplazamientos tambin verticales, el teorema se simplifica: "El descenso de un punto a provocado por una carga unitaria que acta en un punto b, es igual al descenso del punto b, provocado por una carga unitaria actuando en a".APLICACIN DEL P.T.V. AL CLCULO DE DEFORMACIONES EN RETICULADOSEn sistemas reticulados la ecuacin general se reduce a:

Para valores constantes de esfuerzos en las barras resulta:

Si tambin existe variacin de temperatura, la deformacin de la barra ser:

Para una nica carga unitaria actuando como sistema de fuerzas virtual resulta:

Ejemplo de aplicacin:Calcular el desplazamiento (k sabiendo que E=cte., A1=A y A2=3.AEsfuerzos en el sistema real:

N BarraA (cm)Longitud (cm)

N

11L

23

-2.P-2

EMBED Equation.3

ANLISIS ESTRUCTURAL I

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