52 josé felipe camarena garcía

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Mecatrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis Cinemático, Dinámico y Control en Tiempo Real de un Vehículo Guiado Automáticamente

presentada por

José Felipe Camarena García Ing. en Comunicaciones y Electrónica por el Instituto Politécnico Nacional

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica

Director de tesis: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Co-Director de tesis:

Dr. Carlos Daniel García Beltrán

Jurado: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar – Presidente

Dr. José Ruíz Ascencio – Secretario Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez – Vocal

Dr. Carlos Daniel García Beltrán – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 16 de Diciembre de 2009

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Dedicatoria

En primer lugar, quiero dedicar este trabajo a Dios todopoderoso, por haberme brindado

fortaleza y salud para concluir esta tesis, y por ayudarme a satisfacer mis necesidades

espirituales, intelectuales y materiales.

Así mismo, con dedicación especial a mi amada esposa Iliana y a mi hijo Luis Felipe. A mi

madre querida María Luisa y a mis suegros, Daniel y María Dolores.

A mis hermanos: Filiberto, Lilia, Isaura, Arturo, Víctor y Angélica, a quienes quiero tanto

y que siempre están al pendiente de su hermano menor.

A mis sobrinos: Daniel, Stephanie, Ana Karen, Lizbeth, Jesús, Arturo, Juan Víctor,

Rodrigo, Laura y Jazmín.

Y a la memoria de mi padre Filiberto, cuyo recuerdo me motiva a seguir superándome día

a día.

Agradecimientos

A Dios, padre celestial, por protegerme y cuidar de toda mi familia.

A Iliana, por ser mi cómplice ideal, amiga y esposa fiel e incondicional, quien a pesar de

los altibajos que ocurren en nuestras vidas, siempre está a mi lado apoyándome en todos

mis proyectos de vida.

A Mamá Huichita, Don Daniel y Mari Loli, mi madre y mis suegros, que a través de una

infinidad de acciones nos demuestran su amor, y que a pesar del tiempo y la edad, nunca

dejamos de recibir su apoyo y protección incondicional.

A Luis Felipe, mi querido y amado hijito, con quien me divierto mucho, y que al mirar su

personita e inocencia me recuerda que existe más de una razón para seguir superándome.

A mis directores de tesis; Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez y Dr. Carlos Daniel

García Beltrán, por haber dirigido este trabajo, y por brindarme su apoyo y amistad

sincera.

A mis revisores de tesis; Dr. José Ruiz Ascencio y Dr. Marco Antonio Oliver Salazar, por

sus valiosas correcciones que me ayudaron a mejorar este trabajo, y por su amistad.

A Sonia, Neri y Castillón, por sus contribuciones.

A mis compañeros: Ixchel, Enrique, Moisés, Rosendo, Julio, Machorro, Alejandro,

Esteban, Román y Francisco, por su amistad y compañerismo que me brindaron.

Al CENIDET por el apoyo institucional y formativo que recibí a través de sus

investigadores, quienes me transmitieron su conocimiento y experiencia para alcanzar las

metas relacionadas con el presente trabajo.

Un agradecimiento sumamente especial al CNAD y a la COSDAC por el apoyo

institucional y económico recibido, y por darme la oportunidad de superarme personal y

profesionalmente.

A las licenciadas Victoria Lima, Guadalupe Garrido, Anita Pérez y Guadalupe Huerta, por

su apoyo y amistad.

Y a todas aquellas personas que de una u otra manera me ayudaron y motivaron a la

culminación de este trabajo tan significativo para mí.

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impresión es por ambos lados

i

Resumen

En el presente trabajo de investigación se realizó la construcción de un prototipo de

vehículo guiado automáticamente VGA o robot móvil de tres grados de libertad tipo

TWMR (Two Wheels Mobile Robot), que sirvió como plataforma experimental para

validar el desempeño de controladores basados en la linealización entrada-salida por

retroalimentación estática y/o dinámica del vector de estados de sistemas no-holonómicos.

La construcción del vehículo se realizó en las instalaciones del Centro Nacional de

Actualización Docente, a través de sistemas CAD/CAM y máquinas CNC. En el diseño del

prototipo se detallan las especificaciones relacionadas con; la estructura mecánica, sistema

de locomoción, tarjetas electrónicas servoamplificadoras, actuadores y sensores utilizados

en el prototipo.

La caracterización del robot móvil está dada por la obtención de sus modelos; cinemático,

dinámico y dinámico de los motores de corriente directa.

Se implementaron tres esquemas de control, a saber; 1) Linealización por retroalimentación

estática del estado, 2) Linealización por retroalimentación dinámica del estado, y 3) Control

de estructura variable.

Los esquemas de control fueron implantados en un sistema de adquisición de datos en

tiempo real dSPACE DS1103 a través de una interface hardware/software entre la

computadora personal y el vehículo.

Palabras clave: VGA, robots móviles, seguimiento de trayectorias, linealización entrada-

salida, controlador PID, modelo cinemático, modelo dinámico, dSPACE DS1103.

ii

Abstract

This research work deals with the prototype construction of an automatic guide vehicle

AGV or mobile robot with three degrees of freedom type TWMR (Two Wheel Mobile

Robot) used as an experimental platform to test controllers performance based on

linearization input-output for static and/or dynamic feedback state for non-holonomic

systems.

The vehicle construction was made at the Centro Nacional de Actualización Docente, by

means of CAD/CAM systems and CNC machinery. The prototype design details

specifications of the mechanical structure, locomotion system, servoamplifier electronic

boards, actuators and sensors used in this prototype.

The characterization of the mobile robot was accomplished by the achievement of the

models kinematic, dynamic and dynamic for direct current motors.

Three controllers were implemented; 1) Linearization by static feedback state, 2)

Linearization by dynamic feedback state, and 3) Variable structure controller.

The control strategies were implemented in a real time acquisition data system dSPACE

DS1103 by means of hardware/software interface between a personal computer and the

vehicle.

Key words: AGV, mobile robots, trajectory following, feedback linearization, PID

controller, kinematic model, dynamic model, dSPACE DS1103.

iii

Contenido

Resumen.....……………………………………………………………………………….. i

Abstract…………………………………………………………………………………… ii

Contenido............................................................................................................................. iii

Lista de figuras……………………………………………………………………………. vi

Lista de tablas…………………………………………………………………………....... viii

Simbología………………....………………………………………………….................... ix

Abreviaturas y acrónimos …………………………………................................................ xi

CAPÍTULO 1. Robótica y vehículos guiados automáticamente…………………….... 1

1.1 Introducción……………………………………………………………………..... 1

1.2 Antecedentes de los vehículos guiados automáticamente en el Cenidet………...... 4

1.3 Planteamiento del problema………………………………………………………. 5

1.4 Hipótesis…………………………………………………………………………... 5

1.5 Objetivos………………………………………………………………………….. 6

1.6 Metas……………………………………………………………………………… 6

1.7 Alcances...........................……………………………………………………….... 7

1.8 Justificación............................................................................................................. 7

1.9 Estado del arte…………………………………………………………………….. 8

1.9.1 Configuraciones cinemáticas de los robots móviles con ruedas..........…..... 9

1.9.2 Actuadores de los robots móviles con ruedas……………………………... 11

1.9.3 Control de los robots móviles con ruedas..............................……………... 12

1.10 Estructura del documento…………………………………………………………. 14

CAPÍTULO 2. Modelado………………………………………………………………... 15

2.1 Introducción……………………………………………………………………….. 15

2.2 Modelado del vehículo guiado automáticamente…………………………………. 16

2.2.1 Modelo cinemático………………………………………………………... 16

2.2.2 Modelo dinámico………………………………………………………….. 21

2.3 Modelo dinámico de los motores de corriente directa...…………………………... 26

2.3.1 Modelo dinámico de la fricción interna del servomotor.........…………….. 28

2.4 Conclusiones del capítulo…………………………………………………………. 30

CAPÍTULO 3. Esquemas de control en tiempo real: Seguimiento de trayectorias…. 31

3.1 Introducción……………………………………………………………………..... 31

3.2 Diseño de un control por linealización entrada-salida (E/S) del vector de estado... 33

3.2.1 Linealización (E/S) por retroalimentación estática………………………... 34

3.2.2 Desacoplamiento (E/S) para las salidas 𝑥, 𝜑 del vehículo........................ 36

3.2.3 Aplicación del algoritmo de extensión dinámica.......................................... 38

iv

3.2.4 Desacoplamiento (E/S) para las salidas 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 ......................................... 40

3.2.5 Singularidades de los controladores y su dinámica interna.......................... 41

3.3 Diseño de un control de estructura variable………………………………………. 43

3.4 Control PID para los motores de CD…………………………………………….... 44

3.5 Conclusiones del capítulo……………………………………………………......... 45

CAPÍTULO 4. Diseño e instrumentación del vehículo guiado automáticamente….... 47

4.1 Introducción………………………………………………………………………. 47

4.2 Estructura física del vehículo……………………………………………………… 48

4.2.1 Plataforma móvil........................................................................................... 48

4.2.2 Soportes motor.............................................................................................. 49

4.2.3 Rines y llantas............................................................................................... 49

4.2.4 Postes de equilibrio....................................................................................... 49

4.3 Motores de CD……………………………………………………………………. 50

4.3.1 Perfil de movimiento.................................................................................... 50

4.3.2 Cajas reductoras..........……………………………………………….......... 52

4.3.3 Selección de los motores...................…………………………………….... 52

4.3.4 Compensación de fuerzas de fricción........................................................... 53

4.3.5 Batería........................................................................................................... 55

4.4 Instrumentación del vehículo guiado automáticamente...........………………….... 55

4.4.1 Sensores…………………………………………………………………… 56

4.5 Interface del vehículo guiado automáticamente...............………………………… 57

4.5.1 Tarjeta controladora PPC-DSP DS1103…………………………...…….... 57

4.5.2 Computadora personal………………………………….............................. 58

4.6 Circuitos electrónicos……………………………………………………...……… 58

4.6.1 Servoamplificador......................................................................................... 58

4.6.2 Acondicionador de señal para los codificadores ópticos.............................. 62

4.7 Características del vehículo guiado automáticamente...…………………………... 63


CAPÍTULO 5. Resultados en simulación y tiempo real………………………......…... 65

5.1 Introducción……………………………………………………………………….. 65

5.2 Parametrización de la trayectoria deseada………………………………………… 66

5.2.1 Trayectoria 1: Parábola……………………………………………………. 66

5.2.2 Trayectoria 2: Hélice……………………………………………...………. 67

5.2.3 Trayectoria 3: Círculo……………………………………………...…….... 67

5.3 Simulaciones………………………………………………………………………. 68

5.3.1 Comentarios sobre las simulaciones realizadas.......................……………. 69

5.4 Experimentos en tiempo real……………………………………………………… 78

5.4.1 Comentarios sobre la experimentación realizada………………………........ 86

5.5 Índice de desempeño de los esquemas de control.................................................... 86


v

CAPÍTULO 6. Conclusiones……………………………………………………………. 91

6.1 Resultados de los controladores ………………………………………………….. 93

6.2 Objetivos cubiertos………………………………………………………………... 94

6.3 Aportaciones………………………………………….......…….............................. 94

6.4 Trabajos futuros……………………………………………………........................ 95

6.5 Limitantes…………………………………………………………………………. 96

6.6 Comentarios finales……………………………………………….......................... 96

Bibliografía……………………………………………………………………………..... 97

Anexo A Linealización por retroalimentación estática…………………………………… 105

Anexo B Algoritmo de extensión dinámica………………………………………………. 107

Anexo C Sintonización de controladores PID…………………………………………….. 109

Anexo D Esquemas de los circuitos electrónicos…………………………………………. 111

Anexo E Tarjeta controladora DSP DS1103……………………………………………… 114

Anexo F Interface gráfica de usuario IGU-VGA…………………………………………. 116

Anexo G Fotos del prototipo construido………………………………………………….. 117

Anexo H Operación del vehículo guiado automáticamente................................................. 118

vi

Lista de figuras

CAPÍTULO 1

Figura 1.1. Robots móviles históricos: (a) Robot Shakey, (b) Robot Sojourner………… 2

Figura 1.2. Tipo de locomoción de los robots móviles: (a) Robot de una rueda,

(b) Robots bípedos, (c) Robot con orugas……………………………………………….... 3

Figura 1.3. Vehículo experimental PUMA......................................................................... 8

Figura 1.4. Configuraciones de los robots móviles con ruedas: (a) Ackerman,

(b) Triciclo clásico, (c) Diferencial, (d) Skid steer, (e) Síncrona, (f) Omnidireccional….. 9

Figura 1.5. Tipos de ruedas de los robots móviles con ruedas: (a) Convencionales, (b)

Tipo castor, (c) De bola, (d) Omnidireccionales………………………………………...... 10

CAPÍTULO 2

Figura 2.1. Localización del vehículo sobre el plano......................................................... 16

Figura 2.2. Diagrama de fuerzas y velocidades asociadas a las ruedas del vehículo:

(a) Diagrama de fuerzas (b) Diagrama de velocidades........................................................ 18

Figura 2.3. Fuerzas que actúan sobre el vehículo............................................................... 22

Figura 2.4. Esquemático de un motor de imán permanente................................................ 27

Figura 2.5. Esquema de compensación de fricción de Dahl............................................... 29

CAPÍTULO 3

Figura 3.1. Seguimiento de la trayectoria por el vehículo.................................................. 32

Figura 3.2. Esquema de control propuesto para la ley de control con salidas 𝑥, 𝜑 ........ 38

Figura 3.3. Esquema de control propuesto para la ley de control con salidas 𝑥1, 𝑦1 ...... 41

Figura 3.4. Esquema de control de estructura variable para el control del vehículo......... 44

CAPÍTULO 4

Figura 4.1. Sistemas del prototipo del vehículo guiado automáticamente......................... 48

Figura 4.2. Piezas del vehículo antes de la manufactura.................................................... 48

Figura 4.3. Postes y ruedas de bolas delanteras................................................................. 49

Figura 4.4. Perfil de movimiento (Velocidad-tiempo)....................................................... 51

Figura 4.5. Motores de CD instalados en el vehículo......................................................... 53

Figura 4.6. Respuesta al escalón del motor derecho de tracción........................................ 54

Figura 4.7. Respuesta al escalón del motor izquierdo de tracción...................................... 54

Figura 4.8. Codificador óptico HEDS-5600....................................................................... 56

Figura 4.9. Puente H........................................................................................................... 59

Figura 4.10. Circuito combinacional para la protección del puente H............................... 60

vii

Figura 4.11. Modulación por ancho de pulso..................................................................... 61

Figura 4.12. Voltaje promedio de la Modulación por Ancho de Pulso.............................. 61

Figura 4.13. Esquema de conexión entre el sistema DS1103 y la electrónica del

vehículo................................................................................................................................ 62

Figura 4.14. Circuitos electrónicos montados en la plataforma del vehículo..................... 62

Figura 4.15. Interconexión entre el sistema DS1103 y los codificadores ópticos

del VGA............................................................................................................................... 63

CAPÍTULO 5

Figura 5.1. Trayectoria 1..................................................................................................... 66



Figura 5.4. Simulación SIM1-RE- 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 ......................................................................... 70



Figura 5.7. Simulación SIM4-RE- 𝑥1,𝑦1 .......................................................................... 73



Figura 5.10. Simulación SIM7-RE- 𝑥, 𝜑 .......................................................................... 76

Figura 5.11. Simulación SIM8-EV- 𝑥, 𝑦, 𝜑 ..................................................................... 77

Figura 5.12. Experimento EXP1-RE- 𝑥, 𝑦 ........................................................................ 79






Figura 5.18. Experimento EXP7-EV- 𝑥, 𝑦, 𝜑 ................................................................... 85

Figura 5.19. Interface IGU-VGA para la adquisición de datos en tiempo real.................. 89

Figura 5.20. Interface IGU-VGA mostrando los datos adquiridos durante el

seguimiento de una trayectoria tipo hélice........................................................................... 89

viii

Lista de tablas

Tabla 2.1. Parámetros del motor de CD.............................................................................. 28

Tabla 3.1. Ganancias de los controladores PID.................................................................. 45

Tabla 4.1. Especificaciones de los elementos del vehículo................................................. 50

Tabla 4.2. Parámetros 𝑓𝑐 y 𝑓𝑣 para la compensación de fricción del sistema..................... 55

Tabla 4.3. Parámetros de los codificadores ópticos del vehículo........................................ 56

Tabla 4.4. Interfaces periféricas de la tarjeta controladora PPC DSP DS1103................... 57

Tabla 4.5. Interfaces de la tarjeta controladora DSP DS1103 usadas por el VGA............. 57

Tabla 4.6. Características de la computadora personal....................................................... 58

Tabla 4.7. Tabla de verdad del circuito de protección del puente H................................... 59

Tabla 4.8. Características del vehículo construido.............................................................. 63

Tabla 5.1. Organización de las simulaciones realizadas..................................................... 68

Tabla 5.2. Organización de los experimentos realizados.................................................... 78

Tabla 5.3. Índice de desempeño (Simulación).................................................................... 87

Tabla 5.4. Índice de desempeño (Experimentos en tiempo real)........................................ 88

ix

Simbología

𝐴 Área frontal del vehículo

𝐴𝑑 𝜑 Matriz de desacoplamiento

𝐴𝑇 Matriz Jacobiana de las restricciones de movimiento

Amp Amper

𝑎 Aceleración lineal del vehículo

𝐵 𝑞 Matriz de transferencia de las entradas

𝐵𝑚 Fricción del motor

𝐶 Coeficiente de resistencia aerodinámica

𝐶 𝑞, 𝑞 Matriz de las fuerzas de coriolis y centrífugas

𝑑 Distancia a lo largo del eje de simetría del punto medio respecto al centro de

masa del vehículo

𝑒𝑔 Fuerza contraelectromotríz

𝐹𝑎 Fuerza debido a la resistencia aerodinámica

𝐹𝑔 Fuerza debida a la resistencia en pendientes

𝐹𝑟 Fuerza debida a la resistencia por rodamiento de las ruedas

𝐹𝑡 Fuerza de tracción total

𝑓𝐶 Fricción de Coulomb

𝑓𝑣 Fricción viscosa

𝑓𝑟 Coeficiente de resistencia por rodamiento

𝑔 Fuerza de gravedad

G Relación de transmisión

𝐺 𝑞 Vector de pares gravitacionales

𝐼𝑅 Momento de inercia de la rueda de tracción

𝐼𝑚 Momento de inercia del eje del motor

𝐼𝑝 Momento de inercia de la plataforma

𝑖𝑎 Corriente de armadura

mJ Momento de inercia del motor

𝑘𝑝 Ganancia proporcional

𝑘𝑑 Ganancia derivativa

𝑘𝑖 Ganancia Integral

T Energía cinética del sistema

𝐿 Distancia a lo largo del eje de simetría entre los puntos medio y frontal del

vehículo

𝑙 Distancia entre el eje de simetría del vehículo y la rueda de tracción

𝐿𝑎 Inductancia de armadura

𝑚 Masa del vehículo

𝑀 𝑞 Matriz de inercia, simétrica y definida positiva

𝑚𝑅 Masa de la rueda

𝑚𝑝 Masa de la plataforma del vehículo

MIMO Multiple Input Multiple Output (Múltiples Entradas Múltiples Salidas)

𝑟 Radio de las ruedas

x

𝑅𝑎 Resistencia de armadura

𝑣 Velocidad lineal del punto medio del vehículo

𝑉 Velocidad del vehículo

𝑉𝑎 Voltaje de armadura

𝑉𝑑 Voltaje de control del motor derecho

𝑉𝑖 Voltaje de control del motor izquierdo

𝑤 Velocidad angular del punto medio del vehículo

𝑤𝑑 Velocidad angular de la rueda derecha

𝑤𝑖 Velocidad angular de la rueda izquierda

𝛼 Ángulo de inclinación del terreno

𝜆 Vector de restricciones de fuerzas

𝜌 Densidad del aire

𝜏 Vector dimensional de fuerzas generalizadas

𝜏𝑒𝑚 Par requerido por la carga

𝜏𝑚 Par electromagnético del motor

xi

Abreviaturas y acrónimos

AED Algoritmo de Extensión Dinámica

ADC Analog Digital Converter (Convertidor Analógico Digital)

CAD Computer Aid Design (Diseño Asistido por computadora)

CAM Computer Aid Manufacture (Manufactura Asistida por Computadora)

CENIDET Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

CD Corriente Directa

CI Condición Inicial

CIEC Criterio Integral del Error Cuadrático

CNAD Centro Nacional de Actualización Docente

CNC Control Numeric Computarized (Control Numérico Computarizado)

COSDAC Coordinación Sectorial de Desarrollo Académico

DAC Digital Analog Converter (Convertidor Digital Analógico)

DGEST Dirección General de Educación Superior Tecnológica

DSP Digital Signal Processor (Procesador Digital de Señales)

DSPACE Digital Signal Processor for Advanced Control Educational

(Procesador Digital de Señales para Control Avanzado Educacional)

E/S Entrada/Salida

EV Control de Estructura Variable

gdl Grados De Libertad

GUI Graphic User Interface (Interface Gráfica de Usuario)

GM General Motors

GPS Global Positioning System (Sistema de Posicionamiento Global)

IGU Interface Gráfica de Usuario

MAP Modulación por Ancho de Pulso

MATLAB Matrix Laboratory

MIT Massachusetts Institute of Technology

(Instituto Tecnológico de Massachusetts)

PC Computadora Personal

PCB Printed Circuit Board (Tarjeta de Circuito Impreso)

PD Proporcinal derivativo

PI Proporcional Integral

PID Proporcional Integral Derivativo

PPC Power Personal Computer

PPR Pulsos Por Revolución

PMDC Permanent Magnet Direct Current (Motor de CD de Imán Permanente)

PUMA Personal Urban Mobility and Accessibility

(Accesibilidad y Movilidad Urbana Personal)

PWM Pulse Width Modulation (Modulación por Ancho de Pulso)

RE Retroalimentación Estática

RMR Robot Móvil con Ruedas

RPM Revoluciones Por Minuto

RTI Real Time Interface (Interface en Tiempo Real)

RTW Real Time Workshop (Librería en Tiempo Real)

xii

SRI Stanford Research Institute (Instituto de Investigación de Stanford)

TTL Transistor Transistor Logic (Lógica Transistor Transistor)

TWMR Two Wheels Mobile Robot (Robot Móvil de Dos Ruedas)

VGA Vehículo Guiado Automáticamente


- 1 -

Capítulo

1

Robótica y vehículos

guiados automáticamente

1.1 Introducción

La robótica ha jugado un papel preponderante durante el desarrollo de la humanidad, y su

evolución ha ido siempre de la mano con la construcción de artefactos que materialicen el

deseo de crear entes que faciliten el trabajo. En antiguas civilizaciones, como la griega, se

hablaba de seres mecánicos con vida que eran movidos por mecanismos construidos con

poleas y bombas hidráulicas. Sin embargo, el concepto de robot como tal, comenzó a

hilvanarse en la civilización árabe, donde se le dio sentido a dichos mecanismos en

beneficio del ser humano, es así como da inicio la sorprendente evolución de la robótica

[Barberá01][Urdiales01]. Aunque con el paso del tiempo fueron desarrolladas un gran

número de figuras dotadas de partes móviles, no se tenía un concepto general de cómo

definirlas, en 1920 el escritor checo Capek, en su obra dramática Rossum's Universal

Robots [Capek01], acuñó el término robot, a partir de la palabra checa robota, que significa

servidumbre o trabajo forzado. Por su parte, Asimov introdujo, por primera vez, el término

robótica, en la historia Runaround de su obra; I, Robot [Asimov61], incluyendo en ese

mismo trabajo, las tres leyes de la robótica. Fue así, que como consecuencia de los trabajos

que hasta entonces se habían realizado, aunados al éxito de las obras mencionadas, la

robótica acaparó la atención, no sólo de aficionados a la ciencia ficción, sino también de

científicos e investigadores que fueron adentrándose al estudio de la misma.

En la actualidad, los robots no sólo se asemejan a los seres humanos, sino que han tomado

formas diversas para satisfacer ciertas necesidades de la mejor manera. A consecuencia de

la aparición de la computadora y de la alta integración de circuitos, se pudieron desarrollar

los primeros intentos de un verdadero robot en los 40's, en el MIT1 [Craig06]. En 1952,

aparece la primera máquina de control numérico para automatizar algunas tareas

1 Acrónimo de Massachusetts Institute of Technology.

Capítulo 1.Robótica y vehículos guiados automáticamente

- 2 -

industriales. Por su parte, la compañía Unimates [Selig92], introdujo el primer robot

industrial en la General Motors en 1961. Con la venida de nuevas tecnologías de

planificación y razonamiento automático, entre 1966 a 1972 se desarrolló en el SRI2 el

primer Vehículo Guiado Automáticamente (VGA, por sus siglas en español), llamado

Shakey, véase la Figura 1.1(a), que era una plataforma móvil independiente, controlada por

visión mediante una cámara y dotada con un detector táctil, Shakey era capaz de navegar en

entornos cerrados estructurados de forma autónoma. En tiempos más actuales, uno de los

eventos que marcó la historia de los vehículos guiados automáticamente, fue el aterrizaje

del Sojourner, véase la figura 1.1(b), en la superficie de Marte, el 5 de julio de 1997.

Particularmente, gran parte de los desarrollos de la robótica se han enfocado a los robots de

tipo manipulador ya que dichos robots tienen un amplio campo de aplicación

principalmente en líneas de producción robotizadas en la industria, utilizados como robots

soldadores, pintores, de manejo de materiales o de ensamble. Sin embargo, existe toda una

gama de formas y aplicaciones diversas de los robots, dependiendo de la tarea que deban

realizar, de esta manera se pueden considerar diferentes criterios para su clasificación

[Contreras03], como son: por su arquitectura, por su generación, por el nivel de

inteligencia, por el nivel de control o por el nivel del lenguaje de programación.

(a) Robot Shakey

(b) Robot Sojourner

Figura 1.1. Robots móviles históricos

Dentro de las subespecialidades de la robótica, los vehículos guiados automáticamente o

robots móviles son un tema de investigación interesante por varias razones: Primero,

porque debido al grado de inteligencia y todo lo que implica su implementación, se requiere

de la aplicación sinérgica de conocimientos y técnicas de varias disciplinas, tales como;

física, matemáticas, mecánica, electrónica, control automático y computación. Segundo,

porque los vehículos guiados automáticamente son una aproximación muy cercana a la

creación de un agente inteligente [Russell03], sistema capaz de procesar la información de

su entorno y establecer un comportamiento similar al del ser humano. Tercero, porque las

aplicaciones de los vehículos guiados automáticamente son innumerables, tales como:

exploración planetaria, minera y marítima, reconocimiento de terreno, inspección y

2 Acrónimo de Stanford Research Institute.


- 3 -

vigilancia, misiones de búsqueda, y rescate de personas, limpieza de desechos peligrosos y

ambientes diversos, asistencia médica, ocio y entretenimiento, investigación y desarrollo,

investigación militar , industria metalmecánica, industria química, agricultura, trasporte,

entre otros. En complemento y con el objetivo de conformar una herramienta más eficaz,

también son utilizados como plataformas móviles en aplicaciones que requieren de la

integración con otros tipos de robots, tal es el caso de los vehículos que incorporan un

brazo manipulador, utilizados como elementos de seguridad en la inspección y manejo de

paquetes sospechosos, neutralización de dispositivos explosivos, manipulación de

productos químicos peligrosos y materiales radiactivos, etc. Y finalmente, debido al

elemento estético y artístico que se le puede dar a la estructura física de los robots móviles.

Un vehículo guiado automáticamente se define como un sistema electromecánico capaz de

desplazarse en forma autónoma de un punto a otro en determinado espacio de trabajo (nave

industrial, laboratorio, hogar, corredor, oficinas, hospital, etc.). Se entiende como

autonomía de un robot móvil, al dominio que tiene este para terminar su curso de acción,

mediante su propio proceso de razonamiento basado en sensores que le permiten percibir el

espacio de trabajo.

De acuerdo al tipo de locomoción que los vehículos guiados automáticamente emplean para

desplazarse, se clasifican en tres categorías: robots de ruedas [Muir87] [Campion96], robots

de patas [Raibert83] [Todd85] y robots de orugas [Iwamoto83] [Granosik05], véase la

figura 1.2.

Figura 1.2. Tipo de locomoción de los robots móviles

(a) Robot de una rueda (a) Robots bípedos

(c) Robot con orugas


- 4 -

En las últimas décadas, el control de los robots móviles con ruedas ha sido objeto de interés

continuo. Estos se enmarcan dentro de la teoría de control en el área que se conoce como

control de sistemas no-holónomos, los cuales se caracterizan por estar sujetos a

restricciones no integrales en las velocidades, es decir su plano de velocidades está

restringido [Murray93]. Otros ejemplos de sistemas no-holónomos son los satélites y las

manos robotizadas. Desde el punto de vista de la teoría de control, los principales

problemas asociados a los robots móviles son: la regulación a un punto de equilibrio del

móvil, el seguimiento de trayectorias, y la evasión de obstáculos.

En este trabajo se aborda el problema asociado al seguimiento de trayectorias en un robot

móvil con ruedas, de tipo Two Wheel Mobile Robot (TWMR, por sus siglas en inglés) en

configuración diferencial (2,0). Se propone este prototipo de robot móvil debido a que es

mecánicamente simple su construcción, lo que disminuye costos y hace más sencilla su

instrumentación. La electrónica propuesta consiste básicamente de dos servoamplificadores

con puentes H para el control de los motores de corriente directa. La instrumentación

consiste de una computadora personal y una tarjeta de adquisición de datos en tiempo real.

Se utilizan un par de codificadores ópticos que sirven para medir las velocidades angulares

de las ruedas del vehículo. La posición del vehículo en el plano cartesiano es calculada de

manera indirecta usando sus modelos cinemático y dinámico.

Para el control del vehículo, se propone un esquema de control en cascada formada por dos

lazos de retroalimentación. Un lazo interno compuesto de un controlador Proporcional

Integral Derivativo PID asociado los motores del robot, el cual se encarga de generar los

perfiles de velocidad angular para cada rueda del vehículo, dichas velocidades

corresponden a las trayectorias de posición deseadas. El lazo externo de control consiste de

un esquema de linealización entrada – salida por retroalimentación estática y/o dinámica

del vector de estados.

1.2 Antecedentes de los vehículos guiados automáticamente en el

Cenidet

La robótica es un área compleja que involucra diferentes campos del conocimiento, tales

como: mecánica, electrónica, teoría del control, programación, visión, procesamiento de

señales y manufactura, lo cual la hace el ejemplo más claro de la mecatrónica. Por tal

motivo, las líneas de investigación de los departamentos de posgrado del Cenidet tienen

tendencias hacia este tipo de desarrollos.

En el departamento de mecatrónica del Cenidet existen diversos trabajos relacionados con

la robótica. La mayoría de ellos están orientados hacia la construcción y control de brazos

manipuladores.

Respecto a robótica móvil o vehículos guiados automáticamente; se han desarrollado

trabajos basados en redes neuronales aplicadas al control de robots hexápodos. Por otra

parte, los departamentos de Electrónica y Computación, cuentan con líneas de investigación

sobre vehículos eléctricos y reconocimiento de patrones, respectivamente. Actualmente se


- 5 -

están desarrollando trabajos relacionados con sistemas de propulsión eléctrica, uso eficiente

de energía, control no lineal de vehículos eléctricos y procesamiento de imágenes.

Se pretende que este trabajo sirva como un punto de convergencia entre líneas de

investigación y permita desarrollar trabajos futuros relacionados con la navegación de

vehículos guiados automáticamente aplicados a sistemas de transporte de personas y de

carga en general.

Es importante hacer mención que una de las principales aportaciones de esta tesis es el

prototipo mismo, que será utilizado como plataforma experimental en diversas tesis de los

departamentos del Cenidet.

1.3 Planteamiento del problema

Hoy en día, el tema del control de los robots móviles del tipo TWMR ha venido acaparando

la atención de gran cantidad de investigadores. Desde el punto de vista de la teoría de

control, estos se encuentran en el área que se conoce como control de sistemas no-

holónomos, estos sistemas se caracterizan por tener un número menor de grados de libertad

controlables respecto al número de grados de libertad totales, en el caso de un vehículo de

tracción diferencial o de tipo TWMR, el número total de grados de libertad son 3 (posición

x, y, más su orientación ) sin embargo únicamente se puede controlar el desplazamiento

hacia adelante y hacia atrás así como su orientación, quedando como incontrolable el

desplazamiento transversal. Matemáticamente se dice que el sistema está sujeto a

restricciones no integrables en las velocidades, es decir, su plano de velocidades está

restringido. El control del movimiento de este tipo de móvil, se puede clasificar en cuatro

tareas fundamentales; localización, planificación de trayectoria, seguimiento de la misma y

evasión de obstáculos.

El planteamiento del problema consiste en diseñar una estrategia de control no lineal que

controle el movimiento del robot móvil y evada las singularidades que presenta este tipo de

sistemas no-holonómicos. En particular, se plantea el problema de controlar en tiempo real

un vehículo guiado automáticamente de tres grados de libertad (3 gdl3) y experimentar con

él tareas de seguimiento de trayectorias.

1.4 Hipótesis

Con base en el planteamiento del problema se establece la siguiente hipótesis:

Es posible llevar a cabo el control de seguimiento de una trayectoria en tiempo real con un

vehículo guiado automáticamente de tres gdl, usando sus modelos cinemático y dinámico,

además de una ley de control no lineal. Esta hipótesis será comprobada experimentalmente.

3 Abreviación de grados de libertad


- 6 -

1.5 Objetivos

1.5.1 Objetivo general

Construir un vehículo guiado automáticamente y experimentar con él técnicas de control en

tiempo real, usando un sistema de adquisición de datos dSPACE DS1103, para realizar

tareas de seguimiento de trayectorias en el plano XY.

1.5.2 Objetivos particulares

1. Obtener los modelos matemáticos que describan el comportamiento cinemático y

dinámico del vehículo guiado automáticamente de tipo TWMR en configuración

diferencial.

2. Diseñar esquemas de control que proporcionen al vehículo la capacidad de seguir

asintóticamente trayectorias preestablecidas en el plano XY.

3. Realizar simulaciones numéricas de las estrategias de control propuestas para el

vehículo.

4. Construir un vehículo guiado automáticamente experimental para implementar las

estrategias de control en tiempo real propuestas.

5. Implantar estrategias de control en tiempo real en la plataforma DSP DS1103 para

experimentar con el vehículo rutinas de seguimiento de trayectorias.

6. Comparar los resultados obtenidos en la simulación y la experimentación para la

validación de los esquemas de control propuestos.

1.6 Metas

1. Contar con un prototipo experimental de robot móvil, con características

mecatrónicas y didácticas.

2. Desarrollar la electrónica necesaria para la instrumentación y control del mismo.

3. Diseñar esquemas de control para los modelos cinemático y dinámico del vehículo,

que permitan el seguimiento asintótico de trayectorias preestablecidas.

4. Manejar el sistema de adquisición de datos en tiempo real basado en la tarjeta

controladora DSP DS1103 y el software Control Desk para la instrumentación y

control del vehículo.


- 7 -

5. Implantar las leyes de control en tiempo real en el sistema DSP DS1103 y evaluar el

desempeño del móvil experimentalmente durante tareas de seguimiento de

trayectorias.

1.7 Alcance del trabajo

1. Se construirá e instrumentará un vehículo guiado automáticamente de tipo TWMR

en configuración diferencial.

2. Se comprobará de modo práctico un controlador basado en la retroalimentación

estática y/o dinámica del vector de estados en un sistema no-holonómico.

3. Se aportará una plataforma experimental para probar diferentes estrategias de

control no lineal e implementarlos de manera sencilla en el sistema DSP DS1103

para validar su desempeño.

4. Se aportará una interface gráfica de usuario para el control e interacción entre el

sistema DSP DS1103 y el vehículo móvil.

1.8 Justificación del trabajo

Las aplicaciones de los vehículos guiados automáticamente se encuentran en una etapa de

crecimiento. En los próximos años los vehículos móviles serán cada día más comunes

conforme la tecnología avance y los costos de construcción disminuyan. Por esto, la

importancia de trabajar en esta apasionante área de la robótica.

En la sección 1.1, se mencionaron algunas aplicaciones de los robots móviles. La principal

justificación de este trabajo de investigación, es contar con un vehículo guiado

automáticamente que sirva como plataforma experimental para evaluar diferentes esquemas

de control avanzado, relacionados con el seguimiento de trayectorias, evasión de obstáculos

y planeación de trayectorias. Posteriormente, en trabajos futuros, se irá dotando de otros

accesorios o dispositivos para incrementar o mejorar la autonomía del vehículo

experimental.

Por ejemplo, una aplicación pertinente del vehículo móvil construido en este trabajo de

investigación se enfoca en el prototipo experimental de las empresas norteamericanas

Segway y General Motors, que de manera conjunta han desarrollado un vehículo guiado

automáticamente llamado PUMA (Personal Urban Mobility and Accessibility, por sus

siglas en inglés) y pretenden que este vehículo del tipo TWMR sea el transporte personal

del futuro [Segway].

El PUMA, es un robot móvil de dos ruedas, tal y como el que se desarrolla a lo largo de

este trabajo de tesis. Cuenta con un sistema de auto balanceo capaz de alcanzar velocidades

próximas a las 35 mph y de recorrer 35 millas sin recargar, es ideal para transportar a dos


- 8 -

personas por las congestionadas calles de nuestra ciudad. Frente al conocido Segway

unipersonal aporta varias ventajas: las personas transportadas pueden ir sentadas, es más

rápido y cuenta con una cubierta de plástico para protegerse de las inclemencias

meteorológicas. El prototipo está todavía en una fase inicial. GM y Segway siguen

trabajando en el desarrollo de este producto que, estará a la vanguardia tecnológica en

materia de transporte.

Figura 1.3. Vehículo experimental PUMA

En un futuro en las grandes ciudades, donde más de la mitad de la población mundial

habita, se contará con pequeños y ágiles vehículos eléctricos que navegarán de manera

autónoma, y sabrán dónde otros objetos móviles se encuentran y evitarán coincidir en las

mismas rutas. Estarán conectados todos estos vehículos en una especie de Internet y se

podrá mejorar la capacidad de las personas para moverse en las ciudades, encontrar lugares

donde estacionarse y conectarse a sus redes sociales y de negocios.

Otra aplicación de los vehículos guiados automáticamente con alto impacto y beneficio

social, son los vehículos de transporte y asistencia al usuario. En específico se trata de

vehículos móviles que funcionan como sillas de ruedas robotizadas con asistencia a

pacientes parapléjicos y cuadripléjicos. Este tipo de vehículos se encuentran aún muy

limitados en cuanto a su inteligencia y son costosos.

1.9 Estado del arte

La mayoría de los robots móviles que se han reportado en artículos; construidos y

evaluados, utilizan ruedas para su locomoción. Esto se debe a que los robots móviles con

ruedas son más eficientes en energía que los robots de patas o de orugas en superficies lisas

y firmes [Bekker60][Bekker69]. Por otro lado, los vehículos con ruedas requieren un

número de partes menor y menos complejas, en comparación con los robots de patas o de

orugas, lo que permite que su construcción sea más fácil. Adicionalmente, el control de las


- 9 -

ruedas es menos complejo que la actuación de las patas o de las orugas, además que causan

menor desgaste de la superficie en comparación con las bandas de las orugas [Holland83].

En lo referente a las partes de las que se compone un robot móvil de ruedas, se tiene un

arreglo cinemático y un sistema de actuadores, que dotan de movimiento a la estructura

cinemática. Ambos sistemas están íntimamente ligados y son dignos de estudiarse en

conjunto, no obstante, se ha logrado un mayor avance, en el estado del arte, al estudiarlos

por separado.

1.9.1 Configuraciones cinemáticas de los robots móviles con ruedas

Existen diferentes configuraciones cinemáticas para los vehículos móviles [Azcon03], estas

dependen principalmente de la aplicación del vehículo, no obstante, de manera general se

tienen las siguientes configuraciones: Ackerman, triciclo clásico, tracción diferencial, skid

steer, síncrona y tracción omnidireccional, véase la figura 1.4

(a) Ackerman (b) Triciclo clásico (c) Diferencial

(d) Skid steer (e) Síncrona (f) Omnidireccional

Figura 1.4. Configuraciones de los robots móviles con ruedas

Dependiendo de la configuración cinemática que lo conforme, los robots móviles utilizan

cuatro tipos de ruedas para su locomoción [Goris05], estas son: convencionales, tipo castor,

ruedas de bolas y omnidireccionales, se pueden observar en la figura 1.5

En el marco de las configuraciones cinemáticas posibles y las ruedas que éstas utilizan, los

robots TWMR, documentados en la literatura, utilizan comúnmente la configuración de

tracción diferencial (2,0), figura. 1.4(c), donde se utilizan ruedas convencionales, fig.

1.5(a), como ruedas motrices y una o dos ruedas tipo castor, de bola u omnidireccionales,


- 10 -

figuras 1.5(b), 1.5(c), 1.5(d), respectivamente, para proveer de estabilidad al vehículo. De

esta manera, los robots con dichas características más conocidos en la literatura son:

Shakey [Nilsson84], Newt [Holis97], y Hilare [Giralt79].

Por otro lado, en la literatura se tienen algunos ejemplos de robots móviles con ruedas con

estructuras cinemáticas más complejas, tales como: Terregator [Wallace85], Gemini

[Helmes85], Neptune [Schempf95], Uranus [Martin98], CMU Rover4 [Moravec83] y el

Stanford Cart [Moravec80]. Es destacable el caso particular de los robots de péndulo

invertido, estos robots son balanceados en dos ruedas [Grasser00] o en una sola

[Lauwers06], véase fig 1.2(a) y son capaces de mantener el equilibrio ante perturbaciones

externas. Referente al empleo de ruedas omnidireccionales, se han generado nuevas

configuraciones cinemáticas de los vehículos móviles, en un principio, fueron utilizadas en

sillas de ruedas que eran impulsadas manualmente [Holland83], en la actualidad, no sólo se

emplean para dar estabilidad a plataformas móviles, sino que inclusive, se emplean como

único tipo de ruedas en ciertas configuraciones cinemáticas [Spenko04] y [Oetomo03].

(a) Convencionales (b) Tipo castor

(c) De bola (d) Omnidireccionales

Figura 1.5. Tipos de ruedas de los robots móviles con ruedas

Las configuraciones cinemáticas tienen aplicación en diversas áreas, sin embargo, para este

trabajo es conveniente una variante de la configuración de tracción diferencial que

incorpora un par de ruedas de bola y que utiliza el robot Shakey. Esta configuración es

apropiada debido a que cuenta únicamente con dos ruedas motrices, a diferencia de otras

configuraciones, con lo que se reducen costos de desarrollo y complejidad de control

porque es suficiente un par de actuadores para lograr movimiento, por otro lado, al poseer

dos ruedas de bola, que se encuentran en la parte frontal del vehículo, se brinda estabilidad

4 El CMU Rover también es conocido como Plutón.


- 11 -

al móvil y, aún más conveniente, el movimiento de giro total se simplifica a sólo invertir el

sentido de giro de las ruedas motrices, por lo que no es necesaria propiamente la rotación y

por lo tanto el control de ese movimiento es bastante más sencillo. Aunado a lo anterior, se

consigue un mejor balance del móvil al contar con cuatro puntos de apoyo sobre la

superficie donde se mueve, dos de las ruedas motrices y dos de las ruedas de bola.

Con el objeto de hacer más tratable el problema del modelado en las configuraciones

cinemáticas, se suelen establecer algunas suposiciones de diseño y de operación [Muir92].

En el lado del diseño generalmente se hacen tres suposiciones. La primera va dirigida a

considerar que las partes dinámicas del vehículo son insignificantes, es decir; que no

contiene partes flexibles, de esta manera pueden aplicarse mecanismos de cuerpo rígido

para el modelado cinemático. La segunda limita que la rueda tenga a lo más un eslabón de

dirección, con la finalidad de reducir la complejidad del modelado. La tercera es asumir que

todos los ejes de dirección son perpendiculares a la superficie, de esta manera se reducen

todos los movimientos a un solo plano. Con respecto a las suposiciones de operación, se

tienen igualmente tres suposiciones. Una de ellas descarta toda irregularidad de la

superficie donde se mueve el vehículo. Otra, considera que la fricción de traslación en el

punto de contacto de la rueda con la superficie donde se mueve, es lo suficientemente

grande para que no exista un desplazamiento de traslación del móvil. Como complemento a

lo anterior, una tercer suposición de operación establece que la fricción rotacional en el

punto de contacto de la rueda con la superficie donde se mueve, es lo suficientemente

pequeña para que exista un desplazamiento rotatorio. Aunque las suposiciones

mencionadas son realistas, el deslizamiento que ocurre en el punto de contacto de las

ruedas con la superficie se ha convertido en un tópico importante debido a las repercusiones

que tiene sobre el vehículo. Principalmente, el deslizamiento se presenta debido a las

irregularidades del terreno e influencia al sistema esencialmente en dos factores

[Chakraborty03], el primero ocasiona errores de posicionamiento en los robots móviles que

utilizan odometría para su localización [Borenstein96] y el segundo provoca desperdicio de

energía que es un aspecto fundamental en algunas aplicaciones, como la exploración

planetaria. Es así como algunos investigadores han dedicado esfuerzos para desarrollar

modelos matemáticos complejos para los robots móviles con ruedas convencionales, donde

se toma en cuenta el deslizamiento que existe en el punto de contacto entre la rueda y la

superficie de movimiento [Shekhar97] [Balakrishna95] [Scheding99].

1.9.2 Actuadores de los robots móviles con ruedas

Relativo a los actuadores utilizados para dotar de movimiento a los vehículos móviles, es

común que se utilicen motores eléctricos. Existe una gama bastante amplia dependiendo de

su empleo [Sandin03], los más utilizados en la robótica móvil son los motores de corriente

directa (CD), por el argumento de que su modelo es lineal, lo que facilita enormemente su

control, y específicamente los de imán permanente debido a que el voltaje de control es

aplicado al circuito de armadura y el circuito de campo es excitado de manera

independiente. Hablando de motores de CD de imán permanente, se tienen dos tipos: con

escobillas y sin escobillas. Ambos tipos de motores brindan ventajas semejantes, sin

embargo, los motores sin escobillas tienen algunas ventajas significativas sobre los motores


- 12 -

con escobillas, como por ejemplo: a) al no contar con escobillas, no se requiere el

reemplazo de estas ni mantenimiento por residuos originados de las mismas, b) no

presentan chispas que las escobillas generan, de esta forma se pueden considerar más

seguros en ambientes con vapores o líquidos flamables, c) la interferencia causada por la

conmutación mecánica de las escobillas se minimiza considerablemente mediante una

conmutación electrónica, d) los motores sin escobillas alcanzan velocidades de hasta

50,000 rpm comparadas con las 5,000 rpm aprox. máximas de los motores con escobillas.

A pesar de que estas ventajas parecieran tender la balanza a favor de los motores sin

escobillas, existen desventajas cruciales que pueden cambiar la tendencia: a) en los motores

sin escobillas no se puede invertir el sentido de giro cambiando la polaridad de sus

terminales, esto agrega complejidad y costo a su manejo, b) los motores sin escobillas son

más caros, c) se requiere un sistema adicional para la conmutación electrónica, d) el

controlador de movimiento para un motor sin escobillas es más costoso y complejo que el

de su equivalente con escobillas.

Consecuentemente la justificación para el uso de un tipo de motor u otro vuelve a ser la

aplicación del mismo, para el objetivo del presente trabajo, los motores de corriente directa

de imán permanente con escobillas son idóneos debido a la simpleza de su manejo, costo y

que sus características satisfacen las expectativas del prototipo. Al igual que en el arreglo

cinemático, cuando se modela un motor de CD se asumen algunas consideraciones, de esta

forma se establece que la única fricción presente es la viscosa, aunque en la práctica se

involucran otros tipos de fricción no lineales, sin embargo, la suposición es válida al elegir

un motor cuyo efecto de las fricciones no lineales sea muy pequeño. Cabe destacar que los

problemas referidos a la fricción no lineal son más evidentes cuando se trabaja con

velocidades pequeñas, esto repercute como un error de posición en estado estacionario, al

tratar de regular la posición del motor. Una contribución original de este trabajo es incluir

un modelo dinámico de compensación de fricción de los servomotores del vehículo, a

diferencia de la mayoría de trabajos con robots móviles en donde no consideran el efecto de

la fricción.

1.9.3 Control de los robots móviles con ruedas

Existen diversos trabajos donde se describen diferentes técnicas de control para los robots

móviles con ruedas, se mencionarán algunos de los más relevantes que se encuentran en la

literatura y se pondrá especial énfasis en los trabajos referentes a los robots móviles de tipo

TWMR y seguimiento de trayectoria debido a la naturaleza de este trabajo.

Sobre la localización en los robots móviles se han aplicado técnicas [Aguiar00]

[Borenstein95] [Jaquez05], basadas en visión artificial. Así mismo, técnicas para

planificación de trayectorias, se reportan en [Payne04]. Algunos trabajos abarcan tanto la

planificación como el seguimiento de trayectoria, tal es el caso de [Fabio05], en donde

además de la planificación de trayectoria se aplicaron técnicas de inteligencia artificial para

el seguimiento de la misma, de igual forma, en [Guzmán03] además de la planificación de

la trayectoria, se llevó a cabo el seguimiento de esta mediante el método de persecución

pura.


- 13 -

En relación puntual al tópico de seguimiento de trayectoria, existen diferentes métodos para

lograr esta tarea, por una parte en [Barea05] se utilizan técnicas de electroculografía para

enviar comandos que son interpretados por el móvil, en otras palabras, el control se realiza

mediante la posición del ojo dentro de su órbita, así mismo, un control mediante campos

adaptativos de velocidad y un controlador diferenciable se propuso en [Dixion05], esta

técnica se basa en el control de campos de velocidad (VFC, por sus siglas en ingles) junto

con un control adaptativo, aquí la trayectoria deseada se describe por un vector de

velocidad tangente y la principal ventaja del VFC reside en el hecho de que el error en el

control del campo de velocidad impide eficientemente que el robot deje la trayectoria

deseada. En el trabajo [Seyr05] se muestra un método basado en control predictivo para

solucionar el problema del control no-holónomo, se emplea un algoritmo de Gauss-Newton

para el control predictivo lo que permite al control minimizar el error de posición. Por otro

lado, en [Dongbing06] se presenta un controlador de modelo predictivo o Receding

Horizon (RH). Este tipo de control es frecuentemente utilizado en la optimización de

técnicas de control en la industria, se diseña principalmente para tratar el problema de

restricciones y se trata de un algoritmo de mejora que predice las salidas del sistema en

base a los estados que en ese momento estén presentes y al modelo propio del sistema. Uno

de los métodos más empleados en el seguimiento de trayectoria es el de persecución pura

(pure pursuit), ver [Amidi90], este método genera arcos entre el punto de desplazamiento

del móvil y los puntos de la trayectoria a seguir, los arcos se generan de 10 a 15 veces por

segundo lo que resulta en un seguimiento suave y con muy buenos resultados. Otro método

para el seguimiento de trayectoria es conocido como ajuste de polinomios de quinto orden

(Quintic Polynomial Fit). Otro trabajo interesante se encuentra en la referencia [X-Li05],

donde se propuso un control lineal por retroalimentación proporcional para lograr que el

móvil empujara una pelota sobre una trayectoria preestablecida. Cabe mencionar los

trabajos con robots móviles que se enfocan al control a través de Internet [Khamis03].

Como otra vertiente y por último, un trabajo en donde se utiliza un vehículo guiado

automáticamente como plataforma móvil para transportar un brazo robótico se encuentra en

[Holmberg03].

Una vez que se tiene un panorama vasto sobre el estado del arte en cuanto a los robots

móviles con ruedas, uno de los objetivos de este trabajo, enmarcado en el área de control,

es precisamente diseñar un control para el problema de seguimiento de trayectorias en el

plano cartesiano de un vehículo móvil con ruedas de tracción diferencial tipo TWMR. De

esta manera es importante recordar que, como ya se mencionó, un robot móvil con

características mecatrónicas, está conformado por un arreglo cinemático, sensores y un

sistema de actuadores.

Referente al modelo cinemático, se propone un control no lineal que permita llevar las

variables de estado del vehículo, (x, y, ), a que sigan una trayectoria deseada (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑)

bajo la condición de que el móvil se encuentre inicialmente sobre un punto de dicha

trayectoria o cercana a ella.

En lo que respecta al modelo dinámico de los actuadores del vehículo móvil, se propone un

controlador Proporcional Integral Derivativo, PID. Este controlador lleva a cabo la tarea de

seguimiento de los perfiles de velocidad angular requeridos por el modelo cinemático del

robot móvil, es decir; wd y wi. Es importante remarcar que en la mayoría de los trabajos


- 14 -

reportados no se estudia el modelo dinámico de los motores del robot ya que se trabaja con

robots comerciales que ya incluyen el control de estos.

1.10 Estructura del documento

En este capítulo, se ha mostrado un panorama general de los vehículos guiados

automáticamente o robots móviles. Se describió el planteamiento del problema, hipótesis,

objetivos, metas y alcances del trabajo. En los siguientes capítulos se presenta el desarrollo

de la tesis y los resultados obtenidos. A continuación se describe la manera en que está

organizado el presente trabajo:

En el Capítulo 2 se muestra la obtención del modelo cinemático y dinámico del vehículo

guiado automáticamente. Se desarrolla el modelo dinámico de los motores eléctricos de

corriente directa que serán parte fundamental del vehículo. Además se muestra un modelo

para la compensación de las fuerzas de fricción producidas por el reductor mecánico del

servomotor.

En el Capítulo 3 se desarrollan diferentes esquemas de control para el modelo cinemático y

dinámico del vehículo. Se diseña un esquema de control en cascada. La primera parte de

este esquema, está formada por un lazo externo de control asociado al modelo cinemático

del vehículo y por un controlador basado en retroalimentación estática y/o dinámica del

estado. La segunda parte, está formada por un lazo de control interno basado en un

controlador PID asociado al modelo dinámico de los motores, y se encarga de generar los

perfiles de velocidad de las ruedas del vehículo. Por otra parte, se diseña un esquema de

control de estructura variable que conmuta entre dos leyes de control no lineales para

garantizar la convergencia de las tres variables de estado (x, y, ) del vehículo.

En el Capítulo 4 se detalla el diseño y construcción del prototipo de vehículo guiado

automáticamente. En este capítulo se describen los sistemas que conforman al prototipo, así

como los actuadores, sensores, la instrumentación y la interface PC-VGA usadas. Además,

se explican algunas consideraciones sobre la implementación de los esquemas de control en

tiempo real.

En el Capítulo 5 se muestran los resultados en simulación y en tiempo real de los esquemas

de control desarrollados para el vehículo. Los resultados en simulación corresponden a los

resultados producidos por los diferentes esquemas de control diseñados. Además, se

presentan los resultados experimentales en tiempo real que corresponden a los dos

esquemas de control implementados para el seguimiento de trayectorias.

En el Capítulo 6 se presentan las conclusiones, objetivos cubiertos, aportaciones, limitantes

y los trabajos futuros derivados de este trabajo de investigación.


- 15 -

Capítulo

2

Modelado

2.1 Introducción

En este capítulo se desarrollan los modelos matemáticos de los subsistemas que conforman

al vehículo guiado automáticamente, y que son necesarios para diseñar los esquemas de

control del mismo.

Se considera un vehículo guiado automáticamente o robot móvil con dos ruedas de tracción

en configuración diferencial (2,0). En la parte frontal del vehículo se tienen dos ruedas

omnidireccionales que se usan para equilibrar la plataforma móvil.

En primer lugar, se obtiene el modelo cinemático a partir de la teoría de la mecánica

clásica. Posteriormente se obtiene su modelo dinámico bajo ciertas consideraciones no-

holonómicas y con base en las ecuaciones de movimiento LaGrange.

A diferencia de otros trabajos de robots móviles, aquí se presenta el modelo dinámico de

los motores de corriente directa que proveen al vehículo de locomoción, mismo que servirá

para realizar las simulaciones correspondientes.

Otro aspecto importante en el modelado del vehículo, es la compensación de fuerzas de

fricción. En el capítulo 4 será mostrado que el desempeño del móvil se ve afectado durante

el seguimiento de trayectorias debido a las fuerzas de fricción internas del reductor

mecánico.

En la sección 2.2 se encuentra un modelo cinemático para la localización y orientación en

el plano cartesiano del vehículo. En la sección 2.3 se describe el modelo dinámico del

vehículo. En la sección 2.4 se muestra el modelo dinámico de los motores de corriente

directa. En la sección 2.5 se describe un modelo de compensación de fricción usado para

compensar las fuerzas de fricción en los actuadores del vehículo.

Capítulo 2. Modelado

- 16 -

2.2 Modelado del vehículo guiado automáticamente

El vehículo móvil bajo estudio tiene dos llantas traseras, izquierda y derecha, idénticas que

son paralelas entre sí, unidas por un eje, pero con giro independiente. Además, usa un par

de ruedas frontales omnidireccionales que asegura que la plataforma del robot se encuentre

sobre el plano XY.

Se considera que las ruedas motrices del vehículo son lo suficientemente rígidas, no

deformables y que giran sin deslizarse sobre la superficie en la cual se mueven, además de

que el espacio de trabajo es perfectamente plano y sin inclinaciones.

dw

iw vw

l

x

y

X

Y

r

Figura 2.1. Localización del vehículo sobre el plano

2.2.1 Modelo cinemático

La cinemática es el estudio del movimiento del vehículo sin considerar las fuerzas que lo

ocasionan [Craig06]. Su análisis se basa en las variables de posición junto con sus

derivadas (velocidad, aceleración, etc.). Existen dos enfoques dentro de la cinemática,

llamados cinemática directa y cinemática inversa.

El problema de la cinemática directa consiste en calcular la posición y orientación del

vehículo respecto a un marco de coordenadas fijo, que sin pérdida de generalidad es el

origen del plano XY. A diferencia de los brazos manipuladores, donde se utilizan matrices

de transformación homogénea para determinar los movimientos básicos del brazo

manipulador; en la robótica móvil la cinemática directa puede verse como una


- 17 -

transformación que mapea pares de trayectorias de velocidad 𝑣 𝑡 , 𝑤 𝑡 del vehículo, en

trayectorias recorridas por el vehículo en el espacio cartesiano, es decir;

Ψ: 𝑣 𝑡 , 𝑤 𝑡 → 𝑋 𝑡 = [𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝜑 𝑡 ] (2.1)

Para mayor claridad, se analiza la situación del vehículo sobre el plano XY, véase la figura

2.1. La posición y orientación del vehículo puede describirse por las coordenadas 𝑥 , 𝑦 que denotan la posición del punto medio del eje que une las dos ruedas traseras, con

respecto al sistema de referencia fijo XY y el ángulo 𝜑 que forma el eje de simetría del

vehículo con respecto al eje X positivo [Canudas96], [Bastin91]. En dicha figura se definen

las siguientes variables.

𝑣(𝑡) velocidad lineal del punto medio del vehículo

𝑤(𝑡) velocidad angular del punto medio del vehículo

𝑤𝑑(𝑡) velocidad angular de la rueda derecha

𝑤𝑖(t) velocidad angular de la rueda izquierda

𝑟 es el radio de las ruedas

𝑙 distancia de separación entre el eje medio del vehículo y la rueda de tracción

La velocidad lineal 𝑣 está formada por las proyecciones de 𝑣 según los ejes X e Y, es decir

𝑥 y 𝑦 . La velocidad angular 𝑤 es igual a la razón de cambio de 𝜑 con respecto al tiempo, la

cual se denota como . Por inspección de la Figura 2.1, se encuentra que 𝑥 , 𝑦 y , pueden

escribirse de la siguiente manera:

𝑥 = 𝑣 cos () (2.2)

𝑦 = 𝑣 sen () (2.3)

𝜑 = 𝑤 (2.4)

En el modelo cinemático dado por (2.2), (2.3) y (2.4), las variables de interés son 𝑣 y 𝑤.

Sin embargo, la velocidad lineal y el cambio de dirección del vehículo se obtienen por

diferencia de velocidades angulares izquierda y derecha, 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 , correspondientes a la

velocidad de las ruedas.

A continuación, se presenta una derivación de las ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4), para

encontrar la relación de 𝑣 y 𝑤 con las velocidades angulares 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 . Para este propósito,

únicamente se consideran las llantas traseras del móvil y se supone que sobre cada una de

estas actúa una fuerza 𝐹 𝑖 y 𝐹 𝑑 que proporcionan las velocidades dadas, 𝑣 𝑖 y 𝑣 𝑑 ,

respectivamente. Ver figuras 2.2(a) y 2.2(b). Usando como coordenadas generalizadas a

𝑥 , 𝑦 , 𝜑 , se encuentra que la posición de los puntos de contacto de cada una de las llantas

respecto al plano de referencia XY está dada por,

𝑟 𝑖 = 𝑥 − 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑥 + 𝑦 + 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 , (2.5)

𝑟 𝑑 = 𝑥 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑥 + 𝑦 − 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 ,


- 18 -

Donde 𝑥 y 𝑦 son vectores unitarios que indican las componentes asociadas a los ejes de

referencia XY. 𝑟 𝑖 y 𝑟 𝑑 indican la posición en el plano XY del punto de contacto de la rueda

izquierda y derecha, respectivamente. Además, se encuentra que si m es la masa de cada

una de las llantas, entonces la energía cinética del sistema está dada por

𝑇 =𝑚

2 𝑟 𝑖

2+ 𝑟 𝑑

2 = 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑙2𝜑2 (2.6)

d

F

i

d

x

y

X

Y

m

m

F

F

r

r

ri

l

i

d

x

y

X

Y

v

r

r

ri

dv

v

l

(a) Diagrama de fuerzas (b) Diagrama de velocidades

Figura 2.2. Diagrama de fuerzas y velocidades asociadas al RMR.

De acuerdo con la teoría de LaGrange de la mecánica clásica, las ecuaciones de

movimiento del sistema físico están dadas por

𝑑

𝑑𝑡 𝜕𝑇

𝜕𝑥 −

𝜕𝑇

𝜕𝑥 = 𝑄𝑥

(2.7) 𝑑

𝑑𝑡 𝜕𝑇

𝜕𝑦 −

𝜕𝑇

𝜕𝑦 = 𝑄𝑦

𝑑

𝑑𝑡 𝜕𝑇

𝜕𝜑 −

𝜕𝑇

𝜕𝜑 = 𝑄𝜑

donde 𝑄𝑥 , 𝑄𝑦 , 𝑄𝜑 , son las denominadas componentes de la fuerza generalizada, las cuales

están dadas por,

𝑄𝑥 = 𝐹 𝑖 ∙𝜕𝑟 𝑖𝜕𝑥

+ 𝐹 𝑑 ∙𝜕𝑟 𝑑𝜕𝑥

= 𝐹 𝑖 + 𝐹 𝑑 ∙ 𝑥

(2.8) 𝑄𝑦 = 𝐹 𝑖 ∙𝜕𝑟 𝑖𝜕𝑦

+ 𝐹 𝑑 ∙𝜕𝑟 𝑑𝜕𝑦

= 𝐹 𝑖 + 𝐹 𝑑 ∙ 𝑦

𝑄𝜑 = 𝐹 𝑖 ∙𝜕𝑟 𝑖𝜕𝜑

+ 𝐹 𝑑 ∙𝜕𝑟 𝑑𝜕𝜑

= 𝑙 𝐹 𝑖 + 𝐹 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑦


- 19 -

Usando las ecuaciones (2.5) a (2.8), se encuentra que las ecuaciones de movimiento están

dadas por,

2𝑚𝑥 = 𝐹 𝑖 + 𝐹 𝑑 ∙ 𝑥

(2.9) 2𝑚𝑦 = 𝐹 𝑖 + 𝐹 𝑑 ∙ 𝑦

2𝑚𝑙2𝜑 = 𝑙 𝐹 𝑖 + 𝐹 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑦

Puesto que 𝐹 𝑖 , 𝐹 𝑑 son las fuerzas que actúan sobre las llantas izquierda y derecha

respectivamente, proporcionando las velocidades 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑑 , entonces

𝐹 𝑖 = 𝑚𝑣 𝑖 = 𝑚𝑣 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑦 (2.10)

𝐹 𝑑 = 𝑚𝑣 𝑑 = 𝑚𝑣 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑦

Donde 𝑣 𝑖 𝑦 𝑣 𝑑 , son las magnitudes de aceleraciones de las llantas izquierda y derecha,

respectivamente. Usando (2.6) y (2.7), después de realizar una integración respecto al

tiempo y simplificar, se encuentra que

2𝑥 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑐𝑥

(2.11) 2𝑦 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝑐𝑦

2𝑙𝜑 = 𝑣𝑑 − 𝑣𝑖 𝑐𝜑

donde 𝐶𝑥 , 𝐶𝑦 y 𝐶𝜑 son tres constantes de integración.

Finalmente, 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 son las velocidades angulares de las llantas izquierda y derecha,

respectivamente, la condición de rodadura sin deslizamiento es equivalente a imponer que,

𝑣𝑖 = 𝑟𝑤𝑖 (2.12)

𝑣𝑑 = 𝑟𝑤𝑑

de donde se obtiene que las ecuaciones del modelo cinemático cuando las constantes de

integración 𝐶𝑥 , 𝐶𝑦 y 𝐶𝜑 son iguales a cero, están dadas por

𝑥 = 𝑤𝑑 + 𝑤𝑖 𝑟

2𝑐𝑜𝑠𝜑 (2.13)

𝑦 = 𝑤𝑑 + 𝑤𝑖 𝑟

2𝑠𝑒𝑛𝜑 (2.14)

𝜑 = 𝑤𝑑 − 𝑤𝑖 𝑟

2𝑙 (2.15)


- 20 -

Recordemos que 𝑥, 𝑦 denotan la posición del punto medio del vehículo, que a su vez

también representa el centro de masa de la plataforma incluidas las llantas traseras del

móvil. De (2.13) y (2.14) se obtiene que la magnitud 𝑣, de la velocidad de este punto está

dada por:

𝑣 = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑤𝑑 + 𝑤𝑖 𝑟

2 (2.16)

Por otra parte, 𝑤 es igual a la magnitud de la velocidad angular con la que el eje de simetría

del móvil rota con respecto al sistema de referencia inercial XY. Por lo tanto, se tiene la

siguiente relación.

l

rwww id

2

)( (2.17)

Las ecuaciones (2.16) y (2.17), se pueden reescribir en forma matricial de la siguiente

manera:

𝑣𝑤 = 𝑇

𝑤𝑑

𝑤𝑖 =

𝑟

2

𝑟

2𝑟

2𝑙−

𝑟

2𝑙

𝑤𝑑

𝑤𝑖 (2.18)

La transformación 𝑇 es no singular para todo 𝑟 > 0, 𝑙 > 0, por lo tanto, cualquier valor de

las velocidades 𝑣 y 𝑤 pueden ser obtenidos mediante una adecuada selección de las

variables 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 .

Por otra parte, dada una trayectoria deseada o nominal 𝑋𝑑 𝑡 = [𝑥𝑑 𝑡 , 𝑦𝑑 𝑡 , 𝜑𝑑 𝑡 ], se

puede decir que el problema de la cinemática inversa consiste en encontrar un perfil de

velocidad 𝑣𝑑 𝑡 , 𝑤𝑑 𝑡 , que genere la posición y orientación deseada del vehículo, es

decir:

Ψ 𝑣𝑑 𝑡 , 𝑤𝑑 𝑡 = 𝑋𝑑 𝑡 (2.19)

de otra manera,

𝑥 𝑑(𝑡)𝑦 𝑑(𝑡)𝜑 𝑑(𝑡)

= cos 𝜑𝑑 𝑡 0

𝑠𝑒𝑛 𝜑𝑑 𝑡 00 1

𝑣𝑑 𝑡

𝑤𝑑 𝑡 (2.20)

Esto es precisamente el propósito de los esquemas de control que se desarrollan en el

capítulo 3. Dada una trayectoria conocida 𝑋𝑑 𝑡 , se obtienen sus derivadas respecto al

tiempo 𝑥 𝑑 𝑡 , 𝑦 𝑑 𝑡 , 𝜑 𝑑 𝑡 y por algún método se someten a control hasta lograr que las

variables de salida del vehículo 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑦 𝜑 𝑡 sigan asintóticamente los valores

nominales de la trayectoria conocida. Esto es 𝑥 𝑡 → 𝑥𝑑 𝑡 , 𝑦 𝑡 → 𝑦𝑑 𝑡 , 𝜑 𝑡 → 𝜑𝑑 𝑡 ,

cuando 𝑡 → ∞.

Para el diseño de los esquemas de control del vehículo, se emplea básicamente el modelo

cinemático dado por las ecuaciones (2.2), (2.3), (2.4), (2.16) y (2.17). [Bastin91]

[Canudas96].


- 21 -

2.2.2 Modelo dinámico

El modelo dinámico del vehículo guiado automáticamente considera la evolución de su

posición 𝑥 , 𝑦 y orientación 𝜑, así como la evolución de sus velocidades lineal 𝑣, angular

𝑤 y sus respectivas aceleraciones 𝑣 𝑦 𝑤 , además del peso provocado por los elementos

montados en el vehículo, todo ello en respuesta a los pares de actuación 𝜏𝑖 𝑦 𝜏𝑑 de las

ruedas izquierda y derecha respectivamente. En general, usando la segunda ley de Newton,

el movimiento de un vehículo esta dado por; [Mehrdad80]

𝑀𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐹𝑡 − 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛 𝛼 −

1

2𝜌𝐴𝐶𝑉2 − 𝑚𝑔𝑓𝑟 cos 𝛼 (2.21)

Donde;

𝑑𝑣

𝑑𝑡 aceleración lineal del vehículo

𝑚 masa del vehículo

𝐹𝑟 fuerza por resistencia de rodamiento de las ruedas, dada por: 𝑚𝑔𝑓𝑟 cos 𝛼

𝐹𝑎 fuerza por resistencia aerodinámica, dada por: 1

2𝜌𝐴𝐶𝑉2

𝐹𝑔 fuerza por resistencia en pendientes, dada por: 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐹𝑡 fuerza de tracción total

𝑔 fuerza de gravedad

𝑓𝑟 coeficiente de resistencia por rodamiento

𝛼 ángulo de inclinación del terreno

𝜌 densidad del aire

𝐴 área frontal del vehículo

𝐶 coeficiente de resistencia aerodinámica

𝑉 velocidad del vehículo

En la figura 2.3, se ilustra la situación del vehículo guiado automáticamente y las fuerzas

que intervienen durante su locomoción.

Debido a que el vehículo desarrollado en este trabajo tiene fines experimentales. Se toman

en cuenta las consideraciones siguientes:

1) El plano XY sobre el cual se desplaza el vehículo es completamente uniforme y

paralelo al eje X (sin pendientes)

2) El coeficiente de fricción entre las ruedas y el piso puede ser despreciado

3) La velocidad y área frontal del vehículo son pequeñas por lo que la resistencia

aerodinámica se puede despreciar


- 22 -

La expresión (2.21) se reduce a:

𝑀𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐹𝑖 + 𝐹𝑑 (2.22)

Donde 𝐹𝑖 𝑦 𝐹𝑑 básicamente son las fuerzas (torques) producidas por el motor izquierdo y

motor derecho del vehículo, respectivamente.

Figura 2.3. Fuerzas que actúan sobre el vehículo

En principio la ecuación (2.22) sirve para encontrar de una manera sencilla la velocidad y

aceleración del vehículo, a partir de las fuerzas generadas en cada rueda de tracción; sin

embargo el objetivo de esta tesis es que el VGA realice el seguimiento de una trayectoria

deseada sobre el plano XY, por lo que se deben involucrar a las variables de estado del

vehículo.

Bajo la consideración anterior, el formalismo de LaGrange puede ser aplicado para

encontrar el modelo dinámico del vehículo; el cual puede ser descrito por la siguiente forma

de ecuaciones dinámicas [Gholipour02].

𝑀 𝑞 𝑞 + 𝐶 𝑞, 𝑞 𝑞 + 𝐺 𝑞 = 𝐵 𝑞 𝜏 + 𝐴𝑇(𝑞)𝜆 (2.23)

Donde;

𝑀 𝑞 matriz de inercia, simétrica y definida positiva

𝐶 𝑞, 𝑞 matriz de las fuerzas de coriolis y centrífugas

𝐺 𝑞 vector de pares gravitacionales

𝐵 𝑞 matriz de transferencia de las entradas

𝜏 vector dimensional de fuerzas generalizadas

𝐴𝑇 matriz Jacobiana de las restricciones de movimiento

𝜆 vector de restricciones de fuerzas

El esquema del modelo dinámico dado en (2.23) resulta ser similar al utilizado de forma

general con los robots manipuladores. Las diferencias se encuentran en el miembro derecho

de la ecuación, donde se tienen en cuenta dos hechos exclusivos de los robots móviles, a

Fa

V

mg

Ft

Fg

mgcos

mgsen α

α

α FrFr


- 23 -

saber; no todas las ruedas tienen porqué estar actuadas y, existen restricciones no-

holónomas al movimiento del robot.

Para comenzar con la obtención de las ecuaciones de movimiento y las ecuaciones de

restricción de movimiento del vehículo se define la siguiente notación.

𝑙 distancia entre el eje de simetría del vehículo y la rueda de tracción

𝑑 distancia a lo largo del eje de simetría del punto medio del eje de las ruedas

hasta el centro de masa del vehículo

𝑟 radio de las ruedas

𝑚 masa total del vehículo

𝑚𝑝 masa de la plataforma del vehículo

𝑚𝑅 masa de la rueda incluido el motor

𝐼𝑝 momento de inercia de la plataforma, tomada alrededor del eje vertical que

intersecta el eje de simetría con el eje de las ruedas

𝐼𝑅 momento de inercia de cada rueda de tracción incluido el rotor del motor

alrededor del eje de la rueda

𝐼𝑚 momento de inercia de cada rueda de tracción incluido el eje del motor tomado

sobre el diámetro de la rueda

El vehículo de tipo TWMR presenta tres restricciones de movimiento; dos no-holonómicas

y una holonómica [Yamamoto03].

La primera es que el vehículo no se puede mover de forma lateral, solo lo puede hacer hacia

adelante y hacia atrás, esto se representa como,

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜑 − 𝑦 cos 𝜑 = 0 (2.24)

Donde las coordenadas 𝑥 , 𝑦 corresponden al punto medio del eje de las ruedas y 𝜑 es el

ángulo de orientación del vehículo con respecto al eje X. Las otras dos restricciones están

asociadas a las condiciones de rodadura (sentido de giro) y de no deslizamiento de las

ruedas de tracción del vehículo como,

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑 + 𝑙𝜑 = 𝑟𝜃 𝑑 (2.25)

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑 − 𝑙𝜑 = 𝑟𝜃 𝑖 (2.26)

Donde, 𝜃𝑑 y 𝜃𝑖 son las posiciones angulares de las ruedas de tracción derecha e izquierda,

respectivamente.

Para obtener la restricción holonómica, se resta (2.25) de (2.26),

2𝑙𝜑 = 𝑟(𝜃 𝑑 − 𝜃 𝑖) (2.27)

Se integra (2.27) con las condiciones iniciales apropiadas para 𝜑 , 𝜃𝑑 y 𝜃𝑖 , y se obtiene la

primer restricción holonómica para el vehículo dada por,


- 24 -

𝜑 =𝑟

2𝑙(𝜃𝑑 − 𝜃𝑖) (2.28)

La segunda y tercera restricción no-holonómica están dadas por,

𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜑 − 𝑥 cos 𝜑 = 0 (2.29)

𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜑 =𝑟

2 (𝜃 𝑑 − 𝜃 𝑖) (2.30)

La ecuación no-holonómica dada en (2.29) se obtiene al sumar (2.25) y (2.26).

Rescribiendo las ecuaciones no-holonómicas (2.29) y (2.30) en forma matricial,

𝐴 𝑞 𝑞 = 0 (2.31)

con las coordenadas generalizadas siguientes,

𝑞 =

𝑞1

𝑞2𝑞3

𝑞4

=

𝑥𝑦𝜃𝑑

𝜃𝑖

(2.32)

La matriz 𝐴 𝑞 es la matriz Jacobiana de las restricciones de movimiento,

𝐴 𝑞 = 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

𝑎13 𝑎14

𝑎23 𝑎24 =

− 𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos 𝜑− cos 𝜑 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑

0 0𝑟

2 𝑟

2 (2.33)

Entonces,

𝐴 𝑞 𝑞 = − 𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos 𝜑− cos 𝜑 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑

0 0𝑟

2 𝑟

2

𝑥 𝑦

𝜃 𝑑𝜃 𝑖

= 0 (2.34)

Ahora bien, para continuar con la formulación de LaGrange, se obtiene la energía cinética

de la plataforma incluidas las ruedas, la cual está dada por,

𝑇 =1

2𝑚 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑚𝑝

𝑟

2𝑙 𝜃 𝑑 + 𝜃 𝑖 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜑 +

1

2𝐼𝑅 𝜃 𝑑

2 + 𝜃 𝑖2

+1

2𝐼𝑝

2 𝜃 𝑑 + 𝜃 𝑖 2

(2.35)

Con,

𝑚 = 𝑚𝑝 + 2𝑚𝑅 (2.36)

𝐼 = 𝐼𝑝 + 2𝑚𝑅𝑙2 + 2𝐼𝑚 (2.37)


- 25 -

Complementando las ecuaciones de movimiento de LaGrange que gobiernan al vehículo

no-holonómico se tiene,

𝑑

𝑑𝑡 𝜕𝑇

𝜕𝑞 𝑖 −

𝜕𝑇

𝜕𝑞𝑖 = 𝜏𝑖 − 𝑎1𝑖𝜆1 − 𝑎2𝑖𝜆2 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, … 4 (2.38)

Donde

𝑞𝑖 son las coordenadas generalizadas definidas en la ecuación (2.32), 𝜏𝑖 son las fuerzas

generalizadas, 𝑎1𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, . . .4 son los cofactores de la matriz de restricciones de la

ecuación (2.33), 𝜆1 𝑦 𝜆2 son los multiplicadores de LaGrange.

Sustituyendo la ecuación de la energía cinética (2.35) en la ecuación de movimiento de

LaGrange (2.38) se tiene,

𝑚𝑦 − 𝑚𝑝𝑑 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝜑 2 cos 𝜑 = 𝜆1𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝜆2𝑐𝑜𝑠𝜑 (2.39)

𝑚𝑥 − 𝑚𝑝𝑑 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 𝜑 2𝑠𝑒𝑛𝜑 = −𝜆1𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜆2𝑠𝑒𝑛𝜑 (2.40)

𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑 𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑦 2𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝐼𝑝

2 + 𝐼𝑅 𝜃 𝑑 − 𝐼𝑝2𝜃 𝑖 = 𝜏1 −

𝑟

2 𝜆2 (2.41)

−𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑 𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑦 2𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝐼𝑝

2𝜃 𝑑 + 𝐼𝑝2 + 𝐼𝑅 𝜃 𝑖 = 𝜏2 −

𝑟

2 𝜆2 (2.42)

Donde, 𝜏1 y 𝜏2 son los torques que actúan en las ruedas, es decir; 𝜏𝑑 y 𝜏𝑖 , respectivamente.

Finalmente, se puede escribir las ecuaciones dinámicas del vehículo usando la ecuación

(2.23). Se considera que el término de pares gravitacionales 𝐺 𝑞 es cero y el término de

restricciones de movimiento 𝐴 𝑞 esta dado en la ecuación (2.33),

𝑀 𝑞 =

𝑚 0

0 𝑚

−𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑𝑠𝑒𝑛𝜑

𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑𝑐𝑜𝑠𝜑

−𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑚𝑝

𝑟


𝑚𝑝

𝑟

2𝑙𝑑𝑠𝑒𝑛𝜑 −𝑚𝑝

𝑟


𝐼𝑝2 + 𝐼𝑅 −𝐼𝑝

2

−𝐼𝑝2 𝐼𝑝

2 + 𝐼𝑅

(2.43)

𝐶 𝑞, 𝑞 =

−𝑚𝑝𝑑𝜑

2𝑐𝑜𝑠𝜑

−𝑚𝑝𝑑𝜑 2𝑠𝑒𝑛𝜑

00

(2.44)

𝐵 𝑞 =

0 00 010

01

(2.45)


- 26 -

𝜏 = 𝜏𝑑𝜏𝑖

(2.46)

𝜆 = 𝜆1

𝜆2 (2.47)

En cuanto a la dinámica, resulta muy complicado tener en cuenta todos los efectos que se

producen en el vehículo, y en particular la interacción con el terreno. Asimismo, aunque se

posea un modelo preciso, la cantidad de parámetros que entran en juego hacen poco factible

la verificación del mismo. Así, se tiende a considerar que, cuando el robot móvil navega

con una velocidad reducida, muchos de los comportamientos no lineales resultan

despreciables.

En particular, el problema de la dinámica del vehículo es bastante complejo y resulta

sumamente interesante su estudio. Sin embargo, con el propósito de alcanzar las metas de

esta tesis, se ha decidido acotar los esquemas de control únicamente para los modelos

cinemático y dinámico de los motores.

2.3 Modelo dinámico de los motores de corriente directa

El vehículo guiado automáticamente utilizará como actuadores un par de motores de

corriente directa de imán permanente. Por lo tanto, es necesario obtener un modelo

dinámico que describa la relación funcional entre el voltaje de armadura aplicado al motor

y la velocidad desarrollada por el mismo.

Este análisis es necesario ya que el esquema de control propuesto está formado por dos

lazos de control y uno de ellos se encarga de controlar la velocidad de los motores. Por otra

parte es necesario contar con este modelo dinámico para realizar las simulaciones

numéricas correspondientes. Este modelado es una contribución más del trabajo de tesis. A

diferencia de otros trabajos en donde desprecian la inductancia de armadura y se aproxima

el modelo del motor a una función de transferencia de primer orden, o simplemente obvian

este modelo ya que experimentan con robots móviles comerciales.

En un motor de imán permanente el circuito de campo se reemplaza por imanes

permanentes. Véase figura 2.4. EL flujo magnético 𝜑 es constante por lo tanto su velocidad

solo se puede controlar variando su voltaje de armadura o su resistencia de armadura

[Ogata98][Dorf02][Krishnan01].

La ecuación diferencial que define el comportamiento del inducido del motor de corriente

directa es:

𝐿𝑎

𝑑𝑖𝑎𝑑𝑡

= 𝑉𝑎 − 𝑅𝑎 𝑖𝑎 − 𝑒𝑔 (2.48)


- 27 -

Donde:

𝑉𝑎 voltaje de armadura o de entrada

𝐿𝑎 inductancia de armadura

𝑖𝑎 corriente de armadura

𝑅𝑎 resistencia de armadura

𝑒𝑔 fuerza contraelectromotríz

Jm

BmTm

q

w

R

L a

a

ai

aV

ge Tem

Figura 2.4. Esquemático de un motor de imán permanente

Por otra parte la fuerza contraelectromotríz (CFEM) es proporcional a la velocidad angular

𝑑

𝑑𝑡𝜃 del motor y sus variaciones dependen de mK , constante contraelectromotríz.

𝑒𝑔 = 𝐾𝑚

𝑑

𝑑𝑡𝜃 (2.49)

La ecuación mecánica que define el movimiento de giro del motor está dada por:

𝜏𝑒𝑚 = 𝜏𝑚 − 𝜏𝑟 = 𝐽𝑚𝑑2𝜃

𝑑𝑡+ 𝐵𝑚

𝑑𝜃

𝑑𝑡 (2.50)

Con,

𝜏𝑒𝑚 par incluida la carga

𝜏𝑚 par electromagnético del motor

𝜏𝑟 par resistente ofrecido por la carga

mJ momento de inercia del motor

mB fricción del motor


- 28 -

El par del motor es proporcional a la corriente que circula por su devanado y sus

variaciones dependen de la constante del motor mK por lo tanto,

𝜏𝑒𝑚 = 𝐾𝑚 𝑖𝑎 (2.51)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores, el modelo dinámico completo expresado en

notación matricial queda,

𝑑

𝑑𝑡

𝑖𝑎(𝑡)ω𝑚 (𝑡)𝜃𝑚 (𝑡)

=

−

𝑅𝑎

𝐿𝑎−

𝐾𝑚

𝐿𝑎0

𝐾𝑚

𝐽𝑚

𝐵𝑚

𝐽𝑚0

0 1 0

𝑖𝑎(𝑡)𝜔𝑚(𝑡)𝜃𝑚 (𝑡)

+

1

𝐿𝑎

00

𝑉a 𝑡 (2.52)

Se instalaron en el vehículo dos motores marca Japan Servo, modelo: DME60B6HF-112

[JapanServo]. Los parámetros del motor proporcionados por el fabricante son:

Tabla 2.1. Parámetros del motor de CD

Parámetro Descripción Valor

𝑉𝑎 voltaje de armadura 24 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠

𝐿𝑎 inductancia de armadura 114𝑥10−3𝐻

𝑅𝑎 Resistencia de armadura 6.2 𝑜𝑕𝑚𝑠

mJ momento de inercia de la flecha 1.26𝑥10−6𝑘𝑔𝑚2

𝐾𝑎 constante mecánica del motor 0.3528 𝑁𝑚/𝑎𝑚𝑝

𝐾𝑏 constante electromagnética del

motor 0.3528 𝑉(𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝜏𝑚á𝑥 par máximo 128 𝑜𝑧 − 𝑖𝑛

0.90388 𝑁𝑚

𝜔𝑚á𝑥 velocidad máxima 490 𝑟𝑝𝑚

2.3.1 Modelo dinámico de la fricción interna del servomotor

Un fenómeno que se presenta en los servomecanismos y va en contra de su buen

funcionamiento es el efecto indeseado de la fricción. Los motores del vehículo guiado

automáticamente cuentan con reductores mecánicos de engranes rectos que son los

causantes principales de esta fricción. Para evitar movimientos bruscos, atascamientos y

efectos no lineales en el vehículo producidos por la fricción, es necesario incluir un

esquema de compensación de fricción a la ley de control diseñada. En el capítulo 4 será

mostrado el efecto de la zona muerta de operación de los motores, por ahora basta con

definir un modelo que caracterice a la fricción interna del servomecanismo.


- 29 -

El modelo más comúnmente usado para compensar los efectos de las fuerzas de fricción

esta dado por, [Canudas95]

𝑓 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜔) 𝑓𝑣 ∗ 𝜔 + 𝑓𝑐 (2.53)

Donde,

𝑓 es el término de la fricción que generalmente depende de la velocidad angular 𝜔

𝑓𝑣 Es una constante de proporcionalidad que representa la fricción viscosa

𝑓𝑐 es una constante que representa la fricción estática o de Coulomb

𝜔 velocidad angular del motor

En la mayoría de los casos, las fuerzas de fricción presentes son una combinación de

fricción viscosa y fricción seca [Ogata98]. Sin embargo, existen otros efectos no lineales

causados por los efectos de la fricción. Se asume que las características de la fricción del

motor son descritas como una función no lineal de la velocidad angular, siendo

caracterizada por el modelo de la fricción de Dahl. Para compensar estos efectos no lineales

se propone emplear un esquema de compensación de fricción de Dahl [Moreno01], el cual

está dado por,

𝑓 = 𝜍0𝑧 + 𝑓𝑣𝜔 (2.54)

𝑧 = −𝜍0

𝑓𝑐 𝜔 𝑧 + 𝜔 (2.55)

𝜍0 es el parámetro de rigidez y z es el estado interno de la fricción, el cual es imposible de

medir.

El modelo dinámico dado por las ecuaciones (2.54) y (2.55) predice el comportamiento de

fenómenos importantes de la fricción que aparecen a bajas velocidades tales como;

atascamientos y/o deslizamiento entre los dientes de los engranes; más comúnmente

conocido como histéresis, backslash o “juego mecánico”. La figura 2.5 muestra el esquema

de compensación de fricción implementado en el vehículo guiado automáticamente.

Figura 2.5. Esquema de compensación de fricción de Dahl


- 30 -

2.4 Conclusiones del capítulo

Como resultado del análisis realizado a lo largo de este capítulo, se observa que el modelo

dinámico es más completo que el modelo cinemático, ya que incluye además de las

restricciones de movimiento holonómicas y no-holonómicas, las interacciones entre masas,

fuerzas y aceleraciones que presenta el vehículo guiado automáticamente. Es por esta razón

que el modelo dinámico proporciona una visión del comportamiento del vehículo. Sin

embargo su complejidad es alta (tiene un mayor número de ecuaciones diferenciales, con

mayor número de términos) y por lo tanto se requiere de un esfuerzo y/o tiempo de cálculo

mayor. Además, este modelo necesita un conocimiento exacto de todos los parámetros

físicos del vehículo para que el modelo sea útil, y muchos de ellos todavía se desconocen.

Por otra parte el modelo cinemático es más sencillo y fácil de comprender. En este modelo

solo son de interés la posición del vehículo en el espacio y la relación geométrica que

guardan cada uno de sus elementos. Además el modelo cinemático no requiere el

conocimiento exacto de los parámetros del sistema. Como se verá más adelante, el uso del

modelo cinemático permite el diseño de un esquema de control más sencillo.

En cuanto al modelo dinámico de los motores de imán permanente, se observa que la

relación velocidad-voltaje en los motores tiene un comportamiento lineal. Un punto

importante a tomar en cuenta es que para que este modelo sea válido se debe tener un

conocimiento preciso de los parámetros del motor. Esta información es algunas veces

proporcionada por el fabricante, pero cuando esta información no está disponible entonces

es necesario hacer una identificación de éstos parámetros.

Por otra parte, los reductores mecánicos de los motores presentan el efecto de histéresis

causada por el fenómeno de la fricción. Es bien conocido que estos sistemas generan

efectos indeseados en el control de velocidad de los motores. Para compensar el efecto de la

fricción se propone un modelo de compensación de fuerzas de fricción.


- 31 -

Capítulo

3

Esquemas de Control en

Tiempo Real: Seguimiento

de Trayectorias

3.1 Introducción

El objetivo de control del vehículo guiado automáticamente es realizar el seguimiento

exacto o asintótico de una trayectoria preestablecida sobre el plano XY. Este seguimiento lo

debe realizar con un punto guía fijo, definido y localizado en la plataforma del vehículo. En

otras palabras, hay que diseñar un control que permita llevar a las variables de

estado 𝑥 , 𝑦 , 𝜑 , del vehículo a que sigan una trayectoria deseada, (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑), bajo la

condición del que el vehículo se encuentre inicialmente sobre la trayectoria o en un punto

de referencia cercano a ella. A continuación se explica la manera en que el vehículo debe

seguir la trayectoria sobre el plano 𝑋𝑌. Véase figura 3.1.

El vehículo inicia su locomoción con las condiciones iniciales dadas por el punto de

referencia A, al llegar a la vecindad de B converge (en espacio y tiempo) con la trayectoria

deseada y sigue sobre la curva B-C hasta llegar a las coordenadas 𝑎, 𝑎 , regresa sobre C-

B, pasa nuevamente por B y se dirige hacia D, coordenadas 0,0 , continúa el seguimiento

por D-E hasta que llega a las coordenadas −𝑎, 𝑎 , finalmente regresa sobre la misma

trayectoria pero ahora de E a D y se detiene en el origen 0,0 .

Capítulo 3. Esquemas de Control en Tiempo Real: Seguimiento de Trayectorias

- 32 -

dX/dt=A(X)+B(U)y=Cx

AB

C

D

E

Origen

(0,0)

Yo

Xo

(a, a)

(-a, a)

Parábola sobre el plano (X,Y)

Trayectoria preestablecida

VGA

-Xo

-Yo

Figura 3.1. Seguimiento de la trayectoria por el vehículo

Es importante mencionar que la trayectoria parametrizada sobre el plano 𝑋𝑌 es una “vía

imaginaria” por donde circula el vehículo, no visible para el usuario, es decir; no es

necesario marcarla sobre el piso. La precisión del vehículo durante el seguimiento de la

trayectoria será comprobada a través del software de control en tiempo real ControlDesk de

la empresa alemana dSPACE.

Ahora bien, con el fin de lograr el seguimiento de la trayectoria se proponen dos esquemas

de control. El primer esquema consiste en la linealización entrada-salida por

retroalimentación estática del vector de estados [Sira06]. Será mostrado que el

desacoplamiento entrada-salida no puede ser conseguido por retroalimentación estática para

la salida 𝑥, 𝑦 . Cabe hacer la aclaración que estas salidas corresponden al punto medio 𝑃𝑚 ,

de la plataforma del vehículo que se intersecta con el eje imaginario que une ambas ruedas.

El segundo esquema consiste en la linealización entrada-salida por retroalimentación

dinámica del vector de estados. Al presentarse la singularidad en el desacoplamiento para

las variables 𝑥, 𝑦 , del punto guía 𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 , se emplea el algoritmo de extensión dinámica

para linealizar y desacoplar la respuesta entrada-salida del sistema y evadir de esta manera

la singularidad del grado relativo de este sistema no-holonómico.

Una variante del primer esquema de control propuesto, consiste en seleccionar otro par de

salidas, que bien puede ser otro punto guía que se localice en la parte frontal de la


- 33 -

plataforma del vehículo denotado como 𝑃𝑓 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 . Con esta nueva ley de control se evade

la singularidad y el seguimiento de la trayectoria se puede lograr.

Por último, para lograr la convergencia de las tres variables de estado del vehículo, se

diseña un controlador de estructura variable [Sira06]. Este controlador cambia entre un

control linealizante estático y un control linealizante dinámico. El cambio entre las dos

leyes de control se efectúa a fin de evadir las singularidades que presenta cada esquema.

3.2 Diseño de un control por linealización entrada-salida del estado

Se empleará la metodología de la linealización entrada-salida como se describe en [Sira06].

En lugar de presentar la teoría general, solo se realizará la aplicación de esta metodología al

modelo cinemático del vehículo guiado automáticamente. Véase anexo A.

Este tipo de linealización, involucra transformaciones del espacio de estado y

transformaciones del espacio de los controles, es decir; realimentación no lineal con

definición de nuevas entradas, se le conoce también con el nombre de linealización entrada-

estado.

La base de este tipo de linealización exacta estriba en encontrar una función que pueda

generar una transformación a través de derivaciones sucesivas con respecto al tiempo. El

requisito indispensable para establecer la existencia de tal función generadora, en sistemas

n-dimensionales, consiste en que la variable de control, o de entrada al sistema, aparezca

precisamente en la n-ésima derivada temporal de dicha función generadora.

La caracterización de la linealización de entrada-salida de un sistema no lineal en términos

de campos vectoriales y derivadas direccionales de Lie, está dada por,

Se considera el sistema no lineal siguiente

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑢 (3.1)

𝑦 = 𝑕 𝑥

Por lo tanto, si las r-1 primeras derivadas no dependen del control u vemos que debe

cumplirse que,

𝑦 = 𝑕 𝑥

(3.2)

𝑦 = 𝐿𝑓𝑕(𝑥)

𝑦 = 𝐿𝑓2𝑕 𝑥

⋮

𝑦(𝑟−1) = 𝐿𝑓𝑟−1𝑕 𝑥

y también:


- 34 -

𝐿𝑔𝑕 𝑥 = 0

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑕 𝑥 = 0

⋮ 𝐿𝑔𝐿𝑓

𝑟−2𝑕 𝑥 = 0

(3.3)

La r-ésima derivada de la salida depende del control u, por lo tanto, debe cumplirse que:

𝑦(𝑟) = 𝐿𝑓𝑟𝑕 𝑥 + 𝐿𝑔𝐿𝑓

𝑟−1𝑕 𝑥 𝑢 (3.4)

Con,

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1𝑕 𝑥 ≠ 0 (3.5)

Se dice que el sistema (3.1) tiene grado relativo r en un punto 𝑥0, si existe una vecindad

𝑁(𝑥0) de 𝑥0 tal que se cumplen las siguientes condiciones:

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑗𝑕 𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑟 − 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥0 𝑒𝑛 𝑁(𝑥0) (3.6)

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1𝑕 𝑥 ≠ 0 (3.7)

En conclusión, un sistema no lineal que tenga grado relativo r admite una linealización de

entrada-salida que puede hacerse coincidente, en lazo cerrado con una ley de control

realimentado apropiada, con una dinámica lineal asintóticamente estable de orden r.

3.2.1 Linealización entrada-salida por retroalimentación estática

El esquema de control que a continuación se desarrolla es la linealización entrada-salida

por retroalimentación estática para las salidas 𝑥, 𝑦 . Estas salidas son las coordenadas del

punto medio 𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 del vehículo y con ellas se hará el seguimiento de la trayectoria

deseada. Véase figura 2.1. Página 16.

La intención de comenzar con este esquema es para mostrar la presencia de la singularidad

en el grado relativo del sistema entrada-salida y en consecuencia la ley de control queda

indefinida. Posteriormente en los CASOS 1 y 2, se mostraran métodos propuestos para

evadir esta singularidad implícita en el vehículo.

Por otra parte, en el CASO 3 se presenta un método alterno para realizar el seguimiento de

trayectoria. Básicamente es elegir otro par de coordenadas como punto de salida, en este

caso se selecciona otro punto guía 𝑃𝑓 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 que se localice en la parte frontal de la

plataforma del vehículo.

Del modelo cinemático del vehículo guiado automáticamente, es claro que para 𝑟 𝑦 𝑙 dados,

la única forma de controlar las variables de estado 𝑥 , 𝑦 , 𝜑 , a que sigan una trayectoria


- 35 -

deseada (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑), queda determinada por la elección apropiada de 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 , las cuales

son conocidas como variables de control del vehículo. Es decir, estamos interesados en

determinar los perfiles de velocidad de 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 , tales que 𝑥 → 𝑥𝑑 , 𝑦 → 𝑦𝑑 y 𝜑 → 𝜑𝑑 , en

lazo cerrado.

Ahora bien, dadas las entradas de control 𝑢1 𝑢2 𝑇 = 𝑤𝑑 𝑤𝑖 𝑇 , un controlador basado

en linealización de entrada-salida por realimentación estática y/o dinámica, puede llevarse a

cabo para cualquier par de salidas: (𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝜑) o (𝑦, 𝜑) correspondientes al punto medio

𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 del vehículo.

En primer lugar se desarrolla la linealización entrada-salida por retroalimentación estática

para las salidas 𝑥, 𝑦 del punto 𝑃𝑚 .

El modelo cinemático del vehículo se puede expresar como,

𝑥 = 𝑤𝑑 + 𝑤𝑖 𝑟

2cos 𝜑

(3.8) 𝑦 = 𝑤𝑑 + 𝑤𝑖 𝑟

2sen 𝜑

𝜑 = 𝑤𝑑 − 𝑤𝑖 𝑟

2𝑙

El objetivo de este esquema de control es que las variables 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 sigan asintóticamente

trayectorias dadas por 𝑥𝑑 𝑡 , 𝑦𝑑 𝑡 , respectivamente.

Para iniciar con el algoritmo de la linealización, de la ecuación (3.8) se seleccionan a 𝑥, 𝑦 como las variables de salida del sistema, es decir;

𝑦1

𝑦2 =

𝑕1

𝑕2 =

𝑥𝑦 (3.9)

Se toma la derivada de las salidas con respecto al tiempo, hasta que aparezca la entrada de

control u. Realizando este procedimiento, se encuentra que las entradas de control aparecen

en la derivada de primer orden de las salidas seleccionadas. El grado relativo de este

sistema no lineal es igual a 1.

En representación matricial queda,

𝑦 1𝑦 2

= 𝑕 1𝑕 2

= 𝑥 𝑦 = 𝐴1 𝜑

𝑤𝑑

𝑤𝑖 =

𝑟

2cos 𝜑

𝑟

2cos 𝜑

𝑟

2sen 𝜑

𝑟

2sen 𝜑

𝑤𝑑

𝑤𝑖 (3.10)

La matriz de desacoplamiento del sistema es,


- 36 -

𝐴1 𝜑 =

𝑟

2cos 𝜑

𝑟

2cos 𝜑

𝑟

2sen 𝜑

𝑟

2sen 𝜑

(3.11)

Ahora, para encontrar a las variables de control 𝑤𝑑 𝑦 𝑤𝑖 , que se encargaran de generar los

perfiles de velocidad de las ruedas del vehículo, se tiene que,

𝑤𝑑

𝑤𝑖 = 𝐴1 𝜑 −1

𝜗1

𝜗2 =

𝑟

2cos 𝜑

𝑟

2cos𝜑

𝑟

2sen𝜑

𝑟

2sen 𝜑

−1

𝜗1

𝜗2 (3.12)

La matriz de desacoplamiento del sistema 𝐴1 𝜑 dada en (3.11), tiene un rango igual a uno

para cualquier valor de 𝜑. En consecuencia, el grado relativo del sistema no esta bien

definido, ya que se requiere que 𝐴1 𝜑 sea no singular. Por lo tanto el desacoplamiento

entrada-salida no puede ser conseguido por retroalimentación estática del estado para este

par de salidas.

Para evitar la singularidad, en este trabajo se proponen tres opciones;

CASO 1) Seleccionar otro par de salidas, que bien pueden ser 𝑥, 𝜑 para el mismo

punto 𝑃𝑚 .

CASO 2) Aplicar el algoritmo de extensión dinámica (AED) para aumentar el orden

del sistema hasta encontrar una matriz de desacoplamiento no singular.

CASO 3) Seleccionar otro punto guía 𝑃𝑓 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 que se localice en la parte frontal

de la plataforma del vehículo.

3.2.2 CASO 1) Desacoplamiento entrada-salida por retroalimentación

estática para la salida 𝑥, 𝜑

Ahora, en este caso, el objetivo de control que se persigue es que las variables 𝑥, 𝜑 del

punto guía 𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 del vehículo, sigan asintóticamente trayectorias predeterminadas y

dadas por 𝑥𝑑 , 𝜑𝑑 respectivamente. Del modelo cinemático del vehículo y realizando la

linealización entrada-salida se tiene que:

𝑦1

𝑦3 =

𝑕1

𝑕3 =

𝑥𝜑 (3.13)


- 37 -

𝑦 1𝑦 3

= 𝑕 1𝑕 3

= 𝑥 𝜑 = 𝐴2 𝜑

𝑤𝑑

𝑤𝑖 =

𝑟 cos 𝜑

2

𝑟 cos 𝜑

2𝑟

2𝑙−

𝑟

2𝑙

𝑤𝑑

𝑤𝑖 (3.14)

La matriz de desacoplamiento para el sistema está ahora dada por,

𝐴2 𝜑 =

𝑟 cos 𝜑

2

𝑟 cos 𝜑

2𝑟

2𝑙−

𝑟

2𝑙

(3.15)

Dado que 𝑟, 𝑙 > 0, entonces la matriz 𝐴2 𝜑 es no singular, para todos los valores de 𝜑 ,

con excepción de 𝜑 = ±𝑛𝜋

2 , con 𝑛 = 1, 2, 3, …

Ahora, se despeja a las variables de control 𝑤𝑑 𝑦 𝑤𝑖 ,

𝑤𝑑

𝑤𝑖 = 𝐴2 𝜑 −1

𝜗1

𝜗2 =

𝑟 cos 𝜑

2

𝑟 cos 𝜑

2𝑟

2𝑙−

𝑟

2𝑙

−1

𝜗1

𝜗2 (3.16)

Donde 𝜗1, 𝜗2 𝑇 son las nuevas variables de control, es claro que las variables 𝑥, 𝜑 𝑇

estarán gobernadas por la siguiente ecuación diferencial lineal invariante en el tiempo.

𝑦 1𝑦 3

= 𝑥 𝜑 =

𝜗1

𝜗2 =

𝑥 𝑑 − 𝛼1𝑒𝑥

𝜑 𝑑 − 𝛼2𝑒𝜑 (3.17)

donde 𝛼1y 𝛼2 son ganancias mayores que cero, las cuales aseguran el seguimiento

asintótico de las salidas cuando 𝑡 → ∞ en lazo cerrado, entonces el error de seguimiento

estará gobernado por el siguiente par de ecuaciones diferenciales:

𝑒 𝑥 + 𝛼1𝑒𝑥 = 0 (3.18)

𝑒 𝜑 + 𝛼2𝑒𝜑 = 0

Donde,

𝑒𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑑 (3.19)

𝑒𝜑 = 𝜑 − 𝜑𝑑

Bajo este esquema de control se tiene que, 𝑒𝑥 → 0, 𝑒𝜑 → 0 cuando 𝑡 → 0 siempre que

𝛼1, 𝛼2 > 0 lo que implica a la vez que 𝑥 → 𝑥𝑑 y 𝜑 → 𝜑𝑑 cuando 𝑡 → ∞.

Combinando las ecuaciones (3.16) a (3.19) se concluye que los perfiles de velocidad que

los actuadores del vehículo deben seguir están dados por:


- 38 -

𝑤𝑑

𝑤𝑖 =

1

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑

1

𝑟𝑙

1

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑−

1

𝑟𝑙

𝑥 𝑑 − 𝛼1(𝑥 − 𝑥𝑑)𝜑 𝑑 − 𝛼2(𝜑 − 𝜑𝑑)

(3.20)

En resumen, si por algún método es posible asegurar que las ruedas izquierda y derecha del

vehículo alcancen los valores dados por (3.20) entonces el vehículo seguirá asintóticamente

las trayectorias descritas por 𝑥𝑑 y 𝜑𝑑 . Esta tarea es precisamente el objetivo de control

del modelo cinemático del vehículo para este caso.

La desventaja principal de este esquema de control es que únicamente se tiene control sobre

dos de las tres coordenadas del vehículo, dichas coordenadas son 𝑥, 𝜑 del punto guía. Lo

anterior implica que no hay manera de corregir los errores de seguimiento en la coordenada

𝑦. En la sección 3.2.5 se hará un análisis de la dinámica interna de este controlador para

demostrar que el comportamiento de la variable y es estable.

Figura 3.2. Esquema de control propuesto para la ley de control con salidas 𝑥, 𝜑

3.2.3 CASO 2) Aplicación del algoritmo de extensión dinámica

La idea es obtener una matriz de desacoplamiento no singular para las salidas 𝑥, 𝑦

correspondientes al punto medio 𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 del vehículo y obtener una ley de control por

retroalimentación dinámica del estado.

El modelo cinemático del vehículo es,

𝑥 = 𝑣 cos (3.21) 𝑦 = 𝑣 sen

𝜑 = 𝑤


- 39 -

Ahora, las variables de control están dadas por,

𝑢3

𝑢4 =

𝑣𝑤 (3.22)

El algoritmo de extensión dinámica es un procedimiento iterativo que produce una

retroalimentación dinámica de estados del siguiente tipo: (Ver anexo B) [Isidori95].

𝑢 = 𝛼 𝑥, 𝑧 + 𝛽(𝑥, 𝑧)𝜗

𝑧 = 𝛾 𝑥, 𝑧 + 𝛿 𝑥, 𝑧 𝜗, (3.23)

Donde 𝜗 es la nueva señal de control y 𝑧 es la variable que constituye la extensión

dinámica. Así, con la aplicación de este algoritmo, se genera una extensión dinámica de la

forma,

𝑧 = 𝑢3 𝑧 = 𝜗1 𝑢4 = 𝜗2 (3.24)

Lo cual genera un nuevo modelo cinemático extendido o aumentado del sistema VGA,

dado por,

𝑥 = 𝑧 cos

(3.25) 𝑦 = 𝑧 sen

𝜑 = 𝜗2

𝑧 = 𝜗1

En donde 𝜗1 y 𝜗2 son las nuevas variables de control ya definidas. Así, a partir del nuevo

sistema aumentado y realizando nuevamente la linealización para las salidas 𝑥, 𝑦 , en

notación vectorial se tiene que,

𝑕 1𝑕 2

= 𝐴 𝜑, 𝑧 𝜗1

𝜗2 =

cos 𝜑 −𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝜑𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑧 cos 𝜑

𝜗1

𝜗2 (3.26)

En donde claramente se observa que la matriz de desacoplamiento 𝐴 𝜑, 𝑧 es invertible, y

por tanto se puede plantear una ecuación linealizante, dada por,

𝑕 1𝑕 2

= 𝜗1

𝜗2 (3.27)

Con,

𝜗1

𝜗2 =

𝑥 𝑑 − 𝛼1 𝑥 − 𝑥 𝑑 − 𝛽1 𝑥 − 𝑥𝑑

𝑦 𝑑 − 𝛼2 𝑦 − 𝑦 𝑑 − 𝛽2 𝑦 − 𝑦𝑑 (3.28)

Finalmente, combinando (3.26) a (3.28) se obtiene la ley de control diseñada para el

vehículo, esto es,

𝜗1

𝜗2 =

cos 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑

−𝑠𝑒𝑛 𝜑

𝑧

𝑠𝑒𝑛 𝜑

𝑧

𝑥 𝑑 − 𝛼1 𝑥 − 𝑥 𝑑 − 𝛽1 𝑥 − 𝑥𝑑

𝑦 𝑑 − 𝛼2 𝑦 − 𝑦 𝑑 − 𝛽2 𝑦 − 𝑦𝑑 (3.29)


- 40 -

Por último, de la ecuación (2.19) se conoce que los perfiles de velocidad que el vehículo

deberá seguir para satisfacer la trayectoria deseada están dados por,

𝑤𝑑

𝑤𝑖 = 𝑇−1

𝑣𝑤 , con 𝑇 =

𝑟

2 1 11

𝑙−

1

𝑙

(3.30)

En principio y a diferencia de la ley de control propuesta en el CASO 1, la ley de control

(3.29) garantiza la convergencia de las coordenadas 𝑥, 𝑦 del punto guía 𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 con la

trayectoria deseada (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑). La ley de control (3.29) tiene la desventaja de presentar la

singularidad en 𝑧 = 0.

3.2.4 CASO 3) Desacoplamiento entrada-salida por retroalimentación

estática para la salida 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓

En esta sección se presenta un método alterno para realizar el seguimiento de trayectoria.

Ahora se toma como las nuevas salidas a otro punto guía 𝑃𝑓 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 que se localice en la

parte frontal de la plataforma del vehículo.

Entonces las nuevas salidas son;

𝑦3

𝑦4 =

𝑕3

𝑕4 =

𝑥𝑓𝑦𝑓

(3.31)

o bien,

𝑥𝑓 = 𝑥 + 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑕3 (3.32)

𝑦𝑓 = 𝑦 + 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝑕4

Se aplica la metodología de la linealización estática y se eligen nuevamente a las variables

de control 𝑤𝑑 𝑦 𝑤𝑖 ,

𝑦 3𝑦 4

= 𝑕 3𝑕 4

= 𝑥 𝑓𝑦 𝑓

= 𝐴3 𝜑 𝑤𝑑

𝑤𝑖 (3.33)

𝑦 3𝑦 4

=

𝑟

2cos 𝜑 −

𝑟𝐿

2𝑙𝑠𝑒𝑛 𝜑

𝑟

2cos 𝜑 +

𝑟𝐿


𝑟

2𝑠𝑒𝑛 𝜑 +

𝑟𝐿

2𝑙𝑐𝑜𝑠 𝜑

𝑟

2𝑠𝑒𝑛 𝜑 −

𝑟𝐿


𝑤𝑑

𝑤𝑖 =

𝑥 𝑓𝑦 𝑓

(3.34)

La matriz de desacoplamiento del nuevo sistema es,


- 41 -

𝐴3 𝜑 =

𝑟

2cos 𝜑 −

𝑟𝐿


𝑟

2cos 𝜑 +

𝑟𝐿


𝑟

2𝑠𝑒𝑛 𝜑 +

𝑟𝐿


𝑟

2𝑠𝑒𝑛 𝜑 −

𝑟𝐿


(3.35)

Dado que 𝑟, 𝑙, 𝐿 > 0, la matriz 𝐴3 𝜑 es no singular, para todos los valores de 𝜑.

Ahora, se despeja a las variables de control 𝑤𝑑 𝑦 𝑤𝑖 , y se tiene que la ley de control para la

salida 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 queda:

𝑤𝑑

𝑤𝑖 =

𝐿 cos 𝜑 − 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜑

𝐿𝑟

𝐿 cos 𝜑 + 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜑

𝐿𝑟𝐿 cos 𝜑 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜑

𝐿𝑟

𝐿 sen 𝜑 − 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜑

𝐿𝑟

𝑥 𝑓𝑑 − 𝛼1 𝑥𝑓 − 𝑥𝑓𝑑

𝑦 𝑓𝑑 − 𝛼2 𝑦𝑓 − 𝑦𝑓𝑑 (3.36)

La ley de control (3.35) garantiza la convergencia de las coordenadas 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 del punto

guía frontal 𝑃𝑓 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 con la trayectoria deseada (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑). La desventaja de esta ley es que

nuevamente sólo se tiene control sobre dos de las tres coordenadas del vehículo, dichas

coordenadas son 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 del punto guía frontal. Lo anterior implica que no hay manera de

corregir los errores de seguimiento en la coordenada 𝜑𝑓 . Sin embargo, el comportamiento

de esta variable es asintóticamente estable cuando el vehículo va hacia adelante y es

inestable cuando va hacia atrás.

Figura 3.3. Esquema de control propuesto para la ley de control con salidas 𝑥1, 𝑦1

3.2.5 Singularidades de los controladores y su dinámica interna

Una singularidad es un punto en el cual una función queda indefinida, por lo tanto es

importante evitar las singularidades en el cálculo de los controladores.


- 42 -

Bajo ciertas condiciones, el sistema del vehículo y las leyes de control diseñadas presentan

singularidades. Dichas condiciones ocurren cuando 𝑟 = 0, 𝑙 = 0, 𝐿 = 0, 𝜑 = ±nπ/2,

con, 𝑛 = 1, 2, 3. ó 𝑧 = 0. Afortunadamente, el radio de las ruedas, la distancia de

separación entre ellas y la distancia al punto guía frontal nunca puede ser cero y para evadir

la singularidad producida por las variables 𝜑 ó 𝑧 , se utiliza el control de estructura

variable.

En cuanto a la dinámica interna, se debe entender que si se toma cualquier variable de

estado del sistema como función generadora de la transformación de salida, no siempre se

puede cumplir con el requisito de que sus derivadas, hasta la n-ésima sean independientes

del control. Sólo en casos particulares se tiene la posibilidad de linealizar exactamente el

comportamiento del sistema [Sira06].

Nótese que en el controlador diseñado en el CASO 2, la suma de los grados relativos del

sistema extendido es 4, igual a la dimensión del vector de estado. Por lo tanto la dinámica

interna (dinámica cero) del sistema es trivial.

Por otra parte, en el controlador diseñado en el CASO 1, el cual está basado en

linealización de entrada-salida ((𝑤𝑑 ,𝑤𝑖) – (𝑥, 𝜑)), e impone que las variables de estado

(𝑥, 𝜑), tiendan asintóticamente a la trayectoria deseada 𝑥𝑑 , 𝜑𝑑 . Es evidente que se genera

una dinámica remanente asociada a la variable de estado y, la cual resulta ser estable.

Vale la pena hacer un breve análisis para mostrar la estabilidad de esta variable de estado

en lazo cerrado. Es decir, encontraremos el comportamiento de y cuando (𝑥, 𝜑) → 𝑥𝑑 , 𝜑𝑑 ). Para este propósito, en (3.8) se toma la variable que produce la dinámica

remanente,

𝑦 = 𝑤𝑑 + 𝑤𝑖 𝑟

2sen 𝜑 (3.37)

Se remplaza 𝜑 por 𝜑𝑑 y se sustituyen los controles, 𝑤𝑑 y 𝑤𝑖 , dados por (3.19),

𝑦 = 𝑥 𝑑 − 𝛼𝑥 𝑥 − 𝑥𝑑 𝑡𝑎𝑛𝜑𝑑 (3.38)

Por lo tanto, cuando 𝑡 → ∞,

𝑦 = 𝑥 𝑑𝑡𝑎𝑛 𝜑𝑑 (3.39)

Si 𝑥𝑑 y 𝑦𝑑 son tales que

𝑦𝑑 = 𝑓 𝑥𝑑 (3.40)

donde 𝑓(𝑥𝑑) es una función suave y es tal que 𝑓(0)= 0, entonces usando (3.8) y (3.40), un

cálculo directo muestra que

𝜑𝑑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑑

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑓 𝑥𝑑

𝑑𝑥𝑑 (3.41)


- 43 -

de donde se obtiene que (3.39) se reduce a

𝑦 = 𝑥 𝑑𝑡𝑎𝑛𝜑𝑑 = 𝑥 𝑑 𝑑𝑓 𝑥𝑑

𝑑𝑥𝑑 =

𝑑𝑓 𝑥𝑑

𝑑𝑡 (3.42)

Por lo tanto, integrando se obtiene que

𝑦 𝑡 = 𝑓 𝑥𝑑 𝑡 = 𝑦𝑑 (3.43)

donde se ha elegido la constante de integración de tal manera que 𝑦 0 = 𝑓 0 = 0.

En conclusión, se ha mostrado para el CASO 1, que bajo la condición inicial 𝑥 , 𝑦 , 𝜑 =

(0, 0, 0), los controles (3.20) imponen que las variables de estado 𝑥 , 𝑦 , 𝜑 tiendan a

(𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑) respectivamente.

Por otra parte, en el controlador diseñado en el CASO 3, el cual está basado en la

linealización de entrada-salida ((𝑤𝑑 ,𝑤𝑖) – 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 , somete a las variables de estado

𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 para que tiendan asintóticamente a la trayectoria deseada (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 ). En este caso

la variable de estado no controlada es 𝜑, y es asintóticamente estable cuando el punto guía

frontal del vehículo se mueve hacia adelante siguiendo la trayectoria, es decir; cuando el

vehículo avanza hacia adelante se cumple que 𝜑 → 𝜑𝑑 , y por el contrario, la dinámica

interna produce la no convergencia de 𝜑 cuando el vehículo se mueven hacia atrás. En el

capítulo 5 será mostrado el efecto que produce esta dinámica interna en el comportamiento

del vehículo para el caso 3.

3.3 Diseño de un control de estructura variable

Un sistema de estructura variable es aquel que admite descripciones matemáticas diferentes

durante períodos de operación diferentes. Los cambios de estructura se producen por

efectos del valor que toma el vector de estados del sistema en regiones diferentes del

espacio de estado, o por el accionamiento automático de uno o varios conmutadores debido

a condiciones externas y/o exógenas, que gobiernan el valor temporal de uno o varios

parámetros del sistema [Sira06].

Con base en la definición anterior, y con el propósito de obtener un controlador que

linealize la respuesta entrada-salida para las tres variables de estado del vehículo 𝑥 , 𝑦 , 𝜑 ,

se propone el diseñó de un esquema de control de estructura variable, que básicamente es

tener dos leyes de control, una estática y una dinámica que conmutan justo antes de que se

presenten sus respectivas singularidades.

Así entonces, usando la ley de control dada en (3.20) y la ley de control obtenida en (3.29),

se obtiene el esquema de estructura variable mostrado en la figura 3.4.


- 44 -

Este esquema de control garantiza la convergencia de las coordenadas 𝑥 , 𝑦 , 𝜑 del punto

guía 𝑃𝑚 𝑥, 𝑦 con las coordenadas deseadas (𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑) de la trayectoria preestablecida.

3.4 Control PID para los motores de corriente directa

En las secciones anteriores se diseñaron tres tipos de controladores para el modelo

cinemático del vehículo. Ahora se requiere implementar un controlador para el modelo

dinámico de los motores de CD del vehículo.

Figura 3.4. Esquema de control de estructura variable para el control del vehículo

En los esquemas de control propuestos, las velocidades angulares 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 , asociadas a cada

rueda-motor son las variables de control del vehículo. En aplicaciones de robótica es muy

común emplear el esquema de control PID (Proporcional, Integral y Derivativo) [Ogata98],

en el control de posición y/o velocidad de un motor de C.D. Véase anexo C.

En la figura 3.4, se muestra un esquema de control del vehículo. En este diagrama se puede

apreciar un lazo interno, entre otros; compuesto de un PID que controla las velocidades

angulares 𝑤𝑖 y 𝑤𝑑 de las ruedas del vehículo. Por otra parte, el lazo externo retroalimenta la

información del vector de estado 𝑥, 𝑦, 𝜑 como entrada al controlador por

retroalimentación estática y/o dinámica que se encarga de producir las salidas

correspondientes a velocidades angulares deseadas 𝑤𝑖∗ y 𝑤𝑑

∗ para lograr el seguimiento de

trayectoria.

El empleo de un controlador PID tiene por ventaja su robustez, además solo controla una

variable, que en este caso es la velocidad de cada motor. De acuerdo al modelo dinámico de

los motores, se sabe que su velocidad está gobernada por el voltaje de armadura. Entonces

el controlador PID del vehículo se representa como:


- 45 -

𝑉𝑖 = 𝑘𝑝𝑖 𝑤𝑖∗ − 𝑤𝑖 + 𝑘𝑑𝑖 𝑤𝑖

∗ − 𝑤𝑖 + 𝑘𝑖𝑖 𝑤𝑖∗ − 𝑤𝑖

𝑡

0

(3.44)

𝑉𝑑 = 𝑘𝑝𝑑 𝑤𝑑∗ − 𝑤𝑑 + 𝑘𝑑𝑑 𝑤𝑑

∗ − 𝑤𝑑 + 𝑘𝑖𝑑 𝑤𝑑∗ − 𝑤𝑑

𝑡

0

(3.45)

En donde 𝑉𝑖 y 𝑉𝑑 son las salidas del controlador PID y a su vez son los voltajes para cada

motor.

Una de las ventajas de emplear este tipo de controladores, es que se pueden ajustar los

valores de retroalimentación para poder obtener la respuesta deseada. Los valores de las

constantes 𝑘𝑝𝑖 , 𝑘𝑝𝑑 , 𝑘𝑑𝑖 , 𝑘𝑑𝑑 , 𝑘𝑖𝑖 y 𝑘𝑖𝑑 , fueron determinadas experimentalmente mediante

el primer método de Ziegler-Nichols. Posteriormente estos parámetros se reajustaron para

mejorar el desempeño del VGA. Los valores finales de las constantes del controlador PID

que se emplearon son los siguientes:

Tabla 3.1. Ganancias de los controladores PID

MOTOR IZQUIERDO MOTOR DERECHO

𝑘𝑝𝑖 2.82 𝑘𝑝𝑑 2.26

𝑘𝑖𝑖 12.1 𝑘𝑖𝑑 10.86

𝑘𝑑𝑖 0.015 𝑘𝑑𝑑 0.05


Se empleó la metodología de la linealización entrada-salida por retroalimentación estática ó

dinámica del vector de estados para diseñar tres controladores de un vehículo guiado

automáticamente para llevar a cabo la tarea de seguimiento de trayectoria.

La primera ley de control se basa en la linealización entrada-salida por retroalimentación

estática del vector de estados. Con esta ley se logra la convergencia de las variables 𝑥 , 𝜑 del modelo cinemático del vehículo. La dinámica remanente asociada a esta ley de control

está dada por la variable y. Las singularidades de esta ley se presentan en 𝜑 = ±𝑛𝜋

2 , con

𝑛 = 1, 2, 3, …

La segunda ley de control se basa en la linealización entrada-salida por retroalimentación

dinámica del vector de estados. En esta ley se aplica el algoritmo de extensión dinámica,

AED para lograr la convergencia de las variables de estado 𝑥 , 𝑦 y evadir las

singularidades inherentes al modelo cinemático del vehículo. En esta ley de control la

dinámica interna es trivial.

La tercera ley de control, consistió en seleccionar otra salida en la linealización. Esta salida

es un punto frontal del vehículo. Con esta ley de control se evade la singularidad y el


- 46 -

seguimiento de la trayectoria se puede lograr. La dinámica remanente asociada a esta ley de

control está dada por la variable 𝜑.

Para lograr la convergencia de las tres variables de estado del vehículo, se diseña un

controlador de estructura variable.

Se emplea un esquema de control en cascada, el cual considera dos lazos de control. Un

lazo externo basado en linealización entrada-salida y un lazo interno basado en un

controlador PID.

El lazo de control externo trabaja con el modelo cinemático y las trayectorias deseadas para

el vehículo y produce como salidas de control perfiles de velocidad deseados en cada rueda

del vehículo. Estos perfiles de velocidad deseados son entonces alimentados al lazo de

control interno constituido por un controlador PID que tiene como consigna lograr un

control de velocidad en los motores de CD que operan como actuadores del vehículo. Es

importante tomar en cuenta que la velocidad de convergencia del lazo interno sea mayor

que la del lazo externo para que el esquema de control en cascada funcione correctamente.


- 47 -

Capítulo

4

Diseño e instrumentación

del vehículo guiado

automáticamente

4.1 Introducción

En este capítulo se describe el diseño y construcción del prototipo de vehículo guiado

automáticamente VGA, con características mecatrónicas. La construcción del prototipo se

realizó en el Centro Nacional de Actualización Docente, CNAD con recursos del programa

de especialización en ingeniería mecatrónica que se imparte en ese centro.

El diseño del vehículo atiende a diferentes criterios de funcionalidad y desempeño, como

son: capacidad de carga, grados de libertad, precisión, condiciones ambientales de

operación, costo de manufactura y desarrollo, mantenimiento, flexibilidad, etcétera.

El objetivo del prototipo es permitir la implementación en tiempo real de los esquemas de

control diseñados en el capítulo 3. Este prototipo debe ser construido de tal manera que los

fenómenos cinemáticos y dinámicos del vehículo y los objetivos de control propuestos en

este trabajo puedan ser apreciados en su comportamiento.

El prototipo de vehículo móvil esta constituido por diversos tipos de subsistemas que son

necesarios para su adecuado funcionamiento y para la implementación de los controladores.

La figura 4.1 muestra los subsistemas que integran el prototipo, en esta figura se observan

tres principales divisiones: el sistema mecánico, la instrumentación y la interface. Cada una

de estas divisiones cuenta a su vez con diversos elementos que las conforman, de las cuales

se dará una descripción detallada en el desarrollo de este capítulo.

Capítulo 4. Diseño e Instrumentación del Vehículo Guiado Automáticamente

- 48 -

PROTOTIPO VGA

ELECTRÓNICA DE POTENCIA

GUI - VGA

DSP DS1103

COMPUTADORA

PERSONAL

PLATAFORMA

RUEDAS

SOPORTES MOTOR

POSTES

SISTEMA

ELECTROMECÁNICOINTERFACE

SENSORES

INSTRUMENTACIÓN

MOTORES

Figura 4.1. Sistemas del prototipo del vehículo guiado automáticamente

4.2 Estructura física del vehículo

Con el propósito de explicar claramente el diseño y las partes que constituyen el prototipo,

se ha dividido su estructura en cuatro piezas principales: Plataforma móvil, soportes

principales, rines y postes para equilibrar la plataforma.

Figura 4.2. Piezas del vehículo antes de la manufactura

4.2.1 Plataforma móvil

El prototipo propuesto en este trabajo tiene fines didácticos por lo que, se decidió diseñar

una plataforma móvil rectangular con el propósito de facilitar el montaje de todos los

aditamentos y para que tenga mayor estabilidad durante su locomoción.


- 49 -

La plataforma es la pieza principal del robot. Sobre ésta se montó la batería para la

alimentación de corriente, la electrónica necesaria tanto para controlar los motores

utilizados así como la adecuación de las señales de los codificadores ópticos. Esta pieza

consiste de una placa de aluminio de 40 cm de ancho por 50 cm de largo y 0.6 cm de

espesor.

4.2.2 Soportes motor

Estas dos piezas se colocan en la parte inferior de la plataforma móvil. Su función es servir

de soporte al conjunto servomotor, formado por motores, reductor mecánico y

codificadores ópticos. Estos soportes en forma de “L”, fueron hechos de aluminio de 25 cm

de largo, 2.5 cm de ancho, 12 cm de alto y de 0.6 cm de espesor.

4.2.3 Rines y llantas

Sirven para proveer al vehículo de tracción. El rin esta acoplado directamente al eje del

reductor mecánico y fueron hechos en una sola pieza torneada, utilizando barra redonda de

aluminio de 12 cm de diámetro. Las llantas son de hule macizo de baja densidad y fueron

vulcanizadas sobre la superficie de rodamiento de cada rin. El hule de baja densidad

presenta excelentes propiedades de adherencia con cualquier tipo de superficie. El diámetro

total de la rueda es de 15.4 cm, con un radio r = 0.077 m.

4.2.4 Postes de equilibrio

Tienen la finalidad de acoplar las ruedas de bolas omnidireccionales con la plataforma

móvil para garantizar que la plataforma siempre este en equilibrio y paralela con la

superficie de rodamiento. Las tres piezas fueron hechas de barra de aluminio redonda de 1.2

cm de diámetro. En la parte superior se atornillan con la plataforma móvil y en la parte

inferior sujetan una base de aluminio rectangular de 15 cm de largo por 5 cm de ancho y 2

cm de espesor. En esta base rectangular, por la parte superior se atornillan los postes y en la

parte inferior están colocadas las dos ruedas de bolas onmidireccionales, el diámetro de

estas ruedas es de 2.54 cm. Veáse figura 4.3.

Figura 4.3. Postes y ruedas de bolas delanteras


- 50 -

Por otra parte se tiene que estimar el peso adicional que deberá cargar el vehículo. En estos

cálculos preliminares solo se contempla el peso del propio vehículo es decir su peso en

vacío. El peso total aproximado del vehículo es de 20 kilogramos. Los elementos y pesos

correspondientes al chasis del vehículo se resumen en la siguiente tabla.

Tabla 4.1. Especificaciones de los elementos del vehículo

Elemento Cant. Material Dimensiones Peso (Kg)

Aprox.

Plataforma 1 Aluminio Placa rectangular de 50x40x0.6 cm 3.5

Soporte

motor 2 Aluminio Angulo de 25x12x2.5x0.6 cm 2.4

Rines 2 Aluminio Barra redonda de 12 cm de diámetro 1.2

Llantas 2 Hule Hule vulcanizado de 3 cm de espesor 1.9

Postes 3 Aluminio Barra redonda de 1.2 cm de diámetro 0.6

Ruedas de

bolas 2 Acero Rueda omnidireccional 0.3

Motores 2 Hierro Base del reductor 8.5x8.5 cm 3.5

Tarjetas

Electrónicas 8 Baquelita Tarjetas y componentes electrónicos 1.8

Codificador

óptico 2 Plástico Encapsulado de 2.5 cm de diámetro 0.2

Batería de

12V-18Ah 1

Plomo-

ácido Rectangular 22x16x12 4.0

Peso total del vehículo en vacío 19.4

4.3 Motores de CD

En el prototipo de VGA se usaron dos motores de corriente directa con reductor mecánico.

Estos motores son los encargados, junto con las ruedas de proveer la locomoción al

vehículo.

La elección de los motores es una tarea importante, ya que de estos depende en gran

medida el buen desempeño del sistema. Los motores deben cumplir en medida de lo posible

con los parámetros de operación estipulados para el vehículo. Se considera que las

características de movimiento deseado para el vehículo, debe cumplir con el criterio de

perfil de movimiento para poder determinar el par y la velocidad que deben desarrollar los

motores.

4.3.1 Perfil de movimiento

Para caracterizar el movimiento de los motores se utiliza el perfil de movimiento el cual

describe la velocidad de los motores en cada instante de tiempo. Uno de los perfiles de


- 51 -

movimiento más usados en la mayoría de las aplicaciones de robótica es el perfil de

movimiento trapezoidal, este perfil se muestra en la figura 4.4. En el perfil de movimiento

se tiene como objetivo recorrer una distancia d, en un intervalo de tiempo T, partiendo

desde el punto de inicio con una velocidad cero y llegando al final del recorrido también

con velocidad cero.

En la figura 4.3, se puede deducir que la velocidad máxima del vehículo está dada por,

𝑉𝑚á𝑥 =𝑑

12 𝑡𝑎 + 𝑡𝑐 +

12 𝑡𝑑

(4.1)

Donde 𝑇 = 𝑡𝑎 + 𝑡𝑐 + 𝑡𝑑 , con 𝑡𝑎 = 𝑡𝑑

t

V

t t ta c d

Figura 4.4. Perfil de movimiento (Velocidad-tiempo)

Por otra parte la aceleración máxima se determina por,

𝑎𝑚á𝑥 =𝑉𝑚á𝑥

𝑡𝑎 (4.2)

A partir de la segunda ley de Newton, el par torsional debido a la aceleración esta dado por,

𝜏𝑎 =𝑚𝑎𝑚á𝑥

𝑟+ 𝐽

𝑎𝑚á𝑥

𝑟 (4.3)

Donde m es la masa del vehículo a ser desplazada, J es el momento de inercia de los

elementos de transmisión (Reductor, ruedas, etc) y r es el radio de las ruedas. El par

torsional máximo se obtiene de

𝜏𝑚á𝑥 = 𝜏𝑎 + 𝜏𝑐 (4.4)


- 52 -

Donde 𝜏𝑐 es el torque debido a las fuerzas de oposición constantes como la fricción. Por

otra parte la velocidad angular máxima se determina por,

𝜔𝑚á𝑥 =𝑉𝑚á𝑥

𝑟 (4.5)

Con el cálculo de la velocidad máxima y el par torsional es posible seleccionar un motor en

el que estos valores queden por debajo de su curva de Torque-velocidad. En los datos

técnicos que proporciona el fabricante no siempre se encuentra esta curva. Por esta razón,

es necesario proporcionar otro parámetro de evaluación equivalente, como alternativa para

elegir los motores, generalmente este parámetro es la potencia máxima requerida. La

potencia máxima se calcula como,

𝑃 = 𝜏𝑚á𝑥 ∙ 𝜔𝑚á𝑥 (4.6)

4.3.2 Cajas reductoras

Generalmente, las aplicaciones de motores eléctricos usan cajas de engranes. En particular,

son comúnmente usadas las cajas de engranes reductoras, con las que se busca aumentar el

par torsional del motor y disminuir su velocidad. Es importante tener en cuenta que el uso

de cajas reductoras introduce inercias no deseadas y no linealidades, además de esto, en las

cajas reductoras la potencia del motor se ve reducida al ser multiplicada por un cierto factor

de eficiencia.

Cuando se utilizan estas cajas reductoras las relaciones para el par torsional y velocidad

máximos son modificadas. Si se considera una relación de transmisión 𝐺, el par torsional

del motor está dado por,

𝜏𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 =𝜏𝑚á𝑥

𝐺 (4.7)

Mientras que la velocidad del motor se obtiene como,

𝜔𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝐺 ∙ 𝜔𝑚á𝑥 (4.8)

4.3.3 Selección de los motores

Para la selección de los motores se aplican los criterios desarrollados en las secciones 4.3.1

y 4.3.2, y se toman en cuenta los requerimientos de movimiento del vehículo, es decir;

velocidad y aceleración máxima de la plataforma, principalmente. Una vez que se calculan

los parámetros de velocidad angular y aceleración angular máxima de las ruedas o en su

defecto la potencia máxima, los motores son elegidos de catálogos a través de sus fichas

técnicas y/o su curva par-velocidad.


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Los motores utilizados son de corriente directa de imán permanente del tipo escobilla. Los

motores tienen integrado un reductor de velocidad de engranes rectos el cual eleva el par de

salida. En la flecha de salida del reductor se acopla directamente la rueda del vehículo.

Para medir la posición angular de los motores se utilizan codificadores del tipo incremental,

los cuales se acoplan directamente a las flechas de los motores.

Figura 4.5. Motores de CD instalados en el vehículo (uno para cada rueda de tracción)

4.3.4 Compensación de fuerzas de fricción

Durante las primeras pruebas experimentales con el vehículo, se detectó que cada motor

tiene una zona muerta de operación, probablemente debida a las fricciones de coulomb y

viscosa producidas por el conjunto servomotor y por la inercia del vehículo.

Cuando el vehículo inicia su operación y comienza a moverse desde un estado de velocidad

cero, el voltaje de control también es cero al inicio, y se incrementa gradualmente, pero

como el vehículo no se mueve los errores entre pares de coordenadas de la trayectoria

deseada y la real incrementan, de igual manera, el voltaje de salida del controlador PID

incrementa hasta que se eleva por encima de cierto umbral con el que el vehículo vence su

inercia y empieza a moverse. Esta discontinuidad produce en el vehículo un seguimiento de

la trayectoria poco preciso y evidentemente los errores de seguimiento asociados a cada

variable de estado 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝜑 se incrementan.

Con el propósito de mejorar la respuesta del sistema se incluyó un esquema de

compensación de fricción de Dahl, cuya caracterización se desarrolló en el capítulo 4. Este

modelo de Dahl básicamente estima y compensa la fricción producida por toda la dinámica

del sistema.


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Figura 4.6. Respuesta al escalón del motor derecho de tracción

Figura 4.7. Respuesta al escalón del motor izquierdo de tracción

Para identificar los parámetros de la fricción de coulomb, 𝑓𝑐 y de la fricción viscosa, 𝑓𝑣 que

aparecen en el modelo de compensación de Dahl, se usará el escalón unitario de magnitud

𝐴 = 6, como control de los motores. Luego se obtendrá la respuesta en tiempo real, usando

la plataforma DSP DS1103 y se analizará la respuesta al escalón.

En las curvas mostradas en las figuras 4.6 y 4.7, se observa la señal de control (voltaje) y la

respuesta del motor (velocidad angular), derecho e izquierdo respectivamente. Por simple

inspección, se aprecia que la respuesta de cada motor deja de ser cero después de que cierta


- 55 -

cantidad de voltaje ha sido aplicada. Con este efecto se puede estimar el valor del

parámetro 𝑓𝑐 . La ganancia 𝑓𝑣 puede ser obtenida comparando el comportamiento real del

motor con el comportamiento en simulación del modelo dinámico del motor. Es decir, en

esta simulación se usa la misma entrada de control, se compensa el offset producido por la

fricción 𝑓𝑐 , y la ganancia 𝑓𝑣 que representa a la fricción viscosa se determina mediante

prueba y error variando el parámetro 𝑓𝑣 y comparando la respuesta de la simulación con la

curva obtenida en tiempo real. Una vez que ambas curvas coinciden se ha identificado

adecuadamente el parámetro 𝑓𝑣.

Los valores de esta zona muerta de operación, obtenidos experimentalmente se muestran en

la tabla siguiente:

Tabla 4.2. Parámetros 𝒇𝒄 y 𝒇𝒗 para la compensación de fricción del sistema

Actuador Fricción de Coulomb Fricción viscosa

Motor derecho 3.85 volts 0.03

Motor izquierdo 3.22 volts 0.03

4.3.5 Batería

Los primeros resultados en simulación de los esquemas de control diseñados para el

vehículo, muestran que se requieren voltajes menores a 10 volts para que los motores

cumplan la consigna del seguimiento de la trayectoria preestablecida, lo que implica el uso

de una batería de 12 volts. Por otra parte, en cuanto a la capacidad de la misma, dado que el

consumo máximo de corriente del vehículo es de aproximadamente 2.8 Amper, se

seleccionó una batería de 12 volts y 18 Amp-Hr, marca Power Sonic. Esta batería es de

plomo-ácido, recargable y sellada herméticamente, lo cual permite trabajar en cualquier

posición sin riesgo alguno. No requiere de electrolito adicional y es libre de mantenimiento.

Proporciona una autonomía al vehículo de hasta 3 horas. Para recargar la batería se usa un

cargador de baterías, adquirido especialmente para este tipo de batería o en su defecto un

cargador convencional para baterías de automóvil.

4.4 Instrumentación del vehículo guiado automáticamente

El desempeño del vehículo guiado automáticamente depende de los dispositivos de

procesamiento de la información y de los transductores o sensores que se utilicen para

obtener los valores de las variables del sistema. En cuanto a los sistemas de procesamiento

de la información se puede mencionar a los microcontroladores, computadoras personales o

procesadores digitales de señales (DSP, por sus siglas en inglés). Respecto a los

transductores o sensores se puede mencionar, transductores de ultrasonido o infrarojos para

detectar obstáculos y medir distancias, sistemas de posicionamiento global (GPS, por sus

siglas en inglés) y giroscopio para conocer su posición y orientación, o bien codificadores

ópticos para medir distancias y velocidades [Everett95].


- 56 -

En este trabajo se desea que el vehículo sea capaz de realizar el seguimiento de trayectorias

preestablecidas. La posición del vehículo móvil en el plano cartesiano 𝑥, 𝑦, 𝜑 será

calculada de manera indirecta usando el modelo cinemático del vehículo. En dicho modelo

las variables de interés son las velocidades angulares de las ruedas derecha e izquierda, por

lo cual, los sensores utilizados son codificadores incrementales para medir estas

velocidades.

4.4.1 Sensores

Para medir las variables de posición y velocidad de las ruedas del vehículo, se utilizan

codificadores ópticos rotatorios que están montados o acoplados a la flecha de rotación de

cada motor, generando de esta forma información de tipo eléctrica que representa la

posición angular de cada rueda. Los canales del codificador se conectan al sistema DSP

(DS1103) a través de la interface entre el vehículo y la computadora personal.

Se estima la velocidad angular promedio mediante la relación,

𝜔 =𝜙𝑖 − 𝜙𝑖−1

Δ𝑡 (4.9)

Donde i es la posición angular actual, 1i es la posición angular en un período de

muestreo anterior, y t es el periodo de muestreo.

Las características de los codificadores ópticos incrementales utilizados en la construcción

del prototipo son:

Tabla 4.3. Parámetros de los codificadores ópticos del vehículo

Marca Cant. Modelo Pulsos por

revolución Resolución

Hewllett-

Packard 2 HEDS-5600 100

0.537 mm/pulso

en la rueda del vehículo.

Figura 4.8. Codificador óptico HEDS-5600


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4.5 Interface del vehículo guiado automáticamente

La parte esencial de la interface PC-VGA, es la tarjeta controladora PPC-DSP, modelo

DS1103 de dSPACE. Esta tarjeta de adquisición de datos está diseñada para el desarrollo

de controladores digitales multivariables de alta velocidad en tiempo real. El sistema de

desarrollo DS1103, se basa en un microprocesador maestro Motorola PowerPC 604e a

333Mhz y un microcontrolador esclavo DSP TMS320F240, este sistema es un equipo

ampliamente utilizado en aplicaciones de robótica. Véase anexo E.

4.5.1 Tarjeta controladora PPC-DSP DS1103

El sistema de desarrollo dSPACE está integrado por la tarjeta DS1103 y el software Control

Desk. La tarjeta se instala en una computadora personal con requerimientos mínimos. Por

otra parte, la tarjeta controladora DS1103 posee un conjunto de periféricos montados en la

misma tarjeta, más frecuentemente usados en sistemas digitales de control, los cuales

permiten la interacción con el mundo real, a través de la conexión de sensores y actuadores.

Las interfaces periféricas con las que cuenta la tarjeta controladora DS1103 se describen en

la tabla 4.4.

Tabla 4.4. Interfaces periféricas de la tarjeta controladora PPC DSP DS1103

20 Canales de convertidores analógicos ADC

8 Canales de convertidores digitales DAC

7 Módulos para encoder incremental de 3 canales

32 entradas/salidas digitales

4 canales de modulación por ancho de pulso

3 canales de modulación por ancho de pulso trifásico

La tarjeta controladora es el medio por el cual se obtiene información de los codificadores

ópticos del vehículo y después del procesamiento de éstas, se envían las correspondientes

señales de control a los servoamplificadores para que a su vez, éstos controlen a los

motores.

En resumen, el prototipo implementado usa los siguientes recursos:

Tabla 4.5. Interfaces de la tarjeta controladora PPC DSP DS1103 usada por el VGA

2 módulos para encoder incremental de 3 canales

4 salidas digitales (control del sentido de giro de los motores)

2 salidas de modulación por ancho de pulso a 1 kHz


- 58 -

El software básico ControlDesk es una interface de usuario gráfica que administra (maneja)

la tarjeta. Además de las funciones de registro de hardware, ControlDesk proporciona las

funciones de carga, inicio y paro en las aplicaciones en tiempo real en la tarjeta.

4.5.2 Computadora personal

Para realizar las simulaciones numéricas de los esquemas de control del vehículo y para

instalar la tarjeta controladora DS1103 se emplea una PC-IBM compatible. Además, esta

computadora también servirá para desarrollar las interfaces gráficas de usuario del

vehículo. En la tabla siguiente se enlistan las características de la computadora personal.

Tabla 4.6. Características de la computadora personal

Hardware Software

Microprocesador Intel Pentium III a 500MHz Sistema operativo Microsoft Windows

XP Profesional 2002 Service Pack 2

580 Mb en memoria RAM Matlab R2006b y Simulink

150 Gb en disco duro Real Time Interfase, RTI

Tarjeta de adquisición de datos DSP DS1103 Real Time Workshop, RTW

Panel de conexión CPL 1103 ControlDesk

4.6 Circuitos electrónicos

Una vez que se conocen los sensores y actuadores que forman parte de la instrumentación

del vehículo, se procede a construir los circuitos electrónicos necesarios para acoplar y

amplificar las señales de estos elementos. Es importante verificar que estas señales sean

compatibles entre la interface DS1103 y el VGA.

4.6.1 Servoamplificador

El circuito más ampliamente aplicado para controlar un motor de CD es el

servoamplificador basado en un puente H de potencia. Recibe este nombre debido a que la

configuración eléctrica de todos sus componentes tiene similitud con la letra H. La ventaja

principal del puente H es que permite cambiar el sentido de giro del motor con solo

controlar la saturación del par de transistores de potencia TR1 y TR2, o del par TR3 y TR4,

mediante la combinación de los bits 𝑏0 y 𝑏1, los cuales en este caso se obtienen del módulo

de salidas digitales de la tarjeta controladora DS1103, empleada para controlar el prototipo.

Véase la figura 4.9.


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Figura 4.9. Puente H

Resulta evidente que para evitar un daño serio a la electrónica de potencia, por ningún

motivo puede ocurrir la saturación simultánea de los cuatro transistores. En ese sentido, y

para evitar que ocurra el traslape de las señales para saturar simultáneamente a los dos

pares de transistores, se requirió de la implementación de un circuito de protección lógico

combinatorio basado en la siguiente tabla de verdad.

Tabla 4.7. Tabla de verdad del circuito de protección del puente H

ENTRADAS SALIDA MODO DE OPERACIÓN

𝑏0 𝑏1 𝑠 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟

0 0 0 sin 𝑔𝑖𝑟𝑜

0 1 1 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

1 0 1 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑕𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

1 1 0 sin 𝑔𝑖𝑟𝑜

En la figura 4.10 se muestra el circuito digital que da solución a las condiciones de la tabla

de verdad anterior. El bit 𝑏2 es la señal para controlar la velocidad del motor, y se obtiene a

través de los canales de modulación por ancho de pulso (MAP, por sus siglas en español)

de la tarjeta controladora. La salida s es la señal que se alimenta al circuito controlador del

motor, y prácticamente es la misma salida 𝑏2 del canal de MAP, cuya habilitación depende

de la combinación de los bits 𝑏0 y 𝑏1.


- 60 -

Figura 4.10. Circuito combinacional para la protección del puente H

La modulación por ancho de pulso es una de las técnicas de control más utilizadas y

estudiadas en los últimos años, debido a la confiabilidad por su robustez inherente ante

perturbaciones externas, teniendo un amplio campo de aplicaciones prácticas, entre las que

se pueden mencionar el control de motores eléctricos, manipuladores robóticos o procesos

químicos.

Los aspectos generales de esta modulación parten de la siguiente consideración: dado un

sistema dinámico lineal de una entrada descrito por 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑢), se establece que el sistema

estará gobernado por una estrategia de control discontinua del tipo modulación por ancho

de pulso, si la señal u toma valores en el conjunto 𝑢 = {0,1} dado por,

𝑢 = 01

∇𝑡𝑘 < 𝑡 ≤ 𝑡𝑘 + 𝜏 𝑥(𝑡𝑘) ∙ 𝑇

∇𝑡𝑘 + 𝜏 𝑥(𝑡𝑘) ∙ 𝑇 < 𝑡 ≤ 𝑡𝑘 + 𝑇 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2,…

donde T es un período de muestreo fijo (ciclo de trabajo) , 𝜏 𝑥(𝑡𝑘) es una función del

estado del sistema (función de relación de trabajo o ciclo útil de trabajo) que determina la

duración del pulso de control en el instante de tiempo que hay entre el instante de muestreo

actual 𝑡𝑘 hasta el próximo instante de muestreo𝑡𝑘 + 𝑇. Además esta función está acotada en

el intervalo [0, 1] para todo t.

El ancho del pulso aplicado estará dado por 𝜏 𝑥(𝑡𝑘) ∙ 𝑇 en cada instante de muestreo 𝑡𝑘 , y

será función del valor del vector de estado en dicho instante. Una interpretación de la

función 𝜏 𝑥(𝑡𝑘) es considerarla como el porcentaje del intervalo T en que estará activo un

pulso de control. Lo anterior se muestra en la figura 4.11, y en la Figura 4.12 se ilustra el

resultado de aplicar esta modulación para obtener un voltaje de CD promedio 𝑉𝑚 , el cual se

define como 𝑉𝑚 =𝜏

𝑇𝐸, donde E es el voltaje fijo de la batería, apreciándose con claridad

que 𝑉𝑚 = 𝐸 cuando τ → T, es decir cuando no hay conmutación en los transistores de

potencia. Además, 𝜏

𝑇 es la relación que indica el porcentaje de ciclo útil de trabajo.

La frecuencia de conmutación preestablecida para los canales de modulación por ancho de

pulso de la tarjeta controladora DSP es de 1 kHz.


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Figura 4.11. Modulación por ancho de pulso (MAP)

Figura 4.12. Voltaje de CD promedio resultante de la modulación por ancho de pulso

Por otra parte, las señales de los bits 𝑏0, 𝑏1 y 𝑏2 de la figura 4.10, son proporcionados por la

tarjeta controladora DS1103, son señales digitales que toman valores de 0 y 1 lógicos. Por

esta razón resulta evidente la necesidad del empleo de optoacopladores para aislar las

señales digitales provenientes de la tarjeta controladora DS1103, con las señales analógicas

que son alimentadas a los motores.

En la figura 4.13, se muestra un diagrama de bloques completo que describe en lo general,

toda la etapa electrónica descrita anteriormente y que fue implementada para la conexión de

los motores de tracción del vehículo. En la figura 4.14, se muestran las tarjetas electrónicas

montadas sobre la plataforma del vehículo. En el Anexo D se presentan los esquemas de los

circuitos electrónicos construidos en cada etapa.


- 62 -

Figura 4.13. Esquema de conexión entre el sistema DS1103 y la electrónica del vehículo

Figura 4.14. Circuitos electrónicos montados en la plataforma del vehículo

4.6.2 Acondicionador de señal para los codificadores ópticos

Los codificadores ópticos o encoders incrementales del prototipo, se conectan directamente

al módulo provisto por el sistema DSP DS1103. Para disminuir el riesgo de daño al equipo,

se emplean circuitos acopladores conectados entre la tarjeta controladora y los

codificadores ópticos. Cabe mencionar que estos circuitos además de acoplar las señales

que van hacia la tarjeta DS1103, aseguran que los niveles de estas señales siempre estén

dentro de los niveles lógicos TTL.

La figura 4.15 muestra el diagrama de bloques de la conexión de los codificadores ópticos

con la tarjeta controladora DSP. En dicha figura se pueden apreciar las etapas que se

requieren para conectar los codificadores de cada motor de tracción con el sistema DSP.

Cada motor de tracción cuenta con un reductor mecánico que se acopla directamente a la

rueda de tracción del vehículo. En el otro extremo de la flecha del motor se acopla el

codificador óptico. El codificador óptico entrega una cantidad de pulsos TTL en formato

serial en relación al desplazamiento angular de la flecha del motor, a su vez estos pulsos


- 63 -

son acoplados al sistema DS1103 a través de circuitos buffers para evitar efectos de

sobrecarga entre el encoder y el sistema DSP.

Figura 4.15. Interconexión entre el sistema DS1103 y los codificadores ópticos del VGA.

4.7 Características del vehículo guiado automáticamente

Las características generales del prototipo desarrollado se muestran en la tabla 4.8. Véanse

los anexos F y H, para conocer la operación del vehículo y el uso de la interface gráfica de

usuario.

Tabla 4.8. Características del vehículo construido

Parámetro Descripción Valor

𝑣𝑚á𝑥 velocidad máxima del vehículo 1.026 𝑚/𝑠𝑒𝑔

𝑟 radio de la rueda 0.0771 𝑚

l distancia entre ruedas de tracción a lo largo de su

eje 0.2065 𝑚

L distancia entre puntos guías (medio y frontal) 0.3250 𝑚

𝑤𝑖 = 𝑤𝑑 velocidad angular máxima de la rueda 13.33 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝐸 voltaje de alimentación 12 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠

𝐼 consumo de corriente 2.8 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 − 𝐻𝑟

𝑚 masa del vehículo 19.4 𝑘𝑔

Autonomía tiempo de duración de la carga de la batería 4 𝐻𝑟

Costo Materiales mecánicos, electrónicos y motores $4,800.00 aprox.


- 64 -


El diseño y la construcción del prototipo VGA llevaron consigo la integración de sistemas

mecánicos, electromecánicos, electrónicos, de interface, y de manejo y manipulación de

datos. La integración de estos sistemas tomó en cuenta la instrumentación y los esquemas

de control que fueron implantados. El sistema mecánico diseñado presenta estabilidad en

general.

Los motores eléctricos seleccionados cumplen con los requerimientos estipulados en el

diseño del prototipo y el control de estos motores a través de los servoamplificadores

resultó ser confiable. Además, la compensación de fricción de los motores demostró ser

funcional.

Por otra parte, los codificadores ópticos utilizados fueron integrados al sistema DS1103 de

manera sencilla. Particularmente los codificadores mostraron un buen comportamiento y la

resolución proporcionada fue la adecuada para los efectos de este trabajo.

En general, el uso del sistema DS1103 es una excelente herramienta, es un poderoso

sistema de procesamiento de información para la implementación en tiempo real de las

leyes de control del vehículo, es un sistema dedicado y con alta capacidad de cálculo, es

decir, debe soportar el desarrollo de una gran cantidad de ecuaciones matemáticas

complejas en un periodo de muestreo del orden de milisegundos.


- 65 -

Capítulo

5

Resultados en Simulación y

en Tiempo Real

5.1 Introducción

Las estrategias de control propuestas son implementadas y analizadas en este capítulo. Este

análisis del desempeño de las leyes de control se lleva a cabo mediante experimentos de

simulación y en tiempo real con el vehículo. Los experimentos en simulación comprenden

los esquemas de control por retroalimentación estática, dinámica y el control de estructura

variable que se describen en el capítulo 3. Se proponen trayectorias de tipo parábola, hélice

y círculo en donde existe toda posibilidad de que se presenten la mayoría de las

singularidades exhibidas por las leyes de control desarrolladas.

En específico, se presentan los resultados correspondientes al esquema de control diseñado

para el caso 3 y para el control de estructura variable. Se recuerda que el control de

estructura variable conmuta entre los esquemas de control de los casos 1 y 2.

Para el esquema de control del caso 3, se realizaron experimentos en simulación y tiempo

real con trayectorias de tipo; parábola, hélice y círculo. Para el esquema de estructura

variable se realizó la experimentación con la trayectoria tipo parábola, debido a que es la de

mayor dificultad a seguir por el vehículo.

Capítulo 5. Resultados en Simulación y en Tiempo Real

- 66 -

5.2 Parametrización de la trayectoria deseada

En esta sección se definen las trayectorias que debe seguir el vehículo en el plano

horizontal. En particular, se parametrizan tres trayectorias diferentes, las cuales son

funciones suaves del tiempo. La primera trayectoria es una parábola, la segunda es una

hélice y la tercera es un círculo.

5.2.1 Trayectoria 1

A continuación, se describe el procedimiento para obtener la parametrización de una

parábola respecto al tiempo, se sabe que la ecuación de esta curva es;

𝑦𝑑 𝑡 = 𝑥𝑑2(𝑡) (5.1)

la parametrización propuesta de 𝑥𝑑 con respecto al tiempo esta dada por,

𝑥𝑑 𝑡 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 2𝜋

𝑃 𝑡 (5.2)

Con esta parametrización el vehículo se desplazará del origen al punto 𝑎, 𝑎2

posteriormente al punto −𝑎, 𝑎2 pasando por el origen y finalmente regresará al origen, en

un tiempo de 𝑃 segundos.

Al derivar la ecuación (5.2) con respecto al tiempo, sustituyendo 𝑥 𝑑 = 𝑣 cos 𝜑𝑑 , 𝑦 𝑑 =𝑣 sen 𝜑𝑑 y resolviendo con respecto a 𝜑𝑑 , encontramos la siguiente condición necesaria

para el seguimiento de trayectoria de (5.1)

𝜑𝑑 𝑡 = arctan(2𝑥𝑑 𝑡 ) (5.3)

Los valores empleados para 𝑎 y 𝑃 son, 0.9 m y 60 s., respectivamente.

Figura 5.1. Trayectoria 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

[m]

[m]

Trayectoria deseada sobre el plano XY

(0,0)

(a,a )(-a,a ) 22


- 67 -

5.2.2 Trayectoria 2

Con el propósito de facilitar la parametrización de las trayectorias, se propone ahora una

curva tipo hélice, dada por,


𝑃 𝑡 (5.4)

𝑦𝑑 𝑡 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 2 2𝜋

𝑃 𝑡 (5.5)

Con esta parametrización la trayectoria comienza en 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 0 𝑦 𝜑 = 𝜋 2 . El

vehículo inicia con esas coordenadas como condiciones iniciales y se desplazará sobre la

trayectoria hasta el punto 𝑎, 𝑏 , seguirá y cruzará el origen hasta llegar al punto −𝑎, −𝑏 ,

de ahí sigue al punto −𝑎, 𝑏 , posteriormente pasa por el origen, cruza por 𝑎, −𝑏 y llega

al punto de partida, todo en un tiempo de 𝑃 segundos. Los valores empleados para 𝑎, 𝑏 y 𝑃

son:

𝐴 0.8 𝑚

𝐵 0.8 𝑚

𝑃 60 𝑠𝑒𝑔


5.2.3 Trayectoria 3

La tercer trayectoria parametrizada es un círculo de radio a, dada por,


𝑃 𝑡 (5.6)

𝑦𝑑 𝑡 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2𝜋

𝑃 𝑡 (5.7)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]

Trayectoria deseada en el plano XY

(a,0)

(a,b)

(-a,-b)

(-a,b)

(a,-b)


- 68 -

Ahora la trayectoria comienza en 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑎 𝑦 𝜑 = 0. El vehículo inicia con esas

condiciones iniciales y se desplazará sobre el perímetro de la curva hasta alcanzar su punto

de inicio. Es decir, el vehículo cruzará por el punto 𝑎, 0 , seguirá hasta llegar al punto 0, −𝑎 , de ahí sigue al punto −𝑎, 0 , y llega al punto de partida, todo en un tiempo de 𝑃

segundos. Los valores empleados para 𝑎 y 𝑃 son, 0.8 m y 60 s., respectivamente.


5.3 Simulaciones

En esta sección se presentan los resultados en simulación de los esquemas de control

diseñados para los tres casos. Las simulaciones fueron realizadas con el paquete

computacional Matlab-Simulink R2006b.

Con el propósito de dar claridad en la organización de la presentación de resultados en

simulación, se utiliza la siguiente nomenclatura:

Tabla 5.1. Organización de las simulaciones realizadas

ESQUEMA TRAY. CONDICIONES INICIALES DEL VGA

FIGURA 𝒙𝟎 (𝒄𝒎) 𝒚𝟎 (𝒄𝒎) 𝝋𝟎 (𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔)

SIM1-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola -0.30 0 0 5.4

SIM2-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola -0.30 0 +45 5.5

SIM3-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 0 -0.30 +90 5.6

SIM4-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 0 +0.30 -90 5.7

SIM5-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 2. Hélice +0.80 -0.30 +90 5.8

SIM6-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 3. Círculo -0.30 +0.80 0 5.9

SIM7-RE 𝑥, 𝜑 1. Parábola 0 0 0 5.10

SIM8-EV 𝑥, 𝑦, 𝜑 1. Parábola 0 0 0 5.11

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Trayectoria deseada en el plano XY

[m]

[m]

(0,a)

(a,0)

(0,-a)

(-a,0)


- 69 -

Las simulaciones descritas en esta sección, se refieren al seguimiento de las tres

trayectorias parametrizadas en la sección 5.2. Las diferentes condiciones iniciales utilizadas

se listan en la tabla 5.1. Dichas condiciones iniciales también se emplean para los

experimentos en tiempo real descritos en la siguiente sección.

Para cada una de las simulaciones se muestra una figura correspondiente, la cual describe el

comportamiento del vehículo en el seguimiento de la trayectoria en cuestión. Cada figura

está compuesta de seis incisos. El comportamiento de las variables de estado del vehículo

𝑥, 𝑦, 𝜑 se compara con las trayectorias que se desean seguir 𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑 en los incisos a),

b) y c), respectivamente. En el inciso d) se presentan las trayectorias seguidas sobre el

plano cartesiano. Esto es, se presentan las relaciones 𝑦 𝑥 y 𝑦𝑑(𝑥𝑑). El inciso e) muestra

las velocidades angulares izquierda 𝑤𝑖 y derecha 𝑤𝑑 de cada una de las ruedas, por último,

en el inciso f) se grafican los voltajes de control 𝑣𝑖 y 𝑣𝑑 aplicados a los motores izquierdo y

derecho para realizar el seguimiento deseado.

5.3.1 Comentarios sobre las simulaciones realizadas

En general el desempeño de las leyes de control diseñadas es bueno. Los voltajes de control

𝑣𝑑 , 𝑣𝑖 oscilan entre -4 y +4 volts aproximadamente. Las velocidades angulares 𝑤𝑑 , 𝑤𝑖

presentan un sobre-impulso al inicio, con la finalidad de poder alcanzar los valores

deseados generados por el controlador.

En general, en las gráficas (a) y (b) de las figuras 5.4 - 5.9, muestran que el seguimiento

asintótico de las variables 𝑥 y 𝑦 se logra con éxito, es decir 𝑥 → 𝑥𝑑 y 𝑦 → 𝑦𝑑 , no así para la

variable 𝜑 como era de esperarse. Para el caso 2, figura 5.10 se aprecia en (b) que cuando

𝑡 → ∞ en lazo cerrado, el error de seguimiento en 𝑦 se incrementa, y en consecuencia

repercute en la precisión en el seguimiento de la trayectoria, esto se aprecia en 5.10(d). Por

otra parte, respecto a la variable 𝜑, se muestra en 5.10(c) que se satisface el seguimiento

asintótico sobre 𝜑𝑑 es decir se cumple que 𝜑 → 𝜑𝑑 debido a que esta variable para este

CASO 2 se considera en el sistema entrada-salida linealizado.

Respecto al esquema de estructura variable, en la simulación de la figura 5.11(f), presenta

pequeños sobreimpulsos cuando el voltaje de control pasa por cero. Estos sobreimpulsos

son ocasionados por los cambios entre el control estático y el dinámico, a pesar de ello se

observa en 5.11(a), (b) y (c) que el seguimiento asintótico de las variables 𝑥, 𝑦, 𝜑 se logra

con éxito, es decir 𝑥 → 𝑥𝑑 , 𝑦 → 𝑦𝑑 y 𝜑 → 𝜑𝑑 . Finalmente en 5.11(d) se muestra la

trayectoria descrita por la locomoción del vehículo. Es decir se cumple que 𝑦 𝑥 → 𝑦𝑑 𝑥𝑑 .


- 70 -

Figura 5.4. Simulación SIM1-RE- 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de xf, xd

xf

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]

Gráfica de yf y yd

yf

yd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[rad]

Gráfica de fif y fid

fif

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[m]

[m]

Trayectoria en el plano XY

yf(xf)

yd(xd)

y(x)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[rad/s

]

Velocidades angulares wd, wi

wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

[s]

[volts]

Voltajes de control vd, vi

vd

vi

(f)


- 71 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de xf y xd

xf

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]

Gráfica de yf y yd

yf

yd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

[s]

[rad]


fif

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[m]

[m]


yf(xf)

yd(xd)

y(x)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[rad/s

]

Velocidades angulares wd y wi

wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[volts]

Voltajes de control vd y vi

vd

vi

(f)


- 72 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de xf y xd

xf

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]

Gráfica de yf y yd

yf

yd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

[s]

[rad]


fif

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]


yf(xf)

yd(xd)

y(x)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[rad/s

]


wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

[s]

[volts]


vd

vi

(f)


- 73 -

Figura 5.7. Simulación SIM4-RE- 𝑥1,𝑦1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de xf y xd

xf

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]

Gráfica de yf y yd

yf

data2

(b)

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

[s]

[rad]


fif

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[m]

[m]


yf(xf)

yd(xd)

y(x)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[rad/s

]


wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

[s]

[volts]


vd

vi

(f)


- 74 -


0 10 20 30 40 50 60-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de xf y xd

xf

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de yf y yd

xf

xd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[rad]


fif

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]


yf(xf)

yd(xd)

y(x)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[s]

[rad/s

]


wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-1

0

1

2

3

4

5

6

[s]

[volts]


vd

vi

(f)


- 75 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráficas de xf y xd

xf

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de yf y yd

yf

yd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

[s]

[rad]


fif

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]


yf(xf)

yd(xd)

y(x)

(d)

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

[s]

[rad/s

]


wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

[s]

[volts]


vd

vi

(f)


- 76 -

Figura 5.10. Simulación SIM7-RE- 𝑥, 𝜑

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de x y xd

x

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]

Gráfica de y y yd

y

yd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

[s]

[rad]

Gráfica de fi y fid

fi

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[m]

[m]


y(x)

yd(xd)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

[s]

[rad/s

]


wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-15

-10

-5

0

5

10

15

[s]

[volts]

Voltajes de control

vd

vi

(f)


- 77 -

Figura 5.11. Simulación SIM8-EV- 𝑥, 𝑦, 𝜑

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Gráfica de x y xd

x

xd

(a)

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]

Gráfica de y y yd

y

yd

(b)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

[s]

[rad]

Gráfica de fi y fid

fi

fid

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[m]

[m]


y(x)

yd(xd)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[m]


wd

wi

(e)

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[volts]

Voltajes de control

vd

vi

(f)


- 78 -

5.4 Experimentos en tiempo real

En esta sección se presentan los resultados obtenidos en tiempo real. Se experimentó con

los esquemas de control por retroalimentación estática (RE) para las salidas 𝑥1, 𝑦1 coordenadas del punto guía frontal y con el control de estructura variable (EV) para las

salidas 𝑥, 𝑦, 𝜑 , coordenadas del punto guía medio. Para ambos esquemas de control se

sintonizó experimentalmente el controlador PID de los motores. Los experimentos fueron

implantados en el sistema de desarrollo DSP DS1103. Se emplearon trayectorias tipo:

Parábola, hélice y círculo. Se empleó un periodo de muestreo de 10 milisegundos.

Con el propósito de dar claridad a los resultados la siguiente tabla muestra el orden en que

se reportan los experimentos.

Tabla 5.2. Organización de los experimentos realizados

EXPERIMENTO TRAY.

CONDICIONES INICIALES DEL

VGA FIGURAS

𝒙𝟎 (𝒄𝒎) 𝒚𝟎 (𝒄𝒎) 𝝋𝟎 (𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔)

EXP1-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola -0.30 0 0 5.12

EXP2-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola -0.30 0 +45 5.13

EXP3-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 0 -0.30 +90 5.14

EXP4-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 0 +0.30 -90 5.15

EXP5-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 2. Hélice +0.80 -0.30 +90 5.16

EXP6-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 3. Círculo -0.30 +0.80 0 5.17

EXP7-EV 𝑥, 𝑦, 𝜑 1. Parábola 0 0 0 5.18

Los experimentos descritos en esta sección, se refieren al seguimiento de las tres

trayectorias parametrizadas en la sección 5.2. Las diferentes condiciones iniciales utilizadas

se listan en la tabla 5.2.

Para cada uno de los experimentos se muestra una figura correspondiente, la cual describe

el comportamiento del vehículo en el seguimiento de la respectiva trayectoria. Cada figura

está compuesta de diez gráficas. Se muestra el comportamiento de las variables de estado

del vehículo 𝑥, 𝑦, 𝜑 y se comparan con las trayectorias que se desean seguir 𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 , 𝜑𝑑 , respectivamente. Se presentan las trayectorias en seguimiento sobre el plano cartesiano. Es

importante aclarar que se muestran las trayectorias que describen tanto el punto guía frontal

como el punto guía medio, es decir, se presentan las relaciones 𝑦 𝑥 , 𝑦𝑑 𝑥𝑑 y 𝑦𝑓(𝑥𝑓), a

excepción de la figura 5.18 en donde solo se muestra el seguimiento del punto guía medio.

Por otra parte, se muestran las velocidades angulares izquierda 𝑤𝑖 y derecha 𝑤𝑑 de cada

una de las ruedas, también se muestran los voltajes de control 𝑣𝑖 y 𝑣𝑑 aplicados a los

motores izquierdo y derecho para realizar el seguimiento deseado y por último, se grafican

los errores de seguimiento asociados a cada variable de estado, es decir; 𝑥 − 𝑥𝑑 , 𝑦 − 𝑦𝑑 y 𝜑 − 𝜑𝑑 .


- 79 -

Figura 5.12. Experimento EXP1-RE- 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

Seguimiento en X (xf, xd)

xd

xf

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

[s]

[m]

Seguimiento en Y (yf, yd)

yd

y1

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

[s]

[rad]

Seguimiento en Fi (fif, fid)

fid

fif

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

[m]

[m]

Trayectoria descrita por el punto frontal del VGA (xf, yf)

yd(xd)

yf(xf)

Punto guía frontal del VGA

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[m]

[m]

Trayectoria descrita por el punto medio del VGA (x,y)

Punto guía medio del VGA

Frente del VGA

0 10 20 30 40 50 60-15

-10

-5

0

5

10

15

[s]

[rad/

s]Velocidades angulares wd, wi

wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

[s]

[m]

Error de seguimiento en X (xf-xd)

0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

[s]

[m]

Error de seguimiento en Y (yf-yd)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[s]

[rad]

Error de seguimiento en Fi (fif-fid)


- 80 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


xd

x1

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]


yd

yf

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

[s]

[rad]

Seguimiento en FI (fif, fid)

fid

fif

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[m]

[m]


yd(xd)

yf(xf)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

[m]

[m]

Trayectoria descrita por el punto medio del VGA

45°

Punto frontal (guía) del VGA

Punto medio del VGA

0 10 20 30 40 50 60-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

[s]

[rad/


wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-6

-4

-2

0

2

4

6

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[s]

[rad]

Error de seguimiento en FI (fif-fid)


- 81 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]

seguimiento en X (xf, xd)

xd

x1

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]


yd

y1

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

[s]

[m]


fid

fi

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[m]

[m]


yd(xd)

yf(xf)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

[m]

[m]

Trayectoria descrita por el punto medio del VGA

Punto guía del VGA

Punto medio del VGA

+90°

0 10 20 30 40 50 60-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

[s]

[rad/


wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-6

-4

-2

0

2

4

6

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[s]

[rad]



- 82 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


xd

xf

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[s]

[m]


yd

yf

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

[s]

[rad]


fid

fif

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

[m]

[m]

Trayectora del punto guía del VGA

yd(xd)

yf(xf)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

[m]

[m]

Trayectoria del punto medio del VGA (x,y)

Punto guía

Punto medio

-90°

0 10 20 30 40 50 60-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

[s]

[rad/


wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-6

-4

-2

0

2

4

6

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

[s]

[rad]



- 83 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


xd

xf

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


yd

yf

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[rad]


fid

fif

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]

Trayectoria del punto guía (xf, yf)

yd(xd)

yf(xf)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

[m]

[m]

Trayectoria del punto medio (x, y)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[rad

/s]


wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-6

-4

-2

0

2

4

6

8

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[rad]



- 84 -


0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


xd

xf

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


yd

yf

0 10 20 30 40 50 60-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

[s]

[rad]


fid

fif

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]

Trayectoria del punto guía (xf, yf)

yd(xd)

yf(xf)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

[m]

Trayectoria del punto medio (x, y)

0 10 20 30 40 50 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

[s]

[rad

/s]


wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

[s]

[m]


0 10 20 30 40 50 60-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

[s]

[rad]



- 85 -

Figura 5.18. Experimento EXP7-EV- 𝑥, 𝑦, 𝜑

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[s]

[m]


xd

xf

0 10 20 30 40 50 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

[s]

[m]


yd

y1

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

[s]

[rad]

Seguimiento en FI (fi, fid)

fi

fid

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

[m]

[m]

Trayectoria del punto medio del VGA

yd(xd)

y(x)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[s]

[rad

/s]


wd

wi

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

[s]

[vol

ts]


vd

vi

0 10 20 30 40 50 60-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

[s]

[m]

Error de seguimiento en X (x-xd)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

[s]

[m]

Error de seguimiento en Y (y-yd)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

[s]

[rad]

Error de seguimiento en Fi (fi-fid)


- 86 -

5.4.1 Comentarios sobre la experimentación realizada

En la sección anterior se presentaron los resultados en tiempo real del esquema de control

por retroalimentación estática y del esquema de control de estructura variable.

En cuanto al esquema de retroalimentación estática se experimentó con las trayectorias de

tipo parábola, hélice y círculo. Se realizó el seguimiento de estas trayectorias con el punto

guía frontal. Este esquema de control presentó un buen desempeño. Los errores de

seguimiento oscilan entre +2 cm y -2 cm.

Respecto al esquema de control de estructura variable se experimentó con la trayectoria

tipo parábola debido a la dificultad que presenta el vehículo para realizar el seguimiento de

esta trayectoria con el punto guía medio. Este esquema es más completo que el anterior y

logra la convergencia de las tres variables de estado, además de presentar un excelente

desempeño. Los errores de seguimiento son pequeños, del orden de milímetros.

Otro aspecto importante de mencionar es respecto a las condiciones iniciales del vehículo.

Antes de comenzar cada experimento se asignan las condiciones iniciales del vehículo de

acuerdo a la tabla 5.2, con el propósito de ubicar y orientar de diferentes maneras al

vehículo y comprobar que las leyes de control diseñadas garanticen la convergencia de las

variables de estado con las variables de entrada asociadas a cada trayectoria. De esta

manera, con éstos experimentos se puede evaluar el desempeño de las leyes de control

diseñadas y se comprueba la hipótesis planteada en esta tesis.

Por otra parte, las figuras 5.19 y 5.20 son dos de las diferentes interfaces gráficas

desarrolladas en ControlDesk para llevar a cabo la experimentación. Véase anexo F.

5.5 Índice de desempeño de los esquemas de control

A continuación se presenta un análisis sobre los resultados obtenidos con los diferentes

esquemas de control desarrollados. Como una medida cuantitativa, se propone el uso de un

índice de desempeño para comparar el comportamiento de cada uno de los esquemas de

control desarrollados en cada caso.

Un índice de desempeño es un valor que indica la bondad del comportamiento de un

sistema. Se considera que un sistema de control es óptimo, si los valores de los parámetros

se eligen de modo que el índice de desempeño elegido sea mínimo o máximo, según el

caso. Un índice de desempeño debe brindar selectividad, es decir; un ajuste óptimo de los

parámetros que se distingue claramente de los ajustes no óptimos de los parámetros.

Además un índice de desempeño debe presentar un único valor numérico positivo o cero.

En este trabajo, el índice de desempeño que se propone está basado en el criterio Integral

del error Cuadrático (CIEC) [Ogata98]. Este criterio utiliza una función de la desviación de

la salida del sistema respecto a la entrada. En este criterio en particular se considera que un


- 87 -

sistema es óptimo si el índice de desempeño es el mínimo posible. De acuerdo al CIEC, la

calidad de comportamiento del sistema se evalúa por medio de la siguiente integral,

𝐼 = 𝑒2𝑇

0

𝑡 𝑑𝑡, (5.8)

Con 𝑒 𝑡 = 𝑦𝑑 𝑡 − 𝑦(𝑡), donde 𝑦𝑑 𝑡 es la salida deseada y 𝑦(𝑡) es la salida real del

sistema.

En particular, para el sistema del VGA por contar con la medición de tres variables, se

eligió,

Índice de Desempeño 𝐼𝐷 = [𝑒12𝑇

0 𝑡 + 𝑒2

2 𝑡 + 𝑒32 𝑡 ] 𝑑𝑡, (5.9)

donde,

𝑒1 = 𝑥𝑑 𝑡 − 𝑥(𝑡),

𝑒2 = 𝑦𝑑 𝑡 − 𝑦(𝑡),

𝑒3 = 𝜑𝑑 𝑡 − 𝜑(𝑡)

Tabla 5.3. Índice de desempeño (Simulación)

ESQUEMA TRAY. ÍNDICE DE

DESEMPEÑO COMENTARIOS

SIM1-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 1.547 𝑋 10−6 Buen seguimiento



SIM4-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 3.403 𝑋 10−3

Buen seguimiento, un poco de

oscilación de alta frecuencia en

el control

SIM5-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 2. Hélice 2.104

Buen seguimiento, un poco de

oscilación de alta frecuencia en

el control

SIM6-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 3. Círculo 2.473 𝑋 10−4 Buen seguimiento

SIM7-RE 𝑥, 𝜑 1. Parábola 0.330 Buen seguimiento

SIM8-EV 𝑥, 𝑦, 𝜑 1. Parábola 4.301 𝑋 10−12

Seguimiento casi perfecto de la

trayectoria, excelente índice de

desempeño


- 88 -

Tabla 5.4. Índice de desempeño (Experimentos en tiempo real)

ESQUEMA TRAY. ÍNDICE DE

DESEMPEÑO COMENTARIOS

EXP1-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 0.325 𝑋 10−3 Control suave, 𝜑 evoluciona

libremente

EXP2-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 1. Parábola 0.512 𝑋 10−3 Castañeo leve al inicio, 𝜑

evoluciona libremente


libremente


libremente

EXP5-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 2. Hélice 6.625 𝑋 10−3 Control suave, 𝜑 evoluciona

libremente

EXP6-RE 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 3. Círculo 2.923 X 10−3 Control suave, 𝜑 evoluciona

libremente

EXP7-EV 𝑥, 𝑦, 𝜑 1. Parábola 23.85 𝑋 10−4

Un poco de castañeo al

conmutar entre leyes de

control, convergencia de las

tres variables de estado,

seguimiento preciso de la

trayectoria y mejor índice de

desempeño


Se presentaron los resultados de diferentes esquemas de control para el seguimiento de

diferentes trayectorias de un vehículo guiado automáticamente de tres grados de libertad.

Todos los esquemas desarrollados fueron evaluados en simulación, y fueron implementados

en tiempo real.

En general todos los esquemas de control funcionan y cumplen de forma aceptable el

objetivo de control propuesto que es el seguimiento de trayectorias deseadas sobre el plano

XY.

Por otra parte, el reductor mecánico de los motores de CD del VGA presenta un efecto de

histéresis debido a las componentes de fricción interna además del propio peso del VGA.

Por ello aunque se les este aplicando un voltaje de control estos permanecen detenidos,

hasta que este voltaje sobrepasa cierto umbral. Con base en la experimentación, se

determinó que el valor de este umbral es de 4 volts para ambos motores. Este efecto

indeseable se puede apreciar en las gráficas de velocidades angulares, en donde se observa

que cuando la velocidad tiende a cero, permanece en este valor durante un intervalo de

tiempo muerto antes de comenzar a girar nuevamente. Este efecto se redujo gracias al

esquema de compensación de fricción de Dahl.


- 89 -

Figura 5.19. Interface IGU-VGA para la adquisición de datos en tiempo real.

Figura 5.20. Interface IGU-VGA mostrando los datos adquiridos durante el seguimiento de

una trayectoria tipo hélice.


- 90 -

Página en blanco intencional


- 91 -

Capítulo

6

Conclusiones

Con el fin de aportar nuevas soluciones tecnológicas se diseñó, construyó y controló un

vehículo guiado automáticamente de tres grados de libertad tipo TWMR que sirvió como

banco de pruebas para el desarrollo de técnicas de control avanzado. En particular, en este

trabajo se presenta la aplicación de leyes de control no lineal para el seguimiento asintótico

o exacto de trayectorias parametrizadas sobre el plano XY.

En este trabajo se describen cada uno de los sistemas que constituyen el diseño,

construcción y control del vehículo guiado automáticamente. Este diseño se inició a partir

del estado del arte sobre los vehículos guiados automáticamente y su control para tener una

base sólida de la cual partir. Posteriormente, se desarrollaron matemáticamente los modelos

cinemático y dinámico del vehículo de tres grados de libertad con el propósito de estudiar

su comportamiento, propiedades y características.

El VGA con características mecatrónicas llevo consigo la integración de sistemas

mecánicos, electromecánicos, electrónicos, de control y de computación. El diseño está

basado en consideraciones de espacio de locomoción del vehículo, velocidades máximas

deseadas, aceleraciones máximas y propiedades mecánicas deseables. También en la

construcción del vehículo se incluyó la elección de actuadores y sensores adecuados para el

objetivo de control propuesto, especialmente para cumplir con las demandas de los

esquemas de control desarrollados.

El modelo dinámico del vehículo, resultó ser más completo que el modelo cinemático,

porque incluye las restricciones no-holonómicas, y las relaciones masa-aceleración y fuerza

que existen en el sistema del vehículo guiado automáticamente. El modelo dinámico del

vehículo, si bien más complejo que el modelo cinemático, proporciona un panorama más

amplio del sistema. Otra cosa que hay que hacer notar es que el modelo dinámico necesita

conocer exactamente los valores de los parámetros físicos del vehículo para que el modelo

matemático reproduzca fielmente el comportamiento del sistema real. El modelo

cinemático desarrollado es más simple, ya que solo hace referencia a las relaciones

Capítulo 6. Conclusiones

- 92 -

geométricas que existen en el sistema. Además, este modelo no necesita conocer todos los

parámetros del sistema.

Con base en el conocimiento cinemático del vehículo, se presentaron dos estrategias de

control, a saber; (1) Linealización por retroalimentación estática; se diseñó un controlador

no lineal que junto con un lazo de control interno formado por el controlador PID consigue

un seguimiento asintótico de las variables de salida, asociadas a un punto frontal sobre la

plataforma del vehículo y, (2) Linealización por retroalimentación dinámica; se diseñó un

controlador de estructura variable con el propósito de gobernar a las tres variables de estado

del vehículo, que aunado al controlador PID logra el seguimiento asintótico de la

trayectoria deseada con las variables de salida asociadas a un punto guía medio.

El sistema mecánico del prototipo VGA presentó alta rigidez y buen desempeño, además de

tener un peso moderado. Los motores eléctricos utilizados cumplieron con los objetivos del

diseño del prototipo y el control realizado por la interface electrónica fue confiable. La

compensación de fricción de las cajas de engranes demostró ser funcional, sin embargo se

considera que es necesario desarrollar un mejor modelo de la fricción en el que se

consideren más a fondo los efectos de la histéresis provocada por la fricción interna de las

cajas de engranes, los acoplamientos, cojinetes y la fricción entre las ruedas y la superficie

de rodamiento.

Los sensores utilizados en la instrumentación del VGA proporcionaron una resolución de

0.5375 milímetros por pulso, que resultó adecuada para el propósito de este trabajo, a pesar

de tener en contra el efecto de la histéresis en la salida de las cajas de engranes. En

particular, en los primeros ensayos el codificador óptico incremental del motor izquierdo

producía una distorsión en el tren de pulsos de los canales del codificador y por

consiguiente una mala lectura de este sensor. Este problema de ruido fue solucionado

mediante un filtro digital pasa bajas de quinto orden implementado por software. La tarjeta

controladora DSP DS1103 es una excelente herramienta para el control automático del

vehículo, y junto con el software Control Desk facilitan la implantación de los esquemas de

control en tiempo real para el vehículo.

Para la sintonización del controlador PID se utilizó como base el método gráfico de

Ziegler-Nichols y los datos obtenidos en las gráficas de la respuesta al escalón de los

motores en lazo abierto. Los valores obtenidos de estas constantes fueron ajustados

experimentalmente para mejorar el desempeño del vehículo.

Se evaluó el desempeño de los esquemas de control diseñados. Esta evaluación se llevo a

cabo mediante simulaciones numéricas y experimentación en tiempo real. Los resultados en

simulación demuestran que, en general, todos los esquemas de control diseñados funcionan

y cumplen de forma aceptable el objetivo de control propuesto que es el seguimiento de una

trayectoria con el vehículo.

Los resultados en tiempo real indican que los esquemas de control funcionaron

satisfactoriamente, y que el diseño del vehículo, la selección de los actuadores y la

instrumentación fue la adecuada. El esquema de estructura variable mostró un mejor

seguimiento de las trayectorias, lo cual se ve reflejado en su índice de desempeño menor


- 93 -

que en el esquema de retroalimentación estática. En particular se concluye que el esquema

de estructura variable es mejor que el esquema por retroalimentación estática, porque se

logra la convergencia de las tres variables de estado del vehículo, además los errores de

seguimiento son menores a los 10 milímetros y se tiene mayor precisión durante el

seguimiento de la trayectoria.

Es importante hacer notar que los resultados experimentales han sido muy similares a los

resultados en simulación, mostrando mejores índices de desempeño la simulación. Esta

semejanza se debe principalmente a que la caracterización del vehículo fue la adecuada, los

modelos obtenidos describen el comportamiento real del sistema y los esquemas de control

en tiempo real presentan buen desempeño. Las pequeñas diferencias entre la

experimentación en tiempo real y la simulación se debe principalmente a la histéresis de las

cajas de engranes de los motores, la irregularidad de la superficie de rodamiento, la inercia

del vehículo y las fuerzas de fricción entre la superficie de rodamiento de las llantas y el

suelo.

Es importante resaltar el bajo costo de construcción del vehículo desarrollado en este

trabajo. Aunque hay que destacar que sin estas limitaciones económicas se hubiesen

conseguido motores más eficientes y un sistema para medir la posición real (visión o

ultrasonido), incrementando de esta manera la eficiencia del VGA.

6.1 Resultados de los controladores

Los resultados obtenidos con el control no lineal por retroalimentación de estados fueron en

general satisfactorios, tomando en cuenta que las pruebas se realizaron con un sistema

electromecánico real.

En el CASO 1, se utilizó la combinación retroalimentación estática-PID para las

coordenadas de salida 𝑥, 𝜑 del punto guía medio del vehículo. Las desventajas de esta ley

de control es que la variable de estado 𝑦 evoluciona libremente, y se presentan

singularidades en 𝜑 =𝑘𝜋

2, con 𝑘 = ±1, ±2, …

En el CASO 2, se aplica la combinación retroalimentación dinámica-PID para las

coordenadas de salida 𝑥, 𝑦 del punto guía medio del vehículo. En esta ley se aplicó el

algoritmo de extensión dinámica para evadir la singularidad de la matriz de

desacoplamiento del sistema entrada-salida correspondiente a este par de salidas.

En cuanto al CASO 3, se utilizó la combinación retroalimentación estática-PID, para las

coordenadas de salida 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 dadas por el punto guía frontal del vehículo. Aunque se

obtuvieron buenos resultados, se presenta la dinámica remanente asociada a la variable de

estado 𝜑.

Respecto al control de estructura variable, se utilizó la combinación retroalimentación

estática-dinámica-PID, generando el mejor índice de desempeño que en los casos anteriores

y logrando la convergencia de las tres variables de estado. La desventaja de esta ley de


- 94 -

control es que presenta sobreimpulsos debido al cambio de los controles (estático-

dinámico) y a la histéresis de la caja de engranes. A pesar de estos efectos indeseados, el

control de estructura variable presenta un excelente desempeño y es la mejor opción para el

control del vehículo.

Por otra parte, se observó que el control de velocidad PID, pese a ser un controlador para

sistemas lineales, arroja buenos resultados experimentales sin la necesidad de usar algunas

de sus variantes como es el PD o PI. Se pudo comprobar la capacidad que tiene el control

de velocidad PID como servo control para los motores del vehículo ante diferentes

trayectorias y velocidades. El control de velocidad PID se implementó en cada articulación

del vehículo, es decir; en cada conjunto motor-rueda.

En general, considerando la implementación en tiempo real de los esquemas de control y

los resultados experimentales obtenidos, se puede concluir que el control automático

diseñado para el vehículo de tres grados de libertad funcionó con éxito.

6.2 Objetivos cubiertos

Dados los resultados anteriores y de acuerdo a las pruebas experimentales realizadas con el

vehículo guiado automáticamente de tres grados de libertad durante las tareas de

seguimiento para distintas trayectorias parametrizadas sobre el plano XY; se puede decir

que los controladores diseñados y basados en el formalismo de la linealización E/S estática

y/o dinámica del vector de estados cumplieron con las expectativas esperadas en la

hipótesis del trabajo.

Por otro lado, se cumplieron tanto los objetivos particulares planteados como las metas

propuestas, al diseñar, modelar, simular, construir, controlar y validar el desempeño de los

controladores diseñados para el vehículo guiado automáticamente, y se cubrió el objetivo

general que consistió en la construcción de un VGA de tres grados de libertad y en la

experimentación en tiempo real en el seguimiento de trayectorias.

En general, se puede decir que se cubrieron los objetivos planteados al inicio de este

trabajo.

6.3 Aportaciones

Las aportaciones de este trabajo de investigación son las siguientes:

1) La construcción de un vehículo guiado automáticamente de tres grados de libertad

tipo Two Wheels Mobile Robot que sirve como banco de pruebas para aplicarlo en

las diferentes áreas del conocimiento de la Mecatrónica.

2) Se desarrolló en Matlab-Simulink y Control Desk, programas base e interfaces

gráficas de usuario para el control del vehículo guiado automáticamente,


- 95 -

relacionados con el seguimiento de trayectorias. Estas herramientas

computacionales sirven para implantar fácilmente nuevas estrategias de control en

el vehículo, además de adquirir datos en tiempo real y modificar parámetros en línea

durante la experimentación.

3) Se comprobó de modo práctico el esquema de control no lineal de estructura

variable en un sistema físico no-holonómico, con lo cual se ayudó a la comprensión

de los problemas de las singularidades asociados a este tipo de sistemas.

4) La elaboración de una guía de operación del sistema educacional para control

avanzado DSP DS1103 de la empresa alemana dSPACE. Este sistema es empleado

para la programación, instrumentación y adquisición de datos en tiempo real.

5) Se participó en el concurso nacional de creatividad 2009. Se obtuvo el tercer lugar

en la fase local. Se presentó el trabajo como una aplicación de una silla de ruedas

robotizada con asistencia al usuario.

6.4 Trabajos futuros

En cuanto a las mejoras del prototipo, se propone utilizar motores más eficientes, con una

zona muerta de operación despreciable, que no contengan cajas de engranes para evitar el

efectos de histéresis y tengan un bajo consumo de energía.

Los codificadores ópticos, la electrónica desarrollada y la tarjeta controladora DSP tuvieron

un buen desempeño en el control del VGA. Sin embargo, es importante señalar que la

eficiencia de la electrónica de potencia, así como su desempeño podría ser mejorado

ampliamente.

Incorporar al vehículo, sistemas de visión, sensores de ultrasonido, infrarojos o giroscopios

y experimentar esquemas de control inteligente (Lógica difusa, algoritmos genéticos o

redes neuronales), u otras estrategias de control no lineal para la planeación de trayectorias

y evasión de obstáculos.

Estudiar otras leyes de control que consideren el modelo dinámico del vehículo, empleando

técnicas que ataquen los problemas de las singularidades de los controladores y permitan el

seguimiento de trayectorias.

Complementar la interface gráfica de usuario para introducir nuevas trayectorias en función

del espacio de trabajo del vehículo, considerando posibles obstáculos.

Agregar uno o varios remolques al vehículo, para hacer más interesante el problema de

control y seguimiento de trayectorias al tener un sistema no-holonómico con mayor número

de grados de libertad.


- 96 -

Eliminar la dependencia VGA-PC (cable). Usar radiofrecuencia o algún otro sistema de

microcontrolador, para que el VGA tenga mayor autonomía.

6.5 Limitantes

Las mayores limitantes en el desarrollo de este trabajo son:

El limitado presupuesto no permitió adquirir materiales mecánicos y componentes

electrónicos especializados para aplicaciones de robótica, por lo que se usaron componentes

comerciales de uso general.

Un aspecto importante es que se limitó el tiempo empleado en el diseño y construcción del

vehículo, se optó por obtener un prototipo funcional, con características mecatrónicas,

didácticas y económico. Esto se consiguió gracias a la infraestructura y recursos del

CNAD.

Debido a la complejidad del modelo dinámico y a la incertidumbre de todos sus

parámetros, se optó en esta tesis, trabajar únicamente con el modelo cinemático y dinámico

de los motores, y dejar el diseño de esquemas de control del modelo dinámico para trabajos

futuros.

De manera experimental se determinó que el mejor desempeño en cuanto a precisión y

repetibilidad del vehículo guiado automáticamente durante el seguimiento de la trayectoria,

se consigue cuando el vehículo se desplaza a una velocidad máxima de 0.15 m/seg. A esta

velocidad el vehículo presenta movimientos suaves sin golpeteos de las ruedas ni

vibraciones en la plataforma. Sin embargo, al someter el vehículo a una mayor velocidad

por arriba de los 0.5 m/seg, los errores de seguimiento se incrementan considerablemente.

6.6 Comentarios finales

Para la investigación del funcionamiento del sistema de adquisición de datos dSPACE

DS1103, se consultaron los manuales del fabricante para conocer la instalación,

programación y desarrollo de aplicaciones en tiempo real. Cabe señalar que se presentaron

varios problemas al momento de utilizar las librerías de la tarjeta ya que se presentaron

conflictos de hardware. Se realizó una amplia investigación al respecto para resolver esta

problemática.

Por otra parte, resulta conveniente contar con el módulo AutoBox de dSPACE para lograr

la portabilidad del sistema DS1103. Este accesorio es la típica computadora de los

automóviles convencionales.

El VGA de tipo TWMR es un prototipo didáctico, económico y funcional que servirá para

el desarrollo de múltiples temas de investigación en el área de la robótica móvil.


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- 104 -

Página en blanco intencional


- 105 -

ANEXO A: Linealización por Retroalimentación Estática

Esta técnica de control no lineal, consiste en encontrar una función que genere una

transformación lineal entre las variables de entrada transformadas y las variables de salida

controladas [Henson97]. El producto de esta linealización es un desacoplamiento del

sistema.

El proceso generalizado para la linealización de entrada-salida establece que se tiene que

construir una transformación del vector de estado original [Sira06], tomando como nuevas

coordenadas las funciones del vector de salida y sus derivadas sucesivas respecto del

tiempo. El proceso de derivación se interrumpe en aquel orden de la derivación en que

aparezca, de manera explícita en las expresiones de las derivadas, la variable de control del

sistema. Se debe cumplir además que todas éstas derivadas sean funcionalmente

independientes entre sí.

El desacoplamiento o linealización de entrada-salida para sistemas no lineales MIMO

considera la forma [Ching00],

𝑞 𝑡 = 𝑓 𝑞 𝑡 + 𝑔𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑞 𝑡 𝑢𝑗 𝑡 , 𝑥 0 = 𝑥0 (A.1)

𝑦1 𝑡 = 𝑕1 𝑞 𝑡

⋮𝑦𝑚 𝑡 = 𝑕𝑚 (𝑞 𝑡 )

(A.2)

Donde 𝑞(𝑡) es el vector de n estados 𝑞 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑢𝑗 𝑡 , 𝑗 = 1, … , 𝑚, es el vector de m

entradas 𝑢 ∈ 𝑅𝑚 , 𝑦𝑗 𝑡 , 𝑗 = 1, … , 𝑚, es el vector de m salidas 𝑦 ∈ 𝑅𝑚 , 𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛

y 𝑔: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 , 𝑗 = 1, … , 𝑚, son campos vectoriales suaves y 𝑕: 𝑅𝑛 → 𝑅1, 𝑗 = 1, … , 𝑚, son

funciones suaves. Se asume que 𝑓 0 = 0 y 𝑕𝑗 0 = 𝑕𝑚 0 = 0.

La linealización por retroalimentación estática de entrada-salida [Sastry99] comienza por

derivar respecto al tiempo la j-ésima 𝑦𝑗 , para obtener

𝑦 𝑗 = 𝐿𝑓𝑕𝑗 + (𝐿𝑔 , 𝑕𝑗 )

𝑚

𝑖=1

𝑢𝑖 (A.3)

en donde se resalta que si 𝐿𝑔 , 𝑕𝑗 𝑞 ≡ 0, no aparecerán las entradas o controles en la

ecuación. Por lo tanto se define a 𝛾𝑗 como el número entero más pequeño en 𝑦𝑗

𝛾𝑗, en donde

al menos uno de los controles aparece, esto es;

Anexos

- 106 -

𝑦 𝑗

𝛾𝑗 = 𝐿𝑓

𝛾𝑗𝑕𝑗 + 𝐿𝑔𝑖(𝐿

𝑓

𝛾𝑗−1𝑕𝑗 )

𝑚

𝑖=1

𝑢𝑖 (A.4)

se considera que para alguna q, al menos una de las funciones 𝐿𝑔𝑖(𝐿

𝑓

𝛾𝑗−1𝑕𝑗 ) ≠ 0. Se define

entonces la matriz de desacoplamiento D(q) de m x m como,

𝐷 𝑞 =

𝐿𝑔1(𝐿

𝑓

𝛾𝑗−1𝑕1) ⋯ 𝐿𝑔𝑚

(𝐿𝑓

𝛾𝑗−1𝑕1)

⋮ ⋱ ⋮

𝐿𝑔1(𝐿

𝑓

𝛾𝑗−1𝑕𝑚 ) ⋯ 𝐿𝑔𝑚

(𝐿𝑓

𝛾𝑗−1𝑕𝑚 )

(A.5)

de acuerdo a lo anterior, es posible definir ahora el vector de grado relativo de un sistema

de múltiples entradas y salidas, como el vector de elementos 𝛾1,𝛾2,…𝛾𝑚 en 𝑞0 si,

𝐿𝑔𝑖𝐿𝑓𝑘𝑕𝑖 𝑞 ≡ 0, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝛾𝑖 − 2 (A.6)

para i=1,…,m y si la matriz 𝐷(𝑞0) es no singular.

Si el sistema (A.1) tiene bien definido el vector de grado relativo, entonces la ecuación

(A.2) puede ser expresada como,

𝑦1

𝛾1

⋮𝑦1

𝛾1

=

𝐿𝑓𝛾1𝑕1

⋮𝐿𝑓𝛾𝑚 𝑕𝑚

+ 𝐷(𝑞)

𝑢1

⋮𝑢𝑚

(A.7)

Puesto que la matriz 𝐷(𝑞0) es no singular, se tiene que 𝐷(𝑞) ∈ 𝑅𝑚×𝑚 es no singular en un

amplio rango para 𝑞 ∈ 𝑈 (U es una vecindad de 𝑞0), lo que significa que 𝐷−1(𝑞) tiene una

norma limitada U. De esta forma, la ley de control de linealización por retroalimentación

estática de entrada-salida está dada por,

𝑢 = 𝐷−1 𝑞

𝐿𝑓𝛾1𝑕1

⋮𝐿𝑓𝛾𝑚 𝑕𝑚

+ 𝐷−1 𝑞 𝜗 (A.8)

que produce el sistema de lazo cerrado, definido por,

𝑦1

𝛾1

⋮𝑦1

𝛾1

= 𝜗1

⋮𝜗2

(A.9)

donde 𝜗1, … , 𝜗𝑚 representan las nuevas variables de control, y donde claramente se observa

que el sistema A.8 está desacoplado. Este desacoplamiento es producto de la misma

linealización.


- 107 -

ANEXO B: Algoritmo de Extensión Dinámica (AED)

El algoritmo de extensión dinámica o de control por retroalimentación dinámica

[Bastin91][Ching00][Isidori95], se aplica para el caso de la linealización de entrada-salida,

en que la matriz de desacoplamiento 𝐷(𝑞) es no invertible.

A partir del sistema dinámico dado en la forma general de espacio de estado,

𝑞 𝑡 = 𝑓 𝑞 + 𝑔𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑞 𝑢𝑗 (B.1)

donde los estados 𝑞 ∈ 𝑅𝑛 , las entradas 𝑢𝑗 ∈ 𝑅𝑚 y los campos vectoriales 𝑓 y 𝑔𝑗 son

suaves. El problema está formulado para encontrar las constantes 𝑟1, … , 𝑟𝑝 y una ley de

control de la forma

𝑢 = 𝑘 𝑞, 𝑧, 𝑢′ 𝑧 = 𝑔 𝑞, 𝑧, 𝑢′ 𝑧 0 = 0

(B.2)

donde 𝑢′ es un vector de entrada auxiliar, y 𝑘, 𝑔 son funciones suaves de 𝑧, tal que el

sistema de lazo cerrado es,

𝑞 𝑡 = 𝑓 𝑞 + 𝑔(𝑞)𝑘 𝑞, 𝑧, 𝑢′ 𝑧 = 𝑔 𝑞, 𝑧, 𝑢′ 𝑦 = 𝑕 𝑞

(B.3)

cuya retroalimentación dinámica se obtiene a través de la elección apropiada de las

𝑚 funciones linealizantes de salida,

𝑦𝑖 = 𝑕𝑖 𝑧 𝑖 = 1, … , 𝑚 (B.4)

las cuales conducen a la generación de una matriz de desacoplamiento no singular. El

sistema definido de (B.1) a (B.4) constituye el algoritmo de extensión dinámica. La idea de

este procedimiento es retardar algunas “combinaciones de entradas” simultáneamente

afectando varias salidas, a través de la suma de integradores, con la finalidad de habilitar

otras entradas que actúen en el inter, con la esperanza de obtener un sistema desacoplado de

la forma,

𝑦𝑝

(𝑟𝑝 )= 𝑢𝑝

′ 𝑝 = 1, … , 𝑚 (B.5)

donde 𝑦𝑝𝑖 denota la i-ésima derivada de 𝑦𝑝 con respecto al tiempo, 𝑟𝑝 es el grado relativo

de 𝑦𝑝 y las 𝑢′ denotan las nuevas entradas auxiliares. Además, con la finalidad de obtener

la linealización completa, se debe llegar al siguiente sistema extendido 𝑛𝑒 −dimensional,

Anexos

- 108 -

𝑟𝑖 =

𝑚

𝑖=1

𝑛𝑒 , (B.6)

donde 𝑛𝑒 es la dimensión del vector de estado extendido 𝑞𝑒 = 𝑞𝑇 𝑧𝑇 𝑇 y si (C.6) se

satisface, entonces,

𝜉 = Ψ 𝑞𝑒 = 𝑦1 ⋯ 𝑦1(𝑟1−1)

⋯ 𝑦𝑚 ⋯ 𝑦𝑚(𝑟1−1) (B.7)

es una transformación que además de ser localmente invertible, también es diferenciable.


- 109 -

ANEXO C: Sintonización de controladores PID

El proceso de seleccionar los parámetros de un controlador Proporcional Integral

Derivativo para que cumpla con las especificaciones de operación se conoce como

afinación o sintonización del controlador PID. Ziegler y Nichols sugirieron reglas para

determinar los valores de la ganancia proporcional 𝐾𝑃, del tiempo integral 𝑇𝐼, y del tiempo

derivativo 𝑇𝐷 de este tipo de controlador, basándose en la respuesta experimental al

escalón, o con base en el valor de 𝐾𝑃 que produce estabilidad marginal mediante el solo uso

de la acción de control proporcional [Ogata98]. Las reglas de Ziegler-Nichols son muy

convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de la planta. Si la dinámica

de la planta se conoce, se dispone de muchos procedimientos analíticos y gráficos para el

diseño de controladores PID, además de las reglas de Ziegler-Nichols. De hecho, estas

reglas de sintonización dan una primera aproximación de los valores de los parámetros y

brindan un punto de partida para el ajuste fino.

Existen dos métodos denominados reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. En ambos

métodos se intenta lograr un sobreimpulso máximo del 25% en la respuesta al escalón.

En nuestro caso muy particular, se aplicó el segundo método de sintonización de Ziegler-

Nichols, para la afinación experimental de los controladores PID empleados para controlar

los motores de C.D. del VGA, y de esta forma incrementar el desempeño del esquema de

control de seguimiento para el VGA. En este método, primero se hace 𝑇𝐼 = ∞ y 𝑇𝐷 = 0.

Usando solamente la acción de control proporcional (Figura C.1), se incrementa 𝐾𝑃 desde 0

hasta un valor crítico 𝐾𝑐𝑟 en la cual la salida exhiba por primera vez oscilaciones

sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda

tomar 𝐾𝑃, entonces no se puede aplicar este método). Así, se determina experimentalmente

la ganancia crítica 𝐾𝑐𝑟 y el período correspondiente 𝑃𝑐𝑟 (Figura C.2).

Figura C.1. Sistema de lazo cerrado con acción de control proporcional.

Anexos

- 110 -

Figura C.2. Oscilación sostenida del período Pcr.

Ziegler y Nichols sugirieron fijar los valores de 𝐾𝑃, 𝑇𝐼 y 𝑇𝐷 de acuerdo a la fórmula de la

siguiente tabla.

TIPO DE

CONTROLADOR 𝑲𝑷 𝑻𝑰 𝑻𝑫

P 0.5𝐾𝑐𝑟 ∞ 0

PI 0.45𝐾𝑐𝑟 0.83𝑃𝑐𝑟 0

PID 0.6𝐾𝑐𝑟 0.5𝑃𝑐𝑟 0.125𝑃𝑐𝑟

Note que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de reglas de Ziegler-

Nichols es,

𝐺 𝑠 = 𝐾𝑃(1 +1

𝑇𝐼𝑠+ 𝑇𝐷𝑠)

(C.1)

𝐺 𝑠 = 0.6𝐾𝑐𝑟 (1 +1

0.5𝑃𝑐𝑟𝑠+ 0.125𝑃𝑐𝑟𝑠)

(C.2)

𝐺 𝑠 = 0.075𝐾𝑐𝑟𝑃𝑐𝑟

𝑠 +4𝑃𝑐𝑟

2

𝑠

(C.3)

Entonces, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = −4/𝑃𝑐𝑟 .


- 111 -

ANEXO D: Esquemas de los circuitos electrónicos

En la Figura D.1 se muestra un bloque simplificado de las terminales de conexión del

sistema DSP DS1103, utilizado para conectar y controlar los motores derecho e izquierdo

del vehículo, así como su respectivo codificador óptico (encoder incremental de 900 ppr).

DIR1-MD

DIR2-MD

PWM-MD

DIR1-MI

DIR2-MI

PWM-MI

FASE A-MD

FASE B-MD

FASE A-MI

FASE B-MI

DS1103

MOTOR

DERECHO

MOTOR

IZQUIERDO

ENCODER

IZQUIERDO

ENCODER

DERECHO

Figura D.1. Diagrama de bloques de interconexión entre la tarjeta DS1103 y el vehículo

El diagrama de bloques de cada una de las etapas de los circuitos electrónicos diseñados, es

presentado en la figura D.2 Cabe señalar que en estos bloques sólo se muestra la

interconexión para el motor derecho, ya que son etapas idénticas para ambos motores.

A partir de las señales entregadas por la tarjeta controladora DS1103 para el control de cada

uno de los motores del vehículo, se diseñaron los siguientes circuitos; de protección,

circuitos preamplificadores y puentes H, tal y como lo muestran las figuras D.3, D.4 y D.5,

respectivamente.

Figura D.2. Etapas de los circuitos electrónicos. (motor derecho)

Anexos

- 112 -

Figura D.3. Circuito lógico combinatorio para protección del puente H.

Figura D.4. Circuito de optoacoplamiento entre la tarjeta DS1103 y la electrónica de

potencia del VGA.


- 113 -

Figura D.5. Puente H para los motores del VGA.

Anexos

- 114 -

ANEXO E: Tarjeta Controladora DS1103

El sistema de adquisición de datos dSPACE DS1103 es una tarjeta controladora híbrida

cuya arquitectura del tipo RISC/DSP produce un alto poder de procesamiento al momento

de realizar operaciones de punto flotante. Además, cuenta con interfases de entrada-salida

I/O, que acoplan de manera rápida sensores y actuadores provenientes del mundo real. Las

características más importantes de la tarjeta DS1103 son:

Microprocesador maestro Motorola PowerPC 604e a 333Mhz.

Microcontrolador esclavo DSP TMS320F240 de Texas Instruments.

16 canales (4 x 4ch) ADC, 16 bit , 4 μs, ±10 V

4 canales ADC, 12 bit , 800 ns, ± 10V

8 canales (2 x 4ch) DAC, 14 bit , ±10 V,6 μs

7 canales para Encoder Incremental

32 lineas digitales de I/O, programables in grupos de 8-bits

12 canales SPWM, PWM

La tarjeta DS1103 se instala directamente en una computadora de escritorio con

requerimientos mínimos, o bien en la caja de expansión MicroAutoBox. El DS1103 permite

probar experimentalmente el desempeño de los esquemas de control diseñados por el

usuario a nivel laboratorio, y por otra parte, junto con la caja AUTOBOX se logra la

portabilidad del sistema DS1103 y se puede instalar ya sea en el mismo prototipo o en

gabinetes industriales. La caja AUTOBOX y otros accesorios para la DS1103 los provee el

fabricante dSPACE. [www.dspace.de]

El rápido procesamiento de la DS1103 junto con los puertos I/O resultan vitales para

aplicaciones que involucran múltiples actuadores y sensores, además con la interface en

tiempo real RTI, el sistema DS1103 es totalmente reprogramable desde el ambiente

Simulink, desde donde se configuran los puertos de entrada-salida (I/O) por medio de la

librería RTI para implementar de manera sencilla el controlador digital. Con el software

Control Desk se adquieren datos en tiempo real y se pueden monitorear e inclusive

modificar parámetros en línea sin necesidad de compilar el programa nuevamente.

Figura E.1. Tarjeta controladora DS1103 de la empresa alemana dSPACE.


- 115 -

Figura E.2. Arquitectura de la tarjeta DS1103.

Las conexiones entre la tarjeta DS1103 y el mundo real es a través de 6 cables planos de 50

líneas cada uno que se conectan al panel de conexiones CLP1103.

Figura E.3. Panel de conexiones CLP1103.

Figura E.4. Plataforma computacional para la programación y operación del sistema

DS1103.

Anexos

- 116 -

ANEXO F: Interface Gráfica de Usuario IGU-VGA

La figura F.1, es la interface gráfica de usuario desarrollada con el software Control Desk

de dSPACE para realizar la experimentación con el VGA durante la tarea de seguimiento

de trayectorias.

Figura F.1. Interface IGU-VGA mostrando gráficas de las variables de interés.

En la parte superior izquierda se tiene el encendido y apagado del VGA y el bloque de

configuración y adquisición de datos en tiempo real, debajo de este bloque se muestran las

entradas del sistema, es decir; 𝑥𝑑 , 𝑦𝑑 𝑦 𝜑𝑑 . Al centro, en la gráfica superior se muestra la

trayectoria en seguimiento por el punto guía medio del VGA y debajo, se observan las

graficas de las velocidades angulares de las ruedas y los voltajes de control aplicados a cada

motor del vehículo. Por último del lado derecho, se grafican los errores de seguimiento en

𝑥, 𝑦 𝑦 𝜑.


- 117 -

ANEXO G: Fotos del Prototipo Construido

En este anexo se muestran algunas fotos del prototipo VGA construido y empleado para la

experimentación.

Vista lateral derecha Vista lateral izquierda

Vista superior Vista superior frontal

Vista posterior Vista inferior

Anexos

- 118 -

ANEXO H: Operación del Vehículo Guiado Automáticamente

Con la plataforma computacional y los programas desarrollados para el vehículo, resulta

sencilla su programación y operación. La ventaja radica en la flexibilidad del sistema para

implantar tanto nuevas estrategias de control, como nuevas entradas (trayectorias), para ello

solo es necesario modificar los bloques correspondientes del programa desarrollado en

Simulink. Los programas del VGA, así como las interfaces gráficas desarrolladas se

encuentran disponibles en la computadora personal que contiene el sistema DSPACE del

laboratorio de máquinas del Cenidet.

Por otra parte, desde la interface gráfica de usuario desarrollada en ControlDesk se pone en

operación al vehículo y se obtienen las gráficas en tiempo real de las variables de interés

involucradas en el modelo Simulink en cuestión. Se puede modificar la interface de usuario

para adquirir nuevos datos en tiempo real durante la experimentación.

El vehículo cuenta con un conector tipo DB-25 en donde se encuentran agrupadas las

señales de las diferentes etapas electrónicas del vehículo. Para mayor referencia a

continuación se muestra la descripción de cada pin de este conector.

PIN SEÑAL DESCRIPCIÓN

1 PWM-MD Modulación por ancho de pulso para el motor derecho

2 CW-MD Sentido de giro horario del motor derecho

3 CCW-MD Sentido de giro antihorario del motor derecho

4 S/C Sin conexión

5 GND Tierra de los pines 1 al 3

6 PWM-MI Modulación por ancho de pulso para el motor izquierdo

7 CW-MI Sentido de giro horario del motor izquierdo

8 CCW-MD Sentido de giro antihorario del motor izquierdo

9 S/C Sin conexión


11 CHA-MD Canal A del codificador del motor derecho

12 CHB-MD Canal B del codificador del motor derecho

13 /CHA-MD Canal A complemento del codificador del motor derecho

14 /CHB-MD Canal B complemento del codificador del motor derecho


16 CHA-MI Canal A del codificador del motor izquierdo

17 CHB-MI Canal B del codificador del motor izquierdo

18 /CHA-MI Canal A complemento del codificador del motor izquierdo

19 /CHB-MI Canal B complemento del codificador del motor izquierdo


21 IDX-MD Canal índex del encoder del motor derecho

22 /IDX-MD Canal índex complemento del encoder del motor derecho

23 IDX-MI Canal índex del encoder del motor izquierdo

24 /IDX-MI Canal índex complemento del encoder del motor izquierdo

25 GND Tierra de los pines 23 y 24


- 119 -

52 josé felipe camarena garcía

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