5_12inecuaciones_2008

GUSTAVO A. DUFFOUR 274

Extraído de: Vasco, C. E. (1999). Las matemáticas escolares en el año 2010. Conferencia dictada en el X CIAEM, Maldonado, Uruguay.

«[...] Las calculadoras van a ser cada vez más frecuentes, y cada vez más poderosas y complicadas de manejar.

[...] Por eso veo que los estudiantes van a llevar a los colegios y a los liceos calculadoras cada vez más complejas a un precio mucho menor que un libro de texto y mucho más útiles que un libro de texto. Por lo tanto, vamos a tener que cambiar esa idea de que si los estudiantes usan calculadoras, no van a aprender las operaciones con papel y lápiz, porque nosotros mismos ya no las hacemos tampoco con papel y lápiz; seamos consecuentes y dejemos que ellos utilicen también los elementos que están a su disposición. [...] Las calculadoras descargan la atención y el esfuerzo mental que se necesita para hacer operaciones, para poder concentrarnos en comprender las relaciones y encontrar las estrategias de solución, para tratar situaciones problemáticas interesantes y útiles. [...] Recuerden ustedes que en nuestro tiempo se consideraba que los alumnos más inteligentes eran los que sabían álgebra y cálculo; y si además jugaban ajedrez, eran más inteligentes todavía. Pues hoy día cualquier computadora con un programa de matemática o con un juego de ajedrez de varios niveles le gana en hacer ejercicios de álgebra y de cálculo, y, por supuesto, en jugar ajedrez, a cualquier estudiante, por más brillante que sea. Entonces, ¿qué significa ahora ser inteligentes? ¿Ser como una computadora? No lo creo. Tenemos que cambiar nuestra idea de que el alumno que es hábil para el juego del álgebra, o sea, para ese tradicional juego simbólico de términos y ecuaciones, sin necesidad de entenderlo, o que sea muy bueno para el juego simbólico de las identidades trigonométricas, o para el juego simbólico del cálculo, ese sea el más inteligente del curso. Ese ya no es tan inteligente, pues ni siquiera llega a la inteligencia de una computadora, que es bastante estúpida de por sí. Cambiemos nuestra noción de los alumnos inteligentes en matemáticas, pensando en que aun nosotros mismos ya no le podemos ganar al ajedrez a una computadora si le subimos suficientemente el nivel de dificultad al programa. Ponernos a competir con la computadora en lo que ella hace mejor que nosotros no es mostrar mucha inteligencia. Saber programarlas para que le ganen a uno al ajedrez, eso sí es inteligencia, pero esta inteligencia no se desarrolla con los juegos meramente simbólicos del álgebra tradicional, como se creía. Entonces aparece la necesidad de aprender a pensar para salirle adelante a la computadora, aprender a programarla y aprender a interpretar lo que está en la pantalla o sale de la impresora».

MATEMÁTICA DE QUINTO 275

12

INECUACIONES

VALOR ABSOLUTO 1 – INECUACIONES

1.1. ¿QUÉ ENTENDEMOS POR INECUACIÓN?

Una inecuación es una desigualdad cuyo sentido se verifica para un conjunto de valores de la variable, llamado solución de la inecuación. Sean F(x) y G(x) dos expresiones reales dependientes de la variable x. Las posibles inecuaciones quedan planteadas como:

F(x) < G(x) F(x) < G(x) F(x) > G(x) F(x) > G(x) Resolver una inecuación significa hallar el conjunto solución de la inecuación (conjunto de valores de la variable para los cuales se satisface la desigualdad).

1.2. EQUIVALENCIA DE INECUACIONES Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Lo que implica que toda solución de una inecuación es solución de la otra, y recíprocamente.

1.3. TRANSFORMACIONES DE INECUACIONES

Sólo se enunciarán los teoremas, ya que sus demostraciones son similares a las del tema de ecuaciones.


Un rectángulo tiene un lado de 8 cm.¿Qué medida debe tener el otro lado paraque su perímetro sea mayor que 36 cm?

Véase el resultado en la página 484.

TEOREMA

Si se suma a ambos miembros de una inecuación un número o una expresión entera de la variable, se obtiene una inecuación equivalente.

TEOREMA

Si se multiplican o dividen a ambos miembros de una inecuación por una expresión, la cual se anula para algún valor de la variable, la nueva inecuación no es equivalente a la primera.

NOTA

Con estos teoremas no se cubren todas las posibilidades de equivalencia de inecuaciones, sino que se da una idea sobre las situaciones más comunes, como la suma/resta y la multiplicación/división.

2 – SIGNO DE LA FUNCIÓN LINEAL

2.1. DEFINICIÓN Una función f definida para todo número real x mediante: f: f(x) = ax+b a∈ b∈ se llama función lineal.

Véase Duffour, G.: Matemática de cuarto, cap. 3: «Relaciones y funciones»


Cuando se habla del signo de f(x), siempre se refiere al signo de las imágenes por f.

0

ba

−

− − − − − − − + + + + + + + +⎮

0

ba

−

+ + + + + + + − − − − − − −⎮

signo de (ax + b)

En general, se tendrá:

2.2. SIGNO DE (ax + b) El signo de la expresión (ax + b) depende del signo del coeficiente de la x.

Si a ≠ 0, el cero de la función es: x ba

−=

Si a > 0

Para todos los valores de x > ba

−

el signo de la expresión es positivo.

Para todos los valores de x < ba

−

el signo de la expresión es negativo. Lo cual se representa: signo de (ax + b) Si a < 0

Para todos los valores de x > ba

−

el signo de la expresión es negativo.

Para todos los valores de x < ba

−

el signo de la expresión es positivo. Lo cual se representa: signo de (ax + b)

⏐

0

- ba

signo opuesto de a signo de a

1 x

f(x)

Ejemplo gráfico f: f(x) = 2x + 6 Cero = { – 3}

signo (2x + 6) 0

3− − − − + + + +|

−

2

Ejemplo gráfico g: g(x) = – x – 2 Cero = { – 2}

signo (– x – 2) 0

2+ + + + − − − −|

−

1 x

g(x)

1


Si a = 0, la función lineal resulta:

f: f(x) = b Una función cuyo recorrido consta de un solo número (b) se llama función constante. Si b ≠ 0, la función no tiene cero, no corta al eje x y su signo depende del signo de b. Si b > 0 Si b < 0

Signo f(x) + + + + + + + + +

Signo f(x) − − − − − − − − −

NOTA

Si en una función lineal a = 0 y b = 0, la función lineal resulta:

f: f(x) = 0 Esta función representa una recta muy importante: el eje x. En este caso, la función tiene infinitos ceros.

Ejemplo gráfico f: f(x) = 5 Cero = { }

signo (5) + + + + + + +

f(x)

5

1 x

Ejemplo gráfico h: h(x) = – 3 Cero = { }

signo (– 3) −− − − − − −

h(x)

5

1 x


3 – SIGNO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

3.1. DEFINICIÓN Una función f definida para todo número real x mediante una fórmula de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c a∈ b∈ c∈ a≠0 se llama función cuadrática porque, en su forma reducida, el mayor exponente de la variable x es 2. Cada término de la expresión se denomina: ax2 Término de segundo grado en x. bx Término de primer grado en x. c Término independiente o de grado cero en x. En este caso, el grado del término se refiere al exponente de la variable x. A los números representados por las letras a, b y c se los denomina coeficientes. Se llama coeficiente principal al a.

3.2. DISCRIMINANTE En la fórmula de resolución:

xb

2a

− ±=

2b 4ac−

la cantidad subradical (b2 – 4ac) se denomina discriminante y se simboliza con la letra Δ (delta). Según el valor del discriminante, la ecuación de segundo grado tendrá o no raíces reales.

Forma reducida Significa: hacer las cuentas necesarias para que quede un solo término en x2, un solo término en x, un solo término independiente.

Discriminante


Signo de (ax2+ bx + c)

0 0signo de a signo opuesto de a signo de a

α β

En general, si: Δ > 0

3.3. SIGNO DE (ax2+ bx + c) PRIMER CASO Δ > 0 Discriminante positivo

En este caso, la radicación es posible ( )2b 4ac 0− > y la ecuación

ax2 + bx + c = 0 tiene dos raíces reales distintas: α $ β (se supone α < β).

Si se consideran, separadamente: valores de x mayores que α y que β, valores de x situados entre α y β, y valores de x menores que α y que β, se llega a que el signo de (ax2

+ bx + c) depende del coeficiente del término de mayor exponente en x (del signo de a), y se puede representar como: Si a es positivo: Si a es negativo:

Signo (ax2+ bx + c) 0 0

+ + + − − − + + +⎮ ⎮α β

Signo (ax2 + bx + c)

0 0− − − + + + − − −⎮⎮

α β

NOTA

Obsérvese que en este caso, la representación gráfica de la función dada por la fórmula: f: f(x) = ax2

+ bx + c – que se denomina parábola – tiene dos ceros que son las abscisas de los puntos de corte con el eje horizontal.

Ejemplo gráfico f: f(x) = x2

– 9 Cero = {– 3, 3}

signo (x2 – 9)

0 0

3 3+ + + − − − + + +| |

−

f(x)

1

3

x

Ejemplo gráfico g: g(x) = – 2x2

+ 8x Cero = {0, 4}

signo (– 2x2 + 8x)

0 0

0 4+ −− − − + + − −| |

g(x)

5

1 x


La doble rayita se utiliza para indicar que la raíz es de orden de multiplicidad par. Es una forma útil para recordar que «no hay cambio de signo» al pasar de un intervalo a otro.

SEGUNDO CASO Δ = 0 Discriminante igual a cero

Es posible la radicación ( )2b 4ac 0− = , la raíz de cero es cero y la ecuación

ax2 + bx + c = 0 tiene dos raíces reales e iguales: β = α

Si se consideran valores de x mayores que α y valores de x menores que α, se llega a que el signo de (ax2+ bx + c) depende del coeficiente del término de mayor exponente en x (del signo de a), y se puede representar como: Si a es positivo:

Signo de (ax2+ bx + c) 0

++++++++ +++++++++α

Si a es negativo:

Signo de (ax2+ bx + c) 0

−−−−−−−− −−−−−−−−−α

NOTA

Obsérvese que la parábola, en este caso, «toca» al eje horizontal en un solo punto sin «cortarlo».


– 2x + 1 Cero = {1, 1}

signo (x2 – 2x + 1)

0

1+ + + + + +||

f(x)

x 1

5

Ejemplo gráfico g: g(x) = – x2

+ 4x – 4 Cero = {2, 2}

signo (– x2 + 4x – 4)

0

2− − − − − −||

g(x)

5

2 x

Signo de (ax2+ bx + c)

0signo de a signo de a

α

En general, si Δ = 0


En general, si Δ < 0 Signo de (ax2+ bx + c) signo de a

TERCER CASO Δ < 0 Discriminante negativo Si Δ < 0 No es posible la raíz cuadrada de números negativos en el conjunto de los números reales. La ecuación no tiene raíces reales. Para cualquier valor de x considerado se llega a que el signo de (ax2

+ bx + c) depende del coeficiente del término de mayor exponente en x (del signo de a), y se puede representar como:

Si a es positivo: Signo de (ax2+ bx + c) +++++++++++++++++

Si a es negativo: Signo de (ax2+ bx + c) −−−−−−−−−−−−−−−−−

NOTA

Obsérvese que la parábola no corta ni toca al eje horizontal.


+ x + 1 Cero = { }

signo (x2 + x + 1) + + + + + +

x1

5

f(x)

Ejemplo gráfico g: g(x) = – x2

+ 2x – 5 Cero = { }

signo (– x2 + 2x – 5) −− − − − −

x 2

5

g(x)


Esta notación da origen, naturalmente, a cierta ambigüedad, puesto que (a, b) se usa también para designar un par de números.Generalmente el contexto brinda los indicios suficientes para evitar la confusión. Nótese que si a > b, entonces (a, b) = φ (el conjunto vacío). En la práctica de trabajo, siempre que se hable de un intervalo (a, b), se supone que a < b.

| |a b

a b| |

4 – DEFINICIÓN DE INTERVALO

4.1. INTERVALO ABIERTO El conjunto de todos los números reales estrictamente situados entre a y b (con a < b) se anota (a, b) y se llama intervalo abierto.

(a, b) = { x / x e , a < x < b }

Su representación gráfica en la recta es: Un intervalo abierto sólo es vacío si a = b.

4.2. INTERVALO CERRADO El conjunto de todos los números reales situados entre a y b (con a < b) y que incluye a los extremos a y b, se anota [a, b] y se llama intervalo cerrado.

[a, b] = { x / x e , a ≤ x ≤ b }

Su representación gráfica en la recta es: Un intervalo cerrado no es nunca vacío.

4.3. INTERVALO SEMIABIERTO Existen dos intervalos semiabiertos que se anotan (a, b] y [a, b).

(a, b] = { x / x ∈ , a < x ≤ b }

[a, b) = { x / x ∈ , a ≤ x < b }

4.4. INTERVALOS INFINITOS En algunos casos aparece en la notación de intervalos el símbolo ∞ (infinito). Se usará la notación (a, + 8) para designar el conjunto de todos los números reales mayores que a.

(a, +∞) = { x / x e , x > a } Los números reales menores que a se indicarán como:

(– ∞, a) = { x / x ∈ , x < a }

También es posible usar en algunos casos la notación (– ∞, + ∞) para referirse al conjunto de todos los números reales.


El símbolo ∞, llamado infinito, es de utilidad en muchas situaciones. Sin embargo, al usar este símbolo se debe tener bien presente que no es un número en el sentido ordinario de la palabra, sino un concepto que representa a un número tan grande como se quiera.

El concepto de infinito ha inspirado y hechizado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales. Los problemas y paradojas más profundos de las matemáticas a menudo van unidos a esta palabra.

A finales del siglo XVI y sobre todo durante el siglo XVIII, para resolver problemas prácticos, los matemáticos recurrían aisladamente al razonamiento sobre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, pero rara vez en forma rigurosa.

John Wallis (Inglaterra, 1616-1705)

En su libro Tract on Conic Sections, de 1655, fue el primer matemático en utilizar el símbolo ∞ para representar el infinito. También usó este símbolo en su más influyente trabajo, Arithmetica infinitorum, publicado unos pocos meses después del anterior.

5 – EJEMPLOS DE INECUACIONES EJEMPLO: Resolver en los números reales – 3x + 6 > 0

Primero se halla la raíz de (– 3x + 6), que es x = 2, se coloca sobre un eje y se expresa el signo.

signo (– 3x + 6) 0

2+ + + + + + − − − − − −|

Cuando se pide resolver – 3x + 6 > 0, se pide el conjunto de números que hacen que la expresión (– 3x + 6) sea positiva.

Solución = {x/ xe , x < 2} o como intervalo: (– 8, 2)

Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 316 al 321, de la página 290.


–2 2 0

4

g(x)

f(x)

x

EJEMPLO: Resolver en los números reales xx

2 4 0−≤

Para hallar el signo del numerador se deben encontrar las raíces del numerador. x2 – 4 =0. Raíces del numerador = {– 2, 2}

Para hallar el signo del denominador se deben encontrar las raíces del denominador. Raíz del denominador = {0}

( )x0 02Signo de 42 2

− +++++ −−−− −−−− −− −− +++++++⎮ ⎮−

( )x0

Signo de0

−−−−−−−−−−−−− +++++++++++++⎮

xx

2 04Signo de∃⎛ ⎞−⎜ ⎟ − − − − + + + +⎜ ⎟ | ⎢⎝ ⎠

0

2 0 2− − − − − ++++++|

−

Solución = {x / x e , x < – 2, 0 < x < 2} o como intervalo= (– 8, – 2] ∪ (0, 2]


EJEMPLO: Dadas las funciones: f: f(x) = – x2 + 4 y g: g(x) = 2x + 4 Resolver gráficamente: g(x) < f(x)

Se deben hacer las representaciones gráficas de ambas funciones, en un mismo sistema de ejes coordenados.

f es una parábola con ceros en x = 2 y x = – 2

g es una línea recta con cero en x= – 2

Desde el punto de vista gráfico, resolver g(x) < f(x) significa preguntarse: ¿para qué valores de x la representación gráfica de g está por debajo de la de f? Solución = (– 2, 0)

Téngase en cuenta que:

signo ( )f( )g( )

xx

es igual a:

signosigno

f( )g( )

xx


La doble rayita se utiliza para indicar que la raíz real es de orden de multiplicidad par. Es una forma útil para recordar que «no hay cambio de signo» al pasar de un intervalo a otro.

6 – RAÍCES DE ORDEN DE MULTIPLICIDAD PAR Hay que poner mucha atención, con las raíces que se repiten un número par de veces, pues el signo de la expresión no varía al pasar por una de ellas.

x xx

4( 1)( 2)Ejemplo: signo de:∃− − + + + + + |

0 0

0 1 2− − − − − + + + + + + + + + +|

La raíz 2, debida a (x – 2)4, es una raíz de multiplicidad par.

EJEMPLO: Resolver: x xx x

2 2 1 03

+ +≤

+

Existencia por: x 3+ signo (x+3) 0

3⎮+++++++++++−

La expresión x 3+ solo tiene sentido t x ∈ / x > – 3. Por denominador: x ≠ 0 y x ≠ – 3

Resumen de existencia: {x / x ∈ , x > – 3, x ≠ 0} Resolución

( )x x0

2signo 2 11

++ +++ + + + ++ ++ +++ ++ +++ +−

x x0 0

signo de 33 0

+ − − − − − − − − − + + + +⎮ ⎮−

x xx x

2 2 1signo de3

∃+ +|

+

0 ∃− − − − − − − |3 1 0

+ + + +− −

Solución = {x / x ∈ , – 3 < x < 0} o como intervalo = (– 3, 0)



Responder «verdadero» o «falso», y justificar la respuesta.

1) Es posible que dos intervalos cerrados tengan exactamente un punto en común.

2) Si dos intervalos abiertos tienen un punto en común, tienen un número infinito de puntos comunes.

3) Es posible tener una desigualdad cuyo conjunto solución conste de un solo número.

Véanse los resultados en la página 484.

EJEMPLO: Hallar los valores de m ∈ , para los cuales el trinomio A(x) = (m + 1)x2 + mx + m es positivo, para todo valor real de x. Primero se debe discutir qué pasa con el coeficiente de x2 Si m = – 1, no hay trinomio de segundo grado, queda: A(x) = – x – 1 Para m $ – 1 Para que un polinomio de segundo grado en x sea positivo para todo valor real de x, no debe tener raíces reales (el discriminante debe ser menor que cero) y el coeficiente del término de segundo grado debe ser positivo. Discriminante Δ = (m)2– 4(m + 1)(m) Δ = – 3m2 – 4m

( )0 0

243

Signo 3m 4m0

−−−−− ++++ + + + −−−−−−−−−− − ⎮ ⎮−

x0

2Signo del coeficiente de1

−−−−−−−−−− +++++++++++++++⎮−

Resumen final:0

Solución en que el discriminante es negativo y el coeficiente del término de segundo grado es positivo. m > 0

Solución = {m / m e , m > 0} o como intervalo = (0, + 8)

Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 340 y 341, de la página 291.


Responder «verdadero» o «falso», y justificar

la respuesta.

a) − −2 5 = 2 5 b) − −2 = 2x x t xe c) | – 3x| = 3x t xe

d) |x2 – 4| = x2 – 4 t xe

e) |x2 + 1| = x2 + 1 t xe

f) −1 1= xx x

−∀ ∈

g) |(x + 1)2 + 3| > 0 t xe h) La ecuación = x x tiene infinitas soluciones reales. i) La inecuación − −1 < 1x no tiene soluciones reales. j) Cualquier número real es solución de la ecuación:

= x x k) La inecuación − −1 < 1x tiene infinitas soluciones reales. l) El valor absoluto de cualquier número real, distinto de cero, es siempre positivo. m) Dos números que tienen igual valor absoluto son iguales.

Véanse los resultados en la página 484.

7 – VALOR ABSOLUTO

7.1. DEFINICIÓN

Cada número real x tiene un valor absoluto, que se anota como |x| y que se define como: x si x es un número no negativo. |x| = – x si x es un número negativo. EJEMPLOS: |5| = 5 |– 3| = 3

7.2. PROPIEDADES El estudiante debe demostrar:

1) t x e , |x| > 0 2) t x e , |x| = |– x|

3) t x e , t a e +

Si |x| = a ⇒ x = a o x = – a

4) t x e , |x|2 = x2

5) t x e , t a e +

|x| < a si y solo si – a < x < a 6) Desigualdad triangular t x e , t y e , |x + y| < |x| + |y| 7) t x e , t y e , |x . y| = |x| . |y|

8) t x e , t y e , y $ 0 x xy y

=

9) t x e , x x2 =


x xx

x x

( 2) 22

( 2) 2

− ∀ ≥− =

− ∀ <−

7.3. VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN

x x xx

x x x

f( ) / f( ) 0f( )

f( ) / f( ) 0

∀ ∈ ≥=

∀ ∈ <−

Es necesario estudiar el signo de la expresión afectada por el valor absoluto, para separarla en tantos intervalos como sea necesario. En el ejemplo siguiente se ve cómo interpretar esta definición. EJEMPLO: Resolver en : |x – 2| < 2x – 7 En todos los casos, es conveniente interpretar el valor absoluto y trabajar con expresiones sin valor absoluto. Para ello se debe hallar el signo de la expresión afectada por el valor absoluto.

xIntervalo B Intervalo A0

Signo de ( 2)2

− −−−−−−−−−− +++++++++++++++⎮

Intervalo B t x < 2 Intervalo A t x > 2 – (x – 2) < 2x – 7 (x – 2) < 2x – 7

– 3x + 9 < 0 – x + 5 < 0

x0

Signo de ( 3 9)2 3

+ + + + + + − − − − − −− + ⎮ x0

Signo de ( 5)2 5

+ + + + + + − − − − − −− + ⎮

Solución = {x / x e , x > 5}

Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 342 y 343, de la página 291.


8 – EJERCICIOS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 484. Resolver en los números reales y en condiciones de existencia, las siguientes inecuaciones. 316) –5x +3 > 0 317) 7x – 6 > 5 – 6x

318) x2 – 8x + 7 < 0 319) (4x + 5)(2x – 7) > 0

320) x2(x2 – 9) < 0 321) – x(2x – x2) > 0

322) xx

2 5 03 8

−≤

+ 323) x

x 0

3≥

−

324) x x

1 0( 4)

−≤

+ 325) x

x

2 4 03 1

− +≤

−

326) x

x x

2 0

24≥

− 327) x x

x x

3 22 0(7 )

−≤

−

328) x x x

x x

2 34 + 3 + < 02 6 + 5

−

− 329) x x

x

2 5 4 03

− +<

−

330) x x

x x x

2 5 > 02 3+ 2

−

− − 331) x x

x x

22 2 1 32 2 6

− +>

+ +

332) x x

2 3 3 1

>+ +

333) x x

1 2 4

− −>

− +

334) x x x

x x x

2( 3)( 2 3) 02 2 2( 4) (2 5 )

− + + −≥

− − 335) x x

x x

3 03 2 2( 1) (5 )

− +≤

− + +

336) x x

x x x

(2 1) 3 0

2 2( 2) (5 4 )

+ −≥

− + − 337) x x

x x x

4 02(2 3) 15

+≤

− + −

338) x x

x x x

1 0

2 2( 3) ( 6 )

−≥

+ − + − 339) x x x

x x x

3 2 5 6 02 2(2 3) 9

+ +≤

− + −


340) Discutir según los valores de m e , la existencia de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) x2 – 2(m – 1)x + 2m + 1 = 0 b) (m – 3)x2– 2(3m – 4)x + 7m – 6 = 0

c) (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0 d) (m + 2)x2 – (m + 2)x + m2

= 0

341) Discutir según los valores de m e , naturaleza y signo de las raíces.

a) A(x) = – 2mx2 + (m – 2)x + 1 b) B(x) = x2 + (m + 1)x + (2m – 1) 342) Cada una de las desigualdades escritas en la columna de la izquierda equivale

exactamente a una de las escritas en la columna de la derecha. Determinar los pares equivalentes.

1) |x| < 3 a) φ 2) |x – 1| < 3 b) {x/ x e , – 3 < x < 3} 3) |3 – 2x| < 1 c) {x/ x e , x > 3, x < – 1} 4) |1 + 2x| < 1 d) {x/ x e , x > 2} 5) |x – 1| > 2 e) {x/ x e , – 2 < x < 4} 6) |x + 2| > 5 f) {x/ x e , x x3 1, 1 3− ≤ ≤ − ≤ ≤ } 7) x

15 <1− g) {x/ x e , 1 < x < 2}

8) |x – 5| < |x+1| h) {x/ x e , x < – 7, x > 3} 9) |x2– 2| < 1 i) {x/ x e , x1 1

6 4< < }

10) |x2 + 2| < – 2 j) {x/ x e ,, –1 < x < 0} 343) Resolver las siguientes inecuaciones. 1) |x + 3| > 5 2) |2 – x| < 4 3) |x – 5| > 2x – 4 4) |x + 4| < 0 5) |x + 4| > |2x – 3| 6) |x – 6| > |9 – 2x| 7) |x + 2| – |2x – 1| > x – 1 8) |x2 + 2x – 8| < |3x + 12| 9) |x + 3| + 2x2 + 9x + 9 – |3x + 6| < 0

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