5_09probabilidad_2008

GUSTAVO A. DUFFOUR 184

Tanto Tartaglia como Cardano ya habían hecho un sagaz análisis de los problemas del juego, pero sus obras fueron en gran parte olvidadas. El desarrollo de este tema es relativamente reciente. De hecho, el concepto de probabilidad era desconocido para el mundo antiguo.

La fecha «oficial» del nacimiento del cálculo de probabilidad resulta habitualmente fijada alrededor del año 1651, cuando Chevalier de Merr, llamado el «filósofo jugador del siglo XVII», deseoso de obtener algunos informes sobre los riesgos en los juegos de dados, se dirigió a uno de los matemáticos más talentosos de todos los tiempos, el apacible y piadosamente religioso Blas Pascal.

Pascal, en 1654, a su vez, escribió a un matemático aún más célebre, el consejero parlamentario de la Ciudad de Tolosa, Pierre de Fermat y, en la correspondencia que se sucedió, la teoría de la probabilidad vio por primera vez la luz del día.

El primer tratado de importancia sobre la teoría de las probabilidades fue El arte de la conjetura, de Jacques Bernoulli, publicado en 1713, ocho años después de su muerte.

El interés por la probabilidad aumentó, estimulado por las investigaciones de eminentes matemáticos como Leibniz, Bernoulli, De Moivre, Euler.

Pero se le debe más a Laplace que a ningún otro matemático. Desde 1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra Teoría analítica de las probabilidades, publicada en 1812.

Fue en verdad notable, como escribió Laplace, «que una ciencia que se inició con las consideraciones del juego, se hubiese elevado a los objetos más importantes de la sabiduría humana».

Nicolo Tartaglia Italia, 1500–1557

Girolamo Cardano Italia, 1501–1576

MATEMÁTICA DE QUINTO 185

→→

CF casos favorablesp(A) = casos posiblesCP

9

INTRODUCCIÓN A

LA PROBABILIDAD

1 – CONCEPTOS PREVIOS Si al analizar un experimento no se puede predecir su resultado, por que hay diferentes resultados posibles, se dice que es un experimento aleatorio (del latín alea significa 'suerte'). Espacio muestral Se llama espacio muestral E al conjunto de resultados posibles que presenta un experimento aleatorio. Al número de elementos del espacio muestral #(E) se acostumbra a llamarlo los casos posibles, y se simboliza CP. #(E) = CP Suceso Se llama suceso A a cualquier subconjunto del espacio muestral. Al número de elementos de un suceso #(A) se acostumbra a llamarlo los casos favorables, y se simboliza CF. #(A) = CF Como consecuencia de las anteriores definiciones, el conjunto vacío y el propio espacio muestral, al ser subconjuntos del espacio muestral E, son sucesos que se denominan, respectivamente, suceso imposible y suceso seguro (certeza). 2 – PROBABILIDAD SIMPLE

2.1. DEFINICIÓN Dado un experimento aleatorio cualquiera E, donde #(E) = CP (finito), sea A un suceso cualquiera de E. #(A) = CF La probabilidad p(A) de que ocurra uno de los casos favorables es igual al cociente entre el número de casos favorables CF y el número total de casos posibles CP.


A la edad de 16 años, Laplace concurrió a la Universidad de Caen con la intención deestudiar teología. Sin embargo, durante sus dos años allí, Laplace descubrió sus talentos matemáticos. Dejó la Universidad de Caen sin recibirse, y partió a París. A pesar de su juventud, Laplace impresionó rápidamente a d'Alembert, quien no sólo empezó a dirigir sus estudios matemáticos, sino también le encontró una posición para ganar dinero.Laplace fue designado como profesor de matemática en la Ecole Militaire.

La reputación de Laplace aumentó firmemente durante los años 1770–1780.Fue el período en que estableció su estilo, posición filosófica, ciertas técnicas matemáticas y un programa de investigación en dos áreas, probabilidad y mecánicas celestiales, en el que trabajó por el resto de su vida. Durante la década de 1780, Laplace produjo sus más grandes resultados. Es uno de los científicos más importantes e influyentes que el mundo ha visto. Dio a conocer su obra con la publicación del Traité de Mécanique Céleste, en cinco volúmenes, en 1799. También la primera edición de Théorie Analytique des Probabilités, que se publicó en 1812. Laplace no era modesto en lo referido a sus habilidades y logros, y tampoco reconoció el efecto de sus actitudes en sus colegas, lo que no favoreció en nada sus relaciones personales, llevándolo a perder poco a poco todos sus amigos.

De cualquier modo, a su muerte, en la mañana del 5 de marzo de 1827, la Academia de Ciencias de París canceló sus eventos en honor a uno de los más grandes científicos de todos los tiempos.

Pierre Simón Laplace (Francia, 1749–1827 )

A esta definición se la llama definición clásica de Laplace, debido a que este matemático francés fue uno de los primeros en desarrollar con rigor la teoría de la probabilidad. Esta definición considera anticipadamente los hechos que luego van a ocurrir, y se apoya en dos grandes hipótesis:

a) Es necesario determinar el número de casos posibles, por lo cual el espacio muestral debe ser un conjunto finito. b) Todos los casos deben ser igualmente posibles (equiprobables). EJEMPLO: ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par, al tirar un dado? El número de casos posibles CP es igual a 6 (los números del dado). El número de casos favorables CF es 3, pues puede salir el número 2, el 4, o el 6.

12

3p(par) = =6

Véase la definición axiomática de probabilidad

en la página 193.


2.2. PROPIEDADES

a) Si entre los casos posibles no hay ninguno favorable, o sea CF = 0, la probabilidad p(φ) = 0, se dice entonces que la probabilidad es nula, significando que es imposible que ocurra un caso favorable.

b) Si, por el contrario, todos los casos posibles son favorables, entonces CF = CP, p(E) = 1, se dice entonces que hay certeza de que ocurra un caso favorable.

c) En todos los demás casos, la probabilidad de que ocurra un caso favorable p(A) se encuentra entre cero y uno 0 < p(A) < 1.

Escala cuantitativa 1

120| | |

Imposible Mediamente Seguroprobable

Poco Muyprobable probable

NOTA

La suma de la probabilidad de un suceso más la probabilidad contraria (de que no ocurra el suceso) es igual a 1.

EJEMPLO: Una caja contiene 5 lápices rojos, 8 verdes y 6 azules. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un lápiz sea verde? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos lápices estos sean azules? a) Casos favorables: 8 (los lápices verdes). Casos posibles: 19 (la suma de todos los lápices).

8p(verde) =19

b) Casos favorables: 62C (los lápices azules tomados de a dos).

Casos posibles: 192C

(la suma de todos los lápices tomados de a dos).

62 5

57192

15p(azul) = = =171

CC

Antes de continuar, es conveniente hacer los problemas 209 al 215, de la página 196, y contestar la pregunta 1, de la página 194.

Véase la demostración rigurosa en la página 194. ( )p(A) + p A = 1


A pesar de la simplicidad de los problemas de dados, algunos grandes matemáticos no lograron resolverlos, porque no tuvieron en cuenta el orden en que se obtienen los resultados. Se equivocaron Leibniz, uno de los fundadores del cálculo diferencial e integral, y D' Alambert, uno de los autores de la famosa Enciclopedia Francesa. Una vez a D' Alambert le formularon la siguiente pregunta: ¿con qué probabilidad una moneda que se tira dos veces, por lo menos una vez cae en número? La respuesta del científico fue 2/3, dado que consideraba que hay únicamente tres resultados posibles (número-número, número-cara, cara-cara) y entre ellos solo un caso no favorable, es decir, cuando salen dos caras. D' Alambert no tuvo en cuenta que los tres resultados posibles no eran equiprobables. (La respuesta correcta es 3/4.)

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Espacio muestral generado al tirar dos dados.

EJEMPLO: A lanzar un dado dos veces en forma consecutiva, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?

Al lanzar dos dados, se dice que el número que cae es la suma de los números que aparecen en las caras de ambos dados.

6 1p(suma 7)36 6

= =

Suman 2

Suman 3

Suman 4

Suman 5

Suman 6

Suman 7

Suman 8

Suman 9

Suman 10

Suman 11

Suman 12

Jean d'Alambert (Francia, 1717-1783)

Gottfried Leibniz (Alemania, 1646-1716)


Sea un espacio muestral E, donde A y B son dos sucesos excluyentes tales que A ∩ B = φ. La probabilidad de que ocurra A o Bes la suma de las probabilidades individuales.

A B

E

La combinatoria es una herramienta fundamental en probabilidad, dado que para calcular probabilidades hay que contar los casos favorables y posibles (en el caso equiprobable) y, para ello, en general, se necesitarán herramientas combinatorias.

3 – PROBABILIDAD TOTAL Y COMPUESTA

3.1. INTRODUCCIÓN Con frecuencia hay que tomar en consideración la ocurrencia de dos o más sucesos de un mismo espacio muestral. Cuando ello sucede, resulta de extrema utilidad la notación de conjuntos. Se entenderá por A ∪ B el hecho de que ocurra el suceso A o el suceso B. Es un caso de probabilidad total (véase capítulo 2 «Conjuntos», punto 5, para una aclaración del significado de o). Por A ∩ B, se entenderá al hecho de que ocurran simultáneamente el suceso A y el suceso B. Es un caso de probabilidad compuesta. El uso de estos símbolos es del todo compatible con los significados de unión e intersección en el álgebra de conjuntos. Muchas veces se emplean estos símbolos en relación con más de dos sucesos. Por ejemplo, A ∩ B ∩ C se refiere a la ocurrencia simultánea de los sucesos A, B y C.

3.2. PROBABILIDAD TOTAL, SUCESOS EXCLUYENTES Se dice que dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no contienen casos favorables en común. Esto corresponde a la idea de conjuntos disjuntos.

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) EJEMPLO: ¿Cuál es la probabilidad de sacar de una vez dos bolas blancas o dos bolas rojas de una urna que contiene cinco bolas blancas y siete bolas rojas? Suceso A, las bolas blancas tomadas de a dos.

La probabilidad de sacar 2 bolas blancas es: 52

122

p(A) = CC

Suceso B, las bolas rojas tomadas de a dos.

La probabilidad de sacar 2 bolas rojas es: 72

122

p(B) = CC

5 72 2 31

6612 122 2

10 21Resultado: p(A B) = + = + =66 66

C CC C

∪

Véase el axioma 3 en la página 193.


A

B

E

Responder «verdadero» o «falso», y justificar la respuesta. 1) Si A y B son dos sucesos de un mismo espacio muestral, tal que: A ∩ B = φ 6 p(A) = 0.21 p(B) = 0.82 2) Si A B⊄ 6 A y B son excluyentes. 3) Si A c B p(A) = 0.3 p(B) = 0.5 6 p(A ∪ B) = 0.5 4) p(A ∪ B) = 0.7 p(A) = 0.2 6 p(B) = 0.8 p(A ∩ B) = 0.3

Véanse los resultados en la página 479.

Sean A y B dos sucesos en los cuales laprobabilidad de B es afectada por lo que ocurra en A, o sea que depende de A. La probabilidad de que B suceda una vez que Ahaya sucedido, se denomina probabilidad condicionalde B dado A, y se anota p(B/A).

A B

E

3.3. PROBABILIDAD TOTAL, SUCESOS NO EXCLUYENTES En el caso de que los sucesos A y B no sean excluyentes, o sea, que tengan casos favorables comunes, al sumar la probabilidad de A más la probabilidad de B se están contando dos veces aquellos casos favorables que se dan en A y en B simultáneamente, por lo que es necesario descontar una vez la probabilidad de estos casos.

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

3.4. PROBABILIDAD CONDICIONAL, SUCESOS DEPENDIENTES

p(A B)p(B/A) =p(A)∩ la cual se puede escribir como:

#(A B) número de elementos de A Bp(B/A) = =

#(A) número de elementos de A∩ ∩

Véase la demostración rigurosa en la página 194.


EJEMPLO: Se tiran dos dados, primero uno y luego otro. Si la suma debe ser siete, hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca el número cinco. Sea A el suceso «la suma es siete». A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} #(A)=6 Sea B el suceso «en uno de los dados aparece un cinco». B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)} A ∩ B = {(2,5), (5,2)} #(A ∩ B) = 2 La probabilidad de que aparezca un cinco si la suma es siete, es:

p(B/A)= 12 =6 3

3.5. PROBABILIDAD COMPUESTA, SUCESOS INDEPENDIENTES Un suceso B se dice que es independiente de otro suceso A, si la ocurrencia de A no modifica la probabilidad de la ocurrencia de B. La probabilidad de que ocurran el suceso A y el suceso B viene dado por:

p(A ∩ B) = p(A).p(B)

Si dos sucesos A y B son independientes entonces se sabe que la ocurrencia de A no modifica la probabilidad de la ocurrencia de B,

por lo que: p(B/A) = p(B), o sea que: p(A B)p(B)

p(A)∩

= . Del mismo modo y siempre

que A y B sean sucesos independientes: p(A/B) = p(A), o sea que: p(A B)p(A)

p(B)∩

= .

Por lo cual se definen sucesos independientes cuando: p(A ∩ B) = p(A).p(B)


EJEMPLO: Se tira al piso una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara en la moneda y un número mayor que dos en el dado? En la moneda: casos favorables = 1 casos posibles = 2 p(moneda) = 1

2

En el dado: casos favorables = 4 casos posibles = 6 p(dado) = 4

6

p(total) = p(moneda) * p(dado) = 12 * 4

6 = 13

Antes de continuar, es conveniente hacer

los problemas 216 al 235, de la página 197, y contestar las preguntas 2 al 10, de la página 195.

4 – OTRO ENFOQUE DE PROBABILIDAD

NOTA El concepto anticipado de probabilidad, probabilidad de Laplace, tiene algunas limitaciones.

La definición se basa en espacios muestrales finitos, y no siempre es realista hablar de casos igualmente posibles.

Un enfoque a posteriori de probabilidad habla de que luego de hacer n ensayos o repeticiones de un mismo experimento, siendo n un número suficientemente grande como para ser representativo de lo que se estudia, si un suceso A ocurre x veces en n ensayos, entonces:

p(A) = nx

Es aplicable siempre y cuando n (el número de ensayos) sea lo suficientemente grande como para ser representativo del fenómeno que se estudia.


Andrey Kolmogorov. Matemático ruso nació en 1903 y falleció en Moscú en 1987. Su monografía sobre probabilidades publicada en1933 tuvo mayor éxito que las de sus predecesores, y construyó un riguroso fundamento axiomático a lateoría de las probabilidades, comparable con Euclides en su tratado de geometría.

Pese a algunas críticas que se le puedan formular,ella es, hasta hoy, la base más aceptada para la construcción matemática del cálculo deprobabilidades.

NOTA Por otra parte, la experiencia demuestra que en los casos en que sea posible la determinación de la probabilidad anticipada, el cálculo de la probabilidad a posteriori tiende al de probabilidad anticipada a medida que el número de ensayos aumenta.

5 – DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Sea E un conjunto finito (espacio muestral), P(E) el conjunto de partes de E (formado por todos los subconjuntos de E) y [0,1] el conjunto de números reales entre cero y uno incluyéndolos. Se llama función probabilidad a la función p: P(E) → [0,1] que cumple las siguientes condiciones: Axioma 1 p(A) ≥ 0 t A ∈ P(E) Axioma 2 p(E) = 1 Axioma 3 Si: A ∈ P(E) B ∈ P(E) y A ∩ B = φ p(A ∪ B) = p(A) + p(B) 6 – ALGUNOS TEOREMAS En los teoremas siguientes, A y B son elementos de partes de E, y p es una función probabilidad.

6.1. TEOREMA 1 p(φ) = 0 Como φ ∩ E = φ por axioma 3 p(φ ∪ E) = p(φ) + p(E) pero como: φ ∪ E = E al sustituir se obtiene p(E) = p(φ) + p(E). Simplificando p(E), se llega a que p(φ) = 0.


A A

E

6.2. TEOREMA 2 p ( )A = 1 – p(A)

Como A ∩ A = φ y A ∪ A = E, por el axioma 3 se tiene que: ( )p(E) p(A) p A= + , pero al ser p(E) = 1, por axioma 2 se despeja ( )p A . ( )p A 1 p(A)= −

6.3. TEOREMA 3 p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Expresando A ∪ B como: A ∪ B = A ∪ (B – A) y al cumplirse: A ∩ (B – A) = φ por el axioma 3 se tiene que: p(A ∪ B) = p(A) + p(B – A) (1)

Además, se cumple: B = (A ∩ B) ∪ (B – A) siendo: (A ∩ B) ∩ (B – A) = φ por el axioma 3 se tiene que: p(B) = p(A ∩ B) + p(B – A). Se despeja p(B – A): p(B – A) = p(B) – p(A ∩ B) (2)

Sustituyendo en (1) el valor de p(B – A) obtenido en (2), se llega a que:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

6.4. TEOREMA 4 p(A) < 1 Por el teorema 2, p ( )A =1 – p(A) pero como por el axioma 1 se cumple que: ( )p A ≥ 0 resulta que: 1 – p(A) ≥ 0. Despejando se llega a que p(A) ≤ 1.

Combinando el axioma 1 y este teorema, surge que: 0 ≤ p(A) ≤ 1

7 – ALGUNAS PREGUNTAS SOBRE EL TEÓRICO 1) a) Definir espacio muestral y suceso. b) Definir probabilidad. c) Si se tiran dos dados simultáneamente, ¿qué es más probable obtener: que sumen 4 o que sumen 6? Justificar la respuesta. 2) Dado el espacio muestral E y dos sucesos A y B tales que: p(A ∪ B) = 8

9 p(A ∩ B) = 29 p(A) = 3

9

a) Ilustrar con un diagrama. b) Calcular la probabilidad de B. c) Enunciar y demostrar la propiedad aplicada.

A B

(B–A) (AnB)

A B

(B–A)


3) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, p(A) = 0.30 y p(B) = 0.35 determinar cada una de las probabilidades siguientes:

p(A ∪ B) p(A ∩ B) ( )p A B∩ ( )p B ( )p A B∩ 4) Sean dos sucesos A y B definidos en un espacio muestral E. Se sabe que:

p(A) = 0.5 p(B) = 0.8 p(A ∪ B) = 0.9 Hallar p(A ∩ B), si corresponde. 5) Sean A, B y C sucesos definidos en un mismo espacio muestral E. Completar en cada caso:

i) A ⊂ E, si p(A) = 0 ⇒ A = _____

ii) si p(A) = p y p(C) = 1 – p ⇒ C = ____

iii) si A ∩ C = φ ⇒ p(A ∪ C) = ____ + ____ 6) Sean dos sucesos M y N mutuamente excluyentes, tales que: p(M) = 0.6

p(N) = 0.4 definidos en E.

i) Completar: M___N = ___ p(M ∪ N) = p(__) + p(__)

ii) ¿Cómo son los conjuntos M y N?

7) Sean dos sucesos A y B definidos en E, de los cuales se sabe que p(A) = 0.4 p(A ∪ B) = 0.7 y p(B) = 8

10

Indicar la respuesta correcta y por qué. i) ( ) 60

100p A =

ii) B es un suceso simple.

iii) p(A ∩ B) = 0.5

iv) La situación no es posible. 8) Sea E = A ∪ B ∪ C. Se sabe que: p(A ∪ B) = 3

4 p(A ∪ C) = 23 .

Calcular p(A) siendo A ∩ B = φ A ∩ C = φ B ∩ C = φ 9)

Si p(C) = 0.3 1) Hallar p(A ∪ B). 2) p(B) = p(A)*0.875 p(A ∩ B) = p(A) – 0.35 Hallar p(A), p(B), P(A ∩ B) 3) Si #(E) = 200. Hallar #(A∪B), #(A), #(B), #(A∩C), #(C). 4) Calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o B.

10) Dados dos sucesos A y B definidos en un espacio E, se sabe que: p(A) = 3p(A ∩ B) 3

2p(B) .p(A B)= ∩ p(A ∪ B) = 0.9

1) Hallar p(A ∩ B). 2) Demostrar el teorema aplicado en 1).

3) Sea C = E – (A ∪ B). Calcular p(C).


8 – PROBLEMAS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 479. 209) En una caja hay 8 cartones blancos y 2 negros. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un cartón sea: a) … negro? b) … blanco? 210) De una urna que contiene 6 bolillas rojas, 9 blancas y 5 negras, se extrae una bolilla. a) Hallar la probabilidad de que la bolilla extraída sea negra. b) Hallar la probabilidad de que sea negra o blanca. 211) Se consideran las letras de la palabra ELEMENTOS en diferentes fichas que se

colocan en una caja. Consideremos el experimento que consiste en sacar una ficha. ¿Cuál es la probabilidad de sacar:

a) … una ficha con una consonante? b) … una ficha con la E? c) … una ficha con una vocal? d) … una ficha que tenga M o L? 212) Se mezclan 5 monedas falsas con 9 auténticas. a) Se selecciona al azar una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que sea falsa? b) Se seleccionan al azar 2 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que: 1) … las dos sean falsas? 2) … las dos sean auténticas? 3) … una sea auténtica y la otra falsa? 213) Una moneda se arroja tres veces. a) Determinar el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara una sola vez? c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara, al menos, una vez? d) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara todas las veces? 214) Se consideran las letras de la palabra EXÁMENES en diferentes fichas que se

colocan en una caja. Considérese el experimento de sacar una ficha. ¿Cuál es la probabilidad de sacar: a) … una ficha con una consonante? b) … una ficha que no tenga la M? c) … una ficha que tenga M o N? 215) De una bolsa se sacan tres bolillas al azar. La bolsa contiene seis bolillas rojas y

cinco bolillas negras. Encontrar la probabilidad de que: a) … todas sean rojas. b) … todas sean negras. c) … dos sean rojas y una negra.


216) Se escogen al azar 3 lámparas entre 15, de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad de que: a) … ninguna sea defectuosa. b) … solamente una sea defectuosa. c) … una, por lo menos, sea defectuosa.

217) En una carrera, la probabilidad de que el corredor n.º 6 gane es de 18 y la de que

el corredor n.º 14 gane es 110 .

¿Cuál es la probabilidad de que gane la carrera uno de esos corredores? 218) En un club de 1260 socios figuran: 15 con apellido González, 25 con apellido

Rodríguez y 20 con apellido Pérez. Se renueva un miembro de la comisión que se elige entre todos los socios. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea un González, un Rodríguez o un Pérez?

219) De un conjunto de números naturales, la probabilidad de que uno de ellos sea

divisible entre 2 es 16 , la probabilidad de que sea divisible entre 5 es 1

3 y de que

sea divisible entre 10 es 112 . ¿Cuál es la probabilidad de que un número de ese

conjunto sea divisible entre 2, o entre 5? 220) En la Facultad de Química, 25% de los estudiantes perdieron Matemática, 15%

perdieron Química y 10% perdieron las dos materias. Se selecciona un estudiante al azar.

i) Si perdió Química, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido matemática? ii) Si perdió Matemática, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido Química? iii) ¿Cuál es la probabilidad de que haya perdido Matemática o Química? 221) Se sacan dos bolillas de una caja que contiene 5 bolillas rojas y 7 azules. ¿Cuál es la probabilidad de obtener ambas del mismo color? 222) Si se colocan en fichas los números 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 en una caja. ¿Qué probabilidad hay de que al sacar una ficha: a) … sea un número impar? b) … sea un número múltiplo de 2? 223) Un niño, al jugar con números de madera desde uno a cinco, los coloca en un

renglón. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado así sea: a) … menor de 20000? b) … mayor que 40000?


224) En un bolillero se tienen 3 vocales {a, i, o} y 4 consonantes {m, p, q, r}. Se extraen 4 letras formándose palabras con o sin sentido. a) ¿Cuántas palabras se pueden formar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada tenga todas las consonantes? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada contenga todas las vocales? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada contenga juntas la letra m y la letra o? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada sea ropa? 225) Se tienen 2 cajas con 7 bolillas cada una; la primera contiene 3 rojas y las

restantes verdes, la segunda contiene 4 rojas y las restantes azules. Se saca una bolilla de cada caja. Hallar la probabilidad de que:

a) … ambas sean rojas. b) … ninguna sea roja. c) … al menos una sea roja. d) … que sean de distinto color. 226) Una caja contiene 8 artículos, de los cuales 3 son defectuosos, y otra caja

contiene 5 artículos, de los cuales 2 son defectuosos. Se saca un artículo de cada caja. ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea defectuoso y el otro no?

227) Dado un mazo de naipes franceses (cincuenta y dos cartas, tienen cuatro palos:

corazón, diamante, pica y trébol; en cada palo hay trece cartas que van del as al diez, más tres figuras).

Se extraen dos cartas al azar. Hallar la probabilidad de que sean: a) … del mismo palo. b) … corazones. c) … una corazón y la otra trébol. d) … el as de corazón y una figura de trébol. e) … dos reyes. f) … dos figuras. g) … un número y una figura. h) … el rey y la reina de corazones. i) … dos reyes de corazones. 228) De un grupo de 6 mujeres y 8 hombres se elige al azar un comité de 3 personas.

Hallar la probabilidad de que el comité consista en: a) … tres mujeres. b) … tres hombres. c) … dos mujeres y un hombre. 229) En un juego en que solamente una persona puede ganar, la probabilidad de ganar

A es 14 , la probabilidad de ganar B es 2

5 .

¿Cuál es la probabilidad de que A o B ganen el juego?


230) En cierto liceo, el 25% de los estudiantes estudia Inglés, el 15% practica deportes y el 10% estudia Inglés y practica deportes. Se selecciona al azar un estudiante; si practica deportes: ¿cuál es la probabilidad de que estudie Inglés?

231) Al arrojar dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de: a) … obtener ocho puntos? b) … que sumen siete? c) … que sumen tres? d) … que sumen dos? e) … que sumen siete u ocho? f) … que sumen dos, tres o doce? 232) Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas

y la mitad de los alumnos aprueban matemática. Calcular la probabilidad de que, al elegir una persona, resulte:

a) … alumna o que apruebe matemática. b) … alumno que pierda matemática. 233) Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen

la misma probabilidad de ganar, que es el doble de la probabilidad de C. Hallar: a) … la probabilidad de que gane A. b) … la probabilidad de que ganen B o C. 234) Se lanzan dos dados y, con los números que aparecen, se forma una fracción

menor o igual que uno. Juan dice que, en la próxima tirada, la fracción será reducible y Pepe que será irreducible.

¿Quién de los dos crees que tiene más posibilidades de acertar? 235) Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número

total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5% respectivamente.

i) Si se selecciona al azar un artículo. Hallar la probabilidad de que sea defectuoso. ii) Si se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuosos. Hallar la probabilidad de que halla sido producido por la máquina A.

5_09probabilidad_2008

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