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5 MODELO DEL ENSAYO DE TENACIDAD INTERLAMINAR EN MATERIALES COMPUESTOS

n este capítulo modelaremos el ensayo que se utiliza en los materiales compuestos para medir la tenacidad a fractura interlaminar, GIc, utilizando el modelo de LEBIM introducido en el capítulo 2. Además los resultados obtenidos en este proyecto se compararan con resultados experimentales y otros

obtenidos anteriormente con el mismo modelo de interfase (LEBIM) pero resolviéndolo con BEM.

5.1 Descripción de la probeta del ensayo

En la industria aeronáutica, los procedimientos para medir la tenacidad a fractura interlaminar en uniones están estandarizados en [2, 16].

La probeta utilizada es una “Double Cantilever Beam”, la cual está compuesta por dos laminados unidos por una capa de adhesivo, Figura 5-1. La carga se aplicará a través de unas mordazas, estando el punto de aplicación de la carga a 13 mm del extremo de la probeta. Este ensayo se realizará con un control en desplazamientos. Las dimensiones de la probeta se muestran en la Figura 5-1 (a).

Figura 5-1 (a) Esquema de la probeta DCB, (b) probeta con las mardozas para el ensayo, (c) configuración del ensayo [36]

Es importante tener en cuenta que en el adhesivo EA 9695 K.05 utiliza una malla de poliéster soporte

E

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mostrada en la Figura 5-2. Como se mostrará más adelante esta malla produce que experimentalmente aparezcan unas marcas en la superficie y unos saltos en la curva fuerza desplazamiento.

Figura 5-2 Imagen extraída de [36] donde se puede observa el detalle de la malla de soporte de poliéster del adhesivo EA 9695 K.05, incluye las dimensiones de los rombos que forman la malla, tanto las dimensiones

interiores como la exteriores. La imagen ha sido tomada con un aumento de 50x.

5.2 Modelo numérico

En esta sección se resolverá un modelo el cual cumple con la normativa ISO 15024 [16]. Para simular este ensayo partimos de la hipótesis que nos encontramos en un caso de deformación plana. El laminado considerado ha sido un 8552/AS4 con fibras de carbono y matriz epoxi, teniendo todas las laminas dirección 0º. Las propiedades de los laminados que hemos modelado son:

Propiedades del laminado

Módulo de elasticidad en la dirección de la fibra

Ex=135GPa

Módulo de elasticidad en la dirección perpendicular a la fibra dentro del plano

Ey=135GPa

Módulo de elasticidad en la dirección perpendicular a la fibra perpendicular al plano

Ez=10GPa

Módulo de cizalladura en el plano xy Gxy=5GPa

Módulo de cizalladura en el plano xz Gxz=5GPa

Coeficiente de Poisson en el plano xy νxy=0.3

Coeficiente de Poisson en el plano yz νyz=0.4

Coeficiente de Poisson en el plano xz νxz=0.3

Tabla 5-1 Propiedades del laminado utilizado en la probeta

El adhesivo usado es el EA 9695 K.05, un adhesivo basado en la resina epoxi. Las propiedades que hemos utilizado para modelar este adhesivo con el LEBIM son:

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Propiedades del adhesivo

Rigidez del adhesivo en dirección normal al adhesivo kn=150 GPa/m

Tensión critica de rotura σc=15 MPa

Desplazamiento critico δnc=0.1 mm

Índice de liberación de energía elástica crítico GIc=750 Jm-2

Tabla 5-2 Propiedades del adhesivo EA 9695 K.05 necesarias para definir el material con el modelo LEBIM

Debido a que existe simetría geométrica y de cargas en el modelo, no existirá tensiones tangenciales en el adhesivo además que la rotura sólo se propagará en el modo I. Por lo que la rigidez tangencial, la sensibilidad a fractura λ, y el ángulo de mixticidad del modo de fractura ψG que se utilizan en el LEBIM, no tienen relevancia para este caso en particular.

Este problema ha sido resuelto utilizando el programa de elementos finitos ABAQUS. Para modelar este ensayo la probeta ha sido dividida en dos laminados de material compuesto cuyas dimensiones se mostraron en la Figura 5-1, unida por una capa de adhesivo. En el modelo de los elementos de contorno este adhesivo carece de espesor, pero al utilizar la subrutina UMAT, el comportamiento del material que hemos definido debe de asociarse a alguna parte del modelo. Por lo que el espesor que hemos tomado para la zona adhesiva es de 0.01 mm, e impondremos que solamente haya un elemento en el espesor del adhesivo. Al tomar un espesor tan pequeño para la parte adhesiva, el espesor total de la probeta se verá muy poco afectado, por lo que la introducción de esta parte del modelo no afectará a los resultados.

La carga del modelo estará aplicada a 13 mm del extremo de la probeta donde se encuentre la grieta, en ambos laminados. En él se impondrá un desplazamiento vertical positivo para el caso del laminado que se encuentra arriba y negativo para el que se encuentra abajo. El desplazamiento máximo impuesto en cada laminado en dirección vertical es de 25 mm y la dirección horizontal se ha dejado libre. Para impedir los movimientos como sólido rígido se ha impedido el desplazamiento horizontal en todos los puntos pertenecientes al extremo que no contiene la grieta (lado izquierdo de la Figura 5-1).

5.3 Estudio de la sensibilidad de la malla.

En primer lugar realizaremos un estudio numérico de la sensibilidad de la malla. Para decidir que tamaño de malla es el correcto nos fijaremos en la fuerza que es necesaria aplicar para producir el desplazamiento que hace que se alcances las condiciones de rotura en el adhesivo. En la Tabla 5-3 se muestra los diferentes valores obtenidos. En todos los casos se ha considerado el caso de deformación plana, utilizando elementos de cuatro nodos. ABAQUS denomina estos elementos CPE4. Si se quisiera utilizar la subrutina UMAT con los elementos del tipo reducido habría que añadir parámetros que impidan la aparición de un problema en el elemento conocido como “hour-glass stiffness”.

Tamaño del elemento Fuerza que produce la rotura

2 mm 304.675 N

1 mm 261.27 N

0.5 mm 253.322 N

0.25 mm 247.368 N

Tabla 5-3 Cargas que producen la rotura de la unión adhesiva para diferentes tamaño de malla.

Es importante recalcar que el tamaño de elemento se refiere a la medida de la longitud de los elementos

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cuadrados. En el caso del tamaño de 2 mm y de 1 mm, no se ha respetado esa longitud al mallar el espesor de los dos laminados de fibra de carbono, y se han tomado dos elementos en el espesor, es decir que el ancho del elemento en el espesor era de 0.75 mm.

Podemos observar que al refinar la malla disminuye la Fuerza de rotura. Si nos fijamos en los dos últimos tamaños la variación entre las fuerza es del 2.4 %. Además este problema ya ha sido resuelto en BEM y se obtuvo una fuerza de rotura de 246 N. Si bien la malla de 0.25 mm obtiene un valor de fuerza muy próximo al obtenido por el modelo BEM, sólo existe una diferencia del 0.56%, la comparativa de los resultados se realizará con la malla de 05 mm. Aunque para este tamaño la aproximación a la fuerza que produce la fuerza respecto al modelo BEM es peor, su diferencia es de casi un 3%, elegimos este modelo porque consideramos un error de ese orden pequeño y de esta forma evitamos usar una malla tan fina y minimizar los tiempos de cálculo.

5.4 Pruebas de verificación funcionamiento de UMAT al utilizar sistema de coordenadas locales.

Antes pasar a los resultados hay que comentar que se comprobó que la subrutina funciona bien aunque el sistema de referencia elegido es diferente al global. Como ya se comento en el capítulo 3, al aplicar la subrutina UMAT para describir el comportamiento del material en una serie de elementos, las direcciones que se utilizarán para describir el comportamiento serán el sistema coordenado local del elemento.

Figura 5-3 Esquema de los modelos resueltos para testear la subrutina UMAT

Por ello se ha resuelto el problema descrito en este capítulo, girando el modelo completo 30º, 45º, 60º y 90º, y se ha obtenido la curva de la fuerza aplicada en función del desplazamiento entre mordazas, Figura 5-3. Para ello se ha utilizado la malla de 0.5 mm, y se ha dado un desplazamiento máximo entre mordazas de 50 mm.

Lo primero a destacar es que todos los puntos de las diferentes soluciones obtenidas coinciden por lo que consideramos que se desarrolla de forma correcta la subrutina al no utilizar los sistemas globales de coordenadas en los elementos. Si nos fijamos en las curvas obtenidas vemos que no se obtienen las tensiones críticas dichas en la sección 5.3, esto es debido a que se ha resuelto dando menos incrementos, en este caso en particular se han dado 40 incrementos para un desplazamiento entre mordazas máximo de 50 mm. En cambio para obtener la solución de la sección 5.3 se dieron 2500 iteraciones para el mismo desplazamiento. La solución que consigue ABAQUS es bastante sensible a paso máximo de carga a la que se somete el modelo. Por ello, una discusión sobre como varía la solución con el paso máximo de carga se llevará a cabo en la sección 5.7

y

x

y

x

30º

45º

60º90º

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Figura 5-4 Curvas fuerzas-desplazamiento entre mordazas para los diferentes modelos girados.

5.5 Resultados numéricos en FEM y comparación con resultados experimentales y resultados numéricos en BEM.

El objetivo de esta sección es comparar los resultados obtenidos en el modelo de elementos finitos utilizado en este proyecto con los resultados experimentales de este ensayo y con los resultados en BEM obtenidos anteriormente [36, 39]. En primer lugar mostraremos algunos resultados obtenidos en el modelo FEM, comenzando por la deformada obtenida en los modelos para diferentes desplazamientos, Figura 5-5. El problema en FEM ha sido resuelto utilizando la malla de 0.5 mm y utilizando 2500 incrementos para un desplazamiento máximo entre mordazas de 50 mm. El tamaño del incremento no es fijo y ABAQUS lo adapta para que sea lo más optimo posible.

Como ya se comentó en el capítulo 3, la subrutina UMAT se aplica en los puntos de integración y no en los nodos. Por lo que los resultados en tensiones de los nodos pueden no ser correctos debido a la extrapolación que realiza ABAQUS de los resultados obtenidos en los puntos de integración. Para observar este hecho se ha representado la distribución de tensiones a lo largo del adhesivo para diferentes desplazamientos en las mordazas, en la Figura 5-6. En ella observamos que para los casos en los que en los desplazamientos sean d=10 mm y d=50 mm se alcanza tensiones mayores que la tensión crítica de la interfase (15 MPa), y esto se debe a la extrapolación de los resultados de los puntos de integración como se comentó anteriormente.

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Figura 5-5 Modelo en ABAQUS para la situación (a) indeformada y (b) la deformación del mismo cuando se aplicada un desplazamiento de 10 mm y (c) de 50 mm entre mordazas. El tamaño de elemento utilizado en este modelo es de 0.5 mm.

En la Figura 5-7 se muestra los resultados de las tensiones en los puntos de integración, y podemos comprobar cómo en ningún caso se produce tensiones mayores a la tensión crítica. También se puede dar el caso en que en algún momento se puedan obtener tensiones negativas al comienzo de la zona dañada. Este hecho se ha visto al utilizar una malla de 1 mm y con elementos de tensión plana (CPS4), en la Figura 5-8 mostramos los resultados obtenidos en ese caso.

Figura 5-6 Distribución de las tensiones σyy en los nodos de los elementos a lo largo de la unión adhesiva.

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Figura 5-7 Distribución de las tensiones σyy en los puntos de integración de los elementos a lo largo de la unión adhesiva.

Figura 5-8 Distribución de las tensiones σyy en los nodos de los elementos a lo largo de la unión adhesiva para el caso de tensión plana. En ella se pueden ver cómo pueden mostrarse tensiones negativas.

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Para comparar los resultados del modelo FEM con los resultados experimentales y los obtenidos en BEM utilizaremos las gráficas fuerza-desplazamiento. En la Figura 5-9 podemos observar la evolución de estas curvas para cada caso, siendo el eje horizontal la distancia entre los puntos de aplicación del desplazamiento y el eje vertical a la fuerza que debemos de aplicar para obtener ese desplazamiento.

En primer lugar comentaremos que la fuerza máxima que se obtiene en el modelo de FEM es cercana a 253 N, como ya comentamos, con el modelo BEM la fuerza máxima es de 246 N obteniéndose ambos para un desplazamiento entre mordazas parecido (entorno a 0.8 mm para ambos casos). Además podemos ver que la fuerza obtenida experimentalmente es un poco superior obtenida en ambos modelos numéricos, la fuerza obtenida experimentalmente es de 260 N y obteniéndose para un desplazamiento entre mordazas un poco mayor (1.6 mm).

Figura 5-9 Comparación entre la curva experimental, la obtenida a través del método de los elementos de contornos (BEM) [] y por el método de los elementos finitos (FEM).

Con el modelo implementado en ABAQUS vemos que una vez producida la primera rotura de la unión adhesiva aparece una serie de saltos en la curva, de forma similar a los que se produce experimentalmente. En el modelo realizado en BEM estos saltos no aparecen, pero se puede hacer que aparezca de forma artificial, imponiendo que la rotura se produzca en más de un cierto número de elementos a la vez, una explicación en más profundidad sobre cómo se obtenienen estos saltos en BEM la podemos encontrar en [36, 42]. En la Figura 5-10 se muestra el comportamiento por salto obtenido en BEM y su comparación con la parte experimental y con el modelo en FEM.

En la Figura 5-10 podemos observar como los saltos obtenidos en BEM son prácticamente constantes durante la rotura del adhesivo, en cambio en el modelo desarrollado en este proyecto los saltos son cada vez más anchos, asemejándose más a los resultados experimentales. Se cree que estos saltos se deben a la malla soporte utilizada en el adhesivo. Si hiciéramos un corte a la capa de adhesivo en la dirección del plano del laminado se observa una zona de adhesivo entre los nodos de unión de la malla soporte, por lo que estos nodos están aportando una rigidez y resistencia puntual. Por lo que la explicación de estos dientes de sierra en la gráfica fuerza-desplazamiento es que al crecer la rotura comienza por estos nodos de la malla de poliéster. Al romper este nodo, el cuál aportaba una resistencia puntual, el adhesivo no es capaz de resistir la carga aplicada y se produce el crecimiento de la grieta hasta el siguiente nodo de la malla.

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Esto hace pensar que al utilizar la malla el comportamiento de la unión adhesiva sea más parecido a una distribución discreta de muelles elástico en los nodos de la malla, y no tanto a una distribución continúa de muelles. Por lo que en la sección se estudiará como aproximar mejor este comportamiento con FEM.

Figura 5-10 Comparación entre la curva experimental, la obtenida en BEM con saltos [36, 39] y la obtenida en FEM con una malla de un tamaño de elemento de 5 mm. También se incluye un detalle del adhesivo y la malla soporte.

5.6 Comparación de los resultados experimentales con los de FEM utilizando diferentes tamaños de malla

Como ya se introdujo en la sección anterior, el comportamiento de los dientes de sierra en la gráfica fuerza-desplazamiento se puede atribuir a que el adhesivo aporta rigidez y resistencia de forma discreta en los nodos de la malla. El método de los elementos finitos también aporta las propiedades del material de forma discreta en los nodos, por lo que si aproximáramos el tamaño del elemento al del adhesivo en la zona adhesiva podríamos conseguir un resultado más próximo a la realidad.

En la Figura 5-11y Figura 5-12 se muestran las gráficas fuerza-desplazamientos de las mallas utilizadas en el estudio de la sensibilidad de la malla de la sección 5.3, comparándolas con 2 gráficas experimentales. A diferencia de la sección anterior en la cual sólo se comparaba con una gráfica experimental, se han elegido dos porque en esta sección se centra en comparar los resultados con los resultados experimentales.

Se observa que para tamaño de mallas pequeños (0.25 mm y 0.5mm) los saltos que se producen en la gráfica obtenida en este modelo son menores que los experimentales y la fuerza máxima alcanzada en ambos casos son menores a los alcanzados en los ensayos. En cambio para el modelo de tamaño de malla de 2 mm se observa que los saltos resultantes son mayores que los experimentales; ocurriendo lo mismo para la fuerza máxima del modelo. Para el caso de una malla de 1 mm se observa que los saltos producidos en ella se asemejan mucho más que para las demás mallas estudiadas. Además la fuerza máxima que se produce es muy parecida a la experimental, siendo la del modelo de FEM 261.27 N y las experimentales 260.94 N y 266.53 N. Es decir el valor máximo del error de este modelo con el caso experimental no llega a un 2%.

0

50

100

150

200

250

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Car

ga (

N)

Desplazamiento (m)

Experimental

FEM

BEM saltos

adhesivo fibras de poliéster de la malla soporte

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(a)

(b)

Figura 5-11 Comparación de las curvas fuerza-desplazamiento experimentales con las obtenidas en el modelo de ABAQUS con malla de 0.25 mm (a) y 0.5 mm (b)

39

(a)

(b)

Figura 5-12 Comparación de las curvas fuerza-desplazamiento experimental con las obtenidas en el modelo de ABAQUS con malla de 1 mm (a) y 2 mm (b)

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Todo hace indicar que si el tamaña del elemento es parecido al tamaño de la malla de poliéster obtendremos resultados más cercanos con la realidad. Si observamos la Figura 5-1vemos que tal y como está colocado el adhesivo, la distancia entre nodos en la dirección horizontal es 1.62 mm para la zona exterior y 1.17 mm para la interior; siendo el valor medio 1.395 mm. En la Figura 5-13 se ha representado la curva obtenida con el valor medio de la distancia entre nodos, vemos como en tamaño los picos experimentales si se parecen mucho a los obtenidos en BEM, aunque conforme aumenta el desplazamiento parece que se produce un pequeño desfase entre estos picos.

Figura 5-13 Comparación de los resultados experimentales con los obtenidos en FEM con un tamaño de malla de 1.395 mm.

5.7 Estudio de la sensibilidad al número de incrementos

En esta sección se realizará un estudio sobre la influencia del tamaño de paso de cada incremento. Hay que tener en cuenta que estos problemas se han resulto usando el algoritmo de Newton-Raphson, el cual da buenos resultados al no mostrar la curva fuerza-desplazamiento ninguna inestabilidad. Para realizar este estudio se ha elegido la malla cuyo tamaño es de 0.5 mm. Respecto a las iteraciones hemos fijado el número de ellas, fijando el tamaño del paso. Los diferentes números de iteraciones utilizadas son 2500, 1250, 500, 100. Estos números de iteraciones implica que en cada incremento se de un desplazamiento entre mordazas de 0.02 mm, 0.04 mm, 0.1mm y 0.5 mm respectivamente.

En la Figura 5-14 se ha representado las diferentes curvas fuerza-desplazamientos en los diferentes casos descritos anteriormente. Podemos observar que conforme el número de incrementos dados baja, la estimación de la fuerza máxima también lo hace, siendo para el caso de 2500 incrementos de 253.322 N en comparación con el caso de 100 incrementos cuyo valor es de 237.408 N. Lo que supone una disminución cercana al 7%.

Pero el efecto más llamativo al disminuir las iteraciones es la atenuación de los saltos que aparecen en esta curva. Si bien para los casos de 2500 incrementos y de 1250 incrementos si aparecen estos dientes de sierra y su forma es muy similar vemos que en el caso de 100 incrementos estos saltos desaparecen.

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Figura 5-14 Comparación de las curvas fuerza aplicada en función de del desplazamiento entre mordazas para diferentes números de incrementos dados para un mismo desplazamiento máximo.

5.8 Modelo DCB no-simétrico

Para poder estudiar la capacidad que tiene el modelo LEBIM de captar el fallo en modo mixto, se ha realizado un modelo numérico de una probeta DCB no-simétrico. Las propiedades del laminado se han tomado iguales que la del apartado anterior, Tabla 5-2. Para el adhesivo se han tomado también las mismas propiedades del modelo simétrico, pero añadiendo los variables necesaria para definir el comportamiento en modo mixto, que son: λ=0.25 y Ktt=Knn/4. Esta última relación entre rigideces implicaría que el adhesivo tuviera un coeficiente de Poisson de νl =0.33.

Respecto a la geometría del modelo es igual que la descrita en la Figura 5-1, excepto por el espesor de un laminado que sería t/2, siendo t el espesor de un laminado. Por lo que en nuestro caso un laminado tendría de espesor 1.5 mm y el otro 0.75 mm. Sobre la malla del modelo se ha elegido la malla donde el lado de los elementos cuadrados mide 0.5 mm.

En la Figura 5-15 se ha representado la curva fuerza-desplazamiento comparando los resultados obtenidos para el caso de los modelos simétricos y no simétricos y a la vez con los resultados obtenidos por BEM y por FEM. Si nos centramos en la comparación entre modelo simétrico y no simétrico, la fuerza máxima que se alcanza en el modelo no simétrico de FEM es de 321.04 N, y en el simétrico es de 253.32 N, también podemos observar que los dientes de sierra siguen apareciendo en el modelo no simétrico. Si comparamos la solución de BEM y FEM vemos que la fuerza máxima de BEM es de 322, por lo que vemos que los resultados son prácticamente iguales.

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Figura 5-15 Curvas fuerza desplazamiento del modelo DCB en caso de ser simétrico o no simétrico, y de haber sido resuelto utilizando FEM y BEM