5. circulación, vorticidad y...

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2014 1

5. Circulación, vorticidad y divergencia

Como hemos visto, la atmósfera está caracterizada por la presencia de torbellinos de todas las escalas espaciales y temporales. En latitudes medias el torbellino más importante es el ciclón de escalas sinópticas, caracterizado por centros de presión con escalas horizontales de 500-1000 km y vientos que giran alrededor. En este capitulo estudiaremos dos cantidades físicas que ayudan a cuantificar la rotación: circulación y vorticidad. Derivaremos una ecuación para la vorticidad de un fluido y veremos que cambios en la vorticidad están directamente asociados a cambios en la divergencia que, por continuidad, implican movimientos verticales. Por último, dado que la atmósfera en latitudes medias está en balance de viento térmico aproximado, consideraremos aproximaciones de las ecuaciones de vorticidad y termodinámica apropiadas para flujos con Ro<<1, lo cual dará lugar al sistema cuasi-geostrófico de ecuaciones que son fundamentales para la comprensión de la dinámica de los ciclones extratropicales.

5.1 Circulación

Se define la circulación C en una región simplemente conexa como

donde dl representa el vector desplazamiento a lo largo del borde de un elemento de fluido como se ilustra en la figura 5.1.

Figura 5.1 – Cálculo de la circulación usando un circuito de fluido.

Notas: Prof. Marcelo Barreiro


Por convención, la integral anterior se realiza en sentido anti horario, por lo que C>0 (C<0) corresponde a una rotación ciclónica (anticiclónica) en el hemisferio norte. Reescribiendo la ecuación en coordenadas cartesianas en la dirección horizontal

donde U y V representan las velocidades tangenciales alrededor de un elemento de fluido en las direcciones x e y, respectivamente.

La circulación es una medida de la rotación. Para demostrarlo podemos considerar un anillo de fluido de radio R con rotación sólida a una velocidad angular Ω (es decir, el fluido se mueve como si fuera un cuerpo rígido y no existen esfuerzos de corte que deformen las parcelas). En este caso, U=ΩxR donde R es la distancia del eje de rotación al anillo. Entonces, la circulación alrededor del anillo está dada por

C=∮U.dl=∫0

2

R2d =2 R2

En este caso la circulación es 2π veces el momento angular del anillo de fluido alrededor de su eje de rotación. A su vez, C/πR2=2Ω de tal forma que la circulación dividida por el área encerrada por el anillo es dos veces la velocidad angular de rotación del anillo. A diferencia del momento angular, la circulación puede ser calculada sin referencia de un eje de rotación.

En general estamos interesados en estudiar cambios en la circulación pues estos se manifiestan como intensificaciones de las altas y bajas. Por lo tanto, estudiaremos la derivada temporal de C a lo largo del movimiento del fluido. Considerando el caso tridimensional dl=(dx,dy,dz)

Por la regla de la cadena



Sustituyendo

El segundo término de la derecha puede escribirse como

pues es la integral cerrada alrededor de un elemento de fluido.

Ahora, si usamos la aceleración absoluta podemos escribir

y como solamente la fuerza gradiente de presión y la gravitacional (despreciando fricción) influencian la aceleración absoluta

donde



en una superficie de altura constante. Puesto que la componente vertical del vector desplazamiento, dl, es simplemente dl.k=dz, entonces

y

pues dΦ es un diferencial perfecto y por lo tanto no se realiza trabajo contra la gravedad si la parcela de fluido termina su recorrido en el mismo lugar que empezó, independientemente de su recorrido (la integral en un camino cerrado de una fuerza conservativa es nula). Por lo tanto

El término de la izquierda describe la razón de cambio lagrangiano de la rotación del fluido, por lo que la ecuación anterior representa el análogo de la aceleración angular en cuerpos sólidos pero para un fluido. El término de la derecha es el equivalente del torque para un fluido y se conoce como término solenoidal.

Para un fluido barotrópico ρ=ρ(p) y la ley de gas ideal implica que

por lo que

el término solenoidal es nulo y la circulación absoluta se conserva siguiendo el movimiento de las parcelas, lo cual se conoce como el teorema de circulación de Kelvin.



5.1.1 Brisa marina La atmósfera real no es barotrópica, o sea que las superficies de presión y densidad constante se intersectan. Consideremos el caso de la brisa marina, donde la columna de aire es más baja sobre el océano por ser mas fría que sobre el continente. En este caso, aun si la presión es muy parecida en superficie, las isobaras se inclinan hacia el mar mientras que las isopicnals se inclinan hacia la tierra (más cálida). La intersección entre isobaras e isopicnals forma una serie de paralelogramos llamados solenoides, de donde proviene el nombre del término (Figura 5.2)

Figura 5.2 – Cálculo de la circulación en la frontera mar-tierra.

Para el caso de la brisa marina mostrado es posible calcular el cambio lagrangiano de la circulación absoluta evaluando -dp/ρ alrededor del camino indicado. El movimiento en AB es a lo largo de una isóbara y por lo tanto no contribuye a la integral. En BC, dp<0 por lo que el término es positivo. En CD el movimiento es nuevamente isobárico y no hay contribución a la integral. En DA el término es negativo. Como la densidad promedio en



BC es menor que en DA la contribución positiva de BC es mayor que la contribución negativa de DA resultando en un aumento de la circulación absoluta alrededor del camino. Por lo tanto, en este ejemplo aparecerá una circulación en la cual el fluido menos denso sube y el más denso baja.

Para calcular la aceleración que resulta de la intersección del término solenoidal aplicamos el teorema de circulación previa sustitución de la ley de gases ideales:

d Ca

dt=−∮ R T d ln p

Como vimos mas arriba sólo contribuyen a la integral de línea los segmentos verticales del circuito. Si DA tiene una temperatura media T1 y BC una temperatura media T2 el aumento en la circulación está dado por

dCa

dt=R ln(

p0

p1

)(T 2−T 1)>0

Si V es la velocidad media en todo el circuito, h la altura promedio y L el largo promedio se puede escribir

d Vdt

=

R ln(p0

p1

)

2 (h+L)(T 2−T1)

Asumiendo p=1000 hPa, δp=100 hPa, T2-T1=10 C, L=20 km, h= 1 km, la ecuación anterior da una aceleración de 7x10-3 m/s2. En ausencia de fricción esto produce una velocidad de 25 m/s en 1 hora.

El resultado del movimiento será inclinar las isopicnals de tal forma que se vuelvan más paralelas a las isobaras, o sea, tiende a una situación barotrópica en la cual el cambio en la circulación sería nula. Tal circulación también baja el centro de masa del fluido y reduce la energía potencial del sistema. Esta reducción de la energía potencial es, en realidad, una conversión a energía cinética del movimiento, conservando la energía total.

En la realidad, a medida que el viento aumenta la fricción reduce la aceleración y la advección de temperatura reduce el contraste de temperatura mar-tierra. De esta forma se



llega a un balance entre la generación de energía cinética por el término solenoidal y la disipación de energía.

5.1.2 Teorema de Circulación de Bjerknes

Hasta ahora consideramos la circulación absoluta. Para calcular la circulación relativa, la relevante para nuestro estudio, debemos calcular la circulación que resulta de la rotación de la Tierra y luego restarla. Para ello consideremos la velocidad alrededor de un círculo de latitud

donde R=a cos . Por lo tanto, el movimiento zonal hacia el este resultante por el movimiento de la Tierra es U = acos . Ahora calculamos la circulación alrededor del circuito latitud-longitud mostrado en la figura 5.3. En coordenadas esféricas la longitud de un elemento en la dirección zonal es dx=acos . Como la rotación de la Tierra no contribuye a movimientos en la dirección meridional la circulación resultante Ce es

Usando las identidades trigonométricas

podemos escribir



El área de la caja es

y considerando los límites

podemos expresar el área como

Combinando las ecuaciones se ve que la circulación que resulta de la rotación terrestre es

o sea que

Combinando las ecuaciones llegamos a una expresión para la razón de cambio lagrangiano de la circulación relativa

la cual se conoce como el teorema de circulación de Bjerkness.



Figura 5.3 – Caja latitud-longitud para calcular la circulación asociada a la rotación terrestre.

Para un fluido barotrópico, es posible integrar el teorema de Bjerkness siguiendo el movimiento desde un estado inicial (señalado por 1) hasta un estado final (2)

lo cual indica que para un fluido barotrópico la circulación relativa para un circuito cerrado cambiará si cambia el área horizontal encerrada o cambia la latitud.



5.2 Vorticidad

En el primer capítulo consideramos la vorticidad como una propiedad cinemática del fluido. Además, la vorticidad es una medida microscópica de la rotación de un fluido y es más fácil de tratar que la circulación. La vorticidad es una cantidad vectorial que se define como el rotor del campo de velocidades. Como para caracterizar la atmósfera trabajamos en un sistema de coordenadas que gira es necesario definir la vorticidad relativa y la vorticidad planetaria, cuya suma es la vorticidad absoluta.

La vorticidad relativa del fluido es w=∇ x u , mientras que la vorticidad planetaria se define como 2Ω, y la vorticidad absoluta es wa=∇ x u2 .

En general para estudiar los movimientos atmosféricos consideraremos únicamente la componente vertical (local) de la vorticidad, la cual se expresa como

=k. w=k.∇∧V =∂v∂ x

−∂ u∂ y

Regiones con vorticidad relativa positiva en el H.N. están asociadas a ciclones; en el H.S. los ciclones están asociado a regiones con vorticidad relativa negativa. Por lo tanto, la distribución de vorticidad relativa es muy útil para el diagnóstico de sistemas de latitudes medias.

Para determinar la relación física entre vorticidad y circulación consideremos el elemento de fluido mostrado en la figura 5.4. La velocidad en el lado A está dada por u mientras que en el lado D está dada por v. Expandiendo u y v según Taylor es posible obtener expresiones para las velocidades en los lados C y B. Entonces, la circulación es

Como el área del elemento de fluido es δxδy encontramos que en el límite del área



tendiendo a cero la vorticidad relativa es simplemente la circulación relativa dividida el área del elemento.

Figura 5.4 - Circuito para vincular circulación con vorticidad

Recordando el cálculo de la circulación terrestre Ce=fA y la figura 5.3, la componente vertical de la vorticidad planetaria es el parámetro de Coriolis f, y es igual a dos veces la razón de rotación local de la Tierra (ver figura 5.5)

f =2 sin .



Figura 5.5 – Vorticidad planetaria (no absoluta!)

Por lo tanto, la componente vertical de la vorticidad absoluta es

En forma más general, la relación entre la vorticidad y la circulación está dada por el teorema de Stokes aplicado al vector velocidad

donde A es el área encerrada por el contorno y n es un versor normal al elemento de área dA (positivo de acuerdo a la regla de la mano derecha). Por lo tanto, el teorema de Stokes establece que la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado es igual a la integral de la componente normal de la vorticidad sobre el área encerrada por el contorno. Así, para un área finita la circulación dividida entre el área da el promedio de la componente normal de la vorticidad en la región considerada.



5.3 Vorticidad en coordenadas naturales

La interpretación de la vorticidad es más simple considerando coordenadas naturales. Consideremos la componente vertical de la vorticidad. Si calculamos la circulación en el contorno infinitesimal mostrado en la figura 5.6 obtenemos

Figura 5.6 – Cálculo de la circulación en un circuito infinitesimal en coordenadas naturales.

Como

donde es el cambio angular en la dirección del viento en la distancia s . Entonces

y, como la vorticidad es circulación por unidad de área, cuando el área tiende a cero se obtiene (notar que la figura 5.6 es una foto y por lo tanto muestra las líneas de corriente)

donde Rs es el radio de curvatura de las líneas de corriente. La expresión anterior sugiere



que la vorticidad vertical es la suma de dos componentes: (1) la variación de la velocidad del flujo en la dirección normal, llamada vorticidad de corte, y (2) la variación de la dirección del flujo a lo largo de una línea de corriente, llamada vorticidad por curvatura.

Por lo tanto, aún movimientos rectilíneos pueden tener vorticidad si la velocidad cambia en la dirección normal al eje del flujo. En el ejemplo mostrado en la figura 5.7 un elemento de fluido situado al norte del máximo de velocidades tenderá a girar en sentido anti horario, mientras que un elemento de fluido al sur del máximo tenderá a girar en sentido horario.

El caso de un flujo constante en una región con curvatura se muestra en la figura 5.8. A medida que las parcelas se mueven a través de la vaguada la parte superior de una rueda con paletas imaginaria debe recorrer una distancia mayor que la parte inferior, generando un giro horario, consistente con una vorticidad por curvatura negativa.

Notar que en el H.S. el máximo de vorticidad relativa tiende a ocurrir en una cuña al norte de la región del máximo de vientos pues los dos términos V/Rs y (-dV/dn) son positivos, mientras que el mínimo de vorticidad ocurre en una vaguada al sur del máximo de vientos ya que los términos V/Rs y (-dV/dn) son negativos.

Figura 5.7 – Ejemplo de vorticidad de corte.



Figura 5.8 – Ejemplo de vorticidad por curvatura.

5.4 Vorticidad potencial

Tomando el diferencial logaritmo de la temperatura potencial y usando la 1a ley de la termodinámica es posible mostrar que

c pd ln

dt=

Q̇T

= S

donde S es la entropía. Esta ecuación establece que en movimientos adiabáticos se conserva la temperatura potencial. Los flujos en latitudes medias, lejos de áreas de precipitación, conservan θ y por lo tanto es útil usar superficies isentrópicas como coordenada vertical para describir estos movimientos.

Considerando la ley de gases ideales, la definición de la temperatura potencial θ puede expresarse como una relación entre la presión y la densidad para una superficie de θ constante (o isentrópica)



o

Como cp=R-cv, vale

lo cual muestra que para un flujo en superficies isentrópicas la densidad es una función solamente de la presión, o sea que el flujo se comporta como barotrópico. Por lo tanto, el término solenoidal es nulo y el teorema de Bjerkness puede escribirse como (Crel=C)

donde C es evaluado en una superficie isentrópica. Como ζ=C/A, para una parcela infinitesimal de aire vale

o sea que el producto f A es constante en un flujo adiabático (y sin fricción) en superficies isentrópicas. ζθ es la componente vertical de la vorticidad relativa evaluada en una superficie isentrópica.

Asumamos ahora que la parcela se mueve entre dos superficies de temperatura potencial constante θ0 y θ0+δθ que están separadas por un -δp como muestra la figura 5.9. La masa de la parcela, δM=(-δp/g)δA se debe conservar siguiendo el movimiento (por continuidad).



Por lo tanto

ya que δM y δθ son constantes. Sustituyendo en la ecuación

y tomando el límite δp->0 se obtiene

La cantidad P [K/kg m2/s] es la forma en coordenadas isentrópicas de la vorticidad potencial de Ertel. Se define con el signo negativo para que sea (en general) positivo en el H.N. Por lo tanto la vorticidad potencial se conserva siguiendo el movimiento en un flujo adiabático y sin fricción. La vorticidad potencial se puede ver como el cociente entre la vorticidad absoluta y la altura del vórtice. En la expresión de arriba la altura está dada por la distancia entre dos superficies de temperatura potencial medidas en coordenadas de

presión (−∂

∂ p) . La expresión de P indica que la vorticidad de una parcela de aire puede

cambiar solamente por variaciones en la latitud y en la estabilidad estática vertical.

Figura 5.9 – Columna cilíndrica de aire moviéndose adiabáticamente, conserva P.

En un fluido homogéneo incompresible la expresión de conservación de la vorticidad



potencial es más simple. Como la densidad es constante el área horizontal debe ser inversamente proporcional a la altura h de la parcela

Sustituyendo para eliminar δA obtenemos

fh

=constante

donde ζ se evalúa en superficies de altura constante.

5.4.1. Aplicación: restricción si h es constante.

Si la altura h de la columna es constante la ecuación anterior establece que la vorticidad absoluta se conserva siguiendo el movimiento, lo cual impone una fuerte restricción al flujo. Supongamos que en un cierto punto (x0,y0) del H.N. el flujo es en la dirección zonal y la vorticidad relativa es nula, o sea que la vorticidad absoluta es f0. Por lo tanto, el movimiento a lo largo de cualquier trayectoria que pase por (x0,y0) debe satisfacer ζ+f=f0. Como f aumenta hacia el norte las trayectorias que se curvan hacia el norte deben cumplir ζ=f0-f<0 y las que se curvan hacia el sur deben cumplir ζ=f0-f>0. No obstante, como muestra la figura 5.10 si el flujo es del oeste una curvatura hacia el norte aguas abajo implica ζ>0 y una curvatura hacia el sur aguas abajo implica ζ<0. Por lo tanto vientos del oeste deben permanecer puramente zonal para conservar la vorticidad absoluta. El viento del este, al contrario, puede curvarse hacia el norte o hacia el sur y conservar la vorticidad absoluta.

Figura 5.10 – Conservación de vorticidad absoluta para trayectorias curvilíneas.



5.4.2. Aplicación: Flujo sobre cadenas montañosas

Cuando cambia la altura h de la columna se conserva la vorticidad potencial, no la vorticidad absoluta. La conservación de vorticidad potencial explica por qué la interacción del viento de los oestes con cadenas montañosas como los Andes puede inducir ondas corriente abajo (figura 5.11). A medida que el aire fluye sobre la montaña, la temperatura potencial se conserva por lo que la superficie isentrópica de θ K se eleva sobre la montaña. A mayor altura la superficie θ+Δθ K se eleva pero en menor medida pues la anomalía se distribuye en una distancia mayor. Esto causa un aumento del espesor entre capas antes de la montaña que es muy pequeño y despreciaremos, y principalmente que el espesor entre las dos superficies isentrópicas sobre la montaña disminuya. Debido a esto último, para mantener la vorticidad potencial constante, la vorticidad absoluta también debe disminuir.

Figura 5.11



Veámoslo con más detalle. Si consideramos que el flujo al oeste de la montaña tiene vorticidad relativa nula, como f<0 es aproximadamente constante, al subir la montaña el flujo debe cumplir la siguiente relación

−∣f∣g∣∂θ∂ p

∣1

=(−∣f∣+ζ2)g∣∂θ∂ p

∣2

ζ2=−∣f∣(∣∂ θ∂ p

∣1

∣∂ θ∂ p

∣2

−1)

Como la estabilidad vertical arriba de la montaña es mayor, ζ2>0 y el flujo debe asumir vorticidad positiva, o sea, debe girar en sentido anti horario en el H.S. Cuando la columna de aire pasó por encima de la montaña estará a latitudes menores por lo que f<0 tendrá menor magnitud. No obstante, como la magnitud de f es siempre mucho mayor que ζ para escalas sinópticas, se tiene que −∣ f ∣0 . Por lo tanto para mantener la vorticidad potencial constante el flujo debe adquirir vorticidad negativa (giro horario).

Cuando la parcela vuelva a su latitud de origen todavía tendrá una componente meridional de velocidad y continuará moviéndose hacia el polo adquiriendo ahora una vorticidad positiva (giro anti horario). Cuando vuelva nuevamente a su latitud original tendrá una componente meridional que hará disminuir la magnitud de f por lo que la columna deberá adquirir vorticidad negativa y así sucesivamente. La parcela seguirá entonces moviéndose aguas abajo describiendo un movimiento ondulatorio, necesario para mantener la vorticidad potencial constante. En general se observa una cuña sobre la montaña y una vaguada aguas abajo (figura 5.12).



Figura 5.12

5.5 Ecuación de vorticidad

La ecuación para la vorticidad absoluta puede derivarse a partir de las ecuaciones de momento. Aquí nos restringiremos a derivar la ecuación para la componente vertical de la vorticidad en un fluido sin fricción

Del capitulo anterior teníamos



d udt

− fv=−1

∂ p∂ x

d vdt

fu=−1

∂ p∂ y

ddt

=∂

∂ tu ∂

∂ xv ∂

∂ yw ∂

∂ z

Aplicando ∂

∂ y a la primer ecuación, ∂

∂ x a la segunda ecuación y restando se eliminan

los términos de presión y se obtiene

Como d fdt

=vdfdy

la cual es la ecuación de vorticidad en coordenadas de altura. La ecuación establece que la razón de cambio de la vorticidad absoluta está dada por la suma de tres términos: (1) el término de divergencia, (2) el término de inclinación, (3) el término solenoidal.

Analicemos cada término por separado. Si la ecuación de vorticidad está dominada por la divergencia horizontal actuando en el fluido se tiene



Si se considera el caso de un fluido con vorticidad ciclónica inicial y la divergencia es positiva, la ecuación anterior indica que la vorticidad absoluta tenderá a ser cada vez más anticiclónica (figura 5.13). Esto es, pues la circulación debe conservarse: como la vorticidad es circulación por unidad de área, si el área encerrada por una cadena de parcelas de fluido aumenta debido a la divergencia, entonces la vorticidad debe decrecer. Vale lo opuesto para el caso de convergencia.

Por lo tanto, el término de divergencia puede pensarse como el análogo para un fluido del cambio en la velocidad angular que resulta de un cambio en el momento de inercia de un rígido cuando se conserva el momento angular. Este resultado tiene una gran importancia para los sistemas de latitudes medias: sistemas de baja presión en superficie están caracterizados por convergencia y por lo tanto son lugares de producción de vorticidad ciclónica en niveles bajos (y lo opuesto para los anticiclones).

Figura 5.13 – Efecto de la divergencia en la vorticidad.

Consideremos ahora el término de inclinación. En este caso se tiene



y para mayor simplificación consideremos una situación donde sólo uno de los términos de la derecha es importante. Consideremos la situación en la cual se tiene un cortante vertical de la velocidad zonal y un gradiente meridional en la velocidad vertical positivo (figura 5.14). La ecuación correspondiente es

d f

dt=

∂ w∂ y

∂ u∂ z

Figura 5.14 – Efecto del cortante vertical en la vorticidad horizontal y generación de vorticidad vertical.

Como ilustra la figura 5.14, un cortante vertical en u induce a una paleta imaginaria en la dirección meridional a girar de tal forma que se puede pensar que un tubo de aire alineado en la dirección y posee vorticidad positiva en esa dirección. Si además existe un gradiente

de movimiento vertical en la dirección y∂w∂ y

0 entonces el extremo norte del tubo

ascenderá relativo al extremo sur. Por lo tanto aparecerá una componente de rotación anti horaria (positiva) en la dirección z, que dará lugar a un incremento en la vorticidad absoluta.

Por último, consideremos el término solenoidal. Se puede mostrar que este término es el



equivalente microscópico del término solenoidal en el teorema de circulación. Para ello aplicamos el teorema de Stokes al término solenoidal en la ecuación de la circulación

Como

cuya componente vertical es

lo cual demuestra que el término solenoidal en la ecuación de vorticidad es el término solenoidal en la ecuación de circulación dividido entre el área del elemento de fluido.

Como vimos anteriormente, el término solenoidal tiende a reordenar la masa del fluido de tal forma de llegar al estado con menor energía potencial. En el proceso de reordenamiento, en general, se produce vorticidad. Consideremos como ejemplo la configuración de p y ρ que caracteriza advección de aire frío por el viento zonal geostrófico en el H.N. (figura 5.15). Si no existe divergencia ni inclinación, la ecuación es

Puesto que en este ejemplo ∂

∂ x0

∂ p∂ y

0

el término solenoidal generará vorticidad ciclónica. La vorticidad generada tenderá a rotar



las líneas de igual densidad hasta que estén paralelas a las isóbaras en una configuración en la cual alta presión corresponda a alta densidad, y viceversa (o sea el estado de menor gradiente de temperatura y menor energía potencial).

Figura 5.15 – Configuración de isóbaras y líneas de igual densidad caracterizando advección de aire frío por el viento geostrófico en el H.N. Las flechas indican el viento

geostrófico y el círculo la circulación solenoidal inducida.

5.5.1. Ecuación de vorticidad en coordenadas de presión

Para evitar la referencia a la densidad en las ecuaciones y hacer desaparecer al término solenoidal (pues dp=0) derivaremos la ecuación de vorticidad en coordenadas de presión.Las ecuaciones de momento en coordenadas isobáricas en ausencia de fricción son



De nuevo, tomando las derivadas cruzadas y haciendo cuentas se obtiene

la cual describe que cambios locales en la vorticidad absoluta se deben a (1) advección horizontal, (2) advección vertical, (3) el término de divergencia, (4) el término de inclinación.

5.5.2. Análisis de escala

A continuación realizamos un análisis de escala a la ecuación de vorticidad para hallar los términos más importantes en la descripción de los movimientos sinópticos. Las escalas típicas eran

donde de nuevo hemos elegido una escala de tiempo advectiva pues los patrones de vorticidad, como aquellos de presión, se mueven a velocidades comparables con la velocidad horizontal del viento.

Usando estas escalas obtenemos

por lo tanto



o sea que para sistemas sinópticos en latitudes medias la vorticidad relativa es menor que la vorticidad planetaria y por lo tanto podemos escribir el término de divergencia de la forma

Entonces los términos de la ecuación de vorticidad escalan de la forma



En los últimos tres términos se usó una desigualdad para notar que en cada caso es posible que los términos individuales tiendan a cancelarse de tal forma que la magnitud del término total es menor a la indicada. De hecho, esto debe ser el caso para el término de divergencia.

Como se ve del análisis de escala los términos mayores son la advección de vorticidad horizontal, la tendencia local de vorticidad y la divergencia. Para que la divergencia sea balanceada por los demás términos debe valer que

Por lo tanto, para movimiento sinópticos en latitudes medias la ecuación de vorticidad puede ser aproximada por

d h f

dt=− f

∂ u∂ x

∂ v∂ y

dh

dt=

∂

∂ tu

∂

∂ xv

∂

∂ y

la cual establece que el cambio en la vorticidad absoluta siguiendo el movimiento horizontal en escalas sinópticas está dado, aproximadamente, por la concentración o dilución de vorticidad planetaria causada por la convergencia o divergencia del flujo horizontal, respectivamente.

Esta aproximación no es válida en el centro de ciclones muy intensos y en esos casos se debe retener la vorticidad relativa en el término de divergencia:

d h f

dt=− f

∂u∂ x

∂ v∂ y

y es la concentración o dilución de vorticidad absoluta la cual da lugar a cambios siguiendo el movimiento.



La aproximación anterior no es válida cerca de los frentes pues la escala horizontal de las zonas frontales es de 100 km y la velocidad vertical es del orden de 10 cm/s. En este caso es necesario retener los términos de advección vertical, inclinación y solenoidal ya que son comparables con el término de divergencia.

5.5.3. Ecuación de vorticidad para un fluído barotrópico

Consideremos que la atmósfera puede suponerse homogénea e incompresible de altura variable h(x,y,t)=z2-z1, donde z2 y z1 son las alturas de las fronteras superior e inferior, respectivamente.

En este caso la ecuación de continuidad es

y la ecuación de vorticidad queda

d h f

dt= f

∂ w∂ z

Para un fluido barotrópico la velocidad geostrófica es independiente de la altura (ver capítulo 4.2.1). Asumiendo que podemos aproximar el viento y la vorticidad por sus aproximaciones geostróficas podemos integrar entre z1 y z2 y obtenemos

hd h g f

dt= g f [w z2−w z1]

Pero como w=dz/dt, y h=h(x,y,t)

w z2−w z 1=dz 2

dt−

dz1

dt=

dh h

dtsustituyendo



1 g f

d h g f

dt=

1h

dh h

dtd h ln g f

dt=

d h ln hdt

lo cual implica que

d h

dt

g f

h=0

que es el teorema de conservación de la vorticidad potencial (geostrófica) para un fluido barotrópico, obtenido por primera vez por C. G. Rossby.

Si el flujo es puramente horizontal (ω=0), como es el caso para un flujo barotrópico de profundidad constante, el término de divergencia desaparece y obtenemos la ecuación de vorticidad barotrópica

d h

dt g f =0

la cual establece que la vorticidad absoluta se conserva siguiendo el movimiento horizontal.

En forma más general, la vorticidad absoluta se conservará en cualquier capa del fluido en la cual la divergencia horizontal sea nula. Para movimientos horizontales no divergentes el flujo puede ser presentado por una función corriente ψ(x,y) tal que

V =−∂

∂ y,∂

∂ x

y la vorticidad se escribe como

=∇ 2

Por lo tanto la ecuación de conservación de la vorticidad barotrópica puede ser escrita como una ecuación de pronóstico en la forma



Esta ecuación establece que la tendencia local de la vorticidad relativa está dada por la advección de vorticidad absoluta. La resolución numérica de esta ecuación predice la evolución de la función corriente y por lo tanto de la vorticidad y los vientos.

La figura 5.16 muestra un perfil típico de velocidad vertical y divergencia horizontal y muestra que el flujo en la troposfera media es cercano a no-divergente en escalas sinópticas. Por lo tanto, la ecuación anterior es un buen modelo para el pronóstico del flujo en 500 mb el cual determina en buena medida el movimiento de los centros de baja presión en superficie.

Figura 5.16 – Perfiles típicos de velocidad vertical y divergencia.



5.6 La aproximación cuasi-geostrófica

En esta sección realizaremos simplificaciones a las ecuaciones de momento, continuidad y energía para desarrollar un sistema de ecuaciones más simple que nos permitirá entender la naturaleza de la circulación en los sistemas sinópticos de latitudes medias. Consideraremos coordenadas isobáricas para que no entre la densidad en las ecuaciones.

Como vimos anteriormente los sistemas sinópticos de latitudes medias están en balance geostrófico aproximado y en balance hidrostático. La combinación de estos balances da lugar al viento térmico, que como vimos, restringe los movimientos en latitudes medias. Para dar un paso más debemos considerar la evolución temporal del flujo. Si despreciamos la fricción las ecuaciones de movimiento aproximadas son

d Vdt

=− f k∧V −∇

la ecuación hidrostática

la ecuación de continuidad

y la ecuación de energía termodinámica

donde S p=−T∂ ln

∂ p. En lo que sigue condensaremos estas 5 ecuaciones en 2 que

satisfacerán el análisis de escala apropiado para escalas sinópticas.

Comenzamos considerando la expansión de f en la dirección meridional alrededor de una



latitud 0 (y=0 en esta latitud)

f =2 sin 02

acos0 y= f 0 y

Para escalas sinópticas

lo cual justifica asignar al parámetro de Coriolis un valor constante f0 excepto cuando es diferenciado en el término advectivo. Esta aproximación se denomina plano-β pues físicamente se considera que los movimientos ocurren en un plano hipotético tangente a la Tierra en la latitud 0 y restringidos a movimientos meridionales con una extensión L<<a.

Separamos la velocidad horizontal en los componentes geostrófico y ageostrófico

donde

Para sistemas sinópticos

o sea que Vg >> Va.

Por lo anterior, podemos aproximar la velocidad real por la velocidad geostrófica a O(Ro) y la razón de cambio de momento o temperatura siguiendo el movimiento horizontal puede ser aproximada al mismo orden para la razón de cambio siguiendo el viento geostrófico. Por lo tanto V puede ser sustituido por Vg y la advección vertical que aparece solamente debido a la existencia del viento ageostrófico puede despreciarse. Así



d Vdt

=d g V g

dtd g

dt≡ ∂

∂ tV g .∇= ∂

∂ tug

∂∂ x

v g∂

∂ y

La aceleración se puede ver como la desviación del viento con respecto a su valor geostrófico. Por lo tanto, no es posible sustituir simplemente V por Vg en el término de Coriolis. En su lugar, los términos de la derecha de la ecuación de momento quedan

Entonces la ecuación de momento aproximada queda

d g V g

dt=− f 0 k∧V a− y k∧V g (1)

y todos los términos son de O(Ro) comparado con la fuerza gradiente de presión y se despreciaron términos O(Ro2) o menores.

El viento geostrófico definido mas arriba es no divergente por lo que la ecuación de continuidad queda

(2)

o sea que ω está definida por la componente ageostrófica del viento horizontal.

En la ecuación termodinámica la advección horizontal puede ser aproximada por su valor geostrófico. Por otro lado, la estabilidad vertical en escalas sinópticas es suficientemente grande como para que el calentamiento y enfriamiento adiabático debido a movimientos



verticales sea del mismo orden que la advección horizontal de temperatura. El término de calentamiento y enfriamiento adiabático puede simplificarse considerando el campo de temperatura formado por un estado base T0(p) que sólo dependa de la presión más una desviación T(x,y,p,t)

Asumiendo

solo la porción debido al estado base se debe considerar al calcular el término de estabilidad. Por lo tanto, usando la ecuación hidrostática, la forma cuasi-geostrófica de la ecuación de energía termodinámica se puede expresar como

∂∂ t

V g .∇−∂∂ p

− =Q̇p

(3)

donde

y

(θ0 es la temperatura potencial correspondiente al estado base de temperatura T0) y ≈2.5 10−6 m2/ Pa2/ s2 en la troposfera media. Las ecuaciones (1), (2) y (3) junto con la

definición de viento geostrófico forman el sistema cuasi-geostrófico de ecuaciones para las variables geopotencial, viento geostrófico, viento ageostrófico y omega. No obstante esta forma de las ecuaciones no es adecuada para el pronóstico y es más conveniente usar la ecuación de vorticidad en lugar de la ecuación de momento, pues solamente aparecerá la divergencia del viento ageostrófico.

El viento geostrófico lo escribimos como



por lo que la componente geostrófica de la vorticidad vertical es

Notar que la ecuación anterior permite calcular la vorticidad geostrófica partiendo del geopotencial, o vice versa. Esta invertibilidad es una de las razones por las cuales la vorticidad es tan útil como diagnóstico de predicción. Como el laplaciano de una función es máximo donde la función es mínima, vorticidad positiva implica valores bajos de geopotencial. La ecuación cuasi-geostrófica para la vorticidad se puede calcular partiendo de las ecuaciones

d g ug

dt− f 0 va− y vg=0

d g vg

dt f 0 ua yug=0

y tomando el rotor se obtiene

d g g

dt=− f 0

∂ ua

∂ x

∂ va

∂ y− vg

Notando que d g f

dt=v g y sustituyendo la divergencia del viento ageostrófico usando la

ecuación de continuidad podemos reescribir la ecuación de la forma

la cual establece que la razón local de cambio de la vorticidad geostrófica está dada por la suma de la advección de la vorticidad absoluta por el viento geostrófico más la concentración o dilución de vorticidad por el estiramiento o achatamiento de las columnas de fluido (el efecto divergencia).

Resumiendo, en esta sección derivamos 2 ecuaciones simplificadas de vorticidad y energía que usaremos para el estudio de los sistemas sinópticos de latitudes medias. Si asumimos



que el calentamiento dQ/dt=0, podemos reescribir las ecuaciones como

∂∂ t

−∂

∂ p=−V g . ∇

−∂

∂ p

∂ g

∂ t=−V g .∇ g f f 0

∂

∂ p

Notar que como la temperatura está directamente relacionada con −∂

∂ p en superficies

isobáricas, la primera ecuación establece que la razón de cambio de la temperatura es la diferencia entre la tendencia advectiva y el calentamiento o enfriamiento adiabático debido al movimiento vertical. (La aproximación de dQ/dt=0 es válida para los movimientos sinópticos en latitudes medias, pero no para el estudio del desarrollo de ciclones donde el calor latente juega un papel importante).

Como el viento geostrófico, la vorticidad geostrófica y σ pueden escribirse en función del geopotencial las dos ecuaciones representan un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas ( , ). En los capítulos que siguen usaremos estas ecuaciones para calcular la tendencia

del geopotencial ∂

∂ t y los movimientos verticales dados los campos instantáneos de

geopotencial en varios niveles de la atmósfera. Esto permite diagnosticar y predecir el comportamiento de la atmósfera de latitudes medias sin medir directamente el campo de velocidades. Estas ecuaciones son la base de la meteorología dinámica moderna.

Referencias principales

– Mid-latitude atmospheric dynamics, J. Martin– An introduction to dynamic meteorology, J. Holton


5. circulación, vorticidad y...

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