4medio_2011_profesor

Edición Especial parael Ministerio de EducaciónProhibida su comercialización

Año 2011

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO JAVIERA SETZ MENA

Matemática °EducaciónMedia4

Guía Didáctica del DocenteIncluye Texto del Estudiante

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

JAVIERA SETZ MENA

LICENCIADA EN MATEMÁTICA,LICENCIADA EN EDUCACIÓN,

PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

Matemática

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTEINCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

4ºEducación Media

INICIALES GUIA 4º Mn:Maquetación 1 5/11/10 09:33 Página 1

La Guía del Docente Matemática 4, para Cuarto Año de Educación Media,es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de InvestigacionesEducativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DE PROYECTO:Eugenia Águila Garay

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:Viviana López Fuster

EDICIÓN:Javiera Setz Mena

AUTORES:Eduardo Bórquez AvendañoJaviera Setz Mena

CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaGabriela Precht Rojas

DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos

JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:Mariela Pineda Gálvez

DIAGRAMACIÓN:Mariela Pineda Gálvez

ILUSTRACIONES:Antonio Ahumada Mora

FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana

CUBIERTA: La Práctica S.P.A.

PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o

par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella

me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por WorldColor Chile S.A.

ISBN: 978-956-15-1761-5Inscripción N°: 197.994

Se terminó de imprimir esta 1a edición de4.101 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010.

www.santillana.cl

Referencias de la Guía Didáctica Matemática 4, Educación Media, Mineduc, de los autores: Ángela Baeza Peña,

Marcia Villena Ramírez. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2010.

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Índice | 3

Índice

Propósito de la Unidad 32

Esquema de la Unidad 32

Relación entre los CMO de la Unidad

y los de años anteriores 33

Propuesta de planificación de la Unidad 34

Referencias teóricas 36

Indicaciones y orientaciones para las páginas

de inicio del Texto del Estudiante 37


de desarrollo del Texto del Estudiante 40


de cierre del Texto del Estudiante 61

Evaluación final 68

Función potencia y logarítmica 321

Fundamentación teórica

Introducción 6

Fundamentación del proyecto 6

Organización de la Guía Didáctica 8

Modelo pedagógico del Texto 10

Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) 12

Integración de las TIC 16

Habilidades del pensamiento 19

Evaluación en Matemática 22

Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas 28


4 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio








































Función exponencial 702

Vectores 1003

Áreas y volúmenes 1364


Índice | 5



























Solucionario de la Guía Didáctica 214

Bibliografía 222

Estadística I 1645

Estadística II 1866


La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Con-tenidos Mínimos Obligatorios para 4º Medio del sector Matemática, estableci-dos en el marco curricular nacional (Decreto Nº 220) e integra y articula losObjetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades cen-trales presentados.

La propuesta Matemática 4º Medio consiste en el Texto del Estudiante y la GuíaDidáctica del Docente.

El Texto del Estudiante se basa en la concepción de aprendizaje constructivista,presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidos a partir de situa-ciones contextualizadas, en las que mediante el razonamiento espontáneo los ylas estudiantes activen sus conocimientos previos. Luego, se desarrolla cada con-tenido mediante actividades y ejemplos resueltos. La evaluación se considera entodas las etapas del proceso de aprendizaje, de manera transversal.

La Guía Didáctica del Docente permite articular cada contenido tratado en elTexto, explicando claramente aquellos conceptos claves para su comprensión, lasrelaciones principales que se puedan establecer y sus referencias teóricas, conel objeto de sustentar y ampliar los conocimientos del docente. Se incluyenorientaciones para desarrollar las distintas actividades presentadas en el Textodel Estudiante.

El Texto Matemática 4º Medio pretende contribuir a desarrollar y consolidar: elpensamiento lógico y abstracto, el manejo del lenguaje matemático, la capaci-dad para formular hipótesis y construir modelos para explicar el entorno; el apren-dizaje de los diversos mecanismos de cálculo aproximado y la adquisición dehábitos en orden y método, así como el rigor en el desarrollo de los problemas yanálisis crítico de las posibles soluciones. En esta línea, y como punto de partida,se han fijado dos principios básicos:

• Adecuación al nivel de desarrollo de los alumnos y alumnas. • Adecuación de los contenidos y métodos a lo que la sociedad demanda.

Fundamentación del proyecto

La metodología utilizada en la propuesta Matemática 4º Medio tiene como puntode partida los fundamentos pedagógicos derivados de la Reforma EducacionalChilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Marco Curriculary a los requerimientos generales para la elaboración de textos escolares de CuartoAño Medio, presentada por el Ministerio de Educación.

Los objetivos generales de nuestra propuesta son:

• Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que losalumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio.

• Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento ma-temático y de la resolución de problemas, a través de situaciones y problemasque favorezcan la integración de diferentes dimensiones de la Matemática.


Introducción


• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través delaprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan in-tervenir activamente en ella.

• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemática,desarrollando el placer de hacer Matemática, el aprecio por su belleza y poder,la confianza en su uso y la perseverancia en la resolución de problemas.

Los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:

• Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, enun nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivelseñaladas en el Marco Curricular y en los Mapas de Progreso de Aprendizaje.

• Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de losy las estudiantes, promoviendo además el razonamiento espontáneo respectodel nuevo contenido.

• Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesosinvolucrados, mediante su ejemplificación y análisis. Esto incluye justificacionessimples de los conceptos y procedimientos, cuando es pertinente.

• Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada con-tenido, a través de un discurso formal pero en un lenguaje adecuado al nivelde los estudiantes.

• Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, así como acti-vidades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la aplicación delos conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas.

• Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático yde la resolución de problemas: selección de datos, búsqueda y puesta en prácticade estrategias de resolución e interpretación de resultados en función del contexto.

• Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen laheurística de la resolución de problemas.

• Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar loscontenidos y procedimientos centrales estudiados.

• Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas en las cualesse evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientarestas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos.

• Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobrelos propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desarrollode la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes.

Por otra parte, tomando en cuenta el desarrollo de nuestro país en los últimosaños y el auge del ámbito tecnológico a través de las TIC (Tecnologías de la In-formación y Comunicación), esta nueva propuesta pedagógica recoge estosavances y los utiliza como nuevas instancias de aprendizaje.

Fundamentación teórica | 7

Introducción


La Guía del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones:

• Propósito de la Unidad: en esta sección se entrega una orientación sobre eltrabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad.

• Propuesta de planificación de la Unidad: en una tabla se organizan los conte-nidos mínimos obligatorios, los contenidos de la Unidad, tiempos estimadospara su desarrollo, aprendizajes esperados, actividades asociadas, recursos di-dácticos e indicadores de evaluación.

• Relación de los aprendizajes de la Unidad y los de otros años: en un organiza-dor gráfico se articulan la secuencia de aprendizajes desde Primer Año Mediohasta Cuarto Año Medio, que tienen relación con los de la Unidad.

• Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidostrabajados en la Unidad.

• Referencias teóricas: en esta sección se presentan los conceptos matemáticosfundamentales relacionados con los contenidos tratados en la Unidad, en términos de definiciones, propiedades y teoremas que sustentan lo presentadoen el Texto del Estudiante.

• Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlocon el trabajo de los contenidos de la Unidad.

Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad,se distinguen:

Páginas de inicio

• Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permitenorientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes conrespecto a los contenidos de la Unidad.

• Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan lasdel Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica: esta sección tiene como objetivo orientar la evalua-ción de las actividades propuestas en la sección ¿CUÁNTO SABES? del Textodel Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logroque presentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiri-dos en años anteriores. Además, se presentan los criterios de evaluación porcada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que seevalúan en cada actividad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles difi-cultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación diagnóstica pre-sentada en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

Páginas de desarrollo

• Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las ha-bilidades que se trabajan en cada actividad.

• Información para el docente: se dan sugerencias metodológicas e indicacionescon respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso


Organización de la Guía Didáctica



Organización de la Guía Didáctica

de recursos, y otros, para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habi-lidades en los y las estudiantes. Además, se plantean sugerencias o aclaracio-nes específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones,propiedades, formalizaciones, entre otros.

• Variantes metodológicas: para los temas más complejos se presentan sugeren-cias y estrategias distintas a las presentadas en el Texto del Estudiante, demanera de asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmosy formas de aprendizaje.

• Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzary/o ampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando.

• Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus es-tudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• Mi progreso: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las ac-tividades propuestas en la sección MI PROGRESO del Texto del Estudiante, através de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan los ylas estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Además, sepresentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro enel que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles difi-cultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias parapoder subsanarlos o evitarlos.

• Cómo resolverlo: se entregan actividades complementarias que permitan desa-rrollar el razonamiento matemático y la resolución de problemas.

• En terreno: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades deesta sección y actividades complementarias que potencian el establecimientode vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

Páginas de cierre

• Síntesis de la Unidad: en esta sección se entregan sugerencias para organizary sintetizar lo aprendido y se proponen preguntas que permitirán detectar yclarificar las dudas que aún presenten sus estudiantes.

• Evaluación: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la secciónEVALUACIÓN, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos yalumnas en la Unidad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles difi-cultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación presentada en elTexto del Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• Evaluación fotocopiable: esta sección tiene como objetivo orientar la aplicaciónde un instrumento de evaluación sumativa que puede fotocopiar y aplicar asus estudiantes al finalizar la Unidad. Además, se incluye una pauta que in-corpora las habilidades que evalúa cada ítem y los puntajes otorgados.



Cada Unidad tiene tres momentos pedagógicos: Inicio, Desarrollo y Cierre.

El Inicio considera:

• Entrada de Unidad: en estas páginas se explicitan los contenidos de la Unidady los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con su desarrollo.Se presentan también actividades de motivación y activación de experiencias yconocimientos previos.

• ¿Cuánto sabes?: actividades de evaluación diagnóstica que permitirán evaluarlos contenidos que son prerrequisitos de la Unidad.

• ¿Qué debes recordar?: resumen de los principales conceptos que servirán debase para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad.

El Desarrollo considera:

• Páginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploración, activacióndel razonamiento espontáneo de los alumnos y alumnas, así como construccióny aplicación de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimientos,demostraciones, etcétera. Incluye una sección que define, describe o formalizalos conceptos tratados.

En estas páginas la información se complementa con las siguientes secciones:

• Herramientas tecnológicas: sección con actividades para trabajar con calcu-ladora, planillas de cálculo, graficadores o programas computacionales.

• Organizando lo aprendido: considera un mapa conceptual que relaciona loscontenidos tratados y un listado de preguntas conceptuales.

• Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitirán al estu-diante evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes.

• ¿Cómo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y las actividadesrelacionadas con cada uno, de modo que el y la estudiante pueda autoeva-luarse y corregir sus errores.

Modelo pedagógico del Texto



Modelo pedagógico del Texto

Además, el tratamiento del contenido incluye la siguiente información secundaria:

• Recuerda que…: permite al y a la estudiante recordar contenidos o procedi-mientos aprendidos en años anteriores, que sean necesarios para desarrollarlas actividades por resolver.

• Pon atención: permite enfatizar al alumno y la alumna que sea riguroso,revise continuamente sus procedimientos, analice la pertinencia y consistenciade las soluciones encontradas respecto de la pregunta, etcétera.

• Glosario: permite incorporar vocabulario matemático.

Para la consolidación del aprendizaje se presentan las siguientes secciones:

• Cómo resolverlo: sección orientada a presentar problemas resueltos, de maneraque el alumno aprenda distintas estrategias de resolución. Se plantea unproblema, luego se resuelve paso a paso y se presentan problemas propuestosen los que pueda aplicar la estrategia aprendida.

• En terreno: sección orientada a aplicar lo aprendido en la Unidad en uncontexto relacionado con situaciones tecnológicas, científicas o profesionales.• Investiguemos…: contiene las indicaciones para realizar un trabajo colaborativo,

basado en la temática de la sección anterior, pero solicitando investigación adicional de parte de los y las estudiantes.

• Evaluemos nuestro trabajo: sección orientada a realizar la autoevaluación yla coevaluación respecto del trabajo colaborativo realizado.

En el Cierre se considera:

• Página de Síntesis de la Unidad: permite construir un mapa conceptual abar-cando los contenidos tratados en la Unidad. Incluye un listado de preguntas deVerdadero o Falso, enfocadas a contenidos conceptuales.

• Páginas de Evaluación: sección de evaluación sumativa. Consiste en un listadode actividades que permitirán al y a la estudiante evaluar su progreso en ellogro de los aprendizajes, diferenciados en dos clases, problemas de de-sarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados y un listado de preguntasde selección múltiple.


A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a dis-posición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son uninstrumento de apoyo al y la docente para monitorear el progreso en el aprendizajede sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro.

Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran losalumnos y alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzadoaprendizajes que les permitirán abordar bien los contenidos del nivel siguiente,cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están reciéniniciando ese proceso.

Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos dela misma manera o al mismo ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se en-cuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidadde estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender yorientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organizaciónde nuestra propuesta fueron considerados los Mapas de Progreso del Aprendizaje,a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan el logro de los apren-dizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas delproceso de aprendizaje, para conocer los avances de los y las estudiantes respectode los contenidos y habilidades esperados en el nivel.

A continuación, se presentan los niveles 5, 6 y 7 (correspondientes a los nivelesde 1º y 2º Medio, 3º y 4º Medio, y Sobresaliente, respectivamente) de los Mapasde Progreso del Aprendizaje publicados por la Unidad de Currículum y Evaluacióndel Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra, Datosy Azar y Geometría.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones,progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera inter-relacionada: comprensión y uso de los números, comprensión y uso de las ope-raciones, razonamiento matemático.


Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

Nivel Descripción

Nivel 7Sobresaliente

Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que lesdieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas opropiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

Nivel 6

Reconoce a los números complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza pararesolver problemas que no admiten solución en los números reales. Usa las cuatro operaciones connúmeros complejos. Resuelve problemas utilizando un amplio repertorio de estrategias, combi-nando o modificando estrategias ya utilizadas, formula conjeturas que suponen generalizaciones opredicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.


Mapa de Progreso de Álgebra

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan conside-rando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: comprensióny uso del lenguaje algebraico, comprensión y uso de relaciones algebraicas, razonamiento matemático.


Mapas de Progreso del Aprendizaje

Nivel Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolverproblemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjuntonumérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y alos reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional yexponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utilizapara resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raícesy logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias queimplican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar lavalidez o falsedad de conjeturas.

Nivel Descripción


Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones y relaciones entrenúmeros, variables, funciones u otros objetos matemáticos estableciendo nuevas representacionesalgebraicas de un nivel de abstracción mayor. Muestra autonomía y flexibilidad en la transforma-ción de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes dedistintas representaciones algebraicas. Modela situaciones o fenómenos provenientes de diversoscontextos y utiliza argumentos y propiedades matemáticas para demostrar proposiciones.

Nivel 6

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones cuadrática y potencia, las caracterizay representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Distingue funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Representa e interpreta de diversas formas las soluciones de inecua-ciones y sistemas de inecuaciones. Resuelve ecuaciones de segundo grado e inecuaciones de primergrado identificando el conjunto al cual pertenecen sus soluciones. Resuelve problemas que puedenser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. Elabora estrategias de resolución,las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial, logarítmicay raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones delálgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas deecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.



Mapa de Progreso de Geometría

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Geometría se desarrollanconsiderando cuatro dimensiones que se interrelacionan: comprensión de la forma,medición, descripción de posición y movimiento, razonamiento matemático.

Nivel Descripción


Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedi-mientos de distintas áreas de la matemática. Selecciona entre varios procedimientos pararesolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características delproblema. Conjetura sobre la base de exploraciones realizadas con herramientas tecnológicas yverifica proposiciones geométricas mediante axiomas y demostraciones directas e indirectas.

Nivel 6

Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuacionesa que dan origen. Caracteriza puntos, rectas y planos en el espacio, describe cuerpos generadospor traslaciones y rotaciones de figuras planas. Determina el módulo de un vector en dos o tresdimensiones y el área y volumen de cuerpos generados por traslaciones y rotaciones. Describe lahomotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar. Formula conjeturasen relación a la forma de los cuerpos generados a partir de rotaciones y traslaciones de figurasplanas en el espacio. Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales,utilizando métodos analíticos y gráficos.

Nivel 5

Caracteriza ángulos entre elementos lineales asociados a la circunferencia, comprende los con-ceptos de congruencia y semejanza, conoce los teoremas respectivos y los aplica como criteriospara determinar congruencia y semejanza de figuras planas. Calcula la medida de ángulos en lacircunferencia y de segmentos de figuras planas. Comprende el concepto de transformación enel plano cartesiano, y utiliza la representación vectorial para describir traslaciones y homotecias defiguras geométricas en el plano. Formula y verifica conjeturas en relación a los efectos de la apli-cación de una transformación a una figura en el plano cartesiano. Demuestra teoremas relativosa relaciones entre trazos en triángulos y en la circunferencia y a trazos y ángulos en ella, y losaplica en la resolución de problemas.


Extraído de: Mapas de Progreso del Aprendizaje.Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio.

Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese awww.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/


Mapa de Progreso de Datos y Azar

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollanconsiderando cuatro dimensiones que se interrelacionan: procesamiento de datos,interpretación de información, comprensión del azar, razonamiento matemático.

Nivel Descripción


Usa modelos probabilísticos para resolver problemas en contextos de incerteza, relacionando con profundidad y autonomía elementos de estadística y probabilidad. Utiliza con propiedad recursos digitales para realizar análisis de datos, graficar, obtener descriptores de las muestras y hacer in-ferencias. Evalúa información estadística haciendo uso de criterios aplicados a los procedimientos utilizados y la representatividad de la muestra. Realiza inferencias sobre los parámetros de una población en estudio, a partir del análisis de los estadísticos de una muestra tomada. Comprendelas propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones.

Nivel 6

Produce información aplicando la distribución normal y la binomial. Analiza críticamente informa-ción estadística, argumentando acerca de la representatividad de las muestras, su tamaño y losniveles de confianza reportados. Estima parámetros poblacionales, utilizando intervalos de con-fianza. Comprende que al seleccionar muestras de una población la distribución de sus valoresmedios es aproximadamente normal, con una media igual a la media poblacional, y que esaaproximación mejora a medida que aumenta el tamaño de las muestras. Verifica, haciendo usode recursos digitales, la proximidad entre la distribución teórica de una variable aleatoria y lacorrespondiente gráfica de frecuencias en experimentos aleatorios discretos. Realiza inferenciasa partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella. Resuelveproblemas aplicando el cálculo de probabilidad condicional.

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuenciaacumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de dispersión y de posición.Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posición. Comprende queal tomar mayor cantidad de muestras de igual tamaño, desde una población finita, el promediode las medias aritméticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidadesmediante el modelo de Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol,técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.



Integración de las TIC

Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Respecto de ellas, el ajuste curricular postulafortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades de uso deestas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el documentoAprendizajes K-12, funciona como un Mapa de Progreso de las TIC y es consideradoal momento de formular las actividades, ya que, por un lado, nos muestra lo quelos alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, porotro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.

Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentesgrados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar anuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presentanalgunos criterios que le permitirán evaluar sitios web.

Información sobre el sitio web: para evaluar si la información que se localiza enInternet es confiable, se pueden plantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL):

• ¿reconoce el Nombre de Dominio?, ¿cuál es su extensión?Por ejemplo: .edu : hace referencia a instituciones educativas

.gov : corresponde a sitios web de instituciones gubernamentales• ¿La página localizada es personal?

Si presentan caracteres como ~, % indican que la información corresponde ala opinión personal del autor.

Información sobre el contenido de la página: es pertinente hacerse preguntascomo las siguientes para evaluar una página web:

• ¿es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o queestoy investigando?

• ¿En qué fecha se publicaron los contenidos?, ¿son actuales, están vigentes? • ¿Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, se

citan estas correctamente?

Información sobre los autores y editores: para evaluar la validez de la autoría deuna página, se pueden utilizar las siguientes preguntas:

• ¿en la página aparece el nombre del autor o autores?• ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor?

Adaptado de: artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro Web Literacy forEducators escrito por el Dr. Alan November.

Para saber más sobre este tema puede visitar http://www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php

El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones:

• Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvanlas necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/inmediato/ próximo (no virtual).



• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales yevalúa su pertinencia y calidad.

• Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes creativos propios.

• Ética. Uso responsable de la información y comunicación.

Cada una de las dimensiones anteriores, presenta distintos niveles y para cada unode ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnasserán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, por dimensión, son:

Dimensión Tecnológica

Niveles Variables Indicadores

Nivel 7

Dominio avanzado de las capacidades delPC, desarrollo de tareas de programacióny conexión de redes.

• Utiliza programas open source. • Diseña páginas web. • Utiliza el computador sin importar la plataforma

que tenga.

Nivel 615 – 17 años 3º y 4º Medio

Utiliza y combina distintos programas comoprocesador de texto, planillas de cálculo,plantillas de presentación, y dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Transporta información con dispositivos auxiliaresy trabaja archivos en distintos programas.

• Utiliza programas como el Mind manager para organizar información.

• Utiliza herramientas de productividad sin importarel tipo de programas.


Utiliza y combina distintos programas comoprocesador de texto, planillas de cálculo,plantillas de presentación, y dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Produce hipertextos. • Traspasa/ incorpora video o sonido a

presentaciones PowerPoint.• Incorpora movimiento en sus presentaciones.• Graba y edita videos.


Nivel 7Administra aplicaciones para recuperar información en forma automática como el netvives.

• Organiza sus fuentes de información en alimentadores automáticos (bloglines, netvives).

• Revisa periódicamente sus alimentadores.


Utiliza bases de datos para requerimientos específicos de información en buscadores especializados.

• Localiza y recupera información de fuentes mun-diales como UN u otro organismo transnacional.

• Busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Nivel 513 – 14 años1º y 2º Medio

Recupera, guarda y organiza informaciónen distintos formatos, obtenida de Interneten forma autónoma utilizando buscadores,metabuscadores y búsqueda avanzada.

• Utiliza operadores booleanos para buscar información.

• Evalúa con diversos criterios la calidad de una página web.

• Sabe utilizar un tesauro.• Realiza búsquedas en metabuscadores.

Dimensión Información



Dimensión Comunicación


Nivel 7

Organiza y anima comunidades virtuales. • Genera debate a partir de temas contingentes deinterés público.

• Cuestiona la información oficial dando información alternativa.


Participa en comunidades virtuales desa-rrollando intereses particulares.

• Participa activamente en redes de interés, conocediariamente lo que sucede en ella.


Publica información propia en plataformas virtuales, como blogs y retroalimenta a otros.

• Mantiene actualizado su sitio (blog, fotolog opágina web).

• Inicia debates virtuales.

Dimensión Ética


Nivel 7

Esta comprometido con difundir el usoresponsable de las TIC. Expande su parti-cipación ciudadana y la de otros a travésde la red.

• Modela buenas prácticas en su entorno. • Convoca a conocer las ventajas y oportunidades

de la red en su comunidad.


Respeta las normas éticas en su participa-ción en espacios virtuales. Reconoce yvalora la transparencia y democratizaciónde la información de la red y hace extensivos los accesos a su comunidad.

• Guarda adecuadamente información confidencial.• Comparte información con su entorno.• Participa en actividades de difusión de las

oportunidades de la red en su comunidad.


Conoce la regulación legal de utilizacióndel espacio virtual y las normas de seguri-dad de la red, (claves, pirateo, hackeo) y aplica criterios de buenas prácticas.

• Conoce las consecuencias legales de interferir enla comunicación on-line.

• Identifica en el contenido de las páginas mensajesdiscriminatorios o ilegales.

• Emplea buenas maneras al usar correo electrónico (Netiquette).



El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es degran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la ne-cesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana ydel ámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las activi-dades a desarrollar por los alumnos y alumnas de cuarto año medio, propuestasen el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promoverel desarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición.

Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados hanjugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio in-ternacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto dela Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA).Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían mani-festar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación deesta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores.

A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en estapropuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos yprocedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales,Razonamiento, los cuales están formados por las descripciones de las destrezas yhabilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el co-nocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conoci-miento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debeconfundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, pues estatambién depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Conocimiento de hechos y procedimientos

Habilidades del pensamiento

RecordarRecordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; convenciones matemáticas.

Reconocer/Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partesde figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes;expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, multiplicar, dividir o una combinaciónde estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas,resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada,aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer enfactores, expandir expresiones algebraicas y numéricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figurassegún unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construirla mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.


Utilización de conceptos

Resolución de problemas habituales


Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener unaapreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades,representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

ClasificarClasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes;tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetossegún sus atributos.

RepresentarRepresentar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas,tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

DistinguirDistinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto dedatos, de aquellas que no se pueden plantear así.

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperarque resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

RepresentarGenerar una representación apropiada, por ejemplo una ecuación o un diagrama, para resolverun problema común.

InterpretarInterpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutarun conjunto de instrucciones matemáticas.

AplicarAplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticoshabituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablementehayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar ocomprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es lasolución de un problema.



Habilidades del pensamiento

Razonamiento

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003.Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación(INCE), Madrid, 2002.

Formular hipótesis,conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinarconjuntos de conjeturas o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad,transformación, etcétera) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas;analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferenciasválidas a partir de información dada.

EvaluarDiscutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etcétera.

GeneralizarExtender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resoluciónde problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

ConectarConectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferenteselementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resulta-dos para llegar a un resultado ulterior.

Resolverproblemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muypoco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

JustificarProporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referenciaa propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar laverdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.


La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende comoun proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juiciosprofesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir delo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones:medición, evaluación y calificación.

Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración.Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de laobservación o la comparación de comportamientos observables con categorías oescalas conocidas.Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la quepertenecen los y las estudiantes, respecto de los cuales comparar los resultadosde la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por elo la estudiante y el estándar o criterio seleccionado.Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indicauna posición en una escala dada) el resultado de ese juicio.

El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y apren-dizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acercade cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y aleducando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizajey qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los apren-dizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el docente crea un plan deacción que permita mejorar estos resultados, a través de actividades remedialeso de reforzamiento de los contenidos.

Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía laaplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación diagnóstica. Se integra al inicio de cada Unidad, para identificar losconocimientos previos con los cuales el o la estudiante se enfrentará a losnuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logrode aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales.En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo decada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES?

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y dado su carácterprocesal, permitirá al o la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o ladocente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logrode los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro decada Unidad en la sección MI PROGRESO. Con estas instancias se busca mo-nitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados.

• Evaluación sumativa. Se presenta al cierre de la Unidad y entrega informaciónacerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados,dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles.

Además, al finalizar cada Unidad de esta Guía se presenta una EVALUACIÓN FINAL,que propone actividades que incluyen los contenidos trabajados a lo largo de todala Unidad y permite conocer el desempeño de sus estudiantes.


Evaluación en Matemática




Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes buscadeterminar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad pararesolver problemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo derazonamiento empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientosque aplica y la actitud presentada frente al problema por resolver, además,permite conocer el estado del pensamiento matemático de los y las estudian-tes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemáticoescolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos,el conceptual y el procedimental.

El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadasentre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina es-tructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendoconceptos de orden superior.

El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecuciónde tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos.En él se distinguen tres niveles:

• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezasaritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación.

• Razonamiento matemático: conjunto de enunciaciones y procesos asociadosque se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos opremisas y unas reglas de inferencia.

• Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de unaestructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.

Instrumentos de evaluación

En el proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos quepermitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación delaprendizaje matemático.

Procedimientos evaluativos

El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas, sin embargo no es elúnico existente, a continuación le presentamos otros procedimientos evaluativoscomplementarios a las pruebas y su posible uso.


Propósitos

EnsayoPara comprobar la calidad de la expresión escrita, uso de referencias, la habilidad para desarrollarun argumento coherente, la comprensión y transferencia del conocimiento y la evaluacióncrítica de ideas.

Observación espontánea o estructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico, para juzgar desempeños talescomo expresión oral, creación plástica, manipulación en laboratorio y, en general, paraevaluar la forma en que el alumno actúa mientras desarrolla su aprendizaje.


Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo: Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Agosto, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluaciónserá valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, los co-nocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes esperadosque el o la docente haya seleccionado.

En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permitanevaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo se enfoquenen que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que se utiliza.

Una rúbrica facilita la calificación del desempeño del o la estudiante en lasmaterias que son complejas, imprecisas y subjetivas. La rúbrica corresponde a unlistado de criterios específicos, graduados en diferentes niveles de calidad, quepermiten valorar el aprendizaje, los conocimientos y/o las competencias, logradospor el o la estudiante en un trabajo o materia particular.



Propósitos

Entrevista espontánea o estructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, para aclarar asuntos que surgen de documentoso revisar la profundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar la aplicación de estrategias auna tarea de aprendizaje.

DesempeñoPara evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto estructurado (puede ser en unambiente simulado, en el taller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habilidades (ej. de resolución de problemas), aplicación de conocimientos y habilidades.

PresentaciónPara verificar la capacidad de presentar información atendiendo a la audiencia y al tema.Para comprobar comprensión del tema.

Informes, críticas,artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habilidades de análisis y de expresiónescrita sobre asuntos varios, por ejemplo de actualidad.

Trabajo realizadoo proyecto de trabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia en función del propósito, la originalidadde la producción. (A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

CarpetaPara validar el aprendizaje del alumno a través de un conjunto de materiales que reflejen susprogresos. Incluye su trabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y evidencias de otraspersonas calificadas para hacer comentarios.




Si partimos de la premisa de que la evaluación tiene como propósito fundamentalproporcionar información sobre los distintos momentos del aprendizaje del o laestudiante, esta herramienta ofrece ventajas claras como:

• Promueve expectativas sanas de aprendizaje pues clarifica cuáles son los objetivosdel docente y de qué manera pueden alcanzarlos los alumnos y las alumnas.

• Permite al y la docente describir cualitativamente los distintos niveles de logroque los y las estudiantes deben alcanzar.

• Provee al y la docente información de retorno sobre la efectividad del procesode enseñanza que está utilizando.

• Reduce la subjetividad en la evaluación.• Ayuda a mantener el o los logros del objetivo de aprendizaje centrado en los

estándares de desempeño establecidos y en el trabajo del o la estudiante.• Proporciona criterios específicos para medir y documentar el progreso del o

la estudiante.• Es fácil de utilizar y de explicar.

A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos y funda-mentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.

Rúbricas para mapas conceptuales

Completamente logrado

LogradoMedianamente

logradoPor lograr

Conceptos y terminología

Muestra un entendi-miento del conceptoo principio matemá-tico y una notación y una terminologíaadecuada.

Comete algunos erro-res en la terminologíaempleada y muestraalgunos vacíos en elentendimiento delconcepto o principio.

Comete muchoserrores en la termino-logía y muestravacíos conceptualesprofundos.

No muestra ningún conocimiento entorno al conceptotratado.

Conocimientode las relacio-nes entre conceptos

Construye un mapaconceptual apropiadoy completo, incluyen-do ejemplos, colo-cando los conceptosen jerarquías y cone-xiones adecuadas ycolocando relacionesen todas las conexio-nes, dando como resultado final unmapa que es fácil de interpretar.

Coloca la mayoría delos conceptos en unajerarquía adecuada es-tableciendo relacionesapropiadas la mayoríade las veces, dandocomo resultado unmapa fácil de interpretar.

Coloca solo unospocos conceptos enuna jerarquía apropiada y usa solounas pocas relacionesentre los conceptos,dando como resultado un mapadifícil de interpretar.

Produce un resultadofinal que no es un mapa conceptual.

Habilidad paracomunicar con-ceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos losconceptos importan-tes y demuestra unconocimiento de lasrelaciones entre estos.

Identifica importan-tes conceptos perorealiza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Falla al establecercualquier concepto oconexión apropiada.


Rúbricas para trabajos escritos


LogradoMedianamente

logradoPor lograr

Ideas y contenido

El escrito es claro, enfocado einteresante. Mantiene la atención dellector. El tema o historia central seenriquece con anécdotas ydetalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado;sin embargo, el resultadogeneral puede no captar laatención. Hay un intento porsustentarlo, pero puede serlimitado, irreal, muy general opoco equilibrado.

El escrito carece de una ideao propósito central. El lector se ve forzado ahacer inferencias basándoseen detalles muy incompletos.

Organización

La organización resalta yfocaliza la idea o temacentral. El orden, la estruc-tura o la presentación compromete y mueve allector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo queva a suceder en la historia,pero en general, la organiza-ción puede ser en algunoscasos inefectiva o muy obvia.

La organización es casual ydesarticulada. La escrituracarece de dirección, conideas, detalles o eventosque se encadenan unos conotros atropelladamente.

Voz

El escritor habla directa-mente al lector en formadirecta, expresiva y que locompromete con el relato. El escritor se involucra abiertamente con el texto ylo escribe para ser leído.

El escritor parece sincero,pero no está completamenteinvolucrado en el tema. El resultado es ameno, acep-table y a veces directo, perono se compromete.

El escritor parece completa-mente indiferente, no involu-crado o desapasionado.Como resultado, la escrituraes plana, sin vida, rígida omecánica. Y dependiendo deltema, resulta abiertamentetécnica o incoherente.

Elección de palabras

Las palabras transmiten elmensaje propuesto en formainteresante, natural yprecisa. La escritura es completa yrica, pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, pero transmite elmensaje. Es funcional,aunque carece de efectividad.Frecuentemente, el escritordecide por comodidad o faci-lidad de manejo, produciruna especie de “documentogenérico”, colmado de frasesy palabras familiares.

El escritor hace esfuerzos conun vocabulario limitado,buscando a ciegas laspalabras que transmitan elsignificado. Frecuentemente,el lenguaje es tan vago y abstracto o tan redundante ycarente de detalles, que sola-mente el mensaje más amplioy general llega a la audiencia.

Fluidez en las oraciones

La escritura fluye fácilmentey tiene buen ritmo cuando selee en voz alta. Las oraciones están bienconstruidas, son muy cohe-rentes y la estructura variadahace que al leerlas sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a sermás mecánicas que fluidas. El texto se desliza eficiente-mente durante la mayor partedel escrito, aunque puedecarecer de ritmo o gracia, ten-diendo a ser más ameno quemusical. Ocasionalmente lasconstrucciones inadecuadashacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguiro de leer en voz alta. Las oraciones tienden a estarcortadas, incompletas, inconexas, irregulares o muy toscas.




Rúbricas para presentaciones orales

LogradoMedianamente

logradoPor lograr

Convenciones

El escritor demuestra unabuena comprensión de losestándares y convencionesde la escritura (gramática,puntuación, utilizaciónadecuada del lenguaje, ortografía) y los usa efectivamente para mejorarla facilidad de lectura. Los errores tienden a ser muy pocos y de menor importancia.

Hay errores en las conven-ciones para escribir que sibien no son demasiados,perjudican la facilidad delectura. Aun cuando loserrores no bloquean el signi-ficado, tienden a distraer.

Hay numerosos y repetidoserrores en la utilizaciónadecuada del lenguaje, en laestructura de las oraciones,en la ortografía o la puntua-ción que distraen al lector yhacen el texto difícil de leer.De hecho, la gravedad y frecuencia de los errorestiende a ser tan notoria queel lector encontrará muchadificultad para concentrarseen el mensaje y debe releerlopara entender.

LogradoMedianamente

logradoPor lograr

PreparaciónBuen proceso de prepara-ción, muestra profundidaden el desarrollo del tema.

Cumplida en la presentaciónde los resúmenes aprovechael tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividad planeada sucintamente.

Sustentación teórica

Domina el tema propuesto,logra conectarlo y explicarloen sus diferentes aspectos.La evaluación logra analizarel tema.

Logra explicar el tema relacionando los diferentesaspectos de éste. La evaluación tiene encuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra expli-car los puntos planteados. La actividad de evaluación es poco adecuada.

Manejo de la discusión

Bien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada, puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta lospuntos más importantes nollega a conclusiones.

Participación

Pertinente. Activa, es fundamental para el buendesarrollo de cada uno delos temas.

Oportuna, aporta buenoselementos, presta atención alas distintas participaciones.

Está presente. Presta pocaatención a las distintas participaciones.


En la interacción con el entorno y con los otros, diariamente las personas nos enfrentamos a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de maneraóptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la crea-tividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver unproblema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situaciones o que impliquen un desafío.

Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en laque el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedanexplorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/ogenerar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender procedimientos algoritmos u otros tópicos matemáticos.

Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante,interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativoy estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser:

• Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto ogenerar procedimientos para buscar y reconocer una solución.

• Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto deaprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule.

• Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información queinvolucre el uso de modelos matemáticos.

En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento Matemático y Resoluciónde Problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y consideracinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitu-des y metacognición.

• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario pararesolver problemas matemáticos.

• Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantessean capaces de desarrollar en cada contenido.

• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resoluciónde problemas matemáticos.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática. • Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensa-

miento propio durante la resolución de problemas.

Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan queconsiste en cuatro pasos:

1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponiblesdentro del contexto del problema.¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la preguntadel problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieresllegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?,¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema?


Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas




2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido.¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamente la pregunta?

3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente elproblema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Al desa-rrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro que cadauno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto?

4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida.¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?,¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la respuesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimientopara resolver otro problema?

Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades através de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos.

Para evaluar la resolución de problemas se propone la siguiente tabla que especificalos indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas.

No comprende En proceso, logro parcial Logro, aplicación

Comprensión delproblema o de lasituación

• No intenta entender el problema.

• Entiende mal el problema. • Como rutina

pide explicaciones.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete

parte del problema. • Puede que tenga alguna

idea acerca del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras o interpre-tar coherentemente el problema.

• Comprende las condiciones principales.

• Elimina la información innecesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

Comprensión deconceptos

• No modela los conceptosrutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

• Demuestra un entendimientoparcial o satisfactorio.

• Puede encontrar y explicarusando una variedad de modos.

• Está listo para hacer conexiones acerca decómo y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores.

• Puede crear problemas relacionados.

• Realiza las tareas cada vezcon menos errores.

• Aplica correctamentereglas o algoritmos cuandousa símbolos.

• Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a proble-

mas o situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va

más allá.




Medición (longitud, masa,capacidad)

• Hace comparacionesdirectas entre objetos.

• No puede ordenar objetosde acuerdo a su medida.

• No distingue diferenciasentre distintas unidades de medida.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete

parte del problema. • Puede que tenga alguna

idea acerca del problema.

• Puede expresar en suspropias palabras o inter-pretar coherentemente el problema.

• Comprende las condiciones principales.

• Elimina la informacióninnecesaria.


• Hace conjeturas poco realistas.

• No usa estrategias pararefinar la estimación.

• No puede modelar o explicarla estrategia especificada.

• No puede aplicar estrate-gias unidas a explicaciones.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante par-ticiones, comparaciones.

• Demuestra poseer estrategias, otras le faltan.

• No puede modelar o explicarla estrategia cuando le preguntan.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante par-ticiones, comparaciones.

• Puede modelar, explicar yaplicar una estrategiacuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias.

• Usa estimación cuando es apropiado.

Verificación deresultados y/oprogresos

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuestaes o no razonable.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• Chequea racionalidad delos resultados.

• Reconoce sin razones.

Recolección y organización de datos

• No hace planteamientos. • No puede proceder sin

instrucciones ni asistencia. • Comete graves errores al

recolectar o mostrar datos.

• Puede recolectar y desple-gar datos, dada una formade registrarlos.

• Tiene errores menores al re-colectar y desplegar datos.

• Puede corregir errores enmomentos críticos.

• Puede recolectar y desple-gar en forma organizada.

• Clasifica en forma exacta y apropiada.

Interpretación y síntesis de resultados

• No hace planteamientospara resumir y describir datos.

• Puede responder preguntassimples relacionadas conlos datos, si es requerido.

• No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Resume y describe datosapropiadamente.

• Puede generar una respuestaa una pregunta relacionadacon los datos.

• Puede comunicar resulta-dos en forma rudimentaria.

• Expresa conclusiones e interpretaciones válidas.

• Hace generalizaciones. • Comunica resultados en

forma clara y lógica.




Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Fuentes consultadas:• Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Alambra Longmam.

Madrid, 1991.• Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las

dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid. 1996.

• www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html


Aplicación deconceptos, procedimientos y estrategias

• No lo intenta. • Se apoya en otros para

seleccionar y aplicar estrategias.

• Su trabajo no es comprensible.

• No puede explicar sutrabajo o estrategia adecuadamente.

• Selecciona estrategias inadecuadas.

• Su implementación no eslógica ni ordenada.

• Usa estrategia si se lo piden.

• Reconoce estrategias. • Puede explicar estrategias. • Usa un limitado número

de estrategias. • Puede seleccionar una

estrategia, pero puede necesitar ayuda en su implementación.

• Puede presentar su trabajoen una forma aceptable.

• Genera nuevos procedimientos.

• Extiende o modifica la estrategia.

• Conoce o usa diversas estrategias.

• Usa estrategias en forma flexible.

• Reconoce cuando una estrategia es aplicable.

• Presenta su trabajo enforma lógica y coherente.

Disposición (valores, actitudes)

• Demuestra ansiedad o disgusto.

• Se retira o es pasivodurante la clase.

• Cede fácilmente y sefrustra en la clase.

• Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea. • Participa activamente

en las actividades de aprendizaje.

• Está dispuesto a intentarnuevos métodos.

• Responde si le preguntan,pero puede que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo.

• Es persistente cuandointenta varios enfoques.

• No se da por vencido. • Es curioso, muestra

flexibilidad. • Hace muchas preguntas.

Generalización y conexiones

• No intenta hacer conexiones.

• No puede extender ideasen nuevas aplicaciones.

• Hace el mínimo esperado.

• Puede reconocer problemas o aplicacionessimilares.

• Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones.

• Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original.

• Puede aplicar ideas ennuevas aplicaciones.


32| Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Función potencia y logarítmica1Propósito de la Unidad

La Unidad 1 nos permitirá revisar y utilizar el concepto de función trabajado en niveles an-teriores y, por otro lado, entender que este concepto es clave para el estudio actual de laMatemática. En esta Unidad se formalizarán dos tipos de funciones: la función potencia yfunción logarítmica. Cada una de ellas será estudiada con su respectivo proceso de cons-trucción, por medio de su representación gráfica, el tipo de crecimiento que modelan y elanálisis de sus parámetros en los casos pertinentes. Ambas funciones representan mode-los matemáticos particulares que dan respuesta a situaciones del mundo real. Una de lasideas fundamentales en esta Unidad es favorecer la modelación de situaciones cercanas y/oconocidas por los alumnos y alumnas, tales como el cálculo de la concentración de pH enalguna sustancia, la escala de intensidad del sonido y la escala de Richter de la magnitudde un sismo, entre otras.

Esquema de la Unidad

Función potencia y logarítmica

Funciones

Función inversa

Función potencia

Aplicaciones

GráficosAnálisisConcepto

Traslaciones

Función logarítmica Logaritmos

Ecuaciones logarítmicas

Concepto

Propiedades

Base

Logaritmo natural

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1 5/11/10 09:34 Página 32

Unidad 1 | 33

Relació

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n pr

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or.

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n=

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man

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gebr

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ram

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ión

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brai

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fica.

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y =

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> 0

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ción

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ión

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en la

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Uso

de

algú

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ogra

ma

com

puta

cion

alde

man

ipul

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gebr

aica

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ráfic

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eral

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aritm

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el u

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e sím

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los

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is.

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ción

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er g

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cuac

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prim

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rado

con

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y re

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ción

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nes

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na in

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es

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n po

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nció

n po

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gina

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41,

42,

43, 4

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lafu

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gún

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:Pá

gina

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del

Text

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l Est

udia

nte.

Sum

ativa

:Pá

gina

s 59,

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y 61

del

Text

o de

l Est

udia

nte.

Pági

nas 6

8 y

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crec

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stru

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37,

43,

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ión:

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60

y 65

.

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mie

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term

inan

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valo

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n lo

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Unidad 1 | 35

Unid

ad 1

CMO

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de la

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En e

l Tex

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gina

46.

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ilizan

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com

puta

ciona

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Referencias teóricas

Concepto de funciónUna función ( f ) es una relación entre dos cantidades variables, que asocia a cadaelemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B.Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f,se escribe y = f (x).

Como en la expresión y = f (x), el valor de y depende del valor de x, se dice quey está “en función de x”, y se denomina a la variable x, variable independiente,y a la variable y, variable dependiente.

Gráfica de una funciónSi a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el parordenado (x, y) del plano cartesiano, obtenemos la gráfica de la función f.En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje delas ordenadas (vertical), los valores de y.

Dominio de una funciónSe llama dominio de una función (dom f), al conjunto de todos los elementos paralos cuales la función está definida, es decir, valores que la variable independiente(x) puede tomar.

Recorrido de una funciónSe llama recorrido de una función (o rango de una función), y se escribe rec f, alconjunto de valores que toma la variable dependiente (y), es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la variable independiente.Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de lafunción, la variable independiente (x) “en función” de la variable dependiente(y). Y luego, evaluar para qué valores reales está definida esta expresión.

Función inversaLa función inversa de f (x) se simboliza por f –1(x).f –1(x) corresponde a la función inversa de f (x) si se cumple que f (a) = b ⇔ f –1(b) = a, para cualquier valor a de A, y cualquier valor b de B.En toda función inversa se cumple que: dom f = rec f –1 y rec f = dom f –1.

Cálculo de la función inversaUna de las formas de obtener la función inversa de f (x) es despejar la variable xde la expresión y = f (x). Luego, intercambiar las variables x e y.No siempre la inversa de una función es función.

Función potenciaSe llama función potencia a aquella función que se representa de la forma f (x) = axn,con a un número real y n un número natural mayor o igual que 2.

Función logarítmicaSe llama función logarítmica a la relación que asocia a cada número real positivox con su logaritmo en una base dada (b). Esta función se representa por: f (x) = logb x, donde b pertenece a IR+ – {1}.

El dominio de la función logarítmica está dado por todos los números reales po-sitivos, y su recorrido corresponde a todos los números reales.


El estruendo de la tronadura de grandes dimensiones, como las que se utilizan durante el proceso de extracción del cobre, es uno de los sonidos másfuertes (si se consideran solo los sonidos bajo el umbral del dolor). Por este motivo,la imagen inicial es un excelente recurso visual para motivar a sus alumnos yalumnas, y además para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Aprendizajes esperados de la Unidad

En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación conlos aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad.Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarlesqué saben sobre funciones, función potencia y logaritmos. Con las ideas queles vayan diciendo sus estudiantes puede hacer un esquema o mapa semánticoen la pizarra, esto le permitirá obtener información acerca de sus conductasde entrada y, a la vez, ellos podrán recordar conceptos trabajados en años an-teriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial

Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en elTexto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestranen el Texto y complementarla con preguntas como las siguientes:

• Si el nivel de intensidad del estruendo de la explosión es de 130 dB, ¿cuálcreen que es el nivel de intensidad del sonido de, por ejemplo, un avión, untren o una sirena de bomberos?

• ¿Conocen la expresión log?, ¿qué significa?

La ecuación que se asocia al problema no tiene por finalidad que los alumnosy las alumnas la sepan utilizar en esta instancia, ni mucho menos modelar,sino que se pretende que ellos y ellas al final de la Unidad puedan interpretarlay aplicarla.

Guíe la conversación para comentar con sus estudiantes sobre los peligrospara la salud que genera la exposición constante a altos niveles de ruido, comomolestias, dolores de cabeza, irritabilidad, pérdida parcial de la audición, et-cétera. En particular, puede hablarles sobre lo dañino que puede ser escucharmúsica con el volumen con que están habituados, ya sea en conciertos, fiestas o equipos de música portátiles.

Unidad 1 | 37

Unid

ad 1

Conversemos de...

ÍtemsHabilidades que

desarrollan

1 a 5 Recordar y conectar.

Páginas 12 y 13 Páginas de entrada



Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: graficar funciones. Ítem 2: determinar los valores que no pertenecen al dominio de la función.Ítem 3: determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones.Ítem 4: resolver un problema relacionado con la función cuadrática.Ítem 5: determinar los intervalos en que las funciones son positivas, cero o negativas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no elijan en forma ade-cuada los valores para poder graficar las funciones; recuérdeles el uso deuna tabla de valores, sugiriendo la utilización de números tanto positivoscomo negativos y el cero. Además, explíqueles que pueden esbozar las grá-ficas, basándose en las gráficas de funciones conocidas. Es importante quela intersección de la gráfica con cada eje de coordenadas esté correcta, asícomo que se aprecie si el dominio o el recorrido es distinto de todo el con-junto de números reales.

• Para trabajar el ítem 2, relacionado con el dominio de funciones, recuerdea los alumnos y alumnas aquellos casos particulares en los cuales hay quetener especial cuidado, por ejemplo:

• funciones que tienen raíces cuadradas, . La cantidad subradical,en este caso la expresión x + 2, no puede ser negativa, pues de ser así elrecorrido de la función sería el conjunto de los números complejos, queaún no conocen. Por lo tanto, el dominio de esta función son todos losvalores de x, que cumplan la condición x � –2 (dom f (x): IR – {x < –2}).

• funciones racionales, g (x) = . En este caso lo relevante es que el

denominador no sea cero, para este efecto el dominio de esta funciónson todos los números reales excepto el número 5 (dom g (x): IR – {5}).

• En los ejercicios de los ítems 3 y 5, es posible que los y las estudiantes norecuerden cómo obtener los intervalos solicitados; de ser así, puede recor-darles la definición de intervalo, y función creciente, decreciente, positiva ynegativa, pero no el procedimiento para su obtención, ya que es esto loque se quiere evaluar.

• En el ítem 4, relacionado con la aplicación de una función cuadrática, la di-ficultad se podría presentar en la interpretación del enunciado y su correctarepresentación algebraica, o bien, que desconozcan el procedimiento paradeterminar los valores pedidos. Puede indicarles que el ingreso correspondeal producto del precio de ventas y la cantidad de unidades vendidas, y re-lacionar la pregunta “¿Cuándo las ventas comienzan a decaer?” con el in-tervalo de decrecimiento de la función.

x + 2

xx – 5

Páginas 14 y 15 Evaluación diagnóstica

¿Cuánto sabes?

ÍtemHabilidades que evalúan

1 Representar.

2, 3 y 5 Interpretar y calcular.

4Interpretar, representary calcular.


Unidad 1 | 39

Unid

ad 1

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado

Medianamente logrado

Por lograr

1

Representa correctamente la gráficade las funciones, independientemente delmétodo que ha utilizado.

Realiza un gráfico aproximado de las gráficas, pero cometeerrores en las intersec-ciones con los ejes, aun cuando el comportamiento quedescribe sea correcto.

Utilizando una tabla devalores une los puntosencontrados, esbozandocorrectamente parte dela gráfica, pero no laprolonga al resto delplano cartesiano.

No logra gráficas correctas, ya sea porquesolo une puntos consegmentos rectos o porque no comprendelo que se le está pidiendo.

2

Determina los valoresque no pertenecen al dominio de la función en todos los casos.

Determina los valoresque no pertenecen al dominio de la función, pero no explicita o se confunde si el dominio es IR.

Determina los valorescorrectos solo en casossin restricciones o que incluyen fracciones algebraicas.

No logra determinar losvalores, o bien no comprende lo que se leestá pidiendo.

3

Determina correcta-mente los intervalos pedidos, mediante métodos algebraicos.

Determina correcta-mente los intervalos pedidos, esbozando lagráfica en cada caso.

Determina algunos delos intervalos pedidos,ya sea algebraica o gráficamente.

No logra determinar losintervalos, o bien nocomprende lo que se leestá pidiendo.

4

Resuelve el problema ycontesta correctamentetodas las preguntas.

Resuelve algebraica-mente el problema, pero no interpreta correctamente sus resultados.

Representa correcta-mente la función pedida, pero no sabedeterminar su valor máximo.

No logra representar lafunción pedida, o bienno comprende lo que sele está pidiendo.

5

Determina correcta-mente los intervalos pedidos, mediante métodos algebraicos.

Determina correcta-mente los intervalos pedidos, esbozando lagráfica en cada caso.

Determina algunos delos intervalos pedidos,ya sea algebraica o gráficamente.

No logra determinar los intervalos, o bien nocomprende lo que se leestá pidiendo.



Actividad inicial

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo re-cordar a los alumnos y alumnas el concepto de función, con una función quepermite calcular a cuántos grados Fahrenheit corresponde la temperatura engrados Celsius.

Es importante que sus estudiantes recuerden en esta instancia la definicióndel dominio y el recorrido de una función y el procedimiento para obtenerlos,aunque en este caso particular corresponda a todo IR.

Indicaciones respecto del contenido

Es necesario recordar los siguientes conceptos:

Función: correspondencia entre dos variables, donde a cada valor de la varia-ble independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.Dominio: conjunto de valores posibles para la variable independiente.Recorrido: conjunto de valores resultantes o imágenes de la función.

Actividades complementarias

De refuerzo

1. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a. f (x) = d. f (x) =

b. f (x) = e. f (x) =

c. f (x) = f. f (x) =

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y analizar).

De profundización

1. Obtener la función que modela las diagonales de un polígono.

a. Indicar cuál es la variable independiente y dependiente.b. Calcular cuántas diagonales tiene un polígono de cinco lados.c. Calcular cuántos lados tiene un polígono que tiene doce diagonales.

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

x − 3

(x – 2)2

(x – 2)4

4xx2 + 8

3

92

x

x −

x − 6

xx + 4

Páginas 16 y 17 Funciones

Analicemos...

Habilidades que desarrollan

Recordar, calcular, conectar y analizar.

Actividades


desarrollan

1 Interpretar y recordar.

2 Interpretar y calcular.

3Interpretar, calcular y representar.


Actividad inicial

La función inversa se presenta como la función que les permite recorrer el caminoinverso de una función dada, en este caso, la función que permite calcular acuántos grados Celsius corresponde la temperatura en grados Fahrenheit. Muestre a sus estudiantes el procedimiento para obtener algebraicamente lafunción inversa, pero enfatíceles que también se debe cumplir la condiciónsobre el dominio y recorrido de las correspondientes funciones, o bien es ne-cesario restringir el dominio para la función inversa. Un buen ejemplo de estoes el caso de la función cuadrática y la función raíz cuadrada.


Recuerde que f –1(x) corresponde a la función inversa de f (x) si se cumple quetoda vez que f (a) = b, se tiene que f –1(b) = a, para cualquier valor a de dom f (x) y su valor b de rec f (x) correspondiente. En toda función inversa se cumple que dom f = rec f –1 y rec f = dom f –1.

Cuando se representan en un mismo eje de coordenadas, la gráfica de la fun-ción y su correspondiente función inversa son simétricas en torno a la rectay = x. Esto lo puede explicar a sus estudiantes de la siguiente manera:

sea un punto de coordenadas (a, b), el punto simétrico respecto de la rectay = x tiene coordenadas (b, a) (muéstrelo con un ejemplo en la pizarra). Perosi (a, b) pertenece a una función, por definición (b, a) pertenece a su funcióninversa; luego las gráficas de la función y su función inversa se reflejan en rela-ción con la recta y = x tal como si fuera un espejo, por lo que se dice queambas son simétricas respecto de la recta y = x.


De refuerzo

1. Determinar cuál de las siguientes funciones tiene inversa. Para aquellasfunciones que la tengan, indicar su dominio y recorrido. En caso contrario,justificar por qué no tienen inversa.

a. f (x) = 5x – 12 d. m (x) = x 3 – 1

b. g (x) = –x 2 + 4 e. f (x) =

(Habilidades que desarrolla: interpretar, analizar y calcular).

De profundización

1. Determinar cuál de las siguientes funciones tiene inversa. Para aquellasfunciones que la tengan, indicar su dominio y recorrido. En caso contrario,justificar por qué no tienen inversa.

a. f (x) = 4 – x2 b. g (x) =

(Habilidades que desarrolla: interpretar, analizar y calcular).

9 252+ −x

4 7− −x

Unidad 1 | 41

Páginas 18 y 19 Función inversa

Unid

ad 1

Actividades


desarrollan

1 Interpretar y recordar.

2 y 3Interpretar, calcular y representar.

Analicemos...


Recordar, conectar y analizar.

c. h (x) = , con x � –7 f. g (x) = | x | – 8x – 2x + 7


Actividad inicial

En estas páginas, a través de la representación gráfica, se observa el comporta-miento de la función potencia, realizando un análisis comparativo de sus gráfi-cas, por una parte, para los casos en que el exponente de la potencia es par oimpar y por otra, para los casos en que el coeficiente a es positivo o negativo.


Es importante que sus estudiantes relacionen la forma general de la gráficasolo a partir de el signo de a y de si n es par o impar. También es recomenda-ble que observen que a medida que el grado de la función potencia es mayor,también aumenta el crecimiento o decrecimiento de la función, lo que se apre-cia en la curvatura de la gráfica en cada caso.

Las actividades introducen la siguiente sección ”Traslaciones verticales y hori-zontales”, procure que sus estudiantes sean rigurosos al trazar las gráficas,para que puedan apreciar efectivamente las dilataciones y traslaciones que seobservan en las gráficas de las funciones, en cada caso.


De refuerzo

1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f (x) = x4 y g (x) = x4 – 3. Luego, responde:

a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f (x) y g (x), ¿cuáles son sus diferencias?

b. A partir de lo anterior, ¿cómo estimas que es la gráfica de k (x) = x 4 + 2? Explica.

(Habilidades que desarrolla: representar y analizar).

De profundización

1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f (x) = x3 y g (x) = (x – 2)3. Luego, responde:

a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f (x) y g (x), ¿cuáles son sus diferencias?

b. A partir de lo anterior, ¿cómo estimas que es la gráfica de k (x) = (x + 1)3?



Páginas 20 a 23 Función potencia

Analicemos...


Recordar, interpretar, conectar y analizar.

Actividades


desarrollan

1 y 2 Representar y analizar.



• El objetivo de esta página es que los alumnos y alumnas logren expresar larelación entre los desplazamientos de una gráfica y el parámetro de la función.

• Si el exponente de una función potencia es par, entonces la función y = xn + b con b � 0, tiene su recorrido en el intervalo [b, + �[.


De refuerzo

1. Grafica las siguientes funciones. Indica su dominio y recorrido.

a. f (x) = (x – 4)2 + 2b. g (x) = (x + 1)3 – 3c. h (x) = (x + 2)4 + 5

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y calcular).

De profundización

1. Grafica las siguientes funciones. Indica su dominio y recorrido.

a. f (x) = 2x3 + x +1b. g (x) = x5 + x2 + 3c. h(x) = 5x3 + 2x2 + 2x + 10

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y calcular).

ActividadHabilidades que

desarrolla

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

Unidad 1 | 43

Unid

ad 1Páginas 24 y 25 Traslaciones verticales y horizontales

En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los con-tenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de que losy las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del es-tudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y,además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos trabajados hasta este momentoen la Unidad realice preguntas como las siguientes:

1. ¿Cuál es la diferencia entre el dominio y el recorrido de una función?2. Solo observando la gráfica de una función potencia, ¿es posible decidir si

su exponente es par o impar?, ¿por qué?, y ¿si el signo de a correspondientees positivo o negativo? Explica.

3. ¿En qué casos una función potencia es siempre creciente? Justifica.4. ¿De qué depende que la gráfica de una función corresponda a la traslación

horizontal o vertical respecto de la gráfica de una función potencia? Explica.

Página 26 Organizando lo aprendido

Analicemos...


Recordar, interpretar y analizar.

Actividades


desarrollan

1 Representar.

2 Representar y analizar.

3Recordar, interpretar y analizar.

4Interpretar, representary verificar o comprobar.


En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y las estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; esdecir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Al final de la pá-gina se presenta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes ylas páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a susestudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múl-tiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Ítem 1: determinar dominio y recorrido de funciones.Ítem 2: calcular la función inversa de una función dada.Ítem 3: determinar el valor de verdad de proposiciones dadas.Ítem 4: relacionar la gráfica de una función polinomial con la gráfica de unafunción potencia.


• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden los con-ceptos de dominio y recorrido de una función. Recuérdeles que se relacionacon los valores para los cuales se puede aplicar la regla de correspondenciaque indica la función, en el caso del dominio, y los todos los valores posi-bles que son resultado de la función, en el caso del recorrido. Evite indicar-les cómo determinarlos, ya que se perdería la objetividad del ítem.

• En el ítem 2, recuerde a sus alumnos y alumnas que pueden remplazar f (x)por y, y luego despejar la variable x de la expresión resultante. Observe sirelacionan esta expresión con la correspondiente función inversa.

• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes pasen por alto algunas restric-ciones que se deben considerar al decidir si las afirmaciones son verdaderaso falsas, como el signo de a o si el número n es par o impar. Recuérdelesque basta un contraejemplo para justificar que la afirmación sea falsa, yque en caso contrario deben argumentar correctamente su decisión.

• En el ítem 4, algunos de sus estudiantes pueden relacionar correctamentela dirección en que se traslada la gráfica, pero no su sentido. Por ejemplo,confundir si la traslación es hacia arriba o hacia abajo. Enfatíceles que en elcaso de f (x) = axn + c, sigue al signo de c, es decir, se desplaza hacia arribasi c tiene signo positivo; en cambio en el caso de f (x) = a(x + c)n, no lohace, es decir, se desplaza a la izquierda si c tiene signo positivo.

Página 27 Mi progreso


Mi progreso

ÍtemsHabilidades que evalúan

1 Calcular y representar.


3 Analizar y justificar.

4 Clasificar y representar.


A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación formativa.

Unidad 1 | 45

Unid

ad 1

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula y representa correctamente dominio yrecorrido, independientedel método utilizado.

Calcula correctamente el dominio y recorrido,conociendo los conceptosque se solicitan, perotiene dificultades en la representación.

Calcula y representa correctamente solo uno de los elementossolicitados, debido a que desconoce dicho concepto.

Desconoce los conceptosque se le solicitan.

2

Calcula correctamentelas funciones inversas,independiente del método utilizado.

Calcula correctamentesolo dos de las funcionesinversas, debido a que desconoce el procedimiento si la variable está en el subradical.

Calcula correctamentesolo una de las funcionesinversas, debido a que desconoce el procedimiento si la variable está en el de nominador.

No logra calcular correctamente la inversade una función, debido a que desconoce losconceptos o el procedimiento.

3

Determina correctamenteel valor de verdad detodas las afirmaciones, justificando todos los casos.

Determina correctamenteel valor de verdad detodas las afirmaciones,pero justifica solo las falsas.

Determina correctamenteel valor de verdad de almenos dos de las afirmaciones.

Determina correctamenteel valor de verdad de unao ninguna de las afirmaciones.

4

Marca la alternativa en forma correcta justificando su decisión.

Marca la alternativa enforma correcta, pero nojustifica su decisión.

Marca una alternativa incorrecta, pero intentaexplicar su decisión.

Omite la respuesta, debido a que desconocelos conceptos o el procedimiento.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán re-forzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Uni-dad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes,dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa ysegún los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


Ejercicios de refuerzo

1. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones.Si existe, calcula su función inversa, en cada caso.

a. f (x) =

b. f (x) =

c. f (x) =

d. f (x) =

e. f (x) =

2. A partir de la gráfica de la función f (x) = x 4, dibuja lagráfica de las siguientes funciones.

a. k (x) = 2 · f (x) + 7 b. l (x) = –f (x + 3)c. m(x) = f (x) – 6 d. n (x) = f (x – 1) + 4

3. Determina si es verdadera o falsa cada una de las si-guientes afirmaciones. Justifica todas tus respuestas.

a. En las funciones del tipo f (x) = ax2 (con a � IR – {0}),la imagen de dos números que son inversos aditivoses siempre la misma.

b. En las funciones del tipo g (x) = ax3 (con a � IR – {0}),el vértice es siempre el punto (1, 0).

c. Los gráficos de las funciones f (x) = x4 y g (x) = –x4

son simétricas respecto del eje de las abscisas.d. Si la función f (x) = ax 2 + c y a < 0, la gráfica de

dicha función se abre hacia arriba.e. La gráfica de la función g (x) = ax6 + c está despla-

zada hacia arriba, si c es un número positivo.f. La gráfica de la función f (x) = a(x + h)2 se obtiene a

partir de la gráfica de la función g (x) = ax2, trasla-dando h unidades hacia la izquierda.

g. La gráfica de la función f (x) = ax3 con a > 0, se ob-tiene a partir de la gráfica de la función g (x) = x3,siendo la función “más angosta” cuando a > 1 osiendo “más ancha” cuando a < 1.

Ejercicios de profundización

1. (Séptimo torneo de Computación y Matemática, 2004).

Dados cuatro números enteros a, b, c, d y cuatro números enteros no negativos i, j, k, l se define p(x) = a · xi + b · x j + c · xk + d · x l. Por ejemplo,si a = 2, b = –3, c = 10, d = 7, i = 4, j = 0, k = 2, y l = 6, entonces p(8) = 2 · 84 + (–3) · 80 + 10 · 82 + 7 · 86

= 1 843 837.Encuentra una posible elección de los valores a, b, c, d,i, j, k, l sabiendo que p(1) = 16, p(2) = 240, p(5) = 81 540, p(6) = 286 896.Nota: el 0 es un entero no negativo, y x0 siempre vale1, sin importar el valor de x.

2. En cada caso, remplaza el valor de k con los valores –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, y un valor fijo a la constante a, cona � IN – {1}, grafica cada función en Graphmatica y,luego, responde las preguntas.

a. Para la función de la forma f (x) = k + xa:

i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero?

ii. ¿Y cuándo adopta valores menores que cero?

b. Para la función de la forma g (x) = k · xa:



c. Para la función de la forma h (x) = (x + k)a:



1

3 − x

x − 5

1x2 – 4

x + 32x – 1

1x + 3




Unidad 1 | 47

Unid

ad 1


Para abordar el tema de los logaritmos, se propone a los y las estudiantes calcularalgunas multiplicaciones sin la ayuda de una calculadora. Insista en que debenresolverlas con lápiz y papel, se pretende que con algunos ejercicios aprecienlo difícil y engorroso que podía volverse calcular una simple multiplicaciónantes de la invención de las calculadoras. Después, se sugiere que resuelvanestas multiplicaciones observando las tablas de potencias presentadas, comoun acercamiento a lo que fueron las tablas de logaritmos.

Es importante que enfatice a sus alumnos y alumnas que los logaritmos estándefinidos únicamente para valores positivos tanto del argumento como de labase del logaritmo. Insista en la relación entre los logaritmos y las potencias,ya que escribiendo la ecuación exponencial correspondiente pueden com-prender qué se les está pidiendo y calcular el logaritmo.


De refuerzo

1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a. log2

64 d. log13

2197

b. log325

325 e. log19

361

c. log2

256 f. log0,4

0,064

2. Halla el argumento de los siguientes logaritmos.

a. log6

x = 1 d. log0,05

x = 3

b. log2

x = 5 e. log0,25

x = –2

c. log10

x = –4 f. log3

x = 60

(Habilidades que desarrollan: interpretar y calcular).

De profundización

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. log2

512 + log3

243 – log8

64

b. –5 log8

64 + 7 log7

49 – 3 log10

100

c. 6 log9

81 – 3 log10

10 000 + 4 log0,2

0,04

(Habilidad que desarrolla: calcular).

Páginas 28 a 31 Logaritmos

Analicemos...


Calcular, interpretar y analizar.

Actividades


desarrollan

1 y 2 Aplicar y calcular.




En estas páginas, se muestra que tal como se relacionan los valores de una po-tencia con los de su correspondiente raíz enésima, estos valores también puedenrepresentarse utilizando logaritmos. Una forma que tienen sus estudiantes deverificar que esto se cumple es leer cada expresión según su definición:

• logb a = c, dice que “c es el exponente de la potencia de base b para obtener a”.

• bc = a, dice que “a es el valor de la potencia de base b y exponente c”.

• , dice que “b es la base de la potencia que, con exponente c, tienevalor a”.

Las propiedades de los logaritmos se abordan a partir de la definición de lo-garitmo y las propiedades de las potencias. Enfatíceles que siempre el valorde b, la base, debe ser distinto de 1.


De refuerzo

1. Utiliza la fórmula de cambio de base para simplificar cada logaritmo respecto de la base indicada y calcula su valor.

a. log32

8; a base 2.

b. log9

27; a base 3.

c. log21636; a base 6.

d. log9

6561; a base 3.

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

De profundización

1. Aplicando la propiedad de cambio de base, calcula los siguientes logaritmossin usar calculadora.

a. log49

343

b. log225

15

c. log169

2197

d. log27

81


b ac=

Páginas 32 y 33 Propiedades de los logaritmos

Analicemos...


Verificar, interpretar y analizar.

Actividades


desarrollan

1, 2 y 3 Aplicar y calcular.


Actividad inicial

En estas páginas se muestra que, a partir de las propiedades para las opera-ciones con potencias, se pueden establecer propiedades para las operacionescon logaritmos.

Enfatice a sus estudiantes que al aplicar logaritmos, el producto se relacionacon la suma y el cociente con la resta, para que no cometan los errores que semencionan en la sección Pon atención.


De refuerzo

1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a. log2

(8 · 32) c. log3

2. Escribe cada una de las siguientes expresiones como suma y diferencia de logaritmos.

a. loga d.

c. loga (x2 – 6x +9) f.

3. Expresa como un solo logaritmo.

a. 4 loga x – 3 loga y + 1 c. logm (a3 + b3) – 2 logm (a + b)

b. loga (x2 – 81) – loga (x – 9) d. 3 (logm a3 – logm d7) – 4 logm b4

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar).

De profundización

1. Sabiendo que log 2 � 0,30, log 3 � 0,47 y log 5 � 0,69, calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora.

a. log 6 d. log 0,024

c. log 0,125 f.

(Habilidades que desarrolla: representar y calcular).

xyz

2781

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log36

27

5

4

logb a

cm 3

loga

cb

35

4

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Unidad 1 | 49

Páginas 34 y 35 Propiedades de las operaciones de los logaritmos

Unid

ad 1

Analicemos...



Actividades


desarrollan

1, 2 y 3 Calcular y representar.

b. e. logb (x3 – y3)logxyzb

b. log e. log 2745

3

b. log5

(25 · 125) d. log 343 497 · ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

17


Actividad inicial

En Matemática, así como en otras disciplinas en las que se aplica, es posibleobservar que dado que se cumple alguna relación entre varias variables, esnecesario expresar esta relación de forma concisa, o bien, utilizando otras opera-ciones. Cuando esta expresión contiene potencias, puede ser útil aplicar logaritmos.


De refuerzo

1. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas.

a. loga pq = (loga p)(loga q) b. loga un = n loga u

(Habilidades que desarrolla: evaluar y justificar).

De profundización

1. Demuestra las siguientes propiedades de los logaritmos.

a. logb an = n logb a

b.

c. logb a =

(Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

logc alogc b


Páginas 36 y 37 Demostraciones aplicando logaritmos

Analicemos...



Actividades


desarrollan

1 y 3 Analizar y justificar.

2 Evaluar y justificar.

log amn

log abmn

b=


desarrollan

Mapa conceptual


En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los con-tenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de que losy las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio,ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y, además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntascomo las siguientes:

1. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de un producto corresponde al productode los logaritmos?, ¿por qué?

2. ¿En qué consiste el cambio de base?, ¿cuándo se recomienda realizarlo?3. ¿Con qué operación se puede verificar que el cálculo de un logaritmo está

correcto? Explica.4. ¿En qué casos el resultado de un logaritmo es 1?, ¿por qué?, ¿en qué casos

es 0? Justifica.



Unidad 1 | 51

Unid

ad 1

En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estu-diantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir,puede ser utilizado como una evaluación formativa. Al final de la página sepresenta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las pá-ginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estu-diantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple,se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: calcular logaritmos utilizando tablas de potencias.Ítem 2: calcular logaritmos.Ítems 3 y 4: aplicar propiedades de los logaritmos.Ítem 5: demostrar aplicando logaritmos.Ítem 6: reconocer propiedades de los logaritmos.


• En el ítem 1, es posible que sus estudiantes no relacionen correctamente losvalores indicados con las filas y columnas en las que deben buscar los valorescorrespondientes. Recuérdeles que cada columna corresponde a todas laspotencias que tienen la misma base. Luego, la base del logaritmo les in-dica en qué columna pueden buscar el valor del argumento para calcularcorrectamente el logaritmo.

• En el ítem 2, recuerde a los alumnos y alumnas cómo se relacionan los logaritmos y las potencias, de modo que verbalicen los logaritmos como ecua-ciones exponenciales, por ejemplo, log

6216 se puede leer: ¿Cuál es el

exponente de la potencia de base seis, tal que el valor de la potencia es 216?

• En el ítem 3, un error frecuente es que los y las estudiantes apliquen algunaspropiedades, pero no desarrollen exhaustivamente la expresión. Enfatícelesque deben transformar todas las raíces, potencias, productos y cocientesque tenga el argumento del logaritmo.

• En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas cometan errores respectode la prioridad de las operaciones. Recuérdeles que si no hay paréntesis, seresuelven primero los productos y cocientes y después las sumas y restas,siempre de izquierda a derecha.

• En los ítems 5 y 6, enfatice que para justificar que una afirmación es falsa,basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera,se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración.


Mi progreso


1 Aplicar.

2 Calcular.

3 y 4 Representar.




A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el de-sempeño de sus estudiantes en la evaluación formativa.



ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula correctamentetodos los logaritmos, utilizando la tabla vistaen la Unidad.

Calcula correctamentetodos los logaritmos, por inspección.

Calcula correctamenteuno o dos logaritmos.

No comprende cómo utilizar la tabla de potencias para calcularlos logaritmos.

2

Calcula correctamentetodos los logaritmos,mediante la ecuación exponencial correspondiente.

Calcula correctamentetodos los logaritmos, por inspección.

Calcula correctamentealgunos logaritmos, pero comete errores numéricos.

No relaciona los logarit-mos con las potenciascorrespondientes.

3

Desarrolla correctamenteambas expresiones, apli-cando las propiedades.

Desarrolla ambas expresiones, pero cometeerrores al aplicar las propiedades.

Desarrolla una o ambasexpresiones, pero cometeerrores numéricos o designos al aplicarlas propiedades.

Desarrolla una o ambasexpresiones, pero cometeerrores al aplicarlas propiedades.

4

Reduce correctamenteambas expresiones, apli-cando las propiedades.

Reduce correctamente almenos dos expresiones,pero comete errores alaplicar las propiedades.

Reduce correctamente almenos dos expresiones,pero comete errores numéricos o de signos.

Reduce una o ambas expresiones, pero cometeerrores al aplicar las propiedades.

5

Decide en forma correctasi la afirmación es verda-dera o falsa, justificandosu decisión.

Decide en forma correctasi la afirmación es verda-dera o falsa, justificandosolo si es falsa.

Decide en forma correctasi la afirmación es verda-dera o falsa, pero no lo justifica.

Omite la respuesta, o laresponde mal.

6

Marca la alternativa enforma correcta, justifi-cando su decisión.


Puede decidir si algunasde las afirmaciones esverdadera, pero no logradeterminar la respuesta correcta.

Marca una alternativa incorrecta o la omite.


Unidad 1 | 53

Unid

ad 1


1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a.

b.

c.

d.

e.

2. Analiza la validez de las siguientes proposiciones. Justifica tu respuesta.

a. Los logaritmos son siempre positivos.b. No existen logaritmos de números negativos.c. Los logaritmos están definidos para bases positivas.d. Las potencias de un número positivo son

todas positivas.

3. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades.Justifica tu decisión.

a. log 3 + log 4 = log 7b. log 2 + log 5 = log 10c. log 53 = 3 log 5d. log 12 – log 4 = log 8e. log 12 – log 4 = log 3f. log 72 = (log 7)2

4. Aplicando la propiedad del cambio de base, calcula lossiguientes logaritmos sin usar calculadora.

a. log49

343b. log

2781

c. log32

16d. log

22515

e. log15 625

125f. log

169 2197

g. log3375

225h. log

8127

i. log343

49j. log

125625


1. Resuelve y explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

a. Si , calcula log x2 en función de y.

b. Si , calcula log a en función de b.

c. Si log x2 = a y log u3 = v, calcula en función

de a y v.

d. Si , calcula log a en función de b.

e. Si , calcula log e2 en función de m.

f. Si , calcula en función de p.

2. (XI Olimpiada Matemática del Cono Sur, 2000).

Se dice que un número es descendente si cada uno desus dígitos es menor o igual que el dígito anterior, deizquierda a derecha. Por ejemplo, 4221 y 751 son descen-dentes, mientras que 476 y 455 no son descendentes.Determina si existen enteros positivos n para los cuales16 n es descendente.

3. (38 Olimpiada Internacional de Matemática).

Determinar todas las parejas (a, b) de números enteros,con a � 1, b � 1 que satisfacen la ecuación:

ab2= ba.

4. (Séptimo torneo de Computación y Matemática, 2004).

Un primo es siamés si y solo si el número que se obtieneal dar vuelta sus cifras también es primo. Por ejemploal dar vuelta las cifras de 87 132 se obtiene 23 178,que no son primos. Pero por ejemplo 13 es un primosiamés, de dos cifras. ¿Cuántos primos siameses de 5 cifras hay?

loga aa

a

37

⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

log2 2

log a27

log a p−

=12

log e m=

log xu

log a b23

=

23log a b5 =

log x y=


2735 1

2

5 1

4

32 33

3log log log+ +

1

5 5 6251

10 7 74

3 1log log log− +

log2

16 4

2

⋅( )




El dominio de f (x) = logb x son todos los números reales positivos, además:

si b > 1, la función y = logb x es continua, creciente y corta al eje X en el punto(1, 0). Si la función se encuentra en el intervalo [0, 1], entonces su gráfica estápor debajo del eje X, de lo contrario se ubica por encima del mismo eje.

Si 0 < b < 1, la función y = logb x es continua, decreciente y corta al eje X enel punto (1, 0). Si la función se encuentra en el intervalo [0, 1], entonces su grá-fica está por encima del eje X, de lo contrario se ubica por debajo del mismo eje.

Errores frecuentes

• Es común que al graficar una función logarítmica, especialmente en un soft-ware computacional, los alumnos y alumnas crean que la gráfica intersecaal eje Y. Para evitar esta confusión se propone pedir a los y las estudiantesque con la ayuda de una calculadora científica constaten los valores de lafunción log x para x cercano a cero.

• Es común que los y las estudiantes asuman que la base de un logaritmopuede ser cualquier valor real positivo, sin excluir el caso en que la base esigual a 1. Para superar este error pida a sus estudiantes que encuentren lafunción inversa de f (x) = 1x, determinando las restricciones de la función en-contrada. Además, se puede fundamentar que un logaritmo con base 1 nopermite realizar un cambio de base. Se propone el siguiente análisis:

Supongamos que log1

x está definido, entonces, realizando un cambio de

base tenemos: log1

x = , expresión que no está definida pues log 1 = 0.


De refuerzo

1. Respecto de las siguientes funciones, indica el tipo de traslación que pre-sentan sus gráficas en relación con la función f (x) = log x.

a. g (x) = log x – 6b. h (x) = log (x + 3)c. k (x) = –log (x – 4) + 2

(Habilidades que desarrolla: reconocer y aplicar).

De profundización

1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificatu decisión.

a. La función logarítmica es siempre creciente.b. El dominio de la función logarítmica f (x) = log x – 4 es IR+.c. La gráfica de una función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0).


log xlog 1

Páginas 40 a 43 Función logarítmica

Analicemos...



Actividades


desarrollan

1 Aplicar y calcular.

2 Reconocer y aplicar.



Unidad 1 | 55

Unid

ad 1

Para facilitar el aprendizaje de los contenidos de esta Unidad se propone eluso del computador, utilizando el programa Graphmatica, de libre disposiciónpara descargarlo desde internet.

Páginas 44 y 45 Herramientas tecnológicas


La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimien-tos utilizados para resolver ecuaciones habituales. Aunque no existen métodosfijos, es recomendable convertirla en otra equivalente en la cual no aparezcanlogaritmos, para esto, se ha de intentar llegar a una situación semejante ala siguiente: logb f (x) = logb g (x). Entonces empleamos antilogaritmos (puesla función logaritmo es uno a uno) para simplificar la ecuación obteniendof (x) = g (x), que se resuelve con los métodos habituales. También puede ope-rarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente deltipo: logb f (x) = m, de donde se obtiene que f (x) = bm, para luego resolver en forma habitual.


De refuerzo

1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso,si los valores obtenidos satisfacen la ecuación.

a. log (x + 4) + log (x – 6) = 2 log (x – 2)b. log (6x + 5) + log (x + 7) = log (3x + 4) + log (2x + 5)c. log (x + 8) + log (x + 4) = log (x2 + 8x + 24)d. 3 log x + log x2 + log x3 – 4 log x = 2

(Habilidades que desarrolla: interpretar, aplicar y verificar o comprobar).

De profundización

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas con dos incógni-tas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen el sistema.

a. log2

x + log2

y = 5 c. log3

x5 + log3

y3 = 13log

2x3 – log

2y4 = 8 log

3x4 – log

3y2 = 6

b. 21 log2

x + 35 log3

y = 112 d. 5 log2

x + 3 log3

y = 8–20 log

2x – 35 log

3y = –110 4 log

2x – 7 log

3y = –3

(Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar, aplicar y verificar o comprobar).

Páginas 46 a 49 Ecuaciones logarítmicas

Actividades

ÍtemsHabilidades

que desarrollan

1, 2 y 5 Representar y analizar.

3 y 4Interpretar, representary analizar.

Analicemos...



Actividades


desarrollan

1 Interpretar y aplicar.

2Interpretar, aplicar y justificar.

3 y 4Interpretar, aplicar y verificar o comprobar.




• Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad desonido, llamadas belio y decibeles, son en realidad relativas y de naturalezalogarítmica. Así un decibel se define en acústica como la décima parte dellogaritmo decimal (base 10) del cociente entre la intensidad de un sonidoy una intensidad umbral tomada como referencia.

• La escala de medida Richter, para la intensidad de un sismo, utiliza una es-cala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta es-cala no corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo,sino exponencial, es decir, un terremoto de grado 6 es diez veces menosintenso que un terremoto de grado 7 y cien veces menor que uno degrado 8.

Posibles dificultades en las actividades

Al resolver los problemas, los alumnos y alumnas necesitarán utilizar una cal-culadora científica para poder determinar algunos valores. Es conveniente quesolicite la calculadora como material indispensable para dicha clase, o bienque escriba en la pizarra los valores asociados a los problemas, para que los ylas estudiantes trabajen correctamente.


De refuerzo

1. Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH.

a. Plátanos, pH = 5b. Amoníaco doméstico, pH = 11,9c. Huevos, pH = 8d. Levadura, pH = 8,4

2. El terremoto ocurrido el 21 de abril de 2007, en el fiordo de Aysén, fue de6,3 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo?

(Habilidad que desarrollan: aplicar).

Páginas 50 y 51 Aplicaciones

Analicemos...



Actividades


desarrollan

1 Aplicar.

2 y 3 Interpretar y aplicar.

4 y 5 Resolver problemas.

6 Aplicar.


Unidad 1 | 57

Unid

ad 1


desarrolla

Mapa conceptual


En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los con-tenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de que losy las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del es-tudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y, ade-más, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice pregun-tas como las siguientes:

1. ¿Por qué es necesario verificar siempre las soluciones obtenidas al resolveruna ecuación logarítmica?

2. ¿Es posible que una ecuación logarítmica no tenga solución?, ¿por qué?3. ¿La gráfica de f (x) = log x interseca al eje Y?, ¿por qué?4. ¿En qué punto la gráfica de f (x) = a · log x, con a � 0, interseca al eje X?

Explica.5. ¿Por qué la escala logarítmica es más apropiada que una escala lineal para

asignar valores al nivel de intensidad del sonido?




En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estu-diantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir,puede ser utilizado como una evaluación formativa. Al final de esta página sepresenta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las pá-ginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estu-diantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple,se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: relacionar gráficas de funciones logarítmicas.Ítem 2: resolver ecuaciones logarítmicas.Ítem 3: resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.Ítem 4: reconocer propiedades de las funciones logarítmicas.


• En el ítem 1, los y las estudiantes podrían confundir la dirección en quese desplaza la gráfica, ya que en el eje Y parece obedecer al signo queacompaña al parámetro c, en cambio, cuando la traslación correspondeal eje X, esto no ocurre. Indíqueles que si tienen dudas al respecto, pue-den remplazar algún valor de x en ambas funciones y observar la direc-ción de su traslación.

• En el ítem 2, enfatice a sus alumnos y alumnas que siempre deben verificarla solución algebraica en la ecuación original y constatar que todos los lo-garitmos que tenga la ecuación estén bien definidos, esto es, su argumentosea positivo. En caso contrario, esta solución no satisface la ecuación.

• En el ítem 3, los alumnos y alumnas necesitarán de una calculadora cien-tífica para calcular el valor correspondiente a la solución; en caso de notener acceso a dichos dispositivos, se sugiere que ellos y ellas escriban laexpresión que les permitiría obtener el resultado, lo más simple posible.

• En el ítem 4, insista a sus estudiantes en que para justificar que una afir-mación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificarque es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con unademostración.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.


Mi progreso


1Interpretar y reconocer/identificar.

2Interpretar, calcular y verificar o comprobar.

3 Aplicar.



Unidad 1 | 59

Unid

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ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Relaciona correctamentelas operaciones en lafunción respecto de lastraslaciones correspon-dientes, en todos los casos.

Relaciona las operacionesen la función respectode las traslaciones correspondientes, perocomete errores numéricoso de signos.

Relaciona las operacionesen la función respecto delas traslaciones, solo después de realizar las gráficas.

Esboza las gráficas, perono logra interpretarlascomo una traslación de la gráfica de f (x).

2

Resuelve correctamentetodas las ecuaciones logarítmicas.

Resuelve correctamentetodas las ecuaciones logarítmicas, pero no comprueba sus soluciones.

Resuelve correctamente alo menos dos de las cuatroecuaciones logarítmicas.

Resuelve correctamenteuna o ninguna de lasecuaciones logarítmicas.

3

Responde correctamenteel problema, planteandola ecuación y resolvién-dola correctamente.

Plantea y resuelve correc-tamente todas las ecua-ciones que le permitendar respuesta a cada unade las preguntas, peronecesita orientación paracomprender el problemay elaborar la respuesta.

Plantea correctamente laecuación, pero cometeerrores al despejar la incógnita, obteniendoun valor incorrecto. Aun así, formula una respuesta para responderla pregunta.

Comete errores en el plan-teamiento de la ecuaciónque resuelve el problema.

4

Marca la alternativa enforma correcta justifi-cando su decisión.


Puede decidir si algunasde las afirmaciones esverdadera, pero no logradeterminar la respuesta correcta.






1. La función inversa de f (x) = log x es:

A. f –1 (x) = 1000x

B. f –1 (x) = 10 · 103x

C. f –1 (x) = 1003x

D. f –1 (x) = 300x

E. Ninguna de las anteriores.

2. Si , entonces la relación verdadera es:

A. x =

B. x = log 13 + log 5

C. x = log25

13

D. x =


3. La solución de la ecuación 33 – x = 52 es:

A. x = – 3

B. x = 3 log 3 – 2 log 5

C. x = 3 –

D. x = 3 log 3 –

E. x =

4. (PSU, Educarchile, 2005). log2 (24 + 24) =

A. 5B. 6C. 8D. 16E. 32

5. (PSU, Educarchile, 2005). Si a y b son números reales positivos, entonces log (ab2) – log (a2b) =

A. log a + log bB. log a – log bC. log b – log a

D. logb a

E.

6. (PSU, Educarchile, 2005). ¿Cuál o cuáles de las siguientesafirmaciones es o son verdaderas?

I. log (0,05) < 0II. log (0,3) – log (0,1) > 0III. log (0,4) · log (0,3) > 0

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y IIIE. I, II y III

7. (PSU, Educarchile, 2005). Si a es un número real positivo

tal que log a = 9, entonces

A. 3B. 4,5C. 6D. 18E. 81

8. (PSU, Educarchile, 2005). Si log (3x – 2) – log (2x) = 0, entonces x es igual a:

A. –1B. 0C. 1D. 2E. 3

9. (Documento Oficial, Proceso de Admisión, Demre, 2005).

A.

B.

C. 3

D.

E.

5 13x =

–2 log 5log 3

2 log 5log 3

2 log 5log 3

log 13log 15

log 13log 5

52

log a

log blog a

2log 5


El valor de la expresión es:log log

log

2 3

4

8 19

16

− ⎛⎝

⎞⎠

12

54

74


Unidad 1 | 61

Unid

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La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad;sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución especí-ficas para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futurosproblemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantespueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir enla resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

Actividades

Ítem 1: aplicar la expresión que relaciona intensidad del sonido y su distanciaa la fuente del sonido para resolver problemas de intensidad del sonido.Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas.Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo.

Páginas 54 y 55 Cómo resolverlo

Actividades


desarrollan

1 Resolver problemas.

2 y 3Resolver problemas, indagar y comparar.

Logro, aplicación En proceso, logro parcial No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentementeel problema.

• Identifica la información necesaria.


• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que mal interprete

parte del problema.• Puede que tenga alguna

idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina

pide explicaciones.

Comprensión deconceptos

• Aplica correctamente reglaso algoritmos cuando usasímbolos.

• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a proble-

mas o a situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va

más allá.

• Demuestra un entendimientoparcial o satisfactorio.

• Puede demostrar y explicarusando una variedad demodos.

• Está listo para hacer conexiones acerca de cómoy por qué.

• Relaciona el concepto conconocimiento y experienciasanteriores.

• Realiza las tareas cada vezcon menos errores.

• No modela los conceptosrutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

Verificación deresultados y/oprogreso

• Chequea racionalidad de losresultados.

• Reconoce sin razones.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuestaes o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm



Indicaciones sobre el contenido

En las actividades de estas páginas, los y las estudiantes reflexionarán sobre lasescalas utilizadas para cuantificar los temblores y terremotos: la escala de Rich-ter y la escala de Mercalli. En un país sísmico como Chile, donde se observa unterremoto de 8 o más grados de magnitud, en promedio, cada diez años, esbueno que los alumnos y alumnas comprendan la diferencia entre estas esca-las y sepan interpretar correctamente la información que se entrega en laprensa sobre la magnitud y las intensidades de un sismo.

Esta es una buena instancia para enfatizar a sus estudiantes las medidas de seguridad a seguir en caso de que ocurra un sismo en la escuela o en sus casas.Los sismos son fenómenos naturales de permanente ocurrencia en Chile. Noexiste aún en el mundo tecnología capaz de predecir el lugar, el momento yseveridad de un sismo. Comente qué acciones se recomienda realizar en casode un sismo, identifiquen cuáles son los lugares más seguros, tanto en la es-cuela y en espacios públicos, como en sus propias casas. Enfatíceles que luegode un sismo no se deben prender fósforos ni velas, ante eventuales fugas degas, y que lo más importante es conservar la calma. Chile es un país sísmico,por lo que siempre debemos estar preparados.

Páginas 56 y 57 En terreno

Actividades

ÍtemsHabilidades

que desarrollan


2 Calcular y analizar.

3Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Investiguemos...

ÍtemsHabilidades

que desarrollan

1 y 2 Conectar.

3, 4 y 5 Analizar y conectar.

6 y 7 Analizar.


desarrolla

Mapa conceptual


Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizajeque han alcanzado sus estudiantes.

En esta sección los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapaconceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad.Como actividades de consolidación se presentan preguntas de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.


Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual,pídales que se los intercambien, de modo que cada uno lo revise y comparecon el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles que enun mapa conceptual cada concepto se deben escribir de manera indepen-diente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones que hayentre los conceptos.

Página 58 Síntesis de la Unidad


Unidad 1 | 63

Unid

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En estas páginas se propone una evaluación que integra todos los contenidosvistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro.


• En el ítem I, enfatice a sus estudiantes que para justificar que una afirmaciónes falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que esverdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración.

• En el ítem II, 4, insista a sus alumnos y alumnas en que siempre deben verifi-car la solución algebraica en la ecuación original y constatar que todos los lo-garitmos que tenga la ecuación estén bien definidos, esto es, su argumentosea positivo. En caso contrario, esta solución no satisface la ecuación.

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Páginas 59 a 61 Evaluación sumativa

Ítems Habilidades que evalúan

I 1 a 11Analizar y verificar o comprobar.

II

1 Representar.

2 Analizar y calcular.

3 y 4 Interpretar, analizar y calcular.

III

1 y 14 Interpretar y representar.

2, 3, 6, 7, 8, 9, 10 Interpretar y calcular.

5 y 11 Reconocer/Identificar.

4, 12 y 13 Interpretar, representar y calcular.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

I

Determina correctamenteel valor de verdad detodas las afirmaciones,justificando todos los casos.


Determina correctamenteel valor de verdad de almenos seis de las afirmaciones.

Determina correctamenteel valor de verdad decinco afirmaciones o menos.

II, 1

Reduce correctamentetodas expresiones, apli-cando las propiedades.

Reduce correctamente al menos cuatro expresio-nes, pero comete erroresal aplicar las propiedades.

Reduce correctamente almenos tres expresiones,pero comete errores numéricos o de signos.

Reduce una o dos expre-siones, pero cometeerrores al aplicar las propiedades.


Para el ítem III, considere:Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (14 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas.Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

II 2

Calcula correctamente eldominio de todas las funciones, mediante laecuación correspondiente.

Calcula correctamente el dominio de todas lasfunciones, por inspección.

Calcula correctamente eldominio de algunas funciones, porque comete errores numéricos.

No relaciona el dominiode la función con la ecuación correspondiente.

II 3 y 4

Calcula correctamente el valor pedido, resolviendo la ecuación correctamente.

Aplica correctamente las propiedades de logaritmos, pero necesitaorientación para com-prender lo solicitado yelaborar la respuesta.

Resuelve correctamentela ecuación, pero cometeerrores numéricos al despejar la incógnita, obteniendo un valor incorrecto.

Comete errores al aplicarlas propiedades de logaritmos.


Unidad 1 | 65

Unid

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1. El nivel de decibeles (D) de un sonido se calcula utili-zando la fórmula: D = 10 (log I + 12), donde I corres-ponde a la intensidad que emite el sonido, medida enwatts por metro cuadrado (W/m2).

a. Calcula los decibeles de un susurro que tiene una intensidad de 132 · 10–12 W/m2.

b. Calcula los decibeles que produce un televisor quetiene una intensidad de 3,5 · 10–5 W/m2.

c. Calcula los decibeles de un concierto de rock quetiene una intensidad de 9,1 · 10–1 W/m2.

d. Calcula la intensidad de un sonido que tiene un nivelde 72 decibeles.

2. Un parlante tiene un nivel de 95 dB (decibeles), a me-dida que uno se aleja de este, el nivel disminuye según

la fórmula: D = log , donde r es la distancia

(en pies) respecto del parlante.

a. Calcula el nivel de decibeles si una persona se encuentra a 15 pies del parlante.

b. Calcula el nivel de decibeles si una persona se encuentra a 80 pies del parlante.

c. Determina la distancia a la que se debe estar del parlante, para que el nivel de decibeles sea, aproximadamente 8 dB.

3. La intensidad de un sismo en la escala de Richter está

dada por la expresión: D = (log E – 4,4), donde E

corresponde a la energía liberada por el sismo (medida

en joules).

a. Calcula la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Valdivia ocurrido en 1960, sabiendoque liberó una energía de 1,122 · 1018 j.

b. Calcula la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillán, ocurrido en 1939, sabiendoque liberó una energía de 7,079 · 1016 j.

c. Determina la energía liberada por un sismo de 4,3 grados en la escala de Richter.

d. Determina la energía liberada por un terremoto de 7,4 grados en la escala de Richter.


1. (VIII Certamen el Número de Oro, 2000).

Si a es un número real positivo (a � 1). ¿Cuántas solu-ciones tiene la ecuación loga x = x?

2. Resuelve los sistemas de ecuaciones logarítmicas:

a. log x + log (y + 3) = log 6log (x + 7) – log (y + 2) = 1

b. log x + log y = 3log x – log y = 1

c. log (x – y) + log (x + y) = log 27x2 – y2 = 25

d. 2x2 + y = 752 log x – log y = 2 log 2 + log 3

e. 6 log7

x – 7 log7

y = –8log

7x – 4 log

7y = –7

f. log3

x4 + log3

y5 = 19log

3x3 – log

3y3 = –6

g. 5 log2

x – log2

y4 = –11log

2x7 – log

2y3 = –5

h. log2

x4 – log10

y3 = 3log

2x5 + log

10y = 37

i. log5

x3 – log2

y2 = 4log

5x4 + log

2y3 = 11

3. El terremoto de San Francisco del año 1906 tuvo unamagnitud de 8,2 en la escala de Richter, y el terremotodel año 1989, una magnitud de 6,9 en dicha escala.¿Cuántas veces fue más potente el terremoto de 1906que el de 1989?

3 2 109

2

, ·

r

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

23



En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar yque le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la Unidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad porsus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Estetiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizarla siguiente pauta:

Considere:Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (14 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas.Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.


Ítems Habilidades que evalúan Puntaje Total

1, 6, 10 y 12

Interpretar y analizar. 2 puntos cada una 8 puntos

2, 3, 11,13 y 14

Interpretar y reconocer/ identificar.

2 puntos cada una 10 puntos

4, 5 y 7 Aplicar. 2 puntos cada una 6 puntos

8 y 9 Interpretar y calcular. 2 puntos cada una 4 puntos

11, 12 y 14

Recordar y analizar. 2 puntos cada una 6 puntos

Puntaje total: 34 puntos

Evaluación final



• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas aún confundan domi-nio y recorrido, o bien que supongan que siempre el dominio debe tener alguna restricción, cosa que no ocurre en este caso. Enfatíceles que cuandono existen restricciones, se dice que el dominio (o el recorrido) son todos losnúmeros reales y se anota dom f (x) = IR.

• En los ítems 2, 13 y 14, los errores al identificar la función se producen alconfundir la relación entre las traslaciones verticales y horizontales de lagráfica de una función y cómo se refleja en su correspondiente representa-ción algebraica. Otro error frecuente, en el ítem 2, se refiere a decidir en quédirección se desplaza la parábola según los signos que tengan los valoresasociados en la función. Se recomienda que ilustre con un ejemplo en lapizarra qué sucede con la parábola en cada caso, enfatizando la diferenciaentre las traslaciones verticales y horizontales.

• En el ítem 3, si el o la estudiante descartara la opción C, es posible que con-funda la condición de que el argumento de un logaritmo debe ser positivo,con su resultado, que de hecho, no tiene restricciones. Si considerara falsa laopción A, puede que los puntos se remplacen en la ecuación como 1 = ln 0,lo que sí es falso, pero demuestra que el alumno o la alumna no relacionacorrectamente el par ordenado con las variables de la función.

• En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes intenten aplicar alguna pro-piedad relacionada con el producto, lo que en este caso no es pertinente.Puede sugerirles que ya que las bases de los logaritmos son distintas, puederealizarse un cambio de base para calcular el valor de la expresión.

• En los ítems 5, 6, 7, 8 y 12, es posible que los alumnos y alumnas tengandificultades con las propiedades de los logaritmos. Si sus estudiantes utilizanbien las propiedades de las potencias, enfatice en la relación entre potencias,raíces y logaritmos, de modo que inicialmente puedan determinar los valoresde los logaritmos desde sus conocimientos sobre potencias y raíces.

• En el ítem 9, enfatice a sus estudiantes que las ecuaciones logarítmicas sepueden relacionar con la ecuación que relaciona sus argumentos solocuando están escritos como un solo logaritmo a cada lado de la igualdad.También recuérdeles que deben verificar que siempre el argumento del logaritmo es un número positivo.

Unidad 1 | 67

Unid

ad 1



1. De las siguientes funciones:

I. y =

II. y = x2 – 1

III. y = | x – 1 |

indica aquellas que tienen el mismo dominio.

A. I y IIB. I y IIIC. II y IIID. I, II y IIIE. Ninguna de las anteriores.

2. La gráfica siguiente corresponde a:

A. y = –(x + 4)4

B. y = –x4 – 3C. y = –(x – 4)4 – 7D. y = –(x + 4)4 + 7E. y = –(x + 11)4

3. Señala qué afirmación o igualdad es falsa.

A. Toda función logarítmica y = ln x pasa por elpunto (1, 0).

B. log 93 = 3 log 9C. El logaritmo de un número es siempre mayor

o igual que cero.

D. log5

7 =

E. Todas las anteriores.

4. (log2 5) · (log5 8) es igual a:

A. log 40 B. log

240

C. log 4D. 3E. log 8

5. es igual a:

A.

B.

C. 5 log5

6

D. log5

6


6. De las siguientes afirmaciones, son verdaderas:

I. log2

8 = 3II. log 105 = 5III. La función logaritmo es creciente.

A. I y IIB. I y IIIC. II y IIID. Todas.E. Ninguna de las anteriores.

7. El valor de x en la ecuación logx = –6 es:

A. 16 B. 8C. 4D. 2E. Falta información.

164

5 655log

15

log5 65

log 7log 5

4x – 1

Evaluación final

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

15

655log

(–4, 7)

Nombre: Curso: Fecha:


Unidad 1 | 69

Unid

ad 1

8. Si log15 5 = a, entonces log15 81 en términos de ase escribe como:

A. 4aB. 4(1 – a) C. 1 – aD. 2aE. a + 5

9. La o las soluciones de la ecuaciónlog(1 – 3x) – log(x + 2) = 2 log 3 son:

A. x = –

B. x = –

C. x = –

D. x > 0

E. No tiene solución.

10. Si f (x) = log x, entonces ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es siempre correcta?

I. f (abc) = f (a) + f (b) + f (c)

II. f = f (a) – f (b)

III. f (an) = f (a)n

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y IIE. II y III

11. log (x + y) es igual a:

A. –log (–x – y)

B. log (x) + log (y)

C. log (x) + y

D. –log

E. 2 log (x + y)

ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

x y +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1712

172

12

1217

f (x)

g (x)

12. Si entonces:

A. N es mayor que 1012.B. N está entre 1010 y 1011.C. N es mayor que 22000.D. Ninguna de las anteriores.E. No se puede estimar.

13. Dadas las gráficas, indica la alternativa correcta.

A. g (x) es log (x – 1) y f (x) es log (–x).

B. g (x) es log x y f (x) es log x –2.

C. g (x) es log x y f (x) es –log x.

D. g (x) es log y f (x) es log x.


14. ¿Cuál o cuáles de las funciones que se presentantienen su gráfica en el segundo y cuarto cuadrante?

I. – x5

II. –5x3

III. 2x6

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. II y III

117

Nlog= 10 2 1999


70|Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Función exponencial2Propósito de la Unidad

En esta Unidad se busca profundizar en el estudio de las funciones exponenciales. Es im-portante iniciar el tema recordando algunas funciones estudiadas en años anteriores; porejemplo, función lineal, función valor absoluto, función cuadrática, función raíz cuadrada, asícomo la función potencia y logarítmica, tratadas anteriormente. Esta asociación permitirá a susestudiantes dar una continuidad a los contenidos ya adquiridos.

En el trabajo con la función exponencial, se analizan sus características, su comportamientográfico y, lo más importante, algunas de las situaciones que se pueden modelar, permitiendocaracterizar fenómenos conocidos por los y las estudiantes, como el crecimiento poblacional,la escala de Richter y el interés compuesto. Además, se analiza su relación con la función logarítmica, enfatizando que una se entiende como inversa de la otra.

A partir de la función relacionada con el interés compuesto, se muestra uno de los métodosde aproximación del número irracional e. Finalmente, se estudian las ecuaciones exponenciales,centrando su aplicación en la solución de problemas de la vida cotidiana.


Función exponencial

Definición

Función inversa

Función creciente

Número e

Crecimiento y decrecimiento

exponencial

Función decreciente

Aplicaciones

Ecuaciones exponenciales

Representacióngráfica

Aproximaciónnúmero e

Métodos de resolución

Igualación de bases

Aplicación de logaritmos

Función exponencial

natural

Función logaritmo natural

Función logaritmo


Unidad 2 | 71

Relació

n e

ntre l

os C

MO

de l

a U

nid

ad y

los d

e a

ños a

nterio

res

1º M

edio

Sent

ido,

not

ació

n y

uso

de la

s let

ras e

nel

leng

uaje

alg

ebra

ico.

Exp

resio

nes

al-

gebr

aica

s no

frac

cion

aria

s y

su o

pera

to-

ria.

Múl

tiplo

s,fa

ctor

es,

divi

sibi

lidad

.Tr

ansf

orm

ació

n de

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resio

nes a

lgeb

rai-

cas p

or e

limin

ació

n de

par

énte

sis, p

or re

-du

cció

n de

tér

min

os s

emej

ante

s y

por

fact

oriz

ació

n. C

álcu

lo d

e pr

oduc

tos,

fac-

toriz

acio

nes

y pr

oduc

tos

nota

bles

.

2º M

edio

Expr

esio

nes

alge

brai

cas

frac

cion

aria

ssim

ples

, (co

n bi

nom

ios

o pr

oduc

tos

nota

bles

en

el n

umer

ador

y e

n el

de

nom

inad

or).

Sim

plifi

caci

ón,

mul

tiplic

ació

n y

adic

ión

de

expr

esio

nes

frac

cion

aria

s sim

ples

.

3º M

edio

Sist

emas

de

inec

uaci

ones

line

ales

se

ncilla

s con

una

incó

gnita

. Int

erva

los e

nlo

s nú

mer

os r

eale

s. P

lant

eo y

res

oluc

ión

de s

istem

as d

e in

ecua

cion

es c

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nain

cógn

ita. A

nális

is de

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xist

enci

a y

pert

inen

cia

de la

s so

luci

ones

.Re

laci

ón e

ntre

las

ecua

cion

es y

las

inec

uaci

ones

line

ales

.

4º M

edio

Func

ione

s lo

garít

mic

a y

expo

nenc

ial,

sus

gráf

icos

cor

resp

ondi

ente

s.M

odel

ació

n de

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men

os n

atur

ales

y/

o so

cial

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trav

és d

e es

as fu

ncio

nes.

Aná

lisis

de la

s ex

pres

ione

s al

gebr

aica

s y

gráf

icas

de

las

func

ione

s lo

garít

mic

a y

expo

nenc

ial.

Hist

oria

de

los

loga

ritm

os;

de la

s ta

blas

a la

s ca

lcul

ador

as.

Aná

lisis

y co

mpa

raci

ón d

e ta

sas

de

crec

imie

nto.

Cre

cim

ient

o ar

itmét

ico

y ge

omét

rico.

Pla

ntea

r y re

solv

er

prob

lem

as s

enci

llos

que

invo

lucr

en

el c

álcu

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teré

s co

mpu

esto

.

Uso

de

algú

n pr

ogra

ma

com

puta

cion

alde

man

ipul

ació

n al

gebr

aica

y g

ráfic

a.U

so d

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gún

prog

ram

a co

mpu

taci

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de m

anip

ulac

ión

alge

brai

ca y

grá

fica.

Func

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cuad

rátic

a. G

ráfic

o de

las

sigui

ente

s fu

ncio

nes:

y =

x2

y=

x2±

a, a

> 0

y =

(x±

a)2 , a

> 0

y =

ax2

+ bx

+ c

Disc

usió

n de

los

caso

s de

inte

rsec

ción

de la

par

ábol

a co

n el

eje

x.

Reso

luci

ón d

e ec

uaci

ones

de

segu

ndo

grad

o po

r co

mpl

etac

ión

de c

uadr

ados

y su

apl

icac

ión

en la

reso

luci

ón

de p

robl

emas

.

Reso

luci

ón d

e de

safío

s y

prob

lem

as n

oru

tinar

ios

que

invo

lucr

en s

ustit

ució

nde

var

iabl

es p

or d

ígito

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o nú

mer

os.

Pote

ncia

s co

n ex

pone

nte

ente

ro.

Mul

tiplic

ació

n y

divi

sión

de p

oten

cias

.U

so d

e pa

rént

esis.

Repr

esen

taci

ón, a

nális

is y

reso

luci

ón

de p

robl

emas

con

text

ualiz

ados

en

situa

cion

es c

omo

la a

signa

ción

de

prec

ios

por t

ram

os d

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nsum

o,

por e

jem

plo,

de

agua

, luz

, gas

, etc

. Va

riabl

es d

epen

dien

tes e

inde

pend

ient

es.

Func

ión

part

e en

tera

. Grá

fico

de

la fu

nció

n.

Ecua

ción

de

la re

cta.

Inte

rpre

taci

ón

de la

pen

dien

te y

del

inte

rcep

to c

on

el e

je d

e la

s or

dena

das.

Con

dici

ón

de p

aral

elism

o y

de p

erpe

ndic

ular

idad

.

Func

ión

valo

r ab

solu

to; g

ráfic

o de

est

afu

nció

n. In

terp

reta

ción

del

val

orab

solu

to c

omo

expr

esió

n de

dis

tanc

iaen

la re

cta

real

.

Uso

de

algú

n pr

ogra

ma

com

puta

cion

alde

man

ipul

ació

n al

gebr

aica

y g

ráfic

a.

Gen

eral

izac

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de la

ope

rato

ria

aritm

étic

a a

trav

és d

el u

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e sím

bolo

s.C

onve

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n de

uso

de

los

paré

ntes

is.

Ecua

ción

de

prim

er g

rado

. Re

solu

ción

de e

cuac

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s de

prim

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rado

con

una

incó

gnita

. Pla

nteo

y re

solu

ción

de

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lem

as q

ue in

volu

cren

ecu

acio

nes

de p

rimer

gra

do c

on u

na in

cógn

ita.

Aná

lisis

de lo

s da

tos,

las

solu

cion

es

y su

per

tinen

cia.



CMO

Cont

enid

os

de la

Uni

dad

Apr

endi

zaje

s es

pera

dos

Act

ivid

ades

as

ocia

das

Indi

cado

res

de e

valu

ació

nTi

pos

de

eval

uaci

ónRe

curs

os

didá

ctic

os

Func

ión

loga

rítm

ica y

ex

pone

ncia

l, su

s grá

ficos

corre

spon

dien

tes.

Mod

elac

ión

de fe

nóm

enos

natu

rale

s y/o

socia

les a

tra

vés d

e es

as fu

ncio

nes.

Anál

isis d

e la

s exp

resio

nes

alge

brai

cas y

grá

ficas

de

la fu

nció

n lo

garít

mica

y

expo

nenc

ial [

…].

Func

ión

expo

nenc

ial.

Func

ión

expo

nenc

ial y

fu

nció

n lo

garít

mica

.

Apro

ximac

ión

al n

úmer

o e.

Func

ión

expo

nenc

ial

natu

ral.

Ecua

cione

s exp

onen

ciale

s.

Crec

imie

nto

expo

nenc

ial.

Decr

ecim

ient

o ex

pone

ncia

l.

•An

aliza

r el c

recim

ient

o y

decr

ecim

ient

o de

fu

ncio

nes e

xpon

encia

les.

•An

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r el c

ompo

rta-

mien

to g

ráfic

o y a

nalít

icode

la fu

nció

n ex

pone

ncial

.•

Reco

noce

r las

func

ione

sex

pone

ncia

l y lo

garít

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una

com

o in

vers

a de

la

otra

.

En e

l Tex

toDe

exp

lora

ción:

pági

nas

66, 7

2, 7

4, 7

8,80

, 82,

84

y 86

.De

con

stru

cció

n de

co

ncep

tos:

pági

nas

68, 6

9, 7

3, 7

5,79

, 81,

83,

85,

87

y 91

.De

con

solid

ació

n:pá

gina

s 76

, 77,

88,

89,

92, 9

3 y

94.

En la

Guí

a Di

dáct

icaDe

refu

erzo

: pág

inas

80,

81, 8

2, 8

6, 8

7, 8

8, 8

9,92

y 9

7.De

pro

fund

izació

n:pá

gina

s 81,

83,

86,

92

y 9

7.

•Id

entif

ican

dom

inio

s y

reco

rrido

s de

la fu

nció

n ex

pone

ncia

l y lo

garít

mica

.•

Anal

izan

el c

ompo

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ient

o de

la fu

nció

n ex

pone

ncia

l, cla

sificá

ndol

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cre

cient

e o

decr

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nte.

•As

ocia

n po

r med

io d

e pr

oced

imie

ntos

alg

ebra

icos

y an

álisi

s grá

fico

la fu

nció

n ex

pone

ncia

l y lo

garít

mica

com

oun

a in

vers

a de

la o

tra.

•Ca

lcula

n la

func

ión

inve

rsa

deun

a fu

nció

n ex

pone

ncia

l.

Diag

nóst

ica:

Pági

nas 6

3 y

65 d

elTe

xto

del E

stud

iant

e.

Form

ativa

:Pá

gina

s 77

y 89

de

l Tex

to d

el

Estu

dian

te.

Pági

nas 8

1 y

91 d

e la

Guí

a Di

dáct

ica

del D

ocen

te.

Sum

ativa

:Pá

gina

s 95,

96

y 97

de

l Tex

to d

el Es

tudi

ante

.Pá

gina

s 99

y 10

0 de

laG

uía

Didá

ctica

de

l Doc

ente

.

Calcu

lado

ra

cient

ífica

.

Com

puta

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on

prog

ram

a pa

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o.

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o. P

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lver p

robl

emas

senc

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que

invo

lucr

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culo

de in

teré

s com

pues

to.

Aplic

acio

nes d

e la

ecu

ació

nex

pone

ncia

l.•

Utiliz

ar la

s fun

cione

s lo

garít

mica

y e

xpon

encia

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ione

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fenó

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o

socia

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prob

lem

as.

•Co

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n po

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io d

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esió

n al

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aica

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expo

nenc

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enos

natu

rale

s y so

ciale

s.•

Resu

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n pr

oble

mas

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aplic

acio

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atur

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y

socia

les m

edia

nte

ecua

cione

sex

pone

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les.

•M

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an si

tuac

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s de

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vida

cotid

iana

util

izand

o la

fu

nció

n ex

pone

ncia

l.

Uso

de p

rogr

amas

co

mpu

tacio

nale

s de

man

ipul

ació

n al

gebr

aica

y

gráf

ica.

Func

ión

expo

nenc

ial

Func

ión

expo

nenc

ial y

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nció

n lo

garít

mica

.

Crec

imie

nto

expo

nenc

ial.

Decr

ecim

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pone

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l.

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aliza

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recim

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xpon

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mie

nto

gráf

ico d

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fu

nció

n ex

pone

ncia

l.

En e

l Tex

toDe

con

stru

cció

n de

co

ncep

tos:

pági

nas 7

0 y

71.

De c

onso

lidac

ión:

pági

na 9

2.

•Ut

ilizan

her

ram

ienta

s tec

noló

gica

spa

ra g

rafic

ar fu

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nes

expo

nenc

iale

s.•

Iden

tifica

n ca

ract

eríst

icas d

ela

s fun

cione

s exp

onen

ciale

s ob

teni

das e

n lo

s pr

ogra

mas

com

puta

ciona

les.

Propuesta d

e p

lanif

icació

n d

e l

a U

nid

ad

Tiem

po e

stim

ado:

6 a

7 s

eman

as



Para facilitar el uso de las herramientas tecnológicas computacionales propuestas,presentamos un tutorial para instalar y utilizar el programa GeoGebra.

Tutorial de instalación del programa

GeoGebra es el software que se utilizará en esta Unidad. El programa es de libredisposición en Internet y se puede encontrar en la página www.geogebra.org

Antes de comenzar su clase, es recomendable que previamente instale el pro-grama en cada uno de los computadores que se van a utilizar, para prevenir difi-cultades o demoras en el proceso de instalación. Por ejemplo, es posible que loscomputadores tengan autorización solo del administrador para instalar programas;esto evita que los y las estudiantes bajen programas para fines no académicos enlos computadores. En este caso, solicite al administrador de los computadores su au-torización para instalar el programa.

Luego, debe verificar si cada computador cuenta con conexión a Internet. Si es así,ingrese a la página www.geogebra.org y siga los pasos que se señalan en la pá-gina 70 del Texto del Estudiante.

En caso contrario, puede descargar el programa de algún computador que sítenga conexión y después copiarlo en los demás. Para esto verifique si el compu-tador tiene puerto USB o lector de CD. En cada caso necesitará grabar el pro-grama en un pendrive o en un CD, respectivamente.

Para descargar el programa al CD o pendrive se debe:Ingresar a la página www.geogebra.org, y luego hacer clic en el botón Download,tal como el de la imagen.

Después, se abrirá una página donde se muestran varias opciones de descarga,según el sistema operativo del computador donde se desea instalar el programa. Si los computadores que va a utilizar usan Windows, haga un clic sobre la opción

y luego elija guardar. Se recomienda traspasar elarchivo al escritorio del computador, para después copiarlo a su CD o pendrive.El archivo tiene un tamaño de 14,9 MB, por lo que la descarga demorará entre10 y 30 minutos, dependiendo de la rapidez de la conexión a Internet que disponga.

Posteriormente, abra el archivo en cada uno de los computadores que necesita,haciendo doble clic sobre el ícono, y siguiendo los pasos de instalación que aparecen en pantalla.

Unidad 2 | 73

Unid

ad 2


Tutorial de uso del programa

Barra de menú:

Barra de entrada:

La barra de entrada está ubicada en la parte inferior de la ventana del programa,donde se deben escribir las funciones a graficar. En caso de que no aparezca, en-tonces actívela en el menú vista/barra de entrada, tal como aparece en la figura(estará visible si tiene el ticket al lado izquierdo).

Para graficar las funciones exponenciales, debe tener presente que estas funciones

se escriben de manera similar a como se hace en las calculadoras. Por ejemplo, la

función f (x) = ( )x

se escribe f (x) = (1/2)^x en la barra de entrada. Si tiene valores

decimales deben ir con punto en lugar

de coma.

Todas las funciones, una vez que son grafica-das, aparecen en la ventana de vista algebraicay en la de vista gráfica.

En la ventana de vista algebraica, se puede desactivar la gráfica de alguna de lasfunciones, presionando el botón verde que aparece junto a la función y dejándoloen blanco.

Observación: Si al escribir la función, no se ve su gráfica, entonces se necesita reali-zar un acercamiento o zoom, de la siguiente manera:

12



Unidad 2 | 75

En la barra de herramientas, que aparece en la parte superiorde la ventana, se encuentra el botón Desplazar Vista Gráfica.Esta herramienta permite desplazar todo el plano cartesiano,así como también permite alejarse o acercarse paraobservar los puntos o las gráficas de las funciones.

Si desea cambiar la graduación de los ejes, debe ingresar enla barra de menú a Opciones y luego a Vista Gráfica.

Luego, se desplegará una ventana donde podrá realizar las variaciones que considerepertinentes en los ejes X e Y.

Unid

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Seleccione el eje que va a modificar

Si selecciona 1, entonces aparecen los va-lores 1, 2, 3, 4, 5, etc., en el eje seleccio-nado. Si selecciona 5, entonces aparecenlos valores 5, 10, 15, 20, etc., en ese eje.

Razón entre los ejes X e Y. Si se escribe 1 : 2, entonces en el plano cartesiano ladistancia correspondiente a 1, en el eje X, corresponde a 2 en el eje Y.

Permite especificar el intervalo de valores que aparecen en la vistagráfica de cada eje.


Puntos pertenecientes a las funciones

Sobre el botón llamado nuevo punto, haga clic y sitúe el puntero sobre elplano cartesiano. Junto al puntero aparecen las coordenadas del punto corres-pondiente a su ubicación; si ubica el puntero sobre la función, entonces dichos va-lores corresponden a un punto de la función. Cuando esto sucede, la gráfica dela función se oscurece o resalta.

Cada vez que se haga clic con esta herramienta, el programa señala un punto enel gráfico y sus coordenadas en la parte algebraica. Ejemplo:

En la barra de herramientas, se encuentra el botón llamado Elige y mueve. Estaherramienta permite seleccionar la gráfica de una función, tanto en la vista grá-fica como en la algebraica, y trasladarlas en el plano cartesiano situando el pun-tero sobre la función en la vista gráfica y manteniendo presionado el botón delmouse, o bien con las fechas de dirección del teclado, desplazando la funcióndonde se desee. Observe que al realizar esta acción cambia la función en la vistaalgebraica también.

Si grafica la función f (x) = 2x, la selecciona en la vista gráfica y la desplaza haciaarriba con el mouse, o bien con las flechas del teclado, la función en la vista algebraica será, por ejemplo, f (x) = 2x + 5.



Unidad 2 | 77

Unid

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La tortuga verde de mar (Chelonia mydas) es una especie en peligro de extin-ción. El primer tiempo de vida es, indudablemente, el tiempo más peligroso enla vida de las tortugas. En cambio, una tortuga adulta casi no tiene depreda-dores. Esto se puede modelar mediante una función exponencial. Por este mo-tivo, la imagen inicial es un excelente recurso visual para motivar a sus alumnosy alumnas, y además para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Actividad inicial

Para motivar el aprendizaje de esta Unidad se muestra el problema del creci-miento poblacional. La finalidad de la información es que los y las estudiantescomprendan que el estudio de la función exponencial les entregará una he-rramienta poderosa para entender diferentes fenómenos naturales y sociales.

Al explicar lo que representan las constantes P0, K y r, es importante recordarque se les llama constantes en el sentido de que adoptan un valor fijo paracada especie que se esté estudiando y para enfatizar la diferencia respecto delas variables t y P (t).

Esta es una buena oportunidad para comentar con mayor profundidad en laclase el tema de los animales extintos y en peligro de extinción, ya que uno delos objetivos transversales dentro del ámbito de crecimiento y autoafirmaciónpersonal se refiere al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. En este caso, se sugiere coordinar accionescon el o la docente de Biología para abordar este tema.

Algunos animales en peligro de extinción son:

Nacional: pudú, cóndor. Internacional: panda, ballenas.

Algunos animales que cumplen con las distintas estrategias descritas:

numerosos descendientes (conejos, peces, ranas, etc.).Pocos descendientes (elefantes, pingüinos, etc.).Estrategia intermedia (monos, leones, etc.).


En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación conlos aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad.Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarlesqué saben sobre el número e, función exponencial y logarítmica, crecimientoy decrecimiento exponencial. Con las ideas que les vayan diciendo sus estu-diantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra, esto le per-mitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus alumnos yalumnas y, a la vez, ellos podrán recordar conceptos trabajados en años ante-riores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Conversemos de...

ActividadHabilidades

que desarrollan





En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medirel nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los conte-nidos que son necesarios para comprender esta Unidad.

La evaluación diagnóstica se presenta con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: determinar el dominio y recorrido de funciones. Ítem 2: asociar los gráficos con la representación algebraica de funciones y determinar su dominio y recorrido.Ítem 3: graficar funciones. Ítem 4: resolver ecuaciones exponenciales.

Posibles dificultades en la evaluación diagnóstica

• En los ejercicios de los ítems 1 y 2 es posible que los y las estudiantes no recuerden los conceptos de dominio y recorrido de funciones; de ser así, esconveniente recordarles la definición de cada concepto, pero no el proce-dimiento para su obtención, ya que es esto lo que se quiere evaluar.

• En el ítem 1 es probable que los alumnos y alumnas no sepan qué métodoutilizar para obtener el dominio y recorrido de las funciones. En este caso,recuérdeles a sus estudiantes que pueden obtener las respuestas a travésde un procedimiento algebraico, gráfico o intuitivo, y que para escribir larespuesta se puede utilizar una representación de intervalo, por ejemplo,x � [1,+∞[.

• En el ítem 2, recuerde a sus estudiantes que el eje de las abscisas corres-ponde a la variable independiente (x) y el eje de las ordenadas al de la va-riable dependiente (y), y en caso de que el alumno o la alumna utilice unatabla de valores para determinar la gráfica de las funciones, proponga unaadecuada selección de valores, con números positivos, negativos y cercanosa cero. Si el o la estudiante solo clasifica las funciones según sus gráficas,recuérdeles que el ítem se revisará como correcto solo si están también susrepresentaciones algebraicas.

• En el ítem 3 es posible que los alumnos y alumnas no elijan en forma ade-cuada los valores para poder graficar las funciones; recuérdeles el uso deuna tabla de valores, sugiriendo la utilización de números positivos y nega-tivos y no muy lejanos al cero. Además, explíqueles que deben esbozar lasgráficas y no realizarlas en forma exacta. Es importante eso sí que la inter-sección con cada eje esté correcta, así como también la curva que describe.También es adecuado realizarlo a partir de la intuición, basándose en la cla-sificación de las funciones.

• En el ítem 4, recuerde a sus estudiantes que antes de igualar los exponen-tes, deben verificar que efectivamente las potencias tengan la misma basey que estén escritas como una sola potencia a cada lado de la igualdad.


¿Cuánto sabes?



2 Asociar y representar.

3 Representar.



Unidad 2 | 79

Unid

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ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula y representa correctamente el dominio y recorrido, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente el dominio y recorrido,identificando los con-ceptos solicitados, perotiene dificultades en larepresentación.

Calcula y representa soloel dominio o solo el recorrido de funciones,pero identifica bien el concepto calculado.

No logra calcular ni representar el dominio y recorrido de las funcio-nes, debido a que desconoce el o los conceptos solicitados.

2

Identifica correctamentelas cuatro funciones ysus respectivos dominiosy recorridos.

Identifica correctamentelas funciones, pero solologra determinar correc-tamente el dominio o el recorrido.

No identifica correcta-mente las funciones,pero determina correcta-mente el dominio y recorrido.

No logra identificar funciones ni determinarel dominio y recorrido.

3

Representa correcta-mente la gráfica de lasfunciones, independientedel método que ha utilizado.

Realiza un gráfico aproximado de las tresgráficas, pero cometeerrores en las intersec-ciones con los ejes, aun cuando el compor-tamiento que describesea correcto.


No logra gráficas correctas, ya sea porquesolo une puntos con segmentos rectos o por-que desconoce lo que sele está pidiendo.

4

Plantea y resuelve correctamente todos losejercicios aplicando lapropiedad de igualaciónde bases y exponentes.

Plantea correctamentetodas las ecuacionesaplicando las propieda-des de potencia paraigualar las bases, pero comete errores en lasecuaciones que se generan luego de aplicada la propiedad ax = ay x = y.

Resuelve correctamentelos ejercicios con núme-ros enteros, pero cometeerrores en el cambio debase de la potencia delos ejercicios que involu-cran números racionales(o fracciones).

No logra calcular ni escribir la ecuación asociada, debido a quedesconoce el algoritmo solicitado.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a susestudiantes.


Actividad inicial

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo quelos alumnos y alumnas analicen algunas de las características de la función exponencial a partir de su representación gráfica, que analicen su comporta-miento, la relacionen con la tabla de valores correspondiente y determinen,después, su representación algebraica.


Es recomendable aclararles a los y las estudiantes que, para el análisis a partirde la representación gráfica, cuando se hace mención a que x aumenta, serefiere a que los valores que se asignan a la variable independiente x son cadavez mayores y eso se traduce, en el gráfico, en un desplazamiento en el eje delas abscisas hacia la derecha. De manera similar, cuando se habla que xdisminuye, se observa un desplazamiento hacia la izquierda.

En relación con el comportamiento de las funciones, esto se refiere a cómo sedescribe la gráfica de la función para diferentes valores de x. Así, nos encon-traremos con funciones que crecen a medida que x aumenta, y con otras quedecrecen a medida que x aumenta. Estos conceptos de crecimiento y decreci-miento acompañarán a sus estudiantes a lo largo de toda la Unidad, por lo cuales conveniente que grafique en la pizarra otras funciones y analice su com-portamiento, enfatizando que una función puede crecer y luego decrecer, o vi-ceversa; en casos como este, se analiza su crecimiento por intervalos, como,por ejemplo, en la función cuadrática.

Recuérdeles a sus estudiantes que una función se indefine cuando:

• Es una fracción y su denominador se hace cero. Por ejemplo, no está

fracción es cero.

• Corresponde a una raíz de índice par y su cantidad subradical es negativa.

Por ejemplo, (tiene índice 6 y cantidad subradical –32), o bien

; en este último caso recuerde a sus estudiantes que el índice es 2 y

no se anota, ya que se encuentra implícito.


De refuerzo

1. Grafica las siguientes funciones. Luego, determina su dominio, recorrido, sies creciente o decreciente y su punto de intersección con el eje Y.

a. f (x) = 4x

b. g (x) = 0,2x

c. h (x) = 0,7x

d. k (x) = 8x

−81

−326

40


Páginas 66 a 69 Función exponencial

Actividades


desarrollan

1 Analizar y reconocer.


4 Calcular y verificar.

3, 5 y 7Evaluar, representar y aplicar.

6Evaluar, representar y analizar.

Analicemos...


Recordar, calcular, conectar y analizar.

definida. En cambio, si su numerador es cero, por ejemplo , el valor de la07


Unidad 2 | 81

Unid

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Para facilitar el aprendizaje de esta Unidad se implementa el uso de una herramienta tecnológica. El programa GeoGebra es gratuito y de libre dispo-sición para descargarlo desde Internet.

En las actividades propuestas se espera que sus alumnos y alumnas puedangraficar funciones utilizando el programa GeoGebra y analizar característicasde las funciones observando las gráficas generadas por el programa.


desarrollan

1 y 3 Usar herramientas.

2 y 4Interpretar, analizar y aplicar.


2. Determina, en cada caso, la función exponencial f (x) = ax que pasa por lossiguientes puntos.

a. (5, 100 000) c. (0,2, 0,008)b. (7, 2187) d. (–3, 0,125)

(Habilidades que desarrollan: calcular, evaluar, representar y aplicar).

De profundización


a. El dominio de una función exponencial son los números reales positivos.b. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de una función exponencial f (x) = ax,

con a � 1.c. Si a < 1, la función exponencial f (x) = ax, es decreciente.


Actividad inicial

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo quelos y las estudiantes relacionen la función exponencial con la función logarít-mica y las interpreten una como inversa de la otra. Para esto, primero se analizan sus gráficas y, luego, se propone que analicen su comportamiento yverifiquen algebraicamente que se trata de funciones inversas.


Recuerde que f –1(x) corresponde a la función inversa de f (x) si se cumpleque toda vez que f (a) = b, se tiene que f –1(b) = a, para cualquier valor a dedom f (x) y su valor b de rec f (x) correspondiente. En toda función inversa se cumple que dom f = rec f –1 y rec f = dom f –1. Perono siempre la inversa de una función es función; por ejemplo, la función cua-drática debe redefinirse solo para los números positivos para que su inversa,la función raíz cuadrada, sea función.

Páginas 72 y 73 Función exponencial y función logarítmica

Actividades


desarrollan

1 Calcular.



Analicemos...





Actividad inicial

En estas páginas se muestra una aproximación al número e a partir del análisis del interés compuesto. Puede ser conveniente descomponer los cálculos por períodos y, luego, realizar la factorización asociada para obtener las expresiones que se utilizan en el Texto.

Ejemplo:Para obtener la expresión que se presenta en el Texto se factoriza la expresióncorrespondiente a:

Capital + Interés pagado sobre Capital + Interés pagado sobre lo acumulado

En este caso, el interés es de 50% y se representa como número decimal:1 000 000 + 1 000 000 · 0,5 + (1 000 000 + 1 000 000 · 0,5) · 0,5 =1 000 000 + 1 000 000 · 0,5 + 1 000 000 · 0,5 + 1 000 000 · 0,5 · 0,5 =1 000 000 + 2 · 1 000 000 · 0,5 + 1 000 000 · 0,5 · 0,5 =1 000 000 · (1 + 2 · 0,5 + 0,5 · 0,5) =

1 000 000 ·

Si bien esto se puede calcular y obtener un número, resulta mejor factorizarlo

como un cuadrado de binomio con términos 1 y :

1 000 000 ·

De la misma manera, aplicando una factorización similar a las expresiones quecorresponden a los diferentes períodos en que se paga el interés, se puedenobtener las expresiones presentadas en el Texto.

112

2 +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 212

14

· + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

Páginas 74 y 75 Aproximándonos al número e

Actividades


desarrollan

1 Interpretar y analizar.

2 Justificar.

3 Representar e identificar.

Respecto del concepto de simetría en torno a la recta y = x, para una mayorcomprensión de sus estudiantes, lo podría explicar de la siguiente manera:

Si las coordenadas de un punto son (x, y), el punto simétrico respecto de larecta y = x tiene coordenadas (y, x). Pero si (x, y) pertenece a una función, pordefinición (y, x) pertenece a la función inversa; luego, las gráficas de la función y su función inversa se reflejan en relación con la recta y = x tal comosi fuera un espejo, por lo que se dice que ambas son simétricas respecto de larecta y = x.


De refuerzo

1. Dadas las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas, represéntalasen un mismo sistema de coordenadas. Luego, determina en cada caso sudominio, recorrido, intersección con los ejes de coordenadas, y si son crecientes o decrecientes. ¿Qué se observa en sus gráficas?

a. f (x) = 5x y g (x) = log5 x b. f (x) = y g (x) = log x


14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

14

Analicemos...


Aplicar, calcular y analizar.


Unidad 2 | 83

Unid

ad 2El número e surge de la expresión cuando a x se le asignan valores

muy grandes, es decir, a medida que se remplazan valores mayores en x, sepuede obtener una aproximación más precisa del número e.

En términos matemáticos, e es el límite que alcanza dicha expresión cuando x

tiende al infinito y su notación es: lim = e. x �

Para determinar los puntos de intersección y realizar los gráficos, es posi-ble que sus estudiantes necesiten de calculadora para encontrar los valoresde algunas expresiones, en caso de que no dispongan de calculadoras enla clase, entonces proponga el valor aproximado de e � 2,71 para que re-alicen sus cálculos.


De profundización


a. El recorrido de una función exponencial son los números reales.b. El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función exponencial f (x) = ex.c. La función exponencial f (x) = ex, es creciente.


11

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

x

11

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

x

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los y las es-tudiantes organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos tra-bajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos alumnos y las alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad.



1. ¿Cuál es la representación algebraica de una función exponencial?, ¿cuálesson sus características?

2. ¿Una función logarítmica es creciente o decreciente?, ¿por qué?3. ¿Por qué la función exponencial natural no interseca al eje X? Justifica.4. ¿Qué características de la función f (x) = ax cambian según el valor

de a? Explica.


desarrolla

Mapa conceptual




En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a sus estu-diantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir,pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tablacon los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puederecurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítemcorresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: determinar dominio, recorrido y punto de intersección con los ejes de funciones.Ítem 2: calcular la función inversa de una función dada.Ítem 3: determinar la función exponencial f (x) = ax correspondiente a partirde un punto de su gráfica.Ítem 4: clasificar funciones, según si son crecientes o decrecientes; y determinarsu dominio y recorrido.Ítem 5: analizar una función a partir de su expresión algebraica.


• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no comprendan com-pletamente los conceptos que se solicitan, y que presenten dificultades; re-cuérdeles que el dominio y el recorrido lo deben representar como unconjunto numérico o subconjunto, como por ejemplo IR o IR+, o bien como unintervalo de la forma [2, +�[ y que el punto de intersección con cada eje se re-presenta como un par ordenado (x, y), no como solo uno de estos valores.

• En el ítem 2, es posible que los y las estudiantes no recuerden qué significaln, indíqueles que corresponde al logaritmo natural, es decir, al logaritmocon base e. Por otra parte, si no recuerdan cómo calcular la función inversa,coménteles que la idea es escribir la variable independiente en términos dela variable dependiente para determinar la representación algebraica de lafunción inversa.

• En el ítem 3, enfatice a sus alumnos y alumnas que la función que pasa porlos puntos indicados es exponencial, de la forma f (x) = ax. Es decir, debendeterminar el valor de a en cada caso.

• En el ítem 4, recuerde a sus estudiantes que las características de la funciónexponencial depende del valor de la base a. Luego, pueden decidir si la función es creciente o decreciente sin graficarla.

• En el ítem 5, enfatice a los alumnos y alumnas que para justificar que unaafirmación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para jus-tificar que es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir,con una demostración.



evalúan


2 Calcular.

3 Formular y representar.

4 Clasificar y representar.

5 Verificar.



Mi progreso


Unidad 2 | 85

Unid

ad 2

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula y representa correctamente dominio,recorrido y punto de intersección en los ejes,independiente del método utilizado.

Calcula correctamente eldominio, recorrido y elpunto de intersección enlos ejes, conoce los con-ceptos que se solicitan,pero tiene dificultades enla representación.

Calcula y representa correctamente solo dosde los tres elementos solicitados, debido a que desconoce dicho concepto.

Calcula y representa correctamente uno oninguno de los tres elementos solicitados,debido a que desconocelos conceptos.

2

Calcula correctamentelas funciones inversas,independiente del método utilizado.

Calcula correctamentetodas las funciones inversas, pero no mues-tra un método que le permita responder correctamente.

Calcula correctamente alo menos la inversa deuna función exponencialy de una función logarítmica.

Logra calcular correcta-mente la inversa de nomás que una función exponencial o logarít-mica, debido a que desconoce los conceptoso el procedimiento.

3

Formula y grafica correctamente las funciones.

Formula correctamentetodas las funciones, aunque algunos de losgráficos presenten errores en la interseccióncon los ejes. Describe correctamente si las funciones son crecienteso decrecientes.

Formula y grafica correc-tamente a lo menos unade las funciones, debidoa que desconoce lo querepresenta el número eo se confunde por lossignos que aparecen en los puntos.

No logra formular ni graficar correctamentelas funciones, o bien las que ha graficado corresponden a funciones formuladas incorrectamente.

4

Clasifica las funciones yrepresenta el dominio yrecorrido correctamente,identificando los parámetros de a en la función de la forma f (x) = ax.

Clasifica las funciones yrepresenta el dominio yrecorrido correctamente,sin importar el métodoque utilice.

Clasifica correctamentetodas las funciones, perocomete errores en el cálculo del dominio y/o recorrido.

Comete errores en la clasificación de las funciones aun cuandodetermine el dominio y recorrido.

5

Identifica la alternativacorrecta, asociando laexpresión a la función dela forma f (x) = ax y utiliza las definicionespara funciones de esta forma.

Identifica correctamentela alternativa, utilizandoalgún método matemá-tico adecuado.

Identifica correctamentela alternativa, pero noexplicita el método que utilizó.

No identifica la alternativa correcta.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en laUnidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa ysegún los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.



1. Completa los siguientes ítems utilizando las funciones

f (x) = 3 x + 1 y g (x) = :

a. Calcula f (3); f (0); f (–1); f (–2); g (–1); g (0) y g (–2).b. Utilizando los valores encontrados en el ítem ante-

rior, grafica ambas funciones en un plano cartesiano.c. ¿Cuál es el dominio y recorrido de f (x) y g (x)?d. Determina si las funciones son crecientes

o decrecientes.

2. Determina la función inversa de las siguientes funciones.

a. f (x) = 2x

b. g (x) = 10x

c. h (x) = ex + 2

d. f (x) = e2x – 3

e. g (x) = 4 – 5x

f. h (x) =

g. f (x) = 10x + 2

h. g (x) = ex – 3

i. h (x) =

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas falsas.

a. El dominio de la función y = 2x – 1 es el conjunto de los números reales.

b. Una función exponencial es siempre creciente.c. Las gráficas de todas las funciones exponenciales

pasan por el punto (1, 0).d. El punto (0, 0) pertenece a todas las funciones

exponenciales.e. El gráfico de una función exponencial es simétrico

respecto del eje Y.


1. Las siguientes proposiciones son falsas. Modifícalas paraque sean verdaderas.

a. La función exponencial es una función de la formay = xa.

b. La función f (x) = a2x – 3 no es una función expo-nencial.

c. La función inversa de la función exponencial es lafunción lineal.

d. La función y = 2x no es creciente.e. La función a–x es creciente para todo valor de a.f. El dominio de la función exponencial está formado

por los reales positivos.g. La función f (x) = ax se sitúa por debajo del eje X.

2. Utilizando el programa GeoGebra, en cada caso, rem-plaza el valor de k con los valores –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,y un valor fijo a la constante a, distinto de 1, y graficacada función. Luego, responde las preguntas.

a. Para la función de la forma f (x) = k + ax.

i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero?, ¿por qué crees que ocurre esto?

ii. ¿Qué pasa cuando la constante adopta valores menores que cero?

b. Para la función de la forma f (x) = ax + k.


ii. ¿Qué pasa cuando la constante adopta valores menores que cero?

c. Para la función de la forma f (x) = ak · x.


ii. ¿Qué pasa cuando la función adopta valores menores que cero?

15

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

15

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– x

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–x




Actividad inicial

La actividad propuesta en el Texto tiene por objetivo introducir a los alumnosy alumnas en las ecuaciones exponenciales que no pueden resolverse mediantela igualación de las bases de las potencias correspondientes, contenido quehan visto en años anteriores.

Enfatice a sus estudiantes que sean rigurosos al aplicar logaritmos. Antesdeben verificar que todas las expresiones a las cuales les aplican logaritmosdeben ser positivas, por definición y, después de resolver la ecuación, verificarlas soluciones obtenidas.


De refuerzo

1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a. 2x + 2 + 2x + 3 = 36 d. 25x = 0,25

b. 3x + 2 – 3x – 1 = 156 e. 5x2: 52x= 125

c. 2x · 42x – 1 = 84 – 2x

(Habilidad que desarrolla: aplicar).

Páginas 78 y 79 Ecuaciones exponenciales

Actividad inicial

En el Texto, para ilustrar este tipo de ecuaciones se describe la ley de enfriamiento de Newton, que relaciona el tiempo transcurrido y el cambio detemperatura que se produce en un objeto según la temperatura del medioque lo rodea. A continuación, se explicita la solución de la ecuación.Observe que:

ln = ln (e–1,5k)

–0,405465 = –1,5k

k = = 0,27031


En el primer ejemplo se presenta la aplicación del cambio de variable, queconsiste en asignar una nueva incógnita a la ecuación, en este caso, para obtener una ecuación cuadrática. Luego, se deben resolver las ecuacionescorrespondientes con la incógnita original. Enfatice a sus estudiantes quesiempre deben remplazar las soluciones en la ecuación exponencial, paradescartar soluciones extrañas.

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–0,405465–1,5

Páginas 80 y 81 Ecuaciones exponenciales con base e

Unid

ad 2

Unidad 2 | 87

Analicemos...


Conjeturar o predecir, calcular y analizar.

Analicemos...



Actividades

ÍtemsHabilidad que

desarrollan

1 y 2 Aplicar.


Al intentar resolver los problemas, los alumnos y las alumnas necesitaránutilizar una calculadora científica para poder determinar algunos valores. Esconveniente que les solicite previamente la calculadora como material ne-cesario para dicha clase, o bien publique en la pizarra los valores asociadosa los problemas.

Actividad inicial

El objetivo de estas páginas es introducir a los y las estudiantes en algunas delas aplicaciones de la función exponencial, como por ejemplo, el modelamientodel crecimiento poblacional.

Indicaciones sobre el contenido

Al intentar resolver los problemas, los alumnos y las alumnas necesitaránutilizar una calculadora científica para poder determinar algunos valores. Esconveniente que el o la docente solicite previamente la calculadora comomaterial necesario para dicha clase, o bien que publique en la pizarra los va-lores asociados a los problemas.


De refuerzo

1. La población de un país, en millones de personas, está dada por la función:

P (t) = 8 · , donde t se mide en años. ¿Cuánto tiempo transcurrirá

para que la población de este país se triplique?


54

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t


Páginas 82 y 83 Crecimiento exponencial

Otro ejemplo para ilustrar el cambio de variables es:

e6x – 2e3x = –1(e3x)2 – 2(e3x) + 1 = 0 se define u = e3x

u2 – 2u + 1 = 0(u – 1)2 = 0

u = 1 se remplaza u = e3x

e3x = 1 se aplica ln3x = 0x = 0

Actividades


desarrollan

1 Aplicar.


Actividades


desarrollan

1, 2 y 3Aplicar, calcular y analizar.

Analicemos...


Calcular, analizar y representar.

Páginas 84 y 85 Decrecimiento exponencial

Analicemos...





De refuerzo

1. Si la cantidad inicial del isótopo del polonio es de 100 mg. La cantidad restante a los t días es A(t) = 100 · e–0,00495t. ¿Cuántos días transcurrieronsi la cantidad del isótopo del polonio es de 67,3 mg?


Unidad 2 | 89

Unid

ad 2

Actividad inicial

Para comprender el problema de aplicación planteado, recuérdeles a sus es-tudiantes que se entiende por interés compuesto la ganancia que se obtienede un cierto capital inicial de dinero luego de transcurrido un período, y luegode dicho período la ganancia se añade al capital inicial, es decir, no se retira.

En esta actividad se aplican los diversos métodos de resolución de ecuacio-nes exponenciales para resolver problemas de crecimiento y decrecimien-to exponencial.


De refuerzo

1. Una persona invierte $ 2 500 000, a una tasa de interés compuesto del7% anual.

a. ¿Cuál es el monto final del capital después de 5 años?b. ¿Después de cuánto tiempo duplicará su capital?


Páginas 86 y 87 Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales

Actividades


desarrollan

1, 2 y 3Aplicar, calcular y representar.

Actividades


desarrollan

1, 2, 3 y 4

Recordar, aplicar y calcular.

5, 6 y 7 Aplicar y resolver.

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los y lasestudiantes organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos alumnos y las alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus es-tudiantes en la Unidad.



desarrolla

Mapa conceptual


Analicemos...


Conjeturar o predecir, analizar y evaluar.



En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirán a sus es-tudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; esdecir, puede ser utilizado como una evaluación formativa. Se adjunta unatabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las quepuede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el úl-timo ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingueporque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: resolver ecuaciones exponenciales.Ítems 2, 3 y 4: resolver problemas de planteamiento que involucren ecuacio-nes exponenciales.

Posibles dificultades en la evaluación

Es posible que sus alumnos y alumnas no comprendan los problemas de losítems 2, 3 y 4; se sugiere que lea a lo menos uno de los problemas con sus estudiantes, recordándoles los problemas vistos en las páginas anteriores.

Para resolver la mayoría de los problemas, los alumnos y alumnas necesitaránde una calculadora científica que les permita llegar a los valores aproximadosde las soluciones; en caso de no tener acceso a ellos, se sugiere que escribanla expresión que les permite obtener el resultado lo más simplificada posible,y eso se considerará como correcto.



evalúan

1 Calcular.


Mi progreso


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes:

1. Sin graficar, ¿cómo se reconoce si una función exponencial representa unasituación de crecimiento o de decrecimiento exponencial?

2. En general, ¿cómo se resuelve un problema cuya situación está modelada poruna función exponencial?, ¿en qué casos no tendría solución?, ¿por qué?


Unidad 2 | 91

Unid

ad 2

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Resuelve correctamentetodas las ecuaciones exponenciales, utilizandolos métodos vistos en la Unidad.

Resuelve correctamentetodas las ecuaciones exponenciales, pero entrega la solución comouna expresión con loga-ritmos y no los calcula oreduce lo más posible,aplicando propiedades.

Resuelve correctamente alo menos tres de las ecua-ciones exponenciales.

Resuelve correctamentedos o menos de las ecua-ciones exponenciales.

2 y 3

Responde correctamentetodas las preguntas quese formulan en cada problema, planteandolas ecuaciones y resol-viéndolas correctamente.

Plantea y resuelve correctamente todas las ecuaciones que lepermiten dar respuesta a cada una de las preguntas, pero necesitaorientación para com-prender el problema yelaborar las respuestas.

Plantea correctamentetodas las ecuaciones queresuelven los problemas,pero comete errores almenos en una de ellas aldespejar la incógnita,obteniendo un valor incorrecto. Aun así, formula una respuestapara responder a las preguntas.

Comete errores en elplanteamiento en almenos una de las ecua-ciones que resuelve el problema.

4

Marca la alternativa en forma correcta explicitando el método utilizado.

Marca la alternativa enforma correcta, pero noexplicita el método utilizado.

Omite la pregunta peroplantea y resuelve unaecuación que le permitiríaresolver el problema llegando a una respuestaequivalente a la correcta,pero no logra asociarlacon la respuesta correcta.







1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases de las expresiones que aparecen acada lado de la igualdad.

a. 625x + 3 = 1253 – x

b. 52x – 1 =

d. 0,0001 = 10x + 3

e. =

2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales aplicando logaritmos.

a. 2 = 52 – x

b. 3x + 1 = 6

c. 12 = 2x + 2

d. 5 = 10x

e. 2 = e2x + 3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a. e2x – 5ex + 6 = 0b. e2x – 10ex + 16 = 0c. e10x = 6e5x +16d. 32x + 6 · 3x = 27e. 52x + 1 + 52x + 2 + 30 = 0

4. La siguiente expresión P (t) = P0 · e rt modela el crecimiento de una población determinada especie de animales, donde P0 es la población inicial, r la tasade crecimiento y t el tiempo en años.

a. Si la población inicial de la especie es de 300 indi-viduos, y después de tres años esta se cuadruplica,determina la tasa de crecimiento.

b. Si la tasa de crecimiento es de 1,9, determina cuán-tos individuos de dicha especie habrá luego desiete años.

c. Si en otra región con similares características la tasaes de 1,7, y trascurridos seis años la población as-ciende a cuatro millones de individuos, ¿cuál es lapoblación inicial en este caso utilizando el mismomodelo de crecimiento?


Uso de la calculadora

Una función exponencial especialmente importante es y = ex, donde la base es el número e � 2,71828182…Debido a su importancia, muchas calculadoras científicastienen la tecla ex, que nos permite calcular el valor direc-tamente (en lugar de utilizar la tecla yx) para cualquier número real x. En algunas calculadoras ex se calcula utilizando las teclas INV y ln. Esto se debe a que ln es lafunción inversa de ex. Y en otras calculadoras se debe presionar primero la tecla SHIFT y luego ex.

Ejemplo:

Calculemos e3.1º Presiona la tecla SHIFT.2º Presiona la tecla ex.3º Escribe el número que indica el exponente (3).4º Presiona la tecla =.

(Nota: en algunas calculadoras primero se realiza el paso3, y luego el 1 y 2).

Respuesta: el resultado aproximado de e3 es 20,0855…

Comentario

El uso de la calculadora puede ser de gran ayuda para respaldar los valores aproximados que entrega la gráficade la función.

Ejemplos:

1. Grafica la función f (x) = e4x. Luego calcula f (1), f (3)y f (–2).

2. Grafica la función f (x) = ex2. Luego calcula f (0), f (–1)

y f (1).

8116

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– x49

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

15

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


c. 32x + 3 = 12

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x


El ejercicio que se propone es un problema asociado con la ley de enfriamiento

de Newton, expresada por , donde T0 es la temperatura

del ambiente, Δ es la diferencia entre el estado inicial y la del ambiente T0, k

una constante mayor que cero y t el tiempo transcurrido.

La resolución del problema corresponde a una ecuación exponencial. Su solu-ción está descrita paso a paso, se explica la sustitución de las constantes T0,Δ y las variables t y T (t), y se enfatiza que para encontrar el valor de la incógnita k se aplica logaritmo natural.

Para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de problemas,puede utilizar la rúbrica presentada en la página 61 de esta Guía.

T t T e kt( ) = + Δ ⋅ −0

Unidad 2 | 93


Unid

ad 2

Actividades


desarrollan


2 y 3Resolver problemas, conjeturar y comparar.


desarrollan

1 Comparar y concluir.

2 Conectar.

3 Seleccionar.

4 Interpretar.

5 y 6 Analizar y evaluar.

El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversalesdel ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.

Los y las estudiantes reflexionarán sobre el medioambiente y las consecuenciasque han tenido los avances tecnológicos con el aumento de la contaminación.Para esto se sugiere coordinar acciones con el profesor o la profesora de Biología para abordar este tema. Además, resultaría importante que los alumnos y las alumnas expusieran los resultados obtenidos de esta investigación dentro de su establecimiento, para promover la conciencia medioambiental en su comunidad escolar.

Investiguemos…

En este trabajo deben organizarse en grupos de tres a cuatro personas y realizar un informe que contenga todas las conclusiones y respuestas a cadauna de las preguntas originadas en dicha actividad. El trabajo debe ser expuesto e incluir una propuesta de cómo disminuir la basura electrónica.

En las actividades propuestas los y las estudiantes deberán comparar estima-ciones realizadas y sacar conclusiones, comparar proyecciones de crecimientode población con cantidad de celulares, recopilar información por medio deuna encuesta escolar, inferir la cantidad de basura que se genera dentro de suentorno, con la información recopilada y analizar situaciones a partir de su experiencia.


Actividades


desarrollan

1 y 2 Representar y asociar.

3 Aplicar.

4 Analizar.

Investiguemos...




Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pí-dales que se los intercambien, de modo que cada uno revise y compare conel mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles que en unmapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independientey que son las palabras enlace las que indican las relaciones que hay entrelos conceptos.


En estas páginas se propone una evaluación que integra todos los contenidosvistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro.


• Recuerde a sus estudiantes que deben analizar las afirmaciones del ítem I apartir de las definiciones y no necesariamente deben realizar los gráficospara fundamentar sus respuestas.

• En el ítem II, es posible que los y las estudiantes tengan dificultades paracomprender los enunciados y extraer los datos necesarios para resolver elproblema. Sugiérales que subrayen la información más relevante de cada problema.

• Para resolver la mayoría de los ejercicios del ítem II, se recomienda que losalumnos y alumnas utilicen calculadoras científicas; en caso de no disponerde ellas, explíqueles que deben escribir la expresión correspondiente a lasolución lo más reducida posible, aplicando las propiedades de logaritmoy potencia que conocen.


ActividadHabilidad que

desarrolla

Mapa conceptual



I1, 4 y 5 Analizar.

2, 3, 6 y 7 Verificar.

II 1, 2, 3 y 4 Aplicar y calcular.

III

1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14

Calcular.

4, 5, 15 Aplicar y calcular y analizar.

6 y 11 Analizar.


Unidad 2 | 95

Unid

ad 2

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

I



Determina correctamenteel valor de verdad de al menos seis de las afirmaciones.

Determina correctamenteel valor de verdad decinco afirmaciones o menos.

II

Responde correctamentetodas las preguntas quese formulan en cada problema, planteandolas ecuaciones y resol-viéndolas correctamente.

Plantea y resuelve correctamente todas lasecuaciones que le permi-ten dar respuesta a cadauna de las preguntas,pero necesita orientaciónpara comprender el problema y elaborar las respuestas.

Plantea correctamentetodas las ecuaciones queresuelven los problemas,pero comete errores almenos en una de ellas al despejar la incógnita,obteniendo un valor incorrecto. Aun así, formula una respuestapara responderlas preguntas.

Comete errores en elplanteamiento en a lomenos una de las ecua-ciones que resuelve el problema.

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación sumativa.

Para el ítem III, considere:Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (15 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 11 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 10 preguntas.Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitiránreforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podráplantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de losresultados que obtengan en la evaluación sumativa y según los ritmos deaprendizaje de cada uno de sus estudiantes.




1. Un científico dispone de un cultivo de 1000 gusanos quese dividen en dos cada 20 minutos. ¿En cuánto tiempotendrá 150 000 gusanos?

A. minutos

B. minutos

C. minutos

D. minutos

E. minutos

2. Un cultivo de “bacterias asesinas” se inicia con 105 unida-des, duplicándose cada 50 minutos. ¿Cuál es la fórmuladel crecimiento en un tiempo t?

A. N(t) = 105 · 20,02t

B. N(t) = 105 · 2–0,02t

C. N(t) = 10–5 · 20,02t

D. N(t) = 10–5 · 2–0,02t


3. Ciertas bacterias triplican su población por hora duranteel día y se reducen a la mitad en cada hora de la noche.Si a las 19 horas había 64 bacterias en un frasco y seoscureció a las 21 horas, ¿cuántas bacterias había a la1 a.m. del día siguiente?

A. 72B. 36C. 18D. 9E. Entre 4 y 5.

4. Una población de mosquitos del Amazonas crece según

la función f (t) = donde t es el

número de días. ¿Cuántos mosquitos hay al inicio y

cuántos después de un tiempo muy prolongado?

A. 600 000 e infinitos, respectivamente.B. 1000 y 600 000, respectivamente.C. 600 y 600 000, respectivamente.D. 1000 e indeterminado, respectivamente.E. 600 y 1000, respectivamente.

5. ¿Cuándo alcanzará cierto país una población de 20 millo-nes de personas si en 1990 se propuso el modelo N(t) = 5,1 e0,02t? (Donde N(t ) representa los millonesde habitantes luego de t años).

A. En el año 2058.B. En 58 años a partir de 1990.C. En el año 2050.D. En el año 2018.E. No se puede determinar.

6. Una sustancia radiactiva se desintegra en un tiempo tmedido en horas, de acuerdo con la función f (t) = A · 10–0,024t.

Si f (t) = A, entonces t es:

A. 2,5 hB. 12,5 hC. 35,7 hD. 132,5 hE. 9,8 h

7. Una persona deposita en una institución financiera $ 250 000 al 12% anual de interés. ¿En qué tiempo su capital ascenderá a $ 300 000?

A. Luego de 12 meses.B. Luego de 19 meses.C. Luego de 24 meses.D. Luego de 36 meses.

12

600 000

1 + 599 · e–0,022t

log 220 log 150

20 log 2log 150

log 2log 150

log 15020 log 2

20 log 150log 2



Unidad 2 | 97

Unid

ad 2

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar yque le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la Uni-dad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de re-forzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad porsus estudiantes.


Indique a sus alumnos que no es necesario el uso de calculadora, debido aque las soluciones de los ejercicios relacionados con cálculo de logaritmos y potencias están representadas como expresiones equivalentes al resultado y nocomo valores numéricos.


Considere:Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (13 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 7 preguntas.Por lograr: Si contesta correctamente 5 preguntas o menos.


• En las preguntas 1, 2, 3 y 6 es importante que recuerde a sus alumnos yalumnas que deben utilizar y analizar la definición de las funciones expo-nenciales de la forma f (x) = ax para responderlas, y no necesariamentegraficarlas; si bien sería un procedimiento correcto, es mucho mas largo, loque les podría hacer perder tiempo.

• En las preguntas 7, 9 y 11 es posible que sus alumnos y alumnas obtenganun resultado equivalente al de la alternativa correcta y no logren marcarlas,porque no aplican las propiedades de potencia y logaritmo; sugiérales quelas apliquen para hallar la respuesta correcta.

Evaluación final


1, 2, 4y 7

Identificar, reconocer y analizar.


3, 5, 6, 8,9, 10 y 11

Calcular. 2 puntos cada una 14 puntos

12 y 13 Aplicar, calcular y analizar. 2 puntos cada una 4 puntos




1. La siguiente gráfica corresponde a la función:

A. f (x) = 4 · 3x

B. f (x) = · 3x

C. f (x) = 3 · 4x

D. f (x) = 2 · 4x


2. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es falsa enrelación con la función f (x) = loga x?

I. Si a es mayor que uno, entonces la función escreciente.

II. La función es siempre decreciente para todovalor de a.

III. f (1) = 0

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIIE. II y III

3. El valor de x en la siguiente ecuación exponencial2 = 10 x +1 es:

A. 1B. log 2C. log 2 + 1D. log 0,2E. log 2 – 1

4. ¿Cuál de las siguientes funciones es siempre creciente?

I. f (x) =

III. f (x) = 4x + 1

IV. f (x) =

A. Solo IIIB. Solo IVC. I, II y IIID. III y IVE. II, III y IV

5. ¿Cuál de las siguientes funciones modela de mejormanera los valores de la tabla?

A. f (x) = x + 1

B. f (x) = 1 –

C. f (x) = 2x

D. f (x) = 2–x

E. f (x) =

6. La función B (t) = 1000 · e0,5 · t modela el númerode bacterias en un cultivo, donde t se mide enhoras. ¿Cuál es el valor de y en la siguiente tablade valores?

A. y = 0,2718…B. y = 2,7182…C. y = 27,182…D. y = 271,82…E. y = 2718,2…

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–x

11

100 +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

1

2

x2

Evaluación final

x 0 1 2 3 4

y 1 0,5 0,25 0,12 0,06

t 0 1 2

B (t) 1000 1648,7... y


II. f (x) = 2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–x


Unidad 2 | 99

Unid

ad 2

7. Para la función exponencial de la forma f (x) = t + ax.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

I. Si a = 3, t = 5, entonces f (0) = 6II. Si 0 < a < 1 y t > 1, entonces la función es

creciente.III. Si a = 2 y t = 3, entonces f (k) = 4 si k = 0

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y IIIE. I y III

8. La solución de la ecuación 4x – 2x + 1 = –1 es:

A.

B. –

C. –1

D. 1

E. 0

9. La solución de la ecuación exponencial 3x + 1 = 2 es:

A.

B.

C.

D.

E. log 2

10. La función exponencial y = f (x) = bx, con b � IR+

y b � 1, satisface la ecuación f (2) = 64. En talcaso, el valor de b es:

A. –8B. –6C. 2D. 6E. 8

11. Si f (x) = log2 x, entonces f (16) – f (8) =

A. 7B. log2 24C. 1D. log2 8E. Ninguna de las anteriores.

12. Juan deposita 50 000 pesos en su cuenta de ahorro.El banco le ofrece 0,3% de interés mensual encaso de que no retire el dinero por seis meses.¿Cuánto es el monto final que obtiene Juan?

A. 50 000 + (1+ 0,3)6

B. 50 000 + (1,03)6

C. 50 000 + (1,003)6

D. 50 000 · 1,036

E. 50 000 · 1,0036

13. Una población de bacterias se duplica cadamedia hora. Si al mediodía la población era de64 millones, ¿cuál es la expresión que permitecalcular cuántas bacterias habrá a las cinco de la tarde?

A. P (5) = 645

B. P (10) = 6410

C. P (5) = 64 · 25

D. P (10) = 64 · 210

E. P (10) = 64 · 10

log 2 – log 3

log 3

log 2 + log 3

log 3

log 3 – log 2

log 3

log 3

log 2 – log 3

1

2

1

2



Vectores3Propósito de la Unidad

Esta Unidad tiene por objetivo enriquecer el contexto geométrico que los alumnos y alum-nas manejan hasta este nivel, incorporando conceptos y herramientas que representan elplano y el espacio a través del modelo vectorial, que sustenta notables avances en la Física yla Matemática.

Uno de los fines de la Unidad es que los y las jóvenes desarrollen la capacidad de repre-sentar vectores en el plano y en el espacio, y de manejar su operatoria básica, para, luego,representar rectas en el plano y en el espacio, así como planos contenidos en el espacio.También, se enfatiza en las relaciones entre las ecuaciones cartesianas y vectoriales de rec-tas y planos.

Por otra parte, las ecuaciones vectoriales de rectas y planos permiten representar claramenteconceptos como traslación y homotecia de figuras planas.


Vectores

Rectas en el espacio

Gráfico de rectas y de planos

Planos en el espacio

MóduloEcuaciones cartesianas

Posiciones relativas

Traslación

Composición

Homotecia Por un escalar

Cruz

Punto

Coordenadas cartesianas

Intersección Transformacionesgeométricas

Regla del paralelogramo

Producto

Ecuaciónvectorial

Sistemas deecuaciones

Operatoria


Unidad 3 | 101

Relació

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• Dos puntos cualesquiera A y B determinan un vector fijo en el plano o en el es-pacio que se representa como AB

→, en el que A es el origen y B es el extremo.

La distancia entre A y B (que es la longitud del segmento AB) se llama móduloo magnitud del vector y la dirección de la recta que pasa por A y B es la direc-ción del vector, mientras que el sentido de AB

→es el que va del origen al ex-

tremo del vector. Así, el vector BA→

, tiene el mismo módulo y dirección que AB,pero sentido contrario.

• Para obtener los componentes de AB→

, dados dos puntos A(a1, a

2) y B(b

1, b

2),

se puede calcular AB→

= �b1

– a1, b

2– a

2�.

• Para cada valor del parámetro λ, se obtiene un punto P(x, y) de la recta Len el plano. Y cualquier punto de la recta se puede escribir como P(x

0+ λv

1, y

0+ λv

2).

• Para saber si un punto cualquiera pertenece a una recta, basta con remplazarsus coordenadas en la ecuación vectorial y comprobar si la verifica, esto es, determinar si existe un mismo valor de λ de modo que se cumpla la igualdad,en todas las coordenadas.

• Dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas sus puntos o vérticescorrespondientes, estas rectas concurren en un único punto, que correspondeal centro de homotecia.

• La representación gráfica de la solución de un sistema de tres incógnitas corresponde a la intersección, si existe, de los corres-pondientes tres planos en el espacio.

• Sistema compatible: los tres planos se intersecan en unpunto. El sistema tiene solución única.

• Sistema compatible indeterminado: los tres planos se in-tersecan en una recta. El sistema tiene infinitas soluciones.(Al igual que en el caso de tres planos coincidentes).

• Sistema incompatible: los tres planos se intersecande a dos, por lo que no existen puntos comunes alos tres planos. El sistema no tiene solución.

Unidad 3 | 103

Unid

ad 3



Conversemos de...


que desarrollan



La fuerza y el desplazamiento, por su característica vectorial, permiten com-prender de mejor manera el concepto de vector, su diferencia con magnitu-des escalares y, en particular, su operatoria. De esta manera, se puede ilustrarclaramente el comportamiento de los vectores al sumarlos, restarlos, y pon-derarlos por un escalar.


En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación conlos aprendizajes que se espera que sus estudiantes logren en esta Unidad. Sesugiere que los comente con ellos y, luego, puede preguntarles qué sabensobre vectores. Con sus respuestas, puede hacer un esquema o mapa semán-tico en la pizarra; esto le permitirá obtener información acerca de las conduc-tas de entrada de sus alumnos y alumnas, y a la vez ellos podrán recordarconceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los apren-dizajes de la Unidad.

Actividad inicial

Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en elTexto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestranen el Texto y complementarla con preguntas como las siguientes:

• ¿La fuerza que actúa sobre el martillo corresponde a una magnitud vectorial?, ¿por qué?

• ¿Cuándo una magnitud es vectorial?, ¿cuándo no? Explica.• ¿Cómo se pueden sumar dos o más fuerzas que se aplican sobre un mismo

cuerpo, como el martillo, en este caso?• ¿El resultado de la suma de dos fuerzas no nulas puede ser cero?, ¿por qué?


Unidad 3 | 105

Unid

ad 3

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: recordar definiciones. Ítem 2: verificar si los puntos son vértices de un paralelogramo.Ítem 3: determinar un cuadrado cuyos vértices estén todos en distintos cuadrantes. Ítem 4: graficar ecuaciones de la recta.Ítem 5: justificar la falsedad de las proposiciones. Ítem 6: resolver sistemas de ecuaciones lineales.


• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas confundan los cua-drantes; recuérdeles que se numeran a partir del eje X, y en orden contra-rio a las manecillas del reloj.

• Para trabajar el ítem 2, relacionado con rectas paralelas, recuerde a los alum-nos y alumnas que la figura es solo de referencia, ellos deben justificar queABCD es un paralelogramo mostrando analíticamente que los lados correspondientes son paralelos, esto es, calculando su pendiente en cadacaso para, luego, mostrar cuáles son iguales.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes no consideren la condiciónde que cada vértice esté en un cuadrante distinto; de ser así, puede recor-darles la definición de cuadrante, pero no un ejemplo de lo pedido, ya quees esto lo que se quiere evaluar.

• En el ítem 4, relacionado con la gráfica de ecuaciones lineales, la dificultadse podría presentar en que desconozcan el procedimiento para determinardos puntos que pertenezcan a una recta, dada su ecuación. Puede indicar-les que se puede remplazar valores en x y, luego, calcular los correspon-dientes valores para y. Luego, si tienen dos puntos de una recta, se puedetrazar la línea que la representa.

• En el ítem 5, enfatice que un contraejemplo es un ejemplo que satisfacelas condiciones requeridas, pero no cumple con la conclusión contenida enla proposición. Por lo tanto, no todo ejemplo sirve como contraejemplo, yaque puede ocurrir que en algunos casos sí se cumpla la proposición. Lo queinteresa es buscar cuándo no se cumple, para mostrar que dicha proposición es falsa.

• En el ítem 6, sus estudiantes podrían tener dificultades tanto para resolverlos sistemas de ecuaciones, como para analizar sus soluciones. En el primercaso, recuérdeles alguno de los métodos de resolución, pero con un sistema distinto, de modo que ellos lo repliquen en las actividades sugeridas. En el caso que no comprendan la instrucción, enfatice que un sistema de ecuaciones puede tener ninguna, infinitas o una única solución,y esto es lo que deben analizar.


¿Cuánto sabes?


1 Recordar.

2Interpretar, recordar y calcular.

3Interpretar y representar.

4Interpretar, representary calcular.

5 Justificar.

6Interpretar, calcular y conectar.



ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Completa correctamentelas tres oraciones.

Completa las tres ora-ciones con a lo más un error.

Ubica correctamente elpunto indicado, peroconfunde o no sabe loscuadrantes pedidos.

No responde o lo hacede manera incorrecta ono comprende lo que sele está pidiendo.

2

Determina los valores delas pendiente en todoslos casos y justifica analí-ticamente que los ladosson paralelos.

Determina los valores delas pendiente en todoslos casos, pero no justi-fica analíticamente si loslados son paralelos.

Decide si son paralelos o no, sin justi-ficarlo analíticamente.

No logra determinar losvalores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

3

Determina correctamentelos vértices pedidos, explicando cómo los escogió.

Determina correctamentelos vértices pedidos,pero no explica cómolos escogió.

Comete algún error, demodo que dos o másvértices se encuentranen un mismo cuadrante.

No logra determinar losvértices, o bien no com-prende lo que se le está pidiendo.

4

Representa correcta-mente la gráfica de lasecuaciones, indepen-diente del método que ha utilizado.

Realiza una representa-ción aproximada de lasgráficas, pero cometeerrores en las intersec-ciones con los ejes, auncuando el comporta-miento que describe sea correcto.


No logra gráficas correc-tas, ya sea porque soloune puntos con segmen-tos rectos o porque nocomprende lo que se leestá pidiendo.

5

Determina correctamentetodos los contraejemplos.

Determina correctamentedos de los contraejemplospedidos.

Determina algunosejemplos, en lugar deutilizar contraejemplospara justificar las proposiciones.

No determina ejemplosni contraejemplos, obien no comprende loque se le está pidiendo.

6

Resuelve correctamentelos sistemas de ecuacio-nes presentados y ana-liza correctamente sus soluciones.

Resuelve correctamentelos sistemas de ecuacio-nes presentados, pero noanaliza sus soluciones.

Resuelve correctamenteuno o dos de los sistemas de ecuaciones presentados.

No resuelve los sistemasde ecuaciones presenta-dos, o bien no comprendelo que se le está pidiendo.



Unidad 3 | 107

Unid

ad 3

Actividad inicial

La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo ilustrar a los alumnosy alumnas las características de los vectores, su representación gráfica y suaplicación a conceptos físicos como la fuerza, en este caso.

Es importante que recuerde a sus estudiantes que la fuerza se define como unamagnitud que tiene módulo, dirección y sentido, y que estas característicaspermiten representarlas gráficamente mediante vectores.


Existen magnitudes en las que, además de su valor y la unidad de medida co-rrespondiente, es necesario saber también su dirección y sentido: son las mag-nitudes vectoriales. Dos buenos ejemplos de magnitudes vectoriales son lafuerza y la velocidad. El efecto de una fuerza depende necesariamente de ladirección en que la se aplique. Por otra parte, si cambia la dirección, cambiatambién la velocidad, aunque su rapidez se mantenga constante.


De refuerzo

1. Dado el hexágono regular de la figura, señala todos los vectores con igualdirección, sentido y módulo que el vector:

a. EO→

b. AD→

c. DC→

d. EF→

e. ED→

f. AC→

(Habilidad que desarrolla: reconocer).

Páginas 102 y 103 Vectores

Actividades


desarrollan

1, 2 y 3 Reconocer/Identificar.

Analicemos...



Páginas 104 y 105 Operatoria con vectores

Actividades


desarrollan


Analicemos...


Interpretar, recordar, conectar y analizar.

Actividad inicial

La suma de vectores se presenta asociada a la suma de los desplazamientos rea-lizados por Pablo y Andrea en la actividad propuesta. Utilizando el mapa,muestre a sus alumnos y alumnas el procedimiento para obtener gráficamentela suma de vectores y compare este resultado con el desplazamiento total correspondiente, tanto para Pablo, como para Andrea.

E

OF

A B

C

D

O´HigginsPlaza de la

Independencia

Plaza Perú

Aníbal Pinto

TucapelColo-colo



Actividad inicial

En estas páginas, a través de la representación gráfica de puntos en el planocartesiano, se muestra la representación de vectores, utilizando sus coorde-nadas cartesianas. Enfatice que, aunque un vector se puede calcular cono-ciendo las coordenadas de su origen y su extremo, un vector es independientede la posición que tenga en el plano, lo importante es su magnitud, direccióny sentido.


• Es importante enfatizar a los alumnos y las alumnas que, en este Texto, lanotación de un vector es diferente a la de un punto en el plano. Vector: a→= �a

1, a

2�; Punto: A(a

1, a

2).

• El vector OP→

une el origen de coordenadas O con el punto P(x, y), es lla-mado vector posición y se representa por p→= �x, y�.

Páginas 106 y 107 Vectores en el plano cartesiano

Actividades


desarrollan

1 Representar.

2Representar, aplicar y calcular.

3 y 4 Interpretar y calcular.

Analicemos...


Recordar, interpretar, conectar y representar.


Recalque a sus estudiantes la diferencia entre el desplazamiento, que compara la posición final de un cuerpo con su posición inicial, y la trayectoria,que se refiere al camino recorrido, es decir, se indica solo la distancia. Luego,el desplazamiento es una magnitud vectorial, y la trayectoria corresponde auna magnitud escalar.


De refuerzo

1. Obtén gráficamente los vectores pedidos.

a. a→+ b→

b. a→+ b→

+ c→

c. b→

+ c→+ d→

d. a→– b→

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y representar).

De profundización

1. Dibuja tres vectores diferentes a→, b→ y c→ en tu cuaderno y, luego, muestraque se cumplen las propiedades para la suma de vectores que se encuentran en la página 105 del Texto.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, justificar y analizar).

a→

b→

c→ d

→


Unidad 3 | 109

Unid

ad 3Actividades complementarias

De refuerzo

1. Determina las coordenadas de:

a. AB→

si A(3, 5) y B(1, –2). b. A si AB→

= �6, –7� y B(0, 4).

(Habilidades que desarrolla: interpretar y calcular).

De profundización

1. Determina los valores x e y para que se verifiquen las siguientes igualdades:

a. 3�x, 1� – �2, 5� = �7, y� c. �3, –2� + �y, 5� = �7, 3x� – �2, x�b. 6�2, x� + �3y, 6� = �5, 18� d. 2�x, –2� – 4�5, – y� = �3x, 0�


Actividad inicial

Una de las aplicaciones que tienen los vectores en la geometría, es que permitenrepresentar numéricamente una transformación isométrica: la traslación de fi-guras planas. Muestre a sus estudiantes que las características que cumplen lostrazos AA’, BB’, CC’ y DD’ corresponden exactamente a la definición de vector.


La composición de traslaciones corresponde a aplicar una traslación a la imagende una traslación ya aplicada. Se puede calcular cuál sería la traslación final,luego de aplicar dos o más traslaciones, calculando la suma de los vectores detraslación correspondientes.


De refuerzo

1. Un triángulo tiene por vértices los puntos A(–1, 5), B(3, 2) y C(2, 4). Encuentra la imagen de ABC mediante:

a. T1

→�1, 2� b. T

1

→�3, 2�

(Habilidades que desarrolla: aplicar, interpretar y calcular).

De profundización

1. Considera el punto P(0, 5). Si se realiza una traslación T1

→�3, 4� y a conti-

nuación otra T2

→�2, 1�:

a. ¿cuál es la imagen de P luego de aplicar ambas traslaciones?b. Si después de realizar las dos traslaciones se obtiene el punto Q(2, –2),

¿cuál es el punto original?

(Habilidades que se desarrolla: aplicar, interpretar y calcular).

Páginas 108 y 109 Traslación de figuras planas

Actividades


desarrollan




Analicemos...





Actividad inicial

Al comparar los vectores dados, sus estudiantes podrían deducir algunas de lascaracterísticas del producto o la ponderación por un escalar. Enfatice el hechoque la dirección es la que se mantiene constante, mientras que tanto la mag-nitud como el sentido (si este escalar es un número negativo) pueden cambiar.


Mencione a sus estudiantes la diferencia entre el producto por un escalar, quese explica en estas páginas y el producto escalar, que pueden encontrar enotros textos sobre vectores, que corresponde en este Texto al producto punto.De igual manera, podrían encontrar el producto vectorial, que correspondeen este Texto al producto cruz.


De refuerzo

1. Dado el vector u→ y el escalar λ, en cada caso, determinar λ u→.

a. u→ = �1, 5� y λ = 2. c. u→= �–3, 5� y λ = 13.

b. u→= �2, 3� y λ = 5. d. u→= �0, –3� y λ = –1.

(Habilidades que se desarrolla: aplicar).

De profundización

1. Dados los vectores a→ y b→, aplicando la regla del paralelogramo representar

gráficamente los vectores c→, d→, y e→, de modo que c→= 3a→+ 2b→, d→= –2a→+ b→,e→= –4a→– 1,5b→.

(Habilidades que se desarrolla: interpretar, calcular y representar).

Páginas 110 y 111 Producto por un escalar

Actividades


desarrollan


2 y 3 Aplicar.

3Formular hipótesis, conjeturar o predecir,justificar y representar.

Analicemos...


Interpretar, representar y analizar.

b→

a→

Actividad inicial

Guíe la conversación con sus estudiantes de modo que determinen las carac-terísticas de la homotecia: está determinada por un punto, el centro de la homotecia, y por un número, la razón de la homotecia. Enfatice el hecho deque una figura y su imagen bajo una homotecia siempre serán figuras seme-jantes, aunque cambie su orientación.

Páginas 112 a 114 Homotecia

Analicemos...




Unidad 3 | 111

Unid

ad 3Indicaciones respecto del contenido

• El concepto de homotecia de razón negativa puede ser difícil de visualizary entender para algunos de sus estudiantes. Para aclararles esto, puede di-bujar en el pizarrón algunos ejemplos, poniendo énfasis en cómo se inviertela orientación de los distintos segmentos que componen una figura.

• También puede ser difícil visualizar una homotecia cuando el centro de lahomotecia está dentro de la figura. Puede aclarar este punto haciendo notarque el concepto de homotecia como una transformación de la figura nodepende de que el centro de la homotecia se encuentre en algún lugar par-ticular del plano, ya que la forma de construir la imagen de una figura bajouna homotecia es siempre la misma.

• En el ejemplo acerca de la composición de homotecias, muestre a sus es-

tudiantes que se cumple que OA’’→

= λ · OA→

, ya que �3, 6� = λ · �1, 2�, cuando

λ = 3, que corresponde al producto de las razones de las homotecias que se

aplicaron.


De refuerzo

1. ¿Qué ocurre a una figura si es transformada bajo una homotecia de razón 1?

2. ¿Una homotecia de razón negativa contrae la figura original?, ¿por qué?

3. ¿Una homotecia de razón positiva siempre dilata las longitudes? Explica.

(Habilidades que se desarrollan: analizar y justificar).

De profundización

1. En el triángulo equilátero de la figura se han trazado sucesivamente lasrespectivas medianas. Indica el centro y la razón de la homotecia quetransforma:

a. DE en LJ. b. HI en KM. c. ABC en GHI. d. KNM en FED.

(Habilidades que se desarrolla: interpretar y calcular).

Actividades


desarrollan

1 Aplicar y representar.

2Interpretar, aplicar y representar.

3 Justificar.

C

D E

BFA

G H

I

M N

L JK

Para facilitar la comprensión del concepto de Homotecia, se puede implementar el uso del computador, utilizando el programa Regla y Compás,que es gratuito y de libre disposición para descargarlo desde Internet.


desarrollan

1 y 2Usar herramientas y analizar.

Página 115 Herramientas tecnológicas






1. ¿Cuál es la representación algebraica de un vector?2. ¿En qué se diferencia la dirección y el sentido de un vector?3. ¿De qué depende que al aplicar una homotecia la figura resultante sea más

grande o pequeña que la figura original? Explica.4. ¿En qué casos una composición de traslaciones corresponde a una

traslación?, ¿por qué?


desarrolla

Mapa conceptual



En esta página se ofrece una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes autoevaluar su aprendizaje hasta esta instancia; es decir, puedenser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con loscriterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrirpara corregir sus errores.


Ítem 1: calcular operaciones con vectores representados gráficamente.Ítem 2: calcular operaciones con vectores representados analíticamente.Ítem 3: aplicar traslaciones y homotecias a una figura.Ítem 4: calcular operaciones con vectores representados gráficamente.


• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no interpreten correc-tamente la suma de vectores, cuando en el hexágono no se trate de segmentos contiguos. Recuérdeles que un vector puede representarse envariadas posiciones, siempre que conserve su magnitud, dirección y sentido.Por ejemplo, AB

→y FO

→son dos representaciones del mismo vector. Evite

indicarles cómo determinar el vector suma en cada caso, ya que se perde-ría la objetividad del ítem.

• En el ítem 2, recuerde a sus estudiantes que para calcular el módulo o mag-nitud de un vector suma, primero deben resolver dicha suma. Es decir, engeneral, no se cumple que || a

→ + b→ || = || a

→ || + || b

→||. Solo se cumple cuando

los vectores a→ y b→ tienen la misma dirección y sentido.


evalúan




4Interpretar, calcular y justificar.


Mi progreso


Unidad 3 | 113

Unid

ad 3• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes confundan la forma de expre-

sar una traslación o una homotecia. Recuérdeles que en el caso de la traslación, se representa mediante un vector, que indica en qué magnitud,dirección y sentido se trasladan los puntos. En cambio, para representar unahomotecia, se representa indicando cuál es el centro de la homotecia, ycuál es su factor de conversión k.

• En el ítem 4, sus alumnos y alumnas deben determinar y justificar cuál delas alternativas no es correcta. Enfatíceles que no basta con escoger una delas alternativas, si no se ha justificado apropiadamente tanto las alternativascorrectas como la incorrecta.


ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula y representa correctamente el vectorsolución, en todo los casos.

Calcula correctamente elvector solución, perotiene dificultades en su representación.

Calcula y representa correctamente solo losvectores que están conti-guos en el hexágono dela figura, debido a quedesconoce cómo calcularlo en otros casos.

Desconoce los conceptosque se le solicitan.

2

Calcula correctamentelas operaciones de vecto-res, independiente delmétodo utilizado.

Calcula correctamentesolo tres de las operacio-nes de vectores, en parti-cular porque desconocecómo calcular el módulode un vector.

Calcula correctamentedos de las operacionesde vectores.

No logra calcular correctamente las operaciones de vectores,debido a que desconocelos conceptos o el procedimiento.

3

Aplica correctamente lastransformaciones, enforma analítica.

Aplica correctamente lastransformaciones, inde-pendiente del métodoutilizado.

Aplica las transformacio-nes, pero comete errores,o bien, confunde trasla-ción y homotecia.

No logra aplicar correcta-mente las transformacio-nes, debido a quedesconoce los conceptoso el procedimiento.

4



Marca una alternativa incorrecta.


A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán refor-zar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad.Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, depen-diendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según losritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.




1. Observa la figura y dibuja en tu cuaderno los vectorescorrespondientes a:

a. BC→

+ CD→

b. BO→

+ OC→

c. 2BO→

+ DA→

d. CA→

– CD→

2. Considerando los siguientes vectores, realiza las opera-ciones dadas a continuación.

a. a→ + b→

b. a→ + c→

c. a→ + d→

d. c→+ d→

e. a→ + b→– c→

f. (a→ + b→+ c→)

3. Resolver.

a. Determina el módulo del vector cuyo origen se ubicaen el punto O(20, –5) y su extremo en el punto P(–4, 3).

b. El módulo de a→= �a1, a

2� es igual a 5 unidades.

Si a1

= a2, determina el valor de cada componente.

4. Se ha trasladado el triángulo de vértices A(1, 3), B(3, 4)y C(2, 2) y la imagen del vértice C es el punto C’(1, –1).

a. ¿Cuáles son las coordenadas del vector que define la traslación?

b. Determina las coordenadas de los vértices A’ y B’.

5. Un pentágono tiene como vértices los puntos A(3, 0),B(2, 5), C(–3, 2), D(–1, –4) y E(2, –3). Indica las coor-denadas de las imágenes correspondientes, bajo latraslación T

→�2, 4�.

6. A partir del rombo y los vectores de la figura, dibuja lascorrespondientes imágenes, de acuerdo a los siguientes pasos:

a. Primero, aplica la traslación a→+ b→. b. Luego, aplica la traslación c→

– d→.c. Después, aplica la traslación 2a→ + b→.d. A continuación, aplica la traslación b→ – 2a→.e. Finalmente, aplica la traslación 2a→– d→.f. ¿Cuántos rombos quedan dibujados?, ¿por qué?

7. El punto A de coordenadas (–3, 5) se ha trasladado uti-lizando la secuencia: de A a B con T

→1�2, 5�; de B a C con

T→

2�–1, –2�; de C a D con T→

3�6, –5�.

a. Dibuja su trayectoria. ¿Cuáles son las coordenadasdel punto de llegada?

b. Si en cambio se comienza con el punto P(3, –5), uti-lizando los mismos vectores de traslación, ¿en quépunto se termina?

8. Dado un segmento AB de vértices A(–6, 1) y B(–2, 5),encuentra su homotético por la aplicación, en cadacaso, de:

a. H(O, 3) d. H(O, –1)

b. H e. H(O, –2)

9. Respecto de dos o más figuras homotéticas, ¿cuál o cuálesde las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas?

a. Tienen igual forma.b. Tienen sus lados respectivamente proporcionales.c. Tienen sus ángulos iguales.d. Son congruentes.

O,32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


D

A B

C

O

a→

b→

c→

d→

a→

b→

c→

d→

c. H f. H O, –34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟O,

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Unidad 3 | 115

Unid

ad 3

Actividad inicial

Para abordar el tema del producto punto (conocido también como productoescalar), se propone a los y las estudiantes analizar qué sucede con el trabajomecánico. Insista en que deben considerar cuál sería el resultado si cambia elángulo entre la horizontal y la cuerda con la que se tira la caja. Se pretende queobserven que aunque se aplicara la misma fuerza, el trabajo realizado en cadacaso, depende del ángulo formado entre los vectores correspondientes. Y queel trabajo mecánico no es una magnitud vectorial.


Enfatice a sus estudiantes que el resultado del producto punto de dos vectoreses un número escalar, no un vector, y que existen dos formas de calcularlo,según su representación. Si se conocen sus coordenadas, se multiplican com-ponente a componente y luego se suma. Si se conocen sus módulos y el ángulo que se forma entre ellos, se utiliza la expresión || u || · || v || · cos(α).


De refuerzo

1. Calcula el producto punto de los siguientes vectores.

a. w→ = �3, 2� y z→ = �5, 1� b. a→ = �4, 7� y b→ = �3, –1�

2. Calcula el producto punto de los vectores considerando los datos dados.

a. || u→ || = 5; || v→ || = 7; α = 30º b. || u→ || = 7; || v→ || = 7; α = 90º


De profundización

1. Utilizando las propiedades del producto punto y siendo u→= �2, –1�; v→= �3, 2�y w→= �1, –1� determina el resultado de las siguientes operaciones.

a. u→· (v→+ w→) b. (u→− v→) · w→ c. u→· v→− v→· w→ d. (u→+ v→) · (v→− w→)


Páginas 118 y 119 Producto punto

Analicemos...


Calcular, interpretar y analizar.

Actividades


desarrollan


2 Evaluar y conjeturar.


Actividad inicial

El objetivo de la actividad inicial es que los y las estudiantes observen porqué laecuación vectorial de la recta se describe en términos de un vector director y, enalgunos casos, de un vector posición, así como cuando se dice que un punto per-tenece a una recta. Insista en que dibujen todos los vectores en su cuaderno, enun mismo plano cartesiano, para que visualicen mejor qué es lo que ocurre.

Páginas 120 a 122 Ecuación vectorial de la recta en el plano

Analicemos...


Representar, verificar y analizar.



Actividades


desarrollan


2 Analizar y representar.

3 Aplicar.





• El vector posición indica justamente la posición de un punto de la rectao del plano en el espacio, por lo que cualquier punto de dicha recta odicho plano puede utilizarse como vector posición al escribir su ecuación vectorial.

• De manera similar, el vector director, que se utiliza para representar unarecta, no es único, en el sentido que todo vector ponderado de él tambiénpuede utilizarse como vector director. Por ejemplo, si el vector d→ = �2, –1�es el vector dirección de la recta L, también lo son �4, –2�, �–2, 1�, �–4, 2�.

• Enfatice a sus estudiantes estas características de la ecuación vectorial de larecta y del plano para evitar confusiones respecto de cuál sería una res-puesta correcta o no.


De refuerzo

1. Escribe la ecuación vectorial de las siguientes rectas en el plano.

a. Que pasa por los puntos A(1, 1) y B(–1, –1).b. Que en forma cartesiana se expresa como x – 2y = 0.c. Que es paralela al eje Y, y pasa por el punto (4, 1).d. Que pasa por el punto (5, 1) y es perpendicular a x – 2y + 5 = 0.

(Habilidades que desarrolla: aplicar, interpretar y representar).

Actividad inicial

Los y las estudiantes conocen la ecuación cartesiana de una recta en el plano.El objetivo de esta sección es comprender cómo se relaciona dicha ecuacióncon la ecuación vectorial de la misma recta.


Enfatice a sus estudiantes que la representación cartesiana y la representaciónvectorial de una recta se corresponden de la siguiente manera: el vector posi-ción se corresponde con un punto que pertenezca a la recta y el vector direc-tor se corresponde con la pendiente de la recta. Luego, a partir de la ecuaciónvectorial, puede utilizar la expresión de la ecuación de la recta conocida supendiente y un punto de ella para escribir la ecuación cartesiana.

Páginas 123 a 125 Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana

Actividades


desarrollan

1, 2 y 3 Aplicar y representar.

4 Verificar.

5 Aplicar.


7 y 8Interpretar, calcular y representar.

Analicemos...


Interpretar, analizar y representar.


Unid

ad 3

Unidad 3 | 117


De refuerzo

1. Determina la correspondiente ecuación vectorial, en cada caso.

a. x – 4y + 8 = 0 c. y – 6 = 0b. 3x + 2y – 5 = 0 d. x + y – 4 = 0


De profundización

1. Determina la correspondiente ecuación cartesiana, en cada caso.

a. �x, y� = �1, 3� + λ�–3, 1� c. �x, y� = �5, 2� + λ�–4, 0�b. �x, y� = �0, 7� + λ�1, 2� d. �x, y� = �4, 0� + λ�–2, –7�


Actividad inicial

El producto cruz entre dos vectores es sumamente conceptual, pero puedeabordarse desde algunas de sus aplicaciones, como el torque, por ejemplo.Los alumnos y las alumnas conocen este concepto, aprendido en SegundoAño Medio, de modo que ahora se integra la representación vectorial de lasfuerzas en cuestión y cómo se calcula su producto cruz.


La expresión que se muestra en la página 128 para obtener el producto cruzde dos vectores no es más que el desarrollo del determinante quetradicionalmente se utiliza para calcular este producto, que se muestra asíporque los y las estudiantes no saben determinantes a este nivel.

�a, b, c� × �u, v, w� = = i · – j · + k ·


De refuerzo

1. Calcula los siguientes productos.

a. �3, 2, 5� × �2, 1, 0� c. �0, 1, 5� × �2, 6, –1�b. �4, 3, 7� × �3, –5, 8� d. �2, 2, 1� × �–2, 8, 3�


au

bv

au

cw

bv

cw

iau

jbv

kcw

Páginas 126 a 129 Producto cruz y vectores en el espacio

Analicemos...


Interpretar y analizar.

Actividades


desarrollan

1 y 2 Interpretar y representar.

3 y 4 Interpretar y aplicar.

5 Justificar.





Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice pregun-tas como las siguientes:

1. ¿En qué casos el producto punto de dos vectores es cero?, ¿por qué?2. ¿Se puede representar una recta en el plano sin utilizar un vector

posición? Justifica.3. Si dos vectores son paralelos, ¿qué característica tiene su producto

cruz? Explica.4. Si dos vectores son perpendiculares, ¿qué característica tiene su producto

punto?, ¿y su producto cruz? Explica.



desarrolla

Mapa conceptual


En esta página se ofrece una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes autoevaluar su aprendizaje hasta esta instancia; es decir, puedenser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con loscriterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrirpara corregir sus errores.


Ítem 1 y 2: calcular y aplicar el producto punto de dos vectores.Ítems 3 y 4: determinar la ecuación vectorial de la recta.Ítem 5: calcular el producto cruz de dos vectores.


• En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían olvidar sumar los productos obtenidos, o bien, expresarlos como un vector. Recuérdeles que el productopunto es un escalar, a diferencia del producto cruz, en el que el resultadoes un vector.

• En el ítem 2, es posible que sus estudiantes no relacionen la condición deque dos vectores son paralelos cuando uno es el vector ponderado del otro,y/o de que dos vectores son perpendiculares cuando el resultado de su pro-ducto punto es cero. Puede recordarles estas condiciones conceptualmente,para que las apliquen al ejercicio.



evalúan

1 Aplicar.


3 y 4Interpretar, aplicar y representar.


Mi progreso


Unidad 3 | 119

Unid

ad 3• En el ítem 3, dados estos valores, es sencillo determinar la ecuación vectorial

de la recta; basta que utilicen el punto que pertenece a la recta como vec-tor posición. Si tienen dificultades para determinar otros puntos de la recta,recuérdeles que deben remplazar el parámetro λ con valores y calcular lospuntos correspondientes.

• En el ítem 4, muestre a sus estudiantes que si escriben la ecuación cartesianaen la forma punto-pendiente, obtienen los datos necesarios para escribir laecuación vectorial: el punto (x

0, y

0) se corresponde con el vector posición y

la pendiente m con el vector director �d1, d

2�, de modo que m = .

• En el ítem 5, los y las estudiantes necesitan recordar dos reglas, la que re-laciona el módulo del producto cruz con los módulos y el ángulo que for-man los vectores, esto es, || p→ || = || a→ || · || b→ || · sen (α) y, además, la reglade la mano derecha, para determinar el sentido del producto cruz.

d2

d1

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1Calcula correctamentetodos los productos punto.

Calcula correctamenteuno o dos productos punto.

Realiza cálculos, pero comete errores en losproductos punto.

No comprende cómo calcular el producto punto.

2

Calcula correctamente el valor de x, medianteecuaciones, en ambos casos.

Calcula correctamente el valor de x, por inspec-ción, en ambos casos.

Calcula correctamentesolo uno de los valoresde x.

No logra resolver lo pedido, o bien no com-prende lo que se le está pidiendo.

3 y 4

Determina correctamentela ecuación vectorial ylos puntos pedidos, entodos los casos.

Determina correctamentela ecuación vectorial entodos los casos, pero comete errores respectode los puntos pedidos.

Determina correctamentealgunas de las ecuacionesvectoriales, o bien, nosabe obtener los puntosa partir de la ecuación,o no sabe obtener losvectores a partir de laecuación cartesiana.

No logra resolver lo pedido, porque confunde el punto y el vector dirección, o bien nocomprende lo que se le está pidiendo.

5



Confunde el sentido delvector pedido, por loque no obtiene la respuesta correcta.



A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán re-forzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad.Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, depen-diendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según losritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.




1. Benjamín sigue la siguiente trayectoria para llegar a sucolegio. En la figura, parte del punto M y sigue en las direcciones que indican los vectores. Responde:

a. ¿Cuál es el vector desplazamiento para la trayectoria completa?

b. ¿En qué partes siguió la misma dirección?

2. Calcula a→· b→, donde:

a. a→= �2, –1, 3� y b→= �–1, 1, 1�b. a→= �6, –7, –5� y b→= �3, –1, 5�c. a→= �–6, 4, –1� y b→= �3, –2, 1�d. a→= �–1, 3, –3� y b→= �5, 0, 2�

3. Calcula a→ × b→, donde:

a. a→= �3, –2, 1� y b→= �–2, 1, 0�b. a→= �4, –3, –1� y b→= �3, –1, 6�c. a→= �–2, 0, 2� y b→= �1, –4, 3�d. a→= �–4, 4, –1� y b→= �2, –2, 1�

4. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa porlos puntos A y B, donde:

a. A(–3, 7) y B(5, –2)b. A(4, 3) y B(2, –1)c. A(–2, 0) y B(3, –4)d. A(0, 4) y B(1, 1)

5. ¿Se puede calcular la siguiente expresión: (a→· b→) × c→? Justifica.

6. ¿Se puede calcular la siguiente expresión: (a→× b→) · c→? Justifica.


1. Demuestra que los puntos P(3, –1, 1), Q(4, 1, 4) y R(6, 0, 4) son vértices de un triángulo rectángulo.

2. Determina todos los números reales x tales que �2, –1, 3�y �x, –2, 1� son perpendiculares.

3. Demuestra que la recta que pasa por P(2, 1, 3) y Q(3, 1, 4) es perpendicular a la recta que pasa por R(0, 5, 3) y S(1, –1, 2).

4. Demuestra que el triángulo de vértices P(4, –7, 9), Q(6, 4, 4) y R(7, 10, –6) no es un triángulo rectángulo.

5. Dada la ecuación vectorial de la recta �x, y� = �5, 1� + λ�–2, 7�, determina su ecuación cartesiana.

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones no tienensentido? Justifica.

a. u→· (v→· w→)b. (u→· v→) + w→

c. u→· (v→+ w→)d. �� u→�� · (v→+ w→)e. u→+ (v→× w→)f. (u→× v→) × w→

7. Demuestra que los vectores a→= �1, 1, 1�, b→= �1, –1, 0�y c→= �–1, –1, 2� son mutuamente perpendiculares, esdecir, cada pareja de vectores es perpendicular.

8. Determina si las expresiones siguientes son verdaderaso falsas. Justifica tu respuesta.

a. Los vectores a→= �2, –3� y b→= �6, 4�son perpendiculares.

b. Si u→· v→ = 0 y u→ × v→ = 0, entonces u→= 0 o v→= 0.c. El producto punto para vectores satisface la

propiedad asociativa.d. Si u→es un vector ponderado de v→, entonces

u→ × v→= 0.e. Dos vectores son paralelos si y solo si su producto

cruz es 0.f. El producto cruz es anticonmutativo, es decir,

u→× v→= – (v→× u→).


M

NÑ

OP

Q


Unidad 3 | 121

Unid

ad 3

Actividad inicial

El objetivo de la actividad inicial es replicar la forma de obtener la ecuación vec-torial de una recta en el espacio, pero ahora con puntos en el espacio, lo queagrega una coordenada a los vectores correspondientes, pero no cambia laestructura de la ecuación.


Enfatice a sus estudiantes que la ecuación de la recta en el plano y en el es-pacio son similares en su estructura, solo difieren en el espacio los puntos quetienen una coordenada más, es decir, la ecuación de una recta en el plano serepresenta como �x, y� = �x

0, y

0� + λ�d

1, d

2�, en cambio, la ecuación de una

recta en el espacio se representa como �x, y, z� = �x0, y

0, z

0� + λ �d

1, d

2, d

3�.


De refuerzo

1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos dados.

a. P (1, 1, 1) y Q(1, 2, 3) b. P (3, 1, –2) y Q(1, 2, –2)

(Habilidades que desarrolla: interpretar y aplicar).

De profundización

1. Determina la ecuación vectorial de la recta que es paralela a �2, –1, 0� ypasa por (1, –1, 3).

2. Determina la ecuación vectorial de la recta 4x + 3y – 5 = 0.

(Habilidades que desarrollan: interpretar, analizar y aplicar).

Páginas 132 y 133 Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Actividades


desarrollan


2Verificar, aplicar y representar.

Analicemos...


Interpretar, analizar, justificar y representar.

Actividad inicial

Discuta con sus estudiantes cuántos elementos se necesitan para definir unplano. Puede comenzar recordándoles que por dos puntos distintos pasa unaúnica recta, para luego preguntarles cuántos puntos distintos se requierenpara que pase un único plano por ellos. Una vez que sus alumnos y alumnascomprendan que bastan tres puntos, puede continuar con una recta y unpunto fuera de ella, y, luego, con rectas perpendiculares y rectas paralelas y distintas, relacionando así cada caso con el caso anterior.

Páginas 134 y 135 Rectas y planos

Analicemos...


Verificar, interpretar, analizar y justificar.


Actividad inicial

Antes de mostrar la ecuación vectorial del plano a sus estudiantes, resuelvajunto a ellos las preguntas planteadas y responda sus inquietudes. En estecaso, claramente, A, B y C no son colineales, pero sí coplanarios, ya que necesariamente tres puntos determinan un único plano.

Ya que los vectores son AB→

= �–3, 1, –2� y AC→

= �2, 3, 4�, el punto D se puederepresentar a partir de esos vectores, ya qued→

= �–5, 10, 2� = �–3, 1, –2� + �2, 3, 4� y precisamente como esto se puederealizar, el punto D sí pertenece al plano que contiene a A, B y C.

La ecuación vectorial de este plano es �x, y, z� = �1, 3, 6� + λ�–3, 1, –2� + μ�2, 3, 4�.

Páginas 136 a 139Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio


Para ilustrar cuándo dos rectas en el espacio son alabeadas, dibuje en la pizarraun cubo como el de la figura, y muestre que dos de sus aristas están conteni-das en dos rectas alabeadas L

1y L

2, respectivamente, ya que se encuentran en

distintos planos y no es posible encontrar ningún plano que contenga a ambas.Además, L

2// L

3y L

1es secante a L

3.


De refuerzo

1. De acuerdo con la figura, ABCDEF es un octaedro, en el cual los puntos A,B, C y D son coplanarios, indica en cada caso si la afirmación es verdaderao falsa, según corresponda. Justifica tu decisión.

a. Los puntos C, A y G son colineales.

b. Los puntos A, B, E y F son coplanarios.

c. El segmento AB se interseca con CD.

d. El segmento BD se interseca con AC.

e. Los puntos C, D y E son coplanarios.

f. Los puntos A, C, F y E son coplanarios.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, aplicar y justificar).


Actividades


desarrollan

1 Reconocer.

2Interpretar, aplicar y justificar.

3 Verificar o comprobar.

Analicemos...


Verificar, interpretar, analizar y representar.

L1

L3

L2

E

CG

DA

B

F



En una ecuación del plano, cuando falta una de las tres variables el plano querepresenta es paralelo al eje de la variable ausente. Por ejemplo, el plano2x + 3z = 2, es paralelo al eje Y, esto es, es un plano vertical.


De refuerzo

1. Determina la ecuación del plano que contiene los puntos:

a. A(1, 2, 3), B(2, 5, 1) y C(3, 0, 4). b. A(4, 2, 2), B(1, 3, 4) y C(1, 0, –2).

(Habilidades que desarrolla: interpretar y aplicar).

De profundización

1. Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas:

a. �x, y, z� = �1, –1, 2� + λ�1, 1, 1� y �x, y, z� = �0, 0, 2� + λ�1, –1, 0�.b. �x, y, z� = �3, 1, 0� + λ�1, –1, 3� y �x, y, z� = �0, –2, 5� + λ�2, 1, –1�.

(Habilidades que desarrolla: interpretar y analizar).

Unidad 3 | 123

Unid

ad 3

Actividad inicial

El objetivo de la actividad inicial es que los y las estudiantes analicen cuáles sontodas las posibles posiciones relativas entre dos o más planos. Enfatice quedos planos pueden ser paralelos, independiente de si están en posición hori-zontal (como se ve en la imagen de la página 140), así como que dos planosson secantes en múltiples formas, no solo de modo que su intersección sea unarecta vertical.


Muestre a sus alumnos y alumnas por qué para medir el ángulo diedro entredos planos se exige la condición de que las rectas utilizadas para formar el án-gulo POQ (vea la figura de la página 141 del Texto) sean perpendiculares a larecta de intersección entre los planos, ya que si no lo son, el ángulo medidode todas formas es mayor que el ángulo diedro correspondiente.


De refuerzo

1. Considera los seis planos que forman las caras de un cubo. Describe las po-siciones relativas que existen entre estos planos.

(Habilidades que desarrolla: analizar y aplicar).

Páginas 140 y 141 Posición relativa entre planos

Actividades


desarrollan

1 Aplicar.

2, 4 y 7 Interpretar y analizar.

3Interpretar, analizar y representar.

5 y 6 Aplicar y representar.

Actividades


desarrollan

1 Interpretar y representar.


Analicemos...





Actividad inicial

El objetivo de la actividad inicial es que los y las estudiantes analicen las inter-secciones posibles entre una recta y un plano, cuando existen. Enfatice que unarecta y un plano pueden ser paralelos, independiente de si su posición: hori-zontal, vertical u otra, así como que la intersección entre dos planos es unarecta en cualquier dirección, no necesariamente horizontal o vertical.


Para resolver algebraicamente la intersección entre dos planos, o entre una rectay el plano, es indispensable utilizar sistemas de ecuaciones lineales con dos otres incógnitas, por lo que, si lo estima necesario, revise con sus estudiantes losdistintos métodos de resolución para los sistemas de ecuaciones, antes de ana-lizar cómo se relacionan las ecuaciones en este caso para determinar su solución.


De profundización

1. ¿Es posible que la dirección de una recta sea paralela a la intersección dedos planos, y que la recta tenga puntos en común con alguno de los planos? Justifica.


Páginas 142 a 145 Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos

En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los con-tenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de que losy las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del es-tudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y, ade-más, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.



1. ¿Cuándo se dice que un vector es ponderado de otro? Explica.2. ¿Por qué la ecuación vectorial de una recta puede tener distintas repre-

sentaciones, es decir, distintos vectores posición o distintos vectores director, si la recta es la misma?

3. Si una recta y un plano tienen el mismo vector director, ¿cuál es su posiciónrelativa? Justifica.

4. Si dos planos distintos comparten un vector director, ¿son secantes?, ¿por qué?



desarrolla

Mapa conceptual


Analicemos...


Verificar y analizar.


Unidad 3 | 125

Unid

ad 3

En esta página se ofrece una serie de ejercicios que permitirán a los y las es-tudiantes autoevaluar su aprendizaje hasta esta instancia; es decir, pueden serutilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los crite-rios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir paracorregir sus errores.


Ítem 1: determinar si tres puntos son colineales y escribir la ecuación vectorialde la recta que pasa por ellos.Ítem 2: graficar planos dadas sus ecuaciones.Ítem 3: determinar la ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto yes paralelo a dos vectores dados.Ítem 4: determinar la posición relativa y la intersección entre dos planos.Ítem 5: determinar la ecuación vectorial de la intersección entre dos planos dados.


• En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes que tres o más puntos se dicen colineales cuando pertenecen a la misma recta. Esto se puede justificar dedos maneras: determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por dospuntos y revisar que el tercer punto pertenezca a ella, o bien, calcular losvectores que unen los puntos, de dos en dos, y, luego, verificar que estosvectores son vectores ponderados. Como los vectores tienen la misma di-rección y un punto en común, pertenecen a la misma recta.

• En el ítem 2, sugiera a sus alumnos y alumnas primero ubicar los puntos deintersección del plano con los ejes coordenados, para después trazar el gráfico del plano. Y recuérdeles que si el plano no se interseca con unarecta cualquiera, entonces el plano y la recta son paralelos. En particular, sino interseca a alguno de los ejes, es paralelo a él.

• En el ítem 3, indique a sus estudiantes que un plano es paralelo a uno o másvectores, entonces estos vectores pueden utilizarse como vectores directoresdel plano, ya que tienen su misma dirección.

• En los ítemes 4 y 5, procure que sus alumnos y alumnas realicen primero elgráfico correspondiente de los planos para visualizar sus puntos de inter-sección, ya que escribir directamente un sistema de ecuaciones con las ecua-ciones del plano, para intentar reducirlas a una ecuación con dos variables,no les va a permitir obtener la recta correspondiente a la intersección de losplanos. La estrategia es: ubicar dos puntos de intersección entre los planos,si existen, y luego, escribir la ecuación de la recta que los contiene.



evalúan

1 Aplicar.


3 y 4Interpretar, aplicar y representar.


Mi progreso



ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Determina correctamentesi los puntos son colinea-les, analíticamente. Determina las ecuacionesde la recta, sin errores.

Determina correctamentesi los puntos son colinea-les, analíticamente. Determina las ecuacionesde la recta, con algunos errores.

Determina correctamentesi los puntos son colinea-les, por inspección. Nodetermina las ecuacionesde la recta.

No logra resolver lo pedido, o bien no com-prende lo que se le está pidiendo.

2

Grafica el plano y responde a la pregunta correctamente.

Grafica correctamente elplano. No responde a la pregunta.

Determina algunos puntos que pertenecenal plano, pero cometeerrores al graficar.

No logra graficar elplano pedido, o bien nocomprende lo que se leestá pidiendo.

3

Determina correctamentela ecuación cartesiana.

Determina correctamentela ecuación cartesiana,con algunas dificultades.

Escribe correctamenteuna ecuación cartesiana,pero confunde los datos entregados.

No logra resolver lo pe-dido, porque confundeel punto y los vectoresdirector, o bien no comprende lo que se leestá pidiendo.

4

Determina correctamentetodas las posiciones relativas entre planos ytodas las ecuaciones vec-toriales correspondientes.

Determina correctamentetodas las posiciones rela-tivas entre planos, escribecorrectamente una de lasecuaciones vectoriales.

Determina correctamentealgunas de las posicionesrelativas entre planos, escribe correctamenteuna de las ecuacionesvectoriales, o bien, nosabe obtener los vectoresa partir de la ecuación cartesiana.

No logra resolver lo pe-dido, porque remplazavalores arbitrariamente,o bien no comprende loque se le está pidiendo.

5



Confunde los vectoresposición y director, por lo que no obtiene la respuesta correcta.





Unidad 3 | 127

Unid

ad 3


1. En cada caso, determina la ecuación vectorial de la recta:

a. que pasa por los puntos A(2, 1, 3) y B(3, –1, 5).b. que pasa por los puntos C(3, –1, 1) y D(4, 1, 0).c. intersección de los planos 2x – 3y + 2z = 5 y

x + 2y – z = 4.d. intersección de los planos 3x + y – 2z = 1 y

x + y + z = 5.

2. En cada caso, determina la ecuación vectorial del plano:

a. que pasa por los puntos A(1, –1, 6), B(0, 0, 1) y C(4, 7, –11).

b. que pasa por P(2, 5, 1) y es paralelo al plano deecuación x – y + 2z = 4.

c. que pasa por P(2, –3, 5) y es paralelo al plano deecuación 3x – 2y – z = 0.

d. que contiene a P(2, 1, 0) y a la recta �x, y, z� = �3, –1, 2� + λ�1, 0, –1�.

e. que contiene a las rectas �x, y, z� = �3, 1, 0� + λ�1, –1, 3� y �x, y, z� = �0, –2, 5� + λ�2, 1, –1�.

3. En cada caso, determina todos los puntos de interseccióndel plano dado y la recta �x, y, z� = �1, –2, 3� + λ�2, 5, –1�.

a. Π1: x – 3y + 2z = 4

b. Π2: 2x – y – z = 5

c. Π3: 3x – y + z = 8

d. Π4: –x + 4y + 3z = 6

4. Determina la ecuación vectorial de la recta intersecciónde los siguientes planos.

a. Π1: 2x – 3y + 2z = 5 y Π

2: x + 2y – z = 4.

b. Π3: 3x + y – 2z = 1 y Π

4: x + y + z = 5.


1. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones.

a. Si un plano es paralelo a una recta L, toda recta con-tenida en el plano también es paralela a la recta L.

b. Dados cuatro puntos no colineales, siempre existe unplano que los contiene.

2. Determina el punto de intersección entre la recta quepasa por (1, 2, –1) y (2, 1, 0) y el plano que pasa por (1, 1, 1), (2, 1, –1) y (3, 2, 3).

3. Determina el punto de intersección de los tres planos x – y + z = 1, 2x + 3z = –2, x + y + z = 4.

4. Considera los siete planos que forman las caras de unprisma de base un pentágono regular. Describe los án-gulos diedros que existen entre todos estos planos.

5. Responde las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

a. ¿A qué eje es paralelo el plano Π: 2y + 3z = 6?b. ¿Cuántos planos pasan por una recta dada?c. Si tres planos se intersecan en un punto,

¿cuántos semiplanos distintos se forman?

6. Determina los puntos en que interseca a los ejes coordenados el plano Π: 5x – 2y + z = 2.

7. Si la ecuación vectorial de un plano es �x, y, z� = P + λQP + μRP, con λ � IR, μ � IR, ¿bajo quécondiciones de los vectores QP y RP, se tiene que:

a. el plano es paralelo al plano XY?b. el plano es paralelo al plano YZ?c. el plano es paralelo al plano XZ?




La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad;sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución especí-ficas para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futuros pro-blemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando lasdiferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantespueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir enla resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

Ítem 1: aplicar procedimientos para determinar puntos y justificar relacionesgeométricas entre los puntos.Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas.Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo.



Actividades


desarrollan



El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversalesdel ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y ca-pacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.

A partir del uso actual del Sistema de Posicionamiento Global (GPS, por susigla en inglés), y de los valores que puede entregar un receptor de GPS, se mo-tiva a los y las estudiantes para que relacionen las coordenadas geográficas conlas coordenadas esféricas, que constituyen otro modelo de representación dela posición de un punto en el espacio.

Puede guiar la conversación hacia en qué situaciones sería muy beneficiosocontar con un receptor de GPS y qué otros peligros, además del robo de busmencionado en el Texto, se podrían evitar si se contara permanentemente conun receptor de GPS.



desarrollan

1 y 2 Saber.

3 y 4Conectar, generalizar y analizar.

5Saber y sintetizar o integrar.

6Usar herramientas y resolver problemas.

Actividades


desarrollan

1 Saber.


3 Conectar.

4Saber y formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Investiguemos...


Unidad 3 | 129

Unid

ad 3

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues así ellos consolidan, organizan y clarifican sus apren-dizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado.En esta sección, sus estudiantes resumen y organizan a través de un mapaconceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad.

Como actividades de consolidación se presentan afirmaciones de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.


Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pí-dales que se los intercambien, de modo que cada uno lo revise y comparecon el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles queen un mapa conceptual cada concepto se deben escribir de manera inde-pendiente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones quehay entre los conceptos.



desarrolla

Mapa conceptual


En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidosvistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluaciónsumativa que considera las habilidades del cuadro.



I 1 a 8 Analizar y verificar o comprobar.

II

1 Interpretar, aplicar y conectar.

2 y 3 Interpretar, aplicar y representar.


5 Aplicar y conectar.

III

1, 3, 7 y 8Interpretar, calcular y verificar o comprobar.

2, 4, 5 y 6 Interpretar y calcular.

9, 11 y 12 Aplicar y conectar.

10 Conectar y verificar o comprobar.

13 Saber.




• En el ítem II 1, insista en que sus alumnos y alumnas realicen primero elgráfico correspondiente de los planos para visualizar sus puntos de inter-sección, ya que escribir directamente un sistema de ecuaciones con las ecuaciones del plano, para intentar reducirlas a una ecuación con dos variables, no les va a permitir obtener la recta correspondiente a la inter-sección de los planos. La estrategia es: ubicar los puntos de intersecciónentre los planos, si existen, y luego, identificar la recta que los contiene.

• En el ítem II 2, es posible que sus estudiantes cometan errores por no con-siderar correctamente cuál es el centro de la homotecia, en cada caso, o porque les provoca confusión la razón k, cuando es un número negativo.O bien, puede ocurrir que apliquen una de las homotecias, pero no calculensu composición. Enfatíceles que parte de la dificultad en todo ejercicio deMatemática es interpretar correctamente el enunciado de la pregunta.

• En el ítem II 3, enfatice a sus alumnos y alumnas dónde se ubican los puntos en el plano cartesiano, según el signo de sus coordenadas. Es posibleque confundan la posición del punto (a, –b) con la del punto (–b, a), porejemplo. Insista en que la primera coordenada se asocia con el eje X y la segunda, con el eje Y.

• En el ítem II 4, recuerde a sus estudiantes que existen dos formas de calcu-lar el producto cruz, según los datos de los que se dispone: se conocenlas coordenadas de los vectores, o bien, se conocen sus módulos y el án-gulo formado por los dos vectores. De todas formas, el resultado es siem-pre un vector.

• En el ítem II 5, es posible que sus estudiantes no relacionen la condición deque dos vectores son perpendiculares cuando el resultado de su productopunto es cero. Puede recordarles esta condición conceptualmente, para quelas apliquen al ejercicio.

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puedeutilizar para evaluar a sus estudiantes.


ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

II, 1

Determina correctamentesi los planos son secantes,e identifica además larecta correspondiente asu intersección.

Determina correctamentesi los planos son secantes.

No logra determinar silos planos son secantes,porque no conoce el procedimiento.

No logra determinar silos planos son secantes,porque no comprende loque se le está pidiendo.

II, 2

Dibuja la imagen del cua-drado bajo la homoteciacorrectamente, calculandoalgebraicamente la com-posición, en cada caso.

Dibuja la imagen delcuadrado bajo una de las homotecias correcta-mente, y luego aplica laotra, en cada caso.

Dibuja la imagen delcuadrado bajo las homotecias correcta-mente, pero no considerala composición, o bien,confunde el centro de la homotecia.

No dibuja la imagen delcuadrado bajo las homo-tecias pedidas, porqueno comprende lo que sele está pidiendo.

II, 3

Ubica los puntos en elplano cartesiano, calculael vector AB

→y su mó-

dulo correctamente, entodos los casos.

Ubica los puntos en elplano cartesiano, calculael vector AB

→y su mó-

dulo, en todos los casos,con algunos errores numéricos.

No ubica los puntos enel plano cartesiano, nocalcula el vector AB

→, o

bien, no calcula su mó-dulo, porque no conoceel procedimiento.

No calcula el vector AB→

,o bien, no calcula su módulo, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

II, 4

Determina la dirección y sentido del productocruz y calcula su móduloy el área del paralelo-gramo que se forma correctamente.

Determina correctamentela dirección y sentido delproducto cruz y calculasu módulo y el área delparalelogramo que seforma, pero con errores numéricos.

No determina el productocruz, o bien, no calculasu módulo y el área delparalelogramo que seforma, porque no co-noce el procedimiento.

No determina el productocruz, ni calcula su móduloni el área del paralelo-gramo que se forma,porque no comprende loque se le está pidiendo.

II, 5

Calcula correctamente el valor de x, medianteecuaciones, en todos los casos.

Calcula correctamente elvalor de x, por inspección,en todos los casos.

Calcula correctamentesolo uno de los valoresde x.

No logra resolver lo pedido, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Unidad 3 | 131

Unid

ad 3

Para el ítem III, considere la siguiente rúbrica:Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (13 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 9 preguntas.Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos.




1. Dados los siguientes vectores, determina:

a. La forma analítica del vector AB.b. Las coordenadas del punto D.c. Las coordenadas del punto E.d. La forma analítica del vector GH.e. Las coordenadas del punto I.f. Las coordenadas del punto M.

2. Dado un triángulo de vértices A(–1, 4), B(3, –2) y C(0, 6),con O(0, 0), determina su homotético por la aplicación,en cada caso, de:

a. H(O, 2)

b. H

d. H(O, –1)

e. H(O, –3)

f. H

3. Determina la correspondiente ecuación vectorial, en cada caso.

a. 2x – 5y + 10 = 0b. x + 3y – 6 = 0c. 3y – 5 = 0d. 4x + y – 8 = 0

4. Determina la correspondiente ecuación cartesiana, en cada caso.

a. �x, y� = �1, 2� + λ�–4, 5�b. �x, y� = �0, 3� + λ�3, 2�c. �x, y� = �2, 2� + λ�4, 1�d. �x, y� = �5, 0� + λ�–3, –8�

5. Calcula los siguientes productos.

a. �3, 2, 5� × �2, 1, 0�b. �4, 3, 7� × �3, –5, 8�c. �0, 1, 5� × �2, 6, –1�d. �2, 2, 1� × �–2, 8, 3�

6. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa porlos puntos dados.

a. P(1, 0, 4) y Q(0, 2, 5)b. P(3, –2, 6) y Q(1, 3, –1)c. P(2, 0, 4) y Q(3, 0, 0)d. P(4, –5, 2) y Q(1, 2, 0)

7. Determina la ecuación vectorial de la recta:

a. 2x + 3y – z – 6 = 0b. 3x + y + 2z – 8 = 0c. x + 5y – 3z – 10 = 0d. 4x – 7y – 3z – 3 = 0

8. Determina la ecuación vectorial del plano que contienelos puntos:

a. A(0, 2, 5), B(1, 5, 7) y C(3, 0, 1) b. A(1, –4, 2), B(7, 3, –3) y C(6, 2, 2) c. A(5, 0, –3), B(6, 1, 1) y C(8, 2, –2) d. A(4, –4, 3), B(–6, 3, 0) y C(–2, 0, 7)

O, –14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

O,25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟



c. H O,74

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B(2, 3)

C(4, 3)

CD→

= (4, –4) EF→

= (4, 3)AB→

D

E

F(10, –1)

A(0, –1)

GH→

H(–9, 3)

G(–3, 1)

KM→

= (–1, –2) IJ→

= (3, 0)I J(–3, –1)

M

K(–9, 1)


Unidad 3 | 133

Unid

ad 3

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiary que le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en laUnidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión dereforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad porsus estudiantes.





• En los ítems 2, 7 y 11, es posible que sus estudiantes confundan si se les solicita responder si la afirmación es falsa o verdadera, o bien, considerar la primera respuesta correcta, sin leer todas las alternativas. Insista en quelean con atención el enunciado y que antes de responder lean todas las alternativas.

• En los ítems 4, 5, 6, 9, 12 y 13, enfatice a sus estudiantes que realicen suscálculos con cuidado y pongan atención a los signos, ya que en una pruebade selección múltiple, usualmente las respuestas con errores de este tipotambién están entre las alternativas posibles, de modo que el resultado dela prueba podría no reflejar sus conocimientos.

Evaluación final


1, 8, 9 y 12

Interpretar, analizar y calcular.


3, 4, 5, 6 y 13

Interpretar y aplicar. 2 puntos cada una 10 puntos

10Interpretar y reconocer/identificar.


2, 7 y 11 Analizar y justificar. 2 puntos cada una 6 puntos




1. Para que los tres puntos (6, 10), (26, 5) y (m, 18)sean colineales, m debe ser igual a:

A. –26

B. –

D. 4

E. 38

2. En las siguientes afirmaciones, la única falsa es:

A. en el espacio puede haber tres planos que seintersecan en un punto.

B. dos rectas paralelas generan un plano.C. una recta que es perpendicular a un plano,

es paralela a alguna recta de ese plano.D. si una recta corta a un plano, corta a todos los

planos paralelos a él.E. con tres puntos que no pertenezcan a una

misma recta se genera un plano.

3. Un cuadrilátero ABCD de vértices A(4, 0), B(0, 6),C(–3, 0) y D(0, –2) por aplicación de homotecia

H se transforma en:

A. un cuadrilátero mayor, al centro.B. un cuadrilátero menor, al centro.C. un cuadrilátero mayor, a la izquierda.D. un cuadrilátero menor, a la izquierda.E. un cuadrilátero mayor, a la derecha.

O,12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

26

4. Dados u→ = �–2, 1� y v→ = �3, 5� al calcular u→ – v→

se obtiene:

A. �0, 1�

E.

5. De los siguientes vectores: a→= �1, –3�, b→= �5, 6�,c→= �11, 2�, d→= �–9, 4�, el que tiene menor módulo es:

A. a→

B. b→

C. c→

D. d→


6. ¿Cuál es el vector director de la recta y = – x + 1?

A. �1, 5�

B. �–5, 3�

C. �–3, 1�

D.

E. �5, 3�

– ,3

51

35

1

5

1

2,

1

2

32

25

Evaluación final


C. – 1

4

B.21

5

7

2,

D.21

5

1

2,

C. �–53, –71�1

10


Unidad 3 | 135

Unid

ad 3

7. Respecto a los puntos D(–3, 4), E (2, 6) y F(12, 10)se puede afirmar lo siguiente:

A. los puntos no pertenecen a una misma recta.B. los puntos pertenecen a una parábola.C. los puntos pertenecen a distintos planos.D. los puntos pertenecen a una misma recta.E. Ninguna de las anteriores.

8. Dados u→ = �–2, p� y v→ = �q, p + 1�, los valores de py q para que u→ + v→ = �–3, 7� son, respectivamente:

A. p = 4; q = –5 B. p = 1; q = –3 C. p = 4; q = 1D. p = 3; q = –1E. p = 3; q = 1

9. Para que el punto A(1, –5) se traslade a las coordenadas A’(–1, 5), ¿qué vector de traslación habría que aplicar?

A. �2, 10�B. �–10, –2�C. �–2, 10�D. �2, –10�E. �–2, –10�

10. Si al aplicar una homotecia a una figura ubicadaen el primer cuadrante del plano cartesiano, seobtiene otra figura semejante y de menor ta-maño, ubicada entre el centro de homotecia y lafigura original, entonces el valor de λ es:

A. –λ < –1B. –1 < λ < 0C. λ > 0D. 0 < λ < 1E. λ > 1

11. En relación con dos rectas oblicuas en el espacio,no coplanarias, ¿cuál o cuáles de las siguientesafirmaciones son verdaderas?

I. Existe al menos un plano que contiene a unade las rectas y que interseca la otra recta enun punto.

II. Es posible que exista un plano que contengaa una de las rectas y sea perpendicular a laotra recta.

III. Existe solamente un par de planos paralelosa los que pertenecen respectivamente lasdos rectas.

A. Solo IB. Solo IIIC. I y IID. I y IIIE. Todas.

12. Sean T→

1�–4, 9� y T→

2�3, –5� dos traslaciones, entonces al trasladar el triángulo de vértices P(2, 1), Q(4, 5) y R(3, 9) respecto a T

→1 y luego T

→2,

el triángulo trasladado es:

A. P’(–2, 10), Q’(0, 14) y R’(–1, 18)B. P’(5, –4), Q’(7, 0) y R’(6, 4)C. P’(1, 5), Q’(3, 9) y R’(2, 13)D. P’(–10, –44), Q’(–8, –40) y R’(–9, –36)E. Ninguna de las anteriores.

13. La ecuación vectorial de la recta que pasa porA(1, –2) y tiene por vector director d

→= �3, –1� es:

A. �x, y� = �1, –2� + λ�–1, 3�B. �x, y� = �–2, 1� + λ�3, –1�C. �x, y� = �5, –3� + λ�0, –1�D. �x, y� = �1, –2� + λ�3, –1�E. Ninguna de las anteriores.



Áreas y volúmenes4Propósito de la Unidad

Esta Unidad tiene por objetivo entregar a los alumnos y las alumnas las herramientas necesariaspara representar redes tridimensionales de cuerpos geométricos, así como para calcular el áreay volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas e identificar las proyecciones de estosen el plano. Por otro lado, se analizará cuáles de estos cuerpos geométricos pueden ser gene-rados por la rotación o la traslación de una figura.


Áreas y volúmenes

Área Volumen

Perfil

Proyecciones en el plano

Planta Alzado

CilindroPrismas Pirámides Cono

Cuerpos generados por rotación

Cuerpos generados por traslación

Esfera

Cuerpos geométricos

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1 5/11/10 09:53 Página 136

Unidad 4 | 137

Relació

n e

ntre l

os C

MO

de l

a U

nid

ad y

los d

e a

ños a

nterio

res

1º M

edio

Aná

lisis

de la

sig

nific

ació

n de

las

cifr

as e

n la

reso

luci

ón d

e pr

oble

mas

. C

onoc

imie

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sobr

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apr

oxim

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ecim

ales

.

Reso

luci

ón d

e pr

oble

mas

rela

tivos

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• Si se quiere conocer el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados

a, b y c, se puede utilizar la fórmula de Herón: A = ,

• El prisma es un poliedro limitado por dos figuras planas paralelas, llamadosbases, y tres o más paralelogramos, correspondientes a sus caras laterales. Elprisma se dice recto si las aristas de sus caras laterales son perpendiculares a lasbases, y oblicuo en caso contrario.

• La pirámide es un poliedro limitado por una figura plana, llamada base, y treso más triángulos, correspondientes a sus caras laterales. La pirámide se dicerecta si las todas sus caras laterales son triángulos isósceles o rectángulos, yoblicua en caso contrario.

• Para calcular el área de un polígono regular de manera sencilla, se puede uti-

lizar la expresión: A = , donde el apotema corresponde

a la distancia entre el centro del polígono regular y el lado.

• Se denomina cuerpo de revolución a todo cuerpo geométrico que se forma alhacer girar una línea o una superficie móvil alrededor de una recta fija, llamadaeje. Conos, cilindros y, en sentido amplio, esferas son cuerpos generados porla rotación de figuras geométricas en torno a un eje fijo.

• Un cilindro es un cuerpo geométrico generado por un rectángulo, al girar entorno a uno de sus lados.

• Un cono se genera al girar una recta en torno a otra recta fija que se intersecacon ella, delimitado por un plano que forma la base del cono. La recta fija seconoce como eje y la recta móvil se conoce como generatriz. Ambas rectas secortan en un punto llamado vértice.

• Un tronco de cono es la parte de un cono comprendida entre la base y un planoparalelo a esta, trazado por debajo del vértice.

• Una esfera se genera por la rotación de una semicircunferencia alrededor deldiámetro. La esfera resultante se puede definir como el lugar geométrico detodos los puntos en el espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro.La distancia del centro a cualquier punto de la esfera es su radio.

s s a s b s c( – )( – )( – )

perímetro · apotema2

Unidad 4 | 139

Unid

ad 4

donde s es la medida de su semiperímetro, es decir: s = .a + b + c

2



Conversemos de...


que desarrollan



Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: recordar equivalencias de las unidades de medida. Ítem 2: calcular área y perímetro de polígonos regulares.Ítems 3, 4 y 5: calcular el área de las figuras dadas. Ítem 6: representar una longitud en función de otra.Ítems 7 y 8: calcular el área de figuras a partir de otras figuras.Ítem 9: calcular la razón entre las áreas de las figuras dadas.


¿Cuánto sabes?


1 y 2 Recordar y calcular.

3, 4 y 5Interpretar, recordar y calcular.

6Interpretar y representar.

7, 8 y 9Interpretar, recordar y calcular.

La idea de que un cuerpo se genere por la rotación o la traslación de una fi-gura plana no siempre es fácil de visualizar. Por este motivo, la imagen iniciales un excelente recurso visual para ilustrar las características de los cuerposgenerados por rotación y anticipa la discusión acerca de la dificultad de calcularel área y el volumen de este tipo de cuerpos.


En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación conlos aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad.Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarlesqué saben sobre el área y el volumen de diversos cuerpos geométricos, asícomo sobre qué son los cuerpos generados por traslación o por rotación. Conlas ideas que les vayan diciendo, puede hacer un esquema en la pizarra; estole permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de susestudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años an-teriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial

Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en elTexto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestranen el Texto y complementarla con otras como las siguientes:

• ¿Cómo funciona un torno?• ¿Cuál es la característica en común que tienen las piezas de cerámica que

son creadas con la ayuda de un torno?• ¿De qué depende la cantidad de arcilla que se pone en el torno?, ¿por qué?• Si se quisiera fabricar un vaso de 500 cm3 de capacidad, ¿qué dimensiones

podría tener?


Unidad 4 | 141

Unid

ad 4Posibles dificultades en la evaluación

y remediales

• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas confundan las equiva-lencias entre las distintas unidades de medida; pueden ver las equivalenciasnecesarias en la página siguiente.

• Para responder al ítem 2, recuerde a los y las estudiantes que el apotemaes la distancia entre el centro del polígono regular y uno de sus lados, yque el número de lados del polígono está indicado por el prefijo de la palabra. Por ejemplo, dodecágono es un polígono de 12 lados.

• En el ítem 3, enfatice a los y las jóvenes que deben responder las activi-dades en la unidad de medida solicitada.

• En el ítem 4, si sus estudiantes no recuerdan la expresión que relaciona ladiagonal de un cuadrado con la medida de su lado, sugiérales que apliquenel teorema de Pitágoras para obtenerla.

• En los ítems 5, 6, 7, 8 y 9, es posible que los y las estudiantes no recuerdencuando una figura está inscrita en otra. Utilice la figura del ítem 9 para di-ferenciar un polígono inscrito (todos sus vértices son puntos de la circunfe-rencia y sus lados están incluidos dentro del círculo) y un polígonocircunscrito (todos sus vértices están en el exterior de la circunferencia, ysus lados son tangentes a ella).

• En el ítem 8, sugiera a sus estudiantes que lean el enunciado con atención.Pueden cometer errores al interpretar la figura como que se debe calcularel área del triángulo inscrito en la circunferencia, que no es lo pedido.

• En el ítem 9, enfatice que se pide la razón entre las áreas indicadas, no su valor.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Escribe correctamentetodas las equivalencias.

Escribe correctamente lasequivalencias, con uno odos errores numéricos.

Escribe solo algunasequivalencias, ya queconfunde las equivalen-cias de longitud, área y volumen.

No escribe las equivalen-cias pedidas, porque nocomprende lo que se leestá pidiendo.

2

Calcula correctamente el área y perímetro detodos los polígonos.

Calcula correctamente el área y perímetro, pero confunde uno de los polígonos.

Calcula solo algunos valores de área y períme-tro, o bien, confunde los polígonos.

No logra determinar losvalores, o bien no com-prende lo que se le está pidiendo.

3 y 4

Calcula correctamente elárea de todas las figuras.

Calcula correctamente elárea, pero confunde lasunidades de medida.

Calcula solo algunos valores de área, porqueno realiza todas las operaciones necesarias.

No logra determinar los valores, o bien nocomprende lo que se le está pidiendo.

5, 6, 7, 8 y 9

Calcula correctamentetodos los valores pedidos.

Calcula lo pedido sinerrores, pero no siempre responde la pregunta correctamente.

Calcula solo algunos valores pedidos, porqueconfunde cuándo una figura está inscrita o circunscrita en otra.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.




Actividad inicial

La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo ilustrar a los alumnos y alumnas la necesidad de expresar el área y volumen de diversoscuerpos, sin recurrir necesariamente a la descripción de su forma. Así como lanecesidad de expresarlos con la unidad de medida más apropiada.


• Mencione a sus estudiantes que, a diferencia de las medidas de longitud,el área y el volumen no pueden ser calculados directamente con un instrumento (como una regla o una huincha de medir), por lo tanto es necesario utilizar fórmulas para calcular el área y volumen de un cuerpo.

• Recuérdeles que, una vez resuelto un ejercicio de área o de volumen,siempre deben revisar su unidad de medida, pues para el área se utilizanunidades como cm2 y m2, por ejemplo, mientras que para volumen se utilizan unidades como cm3 y m3, por ejemplo.

• Suele ocurrir que los y las estudiantes no diferencian entre área y superfi-cie; la superficie se refiere a la forma de una figura o cuerpo geométrico,mientras que el área se refiere a la medida de dicha superficie.


De refuerzo

1. Escribe en tu cuaderno una lista de envases de uso cotidiano que tengan unlitro de capacidad. Luego, estima cuál de estos envases tiene mayor área ycuál tiene menor área. Explica.

(Habilidades que desarrolla: formular hipótesis, conjeturar o predecir).

De profundización

1. Considera una pirámide de base cuadrada. ¿Qué pirámide tiene mayor volumen: una que tenga el doble de altura o una que tenga el doble deárea basal que la original? Justifica.


Páginas 160 y 161 Área y volumen

Actividades


desarrollan

1 y 2Formular hipótesis, conjeturar o predecir,evaluar y justificar.

3 Justificar.


Analicemos...




Unidad 4 | 143

Unid

ad 4Páginas 162 y 163 Proyecciones en el plano

Actividades


desarrollan

1 y 2Interpretar y representar.

Analicemos...


Recordar, conectar y representar.

Actividad inicial

Como motivación, comente a los alumnos y las alumnas que, a pesar de quevivimos en un mundo en tres dimensiones, la mayoría de las representacionesque hacemos de él tienen solo dos. Además, mencióneles que la mayoría delos objetos se ven de manera distinta, según desde el punto en que se miren(lo que explica la existencia del alzado, planta y perfil), e incluso es posible quese requieran más de tres vistas para describirlo correctamente.


De refuerzo

1. Dibuja la planta, alzado y perfil de los siguientes cuerpos.

a. b.

2. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones.

a. b.

(Habilidades que desarrollan: analizar y representar).

De profundización

1. ¿En qué casos la planta, el alzado y el perfil de un cuerpo son la misma figura? Explica.

2. ¿Es posible que para representar un cuerpo sea necesario otra proyección,además de la planta, el alzado y el perfil? Justifica.

(Habilidades que desarrollan: interpretar, analizar y justificar).



Actividad inicial

Para que los alumnos y alumnas comprendan y utilicen correctamente las expresiones que permiten calcular el área de prismas y pirámides, se recomienda enfatizarles que el área se deduce de la red del prisma o pirámidecorrespondiente, ya que depende tanto del número de caras laterales y de laforma de las bases, como de las medidas de sus aristas y de su altura.


Por lo general, la mayor dificultad para el cálculo del área de un prisma o unapirámide es calcular el área de la base del prisma (sobre todo si no es uncuadrado o rectángulo), por eso se recomienda repasar el cálculo de área entriángulos y en polígonos regulares, indicando que siempre pueden ser descompuestos en triángulos isósceles para facilitar cálculos.

Actividades previas

Para repasar el cálculo de área de triángulos, se proponen los siguientes ejercicios.

1. Un rombo está formado por la unión de dos triángulos equiláteros de lado5 cm. Determina la longitud de sus diagonales y su área.

2. Calcula la altura y el área de un triángulo equilátero de perímetro 36 cm.3. Un trapecio isósceles está formado por un cuadrado de lado 10 cm y dos

triángulos rectángulos isósceles unidos a dos lados opuestos del cuadrado.¿Cuál es el perímetro del trapecio?, ¿cuál es su área?


De refuerzo

1. Determina el área total de un prisma recto cuya base es un triángulo equi-látero, si el lado de la base mide 5 cm y la arista lateral 9 cm.

2. Las bases de un prisma tienen forma de trapecio. Las longitudes de las aristasparalelas de la base miden 4 y 9 cm, las longitudes de las aristas no paralelasmiden 5 y 6 cm y la altura mide 12 cm. Determina el área lateral del prisma.

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

De profundización

1. Determina el área de una pirámide de base hexagonal, si el lado de la basemide 8 cm y su altura es cinco veces la longitud del apotema de la base dela pirámide.


Páginas 164 y 165 Área de prismas y pirámides

Actividades


desarrollan


3, 4 y 5Interpretar, aplicar y calcular.


7 y 9Conectar, interpretar y calcular.

Analicemos...


Recordar, interpretar, conectar evaluar y seleccionar.


Unidad 4 | 145

Unid

ad 4

Actividad inicial

Al referirse a los cuerpos generados por traslación, se recomienda explicitar queal hablar de una traslación se habla en términos matemáticos, es decir, la quese representa con un vector de traslación, con magnitud, dirección y sentido,para que sus estudiantes visualicen los cuerpos correctos y no piensen en escalones, arcos o escaleras de caracol, por ejemplo.


De refuerzo

1. ¿Se podrían generar dos cuerpos distintos si se utiliza la misma figura comogeneratriz? Explica.

2. ¿Por qué no se considera un cono como un cuerpo generado por traslación?

(Habilidades que desarrollan: formular hipótesis, conjeturar o predecir y justificar).

Página 166 Cuerpos generados por traslación

Actividades

ÍtemHabilidades que

desarrollan

1Interpretar, analizar y calcular.

Analicemos...



Actividad inicial

La imagen de la berenjena cortada en rodajas nos permite introducir el tema,pero no ilustra correctamente el principio de Cavalieri. Enfatice a sus estudiantes que lo fundamental del principio de Cavalieri es quetodas y cada una de las secciones planas que se comparen (de los dos cuerpos)deben ser correspondientemente de igual área, aunque no tengan la mismaforma entre sí ni sean iguales a la base, según el caso.

El principio de Cavalieri es muy útil para comprender la relación existente entreel área de un cilindro y un prisma, o bien entre un cono y una pirámide, por eso es fundamental que los alumnos y las alumnas lo comprendan y sepan aplicarlo.


De refuerzo

1. Si el volumen de un prisma es 40 cm3, ¿cuál es el volumen de otro prismade la misma base y que tiene por altura el doble de la altura del primerprisma? Resuelve utilizando el principio de Cavalieri.


Página 167 Principio de Cavalieri

Analicemos...


Interpretar, representar y analizar.

misma área

misma área

misma área



Actividad inicial

Ya que los y las estudiantes están familiarizados con el cálculo del volumen deun paralelepípedo, se compara el volumen de un prisma con el de un parale-lepípedo aplicando el principio de Cavalieri. De modo que, si se conoce el áreade la base y la altura se puede calcular el volumen del prisma.


Una posibilidad es hacer notar a los alumnos y las alumnas que un prisma esgenerado por la traslación de un polígono en el espacio; esto puede ayudar acomprender y recordar la expresión que permite calcular el volumen del prisma.Pero advierta a sus estudiantes que este volumen depende siempre de la alturadel cuerpo, no de la longitud del vector de traslación que lo genera, para queno cometan este error.


De refuerzo

1. En una bodega de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura, se quierenguardar cajas de 0,5 m de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de altura.

a. ¿Cuántas cajas caben como máximo?b. ¿Cómo están colocadas?

(Habilidades que desarrolla: conectar y aplicar).

De profundización

1. El estacionamiento de un supermercado tiene forma de rectángulo de 300 my 400 m, respectivamente, en el que existen desagües para recoger la lluvia en un estanque de base cuadrada de 20 m de lado y 10 m de profundidad. Si un día caen 30 litros por metro cuadrado, ¿alcanzará todael agua en el estanque si está vacío? ¿Y si ya había una profundidad de unmetro de agua?

(Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar y aplicar).

Páginas 168 y 169 Volumen de un prisma

Analicemos...


Recordar, evaluar y analizar.

Actividades


desarrollan


3, 4 y 7Interpretar, aplicar y calcular.


8 y 10Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

9Interpretar, conectar y calcular.


Unidad 4 | 147

Unid

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En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los contenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de quelos y las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y,además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.



1. ¿Cuál es la diferencia entre el perfil y el alzado de un cuerpo?2. ¿En qué se diferencian las proyecciones en el plano y la red de un poliedro?3. ¿Cómo le explicarían a otra persona el principio de Cavalieri?, ¿este principio

se aplica para relacionar el volumen de un cono y el de un cilindro?, ¿por qué?


desarrolla

Mapa conceptual



Actividad inicial

Para demostrar que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen deun prisma (de igual base e igual altura), la estrategia consiste en demostrar queel prisma puede dividirse en tres pirámides de igual volumen. Enfatice a sus estudiantes que estas pirámides tienen igual volumen, lo que se demuestra mediante el principio de Cavalieri, pero no son necesariamente iguales en suforma. Procure que sus alumnos y alumnas sigan y comprendan la demostración,dibujando en sus cuadernos las correspondientes pirámides –si es necesario–para visualizar por qué se establece que tienen igual volumen, en cada caso.


De refuerzo

1. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal sabiendo que la arista de labase mide 10 cm y que la altura mide 20 cm.

2. En una pirámide de base cuadrada, la arista de la base mide 11 cm y la altura 16 cm. ¿Cuál es el área lateral y el área total de la pirámide?

(Habilidades que desarrollan: aplicar).

De profundización

1. Se tienen dos pirámides cuyas bases tienen la misma área y sus volúmenessuman 960 cm3. Calcula las áreas y la medida de sus alturas si estas últimassuman 24 cm y están en la razón 5 : 7.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar y calcular).

Páginas 170 y 171 Volumen de pirámides

Actividades


desarrollan

1 y 2 Aplicar.

Analicemos...


Recordar, representar, interpretar,analizar y justificar.



En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y las estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; esdecir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta unatabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las quepuede recurrir para corregir sus errores.


Ítem 1: calcular el volumen y el área de una pirámide.Ítem 2: calcular el volumen de una pirámide.Ítem 3: calcular la altura de una pirámide, dado su volumen.Ítem 4: determinar las proyecciones de un cuerpo geométrico.Ítem 5: calcular el área total de un prisma.


• En los ítems 1, 2 y 3, es posible que sus estudiantes confundan los datos quese entregan, por ejemplo, cuando se menciona la altura de la pirámide y laaltura de la cara de la pirámide, o bien, que al calcular el área o el volumenno consideren la forma de la base de la pirámide. Indíqueles que una formade no confundir los datos es escribirlos en su cuaderno a medida que se valeyendo el ejercicio, así como cuál es la medida que se pide, de modo detener todos los datos a la vista para determinar cuál es la expresión que losrelaciona y resolver correctamente el ejercicio.

• En el ítem 4, enfatice a sus alumnos y alumnas que las proyecciones en elplano son vistas sin perspectiva ni tridimensionalidad alguna. Así, por ejem-plo, en el alzado de la figura b se debe dibujar un rectángulo, sin sombrasni curvas que indiquen su forma redonda, ya que esto se aprecia en la plantade la figura, en este caso. Por otra parte, para el alzado y el perfil se debeprivilegiar la vista que tenga más detalles. En ocasiones, es necesario dibu-jar tanto el perfil izquierdo como el perfil derecho.

• En el ítem 5, insista en cómo extraer la información del enunciado. En estecaso, como la base del prisma es un hexágono regular, su apotema corres-ponde a la altura de un triángulo equilátero y se puede calcular su lado,que es el lado del hexágono también.


evalúan




4Interpretar, calcular y justificar.


Mi progreso


Unidad 4 | 149

Unid

ad 4A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus

estudiantes.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1 y 2

Calcula correctamentelas dimensiones pedidas,y las entrega con su unidad de medida correspondiente.

Calcula correctamentelas dimensiones pedidas,pero entrega su respuestade manera incompleta.

Calcula correctamentesolo uno de las dimen-siones solicitadas, debidoa que confunde algunosde los datos entregados.

No logra calcular correctamente las dimensiones pedidas, o bien, desconoce losconceptos que se le solicitan.

3

Calcula correctamente la altura pedida, y la en-trega con su unidad demedida correspondiente.

Calcula correctamente la altura pedida, pero entrega su respuesta demanera incompleta.

No logra calcular la altura pedida, debido aque no comprende cómoobtener algunos de losdatos que requiere.

No logra calcular la altura pedida, o bien,desconoce los conceptosque se le solicitan.

4

Representa correctamentelas tres proyecciones enel plano, en ambos casos.

Representa las tres pro-yecciones en el plano,con uno o dos errores.

Representa las proyeccio-nes en el plano, con erro-res en una o dos de ellas,en ambas figuras.

No representa las pro-yecciones, debido a quedesconoce los conceptoso el procedimiento.

5









1. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones.

a.

b.

2. Dibuja las vistas de alzado, perfil y planta de cada cuerpo.

3. Calcula el área lateral de un prisma recto de base pen-tagonal regular, cuya arista basal mide 3 cm y la aristalateral, 5 cm.

4. Calcula el área total de un prisma recto cuya base es untriángulo equilátero, si su arista basal mide 8 cm y suarista lateral mide 14 cm.

5. La altura de una pirámide regular de base hexagonal es7 m y su arista basal mide 8 m. Calcula su área total.

6. El volumen de un prisma rectangular recto es 1000 cm3.Calcula su área total si se sabe que las medidas de lastres aristas que concurren en un mismo vértice están enla razón 1 : 2 : 4.

7. Javiera está preparando una caja de arena para su gatoTeo. Si la caja mide 80 cm de largo y 60 cm de ancho, yella estima que la arena tiene que alcanzar una altura de12 cm, ¿cuánta arena debe conseguir Javiera?

8. Claudio está diseñando un nuevo envase para venderbombones. Tiene forma de prisma de base triangular, yahora está decidiendo qué tamaño es mejor. Uno tiene425 cm2 de área basal y 0,25 cm de altura. El otro tienecomo base un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos miden 12 cm, y altura 18,5 mm. ¿Cuál de los dostiene mayor volumen?

9. La pirámide de Keops, la mayor pirámide construida enEgipto, tiene base cuadrada cuyos lados miden 230,36 m,su altura es de 146,59 m y la apotema lateral mide186,43 m. ¿Cuál es su volumen?



Unidad 4 | 151

Unid

ad 4

Actividad inicial

De manera similar a los cuerpos generados por traslación, también es posibleidentificar cuerpos generados por rotación, como los que se ven en estas páginas. Así, la condición en este caso, es que el eje respecto del cual se realiza la rotación es un eje fijo, generalmente vertical, aunque también podríaser horizontal u oblicuo.


De refuerzo

1. Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene al girar las siguientes figurasalrededor del eje indicado.

a. b. c.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, aplicar y representar).

De profundización

1. Dibuja el cuerpo de revolución engendrado por la siguiente figura al giraralrededor del eje. Calcula su área y volumen.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar, aplicar y calcular).

Páginas 174 y 175 Cuerpos generados por rotación

Analicemos...


Recordar, analizar y conjeturar.

Actividades


desarrollan

1 y 2Interpretar y representar.

3Recordar y formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Actividad inicial

Para mostrar a los y las estudiantes la razón de las expresiones usadas en el cálculo del área de un cilindro y, en particular, de un cono, analice con ellos lared de cada cuerpo, de modo que puedan reconstruirla si olvidan la expresióncorrespondiente. Puede cortar una circunferencia de cartulina, cortarla poruno de sus radios y, luego, doblarla para formar conos de distintos tamaños.Muestre así que utilizando la misma generatriz, el área depende también delradio del círculo de la base.

Páginas 176 a 177 Área de cilindros y conos

Analicemos...


Representar, verificar y analizar.

2 cm

1 cm

3 cm 3 cm 3 cm

2 cm




De refuerzo

1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad dealuminio necesario para fabricarlo.

2. Calcula la generatriz de un cilindro cuya área total es 408,2 cm2 si el radiode la base mide 5 cm.

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Actividades


desarrollan


2 Analizar.



El volumen de un cilindro también se puede deducir por comparación con elvolumen de un prisma de igual área basal, aplicando el principio de Cavalieri.De esta manera, para determinar el volumen de un cilindro, basta con conocer el radio de su base y su altura.

En particular, en el caso de un cilindro oblicuo, la inclinación que tenga el ci-lindro en ningún caso afecta a su volumen. Esto lo puede justificar armandoun cilindro con un grupo de monedas iguales, si luego se acomodan las mo-nedas para que formen un cilindro oblicuo, se conserva la altura del cilindro ytambién su volumen, porque no fue necesario sacar ni colocar una monedapara completar el cilindro.


De profundización

1. ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya área total es 471 m2 y cuya alturamide el doble que su radio?


Página 178 Volumen de cilindros

Analicemos...


Aplicar, justificar y analizar.

Actividades


desarrollan


2 y 3Interpretar, calcular y conjeturar.

Para visualizar de mejor manera los cuerpos que pueden generarse por rotación,se puede recurrir al applet que se indica en el Texto, que muestra superficies derevolución, es gratuito y de libre disposición para descargarlo desde Internet.Se recomienda que, en la pestaña Torno, los y las estudiantes dibujen un polígono cerrado y, luego, modifiquen su posición respecto del eje de rota-ción. Entonces, pregúnteles: ¿cómo se modifica el área del cuerpo?, ¿y su volumen?, ¿por qué?


desarrollan

1 y 2Usar herramientas observar y analizar.



Unid

ad 4

Unidad 4 | 153


• Para demostrar empíricamente que el volumen de un cono corresponde aun tercio del volumen de un cilindro, se propone la siguiente actividad:

1. Construye con cartulina un cilindro abierto en una de sus bases y un conotambién abierto, cuya base es igual a las bases del cilindro y cuya alturamida lo mismo que la altura del cilindro.

2. Llena completamente de arena el cono y luego vierte el contenido den-tro del cilindro.

3. Repite el paso anterior dos veces más. ¿Qué puedes observar?

• La actividad anterior también se puede utilizar para demostrar la relaciónentre los volúmenes de un prisma y una pirámide de igual base y altura.


De refuerzo

1. Calcula la altura de un embudo en forma de cono con 18 cm de diámetroy 15 cm de generatriz. Luego, calcula su volumen.


Páginas 180 y 181 Volumen de conos

Actividades


desarrollan


2 y 3Interpretar, aplicar y calcular.

Analicemos...




• En estas páginas se muestran los procedimientos necesarios para deducir lafórmula de área y volumen de una esfera, a través de elementos presentesen otros cuerpos geométricos.

• Para el desarrollo de la página 182 se requiere la aplicación del teorema dePitágoras, por lo que se recomienda recordar el teorema a sus estudiantes.


De refuerzo

1. Calcula el área y volumen de una esfera:

a. de radio 2,3 cm.b. de diámetro 10 cm.c. de radio 6 cm.

2. Si el radio de una esfera aumenta un 10%, ¿en qué porcentaje aumenta lamedida de su volumen?

(Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

Páginas 182 y 183 Volumen y área de la esfera

Analicemos...



Actividades


desarrollan

1 Aplicar.


3Interpretar, aplicar y calcular.



En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los contenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de quelos y las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y,además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.



1. Explica el principio de Cavalieri. ¿Por qué permite justificar la relación entreel volumen de una pirámide y el volumen de un cono?

2. ¿Existen cuerpos redondos que no sean generados por la rotación de unasuperficie generatriz? Justifica.

3. ¿En qué casos se puede calcular el área de un cuerpo redondo mediante elanálisis de su red?, ¿en qué casos no? Explica.

4. Si se comparan dos conos, de igual base y uno con el doble de la altura delotro, ¿cómo se relacionan sus áreas?, ¿y sus volúmenes?

5. ¿Qué características tienen los cuerpos de revolución?, ¿cómo se reconocesi un cuerpo geométrico cualquiera corresponde a un cuerpo de revolución? Explica.



desarrolla

Mapa conceptual


En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estu-diantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir,puede ser utilizado como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla conlos criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores.


Ítem 1: determinar cuerpos generados por rotación a partir de su generatriz.Ítems 2 y 4: determinar el área y volumen de un cilindro.Ítems 4 y 5: determinar el área y volumen de un cono.Ítems 3 y 6: determinar el volumen de una esfera.


• En el ítem 1, indique a sus alumnos y alumnas que los cuerpos de revoluciónse deben dibujar con sombras o curvas que indiquen su forma redonda,para apreciarlo correctamente.



evalúan


2, 3 y 6 Aplicar y analizar.


5 Aplicar.

Mi progreso


Unidad 4 | 155

Unid

ad 4• En los ítems 2, 3 y 5, es posible que sus estudiantes confundan los datos que

se entregan, por ejemplo, cuando se menciona la altura del cono y la ge-neratriz del cono, o bien, que al calcular el área total o el volumen noconsideren la base del cilindro o cono. Enfatíceles que una forma de noconfundir los datos es escribirlos en su cuaderno a medida que se va le-yendo el ejercicio, así como cuál es la medida que se pide, de modo detener todos los datos a la vista para determinar cuál es la expresión quelos relaciona y resolver correctamente el ejercicio.

• En el ítem 4, puede indicar a sus estudiantes que calculen primero el árealateral, el área total y el volumen del cilindro en cada caso y luego la delcono, de modo de puedan establecer la ecuación correspondiente para de-terminar el valor de la generatriz pedida.

• En el ítem 6, insista en que manejen los valores del área y volumen expre-sándolos como un valor multiplicado por π, y que eviten remplazarlo por 3ó 3,14, ya que todas las alternativas están expresadas en términos de π.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Representa correctamentelos cuerpos de revolución,en ambos casos.

Representa ambos cuer-pos de revolución, conalgún error de dibujo.

Representa los cuerpos derevolución, con erroresconceptuales o de interpretación de la superficie generatriz.

No representa los cuerpos de revolución,debido a que desconocelos conceptos o el procedimiento.

2, 3 y 5




No logra calcular correc-tamente las dimensionespedidas, o bien, desco-noce los conceptos quese le solicitan.

4

Calcula correctamente lageneratriz pedida, entodos los casos y la en-trega con su unidad demedida correspondiente.

Calcula correctamente lageneratriz pedida, peroentrega su respuesta demanera incompleta.

No logra calcular la ge-neratriz pedida, debido aque no comprende cómoestablecer la ecuaciónque requiere.

No logra calcular la ge-neratriz pedida, o bien,desconoce los conceptosque se le indican.

6


Marca la alternativa enforma correcta, pero nojustifica adecuadamentesu decisión.




A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en laUnidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, de-pendiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y segúnlos ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.




1. Calcula el volumen de material que se necesita paraconstruir una torre cilíndrica de 15 m de altura, si elmuro debe tener un grosor de 50 cm y el radio basal delcilindro exterior debe medir 3 m.

2. Determina la altura de un tronco de cono cuyo volumenes 351π cm3, si el radio de su base menor es 3 cm y elde su base mayor es 9 cm.

3. La altura de un cilindro mide el doble que su radio basal.Calcula su volumen si su área total es 96π cm2.

4. Calcula el área lateral de un cono si su área basal es64π cm2 y su altura es de 15 cm.

5. Determina la capacidad de un depósito de acero comoel que se muestra en la figura, sabiendo que el radio dela entrada circular superior mide 3 m, la altura del de-pósito completo mide 15 m, y la razón entre la alturade la sección cilíndrica superior y la de la sección có-nica inferior es de 2 : 1.

6. Calcula el volumen de los cuerpos generados al rotarcada figura en torno al eje indicado.


1. El área total de un cilindro es 75,36 cm2 y su generatrizes el doble que el radio de la base. Halla la medida delradio y la generatriz.

2. Un cilindro tiene una altura de 2a y radio b. Un segundocilindro tiene una altura a y radio 2b. ¿Cuál es la razónentre sus áreas laterales?

3. En la calle, para advertir de una pista que se va a cerrar,se pusieron 12 conos plásticos, de 36 cm de diámetro y60 cm de altura cada uno.

a. Calcula el área total de cada cono.b. Calcula el volumen del total de conos.

4. Para que el volumen de una esfera de radio R sea igualal volumen de un cono cuyo radio de la base es R, ¿cuáldeberá ser la medida de la altura del cono?

5. Se decide pintar una pelota de colores azul, rojo y ama-rillo a razón de 3 : 4 : 5, respectivamente. Si el radio de la pelota mide 15 cm, ¿cuál será el área pintada decada color?

6. Una esfera y un cono tienen el mismo volumen. Si elradio de la esfera mide la mitad que el del cono, encon-trar una expresión que permita calcular la altura delcono en función del radio de la esfera.

7. Determinar la razón entre el área lateral y el área basalde un cono generado al rotar un triángulo equilátero entorno a uno de sus ejes de simetría.

8. Si en un cilindro se duplican simultáneamente su radiobasal y su altura, ¿en qué porcentaje aumenta su área?,¿y su volumen?


10 dm

4 dm

4 dm

3 cm

3 cm 3 cm

2 cm

6 cm


Unidad 4 | 157

Unid

ad 4

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad;sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución especí-ficas para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantespueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir enla resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

Ítem 1: calcular el volumen del espacio comprendido entre dos cuerpos.Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas.Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo.



Actividades


desarrollan



El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversalesdel ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.En este caso, se presenta a los y las estudiantes la dificultad de diseñar enva-ses de cartón adecuados para presentar y proteger envases de vidrio, como lasbotellas de aceite que se muestran en la imagen de la página 188 del Texto.

Comente con sus alumnos y alumnas las condiciones que usualmente restrin-gen el diseño de estos envases: que proteja adecuadamente el envase de vi-drio, y, según qué contiene el envase de vidrio, en cada caso, decidir el grosory el tipo de cartón a utilizar y proponer un envase de cartón atractivo para lospotenciales clientes. Por ejemplo, una caja que contenga una alcuza tiene dis-tinta presentación en términos de formas y colores que una caja que contieneun perfume.



desarrollan

1 Analizar y evaluar.

2Usar herramientas y representar.

3Seleccionar y representar.

4 Interpretar datos.

Actividades


desarrollan

1Resolver problemas,conectar y analizar.

2 Evaluar.

3Conectar y formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Investiguemos...



Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente téc-nica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarificansus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que hanalcanzado sus estudiantes.

En esta sección los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapaconceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad.



Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pídales que se los intercambien, de modo que cada uno lo revise y comparecon el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles que enun mapa conceptual cada concepto se deben escribir de manera independiente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones quehay entre los conceptos.


En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidosvistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro.



desarrolla

Mapa conceptual




II

1 Representar, aplicar, calcular y evaluar.


4 Interpretar, analizar y evaluar.

III

1, 2, 4, 10 y 13 Analizar y calcular.


5, 7, 8 y 12 Interpretar y calcular.



Unidad 4 | 159

Unid

ad 4A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede uti-

lizar para evaluar a sus estudiantes.


A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en laUnidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, de-pendiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y segúnlos ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

I



Determina correctamenteel valor de verdad de al menos cuatro de las afirmaciones.

Determina correctamenteel valor de verdad de tresafirmaciones o menos.

II, 1

Representa el cuerpo de revolución, calcula los volúmenes pedidos yestablece correctamentelas condiciones requeridas.

Representa el cuerpo de revolución, calcula correctamente los volúmenes pedidos, pero no establece lascondiciones requeridas.

No representa el cuerpode revolución, o bien, no calcula el volumendel sólido, porque confunde algunos de los datos entregados.

No representa los cuerpos de revolución, ni calcula los volúmenespedidos, debido a quedesconoce los conceptoso el procedimiento.

II, 2




No logra calcular correctamente las dimensiones pedidas, o bien, desconoce losconceptos que se le solicitan.

II, 3, 4 y 5

Calcula correctamentelos valores pedidos y larelación entre ellos.

Calcula correctamentelos valores pedidos, perono determina la relaciónentre ellos.

Calcula correctamentesolo algunos de los valores pedidos.

No calcula correctamentelos valores pedidos, ni larelación entre ellos.




1. Las bases de un prisma son regiones trapezoidales. Laslongitudes de las aristas paralelas de la base miden 4 y9 cm, las longitudes de las aristas no paralelas miden5 y 6 cm y la altura mide 12 cm. Determina el área lateral del prisma.

2. El rectángulo formado por las caras laterales de unprisma de base pentagonal tiene una diagonal que mide26 cm. Si la altura mide 24 cm y el apotema de la base 1,2cm; calcula el área y volumen total del prisma.

3. Dada una pirámide de base cuadrada de 8 cm de lado y12 cm de altura, calcula la medida de:

a. el apotema de la base.b. la arista lateral.c. el apotema de la pirámide.d. el área lateral y el área total.e. el volumen de la pirámide.

4. La longitud de la arista de la base de una pirámide cuadrangular regular es 3 cm.

a. Determina el área total si la altura mide el doble dela arista de la base.

b. Si la altura es el cuádruple de la arista de la base,¿crees que el área total será el doble del área obtenida en la pregunta a?

c. Comprueba tu hipótesis calculando el área cuando laaltura es el cuádruple de la arista.

d. Calcula el volumen de la pirámide original.

5. ¿Cuánto mide el área lateral y total de un cono, si el radio de su base mide 5 cm y su generatriz es el cuádruple del radio? ¿cuánto mide su volumen?

6. Dibuja el sólido que se forma al rotar la figura alrededorde los ejes indicados.

7. Un invernadero tiene la forma y medidas que se indicanen la figura. El techo corresponde a medio cilindro y unparalelepípedo recto rectangular.

a. ¿Cuánto es el volumen de la construcción?b. ¿Cuánto es el área total de la construcción?

8. Las galletas que fabrica una empresa tienen un diámetrode 6 cm y un grosor de 5 mm.

a. ¿Cuánto volumen ocupa cada una de ellas?b. Las galletas se envasan en paquetes de 40, envueltas

en celofán. ¿Qué cantidad de celofán se necesitacomo mínimo para cada paquete?

9. Las galletas anteriores se venden en cajas con forma decubo que contienen cuatro paquetes de 40 galletascada uno.

a. ¿Cuáles son las dimensiones aproximadas de las cajasde galletas? ¿Cuánto es el área del cartón necesariopara fabricar una caja?

b. ¿Cuánto es el volumen de la caja?c. Cada caja está a su vez recubierta por celofán. ¿Qué

cantidad de celofán se gasta en total en cada caja?


6 cm8 cm

2,5 cm


Unidad 4 | 161

Unid

ad 4

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar yque le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la Unidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión dereforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad porsus estudiantes.





• En los ítems 1, 4, 5, 7, 8 y 14, recuerde a sus estudiantes que cuando losdatos que necesitan no están explícitos en el enunciado, deben obtenerlosde los demás datos presentados, y en estos casos, para evitar cometer erro-res, insista que planteen la ecuación correspondiente. Luego, si es necesario,calcular lo que se pide en la pregunta.

• En el ítem 15, enfatice cuál es el formato de esta pregunta, los alumnos ylas alumnas no deben calcular o determinar lo que se les pide, si no quedeben decidir si la información es suficiente para responder la pregunta, yasea una de ellas, cualquiera de ellas o ambas juntas. Si no, la alternativa co-rrecta sería “se requiere información adicional”.

Evaluación final


1, 4, 5, 7,8, 10 y 14

Interpretar, analizar y calcular.


11 Interpretar y representar. 2 puntos cada una 2 puntos

2, 6 y 12 Aplicar y calcular. 2 puntos cada una 6 puntos

9 Interpretar y analizar. 2 puntos cada una 2 puntos

13 y 15 Analizar y justificar. 2 puntos cada una 4 puntos




1. El volumen de un hexaedro regular es 216 cm3. Es correcto afirmar que:

I. la suma de las medidas de todas sus aristas es72 cm.

II. el área de una cara es numéricamente igual alperímetro de ella.

III. su diagonal mide 6 cm.

A. Solo I B. I y II C. I y IIID. II y IIIE. I, II y III

2. Las aristas que concurren a un vértice de un parale-lepípedo recto de base rectangular miden 3 cm, 4 cmy 12 cm. Entonces, la diagonal de este cuerpo mide:

A. 5 cm

B. cm

C. 13 cm

D. 19 cm

E. cm

3. Los cubos de 25 cm de arista que caben en uncubo de 1 metro de arista son:

A. 22

B. 23

C. 24

D. 25

E. 26

4. Un cuerpo cilíndrico tiene un volumen de 1500 cm3

y una altura de 10 cm, entonces el diámetro de labase mide aproximadamente:

A. 6,9 cmB. 13,8 cmC. 150 cmD. 138 cmE. Ninguna de las anteriores.

5. La altura de un cono mide 5 cm. Para que su volumen sea 50π cm3, su radio basal debe medir aproximadamente:

A. 2 cmB. 4,52 cmC. 5,48 cmD. 6,23 cmE. Otro valor.

6. El radio basal y la altura de un cono recto miden,respectivamente, 5 cm y 12 cm. Entonces, la superficie del manto de este cono mide:

A. 65π cm2

B. 90π cm2

C. 180π cm2

D. 200π cm2

E. Otro valor.

7. Los radios basales de un tronco de cono rectomiden 12 cm y 4 cm respectivamente. Si su ge-neratriz mide 10 cm, entonces, su altura mide:

A. 6 cmB. 3 cmC. 9 cmD. 12 cmE. Otro valor.

8. El área de una esfera es 144π cm2. Entonces su volumen mide:

A. 72π cm3

B. 144π cm3

C. 288π cm3

D. 28 872π cm3

E. Otro valor.

19

119

3

Evaluación final



Unidad 4 | 163

Unid

ad 4

9. El volumen de un cilindro está dado por la ex-presión V = πr2h. Si se duplica el diámetro basal yla altura disminuye al 50%, entonces el volumen:

A. no varía.B. disminuye 50%.C. aumenta 100%.D. aumenta 200%.E. Otra variación.

10. Un rectángulo cuyas medidas de los lados son 4 cm y 6 cm respectivamente, gira en torno a su lado menor. ¿Cuál es el volumen delcuerpo generado?

A. 4π cm3

B. 12π cm3

C. 36π cm3

D. 144π cm3

E. Otro valor.

11. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar un círculo demanera ortogonal?

A. Un prisma.B. Un cono.C. Un cilindro.D. Un poliedro regular.E. Otro cuerpo.

12. Las palomitas de maíz tienen el mismo precioaunque se entreguen en un envase cónico, cúbicoo en uno rectangular. El cono tiene un radio de 6 cm y una altura de 15 cm, el cúbico 7 cm dearista, y las medidas del envase rectangular son8 cm de ancho, 6 de alto y 9 de largo. ¿Cuál de losenvases trae menos palomitas?

A. El cónico.B. El rectangular.C. El cúbico.D. Todos tienen igual capacidad.E. Faltan datos.

13. De las siguientes proposiciones es o son verdaderas:

I. un cono se genera por la rotación de untriángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos.

II. un tronco de cono se genera por la traslaciónortogonal de un trapecio rectángulo.

III. un prisma se genera mediante la traslaciónortogonal de un polígono.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIIE. I, II y III

14. (Facsímil PSU, Demre, 2003). ¿A qué altura debeubicarse un foco cónico que tiene un ángulo de120º, para iluminar una superficie circular de 27π m2?

A. 3 metros

B. 6 metros

C. metros

D. 9 metros

E. 3 metros

15. (Facsímil PSU, Demre, 2003). Pedro e Iván esta-ban jugando con sus escuadras haciéndolas girarsobre sus catetos. Se puede determinar la relaciónque hay entre los volúmenes de los conos que segeneran si se sabe que:

(1) uno de los catetos de la escuadra de Iván,mide lo mismo que un cateto de la de Pedro.

(2) el otro cateto de la escuadra de Iván, mideel doble de lo que mide el otro cateto de lade Pedro.

A. (1) por sí sola.B. (2) por sí sola.C. Ambas juntas, (1) y (2).D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).E. Se requiere información adicional.

3

3

3



Estadística I5Propósito de la Unidad

En esta Unidad, se invita a los alumnos y las alumnas a mirar la información estadística pre-sente en los medios de comunicación, con la que a diario conviven. Se analizarán las venta-jas y desventajas de las distintas formas de organizar e interpretar información, utilizandoherramientas como las tablas y otras representaciones gráficas, con el objetivo de promoveren los y las estudiantes el análisis crítico y fundamentado de dicha información. Además, sepromueve el uso de planillas de cálculo para facilitar el manejo, la representación gráfica, elanálisis e interpretación de la información.


Estadística I

Población Variables

Gráficos

Muestra

Datos

Historia

Tablas

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ContinuasDiscretas


Unidad 5 | 165

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• La Estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos que per-miten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que apartir de ellos se puedan inferir conclusiones.

• La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea estudiary que, a su vez, presentan una característica que interesa medir. Generalmente,el tamaño de la población se denota con la letra N.

• Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que se deseaestudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la letra n.

• Una variable estadística corresponde a la o las características que se miden enla muestra. Las variables pueden ser cuantitativas, si se pueden medir numéri-camente, o cualitativas, si no, es decir, si sus valores son etiquetas que repre-sentan categorías o cualidades.

• Una variable cuantitativa puede ser discreta, cuando los posibles valores sur-gen frecuentemente de un conteo, o continua, cuando los posibles valoressurgen frecuentemente de una medición, luego, puede tomar tantos valorescomo sea posible.

• Para realizar un estudio estadístico, generalmente se siguen los siguientes pasos:

1º Recolección, orden y recuento de datos.2º Cálculo de las medidas de tendencia central, de dispersión y localización.3º Representación gráfica de los resultados.4º Planteamiento de las conclusiones.

• Para la construcción de gráficos se debe considerar el tipo de variable que sequiere representar, por ejemplo, el histograma se utiliza para representar dis-tribuciones de variables cuantitativas continuas. El diagrama de barras, pararepresentar variables cualitativas o cuantitativas discretas; estas pueden co-rresponder a las frecuencias absolutas, relativas o absolutas acumuladas.Mientras que el gráfico circular se utiliza para representar diferentes tipos devariables y se recomienda para representar porcentajes.

• Al ordenar los datos correspondientes a un cierto estudio, es usual agruparlos enclases o categorías, para lo cual, generalmente, se utilizan tablas de frecuencia.

• La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece o se repite un ciertovalor en la variable de medición.

• La frecuencia absoluta acumulada representa el número de datos cuyo valor esmenor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las fre-cuencias absolutas.

• La frecuencia relativa representa la razón de ocurrencia respecto del total. Secalcula como el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño total de lamuestra. La suma de todas las frecuencias relativas da como resultado 1.Cuando esta razón se expresa como porcentaje, se le llama frecuencia rela-tiva porcentual.

Unidad 5 | 167

Unid

ad 5



• Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango(diferencia entre el mayor y el menor valor de una variable) es muy amplio, esusual presentarlos agrupados y ordenarlos en intervalos (rango de valores).

• La marca de clase es un valor representativo de cada intervalo. Este valor co-rresponde al punto medio del intervalo. Se calcula como la suma del límite infe-rior (menor valor) y el límite superior (mayor valor) del intervalo, dividido en dos.

• Las medidas de tendencia central son parámetros estadísticos que indican va-lores cuyo objetivo es resumir la información para un conjunto de datos. Lasmedidas de tendencia central más conocidas son: la media aritmética, la me-diana y la moda.

• La media aritmética es el valor numérico que corresponde al cociente de lasuma de todos los datos y el número total de observaciones. Se denota como x.

• La mediana se define como el valor central de un conjunto de datos ordena-dos de manera creciente o decreciente. En el caso de que el número de datossea par, la mediana corresponde a la media aritmética de los valores centrales.Se denota como Me.

• La moda de un conjunto de observaciones corresponde a aquel dato que tienela mayor frecuencia. Se denota como Mo. Puede ocurrir que un conjunto dedatos tenga más de una moda.


La imagen inicial ilustra el amplio uso actual de las tablas y los gráficos en ge-neral. En particular, en el Texto se refiere a los estudios de mercado que las em-presas realizan antes de lanzar un nuevo producto al mercado. Los datosrecogidos a través de encuestas de opinión y los datos referentes a las ventasde productos similares en años anteriores, por ejemplo, pueden representarsepor medio de gráficos para permitir a analistas y directores tomar mejores de-cisiones respecto de los nuevos productos que se ofrezcan, anticipando susresultados en las ventas.


En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación conlos aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad.Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarlesqué saben sobre la Estadística y conceptos como dato, población, muestra,gráficos y medidas de tendencia central. Con las ideas que les vayan diciendosus alumnos, puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; estole permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus es-tudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años ante-riores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial

Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en elTexto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestranen el Texto y complementarla con otras como las siguientes:

• ¿En qué situaciones cotidianas se utilizan gráficos para representar la información? Explica.

• ¿Qué información debe contener un gráfico para interpretarse correctamente?• ¿En qué casos un gráfico puede malinterpretarse, es decir, que al verlo, las

conclusiones que se puedan extraer de él sean erróneas? Justifica.• ¿Qué actividades humanas no podrían desarrollarse sin el apoyo de la

Estadística? Explica.

Guíe la conversación para comentar con sus estudiantes sobre las ventajas derepresentar los datos en gráficos y también qué sucede cuando son utilizados demala manera, ya sea para exagerar la diferencia entre la frecuencia de las varia-bles, o porque la muestra escogida no es representativa de la población.

Unidad 5 | 169

Unid

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Conversemos de...


que desarrollan





Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los si-guientes criterios:

Ítem 1: calcular la razón entre números dados en una tabla. Ítem 2: representar razones como fracción, porcentaje o número decimal.Ítem 3: determinar números enteros que pertenezcan a un intervalo dado. Ítem 4: determinar intervalos que cumplan condiciones dadas.Ítem 5: calcular la frecuencia acumulada de un conjunto de datos.Ítem 6: redondear números decimales a la décima.


• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas confundan el orden en quedeben situar los correspondientes números en una razón, o bien, que olvi-den simplificar estos números para escribirla de forma más simple.

• En el ítem 2, los y las estudiantes deben recordar las equivalencias entreporcentaje, fracción y número decimal. Enfatice que una fracción irreductiblees una fracción en la que numerador y denominador son primos relativos.

• En el ítem 3, es posible que los y las jóvenes cometan errores por confun-dir cuándo un intervalo es abierto o cerrado y, por ello, incluir números en-teros que no pertenecen al intervalo. Recuérdeles que si los corchetes estánhacia fuera corresponde a menor (o mayor), en cambio, si están haciaadentro, corresponde a menor o igual (o mayor o igual).

• En el ítem 4, existen varias respuestas correctas posibles, dadas las caracte-rísticas de lo pedido. Puede pedir a sus estudiantes que digan sus respuestasen voz alta, de modo que ellos mismos decidan si están correctas y cuálsería el mayor intervalo que cumpla con lo pedido, en cada caso.

• En el ítem 5, si sus estudiantes no recuerdan qué es la frecuencia acumu-lada, puede decirles que como el número de habitantes indicado en la tablacorresponde a la frecuencia de personas por cada grupo de edad, la fre-cuencia acumulada es la que corresponde a considerar todas las personasdel mismo grupo o menores, en cada caso.

• En el ítem 6, recuerde a sus estudiantes que al redondear a la décima seescribe el mismo número truncado a la décima cuando el valor de la cen-tésima es menor que 5, y se suma una décima en caso contrario.


¿Cuánto sabes?


1 Recordar y calcular.


3 y 4 Recordar y seleccionar.


6 Recordar y representar.


Unidad 5 | 171

Unid

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ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula y representa correctamente las razonessolicitadas, independientedel método utilizado.

Calcula correctamentelas razones solicitadas,pero no las simplifica.

Calcula y correctamentesolo algunas de las razo-nes solicitadas, debido aque confunde los valores.

Desconoce el conceptoque se le solicita.

2

Determina los valores indicados en todos los casos.

Determina los valores indicados, conpocos errores.

Determina algunos delos valores, porque noconoce el procedimientopara obtener los demás valores.

No logra determinar losvalores, o bien no com-prende lo que se le está pidiendo.

3

Determina correctamentelos números pedidos.

Determina los númerospedidos, pero confundela notación, ya que in-cluye algunos númerosque explícitamente noestán en el intervalo.

Determina algunos delos números pedidos,por inspección, o bien,incluye números que noson enteros.

No logra determinar los números, o bien nocomprende lo que se le está pidiendo.

4

Determina correctamentelos intervalos pedidos.

Determina correctamentelos intervalos pedidos,pero confunde la nota-ción, ya que escribe solointervalos cerrados.

Determina correctamentesolo algunos de los intervalos pedidos.

No logra determinar los intervalos, o bien nocomprende lo que se le está pidiendo.

5

Determina correctamentelos valores indicados entodos los casos.

Determina los valores indicados, con algunoserrores de cálculo.

Determina algunos delos valores, o bien, con-funde lo que se le está pidiendo.

Desconoce el conceptoque se le solicita.

6

Determina correctamentelos números pedidos.

Determina los númerospedidos, con pocos errores.

Determina algunos números, truncando a la décima, o bien, redondeando a la centésima o milésima.

No logra determinar los números, o bien nocomprende lo que se le está pidiendo.




Páginas 198 y 199 Orígenes de la Estadística

Actividades


desarrollan

1 y 2 Conectar.

3 Clasificar y analizar.


Analicemos...


Conectar y analizar.

Actividad inicial

La actividad propuesta en el Texto tiene por objetivo mostrar a los y las estu-diantes lo que se considera el primer estudio estadístico de población, realizadopor John Graunt en 1662. Analice con ellos qué información se puede resca-tar de esta tabla y qué conclusiones se podrían obtener. Luego, se revisan di-versas formas de recopilación de datos que se han observado a lo largo de laHistoria. Puede comentar cuál era el objetivo en cada caso y recoger sus impresiones respecto de estos antecedentes.


De refuerzo

1. Averigua acerca de la historia de los censos en nuestro país y determina laslimitaciones actuales que este método presenta.

(Habilidad que desarrolla: conectar).

De profundización

1. Junto con un compañero o compañera, realiza una investigación, en la cualrecojan antecedentes acerca de la labor que desempeñan personas que tra-bajan en el área de la investigación estadística. Pueden realizar encuestaspara recopilar esta información.

(Habilidades que desarrolla: conectar).

Páginas 200 y 201 Población y muestra

Actividades


desarrollan

1 Clasificar.

2 Aplicar.

Analicemos...


Analizar, calcular y evaluar.

Actividad inicial

La actividad inicial presenta un conflicto habitual en la mayoría de los estudiosestadísticos: se quisiera estudiar a toda la población, pero esto no siempre esposible, ya sea porque sería una tarea muy larga, o por falta de recursos. Luego,la complejidad radica en cómo tomar una muestra que sea representativa de lacorrespondiente población, para efectos de lo que se quiere estudiar.


Es conveniente presentar a sus estudiantes variados ejemplos en donde pue-dan identificar la población y la muestra en cada caso, a fin de aclarar su sig-nificado. Conforme explique la clasificación de variables estadísticas, puedecitar algunos ejemplos en cada caso para garantizar la comprensión de sus estudiantes.


Unidad 5 | 173

Unid

ad 5Actividades complementarias

De refuerzo

1. Define las poblaciones correspondientes a las siguientes muestras:

a. Se llama por teléfono a personas de 200 casas en la comuna de Antofa-gasta y se les pide nombrar al candidato a alcalde por el que votarían enla próxima elección municipal.

b. Se lanzó 100 veces una moneda y se obtuvo sello en 34 lanzamientos.

(Habilidades que desarrolla: analizar y aplicar).

Actividad inicial

El objetivo es que los y las estudiantes sean capaces de diferenciar las variablescualitativas de las cuantitativas, y además, reconocer que estos datos puedenordenarse en una tabla de frecuencias absolutas y relativas. Enfatice que lasuma de las frecuencias absolutas da como resultado el total de los datos es-tudiados (muestra). También, que la suma de las frecuencias relativas es iguala uno, mientras que la suma de las frecuencias relativas porcentuales corres-ponde al 100%.


En las tablas de frecuencias se sintetiza la información, presentando en una co-lumna los distintos valores de una variable, y en otra columna su frecuencia.Si el número de datos es grande, es recomendable agrupar los valores en in-tervalos y establecer la marca de clase (punto medio del intervalo) y luegohacer un recuento de cada uno.


De refuerzo

1. Los siguientes datos corresponden a los lugares favoritos de vacaciones delos y las docentes de un colegio.

Mar-Montaña-Campo-Mar-Mar-Montaña-Campo-Mar-Mar-Montaña-Campo-Mar-Campo-Campo-Mar-Montaña-Mar-Montaña-Montaña-Mar-Mar-Montaña-Campo-Mar-Campo.

Construye una tabla indicando la frecuencia absoluta y relativa, en cadacaso y luego obtén al menos dos conclusiones.

(Habilidades que desarrolla: aplicar y analizar).

Páginas 202 y 203 Ordenando la información

Actividades


desarrollan

1 y 2Aplicar, calcular y representar.

Analicemos...


Clasificar y representar.



Actividad inicial

En esta actividad se presentan un gráfico circular y un histograma represen-tando la misma información. El objetivo es que los y las estudiantes evalúenlas ventajas y desventajas de cada gráfico, según las características de la información entregada y el énfasis que se quiera presentar en cada caso.


Es posible que sus estudiantes consideren que el gráfico de barras y el histo-grama son lo mismo. Enfatice sus diferencias gráficas y conceptuales: en elgráfico de barras las barras se dibujan siempre separadas y cada barra se asociaa un valor de la variable, en cambio, en el histograma las barras se dibujan siempre juntas y cada barra se asocia a un intervalo de valores de la variable.

Páginas 204 a 207 Análisis de gráficos

Actividades


desarrollan

1, 2, 3 y 4

Interpretar, aplicar y analizar.

Analicemos...


Recordar, interpretar, analizar y evaluar.

Actividad inicial

Para revisar las medidas de tendencia central, se analiza un conjunto dedatos, calculando su moda, mediana y media aritmética, de modo deilustrar sus cálculos y las conclusiones que se pueden extraer de ellas.


De refuerzo

1. Las calificaciones obtenidas en Inglés por 8 estudiantes han sido: 6,4; 5,1;4,0; 3,7; 5,0; 7,0; 2,3; 1,8. ¿Es representativa la media aritmética?, ¿y lamediana? Explica.

2. La masa en kilogramos de 8 estudiantes es: 53, 48, 47, 43, 52, 58, 62, 49.

a. ¿Cuál es la mediana de las masas de los 8 compañeros?b. ¿Cuál es la mediana de las masas, si incluimos al profesor que pesa 73 kg?


Páginas 208 a 211 Medidas de tendencia central

Actividades


desarrollan


2 Evaluar.


4Calcular, analizar y clasificar.


6Interpretar, calcular,analizar y representar.

Analicemos...




Unidad 5 | 175

Unid

ad 5

En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los con-tenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de que losy las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y,además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice preguntascomo las siguientes:

1. ¿Cuándo una variable es cualitativa? Explica.2. ¿Qué características deben tener los datos para poder representarlos en un

histograma? Explica.3. ¿Cuál es la diferencia entre la media aritmética y la mediana? Justifica.4. ¿En qué se diferencian la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa?5. ¿Cómo le explicarían a otra persona un gráfico de dispersión?, ¿este gráfico

se aplica para comparar datos de dos o más conjuntos?, ¿por qué?

En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y lasestudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; esdecir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta unatabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las quepuede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el úl-timo ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple; se distingueporque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: determinar si corresponde estudiar la población o una muestra.Ítem 2: ordenar y organizar la información, y calcular las medidas de tendenciacentral de un conjunto de datos.Ítem 3: analizar gráficos.


desarrolla

Mapa conceptual




evalúan

1 Evaluar.

2 Representar y calcular.



Mi progreso

Para facilitar el aprendizaje de esta Unidad, se recomienda el uso de las plani-llas de cálculo, que son de libre disposición para descargarlas desde Internet.Ingresando los datos en la planilla, los y las estudiantes pueden calcular lasmedidas de tendencia central y construir gráficos, entre otras cosas. Enfaticea sus alumnos y alumnas que la planilla permite ahorrar tiempo en los cálcu-los, pero finalmente la interpretación correcta de sus resultados sigue siendosu responsabilidad.


desarrollan

1, 2 y 3Usar herramientas, representar, aplicar y analizar.




ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Decide correctamente si estudiar una poblacióno una muestra, justifi-cando su decisión.

Decide correctamente siestudiar una población o una muestra, pero nojustifica su decisión.

Confunde los conceptosde población y muestra,o bien, no reconoce enqué situaciones aplicarlos.

No responde la pregunta,porque desconocelos conceptos.

2

Construye correctamentelas tablas y calcula lamedia, mediana y modasin errores.

Construye las tablas y calcula la media, mediana y moda con al-gunos errores numéricos.

Construye solo una delas tablas correctamentey calcula la media, la mediana o la moda conerrores, o bien confundeestas medidas.

No construye las tablas,o bien, no calcula los valores porque desco-noce los conceptos o el procedimiento.

3






• En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes las ventajas y desventajas de estudiar una muestra o toda la población, en términos de las característicasy el objetivo del estudio estadístico y de la disponibilidad de recursoshumanos, tiempo y dinero, en cada caso.

• En el ítem 2, recuerde a sus alumnos y alumnas que para organizar los datosen una tabla, pueden anotar la frecuencia de cada uno de los valores quetome la variable, o bien, agruparlos en intervalos, si el conjunto de valoresque se recolecta es muy numeroso o el rango de valores es muy amplio.Recomiéndeles que consideren al menos cinco intervalos, para que se puedaobservar la variabilidad de los datos.

• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes no consideren el dato del totalde los alumnos y alumnas encuestados y den como respuesta el valor co-rrespondiente al porcentaje. Recuérdeles que un gráfico circular representalos datos en términos de frecuencia relativa porcentual, no usando los valores de los datos en sí.




Unidad 5 | 177

Unid

ad 5


1. Clasifica cada una de las siguientes variables, según seacuantitativa (discreta o continua) o cualitativa.

a. Distancia recorrida por un automóvil desde Calamahasta Valdivia.

b. Tiempo que se requiere para responder una encuesta.

c. Cantidad de llamados que llegan a una central telefónica.

d. Periódicos vendidos en un quiosco.e. Color de pelo de los integrantes de una familia.f. Número de acciones transadas en la bolsa en un

día determinado.

2. Se realizó una encuesta para conocer la preferencia deljefe o jefa de hogar de una cierta comuna, por algúntipo de supermercado. Entre los 100 jefes y jefas dehogar entrevistados, 30 prefirieron el supermercado“Conveniente”.

a. ¿Cuál es la muestra de esta encuesta?b. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?c. ¿Cuál es la población?d. ¿Cuál es la variable de estudio?e. ¿Cuál es la proporción dentro de la muestra, de jefes

y jefas de hogar que prefirieron el supermercado“Conveniente”?

f. ¿Cuántos jefes y jefas de hogar prefirieron otro supermercado?

3. En 15 días de trabajo se contabilizó el tiempo de espera(en minutos) de locomoción colectiva para desplazarsedesde el hogar al trabajo. Los tiempos registrados sonlos siguientes:

a. Determina la media aritmética, la mediana y la modade los tiempos.

b. ¿Cuál de las medidas de tendencia central anterioreses más apropiada para representar el tiempo de es-pera? Justifica.

4. De un grupo de 40 estudiantes, se ha confeccionado unatabla incompleta con sus edades, frecuencias absolutas,relativas y relativas porcentuales.

a. Completa cada recuadro de la tabla.

5. De 6550 alumnos y alumnas que respondieron a unaprueba de 12 preguntas, el 10% respondió correctamentea 3, el 50% a 7, el 30% a 10 y el resto al total de laprueba. Calcula la media, mediana y moda.

6. Andrés se entrena para participar en una carrera de100 metros planos obteniendo los siguientes tiemposmedidos en segundos: 12,9; 13,1; 12,4; 13,2 y un quintotiempo que no recuerda. Si el promedio de los tiemposfue 12,88 segundos, calcular el tiempo que no recuerda.

7. Encontrar la media de 25 números sabiendo que la mediade 7 de ellos es 3,6 y la media de los otros 18 números,es 5,1.

8. La media de las masas de cinco deportistas es de 76 kg.Las masas de cuatro de ellos son 72 kg, 74 kg, 75 kg y81 kg. ¿Cuál es la masa del quinto deportista?


EdadFrecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuencia relativaporcentual

15 12

16 35

17 0,15

18

10 1 13 9 5

9 2 10 3 8

6 17 2 10 15




Ítem 1: construir un gráfico circular a partir de los datos representados en ungráfico de barras.Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas.Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo.



Actividades


desarrollan




El propósito de esta actividad es familiarizar a los alumnos y las alumnas conel concepto del IPC. Además, a través de esta actividad los estudiantes po-drán conocer la página web del INE, fuente importante de información es-tadística nacional.

Para que esta actividad cumpla su objetivo, es importante motivar a los alum-nos y las alumnas a buscar información que explique las variaciones del IPC.Por ejemplo, con noticias que contengan información acerca de los cambiosen el precio de los bienes que componen la canasta considerada en el IPC.



desarrollan

1 Analizar y evaluar.

2 Conectar y analizar.

3 Seleccionar.

4 y 5Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Actividades


desarrollan

1 Clasificar.


3 y 4 Seleccionar.

5 Aplicar.

Investiguemos...


Unidad 5 | 179

Unid

ad 5

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente téc-nica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarificansus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que hanalcanzado sus estudiantes.


Como actividades de consolidación se presentan afirmaciones de carácter con-ceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.


Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pí-dales que se los intercambien, de modo que cada uno lo revise y comparecon el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles queen un mapa conceptual cada concepto se deben escribir de manera inde-pendiente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones que hayentre los conceptos.



desarrolla

Mapa conceptual




A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II, que puedeutilizar para evaluar a sus estudiantes.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

I



Determina correctamenteel valor de verdad de almenos cuatro de las afirmaciones.


II, 1

Interpreta correctamenteel gráfico, dando respuesta a cada una de las preguntas.

Interpreta correctamenteel gráfico, dando respuesta a cada una de las preguntas.

Comete errores al interpretar el gráfico, da respuesta solo a algunas preguntas.

No comprende cómo interpretar el gráfico, o bien, repite mecánicamente losdatos presentados.

En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidosvistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación su-mativa que considera las habilidades del cuadro.




II 1 Interpretar, analizar y aplicar.

III

1, 2, 7, 9 Recordar.

3 y 10 Clasificar.

4 Seleccionar.

5, 6, 8 Interpretar y verificar o comprobar.



Unidad 5 | 181

Unid

ad 5Para el ítem III, considere la siguiente rúbrica:

Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (11 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 8 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 5 y 7 preguntas.Por lograr: si contesta correctamente 4 preguntas o menos.


• En los ítems 1, 2, 7 y 9, es posible que los alumnos y alumnas no recuerdeno confundan los conceptos incluidos en estos ítems. Enfatice la importan-cia de reconocerlos y distinguirlos, ya que el conocimiento conceptual es tanimportante como que sepan calcular correctamente los valores asociados aun conjunto de datos.

• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes respondan solo una de las tresopciones, sin considerar que una variable cuantitativa se puede clasificar asu vez es discreta o continua, o porque piensen que si se dice que es dis-creta, ya se asume que la variable es cuantitativa. Recuérdeles que parte dela dificultad de este tipo de ítems es evaluar si cada una de las opcionesque se presentan es correcta o no.

• En el ítem 2, indique a sus estudiantes que deben escoger la mejor mues-tra, en el sentido de que sea representativa para el objetivo de la encuesta.

• En el ítem 5, enfatice a sus alumnos y alumnas que en una tabla con datosagrupados, los valores se indican con intervalos semiabiertos, de modo queel valor correspondiente al límite de alguno de los intervalos pertenece a unode ellos, no a ambos.

• En los ítems 6, 9 y 10, recuerde a sus estudiantes que fi corresponde a lafrecuencia absoluta, y que pueden obtener el total de observaciones su-mando todos los valores de fi, en cada caso.





1. Sebastián debió hacer una encuesta acerca de la cantidadde hijos por familia que había en su curso, él obtuvo lassiguientes respuestas:

2, 2, 1, 2, 3, 5, 3, 3, 2, 5, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 3, 2, 3,1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 3.Su padre, Pablo, también realizó una encuesta similarcuando estaba en el colegio. En esa ocasión, obtuvolas siguientes respuestas:2, 3, 5, 4, 2, 7, 4, 3, 6, 4, 2, 5, 8, 1, 4, 6, 3, 5, 3, 5, 4,4, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 4, 3.

a. Calcula la media, la mediana y la moda, en cadacaso.

b. Calcula el rango y la desviación estándar, en cadacaso.

c. ¿Qué se puede decir al comparar la época de Sebas-tián con la de su padre?

2. Un empresario que arrienda cabañas puede alojar a 53personas. Además, sus contactos le permiten conseguirotros 12 alojamientos cuando está copado. Los núme-ros que aparecen a continuación corresponden a la cantidad de alojados diarios que tuvo durante una temporada.

12, 15, 18, 36, 32, 34, 16, 24, 30, 41, 53, 60, 60, 44,46, 50, 53, 53, 53, 49, 49, 50, 46, 62, 60, 60, 60, 53,53, 50, 46, 64, 53, 53, 40, 51, 47, 47, 47, 50, 62, 53,52, 50, 49, 49, 48, 65, 60, 46, 46, 48, 54, 54, 32, 24.

a. Calcula la media, la mediana y la moda.b. Para financiar su actividad, el empresario necesita un

promedio de 28 alojados diarios. La ganancia diariapor persona sobre ese promedio es de $ 15 000.¿Cuánto dinero ganó durante la temporada?

c. El empresario calcula que sus ganancias aumentaríanen $ 2000 diarios por persona, si pudiera disponer deotras 2 cabañas (12 alojamientos), y manteniendo elpromedio mínimo de alojados diarios. Si el costo deuna cabaña es de $ 5 500 000. ¿En cuántos años re-cuperaría la inversión?

3. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticosestán dispuestos a pagar la conversión de sus motoresa gas natural. Para ello, se decide realizar una encuesta.Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra.

I. Escoger al azar a adultos que caminan por el centrode las principales ciudades del país.

II. Escoger al azar a conductores de automóviles en lasintersecciones más concurridas.

III.Escoger al azar del registro de vehículos motoriza-dos a dueños de automóviles catalíticos y enviarlesun encuestador.

a. Explica la razón de tu elección, señala las ventajas ydesventajas de cada alternativa.

b. ¿Cuáles son las variables utilizadas en la encuesta?,¿a qué tipo de variables corresponden?, ¿por qué?

4. La siguiente tabla muestra la estatura de 25 alumnos(en centímetros), agrupados en cinco equipos de básquetbol.

a. Calcular el rango de las estaturas para cada equipo.b. Calcular la media aritmética de las estaturas de

cada equipo.c. ¿Cómo es la media aritmética de las estaturas de

cada equipo, respecto de la media aritmética deltotal de jugadores? ¿Cómo se puede interpretar este resultado?


E1 E2 E3 E4 E5

165 172 151 162 162

175 174 170 168 169

180 165 160 168 156

168 169 172 164 159

162 170 150 162 158


Unidad 5 | 183

Unid

ad 5

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar yque le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la Uni-dad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de re-forzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por susestudiantes.El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Estetiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.




• En el ítem 4, indique a sus estudiantes que más de una situación que tengacorrelación negativa, tal como se sugiere en las alternativas, en este caso.

• En los ítems 6 y 9, recuerde a sus alumnos y alumnas que lean con aten-ción el enunciado, para que determinen correctamente cuáles son losdatos que les están presentando y cuáles son los que les solicitan, demodo que utilicen la expresión que sí los relaciona, y luego planteen unaecuación, si es necesario.

• En los ítems 7, 8 y 10, insista a sus estudiantes en que para utilizar la tablade la página 242 del Texto, primero se debe normalizar la distribución, estoes, realizar el cambio de variable correspondiente para que la distribuciónsea N(0, 1).

Evaluación final


1 Recordar. 2 puntos cada una 2 puntos

2 y 4 Analizar 2 puntos cada una 2 puntos

3 y 8 Interpretar y representar. 2 puntos cada una 4 puntos

6 y 9 Calcular. 2 puntos cada una 4 puntos

5, 7 y 10 Interpretar y calcular. 2 puntos cada una 4 puntos

11 Recordar y analizar. 2 puntos cada una 2 puntos




1. La variable color del automóvil es:

A. discreta. B. cualitativa.C. continua. D. cuantitativa.E. representativa.

2. Para saber el grado de aceptación de un nuevotipo de yogur, se realiza una encuesta. ¿Cuál de lassiguientes propuestas es la mejor muestra?

A. Se invita al azar a mujeres que pasan por elcentro de las principales ciudades a probar elproducto.

B. Se da de probar el producto al público en losgrandes supermercados de las principales ciudades y se les hace una encuesta.

C. Se seleccionan 200 personas y se les invita acomer a un restaurante gratis.

D. Se selecciona al azar 20 familias de cada regióndel país para probar el producto.

E. Se invita a la familia de los trabajadores a probarel producto y se les pide que den su opinión.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. La media se puede calcular de una tabla mul-tiplicando las frecuencias relativas por la marcade clase y sumando esos resultados.

B. La mediana se puede estimar de una tabla con una fórmula lógica.

C. Un conjunto de datos puede tener muchas modas.

D. Un conjunto de datos puede no tener moda.E. De un gráfico siempre se puede calcular

con exactitud la media.

4. Un profesor de inglés realizó una prueba a un cursode 25 estudiantes obteniendo 10 de ellos califica-ción deficiente. Con respecto a la situación, sepuede afirmar que:

I. el 40% de los estudiantes reprobó el curso.II. el 40% de los estudiantes no sabe nada de

inglés.III. 10 de cada 25 estudiantes son incapaces

de aprender inglés.

A. Solo I B. Solo II C. I y IID. II y IIIE. I, II y III

5. Se mide la masa de 100 alumnos y alumnas deCuarto Año Medio de un colegio, obteniendo la siguiente tabla:

¿Qué porcentaje representa a los jóvenes con másde 60 kilogramos y cuál a los con menos de 70 kilogramos?

A. 55% y 93%B. 45% y 55%C. 50% y 55%D. 55% y 95%E. 65% y 35%

Evaluación final


Masa (kg) Número de estudiantes

[45, 50[ 4

[50, 55[ 11

[55, 60[ 30

[60, 65[ 28

[65, 70[ 20

[70, 75[ 5

[75, 80[ 2


Unidad 5 | 185

Unid

ad 5

6. Con respecto a la información dada en la tabla, esverdadero que:

A. el 25% de los autos son verdes.B. hay veinticinco autos blancos.C. los autos rojos son la mayoría.D. un tercio de los autos son rojos.E. Todas las anteriores.

7. La población asociada a la siguiente situación “Encinco ocasiones distintas, una abogada demoró 21,26, 24, 22 y 21 minutos desde su casa hasta su ofi-cina en el centro de la ciudad” es:

A. Las casas de una cierta localidad.B. Las oficinas del centro.C. Todos los posibles tiempos que demora esta

abogada desde su casa hasta la oficina.D. Las veces que la abogada va de su casa a

la oficina.E. Los minutos.

8. (Facsímil PSU, Demre, 2005). El gráfico de la figura,muestra las calificaciones obtenidas por los y las es-tudiantes de un curso en una prueba. Según esta in-formación, ¿cuántos jóvenes rindieron esta prueba?

A. 7B. 12C. 25D. 35E. 36

9. La siguiente tabla muestra las notas de la interro-gación de Lenguaje de un cuarto medio.

Con respecto a la tabla, es verdadero que:

I. el promedio del curso es 5,4.II. la moda es 5,0.III. la mediana es un 5,0.

A. Solo I B. Solo II C. Solo IIID. I y IIE. I y III

10. La tabla muestra la cantidad de veces que ha idoal practicar deporte un grupo de jóvenes duranteuna semana.

Con respecto a la información de la tabla, es falsoque:

A. tres de esos jóvenes no practicaron deporteesa semana.

B. 16 de ellos practicaron deporte al menos cuatroveces esa semana.

C. siete de ellos practicaron deporte menos dedos veces esa semana.

D. dos de ellos practicaron deporte exactamenteseis veces esa semana.


Nota 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

fi 1 2 3 7 4 8

Color de Auto fiRojo 40

Verde 30

Azul 25

Blanco 25

20

1

468

1012

2 3 4 5 6 7 Notas obtenidas

Frec

uenc

ia

Cantidad de vecesque ha practicado deporte

0 1 2 3 4 5 6 7

fi 3 4 6 7 8 3 2 3


Diagrama detallo y hojas

Propósito de la Unidad

Esta Unidad, al igual que la anterior, también pretende ser una instancia para mirar la infor-mación estadística presente en los medios de comunicación –que los estudiantes observana diario (Internet, diarios, televisión, y otros)–, con una visión crítica, con fundamento y conel propósito de enriquecer el análisis e interpretación de datos. Para el análisis, los alumnosy alumnas manejarán algunos indicadores estadísticos, para que así la interpretación tengaun sustento basado en observaciones representativas de los datos estudiados. En este mismoaspecto, es importante que los y las estudiantes comprendan que una forma de realizar in-ferencias sobre una población es reconocer la representatividad de una muestra simple. Esdecir, durante toda la Unidad se invita a esclarecer dos ideas fundamentales: la representa-tividad muestral (si la muestra ha sido elegida con las precauciones necesarias y adecuadas,la muestra tendría características similares a las de la población) y la variabilidad muestral(no todas las muestras son iguales entre sí), y que ambas ideas son complementarias.


Estadística II

Rango Percentiles

Cuartiles

Quintiles

Deciles

Correlación

Desviación media

Desviación estándar

Representaciones gráficas

Aplicaciones de la Estadística

Medidas de posición Muestra representativa

Intervalo deconfianza

Nivel de confianza

Distribución normal

Campana de Gauss

Medidas de dispersión


Estadística II

Diagrama de cajas

6UNIDAD 6 (186-213) :Maquetación 1 5/11/10 09:48 Página 186

Relació

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Unidad 6 | 187

UNIDAD 6 (186-213) :Maquetación 1 5/11/10 09:48 Página 187


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• Las medidas de dispersión son parámetros estadísticos que indican cuánto sealejan los datos respecto de la media aritmética. Es decir, indican la variabilidadde los datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desvia-ción media y la desviación estándar o típica.

• El rango indica la dispersión entre los valores extremos de una variable. Se calculacomo la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Se denotacomo R.

• La desviación media de una observación x (d) respecto de la media (x) se definecomo la diferencia entre ellas. Es decir d = x – x.

• La desviación media de un conjunto de datos (DM) es la media aritmética de losvalores absolutos de las desviaciones de cada dato respecto de la media.

• La desviación estándar mide el grado de dispersión de los datos respecto de lamedia aritmética. Se denota como s para la población, o bien s para una mues-tra. Está dada por la expresión:

• , para datos

no agrupados.

• ,

para datos agrupados.

• El análisis de la correlación es apropiado cuando se necesita conocer el gradode asociación entre dos variables. La correlación se mide utilizando el coefi-ciente de correlación lineal de Pearson, que se denota como r y su valor fluctúaen el intervalo [–1, 1].

Se calcula mediante la expresión:

,

donde

sx = desviación estándar de la variable x.sy = desviación estándar de la variable y.

• Según sea el valor del coeficiente de correlación r se tiene que:

• si r es positivo, la relación lineal entre las variables es directa. Se dice que lacorrelación es positiva.

• Si r es negativo, la relación lineal entre las variables es inversa. Se dice quela correlación es negativa.

• Si r = 0, no existe relación lineal entre las variables. Se dice que la correlación es nula.

• Si r = 1, existe una relación de dependencia total directa entre las variables.• Si r = –1, existe una relación de dependencia total inversa entre las variables.

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− + − + − + + −( ) ( ) ( ) ( )12

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32 2...

Unidad 6 | 189

Unid

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• El diagrama de tallo y hojas tiene por objetivo resumir u ordenar un conjuntode datos, de modo de conocer intuitivamente la forma de su distribución. Tam-bién permite comparar la distribución de dos o más grupos diferentes. Estediagrama se construye separando los valores de cada observación en dos partes,la primera corresponde al tallo y se ubica a la izquierda en una línea vertical.La segunda (hojas) se ubica a la derecha. Si se tienen muchas hojas en cadatallo, es posible separarlas en dos tallos.

• Una medida de posición nos indica el lugar donde se ubica un valor de la va-riable dentro de un conjunto ordenado de valores. Las medidas de posiciónmás utilizadas son los cuartiles, deciles y percentiles.

• Los cuartiles son tres valores que dividen al conjunto de observaciones orde-nadas en cuatro partes iguales. Por lo tanto, el primer cuartil (Q

1) es el valor por

debajo del cual, o en el cual, se ubica el 25% de todos los valores, el segundocuartil (Q

2) es el valor por debajo del cual, o en el cual, se ubica el 50% de

todos los valores; y el tercer cuartil (Q3) es el valor por debajo del cual, o en el

cual, se ubica el 75% de todos los valores. • De manera similar, los deciles corresponden a nueve valores que dividen al con-

junto de observaciones ordenadas en diez partes iguales.• Y los percentiles corresponden a 99 valores que dividen al conjunto de obser-

vaciones, ordenadas en cien partes iguales.

• La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad de variablecontinua, cuyos parámetros son μ, la media aritmética, y σ, la desviación es-tándar. Se le llama normal porque es la que con más frecuencia aparece en fe-nómenos reales.

• Es posible expresar cualquier distribución normal como una de la forma N(0, 1),la cual se denomina distribución normal tipificada. Para esto se utiliza la si-

guiente expresión Z = . Una de las ventajas de tipificar una distribución

es que se puede medir la desviación de los datos respecto de la media, lo cualpermite comparar la posición relativa de los datos. Además, existen valores ta-bulados para una variable Z, de modo que se facilitan los cálculos, especial-mente aquellos relacionados con el tamaño de una muestra, dada ciertascaracterísticas de ella.

• El tamaño de una muestra es el número de elementos que la componen. A suvez, está relacionado con el error y el nivel de confianza:

• cuando el nivel de confianza se mantiene y aumentamos el tamaño de lamuestra, disminuye el error;

• cuando el nivel de confianza se mantiene y disminuye el tamaño de la mues-tra, aumenta el error.

X – μσ


Las medidas de tendencia central son las más utilizadas en una primera aproxi-mación a uno o más conjuntos de datos. Pero a veces no son representativas,cuando estos datos están muy dispersos o el rango es muy amplio. Por esto,además se pueden considerar las medidas de dispersión y de posición, paraanalizar mejor los datos disponibles, especialmente en términos de su va-riabilidad. La imagen que se presenta en el Texto muestra un grupo de jó-venes de diversas estaturas y permite introducir ideas relacionadas con lasmedidas de posición.


En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación conlos aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad.Se sugiere que comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles quésaben sobre percentiles o quintiles. Con las ideas que le vayan diciendo susalumnos puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra, esto lepermitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus es-tudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años ante-riores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial

Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en elTexto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestranen él y complementarla con otras como las siguientes:

• Si se ordenaran todos los alumnos y alumnas de este curso, ¿quiénes esta-rían en el grupo de los más altos?, ¿quiénes en el grupo de los más bajos?,¿quién estaría justo al medio?

• Sin cambiar este orden, del más bajo al más alto, si se separaran en cincogrupos con el mismo número de personas, ¿en qué grupo estaría cadauno?, ¿en qué grupo estaría el o la docente?, ¿cuáles son las estaturas quemarcan los límites entre un grupo y otro?

Guíe la conversación para comentar con sus estudiantes sobre la ventaja quesignifica conocer otros valores que caractericen un conjunto de datos, ade-más de las medidas de tendencia central. También, puede hablar con sus alum-nos y alumnas sobre otros ámbitos en los que se utilicen las medidas deposición como los percentiles, quintiles o cuartiles.

Unidad 6 | 191

Unid

ad 6

Conversemos de...


que desarrollan





Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular porcentajes de un valor dado. Ítem 2: calcular a qué porcentaje corresponde un valor dado de otro. Ítem 3: calcular porcentajes aplicado a los descuentos legales correspondientes alos sueldos de las personas.Ítem 4: calcular la media aritmética y la mediana de un conjunto de datos.Ítem 5: determinar si las proposiciones referidas a las medidas de tendenciacentral de un conjunto de datos son verdaderas o falsas.


• En los ítems 1 y 3, es posible que los alumnos y alumnas confundan el valordel porcentaje con el número decimal correspondiente, que se puede utili-zar para calcular porcentajes, o que tengan errores al ubicar la coma decimal.Recuérdeles que para calcular el a% de un valor dado, pueden multiplicar

este valor por . En particular, en el ítem 3, explique la diferencia entre

sueldo imponible y sueldo líquido, ya que es posible que no sepan a qué sele llama sueldo líquido.

• Para responder al ítem 2, los y las estudiantes tienen que comparar ambosvalores y decidir a qué porcentaje corresponde uno del otro. Sugiérales es-cribir la proporción correspondiente, para calcular el porcentaje pedido.

• En el ítem 4, si sus estudiantes confunden la media aritmética, la medianay la moda, sugiérales que relaciones la media aritmética con el promedio,la mediana con el punto medio y la moda con lo que más se repite.

• En el ítem 5, es posible que los y las estudiantes no consideren que los va-lores están agrupados en una tabla al momento de calcular las medidas detendencia central. Si no recuerdan cómo calcularlas a partir de los valoresde la tabla, puede sugerirles que copien cada valor tantas veces como in-dica la tabla y las calculen a partir del conjunto de datos.

a100


¿Cuánto sabes?


1 y 2 Recordar y calcular.

3Resolver problemas y aplicar.

4 Aplicar.

5Interpretar, recordar,calcular y verificar o comprobar.


Unidad 6 | 193

Unid

ad 6

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula correcta y rápidamente todos losvalores correspondientesa cada porcentaje.

Calcula correctamentetodos los valores, inde-pendiente del métodoque haya utilizado.

Calcula correctamentesolo algunos valores.

No calcula los valores,porque no comprende loque se le está pidiendo.

2

Calcula correcta y rápidamente todos los porcentajes.

Calcula correctamentetodos los porcentajes,pero no los valores delsueldo líquido.

Calcula correctamentesolo algunos porcentajes.

No calcula los porcentajes,porque no comprende loque se le está pidiendo.

3

Calcula correcta y rápidamente todos losvalores correspondientesa cada porcentaje y los valores del sueldo líquido.

Calcula correctamentetodos los valores, excepto los del sueldo líquido.

Calcula correctamentesolo algunos valores.


4

Calcula correcta y rápidamente ambos valores.

Calcula correctamenteambos valores, indepen-diente del método quehaya utilizado.

Calcula correctamentesolo la media aritmética,o bien, solo la mediana.


5

Determina correctamenteel valor de verdad en cada caso, y lojustifica adecuadamente.

Determina correctamenteel valor de verdad encada caso, pero no lo justifica.

Determina correctamenteel valor de verdad en algunos casos.

No determina los valoresde verdad, porque nosabe calcular los valores,o bien, no comprende loque se le está pidiendo.




Páginas 228 a 231 Medidas de dispersión

Actividades


desarrollan

1 y 2Calcular, evaluar y justificar.

Analicemos...


Recordar, analizar y evaluar.

A pesar de que constantemente presenciamos situaciones sujetas a variabili-dad, como el clima, el precio del pan o el tiempo que demoramos de ir unpunto a otro, en general la desviación estándar no se maneja cotidianamente.Es recomendable introducir este concepto con ejemplos que ayuden a sus es-tudiantes a comprender la importancia de considerar la variabilidad de unevento o situación. Por ejemplo, pueden analizar qué consecuencias acarrea-ría no tomar en cuenta la variabilidad en un contexto de toma de decisiones.Si bien la medida de dispersión más utilizada es la desviación estándar, siem-pre se presenta primero el rango, pues es una medida fácil de calcular y quegrafica claramente lo que es la variabilidad de un conjunto de datos.

Actividad inicial

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo ilus-trar a los alumnos y alumnas la necesidad de tomar decisiones a partir de doso más conjuntos de datos, en este caso, los tiempos obtenidos en la pruebade 400 metros planos, en particular cuando tienen la misma media aritmé-tica. Pida a sus estudiantes que propongan qué datos se debieran considerarpara tomar una decisión, y guíe la discusión hacia la noción de rango y dedesviación respecto de la media aritmética.


Para profundizar el concepto de rango, realice ejemplos simples donde lamedia sea la misma pero el rango vaya variando de caso en caso. Apóyesecon el uso de gráficos y/o diagramas. Esto le ayudará a los alumnos y las alum-nas a entender con mayor facilidad los conceptos de dispersión.


De profundización

1. Dos empresas muestran los siguientes índices de rentabilidad (en porcentajes).

a. Calcular el rango de rentabilidad para cada empresa.b. Calcular la desviación estándar de la rentabilidad para cada empresa.c. Construir un diagrama de caja para representar la rentabilidad de

cada empresa.d. A partir de la información anterior, ¿en cuál de las dos empresas

conviene invertir? Justificar.

(Habilidades que desarrollan: aplicar, representar, analizar, y resolver problemas).

Rentabilidad empresa A Rentabilidad empresa B

15 18 25 18 21,4 19,4

6 27 32 16,5 22,9 18,6

7 7,5 41 15,6 12 24

35,5 22,5 15 20 25 17,5


Unidad 6 | 195

Unid

ad 6

Actividad inicial

Los tres gráficos presentados en el Texto dan una idea de la noción de corre-lación. En el primer y segundo gráfico los puntos se encuentran próximos, lanube de puntos se observa estrecha y alargada; mientras que en el tercero, lospuntos están más dispersos y la nube se ve ancha. La relación que existe entrelas dos variables de una distribución bidimensional es una relación estadísticay el grado de dependencia que existe entre ellas lo mide la correlación. Así, lacorrelación expresa la relación de dependencia entre las dos variables de unadistribución bidimensional.


• Correlación directa (o positiva): es cuando aumenta el valor de una variabley también aumenta el valor de la otra.

• Correlación inversa (o negativa): es cuando disminuye el valor de una va-riable y aumenta el valor de la otra.

• Correlación nula: es cuando no existe ningún grado de dependencia entrelas dos variables.


De refuerzo

1. De un muelle cuelgan pesas, obteniéndose los siguientes alargamientos:

a. Calcula e interpreta el coeficiente de correlación entre estas dos variables.b. Representa gráficamente la correlación entre ambas variables.

(Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y representar).

Páginas 232 y 233 Correlación

Actividades


desarrollan

1 Conectar y aplicar.

2 Analizar.

3 Conectar y analizar.

Analicemos...


Recordar, interpretar y conectar.

Masa de la pesa (g) 10 30 60 90 120

Alargamiento producido (cm) 0,5 1 3 5 6,5




• La comprensión del diagrama de tallo y hoja suele presentar complicacio-nes, para simplificar su elaboración se sugiere pedir a los alumnos quedefinan claramente qué representa cada parte de este diagrama (el talloy las hojas), además es recomendable pedir que realicen diagramas en loscuales el tallo represente diferentes tipos de valores, por ejemplo, valores en-teros o bien decenas o centenas, entre otros.

• Existen dos formas de construir este diagrama, una es poniendo de menora mayor los valores de las hojas y otra, que no da importancia al orden.Se sugiere ponerlo ordenado, pues así queda más claro, por ejemplo eneste caso, que el menor valor es el 115 y el mayor el 167.

• En el caso de comparaciones entre diferentes distribuciones de datos, serecomienda la utilización de un diagrama de tallo y hojas, que nos permitevisualizar sus diferencias y la dispersión de cada una de ellas.


De refuerzo

1. Las siguientes edades corresponden a una muestra representativa de loshabitantes de una comuna.

Hombres 6-17-40-43-48-23-21-29-28-30-30-9-85-74-77Mujeres 1-19-25-26-40-42-65-67-74-74-80-22-20-16-10

Uno de los candidatos a concejal por la comuna quiere hacer su campañabasándose en alguna de las medidas de tendencia central, para enfocar suaccionar hacia una cierta edad.

a. ¿Qué le recomendarías tú? ¿Qué crees que hizo finalmente el candidato?b. Construye un diagrama de tallo y hoja, y luego realiza dos comparacio-

nes entre los grupos.

(Habilidades que desarrollan: representar y analizar).

Páginas 234 y 235 Diagrama de tallo y hojas

Actividades


desarrollan

1Representar, aplicar, calcular y analizar.

2 y 3Representar, aplicar y analizar.

Analicemos...



Actividad inicial

El objetivo de esta sección es introducir a los y las estudiantes en los concep-tos de muestreo. Es por ello, que más que en fórmulas, se profundiza en temasconceptuales y la importancia de que la muestra seleccionada sea representa-tiva de la población.

Discuta con los y las estudiantes acerca del tema de la representatividad. Puedeintroducir el tema con un ejemplo sobre gustos musicales. Elija uno, dos, tresestudiantes, y así sucesivamente. A partir de sus respuestas, por ejemplo, si unsolo estudiante le dijo que prefiere el reggaetón, afirme: “A todo el curso legusta el reggaetón” e inicie la conversación con sus estudiantes.

Páginas 236 a 239 Muestras al azar

Analicemos...


Conectar y analizar.


Unidad 6 | 197

Unid

ad 6Indicaciones respecto del contenido

Usualmente los alumnos y las alumnas tienen problemas para entender losconceptos de población y muestra y la diferencia entre ambos. En general, porun tema semántico, los y las estudiantes relacionan el concepto de poblacióna conjuntos de personas. Se sugiere presentar distintos ejemplos donde la po-blación no necesariamente sean personas, como cultivos, industrias, hogares,y otros.


De refuerzo

1. Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.

a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida.

b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile.c. La masa de un grupo de cinco amigos.d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.

(Habilidades que desarrollan: conectar y aplicar).

Actividades


desarrollan

1, 2 y 4 Aplicar.

3 Aplicar y analizar.

Actividad inicial

Para explicar la distribución normal y la campana de Gauss, en la actividad ini-cial se muestra un ejemplo de la distribución que se obtiene al sumar los pun-tos de tres dados, lanzados sucesivamente 220 veces. Aunque la probabilidadde que en un dado salga uno o cinco es la misma, al sumar los puntos de tresdados claramente los puntajes “centrales” como sumar 9 ó 10 se observanmás veces que los puntajes menores como 4 ó 5, o los mayores, como 16 ó17 puntos. Esta es una de las características de la distribución normal, la ma-yoría de los datos se concentran alrededor de la media aritmética, mientras queen los valores extremos, se observan menos datos.


Es importante aclarar a los alumnos y las alumnas que la campana de Gausstiene una forma característica, pero que puede ser más estrecha o más baja,según la distribución de los datos, esto es, según sus valores de la media arit-mética y la desviación estándar.

Páginas 240 a 243 Distribución normal

Actividades


desarrollan


2, 3 y 4 Aplicar.

Analicemos...


Formular hipótesis, conjeturar o predecir y analizar.



De refuerzo

1. Felipe llega todos los días al paradero a las 7:25 y ahí espera el bus que lolleva a su trabajo, donde debe presentarse antes de las 8:00. El tiempo deespera y traslado del bus, en minutos, distribuye N(40, 7).

a. Calcula la probabilidad de que Felipe llegue atrasado.b. Si el año laboral tiene 235 días, ¿cuántos días al año llega tarde?c. ¿Cuántos días al año llega a su trabajo con menos de media hora

de adelanto?d. ¿Cuál es la probabilidad de que Felipe llegue entre las 7:45 y las 8:00?

(Habilidades que desarrollan: interpretar y aplicar).





1. ¿Cómo se utiliza el diagrama de tallo y hojas para comparar dos conjuntosde datos? Explica.

2. ¿De qué manera se puede asegurar que una muestra represente a la población con un nivel de confianza dado? Justifica.

3. ¿Cómo se interpreta la relación entre dos variables si su coeficiente de correlación es cercano a cero?

4. ¿Cuál es la ventaja de conocer la distribución de una variable?, ¿cómo sepuede ajustar esta distribución a una distribución normal? Explica.


desarrolla

Mapa conceptual




Unidad 6 | 199

Unid

ad 6

En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y las es-tudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir,pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tablacon los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puederecurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítemcorresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las al-ternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: calcular la media aritmética y la desviación estándar de un conjunto de datos. Además, construir el diagrama de tallo y hojas correspondiente.Ítem 2: determinar gráficamente si un conjunto de datos tiene correlación positiva o negativa y calcular el coeficiente de correlación.Ítem 3: determinar la probabilidad de un evento que ocurre con distribución normal.Ítem 4: determinar el nivel de error con un nivel de confianza dado.


• En el ítem 1, recuerde a sus alumnos y alumnas que al calcular los valoresde la media aritmética y la desviación estándar deben preocuparse de con-siderar todos los datos involucrados, y luego dividir por el número de datoscorrespondientes. Enfatice que aunque algunos valores sean cero, como eneste caso, igual se contabilizan como un dato.

• En el ítem 2, es posible que sus estudiantes decidan si la correlación es po-sitiva o negativa a partir de los valores de la tabla, sin realizar el gráfico nicalcular el coeficiente de correlación. Adviértales que esto no siempre esevidente, por lo que es mejor desarrollar al menos uno de los dos, el grá-fico o el coeficiente de correlación, antes de concluir si hay correlación o no.

• En el ítem 3, indique a sus alumnos y alumnas que para calcular la proba-bilidad pedida, en este caso, no basta con calcular P(x < 20), porque se so-licita la probabilidad que tiene una persona de esperar entre 10 y 20minutos en la fila, que es menor que la de P(x < 20). Enfatice a sus estu-diantes que para utilizar la tabla de la página 242 del Texto, primero se deberealizar un cambio de variable para que la distribución sea N(0, 1).

• En el ítem 4, recuerde a sus estudiantes que una forma de no confundir losvalores de los datos entregados en un enunciado es escribirlos en su cua-derno a medida que se va leyendo el ejercicio, así como cuál es el valor quese pide, de modo de tener todos estos datos a la vista, para luego determi-nar cuál es la expresión que los relaciona y resolver correctamente el ejercicio.


evalúan

1 y 2Aplicar, representar y analizar.



Mi progreso




ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Calcula la media y ladesviación estándar sinerrores, construye el diagrama de tallo yhojas, e interpreta correctamente los resultados.

Calcula la media y la desviación estándar yconstruye el diagrama detallo y hojas, con algunoserrores, o bien, cometeerrores en la interpreta-ción de los datos.

Calcula la media y ladesviación estándar conerrores, o confunde estasmedidas, o bien, noconstruye el diagrama de tallo y hojas.

No construye el diagrama de tallo yhojas, o bien, no calculalos valores porque desco-noce los conceptos o el procedimiento.

2

Calcula el coeficiente decorrelación sin errores,construye el gráfico, einterpreta correctamentelos resultados.

Calcula el coeficiente de correlación con algúnerror numérico y construye el gráfico,pero comete errores en la interpretación de los datos.

Calcula el coeficiente decorrelación con errores,o bien, no construye elgráfico, ni decide si lacorrelación es positiva o negativa.

No construye el gráfico,o bien, no calcula el coeficiente de correlaciónporque desconoce el concepto o el procedimiento.

3

Determina correctamente la probabilidad pedida.

Determina las probabili-dades necesarias paraobtener la pedida, perono calcula su diferencia.

No logra determinar laprobabilidad pedidas, yaque no la relaciona conlos datos presentados.

No logra determinar laprobabilidad pedida, obien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

4







Unidad 6 | 201

Unid

ad 6


1. Se quiere conocer lo que piensan los y las docentes deEducación Básica, Media y Universitaria respecto al con-sumo de drogas en el alumnado. La muestra fue tomadasegún indica la siguiente tabla.

a. ¿Es una muestra representativa?b. ¿Cómo te asegurarías de tomar una muestra

aleatoria?c. ¿Las muestras han sido tomadas de manera

proporcional?d. Si se toman 640 personas de cada nivel, ¿la muestra

es representativa?

2. Un empresario compra un terreno con una laguna en laque pretende criar peces. Él necesita saber la poblacióntotal de las distintas especies que viven ahí, para lo cualtoma muestras con una red en distintas partes y marcalos ejemplares. Al final del día se han marcado 47 tru-chas, 86 salmones, 53 pejerreyes y 27 peces de otro tipo.Al día siguiente se repite el proceso, pero en esta oca-sión, no se marca, sino que se cuentan los peces marca-dos, obteniéndose:

• 19 truchas marcadas de un total de 52.• 16 salmones marcados de un total de 74.• 13 pejerreyes marcados de un total de 68.• 10 peces de otro tipo marcados de un total de 45.

a. Calcula la cantidad aproximada de peces de la laguna y la cantidad de cada especie.

b. Analiza los siguientes factores y explica cómo pueden inducir a error.

• Peces que viven en la profundidad.• Aprendizaje de los peces a no ser capturados.• Muertes de los peces al ser marcados.• Permanencia de la marca.• Tamaño de la red en relación al tamaño de los peces.

3. La Prueba de Selección Universitaria (PSU) está diseñadade tal manera que tiene una distribución N(500, 100).Según esta distribución, si en el año 2009 rindieron la prueba 277 420 personas, calcula cuántas personas obtuvieron:

a. 500 o más puntos.b. entre 400 y 600 puntos.c. entre 700 y 800 puntos.d. más de 800 puntos.

4. La tabla corresponde a una encuesta hecha en una co-muna donde se preguntó a los menores de 25 años:¿Cuántos primos hermanos tienes?

a. Calcula la media aritmética y la desviación estándar.b. ¿Qué parte de los encuestados tiene menos de

20 primos hermanos?


EducaciónBásica

EducaciónMedia

Educación Universitaria

Población 8500 6300 1200

Muestra 1020 756 144

Número de primos

Marca de clase

Frecuencia relativa

0 a 4 [0, 5[ 0,11

5 a 9 [5, 10[ 0,17

10 a 14 [10, 15[ 0,19

15 a 19 [15, 20[ 0,26

20 a 24 [20, 25[ 0,18

25 a 29 [25, 30] 0,09




• Las medidas de posición se utilizan para caracterizar un conjunto numerosode datos y/o cuyo rango sea amplio, de modo que al clasificarlos en ciengrupos diferentes se pueda apreciar las diferencias entre ellos. Si el con-junto no es numeroso, puede ocurrir que, por ejemplo, coincidan los valo-res de Q

3con P

80; explique a sus estudiantes que esto puede suceder en

algunos casos.• Comente a sus alumnos y alumnas que, tal como la media aritmética, los

valores correspondientes a los percentiles dependen del conjunto de datosque se está estudiando, ya que lo que indica el k-ésimo percentil es en quévalor se encuentra al menos el k % de los datos observados y de modo queel 100 – k % se encuentran en o sobre ese valor.

• Enfatice que los deciles, quintiles y cuartiles pueden asociarse a los corres-pondientes percentiles. Así, D

4corresponde al P

40y Q

3al P

75, por ejemplo.

Esta relación es útil cuando los datos están agrupados en una tabla, pue-den calcular cualquiera de las medidas de posición a partir de la expresiónque permite calcular percentiles para datos agrupados.


De refuerzo

1. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra lospuntajes obtenidos por 50 alumnos en un test (se consideran valores en-teros), calcula:

a. P3

b. P90

c. Q1

d. Q3

e. Interpreta los resultados obtenidos.

(Habilidades que desarrollan: interpretar, aplicar y analizar).

Páginas 246 a 249 Medidas de posición

Actividades


desarrollan


2Interpretar, aplicar y analizar.

3Interpretar, aplicar y calcular.

Analicemos...


Recordar, analizar y conjeturar.

Intervalo Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada

[60, 64] 5 5

[65, 69] 5 10

[70, 74] 8 18

[75, 79] 12 30

[80, 84] 16 46

[85, 89] 4 50


Unidad 6 | 203

Unid

ad 6De profundización

1. Analiza el siguiente tabla que muestra la evolución de la distribución del in-greso autónomo per cápita del hogar 1994-2006, según quintiles (divide lamuestra en cinco partes iguales).

Fuente: Mideplan, basado en Encuesta Casen, años respectivos.

a. Investiga sobre el monto de ingresos per cápita en los años que indica elcuadro y establece los valores por año y quintil.

b. Establece el significado de los quintiles y su aporte como complementoa la media aritmética, que es el ingreso per cápita.

(Habilidades que desarrollan: conectar, interpretar y analizar).

Actividad inicial

En la actividad inicial se muestra un gráfico elaborado con datos del Ministerio de Salud, respecto de el estado nutricional del adulto mayor en distintos servicios de salud de la Región Metropolitana. Observando el gráfico,sus estudiantes podrían extraer información y concluir algunos de los aspectos a los que se refiere la sección ANALICEMOS…

Páginas 251 a 253 Aplicaciones de la Estadística

Quintil/Años

1994 1996 1998 2000 2003 2006

I 4,1 3,9 3,7 4,0 3,9 4,1

II 8,0 8,0 8,0 8,1 8,3 8,8

III 12,0 11,6 11,7 11,9 12,0 12,6

IV 18,7 19,3 19,2 18,3 18,9 19,8

V 57,2 57,2 57,4 57,7 56,9 54,7

Para facilitar el aprendizaje de esta Unidad se presenta el uso de una herramienta tecnológica. Las planillas de cálculo como Excel permiten realizar rápidamente cálculos relacionados con medidas de posición.


desarrollan

1 y 2Usar herramientas y aplicar.



Analicemos...





Dado el amplio uso que se da de los gráficos en los medios de información engeneral, es importante enfatizar en las cosas que deben observarse al leer ungráfico. Por ejemplo, en los gráficos de barras, a veces la graduación de los va-lores en el eje vertical no es uniforme, o bien, se realiza solo a partir de ciertovalor. Si esto no está explícito en el gráfico, puede inducir a errores de inter-pretación o a que se sobredimensionen las diferencias entre las variables.


En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; esdecir, puede ser utilizado como una evaluación formativa. Se adjunta una tablacon los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puederecurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítemcorresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.


Ítem 1: determinar la mediana y los cuartiles de un conjunto de datos.Ítem 2: construir y analizar diagramas de cajas.Ítem 3: interpretar un diagrama de cajas.


Actividades


desarrollan

1 y 2 Interpretar y analizar.

3Interpretar, representary analizar.

En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los contenidos trabajados hasta esta parte de la unidad, con el propósito de quelos y las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entrelos conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y, además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.



1. ¿Cuál es la diferencia entre los percentiles y los deciles? Justifica.2. ¿Cuáles son las características de un diagrama de cajas? Explica.3. ¿Se pueden utilizar diagramas de cajas para comparar dos conjuntos de

datos?, ¿por qué?4. ¿En qué contextos has escuchado hablar de percentiles, quintiles, cuartiles

o deciles? Comenta con tus compañeros y compañeras.


desarrolla

Mapa conceptual




evalúan

1 Aplicar.


3 Aplicar e interpretar.

Mi progreso


Unidad 6 | 205

Unid


y remediales

• En el ítem 1, recuerde a sus alumnos y alumnas que para determinar losvalores de la mediana y los cuartiles deben preocuparse de ordenar todoslos datos involucrados, de menor a mayor. Enfatice que si la cantidad dedatos es un número par, la mediana corresponde a la semisuma de los dosdatos centrales.

• En los ítems 2 y 3, comente con sus estudiantes cuáles son todas las medidas que deben observarse en todo diagrama de cajas, y que debencalcular antes de comenzar a dibujar el gráfico: valor mínimo y máximo,rango, la media aritmética, la mediana y el primer y tercer cuartil.



ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

1

Determina correctamentetodos los cuartiles pedidos.

Determina los cuartilespedidos, pero en el casode la mediana, no consi-dera que estos datos sonuna cantidad par.

No logra determinar loscuartiles pedidos, ya queno ordena previamentelos datos presentados.

No logra determinar loscuartiles pedidos, o bien,desconoce los conceptosque se le solicitan.

2

Construye correctamentelos diagramas de cajas,calcula la media, medianay moda sin errores, e in-terpreta correctamentelos resultados.

Construye los diagramasde cajas, y calcula lamedia, mediana y modacon algunos errores, obien, comete errores en la interpretación delos datos.

Construye solo uno delos diagramas de cajas, y calcula la media, la mediana o la moda conerrores, o bien confundeestas medidas.

No construye los diagra-mas de cajas, o bien, nocalcula los valores porquedesconoce los conceptoso el procedimiento.

4








1. La siguiente tabla corresponde a la distribución de lospuntajes promedios de la prueba de selección universi-taria en el proceso de admisión 2010.

Fuente: “Distribución de puntajes según pruebas obligatorias y electivas”. Departamento de evaluación,medición y registro educacional (DEMRE).www.demre.cl/estadisticas.htm, consultado en marzode 2010.

a. ¿Cuántos alumnos rindieron la prueba?b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo puntajes

menores que 500 puntos?c. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo puntajes

iguales o superiores a 700 puntos?d. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo más de

800 puntos?e. Calcula la media aritmética de esta distribución

de puntajes.f. Calcula los percentiles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,

80 y 90.g. Calcula Q

1, Q

2y Q

3.

h. ¿A qué percentil corresponde, aproximadamente, el puntaje 461?

2. Observa la información que aparece en el gráfico y responde.

Fuente: “Tasas de desocupación”. Instituto Nacional de

Estadísticas, www.ine.cl, consultado en marzo de 2010.

a. ¿Cuál es el trimestre con mayor cesantía en el país?b. ¿Bajó efectivamente el desempleo en este período?c. Indica elementos que expliquen el alza o la disminu-

ción del desempleo.

3. El diagrama de tallo y hojas muestra el rendimientode dos cursos de Cuarto Año Medio en una prueba de Química.

4º A 4º B2 8 23 2 34 0 2 6 8 4 7 8 9 95 0 1 1 1 2 3 5 7 8 5 4 5 5 6 7 8 8 9 9 6 1 2 5 6 7 6 3 5 6 7 7 8 8

De acuerdo al diagrama, es falso que:

A. en el 4º A, la calificación con mayor frecuencia fue 5,1.

B. la peor nota de los dos Cuartos fue un 2,8.C. en ningún curso se obtuvo la nota máxima.D. el 4º B tuvo mejor rendimiento que el 4º A.E. en el 4º A hubo más estudiantes que rindieron

la prueba.


Puntaje Frecuencia

Menos de 200 127

200 – 249,5 2902

250 – 299,5 5590

300 – 349,5 13 929

350 – 399,5 22 013

400 – 449,5 33 790

450 – 499,5 24 550

500 – 549,5 23 372

550 – 599,5 42 884

600 – 649,5 36 602

650 – 699,5 23 433

700 – 749,5 12 757

750 – 799,5 6552

800 – 850,0 458

Dic - Fe

b

Ene -

Mar

Feb - A

br

Mar - M

ay

Abr - J

un

May - J

ul

Jun - A

go

Jul - S

ep

Ago - O

ct

Sep -

Nov

Oct - D

ic

Nov - E

ne0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

Mile

s de

per

sona

s

Evolución de los desocupados según período

200320042005

Trimestres


Unidad 6 | 207

Unid

ad 6


Ítem 1: calcular la mediana y el primer cuartil de un conjunto de datos agrupados.Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver problemas.Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál es el más adecuado.



Actividades


desarrollan




Los y las estudiantes reflexionarán sobre la necesidad de realizar un estudio demercado, para determinar si la necesidad que se ha detectado podría redun-dar en ganancias para la empresa, antes de realizar la inversión inicial. En estecaso, el estudio de mercado es acerca de sacos de dormir para personas ex-cepcionalmente altas. Antes de empezar la actividad, puede sugerir a sus es-tudiantes que analicen cómo se sentirían ellos durante un campamento si elsaco de dormir les quedara corto.



desarrollan

1Resolver problemas, conectar, analizar y evaluar.

2 Sintetizar o integrar.

Actividades


desarrollan

1Resolver problemas, conectar y analizar.

2 y 3 Seleccionar.

Investiguemos...



Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizajeque han alcanzado sus estudiantes.




Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual,pídales que se los intercambien, de modo que cada uno lo revise y comparecon el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles que enun mapa conceptual cada concepto se deben escribir de manera indepen-diente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones que hayentre los conceptos.


En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidosvistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro.



desarrolla

Mapa conceptual




II1 Aplicar y calcular.

2 Aplicar y analizar.

III

1 y 2 Aplicar y verificar o comprobar.

3, 6, 7, 9 y 11 Aplicar.

4, 8 y 10 Analizar.

5 y 12 Recordar.


Unidad 6 | 209

Unid


y remediales

• En el ítem 1, enfatice a sus estudiantes que cuando los datos están agru-pados en una tabla, primero deben determinar en qué clase se encuentraun determinado percentil, para luego aplicar la expresión correspondiente,y que incluso dos percentiles distintos pueden estar asociados a la mismaclase, sin que ello implique que tengan el mismo valor.

• En el ítem 2, comente a sus alumnos y alumnas que lean el enunciado conatención, ya que aunque se indica un valor promedio, lo que ellos debenrealizar es compararlo con el verdadero valor promedio, que pueden calculara partir de los demás datos entregados.

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puedeutilizar para evaluar a sus estudiantes.

ÍtemsCompletamente

logradoLogrado


Por lograr

I



Determina correctamenteel valor de verdad de al menos cuatro de las afirmaciones.


II, 1

Calcula correctamentetodos los percentiles pedidos.

Calcula correctamentelos percentiles pedidos,con algún error de cálculo.

No logra calcular los percentiles pedidos, yaque no comprende cómoobtener algunos de losdatos que requiere.

No logra calcular los per-centiles pedidos, o bien,desconoce los conceptosque se le solicitan.

II, 2

Calcula correctamentelos intervalos pedidos, y los interpreta correctamente.

Calcula correctamentelos intervalos pedidos,pero su interpretación es incompleta, o bien,no la realiza.

No logra calcular los intervalos pedidos, debido a que no com-prende cómo obtener algunos de los datos que requiere.

No logra calcular los intervalos pedidos, obien, desconoce los conceptos que se le solicitan.





1. Se realiza un estudio acerca de la masa de niños varonesentre 10 y 12 años, para lo cual se toma una muestra de104 niños, encontrándose un promedio de masa de 38 ki-logramos, con una desviación estándar de 8,5 kilogramos.

a. Construir un intervalo de confianza para esta esti-mación al 95%.

b. Si se quiere reducir a la mitad el margen de error,¿qué tamaño muestral sería necesario?

c. Realiza el mismo análisis anterior, suponiendo quela muestra original era de 27 niños.

2. Una muestra aleatoria de 93 refrigeradores reportó queel intervalo de confianza para el tiempo promedio derepresentación de fallas técnicas (en años) fue de(3,877, 4,162). Considerando que la desviación estándares de 0,7 años, ¿cuál es el nivel de confianza?

3. En la siguiente tabla se muestran los años de serviciode una muestra de 100 empleados de un banco.

a. Calcular la marca de clase para cada intervalo.b. Graficar, utilizando Excel, la curva de distribución

acumulada correspondiente.c. Graficar un diagrama de caja.d. ¿Cómo es la dispersión de los años?e. Calcular la media aritmética y la desviación estándar.f. Respecto a la media aritmética, ¿se puede decir que

es representativa de estos valores?

4. La siguiente tabla de distribución agrupa las marcas,expresadas en metros, obtenidas por un grupo de estudiantes en el lanzamiento del disco.

a. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo marcas enel intervalo [39, 40[?

b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una marcaigual o superior a los 40 metros?

c. ¿Cuál es la media aritmética de las marcas obtenidaspor los estudiantes?

d. Calcula el percentil 10 y 80.e. Calcula el segundo decil.f. Calcula el tercer cuartil.

5. Con la finalidad de conocer el gasto estimado en útilesescolares durante un año académico, se seleccionó unamuestra aleatoria simple de 59 escolares. En promedio,los y las 59 estudiantes gastaron $ 81 960 y la desvia-ción estándar fue de $ 28 320.

a. ¿Cuál es el intervalo de confianza al 95% para el gasto promedio en útiles escolares durante un año académico?

b. ¿Qué amplitud tiene el intervalo?


Años Número de empleados

0 – 2 40

3 – 5 25

6 – 8 20

9 – 11 10

12 – 14 5

Intervalo (m) Frecuencia

[34, 35[ 12

[35, 36[ 15

[36, 37[ 18

[37, 38[ 30

[38, 39[ 28

[39, 40[ 20

[40, 41[ 17

[41, 42[ 6

[42, 43[ 4


Unidad 6 | 211

Unid

ad 6

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiary que le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en laUnidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión dereforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad porsus estudiantes.



Considere:Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (10 preguntas).Logrado: si contesta correctamente 7 preguntas o más.Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 5 y 6 preguntas.Po lograr: Si contesta correctamente 4 preguntas o menos.


• En el ítem 4, indique a sus estudiantes que más de una situación que tengacorrelación negativa, tal como se sugiere en las alternativas, en este caso.

• En los ítems 6 y 9, recuerde a sus alumnos y alumnas que lean con atenciónel enunciado, para que determinen correctamente cuáles son los datos queles están presentando y cuáles son los que les solicitan, de modo que utilicen la expresión que sí los relaciona, y luego planteen una ecuación, si es necesario.

• En los ítems 7, 8 y 10, insista a sus estudiantes en que para utilizar la tablade la página 242 del Texto, primero se debe normalizar la distribución, estoes, realizar el cambio de variable correspondiente para que la distribuciónsea N(0, 1).

Evaluación final


3, 5 y 6 Aplicar. 2 puntos cada una 6 puntos

1, 4 y 9 Analizar. 2 puntos cada una 6 puntos

2 Interpretar. 2 puntos cada una 2 puntos

7, 8 y 10 Interpretar y aplicar. 2 puntos cada una 6 puntos




1. Eduardo entrena dos grupos de diez corredorescada uno. Para la Maratón de Santiago, el tiempopromedio que demoraron estos grupos fue el mis-mo; sin embargo, el grupo A tuvo una desviación es-tándar menor que el grupo B. ¿Cuál o cuáles de lassiguientes afirmaciones son correctas?

I. En promedio, al grupo A le fue mejor que algrupo B.

II. El desempeño del grupo A fue más homogéneoque el del grupo B.

III. En el grupo B, hay corredores más lentos y/omás rápidos que en el grupo A.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. Solo I y IIE. Solo II y III

2. El siguiente diagrama de caja representa la masade un grupo de adolescentes.

Entonces, se observa que:

A. Q1

= 86,3; Q2

= 80; Q3

= 73,9B. Q

1= 47,1; Q

2= 62,5; Q

3= 73,9

C. Q1

= 62,5; Q2

= 73,9; Q3

= 80D. Q

1= 80; Q

2= 73,9; Q

3= 62,5


3. Un ciclista recorre una pista de 400 metros obteniendo los siguientes tiempos (en segundos): 34-35-32-33-32-33-31-35-32-34La desviación estándar correspondiente es:

A. 33,1 B. 1,69 C. 1,3D. 1,1E. Otro valor.

4. De las siguientes situaciones, ¿cuál o cuáles de ellastienen correlación negativa?

I. El lugar en la tabla de posiciones de un equipoen un campeonato de fútbol y el número de derrotas.

II. La estatura de una persona y su edad.III. La cantidad de obreros que hacen un trabajo

y el tiempo que requieren para realizarlo.

A. Solo I B. I y II C. I y IIID. II y IIIE. I, II y III

5. Un grupo de científicos que trabaja en la selva necesita estimar la cantidad de una especie demonos que vive en un sector delimitado. Para ellole disparan dardos de pintura azul, dando en elblanco a 10 de ellos. Al día siguiente, logran ver a25 monos, de los cuales 5 están pintados. El totalde monos del sector es:

A. 25B. 40C. 50D. 13E. Otra cantidad.

Evaluación final


62,547,1

73,9

80

86,3

Masa (kg)


Unidad 6 | 213

Unid

ad 6

6. Para determinar la cantidad de crías que tiene unconejo por temporada, se hace una investigación.¿De qué tamaño debe ser la muestra, si se sabeque la desviación estándar de la población es deseis crías, se quiere un nivel de confianza del 99%y un margen de error máximo de una cría?

A. 15 B. 16 C. 236D. 240E. Otro valor.

7. En una industria se observa que la masa de ciertosclavos tiene una distribución N(25,1) en gramos.¿Cuál es la probabilidad de obtener un clavo cuyamasa sea menor que 24,5 gramos?

A. 0,5 B. 0,29 C. 0,31D. 0,69E. 0,71

8. El tiempo que un estudiante de Cuarto Año Mediodedica al estudio –en su casa– cada día hábil tieneuna distribución N(141, 41). Respecto de esta si-tuación, es verdadero que:

I. El 68,3% de los días estudia entre 100 y 182 minutos.

II. Alrededor del 16% de los días estudia menosde 100 minutos.

III. Aproximadamente 3 días hábiles al mes estudiamás de 182 minutos.

A. Solo I B. I y II C. II y IIID. I, II y IIIE. Ninguna es verdadera.

9. Juan Pablo hizo un análisis acerca de la cantidadde encuestas que realizaba en promedio al día;obtuvo un promedio de 5 encuestas y una des-viación estándar de 1,8 encuestas. Si el intervalode confianza al 95% que Juan Pablo obtuvo fue(4,334, 5,666), es verdadero que:

I. El tamaño de la muestra fue de 28 días.II. El margen de error es 1,333.III. Si Juan Pablo hubiese realizado un intervalo

de confianza al 90% de confianza el margende error sería la mitad.

A. Solo I B. Solo II C. I y III D. I y IIE. Ninguna es verdadera.

10. El tiempo en que los y las estudiantes contestanuna prueba de Lenguaje tiene una distribuciónnormal, en minutos, de N(55, 10); con relación aesta situación es verdadero que:

I. El 68,3% de los jóvenes demora entre 45 y65 minutos.

II. El 4,5% de los jóvenes demora menos de 35 minutos.

III. En un curso de 40 estudiantes quedan aproximadamente seis de ellos después de 65 minutos de haber comenzado.

A. Solo I B. I y II C. II y III D. I y IIIE. I, II y III


De refuerzo

1. a. Dom ( f ) = IR – {–3}, Rec ( f ) = IR – {0},

f –1 (x) =

c. Dom ( f ) = IR – {–2, 2}, Rec ( f ) = IR – ]– , 0]f –1 (x) no tiene.

d. Dom ( f ) = [5, �[ Rec ( f ) = [0, �[, f –1 (x) notiene.

e. Dom (f ) = ]–�, 3[ Rec (f ) = ]0, �[, f –1 (x) no tiene.

3. a. Vb. F, no tiene vértice.c. Vd. F, la gráfica se abre hacia abajo.e. Vf. Vg. V

De profundización

2. a. i. La gráfica se desplaza hacia arriba.ii. La gráfica se desplaza hacia abajo.

b. i. La gráfica se dilata o se contrae, según si el valor de k es menor o mayor que 1.

ii. La gráfica se dilata o se contrae, según si el valor de k es menor o mayor que 1, y además se refleja respecto del eje X.

c. i. La gráfica se desplaza hacia la izquierda.ii. La gráfica se desplaza hacia la derecha.

Página 53

De refuerzo

1. a. 2b. 0

d. –

2. a. F, el argumento del logaritmo es siempre positivo.b. Vc. Vd. V

3. a. F c. V e. Vb. V d. F f. F

4. a. e. i.

c. g.

De profundización

1. a. 4y d. b

2. Sí, por ejemplo, n = 2, 4, 5, 6, 20, 25, 27…

3. Por ejemplo, (1, 1).

4. Por ejemplo, 30 031 y 13 003 son primos siameses.

Página 60

De refuerzo

1. E 4. A 7. B2. C 5. C 8. D3. C 6. E 9. A

14

32

23

23

12

45

32

72

1 – 3xx


Solucionario de la Guía Didáctica

Función potencia y logarítmica1

b. Dom ( f ) = IR – { }, Rec ( f ) = IR – { }, 12

12

f –1 (x) = x + 32x – 1

c. 11 e. 116

b. f. j. 43

32

43

d h. 34

12

c. a + v f. – p47

16

14

b. b e. 4m103

SOLUCIONARIO-4º M (214-224):Maquetación 1 5/11/10 09:49 Página 214

De refuerzo

1. a. 21,21 dB c. 119,6 dBb. 75,44 dB d. 1,58 · 10–5 W/m2

2. a. 7,15 dB c. 5,7 dB e. 5,7 pies.

3. a. 9,1 grados Richter. c. 7,07 · 1010 jb. 8,3 grados Richter. d. 3,16 · 1015 j

De profundización

1. Ninguna.

2. a. x = 3, y = –1 f. x = 3, y = 27b. x = 100, y = 10 g. x = 2, y = 16c. No tiene solución. h. x = 64, y = 107

d. x = 6, y = 3 i. x = 25, y = 2e. x = 7, y = 49

3. Fue 89,13 veces más potente.

Páginas 68 y 69

Evaluación final

1. C 6. D 11. D2. D 7. D 12. B3. C 8. B 13. C4. D 9. C 14. D5. D 10. D

Página 86

De refuerzo

1. a. f (3) = 81, f (0) = 3, f (–1) = 1, f (–2) = , g (–1) = 25, g (0) = 1, g (–2) = 625

c. Dom ( f ) = IR, Rec (f ) = IR+, Dom (g ) = IR, Rec (g ) = IR+

d. La función f es creciente, la función ges decreciente.

2. a. f –1(x ) = log2

(x ) f. h–1(x ) = log2

(x )

b. g–1(x ) = log (x ) g. f –1(x ) = log (x ) – 2

c. h–1(x ) = ln (x ) –2 h. g–1(x ) = 3 + ln (x )

d. f –1(x ) = i. h–1(x ) =

e. g–1(x ) = log5

(4 – x)

3. a. V

b. F, y = es decreciente.

c. F, f (x ) = 3x no pasa por el punto (1,0).d. F, y = 2x no contiene en su gráfica al punto

(0, 0).e. F, en y = 2x, (1, 2) está en la gráfica, pero

(–1, 2) no.

De profundización

1. a. La función exponencial es una función de la forma y = ax.

b. La función y = a2x – 3 es una función exponencial.c. La función inversa de la función exponencial es

la función logarítmica.d. La función y = 2x es creciente.e. La función a–x es decreciente para todo valor

de a.f. El dominio de la función exponencial está

formado por todos los números reales.g. La función f (x ) = ax se sitúa por sobre el eje X.

2. a. i. Para k > 0 la gráfica se mueve hacia arriba respecto del eje X, porque el valor de k se agrega al resultado de la función, que corresponde a la segunda coordenada de los puntos de la gráfica.

ii. Para k < 0 la gráfica se mueve hacia abajo e interseca con el eje X en un punto, y a un lado de ese punto la gráfica está sobre el eje X y al otro lado está bajo el eje X.

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

log5

(x )

3ln (x ) + 3

2

13

Solucionario de la Guía Didáctica | 215

Función exponencial2S

olu

cion

ario



b. i. Para k > 0 la gráfica se mueve hacia la izquierda, porque el valor de k se agrega antes de aplicar la función, por lo que lo queocurre con la función ocurre k unidades más a la izquierda.

ii. Para k < 0 la gráfica se mueve hacia la derecha.

c. i. Para k > 0 la gráfica se estira o se contrae respecto del eje Y, porque se producen múltiplos de los valores antes de aplicar la función.

ii. Para k < 0, la gráfica, además de estirarse o contraerse, se refleja en el eje Y, porque cambia el signo de los valores que seentregan a la función.

Página 92

1. a. x = – d. x = –7

c. x = –

2. a. x = 2 – log5

2 d. x = log 5

b. x = log3

6 – 1 e. x =

c. x = log2

12 – 2

3. a. x1

= ln 2, x2

= ln 3 d.x = 1b. x

1= ln 2, x

2= ln 8 e. No tiene solución.

c. x =

4. a. r = 0,46b. P(7) = 179 158 684 individuos.c. P

0= 149 individuos.

Página 96

De profundización

1. A 4. B 7. B2. A 5. A3. B 6. B

Páginas 98 y 99

1. A 6. E 11. C2. B 7. E 12. E3. E 8. E 13. D4. E 9. D5. D 10. E

Página 114

De refuerzo

1. a. c.

b. d.

2. a. d.

b. e.

c. f.

3. a.

4. a. �–1, –3�b. A’ = (0, 0), B’ = (2, 1)

5. a. A’ = (5, 4), B’ = (4, 9) C ’ = (–1, 6), D’ = (1, 0) E’ = (4, 1)

7. a. D = (4, 3) b. D = (10, –7)

8. a. A’ = (–18, 3), B’ = (–6, 15)

b. A’ = , B’ =

ln 8 5

15 8

– ,3152

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– ,932

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8 10

ln 2 – 3 2

3 7

b. x = – e. x = – 41 2

Vectores3

b. ± 52

2



d. A’ = (6, –1), B’ = (2, –5)

e. A’ = (12, –2), B’ = (4, –10)

f. A’ = , B’ =

9. a. V c. Vb. V d. F

Página 120

De refuerzo

1. a.

b. En ninguna.

2. a. 0 c. –27b. 0 d. –11

3. a. �–1, –2, –1� c. �8, 8, 8�b. �–19, –27, 5� d. �2, 2, 0�

4. a. �x, y� = �–3, 7� + λ�8, –9�b. �x, y� = �4, 3� + λ�–2, –4�c. �x, y� = �–2, 0� + λ�5, –4�d. �x, y� = �0, 4� + λ�1, –3�

5. No, porque el resultado del producto punto es unescalar y no puede calcularse el producto cruzentre en escalar y un vector.

6. Sí, porque el resultado del producto cruz es un vector y luego se puede calcular el producto puntoentre dos vectores.

De profundización

1. Se demuestra porque PQ→

· QR→

= 0.

2. x = –

3. Se demuestra porque PQ→

· QR→

= 0.4. Se demuestra comprobando que PQ

→· QR

→� 0,

PQ→

· PR→

� 0 y PR→

· QR→

� 0.5. 7x + 2y – 37 = 0

6. Las expresiones de a, b y d no tienen sentido. En caso de la a, porque no se puede aplicar producto punto a un vector y un escalar y en losotros casos, porque no se puede calcular la sumaentre un escalar y un vector.

7. Se demuestra porque a→

· b→

= 0, b→

· c→

= 0 y a→

· c→

= 0.

8. a. V, porque a→

· b→

= 0.b. V, porque el coseno y el seno del ángulo entre

ellos no pueden ser cero a la vez, entonces algún módulo debe ser cero.

c. F, el resultado de producto punto es un escalar, no un vector, así que no tiene sentido la asociatividad.

d. V, si u→

= kv→

, entonces u→

� v→

= k(v→

� v→

) = 0.e. V, ya que su producto cruz es cero si alguno es

cero, lo que da paralelismo, o bien, el seno del ángulo entre ellos es cero, lo que corresponde a un ángulo de 0º o 180º, es decir, son vectores paralelos.

f. V

Página 127

De refuerzo

1. a. �x, y, z� = �2, 1, 3� + λ�1, –2, 2�b. �x, y, z� = �3, –1, 1� + λ�1, 2, –1�c. �x, y, z� = �3, 1, 1� + λ�–1, 4, 7�

d. �x, y, z� = �0, , � + λ�3, –5, 2�

2. a. �x, y, z� = �1, –1, 6� + λ�–1, 1, –5� + μ�3, 8, –17�b. �x, y, z� = �2, 5, 1� + λ�1, 1, 0� + μ�–1, 1, 1�c. �x, y, z� = �2, –3, 5� + λ�1, 1, 1� + μ�0, –1, 2�d. �x, y, z� = �3, –1, 2� + λ�1, 0, –1� + μ�–1, 2, –2�e. �x, y, z� = �3, 1, 0� + λ�1, –1, 3� + μ�2, 1, –1�

3. a.

b. No existe el punto de intersección.c. La misma recta, �x, y, z� = �1, –2, 3� + λ�2, 5, –1�

d.95

0135

, ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

115

1125

, ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

154

, –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

92

34

, –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 3

11 3

5 2

c. A’ = , B’ = – ,43

103

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– ,423

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sol

uci

onar

io



b. �x, y, z� = �–2, 7, 0� + λ�3, –5, 2�

De profundización

1. a. Basta considerar el plano z = 0 (plano XY), paralelo a la recta z = 0, y = 0 (eje X), pero la recta x = 0, z = 0 (eje Y) está contenida en el plano y no es paralela a la recta inicial.

b. Basta considerar los puntos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), los primeros dos están contenidos en el plano z = 0 (plano XY) y el punto (0, 0, 1) no pertenece a dicho plano.

2. El punto .

4. Los ángulos diedros que forman una cara basal conuna cara lateral son todos de 90º, los que formandos caras laterales entre sí miden 72º.

5. a. Al eje X, ya que al eje Y lo corta en (0, 3, 0) y aleje Z lo corta en (0, 0, 2)

b. Infinitos, ya que la recta sería la intersección de todos los planos que tienen al vector director dela recta junto a cualquier otro no paralelo a él como vectores directores, además de contener a la recta.

c. 8 semiplanos.

6. Al eje X en , al eje Y en (0, –1, 0),

al eje Z en (0, 0, 2).

7. a. Ambos vectores perpendiculares al eje Z.b. Ambos vectores perpendiculares al eje X.c. Ambos vectores perpendiculares al eje Y.

Página 132


1. a. AB→

= �2, 4� d. GH→

= �–6, 2�b. D = (8, –1) e. I = (–6, –1)c. E = (14, 2) f. M = (–10, –1)

2. a. A’ = (–2, 8), B’ = (6, –4), C’ = (0, 12)

c. A’ = , B’ = , C’ =

d. A’ = (1, –4), B’ = (–3, 2), C’ = (0, –6)

e. A’ = (3, –12), B’ = (–9, 6), C’ = (0, –18)

f. A’ = , B’ = , C’ =

3. a. �x, y� = �0, 2� + λ�5, 2�

b. �x, y� = �6, 0� + λ�3, –1�

c. �x, y� = �0, � + λ�1, 0�

d. �x, y� = �2, 0� + λ�–1, 4�

4. a. 5x + 4y – 13 = 0 c. x – 4y + 6 = 0b. 2x – 3y + 9 = 0 d. 8x – 3y – 40 = 0

5. a. �–5, 10, –1� c. �–31, 10, –2�b. �59, –11, –29� d. �–2, –8, 20�

6. a. �x, y, z� = �0, 2, 5� + λ�1, –2, –1�b. �x, y, z� = �1, 3, –1� + λ�2, –5, 7�c. �x, y, z� = �3, 0, 0� + λ�–1, 0, 4�d. �x, y, z� = �1, 2, 0� + λ�3, –7, 2�

7. a. �x, y, z� = �3, 0, 0� + λ�1, 0, 2� + μ�0, 1, 3�b. �x, y, z� = �2, 0, 1� + λ�1, –3, 0� + μ�0, 2, –1�c. �x, y, z� = �0, 2, 0� + λ�3, 0, 1� + μ�5, –1, 0�d. �x, y, z� = �0, 0, –1� + λ�1, 1, –1� + μ�3, 0, 4�

8. a. �x, y, z� = �0, 2, 5� + λ�1, 3, 2� + μ�3, –2, –4�b. �x, y, z� = �1, –4, 2� + λ�6, 7, –5� + μ�5, 6, 0�c. �x, y, z� = �5, 0, –3� + λ�1, 1, 4� + μ�3, 2, 1�d. �x, y, z� = �4, –4, 3� + λ�–10, 7, –3� + μ�–6, 4, 4�

032

, –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– ,34

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

1, –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0212

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

214

72

, –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– ,74

7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

0 0, ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

179

109

19

, , –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 3

4. a. �x, y, z� = � , , 0� + λ�–1, 4, 7�3 7

22 7

3. El punto .192

32

7, , –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b. A’ = , B’ = , C’ = 0125

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

65

45

, –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– ,25

85

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Páginas 134 y 135

Evaluación final

1. A 6. B 11. D2. C 7. D 12. C3. B 8. D 13. D4. C 9. C5. A 10. D

Página 150

De refuerzo

1. a. b.

2.

3. 75 cm2

4. cm2

5. cm2

6. 700 cm2

7. 57 600 cm3, o bien, 57,6 litros.

8. El de base triangular.

9. 2 592 968,434 m3

Página 156

De refuerzo

1. 129,59 m3

2. 9 cm

3. 128π cm3

4. 136 cm2

5. 105π m3

6. a. dm3 b. 186π cm3

De profundización

1. r = 2 cm, g = 4 cm

2. Son iguales.3. a. 4560 cm2 b. 244 290 cm3

4. La altura del cono debe ser cuatro veces el radio dela base.

5. 707 cm2 de azul, 942 cm2 de rojo y 1178 cm2 deamarillo.

6. La altura del cono es igual al radio de la esfera.

7. 2 : 1

8. El área aumenta en un 300%. El volumen aumentaen un 700%.

Página 160

De profundización

1. 288 cm2

2. Área total 252 cm2, volumen 144 cm2

3. a. 4 cmb. cm

c. cm

d. Área lateral cm2,

área total cm2.

e. Volumen 256 cm3.

64 101+( )64 10

4 10

4 11

608π3

24 97 96 3+

32 3 336+


Áreas y volúmenes4

Sol

uci

onar

io



4. a. Área total cm2.b. No.c. El área total sería cm2, que no es el

doble de la anterior.d. 18 cm3

5. Área lateral 100π cm2, área total 125π cm2,

volumen cm3.

6.

7. a. 120 + 36π cm3 b. 118 + 33π cm2

8. a. 4,5π cm3 b. 138π cm2

9. a. Caja cúbica de 20 cm de lado. 2400 cm2

de cartón.b. 8000 cm3

c. 2400 cm2 de celofán.

Páginas 162 y 163

Evaluación final

1. C 6. A 11. C2. C 7. A 12. C3. E 8. C 13. D4. B 9. C 14. E5. C 10. D 15. C

Página 177

De refuerzo

1. a. Cuantitativa continua.

b. Cuantitativa continua.c. Cuantitativa discreta.d. Cuantitativa discreta.e. Cualitativa.f. Cuantitativa discreta.

2. a. Jefes de hogar entrevistados.b. 100c. Jefes de hogar de cierta comuna.d. Preferencia de supermercados.e. 0,3f. 70

3. a. Media aritmética: 8; mediana: 9; moda: 10.b. La media aritmética.

4.

5. Media: 8Moda: 7Mediana: 7

6. 12,8 segundos.

7. 4,68

8. 78 kg

Página 182

De refuerzo

1. a. Sebastián: media aritmética: 2,4, mediana: 2, moda: 3. Pablo: media aritmética: 3,7, mediana: 4, moda: 4.

b. Sebastián: rango: 4, desviación estándar: 1,14. Pablo: rango: 7, desviación estándar: 1,66.

125 153π

9 1 65+( )

9 1 17+( )

Estadística I5

EdadFrecuencia absoluta

Frecuenciarelativa

Frecuencia relativa porcentual

15 12 0,3 30

16 14 0,35 35

17 6 0,15 15

18 8 0,2 20



2. a. Media aritmética: 46,6, mediana: 49,5, moda: 53.b. $ 270 000c. 22 años.

4. a. E1 = 18 cm, E2 = 9 cm, E3 = 22 cm, E4 = 6 cm,E5 = 13 cm.

b. E1 = 170 cm, E2 = 170 cm, E3 = 160,6, E4 = 164,8, E5 = 160,8.

c. E1: mayor, E2: mayor, E3: menor, E4: menor, E5: menor.

Páginas 184 y 185

Evaluación final

1. B 5. A 9. E2. D 6. E 10. E3. E 7. C4. A 8. D

Página 201

De profundización

1. a. Síc. Síd. No

2. a. truchas = 129, salmones = 398, pejerreyes = 278, otros = 122.

3. a. 138 710 personas.b. 189 367 personas.c. 6021 personas.d. 361 personas.

4. a. media: 15, desviación estándar: 7,33b. el 73%

Página 206

De refuerzo

1. a. 248 959 estudiantes.b. 41,3%c. 7,9%

d. 0,2%e. 527,5 puntos.f. P

10= 355,3, P

20= 407,7, P

30= 444,6,

P40

= 493,2, P50

= 546,2, P60

= 576,9, P

70= 607,0, P

80 = 641,0, P

90= 689,1.

g. Q1

= 426,2, Q2

= 546,2, Q3

= 624,0.h. Al percentil 34.

2. a. Mayo-julio.b. El desempleo bajó en el período 2003-2005,

excepto en los trimestres diciembre-febrero y enero-marzo.

3. E

Página 210

De refuerzo

1. a. [36,366, 39,634]b. n = 416 niños.c. n = 108 niños.

2. 95% de confianza.

3. a. 1, 4, 7, 10 y 13, respectivamente.e. Media aritmética: 4,45 años, desviación

estándar: 3,58 años.

4. a. 13,3% aproximadamente.b. 18%c. 38,03 md. P

10= 35,2 m, P

80 = 39,85 m

e. D2

= 36,2 mf. Q

3= 39,475 m

5. a. [74 733, 89 186]b. El intervalo tiene amplitud 14 453.

Páginas 212 y 213

Evaluación final

1. E 5. C 9. A2. C 6. D 10. D3. C 7. C4. C 8. D

Estadística II6

Sol

uci

onar

io



Bibliografía

Documentos oficiales• Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos

Mínimos Obligatorios de la Educación Media. Ministerio de Educación de Chile, 2001.

• Ministerio de Educación. Matemática. Programa deEstudio. Cuarto Año Medio. Formación General Educación Media. Ministerio de Educación de Chile,Unidad de Currículum y Evaluación.

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http://www.matematicas.net• Sociedad de Matemática de Chile

http://www.somachi.cl• Recursos matemáticos Redemat

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html


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