4_disebloq
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4_DiseBloqTRANSCRIPT
UNIDAD
Estadstica II ______________________________________________________________________________
______________________________________________________Diseo Aleatorizado Por Bloques Completos
UNIDAD
4
DISEOS DE
BLOQUES
OBJETIVO EDUCACIONAL
Al trmino de esta unidad el alumno ser capaz de:
Usar el modelo de bloques correspondiente en funcin de sus caractersticas particulares
4.1 El Diseo de Bloques Totalmente Aleatorizado
En muchos problemas de diseo experimental es necesario disear el experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un factor indeseable. El procedimiento general para el diseo aleatorizado por bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una rplica completa del experimento en cada uno de ellos. En la tabla 4.1 aparecen los datos que se obtienen al aplicar un diseo aleatorizado por bloques completos para investigar un solo factor con a niveles y b bloques. En cada bloque existen a observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque.
Datos tpicos para el anlisis de varianza de clasificacin en un sentido
TratamientoBloquesTotalesPromedios
12.b
1
.
2
.
...
..................
a
.
Totales
.
Promedios
.
;
;
;
La notacin del subndice punto implica la sumatoria sobre el subndice que reemplaza.
4.1.1 Anlisis Estadstico
Suponga que tiene inters en un solo factor que tiene a niveles, y que el experimento se efecta en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con el modelo estadstico lineal
donde es la media global, es el efecto del i-simo tratamiento, es el efecto del j-simo bloque y es el trmino de error aleatorio, el cual se supone que tiene una distribucin normal e independiente con media cero y varianza ().En principio, los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos. Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como desviaciones de la media global, de modo que
y
Tambin se supone que los tratamientos y los bloques no interactan entre s. Esto es, el efecto del tratamiento i es el mismo sin importar en que bloque (o bloques) se pruebe. El inters recae en probar la igualdad de los efectos de los tratamientos (equivale a probar la hiptesis de que las medias de tratamientos son iguales)
1) Hiptesis
2) El estadstico de prueba es:
3) La regla de decisin para con grados de libertad es: Rechazar H0 si
4) Evaluar el estadstico de prueba: para evaluar el estadstico de prueba se utiliza la tabla de anlisis de varianza
Anlisis de Varianza de un diseo Aleatorizado por bloques completos
Fuente de VariacinSuma de
CuadradosGrados de
LibertadCuadrados
Medios
Trats.
Bloques
Error
Total
5) Decisin: SE rechaza o NO se rechaza H0
6) Conclusin: (Si se rechaza H0: Al menos uno de los efectos de tratamientos es diferente de cero) (Si NO se rechaza H0:los efectos de tratamientos son todos iguales a cero).
4.2 Verificacin del ModeloEn cualquier experimento diseado, es siempre importante examinar los residuos y verificar si se violan las suposiciones bsicas (Normalidad, Independencia, Aditividad e Igualdad de varianzas) que pueden invalidar los resultados.
4.2.1 Generacin de los Residuos
Los valores de los residuos del diseo aleatorizado por bloques completos se obtienen, como es usual, por la diferencia entre los valores observados y los estimados
y los valores estimados son
o bien
EMBED Equation.3 4.2.2 La Suposicin de Normalidad
El anlisis de varianza del modelo supone que las observaciones estn distribuidas de manera normal e independiente, con la misma varianza para cada tratamiento o nivel del factor. Estas suposiciones deben verificarse mediante el anlisis de los residuos.
La suposicin de normalidad puede verificarse mediante la construccin de una grfica de probabilidad normal de los residuos. Para esto, los residuos se agrupan en una tabla de distribucin de frecuencias, se calcula la frecuencia relativa acumulada para cada valor y se grafican en una hoja de papel de probabilidad normal. Si la suposicin es vlida los puntos tendern a agruparse sobre una lnea recta que pasa por el punto medio.
4.2.3 Trazado de los Residuos Contra Tratamientos, Bloques y Valores Ajustados
La presentacin visual en el bloque completo aleatorizado implica graficar los residuos por separado para cada tratamiento y para cada bloque. El analista debe esperar variabilidad aproximadamente igual si es vlida la suposicin de igualdad de varianzas. En el caso de la grfica de residuos contra valores estimados podra revelar violacin a nuestra suposicin de aditividad (es decir, ninguna interaccin); si no hay interaccin, debe aparecer un patrn aleatorio
4.2.4 Estimacin de Valores Perdidos
En ocasiones, cuando se utiliza un diseo aleatorizado por bloques completos, alguna de las observaciones en uno de los bloques puede faltar. Esto sucede debido algn descuido o error, o por razones fuera del control del experimentador, como sera el caso de la prdida de alguna unidad experimental. Una observacin faltante introduce un nuevo problema en el anlisis, ya que los tratamientos dejan de ser ortogonales a los bloques. En otras palabras, cada tratamiento no ocurre en cada bloque. Existen dos formas generales de resolver el problema de los valores faltantes. La primera es una anlisis aproximado en el que se estima la observacin faltante. A continuacin se efecta el anlisis de varianza usual como si la observacin estimada fuera un dato real, disminuyendo los grados de libertad del error en uno. La segunda es un anlisis exacto usando la prueba de significancia de regresin general.
Suponga que falta la observacin correspondiente al tratamiento i y al bloque j. Esta observacin se representa mediante x el gran total con una observacin faltante se representar mediante y los totales del tratamiento y del bloque con un dato faltante como y , respectivamente. Supongamos, adems, que para estimar la observacin faltante se elige x, de manera que tenga una contribucin mnima a la suma de cuadrados del error. Como la suma de cuadrados del error est dada por
lo anterior equivale a escoger x, de tal forma que minimice
o bien,
en donde R incluye todos los trminos que no contienen a x. Al derivar la SCE con respecto a x e igualar a cero se obtiene
como un estimador para la observacin faltante.
4.3 El Diseo Cuadrado Latino
Un diseo cuadrado latino para p factores, o un cuadrado latino p x p, es un cuadrado que contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece una sola vez en cada rengln y columna. El diseo cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemticas; en otras palabras, permite analizar sistemticamente por bloques en dos direcciones. A continuacin se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos.
4 x 4
5 x 5
6 x 6 A B D C
A D B E C
A D C E B F
B C A D
D A C B E
B A E C F D
C D B A
C B E D A
C E D F A B
D A C B
B E A C D
D C F B E A
E C D A B
F B A D C E
E F B A D C
El modelo estadstico del diseo cuadrado latino es
en donde
observacin correspondiente al i-simo rengln, la k-sima columna y el j-simo tratamiento
la media general
es el i-simo efecto de rengln
es el j-simo efecto de tratamiento
es el k-simo efecto de la columna
es el error aleatorio
El modelo es completamente aditivo, en otras palabras, no existe interaccin entre los renglones, las columnas y los tratamientos. Slo dos de los subndices i, j y k se requieren para especificar una observacin en particular porque nicamente hay una observacin en cada celda.
El anlisis de varianza consiste en descomponer la suma total de cuadrados de las observaciones en sus componentes de rengln, columna, tratamiento y error
cuyos grados de libertad son
Bajo la suposicin de que el error aleatorio se distribuye en forma normal e independiente, cada una de las sumas de cuadrados son al dividir entre , variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrada. El estadstico de prueba apropiado para probar la igualdad de medias en los tratamientos es
que tiene una distribucin si la hiptesis nula es verdadera. El procedimiento de clculo para el anlisis de varianza se muestra en la tabla 4.2
Tabla 4.2. Anlisis de Varianza para un Diseo Cuadrado Latino
Fuente de VariacinSumas de CuadradosGrados de libertadCuadrados Mediosf0
Tratam.
Renglones
Columnas
Error
Total
4.4 El Diseo Cuadrado Greco Latino
Consideremos un cuadrado latino p x p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina. Este diseo se denomina cuadrado greco-latino. un ejemplo de un cuadrado greco-latino 4 x 4 se muestra en la tabla 4.3.
CuadroColumna
1234
1
2
3
4
El diseo cuadrado greco-latino puede utilizarse para controlar sistemticamente tres fuentes extraas de variabilidad. En otras palabras, se usa para hacer un anlisis por bloques en tres direcciones. El diseo permite analizar cuatro factores (rengln columna, letra griega y letra latina), cada uno con p niveles, usando solamente p2 ensayos. Los cuadrados grecolatinos existen para toda excepto para p = 6.El modelo estadstico de un diseo cuadrado greco-latino es
en donde
la observacin que corresponde al rengln i, la columna k, la letra latina j y la letra griega k.
la media general
es el efecto del i-simo rengln
es el j-simo efecto de tratamiento de las letras latinas
es el k-simo efecto de tratamiento de las letras griegas
es el efecto de la columna l
es la componente del error aleatorio
Slo dos de los cuatro subndices son necesarios para identificar completamente cualquier observacin.
El anlisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de la letra latina porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada rengln, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. Las hiptesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error.
Tabla 4.3 Anlisis de Varianza para un Diseo de Cuadrado Greco-Latino
Fuente de VariacinSumas de CuadradosGrados de libertadCuadrados Mediosf0
Tratam.
letra Griega
Tratam.
letra
Latina
Renglones
Columnas
Error
Total
Ejemplo 4.1. Se realiz un experimento para determinar el efecto que tienen cuatro tipos diferentes de puntas de un probador de dureza sobre los valores de dureza observados de una aleacin. Para ello se obtienen cuatro especimenes de aleacin, y se prueba cada punta sobre cada uno de ellos. Los datos obtenidos son los siguientes
Tipo de
PuntaEspcimen
1234
19.39.49.610.0
29.49.39.89.9
39.29.49.59.7
49.79.610.010.2
a) Existe alguna diferencia en las mediciones de dureza de las puntas?
b) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango mltiple de Duncan, con = 0.05
c) Analice la grfica de residuos contra tratamientos
Solucin. Se obtienen los totales y promedios de cada fila y columna y la sumas de cuadrados:Tipo de
PuntaEspecmenTotalPromedio
1234
19.39.49.610.038.39.575
29.49.39.89.938.49.600
39.29.49.59.737.89.450
49.79.610.010.239.59.875
Total37.637.738.939.8154.0
Promedio9.4009.4259.7259.9509.625
a) Existe alguna diferencia en las mediciones de dureza de las puntas?
Utilizando la tabla del anlisis de varianza para probar la hiptesis nula de que no existe una diferencia significativa entre las mediciones de dureza para las cuatro puntas y considerando un nivel de significancia del 5%, tenemosAnlisis de Varianza para el modelo de efectos fijos de clasificacin en un sentido
Fuente de VariacinSuma de
CuadradosGrados de
LibertadCuadrados
Medios
Tratamientos0.38530.128314.433.86
Bloques0.82530.275
Error0.08090.00889
Total1.29015
El valor de F observado para las puntas es de 14.43 es mayor que el valor de F de tablas para el 5% de nivel de significancia, por lo que podemos concluir que existe una diferencia estadsticamente significativa entre las mediciones de dureza entre las puntas.b) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango mltiple de Duncan, con = 0.051. Las a medias de tratamientos se arreglan en orden ascendente
2. Se determina el error estndar de la media como
3. Se obtienen de la tabla de Duncan, de intervalos significativos valores
4. Convierta estos intervalos en un conjunto de intervalos significativos, estos es, Rp, ; ;
5. Luego se prueban los intervalos observados entre las medias
* existe una diferencia significativa
* existe una diferencia significativa
* existe una diferencia significativa
No existe una diferencia significativa
No existe una diferencia significativa
No existe una diferencia significativa
c) Analice la grfica de residuos contra tratamientos
Se obtienen los residuales de acuerdo con la frmula:
Tabla de ResidualesTipo de
PuntaEspecmen
1234
1-0.0500.025-0.0750.10038.39.575
20.025-0.1000.100-0.02538.49.600
3-0.0250.150-0.050-0.07537.89.450
40.050-0.0750.0250.00039.59.875
37.637.738.939.8=154.0
9.4009.4259.7259.9509.625
Graficando los valores de los residuales contra los tipos de punta tenemos
Se observa que la variabilidad dentro de cada nivel el tipo de Punta es aproximadamente la misma, por lo que se cumple satisfactoriamente el supuesto de homocedasticidad.Solucin. En seguida se presenta la solucin de este problema utilizando Statgraphics
a) Existe alguna diferencia en las mediciones de dureza de las puntas? De la pantalla de salida del Statgraphics obtenemos:
Analysis of Variance for Dureza - Type III Sums of Squares
--------------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
--------------------------------------------------------------------------------
MAIN EFFECTS
A:Tipo_Punta 0.385 3 0.128333 14.44 0.0009
B:Especimen 0.825 3 0.275 30.94 0.0000
RESIDUAL 0.08 9 0.00888889
--------------------------------------------------------------------------------
TOTAL (CORRECTED) 1.29 15
El nivel de significancia observado para las puntas es de 0.0009, por lo que podemos concluir que existe una diferencia estadsticamente significativa entre las mediciones de dureza entre las puntas.
b) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango mltiple de Duncan, con = 0.05
Multiple Range Tests for Dureza by Tipo_Punta
--------------------------------------------------------------------------------
Method: 95.0 percent Duncan
Tipo_Punta Count LS Mean Homogeneous Groups
--------------------------------------------------------------------------------
3 4 9.45 X
1 4 9.575 X
2 4 9.6 X
4 4 9.875 X
--------------------------------------------------------------------------------
Contrast Difference
--------------------------------------------------------------------------------
1 - 2 -0.025
1 - 3 0.125
1 - 4 *-0.3
2 - 3 0.15
2 - 4 *-0.275
3 - 4 *-0.425
--------------------------------------------------------------------------------
* denotes a statistically significant difference.c) Analice la grfica de residuos contra tratamientos
En la grfica podemos observar que la variabilidad dentro de cada punta es aproximadamente la misma para todas las puntas.
Ejemplo 4.2 Un experimentador estudia los efectos que tienen cinco formulaciones de la carga propulsora utilizada en los sistemas de expulsin de la tripulacin de un avin basado en la rapidez de combustin. Cada formulacin se hace con un lote de materia prima que slo alcanza para probar cinco formulaciones. Adems, las formulaciones son preparadas por varios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencia de los operadores. Por lo tanto, al parecer hay dos factores perturbadores que sern calculados en promedio en el diseo: los lotes de materia prima y los operadores. El diseo apropiado para es problema consiste en probar cada formulacin exactamente una vez con cada uno de los cinco operadores. Al diseo resultante ilustrado en la Tabla 4.4 diseo cuadrado latino.Lotes de materia primaOperadores
12345
1A=24B=20C=19D=24E=24111
2B=17C=24D=30E=27A=36134
3C=18D=38E=26A=27B=21130
4D=26E=31A=26B=23C=22128
5E=22A=30B=20C=29D=31132
107143121130134635
El estadstico apropiado para probar la la hiptesis de que no hay diferencia en las medias de tratamiento es
que se distribuye como bajo la hiptesis nula. Tambin puede probarse la ausencia de efectos de los renglones o la ausencia de efectos de las columnas formando el cociente de CMRenglones o CMColumnas con el CME. Sin embargo, puesto que los renglones y las columnas representan restricciones sobre la aleatorizacin, estas pruebas quiz no sean apropiadas.
Los totales para los tratamientos (las letras latinas) sonLetra latinaTotal del tratamiento
A
B
C
D
E
La suma de cuadrados que resulta de las formulaciones se calcula a partir de estos totales como
La suma de cuadrados del error se encuentra por sustraccin:
Analysis of Variance for Rap_Comb - Type III Sums of Squares
--------------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
--------------------------------------------------------------------------------
MAIN EFFECTS
A:Formulacion 330.0 4 82.5 7.73 0.0025
B:Lotes 68.0 4 17.0 1.59 0.2391
C:Operadores 150.0 4 37.5 3.52 0.0404
RESIDUAL 128.0 12 10.6667
--------------------------------------------------------------------------------
TOTAL (CORRECTED) 676.0 24
--------------------------------------------------------------------------------
El anlisis de varianza se resume en la Tabla 4.5. Se concluye que hay una diferencia significativa en la rapidez de combustin media generada por las diferentes formulaciones de la carga propulsora. Tambin hay indicios de que hay diferencias entre los operadores, por lo que la formacin de bloques para este factor fue una buena precaucin. No hay evidencia slida de una diferencia entre los lotes de materia prima, por lo que al parecer en este experimento particular hubo una precaucin innecesaria en esta fuente de variabilidad. Sin embargo, la formacin de bloques de los lotes de materia prima es por lo general una buena idea. Ejemplo 4.3 Suponga que en el ejemplo anterior un factor adicional, los montajes de prueba, podra ser importante. Sean cinco los montajes de prueba denotados por las letras griegas (, (, (, ( y (. En la tabla se muestra el diseo de cuadrado grecolatino resultante .Lotes de materia primaOperadores
12345
1A(=24B(=20C(=19D(=24E(=24111
2B(=17C(=24D(=30E(=27A(=36134
3C(=18D(=38E(=26A(=27B(=21130
4D(=26E(=31A(=26B(=23C(=22128
5E(=22A(=30B(=20C(=29D(=31132
107143121130134635
Observe que, debido a que los totales de los lotes de materia prima (renglones), los operadores (columnas) y las formulaciones (letras latinas) son idnticos a los del ejemplo 4.2, se tiene
; ; ;
Los totales de los montajes de prueba (letras griegas) son
Letra GriegaTotal de la prueba de montaje
(
(
(
(
(
Por lo tanto, la suma de cuadrados debida a los montajes de prueba es
Analysis of Variance for Rap_Comb - Type III Sums of Squares
--------------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
--------------------------------------------------------------------------------
MAIN EFFECTS
A:Formulacion 330.0 4 82.5 10.00 0.0033
B:Lotes 68.0 4 17.0 2.06 0.1783
C:Operadores 150.0 4 37.5 4.55 0.0329
D:Montaje 62.0 4 15.5 1.88 0.2076
RESIDUAL 66.0 8 8.25
--------------------------------------------------------------------------------
TOTAL (CORRECTED) 676.0 24
Problemas
1. Se realiza un experimento para obtener una medicin del perfil para diferentes tipos de boquillas y distintos niveles de velocidad de expulsin del chorro. El inters en este experimento se centra principalmente en el tipo de boquilla, y la velocidad es un factor indeseable. Los datos son los siguientes:
Tipo de
boquillaVelocidad de expulsin del chorro (m/s)
11.7314.3716.5920.4323.4628.74
10.780.800.810.750.770.78
20.850.850.920.860.810.83
30.930.920.950.890.890.83
41.140.970.980.880.860.83
50.970.860.780.760.760.75
2. Una prueba de campo para detectar la presencia de arsnico en muestras de orina, ha sido propuesta para su uso entre trabajadores forestales debido al empleo cada vez mayor de arsnicos orgnicos en esta industria. El experimento compara los resultados obtenidos con la prueba al ser efectuada por un inexperto y un entrenador experimentado con el anlisis efectuado en un laboratorio remoto. Para la prueba se escogen cuatro sujetos, los cuales son considerados como bloques. La variable de respuesta es el contenido de arsnico (en ppm) en la orina del sujeto. Los datos son los siguientes:
PruebaSujeto
1234
Inexperto0.050.050.040.15
Experto0.050.050.040.17
Laboratorio0.040.040.030.10
3. Se efecta un experimento para investigar la corriente de fuga en un dispositivo SOS MOSFET de dimensiones cercanas a la micra. La finalidad del experimento es investigar cmo cambia la corriente de fuga a medida que cambia la longitud del canal. Para ello se escogen cuatro longitud de canal. Para dada una de ellas, tambin se utilizan cinco anchos diferentes, y el ancho se considera un factor indeseable. Los datos son los siguientes:
Longitud
del canalAncho
12345
10.70.80.80.91.0
20.80.80.90.91.0
30.91.01.72.04.0
41.01.52.03.02.0
4. Se estudia el efecto de cinco ingredientes diferentes (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reaccin de un proceso qumico. Cada lote de material nuevo slo alcanza para permitir la realizacin de cinco corridas. Adems, cada corrida requiere aproximadamente 1 horas, por lo que slo pueden realizarse cinco corridas en un da. El investigador decide realizar el experimento como un cuadrado latino para que los efectos del da y el lote puedan controlarse sistemticamente. Obtiene los datos que se muestran en seguida.LoteDa
12345
1A = 8B = 7D = 1C = 7E = 3
2C = 11E = 2A = 7D = 3B = 8
3B = 4A = 9C = 10E = 1D = 5
4D = 6C = 8E = 6B = 6A = 10
5E = 4D = 2B = 3A = 8C = 8
5. El rendimiento de un proceso qumico se midi utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del cido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador ((, (, (, ( y (.). Se us el cuadrado grecolatino siguienteLotes de materia primaConcentracin del cido
12345
1A(=26B( =16C(=19D( =16E( =13
2B(=18C(=21D( =18E( =11A(=21
3C( =20D(=12E(=16A( =25B( =13
4D(=15E(=15A(=22B(=14C( =17
5E(=10A( =24B(=17C(=17D(=14
6166 Moiss Muoz Daz Moiss Muoz Daz 65
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