ANOVA (análisis de varianza)

1

Sofía A. López MSc.3

ANOVA

Introducción: Se aplica cuando se desea hacer una “prueba de hipótesis de

mas de dos poblaciones”. Ejemplos: Probar diferencias entre la cantidad de esperada de unidades no

conformes de 3 líneas de producción. Evaluar diferencias entre el tiempo de demora de 5 proveedores Determinar diferencia en el tiempo de respuesta de 3 reactivos.

ANOVA Con las pruebas de hipótesis se pueden comparar dos

poblaciones o procesos. En esta sección, se presentan diseños experimentales que se

utilizan cuando el objetivo es comparar más de dos niveles en un factor.

Ejemplos: Comparar tres o más máquinas. Varios proveedores Cuatro procesos Tres materiales Cinco dosis de fármaco Cuatro dietas de alimentación

ANOVA

Por le general el interés del experimentador esta centrado en comparar los tratamientos en cuanto a sus medias poblacionales.

No olvidar que también es importante compararlos con respecto a sus varianzas.

La Metodología

Ejemplo La tabla adjunta muestra el lead

time de cuatro proveedores de la misma materia prima.

Se puede decir que existe diferencia en el lead time de los proveedores?

El black belt se encuentra en un programa de reducción de proveedores. Qué proveedor de los existentes seleccionaría?

O1 O2 O2 O4

1,93 2,55 2,4 2,33

2,38 2,72 2,68 2,40

2,20 2,75 2,31 2,28

2,25 2,70 2,28 2,25

Herramienta

Es recomendable utilizar el mismo

número de repeticiones

observadas en cada tratamiento, a menos

que hubiera alguna razón para no hacerlo.

Análisis de Varianza en un Solo Sentido

kj

ikijii

kj

kj

kj

TTTT

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

kj

..........

......

..................

......

......

......

......21

21

21

333231

222221

111211

Tratamientos o Poblaciones que se desea comparar

Totales/columnaNúmero

Medias

n1 n2 … nj … nk N

Y.1 Y.2 … Y.j … Y.k Y..

Análisis de Varianza en un Solo Sentido

kj

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kj

kj

TTTT

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yyyy

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......

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......

......

......

......21

21

21

333231

222221

111211

Tratamientos o Poblaciones que se comparan

Totales/columnaNúmero

Medias

n1 n2 … nj … nk N

Y.1 Y.2 … Y.j … Y.k Y..

Cualitativos o Cuantitativos

Análisis de Varianza en un Solo Sentido El número de tratamientos o poblaciones es determinado por el

investigador y dependen del problema. El número de observaciones por tratamiento (n) debe escogerse

con base en la variabilidad que se espera observar en los datos. En general se recomienda entre 5 y 30 mediciones (repeticiones) en cada

tratamiento. Ejemplo:

Se usa n=10 cuando las mediciones dentro de cada tratamiento tienen un comportamiento consistente.

Se recomienda n = 30 cuando las mediciones muestran bastante dispersión. Cuando es costoso o tardado realizar las pruebas para cada tratamiento se

puede seleccionar un número menor de repeticiones.

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Análisis de Varianza en un Solo Sentido

:

.

...:

1

210

H

vs

H kµµµ ==

Si la hipótesis nula es verdadera, toda la variabilidad se debe al azar.

Por lo menos una es distinta

Ecuación Fundamental del Análisis de Varianza (Niveles del Factor Fijo)

∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = == == =−+−=− k

j

n

i jij

k

j

n

i j

k

j

n

i ijjjj YYYYYY

1 1

2.1 1

2...1 1

2.. )()()(

Suma de cuadrados de las desviaciones de la gran media

Suma de cuadrados de las desviaciones entre los tratamientos

Suma de cuadrados de las desviaciones dentro de tratamientos

Tabla ANOVA (Niveles del Factor Fijo)Fuente df SS MS F Valor p

Tratamiento k-1 SS tratamientos

SS tratamientos/(k-1)

P(F(ν1, ν2)≥f)

Error N-k SS error SS error/(N-k)

TOTAL N-1 SS total

error

ostratamient

MS

MSf =

Ejemplo La tabla adjunta muestra el lead

time de cuatro proveedores de la misma materia prima.

Se puede decir que existe diferencia en el lead time de los proveedores?

El black belt se encuentra en un programa de reducción de proveedores. Qué proveedor de los existentes seleccionaría?

O1 O2 O3 O4

1,93 2,55 2,4 2,33

2,38 2,72 2,68 2,40

2,20 2,75 2,31 2,28

2,25 2,70 2,28 2,25

Verificación de Supuestos del Modelo

Revisión del Modelo Los supuestos del modelo lineal, en términos de los residuos

son: Los εij siguen una distribución normal con media cero. Los εij son independientes entre si. Los residuos de cada tratamiento tienen la misma varianza

σ2.

En la práctica no se espera que las suposiciones del modelo sean satisfechas exactamente. El análisis de puntos que no cumplen las suposiciones.

Análisis gráfico de los supuestos

Para verificar normalidad del error

Independencia

Homogeneidad de Varianzas

Análisis de respuestas Gráfico ANOVA

Qué ocurre si el modelo no es adecuado? Qué ocurre si no se cumplen las suposiciones del

modelo? Considere un modelo distinto. Transforme los datos a fin de lograr normalidad.

Después de ANOVA… qué?

Comparaciones o pruebas de rango múltiples

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Análisis de Varianza en un Solo Sentido Ejemplo:

Se desea evaluar la influencia del proveedor de la materia prima en el nivel de residuos (ppm) del proceso en su fase inicial. La tabla adjunta resume los datos de seis muestras tomadas a los 4 proveedores existentes.

2. Los proveedores difieren de manera significativa en cuanto al residuo que deja su materia prima?

3. Qué proveedor o proveedores se deben seleccionar para garantizar el menor nivel de residuos?1. Realice el análisis gráfico y las pruebas que soporten su respuesta.

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Proveedor Residuo (ppm)A 264 260 258 241 262 255B 208 220 216 200 213 206C 220 263 219 225 230 228D 217 226 215 227 220 222

Análisis de Varianza en un Solo Sentido Ejemplo: Se desea investigar el efecto del pH en el crecimiento de cierto microorganismo en

un medio específico. Para ello se realiza un experimento, teniendo como punto de partida la misma cantidad de microorganismos. Se hacen 5 repeticiones y se obtienen los resultados que se muestran en la tabla adjunta. Se puede afirmar que el nivel 3 de pH logra el menor crecimiento?Se puede decir que el nivel 2 de pH logra el mayor crecimiento?Analice la validez del modelo.

Crecimiento en %

Nivel de pH 1 Nivel de pH 2 Nivel de pH 3

77 72 76

81 58 85

71 74 82

76 66 80

80 70 77

14 Tiempo de reacción Se desea determinar el efecto de un medicamento X (en

miligramos) en el tiempo de reacción de una persona Y (en milisegundos) luego de un estímulo.

La información adjunta muestra los resultados luego de 3 observaciones por dosis del medicamento.

Se puede concluir que existe efecto por el medicamento? Realice el análisis gráfico y el ANOVA.

Prueba Kruskal Wallis

Kruskal Wallis

Caso en que se comparan más de dos grupos. La distribución de los datos no es normal. Aplicación de estadística no paramétrica.

Evaluación de rendimiento de masa Como parte del proyecto

DMAIC, el analista desea evaluar el efecto de tres tratamiento en el rendimiento de masa.

La tabla adjunta registra la información de la mezcla.

Se puede concluir que el rendimiento difiere de acuerdo a los tratamientos? Utilice los gráficos y pruebas

adecuadas para soportar su conclusión.

Rendimiento de masa

Tratamientos

15,1 113 1

16,2 324,9 113,2 113,8 313,1 2

33 212,9 211,9 1

17 312,8 214,7 3

12 215 3

26,5 3

Tablas de Contingencia

Tablas de Contingencia Definen si la distribución de observaciones en atributos

es independiente en los grupos. Atributos

Se cuentan (no se miden) Hipótesis

Ho: los factores participantes son independientes.

vsH1: los factores participantes estan relacionados.

.

15 Evaluación de satisfacción al cliente La empresa posee 6 puntos de venta directos en

diferentes zonas de la ciudad. El departamento se servicio al cliente ha colocado una

encuesta donde el cliente debe indicar su grado de satisfacción con el servicio del punto de venta.

La escala es la siguiente: 1: pobre, 2: bajo la media, 3: sobre la media, 4: bueno, 5: excelente. La tabla adjunta muestra el cómputo de las encuestas por establecimiento. Se puede decir que la satisfacción del cliente difiere por

localidad? Qué sugiere para mejorar la satisfacción del cliente en el punto

de venta.?

Regresión

Regresión Varios procedimientos pueden seguir el ANOVA si se

detecta la presencia de efectos. El análisis de regresión sirve para determinar un modelo

matemático que permita predecir la magnitud de la variable de respuesta a partir de los valores de las variables independientes.

Solo las importantes! Relaciones:

Lineal Cuadrática Polinomio de alto orden

De qué forma se pueden revisar

estas relaciones?

Regresión El modelo de regresión simple tiene la forma:

Donde:

εββ

1

0: La intercepción

: La pendiente

: El error aleatorio.

Regresión Hipótesis nulas presentes:

La X no tiene efecto sobre la Y.

1

0

ββ : es constante

: es cero

16 Tiempo de descarga de producto en puntos de venta Al realizar el análisis de Pareto del tiempo de descarga de

camiones de productos en puntos de venta, se pudo observar que el tamaño de la orden (en cajas) es un factor influyente. Realice el análisis gráfico de la relación entre las variables. Defina el modelo de regresión Verifique las hipótesis Revise los supuestos del modelo

14 Tiempo de reacción Se desea determinar el efecto de un medicamento X (en

miligramos) en el tiempo de reacción de una persona Y (en milisegundos) luego de un estímulo.

La información adjunta muestra los resultados luego de 3 observaciones por dosis del medicamento.

Se puede concluir que existe efecto por el medicamento? Realice el análisis gráfico y el ANOVA. Utilice la cantidad de medicamento para predecir el tiempo de

reacción de la persona al estímulo. Realice el análisis gráfico de la relación entre las variables. Defina el modelo de regresión Verifique las hipótesis Revise los supuestos del modelo