4.- sistema cÓnico.jcizquierdo.netai.net/pdf/apuntes/apuntes22.pdf4.- sistema cÓnico. figura 42....

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *J. C. Izquierdo

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Figura 42

4.- SISTEMA CÓNICO.

Figura 42. El sistema cónico está formado por dos planos que se cortan bajo ángulorecto que reciben los nombres de plano del cuadro, PC, (el PV de diédrico) y planogeometral, PG, (el PH de diédrico). Ambos planos se cortan en la línea de tierra, LT.También hay un punto que es el punto de vista, PV, lugar desde donde se proyectael espacio sobre el plano del cuadro. Existen dos planos mas que son, un planoparalelo al geometral trazado por el punto de vista que recibe el nombre de planodel horizonte y corta al plano del cuadro en la linea del horizonte, LH, y otro planoparalelo al plano del cuadro y que pasa por el punto de vista que recibe el nombre deplano de desvanecimiento, recibe este nombre porque, cualquier punto contenido eneste plano no tiene representación (está en el infinito) ya que la recta definida poreste punto y el PV es una recta paralela al cuadro y por tanto no corta a este plano,por lo cual no puede tener representación tan solo obtendremos la dirección en laque se encuentra. El plano de desvanecimiento tiene un gran interés ya que unacircunferencia que tenga un punto en este plano tendrá una representación con unpunto en e infinito (parábola) y si tuviera dos puntos en común con este plano, surepresentación tendrá dos puntos en el infinito (hipérbola).


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Figura 43

El único punto que no tiene representación es el PV por ser un elemento propio delsistema. Para poder representarlo lo haremos por sus proyecciones diédricas sobreel plano del cuadro y el geometral, obteniéndose las proyecciones P y V. De estamanera podemos pasar de diédrico a cónico y viceversa.

Para representar un punto (A) trazaremos la recta definida por PV y (A), donde estarecta corte al plano del cuadro, tendremos la perspectiva directa A. Seguidamenteproyectaremos el punto (A) ortogonalmente sobre el PG obteniéndose el punto ((A))

y este punto se vuelve a proyectar sobre el PC desde PV, obteniéndose laperspectiva de la proyección, a. Así de esta manera a cada punto del espacio (A) lecorresponde una pareja de puntos A, a sobre el PC. Figura 43.

En la representación plana haremos coincidir el PG con el PC mediante un giro ensentido horario y el PC con el plano del papel, de esta manera solamente tenemosla LT y la LH así como las proyecciones diédricas del PV (P y V), (punto principal).


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Figura 44

Figura 44.

La distancia de V a LT es la separación entre el PV y el PC y la distancia entre LHy LT es la altura del PV respecto del PG.

Representación del punto.

Figura 45. Consideremos un punto A dado por sus proyecciones diédricas, pararealizar su representación en el sistema cónico procederemos de la siguientemanera.

En la imagen de la izda se ha representado un punto A perteneciente al segundocuadrante y en la imagen de la dcha se han representado dos puntos, el A delsegundo cuadrante y el B del primero.

Observemos la imagen de la izda. Para determinar la perspectiva directa A, bastacon calcular la traza vertical de la recta R definida por los puntos (A) y PV. UniendoV con (a) nos corta a LT en m, levantando por m una perpendicular a LT donde estarecta corte a la P(a’) tendremos la perspectiva buscada A. Para determinar laperspectiva de la proyección bastará con trazar la recta definida por los puntos n


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Figura 45

Figura 46

y P donde corte a la perpendicular a LTtrazada por A tendremos la perspectivade la proyección a.Para tener una idea de la profundidaddel dibujo consideremos que los puntosson corchos que van de la proyección Aa la a y que estamos en una playa dondehemos colocado un cristal sobre la orillade la misma, así quedan perfectamentedefinido la linea del horizonte (LH) lalinea de tierra (orilla del mar) y el planodel cuadro (cristal). Figura 46.En la figura se han representado lospuntos:A por detrás del PC y por encima del PG.B por delante del PC y por encima del PG.C por delante del PC y por debajo del PG.D en el PC y por encima del PG.

E por detrás del PC y por debajo del PG.


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Figura 47

F Por detrás del PC, por encima del PG y en el infinito.

Representación de la recta.

Sabemos que una recta queda definida por dos puntos de ella, conociendo lasproyecciones de dos puntos basta con unirlas y tendremos las proyecciones de la

recta. Figura 47.

Dados los puntos A,a y B,b larecta Rr queda definidauniendo las perspectivas A y B(R) y a y b (r). Son puntosimportantes de determinar enla recta los de interección conel PC y con el PG así como supunto del infinito, punto queadquiere una gran importanciaya que cualquier recta que seaparalela con ella tendrá elmismo punto del infinito.Para determinar el corte conel PG, GR, basta buscar elpunto en común de ambasperspectivas R y r. El punto de

corte con el PC queda definido al determinar el punto tr, intersección de r con la LTy el punto del infinito LR, al determinar el punto lr, intersección de r con LH.Figura 48. Para determinar el punto del infinito de una recta dada, R, por susproyecciones diédricas, (r’)-(r), basta con trazar una recta paralela por el punto devista PV y determinar su traza vertical y para determinar su traza con el PC bastacon calcular la traza vertical de la recta dada, uniendo ordenadamente estos puntostendremos la perspectiva cónica de la recta.Observando la figura, hemos calculado la traza vertical de la recta (r’)-(r) que es elpunto TR-tr y hemos trazado una paralela a esta recta por el punto de vistaobteniéndose el punto LR-lr, la unión de estos puntos nos da la perspectiva cónicade la recta R, R-r. La recta S-s es paralela a la R-r ya que ambas tienen el mismopunto del infinito.


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Figura 48

Posiciones particulares de la recta.

Una recta puede adoptar seis posiciones que son:

a). Recta paralela al plano geometral. Recta horizontal.b). Recta perpendicular al plano geometral. Recta vertical.c). Recta contenida en el plano geometral.d). Recta paralela al plano del cuadro. Recta frontal.e). Recta perpendicular al plano del cuadro. Recta de punta.f). Recta contenida en el plano del cuadro.

a). Recta paralela al PG. Recta horizontal. Recta R. Figura 49.b). Recta perpendicular al PG. Recta vertical. Recta S. Figura 49.c). Recta contenida en el PG. Recta T. Figura 49.


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Figura 49

Figura 50

a). Recta R. Una recta paralela alplano geometral (recta horizontal)se caracteriza por tener su puntolímite en LH. b). Recta S. La recta perpendicularal PG se caracteriza por carecer depunto límite. Caso particular del d).Por tanto cualquier recta paralela aella mantendrá el paralelismo entresus perspectivas.c). Recta T. La recta contenida enel PG es un caso particular del a),t endrá s u s perspect i v a sconfundidas.

d). Recta paralela al PC. Recta frontal. Recta R. Figura 50.e). Recta perpendicular al PC. Recta de punta. Recta S. Figura 50.f). Recta contenida en el PC. Recta T. Figura 50.

d). Recta R. La recta paralela al PCse caracteriza por carecer depunto límite y la perspectiva r semantiene paralela a LT. Por tantocualquier recta paralela a ellamantendrá el paralelismo entre susperspectivas.e). Recta S. La recta perpendicularal PC se caracteriza por tener supunto límite en el punto principal.Es un caso particular del a).f). Recta T. La recta contenida enel PC es un caso particular del d).Además de no tener punto límite,su perspectiva t coincide con LT.


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Figura 51

Haces de rectas. Figura 51.

En diédrico vimos que el paralelismo entre rectas se conservaba (ver página 50 ysiguientes de diédrico). En el sistema cónico, como los puntos del infinito tienen

representación en los puntoslímites, todas las rectas quecompartan el mismo punto delinfinito, son paralelas entre si. En el gráfico se han representadocuatro haces de rectas paralelas,las R, S y T; las U y V; y las X e Y.Obsérvese que estas últimasmantienen el paralelismo entre sipor ser rectas paralelas al PC.

Rectas que forman un ángulo dadocon el PC. Figura 52.

Vamos a determinar el lugargeométrico de todos los puntos límites de haces de rectas que forman un ciertoángulo con el PC. Recordemos que el punto límite de una recta se determinacalculando la traza vertical de la recta paralela a la dada y que pase por el punto devista. Puesto que el problema planteado se reduce a determinar única yexclusivamente puntos límites, trabajaremos con las paralelas trazadas por el puntode vista, y por pasar estas por dicho punto, trabajaremos en diédrico.Para determinar el lugar geométrico de todos los puntos del infinito de todos loshaces de rectas que formen grados con el PC, trazaremos por V una rectaαhorizontal que forme con LT grados y le calculamos su traza vertical, L3-l3. Laαcircunferencia de centro P y radio PL3 será el lugar geométrico buscado. Cualquierrecta que tenga por punto límite los puntos L1-l1, L2-l2 o L3-l3 serán haces derectas paralelas entre si y formarán con el PC grados. El punto L3-l3 es el puntoαlímite de las rectas que además de cumplir lo anterior son paralelas al PG.


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Figura 52

Figura 53

Unos puntos muy importantes y especiales son aquellos que forman 45º con PC, lacircunferencia tendrá por radio ladistancia que hay entre V y LT.

Determinación del ángulo que una rectaforma con el PC. Figura 53.

Este problema se resuelve basándonos enel procedimiento anteriormenteexpuesto. Trazaremos la circunferenciade centro P y radio PL, esta cortará a LHen el punto L1-l1 que será la trazavertical de la recta paralela a la dada yque pasa por el punto de vista, recta (X)-(x), determinando la proyección (x)tendremos el ángulo buscado. Obsérveseque el procedimiento es el mismo queaplicábamos en diédrico (ver página 68de diédrico).


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Figura 54

Representación del plano.

A igual que en diédrico, un plano lo representaremos en el sistema cónico por sustrazas, estas no son mas que las intersecciones del plano dado con el PC, PT, y conel PG, PS. Además todo plano posee una recta límite que se obtendrá calculando latraza vertical del plano paralelo al dado y que pase por el punto de vista. Como elparalelismo de planos en diédrico se conserva (ver página 51 de diédrico), esta rectalímite será paralela a la traza con el PC. Figura 54.

Téngase en cuenta que la traza PT es una recta que pertenece al PC por tantocualquier punto, T, situado en PT tendrá su otra perspectiva sobre LT y cualquierpunto, G, situado sobre PS tendrá su otra perspectiva confundida con él ya que PSes una recta perteneciente al PG, y cualquier punto, A, situado sobre la recta límitePL tendrá su otra perspectiva sobre LH. Piénsese que A es un punto del infinito.

Pertenencia entre puntos y planos.

Para situar un punto en un plano basta con situarlo en una recta que pertenezca al


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Figura 55

plano y una recta pertenece a un plano si las trazas de la recta están sobre lastrazas del plano. Figura 55.

El punto B representado pertenece al plano P ya que el punto B-b pertenece a larecta R-r y esta al plano PT-PS-PL por tener la recta R su traza T-t sobre la trazaPT del plano y su punto límite A-a sobre la recta límite PL del plano. Obsérvese quetambién podríamos haber situado el punto B-b sobre la recta U-u que al ser paralelaal PC sus perspectivas serán paralelas a la traza PT del plano y a LTrespectivamente.

Posiciones particulares del plano.

Un plano puede adoptar cuatro posiciones que son:

a). Plano paralelo al plano del cuadro. Plano frontal.b). Plano perpendicular al plano del cuadro. Plano de canto.c). Plano paralelo al plano geometral. Plano horizontal.d). Plano perpendicular al plano geometral. Plano vertical.


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Figura 56

Figura 57

a). Plano paralelo al PC. Plano P. Plano frontal. Figura 56.b). Plano perpendicular al PC. Plano Q. Plano de canto. Figura 56.

a). Plano P. El plano paralelo al PC secaracteriza por poseer una sola traza,carece de traza con el plano del cuadro yde recta límite, la única traza que poseese mantiene paralela a LT. b). Plano Q. El plano perpendicular al PCse caracteriza porque su recta límitepasa por el punto principal.

c). Plano paralelo al PG. Planohorizontal. Figura 57.d). Plano perpendicular al PG. Planovertical. Figura 57.

a). Plano P. El plano paralelo al PG secaracteriza por carecer de traza con ély su traza con el PC y su recta límite semantienen paralelas a LT.b). Plano Q. El plano perpendicular al PGse caracteriza por tener su traza con elPC y su recta límite perpendicular a LT.

Haces de planos. Obtención del quepasa por el punto de vista.

Como hemos dicho, en diédrico elparalelismo entre planos se conserva(ver página 51 de diédrico). En el sistemacónico como la recta del infinito de un


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Figura 58

Figura 59

plano tiene representación en su recta límite, todos los planos que compartan lamisma recta límite serán paralelos entre si. De todos los planos que comparten unamisma recta límite el que pasa por el punto de vista será aquél en el que sus trestrazas estén confundidas, plano V. Figura 58.

Intersecciones de planos. Figura 59.

A igual que en diédrico (ver página 30 ysiguiente de diédrico) la intersección dedos planos es una recta y ladeterminábamos calculando las trazas dela misma que deberán estar sobre lastrazas y rectas límites del plano. Ademásla traza con el PG de la recta debecoincidir con la traza con el PG del plano.

La traza con el PC de la recta R es elpunto, TR-tr, intersección de las trazasde los planos PT y QT y el punto delinfinito de la recta R, LR-lr, es el puntode intersección de las rectas límites PLy QL de ambos planos.


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Figura 60

Intersección de recta y plano. Figura 60.

Como quedó expuesto tanto en diédrico como en axonométrico (ver página 32 ysiguientes de diédrico y página 25 de axonométrico) se resuelve considerando unplano auxiliar Q que contenga a la recta R, resolviendo la intersección, S, del planoQ y el plano dado P y la intersección buscada será la intersección de las rectas R yS.

Observando la figura, hemosconsiderado un plano vertical QL-QS-QT que contiene a la recta R-r,nótese que la traza QS estáconfundida con r. Seguidamentehemos calculado la intersección delos planos P y Q, para ello hemosobtenido la traza con PC de S, elpunto TS-ts, y su punto límite LS-ls, la unión de TS y LS y ts y ls nosdan las perspectivas de la recta S-s. Donde S corta a R tendremos elpunto I buscado. La otraperspectiva del punto I, estarásituada sobre la recta r y laperpendicular trazada por I a LT.

División de un segmento en partes iguales o proporcionales.

Vamos a considerar tres casos, que son:

a). Segmento horizontal. Paralelo al PG.b). Segmento frontal. Paralelo al PC.c). Segmento cualquiera.


2 Un haz de rectas paralelas cortadas por dos rectas concurrentesinterceptan en estas segmentos que son iguales o proporcionales.

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Figura 61

a). Segmento horizontal. Paralelo al PG. Figura 61.

Al ser el segmento paralelo al PG es indiferente trabajar con la perspectiva directao con la perspectiva de la proyección. Aplicaremos el teorema de Thales2, aldeterminar el haz de rectas paralelas, estas tendrán un punto límite, determinamoseste punto y por él trazaremos las rectas paralelas interceptando, en la perspectivade la proyección, segmentos que son iguales o proporcionales.

Consideremos el segmento AB. Paradividirlo en partes iguales oproporcionales vamos a trabajar conla perspectiva de la proyección.Trazaremos por uno de susextremos, por ejemplo el a, unarecta paralela a LT y sobre ellallevaremos n segmentos iguales oproporcionales a partir de a. En lafigura hemos considerado dividirloen cuatro partes, obteniéndose lospuntos 1', 2', 3' y 4', seguidamenteunimos el punto 4' con el extremo bque al prolongarlo corta a LT en elpunto l, punto del infinito del haz derectas paralelas que trazaremos

por los puntos anteriores, estas paralelas cortan al segmento ab en los puntos 1, 2y 3, quedando así divido el segmento en cuatro partes iguales, que son a1, 12, 23 y3b. Levantando perpendiculares a LT por estos puntos obtendremos la división enel segmento AB. Análogamente se procedería si en lugar de trabajar con laperspectiva de la proyección trabajásemos con la perspectiva directa AB.

b). Segmento frontal. Paralelo al PC. Figura 62.

Dado un segmento AB frontal, por ser paralelo al PC, el problema se resuelve


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Figura 62

Figura 63

directamente.Sea el segmento AB, podemostrabajar con cualquiera de las dosperspectiva, hemos elegido laperspectiva de la proyección.Trazamos por uno de sus extremos,por ejemplo el a, una rectacualquiera y sobre ella llevaremos nsegmentos iguales o proporcionales,en el ejemplo hemos consideradocuatro partes, obteniéndose lospuntos 1', 2', 3' y 4'. Unimos elpunto 4' con el otro extremo b ypor los puntos 1', 2', y 3'trazaremos paralelas a la recta 4'bobteniéndose sobre ab los puntos 1,2 y 3 que dividen al segmento encuatro partes iguales, a1, 12, 23 y

3b. Levantando perpendiculares aLT por estos puntos obtendremosen el segmento AB la división.Análogamente se procedería sitrabajásemos con la perspectivadirecta AB.

c). Segmento cualquiera. Figura63.

Para dividir un segmento cualquieraen partes iguales o proporcionalestrabajaremos con la perspectiva dela proyección ya que es mas fácilque si trabajásemos con laperspectiva directa. El proceso esanálogo al caso a).


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Figura 64

Existe otro procedimiento aplicable a los casos a) y c). Este método consiste enabatir sobre el PC el PG. y por tanto obtendremos el abatido, (a)(b), del segmentoab, procederemos a dividir este segmento en partes iguales y luego procederemosa deshacer el abatimiento. Pero antes de realizar este método vamos a ver comopodemos encontrar el abatido de un punto que esté en el PG.

Abatimiento del PG. sobre el PC. Abatimiento de un punto. Figura 64.

Consideremos el punto A-a, cuya perspectiva a queremos abatir sobre el PC. Antesde empezar obtendremos los puntos límites de las rectas que forman 45º y 90º conel PC (véase páginas 42 y 43). Para ello trazaremos por el punto de vista V una rectaque forme 45º con LT y le determinaremos su traza vertical obteniéndose lospuntos F45º, para la que forma 90º su punto límite es P. Un punto podemosconsiderarlo como la intersección de dos rectas. Tracemos dos rectas cualesquieraque pasen por a, las mas fáciles de trazar serán una que forme 45º con PC y otra queforme 90º con PC. La primera tendrá su punto límite en F45º (dcha) y la segunda lotendrá en P. Estas rectas cortan a LA en los puntos m y n respectivamente,


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Figura 65

trazando por ellos una recta a 45º con respecto a LT y otra a 90º con respecto a lamisma línea, donde ambas rectas se corten tendremos el punto buscado (a). De estamanera podemos determinar el abatimiento de cualquier figura contenida en el PG.Asimismo este proceso nos servirá para determinar la perspectiva de la proyecciónde cualquiera figura plana. Por ejemplo, vamos a determinar la perspectiva de laproyección de un exágono regular paralelo al PG siendo el punto O-o su centro,teniendo dos lados perpendiculares a LT y teniendo un vértice en LT. Figura 65.

Para empezar vamos a determinar los puntos límites de las rectas que forman 30ºcon el PC ya que los lados del exágono forman 30º con la LT. Procedamos a encontrar


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los puntos límites de las rectas que forman 30º y 90º con PC. Para ello trazaremospor V una recta que forme 30º con LT y le calculamos su traza vertical obteniendolos puntos F30º, el punto límite de las rectas que forman 90º es el punto P.Tracemos por o dos rectas una que forme 30º con PC y otra 90º, (uniendo o conF30º dcha y o con P), prolongando estas rectas obtendremos los puntos m y nrespectivamente y trazando por estos puntos dos rectas una que forme 30º con LTy otra 90º, en su intersección, tendremos el punto (o), centro del exágono. Por tenerdos lados perpendiculares a LT y un vértice en LT, la construcción es fácil. Una vezobtenida el abatimiento del exágono, procedamos a desabatir los puntos (a), (b), (c),(d) y (e), para ello trazaremos por estos puntos rectas a 30º con respecto a LT y90º obteniéndose los puntos r, ñ, p y q. Los puntos r, ñ y n lo uniremos con P (rectasperpendiculares a PC) y los p y q con F30º (izda), (rectas a 30º con respecto al PC),en las respectivas intersecciones de estas líneas obtendremos los puntos a, b, c, d,e y n. La unión de estos nos dará la perspectiva de la proyección del exágonobuscado. Obsérvese que los lados cd y an pasan por F30º (izda) y los ne y bc porF30º (dcha), por el paralelismo de dichos lados. Para determinar la perspectivadirecta trazaremos rectas a 30º con respecto al cuadro por el punto O, estasrectas pasarán por los puntos límites F30º y sobre ellas estarán los vértices AD yBE respectivamente, levantando perpendiculares a LT por a, d, b y e donde cortena las rectas anteriores tendremos los vértices A, D, B y E. Para determinar los Ny C como la recta NC es perpendicular al PC bastará con unir O con P y sobre estarecta estarán dichos vértices.

Ahora estamos en condiciones de poder dividir un segmento cualquiera en partesiguales. Este proceso quedó expuesto en el inicio de la página 51.

Figura 66. Previamente calcularemos los puntos límites de rectas a 45º con respectoal PC y 90º obteniéndose los puntos F45º y P respectivamente. A continuaciónprocederemos a encontrar el punto (b), abatido de b. La unión de (b) con n nos daráel abatido de la recta que define el segmento ab. Para encontrar el punto (a)trazaremos por a una recta perpendicular al PC (uniendo a con P) donde esta rectacorte a LT, trazaremos una perpendicular a ella y encontraremos el punto (a).Conocido el segmento (a)(b) procedamos a dividirlo en, por ejemplo, cuatro partesiguales, obteniéndose los puntos (1), (2) y (3). Para encontrar los desabatidos deestos puntos trazaremos rectas perpendiculares a LT por ellos, encontrado lospuntos 3', 2' y 1' respectivamente. Estas rectas, por ser perpendiculares al PC,pasarán por P, donde estas corten al segmento ab obtendremos los puntos 3, 2 y 1


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Figura 66

respectivamente que dividen al segmento ab en partes iguales b3, 32, 21 y 1a. Paradeterminar las divisiones en la perspectiva directa bastará con trazar por 1, 2 y 3rectas perpendiculares a LT y tendremos la perspectiva directa divida en partes

iguales.

Verdadera magnitud de un segmento.

Vamos a determinar las verdaderas magnitudes de segmentos. Consideraremoscasos que son:

a). Segmento perpendicular al plano geometral. Recta vertical.b). Segmento paralelo al plano geometral. Recta horizontal.c). Segmento perpendicular al plano del cuadro. Recta de punta.d). Segmento paralelo al plano del cuadro. Recta frontal.e). Segmento cualquiera.


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Figura 67

Figura 68

a). Segmento perpendicular al plano geometral. Recta vertical. Figura 67.

Consideremos el segmento AB de la figura cuya magnitud queremos calcular.Sabemos que las únicas verdaderasmagnitudes son las de lossegmentos contenidos en el PC Elsegmento AB que nos dan esparalelo al PC, traslademos estesegmento, paralelamente a simismo, hasta que esté contenido enel PC. La forma mas fácil estrazando dos rectas paralelas al PCpor los extremos del segmentohasta que corten al PC,obteniéndose los puntos C y D, ladistancia entre estos dos puntosserán la verdadera magnitud delsegmento AB. Para ello tomaremosun punto límite cualquiera, L-l

situado sobre LH, y por él trazaremos las rectas la, LA y LB, la recta la corta a LTen el punto m, punto que está situado en el PC, levantando por m una perpendiculara LT donde corte a las rectas LA y LB tendremos los puntos C y D respectivamente.Basta con medir la distancia entreC y D y tendremos la verdaderamagnitud del segmento AB.

b). Segmento paralelo al planogeometral. Recta horizontal.Figura 68.

Sea el segmento AB. Al ser paraleloal PG es indistinto trabajar con laperspectiva directa como con laperspectiva de la proyección, yaque, al ser paralelo al PG ambasperspectivas medirán lo mismo.Trabajaremos con la perspectiva de


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Figura 69

la proyección por ser mas fácil. El proceso que vamos a seguir es abatir el PC sobreel PG, de esta manera podremos calcular la verdadera magnitud del segmento ab.Para empezar determinaremos los puntos límites de las rectas que forman 45º y 90ºcon el PC, la primera es el punto F45º y la segunda el punto P. Seguidamentetrazaremos por el punto a dos rectas, una que forme 45º y otra 90º con el PC, laprimera resulta de la unión de F45º con a y la segunda de a con P, estas rectascortan a LT en los puntos m y n respectivamente, trazaremos por estos puntos unarecta a 45º y otra a 90º con respecto a LT y en su intersección tendremos laperspectiva abatida (a) del punto a. Para obtener el abatido del punto b, trazaremosuna recta perpendicular al PC y que pase por él, esta recta corta a LT en el punto p,trazando por p la perpendicular a LT donde se corte con la recta m(a) tendremosel punto (b) buscado. La verdadera magnitud del segmento AB será (a)(b).

c). Segmento perpendicular al plano del cuadro. Recta de punta.

Este problema es un caso particular del b).

d). Segmento paralelo al plano del cuadro. Recta frontal. Figura 69.

Este ejercicio es un caso particulardel a). Procederemos de la mismamanera, es decir, trasladaremos elsegmento AB paralelamente a simismo hasta que esté en el PC.Determinaremos el punto límite delas rectas que forman 90º con PC.(punto P) y trazaremos por él lasrectas PG, PA y PB; la recta PGcorta a LT en m, punto que estásituado en el PC, por él trazaremosuna recta paralela a la AB dondeesta recta corte a las PA y PBtendremos los puntos C y Drespectivamente que son los que nosdan la verdadera magnitud buscada.

Obsérvese que por estar situado por delante del PC el segmento se reduce demagnitud mientras que en el caso a) por estar situado por detrás del PC aumenta.


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Figura 70

e). Segmento cualquiera. Figuras 70 y 71.Observando la figura 70, vemos quela verdadera magnitud delsegmento AB se puede obtenerconstruyendo un triángulorectángulo cuya hipotenusa sea elsegmento AB y sus catetos los OBy OA, siendo OB paralelo a ab y elOA perpendicular al plano quecontiene al segmento ab. Este es elmétodo que vamos a aplicar paracalcular la verdadera magnitud de

un segmento cualquiera AB. El proceso será obtener la verdadera magnitud de laperspectiva de la proyección ab y la verdadera magnitud de la diferencia de alturasentre los puntos A y B, seguidamente construiremos el triángulo rectángulo y lahipotenusa nos dará la magnitud buscada.

Existen otros métodos para realizar este cálculo pero debido al hecho de que hayconocimientos de este sistema que no vamos a abordar, como son los abatimientosy los cambios de sistema de referencia, aplicaremos el que acabamos de exponer.

Figura 71. En primer lugar determinaremos los puntos límites de las rectas queforman 45º y 90º con el PC (F45º y P respectivamente). Seguidamenteprocederemos a abatir PG sobre PC con lo cual encontraremos la verdaderamagnitud del segmento (a)(b). Para abatir el segmento (a)(b) trazaremos por elpunto (b) dos rectas una que forme 45º con el PC (unión de F45º dcha con a) y otra90º (unión de P con a), ambas rectas cortan a LT en los puntos m y nrespectivamente, a continuación trazaremos por estos puntos dos rectas una a 45ºcon respecto a LT y la otra a 90º, donde ambas rectas se corten tendremos el punto(b). Para obtener el punto (a) trazaremos una perpendicular al PC por él y corta a LTen ñ, trazando por n una perpendicular a LT donde esta recta se corte con la t(b)tendremos el punto buscado y con ello, la verdadera magnitud del segmento ab.

Vamos a determinar ahora la diferencia de alturas entre los puntos A y B. Para ellotrazaremos dos rectas que pasando por estos puntos sean paralelas al PG (rectashorizontales), estas rectas tendrán su punto límite coincidente con l. Uniendo l conA y l con B tendremos, sobre la perpendicular por A, la diferencia de alturas AC


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Figura 71

entre los puntos AB. A continuación calcularemos la verdadera magnitud de estesegmento, que por ser paralelo al PC los trasladaremos paralelamente a si mismohasta que esté situado en el PC. Uniendo a y l nos corta a LT en t, punto que estásobre PC y trazando la perpendicular por este punto a LT intercepta con las rectaslA y lB el segmento DE, verdadera magnitud de la diferencia de alturas entre ambospuntos. Construyendo el triángulo rectángulo cuyos catetos son (a)(b) y DErespectivamente, en la hipotenusa, tendremos el valor del segmento AB buscado. Laconstrucción de este triángulo podemos hacerla sobre el segmento (a)(b) abatidocon lo cual evitamos tener que construirlo aparte. En el gráfico se ha realizadoaparte para mayor claridad del trazado.

Nota: Catetos ab y AC. Verdaderas magnitudes de estos catetos, (a)(b) y DE.


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Figura 72

Perspectiva de figuras planas.

En la página 52 hemos desarrollado la construcción de un exágono regular contenidoen un plano paralelo al PG. Vamos a estudiar ahora el trazado de la circunferenciaque, como quedó expuesto en la página 35, puede dar lugar a una elipse, parábola ohipérbola según que la circunferencia no toque, sea tangente o corte al plano dedesvanecimiento. De estos tres casos solo vamos a exponer cuando sea una elipse.

a). Circunferencia situada en el PG y por detrás del PC. Figura 72.

Nos dan el punto O-o que es centro de una circunferencia contenida en el PG y estangente al PC. Procedemos a abatir el PG sobre el PC y con ello encontramos elcentro abatido (O), trazamos la circunferencia y le circunscribimos un cuadradotrazándole las diagonales y los ejes paralelo y perpendicular a LT. Las rectas que sonperpendiculares a LT tendrán por punto límite P y las que son a 45º con respecto aLT tendrán a F45º. Observando la figura vemos el proceso de obtención de los ochopuntos de la elipse. Obsérvese que las tangentes en los puntos 2, 4, 6 y 8 son rectas


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Figura 73

a 45º por tanto, irán a los puntos límites F45º, las tangentes en los puntos 1 y 5serán paralelas a LT y las que lo son en los puntos 3 y 7 irán al punto P. Téngasepresente que el centro de la elipse NO ES el centro de la circunferencia (O).

Métodos para realizar perspectivas cónicas.

Vamos a exponer dos métodos de poner objetos en perspectiva cónica, que son:

a). Método Reile.b). Método de la homología.

a). Método Reile.

Cuando miramos un objeto lo hacemos variando nuestros ojos hacia los puntoscaracterísticos de este. Esto es debido a que el ángulo de visión del ojo humano esaproximadamente un cono de semiángulo 30º, cuyo eje es el rayo principal. Por lotanto, todo aquello que quede fuera del cono de visión se verá deformado.Generalmente dirigimos la vista al centro de gravedad del objeto.Aplicando este concepto a la perspectiva cónica, vemos que una vez elegido el punto

de vista, el rayo principal será el queva directamente al c.d.g. del objeto yel plano del cuadro será perpendiculara dicho rayo (no es necesario que elrayo principal pase por el c.d.g. delobjeto).Desde el punto de vista,proyectaremos cónicamente el objetosobre el plano del cuadro. Es evidenteque si queremos representarlototalmente y sin deformación, tendráque estar comprendido dentro delcono de visión.Veamos el proceso a seguir pararealizar una perspectiva cónica poreste método.Consideremos el edificio dado por suplanta y alzado de la figura 73.


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Figura 74

Una vez fijado el PV, la inclinación del objeto con respecto al rayo principal, lasituación del PC y de la LH, procederemos a determinar los puntos límites de laslíneas principales del objeto. Figura 74. Para ello trazaremos por el PV rectasparalelas a las direcciones principales del objeto y le calcularemos sus trazasverticales obteniéndose los puntos límites de ambas direcciones, F1 y F2.La altura de la LH con respecto a PC la tomaremos de las proyecciones diédricas.Figura 75. Procedamos a proyectar la arista a, (recta vertical), para ello unimos PVcon a y vemos que corta al PC en el punto 1, giremos 90º esta arista y la veremoscomo la línea A. Figura 76. Seguidamente vamos a determinar la magnitud de estaarista, para ello vamos al alzado y medimos la distancia que hay desde La LH hastalos extremos de dicha arista. Tomamos una de las dos direcciones que pasan por ay la prolongamos hasta que corte al PC en 2, la giramos 90º y la arista se verá comola línea (A) y como esta línea se encuentra en el PC, sobre ella podemos tomar lasmagnitudes anteriores. Uniendo estos extremos con el punto límite, de la direcciónque hemos prolongado (F1), nos intercepta en la recta A la magnitud que tendrádicha arista. Figura 77. Ahora vamos a determinar la arista b, siguiendo un procesoidéntico al descrito. Una vez encontrada la posición de esta arista (la veremos comoB), procedemos a unir los extremos anteriormente hallados en A con el punto límitecorrespondiente a la línea ab, F1, y nos dará el tamaño de la arista B. Obsérvese queno hace falta calcular las distancias desde la LH hasta los extremos de la arista b.


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Figura 75

Figura 76


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Figura 77

Figura 78

Figura 78. Repitiendo este proceso para la arista c y así sucesivamente con todoslos elementos de la figura obtendremos la perspectiva de la misma.

En las figuras 79 y 80 tenemos el resultado final de la perspectiva.


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Figura 79

Figura 80


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Figura 81

Figura 81. Hay que tener en cuenta en este método que, si la figura está por delantedel PC la perspectiva aumenta de tamaño mientras que si está por detrás del cuadrola perspectiva disminuye de tamaño, en el primer caso la figura se encuentra situadaen el primer cuadrante y en el segundo caso estaría situada en el segundo cuadrante.

Figura 82. El hecho de que la figura quede situada en el primer cuadrante implicaque su proyección sobre el PG, (al girar el PG hasta que coincida con el PC), quedarápor debajo de LT y la perspectiva quedará por encima de LT y mas pequeña,mientras que si la figura está en el segundo cuadrante su proyección sobre PG, (algirar el PG hasta que coincida con el PC), quedará por encima de LT y la perspectivaquedaría por debajo de LT y mas grande y se confundirá con la planta de la figura.Generalmente al aplicar este método se suele colocar la figura en el primercuadrante para evitar que se superpongan la perspectiva y la planta de la figura.

b). Método de la homología.

Figura 82. Este método implica una variación en la configuración de los elementosdel sistema, es decir, la LT y la LH quedarán invariantes pero el punto de vistaquedaría por encima de la LH, ya que para hacer coincidir el PG con el PC serealizaría mediante un giro en sentido antihorario quedando el punto de vista V porencima de LH.


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Figura 82

Figura 83

La forma de trabajar con este método es idéntica a lo expuesto hasta ahora.

Veamos como se realiza la perspectiva de una figura por este método.

Sea la figura dada en diédrico por su planta y alzado de la figura 83.

Aquí tenemos que tener presente queentre la perspectiva buscada, la plantade la figura y el punto de vista Vexiste una homología siendo V elcentro de la homología, LT el eje y LHla recta límite, por tanto, aplicando losconocimientos de la homologíapodemos obtener la perspectiva. Figura 84. Una vez situada la LT, laLH, el PV y la planta de la figura,procederemos a obtener los puntoslímites de las direcciones principalesde la misma. Para ello, trazaremos porel punto V paralelas a las direccionesprincipales de la figura, obteniéndoselos puntos F1 y F2.


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Figura 84

Figura 85. Después de haber obtenido los puntos límites, F1 y F2, procederemos aobtener la perspectiva de la planta de la figura. Recordemos que, en la homología,rectas homólogas se cortan en el eje, procedamos a prolongar las aristas de laplanta hasta cortar a LT uniendo estos puntos con F1 y F2 tendremos la perspectivade la planta.Figura 86. A continuación procederemos a dar alturas a cada una de las aristas queintegran la figura. Consideremos la arista a, cuya perspectiva es A, levantando porella una perpendicular a LT tendremos la posición de la misma lo que falta es darleel tamaño que tenga. Para darle la altura, siendo la arista a una recta vertical, latrasladaremos paralelamente a si misma hasta que esté contenida en PC, (obtenemosel punto 1), sobre esta línea podemos colocar su magnitud, (punto 2),y trazaremosuna paralela por este último punto interceptando a la arista A en el punto 3, que nosda su magnitud, A3. Figura 87. Vamos a determinar la altura de la arista b, cuyaperspectiva es B, uniendo el extremo superior de A con F1 interceptará a laperpendicular trazada por B en el punto 2, siendo B2 la altura de la arista B.


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Figura 85

Figura 86


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Figura 87

Figura 88


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Figura 89

Figuras 88 y 89. Repitiendo este proceso obtendremos la perspectiva de la figura.

Cuando se aplica este método, si la figura se encuentra situada en el primercuadrante su planta queda situada por encima de la LT y su perspectiva quedará pordebajo de la LT y de mayor tamaño mientras que, si se encuentra situada en elsegundo cuadrante, su planta quedará por debajo de la LT y su perspectiva porencima de LT y de menor tamaño. Generalmente se suelen colocar las figuras en elsegundo cuadrante.

Válido para ambos métodos es la siguiente consideración:

Figura 90. Si tenemos líneas que no son paralelas al PG, su punto límite, no estásituado en la LH, no obstante podemos encontrar su punto límite sin mas que trazarpor el punto de vista (P proyección vertical y V proyección horizontal) una rectaparalela a esta línea calculándose su traza vertical que será su punto límite. Hay que


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Figura 90

tener en cuenta que, generalmente, nos dan la planta y el alzado de la figura endiédrico y la posición para realizar la perspectiva está girada con respecto a LT, NOPODEMOS, pues, trazar la paralela a la línea en cuestión tomándola de larepresentación diédrica, sino que tenemos que determinarla en función de larepresentación que tenemos girada.

Nos dan la recta R (r’-r) por sus proyecciones diédricas, vemos que está situada enel primer cuadrante. Tanto en la representación de la izda (homología) como en lade la dcha la postura de la recta rg está girada con respecto al dato r. Obsérveseque en la homología queda por encima de LT y en la otra por debajo, esto es debidoa la forma en que se gira el PG para que coincida con el PC (ver páginas 65 y 66).Procedemos a realizar un giro en la representación diédrica para colocar la recta enla misma posición que tienen en ambas perspectivas. Seguidamente trazamos por Vuna paralela a rg y por P una paralela a rg’, le hallamos su traza vertical y hemosobtenido el punto límite, L-l, de la recta R. Nótese que en ambos casos la soluciónes la misma, pero en la homología, la paralela a rg por V es la simétrica de rgrespecto de LT, (compárese con las proyecciones diédricas).


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ÍNDICE

3.- SISTEMA AXONOMÉTRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Clases de sistemas axonométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2El triángulo de trazas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Concepto de coeficiente de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Determinación de los coeficientes de reducción y de los ángulos que forman los ejescon el plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Determinación de los coeficientes de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Determinación de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro. . . . . . 7

Alfabeto del punto. Proyecciones del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Puntos situados en los planos de proyección y en los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Alfabeto de la recta. Proyecciones de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

a). Recta paralela a uno de los ejes del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13b). Recta paralela a uno de los planos del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13c). Recta perpendicular a uno de los planos del sistema. . . . . . . . . . . . . . 14d). Perpendicular al plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Alfabeto del plano. Proyecciones del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

a). Paralelo a uno de los ejes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17b). Paralelo a uno de los planos del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . 18d). Plano que contiene al origen del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 19f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema . . . . . . . . . . . . . . 19g). Plano paralelo al plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19h). Plano perpendicular al plano del cuadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Intersecciones de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Traza natural u ordinaria de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Traza natural u ordinaria de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Determinación de secciones planas de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Intersección de recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Representación de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

a). Aplicando los coeficientes de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26b). Abatiendo el plano que contiene a la figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Representación de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Representación en axonométrico de figuras dadas por sus proyecciones diédricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Paso de diédrico a axonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Paso de axonométrico a diédrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Sistema axonométrico oblicuo. Perspectiva caballera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


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4.- SISTEMA CÓNICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Representación del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Representación de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

a). Recta paralela al PG. Recta horizontal. Recta R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40b). Recta perpendicular al PG. Recta vertical. Recta S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40c). Recta contenida en el PG. Recta T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40d). Recta paralela al PC. Recta frontal. Recta R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41e). Recta perpendicular al PC. Recta de punta. Recta S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41f). Recta contenida en el PC. Recta T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Haces de rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Rectas que forman un ángulo dado con el PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Determinación del ángulo que una recta forma con el PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Representación del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

a). Plano paralelo al PC. Plano P. Plano frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46b). Plano perpendicular al PC. Plano Q. Plano de canto. . . . . . . . . . . . . . . . 46c). Plano paralelo al PG. Plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46d). Plano perpendicular al PG. Plano vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Haces de planos. Obtención del que pasa por el punto de vista. . . . . . . . . . . . . . 46Intersecciones de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Intersección de recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48División de un segmento en partes iguales o proporcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

a). Segmento horizontal. Paralelo al PG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49b). Segmento frontal. Paralelo al PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49c). Segmento cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Abatimiento del PG. sobre el PC. Abatimiento de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Verdadera magnitud de un segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

a). Segmento perpendicular al plano geometral. Recta vertical. . . . . . . . . . . . . . 55b). Segmento paralelo al plano geometral. Recta horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . 55c). Segmento perpendicular al plano del cuadro. Recta de punta. . . . . . . . . . . . . 56d). Segmento paralelo al plano del cuadro. Recta frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56e). Segmento cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Perspectiva de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59a). Circunferencia situada en el PG y por detrás del PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Métodos para realizar perspectivas cónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60a). Método Reile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60b). Método de la homología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.- sistema cÓnico.jcizquierdo.netai.net/pdf/apuntes/apuntes22.pdf4.- sistema cÓnico. figura 42....

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