4. Modelo Discreto de dinámica de dislocaciones enmateriales con estrctura cristalina BCC

En este capítulo introduciremos el modelo discreto de elasticidad y dislocaciones encristales desarrollado por Ariza y Ortiz [1]. La teoría se basa en la adaptación adecuada aredes cristalinas de elementos de álgebra topológica y calculo diferencial, tales como cadenas decomplejos y homología de grupos, formas y operadores diferenciales, y una teoría de integraciónde formas. En particular nos centraremos en un complejo simplicial para redes cristalinas tipoBCC.

4.1. Notación

A continuación haremos un repaso de la nomenclatura que utilizaremos en este capit-ulo para la descripción del modelo discreto. Llamaremos al grupo de números enteros a Z, algrupo de los reales R y a los complejos C. En notaciones indiciales que involucran vectores ytensores adoptamos el convenio de sumatoria de indices de Einstein. La manera mas elementalde ver un cristal es como un subgrupo discreto

L =x(l) = liai, l ∈ Zn

(44)

de Rn, donde a1, ..., an son vectores linealmente independientes deniendo la base de la red.La base dual a1, ..., an se caracteriza por tener la propiedad

ai · aj = δij (45)

donde el punto denota el producto escalar en Rn. Siguiendo con la notación común llamaremosΩ al volumen de la celda unidad, o volumen atómico. La red dual y la recíproca son las redesrepresentadas por las bases dual y 2πa1, ..., 2πan, respectivamente. Recordamos que la primerzona de Brillouin B, (ver gura (refBrillouin) es la celda de Voronoi de la red reciproca en elorigen. El volumen de la celda unitaria dual es 1/Ω, mientras que el volumen |B| de la primerzona de Brillouin, y de la celda unitaria reciproca, es (2π)n/Ω. Una red compleja puede serdenida como una superposición de subredes teniendo la misma base. Asi, cualquier punto deuna red compleja es representado de la forma:

L =x(l, α) = liai + rα, l ∈ Zn, α = 1, ....N

, (46)

donde α etiqueta cada simple subred constituyente. y rα es el vector de traslación relativade cada subred α. Ciertas redes cristalinas y ciertos conjuntos de objetos que surgen natural-mente en la mecánica de cristales, tal como el conjunto de enlaces atómicos, posee simetríade traslación en una red compleja. Siempre y cuando una red pueda ser representada comouna red simple, será conveniente hacerlo de este modo y evitar describir dicha red como unared compleja. Por ejemplo, una red cubica centrada en el cuerpo puede ser descripta como

29

Figura 20: Primer Zona de Brillouin para una red BCC

una red simple o como una superposicion de dos redes cubicas simples. Recordamos tambienque una simetría de una red es una transformación ortogonal Q ∈ O(n) que mapea la red ensi misma. El conjunto S de todas las transformaciones de simetría es un subgrupo de O(n)conocido como grupo de simetría de la red. Si la transformación de inversión pertenece a S,luego la red se dice que es centrosimetrica. Una red simple es necesariamente centrosimetrica.Una propiedad importante es que dos redes L1 y L2 denden la misma red de Bravais si existeun isomorsmo lineal φ : Rn → Rn tal que L2 = φ(L1) y S(L2) = S(L1)φ−1. Para n = 2hay exactamente 5 redes de Bravais, mientras que para n = 3 hay 14 redes de Bravais. Unplano cristalograco is convencionalmente denido por sus indices de Miller m ∈ Zn, denidoscomo los putos a1/m1, ..., an/mn que son la interseccion de dicho plano con los ejes coordi-nados. Una familia de planos cristalográcos paralelos puede ser denida implícitamente porla ecuación

x · k ∈ Z (47)

para algún vector dual k, donde el símbolo · signica la "duality pairing.en Rn. Se puededemostrar fácilmente que las componentes de un vector k en la base dual ai coincide con losindices de Miller. La distancia entre planos paralelos consecutivos es un parámetro importantepara el entendimiento de los deslizamientos cristalográcos. Un cálculo trivial nos permitecalcular la distancia entre dos planos como

d−1 = |k| , (48)

donde |·| indica la norma estandar in Rn. La elección de la base de la red es claramente noúnica. Cualquier n-tupla (a

′1, ..., a

′n) relacionada linealmente a la base original como a

′i = µjiaj

también dene una base de la red con la misma orientación provisto que µ ∈ SP (Zn), esdecir, µji ∈ Z y det(µ) = ±1. Una de las grande consecuencias de este hecho es que cualquier

30

asignación afín F sobre Rn de forma

F = µjiaj ⊗ ai (49)

sale del invariante de la red. Una clase particular importante de deformaciones invariantes dela red de relevancia en procesos de deslizamientos cristalográcos es

F = I + (sjaj)⊗ (miai) (50)

con s,m ∈ Zn) y simi = 0. Esta simple deformación cortante representa un deslizamientocristalográco uniforme a través del vector de Burger b = sjaj sobre el plano cuya normales mia

i. Consideraciones energéticas, tales como la energía calculada en el núcleo de unadislocación considerada elástica y lineal, como asi también consideraciones cinéticas, basadas enestimaciones elástico-lineal de la fricción de red, sugieren que los deslizamientos cristalográcosocurren preferencialmente entre planos de maxima capacidad, es decir, planos para los cuales ladistancia interplanar dada por la ecuación 48 se hace mínima. Una tabulacion de los planos dedeslizamiento observados normalmente pueden ser encontrados en el apartado de Hirth&Lothe[5].

4.2. Complejo simplicial para critales BCC.

La formulación de una mecánica de redes defectuosas requiere la consideración decampos que son denidos en los átomos, enlaces atómicos y otros elementos de la red, ypermitir además relacionarlos entre si. Con el objetivo de facilitar el manejo de dichos camposy las expresiones de las leyes de sus comportamiento es esencial adoptar una herramientaeciente para optimizar el algebra de la formulación. El campo del algebra topológica haperfeccionado y proporciona tales herramientas, por tal motivo, utilizaremos herramientasbásicas como operadores diferenciales y codiferenciales. La red BCC de Bravais es generadapor la base (−a/2, a/2, a/2) , (a/2,−a/2, a/2) , (a/2, a/2,−a/2). Utilizando como referenciael trabajo de Ariza y Ortiz [3][4], consideraremos la red cristalina como una cadena complejos,como un conjunto de vértices interconectados, o celdas-0; segmentos elementales o celdas-1;áreas elementales o celdas-2; y volúmenes elementales o celdas-3. Estas celdas se muestran en lasguras (21-23). Tales celdas se eligen de manera que contengan la dirección de deslizamiento12〈111〉 y el plano de deslizamiento 110. Esto se puede comprobar viendo la Tabla (2).

Recordamos que una red de Bravais compleja puede ser generada como una colección de Nsub-redes simples de Bravais. Asi, un elemento de una red 3D de Bravais compleja puedeser rotulada por medio de los 3 enteros l ≡ (l1, l2, l3) ∈ Z3 y un rotulo α ∈ 1, ...., N quedesigna a cual de las simples subredes de Bravais pertenece. El particular esquema de rotuladoque se emplea es el que se muestra en las guras (21-23), donde ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0),ε3 = (0, 0, 1), ε4 = (1, 1, 1), ε5 = (0, 1, 1), ε6 = (1, 0, 1) y ε7 = (1, 1, 0). LlamaremosNp al numerode la sub-red de celda de dimensión p. Asi, N0 = 1,N1 = 7,N2 = 12,N3 = 6. Utilizaremosla notación ep ≡ (l, α), l ∈ Z3, α ∈ 1, ....,Np, para designar una celda de dimensión p, yel símbolo Ep para designar al conjunto de todas las celdas de dimensión p. El estado de la

31

(a) Vértices (b) Segmentos

Figura 21: Representación del los segmentos y vértices elementales del complejo simplicial utilizado para el BCC.

red será descrito en términos de los valores reales de las funciones sobre Ep en las diferentes pformas del complejo simplicial utilizado. Llamaremos Ωp al conjunto de las p formas de la red.En particular, llamaremos ep a la p forma que toma el valor 1 en ep y 0 en otro sitio. Luego, lap forma admite la siguiente representación general (51), donde f : Ep → R y f(ep) puede serconsiderará como el valor de ω en ep.

ω =∑ep∈Ep

f(ep)ep (51)

La dual Ωp de Ωp es el conjunto de campos-p sobre la red. Por un leve abuso de notación,nosotros llamaremos a ep el campo que toma un valor de 1 sobre la celada-p ep y se anulaen cualquier otro sitio. Con esta convención, los campos tienen la representación (52), dondeg : Ep → R y g(ep) puede considerarse como el valor de Λ en ep.

Λ =∑ep∈Ep

g(ep)ep (52)

La formulacion de las ecuaciones que goviernan la mecanica de los cristales se simplica demanera considerable intruduciendo los aperadores discretosDiferencial y Codiferencial sobrelas formas y campos, respectivamente mencionados anteriormente. Por linealidad, basta condenir los operadores Diferencial y Codiferencial de los generadores ep y ep respectivamentecon,

de0(l) =− e1(l, 1)− e1(l, 2)− e1(l, 3)− e1(l, 4)

− e1(l, 5)− e1(l, 6)− e1(l, 6) + e1(l − ε1, 1)

+ e1(l − ε2, 2) + e1(l − ε3, 3) + e1(l − ε4, 4)

+ e1(l − ε5, 5) + e1(l − ε6, 6) + e1(l − ε7, 7),

(53)

32

(a) (b)

(c)

Figura 22: Representación del conjunto de areas del complejo simplicial utilazado en el modelo para el BCC y de de susecuencia de etiquetado.

33

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 23: Representación del conjunto de volúmenes del complejo simplicial utilizado en el modelo para el BCC y de susecuencia de etiquetado.

34

de1(l, 1) =− e2(l, 2) + e2(l + ε1, 4)− e2(l + ε1, 5)

+ e2(l, 7)− e2(l, 10) + e2(l + ε1, 12),(54)

de1(l, 5) =− e2(l + ε2, 1)− e2(l − ε1, 2) + e2(l + ε3, 3) + e2(l + ε4, 4), (55)

de2(l, 1) =− e3(l − ε2, 1) + e3(l − ε7, 5) (56)

δe1(l, 1) =e0(l + ε1)− e0(l), (57)

δe1(l, 5) =e0(l + ε5)− e0(l), (58)

δe2(l, 1) =− e1(l − ε2, 5) + e1(l − ε2, 2) + e1(l, 3), (59)

δe3(l, 1) =− e2(l + ε1, 1) + e2(l − ε5, 7) + e2(l, 8)− e2(l + ε4, 4), (60)

Por linealidad, el operador diferencial de un forma−p Ωp 3 ω =∑f(ep)ep es la forma−(p+1)

dω =∑ep∈Ep

f(ep)dep

(61)

Esto es facilmente vericable de las deniciones

d2 = 0, (62)

δ2 = 0, (63)

〈δΛ, ω〉 = 〈Λ, dω〉 . (64)

Sabemos también que es de gran utilidad y conveniencia expresar las sumas de la red ennotacion integral. Así, si A es un subconjunto de Ep y si α ∈ Ωp. Luego, si ω =

∑f(ep)e

p

podemos escribir ∫A

α =∑ep∈A

f(ep). (65)

En este trabajo no se pretende desarrollar en detalle este tipo de propiedades, en Ref. [3] encon-tramos un buen resumen de propiedades de operadores diferenciales discretos y de integrales. Latransformada discreta de Fourier provee un modo adicional de aprovechar la invariante trasla-cional de los complejos de la red. Así, la transformada discreta de Fourier de una forma − pω ∈ Ωp es (Ver Apéndice A)

ω(θ, α) =∑l∈Zn

ω(l, α)e−iθ. (66)

y su inversa es

ω(l, α) =1

(2π)n

∫[−π,π]n

ω(θ, α)eiθdnθ. (67)

35

La transformada de Fourier y su inversa para diferentes campos puede ser denida de igualmodo de manera discreta como,

dω(θ, α) =N∑β=1

Qαβ(θ)ω(θ, β) (68)

Donde las matrices

QT1 =

(eiϑ1 − 1 eiϑ2 − 1 eiϑ3 − 1 eiϑ4 − 1 eiϑ5 − 1 eiϑ6 − 1 eiϑ7 − 1

)(69)

QT2 =

0 −1 0 e−iϑ1 −e−iϑ1 0 1 0 0 −1 0 e−iϑ1

e−iϑ2 0 −1 0 0 −e−iϑ2 0 1 0 −e−iϑ2 0 11 0 −e−iϑ3 0 −1 0 e−iϑ3 0 −1 0 e−iϑ3 00 1 0 −e−iϑ4 0 e−iϑ4 0 −1 1 0 −e−iϑ4 0

−e−iϑ2 −eiϑ1 e−iϑ3 e−iϑ4 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 e−iϑ1 −e−iϑ4 −e−iϑ3 eiϑ2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −eiϑ3 e−iϑ2 e−iϑ4 −e−iϑ2

(70)

QT3 =

−eiϑ2 0 0 0 eiϑ7 00 0 1 0 −1 00 −eiϑ3 eiϑ6 0 0 0−eiϑ4 eiϑ4 0 0 0 0

0 0 −eiϑ1 0 0 eiϑ7

0 0 −eiϑ4 eiϑ4 0 0eiϑ5 0 0 −eiϑ3 0 01 0 0 0 0 −10 1 0 −1 0 00 eiϑ5 0 0 0 −eiϑ20 0 0 0 −eiϑ4 eiϑ4

0 0 0 eiϑ6 −eiϑ1 0

(71)

denen las deribadas exteriores de las formas en su representacion de Fourier. Utilizando laexpresion (64) tenemos la representacion del operador codiferencial para la representacion deFourier.

δΛ(θ, α) =N∑β=1

Pαβ(θ)Λω(θ, β), (72)

donde

P = Q†, (73)

donde Q† = (Q∗)† es la transpuesta conjugada de Q.

36

4.3. Energía almacenada en un cristal.

En este trabajo, nos focalizaremos principalmente en el desarrollo de una teoría disc-reta de cristales armónicos. Esto es una consecuencia del deseo de utilizar herramientas talescomo la transformada de Fourier para propósitos analíticos y para modelos de gran escalacomputacional. Antes de comenzar con el desarrollo en detalle de la teoría discreta, recor-daremos primero algunas nociones bien conocidas del punto de vista de la teoría del continuocomo punto de partida. Dentro de la aproximación armónica, la energía de un cristal es unafunción convexa del campo de desplazamientos. La estructura cristalina subyacente, de todasformas, permite a los desplazamientos abandonar la invariancia de la red. La energía total deun cristal es en consecuencia una función no convexa del campo de desplazamiento cuandoun deslizamiento cristalográco esta presente en dicha red. Mientras que esta no convexidades la que permite la aparición de defectos en la red, tales como las dislocaciones en primerlugar, al parecer podría obstaculizar los esfuerzos para usar la aproximación armónica. Estadeciencia puede ser remediada recurriendo a la teoría de autodeformaciones (Mura, 1987;Ortiz y Phillips, 1999). Para este n recordemos que la distorsión plástica en un cristal con uncizallado puede ser escrita como

βij =N∑α=1

γαsαimαj , (74)

la suma en α recorriendo todos los sistemas de deslizamientos que sean posibles de activar enel cristal. La distorsion plástica es, sin embargo, no arbitraria y se ve limitada por la crista-lograa. Asi la distorsión plástica es construida de preservar deformaciones de red tales comodeslizamientos cristalográcos y es referida como una autodeformacion. La energía elástica deun cristal es una funcional del campo de desplazamientos y la autodeformacion y esta dadapor

E [u, β] =

∫V

1

2Cijkl (ui,j − βij) (uk,l − βkl) dV, (75)

la cual es ahora en el campo de la distorsión elástica βeij = ui,j −βij y cuadratica por partes enui,j donde Cijkl son las constantes elásticas del material. Esta aproximación sera empleada enuna manera análoga para adaptar los deslizamientos cristalográcos dentro de la formulacióndel modelo discreto.

4.3.1. Autodeformaciones en redes cristalinas discretas.

La energía de un cristal armónico admite la representación (Ariza y Ortiz, 2005)[1]

E (u) =

∫E1

∫E1

1

2Bik(e1, e

′

1)dui(e1)duk(e′

1) ≡ 1

2〈Bdu, du〉 (76)

y

E (u) =

∫E0

∫E0

1

2Aik(e0, e

′

0)ui(e0)uk(e′

0) ≡ 1

2〈Adu, du〉 (77)

37

donde u : E0 → Rn) es el campo de desplazamiento, y A : E20 → simRn) y B : E2

1 →simRn) reúnen las constantes de fuerza armónicas del cristal (E0 y E1 son los conjuntos devértices y las aristas del cristal, respectivamente). Por invariancia en la traslacion tenemos lasrepresentaciones

Bdu = Ψ ∗ du (78)

Au = Φ ∗ u (79)

donde Ψ y Φ son los campos de constantes de fuerza de la red y ∗ denota la operacion deconvolucion (Ver apéndice A). Ya que las ecuaciones (78) y (79) se encuentran en la forma deconvolucion, la aplicacion de la identidad de Perseval y el teorema de convolucion nos ofrecenuna representacion alternativa

E(u) =1

2π

∫[−π,π]n

1

2

⟨Ψ(θ)du(θ), du

∗(θ)⟩dnθ, (80)

E(u) =1

2π

∫[−π,π]n

1

2

⟨Φ(θ)u(θ), u∗(θ)

⟩dnθ, (81)

donde escribimos⟨Ψ(θ)u(θ), u∗(θ)

⟩=

N∑α=1

N∑β=1

Ψik

(θαβ

)dui(θ, α)du∗k(θ, β), (82)

⟨Ψ(θ)u(θ), u∗(θ)

⟩= Φik(θ)ui(θ)uk

∗(θ) (83)

La anterior representacion muestra que el campo de las constantes de fuerza se relaciona de lasiguiente manera

Φ = QT1 ΨQ∗1, (84)

donde Q1 es la transformada de Fourier del operador diferencial de la forma−1 introducida an-teriormente por la expresion (73). Recordando la ecuacion (49), consideremos una deformacionque mantenga la red invariante de la forma

F = I +ξ

db⊗m, (85)

donde m es el vector unitario normal al plano de deslizamiento, b es el vector de Burger,d es la distancia entre planos paralelos de un mismo sistema y ξ ∈ Z es la magnitud deldeslizamiento, es decir, cuantas veces o vectores de Burger se desplazan los atomos a un ladodel plano con respecto a los del otro lado de dicho plano de deslizamiento. El resultado de lasautodeformaciones β ∈ Ω1 expresado en la forma− 1 (aristas) queda de la siguiente manera

β = (F− I)dx(e1) = (dx(e1) ·m)ξ

db. (86)

38

Notar que la magnitud del vector dx(e1) puede ser interpretada sicamente como una arista osegmento orientado de la celda − 1, ver gura (21b); esta expresion para la autodeformaciónmide tanto los cambios en la longitud de estas aristas como el cambio en la orientacion de lasmismas como resultado de la aplicacion de un gardiente de deformacion. Tambien podemos verque el producto dx(e1) ·m es cero cuando la celda − 1 se encuentra contenida en el plano dedeslizamiento y es igual a la distancia entre planos d en cualquier otro caso. Ahora permitamosque tengan actividad de deslizamiento M sistemas cristalogracos denidos por sus vectoresde Burgers y sus vectores normales al plano de deslizamiento, esto es (bs,ms), s = 1, ...,M ,respectivamente. El resultado de la autodeformacion para en terminos de las aristas puede a apartir de (86) escribirse como

β =M∑s=1

∑e1∈E1(ms)

ξs(e1)bse1, (87)

donde ξs : E1(ms) → Z es el valor entero del campo de deslizamiento correspondiente alsistema s y E1(ms) = e1 ∈ E1, dx(e1) ·m 6= 0. Asumiremos ......... En el alma de la teoria deautodeformaciones, la energía elástica puede ser asumida de la siguiente forma

E(u, ξ) =1

2〈B(du− β), du− β〉 (88)

la cual remplaza a la ecuación (76) frente a la presencia de deslizamiento cristalograco. Clara-mente, si β = dv, es decir, que las autodeformaciones son compatibles, entonces se minimizala energía caundo los desplazamientos son u = v y E = 0. Sin embargo, debido a que lsodeslizamientos estan cristalogracamente restringidos, β debe ser necesariamente de la formade la Ec.(87) y, por tal motivo, no sera compatible en general. En virtud de esta falta de com-patibilidad, una distribucion general de deslizamientos induce tensiones residuales y no se hacenula la energía elestica, o la energía almacenada. Una elegante interpretacion geometrica delas autodeformaciones puede darse con la ayuda de una version discreta del tensor de densidadde dislocaiones de Nye. (Nye,1953; Ariza y Ortiz, 2005), esto es

α = dβ. (89)

Si las autodeformaciones son compatibles, es decir, si β = dv, entonces α = d2v = 0. La densi-dad de dislocacion α mide por lo tanto el grado de incompatibilidad de las autodeformaciones.Vemos que si α es una forma− 2, α ∈ Ω2 y estará entonces denidas en las celdas del tipo 2(guras (22a,22b,22c)) del complejo simplicial. La Ec.(87), ahora en funcion de la densidad dedislocaciones, puede ser escrita de la siguiente manera

α =M∑s=1

∑e1∈E1(ms)

ξs(e1)bse1 ≡M∑s=1

αs, (90)

es decir, como la suma de las densidades de la dislocación de los distintos sistemas de desliza-miento. Cada αs esta orientado a lo largo del vector de Burgers bs y es a su vez obtenidode la superposición de lazos elementales de dislocacion de1 con multiplicidad ξs. El bucle de

39

(a) (b)

Figura 24: Lazos elementales de dislocacion para una red del tipo BCC; (a) para un segmento o arista del tipo cartesiana y(b) para una arista diagonal. El resto de los circuitos elementales y bucles puede ser abtenido por simetria a partir de estasguras.

dislocacion unidad (Ref.[13]) consiste en un anillo orientado sobre las celdas del tipo 2 (super-cies) incidentes sobre una celda de tipo 1 (aristas) que soportan un deslizamiento de magnitudunidad. En la Fig. (24) podemos ver este concepto gracamente. Si la distribucion de autode-formaciones es conocida, y en la ausencia de restricciones adicionales, la energía de una redpuede ser facilmente minimizada con respecto al campo de desplazamiento. Supongamos quesobre un cristal actuan una distribucion de fuerzas f : E0 → Rn, donde E0 nos dice que lasfuerzas estan denidas sobre los vértices del complejo simplicial (celdas de tipo 0). La energíapotencial total de la red es

F (u, ξ) = E(u, ξ)− 〈f ,u〉 , (91)

Si minimizamos F (u, ξ) con respecto a u obtenemos la siguiente ecuación de equilibrio

Au = f + δBβ, (92)

donde δBβ puede ser considerado como una distribucion de autofuerzas correspondiente a lasautodeformaciones β. Los desplazamientos de equilibrio son5

u = A−1(f + δBβ) ≡ u0A−1δBβ, (93)

donde u0 = A−1(f es el campo de desplazamiento inducido por las fuerzas aplicadas en ausenciade autodeformaciones. Las condiciones para las cuales el problema de minimizacion antesdescrito esta bien planteado y arroja una unica energia minima para los desplazamientos fue

5en la deducción de esta relacion, usamos Ec.88 y la identidad E(u) = 12 〈Bdu, du〉 =

12 〈Au,u〉 dadas por

las ecuaciones (76 y 77)

40

presentado en el trabajo de Ariza y Ortiz (2005)[1]. La correspondiente energia potencialminima es

F (β) =1

2〈Bβ, β〉 − 1

2

⟨A−1(f + δBβ), f + δBβ

⟩1

2〈Bβ, β〉 − 1

2

⟨A−1δBβ, δBβ

⟩−⟨A−1δBβ, f

⟩−⟨A−1f , f

⟩1

2〈Bβ, β〉 − 1

2

⟨A−1δBβ, δBβ

⟩− 〈Bβ, du0〉 −

1

2〈Au0,u0〉

(94)

Los dos primeros términos

F (β) =1

2〈Bβ, β〉 − 1

2

⟨A−1δBβ, δBβ

⟩, (95)

en (95)dan la autoenergia de la distribucion de defectos de la red introducida por el campo deautodeformaciones β, o energia almacenada; el tercer término en (95) es la energia de interacionentre los defectos de la red y las fuerzas aplicadas.; y el cuarto término es la energía elásticaproducida por las fuerzas aplicadas. En la teoría de dislocaciones en un medio elastico contin-uo, Mura (Ref.[10]) mostró que la energía E(β) puede ser expresada directamente como unafuncion E(α) del campo de densidad de dislocaciones . Particularmente, dos distribuciones dedeslizamiento que se diferencian entre sí, pero que presentan la misma densidad de dislocacion,tienen la misma energía almacenada. En la elasticidad lineal, esta situacion también se planteaen la teoría de supercies de corte, donde una aplicacion del teorema de Stroke muestra que laenergía es independiente de la eleccion del corte (ref.[2]). La expresion analoga correspondientepara la energía en funcion de la densidad de dislocaciones se deduce a continuacion. En virtudde la descomposición de Hodge-Helmholtz para redes perfectas tenemos la representacion

β = dv + δ∆−1α, (96)

donde v = δ∆−1β. La obtencion de la Ec.(96) se puede ver en detalle en (ref.[1]), ya que la de-duccion escapa al alcance de este trabajo. Insetando la Ec.(96) dentro de Ec.(95) y redeniendou− v como u, haciendo una derivación idéntica a la que conduce a Ec.(94) ahora da

E(α) =1

2

⟨Bδ∆−1α, δ∆−1α

⟩− 1

2

⟨A−1δBδ∆−1α, δBδ∆−1α

⟩, (97)

para la energia almacenada del cristal, y

F (α) = E(α)− 1

2

⟨Bδ∆−1α, du0

⟩− 1

2〈Au0,u0〉 (98)

para la energía potencial.

41

4.4. Fuerzas interatómicas. Potencial de Finnis-Sinclair

El uso de potenciales empíricos o semiempericos para el modelado de defectos ensólidos se utiliza con mucha frecuencia en modelos discretos. Hay diferentes variantes comopor ejemplo el clásico potencial de Lennad-Jones; funcionales de pares atómicos tales comoembedded-atom method (EAM) para metales FCC (Daw, 1990), el (EAM) modicado parametales BCC (MEAM) (Yuan et al., 2003), el potencial de Finnis-Sinclair para metales detransición (Finnis y Sinclair, 1984); el potencial de Stillinger-Weber para enlaces covalentes(Stillinger-Weber, 1985), y algunos otros. Con la nalidad de aplicar herramientas analíticastales como la transformada de Fourier, es necesario adaptar estos potenciales a cristales har-monicos. Esto basicamente implica obtener las constantes de fuerza de un dado potencial.Este trabajo se centrara en los potenciales tipo (EAM), particularizando para el potencial deFinnis-Sinclair, aunque el desarrollo que a continuación se hace es general. La energía de uncristal dentro del (EAM) puede ser escrita de la siguiente manera

E =1

2

∑i,j

Vij(rij) +∑i

Fi(ρi) (99)

ρi =∑j

Φij(rij) (100)

donde i, j, ... son las etiquetas de los átomos, rij = |xi − xj| son las distancias interatomicas, xison las posiciones atómicas , V es el potencial, ρ es la densidad electrónica, y F es la energía deincrustacion. Para la consideración de la interacción de los vecinos mas cercanos, la expresióncorrespondiente de la energía que debemos calcular es la siguiente

E =1

2

∫E0

∫E0

V (|xi − xj|) +

∫E0

F (ρ(e0)) (101)

(ρ(e0)) =

∫E1∩St(e0)

Φ(|xi − xj|) (102)

la cual es equivalente escribirla como

E =

∫E1

V (|dx(e1)|) +

∫E0

F (ρ(e0)) (103)

(ρ(e0)) =

∫E1∩St(e0)

Φ(|dx(e0)|) (104)

donde St(e0) es usado para denominar el vértice de comienzo e0 (Munkres, 1984). La primeray segunda linealización de esta energía son

δE =

∫E1

DV (|dx(e1)|) dxi(e1)

|dx(e1)|δβi(e1)

+

∫E0

DF (ρ(e0))

∫E1∩St(e0)

DΦ(|dx(e1)|) dxi(e1)

|dx(e1)|δβi(e1)

(105)

42

δ2E =

∫E1

D2V (|dx(e1)|)dxi(e1)dxj(e1)

|dx(e1)|2δβi(e1)

+DV (|dx(e1)|) 1

dx(e1)

(δij −

dxi(e1)dxj(e1)

|dx(e1)|2

)δβi(e1)δβj(e1)

+

∫E0

D2F (ρ(e0))

(∫E1∩St(e0)

DΦ(|dx(e1)|) dxi(e1)

|dx(e1)|δβi(e1)

) (106)

donde Df(·) denota la variación de f con respecto a su argumento. Las correspondientesconstantes de fuerza son

B(e1, e1) = PI +Qdx(e1)⊗ dx(e

′1)

|dx(e1)|2(107)

B(e1, e′

1) = Rdx(e1)⊗ dx(e

′1)

|dx(e1)|∣∣dx(e

′1)∣∣ si

e1, e

′1

tienen un vértice en común, (108)

B(e1, e′

1) = 0 en cualquier otro caso, (109)

donde, usamos la notación r ≡ |dx(e1)| y r′ ≡∣∣dx(e

′1)∣∣,

P =1

r

[DV (r) +DΦ(r)

DF (ρ(e0)) +DF (ρ(e

′

0))]

(110)

Q = D2V (r)−DV (r)1

r+DF (ρ(e0)) +DF (ρ(e

′

0))[

D2Φ(r)−DΦ(r)1

r

](111)

R = D2F (ρ(e0))DΦ(r)DΦ(r′) (112)

Expresiones especicas para V,Φ y F y sus parametrizaciones para materiales especícospueden encontrarse en la literatura especializada. Aunque se tiene claro con el pasar de losaños que una descripción precisa de las fuerzas interatomicas en metales de transición BCCnecesita introducir un termino angular (Carlsson, 1991), el cual no esta incluido en el poten-cial de Finnis-Sinclair or potenciales de tipo EAM. En este trabajo utilizaremos este potencialpor simplicidad. Las constantes de fuerza para el caso esencial del potencial de Finnis-Sinclair(Finnis and Sinclair, 1984) tenemos los siguientes términos

V (r) = (r − c)2(c0 + c1r) + c2r2), (113)

Φ(r) = (r − d)2, (114)

F (ρ) = −A√ρ, (115)

donde c0, c1, c2, c, d y A son parámetros jos que pueden ser encontrados experimentalmente(Ver cuadro (1)).

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d(Å) A(eV ) c(Å) c0 c1 c2

Tungsteno 4.400224 1.896373 3.25 47.1346499 -33.7665655 6.2541999Tántalo 4.076980 2.591061 4.20 0.0271471 0.0271471 -0.1217350Vanadio 3.692767 2.010637 3.80 -0.08816318 1.4907756 -0.3976370Molibdeno 4.114825 1.887117 3.25 43.4475218 -31.9332978 6.0804249

Cuadro 1: Parametros para el potencial de Finnis-Sinclair.

4.5. Sistemas de deslizamiento

Una compilación de los sistemas de deslizamiento observados en redes cristalinas demetales puede encontrarse en [5]. De este modo, por ejemplo, la deformación plástica parauna red tipo FCC se encuentra en la activación de 12 sistemas de deslizamiento consistien-do de planos de deslizamientos (111) y direcciones (110). Centrándonos en redes cristalinascon estructuras tipo el BCC, como por ejemplo: acero, molibdeno, tantalio, vanadio, cromo,tungsteno, sodio y potasio). Encontramos que los deslizamientos ocurren siempre en la mismadirección [111] de máxima capacidad. El vector mas corto de este tipo de cristales, es decir,el vector de Burgers de un deslizamiento perfecto, es del tipo 1

2[111]. Los planos cristalográ-

cos son (110), (112) y (123). Cada una de estos planos contiene la dirección de deslizamiento[111]. Es signicativo que los tres planos (110), los tres (112) y los seis (123) intercepten alo largo de la misma dirección [111]. Asi, es posible que una dislocación de tonillo sea capazde moverse de manera aleatoria sobre diferentes planos (110) o combinación de planos (110)y (112), etc. favorecidos por la tensión aplicada. Por esta razón los deslizamientos son usual-mente ondulados y mal denidos. Se sabe que los aparentes planos de deslizamiento varían conla composición, orientación cristalina, temperatura y con la velocidad de deformación. De estemodo, para un acero es deformado a temperatura ambiente el plano de deslizamiento aparececercano al plano de donde se produce la tensión cortante máxima independientemente de laorientación, mientras que cuando éste es deformado a bajas temperaturas, o aleado con silicio,el deslizamiento tiende a estar restringido al plano especico (110). En la Tabla (2) podemosencontrar una recopilación de direcciones y planos de deslizamiento para las redes cuadrada,hexagonal, cubica simple, FCC y BCC.

Una característica de los cristales BCC es que las fallas de apilamiento no se hanobservado experimentalmente. El hecho que se permitan deslizamientos cruzados sugiere queeste tipo de fallos sean los de más alta energía. Consecuentemente, modelos clásicos basadosen la teoría de la elasticidad hacen imposible representar el fenómeno de disociación o interac-ción entre dislocaciones. Para poder calcular con certeza lo que sucede a esa escala debemosintroducir modelos computacionales discretos que permitan representar el comportamiento dela estructura a esa escala. Calculando la energía por este tipo de modelos cuando fallos porapilamiento son introducidos deliberadamente sobre un índice bajo de planos, se ha conrmadoque este mecanismo es improbable que sea estable en redes cristalinas con estructura BCC.Para que demostraciones como estas sean posibles y nos acerquemos cada vez mas a resultadosexperimentales y observaciones hechas en el laboratorio hacen notar la importancia de estosmodelos.

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Figura 25: Ejemplo graco del sistema de deslizamiento C3 para un cristal con estructura BCC.

Sistema A3 B3Cuadrada s [001] [001]

m (100) (010)

Sistema A3 B3 C3Hexagonal s [001] [001] [001]

2m (020) (√

310) (√

310)

Sistema A2 A3 B1 B3 C1 C2SC s [010] [001] [100] [001] [100] [010]

m (100) (100) (010) (010) (001) (001)

Sistema A2 A3 A6 B2 B4 B5

FCC√

2s [011] [101] [110] [011] [101] [110]√3m (111) (111) (111) (111) (111) (111)

Sistema C1 C3 C5 D1 D4 D6√2s [011] [101] [110] [011] [101] [110]√3m (111) (111) (111) (111) (111) (111)

Sistema A2 A3 A6 B2 B4 B5

BCC√

3s [111] [111] [111] [111] [111] [111]√2m (011) (101) (110) (011) (101) (110)

Sistema C1 C3 C5 D1 D4 D6√3s [111] [111] [111] [111] [111] [111]√2m (011) (101) (110) (011) (101) (110)

Cuadro 2: Conjunto de sistemas de deslizamiento en la nomenclatura de Schmid y Boas. El vector m es el vector unitarionormal al plano de deslizamiento, y s es el vector unitario en la direccion de burgers del deslizamiento. Todos los vectoresestan expresados en coordenadas cartesianas.

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