4 enfoque teÓrico-metodolÓgico y el significado...
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4 ENFOQUE TEÓRICO-METODOLÓGICO Y EL
SIGNIFICADO INSTITUCIONAL DE
REFERENCIA PARA LAS SERIES NUMÉRICAS
4.1 INTRODUCCIÓN
Cuando hablamos de dificultades de los estudiantes para el aprendizaje de las
series numéricas y su uso en problemas de matemáticas o de algún otro ámbito de las
ciencias o las ingenierías, hacemos referencia a las dificultades que percibimos en ellos
para el manejo de las series en concordancia con lo establecido en los programas del
curso correspondiente y de los objetivos que como profesor nos hemos planteado en
cada ocasión que enseñamos el tema.
Aunque es posible señalar algunas de esas dificultades, como lo hicimos ya en el
capítulo anterior, para profundizar en estos aspectos requerimos apoyarnos en un marco
teórico que permita caracterizar el programa del curso de Cálculo Diferencial e Integral
II (en el que se ubica curricularmente el tema), los textos sugeridos en la bibliografía del
programa y la práctica docente misma de quienes imparten el curso, así como explicar
los procedimientos de los estudiantes cuando enfrentan problemas relativos a las Series.
De esta manera estaremos en posibilidad de contrastar lo que se propone en los
programas de los cursos y en los textos de apoyo, con las acciones de los estudiantes y,
de esta manera, contar con una estrategia para evaluar el aprendizaje.
Esta necesidad de contrastación nos llevó a considerar el estudio del Enfoque
Ontosemiótico de la Cognición Matemática, en el que se establece una diferenciación
entre significados desarrollados por una comunidad que comparten la atención y
resolución de situaciones de un determinado tipo y las que realizan los individuos en lo
particular. Esta distinción se distingue mediante lo que se denominan significados
institucionales y significados personales, la cual detallaremos más adelante.
Con este eje central para el análisis nos proponemos, a grandes rasgos, lo
siguiente:
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• Determinar los significados institucionales referenciados en el Programa de la
Materia Cálculo Diferencial e Integral II y parte de la bibliografía sugerida en él.
• Hacer un estudio exploratorio de los conocimientos que los estudiantes de
Ingeniería de la Universidad de Sonora, tienen respecto a Series y su
Convergencia
• Establecer procedimientos teóricos para la elaboración de una Propuesta
Didáctica que acerque lo más posible dichos significados personales de los
alumnos a los significados institucionales
Para la realización de las actividades que nos propusimos llevar a cabo,
seleccionamos algunos aspectos que nos parecen básicos del enfoque teórico, de tal
manera que, sin presentar una visión enciclopédica del mismo, podamos tener una
visión panorámica de los planteamientos que asumimos y que dan soporte a las
herramientas de análisis consideradas en nuestro trabajo.
Primeramente debemos señalar que el EOS es un enfoque teórico cuya
pretensión es la integración, en una sola visión, de los marcos que se han venido
produciendo en el área, con el propósito de unificar las formas de analizar los
fenómenos del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. De esta manera, se
recogen las aportaciones que se han producido bajo diversas perspectivas, dándoles una
forma propia.
Con esta perspectiva, debe destacarse el carácter pragmático del EOS, en el que,
reconociendo la importancia que la noción de significado juega en matemática
educativa, se asume que el significado que una persona o una comunidad determinada
tienen de un objeto matemático, está determinado por aquello que podemos decir y lo
que podemos hacer con tal objeto, esto es, se asume una posición de significado en
términos de las prácticas discursivas y operatorias de los sujetos (personas o
instituciones).
Para profundizar un poco en estas ideas, en las siguientes líneas nos referiremos
a los aspectos centrales del EOS que hemos empleado en nuestra tesis, tanto para el
análisis de textos y programas como para la elaboración de nuestra propuesta para la
enseñanza de las Series.
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4.2 SISTEMAS DE PRÁCTICAS
Cuando enfrentamos una determinada situación problémica, realizamos una o
más acciones encaminadas a abordarla y obtener una solución, como pueden ser el
empleo de expresiones verbales, gráficas u otras. Genéricamente, a estas acciones las
denominamos prácticas y, centrados en el terreno de nuestro especial interés, decimos
que Práctica Matemática es toda acción (actuación o expresión, verbal, gráfica, etc.)
realizada por una persona o grupo de personas para resolver problemas matemáticos,
comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y
problemas (Godino y Batanero, 1994). En el estudio de las matemáticas, se consideran
los sistemas de prácticas (operativas y discursivas) que una persona o grupo de
personas manifiesta ante distintos tipos de situaciones problemáticas.
4.3 SIGNIFICADO DE UN OBJETO MATEMATICO (INSTITUCIONAL Y
PERSONAL)
Al enfrentar un determinado tipo de situaciones problémicas, una persona, o un
grupo de personas que comparten la búsqueda de solución de esas situaciones, realizan
no sólo una práctica sino todo un sistema de prácticas discursivas u operatorias, esto es,
hacen y dicen cosas sobre la situación y sobre los objetos intervinientes. A este sistema
de prácticas lo identificamos como el significado del objeto. Esta forma de concebir los
significados es lo que concebimos como el carácter pragmático del EOS, pues hacer un
estudio sobre los significados de un objeto matemático, es equivalente a hacer un
estudio de las prácticas matemáticas desarrolladas o, en el caso de una propuesta
didáctica como la presente, hablar de los significados que se pretende construyan los
estudiantes, es hacer una propuesta de las prácticas matemáticas que se espere
desarrollen los mismos.
Cuando un grupo de personas o una comunidad comparten la búsqueda de
soluciones a las mismas situaciones problémicas y desarrollan sistemas de prácticas
matemáticas comunes, a dichos sistemas de prácticas los denominamos significados
institucionales, referidos a dicha comunidad. Pero si los sistemas de prácticas son
desarrollados por un individuo en lo particular, hablamos de significado personal.
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Si pensamos en las implicaciones de esta caracterización de los significados en
los sistemas educativos, podremos distinguir diversas escalas o situaciones en las que es
posible hablar de los significados. Así, en el caso de los significados institucionales,
podemos hablar de los siguientes tipos:
Referencial: Sistema de prácticas que se usa como referencia, regularmente
relativos a una comunidad que se reconoce constituida por “expertos”. En una
institución de enseñanza concreta, este significado de referencia será una parte del
significado holístico del objeto matemático. La determinación de dicho significado
global requiere realizar un estudio histórico-epistemológico sobre el origen y evolución
del objeto en cuestión, así como tener en cuenta la diversidad de contextos de uso donde
se pone en juego dicho objeto.
Pretendido: Regularmente, una vez reconocido un significado de referencia, el
profesor planifica las acciones que llevará al aula, en dependencia de diversos factores,
que incluyen sus propias creencias y concepciones, la caracterización de sus alumnos, el
tiempo disponible para abordar una determinada problemática, por citar algunos.
Consecuentemente con dicha planificación, las prácticas matemáticas que promueve en
el salón de clases no necesariamente se corresponden de manera íntegra con el
significado de referencia previamente establecido y, para distinguir entre uno y otro
caso, nos referimos aquí al significado pretendido.
Implementado: Pudiera pensarse que habiendo determinado o reconocido los
significados institucionales de referencia y los pretendidos, el profesor desarrolla su
actividad docente apegándose 100% a la planificación realizada. Sin embargo, al estar
en el aula siempre surgen situaciones imponderables que obligan a modificar las
actividades y conducen a omitir y/o agregar aspectos que nos llevan a caracterizar que
los sistemas de prácticas que efectivamente promueve el profesor en el aula constituye
el significado institucional implementado por el docente.
Evaluado: Después de un cierto tiempo de trabajo en el aula el profesor realiza
una evaluación que puede incluir valoraciones cotidianas del desempeño de sus
estudiantes, la realización de trabajos extra clase, participaciones conduciendo
actividades frente al grupo, aplicación de exámenes, etc. En este proceso se analizan
algunas prácticas fundamentales que sirven de guía para hacer una evaluación de los
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procesos de enseñanza y de aprendizaje, aunque regularmente se centran más en la
valoración del desempeño por parte de los alumnos (lo cual no consideramos como una
visión restringida de la evaluación). Al conjunto de prácticas que utiliza el docente para
hacer esta evaluación, la reconocemos como significado institucional evaluado.
De forma similar, si centramos nuestra atención en la construcción individual de
significados, podemos considerar diferentes tipos de significados personales,
distinguiendo los siguientes:
Global: corresponde a la totalidad de sistema de prácticas personales que es
capaz de manifestar un individuo respecto de un objeto matemático, sean éstos
“correctos” o no.
Declarado: Son las prácticas efectivamente expresadas acerca de las pruebas de
evaluación propuestas, incluyendo las “correctas” y las “incorrectas” desde el punto de
vista institucional.
Logrado: El conjunto de prácticas manifestadas y que corresponden a la pauta
institucional establecida, los que regularmente caracterizamos como “correctos”.
4.4 OBJETOS MATEMÁTICOS
Cuando enfrentamos una situación problémica, ponemos en juego los
conocimientos que previamente hemos construido y que consideramos útiles para
avanzar. En términos muy generales esos conocimientos los solemos caracterizar como
conceptos y procedimientos algorítmicos. Pero haciendo un análisis más detallados, en
el EOS se han propuesto un conjunto de objetos matemáticos que forman parte de
nuestro conocimiento y que combinados dan lugar a más objetos.
El punto de partida para reconocer los objetos matemáticos es la concepción
global de la matemática, caracterizándola como una actividad de resolución de
problemas, un lenguaje y un cuerpo estructurado y sistematizado de conocimientos.
Así, concebir a la matemática como una actividad de resolución de problemas
nos lleva a reconocer en los problemas y, más generalmente a las situaciones
problémicas como un objeto matemático. Esto es, reconocemos como objetos
matemáticos a las situaciones problémicas porque éstas son, en principio, los objetos de
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estudio de las matemáticas. Para ejemplificar lo que decimos podemos pensar en las
siguientes dos situaciones:
• Determinar las sustancias que se formarán al hacer reaccionar en un laboratorio
hidrógeno con oxígeno.
• Determinar el valor de la suma infinita
La segunda de estas situaciones, la determinación de una suma infinita
específica podemos reconocerla como una situación problémica de matemáticas en tanto
que la primera corresponde más bien a un problema elemental de química. De esta
manera, a la segunda de las situaciones planteadas la reconocemos como un objeto
matemático y así en general con cada situación específica que enfrentemos.
Por otra parte, al referirnos a una situación como la descrita en el segundo punto,
lo hacemos empleando expresiones como “suma”, “infinita” o “ ”, “+”, que, siendo la
que describimos una situación sencilla, quizá puedan pasarnos desapercibidos, pero
constituyen términos o expresiones lingüísticas propias de la matemática que también
podemos reconocer como objetos matemáticos.
Al desarrollar acciones para resolver el problema de determinar el valor de la
suma infinita solicitada, procedemos a realizar diversas acciones, entre ellas podemos
identificar a las siguientes: realizamos transformaciones sobre la expresión 12 14 18 116 132
como pudiera ser el “factorizar ”, o hacemos una gráfica o esquema, quizá elaboremos
una tabla de valores numéricos con las “sumas parciales” que se van formando para
hacer un análisis del comportamiento de las mismas, o quizá empleemos algún recurso
más técnico y específico, pero en general identificaremos aquí también a otros objetos
matemáticos, específicamente a los procedimientos y a las propiedades o proposiciones
sobre los objetos, como la propiedad distributiva que permite que una suma sea
“factorizable”.
Si el problema de la determinación de una suma infinita aparece por primera
ocasión podemos distinguir además que, en un proceso natural, propiedades que son
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válidas en el caso de las sumas finitas se aplican, extrapolándolas en el caso infinito. Por
ejemplo, cuando en el párrafo anterior hablamos de “factorizar ”, aplicando la
propiedad distributiva, es pertinente preguntarnos si dicha propiedad es válida en el caso
infinito. Para analizar dicha situación nos enfrentaremos a la necesidad de generar
argumentos que muy posiblemente no sean los que se emplean en el caso de las sumas
finitas y estamos entonces ante otro tipo de objetos matemáticos reconocibles: Los
argumentos para validar o justificar los procedimientos y propiedades de los objetos.
Asimismo, al resolver situaciones problémicas de un mismo tipo vamos
generando nuevas construcciones matemáticas que vamos reconociendo, generalizando
y abstrayendo, lo cual nos conduce a situar los objetos reconocibles dentro de la
estructura matemática, por medio de definiciones adecuadas que liguen los nuevos
objetos con los anteriormente establecidos. Estos objetos formales los llamamos
regularmente conceptos.
Los objetos matemáticos descritos anteriormente son llamados objetos
matemáticos primarios y las combinaciones de ellos dan lugar también a otros objetos
matemáticos. A manera de resumen, planteamos que los siguientes son los objetos
matemáticos primarios:
Situaciones-problemas: Aplicaciones extra-matemáticas, ejercicios, etc.
Lenguaje: Términos, expresiones, notaciones, gráficos, en sus diversos
registros; es decir, en forma escrita, oral, gestual, etc.
Procedimientos: Algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo, etc.
Proposiciones: Enunciados sobre conceptos.
Argumentos: Enunciados usados para validar o explicar las proposiciones y
procedimientos, deductivos o de otro tipo.
Conceptos-definición: introducidos mediante definiciones o descripciones.
La caracterización de estos objetos primarios nos permite tener un punto de
análisis para determinar las prácticas que se promueven en los currículos escolares, en
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los libros de texto, en el salón de clases y en cualquier otra acción de enseñanza. Pero la
utilidad de identificar los objetos puestos en juego y sus respectivos significados
requiere que hagamos algunas reflexiones adicionales.
Para ello continuaremos ejemplificando con la situación de la determinación del
valor de la serie o suma infinita 12 14 18 116 132
Cuando procedemos a hacer operaciones como factorizar o cualquier otro tipo de
operaciones, estamos haciendo uso de nuestras prácticas para el caso de las sumas
finitas, empleando objetos matemáticos de algún tipo de los seis objetos primarios a que
hemos hecho ya referencia, pero con la característica de que dichos objetos nos son
familiares, nos resultan ya conocidos. A esos objetos los llamaremos objetos
intervinientes.
Al continuar en la resolución del problema vamos creando nuevas formas de
proceder, desde emplear procedimientos específicos como tomar la sucesión de sumas
parciales y estudiar su convergencia para asociarla a la suma infinita misma, hasta la
concepción misma de que existe dicha suma. Vamos entonces generando nuevos
lenguajes, procedimientos, proposiciones, argumentos, conceptos y, por otra parte,
creando nuevas situaciones problémicas. A estas nuevas creaciones las llamaremos
objetos emergentes.
Las implicaciones para la enseñanza de esta distinción son de primera
importancia porque, esquemáticamente, podemos decir que el propósito de la enseñanza
de las matemáticas consiste en la promoción y conducción de resolución de situaciones
problémicas, en el que las prácticas matemáticas hagan emerger nuevos objetos
matemáticos. Esto es, que a partir de un conjunto de prácticas y objetos matemáticos
intervinientes, se desarrollen nuevos sistemas de prácticas de los que emerjan nuevos
objetos matemáticos.
Ahora bien, también podemos identificar que al enfrentar situaciones
problémicas realizamos acciones perceptibles como la escritura de un símbolo, una
gráfica, un gesto, etc. que nos conduce a considerar la existencia de objetos que
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denominaremos ostensivos. Pero también al realizar operaciones entran en juego
acciones que no son perceptibles para los sentidos. Por ejemplo, al escribir 12 14 18 116 132 12 1 12 14 18 116
hacemos uso de la propiedad distributiva de la suma y la multiplicación, por lo cual a
las propiedades regularmente las identificaremos como objetos no ostensivos.
La caracterización de los objetos matemáticos en ostensivos y no ostensivos
permite establecer relaciones en las expresiones usadas en el trabajo matemático y, con
ello, tener elementos para analizar los significados que los sujetos (personas o
instituciones) atribuimos a los objetos.
La identificación de los objetos matemáticos es de importancia primordial en la
caracterización de los procesos matemáticos que se analizan, pero debemos tomar en
cuenta que la consideración de un objeto como primario es meramente relativa, pues
depende de los juegos de lenguaje (marcos institucionales y contextos de uso) en que
participa. Entonces dicho objeto puede estar compuesto por entidades de los otros tipos,
por ejemplo, un argumento puede poner en juego conceptos, proposiciones,
procedimientos, etc. Asimismo, lo que en un caso puede ser un objeto ostensivo en otro
es no ostensivo y viceversa.
Con el propósito de tener elementos para hacer análisis sobre los significados de
los objetos matemáticos, el EOS hace uso de las llamadas funciones semióticas, que se
convierten en una herramienta útil para ello. Siguiendo a Godino y Batanero (2006)
decimos que una función semiótica es la dependencia entre un texto y sus componentes
y entre estos componentes entre sí. Son las correspondencias (relaciones de dependencia
o función) entre un antecedente (expresión, representante) y un consecuente (contenido,
representado), establecidas por un sujeto (persona o institución) de acuerdo con un
cierto criterio o código de correspondencia. Estos códigos pueden ser reglas (hábitos,
convenios) que informan a los sujetos implicados sobre los términos que se deben poner
en correspondencia en las circunstancias fijadas.
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Las funciones semióticas son un instrumento relacional que facilita el estudio
conjunto de la manipulación de ostensivos matemáticos, y del pensamiento que la
acompaña, característico de las prácticas matemáticas.
Sin embargo, a pesar de reconocer la importancia de las funciones semióticas
para hacer análisis de las producciones matemáticas de un sujeto, el carácter de nuestro
trabajo se centrará en el desarrollo de una propuesta de enseñanza de las series
numéricas y estamos más interesados en efectuar análisis globales sobre su utilidad y no
profundizaremos en las significaciones de los objetos que generan los estudiantes, para
lo cual son particularmente útiles las funciones semióticas.
Un análisis global como el que pretendemos realizar puede hacerse
considerando las llamadas configuraciones didácticas y las idoneidades didácticas,
las cuales describiremos brevemente a continuación.
Cuando se lleva a cabo una experiencia didáctica, ya sea en un texto, software,
diseño de un programa de materia, trabajo en el salón de clases o cualquiera otra,
podemos identificar no sólo a los objetos matemáticos que entran en juego, sino a toda
una red de objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y también al
conjunto de relaciones que se establecen entre los mismos.
A esta red la identificamos con el nombre de configuración didáctica y, en
términos generales, reconocemos que las configuraciones didácticas pueden ser de tipo
epistémico (redes de objetos institucionales) o configuraciones cognitivas (redes de
objetos personales).
4.5 CRITERIOS DE IDONEIDAD
Dado nuestro interés en que el aprendizaje de las series numéricas conduzca a
los estudiantes a generar significados personales que estén en conformidad con los
significados institucionales promovidos, lograr la interconexión entre ambos tipos de
configuraciones didácticas se torna un asunto clave y este problema lo abordamos
usando lo que genéricamente denominamos criterio de idoneidad.
Los criterios de idoneidad nos sirven de guía para diseñar y evaluar si una
propuesta cumple con los requerimientos necesarios para clasificarla como “buena”, o
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cualquier otra categoría que consideremos pertinente y adecuada. Entre los criterios de
idoneidad tomaremos en cuenta aspectos cognitivos, didácticos y epistemológicos, pero
también factores de diferente índole, relacionados con las actitudes que se promueven
en los estudiantes, la correspondencia con los planes y programas, los medios de
enseñanza empleados, etc.
Con estos criterios haremos un análisis a priori de nuestra propuesta, en la cual
identificaremos las características que la componen y, posterior a la realización de un
estudio piloto, mediante el trabajo con un grupo de estudiantes de ingeniería, haremos
un análisis a posteriori para identificar elementos que permitan mejorar la propuesta.
Dado que nuestro interés en este trabajo se centra en realizar una propuesta de
desarrollo docente, el análisis a posteriori no tiene el propósito de responder preguntas
formales de investigación, sólo pretendemos tener elementos de evaluación para
mejorar el diseño que hemos realizado.
A continuación, presentamos, a grandes rasgos, los criterios de idoneidad que se
consideran en el EOS.
Idoneidad epistémica: Grado de representatividad de los significados
institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.
Idoneidad cognitiva: Grado en que los significados implementados
(pretendidos) están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la
proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/
implementados.
Idoneidad mediacional: Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos
materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje.
Idoneidad emocional: Grado de implicación, interés y motivación de los
estudiantes.
Idoneidad interaccional: Grado en que los modos de interacción permiten
identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el
aprendizaje.
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Idoneidad ecológica: Grado de adaptación curricular, socio-profesional y conexiones intra e interdisciplinares.
Tomar en cuenta cada uno de estos factores requiere usar algunos puntos
específicos que marquen las pautas para hacer nuestro diseño, tanto en el diseño como
en el análisis de lo sucedido al llevarlo al aula de clases. Esto es, por ejemplo si
consideramos la idoneidad epistémica, ¿cómo nos aseguramos que los significados
institucionales implementados y/o los pretendidos, se corresponden con los significados
institucionales que hemos tomado de referencia? Lo mismo puede decirse en cada uno
de los cinco casos restantes.
Un análisis más fino es posible, tomando en cuenta algunos puntos guías o
descriptores, como se hace en Godino, J. D., et al. (2007), donde para cada una de las
idoneidades se señalan descriptores que responden a interrogantes más puntuales. De
ahí transcribimos íntegramente las siguientes tablas, que resumen dichos descriptores.
Idoneidad epistémica: Grado de representatividad de los significados institucionales
implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.
Tabla 1 Componentes y descriptores de la Idoneidad epistémica COMPONENTES DESCRIPTORES
Situaciones-problema Selección de una muestra representativa y articulada de situaciones de contextualización, ejercitación y aplicación.
Propuesta de situaciones de generación de problemas (problematización).
Lenguaje Uso de diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico...), traducciones y conversiones entre los mismos.
Nivel del lenguaje adecuado a quienes se dirige. Propuesta de situaciones de expresión e interpretación.
Elementos regulativos (Definiciones, proposiciones, procedimientos)
Definiciones y procedimientos clara y correctamente enunciados, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
Presentación de los enunciados y procedimientos fundamentales del tema según el significado de referencia y el nivel educativo.
Propuesta de situaciones para la generación y negociación de las reglas.
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Idoneidad cognitiva: Grado en que los significados implementados (pretendidos) están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/ implementados.
Idoneidad mediacional: Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Tabla 3 Componentes y descriptores de la Idoneidad mediacional COMPONENTES DESCRIPTORES
Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores)
Uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al significado pretendido.
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones.
Argumentos Adecuación de las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel educativo a que se dirigen.
Se promueven momentos de validación. Relaciones (conexiones, significados)
Relación y articulación significativa de los objetos matemáticos puestos en juego (situaciones, lenguaje, reglas, argumentos) y las distintas configuraciones en que se organizan.
Tabla 2 Componentes y descriptores de la Idoneidad cognitiva COMPONENTES DESCRIPTORES
Conocimientos previos (Componentes similares a la dimensión epistémica)
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su estudio).
Los significados pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo.
Aprendizaje Los diversos modos de evaluación muestran la apropiación de los conocimientos / competencias pretendidas o implementadas.
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Número de alumnos, horario y condiciones del aula
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la enseñanza pretendida.
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas las sesiones a última hora). El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo del proceso instruccional pretendido.
Tiempo (De enseñanza colectiva /tutorización; tiempo de aprendizaje)
Adecuación de los significados pretendidos /implementados al tiempo disponible (presencial y no presencial).
Inversión del tiempo en los contenidos más importantes o nucleares del tema.
Inversión del tiempo en los contenidos que presentan más dificultad.
Idoneidad emocional: Grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes.
Tabla 4 Componentes y descriptores de la Idoneidad emocional COMPONENTES DESCRIPTORES
Intereses y necesidades
Selección de tareas de interés para los alumnos. Proposición de situaciones que permitan valorar la utilidad
de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional Actitudes Promoción de la implicación en las actividades, la
perseverancia, responsabilidad, etc. Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad;
el argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice. Emociones Promoción de la autoestima, evitando el rechazo, fobia o
miedo a las matemáticas. Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las
matemáticas.
Idoneidad interaccional: Grado en que los modos de interacción permiten identificar y
resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje.
Tabla 5 Componentes y descriptores de la Idoneidad interaccional COMPONENTES DESCRIPTORES
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Interacción docente-discente
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos clave del tema, etc.)
Se reconocen y resuelven los conflictos de significado de los alumnos (se interpretan correctamente los silencios de los alumnos, sus expresiones faciales, sus preguntas, se hace un juego de preguntas y respuestas adecuado, etc.)
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para
implicar y captar la atención de los alumnos. Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la
clase y no la exclusión Interacción entre discentes
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes.
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. Autonomía Se contemplan momentos en los que los estudiantes
asumen la responsabilidad del estudio (exploración, formulación y validación)
Evaluación formativa Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
Idoneidad ecológica: Grado de adaptación curricular, socio-profesional y conexiones
intra e interdisciplinares.
Tabla 6 Componentes y descriptores de la Idoneidad ecológica COMPONENTES DESCRIPTORES
Adaptación al currículo
Los significados, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
Apertura hacia la innovación didáctica
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
Adaptación socio- profesional y cultural
Los significados contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
Conexiones intra e interdisciplinares
Los significados se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
4.6 SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES DE REFERENCIA
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En nuestro trabajo plantearemos una secuencia de actividades para el
aprendizaje de las series y en ella plasmaremos, implícita o explícitamente, los
significados que promoveremos y que, por lo tanto deberemos identificar como los
significados institucionales pretendidos.
Sin embargo, identificaremos primero cuáles son los significados institucionales
de referencia, los cuales no compartimos plenamente pero son los establecidos
oficialmente y que retomamos de los libros de texto sugeridos en la bibliografía
señalada en el programa oficial del curso “Cálculo Diferencial e Integral II” del
Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora, para las carreras de la
División de Ingeniería.
Los textos que fueron revisados son los siguientes, incluyendo libros y programa
oficial del curso:
• El Contenido del Tema de Series del Programa de la Materia Cálculo Diferencial
e Integral II (Cálculo II)
• El Contenido de Series del Libro “El Cálculo”, Séptima Edición, de Louis
Leithold
• El Contenido de Series del Libro “Cálculo I”, Octava Edición, de Larson,
Hostetler y Edwards
• El Contenido de Series del Libro “Cálculo, Varias Variables”, Undécima
Edición, de Thomas
• El Contenido de Series del Libro “Fundamentos del CALCULO”, de Rubén
Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón y
Martín Gildardo García Alvarado
• El Contenido de Series del Libro “Cálculo Diferencial e Integral II”, de Eduardo
Tellechea Armenta
El programa de Cálculo II, en el Tema de Series, marca un tiempo de 15 Horas
para su desarrollo. Es el Tema 2 de dicho programa y es sumamente comprimido, en
mucho se limita a enumerar los temas que deben cubrirse, adicionados con una versión
interesante, resultante de establecer algunas habilidades específicas que se espera
desarrolle el estudiante. Sin embargo, una revisión cuidadosa de dichas habilidades nos
permite ver que en realidad es un agregado más de temas a desarrollar.
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En el programa primero aparecen los siguientes
OBJETIVOS TEMÁTICOS:
Explicar el concepto de serie numérica y representar funciones por medio de
series de potencias.
Posteriormente se señalan los temas a tratar:
2. SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS
2.1 Definición y ejemplos
2.2 Convergencia de la serie geométrica y divergencia de la serie armónica
2.3 Criterios de comparación, de la raíz y del cociente
2.4 Criterio de Leibnitz para series alternantes
2.5 Convergencia absoluta
2.6 Series de Taylor
2.7 Derivación e integración de series de potencias
Por último, se indican las siguientes
HABILIDADES ESPECÍFICAS:
Calcular el valor de series geométricas y telescópicas
Determinar la convergencia de series utilizando los criterios de convergencia
La Serie de Taylor
Representar funciones por medio de series de potencias
Determinar la serie de potencias de una función dada, utilizando las propiedades de
derivación e integración de series de potencias
Resolver ecuaciones diferenciales elementales por el método de las series de potencias
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Con la finalidad de establecer un análisis un poco más profundo de lo que este
programa representa, hicimos una caracterización de los elementos de significado que
resultan del mismo, identificando los objetos primarios que forman parte de la propuesta
curricular y que escribimos en los siguientes cuadros.
Tabla 7 Situaciones
SITUACIONES 1.- ¿Cuál es la definición de Serie Numérica?
2.- Dé ejemplos de series numéricas.
3.- ¿Qué significa que una serie sea convergente?
4.- ¿Qué significa que una serie sea divergente?
5.- ¿Qué es una serie geométrica?
6.- ¿Cuándo es convergente una serie geométrica?
7.- ¿Cuál es el valor de una serie geométrica convergente?
8.- ¿Cuál es la serie armónica?
9.- Demuestre que la serie armónica es divergente.
11.- ¿Qué es una serie telescópica?
12.- Calcular el valor de una serie telescópica.
13.- ¿Cuáles son los criterios de convergencia de Series?
14.- Determine la convergencia o divergencia de series, usando los criterios de convergencia para Series.
15.- ¿Qué es una Serie de Taylor?
16.- ¿Qué es una Serie de Potencias?
17.- Represente funciones por medio de Series de Potencias.
18.- Derive series de potencias.
19.- Integre series de potencias.
20.- Resuelva ecuaciones diferenciales elementales por medio de series de potencias.
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Tabla 8 Lenguaje
LENGUAJE Verbal:
Series numéricas, Series de Potencias, Convergencia, Serie geométrica, Divergencia, Serie Armónica, Criterio de Comparación, Criterio de la raíz, Criterio del Cociente, Criterio de Leibniz, Serie Alternante, Convergencia absoluta, Series de Taylor, Derivación e Integración de Series de Potencias.
Tabla 9 Procedimientos
PROCEDIMIENTOS
1.- El Criterio de Comparación para determinar la convergencia de una Serie.
2.- El Criterio de Comparación para determinar la divergencia de una Serie.
3.- El Criterio del Cociente para determinar la convergencia de una Serie.
4.- El Criterio del Cociente para determinar la divergencia de una Serie.
5.- El Criterio de la Raíz para determinar la convergencia de una Serie.
6.- El Criterio de la Raíz para determinar la divergencia de una Serie.
7.- El Criterio de Leibniz para determinar la convergencia de una Serie Alternante.
8.- El Método de las Series de Potencias para resolver ecuaciones diferenciales elementales.
9.- Representación de funciones por medio de Series de Potencias.
10.- Determinación de la serie de potencias de una función usando la derivación e integración de otras series de potencias.
Tabla 10 Propiedades PROPIEDADES
1.- La convergencia de la Serie Geométrica.
2.- La divergencia de la Serie Armónica.
3.- Propiedades de derivación e integración de series de potencias.
4.- La Derivación de una serie de potencias.
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5.- La Integración de una serie de potencias.
6.- Representatividad de una función por medio de series de potencias.
Tabla 11 Argumentos
ARGUMENTOS
No se presentan argumentos.
Tabla 12 Conceptos
CONCEPTOS
Previos:
1.- Derivada de una función.
2.- Integral de una función.
3.- Sucesión de números reales.
4.- Límite de una Sucesión de números reales.
5.- El Teorema de Taylor con residuo.
Emergentes:
1.- Series Numéricas.
2.- Series de Potencias.
3.- Convergencia de una Serie.
4.- Serie Geométrica.
5.- Serie Armónica.
6.- Criterios de Comparación.
7.- Criterio de la Raíz.
8.- Criterio del Cociente.
9.- Series Alternantes.
10.- Criterio de Leibniz para series alternantes.
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11.- Convergencia absoluta.
12.- Series de Taylor.
13.- Serie Telescópica.
14.- Ecuaciones diferenciales elementales.
En términos generales nos parece que el programa se centra exclusivamente en
una presentación intra matemática del tema de series, lo cual en algún sentido es
comprensible, toda vez que las series son de aplicación en casos de esta naturaleza,
como la representación de funciones en series de potencias y la resolución de
ecuaciones diferenciales, pero eso no significa que no puedan buscarse mecanismos de
hacer más atrayente el tema para los estudiantes.
La propuesta curricular se centra entonces en el planteamiento de situaciones
que en principio consisten en la caracterización de una suma infinita, de tipo conceptual,
identificación de algunos tipos de series relevantes y, seguida después por un conjunto
de procedimientos algorítmicos para la determinación de la convergencia o divergencia
de las series numéricas, y en los casos donde sea posible, la determinación de la suma
(como en el caso de las series geométricas).
El programa cubre un gran número de casos de series y de criterios para la
determinación de la convergencia o no de las series, evidenciando indirectamente el
propósito mecanicista-algorítmico al plantear que el tema sea cubierto en tan sólo 15
horas.
Una revisión de la bibliografía propuesta nos conduce a fortalecer esta visión y,
como ejemplo, hacemos a continuación un análisis breve del texto de Leithold
previamente señalado, y, aunque hicimos un estudio más completo, identificando cinco
configuraciones epistémicas, sólo presentamos la primera de ellas, correspondiente a la
introducción al tema y el tratamiento de las series de términos positivos.
Tabla 13 Situaciones
SITUACIONES
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1.- Problema matemático planteado verbalmente respecto a un objeto matemático emergente: Sumas infinitas de números, para tratar de definirlo y justificar su existencia. 2.- Problema matemático planteado en lenguaje verbal y simbólico de una serie para mostrar el manejo de conceptos como términos de la sucesión de sumas parciales y fórmula para la sucesión de sumas parciales de la serie ∑ ∑ 3.- Problema matemático planteado en lenguaje verbal y simbólico para ejemplificar el manejo del concepto de convergencia: Hallar el Sn para el problema de la cuerda y su suma. 4.- Problema matemático planteado en lenguaje verbal para el manejo de lenguaje simbólico de la notación sigma para series y el concepto de convergencia: Determinar si la serie ∑∞ es convergente. 5.- Problema matemático planteado en lenguaje verbal y simbólico: Expresar con notación sigma la serie cuya Sn =1/2n y determinar si es convergente o divergente. 6.- Problema matemático planteado en lenguaje verbal: Demostrar que la serie armónica es divergente. 7.- Un problema de tipo numérico, expresado en lenguaje verbal: Expresar 0.333… como una fracción común. 8.- Un problema matemático en lenguaje verbal y simbólico: Determine si la serie ∑ es convergente o divergente. 9.- Se plantea un problema matemático en forma verbal y simbólica: Determine si la serie ∑ es convergente o divergente. 10.- Se plantean dos situaciones-problema, en lenguaje verbal y simbólico para ejemplificar los teoremas anteriores: a)Determine si la serie ∑ es convergente o divergente
b)Determine si la serie ∑ es convergente o divergente
Tabla 14 Lenguaje LENGUAJE Verbal: Suma infinita, Serie infinita, Sucesión de Sumas Parciales, Términos de una serie infinita, etc. Simbólico: ∑ , {sn}, , , Simbólico Algebraico = + + + . . . + Gráfico: Gráfica vi-dimensional
Tabla 15 Propiedades PROPIEDADES 1.- Se enuncia una propiedad de las series convergentes en lenguaje verbal que establece que la sucesión correspondiente a una serie convergente, converge a cero. 2.- Se enuncia en lenguaje simbólico y verbal que la serie geométrica converge para valores de r tales que | |<1 y diverge para valores de r tales que | | 1. 3.- Se enuncian en forma verbal dos propiedades:
36
a)Si una serie es convergente entonces cualquier múltiplo constante de la serie es una serie convergente b)Si una serie es divergente entonces cualquier múltiplo constante de la serie es una serie divergente 4.- Se enuncian dos propiedades en forma verbal: La suma y diferencia de series convergente también son series convergentes. 5.- Se enuncia una propiedad en forma verbal: La suma de una serie convergente y una divergente es una serie divergente. 6.- Se enuncia una propiedad en forma verbal: Si dos series difieren en sus primero términos entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes.
Tabla 16 Argumentos ARGUMENTOS 1.- Se argumenta la existencia de las series por medio de un ejemplo ilustrativo: Se tiene un trozo de cuerda de 2 pies de longitud y se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad, de modo que se obtienen dos trozos, cada uno de ¼ pie de longitud. Uno de los trozos de ¼ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud. Otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este procedimiento en forma indefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse una suma infinita. 2.- Se ejemplifican con lenguaje verbal y simbólico los conceptos de Serie infinita, Sucesión de sumas parciales y términos de una serie: Se ejemplifican las definiciones anteriores: Considere la sucesión {1/2n-1}: 1,1/2,1/4,1/8,1/16…1/2n-1… A partir de esta sucesión se forma la sucesión de sumas parciales: S1 = 1, s2=1+1/2=3/2, s3=1+1/2+1/4=7/4, s4=1+1/2+1/4+1/8=15/8, s5=1+1/2+1/4+1/8+1/16=31/16,… sn=1+1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/2n-1 , esta sucesión de sumas parciales {sn} es la serie infinita denotada por 12 1 12 14 18 116 12
Observe que esta es la suma infinita que corresponde al argumento anterior. 3.- Se argumenta en forma verbal y simbólica la situación 2, calculando los 4 primeros términos de la serie ∑ ∑ y una fórmula para la Sucesión de sumas parciales de dicha serie: S1=1/2, S2=2/3, S3=3/4, S4=4/5 Como 1/n(n+1) = 1/n – 1/(n+1) entonces Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/n-1/(n+1)) Entonces Sn=1-1/(n+1) , y se aclara que esa situación no es lo que ocurre de manera general con todas las series, y se especifica que es un tipo especial de serie. 4.- Se argumenta con lenguaje verbal, lenguaje simbólico y lenguaje simbólico algebraico, cómo se llega a la sucesión de sumas parciales de la serie que corresponde al problema de la cuerda: Se usa la identidad algebraica:
Para mostrar que:
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Sn =1+1/2+1/4+1/8+…+1/2n-1 = (1-1/2n)/ (1/2) y tomando límite cuando n tiende a infinito el resultado es 2 y por lo tanto la suma de la serie es 2. 5.- Se argumenta con lenguaje verbal y simbólico cómo se llega al resultado de que la serie del problema (4) es convergente y converge a 1: Ya se mostró que la sucesión de sumas parciales de la serie es Sn =1-1/(n+1) y si tomamos límite cuando n tiende a infinito se obtiene como resultado que la suma de la serie es 1 y por lo tanto la serie es convergente. 6.- Se argumenta con lenguaje verbal y simbólico para obtener el Sn y mostrar que la serie es convergente: Cómo s1 = ½ entonces u1 = ½. Si n>1, entonces un=sn – sn-1 = 1/2n – 1/2n-1 = -1/2n por lo tanto la serie es ½ - ∑∞ y si tomamos el límite cuando n tiende a infinito de Sn el resultado es cero, la serie es convergente y su suma es cero. 7.- Se argumenta en forma verbal y simbólica, porque se cumple la propiedad (1): Usando como argumento que un = Sn – Sn-1 y si tomamos límite cuando n tiende a infinito de un entonces sería cero porque tanto Sn como Sn-1 tienen el mismo límite que es la suma de la serie. 8.- Se argumenta en forma verbal y simbólica mediante ejemplos, el resultado anterior: Ejemplos:
a) La serie ∑ 2 es divergente porque el límite de un no es cero.
b) La serie ∑ 1 3 es divergente porque no tiene límite. c) Se hace la aclaración de que el reciproco del teorema es falso, es decir, existen series tales que un tiende a cero cuando n tiende a infinito y sin embargo son divergentes, como la serie armónica ∑ = 1+1/2+1/3+… 9.- Se usa un argumento de tipo geométrico para mostrar que la serie armónica es divergente: El n-ésimo término, 1/n, de la serie armónica puede interpretarse geométricamente como el número de unidades cuadradas del área de un rectángulo que tiene de ancho 1 unidad y una altura 1/n. Vea la figura 2, la cual muestra n rectángulos que circunscriben la región limitada superiormente por la gráfica de 1/x, inferiormente por el eje X y lateralmente por las rectas x=1 y x=n+1.
Figura 2
La suma de las áreas de los n rectángulos es 1+1/2+1/3+…+1/n la cual es la Sn de la serie armónica. El área de la región es 1 ln 1
Por lo tanto Sn >ln(n+1) de modo que la sucesión Sn no está acotada y por lo tanto la serie armónica diverge. 10.- Se argumenta en forma verbal y simbólica, el resultado de la propiedad (2): La n-ésima suma parcial de la serie geométrica esta dada por:
38
1 De la identidad 1 1 1 se puede escribir que 11 1
El límite cuando n tiende a infinito de 0 | | 1 y por lo tanto sn tiende a cuando n tiende a infinito. Si r=1 o r=-1, el límite del n-ésimo término no es cero y por lo tanto diverge. Si | | 1, limite cuando n tiende a infinito del termino n-ésimo seria a por el límite de arn-1 y es claro que no es cero. 11.- Se argumenta la solución de la situación (7): Se desarrolla como sigue: 0.333…= 3/10 + 3/100+ 3/1000 +…+3/10n+… Que es una serie geométrica en la cual a=3/10 y r=1/10. Entonces 0.333…=(3/10)/(1-(1/10))=1/3. 12.- Se argumenta con lenguaje verbal y simbólico la propiedad (3): (a) Sea Sn la n-ésima suma parcial de la serie ∑ . Por lo tanto, sn = u1+u2+u3+…un. La n-ésima suma parcial de la serie ∑ es c (u1+u2+u3+…un)=csn. Entonces su límite cuando n tiende a infinito sería c por el límite de sn digamos cS. (b) Si la serie es divergente el límite de sn no existe y entonces csn cuando n tiende a infinito no tendría límite. 13.- Se argumenta la situación (8): Se muestra que la serie es ¼ por la serie armónica y por lo tanto es divergente. 14.- Se proponen como ejercicios extra-clase las demostraciones de las propiedades (4). 15.- Se enuncia un argumento de tipo verbal para la propiedad (5): Se supone que la suma es convergente y se llega a la contradicción de que las dos series son convergentes 16.- Se argumenta en forma verbal la situación (9): Como la serie se puede poner como la suma de una serie divergente y una convergente entonces se llega a la conclusión de que la serie es divergente de acuerdo al teorema anterior. 17.- Se argumenta en forma verbal la propiedad (6): Se usa el argumento de que si quitamos esos términos, la suma si es finita seguirá siendo finita sin un número finito de términos y si es infinita seguirá siendo infinita sin ellos. 18.- Se argumenta la situación (10): (a)Si comparamos la serie con la serie armónica solo difiere de ella en los primero 4 términos por lo tanto es divergente (b)Como la serie difiere de una serie geométrica convergente con a=2/3 y r=1/3, solo en cinco términos se concluye que la serie es convergente
Tabla 17 Conceptos
CONCEPTOS Previos:
1.- Sucesión de números reales: Un conjunto de números reales obtenidos por medio de una regla como función de los números naturales 2.- Sumas finitas de números reales: Sumas de números reales que se obtienen con base en una sucesión al sumar uno, dos, tres, etc., términos de dicha sucesión
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3.- Identidad algebraica: que se obtiene a
partir de la regla del binomio o binomio de Newton Emergentes:
1.- Suma infinita: Una suma infinita de números reales es una suma de la forma ∑ = + + + . . . + + . . ., 2.- Serie: Definida como una suma infinita de números reales 3.- Serie infinita: Una Serie 4.- Sumas parciales: Las que se obtienen al sumar uno, dos, tres, etc., términos de una Serie 5.- Sucesión de sumas parciales: La sucesión de números que representan a las sumas parciales de una serie 6.- La Serie Armónica: Emerge como ejemplo de un caso donde la sucesión correspondiente converge a cero, pero la serie es divergente 7.- Serie Geométrica: Una serie de la forma ∑ donde r es un número real.
Como puede observarse, aunque aquí los aspectos matemáticos tengan mucho
más detalle que en el caso del programa de materia, el tipo de tratamiento es similar y,
desde nuestro punto de vista, poco atrayente para los estudiantes.
Una forma alternativa de presentar el tema de Series puede hacerse partiendo de
situaciones problemas más interesantes para los estudiantes, que si bien es difícil que en
cada caso se resuelvan problemas de naturaleza práctica extra matemática, pueden
hacerse partiendo de situaciones más familiares o en contextos físicos y geométricos.
4.7 ESTRATEGIA METODOLÓGICA
Como ya se dijo anteriormente, después de aplicar un cuestionario a estudiantes
de las carreras de Ingeniería de la Universidad de Sonora, detectamos dificultades que
ponían de manifiesto la existencia de problemas para enfrentar y resolver
adecuadamente la situación planteada en la exploración.
Los significados personales que dichos estudiantes mostraban respecto a las
series, estaban muy lejanos de los significados institucionales promovidos, usaban
procedimientos incompletos y no hacían uso de las prácticas matemáticas que se
esperaba encontrar, de acuerdo a los planteamientos del programa de la materia Cálculo
diferencial e integral II y la bibliografía sugerida por dicho programa.
40
Otro de los aspectos que detectamos es que no utilizaron el lenguaje que se usa
para denotar a las sumas infinitas, es decir, un lenguaje propio de las Series. Inclusive
no aparecían en sus respuestas términos, conceptos o argumentos relacionados con el
objeto Serie.
Los resultados obtenidos en el estudio exploratorio reforzaron nuestra
convicción de que la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las series
representaban retos que valía la pena enfrentar y nos dimos a la tarea de profundizar en
el conocimiento de la problemática.
Así como se reporta en el capítulo anterior, encontramos que otros autores
señalan la existencia de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de las series
similar a la detectada por nosotros.
Estas dificultades se reportan desde investigaciones realizadas con marcos
teóricos diferentes y nuestra siguiente tarea consistió precisamente en tomar una
decisión sobre el enfoque que nosotros emplearíamos, tomando en cuenta que el
propósito era realizar un trabajo de desarrollo docente.
Dicho enfoque teórico debería permitirnos realizar las siguientes acciones:
• Analizar la problemática detectada.
• Determinar cuales eran los significados que a nuestro juicio se deben promover
en la enseñanza de las series.
• Diseñar una propuesta de enseñanza que, basada en el marco teórico elegido,
promoviera el acercamiento de los significados personales construidos por los
estudiantes respecto al objeto series a los significados institucionales que de
acuerdo con dicho marco teórico, son los significados de referencia que se deben
pretender implementar en el aula.
• Hacer un análisis a priori de la propuesta, y también un análisis a posteriori de
un pilotaje de una parte de la propuesta, con el fin de mejorarla.
El marco teórico elegido fue Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la
Instrucción Matemática (EOS), ya que cumple con los requisitos para llevar a cabo
todas las acciones mencionadas anteriormente. Una vez hecho lo anterior, tratamos de
41
profundizar en los constructos teóricos del EOS que pensamos eran los necesarios para
el trabajo que estábamos desarrollando.
A grandes rasgos los elementos que tomamos en cuenta: los sistemas de
prácticas, el significado de un objeto matemático (institucional y personal), la
caracterización de los objetos matemáticos, las configuraciones didácticas y los criterios
de idoneidad.
Un paso previo a la escritura de nuestra propuesta fue la caracterización del
significado institucional de referencia, que en este caso, lo encontramos en el Programa
de la Materia Calculo diferencial e integral II, en la bibliografía sugerida por el
programa, en las entrevistas hechas a los profesores de las carreras de ingeniería y en las
concepciones personales nuestras. Una vez que se analizaron todos estos elementos,
procedimos a determinar con mayor profundidad el significado institucional de
referencia para la enseñanza de series en las carreras de ingeniería de la Universidad de
Sonora.
En el capítulo siguiente haremos la presentación de la propuesta y la forma en la
cual estos elementos fueron incorporados, pero también nos pareció adecuado elaborar
un esquema general de los puntos que deberían ser desarrollados en la propuesta,
partiendo de situaciones problema más interesantes para los estudiantes, que si bien es
difícil que en cada caso se resuelvan problemas de naturaleza práctica extra matemática,
pueden hacerse partiendo de situaciones más familiares o en contextos físicos y
geométricos.
En general nos proponemos el impulso de una propuesta que se ajustara al siguiente
orden:
1.- Introducir la noción de serie.
El objeto serie, concebido en principio como una suma infinita de números,
puede introducirse mediante el planteamiento de un problema donde se involucre
precisamente un proceso infinito de sumar.
Hicimos entonces el diseño de lo que denominamos “El problema de Carlita”,
consistente en hallar la suma de las áreas de todos los cuadrados que se pueden construir
42
a partir de un primer cuadrado de área uno, uniendo los puntos medios de los lados de
sus vértices, y así sucesivamente.
Cuando se intenta encontrar el área del segundo cuadrado, se observa que su
área es la mitad del área del primer cuadrado, y como el tercer cuadrado se construye a
partir del segundo cuadrado, en la misma forma que se obtuvo el segundo, entonces
también su área es la mitad del área del segundo cuadrado, y así sucesivamente, de tal
manera que si empezamos sumando el área del primer cuadrado que es uno, y luego la
del segundo que es , y luego la del tercero que es , y así sucesivamente, se obtiene
una suma infinita de números de la forma: 12 14 18 116 132
Después de plantear este problema, vemos que su solución depende de una suma
infinita de números. Podemos aprovechar aquí para hablar ya de sumas infinitas y
definirlas como series y usar el lenguaje que se usa comúnmente, el de las sumatorias
para representar series. Podemos apoyarnos en otros problemas para que una vez que el
alumno construya un significado de este objeto, también vaya construyendo un
significado de la convergencia de series.
2.- Introducir la noción de Convergencia de una Serie.
Planteamos el problema de encontrar la representación decimal de . Una vez
que los alumnos obtienen como representación decimal de , 0.333…, les pedimos que
escriban dicha representación como una suma infinita de decimales, de la forma
.3+.03+.003+… y después les pedimos que representen cada decimal como cociente de
un entero entre una potencia de 10, y la representamos como
sumatoria
13
43
Esta sumatoria representa una Serie y de acuerdo a como fuimos obteniendo las
distintas representaciones de ella, esta serie proviene del número , por lo tanto, dicha
serie converge a .
Inmediatamente después, podemos plantear a los alumnos como definir la
convergencia de una serie, de acuerdo a lo que le hemos mostrado hasta este momento.
Se puede dejar a los estudiantes que lo hagan por equipo y luego conducir un
intercambio de opiniones respecto a cual debe ser tal definición.
Después podemos mostrarle que así como la serie anterior es convergente, hay
otras series que no lo son, por ejemplo, la serie 1+(-1)+1+(-1)+…, cuya representación
como sumatoria es:
1
y plantearle como problema, que diga si la serie anterior es convergente o no es
convergente, de acuerdo a la definición consensada anteriormente.
Después de esto, ya podemos hacer un resumen de lo obtenido y resaltar los
significados mas relevantes.
3.- Introducir la noción de Serie Geométrica.
Podemos introducir la noción de Serie Geométrica, resaltando la forma que tiene
la serie del problema de la suma de las áreas de los cuadrados. Luego podemos también
hacer la observación que la serie que corresponde al número racional 1/3, también
representa una serie de la misma forma y que también es una Serie Geométrica. En la
propuesta hay varios problemas que se plantean en términos de series geométricas.
4.- Introducir la noción de Serie Armónica.
Para introducir la Serie Armónica, podemos usar el problema de la torre
inclinada, que trata sobre una cantidad fija de ladrillos, podemos empezar con 3,
colocados en la orilla de una mesa, de tal manera que el ladrillo que está mas abajo
44
(exactamente encima de la mesa), se coloca perpendicular a la orilla de la mesa, y se
recorre fuera de la mesa lo más posible, luego colocamos exactamente encima de él, el
segundo ladrillo, y hacemos lo correspondiente, lo recorremos hacia el precipicio todo
lo más posible, y así sucesivamente con los siguientes ladrillos. El problema consiste en
encontrar la distancia máxima que se puede desplazar la pila de ladrillos fuera de la
mesa.
5.- Determinar cuando una Serie Geométrica es convergente.
Para determinar cuando una serie geométrica es convergente y cuando es
divergente, podemos empezar observando lo que ha pasado con todas las series
geométricas citadas en todos los problemas planteados hasta este momento. Si nos
fijamos, en todos los problemas que involucran series geométricas, siempre ha emergido
una serie geométrica convergente, entonces podemos tratar de obtener un patrón de
convergencia en base a dichas series. Observamos, la definición de serie geométrica, y
establecemos para qué valores de r, dicha series son convergentes. Luego podemos
introducir algún problema, como el de las esferas, que es un problema propuesto en el
cuadernillo, y observamos que para valores de r menores que 1, la serie geométrica
converge, para r=1, diverge y para valores de r mayores que uno también diverge.
6.- Analizar la Serie Armónica para determinar su divergencia.
Una vez introducida la serie armónica por medio del problema de la torre
inclinada, podemos tratar de ver si la serie es convergente o divergente. Primero
observemos que satisface la condición necesaria más no suficiente de convergencia, que
es: su término n-ésimo converge a cero, es decir la sucesión asociada a la serie armónica
es convergente y converge a cero. Si observamos además los primeros términos de la
sucesión de sumas parciales, estos no crecen rápido, inclusive podemos observar que
para que dicha sucesión pase del valor 20, es necesario tomar un número muy grande de
términos, aproximadamente 238 términos. Pero existe una manera de asociar los
términos de la serie armónica que nos permite ver que la 2n-ésima suma parcial es
mayor que 1 , y si tomamos el límite cuando n tiende a infinito, esta última sucesión
diverge y por lo tanto la sucesión de sumas parciales de la serie armónica diverge y de
ahí podemos concluir que la serie armónica es divergente.
45
7.- Estudiar criterios de convergencia para Series de Términos Positivos o No-
negativos.
Aquí el problema general es el de tratar de determinar si una serie es
convergente o divergente. Entonces podemos empezar con un criterio muy sencillo, que
es más bien un criterio para tratar de determinar si una serie es divergente o no. El
criterio dice que si el término n-ésimo de una serie no converge a cero entonces la serie
es divergente. Es decir que una condición necesaria, más no suficiente, para que una
serie converja es que su término n-ésimo converja a cero. Este criterio lo podemos
abordar con problemas que involucren series cuyo término n-ésimo no converja a cero.
Luego de una manera muy intuitiva, llevar al alumno a que trate de concluir cual sería la
razón de que esto suceda.
Después podemos introducir los criterios de comparación, por se más intuitivos.
A partir de series que ya conocemos y que sabemos que son convergentes, podemos
compararlas con la serie cuya convergencia deseamos determinar. Si la serie en cuestión
es comparativamente más pequeña que la serie convergente, entonces el criterio dice
que la serie también es convergente. De forma análoga usamos las series divergentes
para hacer comparaciones. Si una serie es comparativamente más grande que una serie
divergente, entonces también dicha serie es divergente.
Enseguida podemos tratar de introducir el criterio del cociente, que ya no es tan
intuitivo. Podemos empezar con problemas muy sencillos, inclusive con series que ya
sabemos si son convergentes o divergentes, y aplicar de manera intuitiva el criterio, para
tratar de inducir en el alumno ideas que lo lleven a obtener resultados
8.- Introducir la noción de Serie Alternante.
El concepto de Serie Alternante es más analítico que práctico. Pero se puede
introducir mediante un problema como el siguiente: Un hombre, padre de familia,
decide darle la mitad del dinero que posee a su primogénito, que está próximo a casarse,
pero a su hijo no le parece justo, porque su padre tiene otras dos hijas, y le devuelve la
mitad del dinero que su padre le dio, y su padre viendo su nobleza, le devuelve la mitad
del dinero que su hijo le devolvió, y así sucesivamente, se siguen devolviendo la mitad
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de lo que el otro le devuelve. ¿Con cuál cantidad de dinero se queda finalmente el
padre?
9.- Estudiar el criterio de convergencia para Series Alternantes debido a Leibniz.
Este criterio dice que si en una serie alternante de la forma ∑ 1∞ ó ∑ 1∞ ,
se cumple que
0 y ,
para todos los números enteros positivos n, y lim ∞ 0,
entonces la serie alternante es convergente.
Se puede empezar abriendo una discusión entre los estudiantes respecto a las
condiciones que pide el criterio para que una serie alternante sea convergente. Tratar de
visualizar de manera intuitiva la consecuencia de la convergencia cuando se cumplen
dichas condiciones. Verificar con algunas series alternantes convergentes, que cuando
se cumplen esas condiciones la consecuencia natural es la convergencia de dichas
series.
Podemos también usa el problema anterior, para analizar si se cumplen las
condiciones del criterio de Leibniz. Observamos que las condiciones se cumplen.
Además en el subtema anterior, debe haberse obtenido la suma de la serie, lo cual
implica que la serie es convergente. Luego podemos comparar con otra serie alternante
que sea divergente y verificar que no se cumplen todas las condiciones del teorema
anterior.
10.- Estudiar y analizar el concepto de Convergencia Absoluta.
También aquí se puede empezar con una serie alternante convergente, verificar
que la serie de los valores absolutos de sus términos es convergente, y a partir de ello,
enunciar el concepto de Convergencia Absoluta. Abrir una ronda de discusión entre los
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estudiantes para que analicen el concepto, haciendo comparaciones entre series que son
absolutamente convergentes y series que no lo son, para identificar condiciones para
que dichas series sean o no absolutamente convergentes.
11.- Hacer un resumen de procedimientos para analizar la convergencia o divergencia
de una serie.
El resumen se puede hacer proponiendo a los estudiantes que hagan una lista de
procedimientos que ellos hayan primeramente detectado en todas las actividades
anteriores. Luego todos los procedimientos que hallan construido a partir de las
experiencias con todas las series que analizaron. Este resumen puede contener lo
siguiente:
a) Desarrollar las primeras sumas parciales de la serie en cuestión, para tratar de
visualizar su comportamiento, es decir, si se puede reconocer la sucesión de
sumas parciales para tratar de obtener su límite, o simplemente conocer los
primeros términos de la serie, así como de la sucesión de sumas parciales
correspondiente.
b) Verificar si la serie corresponde a algunos de los tipos de series conocidos,
como: Series Geométricas, Serie Armónica, Series P, Serie Alternante, Serie
Absolutamente Convergente, etc.
c) Aplicar los criterios de convergencia si lo que se sospecha es que la serie es
convergente, o los criterios de divergencia si se intuye que la serie es divergente,
esto puede empezar, calculando el límite de la sucesión de los términos de dicha
serie.
d) Sugerirle al estudiante que el mismo haga una lista de pasos que en lo personal
suponga que es la más conveniente, y luego pedirles que las compartan con los
demás para tratar de llegar a un consenso, respecto a esa serie de pasos para el
estudio de la convergencia de una serie.
e) Sugerirle al alumno que piense en problemas de la vida real, en cuya solución
estén involucradas las series y pedirles que redacten problemas de ese tipo.
f) Que cada uno de ellos presente un problema con su solución, donde se vea la
aplicación de todo lo que se ha revisado respecto a series y su convergencia.
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Todos estos contenidos, que se convierten en significados institucionales
(pretendidos), se pueden tratar de generar a partir del planteamiento de situaciones-
problema, tanto intra-matemáticos como extra-matemáticos.
La propuesta es una sugerencia para tratar de lograr que se generen significados
personales adecuados en los estudiantes de las distintas carreras de Ingeniería de la
Universidad de Sonora. Es decir, que los estudiantes construyan significados personales
lo más cercano posible a los significados institucionales anteriores.
Con el propósito de alcanzar el objetivo anterior, fue necesario hacer un análisis
profundo de los elementos teóricos que íbamos a utilizar para el diseño de dicha
propuesta. En particular, nos pareció muy importante, el análisis de la Idoneidad
Didáctica, es decir, de cada uno de los componentes de las distintas idoneidades, y de
los descriptores de dichos componente y como se iban a reflejar en el diseño de la
propuesta.
El siguiente paso, y el más importante, una vez que ya se tenían todos los
elementos necesarios, era la elaboración de la propuesta. Para ello fue necesario tomar
en cuenta cada uno de los elementos revisados, estudiados, analizados y razonados, para
elaborar una propuesta lo más adecuada posible, y que sobre todo reflejara dichos
elementos en su diseño y elaboración.
Una vez elaborada la propuesta, se procedió a llevar a cabo un pilotaje de una
parte de dicha propuesta, con el fin de evaluar su pertinencia y tener elementos de
análisis para mejorarla. Dicho pilotaje se hizo durante el semestre 2009-1, durante la
impartición del curso de Calculo Diferencial e Integral II en dos grupos de estudiantes
de las carreras de Ingeniería de la Universidad de Sonora.
Una vez que se tuvieron los resultados del pilotaje, se procedió a hacer una
análisis de dichos resultados, en particular se procedió a hacer un análisis de la
Idoneidad didáctica, es decir un análisis a posteriori de dicha idoneidad.