Cuerdas Vibrantes

Cuerdas Vibrantes

INTRODUCCIN

En este laboratorio tenemos la oportunidad de estudiar las ondas mecnicas estacionarias las cuales originan variedad de aplicaciones en la ingeniera, estableceremos las relaciones ms importantes entre las variables que determinan este importante movimiento y las confirmaremos de manera experimental.

Marco TericoOndas estacionarias

Las ondas estacionarias no son ondas de propagacin sino distintos modos de vibracin de una cuerda, de una membrana, del aire en un tubo, etc.Lo que sucede en una cuerda con ondas estacionarias, (o en cualquier otro medio), se debe al efecto de la superposicin de ondas que al cruzarse dan lugar a que determinados puntos de la cuerda estn estacionarios, que otros pasen por diferentes estados de vibracin y que algunos alcancen estados de vibracin mximos. Pulsa aqu para observar ondas estacionarias transversales y longitudinales.Explicacin terica de las ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los extremos

Vamos a deducir la frmula que da las frecuencias de los modos de vibracin (el sonido) de una cuerda de longitud L fija por sus extremos.Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda.

y1=A sen (kx -w t) de izquierda a derechay2=A sen (kx +w t) de derecha a izquierda

La onda estacionaria resultante es la suma de las dos:

yresultante=y1+y2 =2Asen(wt)

El extremo por el que est sujeta la cuerda no vibra nunca y la funcin suma en ese punto valdr cero (durante todo el tiempo). Para que la funcin anterior sume cero la nica justificacin es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra -A. Sumando las funciones y sabiendo que:

Sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 cos (a+b)/ 2

Obtenemos:

yresultante =y1+ y2=2Asen(kx)cos(w t)

Como vemos esta no es una onda de propagacin, no tiene el trmino (kx-wt), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y con una amplitud 2Asen(kx).La amplitud puede alcanzar distintos valores segn la posicin, x, del punto. Algunos puntos tendrn amplitud cero y no vibrarn nunca (puntos estacionarios): son los llamados nodos.Los puntos que pueden alcanzar un mximo de amplitud igual a "2A" slo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando cos(w t) sea igual a 1.Se llaman nodos a los puntos x que tienen una amplitud mnima, 2Asen(kx)=0, por lo que kx=np siendo n =1, 2, 3, ....(recuerda que k=2p/l), o bien, x = l/2, l, 3 l/2,... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2.Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibracin, cada uno con una frecuencia caracterstica. Las frecuencias se pueden calcular fcilmente. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibracin ser aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L= l/2.

Para el segundo modo de vibracin -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda ser igual a una longitud de onda, L=l.Para el tercer modo, L = 3l/2, y as sucesivamente. Podemos proceder al revs y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibracin.Se producirn nodos para una cuerda de longitud "L" cuando la l de la onda tenga los valores dados por la frmula:

Como la frecuencia y la longitud de onda estn relacionadas con la velocidad de propagacin, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relacin l =vT, o bien l =v/u.

En una cuerda de longitud "L" obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la frmula al sustituir "n" por 1. Tambin se pueden obtener los armnicos de las frecuencias dadas por la frmula anterior para n =1, 2,3La velocidad de propagacin v de la onda est relacionada con la tensin que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda. Ver velocidad de propagacin de odas transversales

La frmula que indica que frecuencia debe tener una onda que rebota entre los extremos de una cuerda de longitud L y masa m atada por los extremos y tensada con una fuerza T es:

Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibracin (frecuencia fundamental o primer armnico), se pueden encontrar rpidamente los restantes armnicos:la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental,la frecuencia del tercer modo es triple, y as sucesivamente... u 1 Modo fundamental. u n =nu1 Armnicos n=2, 3, 4....

Un esquema del experimento realizado en laboratorio es el siguiente:

MATERIALES Y EQUIPOS

Un Oscilador con su fuente de corriente continua.

Un vasito de plstico atado con una cuerda

Una polea incorporada a una prensa

Masas de distintas magnitudes

Una regla graduada

PROCEDIMIENTO1. Disponemos el equipo sobre la mesa de acuerdo al siguiente diagrama:

2. Colocamos un peso en el vasito, y hacemos funcionar el vibrador, variamos lentamente la distancia del vibrador hasta que se forme una semi-longitud de onda y medimos la distancia, as sucesivamente anotando el numero n de semi-longitudes de onda contenidos.3. Repetimos el paso anterior con diferentes pesas dentro del baldecito, cuyo peso debe ser aadido al del peso contenido en el para establecer la fuerza F.

ClculosFnLv

0.381530.802538.808052910.53520.76230830.00088532.066

20.60834.14853340.60820.7623083

10.31433.061000490.62820.7623083

0.1521

30.63630.919119310.42413.1097066

20.40932.053072340.40913.1097066

10.20531.974894110.4113.1097066

0.246230.78531.870875310.5233333316.6790914

20.52431.830327130.52416.6790914

10.262531.769697930.52516.6790914

0.254130.79931.81084290.5326666716.9445757

20.53131.910688610.53116.9445757

10.26731.731415080.53416.9445757

0.375720.652331.586505660.652320.6038776

10.36328.379996760.72620.6038776

0.472820.71432.371951930.71423.1135737

10.35932.191606790.71823.1135737

0.570920.803531.60985510.803525.3985186

10.431.748148220.825.3985186

0.343320.61432.077232740.61419.6954209

10.33429.484163030.66819.6954209

2. Grafique un perfil de la cuerda indicando la posicin de mayor Energa Cintica y la posicin de mayor Energa Potencial en la cuerda.

Mayor Energa CinticaMayorEnerga PotencialNodoAntinoddddodo

3. Grafique f2 versus F e interprete el resultado.

Frecuencia al cuadrado

Usamos Excel, el cual emplea el ajuste por mnimos cuadrados, para poder hallar la grfica de tendencia y notamos que la relacin entre la frecuencia al cuadrado y la fuerza es lineal, la cual se deduce de la siguiente ecuacin:

OBSERVACIONES: Tuvimos un inconveniente con la longitud de la cuerda puesto que era pequea lo cual no nos ayudaba al momento de generar armnicos mayores a 3.

Cambiamos el oscilador inicial debido a que su frecuencia era muy baja y no se distinguan los armnicos de una manera aceptable, el oscilador nuevo posea una mayor frecuencia con el cual trabajamos todo el experimento.

CONCLUSIONES

Las ondas estacionarias no transportan energa tambin el patrn de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda. Una onda estacionaria es producto de una superposicin de ondas La velocidad de propagacin de una onda solo depende de la tensin (el peso soportado por la cuerda) a la que est sometida la cuerda y su respectiva densidad lineal La cantidad de armnicos depende estrictamente de la posicin de la fuente con respecto al extremo fijado el cual se encuentra en la polea. Los puntos donde se encuentran la energa cintica mxima son los nodos y a su vez en los antinodos encontramos la energa potencial mxima

APLICACIONES A LA GEOLOGIAMtodos geofsicosCon los mtodos geofsicos se puede investigar zonas sin acceso para el ser humano, como el interior de la tierra. En la bsqueda de yacimientos metalferos (prospeccin, exploracin) estos mtodos geofsicos pueden dar informaciones sin hacer una perforacin de altos costos. Existen varios mtodos geofsicos los cuales aprovechan propiedades fsicas de las rocas. Pero todos los mtodos geofsicos dan solamente informaciones indirectas, es decir nunca sale una muestra de una roca. Los resultados de investigaciones geofsicas son hojas de datos (nmeros) que esperan a una interpretacin.Mtodos ssmicos de exploracin

Los mtodos de exploracin ssmicos se basan en la generacin de ondas ssmicas por ejemplo por medio de una explosin o por medio de un rompedor de cada. Las ondas ssmicas son ondas mecnicas y elsticas, pues que las ondas ssmicas causan deformaciones no permanentes en el medio, en que se propagan. La deformacin se constituye de una alternancia de compresin y de dilatacin de tal manera que las partculas del medio se acercan y se alejan respondiendo a las fuerzas asociadas con las ondas, como por ejemplo en un elstico extendido. Su propagacin se describe por la ecuacin de ondas.

Existen ondas de compresin, ondas transversales y ondas superficiales como Love o Rayleigh. Las Ondas de compresin son las ms rpidas por eso se llaman ondas primarias (ondas P). Las ondas transversales son un poco ms lentas, llegan un poco ms tarde a la estacin (Ondas secundarias u ondas P). Las diferencias en las velocidades se usan en la medicin de temblores y terremotos. La diferencia entre la llegada de la onda "p" y de la onda "s" (delta t) corresponde a la distancia del foco. (Delta t es grande, s el foco es muy lejano, porque la onda p se propaga ms rpido2.3 Comportamiento de las ondas ssmicas en las rocas

Los parmetros caractersticos de las rocas, que se determina con los mtodos ssmicos son la velocidad de las ondas p y s, el coeficiente de reflexin, la densidad. Propiedades de las rocas, que influyen estos parmetros son:

a) Petrografa, contenido en minerales. b) Estado de compacidad. c) Porosidad = porcentaje o proporcin de espacio vaco (poros) en una roca. d) Relleno del espacio vaco o es decir de los poros. e) Textura y estructura de la roca.

Una variacin en una de estas propiedades de la roca puede ser relacionada por ejemplo con un lmite entre dos estratos litolgicos, con una falla o una zona de fallas, con un cambio en el relleno del espacio poroso de la roca.Tabla: Las velocidades de las ondas en diferentes medios:

MedioVelocidad de la onda primaria (vp) en m/ seg.Velocidad de la onda secundaria (vs) en m/seg.

Granito52003000

Basalto64003200

Calizas24001350

Areniscas35002150

Durante del cambio de un medio al otro las ondas ssmicas tienen que cambiar su velocidad, significa tambin que van a separarse en una parte reflejada y en una otra parte refractada.

Comportamiento de las ondas ssmicas en una interfase horizontal entre dos distintos medios litolgicos

A partir de una fuente de ondas ssmicas situadas en la superficie como un tiro o un peso cayndose en el suelo se generan distintas ondas de las siguientes caractersticas: La onda directa se propaga a partir de la fuente de ondas ssmicas en el medio superior con la velocidad uniforme v1.

A travs de los datos entregados por las reflexiones ssmicas se puede construir el horizonte de reflexin que corresponde a un cambio de materiales. Por ejemplo diferentes estratos o fallas tectnicas.Ssmica de Refraccin

El mtodo de Prospeccin Ssmica se basa en la generacin de ondas mecnicas en el terreno, propagacin y caracterizacin de sus propiedades geofsicas. Las ondas ssmicas utilizadas para la prospeccin geofsica son ondas mecnicas que dependen de las condiciones elsitcas y de la densidad del terreno. La Tcnica de Prospeccin Ssmica de Refraccin se basa en las llegadas ssmicas ms rpidas, segn se muestra en la figura adjunta y basada en la ley principal de Snell y el Principio de Huygens.

Propagacin de ondas de un medio a otro

APLICACIONES DEL MTODO: Determinacin de las condiciones mecnicas del subsuelo (mdulos elsticos, velocidades Vp. y Vs). Identificacin de diferentes litogas. Cambios laterales de los niveles Determinacin, excavabilidad o ripabilidad. Anlisis exhaustivo de la onda para base clculo proyecto de tneles y control de deformaciones dinmicas del subsuelo y estructuras Exploracin inicial de condiciones geomecnicas para grandes obras civiles (ferrocarril, carretera, tneles, presas). Exploracin que media escala (escala 1:10000 o ms alta). Cualquier tipo de aplicacin de estudio geomecnico del subsuelo. Control ssmico y de vibraciones. Estudios geolgicos para trazados lineales (AVE, autopista).

Perfil ssmico para determinacin fracturacin de un tnel. Trazado Alta Velocidad.

Curvas Domocrnicas. Perfil Alta resolucin.

Perfil Ssmico de Campo. Determinacin de deformacin dinmica del subsuelo por huecos en el terreno.

Ssmica de Reflexin

Tcnica Ssmica mediante determinacin de la propiedad de contraste de impedancia acstica del terreno y anlisis del terreno mediante reflectores ssmicos y perfiles de velocidades.

APLICACIONES: Secciones del terreno para recursos energticos (fuel, gas, sal, franjas aurferas). Tectonoestragrafa y estratigrafa ssmica (determinacin geometra del terreno). Fracturacin del terreno y movimientos del subsuelo. Determinacin de la calidad de la roca mediante anlisis de la velocidad de onda reflejada.

Ssmico de Reflexin con interpretaciones de los diferentes niveles del subsuelo.

Cross Hole y Down Hole

Ensayos Ssmicos en sondeo para determinacin del comportamiento elstico del terreno. Cross-hole (fuente energtica en un sondeo y gefono en otro sondeo). Down-hole (fuente energtica en superfcie y gefono en sondeo).

APLICACIONES: Cambios laterales ssmicos o del terreno. Definicin de parmetros elsticos dentro del terreno. Modelizacin Geomecnica del macizo (tneles, metro, embalses, minera). Parmetros elsticos del terreno para control de vibraciones (centrales trmicas, supertransformadores, metro).

Esquema Terico del funcionamiento de un Ensayo Down-hole.

Ensayo Down-hole.

Control de Vibraciones y Deformaciones Dinmicas

Anlisis y control de vibraciones de maquinaria, explosivos y que no afecten a estructuras continuas.

APLICACIONES: Vibraciones de maquinaria. Terremotos. Control explosiones de canteras, voladuras. Control de deformaciones de macizo para tneles.

Control Frecuencia vibraciones Metro.

Sismograma paso del tren.

BIBLIOGRAFA

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-Serway-J "Fsica para Ciencias e Ingeniera" VolI Editorial Thomson

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-Resnick, R.; Halliday, D. y Krane, K. (1996). "Fsica" Vol. 1.(4a. Edicin). Mxico: CECSA.

Figmm

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