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3.7. Espacios Mtricos CompletosLa convergencia de sucesiones fue discutida en la seccin 3.2. En esta seccin, esa discusin contina en el contexto de una propiedad de los espacios mtricos que asegura la convergencia de ciertas sucesiones. La propiedad de inters es la completitud. Hablando intuitivamente, esta propiedad es caracterstica de aquellos espacios en los que toda sucesin convergente converge a un punto en el espacio. Por ejemplo, el intervalo unitario abierto (0,1) no es completa debido a que la secuencia converge al punto que no est en (0,1). Esta idea es hecha precisa en la definicin que sigue.Definicin: Sea (X,d) un espacio mtrico. Una sucesin de puntos de X es una sucesin de Cauchy siempre y cuando para cada nmero positivo existe un entero positivo N tal que si m y n son enteros mayores o iguales a N, entonces Una comparacin de definiciones demostrar que toda sucesin convergente es una sucesin de Cauchy.Definicin: Un espacio mtrico (X,d) es completa si cada secuencia de Cauchy en X converge a un punto en X

Ejemplo 3.7.1.

(a) La completitud de la recta real es de hecho del anlisis elemental. Una prueba tambin puede ser hecha usando El teorema de intervalos anidados de Cauchy (Teorema 2.11). Los detalles del proceso son dejados como un ejercicio para el lector

(b) La completitud de se sigue de la de . Para ver esto, considera una sucesin de Cauchy Para la sucesin de las coordenadas i-simas de los puntos xk es una sucesin de Cauchy en y por tanto converge al nmero real zi. Se sigue fcilmente que converge a (c) Cada intervalo cerrada [a,b] es completo. Para probar esto, considere una secuencia de Cauchy en [a,b]. Dado que es completa, esta secuencia converge al nmero real x en . Dado que [a,b] es cerrado, se sigue fcilmente que x pertenece a [a,b]

(d) Los intervalos abiertos y los intervalos semi-abiertos semi-cerrados no son completos. Por ejemplo, es una sucesin de Cauchy en (0,1) que no converge a un punto de (0,1). Ejemplos anlogos muestran la incompletitud de (a,b), (a,b], y [a,b) para todos los nmeros reales a