3.3 Sistemas de ecuaciones

3.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax + by = c donde x y y son variables (x ∈ R, y ∈ R) con a, b y c números reales dados, tales que a y b no sean simultáneamente nulos se llaman ecuaciones lineales con dos variables. El lugar geométrico de los puntos que satisfacen estas ecuaciones es una recta en el plano.

Los métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables fueron ya estudiados en grados anteriores.

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es hallar los pares ordenados (x;y) que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones.

1 1 1

2 2 2

a x + b y = c

a x + b y = c

(I)

Dichos pares ordenados forman el conjunto solución del sistema.

Si dos sistemas tienen el mismo dominio de definición y el mismo conjunto solución, se llaman equivalentes.

Las transformaciones equivalentes consisten en intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una ecuación por un factor diferente de cero o en adicionar un múltiplo constante de una ecuación a otra, con el propósito de eliminar una de las incógnitas.

Ejemplo 1:

En una primera etapa de una competencia de tiro la razón de los puntos obtenidos por Alberto y Enrique es de 10 a 13. Si en la segunda etapa Alberto acumula 10 puntos más y Enrique sólo 4, entonces estarán empatados. ¿Cuántos puntos han acumulado Alberto y Enrique en la primera etapa?

Resolución:

Como se aprecia, resulta conveniente introducir variables. Para comparar los

puntos obtenidos en la primera y segunda etapa vamos a hacer una tabla:

Puntos obtenidos por: Primera etapa Segunda etapaAlberto x x + 10Enrique y y + 4

En el problema se dan dos relaciones:

La razón de los puntos obtenidos por Alberto y Enrique es de 10 a 13 se expresa

como:

x 10

y 13= (I)

Si en la segunda etapa Alberto y Enrique acumulan los puntos que se plantean,

estarán empatados. Esto se representa como:

X + 10 = y + 4 (II)

Luego, podemos plantear un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables

para determinar el valor de las incógnitas.

x 10(I)

y 13

x 10 y 4 (II)

= + = +

Este sistema se transforma en:

13x 10y 0 (I )

x y 6 (II )

− = − = −

Tratemos de resolver este sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución:Obviamente resulta más fácil despejar x o y en la ecuación (II):

X = y – 6 (III)Sustituyendo (III) en (I), resulta:

13(y – 6) – 10y = 0

Resolviendo la ecuación anterior:

13y – 78 – 10y = 0

3y = 78

y = 26

Conviene entonces sustituir el valor hallado de y en la ecuación (III) y se obtiene

que x =26 – 6 = 20.

Comprobando en las dos ecuaciones originales, se verifica que:

Ecuación (I) Ecuación II

20 10

26 13= 20 + 10 = 26 + 4

211

10 10

13 13= 30 = 30

Además se aprecia que los valores obtenidos por Alberto y Enrique son

razonables porque están en la relación 10 a 13. Como 10 y 13 son primos, no

podrían ser menores que 10.

Respuesta: En la primera etapa Alberto y Enrique acumularon 20 y 26 puntos

respectivamente.

En resumen, hemos procedido de la manera siguiente en la aplicación del

método de sustitución:

• Despejamos en una de las ecuaciones del sistema una de las variables (se debe tomar la ecuación más simple).

• Sustituimos el valor de la variable despejada en la otra ecuación y de esta forma obtenemos una ecuación en la que aparece una sola variable.

• Resolvemos esta ecuación para obtener el valor de una de las variables.• Sustituimos el valor hallado en una de las ecuaciones, preferiblemente en la

ecuación despejada, para obtener el valor de la otra variable.

Tratemos de resolver el sistema anterior por el método de adición-sustracción:

13x 10y 0 (I )

x y 6 (II )

− = − = −

Multiplicando (II´) por –10 se obtiene:

13x 10y 0 (I )

10x 10y 60 (II ´)

3x 60

x 20

− = − + =

==

De manera análoga a como se hizo anteriormente se sustituye el valor hallado de

x en una de las ecuaciones, digamos en (II´), y se obtiene que y =26.

En resumen, hemos procedido de la manera siguiente en la aplicación del método

de adición-sustracción:

• Transformamos convenientemente las ecuaciones del sistema de manera que obtengamos dos ecuaciones, de modo que los coeficientes de una de las variables sean iguales u opuestos.

• Sustraemos o adicionamos según convenga, miembro a miembro, las ecuaciones del sistema transformado, para obtener una ecuación en una sola variable.

212

• Hallamos la solución de dicha ecuación .• Sustituimos el valor obtenido de la variable en una de las ecuaciones del

sistema original según convenga, para hallar el valor de la otra variable.La escritura del conjunto solución no siempre es necesaria de acuerdo con las exigencias del ejercicio o problema.

La comprobación, debe realizarse en todas las situaciones, sean ejercicios formales o problemas.

Ejemplo 2

Halla el conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales que se dan a continuación (Fig. 3.25):

a) 7y 15x 1(I)

y 6x 8 (II)

− =− − =

b)

8 44x y (I)

5 55x 2y 9 (II)

− + = − =

c)

8 44x y (I)

5 55x 2y 1(II)

− + = − = −

Resolución:

a) Si este sistema se resuelve por el método de adición – sustracción resulta más fácil eliminar la variable y, debido a que en ambas ecuaciones tiene signos opuestos. Multiplicando la ecuación (II) por 7 se obtiene:

7y – 15x = 1

–y – 6x = 8 | ·7

7y – 15x = 1

–7y – 42x = 56

–57x = 57

x = –1

Si x = –1, entonces al sustituir en una de las otras dos ecuaciones, obtenemos que y = –2.

Comprobación

En la ecuación (I) En la ecuación (II)

7y – 15x = 1 –y – 6x = 8

MI: 7y – 15x MI: –(–2) – 6(–1)

=7(–2) –15(–1) = +2 + 6

= –14 + 15 = 8

= 1

MD: 1 MD: 8

MI = MD MD = MI

S = (–1; –2) Fig. 3.25

213

¿Las pendientes de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones del sistema son iguales o desiguales?

b)

8 44x y (I)

5 55x 2y 9 (II)

− + = − =

Aplicando el método de adición – sustracción se puede multiplicar ambas

ecuaciones por un valor diferente de cero o multiplicar la ecuación (I) por 5

4, en

este caso resulta:

5x 2y 1 (I)

5x 2y 9 (II)

0x 0y 10

− + = − =

+ =

De manera evidente se aprecia que el resultado obtenido es una contradicción, luego este sistema no posee solución alguna. Por tanto, S =

¿Las pendientes y los interceptos con el eje de las ordenadas de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones del sistema son iguales o desiguales?

c)

8 44x y (I)

5 55x 2y 1(II)

− + = − = −

Fig. 3.26

Resolviendo el sistema de forma análoga al inciso b), obtenemos:

5x 2y 1 (I)

5x 2y 1(II)

0x 0y 0

− + = − = −

+ =

Se aprecia que hemos obtenido un sistema formado por dos ecuaciones equivalentes. Una se obtiene de otra multiplicando por (–1) una de ellas. De modo que los infinitos pares ordenados (x; y) que satisfacen una cualquiera de estas ecuaciones, serán solución del sistema, por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.

( ) 125 −=−∈∈= yx,Ry,Rx:y;xS

¿Las pendientes y los interceptos con el eje de las ordenadas de las rectas que corresponden a cada

214

una de las ecuaciones del sistema son iguales o desiguales? Fig. 3.27

Un sistema puede tener solución única, no tener soluciones o tener infinitas soluciones, en dependencia de si las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones del sistema se cortan, son paralelas o coincidentes como se ilustra en el ejemplo anterior.

Para determinar analíticamente, si el sistema

1 1 1

2 2 2

a x + b y = c

a x + b y = c

tiene solución única, no tiene soluciones, o tiene infinitas soluciones se puede despejar la y en cada una de las ecuaciones y representar el sistema en la forma:

−−=

−−=

2

2

2

2

1

1

1

1

b

cx

b

ay

b

cx

b

ay

De acuerdo con el valor de las pendientes y del intercepto con el eje de las ordenadas de las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones del sistema, tenemos:

1. Si: ,2

2

1

1

ba

ba −≠− entonces el sistema tiene una única solución, porque las

rectas se cortan.

2. Si: a a1 2 (I)b b1 2

− = − y 2

2

1

1

bc

bc −≠− el sistema no tiene solución, porque las

rectas son paralelas.

3. Si: a a1 2 (I)b b1 2

− = − yc c1 2 (II)b b1 2

− = − , entonces el sistema tiene infinitas

soluciones, porque las rectas son coincidentes.

Explica con tus palabras el significado de las igualdades que aparecen en el recuadro anterior y comprueba estos resultados con los obtenidos en el ejemplo 2.

Si a1 = k a2 y b1 = k b2, entonces los coeficientes de las variables son respectivamente proporcionales y se cumple la relación (I).

Si c1 = k c2 y b1 = k b2, los coeficientes de una de las variables y del término independiente son respectivamente proporcionales y se cumple la relación (II).

215

Si se cumplen simultáneamente (I) y (II), todos los coeficientes de una ecuación son respectivamente proporcionales a los de la otra.

Verifica las afirmaciones que se hacen a continuación relativas al ejemplo 2:

a) Para el sistema del inciso a) se cumple:a b1 1a b2 2

≠ .

Por eso el sistema de ecuaciones tiene una única solución y las rectas correspondientes a las ecuaciones del sistema se cortan.

b) Para el sistema del inciso b) se cumple: a b1 1a b2 2

= y b c1 1b c2 2

≠ .

Por eso el sistema de ecuaciones no tiene solución y las rectas correspondientes a las ecuaciones son paralelas entre sí:

c) Para el sistema del inciso c) se cumple: a b c1 1 1a b c2 2 2

= = .

Por eso el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y las rectas correspondientes a las ecuaciones del sistema son coincidentes.

Ejemplo 3

Sea el sistema:

ay (2a b)x b

y (a b)x a b

− + =− − − = +

Determina el valor de los parámetros a y b, para que el conjunto solución del sistema sea S = ( –2; –1)

Resolución:

Como nos dan el conjunto solución del sistema, entonces los valores numéricos de las variables son x = –2 y y = −1, los cuales deben satisfacer simultáneamente a las dos ecuaciones del sistema. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones y realizando las operaciones indicadas, se obtieneun sistema de ecuaciones en las variables a y b:

Efectuando se obtiene:

3a b 0 (I )

a 3b 1 (II )

+ = − = −

Despejando en (I´) b = –3a y sustituyendo en (II´) resulta:

a–3(–3a) = –1

a+9a = –1

a=–0,1

216

a 2(2a b) b (I)

1 2(a b) a b (II)

− + + = + − = +

En consecuencia, b = 0,3.

Luego los valores de a y b son –0,1 y 0,3 respectivamente.

3.3.3 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables.

Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax + by+cz= d donde x,y y z son variables (x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R) con a, b, c y d números reales dados, tales que a, b y c no sean simultáneamente nulos se llaman ecuaciones lineales con tres variables. El lugar geométrico de los puntos que satisfacen estas ecuaciones es un plano en el espacio.

Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables es hallar las ternas ordenados (x;y;z) que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x + b y + c z = d ;

a x + b y + c z = d ;

a x + b y + c z = d

.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables:

• Se toman dos parejas de ecuaciones en las que se elimina la misma variable, para obtener dos nuevas ecuaciones con solo dos variables.

• Se resuelve el sistema formado por estas dos ecuaciones.

• Se sustituyen los valores encontrados en una de las ecuaciones originales y se halla el valor de la otra variable.

El conjunto solución se escribirá de acuerdo con las exigencias del ejercicio o problema.

La comprobación se realizará en las tres ecuaciones originales del sistema.

Estos sistemas encuentran múltiple aplicación en actividades de la industria, las ciencias y la tecnología o incluso, los servicios. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Una planta produce ventanas de uno, dos y tres paños. Para ello requiere tres departamentos: uno que se encarque de las labores de troquelado, otro para el ensamble y otro para el empaque. Los

217

departamentos de troquelado, ensamble y empaque disponen como máximo de 19, 330 y 120 horas de mano de obra por día, respectivamente. ¿Cuántas ventanas de cada tipo se deben producir

diariamente para que la planta opere a su máxima capacidad, teniendo en cuenta los tiempos respectivos que se requieren en cada departamento para el trabajo con ellas, según se indica en la siguiente tabla?

Tiempos para el trabajo con cada tipo de ventana por departamento

Resolución:

Resulta conveniente introducir variables. Sean x, y, z la cantidad de ventanas de 1, 2 y 3 paños que se deben producir por día para que la planta opere a su máxima capacidad, respectivamente.

La cantidad de ventanas que se produzcan de un tipo multiplicada por la cantidad de tiempo que demora su producción en un departamento dado, nos da como resultado el tiempo que se consume en cada departamento con cada tipo de ventana.

Así por ejemplo, en el departamento de troquelado, tendríamos:

x. 1

40h: tiempo que demora producir las ventanas de 1 paño

y. 1

20 h: tiempo que demora producir las ventanas de 2 paños

Ventana

de 1 paño

Ventana

de 2 paños

Ventana

de 3 paños

Departamento de troquelado

1

40h

1

20 h

3

40h

Departamento de ensamble

3

5h

9

10 h

6

5 h

Departamento de empaque

1

5h

3

10 h

1

2 h

218

z. 3

40h: tiempo que demora producir las ventanas de 3 paños.

Hay que para averiguar cuánto se debe producir de cada tipo de ventana para aprovechar la cantidad de horas que como máximo se pueden dedicar diariamente al troquelado, que como se sabe son 19 horas. Luego se puede plantear la relación:

x. 1

40 + y.

1

20 + z.

3

40 = 19

Esto se pudiera hacer de forma análoga para cada departamento, lo cual nos permite plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

1 1 3x y z 19

40 20 403 9 6

x y z 3305 10 51 3 1

x y z 1205 10 2

+ + = + + = + + =

Multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, obtenemos:

x 2y 3z 760 (I)

6x 9y 12z 3 300 (II)

2x 3y 5z 1 200 (III)

+ + = + + = + + =

Para eliminar una variable, digamos la variable x, de dos ecuaciones, podemos elegir trabajar primero con las ecuaciones (I) y (III) y después con la (II) y la (III).

Multiplicando la ecuación (I) por (–2) y adicionándole la ecuación (III) obtenemos:

– 2x – 4 y –6 z = –1 520

2x + 3y +5 z = 1 200

–y – z = – 320 (IV)

Multiplicando la ecuación (III) por (–3) y adicionándole la ecuación (II) obtenemos:

6x + 9y +12z = 3 300

–6x –9y –15z = –3 600

–3z = –300

z = 100 (V)

219

De (IV) y (V) se obtiene sustituyendo (V) en (IV) que y = 220. Sustituyendo ambos valores en cualquiera de las ecuaciones (I), (II) o (III) resulta x = 20.

De haber obtenido en (V) una ecuación en las variables y y z, habría que haber resuelto el sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas resultante de (IV) y (V).

Comprobando en el sistema original se verifica que los valores obtenidos son efectivamente solución de este.

Comprobación:

Para (I) se tiene que 20 + 2(220) + 3(100) = 20 + 440 + 300 = 760

Para (II) se tiene que 6(20) + 9(220) + 12(100) = 120+1980 +1200 = 3 300

Para (III) se tiene que 2(20) + 3(220) + 5(100) = 40 + 660 + 500 = 1 200

Observa que todos son valores positivos, para los cuales tienen sentido las condiciones del problema.

Por tanto, para que la planta opere diariamente a su máxima capacidad se deben producir 20 ventanas de un paño, 220 de 2 paños y 100 de 3 paños.

Ejemplo 2

Halla el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:

x y z 7 (I)

6x 2y 2z 6 (II)

2x 4y z 12 (III)

+ + = + − = + + =

Resolución:

Trabajaremos primero con las ecuaciones (I) y (II) para eliminar, por ejemplo, la variable z.

Multiplicando la ecuación (I) por 2 y adicionándole la ecuación (II):

2x + 2y + 2z = 14

6x + 2y – 2z = 6

8x + 4y = 20 (IV)

Trabajaremos ahora con las ecuaciones (I) y (III) para eliminar también la variable z.

Multiplicando la ecuación (I) por –1 y adicionándole la ecuación (III) obtenemos:

–x – y – z = –7

2x + 4y + z = 12

x + 3y = 5 (V)

220

Con las ecuaciones (IV) (V) se forma el sistema:

8x 4y 20 (IV)

x 3y 5 (V)

+ = + =

Multiplicando la ecuación (V) por –8, y adicionándola con la ecuación (IV), obtenemos:

8x + 4y = 20

–8x – 24y = –40

–20 y = –20

y = 1

Sustituyendo este resultado en (IV) o (V) se obtiene que x = 2, y sustituyendo los valores hallados para x, y en (I) , (II) o (III) resulta z = 4

Comprobación:

Para (I) se tiene que 2 + 1 + 4 = 7

Para (II) se tiene que 6(2) + 2(1) – 2(4) = 12 + 2 -8 = 6

Para (III) se tiene que 2(2) + 4(1) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Luego S = (2; 1; 4).

Ejemplo 3 (Una receta para los meses de verano)

Cuando vayas a la playa, al campismo o simplemente cuando estés en casa, puedes preparar un sabroso jugo que se obtiene mezclando agua de coco, jugo de zanahoria y zumo de limón. Para obtener un vaso de jugo (200 mL) debes conocer en qué proporciones mezclarlos y cómo proceder. La tercera parte del agua de coco debe exceder en 5 mL a los mililitros que se utilicen de zumo de limón; además, el zumo de limón y el jugo de zanahoria deben estar en la razón 3:25. Se recomienda endulzar el jugo con miel de abejas y que al final se bata todo. Con la descripción realizada puedes determinar fácilmente las cantidades necesarias de cada producto para obtener un vaso de jugo. Entonces, ¿cuántos mililitros de cada ingrediente emplearías para obtener un litro de este sabroso jugo?

Resolución:

Lee detenidamente la receta (el problema) para que encuentres qué necesitas hallar y cómo expresar los datos que te dan . De nuevo introduzcamos variables.

¿Cuáles son las cantidades de los ingredientes a utilizar?

x: mililitros de agua de coco

y: mililitros de jugo de zanahoria

z: mililitros de zumo de limón

221

¿Cómo está conformada la mezcla?

x + y + z = 200 mL

¿Cómo expresar que la tercera parte de la cantidad de agua de coco excede en 5 mL a la cantidad de mililitros de zumo de limón?

x5 z

3− = o

xz 5

3= +

La razón entre la cantidad de zumo de limón y de jugo de zanahoria

quedaría expresada como z 3

y 25= .

Luego se puede plantear el sistema siguiente para averiguar el valor de

las incógnitas.

x y z 200 (I)

x5 z (II)

3z 3

(III)y 25

+ + = − = =

zx =−53

se puede escribir como x – 3z = 15 (II´) y

25

3=y

z se puede expresar como 3y = 25z o –3y + 25z = 0 (III´)

x y z 200 (I)

x 3z 15 (II )

3y 25z 0 (III )

+ + = − = − + =

Multiplicando la ecuación (II´) por –1 y adicionándole la ecuación (I), para eliminar la variable x resulta:

x + y + z = 200

–x + 3z = –15

y + 4z = 185 (IV)

Con las ecuaciones (III´) y (IV) formamos el sistema:

222

3y 25z 0 (III )

y 4z 185 (IV)

− + = + =

Multiplicando la ecuación (IV) por (3) y adicionándole (III´), obtenemos:

–3y + 25z = 0

3y + 12z = 555

37z = 555

z = 555

37

z = 15

Si z = 15, entonces sustituyendo en la ecuación x

5 z3

− = (II) podemos

obtener que x = 60 y sustituyendo en la ecuación (I), y = 125.

A través de la comprobación se verifica que los valores obtenidos satisfacen las condiciones del problema: x + y + z = 250.

Los resultados obtenidos significan que para un vaso se deben emplear:

60 mililitros de agua de coco

125 mililitros de jugo de zanahoria

15 mililitros de jugo de limón

Como se debe buscar la cantidad necesaria para un litro (1 000 mL) y este contiene 5 vasos, debe multiplicarse cada una de las cantidades obtenidas por cinco, o sea, para un litro de jugo deben mezclarse 300 mL de agua de coco, 625 mL de jugo de zanahoria y 75 mL de zumo de limón.

223

Puedes comprobar también que la resolución ha sido correcta usando la opción Resolver en el asistente Derive (Fig. 3.28).

Fig. 3.28

Basta señalar en el cuadro de diálogo que se pretende resolver un sistema de tres ecuaciones. Al presionar “sí”, aparece otro cuadro de diálogo en el que se deben introducir las ecuaciones (Fig. 3.29).

224

Fig. 3.29

Nota: Recuerde que las expresiones decimales se deben escribir separadas por puntos y no por comas.Haciendo click sobre la caja de diálogo que dice “Variables”, estas se escriben automáticamente y solo queda dar la orden de “Resolver”, para que en la pantalla aparezca el cuadro de la figura 3.30.

225

Fig. 3.30

3.3.3 Sistemas con ecuaciones no lineales

Resolver un sistema de una ecuación lineal y una cuadrática o de dos ecuaciones cuadráticas con dos variables es hallar los pares ordenados (x;y) que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Para algunas clases de ellos resulta relativamente fácil su resolución.

Sistemas de una ecuación lineal y una cuadrática se presentan por ejemplo cuando se quiere hallar la intersección de una curva de segundo grado con una recta. Para resolver tales sistemas se recomienda usar el método de sustitución.

Ejemplo 1

En grados superiores estudiarás que la ecuación de una circunferencia desplazada en la dirección de los ejes coordenados es:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2.

Halla el o los puntos de intersección, si existen, de la circunferencia dada por la ecuación 2 2x y 8x 2y 44 0+ + − − = y la recta de ecuación y – x – 4 = 0.

Resolución:

Se trata de hallar las coordenadas de los puntos que satisfacen ambas ecuaciones, que no es más que resolver el sistema:

2 2x y 8x 2y 44 0 (I)

y x 4 0 (II)

+ + − − =

− − =

Despejando y en la ecuación (II), queda: y =x+4 (III) y sustituyendo en la ecuación (I), obtenemos:

2 2

2 2

2

2

1 2

x (x 4) 8x 2(x 4) 44 0

x x 8x 16 8x 2x 8 44 0

2x 14x 36 0

x 7x 18 0

(x 9)(x 2) 0

x 9, x 2

+ + + − + − =

+ + + + − − − =

+ − =

+ − =+ − == − =

Sustituyendo los valores hallados para la primera coordenada de los puntos en la ecuación (III) para hallar los valores correspondientes a la segunda coordenada, resulta:

1 2y 9 4 5, y 2 4 6= − + = − = + =Luego las coordenadas de los puntos de intersección son (–9;–5) y (2;6).

226

A través de una utilidad gráfica, como puede ser el asistente Derive, se puede elegir en el menú la opción “Resolver”, introducir el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y las respectivas variables, y hacer click en” Resolver”.

Usando las utilidades de un graficador se puede comprobar lo anterior.

Sistemas de dos ecuaciones cuadráticas se presentan por ejemplo cuando se quiere hallar la intersección de dos curvas de segundo grado.

Ejemplo 2

Halla el o los puntos de intersección, si existen, de la circunferencia dada por la ecuación 4x2 + 4y2 + 12y – 7 = 0 y la parábola descrita por y = 2x2 + 3.

Resolución:

Ambas curvas no tienen puntos de intersección. Al sustituir la expresión despejada para y en la ecuación de la circunferencia se obtiene una ecuación de cuarto grado, que no tiene solución real.

Verifícalo

Esto se puede apreciar también en el gráfico de la figura 3.31, hecho con ayuda del Derive. Este asistente da la posibilidad de hacer el gráfico de curvas a partir de ecuaciones en las cuales no aparece expresada una variable en función de otra, de manera explícita. Una vez que se escribe cada una de las ecuaciones en el editor de la ventana gráfica, se da retorno, se elige la opción “Insertar” y más adelante, Gráfica 2D, como se explicó ya anteriormente. De este modo se puede obtener sucesivamente la gráfica de cada una de las curvas.

.

227

Fig. 3.31

Estas utilidades gráficas son especialmente útiles cuando las raíces de una ecuación son números irracionales o los puntos de intersección de dos o más curvas tienen coordenadas irracionales, y se quiere hallar valores aproximados.

Ejemplo 3

Resuelve el sistema2 2x y 11 (I)

x.y 5 (II)

+ =

=Resolución:

Este sistema se puede resolver al menos por dos vías. Veamos cada una de ellas

228

Primera vía:

2

2

(x+y) = 11+2xy=21(I)

(x -y) = 11-2xy=1 (II)

Extrayendo raíz cuadrada en (I) y (II):

x+y= 21 (I´)

x-y= 1 (II´)

±

±Adicionando (I´) y (II´), obtenemos:

x1,2,3,4=± 21

2±

1

2

Sustrayendo (II´) a (I´) obtenemos :

y1,2,3, 4=± 21

2m

1

2

Para x1 ≈ 2,8, y1 ≈ 1,8 Para x2 ≈ –2,8, y2 ≈ –1,8 Para x3 ≈ 1,8, y3 ≈ 2,8 Para x4 ≈ –1,8, y41 ≈ –2,8

Segunda vía:Despejar en (II) una de las variables, digamos y, y sustituir en (I). En este caso obtenemos:

22

25x 11

x+ =

Multiplicando por el mcm de los denominadores resulta:x4 – 11x2 + 25 = 0Mediante un cambio de variable resulta:z2 – 11z + 25 = 0D = 121 – 100 = 21

1,2

1 2

1,2

3,4

11 21 11 4,6z

2 2 2 2z 7,8 z 3,2

x 7,8 2,8

x 3,2 1,8

= ± ≈ ±

≈ ≈

≈ ± ≈ ±

≈ ± ≈ ±Sustituyendo en (II) obtenemos:Para x1 ≈ 2,8, y1 ≈ 1,8Para x2 ≈ –2,8, y2 ≈ –1,8Para x3 ≈ 1,8, y3 ≈ 2,8Para x4 ≈ –1,8, y41 ≈ –2,8

En resumen, obtenemos las mismas soluciones por ambas vías, como se puede apreciar también en la ventana de Álgebra del Derive (Fig. 3.32).

229

Fig. 3.32

Ejercicios (epígrafe 3.3)

1. Dadas las ecuaciones 3x + 2y = 7; –3x + 3y = 3, entonces el par ordenado (x;y) que satisface ambas ecuaciones es:

A. (1; 2) B. (–1; –2) C. (2; 1) D. (–2; –1)

2. Dadas las ecuaciones 2x + 3y = 7; –3x + 3y = –3, entonces el par ordenado (x;y) que satisface ambas ecuaciones es:

A. (1; 2) B. (–1; –2) C. (2; 1) D. (–2; –1)

3. Hallar el conjunto solución en cada caso.

x 1 2(y 6)a)

x 6 3(1 2y)

− = + − = −

x y5

7 3b)x

3y 2614

+ = − =

c)

=−=+940302

31560

,y,x

,yx,

230

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando indistintamente el método de sustitución o el de reducción.

x 6 3ya)

5x 2y 13

= − = +

y 3x 17

b)y 2x 12

= − = −

6s 5t 22

c)2s 7t 14

+ = + =

2x 3y 8d)

2x 4y 6

+ =− − =

5. Halla los pares ordenados (x;y) para los cuales se cumplen las

siguientes parejas de ecuaciones:

a).

=−=+2534

4023

yx

yx b).

=−=+1652

1949

yx

yx c).

−=−=−149

173

xy

yx

d).

+=+

−=−

2

42

3

43

27

4

23

yyx

xyyx

e)

++=+

=

y

yx

y

yx

y

x

2

262

32

f). −=+−−

9

4

6

32

8

43 xyx

6. ¿Qué condiciones se tienen que satisfacer para a i, bi, ci (i = 1,2) con ai, bi, ci ∈ R\0 para que el conjunto solución del sistema de ecuaciones

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ = + =

sea el conjunto vacío, sea un conjunto con un único par ordenado o sea un conjunto con infinitos pares ordenados?

7. Halla el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a).

=−+=−+

=−+

0

2323

842

zyx

zyx

zyx

b).

=+=+=+

8

7

5

zy

xz

yx

c).

=−+−=−−

=+−

223

134

13423

vut

vut

vut

231

d).

=++

=+−

=++

17543

14432

32321

zyx

zyx

zyx

e).

=++

=++

=+

+

128

7

8

2

439

7

65

2

zyx

yx

zyzx

yx

f).

=+−

=++

=++

5530

7

52

105364

5

44753

zyx

zyx

zyx

8. Calcula los coeficientes indeterminados A, B, C para que se verifique la siguiente igualdad:

2A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2) x 3− − + − − + − − = +

9. Sea la función cuadrática definida por la ecuación 2f(x) ax bx c (a 0)= + + ≠ . Dicha función satisface las siguientes

condiciones:

a) ( )f 2 14− = − , si se conoce que:

b) Su representación gráfica interseca al eje y en el punto P(0; –4).

c) El par (2; –2) pertenece a la función.

Determina las coordenadas de los puntos A y B, donde la representación gráfica de f interseca al eje x.

10.Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:

a)

=−=+1434

245 22

yx

yx b)

=+=−132

134 22

yx

yx c)

=+=++

932

541211 22

ba

baba d)

=−=−032

2432 22

yx

yx e)

=+=++

8

5222

yx

yxyx f)

( ) ( )

=+=++

5

8067

yx

yx

11.Las soluciones del sistema de ecuaciones

6ax y 40

ax y 0

− =− + =

deben ser números enteros. Diga qué números fraccionarios se pueden asignar al parámetro a para que el sistema satisfaga esa condición.

12.Sea el sistema de ecuaciones:

232

x ay 3 0

bx 1 2y

+ − = + =

Determinar los valores de los parámetros a y b para que el conjunto solución del sistema sea S =(3;8)

13.Sea el sistema de ecuaciones:2 2x 4y 20

y x k

+ =

+ =

¿Para qué valores de k el sistema dado tiene una , dos o ninguna solución?

14.Calcula el valor de m para que el sistema siguiente no tenga soluciones reales:

y 2 mx

(x y)(x y) 1

+ = + − =

15.Construye:

a) Un sistema de ecuaciones lineales (sistema cuadrático) cuyo

conjunto solución sea 1

S ;42

= − .

b) Dos sistemas de ecuaciones lineales (sistemas cuadráticos) equivalentes.

c) Un sistema cuadrático cuyo conjunto solución sea S=(0; 1),(–1; 0)

16.La suma de dos números es 52. La diferencia entre el triplo de uno y el quíntuplo del otro es 100. ¿Cuáles son los números?

17.La tercera parte de la diferencia de dos números es 11 y los 9

4 del

número mayor es igual a los 43

del menor. Hallar los números.

18. La suma de las cifras básicas de un número de dos lugares es 10. Si se invierte el número de dos cifras se obtiene un número menor en 36 que el número original. ¿Cuál es el número?

19. Determina el número de dos cifras para el cual se cumple que la suma del duplo de la cifra de las decenas y el triplo de las unidades es 5, si se conoce que la diferencia entre el triplo de las decenas y el duplo de las unidades es 1.

233

20. La edad de Eduardo más el duplo de la edad de Enrique suman 65 años. El duplo de la edad de Eduardo excede en 30 años a la de Enrique. ¿Qué edad tiene cada uno?

21. La edad del hijo más la tercera parte de la edad del padre suman 33 años. Dentro de 6 años la edad del padre excederá al duplo de la edad de su hijo en 8 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

22. La edad actual de Juan es el 60% de la edad de Pedro. Si dentro de 28 años el promedio de sus edades es de 44 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

23. En un triángulo isósceles, la razón entre la amplitud de uno de los ángulos de la base y la amplitud del ángulo opuesto a ella es 5:8. Calcula la amplitud de los ángulos interiores del triángulo.

24. En un intercambio de experiencias socio-culturales participaron 15900 jóvenes entre mujeres y hombres. La tercera parte de los hombres excede en 175 al 35% de las mujeres. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres participaron en el evento?

25. En un cine los mayores pagan 60 ¢ y los niños 40 ¢. Si entran 250 personas y se recaudan $128. ¿Cuántos mayores y cuántos niños entraron al cine?

26. Se han utilizado el 20 % de la cantidad de dextrosa y el 25 % de la cantidad de solución salina, almacenada, lo que hacen 12 L de suero. Si se disponían de 52 L de suero en total, hallar las cantidades actuales de cada tipo de suero que quedan en el almacén.

27. El perímetro de una sala rectangular es de 56 m. Si el largo hubiera disminuido en 2,0 m la sala sería cuadrada. Halla las dimensiones de la sala.

28. Un caballo y un mulo caminaban juntos cargando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su pesada carga a lo que el mulo dijo: ¿De qué te quejas? Si yo tomará uno de tus sacos mi carga sería el doble de la tuya, en cambio, si yo te diera uno mis sacos, nuestra carga sería la misma. ¿Cuántos sacos lleva cada uno?

29. En un centro de recría hay conejos y faisanes. Esos animales tienen en total 40 cabezas y 104 patas. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

30. En una granja tenían sembrados 480 ha más de papas que de cereales. Después de haber recolectado el 80 % del cultivo de papa y el 25 % del de cereales quedaron en el campo 300 ha más de cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas en cada cultivo habían sembrados inicialmente?

31. En una cooperativa dedicada al cultivo de viandas, 35 hectáreas están sembradas de boniato y plátano. Después de recoger la mitad del cultivo de plátano y la tercera parte del cultivo de boniato, quedaron aún

234

20 hectáreas sembradas. ¿Cuántas hectáreas fueron sembradas de cada tipo?

32. Un ómnibus en la transportación del personal de un lugar a otro debe cubrir la distancia en un tiempo determinado; pero el chofer recorrió

todo el trayecto con 5

1 menos de velocidad habitual y llegó con retraso

de 4 min. ¿En qué tiempo debió realizar el recorrido para llegar puntual?

33. Si el largo de un rectángulo se aumenta en 20 % y su ancho se disminuye en 20 %, entonces el área disminuye en 162 m2. ¿Cuál es el área del rectángulo?

34. Dos automóviles parten simultáneamente de un mismo punto con igual dirección y sentido; si al cabo de dos horas están a 40 km uno del otro. ¿Cuál es la velocidad de cada uno, si se conoce que la de uno es 3/5 de la del otro?

35. En un recipiente hay doble cantidad de combustible depositado que en otro, si del primero se vacían 8 L en el segundo, en este último habrá el 80 % de los que hay en el primero. ¿Cuántos litros hay en cada recipiente?

36. En una fiesta se observan 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como hombres sentados. En la siguiente pieza se observa que todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentran sentados. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?

37. Un individuo acudió a una función de un espectáculo de variedades acompañado de su esposa e hijos. Cuando se disponía a comprar entradas de $ 8,50, se percató que le iba a faltar $ 5,50, por lo que decidió comprar entradas de a $ 6,00 y le sobró aún para dos entradas más. ¿Cuántos hijos tiene el individuo y cuánto dinero acudió al espectáculo?

38. El secretario de una sección sindical acudió con $ 300,00 a una tienda para comprar regalos para obsequiarlos a sus trabajadores más destacados, pero el dinero no cubría el costo, por lo que tuvo que devolver un regalo y el vendedor le devolvió tanto como lo que le faltaba para cubrir el costo de los 38 regalos. Si todos los regalos tenían el mismo precio. Determínalo.

39. Una tripulación de 70 marinos tiene víveres para un viaje de 50 días. Si durante el viaje rescataron 50 náufragos sin víveres y para que alcancen los víveres para todo el viaje disminuyeron la ración en un tercio. ¿A los cuántos días de viaje rescataron a los náufragos, si aun así faltaron víveres para 5 días?

40. Un peatón sale de A al encuentro de otro que sale simultáneamente de B distante 80 km de A. Si se cruzaron en M, entonces el primero después de cruzarse tardaría 4 horas en llegar a B y el segundo

235

tardaría 9 horas en llegar a A. ¿A qué distancia de A se producirá el encuentro?

41. Una aleación pesa 2 kg y consta de plata y cobre, con la particularidad que la masa de plata constituye el 14 2/7 % de la masa de cobre. ¿Qué cantidad de plata hay en la aleación?

42. En una granja, si al número de gallinas y patos se le disminuyeran en 3 a cada uno, entonces el número de gallinas sería el quíntuplo de los patos, pero si por el contrario se agregaran 4 patos y 4 gallinas, entonces las gallinas serían solamente el triplo de los patos. ¿Cuántos patos y cuántas gallinas tienen la granja? Si el incremento de los patos y las gallinas es el mismo, ¿Cuántos animales habrá que incrementar de cada tipo para que el número de patos sea el 30 % del de las gallinas?

43. En la recogida de papas; la tercera parte de los sacos recogidos por la brigada vanguardia excede en 2 sacos a la más rezagada y si ambas recogieron 6 sacos más cada una; la brigada vanguardia excedería en 10 sacos al duplo de los sacos de la más rezagada. ¿Cuántos sacos más deberá recoger la brigada rezagada para alcanzar a recoger el 75 % de los recogidos por la brigada vanguardia?

44. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió, si las mesas cuestan $ 36,00 más que las sillas y en total recaudó $ 960,00?

45. Luis se lamentaba, pues tenía menos bolas que su hermano y su papá para consolarlo le dijo: Luis, no te lamentes, pues el quíntuplo del número de bolas que tú tienes excede en 10 bolas a las que tú hermano tiene, y si ambos tuvieran 20 bolas más cada uno, entonces tendrían el 56 % de las bolas que tendría tu hermano. Luis después de escuchar a su papá, sonrió y salió a jugar. ¿Cuántas bolas tiene Luis?

46. Un ciclista recorrió 96 km en 2 h menos de los que se esperaba, durante cada hora del recorrido avanzó un kilómetro más de los que suponía que iba a avanzar en 1 h y 15 min. ¿A qué velocidad hizo el ciclista el recorrido?

47. En una escuela con matrícula de 345 alumnos, el 75 % de los varones y el 60 % de las hembras participaron en un concurso, sin embargo el número de concursantes varones resultó ser el 40 % del número total de concursantes. ¿Cuántas hembras no participaron en el concurso?

48. Ochocientos soldados se encuentran en un frente con víveres para 60 días. A los 8 días sufren un ataque y mueren 50 soldados y 12 días más tarde sufren otro ataque con una perdida de 100 soldados más; 16 días después del último ataque reciben un refuerzo sin víveres de modo que estos alcanzaran para 5 días más. ¿De cuántos soldados estaba constituido el refuerzo?

236

49. El área y el perímetro de un rectángulo ABCD son numéricamente iguales, si el lado menor, del rectángulo se disminuye en 2 unidades, entonces el área es numéricamente igual al semiperímetro. Halla el volumen y el área total del prisma cuya altura mide 3-√ 2 unidades y su base es el rectángulo ABCD.

50. El lado de un rectángulo excede en 8,0 m el ancho, si cada lado aumentara en 3,0 m, el área del rectángulo aumentaría en 57m2. Halla el volumen de la pirámide cuya base es el rectángulo original y su vértice está situado sobre uno de los vértices de la base y que dista 269 dm del más alejado.

51. Un tonel tiene una capacidad de 50 galones y está lleno de vino puro. Se saca cierta cantidad de vino y se reemplaza por agua y posteriormente se saca de la mezcla una cantidad igual a la extraída inicialmente. Si la mezcla que queda en el tonel tiene 32 galones de vino puro. ¿Cuántos galones se extrajeron cada vez?

52. Un zapatero se contrató para realizar un trabajo bajo la condición de que recibiera $ 5,50 por cada día de trabajo y se le descontaría $ 6,60 por cada día que no trabajase. Si a los 30 días sólo se le pagó $ 7,70. ¿Cuántos días enteros trabajó el zapatero?

53. En el año 1998, nuestro país contaba con 720 instalaciones entre hospitales y policlínicos. Si el número de policlínicos excede en el 20 % del total de instalaciones al número de hospitales. ¿Con cuántos hospitales y policlínicos contábamos ese año?

54. Un depósito A tiene un volumen de agua igual a 3

2 de su capacidad y

otro B cuya capacidad excede a la de A en 60 litros, tiene un nivel de

agua igual a 12

7 de su capacidad. Si entre ambos tienen 860 litros de

agua. ¿Cuántos litros le faltan al depósito A para llenarse?

55. En una industria siderúrgica deben producirse 12 toneladas de acero con un 1,45 % de carbono a partir de la fundición de ciertas cantidades de acero al 0,5 % y 2,5 % de carbono. ¿Qué cantidad de acero de cada tipo se necesita fundir?

56. Se tiene un cuadrado tal que cuando se disminuye la longitud de un lado en 0,2 dm y se aumenta la del lado consecutivo en el 75 % de su longitud, se forma un rectángulo de 40 cm de perímetro. Calcula la razón entre las áreas del cuadrado y del rectángulo.

57. En una evaluación recientemente aplicada, se examinaron 1607 alumnos de tres Institutos Preuniversitarios. Del primero se examinaron 939 alumnos. El número de alumnos examinados del tercero excedió en 52 alumnos al 60% de los examinados del segundo. ¿Cuál es la matrícula del grado 12 del segundo si se dejaron de examinar en la comprobación 23 alumnos?

237

58. Un estudiante cuando se graduó compró un álbum para poner todas las fotos que se había tirado con sus compañeros a lo largo de los tres años de estudio, poniendo una foto en cada hoja. Cuando terminó de hacer este trabajo se percató que la razón entre el número total de fotos y la cantidad de páginas que tenía el álbum era de 7:10 y además que el número de fotos excedía en 24 a la mitad del número de páginas. ¿Cuántas fotos tenía el estudiante?

59. Se tiene un cuadrado tal que cuando se aumenta la longitud de un lado en 2,0 cm y se disminuye la longitud del lado consecutivo en el 25 % se forma un rectángulo de 32 cm de perímetro. ¿En qué por ciento disminuyó el área del cuadrado al convertirse en rectángulo?

60. En una jornada de 3 h de trabajo en las BET, Adrián recogió 560 naranjas y las envasó en bolsas de dos tipos: de 8 y 20 naranjas. Si al final tenía 46 bolsas llenas, ¿cuántas bolsas llenas de cada tipo había?

61. Una empresa mecánica gastó 160 000 pesos en la compra de equipos de dos modelos distintos. Una unidad de un modelo costó 10 000 pesos, y una unidad del otro, 12 000 pesos. ¿Cuántos equipos de cada modelo se compraron, si el 40 % de los equipos del primer modelo más el 20 % de los del segundo modelo representan la tercera parte del total de equipos comprados?

62. En un edificio de apartamentos se hacen unos arreglos, y el costo promedio es de $ 200,00 por apartamento. Los vecinos de ocho apartamentos no pueden colaborar por lo que el costo promedio entre los restantes apartamentos es ahora de $ 250,00. ¿Cuánto cuesta la obra? ¿Cuántos apartamentos tiene el edificio?

63. En un almacén, después de extraer 15 libros había 2 libretas por cada libro que quedó. Al mes siguiente se extrajeron 45 libretas y entonces había 5 libros por cada libreta que quedó. ¿Cuántas libretas y libros había en el almacén antes de las extracciones?

64. Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excursión. Si hubieran ido 10 personas más, cada una hubiera pagado 5 pesos menos, y si hubieran ido seis personas menos cada una hubiera pagado 5 pesos más. ¿Cuántas personas iban a la excursión?

65. Si dividimos un número de dos cifras por la suma de estas, en el cociente se obtiene 7 y en el resto 6. Si el número se divide por el producto de sus cifras en el cociente obtenemos 3 y en el resto un número igual a la suma de sus cifras. Halle el número.

66. El área de un rectángulo es de 21 m 2 y su lado menor excede en 10 cm a la décima parte del lado mayor. Halle su perímetro.

238

67. Después de un trabajo voluntario en el que cosechaban tomates, Pedro le dice a Juan: tú hubieras recogido un 40 % menos que yo, si yo hubiera recogido 15 cajas más. Si entre ambos recogieron 305 cajas. ¿Cuántas cajas recogió cada uno?

68. En una tienda un par de medias cuesta el 35 % de lo que cuesta una camiseta. Si se aumenta en 1 peso el precio del par de medias y se rebaja en 2 pesos el de la camiseta, entonces con 16 pesos puedo comprar 5 pares de medias y 2 camisetas. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

69. La suma de las áreas de dos cuadrados diferentes es 25 unidades cuadradas. Si se construye un rectángulo cuyos lados sean iguales a los lados de los cuadrados, su área sería de 10 unidades cuadradas. Calcula las dimensiones del rectángulo.

70. Un ciclista recorre 30 km en 2 h, con viento en contra. Si tiene el viento a favor hace el mismo recorrido en 0,75 h. Halla la velocidad del viento y la del ciclista cuando no tiene aire a favor ni en contra.

71. Se tienen dos bolsas, una roja y otra azul, que contiene juntas 441 bolas. Si de la bolsa roja se saca la cuarta parte de las bolas y se echa en la azul, entonces en la bolsa roja habrá el duplo de bolas que en la azul. ¿Cuántas bolas había en cada bolsa?

72. En un recipiente hay el duplo de la cantidad de refresco que hay en otro, si del 2do se vierten 8 litros en el 1ro, en el 2do habrá el 20 % de lo que hay en el 1ro. ¿Cuántos litros había en cada recipiente?

73. En un recipiente hay 10 litros de una mezcla de alcohol y agua. Se añade cierta cantidad de agua de forma tal que el alcohol representa el 30 % del total. Después se añade otra cantidad igual de agua y entonces el alcohol representa un quinto del total. ¿Qué cantidad de agua se añadió en total?

74. Para desarrollar un chequeo de emulación los alumnos de dos escuelas A y B deben reunirse en una explanada situada en el camino entre ambas escuelas. Los alumnos de la A salen caminando a las 7:00 am, con una velocidad promedio de 5,5 km/h; los de la B parten 1/4 de hora más tarde en ómnibus, a una velocidad promedio de 60 km/h. Las dos escuelas están a una distancia de 11,2 km una de otra y llegan al mismo tiempo a la explanada.

a). ¿A qué hora se encontraron?b). ¿Qué distancia existe entre la escuela A y el lugar de la actividad?

75. Una llave vierte cada minuto, 30 litros más de agua que otra y demora 10 minutos menos que esta última en llenar totalmente un tanque de 3600 litros de capacidad.

a). ¿Cuántos litros por minuto vierte cada llave?.

239

b). ¿Qué tanto por ciento de la capacidad del depósito llena la segunda llave sola en 12 min?

76. Una cooperativa de producción agropecuaria sembró 35,6 ha entre hortalizas y viandas. Por causa de las plagas se afectaron 6,0 ha de hortalizas las cuales fueron demolidas y utilizadas para incrementar las viandas y los pastos en 4,0 y 2,0 hectáreas respectivamente. Ahora en la CPA las tierras dedicadas a viandas duplican a las sembradas de hortalizas y los pastos se incrementaron en 1,7 %. ¿Qué cantidad de tierra había dedicado la cooperativa a hortalizas, viandas y pastos?

77. En un circuito eléctrico están concectadas tres resistencias R1,R2 y R3

y dos batería de 6V (Volts) y 12 V(Voltz) respectivamente. Se puede demostrar, aplicando las leyes de Kirchhoff, que las intensidades de la corriente que circula en los tres conductores en paralelo I1, I2, I3, son las soluciones del sistema de ecuaciones siguiente:

=+=+

=+−

12

6

0

3322

2211

321

IRIR

IRIR

III

Calcula las intensidades de las corrientes si se conoce que:

a) R1 = R2 = R3 = 3 Ωb) R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 4 Ω

78. Un número está compuesto por 3 cifras cuya suma es el doble de las cifras de las decenas. La cifra de las centenas es la mitad de la de las unidades, y cuando se invierte el orden de las cifras el número aumenta en 198. ¿Cuál es el número?

79. En un número de tres cifras, la suma de ellas es 15. La suma de las cifras de las centenas y las decenas es igual al cuádruplo de la cifra de las unidades, si al número se le resta 18 se intercambian las cifras de las unidades y de las decenas. ¿Cuál es el número?

80. Cinco sellos y tres libros cuestan $ 3,15; dos libros y tres revistas cuestan $ 2,25 y ocho sellos, cinco libros y cuatro revistas cuestan $ 5,82. ¿Cuál es el precio de cada artículo si todos los del mismo tipo cuestan igual?

81. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 pesos y un total de 2000 pesos. Si el número de billetes de 10 pesos es el doble que el número de billetes de 20 pesos, ¿cuántos billetes hay de cada denominación?

240

82. El total de graduados de una escuela durante tres años consecutivos fue de 360 alumnos. En el 2do. año se graduaron 30 alumnos más que en el primer año, y en el tercer año se graduaron tantos como en los dos años anteriores juntos. ¿Cuántos se graduaron cada año?

83. El aporte de los trabajadores de una fábrica al festival mundial de la juventud fue de $920.00 en billetes de a 5, 10 y 20 pesos respectivamente. Si el número de billetes de a $ 10 representa el 14 % de los de $ 5 y estos exceden al número de los de $ 20 en 20 billetes. ¿Cuántos billetes fueron recaudados de cada tipo?

84. Un obrero necesita comprar dos artículos que importan 1750 pesos. Puede adquirirlos al contado o a crédito. Por pagar al contado consigue un descuento del 10 % para el primero y un 5 % para el otro y de esta manera paga 90 pesos menos. ¿Cuál era el precio original de cada artículo?

85. Tres depósitos de gasolina tienen una capacidad de 7654 L de gasolina entre los tres. La capacidad que tiene el segundo excede en 674 L al quíntuplo del tercero. El primero tiene el 60 % de la capacidad del tercero disminuido en 22 L. ¿Qué capacidad tiene cada depósito?

86. Para apoyar las actividades del evento Pedagogía 2005 fueron elegidos 126 estudiantes de una escuela. Los estudiantes seleccionados en onceno grado excedieron en dos a los de décimo grado y un tercio de los de onceno grado equivale al 50 % de los de duodécimo grado. ¿Cuántos estudiantes apoyaron por grado dicho evento?

87. Un mango, una guayaba y un plátano cuestan $ 2,60; 2 mangos y 3 guayabas cuestan $ 5,60; 2 guayabas y 3 plátanos cuestan $ 2,90. ¿Cuánto cuesta cada fruta?

88. El promedio de las notas obtenidas por Luis, Alex y Adrián, en el 1er TCP de Física, fue de 86 puntos. Luis obtuvo el 80 % de los puntos obtenidos por Alex y la suma de las notas de Luis y Alex excede en 66 a los puntos obtenidos por Adrián. Uno de ellos obtuvo menos de 85 puntos. ¿Cuántos puntos debe obtener ese alumno en el otro TCP de Física para ganar el requisito de permanencia en esta asignatura?

89. Tres camiones de 3, 4 y 7 toneladas transportan 25 t de mercancías para un almacén, dándose para ello 6 viajes. El camión de 4 t dio dos viajes más que el de 7 t. ¿Cuántos viajes realizó cada uno?

241

90. En una cafetería se venden solamente tres tipos de dulces: torticas a 1 peso, marquesitas a 2 pesos y tartaletas a 3 pesos. En una semana se vendieron 380 dulces y por esta venta se recaudaron 640 pesos. Si la cantidad de tartaletas vendidas fue el 80 % de la cantidad de marquesitas, ¿cuántos dulces de cada tipo se vendieron?

91. Una empresa tiene tres camiones diferentes. En la tabla a continuación se describe cuántos contenedores de tres tipos distintos (A, B, C) puede cargar exactamente cada camión en un viaje.

Contenedores

Camiones

A B C

1 5 3 42 2 5 53 4 3 6Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A,. 44 del tipo B y 58 del tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión, si todos los viajes los hacen totalmente llenos?

92. Un trabajador por cuenta propia vendió en una tarde 16 tabletas de maní, cuyos precios eran de 1, 2 y 3 pesos; recaudando así 30 pesos. El duplo de las tabletas de 3 pesos vendidas excedió en 3 a las de 1 peso. ¿Cuántas tabletas de cada tipo vendió?

93. De un almacén de productos alimenticios se trasladan 800 kg de harina en paquetes de 5, 10 y 12 kg. El duplo de los paquetes de 12 kg excede en 30 a los de 10 kg, y los de 5 kg son 10 más que el duplo de los de 12 kg. ¿Cuántos paquetes de cada tipo se trasladaron?

94. Tres productos industriales cuestan juntos 50 pesos. Los precios del 1ro y del 2do. están en la razón 2:3. Si el precio del 2do. y el 3ro. es rebajado en un 20 %, entonces los tres juntos costarían 42 pesos. ¿Cuánto cuesta cada uno?

95. Tres objetos pesan en total 65 kg. Uno de ellos pesa el 75% de lo que pesa el otro. Si la suma de los pesos de estos dos se divide por la mitad del precio del 3ro, el cociente es 2 y el resto es 5. ¿Cuánto pesa cada uno?

96. En una tienda se vendieron 42 artículos por un costo total de $ 206,00. Dichos artículos costaban $ 3,00, $ 5,00 y $ 7,00, respectivamente. La cantidad de artículos de 3 y 7 pesos, juntos, excede en 2 al total de

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artículos del otro precio. ¿Cuántos artículos de cada tipo se vendieron?

97. Un taxi por caminar 5 km o menos cobra una tarifa fija, y un precio por km a partir de esa cantidad. ¿Cuánto debe pagar un usuario por la tarifa fija y por cada km por encima si un viaje de 7 km cuesta $ 4,70; uno de 12 km cuesta $ 10,20 y uno de 26 km cuesta $ 25,60?

98. . Para un encuentro entre amigos o familiares, te ofrecemos la receta de la¨Migas de Gato cuyos ingredientes fundamentales lo constituyen los 676 gramos, de pan, aceite y ajo. ¿Cómo proceder?

Se remoja el pan hasta que esté blando y se sofríe en aceite, pero la diferencia entre las cantidades de estos dos ingredientes debe ser de 532 g, además el 25 % del aceite que se utiliza excede en 1 al duplo de los gramos de ajo necesarios. Adiciona a las migas de pan, una pizca de sal y pimienta al gusto, revolviendo hasta que estén secas. ¿Cuántos gramos de cada ingrediente se necesitan para 30 raciones, si con las cantidades descritas se pueden preparar migas de gato para seis raciones?

99. El perímetro de un triángulo es de 13 cm, el lado mayor excede al menor en 4,0 cm y la suma de los cuadrados de las longitudes de los 3 lados es de 65 cm2. Halla la amplitud del ángulo menor, si las longitudes de sus lados son cantidades enteras.

100.El perímetro de un triángulo isósceles es 50 m y su altura relativa al lado desigual es de 15 m. Halla las longitudes de los lados del triángulo.

101.En un número de dos cifras la suma de los cuadrados de sus cifras es 10. Si al número buscado se le adiciona 18, se obtiene un número con las mismas cifras, pero en orden inverso. Halla el número.

102. La diferencia de los perímetros de dos círculos es de 14 π dm, y la dferencia de sus áreas es de 21π2. Calcula las longitudes de los radios de los círculos.

103.La longitud L de un cable suspendido entre dos puntos está dada por la fórmula:

28dL s

3s= + ,

donde d es la caída del cable en el centro (en metro) y s, la distancia (en metro) entre los puntos. La curva descrita se denomina catenaria (Fig. 3.33). Si un cable de 20,33 m se suspende en el aire entre dos

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puntos A y B, calcula la distancia entre dichos puntos y la caída en el centro del cable, si se conoce que la razón entre estas distancias es 40.

Fig. 3.33

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s

A B

d

D