Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 105

II E1 II = Max I - 10 I 110 I = 10 II R1 II = Max I 0 I I - 5 I = 5

asf que un vector error residual pequeno (relativo al vector de terminos independientes

b = (1) II b 11 1 = 23 II b 112 21095 II b II = 21 ) corresponde a un vector error

relativamente grande

Para el sistema (34) X2 = (10) es la soluci6n exacta y si consideramos como una soluci6n00

aproximada a X- 2 = (34) que es la soluci6n exacta del sistema perturbado (34) entonces97

el vector error de X2 con respecto a X2 es

E2 =(34) _(10) =(-66)97 0 97

y el vector error residual correspondiente a la soluci6n aproximada X2 es

R2 =(411) _( 41) =(01J 97 97 0

Como

entonces nuevamente un vector error residual pequeno no corresponde a un vector error pequeno bull

EI ejemplo anterior pone de manifiesto que II R II pequeno no necesariamente implica que

II E II tambien sea pequeno Sin embargo a partir del siguiente teorema podremos probar

que satisfecha cierta condici6n 1111 ii pequeno implica ~ tambien pequenoshy

Teorema 33 Sea A E Rn xn una matriz no-singular y X la soluci6n exacta del sistema

AX = b b - O Si X es una soluci6n aproximada del sistema AX = b entonces para cualquier norma matricial inducida se tiene que

106 METODOS NUMERICOS

(37)

Demostraci6n Como R = AX - b = AX - AX = A(X - x) = AE YA es invertible entonces

E = A -1R b = AX X = A -1b Y aplicando la desigualdad (3 6) se obtiene

II R II $ 11~ 1111 E II es decir II II $ 11 E II y II E II $ 11 A -1 1111 R II

de donde

(38)1111 $11E II $11A -111 11R II

Aplicando la misma desigualdad (3 6) se tiene que

II b II $11 A 1111 X II es decir Ii 1111 $11 X II y II X II $11 A -1 1111 b II

de donde

1111 Iii $ 11 X II $ 11 A -11111 b IIbull o equivalentemente

-----1---- lt _1_ lt _II A_ II (39) II A -1 1111 b II - II X II - II b II

Combinando (3 8) y (3 9) obtenemos las siguientes cotas para el error relativo II ~ II en

terminos del error residual relativo ~ II b II

II R II 1 lt ~~JL II A 1111 A -111~ (310) II b 1111 A 11 11 A - 111 - 11 X 11 - II b II

que era 10 que querra demostrarse V

Dp acuerdo con este teorema 33 si se satisface la condici6n II A 11 11A-111 1 entonces ~ II b II

y I ~ II son mas 0 menos del mismo tamano As que si Iii 1111 es pequeno tambiEm 10 sera

II ~ II y si 11 ill es grande tambien 10 sera II ~ II por 10 tanto si II A 11 11A -111 1 podremos11

distinguir una soluci6n aproximada X buena de una

II R IIrelatlvo fblf

EI numero Cond (A) = II A 1111 A -1 II se lIamarcl NUMERO

de la matriz no-singular A relativo a la norma matricial

depende de la norma matricial usada sin embargo

matricial inducida pues

De acuerdo con la relaci6n (37) dada en el

entonces el error relativo 1 ~ II y el error resid

mismo tamano y podremos distinguir una observando el error residual relativo pero enfrI

De 10 anterior se espera que A tenga un buen residual relativo pequero implique cornesponcll

de AX = b si Cond (A) 1 caso en el ~

sistema AX = b esta bien condiciondo) 51 comportamiento en el sentido que un error una soluci6n aproximada mala ydiremos esta mal condicionado)

es poder determinar cuando una SOIUCuJ4I

tratar de distinguir si el sistema AX middotb

Para la matriz

del ejemplo 31 tenemos

luego

106 METODOS NUMERICOS

(37)

Demostraci6n Como R = AX - b = AX - AX = A(X - x) = AE YA es invertible entonces

E = A -1R b = AX X = A -1b Y aplicando la desigualdad (3 6) se obtiene

II R II $ 11~ 1111 E II es decir II II $ 11 E II y II E II $ 11 A -1 1111 R II

de donde

(38)1111 $11E II $11A -111 11R II

Aplicando la misma desigualdad (3 6) se tiene que

II b II $11 A 1111 X II es decir Ii 1111 $11 X II y II X II $11 A -1 1111 b II

de donde

1111 Iii $ 11 X II $ 11 A -11111 b IIbull o equivalentemente

-----1---- lt _1_ lt _II A_ II (39) II A -1 1111 b II - II X II - II b II

Combinando (3 8) y (3 9) obtenemos las siguientes cotas para el error relativo II ~ II en

terminos del error residual relativo ~ II b II

II R II 1 lt ~~JL II A 1111 A -111~ (310) II b 1111 A 11 11 A - 111 - 11 X 11 - II b II

que era 10 que querra demostrarse V

Dp acuerdo con este teorema 33 si se satisface la condici6n II A 11 11A-111 1 entonces ~ II b II

y I ~ II son mas 0 menos del mismo tamano As que si Iii 1111 es pequeno tambiEm 10 sera

II ~ II y si 11 ill es grande tambien 10 sera II ~ II por 10 tanto si II A 11 11A -111 1 podremos11

distinguir una soluci6n aproximada X buena de una

II R IIrelatlvo fblf

EI numero Cond (A) = II A 1111 A -1 II se lIamarcl NUMERO

de la matriz no-singular A relativo a la norma matricial

depende de la norma matricial usada sin embargo

matricial inducida pues

De acuerdo con la relaci6n (37) dada en el

entonces el error relativo 1 ~ II y el error resid

mismo tamano y podremos distinguir una observando el error residual relativo pero enfrI

De 10 anterior se espera que A tenga un buen residual relativo pequero implique cornesponcll

de AX = b si Cond (A) 1 caso en el ~

sistema AX = b esta bien condiciondo) 51 comportamiento en el sentido que un error una soluci6n aproximada mala ydiremos esta mal condicionado)

es poder determinar cuando una SOIUCuJ4I

tratar de distinguir si el sistema AX middotb

Para la matriz

del ejemplo 31 tenemos

luego

(37)

(38)

(39)

(310)

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 107

distinguir una soluci6n aproximada X buena de una mala observando el error residual

relativo ~ b

EI numero Cond (A) = II A 1111 A -1 II se IIamara NUMERO DE CONDICION 0 CONDICIONAL

de la matriz no-singular A relativo a la norma matricial usada Aunque el valor de Cond(A)

depende de la norma matricial usada sin embargo Cond (A) ~ 1 cualquiera sea la norma

matricial inducida pues

In = AA -1 In II ~ II A 1111 A - 1 II y In II =~~o II In II ~ II =~~d ~ II =1

De acuerdo con la relaci6n (3 7) dada en el teorema 33 vemos que si Cond (A) 1

entonces el error relativo II ~ II y el error residual relativo II ii son mas 0 menos del

mismo tamano y podremos distinguir una soluci6n aproximada buena de una mala

observando el error residual relativo pero entre mas grande sea Cond(A) menor es la

informaci6n que se puede obtener del error relativo a partir del error residual relativo

De 10 anterior se espera que A tenga un buen comportamiento en el sentido de que un error residual relativo pequeno implique correspondientemente una buena soluci6n aproximada

de AX =b si Cond (A) 1 caso en el cual diremos que A esta bien condicionada (el

sistema AX =b esta bien condicionado) Si Cond (A) gtgt 1 es posible que A tenga un mal

comportamiento en el sentido que un error residual relativo pequeno puede corresponder a una soluci6n aproximada mala y diremos que A esta mal condicionada (el sistema AX = b esta mal condicionado)

A pesar de las definiciones anteriores no debemos olvidar que 10 que realmente nos interesa

es poder determinar cuando una soluci6n aproximada Xde un sistema AX = b es buena y tratar de distinguir si el sistema AX = b esta bien 0 mal condicionado

Para la matriz

del ejemplo 31 tenemos

A- 1 _ 1 ( 10 -1J - 05 - 1005 1

I A =Max 111 + 111 11005 1 + 1 10 1 = Max 2 2005 = 2005

II A-1 II = _1 II ( 10 - 1J II =_1 1105 = 221 05 - 1005 1 05

co

luego

108 METODOS NUMERICOS

Cond - (A) == II A 1100 II A - 110) = (2005)(221) == 443105 raquo 1

pequeno puedeEste numero de cond icion nos dice que un error residual relativo

muy grande asi que A puede considerarse mal

cond icionada

Veamos que puede decirse en este caso de la calidad de la soluci6n aproximada

- ( 10)

corresponder a un error relativo

X == - 8 del sistema

X +y == 2 1005x+10y==21

Para este ejemplo tenemos

II RII 5 y Cond (A) == 443105

II b II en 21

asi que la desigualdad (37) dada en el teorema 33 se convierte en

esto es

_ Ilx - x1 11 537 x10 6 ~ II x 110) 0) ~ 1055

5 10 que indica que aunque el error residual relativo es pequeno 21 el numero de condicion

es tan grande (443105) que hace que la solucion calculada pueda tener un error relativo de

hasta 1055 asi que nada puede decirse de la cercania entre X y X bull

Instrucciones en DERIVE

NORMAJNF(A) Simplifica en la norma del maximo de la matriz A II A II

COND_INF(A) Simplifica en el numero de condici6n relativo a la norma del maximo de la

matriz A es decir simplifica en el numero Cond O) (A) == II f-II00 11 A - 1 11 00 0

Existe otro numero asociado con una matriz al cual se Ie denomina tambien numero de condicion A continuaci6n nos referiremos a tal numero

Del teorema 32 se sabe que p (A)sl AI

I

pero como los valores propios de A tiene que

con cr(A) == A ECAes 1

EI numero Cond(A

Para la matriz A ( 1~

numero de

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 109

Del teorema 32 se sabe que p (A) II A II para toda norma matricial inducida asl que

Cond (A) = II A IIII A -1 ~p(A) p(A-1)

pero como los valores propios de A - 1 son los reciprocos de los valores propios de A se tiene que

Max I A I ) Ecr(A) ( )

Cond (A) ~ I I == Condo AMm A

AEcr( A)

con a(A) =AE C A esvalorpropiodeA espectro de A (Recuerde que

p(A -1) = Max I A I = 1 I ) ecr(A-1) Mm A

AEcr( A)

Max I A I EI numero Cond (A)= AEcr(A) se denomina numero de condici6n espectral de A

bull Min I A I AEcr( A)

Segun se acaba de probar Cond(A) ~ Cond(A)

(1 1J Para la matnz A = se bene que 1005 10

det(A_AI) = 1- A 1 I =A2- 11A- 05 1005 10 - A

as que los valores propios de A son A1 1100454358 A 2 -45435778 x 10 -3 Y por tanto

Condo (A) 1100454358 2421999592 raquo 1 bull 45435778 x 10-3

Dado un sistema AX = b si 8A Y 8b denotan perturbaciones en A y b respectivamente el siguiente teorema cuya demostracion puede ser consultada en Ortega 1990 paginas 32 y

33 establece una cota para el error relativo II X- X II en terminos de las perturbaciones

IIXII

11 MII 118b II relatlvas lfAl lfbf y Cond(A) donde X es la soluclon exacta de AX = b Y X es la

solucion exacta del sistema perturbado (A + 8 A)X = b + 8 b

108 METODOS NUMERICOS

Cond - (A) == II A 1100 II A - 110) = (2005)(221) == 443105 raquo 1

pequeno puedeEste numero de cond icion nos dice que un error residual relativo

muy grande asi que A puede considerarse mal

cond icionada

Veamos que puede decirse en este caso de la calidad de la soluci6n aproximada

- ( 10)

corresponder a un error relativo

X == - 8 del sistema

X +y == 2 1005x+10y==21

Para este ejemplo tenemos

II RII 5 y Cond (A) == 443105

II b II en 21

asi que la desigualdad (37) dada en el teorema 33 se convierte en

esto es

_ Ilx - x1 11 537 x10 6 ~ II x 110) 0) ~ 1055

5 10 que indica que aunque el error residual relativo es pequeno 21 el numero de condicion

es tan grande (443105) que hace que la solucion calculada pueda tener un error relativo de

hasta 1055 asi que nada puede decirse de la cercania entre X y X bull

Instrucciones en DERIVE

NORMAJNF(A) Simplifica en la norma del maximo de la matriz A II A II

COND_INF(A) Simplifica en el numero de condici6n relativo a la norma del maximo de la

matriz A es decir simplifica en el numero Cond O) (A) == II f-II00 11 A - 1 11 00 0

Existe otro numero asociado con una matriz al cual se Ie denomina tambien numero de condicion A continuaci6n nos referiremos a tal numero

Del teorema 32 se sabe que p (A)sl AI

I

pero como los valores propios de A tiene que

con cr(A) == A ECAes 1

EI numero Cond(A

Para la matriz A ( 1~

numero de

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 109

Del teorema 32 se sabe que p (A) II A II para toda norma matricial inducida asl que

Cond (A) = II A IIII A -1 ~p(A) p(A-1)

pero como los valores propios de A - 1 son los reciprocos de los valores propios de A se tiene que

Max I A I ) Ecr(A) ( )

Cond (A) ~ I I == Condo AMm A

AEcr( A)

con a(A) =AE C A esvalorpropiodeA espectro de A (Recuerde que

p(A -1) = Max I A I = 1 I ) ecr(A-1) Mm A

AEcr( A)

Max I A I EI numero Cond (A)= AEcr(A) se denomina numero de condici6n espectral de A

bull Min I A I AEcr( A)

Segun se acaba de probar Cond(A) ~ Cond(A)

(1 1J Para la matnz A = se bene que 1005 10

det(A_AI) = 1- A 1 I =A2- 11A- 05 1005 10 - A

as que los valores propios de A son A1 1100454358 A 2 -45435778 x 10 -3 Y por tanto

Condo (A) 1100454358 2421999592 raquo 1 bull 45435778 x 10-3

Dado un sistema AX = b si 8A Y 8b denotan perturbaciones en A y b respectivamente el siguiente teorema cuya demostracion puede ser consultada en Ortega 1990 paginas 32 y

33 establece una cota para el error relativo II X- X II en terminos de las perturbaciones

IIXII

11 MII 118b II relatlvas lfAl lfbf y Cond(A) donde X es la soluclon exacta de AX = b Y X es la

solucion exacta del sistema perturbado (A + 8 A)X = b + 8 b

numero de

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 109

Del teorema 32 se sabe que p (A) II A II para toda norma matricial inducida asl que

Cond (A) = II A IIII A -1 ~p(A) p(A-1)

pero como los valores propios de A - 1 son los reciprocos de los valores propios de A se tiene que

Max I A I ) Ecr(A) ( )

Cond (A) ~ I I == Condo AMm A

AEcr( A)

con a(A) =AE C A esvalorpropiodeA espectro de A (Recuerde que

p(A -1) = Max I A I = 1 I ) ecr(A-1) Mm A

AEcr( A)

Max I A I EI numero Cond (A)= AEcr(A) se denomina numero de condici6n espectral de A

bull Min I A I AEcr( A)

Segun se acaba de probar Cond(A) ~ Cond(A)

(1 1J Para la matnz A = se bene que 1005 10

det(A_AI) = 1- A 1 I =A2- 11A- 05 1005 10 - A

as que los valores propios de A son A1 1100454358 A 2 -45435778 x 10 -3 Y por tanto

Condo (A) 1100454358 2421999592 raquo 1 bull 45435778 x 10-3

Dado un sistema AX = b si 8A Y 8b denotan perturbaciones en A y b respectivamente el siguiente teorema cuya demostracion puede ser consultada en Ortega 1990 paginas 32 y

33 establece una cota para el error relativo II X- X II en terminos de las perturbaciones

IIXII

11 MII 118b II relatlvas lfAl lfbf y Cond(A) donde X es la soluclon exacta de AX = b Y X es la

solucion exacta del sistema perturbado (A + 8 A)X = b + 8 b

110 METODOS NUMERICOS

Teorema 34 Supongase que A es no-singular y que 11 8 A II lt II A~ II (esta hipotes is asegura

que A + 8 A es invertible y que 1- Cond(A) li SA II gt 0) Si X es la solucion exacta del IIA II

sistema perturbado (A + 0 A)X = b + 8 b entonces X aproxima a la solucion exacta X del

sistema AX = b b cI 0 con la siguiente estimacion de error

II X - X II ~ Cond (A) ( IL~~JL~ J (311)

IIXII 1_cond(A)[ 13 All l llb ll IIAII

II AII

La desigualdad (3 11) dice que si la matriz A esta bien condicionada es decir si

Cond (A) 1 entonces cambios pequerios en A y b producen correspondientemente

cambios pequerios en la soluci6n del sistema (el sistema AX = b esta bien condicionado) Por otro lado si A esta mal condicionada entonces cam bios pequenos en A y b pueden producir grandes cam bios en la solucion del sistema (el sistema AX = b esta mal condicionado)

Ejercicio 31 Estime la cota de error dada en el teorema 34 para los sistemas (34) y (34) del ejemplo 31 bull

Ejercicio 32 a) Calcule Cond (A) usando 11middot11 2 1111 y II to para las siguientes matrices

456 218) ( 279 138

b) Que puede decir del condicionamiento de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

f39x + 16x2 = 55 456X l + 218x2 = 674 I) ii) bulll 68x + 29x2 = 97 279x + 138x 2 = 417

ESTABILIDAD NUMERICA EN LA ELiMINACION GAUSSIANA

Volvamos al metodo de eliminacion Gaussiana (simple) y consideremos el siguiente ejemplo

Ejemplo 33 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando eliminacion Gaussiana con sustitucion regresiva y aritmetica (decimal) con redondeo a tres dfgitos

El 03x + 589x2 = 592 E2 531x - 610x2 = 470

Usando elimnaci6n Gaussiana obtenemos

03 589 592) ~~- (A b) = ( 531 - 610 470

y por sustituci6n regresiva

_ 592 - 589(101 592 Xl = 03

luego la solucion calculada es X (~2 1 =(shy

Instrucci6n en DERIVE

PIVOT(A i j) Usa oper~cione~e tiene matriz obtenida de la matnz A q

Que puede decir de la calidad de la

Para intentar responder esta

dadas par el teorema 3 3

03 589) Como A = ( 531 -610

los calculos se obtienen III

v

(311 )

Capitulo 3 SOlUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 111

(A b) = ( 03 589 592) __( 5__) _m 2 _=1_77 ) ~) ( 03 589E2_ ~~ _( _ _ 592 ) 531 -610 470 0 - 10400 -10500

y por sustituci6n regresiva

x = -10500 =101 2 - 10400

)(1 = 592 - 589(101) = 592 - 595 = - 3 = - 100 D3 D3 D3

- (X1 J (-1 00)luego la soluci6n calculada es X = _ = 101x2

Instrucci6n en DERIVE

PIVOT(A i j) Usa operaciones elemetales de fila para Simplificar (0 aproXimar) en una matriz obtenida de la matriz A que tiene ceros en la columna j y por debajo de la fila i 0

Que puede decir de la calidad de la soluci6n aproximada X

IIX -XIIPara intentar responder esta pregunta encontremos las cotas para el error relativo

IIXII dadas por el teorema 33

03 589)Como A = entonces usando aritmetica con redondeo a tres digitos para todos( 531 - 610

los calculos se obtienen las siguientes aproximaciones

- 1 1 (-610 - 589)A =-shy-313 - 531 03

II A II = Max 589 114 = 589

A - 1 II = _ 1_ Max 650 534 = _ 1_ 650 = 208II 313 313

entonces Cond (A) = II A II II A -111 = (589)(208) = 123 que no es muy grande

comparado con uno asi que la matriz A puede considerarse bien condicionada

(Por ciertas consideraciones te6ricas sobre el numero de condici6n de una matriz A las cuales pueden ser consultadas en Burden 1985 paginas 481 y 482 cuando se trabaja en

aritmetica finita (decimal) con redondeo a t-digitos y Cond(A) ~ 10t se espera un mal

112 METOOOS NUMERICOS

comportamiento de A con respecto a la solucion de AX = b Y A se considera mal

condicionada En este ejemplo Cond(A) = 123 lt 103 )

Ahora

03 589 ) (-100) ( 592)AX-b e ( 531 - 610 101 470

Estas operaciones se realizari en doble preci sion (6 digitos)

59189) ( 592) ( - 011 )(= -59261 - 470 = -106261

(Para evitar la perdida de cifras sign ificativas se debe calcular el vector erro r res idual

R = AX - b en doble precision)

Conv irtiendo este ultimo resultado a tres digltos usando redondeo se obtiene

R = (-011) - 106

Entonces II R II =106 y II b II = 592 Y por tanto

II R la 1 106 1 11gtlt - X II 106 II R II en

-II-11- ( )= - - =145 ~ II II ~ 2202= 123- = Cond (A)-II - lI shyb co Cond A 592 123 X 592 b DO

II R pero como Cond (A) ~ 1 entonces se espera que fbiC Y X- X sean mas 0 menosII xL

II X- X L sea tamble ndel mismo tamano y ya que es grande se espera que II X II

grande +

En situaciones como a observada en este ejemplo se sugiere hacer un refinamiento

iterativo sobre la soluci6n caculada X 0 usar esta soluci6n calcuada como aproximaci6n inicial en un metodo iterativ~ con et proposito de tratar de mejorar la soluci6n aproximada y ograr que el error residua l relativo sea mas pequeno EI metodo de reflna81iento iterativo puede ser consutado en Kincaid 1972 pag inas 174-176

La soucion exacta del sistema en consideracion es X = (J= ( 0) A que se debe a

diferencia entre la soucion exacta y a solucion calculada

Observe que e error en e calculo de )(2 con respecto a x2 fue de solo 01 (un error relativo

de 1) Y este error fue multiplicado par un factor de aproximadamente - 2000 al obtener

)(1 debido a orden en que se realiz6 la el iminaci6n Gaussiana

Instruccion en DERIVE

RESUELVA_1(Ab) Simplifica en a SOUCI6n entra como un vector fila 0

En el ejemplo anterior la elimina~i6n sistema de ecuaciones lineales ble~ nII1II

del algoritmo de eliminaci6n Gausslana pequeno) Hay sin embargo SIlUC -

Gaussiana es numencamente estable consultarse en Burden 1985 paginas366 y

Teorema 35 Si A =(ajiLn (EDD) par filas es decir si

entonces A es invertible (no-singular intercambio de filas en cualquier calculos son estables con respeclO

Notese que como consecuencia

por filas entonces A t~ene unos en su diagonal pnnClpalyU

~~a~ (vease Burden 19a5

satisface

Capitulo 3 SOLUCION NUMERIC A DE SISTEMAS DE ECUACIONES 113

Instrucci6n en DERIVE

RESUELVA_1(Ab) Simplifica en la soluci6n exacta X del sistema AX=b EI vector b se entra como un vector fila 0

En el ejemplo anterior la eliminaci6n Gaussiana condujo a una respuesta defectuosa de un sistema de ecuaciones lineales bien condicionado Esto muestra la inestabilidad numerica del algoritmo de eliminaci6n Gaussiana (consecuencia de la divisi6n por un nOmero (pivote) pequero) Hay sin embargo situaciones en las cuales el algoritmo de eliminaci6n Gaussiana es numericamente estable EI siguiente teorema cuya demostraci6n puede consultarse en Burden 1985 paginas 366 y 367 se refiere a una de tales situaciones

Teorema 35 Si A = (ai j )n xn es una matriz estrictamente dominante diagonalmente

(EDD) por filas es decir si

n Iaii Igt II ai j I para cada i == 12 n

)= 1 ) 1

entonces A es invertible (no-singular) Ademas se puede rea lizar eliminaci6n Gaussiana sin intercambio de filas en cualquier sistema AX = b para obtener su Onica soluci6n y los calculos son estables con respecto al crecimiento de los errores de redondeo V

N6tese que como consecuencia del teorema anterior se tiene que Si A = (a l ) )n xn es EDD

por filas entonces A tiene factorizaci6n LU es decir A == LU con L triangular inferior con unos en su diagonal principal y U triangular superior (escalonada)

sea tambien

Observe que la matriz de coeficientes del ejemplo 33 anterior no es EDD por filas

sectJeor9~~am9i~ -valioo=paramatrj simetricas

(vease Bllrden 19 5 ~ina 368) Una matriz A E Rnxn ~ i~etrica se dice definida

positiva si satisface una cualquiera de las sig uientes condiciones (Ias- cualesson equival~tes) a _-----

- - -- shy

i) ~AX gt 0 paralodo 2CERn X 0 J

iiXTodos los valores propios de A son pos1tlvOS7

iii) Todos los pivotes obtenidos en la eliminaci6n Gaussiana sobre A sin intercambio de filas - ~on positiv~s

iv) Todas las submatrices principales de A tienen determinante positiv~

(Las submatrices principales de la matriz A == (ai J) son las matrices - n ~ n

1k a ] k == 12bull f) )

akk v

114 METODOS NUMERICOS

N6tese nuevamente que Si A E R nxn es simetrica y definida positiva entonces A tiene

factorizaci6n A = LU con L triangular inferior con sus componentes sabre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (ver mas adelante factorizaci6n de Choleski)

Observe que la matriz de coeficientes de l ejemplo 33 anterior no es simetrica

34 ESTRATEGIAS DE PIVOTEO

EI eJemplo 33 anterior muestra una de las dificultades que pueden surgir al aplicar el metodo

de eliminaci6n Gaussiana cuando el pivote ajj-1) es pequeno comparado con algunos

(j-1) e ementos I a t para J ~ I t ~ n

Para tratar de evitar tales dificultades se introduce en el metodo de eliminaci6n Gaussiana una estrategia IIamada de pivoteo la cual consiste en seleccionar el pivote de acuerdo con un cierto criter io Nosotros usaremos dos estrategias la estrategia de pivoteo maximo por columna 0 pivoteo parcial y la estrategia de pivoteo escalado de fila 0 escalamiento

341 Pivoteo maximo por columna 0 pivoteo parcial Esta estrategia difiere de

eliminaci6n Gaussiana simple unicamente en la escogencia del pivote ajj-1) la cual se hace

ahora as

Para j = 12 n - 1 se determina el menor entero k J ~ k ~ n tal que

y

es decir seleccionamos el primer elemento diferente de cero sobre la columna j-esima a

partir de la j-esima fila y que tenga mayor valor absoluto (para j = 1 a~j j1 ) = al~) ak 1 )

Si tal k no existe el sistema no tiene soluci6n unica y el proceso se puede terminar

Si tal k existe y k ot j entonces hacemos intercambio de las ecuaciones j-esima y k-esima

y continuamos con la eliminaci6n Gaussiana l

Ilustremos esta estrategia para resolver el sistema

E1 03X1 + 589x2 = 592 E2 531x1 - 61 OX 2 = 470

entonces k = 2 ot 1= j asl que

Por sustituci6n regresiva

Observe que en este caSO

SWAP(A i j)

que es el mismo del ejemplo 33 usando aritmetica con redondeo a tres digitos

Como para j = 1 se tiene que

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 115

Max Iall I Ia21 I = Max 03 531 = 531 = Ia21 I 0

entonces k = 2 1= j as i que intercambiamos El y E2 Y continuamos con la el imi nac i6n

531 - 610 (A b)= ( 03 589 592) 470) (531 - 610 470 03 589 592

E2I (~) ( m21=5 65 ~ 1O - l) 531 - 610 5 31 470) ------------------~) ( o 589 589

Por sustituci6n regresiva obtenemos

x = 589 = 100 Xl = 470 +610(100) = 531 = 100 2 589 531 531

Observe que en este caso X= (J es la soluci6n exacta del sistema dado bull

Instrucci6n en DERIVE

SWAP(A i j) Intercambia las filas (0 elementos) i y j de la matriz A (de un vector) 0

Nota En el procedimiento de pivoteo maximo por columna (p ivoteo parcial) cada multiplicador mi j es tal que

y aunque esta estrategia permite resolver satisfactoriamente muchos sistemas de ecuaciones lineales hay casos donde fracasa como se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 34 Consideremos el sistema

El 300Xl + 58900x2 59200 E2 531x1 -610X2 - 470

el cual es un sistema equivalente al del ejemplo 33 (los coeficientes de la primera ecuaci6n

en el sistema del ejemplo 33 han sido multiplicados por 10 3) EI pivoteo maximo por

columna con aritmetica de redondeo a tres dig itos nos lIeva a los siguientes resultados

59200) E2 1 (-~pound) (m 2 1 =177) ) ( 300 58900 59200 ) (A b) = ( 300 58900 531 - 610 470 o - 10400 -10500

y por sustituci6n regresiva x2 = 101 Y Xl = - 100 que es la misma solucion que se obtiene si ~ usamos eliminaci6n Gaussiana simple

Capitulo 3 SOLUCION NUMERIC A DE SISTEMAS DE ECUACIONES 113

Instrucci6n en DERIVE

RESUELVA_1(Ab) Simplifica en la soluci6n exacta X del sistema AX=b EI vector b se entra como un vector fila 0

En el ejemplo anterior la eliminaci6n Gaussiana condujo a una respuesta defectuosa de un sistema de ecuaciones lineales bien condicionado Esto muestra la inestabilidad numerica del algoritmo de eliminaci6n Gaussiana (consecuencia de la divisi6n por un nOmero (pivote) pequero) Hay sin embargo situaciones en las cuales el algoritmo de eliminaci6n Gaussiana es numericamente estable EI siguiente teorema cuya demostraci6n puede consultarse en Burden 1985 paginas 366 y 367 se refiere a una de tales situaciones

Teorema 35 Si A = (ai j )n xn es una matriz estrictamente dominante diagonalmente

(EDD) por filas es decir si

n Iaii Igt II ai j I para cada i == 12 n

)= 1 ) 1

entonces A es invertible (no-singular) Ademas se puede rea lizar eliminaci6n Gaussiana sin intercambio de filas en cualquier sistema AX = b para obtener su Onica soluci6n y los calculos son estables con respecto al crecimiento de los errores de redondeo V

N6tese que como consecuencia del teorema anterior se tiene que Si A = (a l ) )n xn es EDD

por filas entonces A tiene factorizaci6n LU es decir A == LU con L triangular inferior con unos en su diagonal principal y U triangular superior (escalonada)

sea tambien

Observe que la matriz de coeficientes del ejemplo 33 anterior no es EDD por filas

sectJeor9~~am9i~ -valioo=paramatrj simetricas

(vease Bllrden 19 5 ~ina 368) Una matriz A E Rnxn ~ i~etrica se dice definida

positiva si satisface una cualquiera de las sig uientes condiciones (Ias- cualesson equival~tes) a _-----

- - -- shy

i) ~AX gt 0 paralodo 2CERn X 0 J

iiXTodos los valores propios de A son pos1tlvOS7

iii) Todos los pivotes obtenidos en la eliminaci6n Gaussiana sobre A sin intercambio de filas - ~on positiv~s

iv) Todas las submatrices principales de A tienen determinante positiv~

(Las submatrices principales de la matriz A == (ai J) son las matrices - n ~ n

1k a ] k == 12bull f) )

akk v

114 METODOS NUMERICOS

N6tese nuevamente que Si A E R nxn es simetrica y definida positiva entonces A tiene

factorizaci6n A = LU con L triangular inferior con sus componentes sabre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (ver mas adelante factorizaci6n de Choleski)

Observe que la matriz de coeficientes de l ejemplo 33 anterior no es simetrica

34 ESTRATEGIAS DE PIVOTEO

EI eJemplo 33 anterior muestra una de las dificultades que pueden surgir al aplicar el metodo

de eliminaci6n Gaussiana cuando el pivote ajj-1) es pequeno comparado con algunos

(j-1) e ementos I a t para J ~ I t ~ n

Para tratar de evitar tales dificultades se introduce en el metodo de eliminaci6n Gaussiana una estrategia IIamada de pivoteo la cual consiste en seleccionar el pivote de acuerdo con un cierto criter io Nosotros usaremos dos estrategias la estrategia de pivoteo maximo por columna 0 pivoteo parcial y la estrategia de pivoteo escalado de fila 0 escalamiento

341 Pivoteo maximo por columna 0 pivoteo parcial Esta estrategia difiere de

eliminaci6n Gaussiana simple unicamente en la escogencia del pivote ajj-1) la cual se hace

ahora as

Para j = 12 n - 1 se determina el menor entero k J ~ k ~ n tal que

y

es decir seleccionamos el primer elemento diferente de cero sobre la columna j-esima a

partir de la j-esima fila y que tenga mayor valor absoluto (para j = 1 a~j j1 ) = al~) ak 1 )

Si tal k no existe el sistema no tiene soluci6n unica y el proceso se puede terminar

Si tal k existe y k ot j entonces hacemos intercambio de las ecuaciones j-esima y k-esima

y continuamos con la eliminaci6n Gaussiana l

Ilustremos esta estrategia para resolver el sistema

E1 03X1 + 589x2 = 592 E2 531x1 - 61 OX 2 = 470

entonces k = 2 ot 1= j asl que

Por sustituci6n regresiva

Observe que en este caSO

SWAP(A i j)

que es el mismo del ejemplo 33 usando aritmetica con redondeo a tres digitos

Como para j = 1 se tiene que

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 115

Max Iall I Ia21 I = Max 03 531 = 531 = Ia21 I 0

entonces k = 2 1= j as i que intercambiamos El y E2 Y continuamos con la el imi nac i6n

531 - 610 (A b)= ( 03 589 592) 470) (531 - 610 470 03 589 592

E2I (~) ( m21=5 65 ~ 1O - l) 531 - 610 5 31 470) ------------------~) ( o 589 589

Por sustituci6n regresiva obtenemos

x = 589 = 100 Xl = 470 +610(100) = 531 = 100 2 589 531 531

Observe que en este caso X= (J es la soluci6n exacta del sistema dado bull

Instrucci6n en DERIVE

SWAP(A i j) Intercambia las filas (0 elementos) i y j de la matriz A (de un vector) 0

Nota En el procedimiento de pivoteo maximo por columna (p ivoteo parcial) cada multiplicador mi j es tal que

y aunque esta estrategia permite resolver satisfactoriamente muchos sistemas de ecuaciones lineales hay casos donde fracasa como se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 34 Consideremos el sistema

El 300Xl + 58900x2 59200 E2 531x1 -610X2 - 470

el cual es un sistema equivalente al del ejemplo 33 (los coeficientes de la primera ecuaci6n

en el sistema del ejemplo 33 han sido multiplicados por 10 3) EI pivoteo maximo por

columna con aritmetica de redondeo a tres dig itos nos lIeva a los siguientes resultados

59200) E2 1 (-~pound) (m 2 1 =177) ) ( 300 58900 59200 ) (A b) = ( 300 58900 531 - 610 470 o - 10400 -10500

y por sustituci6n regresiva x2 = 101 Y Xl = - 100 que es la misma solucion que se obtiene si ~ usamos eliminaci6n Gaussiana simple

114 METODOS NUMERICOS

N6tese nuevamente que Si A E R nxn es simetrica y definida positiva entonces A tiene

factorizaci6n A = LU con L triangular inferior con sus componentes sabre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (ver mas adelante factorizaci6n de Choleski)

Observe que la matriz de coeficientes de l ejemplo 33 anterior no es simetrica

34 ESTRATEGIAS DE PIVOTEO

EI eJemplo 33 anterior muestra una de las dificultades que pueden surgir al aplicar el metodo

de eliminaci6n Gaussiana cuando el pivote ajj-1) es pequeno comparado con algunos

(j-1) e ementos I a t para J ~ I t ~ n

Para tratar de evitar tales dificultades se introduce en el metodo de eliminaci6n Gaussiana una estrategia IIamada de pivoteo la cual consiste en seleccionar el pivote de acuerdo con un cierto criter io Nosotros usaremos dos estrategias la estrategia de pivoteo maximo por columna 0 pivoteo parcial y la estrategia de pivoteo escalado de fila 0 escalamiento

341 Pivoteo maximo por columna 0 pivoteo parcial Esta estrategia difiere de

eliminaci6n Gaussiana simple unicamente en la escogencia del pivote ajj-1) la cual se hace

ahora as

Para j = 12 n - 1 se determina el menor entero k J ~ k ~ n tal que

y

es decir seleccionamos el primer elemento diferente de cero sobre la columna j-esima a

partir de la j-esima fila y que tenga mayor valor absoluto (para j = 1 a~j j1 ) = al~) ak 1 )

Si tal k no existe el sistema no tiene soluci6n unica y el proceso se puede terminar

Si tal k existe y k ot j entonces hacemos intercambio de las ecuaciones j-esima y k-esima

y continuamos con la eliminaci6n Gaussiana l

Ilustremos esta estrategia para resolver el sistema

E1 03X1 + 589x2 = 592 E2 531x1 - 61 OX 2 = 470

entonces k = 2 ot 1= j asl que

Por sustituci6n regresiva

Observe que en este caSO

SWAP(A i j)

que es el mismo del ejemplo 33 usando aritmetica con redondeo a tres digitos

Como para j = 1 se tiene que

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 115

Max Iall I Ia21 I = Max 03 531 = 531 = Ia21 I 0

entonces k = 2 1= j as i que intercambiamos El y E2 Y continuamos con la el imi nac i6n

531 - 610 (A b)= ( 03 589 592) 470) (531 - 610 470 03 589 592

E2I (~) ( m21=5 65 ~ 1O - l) 531 - 610 5 31 470) ------------------~) ( o 589 589

Por sustituci6n regresiva obtenemos

x = 589 = 100 Xl = 470 +610(100) = 531 = 100 2 589 531 531

Observe que en este caso X= (J es la soluci6n exacta del sistema dado bull

Instrucci6n en DERIVE

SWAP(A i j) Intercambia las filas (0 elementos) i y j de la matriz A (de un vector) 0

Nota En el procedimiento de pivoteo maximo por columna (p ivoteo parcial) cada multiplicador mi j es tal que

y aunque esta estrategia permite resolver satisfactoriamente muchos sistemas de ecuaciones lineales hay casos donde fracasa como se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 34 Consideremos el sistema

El 300Xl + 58900x2 59200 E2 531x1 -610X2 - 470

el cual es un sistema equivalente al del ejemplo 33 (los coeficientes de la primera ecuaci6n

en el sistema del ejemplo 33 han sido multiplicados por 10 3) EI pivoteo maximo por

columna con aritmetica de redondeo a tres dig itos nos lIeva a los siguientes resultados

59200) E2 1 (-~pound) (m 2 1 =177) ) ( 300 58900 59200 ) (A b) = ( 300 58900 531 - 610 470 o - 10400 -10500

y por sustituci6n regresiva x2 = 101 Y Xl = - 100 que es la misma solucion que se obtiene si ~ usamos eliminaci6n Gaussiana simple

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 115

Max Iall I Ia21 I = Max 03 531 = 531 = Ia21 I 0

entonces k = 2 1= j as i que intercambiamos El y E2 Y continuamos con la el imi nac i6n

531 - 610 (A b)= ( 03 589 592) 470) (531 - 610 470 03 589 592

E2I (~) ( m21=5 65 ~ 1O - l) 531 - 610 5 31 470) ------------------~) ( o 589 589

Por sustituci6n regresiva obtenemos

x = 589 = 100 Xl = 470 +610(100) = 531 = 100 2 589 531 531

Observe que en este caso X= (J es la soluci6n exacta del sistema dado bull

Instrucci6n en DERIVE

SWAP(A i j) Intercambia las filas (0 elementos) i y j de la matriz A (de un vector) 0

Nota En el procedimiento de pivoteo maximo por columna (p ivoteo parcial) cada multiplicador mi j es tal que

y aunque esta estrategia permite resolver satisfactoriamente muchos sistemas de ecuaciones lineales hay casos donde fracasa como se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 34 Consideremos el sistema

El 300Xl + 58900x2 59200 E2 531x1 -610X2 - 470

el cual es un sistema equivalente al del ejemplo 33 (los coeficientes de la primera ecuaci6n

en el sistema del ejemplo 33 han sido multiplicados por 10 3) EI pivoteo maximo por

columna con aritmetica de redondeo a tres dig itos nos lIeva a los siguientes resultados

59200) E2 1 (-~pound) (m 2 1 =177) ) ( 300 58900 59200 ) (A b) = ( 300 58900 531 - 610 470 o - 10400 -10500

y por sustituci6n regresiva x2 = 101 Y Xl = - 100 que es la misma solucion que se obtiene si ~ usamos eliminaci6n Gaussiana simple

116 METODOS NUMERICOS

En casas como el de este ejemplo donde un pivote es mucho mas pequeno que alguno de los coeficientes de la ecuacion que el encabeza se recomienda la tecnica conocida como pivoteo escalado de fila 0 escalamiento la cual es nuestra segunda estrategia

342 Pivoteo escalado de fila Esta tecnica solo difiere de la eliminaci6n Gaussiana simple al igual que el pivoteo parcial en la escogencia del pivote

lEsta vez el pivote alr ) se escoge como se indica a continuacion

Para j = 12 n - 1 hacemos 10 siguiente

a) Para i = j j + 1 n calculamos

S = Max Ia(l- l) I Factor de escala I j s i s n II

Si Sj = 0 entonces el sistema no tiene solucion unica y el proceso se puede terminar

b) Para i = jj+1 n calculamos

c) Encontramos el menor entero k con j o k 0 n tal que

Ia~jjl ) I IaH- l) I -------- = Max --------

Sk j S j $ n SI

Si tal k no existe entonces el sistema no tiene solucion unica y el proceso se puede terminar

Si tal k existe y kF j entonces hacemos intercambio de las ecuaciones j-esima y kshyesima

y continuamos con la eliminacion Gaussiana V

Apliquemos esta estrategia para resolver el sistema del ejemplo 34 usando aritmetica con redondeo a tres dfgitos

Para j = 1

a) Sl = Max Iall I I a12 I = Max 300 58900 = 58900F 0 Y

Max 53~ 610 IshyS2 =Max a21 a n -shy

b) Ahora ~= 51

la0

l 300

S2

531 al l I a21 -Max - 0 -

c) Max -S -S- - 5890 NIl 1 2

las ecuaciolllltanto intercamblamos

Gaussiana

300 58900 (A b) = ( 531 -610

Por sustitucion regresiva

Xl tOO

Observe que en este GaSO X

35 FACTORIZACION

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 117

8 2 =Max I a21 I I a22 1 =Max 531 610 = 610 0

b) Ahora

Ia I 300 - 8- = 58900 Y

1

Ia 2 I 531 - - = - shy

6108 2

c) Max ~ ~ I=Max ~ 531 = 531 =~ 0 as que k = 2 1= j y por8 8 2 58900 60 60 8 2

tanto intercambiamos las ecuaciones E y E2 Y continuamos con la eliminacion

Gaussiana

(A b) = (300 58900 59200) p ( 531 -610 470 ) 2 )

531 - 610 470 300 58900 59200

E2 (300) (m2 =565 ) ( 531 -6 1 0531 47 0 )

--------------~) o 58900 58900

Por sustituci6n regresiva

_ 470 +610(100) 531X2 = 100 Xl = =-- = 100

531 531

Observe que en este caso X= ( ~ J = ( 100) es la solucion exacta del sistema bull 100x2

35 FACTORIZACION TRIANGULAR

Consideremos un sistema AX = b con A no-singular y b 0 Con respecto a la matriz A se sabe que existen matrices P de permutaci6n L triangular inferior con sus componentes sobre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (escalon ada) tales que PA = LU Una forma eficiente computacionalmente de encontrar P L Y U usando eliminaci6n Gaussiana se muestra en el siguiente ejemplo Ejemplo 35 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando eliminacion Gaussiana con pivoteo parcial y obtenga una factorizaci6n PA =LU para la matriz A de coeficientes asociada con este metodo

- x + 2X2 - 3X3 = -2 3x1 - 3x2 - X 3 = -4

x + x2 = 3IEmpezamos introduciendo un vector p =(PP2P3) T el cual inicializamos_con P = i i = 123 Y

donde se almacenaran los intercambios necesarios en el proceso de eliminacion Gaussiana

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 117

8 2 =Max I a21 I I a22 1 =Max 531 610 = 610 0

b) Ahora

Ia I 300 - 8- = 58900 Y

1

Ia 2 I 531 - - = - shy

6108 2

c) Max ~ ~ I=Max ~ 531 = 531 =~ 0 as que k = 2 1= j y por8 8 2 58900 60 60 8 2

tanto intercambiamos las ecuaciones E y E2 Y continuamos con la eliminacion

Gaussiana

(A b) = (300 58900 59200) p ( 531 -610 470 ) 2 )

531 - 610 470 300 58900 59200

E2 (300) (m2 =565 ) ( 531 -6 1 0531 47 0 )

--------------~) o 58900 58900

Por sustituci6n regresiva

_ 470 +610(100) 531X2 = 100 Xl = =-- = 100

531 531

Observe que en este caso X= ( ~ J = ( 100) es la solucion exacta del sistema bull 100x2

35 FACTORIZACION TRIANGULAR

Consideremos un sistema AX = b con A no-singular y b 0 Con respecto a la matriz A se sabe que existen matrices P de permutaci6n L triangular inferior con sus componentes sobre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (escalon ada) tales que PA = LU Una forma eficiente computacionalmente de encontrar P L Y U usando eliminaci6n Gaussiana se muestra en el siguiente ejemplo Ejemplo 35 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando eliminacion Gaussiana con pivoteo parcial y obtenga una factorizaci6n PA =LU para la matriz A de coeficientes asociada con este metodo

- x + 2X2 - 3X3 = -2 3x1 - 3x2 - X 3 = -4

x + x2 = 3IEmpezamos introduciendo un vector p =(PP2P3) T el cual inicializamos_con P = i i = 123 Y

donde se almacenaran los intercambios necesarios en el proceso de eliminacion Gaussiana

118 METODOS NUMERICOS

con pivoteo parcial (el numero de componentes del vector p coincide con el orden n del sistema a resolver)

- 1 2 -3 -2] -4] - 2 P = (123) T (Ab) = ~ - 3 -1 - 4

[ o 3 3

3 - 3 - 1 - 4(m=-H (m3l = ~ )

E( - ~) E3(~) 10 10(-i) 3 3

2(i) 1 13 3 3

(Observe que cada multiplicador mij es almacenado en la posici6n correspondiente (i j) en

la matriz de trabajo)

3 - 3 -1 - 4

Max 121 =2 p=( 23 1) T bull (i) 2 1

-

3 13 3

(-i) 10 3

10 3

(Observe que la permutaci6n se hace para las filas 2 y 3 completas es decir incluyendo los multiplicadores)

3 - 3 - 1 --4(mJ2 = ~ ) E3( ~)

2(i) 13 3 3

(- i) (i) 7 11 2 2

La eficiencia en el metoda indicado se debe a que en la misma matriz de trabajo se almacenan los multiplicadores que van a conformar la matriz L (en el ejemplo son los numeros que se encuentran dentro de parentesis) 10 que significa un ahorro de memoria y como los intercambios necesarios afectan simultaneamente a las matrices L y U se evita tener que volver a la matriz original a realizar los intercambios ya observados y repetir la eliminaci6n Gaussiana con pivoteo parcial De esta manera al terminar el proceso de eliminaci6n podemos leer en la matriz final la parte estrictamente triangular inferior de L (son los numeros entre parentesis) y la matriz triangular superior U (que es la parte triangular superior de la matriz final) y en el vector p final quedan almacenados los intercambios realizados que se usan para producir la matriz de permutaci6n P

Para el ejemplo 35

3 -31 0 0 1 0 2U=0L= 3 1 1 0 0-3 2

(Verifique que PA =LU)

Para obtener la soluci6n del sistema

reducido

yobtenemos

C6mo se resuelve el

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 119

Para el ejemplo 35

1 0 0 3 -3 - 1 1 1 1

L= - 0 U= 0 2 - Y como P~ (231) entonces [~ 0 lp3 3 1 1 7 0

-- - 0 0 3 2 2

(Verifique que PA = LU )

Para obtener la soluci6n del sistema original usamos sustituci6n regresiva en el sistema reducido

-4 13

UX = 3

11

2 ~

c y obtenemos

asi que la soluci6n (exacta) del sistema dado es X = (23 40 ~)T21 21 7

C6mo se resuelve el sistema AX = b a partir de la factorizaci6n PA = LU obtenida bull

351 Algunas aplicaciones de la factorizaci6n PA = LU La factorizaci6n PA = LU es utilizada eficientemente en aquellos casos donde se trabaja repetfdamente con la misma matriz A Dos de esos casos se presentan a continuaci6n

1) Resolver varios sistemas AX =b con la misma matriz de coeficientes A ya que en p L Y U esta almacenado todo el proceso de eliminaci6n Gaussiana EI algoritmo se bas a en la siguiente equivalencia

AX = b lt=gt PAX = Pb lt=gt LUX = Pb

lt=gt UX = L- 1Pb

lt=gtUXoo c y c oo L- 1Pb

lt=gt UX == C Y Lc = Pb lt=gt Lc = Pb Y UX = c

Los pasos a seguir son

Paso 1 Calcular Pb Paso 2 Resolver para c Lc = Pb por sustituci6n progresiva Paso 3 Resolver para X UX = c por sustituci6n regresiva

Como ejercicio resuelva el sistema del ejemplo anterior usando este algoritmo

120 METODOS NUMERICOS

2) Encontrar la matriz inversa A -1 de una matriz invertible A resolviendo los n-sistemas

AX =eU) j = 12 n

donde e(1) =(O O1 o 0f ERn

t posicion j

La solucion X del sistema AX = e(n j = 12 n produce la correspondiente columna j shy

esima de la matriz A -1

Como ejercicio compare el numero de operaciones para encontrar A - usando el metodo de Gauss-Jordan con el numero de operaciones resolviendo los n-sistemas indicados antes V

Ejercicio 33 Calcule la inversa de la matriz A de coeficientes del sistema del ejemplo 35 usando el metodo de Gauss-Jordan y tambien usando la factorizacion PA = LU bull

36 SISTEMAS TRIDIAGONALES

Un caso muy importante de sistemas de ecuaciones lineales que requiere un tratamiento especial es el de los sistemas tridiagonales Tales sistemas aparecen en diversas aplicaciones como por ejemplo al utilizar metodos de diferencias flnitas en la solucion de problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias y como veremos mas adelante en el problema de la interpolacion segmentaria cubica

Un sistema tridiagonal es de la forma

dx1 + C1X2

a 2 x + d2 x2 + C 2 X 3

a3 x2 + d3 x3 + C 3 X 4

an-1Xn- 2 + dn_ xn_ + cn_xn = bn_1

anxn_1 + dnxn = bn

La matriz de coeficientes del sistema es

C 0 0 od1

0a 2 d2 c2

o a3 d3 c 3

A =

o

la cual se dice una matriz TRIDIAGONAL

En general

ij=12 n

suponiendo que la matriz A de podemos usar eliminaclon Gausslana eliminacion Gaussiana simple es adecuadl EDD por filas) Otra forma de resolver

EDD por filas es a partir de la componentes de las matrices L Y U as triangular inferior con todos sus superior Para encontrar tales malnce5

o 0 0

Y2 o o o o

L =

o Yn t

o o

Como Cl Ct

Y2 Cl Y2C +az

0 h a2

LU =

0

0

d

=

Capitulo 3 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 119

Para el ejemplo 35

1 0 0 3 -3 - 1 1 1 1

L= - 0 U= 0 2 - Y como P~ (231) entonces [~ 0 lp3 3 1 1 7 0

-- - 0 0 3 2 2

(Verifique que PA = LU )

Para obtener la soluci6n del sistema original usamos sustituci6n regresiva en el sistema reducido

-4 13

UX = 3

11

2 ~

c y obtenemos

asi que la soluci6n (exacta) del sistema dado es X = (23 40 ~)T21 21 7

C6mo se resuelve el sistema AX = b a partir de la factorizaci6n PA = LU obtenida bull

351 Algunas aplicaciones de la factorizaci6n PA = LU La factorizaci6n PA = LU es utilizada eficientemente en aquellos casos donde se trabaja repetfdamente con la misma matriz A Dos de esos casos se presentan a continuaci6n

1) Resolver varios sistemas AX =b con la misma matriz de coeficientes A ya que en p L Y U esta almacenado todo el proceso de eliminaci6n Gaussiana EI algoritmo se bas a en la siguiente equivalencia

AX = b lt=gt PAX = Pb lt=gt LUX = Pb

lt=gt UX = L- 1Pb

lt=gtUXoo c y c oo L- 1Pb

lt=gt UX == C Y Lc = Pb lt=gt Lc = Pb Y UX = c

Los pasos a seguir son

Paso 1 Calcular Pb Paso 2 Resolver para c Lc = Pb por sustituci6n progresiva Paso 3 Resolver para X UX = c por sustituci6n regresiva

Como ejercicio resuelva el sistema del ejemplo anterior usando este algoritmo

120 METODOS NUMERICOS

2) Encontrar la matriz inversa A -1 de una matriz invertible A resolviendo los n-sistemas

AX =eU) j = 12 n

donde e(1) =(O O1 o 0f ERn

t posicion j

La solucion X del sistema AX = e(n j = 12 n produce la correspondiente columna j shy

esima de la matriz A -1

Como ejercicio compare el numero de operaciones para encontrar A - usando el metodo de Gauss-Jordan con el numero de operaciones resolviendo los n-sistemas indicados antes V

Ejercicio 33 Calcule la inversa de la matriz A de coeficientes del sistema del ejemplo 35 usando el metodo de Gauss-Jordan y tambien usando la factorizacion PA = LU bull

36 SISTEMAS TRIDIAGONALES

Un caso muy importante de sistemas de ecuaciones lineales que requiere un tratamiento especial es el de los sistemas tridiagonales Tales sistemas aparecen en diversas aplicaciones como por ejemplo al utilizar metodos de diferencias flnitas en la solucion de problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias y como veremos mas adelante en el problema de la interpolacion segmentaria cubica

Un sistema tridiagonal es de la forma

dx1 + C1X2

a 2 x + d2 x2 + C 2 X 3

a3 x2 + d3 x3 + C 3 X 4

an-1Xn- 2 + dn_ xn_ + cn_xn = bn_1

anxn_1 + dnxn = bn

La matriz de coeficientes del sistema es

C 0 0 od1

0a 2 d2 c2

o a3 d3 c 3

A =

o

la cual se dice una matriz TRIDIAGONAL

En general

ij=12 n

suponiendo que la matriz A de podemos usar eliminaclon Gausslana eliminacion Gaussiana simple es adecuadl EDD por filas) Otra forma de resolver

EDD por filas es a partir de la componentes de las matrices L Y U as triangular inferior con todos sus superior Para encontrar tales malnce5

o 0 0

Y2 o o o o

L =

o Yn t

o o

Como Cl Ct

Y2 Cl Y2C +az

0 h a2

LU =

0

0

d

=

120 METODOS NUMERICOS

2) Encontrar la matriz inversa A -1 de una matriz invertible A resolviendo los n-sistemas

AX =eU) j = 12 n

donde e(1) =(O O1 o 0f ERn

t posicion j

La solucion X del sistema AX = e(n j = 12 n produce la correspondiente columna j shy

esima de la matriz A -1

Como ejercicio compare el numero de operaciones para encontrar A - usando el metodo de Gauss-Jordan con el numero de operaciones resolviendo los n-sistemas indicados antes V

Ejercicio 33 Calcule la inversa de la matriz A de coeficientes del sistema del ejemplo 35 usando el metodo de Gauss-Jordan y tambien usando la factorizacion PA = LU bull

36 SISTEMAS TRIDIAGONALES

Un caso muy importante de sistemas de ecuaciones lineales que requiere un tratamiento especial es el de los sistemas tridiagonales Tales sistemas aparecen en diversas aplicaciones como por ejemplo al utilizar metodos de diferencias flnitas en la solucion de problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias y como veremos mas adelante en el problema de la interpolacion segmentaria cubica

Un sistema tridiagonal es de la forma

dx1 + C1X2

a 2 x + d2 x2 + C 2 X 3

a3 x2 + d3 x3 + C 3 X 4

an-1Xn- 2 + dn_ xn_ + cn_xn = bn_1

anxn_1 + dnxn = bn

La matriz de coeficientes del sistema es

C 0 0 od1

0a 2 d2 c2

o a3 d3 c 3

A =

o

la cual se dice una matriz TRIDIAGONAL

En general

ij=12 n

suponiendo que la matriz A de podemos usar eliminaclon Gausslana eliminacion Gaussiana simple es adecuadl EDD por filas) Otra forma de resolver

EDD por filas es a partir de la componentes de las matrices L Y U as triangular inferior con todos sus superior Para encontrar tales malnce5

o 0 0

Y2 o o o o

L =

o Yn t

o o

Como Cl Ct

Y2 Cl Y2C +az

0 h a2

LU =

0

0

d

=