3.3. derivadas de funciones trascendentes julio c. carrillo...

Cálculo I

3.3. Derivadas de Funciones Trascendentes

Julio C. Carrillo E.

*

Índice

1. Introducción 1

2. Derivadas de funciones trigonométricas 1

3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas 7

4. Derivadas de la función exponencial y logaritmo 11

5. Derivadas de funciones hiperbólicas 16

*Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

Cálculo I

1. Introducción

2. Derivadas de funciones trigonométricas

Recordemos que

lım

x!0

sen x

x

= 1, lım

x!0

cos x� 1

x

= 0.

Sea f (x) = sen x. De la definición de derivada,

f

0(x) = lım

h!0

f (x + h)� f (x)

h

= lım

h!0

sen(x + h)� sen x

h

= lım

h!0

sen x cosh + cosx senh� sen x

h

= lım

h!0

sen x(cosh� 1) + cosx senh

h

= lım

h!0

✓sen x

cosh� 1)

h

+ cosx

senh

h

◆

= senx lım

h!0

cosh� 1

h

+ cosx lım

h!0

senh

h

(reglas del límite)

= cosx.

c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 1/25

Cálculo I

Por lo tanto,

d

dx

sen x = cosx.

De igual modo se puede demostrar que

d

dx

cos x = � sen x.

Para derivar tan x =

sen x

cos x

se utiliza la regla del cociente:

d

dx

tan x =

cos x

d

dx

sen x� sen x

d

dx

cos x

cos

2x

=

cos x cos x� sen x (� sen x)

cos

2x

=

cos

2x + sen

2x

cos

2x

=

1

cos

2x

= sec

2x.

Entonces,

d

dx

tan x = sec

2x.

De igual modo,

d

dx

cot x = � csc

2x.


Cálculo I

Lo mismo se hace para derivar sec x =

1

cos x

:

d

dx

sec x =

cos x

d

dx

(1)� 1 · d

dx

cos x

cos

2x

=

0� (� sen x)

cos

2x

=

sen x

cos

2x

=

1

cos x

sen x

cos x

= secx tan x.

Por lo tanto,

d

dx

sec x = secx tan x.

De igual modo se establece que

d

dx

csc x = � csc x cot x.

Teorema 1 (Derivadas de funciones trigonométricas). Las derivadas de las funciones trigonométricas

son

d

dx

sen x= cosx,

d

dx

cos x= � sen x,

d

dx

tan x= sec

2x,

d

dx

cot x= � csc

2x,

d

dx

sec x= secx tan x,

d

dx

csc x= � csc x cot x.


Cálculo I

Ejemplo 1. Encontrar la derivada de las siguientes funciones.

1. y = x

2sen x.

2. y = sen

2x.

3. y =

cos x

2 + sec x

.

4. y = 5 sen x cos x + 4 cscx

5. P (t) =

sen t

3� 2 cos t

.

Ejemplo 2. Encontrar las segundas derivadas de las siguientes funciones.

1. y = secx.

2. y = x

3cos x.

Ejemplo 3. Resuelva los siguientes problemas.

1. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = sen x en x =

4⇡

3

.


Cálculo I

2. Suponga que la cantidad de dinero en banco está dada por la función

P (t) = 500 + 100 cos t� 150 sen t,

donde t es dado en años. Determine durante los 10 años que la cuenta estuvo abierta, en que periodos

la cantidad de dinero se estuvo incrementando.

La siguiente es la regla de la cadena para las funciones trigonométricas.

Teorema 2 (Derivadas de funciones trigonométricas). Si u = g(x) es derivable en x, entonces

d

dx

sen u= cosu

du

dx

,

d

dx

cos u= � sen

du

dx

,

d

dx

tanu= sec

2 du

dx

,

d

dx

cotu= � csc

2 du

dx

,

d

dx

secu= secu tan

du

dx

,

d

dx

cscu= � cscu cot

du

dx

.

Ejemplo 4. Derive las siguientes funciones.

1. y = cos 4x

3.

2. y = senx

2.

3. y = tan(6x

2+ 1).


Cálculo I

4. y = (9x

3+ 1)

3sen 5x.

5. y = cos

4(7x

3 � 1).

6. y = tan(sen x).

7. y = sen

⇣tan

p3x

2+ 4

⌘.

8. y =

1� cos(tan(x

2+ 1))

csc

2x

.

9. g(x) = 3 sec x

2 � 10 cot(x� 1).

10. f (t) = 3t

�4 � t

2tan(1�

pt).

11. y = 5 sen(x

2 � 1) cos(x

2+ 1) + 4 cscx

2.

Ejemplo 5. Encuentre dy/dx a partir de las las siguientes ecuaciones.

1. sen y

2= y cos 2x.

2. x

2tan y

4+ y

10sec x = 2x� 1.


Cálculo I

3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Definición 1. Para la función inversa de seno se

tiene que

y = sen

�1x

si y sólo si

sen y = x, �1 x 1, �⇡/2 y ⇡/2.

Al derivar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla de la cadena se tiene

d

dx

sen y =

d

dx

x =) cos y · y0 = 1 =) y

0=

1

cos y

=

1p1� sen

2y

=

1p1� x

2.

Por lo tanto,

d

dx

sen

�1x =

1p1� x

2, �1 < x < 1.

Definición 2. Para la función coseno inversa se tie-

ne que

y = cos

�1x

si y solo si

cos y = x, �1 x 1, 0 y ⇡.


Cálculo I

También se puede establecer que

d

dx

cos

�1x =

�1p1� x

2, �1 < x < 1.

Definición 3. Para la función inversa de tangente

se tiene que

y = tan

�1x

si y sólo si

tan y = x, �1 < x < 1, �⇡/2 < y < ⇡/2.


d

dx

tan y =

d

dx

x =) sec

2y · y0 = 1 =) y

0=

1

sec

2y

=

1

1 + tan

2y

=

1

1 + x

2.

Por lo tanto,

d

dx

tan

�1x =

1

1 + x

2�1 < x < 1.

Definición 4. Para la función inversa de cotangente

se tiene que

y = cot

�1x

si y sólo si

cot y = x, �1 < x < 1, 0 < y < ⇡.


Cálculo I

De igual modo,

d

dx

cot

�1x =

�1

1 + x

2�1 < x < 1.

Definición 5. Para la función inversa de secante se

tiene que

y = sec

�1x

si y sólo si

sec y = x, |x| > 1, 0 y < ⇡/2 o ⇡/2 < y ⇡.


d

dx

sec y =

d

dx

x=)sec y tan y · y0 = 1=)y

0=

1

sec y tan y

=

1

sec y

⇣±p

sec

2y � 1

⌘

= ± 1

x

px

2 � 1

, |x| > 1,

=

1

|x|px

2 � 1

Por lo tanto,

d

dx

sec

�1x =

1

|x|px

2 � 1

|x| > 1.


Cálculo I

Definición 6. Para la función inversa de cosecante

se tiene que

y = csc

�1x

si y sólo si

csc y = x, |x| > 1, �⇡/2 y < 0 o 0 < y ⇡/2.

De igual modo,

d

dx

csc

�1x =

�1

|x|px

2 � 1

|x| > 1.

Teorema 3 (Derivada de funciones trigonométricas inversas). Si u = g(x) es una función diferenciable,

entonces

d

dx

sen

�1u=

1p1� u

2

du

dx

,

d

dx

cos

�1u=

�1p1� u

2

du

dx

,

d

dx

tan

�1u=

1

1 + u

2

du

dx

,

d

dx

cot

�1u=

1

1 + u

2

du

dx

,

d

dx

sec

�1u=

1

|u|pu

2 � 1

du

dx

,

d

dx

csc

�1u=

�1

|u|pu

2 � 1

du

dx

,


Cálculo I

Ejemplo 6. Calcule las siguientes derivadas.

a

4. Derivadas de la función exponencial y logaritmo

Sea f (x) = a

x

donde a > 0. Aplicando la definición de derivada,

f

0(x) = lım

h!0

f (x + h)� f (x)

h

= lım

h!0

a

x+h � a

x

h

= lım

h!0

a

x

a

h � a

x

h

= lım

h!0

a

x

(a

h � 1)

h

= a

x

lım

h!0

a

h � 1

h

= a

x

f

0(0),

pues el factor a

x

no depende de h y

f

0(0) = lım

h!0

f (h)� f (0)

h

= lım

h!0

a

h � 1

h

. (1)

Por lo tanto,

f

0(x) = f

0(0)a

x

. (2)

La siguiente tabla da algunos valores aproximados de f

0(0) para f (x) = a

x

con a = 2, 3.


Cálculo I

h 0,1 0,01 0,001 0,0001

2

h � 1

h

0,7171 0,6956 0,6934 0,6932

3

h � 1

h

1,1612 1,1047 1,0992 1,0987

Así,

d

dx

2

x

��x=0

⇡ 0,6932,

d

dx

3

x

��x=0

⇡ 1,0987.

Definición 7 (El número e). El número e (de Euler) es el número real tal que

lım

h!0

e

h � 1

h

= 1. (3)

De (1) a (3) se obtiene que la derivada de la función exponencial natural f (x) = e

x

es

d

dx

e

x

= e

x

.

Para encontrar la derivada de cualquier función exponencial f (x) = a

x

, a > 0, se aplica las propiedades

de la función exponencial, el teorema anterior y la regla de la cadena:

d

dx

a

x

=

d

dx

e

ln ax=

d

dx

e

x ln a= e

x ln a d

dx

(x ln a) = a

x

ln a.

Teorema 4 (Derivada de funciones exponenciales). Sea a > 0. Si u = g(x) es una función derivable,

entonces

d

dx

e

u

= e

u

du

dx

,


Cálculo I

y

d

dx

a

x

= a

x

ln a

du

dx

.

Para encontrar la derivada de la función logaritmo

f (x) = log

a

x =

ln x

ln a

, a > 0,

primero se encuentra la derivada de la función logaritmo natural, y = ln x. En efecto, Si y = ln x entonces

e

y

= x, y

d

dx

e

y

=

d

dx

1 =) e

y

y

0= 1 =) y

0=

1

e

y

=

1

x

.

Se tiene así el siguiente teorema.

Teorema 5 (Derivada de funciones logaritmo). Sea a > 0. Si u = g(x) es una función derivable, entonces

d

dx

ln u =

1

u

du

dx

,

y

d

dx

log

a

x =

1

u ln a

du

dx

.

Ejemplo 7. Encuentre las derivadas de cada una de las siguientes funciones.

1. y = e

�x

.


Cálculo I

2. y = e

1/x.

3. y = 8

3x2.

4. f (x) = x

3ln x.

5. r(u) = 4

u � 5 log9 u.

6. f (t) = 2e

t

+ 10t

2ln t.

7. y =

2e

x

3e

x

+ 1

.

8. f (x) = ln x

3.

9. f (x) = ln(cos x).

10. y = ln(2x

1/5 � 3).

11. y = ln

x

1/2(2x + 7)

4

(3x

2+ 1)

2.

12. y = ln(ln x).

Ejemplo 8. Encuentre las siguientes derivadas aplicando derivación logarítmica.

1. y = x

px

, x > 0.

2. y =

3px

4+ 6x

2(8x + 3)

5

(2x

2+ 7)

2/3.


Cálculo I

Ejemplo 9. Encuentre dy/dx para cada uno de los siguientes casos.

1. e

2x�3y � x

2= ln xy

2.

2. 5e

3y2+ 8 ln(x + y

2) = 1.

Ejemplo 10. Resuelva los siguientes problemas.

1. Dado que la posición vertical de un objeto está dada como s(t) = te

t

, establezca si alguna vez el objeto

para de subir.

2. Encuentre los puntos sobre la gráfica de y = 3x

2e

�x

2donde la recta tangente es horizontal.

3. Encuentre el punto sobre la gráfica de f (x) = 2e

�x

donde la recta tangente es paralela a y = �4x� 2.

4. Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de y = log10 x en x = 2.


Cálculo I

5. Derivadas de funciones hiperbólicas

Catenaria (catenariam), cadena colgante.

f (x) = k

e

cx

+ e

�cx

2

, c, k constantes.


Cálculo I

Funciones hiperbólicas

senh x =

e

x � e

�x

2

cosh x =

e

x

+ e

�x

2

tanh x =

senh x

cosh x

=

e

x � e

�x

e

x

+ e

�x

coth x =

cosh x

senh x

=

e

x

+ e

�x

e

x � e

�x

, x 6= 0


Cálculo I

sech x =

1

cosh x

=

2

e

x

+ e

�x

csch x =

1

senh x

=

2

e

x � e

�x

, x 6= 0

Identidades hiperbólicas

1. Las identidades hiperbólicas básicas son,

senh(�x) = � senh x, cosh(�x) = cosh x, tanh(�x) = � tanh x,

cosh

2x� senh

2x = 1, 1� tanh

2x = sech

2x, coth

2x� 1 = csch

2x.

2. Las identidades hiperbólicas de la suma de ángulos son,

senh(x± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y,

cosh(x± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y.


Cálculo I

En particular,

senh 2x = 2 senh x cosh x,

cosh 2x = cosh

2x + senh

2x,

senh

2x =

cosh 2x� 1

2

,

cosh

2x =

cosh 2x + 1

2

.

Derivada de funciones hiperbólicas

Se tiene que

d

dx

senh x =

d

dx

e

x � e

�x

2

=

e

x

+ e

�x

2

= coshx.

En general, se tienen las siguientes fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 6 (Derivadas de funciones hiperbólicas). Sea u = g(x) una función derivable. Entonces,

d

dx

senhu= coshu

du

dx

,

d

dx

cosh u= senhu

du

dx

,

d

dx

tanhu= sech

2u

du

dx

,

d

dx

coth u= � csch

2u

du

dx

,

d

dx

sech u= � sech u tanhu

du

dx

,

d

dx

csch u= � csch u coth u

du

dx

.


Cálculo I

Ejemplo 11. Encuentre dy/dx para cada caso.

a) y = senh

p2x + 1 b) y = coth(x

3 � 1) c) x

2sech

2y � xy = 10y

3.

Solución. a) Por la derivada de la función seno hiperbólico,

dy

dx

= cosh

p2x + 1

d

dx

p2x + 1 = cosh

p2x + 1

✓2

2

p2x + 1

◆=

cosh

p2x + 1p

2x + 1

.

Para b),

dy

dx

= � csch

2(x

3 � 1)

d

dx

(x

3 � 1) = �3x

2csch

2(x

3 � 1).

Para evaluar la derivada dy/dx en c) se utiliza la regla de la cadena:

2x sech

2y + x

2

✓2 sech y (� sech y tanh y)

dy

dx

◆�✓y + x

dy

dx

◆= 10

✓3y

2dy

dx

◆.

Despejando dy/dx,

2x sech

2y � 2x

2sech

2y tanh y

dy

dx

� y � x

dy

dx

= 30y

2dy

dx

2x sech

2y � y =

�30y

2+ 2x

2sech

2y tanh y + x

�dy

dx

dy

dx

=

2x sech

2y � y

30y

2+ 2x

2sech

2y tanh y + x


Cálculo I

Funciones hiperbólicas inversas

y = senh

�1x y = cosh

�1x

y = tanh

�1x y = coth

�1x


Cálculo I

y = sech

�1x y = csch

�1x

Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos

y = senh

�1x =) x = senh y =

e

y � e

�y

2

=

e

2y � 1

2e

y

=) 2xe

y

= e

2y � 1

=) e

2y � 2xe

y � 1 = 0

=) e

y

=

2x±p4x

2+ 4

2

=) e

y

= x±px

2+ 1

=) e

y

= x +

px

2+ 1


Cálculo I

Por lo tanto,

y = senh

�1x = ln

⇣x +

px

2+ 1

⌘.

De igual modo, y = tanh

�1x

y = tanh

�1x =) x = tanh y =

e

y � e

�y

e

y � e

�y

=

e

2y � 1

e

2y+ 1

=) x(e

2y+ 1) = e

2y � 1

=) 1 + x = e

2y(1� x)

=) e

2y=

1 + x

1� x

=) 2y = ln

1 + x

1� x

Por lo tanto,

y = tanh

�1x =

1

2

ln

1 + x

1� x

.

El siguiente teorema reúne todas estas representaciones de las funciones hiperbólicas inversas como loga-

ritmos.


Cálculo I

Teorema 7 (Identidades logarítmicas de funciones hiperbólicas inversas).

senh

�1x= ln

⇣x +

px

2+ 1

⌘, cosh

�1x= ln

⇣x +

px

2 � 1

⌘, x � 1,

tanh

�1x=

1

2

ln

✓1 + x

1� x

◆, |x| < 1, coth

�1x=

1

2

ln

✓x + 1

x� 1

◆, |x| > 1,

sech

�1x= ln

1 +

p1� x

2

x

!, 0 < x 1, csch

�1x= ln

1

x

+

p1 + x

2

|x|

!, x 6= 0.

Derivada de funciones hiperbólicas inversas

Para encontrar la derivada de las funciones hiperbólicas inversas se puede recurrir a la regla de la cadena,

en forma similar a como ya se ha hecho, o derivar la representación logarítmica de esta funciones para

obtener sus derivada. Por ejemplo,

d

dx

senh

�1x =

d

dx

ln

⇣x +

px

2+ 1

⌘

=

1

x +

px

2+ 1

✓1 +

2x

2

px

2+ 1

◆

=

1

x +

px

2+ 1

x +

px

2+ 1p

x

2+ 1

=

1px

2+ 1

.


Cálculo I

De igual modo,

y = senh

�1x =) senh y = x

=) d

dx

senh y =

d

dx

x

=) cosh y

dy

dx

= 1

=) dy

dx

=

1

cosh y

=

1psenh

2y + 1

=) dy

dx

=

1px

2+ 1

.

Teorema 8 (Derivadas de funciones hiperbólicas inversas). Sea u = g(x) una función derivable. Enton-

ces,

d

dx

senh

�1u=

1pu

2+ 1

du

dx

,

d

dx

cosh

�1u=

1pu

2 � 1

du

dx

, u > 1,

d

dx

tanh

�1u=

1

1� u

2

du

dx

, |u| < 1,

d

dx

coth

�1u=

1

1� u

2

du

dx

, |u| > 1,

d

dx

sech

�1u=

�1

u

p1� u

2

du

dx

, 0 < u < 1,

d

dx

csch

�1u=

�1

|u|p1 + u

2

du

dx

, u 6= 0.

Ejemplo 12. Calcular dy/dx en cada caso.

a) y = senh

�1(x

2 � 5) b) y = coth

�12x y = e

x

2sech

�1x.


3.3. derivadas de funciones trascendentes julio c. carrillo...

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