8/18/2019 3.1_Extremos relativos(3)

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Cálculo MA459

CÁLCULO 1

Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS

Clase 5.1 Extremos relativos

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La figura muestra la gráfica del Ingreso Marginal ( Im ensoles !or cientos de unidades de las ventas de una em!resa."Cuántas unidades de#e vender !ara o!timi$ar el ingreso%

q

 Im

&'eflexin)

C*LCUL+ ,

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-unciones crecientes decrecientes

/e dice 0ue f es creciente en I  si !ara dos n2meros cuales0uiera x1 x, en I  donde x1 x,  se

cum!le 0ue f ( x1  f ( x,.

C*LCUL+ 3

/ea f una funcin e I  un intervalo.

/e dice 0ue f es decreciente en I 

si !ara dos n2meros cuales0uiera x1 x, en I  donde x1 x,  secum!le 0ue f ( x1 4 f ( x,.

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Criterio !ara funcin creciente decreciente

/i f ( x 6  !ara todo x en 7a; b8entonces f  es decreciente en 7a; b8.

/i f ( x 4 6  !ara todo x en 7a; b8entonces f  es creciente en 7a; b8.

C*LCUL+ 9

/ea f diferencia#le en el intervalo 7a b8.

;or e 1,.

?l derivar tenemos: f ´ ( x = ,( x > 1. f ´ ( x 4 6 !ara x 41 luego f  es creciente en 71 @∞8

 f ´ ( x 6 !ara x  1 entonces f  es decreciente en 7>∞ 18

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Extremos relativos de una funcin

Una funcin  f   tiene un máximo relativo en  x6 si existe un

intervalo a#ierto 0ue contenga a x6 so#re el cual f ( x6 4  f ( x !ara todo x en el intervalo. El máximo relativo es f ( x6. 

C*LCUL+ 5

Una funcin  f   tiene un mínimo relativo en  x6 si existe unintervalo a#ierto 0ue contenga a x

6

 so#re el cual f ( x6

   f ( x !ara todo x en el intervalo. El mAnimo relativo es f ( x6. 

6ba c d e x

 y

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Extremos a#solutos de una funcin

Una funcin f   tiene un máximo absoluto en x6 si  f ( x6 4  f ( x

 !ara todo x en el dominio de f . El máximo a#soluto es f ( x6. 

C*LCUL+ B

Una funcin f   tiene un mínimo absoluto en x6 si f ( x6   f ( x !ara todo x en el dominio de f . El mAnimo a#soluto es f ( x

6

. 

6ba c d e x

 y

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Máximos relativos en: x =    x =

MAnimos relativos en: x =    x =

Extremos relativos

6ba c d e x

 y

6 e

b c

C*LCUL+

/i f  tiene un extremo relativo en x6 entonces  f ( x6 = 6

o  f ( x6 no existe.Lo contrario no sucede es decir 0ue  f ( x6  = 6 no

garanti$a 0ue f ( x6 sea un extremo relativo.

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Dalor crAtico !unto crAtico

/i  x6 está en el dominio de  f    f ( x6 = 6 o  f ( x6 no

está definida entonces x6 se denomina valor crítico de  f ./i x6 es un valor crAtico entonces: el !unto ( x6 f ( x6 sedenomina punto crítico.

;or e,

33

,5(

 x= x f  

33

,

 xno existe en x = 6

vc: x = >, !c: (>, >1 vc: x = 6 !c: (6 6

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/ea f  continua en un intervalo a#ierto I   f diferencia#leen I exce!to !osi#lemente en el valor crAtico x6∈  I .

La funcin f  tiene un máximo relativo en x

6si f ′( x 4 6 a la i$0uierda de x

6 

 f ′( x 6 a la derecFa de x6.

Criterio de la 1ra derivada !ara extremos relativos

C*LCUL+ G

La funcin f  tiene un mínimo relativo en x6 si f ′( x 6 a la i$0uierda de x6 

 f ′( x 4 6 a la derecFa de x6.

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E

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E

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E

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Jrace la gráfica de una funcin 0ue cum!la con lassiguientes condiciones:

Kominio: ' 

 f (6 = f (1 = f (, = 6 f ´(x) < 6  cuando  x < 6   x >, f ( x 4 6 cuando 6  x  1 1  x  ,

13

E

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Jrace la gráfica de una funcin 0ue cum!la con las

siguientes condiciones:

Kominio: ' > 9 f (6 =1  f (>3 = >,  f (, = 3 f (6 = f (>3 = f (, = 6 f ( x 6 cuando  x  >3 , x 9 f ( x 4 6 cuando >3  x < 6 6  x  ,  x 4 9

C*LCUL+ 19

E