extremos relativos

Matemática IIIVladimiro Contreras Tito

[email protected]

7 de febrero de 2013

Resumen

En esta parte estudiaremos los extremos de funciones reales de variasvariables.

Índice

Índice 1

1. Extremos de las funciones de varias variables 21.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Extremos condicionados 82.1. Método de multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Ejercicios Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

1 EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. Extremos de las funciones de varias variablesDefinición 1.1. Sean f una función real definida en un abierto D de Rn y a ∈ D.

1. Se dice f presenta un máximo(respectivamente mínimo) absoluto en el pun-to a, si

f(X) ≤ f(a) (respectivamente f(X) ≥ f(a)) para todo X ∈ D

2. Se dice f presenta un máximo(respectivamente mínimo) local o relativo enel punto a, si existe una bola B(a, δ) ⊂ D tal que :

f(X) ≤ f(a) (respectivamente f(X) ≥ f(a)) para todo X ∈ B(a, δ)

En cualquiera de los casos se dice que f presenta un extremo en el punto a.Si las desigualdades en (2) anteriores son estrictos para cada X 6= a, se dice queel extremo (máximo o mínimo) es estricto.

Teorema 1.1 (Condición necesaria de extremos relativo). Sea f : D ⊂Rn → R una función definida en un conjunto abierto D, diferenciable en a ∈D. Es condición necesaria para que f presente un extremo relativo en a que sugradiente en dicho punto sea nula, esto es

5f(a) = 0 es decir, ∂f∂xj

(a) = 0 para cada j = 1, 2, 3, ..., n.

Observación 1.1.

1. Con las notaciones del teorema anterior, si ∇f(a) = 0 se dice que a es unpunto crítico de f .

2. También son puntos criticos de la función f , los puntos a ∈ D en los quealgunas de las derivadas parciales no están definidas, esto es

∂f

∂xj

(a) no existe para algún j = 1, 2, 3, ..., n.

3. Los posibles extremos relativos de una función diferenciable se localizanentre los puntos críticos de la función.

4. Un punto crítico donde la función no presenta un extremo relativo se llamapunto silla.

Teorema 1.2 (Weirstrass). Toda función f : D ⊂ Rn → R continua en unconjunto cerrado y acotado D tiene máximo y mínimo absoluto en D.

Antes de dar la condición suficiente para la existencia de extremos relativos,revisemos algunos conceptos fundamentales.

V. Contreras T. Página 2


Figura 1: Extremos de una función f

1.1. Formas cuadráticas

Definición 1.2. Una forma cuadrática en Rn es una aplicación Q : Rn → Rdado por los polinomios homogéneos de grado 2, es decir de la forma

Q(x,x2, ..., xn) =∑

1≤i≤j≤n

ci j xi xj, con ci j ∈ R (1)

Se dice que la forma cuadrática Q en Rn es definida positiva (respectiva-mente negativa) si Q(X) > 0 (respectivamente Q(X) < 0) para cada X ∈ Rn,X 6= 0.

Se dice que la forma cuadrática Q en Rn es semidefinida positiva (respec-tivamente semidenida negativa) si Q(X) ≥ 0 (respectivamente Q(X) ≤ 0)para cada X ∈ Rn.

Se dice que la forma cuadrática Q en Rn es indefinida si no es semidefinida,es decir, si toma valores estrictamenete positivos y negativos en distintos puntosde Rn.

Observación 1.2.

Una matriz simétrica A define una forma cuadrática mediante la expresión

Q(X) = X A X t (2)

Reciprocamenete, si una forma cuadrática Q viene dada según (1), tambien sepuede represntar ( respecto a la base estandar de Rn) según (2) mediante lamatriz simétrica

A = (ai j)1≤i,j≤n

con ai j = aj i =ci j

2si 1 ≤ i < j ≤ n, y ai i = ci i si 1 ≤ i ≤ n.

Teorema 1.3. Si A es una matriz cuadrada y simétrica con coeficientes reales,todos sus autovalores son reales.



NOTA 1.1.

Los autovalores de una matriz cuadrada A son las raices del polinomio carac-terístico P (λ) = det(A− λ I) donde I es la matriz identidad.

Teorema 1.4. Sea Q una forma cuadrática en Rn representada por la matrizsimétrica A según (2).

1. Q es semidefinida positiva si, y solo si, todos los autovalores de A son nonegativos. Es definida positiva si, solo si, todos los autovalores de A sonpositivos.

2. Q es semidefinida negativa si, y solo si, todos los autovalores de A son nopositivos. Es definida negativa si, solo si, todos los autovalores de A sonnegativos.

3. Q es indefinida si, y solo si, A tiene al menos un autovalor positivo y almenos otro negativo.

Teorema 1.5. Sea Q una forma cuadrática en Rn representada por la matrizsimétrica A = (ai j)1≤i,j≤n. Para cada k = 1, 2, ..., n se denota por

4k = det(ai j)1≤i,j≤k

entonces

1. Q es definida positiva si, y solo si, 4k > 0 para cada k = 1, 2, ..., n.

2. Q es definida negativa si, y solo si, (−1)k4k > 0 para cada k = 1, 2, ..., n.

Definición 1.3. Sea f : D ⊂ Rn → R una función de clase C2 definida en unconjunto abierto D, y a ∈ D. La matriz

Hf(a) = (∂2f

∂xi ∂xj

(a))1≤i,j≤n

se denomina matriz hessiana de f en el punto a.

Teorema 1.6 (Condiciones necesarias de extremo relativo). Sea f : D ⊂Rn → R una función de clase C2 definida en un conjunto abierto D, y a ∈ Dcon ∇f(a) = 0. Si f presenta un mínino (respectivamente máximo) relativo ena, la forma cuadrática h → hHf(a) ht es semidefinida positiva (respectivamentenegativa).

En consecuencia, si esta forma cuadrática es indefinida, f no puede presentarextremos en el punto a.

Teorema 1.7 (Condiciones suficientes de extremo relativo). Sea f : D ⊂Rn → R una función de clase C2 definida en un conjunto abierto D, y a ∈ D con∇f(a) = 0. Entonces:



1. Si la forma cuadrática h → hHf(a) ht es definida positiva (respectivamentenegativa), entonces f presenta un mínimo (respectivamente máximo) rela-tivo estricto en a.

2. Si las formas cuadráticas h → hHf(a) ht son semidefinidas positivas (re-spectivamente negativas) para todos los puntos X de un entorno a, entoncesf presenta un mínimo (respectivamente máximo) relativo en a.

Ejemplo 1.1. Calcule los extremos relativos de las siguientes funciones definidasen R2:

1. f(x, y) = 2x2 − 4xy + y4 − 1

2. f(x, y) = x2 − 2xy + y2 + x4 + y4

SoluciónLas funciones dadas son diferenciables y de clase C2 en R2 ( es más de clase

C∞ en R2). para encontrar sus extremos relativos se calcularán los puntos críticosy se estudiará la matriz hessiana en esos puntos.

1. a) Condición necesaria.

5f(x, y) = (4x− 4y,−4x + 4y3) = (0, 0)

Los puntos críticos de f son las soluciones del sistema

4x− 4y = 0

−4x + 4y3 = 0

que son P1 = (0, 0) , P2 = (1, 1) , P3 = (−1,−1)

b) Condición suficienteLa matriz hesiana de f en (x, y) es

Hf(x, y) =

(fxx fyx

fxy fyy

)=

(4 −4−4 12y2

)Luego:

? Hf(0, 0) =

(4 −4−4 0

). Los autovalores de esta matriz son:

p(λ) = det(Hf(0, 0)− λ

(1 00 1

)) = det(

(4− λ −4−4 −λ

)) = 0

λ1 = 2 +√

20 y λ2 = 2 −√

20. En consecuencia, como la matrizHf(0, 0) tiene autovalores positivo y otro negativo, define una formacuadrática indefinida, luego P1 = (0, 0) es un punto de silla de f .



? Hf(1, 1) = Hf(−1,−1) =

(4 −4−4 12

). Los autovalores de esta

matriz son: p(λ) = det(

(4− λ −4−4 12− λ

)) = 0

λ1 = 8+4√

2 y λ2 = 8−4√

2. En consecuencia, como la matriz Hf(0, 0)tiene autovalores todos positivos, define una forma cuadrática definidapositiva, por lo tanto en P2 = (1, 1) y en P3 = (−1,−1) la función fpresenta mínimos relativos.

2. Condición necesaria.

5f(x, y) = (2x− 2y + 4x3,−2x + 2y + 4y3) = (0, 0)

Los puntos críticos de f son las soluciones del sistema

2x− 2y + 4x3 = 0

−2x + 2y + 4y3 = 0

El unico punto crítico es P = (0, 0).

3. Condición suficiente



La matriz hesiana de f en (x, y) es

Hf(x, y) =

(fxx fyx

fxy fyy

)=

(2 + 12x2 −2−2 2 + 12y2

)Luego:

? Hf(0, 0) =

(2 −2−2 2

). Los autovalores de esta matriz son: p(λ) =

det(

(2− λ −2−2 2− λ

)) = 0

λ1 = 0 y λ2 = 4, por lo tanto,la matriz Hf(0, 0) define una forma cuadráticasemidefinida positiva. Como se sabe, ésta es una condición necesaria, perono suficiente de mínimo relativo (ver teorema 1.6 y 1.7). Sin embargo si seestudia la matriz hessiana de f en un punto arbitrario (x, y) 6= (0, 0),

Hf(x, y) =

(2 + 12x2 −2−2 2 + 12y2

)aplicando el teorema 1.5 se tiene:

41 = 2 + 12x2 > 0 y 42 = 24x2 + 24y2 + 144x2y2 > 0.

En consecuencia, la matriz Hf(x, y) representa una forma cuadrática defini-da positiva. Entonces concluimos que P = (0, 0) es un mínimo relativo def (por el teorema 1.7 (2)).

Para finalizar, notemos que:

f(x, y) = (x− y)2 + x4 + y4 ≥ 0 = f(0, 0), para todo(x, y) ∈ R2

y esto nos permite deducir que en el punto P = (0, 0) se alcanza un mínimoabsoluto de f .


2 EXTREMOS CONDICIONADOS

EJERCICIOS

a) Si z = x2 + 5y2 − 6x + 10y + 15; encuentre y clasifique los puntoscríticos de z.

b) Si z = x3 + y3; encuentre y clasifique los puntos críticos de z.c) Si z = x3 + y3 − 3xy; encuentre y clasifique los puntos críticos de z.d) Para las siguientes funciones, calcule los puntos críticos y clasifíquelos.

1) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1.2) f(x, y) = (x− y)2 + y2 + (6− x− 2y)2.3) f(x, y)) = 12xy−x2y2

2(x+y)

4) f(x, y) = xye−x2−y2

5) f(x, y) = excosy

e) Encuentre los puntos P de la superficie de ecuación x2y2 = z + 1, queestán más cercanos al origen.

f ) Encuentre el volumen de la máxima caja, de base rectángular, quetenga tres caras en los planos x = 0 , y = 0 , z = 0 en el primeroctante, y un vértice en el plano x+2y+3z = 6 (haga un dibujo).

g) Resuelva el ejercicio anterior si el plano tiene ecuación xa

+ yb+ z

c= 1,

con a , b , c números positivos.h) Encuentre las dimensiones da la caja rectángular de máximo volumen,

si el área de su superficie total debe ser de 64 cm2

2. Extremos condicionados

Hay muchos problemas que consisten en hallar un punto perteneciente algráfico de la función tal que minimice a la función dada, bajo algunascondiciones que se da en el problema de maximización.

Definición 2.1. Sea f : D ⊂ Rn → R una función definida en el conjuntoabierto D y sea P = (x1, x2, ...xn) ∈ D.Se dice que las variables x1, x2, ...xn

satisfacen las condiciones de enlace, si existen funcionesϕ1, ϕ2...., ϕm : Rn → R tal que

?

ϕ1(x1, x2, ...xn) = 0ϕ2(x1, x2, ...xn) = 0 m < n...ϕm(x1, x2, ...xn) = 0



Definición 2.2. Sea f : D ⊂ Rn → R una función definida en el conjuntoabierto D. Se dice que un punto P0 ∈ D que satisface las condiciones deenlace (?), corresponde a un máximo condicionado de f (mínimo condi-cionado de f) si f(P ) ≤ f(P0) (f(P0) ≤ f(P )) para todo P ∈ D.

2.1. Método de multiplicadores de Lagrange

Sea f : D ⊂ Rn → R una función definida en el conjunto abierto D tal queexisten derivadas parciales de f hasta el tercer orden inclusive. Para Obten-er los extremos condicionados de z = f(x1, x2, ...xn) sujeto als condicionesde enlace

ϕ1(x1, x2, ...xn) = 0ϕ2(x1, x2, ...xn) = 0 m < n...ϕm(x1, x2, ...xn) = 0

Se procede del siguiente modo:

a) Construir la función de Lagrange:

F (x1, x2, ...xn) = f(x1, x2, ...xn)+λ1ϕ1(x1, x2, ...xn)+...+λmϕm(x1, x2, ...xn)

donde λ1, λ2, ..., λm se llaman MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

b) Los extremos incondicionados de F (condicionados de f) se obtiene apartir de las ecuaciones:

∇F = (∂F

∂x1

,∂F

∂x2

, ...∂F

∂xn

) = (0, 0, ...0)

ϕ1(x1, x2, ...xn) = 0

ϕ2(x1, x2, ...xn) = 0

...

ϕm(x1, x2, ...xn) = 0

y sea P0 un punto que satisface estas condiciones.

c) Construir la forma cuadrática:

Q(dx1 , dx2 , .. , dxn) = (dx1 dx2 .. dxn) H(F (P0)) (dx1 dx2 .. dxn)T

y considerando las diferenciales

dϕ1 = 0



dϕ2 = 0

...

dϕm = 0

en P0, estudie el comportamiento de Q(dx1 , dx2 , .. , dxn):

Si Q está definida positiva en P0 entonces existe un mínimo condi-cionado de f en P0.Si Q está definida negativa en P0 entonces existe un máximo condi-cionado de f en P0.

EjemploHalle los extremos condicionados de f(x, y, z) = x y z sujeto a las condiciones

de enlace:ϕ1(x, y, z) = x + y − z − 3 = 0

ϕ2(x, y, z) = x− y − z − 8 = 0

Solución

1. Sea F (x, y, z) = xyz + λ1(x + y − z − 3) + λ2(x− y − z − 8)

2. Fx = yz + λ1 + λ2 = 0 (1)

Fy = xz + λ1 − λ2 = 0 (2)

Fz = xy − λ1 − λ2 = 0 (3)

ϕ1 = x + y − z − 3 = 0 (4)

ϕ2 = x− y − z − 8 = 0 (5)

De (1) y (3) se tiene: y = 0 ó z = −x (6)

De (4) y (5) y = −52, luego de (6) no se considera y = 0.

Reemplazando z = −x e y = −52

en (4) se tiene x = 114. Luego

P0 = (114,−5

2, 11

4)

3. Q(dx , dy , dz) = (dx dy dz) H(F (P0)) (dx dy dz)T

Q(dx , dy , dz) =(

dx dy dz) 0 z y

z 0 xy x 0

dxdydz

Considerando las diferenciales

dϕ1 = dx + dy − dz = 0 =⇒ dz = dx luego dy = 0

dϕ2 = dx− dy − dz = 0

estudiemos el comportamiento de Q(dx , dy , dz) en P0 = (114,−5

2, 11

4).



Q(dx , 0 , dx) =(

dx 0 dx) 0 −11

4−5

4

−114

0 114

−54

114

0

dx0dx

= −5(dx)2

Como Q(dx , 0 , dx) = −5(dx)2 < 0 en P0, existe un máximo condicionadode f en P0 = (11

4,−5

2, 11

4).

Ejercicios

1. Obtener el máximo de f(x, y) = 9− x2 − y2 sujeta a x + y = 3.

2. Minimizar C(r, h) = 2kr2 + 2, 5(2krh) sujeta a la restricción Kr2h = 1000.

3. Calcule los puntos críticos de z = x2y2 sujeta a la condición x2 + y2 = 1.

4. Halle la distancia máxima y mínima desde el origen a la curva

5x2 + 6xy + 5y2 = 8

5. Un fabricante de linea blanca y artículos electrodomesticos realizará unainversión de 7 millones de soles para un nuevo modelo de calefactor eléctri-co a base de aceite. Estima que si invierte una cantidad de y en produccióny una cantidad x en publicidad, podría vender aproximadamente x

x+4+ 4y

y+1

decenas de miles de unidades del calefactor en la temporada de invierno. Ca-da calefactor cuesta 350 soles producirlo, pero lo vende a los distribuidoresa 550 soles por unidad. Calcule cómo debe distribuir su presupuesto entrepublicidad y producción para obtener el máximo beneficio posible. Deter-mine el máximo beneficio posible.

6. Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular situada en el primeroctante, con tres caras en los planos de coordenadas y un vértice en elplano x + 2y + 3z = 6.

2.2. Ejercicios Complementarios

1. Halle los máximos y/o m´nimos de la función f(x, y) = 8x2 − 24xy + y2

sujeto a la restricción g(x, y) = x2 + y2 = 1

2. Pruebe que siendo f, g, h : R → R infintamente derivables, la función

z(x, y) = f(x) + g(x) y + (f(x))2 cosh(y)− y2

no puede tener mínimos relativos, aunque podría tener máximos.

3. Halle los extremos absolutos de las funciones siguientes en los conjuntosque se indican:



a) f(x, y) = 3xy − 6x− 3y + 7 en el triángulo(0,0), (3,0) y (0,5).

b) g(x, y) = e−x−2y − e−2x−y en {(x, y) ∈ R2 / x ≥ 0 , y ≥ 0}c) f(x, y, z) = xyz sobre {(x, y, z) ∈ R3 / x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , x + y +

z ≤ 3}

4. Sabiendo que la suma de tres números positivos es 27, demuestre que suproducto es menor o igual que 729.

5. El servicio postal tiene la norma de envio de paquetes siguiente: La sumade longitud y anchura del paquete no debe exceder de 2 metros. El paquetedebe cumplir la condición de que la longitud sea el doble de la suma de laanchura y altura. Halle el volumen máximo de los paquetes aceptados porel servicio postal.

6. Halle la mínima distancia al origen de la recta dada por las ecuaciones2x + y + z = 2 y x− y − 3z = 4.

7. Halle el valor máximo del producto xyzt de 4 números no negativos x, y, zyt si la suma de los mismos permanece constante x + y + z + t = 4c.

8. Maximizar x3 + y3 + 2z en la intersección de las dos superficies esféricasx2 + y2 + z2 = 4 y (x− 3)2 + y2 + z2 = 4.


extremos relativos

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